6 Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiği

Transkript

1 6 Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiği 6.1 Giriş 5. bölümde rijit cisimlerin düzlemsel kinematiğinin ilişkilerini (denklemlerini) gördük. Bu bölümde bu ilişkileri kullanarak rijit cisimlerin iki boutlu hareketinde kuvvetlerin etkisini inceleeceğiz. 6. Bölüm 3. Bölüm gibi 3 kısımda (A, B, ve C) incelenecek. A kısmında kuvvetlerin ve momentlerin lineer ivmesi ile açısal ivmesi arasındaki bağıntılar, B kısmında işenerji ve C kısmında impuls-momentum bağıntılarını göreceğiz.

2 Kısım A : Kuvvet kütle ve ivme 6. Hareketin genel denklemleri 4. bölümde hareketin kuvvet ve moment vektörel eşitliklerini genel kütle sistemi için bulduk Bunu şimdi 3 boutlu rijit cisme ugulaalım.

3 Kuvvet eşitliği : ΣF=ma Moment eşitliği : ΣM G = H ɺ G idi. Düzlemsel hareketin denklemleri : Daha evvel azdığımız eşitlikleri düzlemsel harekete ugulaalım. Şekilde - düzleminde hareket eden rijit bir cisim görüoruz.

4 Cismin açısal hızı ve ivmesi pozitif z önünde olsun, ω=ωk ve α = αk. Genel sistemin kütle merkezine göre (4. Bölümde) açısal momentumu H = Σ ρ m G i ρɺ i i formülü ile verilmiştir.( ρ,m noktasal cismin kütle merkezine göre konum vektörü). Rijit cisim i i için kütle merkezi G'e göre bir noktanın bağıl hızı ρɺ = ω ρ dir. Bundan dolaı H G açısal momentum vektörünün büüklüğü : ρɺ = ω ρ, H = Σ ρ m ( ω ρ ) i i g i i i H = Σm i( ρ. ρ ) ω Σm i ( ρ.ω) ρ H G i i i i G = Σm ρ ω i i 0 i i

5 Yukarıdaki eşitlikteki toplam terimi Σρ m, i i ( ) dm ρ integrali ile ifade edilir. Bu ifade ( ρ ) dm rijit cismin kütle merkezinden geçen z eksenine göre atalet momenti G olarakta tanımlanır. Bundan dolaı H G = G ω azılır. Bölece moment denklemi ; Σ M = H ɺ = ω= ɺ α şeklini alır. Sonuç olarak rijit cisim için düzlemsel hareketin G G G G denklemlerini, Σ F = ma G ve Σ M = G Gα (BĐRĐNCĐSĐ DÜZLEMDE ÖTELEME ĐKĐNCĐSĐ DÜZLEMDE DÖNME) olarak elde etmiş olduk.

6 =ma G Serbest Cisim Diagramı Kinetik Diagramı KARTEZYEN KOOR: Eğrisel Koordinatlar: Σ F = ma G Σ F = ma = mρ ω=m ɺ ρ α t t i i Σ F = ma = mρ ω n G G n Σ M = α i Σ F = mag Σ F = mag Σ F = mag 4 Hareket Denklemi Σ Fz = m agz ( Kartezen Koor.) Σ M = G Σ M G = Gα G α

7 Alternatif moment eşitliği (Denklemi) 4. Bölümde bir noktasal cisim sistemi için herhangi bir P noktasına göre moment denklemleri; Σ M = Hɺ + ρ ma şeklinde çıkartmıştık ( ρ = ρ = PG idi). p G G G G

8 =ρ G sinθ ΣM = Hɺ + ρ m a, ρ = PG p G G G G Bu eşitliği boutlu rijit cisim için ΣM p = G α+m a G d şeklinde azabiliriz. Eğer rijit cisim sabit bir O noktası etrafında dönüorsa bu denklem ΣM o = o α şeklini alır.

9 ΣM = Hɺ + ρ a ΣM = Hɺ = α Hɺ = Hɺ = α p G G m G, G G G G G G ( π θ ) ρg G m G ρ ma = ρ a msin = a msinθ = a d G G G G ΣM Hareket Düzlemi; ( ρ m a ) Har.Düzlemi p G G ΣM O halde p G G p = α + ma d Düzlemsel Harekette NOT: Σ M = ( Hɺ ) + ρ ma idi. (4. Bölümde) p bağ p bağ G p P noktasını katı cismin sabit noktası alırsak dan Hɺ = α olur. Σ M = α + ρ ma p p p G p Σ MG = Gα = Hɺ G : P den geçen eksene göre atalet momenti (Kütle) p a ; P nin ivmesi ; ρ = PG dir. Eğer P = PG=0 ise p G G Σ M = p Σ M = p α olur. P noktası G kütle merkezi rolünü onar. α (skaler) p

10 6.3 Bağımsız vea Bağımlı Katı Cisim Hareketi: Şekildeki düşe düzlemde hareket eden roket bağımsız hareketli bir katı cisimdir. Fiziksel olarak hareketini sınırlaan bir engel oktur. Σ F = ma denklemlerini ugulaarak M Σ G = α

11 α açısal ivmesi ve a, a kütle merkezi ivmeleri hesaplanabilir. AB çubuğunun hareketi sınırlıdır. Bağımlı (Bağlı) hareket edebilir. Kütle merkezinin ivme bileşenleri ile çubuğun açısal ivmesi arasındaki bağıntı 5. bölümdeki kinematik bilgilerinden elde edilir sonra nedenle 5. Bölüm çok önemlidir. 6.4 Birbirine bağlı katı cisim sistemleri Σ F = ma ve Σ M = α denklemleri ugulanır. Bu Serbest Cisim Diagramı Kinetik Diagram

12 Cisimleri tekbir katı cisim sistemi samak ugundur. A bağ noktasındaki kuvvet iç kuvvet olur. Dikkate alınmaz. Σ F = Σ ma = m a + m a 1 1 Σ F = ma ve ΣM=α denklemlerini; Ve kefi bir P noktasına göre tüm dış kuvvetlerin momentleri toplamı α + α + m a d + m a d bileşkelerinin momentine eşit olur. Yani; Σ M = Σ α + Σ mad B şeklini alır. p A ve B denklemleri ugulanarak sistemin bilinmeenleri çözülür. Denklem saısı etmez ise, sistem parçalara arılır her parça için Σ F = ma ve ΣM = α ugulanır. Vea VĐRTÜEL iş a da LAGRANGE denklemleri kullanılır.

13 6.5 Alan Atalet Momenti Eksene Göre: = da, r = + z = = da r da, Polar atalet momenti = ( + ) da = da + da = + z Alan atalet momenti göz önüne alınan eksene A alanının dağılımının ölçümü olup, alanın sabit bir özelliğidir. Boutu: (uzaklığın) 4 = 4 4 m dir. (S) göre

14 Gerçek cisimler için atalet momenti KÜTLE atalet momenti olarak hesaplanır. Kütlenin sözkonusu eksene göre dağılımının ölçümüdür. EKSENE GÖRE KÜTLE ATALET MOMENTĐ: a = rα = rω=r ɺ ɺɺ θ t Σ F = ma F = ma t F t =rαdm bulunur. Bunun OO ne göre momenti t ( α ) = α dir. r r dm r dm Bu tür kuvvetlerin toplam momenti katı Cismin tüm noktaları için r αdm integrali ile hesaplanır. NOT: Fn = mr ω nin OO ne göre momenti SFRDR. O' O. α ρ normal,n r m a n a t a. dm,dv F t teğet, t F n F =ΣF

15 M OO = r dm = r dm α α, α : tek r dm = ile gösterilir. Ve OO eksenine göre m kütlesinin KÜTLE ATALET MOMENTĐ adını alır. = r dm, cismin α açısal ivmesine karşı direncini temsil eder. = r dm = = ρ r dv ρ = ρ : oğunluk r (ρdv), V : Hacim dm sabit ise..aksi halde integral içerisinde kalır.

