KÜRESEL MEKANİZMALARDA BİYEL EĞRİSİ ÇİZİMİ İÇİN BİR YÖNTEM

Transkript

1 KÜRESEL MEKNİZMLRD İYEL EĞRİSİ ÇİZİMİ İÇİN İR YÖNTEM Z. Özçelik * O. car Necmettin Erbakan Üniversitesi Selçuk Üniversitesi Konya Konya Özet -iyel eğrileri, mekanizma uzuvları üzerindeki noktaların mekanizmanın hareketi sırasında sabit hareket uzayında çizdikleri eğrilerdir. Düzlemsel mekanizmalarda biyel eğrilerinin çizimi nispeten kolay olmasına karşın, küresel mekanizmalarda biyel eğrisi çizimi daha zordur.küresel bir mekanizmaya ait bir uzvun bir biyel noktası, uzva ait koordinatları bilinen iki nokta ile birlikte küre yüzeyinde küresel bir üçgen oluşturur. Mekanizmanın konum analizinden genellikle iki noktanın koordinatları hesaplanabilir. iyel noktasının koordinatları (x,y,z) için küresel ve üç boyutlu geometri vasıtasıyla üç bilinmeyenli lineer bir denklem takımı elde edilmiş ve bunların çözümüyle koordinatlar bulunmuştur. Krankın lik bir dönüşü boyunca koordinatlar hesaplanıp biyel eğrisi çizilmiştir. nahtar kelimeler: iyel eğrisi, küresel mekanizma bstract oupler curves are the curves of which the points on the links of a mechanism traced on the fixed motion space during the motion of mechanism. ontrary to drawing coupler curve on planar mechanisms is relatively easy, it is more difficult to draw coupler curve on spherical mechanisms. coupler point of a link which belongs to a spherical mechanism forms a spherical triangle on the sphere surface together with two points whose coordinates are known and which belong to the link. From the kinematic analysis of the mechanism, the coordinates of two points usually can be calculated. set of linear equation with three unknown was derived by means of spherical and spatial geometry for (x,y,z) coordinates of the coupler point and coordinates were found by solving the set of linear equation. oordinates along angle turn of crank were calculated and the coupler curve were drawn. Keywords: oupler curve, Spherical mechanism I Giriş 1 Mekanizma tasarımcılarının en çok üstünde durdukları problemlerden biri, arzu edilen hareket özelliklerini sağlayan yörüngeleri çizen mekanizmalardır. u tür problemleri çözecek analiz ve sentez teknikleri birçok araştırmacı tarafından düzlemsel, uzaysal ve küresel mekanizmalar için geliştirilmiştir. Literatürde bu konuda * zozcelik@konya.edu.tr osmanacar@selcuk.edu.tr 1 yapılmış birçok çalışma mevcuttur. Düzlemsel biyel eğrileri herhangi bir mekanizma uzvu üzerindeki bir noktanın mekanizmanın hareketi sırasında sabit hareket uzayında çizdiği eğrilerdir. Küresel mekanizmalarda ise uzuvlar küre yüzeyi üzerinde hareket ettikleri için biyel eğrisi de küre yüzeyi üzerindeki küresel bir eğri olur. öyle küresel biyel eğrileri literatürde analitik olarakbirçok çalışmada ele alınmıştır. hiang küresel dört çubuk mekanizmalarında 8. dereceden bir eğri olan küresel biyel eğrisinin kartezyen ve küresel kutupsal koordinat sistemlerinde kapalı formdaki denklemlerini vermiştir [1].Deng, iki yada üç tane tanımlı biyel eğrisi dönüm noktaları olan küresel dört çubuk mekanizması için yeni bir yaklaşım ile küresel dört çubuk mekanizmasının boyutsal sentezini çalışmıştır[]. ağcı küresel mekanizmanın uyumlu iz düşümünün geometrik yapısı ve fonksiyon sentezi için bir metot üzerine çalışma yapmıştır[3].küresel krank biyel, kol sarkaç mekanizmaları ve çok basit geometrik sentez teknikleri sayısal örneklerle açıklamış, her bir geometrik tertip için bilgisayar destekli analitik çözümler vermiştir. hiang düzlemsel kinematikteki kavramların küreseldeki karşılıklarını, benzerliklerini ve farklılıklarını inceleyerek detaylı bir karşılaştırma yapmıştır[4]. Lu,özel boyutlara sahip küresel bir kol sarkaç mekanizması tarafından çizilen küresel simetrik biyel eğrisi için bir üçgen diyagram tanımlamış ve boyutları belirli bir mekanizma için biyel eğrisi noktalarının koordinatını hesaplayan bir bilgisayar programı geliştirmiş[5]. hu ve Sun, küresel dört çubuk mekanizmalarında biyel eğrilerinin ve temel boyut tipleri arasındaki ilişkiye dayalı olarak araştırmalar yaparak biyel eğrilerinin konumunu hesaplayabilecek matematiksel formülleri araştırmışlar, bununla ilgili örnekler vererek matematiksel sunum yapmışlardır[6]. Sun ve hu'nun çalışmasında, küresel dört çubuk mekanizmalarının giriş ve çıkış açıları arasındaki fonksiyon ilişkisinin analizine dayalı olarak, girişçıkış yer değiştirme denkleminin ilişkisi ve temel boyutsal tiplerifourier analiz metodu kullanılarak verilmiştir [7]. u çalışmada küresel bir mekanizmaya ait bir biyel noktasının koordinatlarıiçin küresel ve üç boyutlu geometri vasıtasıyla üç bilinmeyenli lineer bir denklem takımı elde edilmiştir. unların çözümüyle noktanın koordinatları bulunmuş ve mekanizmanın 360 lik bir döngüsü boyunca koordinatlar hesaplanıp biyel eğrisi çizdirilmesi amaçlanmıştır.

2 II. Küresel Mekanizma ve Küresel Geometri Düzlem geometride sabit uzuv, gövdenin iki noktasından geçen doğrularla ifade edilir. enzer olarak küresel geometride sabit uzuv, yarıçapı bir birim olan birim küre yüzeyi üzerinde, gövdenin iki noktasından geçen bir büyük daire parçası ile gösterilebilir. yrıca diğer uzuvlar da aynı birim küre yüzeyi üzerinde farklı doğrultulardaki büyük daire yayları ile ifade edilir. Küresel geometride birim küre yüzeyi üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe, bu iki noktadan geçen büyük dairenin bu yayını küre merkezinden gören merkez açı ile ölçülür. üzerinden ölçülen küresel bir açıdır. Daha çok uzva sahip küresel mekanizmalarda da uzuv uzunlukları ve biyel noktaları benzer şekilde ifade edilir. (a) O (b) Şekil. 1. Küresel dört çubuk mekanizması Kürede büyük daire, küre yüzeyindeki iki noktadan ve küre merkezinden geçen bir düzlem ile küresel yüzeyin ara kesitidir. una göre küre yüzeyindeki herhangi iki noktadan geçen tek bir büyük daire vardır, ya da bu sonuç şöyle de ifade edilebilir: Düzlemde iki nokta arasındaki en kısa mesafenin bir doğru parçası olması gibi, küre yüzeyinde iki nokta arasındaki en kısa mesafe bu noktalardan geçen büyük daire yayıdır [4]. Şekil 1 de örnek olarak bir küresel dört çubuk mekanizması görülmektedir. urada uzuvları ifade eden a 1, a, a 3, a 4 uzunlukları, uzuvları ifade eden büyük daire yaylarını küre merkezinden gören merkez açılardır. Kolaylık için sabit uzva ait büyük daire yayının bulunduğu düzlem OXY düzlemi olarak alınır ve X ekseni o sabit mafsal noktasından geçirilir. Küresel mekanizmalarda döner çiftlerin dönme eksenlerinin hepsi küre merkezinden geçer. 3 nolu uzuv üzerindeki noktası bu uzva ait bir biyel noktasıdır.,, noktaları küre üzerinde küresel bir üçgen oluştururlar. noktasının küre yüzeyi üzerindeki konumunu tanımlayan ve yayları da büyük daire yaylarıdır, uzunlukları bunları gören merkez açılar şeklinde ifade edilir. ve büyük daire yayları arasındaki μ açısı ise küre yüzeyi (c) Şekil Döndürülmüş düzlemler Şekil. 3. Eksen takımı ve döndürülmüş düzlem Sabit uzvu ifade eden büyük daire yayının bulunduğu düzlem Şekil a da görüldüğü gibi orijini küre merkezinde olan OXYZ kartezyen koordinat sisteminde OXY düzlemi olarak alınsın(ekvatoral düzlem). u düzlem X ekseni etrafında sağ el kuralına göre pozitif yönde kadar döndürülsün (Şekil b). Daha sonra Z ekseni etrafında da sağ el kuralına göre pozitif yönde β kadar döndürülsün (Şekil c). u düzlemle kürenin

3 arakesiti olan büyük daire şekilde görülmektedir. Küre yüzeyi üzerindeki bütün büyük daireler bu şekilde elde edilebilir. u husus şu şekilde de ifade edilebilir: Küre yüzeyi üzerindeki herhangi bir büyük daire, X ekseni etrafında belli bir açısı ve Z ekseni etrafında belli bir β açısı kadar döndürülmüş bir düzlemle kürenin arakesitidir. Söz konusu düzlem Şekil a, b, c den de görülebileceği gibi daima küre merkezinden(o) geçer. ve β açıları -180 ve +180 arasında değiştirilerek küre yüzeyi üzerindeki bütün büyük daireler düzlemle kürenin arakesiti olarak elde edilir. u düzlem üzerindeki herhangi bir K noktasının OXY düzlemindeki izdüşümü M noktası olsun(şekil 3). Düzlemin OXY ile arakesiti olan doğruya M den çizilen dikin ayağı P noktası, bu noktadan X eksenine çizilen dikin ayağı D noktası olsun. KM uzunluğunun K noktasının z koordinatı olduğu açıktır. KPM açısı olduğuna göre; KM tan MP z MP z = MP tan (1) OXY düzleminin üstten görünüşü Şekil 4 de görülmektedir. urada K noktasının bu düzlemdeki koordinatları OG = x ve OF = y dir. Şekilden; FR = PN = ycosβ ve FM = OG olduğu görülebilir. MP = PN MN yazılarak ve MN = FMsinβ = xsinβ olduğu göz önüne alınarak; III. Küresel iyel Eğrisi Örnek olarak Şekil 1 deki küresel dört çubuk mekanizmasında biyel noktasının koordinatlarını bulmaya çalışalım. ve noktalarının koordinatları küresel geometriden, θ nolu uzvun, θ 4 4 nolu uzvun dönme açısı olmak üzere, aşağıdaki gibi yazılır: x =cosa y = sina cos z = sina sin x = cosa 4 cosa 1 sina 4 sina 1 cos 4 y = cosa 4 sina 1 + sina 4 cosa 1 cos 4 z = sina 4 sin 4 (4) Küresel dört çubuk mekanizmasında belli bir θ değerinde θ 4 açısını veren bağıntı aşağıdaki gibidir.[9] p p u q 4 arctan (5) q u urada, p = sina sina 4 sin q = sina sina 4 cosa 1 cos cosa sina 4 sina 1 u = cosa 3 cosa 1 cosa cosa 4 sina cosa 4 sina 1 cos büyük daire yayının içinde bulunduğu düzlem O ekseni etrafında μ açısı kadar döndürüldüğü zaman noktası ' noktasına gelir ve büyük daire yayı düzlemi büyük daire yayının bulunduğu düzlemle çakışır,, ve' noktaları aynı düzlemde olurlar(şekil 5). MP = ycosβ xsinβ () Denklem (1) bu ifadede yerine konursa ve düzenlenirse; z + tan( xsinβ ycosβ) = 0 (3) u denklem orijinden geçen ve X etrafında ve Z etrafında β kadar dönmüş olan düzlemin genel denklemidir. u düzlemle kürenin arakesiti olan büyük daire üzerindeki noktalar için de bu denklem geçerlidir. Şekil. 5. O düzleminin döndürülmesi ' noktasının koordinatları aşağıdaki bağıntıyla bulunur[8]. X ' = T X (6) burada T O etrafında dönme matrisidir: x K cosμ T x yk zsinμ xzk ysinμ K 1 cos x y K z sinμ y K cosμ y z K x sinμ x zk y sinμ yzk xsinμ z K cosμ X = [ x y z ] T ve X ' = [ x ' y ' z ' ] T Şekil. 4. OXY düzlemi üzerindeki izdüşüm ve ' noktalarının içinde bulunduğu düzlem denklemi denklem (3) deki gibidir. u iki noktanın koordinatları 3

4 bilindiğine göre denklemdeki α ve β açılarının değerleri basitçe aşağıdaki gibi bulunur. z + tan( x sinβ y cosβ) = 0 z ' + tan( x ' sinβ y ' cosβ) = 0 (7) o o yazılır. İki denklem taraf tarafa bölünerekβ açısı arktanjant fonksiyonu ile bulunur; β=arctan ( z y z y z x z x ) (8) Daha sonra yukarıdaki iki denklemin birinden α açısı hesaplanır. α ve β açıları bulunduğuna göre bu düzlemin denklemi noktasının koordinatları cinsinden yazılabilir: Şekil. 6. a 1 = 80, a =40, a 3 = 90, a 4 = 60 ve := 35, μ= 30 için biyel eğrisi(küresel kol sarkaç) z + tan( x sinβ y cosβ) = 0 (9) o o ve noktaları arasındaki küresel mesafe veya O açısı O ve Ovektörlerinin,benzer şekilde O açısı O ve O vektörlerinin skaler çarpımıyla elde edilir []. coso = O O = x x +y y +z z (10) coso = O O = x x +y y +z z (11) Şekil. 7. a 1 = 40, a =50, a 3 = 70, a 4 = 65 ve = 30, μ= -80 için biyel eğrisi(küresel çift kol) O açısı(veya uzunluğu) küresel üçgenler için kullanılan Napier denklemleri yardımıyla bulunur. (a 3 ), ve μ açıları bilindiğine göre uzunluğu; o cos = cos a 3 cos + sin a 3 sincosμ (1) denklemiyle hesaplanır. öylece nolu uzvun herhangi bir konumunda biyel noktasının koordinatları için üç lineer denklem(9), (10) ve (11) nolu denklemler ile elde edilmiş olur. unların çözümüyle noktasınınkoordinatları (x, y, z ) kolaylıkla bulunur. Mekanizmanın lik bir döngüsü için herhangi bir matematik yazılımında koordinatlar hesaplanıp,noktanın biyel eğrisi çizdirilebilir.u yöntem benzer şekilde daha çok uzva sahip küresel mekanizmalarda da kolaylıkla uygulanabilir. şağıda örnek olarak, biri kol sarkaç ve diğeri çift kol olan iki küresel dört çubuk mekanizması ve bir küresel krank biyel mekanizmasına ait biyel eğrileri görülmektedir. Şekil. 7. a 1 = 75, a =0, a 3 = 50, a 4 = 90 ve = 36, μ= 55 için biyel eğrisi(küresel krank biyel) IV. Sonuç Küresel bir mekanizmaya ait bir uzvun bir biyel noktasının koordinatları için küresel ve üç boyutlu geometri kullanılarak üç bilinmeyenli lineer bir denklem takımı elde edilmiştir. u denklemlerin çözümüyle biyel noktasının koordinatları bulunmuş ve lik bir döngü boyunca biyel eğrisi çizdirilmiştir. öylelikle küresel mekanizmalarda biyel eğrisi çizimi içinnispeten basitleştirilmiş analitik bir yöntem kullanılabileceği gösterilmiştir. Kapalı formdaki biyel eğrisi denklemleriyle biyel eğrisinin çizimindeki matematiksel zorluklar dikkate alındığında yöntemin basitlik sağlayacağı düşünülmektedir. 4

5 Kaynakça [1] hiang.h. Kinematics of Spherical Mechanisms, Krieger Publications., 000. [] DengM. L.veWen-M. H. Synthesis of Spherical Four-ar Mechanisms for Two or Three Prescribed oupler-urve usps.j. Mech. Des. 13(), 47-53, 000. [3] ağci. Geometric methods for the synthesis of spherical mechanisms for the generation of functions, paths and rigid body positions using conformal projections. Mech. Mach. Theory, 19(1), , 1984 [4] hiang.h.spherical Kinematics in ontrast to Planar Kinematics. Mech. Mach. Theory, 7, 43-50, 199. [5] Lu, D. M. Triangular Nomogram for Spherical Symmetric oupler urves nd Its pplication To Mechanism Design. J. Mech. Design, 11, 33 36, [6] Jinkui. ve Su J. Synthesis of oupler urves of Spherical Fourbar Mechanism Through Fast Fourier Transform. 1th IFToMM World ongress, esançon (France), 18-1June, 007. [7] Su J.ve Jinkui. Synthesis of Spherical Four-bar Function Generator by Means of Fourier Method. 1th IFToMM World ongress, esançon (France), 18-1June, 007. [8] Vince J. Geometry for computer graphics.springer, 005. [9] Mcarthy J. M. Geometric Design of Linkages, Springer,