2 c 2000 Faruk Güngör

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "2 c 2000 Faruk Güngör"

Transkript

1 Bölüm 6 Laplace Dönüşümü 1

2 2 c 2 Faruk Güngör

3 Bölüm 7 Laplace Dönüşümü 7.1 Laplace Dönüşümünün Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun integral dönüşümü T [f(t)] = F (s) = b a k(s, t)f(t) dt biçiminde bir integralle tanımlanır. Verilmiş k(s, t) fonksiyonuna integral dönüşümün çekirdeği denir. F (s) fonksiyonu verildiğinde f(t) ye ters integral dönüşüm denir ve T 1 [F (s)] ile gösterilir. Laplace dönüşümü integral dönüşümlerin ilk örneklerinden birisidir. Çekirdek ve sınırlar k(s, t) = e st, a =, b = olarak tanımlanır. Diğer önemli bir integral dönüşüm de k(s, t) = e ist, a =, b = ile verilir. Bu tür dönüşüme Fourier dönüşümü denir ve diferansiyel denklemler kuramında önemli bir yer tutar. Ancak biz burada yalnızca Laplace dönüşümlerini inceleyeceğiz. f, t > zaman değişkeninin tek-değerli bir fonksiyonu ve s bir (reel veya kompleks olabilir) parametre olsun. f(t) nin Laplace dönüşümü F (s) = L{f(t)} = 3 e st f(t) dt (7.1)

4 4 c 2 Faruk Güngör integrali ile tanımlanır. Buradaki integral Riemann anlamında öz-olmayan bir integraldir ve lim M M e st f(t) dt limiti anlaşılacaktır. Eğer integral yakınsak ise yani yukarıdaki limit sonlu bir sayı ise Laplace dönüşümü tanımlıdır, eğer değilse dönüşüm tanımlı olmaz. F (s) fonksiyonuna bazen görüntü fonksiyon da denir. Tanım 7.1 Bir T için f(t) Me αt veya e αt f(t) M, t T olacak biçimde M > ve α sabitleri varsa f(t) fonksiyonuna α üstel mertebedendir denir ve f(t) = O(e αt ) yazılır. Polinomlar, üstel fonksiyonlar, sin t ve cos t trigonometrik fonksiyonlar üstel mertebeden olduğu halde f(t) = e t2 fonksiyonu üstel mertebeden değildir. Çünkü, α ne kadar büyük seçilirse seçilsin limiti süratle sonsuza gidecektir. lim t et2 e αt Tanım 7.2 Eğer bir f(t) fonksiyonunun lim f(t) = f(t + t t + ) ve lim f(t) = f(t t t ) sağdan ve soldan limitleri varsa fakat f(t + ) f(t ) ise f nin t noktasında bir sıçrama süreksizliği vardır denir. Tanım 7.3 Eğer lim t + f(t) limiti varsa ve f fonksiyonu [, ) aralığında sonlu sayıda sıçrama süreksizliği dışında her sonlu (, T ) aralığında sürekli ise fonksiyona [, ) aralığında parça parça sürekli fonksiyondur denir.

5 c 2 Faruk Güngör 5 y Şekil 7.1: Sıçrama Süreksizliği x Parça parça sürekli bir fonksiyonu bir aralık üzerinde integre etmek için sürekli olduğu altaralıklarda integre edip toplamak yeterli olacaktır. Parça parça sürekli bir fonksiyon integre edilebilir. Analizden bilinen bu sonucu kullnarak aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz. Laplace Dönüşümü İçin Varlık Teoremi: Teorem 7.4 Eğer f(t) fonksiyonu [, ) aralığında parça parça sürekli ve α üstel mertebeden ise, α > s için Laplace dönüşümü vardır ve mutlak yakınsar. Kanıt: f fonksiyonu parça parça sürekli olduğundan [, M) sonlu aralığı üzerinde sınırlı olur ve e st f(t) dt = e st f(t) dt + t e st f(t) dt yazarak Laplace dönüşümünün yakınsaklığını yukarıdaki ikinci integralin yakınsaklığına indirgemiş oluruz. Varsayımdan f üstel merdebeden olduğundan e st f(t) dt e st f(t) dt M e (s α)t dt t t t = lim τ M s α e (s α)t τ t yazılabilir ve integral anacak s > α için yakınsak olur.

6 6 c 2 Faruk Güngör Varlık teoremi bir yeter koşuldur. Yani teoremin varsayımları gerçeklendiğinde teorem Laplace dönüşümünün varlığını garantiler. Ancak tersi doğru değildir. Yani gerek koşul değildir. Varsayımların gerçeklenmemesi durumunda Laplace dönüşümü var olabilir veya olmayabilir. Örnek 7.1 t > ve negatif olmayan tamsayı n için L{t n } dönüşümünün var olduğunu gösterin? Herhangibir α > için eşitsizliği e αt = r= α n t n n! t n n!e αt tn n! olarak yazılabildiğinden t n üstel mertebeden bir fonksiyondur, o halde Laplace dönüşümü vardır. Örnek 7.2 L{t n cos at} ve L{t n cos at} dönüşümlerinin var olduğunu gösterin? sin at 1 ve cos at 1 olduğundan verilen fonksiyonlar üstel mertebeden olur. Varlık teoreminden dönüşümlerin tanımlı olduğu çıkar. 7.2 Laplace Dönüşümünün Özelikleri 1.) Lineerlik Özeliği Eğer L{f(t)} = F (s) ve L{g(t)} = G(s) ise L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)} = F (s) + G(s) (7.2) bağıntısı geçerlidir. Yani, Laplace dönüşümü lineer bir operatördür. Bu sonuç Laplace dönüşümü tanımından hemen çıkar. 2.) Birinci Öteleme Özeliği L{f(t)} = F (s) ise L{e at f(t)} = F (s + a) dir. Gerçekten, tanımdan L{e at f(t)} = e st e at f(t) dt = Bu kurala görüntü fonksiyonun ötelenmesi kuralı denir. e (s a)t f(t) dt = F (s a). (7.3)

7 c 2 Faruk Güngör 7 3.) İkinci Öteleme Özeliği t = a noktasında sıçrama süreksizliği olan birim basamak fonksiyonu { 1, t a u(t a) =, t < a ile tanımlanır. L{f(t)} = F (s) ise L{f(t a)u(t a)} = e as F (s), Yine tanımdan L{f(t a)u(t a)} = e st f(t a)u(t a) dt = yazılır ve son integralde τ = t a dönüşümü yapılırsa a a dir. e st f(t a) dt L{f(t a)u(t a)} = e as e sτ f(τ) dτ = e as L{f(t)} (7.4) çıkar. Ne yazık ki f(t+a)u(t+a), a için benzer simetrik bir bağıntı yoktur. 4.) Ölçek Değişim Özeliği (Benzerlik Teoremi) L{f(t)} = F (s) ise L{f(at)} = 1 a F ( s a ) (7.5) yazılabilir. Tanımdan L{f(at)} = e st f(at) dt yazıp integralde τ = at dönüşümü yaparsak ölçek özeliğini hemen elde ederiz. 5.) Görüntü Fonksiyonun Türetilmesi Eğer L{f(t)} = F (s) ise L{tf(t)} = F (s) dir. Bu kuralı görmek için F (s) fonksiyonunu s e göre türetmek ve Laplace dönüşümünün tanımını göz önüne almak yeterlidir: df (s) ds = e st tf(t) dt = L{tf(t)}.

8 8 c 2 Faruk Güngör Türetme işlemini n kez yineleyerek görüntü fonksiyonun n. türevi ile işaret farkıyla t n f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü arasındaki şu ilşkiyi elde e- deriz: d n F (s) ds n = ( 1) n L{t n f(t)}. (7.6) 6.) Görüntü Fonksiyonun İntegre Edilmesi L{f(t)} = F (s) ise bu kez F (s) fonksiyonunun integrali için ilginç bir kural çıkaracağız. Bu kural şöyle ifade edilir: L{ f(t) } = t Bunu görmek için F (u) integrandı yerine tanımı yazılır: s F (u) du = s s ( F (u) du. (7.7) ) e ut f(t) dt du. Bu bağıntının sağındaki integrasyonun sırası değiştirilirse s F (u) du = = ( ) f(t) e ut du dt s ( e st 1 [ e ut ] ) dt = t u=s elde ederiz. 7.) Laplace dönüşümünün limit biçimi Eğer F (s) bir f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü ise lim F (s) = s dır. Gerçekten, f(t) üstel mertebeden ise st f(t) e dt t F (s) yazılabilir. O halde e st f(t) dt M e (s α)t dt = M s α, s > α lim F (s) = lim F (s) = s s dir.

9 c 2 Faruk Güngör Bazı Elemanter Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri Örnek 7.3 f(t) = e t olsun. L{e t } yi hesaplayalım. L{e t } = e st e t dt = e (s 1)t dt yazılırsa sağdaki integralin değeri s > 1 için yakınsar ve limit işlemi ile lim M 1 (s 1) [e (s 1)t ] M = 1 s 1 bulunur. O halde L{e t } = 1 s 1, s > 1 dir.ölçek kuralını kullanarak L{e at } = 1 a 1 = 1 s 1 s s/a s a, s > a (7.8) formülünü buluruz. Örnek 7.4 L{t α } Laplace dönüşümünü hesaplayın. Genel olarak reel bir α için L{t α } = e st t α dt = Γ(α + 1) integralinde st = τ dönüşümü yapılırsa integral Γ fonksiyonu ile ifade edilebilir: L{t α } = 1 s α+1 e τ τ α dτ = Γ(α + 1) s α+1, α > 1, s >. Özel olarak α = n Z ise Γ(α) = Γ(n) = (n 1)! dir ve L{t n } = n! s n+1, s >