16 6.6 Atalet Yarıçapı (Radius Of Gration) A O. G (,) A O k A alanının ekseninden uzaklığı k olan ince bir şeride sıkıştıralım. = k A azılır. k e A alanının eksenine göre atalet arıçapı denir. k = A = k A

17 O k A k = A k z O A = k A k = A z z z z NOT: A alanının göz önüne alınan eksene göre dağılımının ölçümünü ATALET YARÇAP olarak tanımlarız. Đndisi atarsak; m kütlesinin bir eksene göre atalet arıçapı

18 k = = m m vea k dir. NOT: A alanının G kütle merkezinin, vea G, G koordinatları ile atalet arıçapı karıştırılmamalıdır., A alanının elemanlarının eksenine olan uzaklıklarının ortalmasının karesidir. k ise elemanların eksenine olan uzaklıklarının karelerinin ortalamasıdır Yani A (Ortalamanın karesi, karelerin ortalamasından daha küçük) 6.7 Alan Atalet Momentinin Nakli (Transfer Of Aes) Kütle merkezinden geçen bir eksene göre bir cismin atalet momenti biliniorsa, paralel bir eksene göre atalet momentinin bulunması. Şekildeki iki paralele ekseni alalım.

19 = r dm + d m + d mdm 0 md = + + = + md = r dm o ( o o cos θ ) 0 (Kütle merkezinin u koordinatı sıfırdır), r = r + d + r d cosθ = r + d + r d dm o o o = r dm + d dm + d r cosθdm = + md ; = + md ve = + md azılır. z z z Düzlemsel harekette dönme, düzleme dik bir eksen etrafında olur. Bu nedenle kütle atalet momentini = r dm şeklinde bir tek sembol ile gösteririz. Ve eğer levha,

20 düzleminde hareket ediorsa, O dan geçen z eksenine göre atalet momenti 0 ile temsil edilir. Üç boutlu harekette ω = ωi + ωj + ωzk olabilir. Bu durumda,,z eksenlerine göre atalet momentlerini; ; ; zz ile temsil ederiz.

21 = r dm = ( + z ) dm = r dm = ( + z ) dm = r dm = ( + ) dm zz z Kütle atalet momenti ile Alan atalet momenti arasındaki benzerlik: = r dm = r ( ρtda) zz z z zz = ρt r z da = ρt z z Kütle atalet momenti birim alanın kütlesi ile z polar atalet momentinin çarpımına eşittir. Benzer olarak

22 = ρt ve Birim alanın kütlesi = ρt elde edilir. Birim Alanın Kütlesi Çift indis plakanın kütle atalet momentini ve tek indis plakanın ALAN atalet momentini temsil edior. NOT: Alan Atalet momentinde Kütle atalet momenti için z = + + = ρt + ρt = ρt( + ) = ρt = z zz zz = + idi. NOT: Bu bağıntı t kalınlığının vea z koordinatlarının ve nin anında küçük olması halinde geçerlidir. Bu bağıntı dz kalınlığındaki levha için diferansiel kütle elemanı ile ilgilenildiği zaman ararlıdır. d zz = d + d Şeklinde ugulanır.

23 6.8 Parçalı Cisimler = r dm ifadesi daima pozitiftir. Parçalı bir cismin bir eksene göre atalet momenti cismin her parçasının anı eksene göre atalet momentlerinin toplamına eşittir. Pozitif ve negatif hacimler tanımlanabilir. Kesilip çıkartılan alan ve hacimler negatif ala ve hacim olarak alınır. 6.9 Atalet Çarpanları = = dm Atalet çarpanları z = z = zdm olarak tanımlanırlar = z = z zdm Hesaplarda, alanlardaki gibi davranılır. Eksenlerin kadırılması geçerlidir:

24 = dm = ( + d)( + d) dm 0 0 = dm + d d dm + d dm + d dm = + mdd ( 0, 0) z ve z için de benzer işlem apılır ve sıfır indisler atılırsa = + mdd z z = + mddz z = + mddz z azılır.

