Fonksiyonel Değişimli Ortotropik Plakların Dinamik Tepkisine Kayma Deformasyonu ve Dönel Eylemsizlik Etkilerinin İncelenmesi

Transkript

1 Süleman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt **, Saı *, **-**, 0** Süleman Demirel A. Ave, Universit M. Pınarlık Journal of Natural and Applied Sciences Volume **, Issue *, **-**, 0** DOI: /sdufbed.***** Fonksionel Değişimli Ortotropik Plakların Dinamik Tepkisine Kama Deformasonu ve Dönel Elemsizlik Etkilerinin İncelenmesi Abdullah AVEY *1, Murat PINARLIK 1 Süleman Demirel Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, 60, Isparta Gazi Üniversitesi, Teknoloji Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, 06500, Ankara (Alınış / Received: , Kabul / Accepted: , Online Yaınlanma / Published Online: ) Anahtar Kelimeler FD ortotropik plak Serbest titreşim Kama deformasonları Dönel elemsizlikler Frekans parametresi Özet: Sunulan çalışmada, kama deformasonları ve dönel elemsizliklerin kombine etkileri dikkate alınarak fonksionel değişimli (FD) ortotropik malzemelerden oluşan plakların serbest titreşim problemi incelenmektedir. Ortotropik plağın malzeme özellikleri kalınlık koordinatına bağlı olarak üstel olarak değiştiği varsaılmaktadır. FD ortotropik plakların serbest titreşim denklemleri birinci mertebeden kama deformason plak (KDPT) teorisi temel alınarak türetilmektedir Elde edilen diferansiel denklemler, Galerkin Yöntemi ugulanarak basit mesnetli sınır koşulları için altıncı mertebe cebrisel denkleme dönüştürülmekte ve saısal olarak çözülerek frekansın minimum değeri bulunmaktadır. Bu denklemden, kama deformasonlarının etkisinin dikkate alındığı ve alınmadığı durumlar için FD ortotropik plağın frekansları KDPT ve klasik plak teorisi (KPT) çerçevesinde bulunmaktadır. Son olarak, FD ortotropik malzeme özellikleri ve plak boutları değişiminin, kama deformasonları ve dönel elemsizliklerin boutsuz frekans parametresine etkileri saısal olarak incelenmektedir. Yapılan analizler, kama gerilme fonksionlarının dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerlerine etkilerinin değişmesine rağmen bu etkilerinin değişik plak boutları için çok önemli olduğunu ortaa komuştur. Homojen olmama ve ortotropi etkilerinin çok belirgin olduğu ve göz ardı edilemeeceğini ve dönel elemsizliğin hesaplarda dikkate alınmasının daha gerçekçi sonuçlara ulaşılmasına olanak sağlaacağı sonucuna varılmıştır. Sunulan çalışmada elde edilen sonuçların geçerliliği için literatürde sunulan çözümlerle karşılaştırmalar apılmaktadır. Investigation of the Influences of Shear Deformation and Rotar Inertia on the Dnamic Response of Functionall Graded Orthotropic Plates Kewords FG orthotropic plate Free vibration Shear deformations Rotar inertia Frequenc parameter Abstract: In this stud, the free vibration problem of plates composed of functional graded (FG) orthotropic materials, considering combined effects of shear deformations and rotar inertia is investigated. It is assumed that the materials properties of the orthotropic plate changes exponentiall in the thickness direction. The basic equations for FG orthotropic plate are derived based on first order shear deformation plate theor (SDPT). B using Galerkin method, the resulting equations are reduced to a sixth order algebraic equation and solved numericall and found the values of the fundamental frequenc. Then, ignoring the effects of forces of rotar inertia, the values of frequencies of FG orthotropic plate based on the SDPT and classical plate theor (CPT) are obtained. Finall, the influences of FG orthotropic material properties, variations of plate geometr parameters, shear deformations and rotar inertia on the non-dimensional frequenc parameter are investigated numericall. According to the analsis, despite the change the effects of shear stresses functions on the values of dimensionless frequenc parameters of rectangular plates, these effects are ver significant for different sizes of plates. It is observed that the effect of *İlgili azar: abdullahave@sdu.edu.tr

2 A. Ave, M. Pınarlık heterogeneit and orthotrop are ver significant and can not be ignored and taking into account the effects of the rotar inertia provides more realistic results for the various sizes of plates. For the reliabilit of the results obtained in this thesis are compared with the solutions presented in the literature. 1. Giriş Son ıllarda, fonksionel değişimli (FD) kompozit plakalar havacılık, denizcilik, inşaat vs. alanlarında agın şekilde kullanıldığından dolaı bu tür apı elemanlarının titreşim davranışlarının incelenmesi önemli bir görev haline gelmiştir. Bazı durumlarda, kompozit plakların titreşim ve stabilite problemlerinin çözümünde klasik plak teorisi (KPT) kullanılarak elde edilen sonuçlar gerçeği tümüle ansıtamamaktadır. Geleneksel ve eni nesil kompozitlerden oluşan plakların titreşim problemlerinde kama deformasonlarının etkisi önemli bir rol onar. Kama deformasonları etkisinin hesaba katılmaması, homojen kompozit plakların frekans değerleri için %0 vea daha fazla hataa ol açabilir. Bu nedenle, kama deformasonlu plak teorisinin (KDPT) KPT'e kıasla daha gerçekçi olduğu kabul edilmektedir. KDPT'lerin oluşumu ve plak problemlerine ugulamaları arım asır öncee daanmakta ve günümüze kadar devam etmektedir [1-5]. KDPT'ler temel alınarak homojen ortotropik plakların titreşim problemlerinin çözümleri ile ilgili önemli aınlar apılmıştır [6-11]. Söz konusu çalışmalar, kama deformasonları vea dönel elemsizlik etkilerinin kompozit plakların titreşim davranışlarında önemli bir rol onadığını ortaa komuştur. Homojen olmaan vea FD elastik plaklar uza araçlarının, modern füzelerin ve havacılık kanatlarının tasarımında ugulanmaktadır. Malzemeler ve apısal bileşenler, tasarımla vea malzemelerdeki fiziksel kompozison ve kusurlar nedenile genellikle homojen değildir. Malzemenin homojen olmaması, kama deformasonu ve dönel elemsizlik etkilerinin bir arada dikkate alınması kompozit plakların dinamik denklemlerini karmaşık hale getirir. Arıca, anizotrop özelliklere sahip kama deformasonlu FD plakların titreşim problemleri için kapalı çözümlerin elde edilmesi zordur. Dönel elemsizliğin etkisinin dikkate alınması bu zorluğu biraz daha artırmaktadır. Fonksionel değişimli malzemeler (FDM ler), homojen olmaan malzemeler sınıfının bir alt grubu olup malzeme özellikleri kalınlık koordinatına bağlı olarak değişmektedir. Üstün özellikleri saesinde, mühendisliğin değişik alanlarında potansiel ugulamalara sahip olmaları nedenile, FDM apıların titreşim davranışlarının incelenmesi bilim insanları ve mühendislerin her geçen gün daha fazla dikkatini çekmektedir. Günümüz teknolojisinde, FDM plakların kullanımının önemli derecede artışı, FD apıların titreşim davranışlarının incelenmesine ilgii daha da artırmıştır. KDPT'ler kullanılarak FD izotrop plakların serbest titreşim hesabına önelik çalışma saısı çok olup günümüzde de devam etmektedir [1,1]. Homojen olmaan ortotropik plaklarla ilgili ilk çalışmalardan biri Pan [14] çalışmasıdır. Bu çalışmada, ortotropik malzemelerin homojen olmama fonksionunun üstel şeklini belirleerek FD anizotrop kompozit tabakaların kesin çözümünü sunmuştur. Bu çalışmaı takiben FD ortotropik plak ve kabukların, mekanik-termal davranışları, titreşim ve stabilitesi ile ilgili birçok aın ortaa çıkmıştır [15-17]. Yapılan literatür taraması kama deformasonları ve dönel elemsizliğin kombine etkileri dikkate alınarak, FD ortotropik malzemelerden oluşan plakların titreşim probleminin henüz eteri kadar çalışılmadığını ortaa komaktadır. Sunulan çalışmada söz konusu problemin çözümü detalı bir şekilde ele alınmaktadır [18].. Materal ve Metot Sunulan çalışmada, ortotrop plağın Young modülleri, kama modülleri ve oğunluğu kalınlık koordinatına bağlı olarak üstel olarak değiştiği varsaılmaktadır. Kama deformasonları ve dönel elemsizlik kuvvetlerinin kombine etkileri bir arada dikkate alınarak, FD ortotrop plaklar için temel bağıntılar oluşturulmaktadır. FD ortotrop plakların serbest titreşim denklemleri birinci mertebeden kama deformason plak teorisi (BMKDPT) temel alınarak türetilmektedir. Elde edilen diferansiel denklemler, Galerkin Yöntemi ugulanarak, basit mesnetli sınır koşulları için altıncı mertebe cebirsel denkleme dönüştürülmekte ve saısal olarak çözülmektedir. Cebirsel denklemin altı tane çözümünün içinden en küçük pozitif olanı frekansın minimum değerine karşı gelmektedir. Saısal hesaplarda, MAPLE 14, EXCEL ve AutoCAD bilgisaar programları kullanılacaktır..1. Temel Bağıntı ve Denklemler Şekil 1 de uzunluğu a, eni b ve kalınlığı h olan FD ortotropik malzemelerden oluşan bir dikdörtgen plak sunulmuştur. Koordinat sistemi plağın sol köşesinde ve referans üzeinde bulunmaktadır. Arıca, x ve eksenleri ortotropi doğrultuları ile çakışmakta ve z ekseni ise onların bulunduğu düzleme normal doğrultudadır.

3 Fonksionel Değişimli Ortotropik Plakların Dinamik Tepkisine Kama Deformasonu ve Dönel Elemsizlik Etkilerinin İncelenmesi B11 B1 B66 ( Z ) ( Z ) = 1 E1( Z ) E ( Z ) ; B ( Z ) = ; ν 1ν 1 1 ν1ν 1 () 1E1( Z ) ν1 E ( Z ) = = B ( Z ); ν = 1 ν1ν 1 ( Z ) = G ( Z ), B ( Z ) = G ( Z ); B ( Z ) = G ( Z ) 1 1 ν1ν Şekil 1. FD ortotropik dikdörtgen plak ve koordinat sistemi Plağı oluşturan ortotropik malzemenin Young ve kama modülleri ve oğunluğu kalınlık koordinatının üstel fonksionları olup aşağıdaki şekilde ifade edilir [14,18]: Burada ν 1 ve ν 1 Poisson oranları olup sabittirler. Ortortropik plaklar için enine kama gerilmeleri kalınlık doğrultusunda değişmektedir. Küçük er değiştirmelerde, kama deformason teorisi temel alınarak plağın referans üzeinden z uzaklıktaki deformasonlar aşağıdaki gibi ifade edilebilir [18]: µ Z Z E E e 1 ( + 0.5) µ, E E e 1 ( + 0.5) 1 = 01 = 0, µ Z Z G G e 1 ( + 0.5) µ, G G e 1 ( + 0.5) 1 = 01 1 = 01, µ Z 0.5) Z 0.5) G G e 1 ( + µ, e = 0 = 0 ( + ρ ρ, Z = z / h (1) w ε x ex ϕ 0 w ψ ε = + + e z I 0 I 01 0 ϕ ψ w ε x ex (4) Burada E 01 ve E 0 homojen ortotropik malzemenin sırasıla x ve ana doğrultularda Young modülleri, G 01, G01, G0 kama modülleri ve ρ 0 homojen ortotropik malzemenin oğunluğudur. µ 1 ve µ üstel katsaıları olup z doğrultusunda sırasıla Young ve kama modülleri ve oğunluğun değişim derecesini karakterize etmektedir ve 1 ( µ 1, µ ) 1 koşulu sağlanmaktadır. Burada µ 1 = µ = 0 homojen duruma, µ 1 = 1, µ = 0 Young ve kama modüllerinin değiştiği ve oğunluğun sabit olduğu duruma karşı gelmektedir. Kama gerilmeleri içeren FD ortotropik plaklar için gerilme ve deformason bileşenleri arasındaki bağıntılar şu şekildedir [14,15,18]: σ x B11 σ = B1( σ x 0 B 1 0 ε x B 0 ε 0 B66 ε x (.1) Burada, e x, e, ex ortotropik plağın referans üzeindeki deformasonlar, w normal doğrultudaki çökme, ϕ ( x, ) ve ψ ( x, ) ise dönme açıları olup aşağıdaki tanımlar geçerlidir: z df ( z) 1 z df ( z) 1 (5) I 01 = dz, I 0 = dz 0 dz G1 0 dz G Burada f (z), σ xz ve σ z kama gerilmelerini karakterize eden fonksionu olup plağın kalınlık koordinatının fonksion olarak değişik şekillere sahiptir. Plağın kuvvet ve moment bileşenleri aşağıdaki integrallerden bulunur [,8]: σ σ xz z B = ε xz B Z 44 ( ) ε z (.) h / [ T, T, T, Q, Q ] = [, σ, σ, σ, σ ] x x x σ x x xz z dz (6) h / Burada, ε x, ε, ε x, ε xz, ε z deformason bileşenleri olup şu tanımlar geçerlidir: h / [ M, M, M ] = [, σ, σ ] x x σ x x z dz (7) h /

4 A. Ave, M. Pınarlık Burada, x, T Tx kuvvet bileşenleri, Q x, Q T, kesme kuvvetleri, M x, M, M x ise moment bileşenleridir. Plakların hareket ve deformason ugunluk denklemleri aşağıdaki kısmi türevli diferansiel denklemlerle ifade edilmektedir [,5]: Burada L ij ( i, j = 1,,,4 ) diferansiel operatörler olup katsaılar malzeme ve plak özelliklerine bağlıdır... Temel Denklemlerin Çözümü FD ortotropik plağın tüm kenarları basit mesnetli olduğu için (19) kısmi diferansiel denklemler sisteminin çözümü aşağıdaki gibi aranır [,5]: M M x w + Qx = ρ 1h + M M x w + Q = ρ1h + e e e x x + Q Q x w + = ρth = 0 ρ ϕ h h ρ ψ (8) ϕ ψ Burada ρ h ve ρ h dönel elemsizlikler t olup şu tanımlar geçerlidir: Φ = Cφ sin( β1x)sin( β ) cos( ωt), w = C f sin( β1x)sin( β ) cos( ωt), ϕ = Cϕ cos( β1x)sin( β ) cos( ωt), ψ = Cψ sin( β1x) cos( β ) cos( ωt) (1) Burada β 1 = m π / a, β = nπ / b olup, m, bouna doğrultudaki arım dalga saısı, n enine doğrultudaki dalga saısı, ω titreşim frekansı (birimi rad/sn) ve Cφ, C f, Cϕ, Cψ bilinmeen katsaılardır. (1) ifadeleri (11) denklemlerinde erine azılıp Galerkin öntemi ugulandığında aşağıdaki matris denklem elde edilir: 1/ 1/ ρ1 = Z ρ( dz, ρ = Zρ( I01dZ, 1/ 1/ 1/ 1/ ρ = Zρ( I 0dZ, ρt = ρ( dz 1/ 1/ (9) U 11 U 1 U 1 U 41 U 1 + U10ω U1 U10ω U C 14 φ 0 U + U 0ω U U 4 U 40ω = C f 0 U 0 U U4 Cϕ U 0 4ω U C 4 U 44 ψ (1) Kuvvet bileşenleri ve gerilme fonksionu arasındaki bağıntılar şu şekildedir: [ T, T, T ] Φ Φ Φ x x = h,, (10) (5) bağıntıları, (7) integrallerinde erine azıldığında, kuvvet ve moment bileşenleri için elde edilen ifadeler (10) ifadesi ile birlikte (8) denklemlerinde erine azıldığında, kısmi türevli denklemler sisteminin matris formu aşağıdaki şekle dönüşür: L 11 L1 L1 L L 1 L L41 L4 L1 L14 Φ L L 4 w = 0 L L4 ϕ L4 L44 ψ (11) Burada şu tanımlar geçerlidir: 4 [ β1 β + c1β1 ] ( c11 c1) ( c + c ) U11 = h, 4 U1 = 14 β1 β + c1β1, U10 = ρ1h β1, U1 = c15β1 + c5β1β + I5β1, U10 = ρh β1, U14 = ( c18 + c8 ) β β1, U 1 = 4 U = ( c + c ) β1 β + c4β, U 0 = ρ1h β, U = ( c5 + c5 ) β1β, U 4 = c8β + c8β1 β + I 6β, U 40 = ρh β, 4 4 U 1 = [ bβ1 + ( b1 + b1 + b1) β1 β + b11β ] h, U = b5β1 + ( b15 + b5 ) β1β, 4 4 U = bβ1 + ( b4 + b1 b ) β1 β + b14β, U 4 = ( b8 + b8 ) β1 β + b18β, U 41 = 0, U 4 = ρt h, U 4 = I5β1, U 44 = I 6β. 4 [ c1β + ( c c1) β1 β ] h, (14) (14) denklemler sisteminin sıfırdan farklı çözümün olması için katsaılardan oluşan determinant sıfıra eşitlenir ve aşağıdaki altıncı mertebeden cebirsel denklem elde edilir:

5 Fonksionel Değişimli Ortotropik Plakların Dinamik Tepkisine Kama Deformasonu ve Dönel Elemsizlik Etkilerinin İncelenmesi 6 4 ω + F1 ω + Fω + F = 0 (15) Burada F i ( i = 1,, ) FD ortotropik malzeme özellikleri ve plak karakteristiklerine bağlı katsaılarıdır. Kama deformasonları ve dönel elemsizlik etkileri bir arada dikkate alındığında FD ortotropik plağın boutsuz frekans parametresinin değerleri aşağıdaki ifadeden bulunur: ω ( 1 ν1 ) ρ0 0 Donel Donel 1 KDPT = ωkdpt ( a / h) / E (16) (15) denkleminde dönel elemsizlik etkileri göz ardı edildiğinde, FD ortotropik plağın boutsuz frekans parametresi KDT kapsamında, söz konusu etkilerin anı sıra enine kama gerilmeleri de ok edildiğinde frekans parametresi KPT kapsamında elde edilir.. Bulgular Çizelge 1' de, dönel elemsizlik etkileri dikkate alındığı ve alınmadığı durumlarda KDPT ve KPT kullanılarak a / b =0.5 ve a/h=100 için homojen ortotropik dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerleri Thai ve Kim [10] sonuçları ile mukaese edilmektedir. Thai ve Kim [10] çalışmasında Lev tip çözüm elde edilmiş ve karşılaştırmalarda aşağıdaki malzeme özellikleri kullanılmıştır: E 01 / E0 = 10, 5 ; G 01 = G01 = 0.5E0, G0 = 0.E0, ν 1 = 0.5, ρ 0 = 1kg / m. Çizelge 1 de (*) işareti dönel elemsizlik etkilerinin dikkate alınmadığı duruma karşı gelmektedir. Sunulan çalışmada elde edilen değerlerin Thai ve Kim [10] çalışmasında elde edilen değerlerle uum içinde olduğu görülmektedir. Tablo 1. Frekans parametre değerlerinin Thai ve Kim [10] sonuçları ile karşılaştırılması ω = ωa / h ρ E Thai ve Kim [10] 1 0 / Bizim çalışma Thai ve Kim [10] E 01 / E KPT KDPT (9.1) * (9.04) * (14.445) * 0 Bizim çalışma (14.41) * Kama deformasonları ve dönel elemsizliğin etkileri bir arada dikkate alındığında ve KPT temelinde değişik FD ve H bor/epoksi dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerlerinin değişik kama fonksionları için a/h oranına bağlı dağılımları Şekil de sunulmaktadır. Şekillerin daha belirgin olması için bu bölümde KDPT erine KDT ve KPT erine KT kısaltmaları kullanılmıştır. Şekil de kama gerilmesinin değişim kuralını karakterize eden fonksionlar f ( z ) = z ( 1 4z / h ) ; f ( z) = z ve f ( z) = ( h / π ) sin( πz / h) olarak sunulmaktadır. Diğer şekillerde kama gerilmesi için f ( z ) = z ( 1 4z / h ) fonksionu kullanılmaktadır. Tüm hesaplarda dalga saıları bire eşit olduğu için çizelgelerde dikkate alınmamıştır. Kullanılan homojen malzeme bor/epoksi olup özellikleri şu şekildedir: 9 E 01 = Pa, 9 E0 = Pa, 9 G 01 = G01 = Pa, 9 G 0 = Pa, ν 1 = 0.1, ρ0 = 1kg / m ve a / b =0.5 [, 18]. Görüldüğü gibi her üç kama fonksionu için frekans parametreleri değerleri hemen-hemen anı olup a/h arttığında anı seir izlemektedir. Arıca, a/h arttığında kame deformasonları ve dönel elemsizliğin bir arada boutsuz frekans parametre değerlerine etkileri azalmaktadır. Örneğin; a/h=10; 0; 50 olduğunda, boutsuz frekans parametre değerlerine söz konusu etkiler sırasıla %17.5; %.4; %0.9 olmaktadır. ω parabolik üniform ve sinüs ω1kdt dönel μ1=μ=0 ω1kdt dönel μ1=μ=0 ω1kdt dönel μ1=1; μ=0 ω1kdt dönel μ1=1; μ=0 ω1kdt dönel μ1=-1; μ=0 ω1kdt dönel μ1=-1; μ=0 ω1kt μ1=μ=0 ω1kt μ1=μ=0 ω1kt μ1=1; μ=0 ω1kt μ1=1; μ=0 ω1kt μ1=-1; μ=0 ω1kt μ1=-1; μ= a/h Bor/epoksi Şekil. FD ve H bor/epoksi dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametrelerinin değişik kama fonksionlar için a / h oranına bağlı dağılımları FD ve H bor/epoksi dikdörtgen plakların KDPT ve dönel elemsizlik etkileri bir arada dikkate alındığında ve KPT temelinde boutsuz frekans parametre değerlerinin parabolik kama fonksionu için a/b oranına bağlı dağılımı Şekil de sunulmaktadır. Dikdörtgen plağın geometrik ölçüleri şekil üzerinde sunulmaktadır. a/b oranı arttığında, FD ve H bor/epoksi dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerlerinin artış hızının arttığı gözlenmiştir. KDPT kullanıldığında a/b oranı artışına bağlı olarak FD profilin etkisinin çok az arttığı, KPT kullanıldığında ise söz konusu etkinin a/b oranından

6 A. Ave, M. Pınarlık bağımsız olduğu tespit edilmiştir. FD profillerin boutsuz frekans parametresine etkileri µ 1 = 1; µ = 0 ve µ 1 = 1; µ = 0 durumları için daha etkili olduğu gözlenmiştir. Örneğin a/b oranı arttığında; µ 1 = ± 1; µ = 0, kama gerilmesi ve dönel elemsizliğin bir arada boutsuz frekans parametre değerlerine etkisi %17.18 den %4.08 e artmaktadır. donel ω 1KDT ile ω 1KDT arasındaki fark a/b oranı arttığında önemli olur. Kama gerilmesi ve dönel elemsizliğin boutsuz frekans parametre değerlerine homojen durumda daha belirgin olduğu görülmüştür. ω Bor/epoksi a/h=0 ω1kdt dönel μ1=μ=0 ω1kt μ1=μ=0 ω1kdt dönel μ1=μ=±1 ω1kt μ1=μ=±1 ω1kdt dönel μ1=1; μ=0 ω1kt μ1=1; μ=0 ω1kdt dönel μ1=-1; μ=0 ω1kt μ1=-1; μ= a/b donel Şekil. FD ve H ortotropik plakların ω 1KDPT ve ω 1KPT değerlerinin a/b 'e bağlı dağılımı Şekil 4 de FD ve H ortotropik dikdörtgen plakların KDPT ve dönel elemsizlik etkileri bir arada ve KPT temelinde boutsuz frekans parametrelerinin E 01 / E 0 oranına bağlı dağılımları sunulmaktadır. E 01 / E 0 oranı arttığında ortotropik dikdörtgen plakların KDPT ve dönel elemsizlik bir arada ve KPT temelinde boutsuz frekans parametrelerinin değerleri artmaktadır. E 01 / E 0 oranı arttığında ortotropik dikdörtgen plakların KDPT ve dönel elemsizlik ve KPT çerçevesinde boutsuz frekans parametrelerinin değerleri µ 1 = 1 ve µ = 0 için daha avaş ve µ 1 = 1 ve µ 0 = için daha hızlı şekilde artmaktadır. E 01 / E 0 oranı arttığında ortotropik dikdörtgen plakların KDPT ve dönel elemsizlik ve KPT için boutsuz frekans parametrelerinin değerlerine FD etkisi değişmez. Tüm E 01 / E 0 oranı için µ 1 = 1 ve µ = 0 olduğunda ortotropik dikdörtgen plakların KDPT ve dönel elemsizlik bir arada etkidiğinde ve KPT için boutsuz frekans parametrelerinin değerleri diğer profillerden daha küçük olmaktadır. ω a/b=; a/h=0 ω1kdt dönel μ1=μ=0 ω1kt μ1=μ=0 ω1kdt dönel μ1=μ=±1 ω1kt μ1=μ=±1 ω1kdt dönel μ1=1; μ=0 ω1kt μ1=1; μ=0 ω1kdt dönel μ1=-1; μ=0 ω1kt μ1=-1; μ= E 01 /E 0 Şekil 4. FD ve H ortotropik dikdörtgen plakların KDPT ve dönel elemsizlik bir arada ve KPT için boutsuz frekans parametrelerinin E 01 / E 0 oranına bağlı dağılımları 4. Tartışma ve Sonuç Sunulan çalışmada, kama deformasonları ve dönel elemsizliklerinin kombine etkileri dikkate alınarak FD ortotropik plakların serbest titreşim denklemleri BMKDPT temel alınarak türetilmektedir. Elde edilen diferansiel denklemler, Galerkin Yöntemi ugulanarak, basit mesnetli sınır koşulları için altıncı mertebe cebirsel denkleme dönüştürülüp saısal olarak çözülmekte ve altı tane çözümün içinden en küçük pozitif olanı frekansın minimum değerine karşı gelmektedir. Sonra, dönel elemsizlik kuvvetleri göz ardı edilerek sadece kama deformasonlarının etkisi dikkate alındığı durumda, FD ortotropik plağın frekansı için kapalı çözüm elde edilir. Son olarak, FD ortotropik malzeme özellikleri ve plak boutları değişiminin, kama deformasonları ve dönel elemsizliklerin boutsuz frekans parametresine etkileri saısal olarak incelenmektedir. Sunulan çalışmada elde edilen sonuçların geçerliliği için literatürde sunulan çözümlerle karşılaştırmalar apılmaktadır. Saısal analizlerin sonuçları aşağıdaki genelleştirmeleri ortaa komaktadır: a.) FD ve H ortotroik dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerleri değişik kama fonksionları için a/h ve a/b oranlarının artışına bağlı olarak artmaktadır. b.) Kama gerilme vea deformason fonksionu parabolik değiştiğinde bor/epoksi dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerleri sinüs ve üniform fonksionları dikkate alındığı durumlardaki ugun değerlerden biraz daha büük olmaktadır. c.) FD bor/epoksi dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerleri, homojen bor/epoksi dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerleri ile mukaese edildiğinde, FD profili etkisinin µ 1 = µ = ± 1 düşük olduğu, µ 1 = 1; µ = 0 için önemli olduğu ve µ 1 = 1; µ = 0 çok daha etkin olduğu gözlenmektedir. d.) FD bor/epoksi dikdörtgen plakların boutsuz frekans parametre değerlerine KDT kullanıldığında, FD profilin etkisi a/h ve a/b oranları arttığında çok az artmaktadır ve KT kullanıldığında ise söz konusu etki sabit kalmaktadır. e.) FD bor/epoksi dikdörtgen plaklar için, a/h oranı artığında kama gerilmesi ve dönel elemsizliğin bir arada ve sadece kama gerilmesinin boutsuz frekans parametre değerlerine etkisi önemli derecede azalmaktadır.

7 Fonksionel Değişimli Ortotropik Plakların Dinamik Tepkisine Kama Deformasonu ve Dönel Elemsizlik Etkilerinin İncelenmesi f.) FD bor/epoksi dikdörtgen plaklar için FD profillerin etkisi kama gerilme ve dönel elemsizliğin etkilerini biraz daha azaltmaktadır. g.) FD bor/epoksi dikdörtgen plaklar için, kama gerilmeleri ve dönel elemsizliklerin bir arada ve sadece kama gerilmelerinin boutsuz frekans parametre değerlerine etkisi çok önemli olup a/b oranı arttığında artmaktadır. h.) E 01 / E 0 oranı arttığında, FD ortotropik dikdörtgen plakların KDT ve dönel elemsizlik, KDT ve KT için boutsuz frekans parametrelerinin değerleri artmaktadır. i.) FD ortotropik dikdörtgen plakların KDT için boutsuz frekans parametrelerinin E 01 / E 0 oranına bağlı değerleri KT için ugun değerlerden küçük olduğu görülmektedir. Teşekkür Yazarlar 11M99 No lu projee desteği için TÜBİTAK a ve 814-YL1-1 No lu projee desteği için SDÜ Bilimsel Araştırma Projeleri Yönetim Birimi Başkanlığı na teşekkürlerini sunar. Kanakça [1] Mindlin, R.D Influence of Rotar Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics, 18(1951), A1-8. [] Ambartsumian, S.A Theor of Anisotropic Plates; Strength, Stabilit, Vibration. Technomic Publishing Compan, 96s. [] Redd, J.N Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theor and Analsis (Second Edition). Florida: CRC Press, 81. [4] Shimpi, R.P., Pateli, H.G A Two Variable Refined Plate Theor for Orthotropic Plate Analsis. International Journal of Solids and Structures, 4(006), [5] Adogdu, M., 009. A New Shear Deformation Theor for Laminated Composite Plates. Composite Structures, 89(009), [6] Hull, P.V., Buchanan, G.R. 00. Vibration of Moderatel Thick Square Orthotropic Stepped Thickness Plates. Applied Acoustics, 64(00), [7] Liew, K.M., Wang, J., Ng, T.Y., Tan, M.J Free Vibration and Buckling Analses of Shear- Deformable Plates Based on FSDT Meshfree Method. Journal of Sound and Vibration, 76(004), [8] Civalek, O Free Vibration Analsis of Smmetricall Laminated Composite Plates with First-Order Shear Deformation Theor (FSDT) b Discrete Singular Convolution Method. Finite Elements in Analsis and Design, 44(008), [9] Ferreira, A.J.M., Fasshauer, G.E., Batra, R.C., 009. Natural Frequencies of Thick Plates Made of Orthotropic, Monoclinic, and Hexagonal Materials b a Meshless Method. Journal of Sound and Vibration, 19(009), [10] Thai, H.-T., Kim, S.-E., 01. Lev-Tpe Solution for Free Vibration Analsis of Orthotropic Plates Based on Two Variable Refined Plate Theor. Applied Mathematical Modelling, 6(01), [11] Somiredd, M., Rajagopal, A., 014. Meshless Natural Neighbor Galerkin Method for the Bending and Vibration Analsis of Composite Plates. Composite Structures, 111(014), [1] Thai, H.T., Vo, T.P., Bui, T.Q., 014. A Quasi-D Hperbolic Shear Deformation Theor for Functionall Graded Plates, Acta Mechanica, 5(014), [1] Jin, G., Su, Z., Shi, S., Ye, T., Gao, S., 014. Three- Dimensional Exact Solution for the Free Vibration of Arbitraril Thick Functionall Graded Rectangular Plates with General Boundar Conditions. Composite Structures, 108(014), [14] Pan, E., 00. Exact Solution for Functionall Graded Anisotropic Composite Laminates. Journal of Composite Materials, 7(00), [15] Ootao, Y., Tanigawa, Y., 007. Three-Dimensional Solution for Transient Thermal Stresses of an Orthotropic Functionall Graded Rectangular Plate. Composite Structures, 80(007), [16] Mansouri, M.H., Shariat, M., 014. Thermal Buckling Predictions of Three Tpes of High- Order Theories for the Heteregeneous Orthotropic Plates, Using the New Version of DQM. Composite Structures, 11(014), [17] Sofiev, A.H., Kuruoglu, N., 014. Buckling and Vibration of Shear Deformable Functionall Graded Orthotropic Clindrical Shells under External Pressures. Thin-Walled Structures, 78(014), [18] Pınarlık, M Fonksionel değişimli ortotrop plakların dinamik tepkisine kama deformasonu ve dönel elemsizlik etkilerinin incelenmesi. Süleman Demirel Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 117s, Isparta

8 A. Ave, M. Pınarlık Semboller a Dikdörtgen plağın uzunluğu b Dikdörtgen plağın eni B ij,( i, j = 1,,...,6) FD ortotrop malzeme sabitlerini içeren semboller b ij ( i = 1,,; j = 1,,...,8) Plak ve FD ortotrop malzeme sabitlerini içeren semboller c ij ( i = 1,,, j = 1,,...,8) Plak ve FD ortotrop malzeme sabitlerini içeren semboller Cφ, C f, Cϕ, Cψ Bilinmeen fonksionlar e x, e, ex Plağın referans üzeindeki deformasonlar E 01, E 0 Homojen ortotrop malzemenin x ve doğrultulardaki Young modülleri f (z) Kama gerilmelerini karakterize eden fonksion F j ( i = 1,,) Plak boutları ve FD ortotrop malzeme özelliklerine bağlı olan katsaılar G 01, G01, G0 Homojen ortotrop malzemenin kama modülleri h Dikdörtgen plağın kalınlığı I 01, I 0 Kama deformasonlarına bağlı parametreler L ij ( i, j = 1,,...,6) Diferansiel operatörler m Plağın bouna doğrultudaki arım dalga saısı M x, M, M x Moment bileşenleri n Plağın enine doğrultudaki dalga saısı Oxz Plağın referans üzeindeki koordinat sistemi Q x, Q Kesme kuvvetleri T x, T, Tx Plağın birim alanına ait iç tanjant kuvvet bileşenleri U ij ( i = 1,,...,4, j = 1,,...,8) Plak boutları ve FD ortotrop malzeme özelliklerini karakterize eden katsaılar u, v, w Yer değiştirmeler x, Ortotropi doğrultular ile çakışan eksenler z Plağın referans üzeine normal öndeki eksen Z Boutsuz kalınlık koordinatı β 1, β Plak boutlarına ve dalga saılarına bağlı parametreler ε x, ε Plağın her hangi bir noktasının x ve doğrultularında deformason bileşenleri ε x, ε xz, ε z Ox, Oxz ve Oz düzlemlerinde kama deformasonları k Λ 1 ij (k 1=0,1,) Malzeme ve plak boutlarına bağlı katsaılar µ 1 Young ve kama modüllerinin z doğrultusunda derecesini karakterize eden üstel katsaı µ Yoğunluğun derecesini z doğrultusunda karakterize eden üstel katsaı ν 1,ν 1 Homojen ortotrop malzemenin Poisson oranları ρ 0 Homojen izotrop vea ortotrop malzemenin oğunluğu ϕ ψ ρ h, ρ h Dönel elemsizlik kuvvetleri σ x, σ Plağın herhangi bir noktasının x ve doğrultularındaki normal gerilmeler σ x, σ xz, σ z sırasıla Ox, Oxz ve Oz düzlemlerinde kama gerilmeleri ϕ ( x, ), ψ ( x, ) Dönme açıları Φ Air gerilme fonksionu ω Titreşim frekansı Donel ω KDPT KDPT ve dönel elemsizlik dikkate alındığında, FDM ortotrop plağın boutsuz serbest titreşim frekansı Donel ω 1KDPT KDPT ve dönel elemsizlik dikkate alındığında, FDM ortotrop plağın boutsuz serbest titreşim frekansı ω KDPT KDPT için FDM ortotrop plağın serbest titreşim frekansı ω 1KDPT KDPT için FDM ortotrop plağın boutsuz serbest titreşim frekansı ω KPT KPT kullanıldığında, FDM ortotrop plağın serbest titreşiminin doğal frekansı ω 1KPT KDPT kullanıldığında, FDM ortotrop plağın Pa Paskal m metre kg kilogram % Yüzde