HAYVANCILIKTA TEKRARLANAN ÖLÇÜMLERİN ANALİZİNDE KULLANILAN FARKLI MODELLERİN KARŞILAŞTIRILMASI VE SAS UYGULAMALARI

Transkript

1 HAYVANCILIKTA TEKRARLANAN ÖLÇÜMLERİN ANALİZİNDE KULLANILAN FARKLI MODELLERİN KARŞILAŞTIRILMASI VE SAS UYGULAMALARI Doç.Dr.Yavuz AKBAŞ 1 Doç.Dr.Mehmet Ziya FIRAT 2 Araş.Gör.Çiğdem YAKUPOĞLU 3 1 Ege Üniversitesi Ziraat Fakültesi Zootekni Bölümü Bornova, İzmir, yavuz@ziraat.ege.edu.tr 2 Akdeniz Üniversitesi Ziraat Fakültesi Zootekni Bölümü Bornova, İzmir, mzf@agric.akdeniz.edu.tr 3 Ege Üniversitesi Ziraat Fakültesi Zootekni Bölümü Bornova, İzmir, cigdem@ziraat.ege.edu.tr Özet: Bir özelliğin belirli bir zaman dizisinde birden fazla ölçülerek elde edilmesi tekrarlanan ölçümler olarak tanımlanmaktadır. Hayvancılıkta tekrarlanan ölçümlerin kullanımı giderek artan bir öneme sahiptir. Tekrarlanan ölçümlerin analiz edilmesi klasik veri analizlerinden farklılıklar göstermektedir. Tekrarlanan ölçümleri dikkate alarak analiz yapan bilgisayar programlarının yazılmış olması, karmaşık ve yoğun hesaplama gerektiren bu tip analizlerin dezavantajlarını önemli ölçüde ortadan kaldırmıştır. Bu çalışmada tekrarlanan ölçümler yapısındaki Japon bıldırcınlarına ait haftalık canlı ağırlık verileri kullanılmıştır. Tekrarlanan ölçümler arası kovaryans yapısı Compound Symmetry (CS), Autoregressive (AR(1)), Unstructure (UN) ve Huynh-Feldt (HF) yaklaşımları ile tanımlanarak dokuz farklı analiz ile modellenmiştir. Sözkonusu modeller veri setine uyum açısından Log-L (REML log-likelihood), AIC (Akaike's Information Criterion), SBC (Schwarz's Bayesian Criterion) ile karşılaştırılmıştır. Veri setine en iyi uyum UN kovaryans yapısı tanımlanmasında elde edilmiştir. UN ile karşılaştırıldığında CS ve HF en kötü uyumu vermiş olup AR(1) daha yakın bir uyum sağlamıştır. Bu çalışmada tekrarlanan ölçümlerin analizi bakımından SAS istatistik paket programının GLM ve MIXED procedürleri kullanılmış ve karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Tekrarlanan ölçümler, kovaryans yapısı, modelleme, büyüme eğrisi verileri Comparison of Different Models Used in the Analysis of Repeated Measurements in Animal Science and Their SAS Applications Abstract: Repeated measures term is used for multiple responses of a trait on the same animal over time such as weekly weight measurents. Repeated measures experiments have been used commonly in animal science for a long time, but only in recent years there have been big developments in methodological and computational issues that permit to analyse them effectively. Models and analyses of repeated measurements differ substantially from clasical models and analyses. Softwares are available in recent years to overcome the disadvantage of the use of the models with repeated measurements. In this study repeated measurements from growth curve data of a Japanese quail population were modelled by nine analyses considering different variance-covariance sutructure such as Compound Symmetry (CS), Autoregressive (AR(1)), Unstructure (UN)and Huynh-Feldt (HF). The models were compared using goodness of fit criteria as the REML log-likelihood, Akaike's Information Criterion (AIC), Schwarz's Bayesian Criterion (SBC). The results show that all the criteria favor the Unstructure for the data set. UN had considerable improvement in the criteria over CS and HF, but at least marjinal improvement over AR(1). In this study GLM and MIXED procedures of SAS statistical pakage were used and compared in terms of analyses of repeated measurements. Keywords: Repeated measurements, covariance structure, modelling, growth curve data 1. Giriş Tekrarlanan ölçümler, birey, hayvan veya makina gibi aynı deneme ünitesinden belirli bir zaman dizisinde birden fazla ölçümün yapılması ile elde edilmektedir. Hayvancılıkta bu tip verilere en iyi örnek, her bireyin belirli bir zaman sürecinde büyümesinin tanımlandığı büyüme eğrisi verileridir. Aynı deneme ünitesinden alınan bu ölçümlerin analizi, klasik analizlerden bazı farklılıklar göstermektedir. Çünkü aynı üniteden ölçülen gözlemler arasında bir ilişki sözkonusudur. Bilindiği gibi varyans analizinin varsayımlarında hata terimlerinin birbirinden bağımsız ve buna bağlı olarak gözlemlerin birbirleriyle eşit korelasyona sahip oldukları kabul edilmektedir. Bununla birlikte tekrarlanan ölçümlerde birbirine yakın gözlemler, uzak gözlemlere göre daha ilişkili olup genellikle heterojen bir varyasyon gösterirler. Tekrarlanan ölçümlerin analizinde veriler arasındaki kovaryans yapısının uygun şekilde tanımlanması üzerinde durulmaktadır. 1

2 Tekrarlanan ölçümlerin analizi temel olarak dört farklı yaklaşımla gerçekleştirilmektedir. Bunlar en basit olandan en karmaşık olana doğru sıralanacak olursa: a) Her bir tekrarlanan ölçümün ayrı ayrı analizi, b) Split-plot yapısında tek değişkenli (univariate) varyans analizi, c) GLM de REPEATED tanımlamasını kullanarak kontrast değişkenleri ile tekrarlanan gözlemlerin tek veya çok değişkenli analizi ve d) Farklı şekillerde kovaryans yapısının tanımlandığı karışık model analizleridir. Bu analiz şekillerinden ilki gerçek anlamda tekrarlanan ölçümlerin analiz yolu değildir. Çünkü bu durumda zamana bağlı değişimler incelenememektedir. Yaygın bir şekilde kullanılan bu durumda klasik yöntemlerle analizler gerçekleştirilmektedir. Tekrarlanan ölçümlerin dikkate alındığı diğer analiz şekilleri ise bu çalışmada incelenecek ve karşılaştırılacaktır. Tekrarlanan ölçümlerin analizini yapan bilgisayar programlarının yazılmış olması, yoğun hesaplama gerektiren bu tip analizlerin dezavantajlarını önemli ölçüde ortadan kaldırmıştır. Bu çalışmada sözkonusu programlardan SAS ın tekrarlanan ölçümlerin analizinde kullanılan GLM ve MIXED basamakları tanıtılacaktır. Bunlardan GLM geleneksel yaklaşımla tek ve çok değişkenli analizleri yaparken, MIXED ise aynı analizleri kovaryans yapısını farklı şekillerde tanımlanmasına izin vererek gerçekleştirmektedir (Wolfinger ve Chang, 1995). Bu çalışmada tekrarlanan ölçümler arası kovaryans yapısını farklı şekillerde tanımlayan bazı modeller tanıtılacak ve bir uygulama ile modeller karşılaştırılacaktır. 2. Materyal ve Yöntem Bu çalışmada Japon bıldırcınlarının canlı ağırlık verileri kullanılmıştır. Veriler, 42 baba ve 168 anadan elde edilen 1053 adet bıldırcının haftalık, bireysel canlı ağırlıklarından oluşmaktadır. Sözkonusu bıldırcın populasyonu ve verilerin elde edilişi ile ilgili detaylı bilgiler, Akbaş ve Yaylak (2000) ta tanımlanmıştır. Analizlerde tek ve çok değişkenli yapıda iki tip veri seti kullanılmıştır. Tek değişkenli veri seti UNI olarak isimlendirilmiş olup her bireyin her gözlemi ayrı bir satırda tanımlanmıştır. Buna göre UNI veri seti birey, baba, ana, eşey, zaman, w kolonlarından oluşmuştur. Çok değişkenli veri seti MULT ise birey, baba, ana, eşey, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7 yapısındadır. Değişkenlerden w, bütün tekrarlanan ölçümleri içeren canlı ağırlıkları, w1,..., w7 ise sırasıyla çıkış, 1.,...,6 hafta canlı ağırlıklarını tanımlamaktadır. Analizlerde aşağıdaki genel doğrusal model kullanılmıştır: Y = Xβ + Zu + e Modelde β ve u, sırasıyla sabit ve şansa bağlı etkilere ait vektörleri, X ve Z ise ilgili etkilere ait desen matrislerini göstermektedir. u, ortalama vektörü 0, kovaryans matrisi G olan çoklu normal dağılışa (MVN(0, G)) sahiptir. e ise MVN(0, R) yapısındadır. Y nin kovaryans matrisi V(Y) = ZGZ + R dir. Diğer bir gösterimle modelimiz aşağıdaki şekildedir: Y ijk = µ + a i + b ij +c k + (ac) ik + e ijk Modelde a i, i nci sabit eşey etkisi, b ij, i ninci eşey içinde j nci bireyin şansa bağlı etkisi, c k, k ıncı sabit zaman etkisi, (ac) ik, sabit eşey*zaman etkileşimi, e ijk, şansa bağlı hata etkisidir. Tekrarlanan ölçümler yapısındaki veri setimiz, a) split-plot yapısında tek değişkenli varyans analizi, b) GLM de REPEATED komutu ile kontrast değişkenleri kullanarak gerçekleştirilen tek ve çok değişkenli analizlerle ve c) farklı şekillerde kovaryans yapısının tanımlandığı karışık modellerle analiz edilmiştir. Analizler SAS istatistik paket programı (Littell ve ark, 1996) ile gerçekleştirilmiştir. Analizlerin detayları, analizde kullanılan SAS programları ve sonuçları Sonuçlar ve Tartışma bölümünde verilmiştir. 3. Sonuçlar ve Tartışma 3.1. Split-Plot Yapısında Tek Değişkenli Varyans Analizi (SP) ve Sonuçları Tekrarlanan gözlemler ile split-plot denemeler arasında benzerlikler vardır. Tekrarlanan gözlemler analizinde üniteler-arası faktör, split-plot denemelerdeki ana-parsele, üniteler-içi faktör (zaman) ise 2

3 split-plot denemelerdeki alt-parsele benzemektedir. Bununla birlikte split-plot denemelerde altparselin düzeyleri, ana-parsel altındaki alt parsellere rastgele atanmaktadır. Dolayısıyla aynı anaparsel içindeki alt-parsellerden elde edilen gözlemler birbirleri ile eşit düzeyde ilişkili kalmaktadır. Fakat tekrarlanan gözlemlerde zaman olarak birbirine yakın noktalardan elde edilen gözlemler, uzak olanlara göre daha yüksek ilişkili bir yapı sergilemektedir. Nitekim bu araştırmada da gözlemler arasındaki korelasyonlar da benzer eğilim göstermiştir (Çizelge 1). Bu nedenledir ki tekrarlanan gözlemlerde sözkonusu ilişkileri daha uygun tanımlayan analiz şekillerine ihtiyaç duyulmaktadır. Çizelge 1. Tekrarlanan gözlemler arasındaki korelasyon değerleri W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W W W W W W W Split-plot analizinde modelde G = σ 2 SI; R = σ 2 ei; V(Y) = σ 2 S ZZ + σ 2 ei varsayımları yapılmaktadır. V(Y) varyans kovaryans matrisi, blok köşegen yapıda olup her bireye karşılık bir köşegen blok vardır. V(Y)=V(b ij + e ijk )= σ 2 S+σ 2 e ve herhangi iki gözlem arası kovaryans ise Cov(Y ijk, Y ijk )= V(d ij )= σ 2 S olduğundan, bizim örneğimiz için 7x7 boyutundaki her bloğun köşegeninde gözlemlerin varyansı olan σ 2 S+σ 2 e değerleri, köşegen dışında ise σ 2 S değeri bulunmaktadır. Bu yapı Çizelge 2 de verilen Compound Symmetry yapısı ile aynıdır. Fakat tanımlanan bu kovaryans yapısı gerçekci görünmemektedir. Çünkü tekrarlanan ölçümlerde zaman olarak birbirine yakın gözlemler, diğerlerine göre birbiri ile daha ilişkilidir. Çizelge 2. Tekrarlanan ölçümler arası farklı kovaryans yapıları Kovaryans Dört tekrarlanan ölçümlü durumda ölçümler arası yapısının adı varyans-kovaryans yapısı Parametre sayısı σ 2 e+σ S σ S σ S σ S σ 2 e+σ S σ S σ S 2 Compound Simmetry, CS σ 2 e+σ S σ S σ 2 e+σ S 1 ρ ρ 2 ρ 3 Birinci dereceden σ 2 1 ρ ρ 2 2 Autoregressive, AR(1) 1 ρ 1 σ 2 11 σ 12 σ 13 σ 14 σ 2 22 σ 23 σ 24 Unstructured (UN) σ 2 33 σ σ 2 44 σ 2 1 (σ 2 1+ σ 2 2)/2-λ (σ 2 1+ σ 2 3)/2-λ (σ 2 1+ σ 2 4)/2-λ σ 2 2 (σ 2 2+ σ 2 3)/2-λ (σ 2 2+ σ 2 4)/2-λ Huynh-Feldt (HF) σ 2 3 (σ 2 3+ σ 2 4)/2-λ 5 σ 2 4 Matrislerin köşegen altı değerleri üst köşegen ile aynı olduğu için yazılmamıştır. ρ iki gözlem arasındaki korelasyonu açıklamaktadır. λ, HF kovaryans yapısına ait parametre Split-plot yapısında tek değişkenli varyans analizi (SP), biri GLM (program-1), diğeri MIXED prosedüründe (program-2) olmak üzere iki farklı yolla gerçekleştirilmiştir. 3

4 Program-1 proc glm data=uni; class eşey birey zaman; model w = eşey birey(eşey) zaman eşey*zaman; random birey(eşey) / test; lsmeans eşey / stderr e=birey(eşey); lsmeans eşey*zaman / pdiff; Program-2 proc mixed data=uni; class eşey birey zaman; model w = eşey zaman eşey*zaman; random birey(eşey); Program 1 ve 2 nin çalıştırılması sonucunda elde edilen komponent değerleri Çıktı-1 de verilmiştir. Buna göre σ 2 S= 92.7, σ 2 e = 84.2 olarak tahmin edilmiştir. Eşey, Zaman ve Eşey*zaman etkileşimi önemli (P<0.01) bulunmuştur. Çıktı-1. Split-plot yaklaşımları sonucu tahminlenen komponent değerleri Covariance Parameter Estimates (REML) Cov Parm Ratio Estimate Std Error Z Pr > Z BIREY(EŞEY) Residual GLM de REPEATED Tanımlamasını Kullanarak Kontrast Değişkenleri ile Tekrarlanan Gözlemlerin Tek ve Çok Değişkenli Analizler ve Sonuçları: Tekrarlanan gözlemlerde kontrast değişkenler, bireylerden zamana bağlı olarak elde edilen gözlemlerin doğrusal kombinasyonlarıdır. Bu tanımlamanın en yaygın şekli, ortogonal polinomiyallerdir. Farklı yapıda kontrast tanımlamaları da mümkündür. Kontrast tanımlamalı bu tip analizlere ait iki uygulama Program-3 ve 4 şeklinde aşağıda verilmiştir. Program-3 proc glm data=mult; class eşey; model w1-w7 = eşey /nouni; repeated zaman 7 ( ) / printe; Program-4 proc glm data=mult; class eşey; model w1-w7 = eşey /nouni; repeated zaman 7 ( ) polynomial / summary; Bu analizler çok değişkenli veri seti olan MULT kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Program-4 de polinomiyal kontrast tanımlaması yapılmış, Program-3 te ise bu yönde herhangi bir tanımlama belirtilmemiştir. Kontrast tanımlamasının belirtilmediği Program-3 de genel seçenek olan Deviation kontrast yapısı kullanılmaktadır. Deviation yapısında her düzeyin ortalamasının, bütün düzey ortalamalarından farkı esas alınmaktadır. Bu analizlerde printe opsiyonu ile hangi analiz yaklaşımının (tek veya çok değişkenli) seçileceğine karar vermede kullanılan Sphericity testi (Mauchly, 1940) sonuçlarına da ulaşılabilmektedir. Sphericity sonuçları Çıktı-2 de verilmiştir. Çıktıda iki tip Sphericity sonucuna ulaşılmaktadır. Ünite içi etkilerin önemliliklerinin belirlenmesinde hangi test yöntemlerinin kullanılacağına karar vermede bu test önemlidir. Bu test, ünite içi kovaryans matrisinin Huynh-Feldt yapısında olup olmadığını yani tek değişkenli varyans analizine ait varsayımların geçerli olup olmadığını kontrol eder. Çünkü tek değişkenli tekrarlanan ölçümlü F-istatistiği, ancak ünite içi varyans-kovaryans matrisinin Huynh-Feldt yapısında olduğu durumda F-dağılışı göstermektedir (Huynh-Feldt, 1970). Bu nedenle eğer sözkonusu yapı sağlanıyorsa analizde tek değişkenli split-plot yaklaşımı rahatlıkla kullanılabilmektedir. Çünkü bu durumda elde edilen F testi geçerli ve güçlüdür. Veri setimizde gerçekleştirilen analiz sonuçları incelendiğinde Sphericity testine ait olasılık değeri, α değerimizden oldukça düşüktür. Bu durumda sökonusu varsayımın geçerli olmadığı sonucuna varılır. Yani koşul sağlanmadığından, varyans-kovaryansların eşit olmadığı, split-plot yapısındaki tek değişkenli varyans analizinin veri setimiz için geçerli bir analiz şekli olmadığı anlaşılmıştır. Bu durumda ya düzeltilmiş tek değişkenli analizler veya çok değişkenli analizlerden yararlanılmalıdır. 4

5 Çıktı-2. Proc GLM ile yapılan Sphericity testi sonuçları Test for Sphericity: Mauchly's Criterion = Chisquare Approximation = with 20 df Prob > Chisquare = Applied to Orthogonal Components: Test for Sphericity: Mauchly's Criterion = Chisquare Approximation = with 20 df Prob > Chisquare = Düzeltilmiş tek değişkenli analiz sonuçları Çıktı-3 de verilmiştir. Bu durumda tek değişkenli analiz sonuçlarının serbestlik derecelerinde düzeltmeler yapılmaktadır. Çıktı-3 de ünite içi değişkenler olan zaman ve zaman*eşey etkilerine ait standart ve düzeltilmiş tek değişkenli analiz sonuçları verilmiştir. SAS iki tip düzeltme faktörü sunmaktadır Bunlar Greenhouse-Geisser Epsilon (G-G) ve Huynh-Feldt Epsilon (H-F) dur. G-G, gruplar arasındaki bazı gerçek farklılıkları belirlememe yönünde fazla tutucu bir yapı sergilediğinden, H-F düzeltmesi daha yaygın olarak kullanılmaktadır. Sphericity testi sonuçları, bu düzeltmeler dikkate alınarak testlerin yapılmasının gerekli olduğunu göstermektedir. Çıktı-3. Bireyler içi etkilerin Proc GLM ile testine ait sonuçlar General Linear Models Procedure Repeated Measures Analysis of Variance Univariate Tests of Hypotheses for Within Subject Effects Source: ZAMAN Adj Pr > F DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F G - G H - F Source: ZAMAN*EŞEY Adj Pr > F DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F G - G H - F Source: Error(ZAMAN) DF Type III SS Mean Square Greenhouse-Geisser Epsilon = Huynh-Feldt Epsilon = Sphericity testinin önemli bulunması durumunda düzeltilmiş tek değişkenli analizler yerine çok değişkenli analizlerde kullanılabilir. Proc GLM ile ünite içi zaman ve zaman*eşey etkileşimine ait çok değişkenli test sonuçları Çıktı-4 de verilmiştir. Sphericity testinin önemli olması nedeniyle bu test sonuçları kullanılmalıdır. Zaman ve zaman*eşey etkilerimi her durumda önemli bulunmuştur. Sphericity testi sonuçları önemli çıkmasaydı, bu testler hala geçerli olmakla birlikte, tek değişkenli analiz sonuçları kadar güçlü bir yapı sergilememektedir. Çıktı-4. Proc GLM ile ünite içi zaman ve zaman*eşey etkileşimine ait çok değişkenli test sonuçları Manova Test Criteria and Exact F Statistics for the Hypothesis of no ZAMAN Effect H = Type III SS&CP Matrix for ZAMAN E = Error SS&CP Matrix S=1 M=2 N=522 Statistic Value F Num DF Den DF Pr > F Wilks' Lambda Pillai's Trace Hotelling-Lawley Trace Roy's Greatest Root Manova Test Criteria and Exact F Statistics for the Hypothesis of no ZAMAN*EŞEY Effect H = Type III SS&CP Matrix for ZAMAN*EŞEY E = Error SS&CP Matrix S=1 M=2 N=522 5

6 Çıktı-4 ün devamı Statistic Value F Num DF Den DF Pr > F Wilks' Lambda Pillai's Trace Hotelling-Lawley Trace Roy's Greatest Root GLM ile yapılan bu analiz sonuçlarında, üniteler arası tek etki olan eşey etkisine ait F-testi sonuçları Çıktı-5 te verilmiştir. Analiz sonuçlarına göre canlı ağırlık gelişimi bakımından eşey farklılığı önemli bulunmuştur. Bu testin geçerliliği için Sphericity testine gerek duyulmamaktadır. Çıktı-5. Bireyler arasi etkilerin Proc GLM ile testi General Linear Models Procedure Repeated Measures Analysis of Variance Tests of Hypotheses for Between Subjects Effects Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F EŞEY Error Zaman değişkenini polinomiyal bir yapıda dikkate almak genellikle daha uygundur. Bu durumda Program-4 kullanılarak polinomiyal konrast tanımlaması yapılabilir. Polinomiyal kontrastlar yolu ile zamanın doğrusal, kuadratik, kübik şeklindeki etkileri incelenir. Program-4 ün çalıştırılması ile elde edilen sonuçlar Çıktı-6 da verilmiştir. Çıktı-6 da ZAMAN.1 in MEAN değeri zamanın doğrusal etkisini, ZAMAN.2 nin MEAN değeri ise zamanın ikinci dereceden yani kuadratik etkisini açıklamaktadır. Zamanın diğer etkileri (kübik vb) benzer şekilde sırayla verilmiştir. Zamanın bu şekilde 5.düzeye kadar etkisi önemli bulunmuştur (Çıktı-6). Çıktı-6. Polinomiyal konrast tanımlaması yapılan Program-4 ün sonuçları General Linear Models Procedure Repeated Measures Analysis of Variance Analysis of Variance of Contrast Variables ZAMAN.N represents the nth degree polynomial contrast for ZAMAN Contrast Variable: ZAMAN.1 MEAN EŞEY Error Contrast Variable: ZAMAN.2 MEAN EŞEY Error Contrast Variable: ZAMAN.3 MEAN EŞEY Error Contrast Variable: ZAMAN.4 MEAN EŞEY Error

7 Çıktı-6 nın devamı Contrast Variable: ZAMAN.5 MEAN EŞEY Error Contrast Variable: ZAMAN.6 MEAN EŞEY Error Proc GLM de Program-4 ile polinomiyal kontrast tanımlaması yapmak yerine benzer tanımlama Program-5 ile Proc MIXED te gerçekleştirilebilir. Proc MIXED de zaman etkisi regresyon terimi olarak modele alınmıştır. Program-5 in çalıştırılması ile Çıktı-7 de sunulan sonuçlar elde edilir. Program-5 proc mixed; class eşey birey; model w = eşey zaman zaman zaman zaman zaman zaman / htype=1; repeated /sub=birey(eşey) type=un; Çıktı-7. Program-5 kullanılarak elde edilen polinomiyal etkilere ait sonuçlar Tests of Fixed Effects Source NDF DDF Type I F Pr > F EŞEY ZAMAN ZAMAN*EŞEY ZAMAN*ZAMAN ZAMAN*ZAMAN*EŞEY ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*EŞEY ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*EŞEY ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*EŞEY ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*ZAMAN*SE Program-4 ve Program-5 in sonuçları olan Çıktı-6 ve Çıktı-7 karşılaştırıldığında polinomiyal değerlere ait Type I F değerlerinin birbiri ile aynı olduğu görülmektedir. Bu F testleri sırasında tam modelin varyans-kovaryans yapısı kullanılmaktadır. Alt modellerin uyumu ile modellerin etkinliği araştırılabilir. Fakat proc GLM de tanımlanan Program-4 ile bu işlem başarılamaz. Ancak Proc MIXED ile alt modeller çalıştırılarak alt modeller arası karşılaştırmalara gidilebilir Farklı Şekillerde Kovaryans Yapısının Tanımlandığı Karışık Model Analizler ve Sonuçları: Proc MIXED te RANDOM komutu G matrisini, REPEATED komutu ise deneysel ünite içindeki varyasyonu yani R matrisini kontrol etmekte ve modellemektedir (Littell ve ark., 1996). Bu modellemeler çeşitli şekillerde yapılabilmektedir. Ünite içindeki kovaryans yapısını tanımlamada kullanılan en yaygın yapılar, Compound Symmetry, birinci dereceden Autoregresive, Unstructured ve Huynh-Feldt dir. Bunlar REPEATED komutunda, sırasıyla CS, AR(1), UN ve HF şeklinde tanımlanmaktadır. CS, AR(1), UN ve HF durumunda ünite içi ölçümler arasındaki 7

8 varyans-kovaryans yapıları Çizelge 2 de verilmiştir. Çizelge 2 den de görülebileceği gibi CS ve AR(1) durumunda homojen bir yapı sözkonusudur. Bu iki durumda ana diagonaldeki varyans değerleri sabittir. CS de bütün zamanlardaki ölçümler aynı varyansa sahip olup, gözlem değerleri arasındaki korelasyonlar da sabittir. AR(1) de ise kovaryans değerleri zamana bağlı olarak üssel (eksponential) bir şekilde azalma göstermektedir. UN durumunda varyans ve kovaryanslar için herhangi bir varsayım olmayıp, heterojen bir yapı sözkonusudur. HF durumunda varyanslar farklılık göstermekte, kovaryanslar ise varyansların ve λ nın birer fonksiyonu durumundadır. CS, AR(1), UN ve HF kovaryans yapılarına ait parametre sayıları farklılık göstermektedir. Çizelge 2 de tekrarlanan dört ölçüm durumu için parametre sayıları verilmiştir. Veri setimizde CS, AR(1), UN ve HF kovaryans yapılarında kullanılan parametre sayıları sırasıyla 2, 2, 28 ve 8 dir. CS kovaryans yapısında ölçüm zamanları arasındaki uzaklık dikkate alınmamakta, tekrarlanan ölçümler arası kovaryansın sadece bireylerin etkisi sonucu oluştuğu kabul edilmektedir. Bu yapı geçerli ise tek değişkenli ANOVA sonuçları geçerliliğini sürdürmektedir. Fakat bu durumda enküçük-kareler ortalamalarının (EKKO) standart hataları ve bu ortalamaların testleri geçerli olmayabilir. CS yapısı Proc MIXED te iki şekilde tanımlanabilir. Bunlardan birincisi Program-5, diğeri ise Program-6 kullanımı ile gerçekleştirilir. Program-5 te RANDOM, Program-6 da ise REPEATED komutları kullanılarak CS tanımlaması yapılmıştır. Program-6 proc mixed; class eşey birey zaman; model w = eşey zaman eşey*zaman; repeated zaman /sub=birey(eşey) type=cs r rcorr; Program-6 da TYPE seçeneği ile farklı kovaryans yapıları da tanımlanabilir. CS yerine UN, AR(1), HF gibi diğer kovaryans yapıları da tanımlanabilir. Bu çalışmada ele alınanların dışında daha bir çok kovaryans yapısını SAS ta tanımlamak mümkündür (SAS, 2001). Dört farklı kovaryans yapısı dikkate alınarak gerçekleştirilen analizlerden elde edilen REML sonuçları ve varyans-kovaryans matrisleri CS için Çıktı-8 de, UN için Çıktı-9 da, AR(1) için Çıktı-10 da ve HF için ise Çıktı-11 de verilmiştir. Çıktı-8. CS kovaryans yapısına ait komponent tahminleri ve varyans-kovaryans matrisi Covariance Parameter Estimates (REML Cov Parm Ratio Estimate Std Error Z Pr > Z ZAMAN CS Residual Çıktı-9. AR(1) kovaryans yapısına ait komponent tahminleri ve varyans-kovaryans matrisi Covariance Parameter Estimates (REML) Cov Parm Ratio Estimate Std Error Z Pr > Z ZAMAN AR(1) Residual

9 Çıktı-10. UN kovaryans yapısına ait varyans-kovaryans matrisi Çıktı-11. HF kovaryans yapısına ait komponent tahminleri ve varyans-kovaryans matrisi Cov Parm Estimate DIAG VAR(1) VAR(2) VAR(3) VAR(4) VAR(5) VAR(6) VAR(7) HF Residual HF=λ Sözkonusu kovaryans yapılarından hangisi kullanılmalıdır? Bu soruya cevap verebilmek için farklı kriterler önerilmiştir. Farklı kovaryans yapısını tanımlayan modellerin karşılaştırmasında kullanılan kriterler ve düzeyleri Çizelge 3 de verilmiştir. Modelleri karşılaştırmada kullanılan kriterlerden en yaygın olanları, Log-L (REML log-likelihood), AIC (Akaike's Information Criterion), SBC (Schwarz's Bayesian Criterion) dir. Bu kriterler bakımından en yüksek değere sahip olan model, en iyi model olarak kabul edilmektedir. Bu çalışmada her üç kriter 9

10 bakımından da veri setine en iyi uyumu sağlayan modelin UN kovaryans yapısının tanımlandığı model olduğu anlaşılmaktadır. Bu kriterlere göre CS nin iyi uyum sağlamaması, Çıktı-2 deki Sphericity testi sonuçlarını destekler niteliktedir. Kriterlere göre en iyi model UN çıkmakla birlikte, modelleri kendi aralarında Likelihood ratio test ile karşılaştırabiliriz. Bu amaçla Çizelge 3 de verilen -2 REML Log Likelihood değerlerinden yararlanılmaktadır. Karşılaştırılan iki modelin sözkonusu değerlerinin farkı, modellerin parametre sayıları arasındaki fark kadar serbestlik derecesine sahip X 2 dağılışı göstermektedir. Böylece uygulanacak X 2 testi ile modeller karşılaştırılabilir. Uygulanan X 2 testlerine göre modellerimiz arasındaki farklılıklar önemli bulunmuştur. Her modelin standart en küçük kareler yaklaşımı (σ 2 I) ile karşılaştırılması da Likelihood Ratio Test- LRT yardımıyla yapılmıştır. Bu analize ait bilgiler Çizelge 3 ün son üç satırında verilmiştir. Bu satırlardan birincisi testin X 2 değerini, ikincisi bu analize ait serbestlik derecesini, üçüncüsü ise önemliliğe ait olasılık değerini göstermektedir. Buna göre bütün kovaryans yapıları standart en küçük kareler yaklaşımından önemli düzeyde daha iyi uyum sağlamıştır. Çizelge 3. Modellerin karşılaştırmasında kullanılan bazı kriterler Açıklama SP veya CS AR(1) UN HF Gözlem sayısı Varyans Tahmini Standard Sapma Tahmini REML Log Likelihood Akaike's Information Criterion (AIC) Schwarz's Bayesian Criterion (SBC) REML Log Likelihood Null Model LRT Chi-Square Null Model LRT DF Null Model LRT P-Value SP, Program-2 ile tanımlanan modeli açıklamaktadır Sabit etkilere ait sonuçların geçerli olabilmesi için kovaryans yapısının doğru olarak modellenmesine gereksinim vardır. Sabit etkilerin önemlilikleri açısından modeller karşılaştırılmış ve sonuçlar Çizelge 4 te verilmiştir. Çizelge 4. Sabit etkilerin önemliliklerine ilişkin sonuçlar (F ve olasılık değerleri) SP / CS AR(1) UN HF Source F Pr > F F Pr > F F Pr > F F Pr > F EŞEY ZAMAN EŞEY*ZAMAN SP, Program-2 ile tanımlanan modeli açıklamaktadır Eşey, zaman ve eşey*zaman etkileşimi her durumda önemli bulunmuştur (Çizelge 4). Bununla birlikte testte kullanılan F değerleri arasında bazı farklılıklar söz konusudur. Program-1 (GLM ile tanımlanan split-plot yaklaşımı), Program-2 (MIXED de RANDOM komutu kullanımı) ve Program-6 (REPEATED komutunda CS kovaryans yapısının tanımlanması) nın kullanımı sonucu, sabit etkilere ait aynı F değerlerine ulaşılmıştır. Çünkü her üç yaklaşım aynı kovaryans yapısını tanımlamaktadır. Bununla birlikte farklı kovaryans yapılarının tanımlandığı AR(1), UN ve HF durumunda F değerlerinde değişmeler saptanmıştır (Çizelge 4). Farklı modellerin kullanımı durumunda canlı ağırlığa ait tahminlenen En-Küçük-Kareler Ortalamaları (EKKO) ve bu ortalamaların standart hataları Çizelge 5 de verilmiştir. Homojen varyans tanımlamasının sözkonusu olduğu ve alt gruplarda eşit gözlemlerin bulunduğu durumlarda SP, CS ve AR(1) alt gruplar için aynı standart hata değerlerine sahip olmuştur. Bununla birlikte homojen varyans tanımlaması varsayımı yapmayan UN ve HF kovaryans yapılarında değişen standart hatalar elde edilmiştir. 10

11 Tekrarlanan gözlemler arası aynı kovaryans yapısını varsayan SP ve CS modellerinden MIXED te değerlendirilen SP ve CS, aynı standart hata değerlerini verirken, GLM de gerçekleştirilen SP bunlardan farklılık göstermiştir. Bu durum sabit etkilerin EKK ortalamalarına ait standart hataların hesaplanmasında GLM in kullandığı hata teriminin farklılığından kaynaklanmaktadır. Çizelge 5. Eşey ve zamana göre canlı ağırlığa ait En-Küçük-Kareler Ortalamaları (EKKO) ve bu ortalamaların farklı kovaryans tanımlamalarına göre standart hataları En-Küçük-Kareler Ortalamalarına Ait Standart Hatalar Eşey Zaman EKKO GLM SP Mixed SP Mixed CS Mixed UN Mixed AR(1) Mixed HF Dişi Erkek Sonuç olarak, tekrarlanan gözlemlerin analizinde gözlemler arasındaki kovaryans yapıları mutlaka incelenmelidir. Çünkü elde edilen sonuçlar, tekrarlanan gözlemler arasında varsayılan kovaryans yapısının, yapılacak tahminler üzerinde önemli bir etkiye sahip olduğunu göstermiştir. Bu amaçla uygun model seçimi sırasında Sphericity testi gibi ön testler yapılmalı ve farklı kovaryans yapılarının uyumu incelenmelidir. Tekrarlanan gözlemlerin analizinde klasik yaklaşımların kullanımının sapmalara ve geçerli olmayan sonuçlara yol açabileceği unutulmamalıdır. Teşekkür Yazarlar, bu çalışmada verilerinin kullanımına izin veren Erdal Yaylak a teşekkürü bir borç bilirler. Kaynaklar Akbaş, Y.; Yaylak, E. Heritability Estimates of Growth Curve Parameters, Phenotypic and Genetic correlations among growth curve parameters, and the correlation of the parameters with weights at differenf age of Japanese quail. Archive für Geflügelkunde (European Poultry Science) 2000; 64(4): Huynh, H.; Feldt, L. S. Conditions under which mean squares ratios in repeated measurements designs have exact it F-distributions. Journal of American Statistical Association 1970; 65: Littell, R.C.; Milliken, G.A., Stroup, W.W., Wolfinger, R.D. SAS System for mixed models. SAS, Institute, Inc., Cary, NC, Mauchly, J. W. Significance test for Sphericity of a normal n-variate distrbution. The Annals of Mathematical Statistics 1940; 11: SAS, Online Document: Version 8, The MIXED Procedure. SAS, Institute, Inc., Cary, NC, Wolfinger, R.D., Chang, M. Comparing the SAS GLM and MIXED procedures for repeted measures. Proceedings of the Twentienth Annual SAS Users Group Conference. SAS Institute., Cary, NC