25 6.10 Koordinat Merkezinden Geçen Herhangi Bir M Doğrusuna Göre Atalet Momenti λ = 1, λ = li + mj + nk l,m,n doğrultman kosinüsleri M ( ) ( ) M = h dm = r λ r λ dm [ i j zk li mj nk ] = ( + + ) ( + + ) [( i + j + zk) ( li + mj + nk)] dm ( ) ( ) ( ) M = + z l + + z m + + n ml zln zmn dm = l + m + n lm ln mn elde edilir. M zz z z r λ = r λ sin θ = r sin θ = h h = (r λ) (r λ )

26 z z z z zz Öle,,z eksenleri bulabiliriz ki bu eksenlere göre azılan = ; z = z ; z = Atalet çarpanları sıfır olur. Yani zz Đfadesine ATALET MATRĐSĐ vea ATALET TENSÖRÜ denir. Verilen bir noktadan geçen eksenlere göre atalet çarpanlarını ve atalet momentlerini alıoruz demektir. azılır. Böle eksenlere ASAL ATALET EKSENLERĐ denir.,, zz lere de ASAL ATALET MOMENTLERĐ DENĐR. NOT: Đki koordinat eksenini taşıan birbirine dik iki düzlem verilen cismin SĐMETRĐ DÜZLEMĐ ise tüm ATALET ÇARPANLAR sıfırdır. z

27 Problem 6.1: Şekildeki alanın 1 1 ve 1 1 eksenlerine göre atalet momentlerini bulunuz. Çözüm: G kütle merkezinden geçen, e göre: e göre kesit alınır. b / = da = ad = a = b / ab 3 b/ 3 3 b/ 1 = d a/ 3 a/ 3 ba 3 a/ 1 a/ = d = bd = b = Anı işlemler 1 ve b 1 1 için farklı sınırlarla kullanılır. d da=ad G a 1 d da=bd

28 1 1 b 3 ab 1 da ad 3 0 = d = = = a 3 ba 1 da bd 3 0 = d = = = NOT: anı sonuçları iki katlı integral ile de elde ederiz. 1 1 a b = da = dd = ( d) d a b a 3 a b ab 1 = d = d b 3 = = b a dd b a ab = = d= = a 3 b

29 Problem 6.: Şekildeki arım dairenin; 1-), atalet momentlerini, -) Dairenin kalınlığı h m, maddenin oğunluğu ρ gr/cm 3 ise ' kütle atalet momentini hesaplaınız. NOT: ' kütle atalet momentinin z koordinatına bağlı olmadığına dikkat ediniz. Çözüm: da = ( rdθ ) dr = rdθ dr = da π R 3 ( sin θ) θ sin θ = r rd dr = r drdθ π R 4 π R r = sin θdθ = sin θdθ dθ R dr r θ. (r+dr)dθ rdθ

30 4 π 4 R 1 cosθ R θ 1 = dθ sin θ 4 = R π R π = = 4 8 π 0 π R π R 3 = da = ( Rcosθ) rdrdθ = r cos θdrdθ π 4 R 4 r R 1+ cos θ = cos θdθ = dθ R sin θ π θ R π R π = + = = π

31 -) Kütle Atalet Momenti: ' = ( ρhda) = ρh da = ρh ' dm 4 4 R π R ρhπ = ρh = 8 8 = ρ dm = dm ' Problem 6.3: Şekildeki kanal kesitinin ve eksenlerine göre atalet momentini elde ediniz. Çözüm: A alanı için A kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momentidir. Buna kısaca O merkezi atalet momenti de denir. B alanları Ad = G + geçerlidir. d B = 'B + ( ad )( b + ) A da ' O e a d B c d A c a ' 1 ' d b b '' da' ' db'