10 1 c 2 Faruk Güngör yazabiliriz. Örneğin, L{1} = 1 s, L{t} = 1 s 2, L{t2 } = 2 s 3. Öteleme teoreminden L{u(t a)} = e as L{1} = e as s dir. α = 1/2 için Γ(α + 1) = Γ( 1 2 ) = π değeri kullanılırsa L{t 1/2 } = π s çıkar. f(t) = t 1/2 fonksiyonu için 7.4 teoreminin koşulları sağlanmadığı halde, Laplace dönüşümünün var olduğuna dikkat ediniz. Genel olarak n = 1, 2,... için dönüşümü geçerlidir. L{t n 1 2 } = Γ(n ) s (n+ 1 2 ) Örnek 7.5 L{sinh at} Laplace dönüşümünü hesaplayın. = π (2n)! 2 2n n! s n 1 2, s > (7.9) Linerlik özeliği ve (7.8) formülü ile L{sinh at} = 1 2 (L{eat } L{e at }) = 1 2 ( 1 s a + 1 ) 1 = s + a s 2 a 2, s > a çıkar. Benzer olarak L{cosh at} = s s 2 a 2, s > a dir. Şimdi trigonometrik fonksiyonların Laplace dönüşümlerini hesaplayalım. Örnek 7.6 L{cos at} =? ve L{sin at} =? F (s) = L{cos t} ve G(s) = L{sin t} = olsun. Tanımdan kısmi integrasyon ile F (s) = e st cos t dt = [ e st sin t ] + s e st sin t dt = sg(s)

11 c 2 Faruk Güngör 11 ve G(s) = e st sin t dt = [ e st cos t ] s e st cos t dt = 1 sf (s) bulunur. Bu iki eşitlik F (s) ve G(s) için çözülürse hemen L{cos t} = bulunur. Son olarak ölçek kuralı ile L{cos at} = çıkar. Ayrıca, birinci öteleme kuralı ile L{e at cos bt} = dönüşüm formüllerini buluruz. Örnek 7.7 L{t sin at} =? s 1 s 2, L{sin t} = + 1 s s s 2 + a 2, L{sin at} = a s 2 + a 2 s a (s a) 2 + b 2, b L{eat sin bt} = (s a) 2 + b 2 Genel olarak, L{t sin at} = d ds L{sin at} = d a ds s 2 + a 2 = 2as s 2 + a 2. L{t n sin at}, dönüşümlerini hesaplamak için fonksiyonunu düşünelim. dönüşümünde L{t n cos at} h(t) = t n e iat (7.1) H(s) = L{h(t)} = ( 1) n dn ds n 1 s ia = n! (s ia) n+1 = n!(s 2 + a 2 ) (n+1) (s + ia) n+1 s + ia = Re iφ, R = s 2 + a 2, tan φ = a s

12 12 c 2 Faruk Güngör kutupsal gösterimini kullanır ve H(s) nin reel ve sanal parçalarını ayırırsak L{t n n+1 cos(n + 1)φ cos at} = n! R (s 2 + a 2 ) n+1, L{t n n+1 sin(n + 1)φ sin at} = n! R (s 2 + a 2 ) n+1 dönüşüm formüllerini çıkarmış oluruz. Örneğin n = 1 için bağıntıları yardımıyla buluruz. n = 2 için cos 2φ = s2 a 2 2as s 2, sin 2φ = + a2 s 2 + a 2 L{t cos at} = s2 a 2 2as s 2, L{t sin at} = + a2 s 2 + a 2 L{t 2 cos at} = 2s(s2 3a 2 ) (s 2 + a 2 ) 3, L{t2 sin at} = 2a(3s2 a 2 ) (s 2 + a 2 ) 3. sin at Örnek 7.8 L{ } =? t sin at a du L{ } = t s u 2 + a 2 = arctan u = π a s 2 arctan s a = arctan a s. Bu dönüşümde s + limitine geçerek yan ürün olarak lim s at L{sin } = t sin at t integralinin değerini bulmuş oluruz. Örnek 7.9 L{ sin2 t } =? t (7.7) formülünden dönüşümü çıkar. L{ sin2 t } = L{ t 1 cos 2t } = 1 2t 2 dt = lim s arctan a s = π 2 ( 1 u u ) u 2 du + 4 = 1 2 ln u u2 + 4 s = 1 4 ln ( s 2 )

13 c 2 Faruk Güngör 13 Örnek 7.1 L{sinh(2 t)} =? Fonksiyonun seri açılımının terim terim Laplace dönüşümü alınır ve (7.9) kullanılırsa L{(sinh(2 2 2n+1 t n+ 1 2 t)} = L{ (2n + 1)! } = 2 2n+1 (2n + 1)! L{tn+ 1 2 } n= = πs 3 2 n= n= 1 1 n! s n = πs 3 2 e 1/s Periodik Fonksiyonların Dönüşümleri f(t) τ periyodlu bir fonksiyon, yani f(t + τ) = f(t), t ise L{f(t)} hesaplamak için (7.1) dönüşüm tanımınında yarı sonsuz integrasyon aralığını alt aralıklara bölerek yazalım: τ 2τ 3τ L{f(t)} = e st f(t) dt + e st f(t) dt + e st f(t) dt + τ 2τ (n+1)τ = e st f(t) dt. n= nτ Yukarıdaki integralde t = u + nτ dönüşümü yapar ve periodik fonksiyon için f(u + nτ) = f(u), n = 1, 2,... eşitliğini dikkate alırsak ( L{f(t)} = e sτn) τ e su 1 τ f(u) du = 1 e sτ e su f(u) du (7.11) n= buluruz. Yukarıdaki toplamın sonsuz geometrik bir serinin toplamı olarak hesaplandığına dikkat edin. Örnek 7.11 f(t) = sin t = { sin t sin t sin t sin t <, τ = 2π doğrultulmuş sinüs dalga fonksiyonun Laplace dönüşümü. τ = π dir. (7.11) formülünden L{ sin t } = 1 1 e πs π e su sin u du

14 14 c 2 Faruk Güngör olur. integral değeri kullanılırsa dönüşümü bulunur. π e su sin u du = 1 + e πs 1 + s 2 L{ sin t } = 1 + e πs 1 e πs (1 + s2 ) 1 = coth(πs/2)(1 + s 2 ) Türevlerin Dönüşümleri Laplace dönüşümünün diferansiyel denklemlere uygulamalarında bir fonksiyonun türevinin Laplace dönüşümü formülüne gerek duyacağız. Kısmi integrasyon ile bir kez integre ederek L{f (t)} = [f(t)e st ] + s e st f(t) dt yazabiliriz. f(t) nin Laplace dönüşümünün varlığı için bir gerek koşul lim t e st f(t) = olmasıdır. O halde, t > için f(t) yi sürekli varsayarsak L{f (t)} = sl{f(t)} f() = sf (s) f() (7.12) dönüşüm formülü çıkar. Bu işleme devam edersek sürekli türetilebilen bie f(t) için L{f (t)} = s 2 L{f (t)} sf() f () (7.13) olduğunu görebiliriz. Genelleştirme: t için f, f, f (n 1) sürekli ve t > için f (n) parça parça sürekli ve üstel mertebeden ise, tümevarım ile L{f (n) (t)} = s n L{f n (t)} s n 1 f() s n 2 f ()... f (n 1) () (7.14) olduğu gösterilebilir. Eğer f(t) fonksiyonu reel eksen üzerinde yalnızca parça parça sürekli ise, yukarıdaki formülün değiştirilmesi gerekir. Örneğin f(t) nin t = a da sonlu bir sıçrama süreksizliği varsa L{f (t)} = a e st f (t) dt + a + e st f (t) dt

15 c 2 Faruk Güngör 15 a = [f(t)e st ] a + s e st f(t) dt + [f(t)e st ] a + s e st f(t) dt + ve f(t) nin a daki sıçramasının uzunluğunu ile gösterirsek a + [f(t)] a = f(a + ) f(a ) L{f (t)} = sl{f(t)} f() e as [f(t)] a (7.15) buluruz. Laplace dönüşümünün kısmi diferansiyel denklemlere uygulamalrında hem uzay hem de zaman değişkenlerine bağlı çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerinin dönüşümlerini bilmemiz gerekir. Örneğin iki değişkenli f(x, t) fonksiyonu için Laplace dönüşümü tanıma göre yazılabilir. Burada, L{ f(x, t) } = sf (x, s) f (x) t olarak tanımlanmıştır. Genel olarak, L{ n f(x, t) t n F (x, s) = L{f(x, t)}, f (x) = f(x, ) } = s n F (x, s) n r= s n r 1 f r (x), f r (x) = r f(x, t) t r t= geçerlidir. Zaman değişkenine göre türevleri içermeyen kısmi türevler için L{ n f(x, t) x n } = n x n L{f(x, t)} = F (x, s) n xn olacaktır. Çünki bu durumda x e göre kısmi türevlerle t ye göre integral yerdeğiştirir. Karmaşık türevler için, örneğin dir. Örnek 7.12 L{ 2 f(x, t) } = x t x L{ f t L{ sin2 t t 2 } =? } = s F (x, s) x f x

16 16 c 2 Faruk Güngör fonksiyonunu düşünelim. f(t) = sin2 t, f() = t f (t) = sin 2t t sin2 t t 2 türevinin dönüşümünden ve örnek dan L{ sin2 t sin 2t t 2 } = L{ } sf (s) = arctan 2 t s s ( 4 ln ) s 2 buluruz. Bu dönüşümden yine s + limitine geçerek aşağıdaki integralin değerini hesaplamış oluruz: Şimdi g(t) = sin 2 t t 2 dt = π 2. f(u) du, g() = integrali ile tanımlanan fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulmak istiyoruz. İntegral hesabın temel teoremine göre g (t) = f(t) yazılabilir. F (s) = L{f(t)} ve G(s) = L{g(t)} olsun. Bu eşitliğin her iki yanın Laplace dönüşümünü alarak sg(s) = F (s) veya G(s) = F (s) s elde ederiz. Örnek 7.13 I(a, b) = e a2 u 2 b 2 u 2 du, I(a, ) = π 2a integralini hesaplayarak L{t 1/2 e b2 /t } dönüşümünü elde ediniz. I(a, b) integralinde ξ = au dönüşümü yapılırsa I(a, b) = 1 a e ξ2 a 2 v 2 ξ 2 dξ = 1 I(1, ab) a buluruz. I b türevinde η = bu 1 dönüşümü yapılırsa I b = 2b = 2 e a2 u 2 b 2 u 2 du u 2 e η2 a 2 b 2 η 2 dη = 2I(1, ab)

17 c 2 Faruk Güngör 17 bulunur. Bu iki bağıntı arasında I(1, ab) yi yok edersek I(a, b) fonksiyonu I b + 2aI = diferansiyel denklemini sağlar. İntegre eder ve I(a, ) = π/2a koşulunu kullanırsak π I(a, b) = I(a, )e 2ab = 2a e 2ab buluruz. I(a, b) integralinde a 2 = s seçilir ve u 2 = t dönüşümü yapılırsa π L{t 1/2 e b2 /t } = s s e 2b (7.16) dönüşümü bulunur. Ayrıca, bunun her iki yanını b parametresine göre türetirsek L{ b t 1/2 e b2 /t } = 2 πe 2b s π L{t 3/2 e b2 /t } = s b e 2b (7.17) dönüşümünü buluruz. b = 1/2 için L{t 3/2 e 1/4t } = 2 πe s (7.18) dçnüşüm formülü çıkar. Bu dönüşümden L{ 1 2 π s u 3/2 e 1/4u du} = e s bulunur. Yukarıdaki integralde v 2 = 1/4u dönüşümü yaparak erfc (t) = 2 e v2 dv π ile tanımlanan tamamlayıcı hata fonksiyonu türünden şöyle ifade edebiliriz: t L{erfc ( 1 s 2 e )} =. (7.19) t s Bessel Fonksiyonlarının Dönüşümleri Bessel fonksiyonları sonsuz serilerle tanımlandığından terim terim Laplace dönüşümünü alarak dönüşüm formüllerini çıkarmak oldukça elverişli bir yaklaşımdır. Gerçekten, örneğin L{t n/2 J n (2 t)} dönüşümünü hesaplamak için t n/2 J n (2 t) = r= ( 1) r t n+r r!γ(n + r + 1)

18 18 c 2 Faruk Güngör eşitliğinin her iki yanının terim terim Laplace dönüşümünü alırsak s > için buluruz. Diğer yandan, L{t n/2 J n (2 t)} = r= ( 1) r r!γ(n + r + 1) L{tn+r } formülü ile L{t n+r } = L{t n/2 J n (2 t)} = 1 s n+1 Γ(n + r + 1) s n+r+1 ( 1) r ( 1 r! s )r = 1 s n+1 e 1 s r= dönüşümüne ulaşırız. Özel olarak, n = için L{J (2 t)} = 1 s e 1 s (7.2) olur. Benzer biçimde, J (t) fonksiyonun Laplace dönüşümü için seri yöntemi uygulayabiliriz. Ancak, bunun yerine diferansiyel denklem yöntemini uygulamak istiyoruz. Bu yöntemde genel olarak fonksiyonların sağladıkları diferansiyel denklemlerin Laplace dönüşümlerini alarak bu fonksiyonların dönüşümlerini çıkarırız. y(t) = J (t), y() = 1 fonksiyonunun ty (t) + y (t) + ty(t) = diferansiyel denklemini sağladığını biliyoruz. Laplace dönüşümünü alıp L{y(t)} = Y (s) yazarsak d ds [s2 Y (s) sy() y ()] + sy (s) y() d ds Y (s) = veya sadeleştirerek Y (s) dönüşüm fonksiyonunun sağladığı 1. mertebe lineer (homojen) (s 2 dy (s) + 1) + sy (s) = ds diferansiyel denklemini buluruz. Değişkenlerini ayırır, integre edersek dy Y = s ds s Y (s) = c(s 2 + 1) 1/2

19 c 2 Faruk Güngör 19 buluruz. c integrasyon sabitini belirlemek için başlangıç-değer teoreminden yararlanalım: lim s sy (s) = lim y(t) = y() = 1 c = 1. t Sonuç olarak, L{J (t)} = (s 2 + 1) 1/2 veya ölçek değişim kuralı ile buluruz İmpuls veya Delta Fonksiyonu L{J (at)} = (s 2 + a 2 ) 1/2 (7.21) Şimdi yalnızca fiziksel problemlerde anlamlı olabilecek bir fonksiyon üretmek istiyoruz. Bu amaçla, 1 δ ɛ (t t ) = 2ɛ, t t ɛ (7.22) t t > ɛ ile tanımlanan bir fonksiyon düşünelim. üzerinde integrali δ ɛ (t t ) dt = Bu fonksiyonnun bütün reel eksen ɛ ɛ 1 2ɛ dt = 1 dir. Birim impuls fonksiyonu δ ɛ (t t ) nin ɛ için limiti olarak tanımlanır: {, t = t δ(t t ) = lim δ ɛ (t t ) = ɛ, t t Bu limite bazen delta fonksiyonu da denir. Ayrıca, δ(t t ) dt = 1 özeliğine sahip olur. Bu limit işlemi ile tanımlanan δ(t t ) fonksiyonu klasik anlamda 1 bir fonksiyon değildir. Ancak, fiziksel olarak çok kısa bir zaman aralığında aniden uygulanan yoğunlaşmış yani, şiddeti çok büyük olan bir etkinin biçimsel gösterilimi olarak yorumlayabiliriz. Örneğin, şimşek çarptığında elektriğin boşalması, iki bilardo topunun elastik çarpışması gibi. Bu fonksiyon 1 Bildiğimiz hiç bir fonksiyon bu biçimde davranmaz. Reel eksen üzerinde bir nokta dışında heryerde sıfır, ancak Riemann integrali sıfırdan farklı bir fonksiyon olamaz. Bu tür fonksiyonlar matematiksel bir tabana oturtulmuştur ve genelleştirilmiş fonksiyonlar veya distribüsyon lar olarak bilinirler.

20 2 c 2 Faruk Güngör ilk kez İngiliz fizikçi Dirac tarafından kuvantum mekaniğinde kullanılmıştır. δ(t t ) fonksiyonun eleme özeliği diye bilinen bir özeliğe sahiptir. Bu özelik şöyle ifade edilir: δ(t t )f(t) dt = f(t ). Bu eşitliği çıkarmak için δ ɛ (t t ) fonksiyonunun tanımı kullanılır ve sonra limite geçilir. δ ɛ (t t ) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü hesaplamak için, t > varsayıp, birim basamak fonksiyonu ile ifade edelim ve dönüşümünü alalım. L{δ ɛ (t t )} = 1 2ɛ L{u(t (t ɛ)) u(t (t + ɛ))} = e (t ɛ)s e (t +ɛ)s 2ɛ = e t s sinh ɛs. ɛs Limite geçilirse (L Hospital kuralını kullanarak) L{δ(t t )} = e ts sinh ɛs lim = e t s ɛ ɛs (7.23) bulunur. Özel olarak, t = için L{δ(t)} = 1 buluruz Başlangıç ve Son-Değer Teoremleri Teorem 7.5 (Başlangıç-Değer Teoremi) f(t) t > için sürekli ve üstel mertebden, f (t) t için parça parça sürekli olsun. O zaman f( + ) = lim f(t) = lim sf (s). t + s Kanıt: Laplace dönüşümlerinin genel özeliğinden s için G(s) = L{f (t)} = sf (s) f( + ) fonksiyonu sıfıra gider. O halde lim G(s) = lim (sf (s) s s f(+ )) = limitine geçilirse teorem kanıtlanmış olur. Teorem 7.6 (Son-Değer Teoremi) f başlangıç-değer teoreminin koşullarını sağlıyorsa ve lim t f(t) varsa lim f(t) = lim sf (s) t s dir.

21 c 2 Faruk Güngör 21 Kanıt: f fonksiyonu sınırlı olduğundan α = mertebeden bir fonksiyondur. Türev dönüşüm formülünden dir. Limite geçerek yazabiliriz. Ayrıca, G(s) = L{f (t)} = sf (s) f( + ), s > lim G(s) = lim (sf (s) s s f(+ )) (7.24) lim G(s) = lim s s e st f (t) dt = f (t) dt. Yukarıda limitin integral içine geçebildiğine dikkat edin (?). τ f (t) dt = lim τ f (t) dt = lim τ f(+ )] (7.25) yazılabilir. Sonuç olarak, (7.24) ve (7.25) sonuçları karşılaştırılırsa elde ederiz. lim f(t) = lim sf (s) t s Çözülecek Problemler 1. Aşağıdaki fonksiyonların Laplace dönüşümlerini bulunuz. a) e t t sin 2t b) cos 2 t c) sin 2 t d) e) erf ( t) f) g) I (t) h) i) e 2t (t 1)u(t 1) j) cos t t sinh au du cos at cos bt t e at e bt t

22 22 c 2 Faruk Güngör Ters Laplace Dönüşümü Eğer F (s) = L{f(t)} ise f(t) fonksiyonuna F (s) görüntü fonksiyonun ters Laplace dönüşümü adı verilir ve f(t) = L 1 {F (s)} yazılır. Ters Laplace dönüşümü de lineer bir işlemdir, yani f(t) = L 1 {F (s)} ve g(t) = L 1 {G(s)} ise L 1 {F (s) + G(s)} = L 1 {F (s)} + L 1 {G(s)} = f(t) + g(t) dir. Biçimsel olarak LL 1 = L 1 L = 1l yazılabilir. Burada 1l birim operatörü göstermektedir. Ters Dönüşümün Tekliği: Aşağıdaki teorem bir F (s) fonksiyonunun ters dönüşümünü garanti eder. Teoremin kanıtı daha ileri kitaplarda bulunabilir. Teorem 7.7 Lerch Teoremi: Bir F (s) fonksiyonu verildiğinde, Laplace dönüşümü F (s) olan t için tanımlı en çok bir sürekli f(t) fonksiyonu vardır. Laplace dönüşümü için verilen özeliklere ters dönüşüm operatörü uygulayarak aşağıdaki kuralları hemen yazabiliriz: Ölçek Değişim Özeliği: L 1 {F (s)} = f(t) ise Birinci Öteleme Özeliği: L 1 {F (as)} = 1 a f( t a ). L 1 {F (s a)} = e at L 1 {F (s)} = e at f(t). İkinci Öteleme Özeliği: { L 1 {e as f(t a), t a F (s)} = f(t a)u(t a) =, t < a. Türevlerin Ters Dönüşümleri: L 1 {F (n) (s)} = ( 1) n t n L 1 {F (s)} = ( 1) n t n f(t). Bir fonksiyonun ters Laplace dönüşümünü bulmak için çeşitli yöntemler uygulanabilir. Örneklerle bu yöntemleri gözden geçirelim.

23 c 2 Faruk Güngör 23 Örnek 7.14 L 1 1 { }, n 1. (s a) n L 1 1 { (s a) n } = eat L 1 { 1 s n } = eat (n 1)!. t n 1 Kesirli üstler için faktoriyel yerine Gamma fonksiyonu kullanılmalıdır. Örneğin, L 1 { 1 t } = s π. Öteleme formülü ile L 1 1 { } = 1 e b a L 1 {s 1/2 } = e b t a as + b a aπ bulunur. Örnek 7.15 L 1 {ln (1 + 1 ) s 2 } =? ) F (s) = ln (1 + 1s fonksiyonunun türevinin ters dönüşümü 2 L 1 {F (s)} = L 1 { 2s s } = 2(cos t 1) s ile L 1 {F (s)} = tf(t) bağıntısı sonucunu verir. Örnek 7.16 f(t) = L 1 {F (s)} = 2(1 cos t) t L 1 s + 1 { s 2 2as + a 2 + b 2 } =? s + 1 (s a) + a + 1 s 2 2as + a 2 = + b2 (s a) 2 + b 2 yazar ve ters dönüşümün lineerliği kullanılırsa L 1 s + 1 { s 2 2as + a 2 + b 2 } = s a L 1 { (s a) 2 + b 2 } + a + 1 L 1 { (s a) 2 + b 2 } bulunur. = e at [cos bt + a + 1 b sin bt]

24 24 c 2 Faruk Güngör Kısmi Kesirler Yöntemi Sabit katsayılı linear diferansiyel denklemlere uygulamalarda rasyonel bir fonksiyonun ters dönüşümünü belirleme problemiyle karşılaşırız: Burada N(s) ve D(s) L 1 {F (s)} = L 1 { N(s) D(s) } =? N(s) = a k s k + a k 1 s k a D(s) = b n s n + b n 1 s n b biçiminde polinomlardır. F (s) gerçek bir fonksiyonun ters dönüşümü olacaksa, lim s F (s) = olmalı, bunun için de k < n koşulu sağlanmalıdır. Bir başka deyişle F (s) bir öz rasyonel fonksiyon olmalıdır. Bundan böyle, payın derecesinin paydanın derecesinden küçük olduğunu varsayacağız. D(s) in D(s) = D 1 (s)d 2 (s) biçiminde çarpanlara ayrılabildiğini varsayalım. F (s) fonksiyonunu N(s) D(s) = N 1(s) D 1 (s) + N 2(s) D 2 (s) olacak biçimde iki kesrin toplamı olarak yazabiliriz. Burada, N 1 ve N 2 nin dereceleri D 1 ve D 2 nin derecelerinden daha küçüktür. N 1 ve N 2 polinomlarının belirlenmesi için genel bir yöntem vereceğiz. Liner Çarpanlara Ayrışım: Genelliği bozmadan D(s) polinomunu normalize edebiliriz, yani b n = 1 alabiliriz. D(s) = n (s s i ) = (s s 1 )(s s 2 )... (s s n ), s i s j, i j i=1 biçiminde lineer çarpanlara ayrılabiliyorsa yazılabilir. Toplam notasyonu ile N(s) D(s) = A 1 s s 1 + A 2 s s N(s) D(s) = n j=1 A j s s j A n s s n

25 c 2 Faruk Güngör 25 dir. A j katsayılarını belirlemek için bu eşitliğin her iki yanı s s j ile çarpılır ve s s j limiti alınır: A j = lim s sj (s s j ) N(s) D(s) = N(s j) lim s sj s s j D(s) = N(s j) D (s j ). Yukarıda ikinci limit için L Hospital kuralını uyguladık. Sonuç: (Heaviside Açılım Formülü) D(s) = polinom denkleminin birbirinden farklı reel sıfırları (basit kökleri) s 1, s 2,..., s n ise Örnek 7.17 L 1 { N(s) D(s) } = n j=1 N(s j ) 1 D (s j ) L 1 { } = s s j n j=1 L 1 s 2 2s + 3 { s 3 2s 2 s + 2 } =? N(s j ) D (s j ) es j t. (7.26) s 3 2s 2 s+2 = (s+1)(s 1)(s 2) biçiminde liner çarpanlara ayrılabildiğinden, basit kesirlere L 1 s 2 2s + 3 { s 3 2s 2 s + 2 } = A s B s 1 + C s 2 yazılabilir. A yı belirlemek için s + 1 ile çarpalım ve s yerine 1 yazalım: A = s2 2s + 3 = 1. (s 1)(s 2) s= 1 Diğer sabitler B = 1, C = 1 olarak bulunur. O halde, ters dönüşüm L 1 s 2 2s + 3 { s 3 2s 2 s + 2 } = e t e t + e 2t olur. Katlı Lineer Çarpanlar: D(s) polinomunun reel bir sıfırı m katlı ise D(s) = (s a) m D 2 (s) yazılabilir. Bu durumda F (s) kesrini basit iki kesrin toplamı olarak ifade edebiliriz: N(s) D(s) = N 1(s) (s a) m + N 2(s) D 2 (s). Birinci kesir basit kesirlere ayrıştırılabilir: m 1 N 1 (s) (s a) m = A j (s a) m j. j=

26 26 c 2 Faruk Güngör A j katsayılarını belirlemek için F (s) nin her iki yanını (s a) m ile çarpalım: N(s) D 2 (s) = A + A 1 (s a) + A 2 (s a) A m 1 (s a) m + N 2(s) D 2 (s) (s a)m. Bu eşitlik j kez türetilir ve s s j limitine geçilirse A j katsayıları A j = 1 d j N(s) j! ds j, j =, 1, 2,..., m 1 D 2 (s) s=a formülü ile bulunur. A j katsayıları belirlenince L 1 { N m 1 1(s) (s a) m } = t m j 1 eat A j (m j 1)! j= ters Laplace dönüşümünü hesaplamış oluruz. Örnek 7.18 L 1 s 2 1 { (s + 2) 3 (s 2 + 1) } =? L 1 s 2 1 { (s + 2) 3 (s 2 + 1) } = A 1 (s + 2) 3 + A 2 (s + 2) 2 + A 3 (s + 2) + Cs + D s ayrışımı yapılır ve yukarıda verilen yöntem uygulanırsa sabitler A 1 = 3 5, A 2 = 8 25, A 3 = , C = , D = olarak belirlenir. Ters dönüşüm L 1 s 2 1 { (s + 2) 3 (s 2 + 1) } = e 2t [ 3 1 t t ] cos t sin t olacaktır. Kuadratik Çarpanlar: Q(s) = (s a) 2 + b 2, D(s) polinomunun kuadratik bir çarpanı olsun ve D(s) = Q(s)D 2 (s) yazalım. Basit kesirlere ayrıştırarak N(s) D(s) = As + B + N 2(s) Q(s) D 2 (s) yazabiliriz. Ters dönüşümün belirlenmesini kolaylaştıracak bir ayrışım As + B Q(s) = C(s a) + Db Q(s) (7.27)

27 c 2 Faruk Güngör 27 yazmaktır. (7.27) ayrışımının her iki yanı Q(s) ile çarpılır N(s) D 2 (s) = C(s a) + bd + N 2(s) D 2 (s) Q(s) ve s yerine Q(s) = (s s 1 )(s s 1 ) = denkleminin kökü olan s 1 = s 1 = a + ib (veya eşleniği) yazılırsa N(a + ib) = ibc + bd D 2 (a + ib) buluruz. Sol yandaki kompleks sayıyı W ile gösterirsek C ve D katsayılarını C = 1 b ImW, D = 1 b ReW olarak elde ederiz ve ters dönüşüm L 1 C(s a) + bd { (s a) 2 + b 2 } = eat b (ImW cos bt + ReW sin bt) = eat b Im{W eibt } olur. W kompleks sayısınının kutupsal gösterimi W = Ze iφ olsun. O zaman, yazılabilir ki ters dönüşüm formülünü buluruz. Im{W e ibt } = Z Ime i(bt+φ) = Z sin(bt + φ) L 1 C(s a) + bd { (s a) 2 + b 2 } = Z sin(bt + φ) b Örnek 7.19 L 1 1 { s } =? s L 1 { s } =? s = (s 2 + 2) 2 4s 2 = (s 2 + 2s + 2)(s 2 2s + 2) = [(s + 1) 2 + 1][(s 1) 2 + 1] kuadratik çarpanlara ayrılabildiğinden F (s) = L 1 1 A(s + 1) + B { s 4 } = + 4 (s + 1) C(s 1) + D (s 1) ayrışımında eşitliğin her iki yanını önce Q 1 = (s + 1) ile sonra (s 1) ile çarpıp sırasıyla s yerine s 1 + i ve s 1 + i yazarak belirsiz sabitler A = 1/8, B = 1/8, C = 1/8, D = 1/8

28 28 c 2 Faruk Güngör olarak belirlenir. O halde ters dönüşüm f(t) = L 1 {F (s)} = 1 8 e t (cos t + sin t) et (sin t cos t) veya f(t) = L 1 {F (s)} = 1 (sin t cosh t cos t sinh t) 4 bulunur. Ayrıca, başlangıç-değer teoreminden f() = = lim s sf (s) dir ve türev dönüşüm formülüyle L 1 s { s } = f (t) = 1 sin t sinh t 2 elde edilir. Katlı Kuadratik Çarpanlar: Q(s) kuadratiği D(s) polinomunda m kez görülüyorsa, yani D(s) = [Q(s)] m D 2 (s) ise ayrışım N(s) D(s) = N 1(s) Q m (s) + N 2(s) D 2 (s) olur. Burada N 1 (s), (2m 1). veya daha küçük dereceden bir polinomdur. Ayrıca, birinci kesir N 1 (s) Q m (s) = C (s a) + bd Q m + C 1(s a) + bd 1 Q m C m 1(s a) + bd m 1 Q biçiminde basit kesirlere ayrılarak yazılabilir. C j, D j, j =, 1, 2..., m 1 katsayılarını belirlemek için benzer bir yol izlenir. Katsayılar belirlendikten sonra L 1 1 { (s 2 + a 2 ) j }, s L 1 { (s 2 + a 2 }, j = 2, 3,... m ) j biçiminde ters dönüşümleri hesaplamamız gerekecek. Genel olarak, bir rekürans bağıntısı üreterek bu ters işlem yapılabilir. Ancak, aşağıdaki örnekte farklı bir yol izlenecektir. Örnek 7.2 L 1 1 { (s 2 + a 2 ) 2 } =? s L 1 { (s 2 + a 2 ) 2 } =? L{sin at} = a s 2 + a 2

29 c 2 Faruk Güngör 29 bağıntısının her iki yanını a parametresine göre türetelim: a L{sin at} = L{ a sin at} = L{t cos at} = 1 s 2 + a 2 2a 2 (s 2 + a 2 ) 2. Her iki yana ters dönüşüm uygulayarak f(t) = L 1 1 { (s 2 + a 2 ) 2 } = 1 2a 2 ( 1 sin at t cos at) a ters dönüşümünü bulmuş oluruz. Bu sonuçtan yararlanarak ve f() = olduüunu dikkate alarak elde edilir. L 1 s { (s 2 + a 2 ) 2 } = f (t) = 1 t sin at 2a Konvolüsyon İşlemi ve Teoremi Tanım 7.8 f(t) ve g(t) fonksiyonlarının konvolüsyonu (katlama) f(t τ) g(τ) dτ belirli integrali ile tanımlanır ve (f g)(t) sembolü ile gösterilir. Konvolüsyon için aşağıdaki bağıntılar geçerlidir: 1. f g = g f (Komütatif) 2. f (g h) = (f g) h (Asosiyatif) 3. f (g + h) = f g + f h (Distribütif) 4. (kf g) = (f kg) = k(f g), k R (Skaler ile çarpma) 5. (e at f) (e at g) = e at (f g) 6. L{f g} = L{f}L{g} (Konvolüsyon teoremi) 7. d dt (f g)(t) = f(+ )g(t) + f g = g( + )g(t) + f g

30 3 c 2 Faruk Güngör 8. F (s) = L{f(t)} ve G(s) = L{g(t)} ise L{ d dt (f g)(t)} = L{(f g) } = sf (s)g(s). Bu bağıntı Duhamel integrali olarak bilinir. Bu bağıntıların bazılarını gerçekleyeceğiz: 1. f g integral tanımında u = t τ dönüşümü yapılırsa f g = = f(t τ) g(τ) dτ = f(u)g(t u) du t g(t τ)f(τ) du = g f buluruz. 2. Tanımdan (f g) h = h(t τ) dτ τ f(ξ)g(τ ξ) dξ. İntegrasyonların sırasını değiştirirsek bu eşitliğin sağ yanı f(ξ) dξ ξ g(τ ξ)h(t τ) dτ olarak yazılabilir. integral İçteki integralde η = τ ξ dönüşümü yapılırsa, iki katlı f(ξ) dξ ξ g(η)h(t ξ η) dη = olur ki bu da asosiyatiflik özeliğini gerçekler. 6. Konvolüsyon Teoremi: Yine tanımdan L{f g} = f(ξ)(g h)(t ξ) dξ = f (g h) e st dt f(τ) g(t τ) dτ

31 c 2 Faruk Güngör 31 yazabiliriz. İntegrasyonların sırasını değiştirir ve içteki integralde η = t τ dönüşümü yaparsak buluruz. L{f g} = Bu sonucu kullanarak = f(τ) dτ τ f(τ)e st dτ = L{f(t)}L{g(t)} e st g(t τ) dt e sη g(η) dη L 1 {F (s)g(s)} = (f g)(t) (7.28) ters dönüşüm formülünü çıkarmış oluruz. Bu formül ters dönüşümlerin bulunmasında çok önemlidir. Daha sonra çeşitli örnekler vereceğiz. Özel olarak, g = f ise aşağıdaki bağıntıları elde ederiz: L{(f f)(t)} = [F (s)] 2, L 1 {F (s) 2 } = (f f)(t). Konvolüsyon hesaplarken f g = g f yerdeğiştirme özeliğini kullanmak yararlı olabilir. Çünkü, bunlardan birini hesaplamak diğerine göre daha kolay olabilir. 7. Bunun için Leibnitz türetme formülüne göre d dt (f g)(t) = d f(t τ) g(τ) dτ = d f(τ) g(t τ) dτ dt dt türevlerini hesaplamak yeterlidir. Üst sınır değişken olduğu için bu terimin türevinden gelecek katkıya dikkat ediniz. 8. Türev dönüşüm formülü ve (f g)() = olduğu gözönünde tutulursa çıkar. L{ d (f g)(t)} = sl{(f g)(t)} (f g)() = sl{f(t)}l{g(t)} dt 3, 4 ve 5 numaralı özeliklerin gerçeklenmesi okuyucuya bırakılmıştır. Çeşitli Örnekler: Örnek 7.21 L 1 s { (s 2 + a 2 )(s 2 + b 2 ) } =?

32 32 c 2 Faruk Güngör F (s) = s/(s 2 + a 2 ) ve G(s) = 1/(s 2 + b 2 ) fonksiyonlarının ters dönüşümleri f(t) = cos at, g(t) = 1 sin bt b olduğundan L 1 {F (s)g(s)} = 1 (sin bt cos at) b = 1 b = 1 b sin b(t τ) cos aτ dτ sin bτ cos a(t τ) dτ = 1 2b { sin[at + (b a)τ] dτ sin[at (b + a)τ] dτ} yazılabilir. İntegral hesaplanırsa b a için L 1 s cos at cos bt { (s 2 + a 2 )(s 2 + b 2 } = ) b 2 a 2, b a çıkar. b = a için / belirsizliği olduğu için L Hospital kuralı ile L 1 s { (s 2 + a 2 ) 2 } = lim cos at cos bt b a b 2 a 2 bulunur (Bak: Örnek 7.2). Örnek 7.22 f(t) = τ m 1 (t τ) n 1 dτ = t sin at 2a integralini hesaplamak için konvolüsyon teoreminden yararlanalım. ve ters dönüşüm alarak F (s) = L{f(t)} = L{t m 1 t n 1 } = L{t m 1 }L{t n 1 } = Γ(m)Γ(n) s m+n f(t) = Γ(m)Γ(n)L 1 1 Γ(m)Γ(n) { } = sm+n Γ(m + n) tm+n 1

33 c 2 Faruk Güngör 33 buluruz. Özel olarak, t = 1 için B(m, n) = f(1) = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n) beta fonksiyonu ile gamma fonksiyonu arasındaki ilşkiyi elde ederiz. Örnek 7.23 f(t) = t t konvolüsyonunu hesaplayarak L{ t} dönüşümünü hesaplayın. Yukarıdaki örnekte m = n = 3/2 seçilirse veya bulunur. L{f(t)} = (L{ t}) 2 = [Γ( 3 2 )]2 Γ(3) L{ π 1 t} = 2 s 3/2 1 s 3 = π 4s 3 Örnek 7.24 f n (t) fonksiyonu f n+1 (t) = f n (τ) dτ, n =, 1, 2,... bağıntısı ile rekürsif olarak tanımlandığına göre f n+1 (t) = olduğunu gösterin. Rekürans bağıntısından (t τ) n f (τ) dτ n! f 1 (t) = L{f 1} = f (τ) dτ, F 1 (s) = F (s), s f 2 (t) = L{f 1 1} = L{f 1 1} = ve böylece devam ederek tümevarım ile f 1 (τ) dτ, F 2 (s) = F 1(s) s = F (s) s 2 F n+1 (s) = L{f n+1 (t)} = L{f (t) 1 }. {{.. 1 } } = F (s) s n+1 (n+1) kez

34 34 c 2 Faruk Güngör bulunur. Bunun ters dönüşümünden istenilen f n+1 (t) = tn n! f (t) = (t τ) n f (τ) dτ n! eşitliği çıkar. Buna ek olarak, f n (t) nin tanımından n ardışık integrali tekboyutlu integrale dönüştüren f n+1 (t) = formülü elde edilir. 2 n } {{ } n katlı f (t 1 ) dt 1 dt 2... dt n = Genelleştirilmiş Konvolüsyon veya Efros Teoremi: L{k(t, u)} = A(s)e ub(s) ve L{f(t)} = F (s) ise L{ k(t, u)f(u) du} = = A(s) (t τ) n f (τ) dτ n! L{k(t, u)}f(u) du (7.29) e ub(s) f(u) du (7.3) = A(s)F (B(s)) (7.31) bağıntısı geçerlidir. Bu teoremde özel olarak k(t, u) = g(t u)u(t a) seçilirse L{k(t, u)} = e su L{g(t)} = e su G(s) olur ki B(s) = s ve A(s) = G(s) demektir. O halde Eforov teoremi L{ u(t u)g(t u)f(u) du} = L{ f(u)g(t u) du} = L{(f g)(t)} = F (s)g(s) konvolüsyon formülüne indirgenir.

35 c 2 Faruk Güngör 35 Çözülecek Problemler 1. Aşağıdaki fonksiyonların ters dönüşümlerini hesaplayınız. a) c) e) g) 1 (s 2 a 2 )(s 2 + a 2 ) 1 s 2 (s 2 + a 2 ) 1 (s 2 + 4)(s 2 + 2s + 2) s s 4 5s b) d) f) h) 1 (s 1)(s + 2) 3 s (s 2 a 2 )(s 2 + b 2 ) 2s + 3 (s 2 2s + 2) 2 s 3 (s 4 1)(s 4 + 4) 2. Aşağıdaki ters dönüşümleri hesaplayınız. a) L 1 {arctan 2 s 2 } b) L 1 {ln s + a s a } c) L 1 {ln s2 + a s 2 + b 2 } 7.4 Laplace Dönüşümünün Uygulamaları Şimdiye kadar Laplace dönüşümü ve ters Laplace dönüşümüne ilşkin bazı onemli özelikler ve yöntemler verdik. Artık uygulamalara geçmeye hazırız. Önce sabit katsayılı sabit katsayılı lineer başlangıç değer problemlerinin çözümü için Laplace dönüşümü tekniğini kullanacağız. Örnekler bu tekniğin gücünü çok daha iyi açıklayacaktır. Esas olarak yöntemi birkaç adımdan oluşur: 1. Diferansiyel denklemin her iki yanının Laplace dönüşümü alınır. Sonuç bilinmeyen fonksiyonun dönüşümünü içeren cebirsel bir denklmdir. 2. Cebirsel denklem çözülür. 3. Ters dönüşüm alarak diferansiyel denklemin aynı zamanda başlangıç koşullarını sağlayan çözümüne varılır. Şimdi bu adımları denklemi ve d n y Ly = a dt n + a d n 1 y 1 dt n a dy n 1 dt + a ny = f(t) y() = y, y () = y 1, y () = y 2,..., y (n 1) () = y n 1 (7.32a) (7.32b)

36 36 c 2 Faruk Güngör başlangıç koşulları ile verilmiş başlangıç değer problemine uygulayalım. Y (s) = L{y(t)} ve F (s) = L{f(t)} olsun ve denklemin her iki yanını dönüştürelim: Burada, L{Ly} = D(s)Y (s) + G(s) = F (s). D(s) = a s n + a 1 s n a n 1 s + a n ve G(s) katsayıları başlangıç değerlerine bağlı (n 1). dereceden n r 1 G(s) = a r y j s r j 1, y j = y (j) () r= j= bişiminde bir polinomdur. Dönüşmüş denklem Y (s) için çözülürse aranan çözüm Y (s) in ters dönüşümünü bulmaya indirgenmiş olur: y(t) = L 1 {Y (s)} = L 1 { F (s) G(s) }. D(s) Eğer bütün başlangıç koşulları özdeş olarak sıfırsa G(s) = olduğuna dikkat edelim. Çözümü y(t) = y (t) + y 1 (t) biçiminde yazabiliriz. H(s) = 1/D(s) ve h(t) = L 1 {H(s)} tanımlanırsa y (t) = L 1 { H(s)G(s)}, y 1 (t) = L 1 {H(s)F (s)} olacaktır. Dikkat edilirse y (t) çözümü yalnızca başlangıç değerlerine bağlı olacaktır. Geçici çözüm denilen bu çözüm kararlı sistemlerde yeterince uzun zaman geçtikten sonra hissedilmeyecektir, yani lim y (t) =, t y 1 (t) kalıcı çözümü ise başlangıç değerlerinden bağımsızdır. konvolüsyon integrali ile Kalıcı çözümü y 1 (t) = L 1 {H(s)F (s)} = (h f)(t) = h(t τ) f(τ) dτ olarak formüle edebiliriz. h(t) fonksiyonuna bazen transfer fonksiyonu denir. Örnek 7.25 y (t) + ω 2 y(t) = f(t), y() = y, y () = y 1 başlangıç değer problemini çözünüz.

37 c 2 Faruk Güngör 37 Denklemin dönüşümü dir ve Y (s) e göre çözülürse ve ters dönüşümü alınırsa veya açık olarak (s 2 + ω 2 )Y (s) = F (s) + y s + y 1 Y (s) = y s + y 1 (s 2 + ω 2 ) + F (s) (s 2 + ω 2 ) y(t) = L 1 {Y (s)} = y cos ωt + y 1 ω sin ωt + 1 f(t) sin ωt ω y(t) = y cos ωt + y 1 ω sin ωt + 1 ω f(τ) sin ω(t τ) dτ çözümü bulunur. Bu çözümü Örnek (??)(sayfa??) ile karşılaştırınız. Özel olarak, f(t) = u(t a) ve y = y 1 = için çözüm y = 1 ω sin ωt u(t a) = 1 ω u(t a) ( = 1 (1 cos ω(t a))u(t a) ω2 a ) sin ω(t τ) dτ = { 1 ω 2 (1 cos ω(t a)), t a t < a biçimini alır. Eğer, y + ω 2 y = u(t a), y() = y () = problemi için Laplace dönüşümü doğrudan doğruya uygulansaydı, çözüm yine (s 2 + ω 2 )Y (s) = eas s fonksiyonunun ters dönüşümü olan olarak elde edilirdi. Y (s) = 1 ω 2 eas [ 1 s s s 2 + ω 2 ] y(t) = L 1 {Y (s)} = 1 (1 cos ω(t a))u(t a) ω2

38 38 c 2 Faruk Güngör Örnek 7.26 y 2y + (1 + m 2 )y = (1 + 4m 2 ) cos mt, y() = 1, y () = başlangıç değer problemini çözünüz. Dönüşmüş denklem ve buradan (s 2 2s + m 2 + 1)Y (s) = [(s 1) 2 + m 2 ]Y (s) Y (s) = = (1 + 4m2 )s s 2 + m 2 + s 2 (1 + 4m 2 )s [(s 1) 2 + m 2 ](s 2 + m 2 ) + s 2 [(s 1) 2 + m 2 ] belirlenirse, çözüm basit kesirler yöntemiyle y(t) = L 1 {Y (s)} = L 1 { As + B C(s 1) + D (s 1) 1 s m2 (s 1) m2 (s 1) 2 + m 2 } ters dönüşümüne indirgenir. A, B, C, D katsayıları esas kesrin iki yanını sırasıyla s 2 + m 2 ve (s 1) 2 + m 2 ile çarpıp s im ve s 1 + im yazarak elde edilecek 2m 2 + im = B + ima, (1 + 2m 2 ) im = D + imc kompleks eşitliklerinden A = 1, B = 2m 2, C = 1, D = 1 + 2m 2 olarak elde edilir. Sonuç olarak çözüm olur. y(t) = L 1 { s 2m2 s 2 + m 2 + (s 1) + (1 + 2m2 ) s 1 (s 1) 2 + m 2 + (s 1) 2 + m 2 } Örnek 7.27 = cos mt + 2m(e t 1) sin mt y + 4y = 3 sin t, y() =, y(π/2) = 2 iki-nokta sınır-değer problemini çözünüz.

39 c 2 Faruk Güngör 39 y () = c olsun. Denklemin Laplace dönüşümü alındıktan sonra Y (s) = L{y(t)} için çözülürse Y (s) = bulunur. Ters dönüşümü alınırsa c s (s 2 + 1)(s 2 + 4) = c 1 s s y(t) = c 1 2 sin 2t + sin t çıkar. Şimdi c sabitini belirlemek için y(π/2) = 2 koşulunu kullanabiliriz: y(π/2) = c = 2 2 c = 7. O halde çözüm y = 3 sin 2t + sin t olur. Laplace dönüşüm tekniği diferansiyel denklem sistemlerinin çözümünde de etkin bir biçimde kullanılabilir. Başlangıç koşulları ile verilmiş sisteme Laplace dönüşümü uygulayarak cebirsel denklem sistemine indirgeriz ve ters dönüşüm alarak çözüme ulaşırız. Örnek 7.28 ẍ + 4ÿ = x, ÿ = x + y denklem sisteminin x() = ẋ() =, y() = 1, ẏ() = başlangıç koşulları altında çözümünü bulunuz. Eğer L{x(t)} = X(s), L{y(t)} = Y (s) tanımlarsak ve her iki denklemin Laplace dönüşümünü alırsak ve düzenleyerek yazarsak s 2 X(s) + 4s 2 Y (s) 4s = X(s) s 2 Y (s) s = X(s) + Y (s) (s 2 1)X(s) + 4s 2 Y (s) = 4s X(s) + (s 2 1)Y (s) = s sistemini buluruz. Yok etme veya Cramer yöntemi ile Y (s) çözülürse Y (s) = ve ters dönüşümü alınırsa 4s (s 2 + 1) 2 + s(s2 1) (s 2 + 1) 2 = 2s (s 2 + 1) 2 + s s y(t) = L 1 {Y (s)} = t sin t + cos t bulunur. x(t) yi bulmak için ikinci denklemden yararlanabiliriz: x(t) = ÿ y = 2t sin t.

40 4 c 2 Faruk Güngör Örnek 7.29 ẋ + 2ẏ + x y = cos t ẋ ẏ x 2y = sin t sistemini ve x() = 1, y() = koşullarını sağlayan çözümü bulunuz. Sistemin Laplace dönüşümü (s + 1)X(s) + (2s 1)Y (s) = s2 + s + 1 s (s 1)X(s) (s + 2)Y (s) = s2 + 2 s cebirsel denklem sistemini verir. Cramer kuralı ile çözülürse ve basit kesirlere ayrılırsa X(s) = s(3s2 + 2s + 7) 3(s 2 + 1) 2 = 2 2s 1 3 (s 2 + 1) 2 + 3s + 2 3(s 2 + 1) ve Y (s) = s2 + 2s + 3 3(s 2 + 1) 2 = (s 2 + 1) 2 s (s 2 + 1) 2 bulunur. L 1 2s { (s 2 + 1) 2 } = t sin t, 1 L 1 { (s 2 + 1) 2 } = 1 (sin t t cos t) 2 ters dönüşümlerini kullanarak çözüm sistemini elde ederiz. x(t) = 1 [(t + 3) cos t + (2t + 1) sin t] 3 y(t) = 1 [t cos t (t + 2) sin t] 3 Örnek 7.3 Sönümlü Lineer Salınıcı Problemi: Hızla orantılı bir kuvvet etkisi altında maddesel bir parçacığın serbest titreşimleri ikinci mertebe lineer ẍ(t) + 2λẋ(t) + ω 2 x(t) = diferansiyel denklemi ile yönetilir. Başlangıç anındaki yer ve hız büyüklüklerini x() = x ve ẋ() = v ile gösterelim. Ayrıca, λ > varsayıyoruz. X(s) = L{x(t)} olsun. Denklemin her iki yanının Laplace dönüşümü alınırsa (s 2 + 2λs + ω 2 )X(s) = x s + v + 2λx,

41 c 2 Faruk Güngör Şekil 7.2: Zayıf Sönümlü Salınımlar ve X(s) için çözülürse X(s) = x s + v + 2kx s 2 + 2λs + ω 2 elde edilir. Ters dönüşüm λ ile ω arasındaki ilşkiye bağlıdır. Burada üç ayrı durum söz konusu olabilir: 1.) ν 2 = ω 2 λ 2 > Bu durumda, basit kesirlere ayrışımla ve ters dönüşüm alınarak X(s) = x (s + λ) + v + x λ (s + λ) 2 + ν 2 x(t) = L 1 {X(s)} = e λt [x cos νt + v + x λ sin νt] ν çözümü bulunur. Buna zayıf sönümlü salınımlar adı verilir. Zaman yeterince büyük bir değer aldığında, bir başka deyişle yeterince uzun zaman sonunda salınımlar sıfıra yaklaşacaktır. 2.) ω 2 λ 2 < µ 2 = λ 2 ω 2 diyelim ve basit kesirlere ayrıştıralım: Ters dönüşümü X(s) = x (s + λ) + v + x λ (s + λ) 2 µ 2. x(t) = L 1 {X(s)} = e λt [x cosh µt + v + x λ µ sin µt]

42 42 c 2 Faruk Güngör Şekil 7.3: Kuvvetli Sönümlü Salınımlar çözümünü verir. Bu ise kuvvetli sönüm durumudur. x(t) çözümü t eksenini kesmeden sıfıra yaklaşır. Yani hareket salınımsızdır. 3.) ω 2 = λ 2 yazılır ve tersi alınırsa X(s) = x s + λ + v + λx (s + λ) 2 x(t) = L 1 {X(s)} = e λt [x + (v + λx )t] bulunur. Bu çözümün 2. özel durumda verilen çözümün µ için limit durumu olduğu açıktır. Bu özel durum kritik sönümlü durumdur ve t büyürken bir kez negatif değer alıp sonra sıfıra yaklaşır. Örnek 7.31 Sönümlü Zorlanmış Lineer Salınıcı Problemi: Bu kez parçacığın f(t) = f sin(ωt + σ) biçiminde periodik bir dış kuvvetin etkisi altında olduğunu varsayacğız. Hareketi yöneten diferansiyel denklem ve başlangıç koşulları ẍ(t) + 2λẋ(t) + ω 2 x(t) = f(t), x() = x, ẋ() = v olacaktır. Bu denklem yerine z(t) kompleks fonksiyonunun sağladığı z(t) + 2λż(t) + ω 2 z(t) = f e i(ωt+σ)

43 c 2 Faruk Güngör Şekil 7.4: Kritik Sönümlü Salınımlar diferansiyel denklemini düşünelim. Bu denklemin sanal kısmı x(t) nin sağladığı denklemi verecektir. Z(s) = L{z(t)} ise denklemin Laplace dönüşümüü Q(s)Z(s) = f e iσ s iω + x s + v + 2λx, Q(s) = (s + λ) 2 + ω 2 λ 2 dir. Burada hareketin yalnızca zayıf sönümlü salınımlara kısıtlandığını yani, ν 2 = ω 2 λ 2 > olduğunu varsayalım. Z(s) rasyonel fonksiyonu basit kesirlere ayrılırsa Z(s) = = f e iσ Q(s)(s iω) + x (s + λ) + v + λx Q(s) A(s + λ) + λb + C Q(s) s iω (7.33) (7.34) yazılabilir. A ve B sabitleri hesaplandığında başlangıç koşullarına bağlı olduğu görülecektir. Bu sabitler yalnızca sistemin başlangıç davranımını etkiler. Yani, sağ yandaki toplamda birinci terimin ters dönüşümünde zorlayıcı fonksiyonun etkisi yoktur. Uzun zaman sonra etkisi artık hissedilmeyecek olan bu çözüme geçici çözüm denir. Biz bu geçici çözümü önemsemeyip kalıcı çözümle ilgileneceğiz. Bu yüzden, ikinci terimin ters dönüşümünü dikkate alalım: Z 1 (s) = C s iω.

44 44 c 2 Faruk Güngör Şekil 7.5: Zorlanmış Sönümlü Salınımlar: Geçici, Kalıcı ve Toplam çözüm C katsayısını hesaplamak için (7.33) denkleminin her iki yanını s iω ile çarpıp s = iω yazalım. O zaman, C = f e iσ Q(iΩ) olur ki Q(iΩ) kompleks sayısının kutupsal gösterilimi ile Q(iΩ) = Me iφ, M(Ω) = Q(iΩ), φ(ω) = arg Q(iΩ) Z 1 (s) = f e i(σ φ) M ve ters dönüşümü de modül ve argümanın açık ifadelerini kullanarak z 1 (t) = f (ω2 Ω 2 ) 2 + 4λ 2 Ω 2 ei(ωt+σ φ) buluruz. Burada dir. z 1 (t) nin sanal kısımı φ = arctan 2λΩ ω 2 Ω 2 x 1 (t) = f sin(ωt + σ φ) (7.35) (ω2 Ω 2 ) 2 + 4λ 2 Ω2

45 c 2 Faruk Güngör Şekil 7.6: Rezonans salınımları çözümünü verir (Bu çözümü Örnek?? deki çözüm ile karşılaştırın). Genliği zorlayıcı kuvvetin açısal frekansına bağlı olan bu çözüme kalıcı çözüm denir. Genliğin maksimum değerine paydası minimum olduğunda erişilir. Bunun için dm/dω = den Ω değeri belirlenir. Bir olası frekans Ω = dır, fakat bunun pratik bir değeri yoktur. A(Ω) = f /M(Ω) genliği Ω = Ω r = (ω 2 2λ 2 ) 1/2, λ < ω 2 için en büyük değerine erişir. Buna rezonans frekansı, bu frekans değeri için bulunan f A r = A(Ω r ) = 2λ ω 2 λ 2 genliğine de rezonans genliği denir. λ = için A r = değerini alır, yani sönümsüz bir sistem için rezonans genliği sınırsız olarak büyür. Bu durumda, çözüm artık (7.35) ile temsil edilemez. Kalıcı çözümü, λ =, Ω = ω için elde edilen ẍ(t) + ω 2 x(t) = f sin(ωt + σ) denkleminin x 1 (t) = f t cos(ωt + σ) 2ω çözümü ile yerdeğiştiririz. Görüldüğü gibi t büyürken, salınımlar sınırsız olarak büyümektedir. Bir başka deyişle, sönümsüz salınıcı probleminde, sistem, doğal frekansına çok yakın frekansa sahip periodik bir dış kuvvet etkisinde ise, salınımların genliği hızla büyüyecektir.

46 46 c 2 Faruk Güngör Şekil 7.7: Vuru olayı Vuru Olayı: Aşağıdaki başlangıç değer problemini düşünelim: Denklemin genel çözümü y + ω 2 y = f cos ωt, y() =, y () =. y = c 1 cos ω t + c 2 sin ω t + ω 2 f ω2 cos ωt dir. Başlangıç koşullarından c 1 = f /(ω 2 ω 2 ), c 2 = çıkar. ω ω için çözüm f ω 2 ω2 (cos ωt cos ω t) olur. Eğer, ω nın değeri ω a çok yakınsa, bir başka deyişle ω ω farkı ω + ω yanında çok küçük ise bu hareketin salınımlarının genliği artık sabit değil, zamanla değişen bir büyüklük olur. Gerçekten, y = f 2(ω 2 ω 2) sin (ω ω )t 2 sin (ω + ω )t 2 yazılabilir. Görüldüğü gibi, frekansı sistemin frekansına çok yakın periyodik bir kuvvetin etkisi altında çözüm yavaş salınacak ve genliği zamanla değişecektir. Bu olay vuru olarak bilinir.

47 c 2 Faruk Güngör 47 Çözülecek Problemler 1. Aşağıdaki başlangıç değer problemlerini çözünüz. a.) y 2ay + (a 2 + p 2 )y, y() =, y () = p = 2pe at cos pt, b.) y + 2y + 2y = e t sin t, y() = 1, y () = 3 c.) y + 4y + 8y = sin t, y() = 1, y () = d.) y (4) y = sinh t, y() = y () = y () =, y () = 1 e.) y y = e t u(t 1), y() = 1, y () = f.) y + y = e t, y() =, y () = 1 2. Aşağıdaki sınır-değer problemlerini çözünüz. (a) y + λ 2 y = cos λt, y() = 1, y ( π 2λ ) = 1 (b) y + λ 2 y = t, y() = 1, y ( π λ ) = 1 3. y + λ 2 y = bulunuz. { 1 t π t > π diferansiyel denklemnin kalıcı çözümünü 4. Aşağıdaki denklem sistemlerini çözünüz. (a) x + ky = a sin kt y kx = a cos kt x() =, y() = b (b) x + y = 2 sin t y + z = 2 cos t z x =, x() = z() = y () =, x () = y() = 1, z () = 1

48 48 c 2 Faruk Güngör (c) (d) x + y = e t y + x = e t, x() = 3, y() = 1 x y = x y = 2 sin t, x() = 1, x () = y() = y () = 1 Duhamel integrali yardımıyla lineer bir denklemin çözümünün gösterilimi: Teorem 7.9 Bütün başlangıç koşulları sıfır olan, yani ve x (j) () =, j =, 1,..., n 1 d n x a dt n + a d n 1 x 1 dt n a dx n 1 dt + a nx = u(t) denklemini sağlayan çözüm h(t) ise aynı başlangıç koşulları altında denkleminin çözümü d n y a dt n + a d n 1 y 1 dt n a dy n 1 dt + a ny = f(t) y(t) = (f h) = (f h )(t) = f()h(t) + (f h)(t) bağıntıları ile verilir. Bu çözüme kalıcı çözüm denir. Kanıt: Başlangıç koşulları sıfır olduğundan X(s) = L{x(t)} Laplace dönüşümü X(s) = 1 sd(s), D(s) = a s n + a 1 s n a n denklemini sağlar. Sağ yanı f(t) olan denklemin için Y (s) = L{y(t)} ve F (s) = L{f(t)} yazarak Y (s) = F (s) = sf (s)x(s) D(s) yazılabilir. Ters dönüşüm alarak ve Duhamel integralini göz önünde bulundurarak istenen sonucu elde ederiz.

