FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ KAPLAMALARDA SÜRTÜNMELİ RİJİT ZIMBA ETKİSİYLE OLUŞAN YÜZEYALTI TEMAS GERİLMELERİ

Transkript

1 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. J. Fac. Eng. Arch. Gazi Univ. Cilt 5 No Vol 5 No FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ KAPLAMALARDA SÜRTÜNMELİ RİJİT ZIMBA ETKİSİYLE OLUŞAN YÜZEYALTI TEMAS GERİLMELERİ Tunç APATAY Serkan DAĞ Mehmet Ali GÜLER ve Müfit GÜLGEÇ Makina Müh. Böl. Mühendislik Fakültesi Gazi Üniversitesi Maltepe 657 Ankara Makina Müh. Böl. Mühendislik Fakültesi Orta Doğu Teknik Üniversitesi 653 Ankara Makina Müh. Böl. Mühendislik Fakültesi TOBB Ekonomi ve Teknoloi Üniversitesi 656 Ankara tapata@gazi.edu.tr sdag@metu.edu.tr mguler@etu.edu.tr mgulgec@gazi.edu.tr (Geliş/Received:..9 ; Kabul/Accepted: 3.5.) ÖZET Bu çalışmada fonksionel derecelendirilmiş malzeme (FDM) den apılan bir kaplamada üze altında temas üzeindeki düzgün profilli sürtünmeli riit zımba etkisile oluşan gerilme dağılımlarını hesaplamak için tekil integral denklemlerine daalı bir öntem geliştirilmiştir. Düzlem elastisite durumu ele alınmış ve Poisson oranının homoen gövde ve FDM kaplama için anı olduğu kabul edilmiştir. Problem bir tekil integral denklemine indirgenmiş ve bu denklem bir açılım sıralama tekniği kullanılarak saısal olarak çözülmüştür. Tekil integral denkleminin çözümünde kullanılan seriler Jacobi polinomları kullanılarak ifade edilmiştir. Zımba genişliği zımba konumu sürtünme katsaısı ve malzeme parametrelerinin kaplama derinliği bounca oluşan gerilme dağılımlarına etkileri incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Temas mekaniği fonksionel derecelendirilmiş malzemeler (FDM) kaplama sürtünme. SUBSURFACE CONTACT STRESSES IN FUNCTIONALLY GRADED COATINGS LOADED BY A FRICTIONAL FLAT STAMP ABSTRACT In this stud a method has been developed in order to calculate the subsurface contact stresses in a functionall graded coating loaded b a frictional flat stamp on the contact surface. Plane elasticit is considered; Poisson s ratio is taken to be constant for the FGM coating and the substrate is taken to be homogeneous. The problem is reduced to a singular integral equation which is solved numericall b means of an epansion collocation technique. The series epansions utilized in the solution of the singular integral equation are epressed in terms of Jacobi polnomials. Effects of punch length punch location coefficient of friction and material properties on the subsurface stresses are investigated. Kewords: Contact mechanics functionall graded materials (FGM) coating friction..giriş (INTRODUCTION) Makina elemanlarında ve apılarında kullanılan parçaların hasara uğramasındaki en temel nedenler orulma ve kırılmadır. Parçalarda kırılmaa neden olan çatlak başlangıcı ve ilerlemesi gerilmelerin üksek olduğu bölgeler ile sürtünmenin ve aşınmanın olduğu bölgelerde medana gelir. Bu nedenle tasarım sırasında üzeler arasındaki temastan dolaı medana gelen temas gerilmeleri ile temasa bağlı olarak çatlak ucunda oluşan gerilme dağılımlarının belirlenmesi önemlidir. Diğer taraftan malzeme biliminin ilerlemesile birlikte malzeme özelliklerinin malzeme içerisinde konuma bağlı olarak değiştirilebildiği üretim öntemleri geliştirilmiştir. Bu şekilde üretilen malzemeler genel olarak FDM (Fonksionel Derecelendirilmiş Malzemeler) olarak isimlendirilmektedirler ve çoğunlukla aşınmaa karşı direnç ve üksek sıcaklıklara daanabilme özelliği sağlamaları için rulmanlarda dişlilerde kesici uçlarda

2 T. Apata v.d. Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan ve bunun gibi makine elemanlarında kaplama olarak kullanılmaktadırlar [-3]. FDM lerde temas gerilmelerile ilgili literatürde pek çok çalışma er almaktadır. Giannakopoulos ve Suresh [5] sürtünmesiz düz konik ve küresel riit batıcı uçlarla üklenmiş eksenel simetrik FDM lerde temas gerilmelerini incelemişlerdir. Giannakopoulos ve Pallot [6] sürtünmeli silindirik riit zımba etkisindeki FDM gövde için aklaşık bir çözüm elde etmiştir. Bu çalışmalarda malzemenin elastisite modülünün çözümde kolalık sağlaması açısından k E = E şeklinde üstel bir fonksionla temsil edildiği kabul edilmiştir. Fakat bu fonksionda temas üzeinde ( = için) elastisite modülü sıfır olmaktadır; bu da fiziksel olarak anlamlı değildir. Dağ ve Erdoğan [7] herhangi bir profile sahip sürtünmeli riit zımba etkisindeki arı sonsuz FDM düzlemdeki temas ve üze çatlağı problemlerini çözmüştür. Güler ve Erdoğan [8] ise homoen gövde üzerindeki FDM kaplama için temas problemini çözmüştür. Bu çalışmalarda FDM malzeme için kama modülünün derinlik bounca μ = μ e γ şeklinde üstel bir fonksionla temsil edildiği kabul edilmiştir. Yüzedeki temas kuvvetlerinden dolaı iç kısımlarda oluşan gerilme dağılımları ile ilgili olarak Yang ve Ke [9] nin çalışmasında sürtünmesiz silindirik riit zımba ile ugulanan normal kuvvetten kanaklanan gerilme dağılımları elde edilmiştir. Bu çalışmada FDM den apılı ara tabaka homoen bir kaplama ve gövde arasına erleştirilmiştir. FDM lerde üzealtı gerilmeleri ile ilgili literatürde bu çalışma dışında bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmanın başlıca amaçları düzgün profile sahip riit bir zımbanın etkisinde olan FDM den apılan kaplamada üzeden ölçülen belli bir d derinliği bounca ( < d < h ) oluşan gerilme dağılımlarını elde etmek; ve malzeme parametresi zımba genişliği zımba konumu ve sürtünme katsaısı gibi parametrelerin gerilme dağılımlarına etkilerini incelemek olarak özetlenebilir. FDM kaplamanın kama modülünün üstel bir formda μ = μ e γ şeklinde değiştiği kabul edilmiştir. Burada μ = da kama modülünün referans değeri γ ise malzeme heteroenlik sabitidir. FDM kaplama ve homoen gövde arasında mükemmel bir bağ olduğu; ve zımba ile üze arasında Couloumb sürtünme asasının geçerli olduğu kabul edilmiştir. Problem geometrisi Şekil de gösterilmiştir. Burada P birim uzunluğa etki eden dik kuvvet; Q ise ata kuvvettir. Sürtünmeli kama teması kabulü nedenile Q = η P olarak ifade edilir; η ise sürtünme katsaısıdır.. TEMEL DENKLEMLER (BASIC EQUATIONS) Problem için düzlem elastisite durumu ele alındığında denge denklemleri aşağıdaki şekilde azılır: + = + =. (ab) Büne denklemleri ise μ u v ( ) = ( κ + ) + ( 3 κ ) κ μ u v ( ) = ( 3 κ ) + ( κ + ) κ Şekil. Problem Tanımı (Description of the Problem) (a) (b) u v ( ) = μ + = (c) şeklindedir. Bu ifadelerde u v μ FDM kaplamada sırasıla -doğrultusundaki deplasmanları ve malzemenin kama modülünü; u v μ ise homoen malzemede sırasıla -doğrultusundaki deplasmanları ve malzemenin kama modülünü ifade etmektedir. κ ise Kolosov sabitidir. Kolosov sabiti ve Poisson oranı arasındaki ilişki düzlem gerinim durumu için κ = 3 ν düzlem gerilme durumu için ise κ = (3 ν ) /( + ν ) olarak ifade edilir. Poisson oranındaki değişimin saısal sonuçlar üzerinde çok etkili olmadığı bilindiğinden bu oran FDM kaplamada da sabit olarak alınmıştır. ve indisleri ise sırasıla FDM ve homoen malzemei temsil etmektedir. Yer değiştirme bileşenleri cinsinden azılan gerilme ifadelerinin denge denklemlerinde kullanılmasıla FDM kaplama için Navier Denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir: 6 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3

3 Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan T. Apata v.d. v u v ( κ ) + γ ( κ ) + γ ( κ ) u v + + ( + κ ) = < < h u u v γ ( + κ) + ( + κ) + γ ( 3 κ) v u + + ( κ ) = < < h. (3) γ = alındığında (3) numaralı denklemler homoen gövde için ( h < < ) geçerli olan denklem sistemine indirgenir. Söz konusu denklemler; v u v = u v u = ( κ) ( κ ) ( κ ) ( κ) () şeklinde elde edilebilir. Bu denklem sistemlerinin çözümü için er değiştirme ifadeleri aşağıdaki şekilde ters Fourier dönüşümleri olarak ifade edilir: u( ) = U( ) e d π (5a) v V e d ( ) = ( ) π (5b) u( ) = U( ) e d π (5c) v( ) = V( ) e d π. (5d) 3. TEMAS PROBLEMİNİN FORMÜLASYONU (FORMULATION OF THE CONTACT PROBLEM) Bu bölümde gerilme ve er değiştirmeler aşağıda tanımlanan f ( ) fonksionu cinsinden elde edilecektir: 3 ( ) f3 a < < b = < < a b< <. Coulomb sürtünmesi geçerli olduğundan temas üzeinde kama gerilmesi ( ) η f3 a < < b = < < a b< < (6) (7) şeklinde ifade edilebilir. Süreklilik şartları ise şu şekilde azılabilir: u ( h ) = u ( h ) (8a) v ( h ) = v ( h ) ( h ) = ( h ) (8b) (8c) ( h ) = ( h ). (8d) (3) ve () ile verilen Navier denklemlerinin Fourier dönüşümlerinin alınması ve elde edilen denklem sistemlerinin çözülmesile FDM kaplama ve homoen gövde için gerilme ve er değiştirme ifadeleri elde edilir (Ek A): Bu ifadelerde M S R terimleri nun fonksionudur ve (8) ile verilen süreklilik şartları ardımıla 3 f cinsinden elde edilir. N ise; ( + )( s + s ) + ( ) κ γ κ N = i =.. s + ( 3 κ) γ (9) şeklinde tanımlanmıştır. s diferansiel denklem sisteminin karakteristik denkleminin kökleridir. Karakteristik denklem ve kökleri aşağıdaki gibidir; ( s s ) κ + γ + γ = + κ 3 ( γ γ i δ ) () s = R (s ) < (a) s ( γ γ i δ ) = + + R (s ) < (b) ( γ γ i δ ) s3 = + + R (s 3) > (c) s ( γ γ i δ ) = + R (s ) >. (d) Burada δ = γ 3 κ + κ şeklinde tanımlanmıştır.. TEKİL İNTEGRAL DENKLEMİ VE ÇÖZÜMÜ (SINGULAR INTEGRAL EQUATION AND ITS SOLUTION) Temas probleminin çözümünde sağlanması gereken sınır şartları ve denge denklemi aşağıda verilmiştir: = < < a b< < (a) η = < < a b< < (b) = a< < b (3a) Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3 63

4 T. Apata v.d. Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan μ u( ) = f a < < b κ + (3b) c = ( κ + ) c ( κ + 5) = γ (ab) b ( ) d = P. () a () ve (3a) ile verilen sınır şartları bilinmeen fonksionların bulunmasında kullanılmıştır. Geri kalan sınır şartları ise tekil integral denkleminin oluşturulmasında ve çözümünde kullanılacaktır. Ek A6 ile verilen er değiştirmenin türevini genel olarak κ b μ u( ) = k33 ( t) f3( t) dt + (5) a formunda azılabilir. Burada ( t ) k33 ( t) = φ33 ( ) e d π + (6) 33 ( κ ) φ = ψ e (7) = s şeklinde tanımlanmıştır. İntegral sınırları olarak değiştirilirse k ( 33 t ) = 33 cos π K t d şeklinde elde edilir. Burada: ( κ ) + K ( ) sin ( t) d (8) + 33 ( ) φ ( ) φ ( ) K = + (9) ( ) { φ ( ) φ ( )} K = i () şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifadelerin için asimtotik açılımları şeklindedir. İlk terimlerin K ( ) ve K ( ) ifadelerinden çıkartılıp eklenmesile; limit alınmasıla ve bazı integrallerin kapalı form ifadelerinin (Ek B) kullanılmasıla; ( ) ( κ ) η κ sign k33 ( t) = δ ( t ) + π ( κ ) 33 + ( t ) ( t ) + K ( ) c sin ( ( t) π K33 ( ) c cos( ( t) + (5) + π ( κ ) şeklinde elde edilir. Bundan sonra asimtotik açılımdan gelen diğer terimler k 33 ( t ) den çıkarılabilir. İlk olarak (5) ifadesini aralığını kosinüs içeren integraller için A ve A sinüs içeren integraller için A ve A şeklinde bölerek; aşağıdaki gibi tekrar azarak daha sonra da diğer terimleri eni elde edilen integrallerden çıkarıp ekleerek ve bazı integrallerin değerlerini (Ek B) erine azarak aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: ( κ ) ( ) ( κ ) 33 ( t ) ( t ) η κ sign k33 ( t) = δ ( t ) + π A + K ( ) c cos( ( t) π + A A ( ) / cos + K33 c c t d ( ) / sin + K33 c c t d A ( ) / sin + K33 c c t d π cci( A ( t ) ) c sign ( t ) (6) Burada Ci kosinüs integralidir ve açılımı: c c K33 ( ) = c e () c c K33 ( ) = c e () şeklinde elde edilmiştir ve ilk terimler c = η( κ ) c ( + ) η κ γ = (3ab) Ci ( A( t ) ) = γ + ln A( t ) A( t ) cosα + d α şeklindedir γ ise Euler saısıdır. ( γ = ). α (7) 6 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3

5 Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan T. Apata v.d. a < < b aralığını < r < şeklinde normalize etmek için; b a b + = r+ a < r < (8a) c ( + ) γ η κ = c ( κ + 5) = γ (33) ( ) ( / ) K = K l (3) b a b + t = s+ a < s < (8b) ( ) ( / ) K = K l (35) b a l = = γ γ = A A = h = l h (9ae) l l l değişken değiştirmeleri apılabilir. k ( t ) 33 ifadesini (5) denkleminde erine azıldığında aşağıdaki tekil integral denklemi elde edilir: ω φ φ ( s) ( ) φ. (3) r ds+ k s r s ds = π s r π Bu form. tip tekil integral denklemi (singular integral equation of nd kind) nin genel ifadesidir. Düzgün profilli riid zımba için kaplama üzeinde u er değiştirme bileşeni sabittir dolaısıla f ( r ) = r < < (3) olarak alınmıştır. (3) ile ifade edilen tekil integral denkleminin nümerik çözümü için Jacobi polinomları kullanılabilir. (3) nolu denklemde η κ ω = ( ) ( κ + ) A ( ) = 33 ( ) cos( ( )) k s r K c r s d A ( s r) cosα c γ + ln A ( s r) + d α c c cos 3 ( ( r s) L A α A c K33 ( ) c sin ( ( r s) + c c L sin 3 ( ( r s) A (3a) π c sign ( s r) (3b) şeklinde ifade edilir. A A ve numaralı eşitlikler ile verilmiştir. γ ise (9) İntegral denkleminin temel fonksionu ve indeksi aşağıdaki gibidir: ( ) α β = ( + ) κ ( α β) w s s s = + (36) θ θ α = + N β = + M θ = arctan. (37) π π ωη Burada N ve M tamsaılardır ve problemin fiziği ile ilgilidirler []. Düzgün profilli riit zımba için κ = dır. w( s ) nin Jacobi polinomlarının ağırlık fonksionu olduğu dikkate alınırsa tekil integral denklemin çözümü aşağıdaki şekilde azılabilir: φ ( s) = G( s) w( s) ( α β ) G s = c P s < s <. n n (38) (38) ifadesinin integral denkleminde erine azılmasıla; κ cn Pn κ r sinπα + π ( α β ) ( α β ) Kn r Pn s w s ds = (39) elde edilir. (39) denklemi azılırken Jacobi polinomlarının aşağıdaki özelliği kullanılmıştır [] : n π ( α β ) ( α β ) w s ωpn r w r P ( s) ds s r = sinπα ( α β ) ( r) κ Pn κ. () Problemin indeksi κ = olduğundan dolaı (39) denklemi φ ( s) = f3 ( s) b a b a f3 s = f3 s+ (3c) olarak tanımlanmıştır. Bu eşitliklerde ise; Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3 65

6 T. Apata v.d. Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan ( α β c ) n Pn ( r) + inπ s α π ( ) α β Kn r Pn ( s) w( s) ds = () şekline indirgenir. dan N e kadar denklemler azılırsa N adet denklem için N + adet bilinmeen sabit ( c c... c ) elde edilir. Çözüm için () e ek N olarak () de verilen denge denklemi kullanılır: b ( t) dt = P. () a ( ) = φ P ( b a) t s = / tanımlamaları apılarak () şu şekilde azılır: φ ( sds ) = (3) (38) ifadesi ardımıla bu denklem N ( c ) n P α β n ( s) w( s) ds = () n = şeklinde azılır. Ortogonal polinomların ortogonalite özelliği ile (39) ve () denklemleri aşağıdaki şekilde ifade edilir: c P ( α β ) ( r ) n i sinπα n = ( α β ) + Kn ri Pn ( s) w( s) ds π c θ =. (5a) denklemlerinde r ( i... N) ( α+ β+ ) ( r ) Pn i = i =... i = terimleri eşitliğinin kökleri olarak seçilebilir. θ ise θ α + β ( ) + α β Γ ( α + ) Γ ( β + ) = Γ ( α + β + ) şeklinde tanımlanmıştır []. (5a) denkleminde (-) aralığındaki integral N (5a) (5b) (6) (7) ( αβ K ) n ri Pn ( s) w( s) ds AkKn( rk) (8) N k = α β PN ( rk) = ( k = K ) bağıntısıla hesaplanabilir. Bölece (5) denklemleri cebirsel denklem sistemine indirgenir ve Gauss Eliminason Metodula c ( i=... N) katsaıları hesaplanır. i ( t) = φ ( s) ile verilen gerilme ifadesinde (.) ile tanımlanan φ ( s) ifadesi erine azıldığında hesaplanan c i ( i =... N ) değerleri ile birlikte temas gerilmesi dağılımı elde edilmiş olur. 5. YÜZEYALTI GERİLMELERİ (SUBSURFACE STRESSES) Bu bölümde FDM kaplamada = da oluşan normal ve kama gerilmelerinin ( ) ( ) ( d d h < < < ) ifadeleri türetilecektir. Bu gerilmeler genel olarak aşağıdaki formda ifade edilir. b ( ) = lim k ( t) f ( t) dt (9) a b a 3 3 ( ) = lim k ( t) f ( t) dt. (5) Normal Gerilme Dağılımı (Normal Stress Distribution) (9) ile verilen normal gerilme ifadesinde γ e ( t ) k3 ( t) = φ3 ( ) e d π φ 3 ( κ ) (5) = { + + } s (3 κ) N ( κ ) ψ ( ) e = s (5) şeklindedir. İntegral sınırları olarak değiştirilirse ( ) cos γ e K3 t k3 ( t) = d π ( κ ) K 3 sin t (53) olarak elde edilir. Burada; ( ) φ ( ) φ ( ) K = + (5) ( ) { φ ( ) φ ( )} K = i (55) şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifadelerin için asimtotik açılımları 66 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3

7 Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan T. Apata v.d. d ( / ) K3 ( ) d d... e γ + = d ( / ) K3 ( ) d d... e γ + = (56) (57) formunda elde edilmiştir ve ilk terimler aşağıda verilmiştir. d ( κ ) η = sin ( δ / ) ( κ ) d = δ δ ( δ ) sin / (58). Bölüm de anlatılan işlemlere benzer işlemler k t elde edilir (Ek C). kullanılarak 3 k3 t ifadesini (9) numaralı eşitlikde erine azdığımızda < < d aralığını < r < şeklinde normalize etmek için aşağıdaki değişken değiştirmeleri kullanılır: d d = r+ < r < (59a) b a b + t = s+ a < s <. (59b) 5.. Kama Gerilmesi Dağılımı (Shear Stress Distribution) (5) ile verilen kama gerilmesi dağılımı ifadesinde γ e ( t ) k3 ( t) φ3 ( ) e d π = (6) = s φ3 ( ) = ( + Ns) ψ ( ) e (6) şeklindedir. İntegral sınırları olarak değiştirilirse ( ) cos ( ) ( ) 3 (6) K 3 t γ e K t k3 ( t) = d π sin formunda elde edilir. Burada; ( ) φ ( ) φ ( ) K = + (63) ( ) { φ ( ) φ ( )} K = i. (6) olarak tanımlanmıştır. Bu ifadelerin için asimtotik açılımları aşağıda verilmiştir: g ( / ) K3 ( ) g g... e γ + = g ( / ) K3 ( ) g g... e γ + = İlk terimler ise g η sin / δ = ( δ ) g ( δ ) (65) (66) = sin / (67) δ şeklinde elde edilmiştir. k ( ) e benzer şekilde 3 elde edilir (Ek C). k ( t ) ifadesini (5) 3 denkleminde erine azdığımızda < < d aralığını < r < şeklinde normalize etmek için (59) ile verilen değişken değiştirmeler kullanılır. 6. SAYISAL SONUÇLAR (NUMERICAL RESULTS) Bu bölümde; sürtünme katsaısı malzeme özellikleri zımba konumu ve zımba genişliği gibi faktörlerin üzealtında oluşan normal ve kama gerilmeleri dağılımları üzerindeki etkileri incelenmiştir. Bunun için riit zımbanın uç koordinatları a / d ve b / d şeklinde boutsuzlandırılmıştır. Arıca heteroenlik sabiti γ d ve FDM kaplama kalınlığı h / d şeklinde boutsuz formda kullanılmıştır. Grafiklerde χ homoen gövdenin kama modülü ile FDM üzeindeki kama modülü arasındaki oran olarak tanımlanmıştır ( χ = μ / μ ). Hesaplamalarda Kolosov sabiti κ =.8 alınmıştır. Bunlara ek olarak grafiklerde r boutsuz düşe koordinatı göstermektedir. ( r = ( / d ) ) Şekil ve 3 de sürtünme katsaısının normal ve kama gerilme dağılımları üzerindeki etkisi gösterilmiştir. Şekil de üzee akın olan üst kısımlarda gerilmelerin daha büük olduğu belli bir değerden sonra ön değiştirdiği üzeden uzaklaştıkça da azalarak sıfıra aklaştığı görülmektedir. Sürtünme katsaısı arttıkça normal gerilmeler negatifden pozitif değerlere geçmektedir. Dolaısıla üzede = da bir çatlak bulunması halinde büük sürtünme katsaıları için çatlak ilerlemesi medana gelebilecektir. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3 67

8 T. Apata v.d. Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan Boutsuz Derinlik r η =. η =. η =. η =.6 η =.8 Boutsuz Derinlik r χ =. χ =. χ =. χ = Boutsuz Normal Gerilme / Şekil. Sürtünme katsaısının üzealtı normal gerilme dağılımına etkisi (Effect of coefficient of friction on the subsurface shear stresses) χ = μ / μ = 8 h / d =.5 a / d =. b / d = Boutsuz Normal Gerilme / Şekil. Kama modülleri oranının üzealtı normal gerilme dağılımına etkisi (Effect of shear modulus ratio on the subsurface shear stresses) χ = μ / μ h / d =.5 a / d =. b / d =. η =.5 -. Boutsuz Derinlik r η =. η =. η =. η =.6 η =.8 Boutsuz Derinlik r χ =. χ =. χ =. χ = Boutsuz Kama Gerilmesi / Şekil 3. Sürtünme katsaısının üzealtı kama gerilmesi dağılımına etkisi (Effect of coefficient of friction on the subsurface shear stresses) χ = μ / μ = 8 h / d =.5 a / d =. b / d =. Şekil ve 5 de h / d =.5 alınarak kama modülü oranının gerilme dağılımlarına etkileri gösterilmiştir. Normal gerilmeler için en küçük ve kama gerilmeleri için en büük değerler kama modülü oranının bire eşit olduğu durumda elde edilmiştir. Kama modülü oranı den 8 e doğru arttıkça boutsuz normal gerilmenin minimum değeri artmakta boutsuz kama gerilmesinin maksimum değeri ise azalmaktadır. Şekil 6 ve 7 de h / d = seçilerek zımba genişliğinin etkileri incelenmiştir. Özellikle serbest üzee akın olan bölgede zımba genişliği arttıkça diğer bir deişle b/d değeri büüdükçe boutsuz normal Boutsuz Kama Gerilmesi / Şekil 5. Kama modülleri oranının üzealtı kama gerilmesi dağılımına etkisi (Effect of shear modulus ratio on the subsurface shear stresses) χ = μ / μ h / d =.5 a / d =. b / d =. η =.5 gerilme artmakta boutsuz kama gerilmesi ise azalmaktadır. Dikkat edilmesi gereken bir diğer nokta da b/d büüdükçe boutsuz kama gerilmesinde azalma olmakla birlikte mutlak değerde artma olduğudur. Şekil 8 ve Şekil 9 da ise h / d =.5 alınmış a/d ve b/d değiştirilerek zımba genişliği sabit tutulmuştur. Bu şekilde zımba konumunun normal gerilmeler ve kama gerilmeleri üzerindeki etkilerini inceleebilmek mümkün olmaktadır. Şekiller incelendiğinde beklendiği gibi zımba oriine aklaştıkça her iki gerilmenin şiddetinde de önemli ölçüde artış medana geldiği görülmektedir. Zımba uzaklığı arttıkça gerilme şiddetleri de azalmaktadır. 68 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3

9 Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan T. Apata v.d Boutsuz Derinlik r b/d =.3 b/d =.5 b/d = Boutsuz Derinlik r -.5. a/d =.5.5 a/d =. a/d =. a/d =.3 a/d = Boutsuz Normal Gerilme / Şekil 6. Zımba genişliğinin üzealtı normal gerilme dağılımına etkisi (Effect of punch length on the subsurface normal stresses) χ = μ / μ = 8 h / d = a / d =. η =.5 -. Boutsuz Normal Gerilme / Şekil 8. Zımba konumunun üzealtı normal gerilme dağılımına etkisi (Effect of punch distance on the subsurface normal stresses) h / d =.5 η =. χ = μ / μ = 8 ( b a) / d =.3 Boutsuz Derinlik r SONUÇ (CONCLUSION) b/d =.3 b/d =.5 b/d = Boutsuz Kama Gerilmesi / Şekil 7. Zımba genişliğinin üzealtı kama gerilmesi dağılımına etkisi (Effect of punch length on the subsurface shear stresses) χ = μ / μ = 8 h / d = a / d =. η =.5 Bu çalışmada sürtünmeli ve düzgün profile sahip riit bir zımba etkisinde FDM kaplamada zımba genişliği zımba konumu heteroenlik sabiti ve sürtünme katsaısı gibi bazı parametrelerin zımbadan belli bir uzaklıkta üzealtında oluşan gerilme dağılımı üzerindeki etkileri incelenmiştir. Bu gerilmeler medana geldiği bölgelerde bir çatlağın oluşmasına vea var olan bir çatlağın ilerlemesine neden olabileceği için önemlidir. Sürtünme katsaısı arttıkça diğer bir deişle ugulanan ata kuvvet büüdükçe normal gerilmelerin pozitif hale geldiği gösterilmiştir. Bu nedenle daha önceki çalışmalarda elde edilen sonuçlara paralel olarak (Bkz. Dağ ve Erdoğan [7]) üksek sürtünme katsaısının çatlak başlangıcı ve ilerlemesine ol açabileceği sonucuna ulaşılmıştır. Kama modülü oranının da üzealtı Boutsuz Derinlik r a/d =.5.5 a/d =. a/d =. a/d =.3 a/d = Boutsuz Kama Gerilmesi / Şekil 9. Zımba konumunun üzealtı kama gerilmesi dağılımına etkisi (Effect of punch distance on the subsurface shear stresses) h / d =.5 χ = μ / μ = 8 η =. ( b a) / d =.3 gerilmelerini önemli ölçüde etkilediği görülmüştür. 6. Bölüm de verilen 5.Şekil incelendiğinde üzealtında oluşan normalize edilmiş maksimum kama gerilmesinin kama modülü arttıkça azaldığı görülmektedir. Bu nedenle bu çalışmada sunulan metodun kapsamı genişletilerek ve bir optimizason algoritması kullanılarak ortamdaki maksimum asal gerilmeleri a da von Mises gerilmelerini minimize edebilecek kama modülü oranlarını bulmak mümkün olabilecektir. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3 69

10 T. Apata v.d. Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan TEŞEKKÜR (ACKNOWLEDGEMENT) Bu çalışma MAG-7M53 kodlu TÜBİTAK- proesi çerçevesinde TÜBİTAK tarafından desteklenmiştir. SEMBOLLER (NOMENCLATURE) μ η i γ κ ν h u v a b d kama modülü sürtünme katsaısı gerilme bileşenleri heteroenlik sabiti Kolosov sabiti Poisson oranı FDM kaplama kalınlığı er değiştirme bileşenleri riit zımba ucu koordinatları derinlik KAYNAKLAR (REFERENCES). Suresh S. ve Mortensen A. Fundamentals of Functiall Graded Materials: Processing and Thermomechanical behavior of Graded Metals and Metal-ceramic Composites IOM Communications Ltd. London Suresh S. Olsson M. Padture NP. ve Jitcharoen J. Engineering the Resistance to Sliding-Contact Damage Through Controlled Gradients in Elastic Properties at Contact Surfaces Acta Materialia Suresh S. Graded Materials For Resistance to Contact Deformation and Damage Science Giannakopoulos A. ve Suresh S. Indentation of Solids With Gradients in Elastic Properties: Part I. Point Force Solution International Journal of Solids and Structures a. 5. Giannakopoulos A. ve Suresh S. Indentation of Solids With Gradients in Elastic Properties: Part II. Aismetric Indenters International Journal of Solids and Structures b. 6. Giannakopoulos A. ve Pallot P. Two Dimensional Contact Analsis of Elastic Graded Materials Journal of Mech. Phs. Solids Dağ S. ve Erdoğan F. Crack and Contact Problems in Functionall Graded Materials Ceramic Transactions Güler M.A. ve Erdoğan F. Contact Mechanics of Graded Coatings International Journal of Solids and Structures Yang J. ve Ke L.L. Two Dimensional Contact Problem for a Coating Graded Laer - Substrate Structure Under a Rigid Clindrical Punch International Journal of Mechanical Sciences Muskhelishvili NI. Singular Integral Equation Leden: Noordhoff Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3

11 Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan T. Apata v.d. EK A Gerilme ve Yer Değiştirme İfadeleri FDM için ( < < h ); s + u ( ) = M e d π = s + v ( ) = M N e d π (A) = μ s + = ( ) + ( + ) κ π = μ s + = ( ) + ( + ) κ π = s + ( ) = ( s i N ) M e d π + = ( ) 3 κ s N κ M e d ( ) 3 κ κ s N M e d μ u ( ) s + = M e d π = Homoen gövde için ( h 3 π < < ); + u ( ) = R + R e d v ( ) = S + S e d + (A8) π 3 μ + = i S3 + S + + ( R( ) R3 ) e d κ π ( ) (3 κ) ( κ) μ + = i + S3 + S + ( R( ) R3 ) e d κ π + ( ) = i ( R3 R) S3 S( ) e d π + + ( ) ( κ) (3 κ) μ u ( ) + = ( R3 + R) e d. π (A) (A3) (A) (A5) (A6) (A7) (A9) (A) (A) (A) Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3 6

12 T. Apata v.d. Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan EK B Aşağıda bu çalışmada kullanılan bazı integral ifadeleri verilmektedir. ( ( )) = δ ( ) lim e cos t d π t lim A sign e sin t d = ( ( )) cos Ci ( t ) ( t ) ( ( t) = A ( t ) π sin ( ( t) = sign ( t ) ( γ ) t e cos( t) d = e + t + / γ / ( + γ /) t γ / e sin ( t) d = e (B6) + t ( + γ / ) γ e cos( t) d = e / + t ( + γ / ) t γ e sin ( t) d = e / + t ( /) / e + γ cos( t) d e γ = ( ( it) A3 ) ( ( it) A3 ) Γ + Γ + A3 ( γ ) t e sin ( t) d = arctan e + / γ / (B) (B) (B3) (B) (B5) (B7) (B8) (B9) (B) 6 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3

13 Fonksionel Derecelendirilmiş Kaplamalarda Sürtünmeli Riit Zımba Etkisile Oluşan T. Apata v.d. EK C Yüzealtı Gerilme İfadeleri İçin Tekil İntegral Denklemi Kernelleri A γ 3 e ( + γ /) k3 ( t) = K3 ( ) ( d + d ) e cos( t) d π ( κ ) d d3 d ( + γ /) L e cos 3 A3 A3 ( ) t d ( + γ /) K3 d + d + d / e sin t d d d 3 d ( + γ /) L e sin 3 ( t) d A π γ / e t t t d d d d ( κ ) ( + t ) ( + t ) ( + t ) ( + t ) t arctan d d ( ( it) A3 ) ( ( it) A3 ) d + Γ + Γ + < < A γ 3 e ( + γ /) k3 ( t) = K3 ( ) ( g + g ) e cos( t) d π g g3 g ( + γ /) L e cos 3 ( t) d A3 g g3 g ( + γ /) L e sin 3 ( t) d A 3 A3 ( + γ /) K3 g + g + g / e sin t d + + π + + γ / e t t t g g g g ( t ) ( t ) ( + t ) ( + t ) t arctan g g ( ( it) A3 ) ( ( it) A3 ) d + Γ + Γ + < < (C) (C) Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 5 No 3 63

14