32 Bütün kanalın eksenine göre atalet momenti = A + B azılır. Anı momentini kanal kesitinin alanı Ç = a(d + b) dikdörtgeninden alanı D c( b) = olan dikdörtgenin kesilip çıkarılması ile de elde ederiz. ekseni bu iki dikdörtgen için de merkezi eksen olduğundan paralel eksen teoremine göre [ ( ab) b + d hesabına gerek kalmaz] = C- D azılır. Bu ol daha koladır. nin hesabında her parça için paralel eksen teoremini kullanmak gereklidir. Bu nedenle parça saısını minimumda tutmak ararlıdır. Alanı Ç = a(b + d), D = a( b) olan parçalarda hesap apılırsa elde edilir. a a = G + a(b + d) e + + D + c( b)( e + d + )

33 Problem 6.4: ab dikdörtgeninin 1, 1 ve, eksenlerine göre atalet momentlerini bulunuz. Çözüm: = + Ad a 1 = + ( ) ab ab 1 1. Örnek 1 1 1= ab + ab = ab b 1 a/ b O a b/ 1

34 3 1 Ad ba ab 1. Örnek 3 Ad ab ( ab) Ad ba ab 1 a = + = + ( ) = a b + a b = ba bulunur b = + = b 4ab 1 = ab + a = = ab a = + = + ( ) = ba 3 NOT: Kütle merkezinden eşit uzaklıkta olan paralel doğrulara göre atalet momentleri eşittir. Çünkü hesaplarda uzaklığın karesi er alır.

35 Problem 6.5: Örnek problem 3 deki kanal kesitinin, ve eksenlerine göre atalet momentlerini a=10 cm b=9 cm, d= cm, e=4 cm için hesaplaınız. Arıca J 0 polar atalet momentini bulunuz. Çözüm: A ve B parçalarının merkezlerinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini A ve B ile gösterelim. = + A da + ( + A d ) A A A B B B 1 ( ) 3 ( )(0) = b d + bd d d a + ad b = ( 8) () () (10) (10)()(8 ) ( ) 3 3 e O ' 1 ' a d 000 B c d A c a '' b b d da' ' db'

36 = 683 cm + ( ) cm = 3936 cm = + A da + ( + A d ) A A A B B B 3 d 3 a 1 1 = ( h) d + ( bd) e + + ( ) 1 da + ad e = (16)() + (8 )(4 + 1) + ()(10) (10)()(4 5) = 4384 cm A A A ' B '' B B ' B ' 1 1 (16) () (16)()(8 1) (10)() (10)()(16 + ) + (10)() 1 4 = 9768 cm 3 3 ' = ' J = + = = 830 cm 0 = + A d + + A d + 4

37 Problem 5 e NOT: > dir. Bu normal, çünkü kanal kesitini etrafında döndürmek ekseni etrafında döndürmee göre çok daha koladır. Arıca atalet momenti r bağlı olduğu için de normaldir. Problem 6.6: Şekildeki üçgen alanı için atalet çarpanını hesaplaınız. Çözüm: 1 = da (dikdörtgenin arısını A alarak) = d d = d = 5 d = = (5) = O A d d A Bu sonucu, sadece verilen A alanı için iki katlı integralle vea ve doğrultusunda d ve d kesimleri alınarak A için tek katlı integral ile de elde edebiliriz.

38 Problem 7: Şekildeki cismin asal atalet momentlerini hesaplaınız. Asal atalet eksenlerini belirleiniz. Çözüm: ve eksenlerine göre ve i hesaplaalım. = cm 1 (10 )(1 3 ) (10 )(0,5 ) = cm cm + cm cm 1 A 1 cm + 1 (1 cm )(11 cm ) + (11 cm )(6,5 cm ) 1 4 = 579 cm 3 Her alanın merkezsel ekseni simetri ekseni Olduğundan, her alanın merkezi eksenlere göre atalet çarpanı sıfırdır. O = + A 1 1 cm 1 1 (10 ) 3 (1 ) = cm cm 1 + (10 cm )(0,5 cm) = 337 cm 4

39 = + = + cm cm cm (11 )(0,5 )(6,5 ) = 60,75 cm Bu değerleri 4 0 (10 ) (5 )(0,5 ) cm cm cm + + mak,min = ± + formülünde azarsak mak,min = ± + (60,75) 4 mak = 593, 4 cm ve min = 33, 6 cm 160,75 tan θ = p 0,50 = = 4 θ = arctan(0,50) θ = 13,3 vea θ = 153,3 ve θ = 76,7 bulunur. p p p p

40 θ saat önünde ölçülür ( eksenine göre). X ekseninin 13,3 o dönmesi maksimum asal atalet eksenini ve anı derece kadar nin dönmesi de minimum atalet momentini verir. Problem 6.8: Şekildeki vagon oğunluğu ρ olan homojen bir dikdörtgen prizmadır. Vagonun kütle atalet momentini, AB ve OF e göre hesaplaınız. Bilinen sonuçları kullanınız. Çözüm: ' = + md 1 1 d : ile ' arasındaki uzaklık 1 m b c 1 ' = ( + ) z D E C O z' C a G F c B b A '

41 m b c = ( b + c ) + m + 1 m m m = b + c + b + c = b + c Benzer şekilde AB için; ( ) ( ) ( ) = + md AB ' m a c ' = ( a + c ) + m + 1 m AB = ( a + c ) 3 ve OF doğrusu (Köşegeni için) = n + n + n A A A A A A d z z z z z z

42 m a c 3 belli; = AB = ( + ) m a b z = z ' + md3 = ( a + b ) + m + 1 m z = ( a + b ) 3 ' ' ' z ' ' z ' a b mab = ' ' + mdd = 0 + m = 4 burada d; ' den e dik uzaklık b c mbc z = ' z ' + mddz = 0 + m = 4 a c mac z = ' z ' + mddz = 0 + m = 4 = = = 0 çünkü cisim ', ', z ' eksenlerine göre simetriktir. OF doğrusunun birim vektörü

43 n OF ai + ck a c = = n =, n = OF a + c a + c a + c bulunur. Bölece m c m OF = d = ( b + c ) ( )(0) + a + c 3 a + c 3 m c mab mbc mac ac + ( a + b ) (0) (0) 3 a + c a + c OF m a b + b c 3 a + c = m OF b 6 = d = + m a c + b a + c a c a + c

44 Problem 9: m kütleli, r arıçaplı dik silindirin O-O eksenine göre atalet momentini ve atalet arıçapını bulunuz. Çözüm: Kütle elemanı ρdv = ρtr dr dθ 0 0 ρ = oğunluk = = O-O 0 r dm π r π r 3 0 ( 0) = r ρtr dr dθ = ρt r dr dθ 4 r 4 r ρtπ r 1 = ρt π = = ( ρπ r ) r = mr cevap O.. t dθ r 0 dr 0 O

45 1 mr Atalet arıçapı r k = k = = cevap m m Problem 10 : r arıçaplı dolu bir kürenin (homojen) bir çapına göre atalet momentini ve atalet arıçapını hesaplaınız. Çözüm : Yarıçapı ve kalınlığı d olan küre kesitini alalım. 9. problemden bu elemansel (silindirin) atalet momenti r d 1 1 d = ( dm) = ( πρ d) ρπ d = r d ρ = sbt ( ),. r

46 Toplam moment + r ( ) πρ = d = r d r 8 4 = πρr = π r ρ r = mr Cevap mr 5 Atalet arıçapı k= k = = r m m 5 cevap

47 Problem 6.11: m kütleli dikdörtgen prizmanın merkezi 0 ve z eksenlerine göre ve prizmanın bir ucundaki eksenine göre atalet momentini bulunuz. Çözüm: