Bilgisayar Grafik. Erciyes Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği 2010 Güz Dönemi Araştırma Görevlisi Fehim KÖYLÜ
|
|
|
- Özgür Korkmaz
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Bilgisayar Grafik Erciyes Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği 2 Güz Dönemi Araştırma Görevlisi Fehim KÖYLÜ
2 Temeller Kartezyen koordinat sistemi Çoklu koordinat sistemleri Vektörler Nokta, çizgi Doğrusal dönüşümler Taşıma, dönderme, ölçekleme, yansıtma..2 Fehim KÖYLÜ 2
3 Matematik temeller Temel cebir Vektör, matris cebiri Kuaterniyon (dördey) cebiri Geometri cebiri..2 Fehim KÖYLÜ 3
4 Grafik Problemleri Noktasal modelleme Parametrik modelleme Yüzey eğri fonksiyonları Bakış açısı görünür yüzey algoritmaları Renk Aydınlatma gölge algoritmaları Yüzey kaplama algoritmaları Hareket animasyon..2 Fehim KÖYLÜ 4
5 3 Boyut Grafik Problemleri Modelleme Işıklandırma gölgelendirme Doku kaplama, yumru kaplama, ışın izleme, gölgelendirme, yansıma, kırılım Hareket ve fiziksel etkiler Yorumlama (render) Ekran izdüşüm gösterim..2 Fehim KÖYLÜ 5
6 Problem & Uygulama Eğlence Oyun Sinema Reklam Eğitim Sanal gerçeklik Animasyon Bilimsel gösterim Bilgisayar destekli tasarım..2 Fehim KÖYLÜ 6
7 Problem & Uygulama Sanal gerçeklik Ergonomi ve sağlık İnsan etkileşim Arayüz ve bilgi iletimi tasarımı Sanal gerçeklik benzetim Artırılmış algı Modelleme..2 Fehim KÖYLÜ 7
8 Grafik Kütüphaneleri Birinci Nesil Grafik API(97) Core Api İkinci Nesil API(98) Üçüncü Nesil API (99) DirectX OpenGL Dördüncü Nesil API(2) WPF Java3D Fehim KÖYLÜ 8
9 Grafik te gelişimin nedenleri Gelişen donanım mimarileri Konsollar, mobil cihazlar, yüksek kalite Yeni programlama dilleri ve kolay kodlama Daha fazla iş, daha kısa kod, yetersiz süreler 3D interaktiflik üzerine yeni fikirler, ihtiyaçlar ve teknolojiler Sanal gerçeklik, hayatı kolaylaştırmak için yenilikler Önceki Apilere göre çok fazla uzmanlık istemeyen arayüz ihtiyaçları Çözüm odaklı problemler(tıp, savunma, eğitim)..2 Fehim KÖYLÜ 9
10 Grafik Raster Grafik Her piksel noktasının renk değeri tanımlanmış Dosya boyutu büyük Gösterimi hızlı Vektör Grafik Şekiller noktalar ve matematiksel denklemler ile tanımlanmış Dosya boyutu küçük Gösterim hesaplama işlemi yükü (render) *Wikipedia..2 Fehim KÖYLÜ
11 Izgara Grafik (Raster) Çözünürlük: piksel/inç..2 Fehim KÖYLÜ
12 Izgara Grafik (Raster) Çözünürlük: 72pixel/inç..2 Fehim KÖYLÜ 2
13 Vektör Grafik Cornell Box Stanford Bunny Utah Teapot..2 Fehim KÖYLÜ 3
14 CAD (Computer Aided Design) *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları is the use of computer technology to aid in the design of a product. Some Fields of Use: The Architecture, Engineering, and Construction Industry Mechanical Engineering Product Design (Textile, Food, Computers, Electronic Devices, etc.) Automotive, Aerospace,..2 Fehim KÖYLÜ 4
15 CAD - I Los Angeles Airport *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları..2 Fehim KÖYLÜ 5
16 CAD - II *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları Boeing Fehim KÖYLÜ 6
17 Entertainment - I *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları Computer Graphics in movie industry..2 Fehim KÖYLÜ 7
18 Entertainment *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları..2 Fehim KÖYLÜ 8
19 Entertainment - II Games *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları..2 Fehim KÖYLÜ 9
20 Data Gloves, Head Mounted Display *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları..2 Fehim KÖYLÜ 2
21 *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları..2 Fehim KÖYLÜ 2
22 HMD *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları..2 Fehim KÖYLÜ 22
23 3 Boyut Aşamaları *Doç.Dr.Aybars Uğur,Eğe Ü. Bilg.G. Notları WORLD SCENE/OBJECT Modelling coordinates: - world coordinate system, - object coordinate system 3D MODELLING VIEWING 3D CLIPPING Camera coordinates PROJECTION Screen/Window coordinates RASTERIZATION Device coordinates 2D PIXELMAP DISPLAY..2 Fehim KÖYLÜ 23
24 3 Boyutlu grafik Doku Kaplama Modelleme Işık-gölge Görünür yüzey 2B Ekran İzdüşüm..2 Fehim KÖYLÜ 24
25 Koordinat Sistemi 2 Boyutlu Kartezyen sistemi (X,Y eksenleri)..2 Fehim KÖYLÜ 25
26 Koordinat Sistemi 3 Boyutlu Kartezyen sistemi (X,Y,Z eksenleri) Sağ el kuralı koordinat uzayları Sol el kuralı koordinat uzayları..2 Fehim KÖYLÜ 26
27 Sol&Sağ el koordinat uzayları Bakış Sol el Sağ el Yönü +x +y -> +z +z -> -y -y -> -z Koordinat uzayı +y -> -z -z -> -y -y -> +z -z -> +y +z -> +y..2 Fehim KÖYLÜ 27
28 Vektörler Vektör yönü ve büyüklüğü olan fiziksel bir değerdir. Boyut; vektörün içerdiği değer sayısıdır. 2 Boyut [x,y] 3 Boyut [x,y,z] P (Xp,Yp) Q (Xq,Yq) xq x p x a = [ ] = [ y y y q p a a ]..2 Fehim KÖYLÜ 28
29 Vektör cebiri Sıfır vektör Vektör büyüklüğü Sabit ile vektör çarpımı Normalleştirilmiş vektör Vektör toplama, çıkarma Vektör arası uzaklık Vektör nokta çarpım Vektörel çarpım..2 Fehim KÖYLÜ 29
30 Matris Cebri Transpoz Toplama İki matris çarpma Skaler ile çarpma Vektör ile matris çarpma Determinantı Matris Tersi..2 Fehim KÖYLÜ 3
31 Nokta Vektörel grafikler en temel nokta elemanı ile temsil edilir. Nokta; 2 boyutlu kartezyen sistemi x ve y değerleri; 3 Boyutlu kartezyen sisteminde x, y ve z değerleri ile tanımlıdır...2 Fehim KÖYLÜ 3
32 Dönüşümler Taşıma Ölçekleme Döndürme Yansıtma [ x y]* T = [ x' y '] Nokta Dönüşüm Çarpanı Noktanın Yeni Konumu..2 Fehim KÖYLÜ 32
33 Taşıma [ x y] + [ t t ] = [ x' y x y ']..2 Fehim KÖYLÜ 33
34 Dönüşüm matrisi [x y] noktası üzerinde dönüşüm işlemi için aşağıdaki gibi bir matris tanımlanır. a c b d Ölçekleme Döndürme Dönüşüm a A cθ b sθ c -sθ d D cθ X eksenine göre yansıtma - Y ye göre yansıtma - O göre yansıtma Y=X doğrusuna göre yansıtma Fehim KÖYLÜ 34
35 Ölçekleme Fehim KÖYLÜ 35
36 Döndürme Noktalar; 2 2 θ=45 cos 45 sin 45 sin 45 cos 45 2,4,4,77,77 = *,4,77,77 2,4,4..2 Fehim KÖYLÜ 36
37 Döndürme θ=9 θ=8 *Saatin tersi yönde..2 Fehim KÖYLÜ 37
38 Dönüşüm matrisi Taşıma işlemi için de kullanılabilecek; 2d genel bir dönüşüm matrisi tanımlayabilmek için; homojen koordinat gösterimi kullanılır ve homojen dönüşüm matrisi 3x3 boyutlarına getirilir. [ x y ]* T = [ x' y' ] Nokta Dönüşüm matrisi Noktanın Yeni Konumu..2 Fehim KÖYLÜ 38
39 Düzgün Dönüşüm matrisi Affine transformation matrix [x y ] noktası üzerinde dönüşüm işlemi için aşağıdaki gibi bir matris tanımlanır. Matris katsayıları uygun seçilerek bütün dönüşüm işlemleri için çarpım biçiminde kullanılır. Ölçekleme katsayıları a b c d e f Taşıma katsayıları g h Döndürme katsayıları Kısmi projeksiyon Genel ölçekleme..2 Fehim KÖYLÜ 39
40 3 Boyutlu Dönüşüm Matrisi 3 boyutlu sistemde bir nokta vektörü[x y z] değeri ile tanımlıdır. Bu vektör [x y z ] homojen biçiminde gösterilebilir. Ölçekleme Döndürme meyilleme Taşıma a d g t b e h u c f l v p q r s Projeksiyon (izdüşümü) Genel ölçekleme..2 Fehim KÖYLÜ 4
41 ..2 Fehim KÖYLÜ 4 Genel ölçekleme 2 noktaya genel ölçekleme uygulanırsa; ] [ ] 5 5 [ 5 ]* [ ' ' ' 2 ' ' ' z y x z y x z y x z y x z y x z y x = =,... 5 ' x x =
42 Bileşik dönüşüm matrisi Peş peşe birkaç dönüşüm işlemi gerçekleştirilmek istenirse; V * T = V V * T2 = V V * T3 = V Bunun yerine; T * T2 * T3 = T bileşik V * T bilesik = V..2 Fehim KÖYLÜ 42
43 3B Döndürme 2B döndürme işlemi orjin noktası referans alınarak gerçekleştirilirken 3 boyutlu döndürme işlemi herhangi bir eksen(x, y, z) seçilerek gerçekleşir...2 Fehim KÖYLÜ 43
44 3B Döndürme X ekseni etrafında döndürme; cosα sinα sinα cosα..2 Fehim KÖYLÜ 44
45 3B Döndürme Y ekseni etrafında döndürme; cos β sin β sin β cos β..2 Fehim KÖYLÜ 45
46 3B Döndürme Z ekseni etrafında döndürme; cosθ sinθ sinθ cosθ..2 Fehim KÖYLÜ 46
47 3B Döndürme Keyfi bir eksene göre döndürmek A=[l m n ] noktasından geçen bir doğruya göre herhangi bir eksende(x,y,z) döndürmek istenirse; Önce orjine taşınır. [-l m n ] Döndürme gerçekleştirilir. [l m n] ile tekrar taşınır...2 Fehim KÖYLÜ 47
48 Projeksiyon En temel projeksiyon; 3 boyutlu uzaydan 2 boyutlu düzleme izdüşürmektir...2 Fehim KÖYLÜ 48
49 Projeksiyon Herhangi bir düzlem üzerine izdüşürmek için diğer eksen değerleri sıfırlanır. (x-y) için z (y-z) için x (x-z) için y sıfırlanır...2 Fehim KÖYLÜ 49
50 Projeksiyon Paralel Projeksiyon (izdüşüm) Perspektif Ortographic Lineer Perspektif Axononetric Bir nokta Trimetric Dimetric İki nokta Üç nokta Isometric Curvilineer perspektif Oblique Ters perspektif Cavalier Cabinet..2 Fehim KÖYLÜ 5
51 Projeksiyon temelleri İğne deliği (pin hole) kamera Pinhole Multiple rays of projection Film Plane..2 Fehim KÖYLÜ 5
52 Projeksiyon temelleri Nokta kamerada resim düzlemine izdüşüm Pinhole One ray of projection Film Plane..2 Fehim KÖYLÜ 52
53 Görünüm alanı Görünüm alanı (Field of view) Focal Length Pinhole Film Plane..2 Fehim KÖYLÜ 53
54 Görünüm alanı Odak uzunluğu ve görünüm alanı birbiri ile ters orantılıdır. Focal Length Pinhole Field of View Film Plane..2 Fehim KÖYLÜ 54
55 Görünüm alanı Lens eklenirse; düzlemi oynatmadan, görünüm alanının değiştirilmesi mümkün olur. COP: İzdüşüm merkezi COP Center of projection Projection Plane..2 Fehim KÖYLÜ 55
56 Perspektif izdüşüm Tek nokta perspektif izdüşüm İki nokta perspektif izdüşüm..2 Fehim KÖYLÜ 56
57 Perspektif izdüşüm X View plane P (x, y, z) (,,) x =? Z d..2 Fehim KÖYLÜ 57
58 Perspektif izdüşüm [x y z ] noktasının düzleme izdüşümü..2 Fehim KÖYLÜ 58
59 Perspektif izdüşüm Yükseklik..2 Fehim KÖYLÜ 59
60 COP yer değişimi COP Perspektif izdüşüm COP COP, Orthographic View..2 Fehim KÖYLÜ 6
61 Perspektif izdüşüm..2 Fehim KÖYLÜ 6 *Wikipedia
62 Perspektif izdüşüm Perspektif izdüşüm 3 nokta resim izdüşüm düzlemini, diğer nokta kamera konumunu belirtir...2 Fehim KÖYLÜ 62
63 Perspektif izdüşüm Z=r düzlemine izdüşüm dönüşüm matrisi r..2 Fehim KÖYLÜ 63
64 ..2 Fehim KÖYLÜ 64 Perspektif izdüşüm Projeksiyon merkezi (COP, kamera konumu) [,,-k] iken z= düzlemine izdüşüm (projeksiyon düzlemi) dönüşüm matrisi *Ders notu Sayfa 24 / k
65 Perspektif izdüşüm Bakış açısına (kamera pozisyonuna) göre görünümü iz düşürmek için kullanılır. Uzaktaki cisimler yakındaki cisimlere göre daha küçük biçimde görünür. Derinlik hissi verir. Kamera noktasına yakın cisim daha geniş görünür. Çizgilerin paralelliği korunmaz (düzgün (affine) değil)..2 Fehim KÖYLÜ 65
66 Perspektif izdüşüm S noktası COP M projeksiyon düzlemi P,P2,P3 noktalar T(P),T(P2),T(P3) İzdüşürülmüş nokta Konumları *Ders notu Sayfa Fehim KÖYLÜ 66
67 Resim düzlemi Tepe görünüm Perspektif izdüşüm Kamera (x,y,z) konumunda iken, üst sağda verilen kamera görüntüsünde her bir noktanın(x,y) pozisyonu, sahne(x,y,z) konumundan perspektif izdüşümü ile elde edilir. Kamera (Xk,Yk,Zk) *X ekseni: (Kırmızı) Y ekseni: (Yeşil) Z ekseni: (Mavi) sahne..2 Fehim KÖYLÜ 67
68 Resim düzlemi Perspektif izdüşüm X Resim düzlemi (,,) y =? sahne Kamera (Xk,Yk,Zk) d P (x, y, z) *X ekseni: (Kırmızı) Y ekseni: (Yeşil) Z ekseni: (Mavi)..2 Fehim KÖYLÜ 68 Z
69 Bir sanal kamera üç boyutlu dünya koordinatlarında tanımlanmış göz noktası ve bakılan nokta olarak isimlendirilmiş iki nokta ile tanımlanabilir. Sanal kameranın tanımı için kullanılan bazı yaygın bilgisayar terimleri aşağıda açıklanmıştır. Dünya Koordinat Sistemi (World Coodinate System, WCS ) : Bazen nesne uzayı olarak kullanılsa da nesnelerin temel koordinat sistemidir. Bakış Düzlemi ( View Plane, VP ) : Üç boyutlu resmin izdüşümünün yapıldığı düzlem. Genellikle bilgisayar ekranı olarak alınır. Bakış Düzlemi Koordinatları (View Plane Coordinates, VPC ) : Bilgisayar ekranı koordinat sistemidir. VP ile ilgilidir. İlgilenilen Nokta ( Point of Interest, POI ) : Bakılan görüntü üzerindeki ilgilenilen merkez nokta. Bazen bakış pozisyonu olarak da tanımlanabilir. Eğer bu nokta değişirse ekrandaki görüntü direk olarak etkilenir. Bakış Düzleminin Normali (View Plane Distance, VPN ) : Bakış düzleminden ilgilenilen noktaya yönlendirilmiş bir vektördür ve bakış düzlemine diktir. Bakış Düzleminin Mesafesi (View Plane Distance, VPD ) : Bakış VPN boyunca POI ve VP arasındaki uzaklığa, bakış düzleminin mesafesi denir. Bakış Noktası ( View Point, VPT ) : Göz noktası olarak da bilinir. WCS ile ilişkili olarak kamera pozisyonu veya bakış pozisyonunun üç boyutlu koordinat değerleri ile tanımlandığı noktadır...2 Fehim KÖYLÜ 69
70 Kamera dünya koordinatlarında ( WCS ) yerleştirilmiştir. Bulunulan noktadan xy, yz, xz yüzeylerine dik olan mesafeler kamera pozisyonunu verir. Z ekseni yukarı bakış yönünü ve POIx, POIy, POIz değerleri dünya koordinat sistemi ( WCS ) ile ilişkili verilmiştir. Bakış noktası normali ( VPN ); kamera objektifi ile ilgilenilen noktayı ( POI ) birbirine bağlar ve bilgisayar ekranına diktir. Kamera yönü POI ya doğrudur. Bilgisayar ekranı üzerinde sol alt köşe orijin olarak ve XS noktaları sağa doğru, YS noktaları yukarı doğru alınmıştır. Bu dönüşümler kullanıldığında görüntü koordinatları, bilgisayar ekranı koordinat sistemine ( VPC ) dönüştürülmüş olur. Bu işlemler birkaç adımda gerçekleştirilir. İlk olarak orijin ilgi noktasına(poi) kaydırılır. Daha sonra P (XC, YC, ZC ) değerleri alınarak bakış noktasına çevrilir. XC ekseni üzerinde YC ekseni Z WCS yi kesene kadar koordinat sistemi çevrilir ve eksen sistemi de XC ekseni etrafında ZC ekseni ilgilenilen noktayı gösterene kadar döndürülür. Sonuçta koordinat sistemini sol-el koordinat sistemine dönüştürmek için XC ekseninin yönü ters çevrilir. Bu beş dönüşüm işlemi sırasıyla ayrı matris işlemleri biçiminde tanımlanır. Dönüşüm matrisleri içinde P ( XC, YC, ZC ) dünya koordinat sistemiyle ilişkilendirilmiş üç boyutlu kamera koordinatları tanımına uygun gelir. D doğrusu POI ile kamera koordinatlarını birleştirir. P ( X, Y, Z ) nün değerleri de aşağıdaki gibi hesaplanır. X = ( XC XPOI ) Y = ( YC YPOI ) Z = ( ZC ZPOI ) Dünya koordinatlarında verilen bir P ( XW, YW, ZW ) noktası aşağıdaki formül ile kamera koordinatlarına dönüştürülebilir. P ( XC, YC, ZC ) = P ( XC, YC, ZC ) * T Yukarıda verilen dönüşüm işlemlerinin tümünü bir seri şeklinde gösteren dönüşüm matrisleridir. P ( XC, YC, ZC ) = P ( XW, YW, ZW ) * ( T,T2, T3, T4 ) Verilmiş bir noktanın yukarıdaki gibi kamera koordinatlarının bulunmasından sonra ekran koordinat değerleri de hesaplanabilir. Bizim görüntümüzü oluşturan noktaların bütün koordinat değerleri yukarıda tanımlandığı şekliyle hesaplanır. Kullanıcı, kamera hareketlerini tanımladığı gibi bakış noktasını ve ilgilenilen noktayı da değiştirmekte serbesttir. Bu durum değişken bakış şartlarının ortaya çıkmasını sağlar. Her bir çerçevenin hesaplanması sırasında program gerekli dönüşüm parametrelerini kontrol eder ve eğer onlar değişirse bir sonraki çerçeve yeni tanımlanan parametrelere göre hesaplanır..2 Fehim KÖYLÜ 7
71 *KTÜ..2 Fehim KÖYLÜ 7
72 ..2 Fehim KÖYLÜ 72
73 ..2 Fehim KÖYLÜ 73
74 ..2 Fehim KÖYLÜ 74
75 Perspektif izdüşüm Kameranın pozisyonuna göre her bir noktanın izdüşüm dönüşümleri yapmak için; X Resim Düzlemi P (x, y, z) (,,) x =? d y = d..2 Fehim KÖYLÜ 75 x = x z d y z Z
76 Paralel İzdüşüm Cisimleri tek düzlem üzerinde gösterir. Cisimlerin düzlem üzerinde olan birbirine olan uzaklıkları korunur. Cisimlerin düzleme dik uzaklıkları kaybolur. Uzaklığa bağlı olarak cisimlerin büyüklükleri değişmez. Mekanik gösterimler için kullanışlıdır...2 Fehim KÖYLÜ 76
77 Paralel v Perspektif Parallel Projection Perspective Projection..2 Fehim KÖYLÜ 77
78 Ortographic Paralel Projection Kamera arka düzlemi lens ile paraleldir. Sonsuz uzaklıkta odak noktası vardır...2 Fehim KÖYLÜ 78
79 ..2 Fehim KÖYLÜ 79 Ortographic Paralel Projection Z=n düzlemi için Y=m düzlemi için n m
80 Axonometric Projection Nesnenin fotoğrafik görüntüsünü elde etmek için birden fazla yüzünün görünmesini sağlayan paralel izdüşümdür. Isometrik Trimetrik Dimetrik..2 Fehim KÖYLÜ 8
81 Axonometric Projection Views: a. trimetric b. top c. side..2 Fehim KÖYLÜ 8
82 ..2 Fehim KÖYLÜ 82 İzdüşüm matrisleri Z= (x-y)düzlemi ortografik -> z=n düzlemi ortografik-> Trimetrik axonometrik paralel->. x ekseninde 9 derece döndürülür 2. z= düzlemine projeksiyon yapılır. = T = n T = T = cos9 sin 9 sin 9 cos9 T
83 ..2 Fehim KÖYLÜ 83 İzdüşüm matrisleri Dimetrik axonometrik paralel izdüşüm θ x = 2,75 θy= 22,28 [ ] [ ] = cosθ θ θ cosθ. cosθ sin θ θ cosθ. x x x x y y y y Sin Sin Sin z y x H z y x
84 ..2 Fehim KÖYLÜ 84 İzdüşüm matrisleri izometrik axonometrik paralel izdüşüm θ x = 35,26 θy= 45 *Ders notu Sayfa 23 [ ] [ ] = cosθ θ θ cosθ. cosθ sin θ θ cosθ. x x x x y y y y Sin Sin Sin z y x H z y x
85 3B açısal dönüşüm 3 boyutlu uzayda açısal dönüşüm 3 farklı yolla ifade edilebilir. Matris formu Euler açıları Quaternion (dördey)..2 Fehim KÖYLÜ 85
86 Matris formu (+)Noktaların birebir dönüşümleri mümkündür. (+)Grafik API ler tarafından kullanılır. (+)Göreceli olarak çoklu dönüşümleri birlikte kullanmaya imkan tanır. (-)Fazla bellek ihtiyacı (-)Anlaşılması zor..2 Fehim KÖYLÜ 86
87 Euler Açıları Heading (y) Pitch(x) Bank (z) Başka bir isimlendirme Roll, pitch, yaw açıları..2 Fehim KÖYLÜ 87
88 Euler açıları (+)Anlaşılması kolay (+)Az sayı ile temsil (-)Verilen dönüşüm için tek bir açı temsili yok. (-)İki farklı açı seti arasında dönüşüm zor...2 Fehim KÖYLÜ 88
89 Dönüşüm Karşılaştırması İşlem Matris Euler Quad Koordinat uzaylarında nokta döndürme Ardarda dönüşüm birleşim Interpolasyon Anlaşılabilir Zor Kolay Zor Bellek 9 sayı 3 sayı 4 sayı Bir dönüşüm için temsil Tekil Sonsuz üçlü bulunabilir İki temsil..2 Fehim KÖYLÜ 89
90 Temsiller arası dönüşüm Euler -> Matris Matris -> Euler Quaternion -> Matris Matris -> Quaternion..2 Fehim KÖYLÜ 9
Bilgisayar Grafikleri
Bilgisayar Grafikleri Konular: Cismin Tanımlanması Bilindiği gibi iki boyutta noktalar x ve y olmak üzere iki boyutun koordinatları şeklinde ifade edilirler. Üç boyutta da üçüncü boyut olan z ekseni üçücü
Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):
Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
Bilgisayar Grafikleri
Bilgisayar Grafikleri Kaynak Kitaplar : Mathematical Elements for Computer Graphics David F.Rogers, J.Alan Adams McGraw-Hill Publishing Company Procedural Elements for Computer Graphics David F.Rogers
Bilgisayarla Görüye Giriş
Bilgisayarla Görüye Giriş Ders 2 Görüntü Oluşumu Alp Ertürk alp.erturk@kocaeli.edu.tr Sadece bir nesnenin önüne fotoğraf filmi koyarak mantıklı bir görüntü elde edebilir miyiz? Slide by Steve Seitz İğne
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :
ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK
Öteleme ve yansımanın birlikte kullanıldığı dönüşümlere ötelemeli yansıma denir. Düzlemde yansıma ve ötelemeli yansıma dönüşümlerinde uzaklıklar korunurken açıların yönleri değişir. Ötelemeli yansıma dönüşümünde
LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö
LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı
1. HAFTA. Statik, uzayda kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge koşullarını inceler.
1. HAFTA Statik, uzayda kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge koşullarını inceler. Statikte üç temel büyüklük vardır. Uzay: Fiziksel olayların meydana geldiği geometrik bir bölgedir. İncelenen problemin
7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
4. HAFTA ENM 108 BİLGİSAYAR DESTEKLİ TEKNİK RESİM. Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN. inankeskin@karabuk.edu.tr
4. HAFTA ENM 108 BİLGİSAYAR DESTEKLİ TEKNİK RESİM Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN inankeskin@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İçindekiler Tablosu Koordinat Kullanımı...
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
BÖLÜM 04. Çalışma Unsurları
BÖLÜM 04 Çalışma Unsurları Autodesk Inventor 2008 Tanıtma ve Kullanma Kılavuzu SAYISAL GRAFİK Çalışma Unsurları Parça ya da montaj tasarımı sırasında, örneğin bir eskiz düzlemi tanımlarken, parçanın düzlemlerinden
Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.
Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü
Parametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların
KUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar
Bölüm-4. İki Boyutta Hareket
Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme
TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Perspektifler-2
TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi Perspektifler-2 2/25 Perspektifler-2 Perspektifler-2 Perspektif Çeşitleri Dimetrik Perspektif Trimetrik Perspektif Eğik Perspektif
A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS
. Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product
Bilgisayarla Görüye Giriş
Bilgisayarla Görüye Giriş Ders 9 Stereo Görüntüleme Alp Ertürk alp.erturk@kocaeli.edu.tr Tek Kamera Geometrisi??? x Tek Kamera Geometrisi Tek Kamera Geometrisi İğne Deliği Kamera Modeli ) /, / ( ),, (
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
COM337 Bilgisayar Grafiği. OpenGL ile Grafik Programlama. Dr. Erkan Bostancı
COM337 Bilgisayar Grafiği OpenGL ile Grafik Programlama Dr. Erkan Bostancı İçerik Giriş Dönüşüm matrisleri Matris yığınları (stack) Giriş İlk olarak gizli yüzeylerin kaldırılmasını (hidden surface removal)
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri
ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik
Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
MHN 113 Teknik Resim ve Tasarı Geometri 2
6. ÖLÜM İZDÜŞÜM MHN 113 Teknik Resim ve Tasarı Geometri 2 6. İZDÜŞÜM 6.1. GENEL İLGİLER Uzaydaki bir cisim, bir düzlem önünde tutulup bu cisme karşıdan bakılacak olursa, cismin düzlem üzerine bir görüntüsü
Dik İzdüşüm Teorisi. Prof. Dr. Muammer Nalbant. Muammer Nalbant
Dik İzdüşüm Teorisi Prof. Dr. Muammer Nalbant Muammer Nalbant 2017 1 Dik İzdüşüm Terminolojisi Bakış Noktası- 3 boyutlu uzayda bakılan nesneden sonsuz uzaktaki herhangi bir yer. Bakış Hattı- gözlemcinin
JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.
JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen
( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
Görünmeyen Yüzey ve Arkayüz Kaldırma
KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR GRAFİKLERİ LABORATUARI Görünmeyen Yüzey ve Arkayüz Kaldırma 1. Giriş Bilgisayar grafiklerinin en önemli problemlerinden biri katı
Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI
FOTOGRAMETRİ I GEOMETRİK ve MATEMATİK TEMELLER Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/
İZDÜŞÜM PRENSİPLERİ 8X M A 0.14 M A C M 0.06 A X 45. M42 X 1.5-6g 0.1 M B M
0.08 M A 8X 7.9-8.1 0.1 M B M M42 X 1.5-6g 0.06 A 6.6 6.1 9.6 9.4 C 8X 45 0.14 M A C M 86 20.00-20.13 İZDÜŞÜM C A 0.14 B PRENSİPLERİ 44.60 44.45 B 31.8 31.6 0.1 9.6 9.4 25.5 25.4 36 Prof. Dr. 34 Selim
Chapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
Noktasal Cismin Dengesi
Noktasal Cismin Dengesi Bu bölümde; Kuvvetleri bieşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemleri çözmede kullanılacaktır. Bölüm 3 DOÇ.DR.
ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,
1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK
STATİK Ders Notları Kaynaklar: 1.Engineering Mechanics: Statics, 9e, Hibbeler, Prentice Hall 2.Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige 1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR
Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
İNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ. Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018
İNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018 TEKNİK RESİM Teknik resim, teknik elemanların üretim yapabilmeleri için anlatmak istedikleri teknik özelliklerin biçim ve
Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.
![Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.](/thumbs/55/36610671.jpg "Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.")
Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde
ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET
TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.
STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve ektörler - Newton Kanunları 2. KUET SİSTEMLEİ - İki Boyutlu
HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ
HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ Öğr. Gör. RECEP KÖKÇAN Tel: +90 312 267 30 20 http://yunus.hacettepe.edu.tr/~rkokcan/ E-mail_1: rkokcan@hacettepe.edu.tr
Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI
FOTOGRAMETRİ I GEOMETRİK ve MATEMATİK TEMELLER Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bubölümdebirnoktayaetkiyen vebelli bir koordinat ekseni/düzlemi ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi/başka bir düzlem ile ilişkili
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
ÜÇ BOYUTLU ÇİZİME GİRİŞ YÜZEY VE KATILARIN BİRLEŞTİRİLMESİ,ÇIKARILMASI,ARA KESİTLERİNİN ALINMASI:
ÜÇ BOYUTLU ÇİZİME GİRİŞ YÜZEY VE KATILARIN BİRLEŞTİRİLMESİ,ÇIKARILMASI,ARA KESİTLERİNİN ALINMASI: WCS : World Coordinate System, Dünya (Absolute) Koordinat Sistemi. UCS : User Coordinate System, Kullanıcı
Fizik Dr. Murat Aydemir
Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
MEKANİZMA TEKNİĞİ (3. Hafta)
MEKANİZMALARIN KİNEMATİK ANALİZİ Temel Kavramlar MEKANİZMA TEKNİĞİ (3. Hafta) Bir mekanizmanın Kinematik Analizinden bahsettiğimizde, onun üzerindeki tüm uzuvların yada istenilen herhangi bir noktanın
LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 8 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
Ödev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N
Ödev 1 Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N 1 600 N 600 N 600 N u sin120 600 N sin 30 u 1039N v sin 30 600 N sin 30 v 600N 2 Ödev 2 Ödev2: 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü
Çarpanlar ve Katlar
8.1.1. Çarpanlar ve Katlar 8.1.2. Üslü İfadeler 8.1.3. Kareköklü İfadeler 8.2.1. Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler 8.1.1.1 Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade
MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.
7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından
Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
Fotogrametride Koordinat Sistemleri
Fotogrametride Koordinat Sistemleri Komparator koordinat sistemi, Resim koordinat sistemi / piksel koordinat sistemi, Model veya çekim koordinat sistemi, Jeodezik koordinat sistemi 08 Ocak 2014 Çarşamba
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
STATİK AĞIRLIK MERKEZİ. 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler. 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı
1 STATİK AĞIRLIK MERKEZİ 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı 3.5 Pappus-Guldinus Teoremi 3.6 Yayılı Yüke Eşdeğer Tekil Yük 3.7 Sıvı
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir
Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme
Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Gerilme ve Şekil değiştirme bileşenlerinin lineer ilişkileri Hooke Yasası olarak bilinir. Elastisite Modülü (Young Modülü) Tek boyutlu Hooke
ARAZİ ÖLÇMELERİ. İki Boyutlu Koordinat sistemleri Arası Dönüşüm
İki Boyutlu Koordinat sistemleri Arası Dönüşüm Amaç, bir koordinat sistemine göre elde edilmiş olan koordinatların, diğer bir koordinat sistemindeki koordinat değerlerini elde etmektir. İki haritanın koordinat
ÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.
SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN
SİDRE 000 ORTAOKULU 06-07 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN ÜNİTE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Ders Saati 9.09.06/.09.06 Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme i 7...
BİLGİSAYAR DESTEKLİ TASARIM 1. HAFTA
BİLGİSAYAR DESTEKLİ TASARIM 1. HAFTA AUTOCAD Nedir? AutoCAD, tasarım ve çizimlerinizi bilgisayarda yapabilmenizi sağlayan Bilgisayar Destekli Tasarım ve Çizim yazılımıdır. AutoDesk Ltd. İsviçre şirketinin
BÖLÜM 17 17. ÜÇ BOYUTLU NESNELERİ KAPLAMA VE GÖLGELENDİRME
BÖLÜM 17 17. ÜÇ BOYUTLU NESNELERİ KAPLAMA VE GÖLGELENDİRME 17.1. HİDE Üç boyutlu katı modelleme ve yüzey modellemede Wireframe yapılarının görünmemesi için çizgileri saklama görevi yapar. HİDE komutuna
MALZEME BİLGİSİ DERS 6 DR. FATİH AY.
MALZEME BİLGİSİ DERS 6 DR. FATİH AY www.fatihay.net fatihay@fatihay.net GEÇEN HAFTA TEMEL KAVRAMLAR BİRİM HÜCRE METALLERDE KRİSTAL YAPILAR YOĞUNLUK HESAPLAMA BÖLÜM III KATILARDA KRİSTAL YAPILAR KRİSTAL
III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER
Bölüm 1 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER 1.1 YÜZEYLER:TANIM VE ÖRNEKLER Bu kesimin amacı R 3 de yüzeyler teorisini incelemek ve bunun içinde manifoldlar teorisinin gerekli kısmını aktarmaktır.
UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM
UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki
Perspektif: Bir cismin bir bakışta, genel olarak üç yüzünün birden görünecek şekilde çizilen resimlerine denir. PERSPEKTİF. Kavaliyer Kabinet Militer
Perspektif Perspektifler Perspektif: Bir cismin bir bakışta, genel olarak üç yüzünün birden görünecek şekilde çizilen resimlerine denir. PERSPEKTİF ksonometrik perspektif Paralel perspektif Eğik perspektif
CAEeda TM OM6 KANADI MODELLEME. EDA Tasarım Analiz Mühendislik
CAEeda TM OM6 KANADI MODELLEME EDA Tasarım Analiz Mühendislik 1. Kapsam Kanat Sınırlarını Çizme Taban Kanat Profilinin Hücum ve Firar Kenarları Sınırlarını Çizme Kanat Profilini Dosyadan (.txt) Okuma Geometrik
AÇILIŞ EKRANI. Açılış ekranı temelde üç pencereye ayrılır:
AÇILIŞ EKRANI Açılış ekranı temelde üç pencereye ayrılır: Tam ortada çizim alanı (drawing area), en altta komut satırı (command line) ve en üstte ve sol tarafta araç çubukları (toolbar). AutoCAD te dört
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,
Vektör Analizi(Özet) Bir vektörün büyüklüğü(boyu) Birim vektör A A = A 2 + A 2 y + A 2 z (1) A â A (2) İki vektörün skaler(nokta) çarpımı Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate
(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.
BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı
ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri
ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri
Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi
MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine
FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
Sanal Ortamda Nesnelerin Haptic Kol ile Manipülasyonu. Sevcan AYTEKİN Alpaslan DUYSAK
Sanal Ortamda Nesnelerin Haptic Kol ile Manipülasyonu Sevcan AYTEKİN Alpaslan DUYSAK İÇERİK Amaç Sanal Ortam Sanal Ortam Aygıtları Uygulama Alanları Üç Boyutlu Modelleme (3B) OpenGL, 3Dmax Sanal Ortamın
Mat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
Bilgisayar Grafiği. Volkan KAVADARLI
Bilgisayar Grafiği Volkan KAVADARLI 11011032 Bilgisayar Grafiği? Özel bir grafik donanımı ve yazılımının yardımıyla bir bilgisayar tarafından görüntü verisinin temsilini kullanarak oluşturulmuş görüntüler.