49 c 2 Faruk Güngör 49 Örnek 7.32 denkleminin çözümünü bulunuz. X(s) = x (t) x(t) = e t, x() = x () = 1 s(s 2 s) = 1 s 2 (s 1) = s + 1 s s 1 fonksiyonunun ters dönüşümü h(t) = e t (t + 1) ve verilen denklemin çözümü y(t) = (f h )(t) = = e τ 1 dτ = 1 + et τ h (τ) f(t τ) dτ ( e τ (1 + e t e τ ) ) e t + e τ dτ = e t 1 (e t + 1)[(t + ln 2) ln(e t + 1)] olarak bulunur. Laplace dönüşümü polinom katsayılı denklemlere de uygulanabilir. Ancak bu yöntemin uygulanabiliriği yalnızca katsayıları lineer polinomlar olan denklemlerle kısıtlıdır. Örnek 7.33 ty + 2y + a 2 ty =, y( + ) = a, y(π) = iki-nokta sınır-değer problemini çözünüz. Laplace dönüşümünü alarak d ds [s2 Y (s) sy() y 2 dy (s) ()] + 2(sY (s) y()) a =, ds ve düzenliyerek buluruz. İntegre ederek Y Y (s) = a s 2 + a 2 (s) = arctan a s + c elde ederiz. lim s Y (s) = limitinden c = ve ters dönüşümden y(t) = L 1 {Y (s)} = sin at t

50 5 c 2 Faruk Güngör bulunur. Bu çözüm için y(π) = koşulu sağlanır. Eğer y + t 2 y =, y() = y () = denklemine Laplace dönüşümü uygulanırsa Y (s) = L{y(t)} dönüşümünün Y (s) + s 2 Y (s) = denklemini sağladığını görürüz. Bu ise ilk problemi çözmeye denktir. Yani dönüşümle verilen diferansiyel denklemi daha basit bir denkleme indirgeyemeyiz. Çözülecek Problemler Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin yanlarında belirtilen başlangıç koşullarını sağlayan çözümlerini bulunuz. 1. ty + y + y =, y() = 1 2. ty + y + a 2 ty =, y() = 1, y () = 3. ty + (2t + 3)y + (t + 3)y = 3e t, y() = 4. ty + (1 2t)y 2y =, y() = 1, y () = 2 5. ty + (1 t)y + 2y =, y() = 1, y () = ty + 4y + a 2 y =, y() = 1 7. ty + (2t + 1)y + (5t + 1)y =, y() = 1, y () = İntegral Denklemlere Uygulama Bilinmeyen fonksiyonu integral işareti altında olan denklemlere integral denklem denir. Üst sınırı değişken bir integral ile tanımlı f(t) = g(t) + k(t, τ)f(τ) dτ (7.36) biçiminde bir integral denkleme Volterra denklemi denir. k(t, τ) çekirdek fonksiyonu ve g(t) verilmiş fonksiyonlar, f(t) ise bilinmeyendir. Eğer k(t, τ) = k(t τ) ise Volterra denklemine konvolüsyon tipi integral denklem denir. Laplace dönüşümü bu tür fark çekirdekli integral denklemlerin çözümünde büyük kolaylık

51 c 2 Faruk Güngör 51 sağlar. Denklem f(t) = g(t)+k(t) f(t) biçiminde yazılabilir. F (s) = L{f(t)}, K(s) = L{k(t)}, G(s) = L{g(t)} notasyonu ile denklemin Laplace dönüşümü alınırsa ve F (s) için çözülürse F (s) = G(s) K(s) = G(s) + L(s)G(s), L(s) = 1 K(s) 1 K(s) bulunur. İntegral denklemin çözümünü bulmak için f(t) = L 1 {F (s)} = g(t) + (l g)(t) = g(t) + l(t τ) g(τ) dτ ters dönüşümünü alırız. Burada, l(t) = L 1 {L(s)} dir. Örneğin, k(t) = e at için K(s) = 1/(s + a) ve L(s) = 1/(s (1 a)) dir ve integral denklemin çözümü f(t) = g(t) + olur. Örnek 7.34 Abel İntegral Denklemi: g(t) = e (1 a)(t u) g(u) du = g(t) + e (1 a)t e au g(u) du f(τ) dτ, g() =, < 1 < α (7.37) (t τ) α konvolüsyon tipi Abel integral denkleminin çözümünün f(t) = sin πα π d dt ile verildiğini gösterin. İntegral denklemin Laplace dönüşümü alalım: g(τ) dτ (7.38) (t τ) 1 α Γ(1 α) 1 sg(s) G(s) = F (s) s 1 α F (s) = Γ(1 α) s α. F (s) fonksiyonunun ters dönüşümü ise f(t) = olarak elde edilir. Yukarıda 1 Γ(α)Γ(1 α) (g t α 1 ) L 1 { 1 s α } = 1 Γ(α) tα 1

52 52 c 2 Faruk Güngör dönüşümünü kullandık. O halde, Duhamel iintegralinden ve (??) formülünden, f(t) çözümü (7.38) biçiminde yazılabilir. Eğer, g() ise çözüm f(t) = sin πα [g()t α 1 + (g t α 1 )] π formülü ile verilir. Abel integral denkleminin bir uygulaması olarak aşağıdaki problemi veriyoruz. Örnek 7.35 Eş-zaman Problemi: Düzlemde öyle bir eğri bulunuz ki, bu eğri boyunca orijine doğru hareket eden bir parçacığın iniş süresi başlangıç noktasından bağımsız olsun. Parçacığın t = başlangıç anındaki konumu (x, y), herhangibir t anındaki konumu da (u, v) olsun. Hareketi sürtünmesiz varsayarsak, enerjinin korunumu ilkesine göre 1 2ṡ mgv = 1 2 mgy ṡ2 = 2g(y v) bağıntısı geçerli olur. Burada s orijinden başlayarak ölçülen yay uzunluğudur. ṡ < olduğu gözönüne alınır (yay uzunluğu artan zamanla azalıyor) ve (x, y) ve (, ) noktaları arasında integre edilirse T iniş süresi T dt = 1 2g y ds T (y) = 1 y y v 2g s (v) dv y v olarak ifade edilebilir. s yay uzunluğu olduğundan f(y) = s (y) = 1 + x (y) 2 tanımı ile iniş süresi y başlangıç yüksekliğine bağlı olarak T (y) = 1 2g y f(v) dv y v formülü ile hesaplanır. Şimdi ters problemi düşünelim. Yani, iniş süresi verilen bir eğrinin belirlenmesi problemini çözmek isteyelim. O zaman Abel tipi bir integral denklemi çözmemiz gerekir. Daha özel olarak, eğer iniş süresinin T (y) = T sabit, yani yüksekliğe bağlı olmaması koşulunu koyarsak eş-zaman probleminin çözümü T = 1 2g y f(v) dv y v

f(t)e st dt s > 0 Cebirsel denklem s- tanım bölgesi L 1 Unutulmamalıdır ki, farklı türden tanım ve değer uzayları arasında

f(t)e st dt s > 0 Cebirsel denklem s- tanım bölgesi L 1 Unutulmamalıdır ki, farklı türden tanım ve değer uzayları arasında Bölüm #2 Laplace Dönüşümü F (s) = f(t)e st dt s > şeklinde tanımlanan dönüşüme LAPLACE dönüşümü adı verilir ve kısaca L{f(t)} ile sembolize edilir. Diferansiyel denklemlerin Çözümünde Laplace dönüşümü

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

Kesirli Türevde Son Gelişmeler

Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever Ders #2 Otomatik Kontrol Laplas Dönüşümü Prof.Dr.Galip Cansever Pierre-Simon Laplace, 1749-1827 Matematiçi ve Astronomdur. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/biographies/laplace.html LAPLAS DÖNÜŞÜMÜ

Detaylı

SİNYALLER ve SİSTEMLER

SİNYALLER ve SİSTEMLER SİNYALLER ve SİSTEMLER 1. Sinyallerin Sınıflandırılması 1.1 Sürekli Zamanlı ve Ayrık Zamanlı Sinyaller 1.2 Analog ve Sayısal Sinyaller Herhangi bir (a,b) reel sayı aralığında bir x(t) sinyali sonsuz değer

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

B ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I

B ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I Bölüm 5 ANALOG İŞARETLERİN SPEKTRUM ANALİZİ 10 Bölüm 5. Analog İşaretlerin Spektrum Analizi 5.1 Fourier Serisi Sınırlı (t 1, t 2 ) aralığında tanımlanan f(t) fonksiyonunun sonlu Fourier serisi açılımı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi

FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Adi Diferensiyel Denklemler 1. BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3. BÖLÜM 2 Lineer İkinci MertebeDenklemler 43

Adi Diferensiyel Denklemler 1. BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3. BÖLÜM 2 Lineer İkinci MertebeDenklemler 43 İçindekiler Ön Söz xiii 1 Adi Diferensiyel Denklemler 1 BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3 1.1 Terminololoji ve Değişkenlerine Ayrıştırılabilir Denklemler 3 1.2. Lineer Denklemler 16 1.3

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler.

8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Schrödinger denklemi Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Köşeli parantez içindeki terim, dalga fonksiyonuna etki eden bir işlemci olup, Hamilton

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması

10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması 10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Laplace Devre Çözümleri Aşağıdaki devrenin

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

Genel Bilgiler. Giriş Titreşimlerin Sebepleri Titreşimlerin Sonuçları Sistemlerin Titreşim Analizi Titreşim ve İnsan

Genel Bilgiler. Giriş Titreşimlerin Sebepleri Titreşimlerin Sonuçları Sistemlerin Titreşim Analizi Titreşim ve İnsan Kaynaklar: Makina Dinamiği Yıldız Teknik Üniversitesi Yayını, Prof.Necati Tahralı Prof.Dr.Faris Kaya Y.Doç.Dr.İsmail Yüksek Y.Doç.Dr.Rahmi Güçlü. Mekanik Titreşimler Ders Notları, Prof.Dr.Özgür Turhan.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar

MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar MIT Açık Ders Malzemesi http://ocw.mit.edu 8.334 İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar Bu malzemeye atıfta bulunmak ve Kullanım Şartlarımızla ilgili bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu İşaret ve Sistemler Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu Fourier Serileri Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına dönüştürülür

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Tüm uygulamalar için aşağıdaki

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

Fizik Dr. Murat Aydemir

Fizik Dr. Murat Aydemir Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri

Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Analog alçak geçiren bir filtrenin genlik yanıtı H a (jω) aşağıda gösterildiği gibi verilebilir. Ω p : Geçirme bandı kenar frekansı Ω s : Söndürme bandı kenar

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı