BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS

Transkript

1 BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON-REAKSİYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS EYLEM ÖZTÜRK PROF. DR. KAMAL SOLTANOV Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı İçin Öngördüğü DOKTORA TEZİ olarak hazırlanmıştır. 214

2 Eylem ÖZTÜRK ün hazırladığı Bir sınıf doğrusal olmayan difüzyon-reaksiyon denklemlerinin incelenmesi adlı bu çalışma aşağıdaki jüri tarafından MATEMATİK ANABİLİM DALI nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Prof. Dr. Uğurhan Muğan Başkan... Prof. Dr. Kamal SOLTANOV Danışman... Prof. Dr. Emin ÖZC. AĞ Üye... Prof. Dr. Emil NOVRUZOV Üye... Yrd. Doç. Dr. Uğur GÜL Üye... Bu tez Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tarafından DOKTORA TEZİ olarak onaylanmıştır. Prof. Dr. Fatma SEVİN DÜZ Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

3 ETİK Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında, tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversitede veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim EYLEM ÖZTÜRK

4 ÖZET BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON-REAKSİYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ Eylem ÖZTÜRK Doktora, Matematik Bölümü Tez Danışmanı: Prof. Dr. Kamal SOLTANOV Ocak 214, 77 sayfa Bu tez çalışmasında, lineer olmayan yapısı keyfi mertebeden polinom büyüme hızına sahip reaksiyon difüzyon denleminin Robin sınır koşulu altında, çözülebilirliği ve çözümünün uzun zaman davranışı araştırılmıştır. Tezimizin birinci bölümünde inceleyeceğimiz problem tanıtılmıştır. Ayrıca reaksiyon difüzyon denklemlerinden ve özellikle Robin sınır koşulu altında incelenmiş lineer olmayan parabolik denklemler ile ilgili yapılmış çalışmalardan bahsedilmiştir. Tezimizin ikinci bölümünde, çalışmamızda ihtiyaç duyacağımız bazı temel kavramlar, teoremler, lemmalar ve eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü bölümde, problem başlangıç koşulu sıfır iken, lineer olmayan yapısına bağlı olarak alt lineer, lineer ve üst lineer durumlarda incelenmiştir. Ayrıca üst lineer durum, sıfırdan farklı başlangıç koşulu altında gözönüne alınmıştır. Problem in genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliği için katsayı fonksiyonları üzerine yeterli koşullar bulunmuştur. Bu koşullar altında [29] daki genel bir teorem kullanılarak genelleşmiş çözümün varlığı ve bazı durumlarda tekliği ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde, ilk olarak, çözümün L 2 () da yutan kümeye sahip olduğu ispatlanmıştır. Dahası h ve φ (problemin sağ tarafındaki fonksiyonlar) fonksiyonları yalnızca x e bağlı olduğunda W2 1 () L ρ+2 () da yutan kümenin varlığı ispatlanmıştır. Ayrıca h ve φ fonksiyonlarının yanı sıra katsayı fonksiyonlarının da yalnızca x e bağlı olduğu durumda çözümlerin asimptotik düzenliliği ve W2 1 () L ρ+2 () da yerel olmayan çekicicnin varlığı ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler : Reaksiyon-Difüzyon denklemi, Robin sınır koşulu, Yutan küme, Asimptotik kompaktlık, Yerel olmayan çekici, Varlık ve teklik. i

5 ABSTRACT INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS Eylem ÖZTÜRK Doctor of Philosophy, Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Kamal SOLTANOV January 214, 77 pages In this dissertation, the study of long-time behavior and solvability of the reactiondiffusion equation, which has a polynomial growth nonlinearity of arbitrary order, with Robin boundary condition on the bounded domain have been investigated. The dissertation is organized as follows. In the first part (Chapter 1), we introduce the problem to be studied. Additionally, the works which are related to the reaction-diffusion equations and especially with Robin boundary condition have been outlined. In the second chapter of dissertation, we give the definitions of some basic notions, theorems, lemmas and inequalities. In the third chapter, We investigate the problem in sublinear, linear and super linear cases, by depending on nonlinear part when the initial condition is zero. Additionally we investigate with nonzero initial condition in super linear case. For the existence and uniqueness of the generalized solution of problem, we obtain sufficient conditions for coefficient functions and under these conditions we show the existence of generalized solution of problem and the uniqueness of the solution in corresponding spaces, by applying a general existence theorem from [29]. In the fourth chapter, firstly we prove that the solution has an absorbing set in L 2 (). Secondly assuming that functions h and φ(in the right side of the problem) do not depend on the variable t, we prove the existence of absorbing set in W2 1 () L ρ+2 (). Also when the coefficients functions depend only on x as well as h and φ, we prove some asymptotic regularity and the existence of global attractor in W2 1 () L ρ+2 (). Keywords: Reaction-Diffusion equation, Robin boundary condition, Absorbing set, Asymptotic compactness, Global attractor, Existence and uniqueness. ii

6 TEŞEKKÜR Yüksek lisans ve doktora eğitimim boyunca bana zaman ayıran ve sabırla yol gösterip destek olan kendisinden çok şey öğrendiğim değerli hocam ve tez danışmanım Prof. Dr. Kamal Soltanov a çok teşekkür ederim. Bu süreçte tüm sıkıntılarımı paylaşan ve desteklerini hiç esirgemeyen çalışma arkadaşlarım Arş. Gör. Kerime Korkmaz ve Arş. Gör. Gamze Düzgün e teşekkür ederim. Her an sıkıntı ve sevinçlerimi paylaşan aileme destekleri için sonsuz teşekkürlerimi sunarım. 212 ve 213 yıllarında aramıza katılan ve varlıklarıyla büyük mutluluklar yaşatarak beni motive eden sevgili yeğenlerim İpek Öztürk ve Kayra Hepcoşkun a teşekkür ederim. iii

7 İçindekiler ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR İC. İNDEKİLER i ii iii iv 1 GİRİŞ 1 2 ÖN BİLGİLER 5 3 BİR SINIF DİFÜZYON-REAKSİYON DENKLEMİ İC. İN ROBİN SINIR DEĞER PROBLEMİNİN GENELLEŞMİŞ C. ÖZÜMÜNÜN VARLIĞI Problem (1)-(3) ün Formülüze Edilmesi ve Ana Koşullar Üst Lineer Durumda Problem(1)-(3) ün C. özülebilirliği Alt Lineer Durumda Problem (1)-(3) ün C. özülebilirliği Lineer Durumda Problem (1)-(3) ün C. özülebilirliği ve C. özümün Tekliği Başlangıç Koşulu Sıfırdan farklı Olduğunda, Problem (1)-(3) ün C. özülebilirliği ve C. özümün tekliği C. ÖZÜMÜN UZUN ZAMAN DAVRANIŞININ İNCELENMESİ Yutan Kümenin Varlığı h(x, t) = h(x), φ(x, t) = φ(x ) Durumu Otonom Durum KAYNAKLAR 71 ÖZGEC. MİŞ 76 iv

8 1 GİRİŞ Difüzyon-Reaksiyon iki veya daha fazla kimyasal maddenin bir yüzey üzerinde dağılması ve bu maddelerin birbirleri ile tepkimeye girmesi sürecidir. Difüzyon-Reaksiyon denklemlerinin biyoloji, fizik, kimya ve ekoloji gibi alanlarda fiziksel olayların modellenmesindeki önemi birçok bilim adamı tarafından kanıtlanmıştır. 196 yılından bu yana, bu tip denklemler üzerine yapılan çalışmalar matematiksel ve fiziksel anlamda ilginç sonuçların ortaya çıkmasını sağlamıştır. Bu tezin esas amacı bir sınıf difüzyon-reaksiyon denklemi için konulmuş Robin sınır değer probleminin çözümünün varlığını, tekliğini araştırmak ve yarı akış aracılığıyla çözümün uzun zaman davranışını incelemektir. Bu tezde aşağıdaki problemi gözönüne alacağız: u t u + a(x, t) u ρ u b(x, t) u ν u = h(x, t), (x, t) Q T (1) ( u η + k(x, t)u) = φ(x, t), (x, t) Σ T (2) u(x, ) = u (x), x (3) R n, n 3, olmak üzere sınırı yeterince düzgün sınırlı bölgedir; T >, Q T = (, T ) ve Σ T = [, T ] dir. ρ, ν > 1 olarak verilen sayılardır; = n 2 i=1 x 2 i olmak üzere n boyutlu Laplace operatörü; a : Q T R 1, b : Q T R 1 ve k : Σ T R 1 verilen fonksiyonlardır; h ve φ verilen genelleşmiş fonksiyonlardır; Uzaysal-zamansal olguları açıklamak için kullanılan difüzyon-reaksiyon denkleminin genel formu aşağıdaki gibidir: u t d u = f(x, t, u) Burada u(x, t) sıcaklığı, popülasyon yoğunluğunu, ya da genel olarak bir madde miktarını temsil edebilir; d > difüzyon katsayısıdır; u, u nun x değişkenine göre 1

9 Laplace dır; f(x, u) ise heterojen ortama bağlı reaksiyon terimidir. Bu tipteki denklemlerin teorisi ve uygulamaları Fife (1979), Smoller (1983), Britton (1986), Murray (1993) ve Volpert (1994) yayınlarında kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Literatüre baktığımızda, genel olarak difüzyon-reaksiyon denklemlerinin Drichlet (u(x) = ; ) veya Neumann ( u η = ; ) sınır koşulları altında incelendiğini ve Robin sınır koşuluna çok az yer verildiğini görmekteyiz. Bu nedenle bu tipteki denklemlerin Robin sınır koşulu altında incelenmesi son derece önemlidir. Bu tezde, problem (1)-(3) ün genelleşmiş çözümünün varlığını ve tekliğini gösterdikten sonra çözümün uzun zaman davranışını inceleyeceğiz. Yani bu problemin çözümü ile belirli sürekli yarı akışın yerel olmayan çekicisinin varlığını araştıracağız. Difüzyon-reaksiyon denklemlerinin yerel olmayan çekicilerinin varlığı Drichlet sınır koşulu altında 198 li yıllardan bu yana birçok bilim adamı tarafından kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Bu tip denklemler Robin sınır koşulu altında ilk olarak 1987 yılında Hale ve Rocha ([11]) tarafından incelenmiştir. Hale ve Rocha u t D u = f(u) D u + βe(x)u = dη u(x, ) = u (x), x burada R n (n 3), sınırı yeterince düzgün sınırlı bir bölge, D > bir sabit, E : R n sürekli ve pozitif bir fonksiyon, β bir sabit, f in türevi Lipschitz sürekli olmak üzere, kompakt çekicinin varlığını göstermişlerdir yılında Peter Hess ([12]) periyodik difüzyon reaksiyon denklemini Robin sınır koşulu ile incelemiştir: u t k(t) u = m(x, t)h(u) u + β(x)u = dη burada R n (n 1), sınırı yeterince düzgün sınırlı bir bölge ve k(t) pozitif, Hölder sürekli, T -periyotlu (T > ) bir fonksiyon, m Hölder sürekli ve T -periyotlu (T > ) bir fonksiyon, h C 2 (R, R) dir. Bu çalışmada t iken çözümün davranış incelenmiştir. Her çözümün t olduğunda T -periyotlu çözüme yaklaştığı gösterilmiştir. 2

10 28 yılında Payne ve Schaefer ([22]) aşağıdaki problemi incelemiştir: u t u = f(u) u + βu = dη u(x, ) = u (x), x burada R n (n 1), sınırı yeterince düzgün sınırlı bir bölgedir. Bu çalışmada birinci mertebeden difirensiyel eşitsizlikler kullanılarak çözümün sonlu zamanda patlması için f ve u üzerine yeterli koşullar bulunmuştur. 28 yılında Abdalaziz Saleem ([1]) doktora tezinde aşağıdaki problemi gözönüne almıştır: u t d u + g(u) = u + βu = dη u(x, ) = u (x), x burada R n (n 3), sınırı yeterince düzgün sınırlı bir bölge ve g C 1 (R, R) ve β pozitif bir sabittir. α, p R olmak üzere g(u) α u p + C koşulunu sağlamaktadır. Tezinde, A = + I operatörünü Robin sınır koşulu ile gözönüne almış ve L 2 () uzayı için bu operatörün öz fonksiyonlarını içeren ortanormal bir baz olduğunu, W 1 2 () için ise ortogonal bir baz oldğunu ispatlamıştır. Ayrıca Faedo- Galerkin yöntemi ile zayıf çözümün varlık ve tekliğini ispatlamıştır. 211 yılında Jean-François Rault ([24]) makalesinde aşağıdaki problemi gözönüne almışır: u t = u + u p u + dη k(x, t)u = u(x, ) = u (x), x burada R n exterior bölge, p > 1, k negatif olmayan sürekli bir fonksiyon, u C() dır. < u <, lim u (x) = koşulları sağlandığında: x 2 p (1, ) için aşikar olmayan tüm pozitif çözümlerin sonlu zamanda patladığını n göstermiştir. Dahası eğer n 3 ise p = 1+ 2 için de bunun doğru olduğunu göstermiştir. n p > 1+ 2 n olduğunda u ın yeterince küçük değerleri için aşikar olmayan global pozitif 3

11 çözümün varlığını göstermiştir. k fonksiyonu için ek olarak k c koşulu sağlandığında, u ın yeterince küçük değerleri için global pozitif çözümün varlığını göstermiştir. 212 yılında Lu Yang ([35]), R n (n 3), sınırı yeterince düzgün sınırlı bir bölge ve f, g C 1 (R, R) olmak üzere aşağıdaki problemi incelemiştir: u t u + f(u) = h(x, t) u + g(u) = dη u(x, ) = u (x), x Bu makalede, p > 1 ve q > 1 olmak üzere lim s f(s)s s p+1 = C f ve lim s g(s)s s q+1 = C g, p + 1 2q ve C f >, C g < olduğunda problem otonom iken çözümün asimptotik düzenliliği, problem otonom olmadığında ise W 1 2 () uzayında global çekicinin varlığı ispatlanmıştır. Bu tezde problem(1)-(3) ün başlangıç koşulu sıfır olduğunda genelleşmiş çözümünün varlığını ispatladık. Ayrıca başlangıç koşulu sıfırdan farklı olduğunda genelleşmiş çözümün varlığı ve tekliği ispatlandıktan sonra yarı akışlar aracılığı ile çözümün uzun zaman davranışını inceledik. İlk olarak, h ve φ fonksiyonları t ye bağlı olmadığında W 1 2 () L ρ+2 () uzayında yutan kümenin varlığı gösterilmiştir. Dahası h ve φ fonksiyonlarının yanı sıra katsayı fonksiyonları da t ye bağlı olmadığında çözümün asimptotik düzenliliği araştırılmış ve W 1 2 () L ρ+2 () uzayında yerel olmayan çekicinin varlığı gösterilmiştir. 4

12 2 ÖN BİLGİLER Bu bölümde ilerideki bölümlerde kullanılacak bazı tanımlar, teoremler, gösterimler ve eşitsizlikler verilecektir. LİNEER UZAYLAR X, bir reel lineer uzay olsun. Tanım 2.1 ([7]). : X [, ) aşağıdaki koşulları sağlayan bir dönüşüm olsun: (i) x = ancak ve ancak x = dır. (ii) x X ve λ R için λx = λ x dir. (iii) x, y X için x + y x + y dir. Bu durumda X e normlu lineer uzay,. dönüşümüne norm denir. Tanım 2.2 ([7]) X normlu lineer uzay {x n } X ve x X olsun. Eğer lim n x n x = ise o zaman x n dizisi x e yakınsıyor denir ve x n x ile gösterilir. Tanım 2.3 ([7])X normlu lineer uzay {x n } X olsun. Eğer ε > için x n x m < ε, n, m N olacak şekilde bir N > varsa {x n } dizisine Cauchy dizisi denir. Tanım 2.4 ([7])X normlu lineer uzay olsun. X den alınan her Cauchy dizisi bu uzayda bir elemana yakınsak ise X e tam uzay denir. Tanım 2.5 ([7])Tam, normlu bir lineer uzaya Banach uzayı denir. Tanım 2.6 ([2]) X normlu lineer uzayı sayılabilir yoğun alt kümeye sahipse X uzayına ayrılabilir uzay denir. Tanım 2.7 ([2]) X reel lineer uzay olsun. X üzerindeki iç çarpımın ürettiği norma göre Banach uzayı ise X e Hilbert uzayı denir. Tanım 2.8 ([9]) X normlu lineer uzay olsun. X üzerindeki tüm doğrusal ve sınırlı fonksiyoneller uzayına X uzayının duali denir ve X ile gösterilir. x X olmak üzere X üzerindeki norm: biçiminde tanımlanır. x X = x, x sup x X, x x X 5

13 Tanım 2.9 ([7]) X Banach uzayı olsun. Eğer (X ) X ise X e yansımalı uzay denir. Daha açık olarak her u (X ) için u, u = u, u, u X eşitliğini sağlayan u X varsa X yansımalı uzaydır denir. Tanım 2.1 ([8]) X Banach uzayı ve {x n } X olsun. Eğer her f X için lim f, x n = f, x ise {x n } dizisi x X e zayıf yakınsaktır denir ve n x n x biçiminde gösterilir. X Tanım 2.11 ([8]) X, Y normlu lineer uzaylar ve X Y olsun. Her u X için u Y c u X olacak şekilde bir c > sayısı varsa X uzayı Y uzayına sürekli gömülür denir. Tanım 2.12 ([8]) X Banach uzayı olmak üzere X Y olsun. Eğer X uzayında u X e zayıf yakınsayan keyfi {u n } X dizisi Y uzayında u a güçlü yakınsıyorsa X uzayı Y uzayına kompakt gömülür denir. Ayrıca X yansımalı Banach uzayı ve Y keyfi Banach uzayı ise X in Y ye kompakt gömülmesi aşağıdaki koşulların sağlanmasına denktir. (a) X Y (b) X den alınan keyfi sınırlı bir alt küme Y de kompakt bir alt küme tarafından kapsanır. Teorem 2.13 ([8]) Banach uzayında zayıf yakınsak bir dizi sınırlıdır. Teorem 2.14 ([36]) X yansımalı Banach uzayı ve {x n } bu uzayda sınırlı bir dizi olsun. O zaman bu diziden öyle bir alt dizi seçebiliriz ki bu uzayda zayıf yakınsar. Teorem 2.15 ([19]) X ve Y normlu lineer uzaylar ve A : X Y lineer operatör ise A operatörünün sınırlılığı ve sürekliliği denktir. Teorem 2.16 ([19]) X ve Y Banach uzaylar ve A : X Y lineer sürekli operatör olsun. O zaman A : X Y zayıf süreklidir. 6

14 ÖLC. ÜLEBİLİR FONKSİYONLAR Tanım 2.17 ([14]) (, Σ, µ) ölçü uzayı, {f n } ve f üzerinde tanımlı, gerçel değerli Σ- ölçülebilir fonksiyonlar olmak üzere; ε > için n N için µ {x : f (x) f n (x) ε} < ε olacak şekilde N > sayısı bulunabiliyorsa {f n } dizisi f fonksiyonuna ölçüme göre yakınsıyor denir ve olarak gösterilir. f n µ f Önerme 2.18 ([14]) (, Σ, µ) ölçü uzayı, µ() <, {f n } ve f gerçel değerli ölçülebilir fonksiyonlar, f n f fonksiyonuna ölçüme göre yakınsıyor olsun. O zaman {f nk } {f n } alt dizisi vardır ki f nk hhy f sağlanır. LEBESGUE UZAYLARI Tanım 2.19 ([2]) R n bir bölge ve p 1 pozitif bir gerçel sayı olmak üzere üzerinde tanımlanmış u (x) p dx < koşulunu sağlayan, ölçülebilir u fonksiyonlar sınıfına, L p () uzayı denir. Bu lineer uzay üzerindeki norm u = Lp() u (x) p dx 1 p biçiminde tanımlanır. Tanım 2.2 ([2]) R n bölgesinde hemen hemen heryerde sınırlı ölçülebilir fonksiyonlar uzayına L () uzayı denir. Üzerindeki norm: şeklindedir. u L () = ess sup u (x) x Teorem 2.21 ([2]) Eğer 1 p ise L p () Banach uzayıdır. 7

15 Teorem 2.22 ([2]) Eğer 1 p < ise L p () ayrılabilir uzaydır. Teorem 2.23 ([2]) 1 < p < L p () yansımalı uzaydır. Tanım 2.24 ([7])X bir Banach uzayı 1 p < ve a < b olmak üzere b a u(t) X dt < koşulunu sağlayan ölçülebilir u : (a, b) X fonksiyonlardan oluşan uzaya L p (a, b; X) uzayı denir. L p (a, b; X) bir lineer normlu uzaydır ve üzerindeki norm biçiminde tanımlıdır. b u Lp (a,b;x) = ( a u(t) p X dt) 1 p Tanım 2.25 ([7]) X bir Banach uzayı p = ve a < b olmak üzere ölçülebilir ve hemen hemen her yerde sınırlı u : (a, b) X fonksiyonlardan oluşan uzaya L (a, b; X) uzayı denir. L (a, b; X) bir lineer normlu uzaydır ve üzerindeki norm biçiminde tanımlıdır. u L (a,b;x) = ess sup u(t) X t (a,b) Teorem 2.26 ([14]) {f n }, L p () da fonksiyonlar dizisi olsun ve f n f olsun. O Lp() zaman {f n } fonksiyonlar dizisi f fonksiyonuna ölçüme göre yakınsar.. Teorem 2.27 ([7]) X ve Y Banach uzayları olsunlar. L p (a, b; X) aşağıdaki özellikleri sağlar: (i) p [1, ] için L p (a, b; X) bir Banach uzayıdır. (ii) p [1, ) için L p (a, b; X) ayrılabilir uzaydır ancak ve ancak X ayrılabilir uzaydır. (iii) p (1, ) için X yansımalı uzay ise L p (a, b; X) bir yansımalı uzaydır. (iv) 1 p q ve X Y sürekli gömülmesi varsa L q (a, b; X) L p (a, b; Y ) sürekli gömülmesi vardır. Teorem 2.28 ([18]) B, B, B 1 aşağıdaki koşulları sağlayan Banach uzayları olsunlar: 8

16 (i) B B B 1, B ve B 1 yansımalı uzaylar olsunlar. (ii) B B kompakt gömülsün. Bu durumda < T <, 1 < p, p 1 olmak üzere kompakt gömülmesi vardır. {v : v L p (, T ; B ), dv dt L p 1 (, T ; B 1 )} L p (, T ; B) Lemma 2.29 ([16]) R n (n 1) sınırlı bölge p > 1, q > 1 olmak üzere f : L p () L q () sınırlı bir dönüşüm ve f (t,.) : R 1 R 1 sürekli fonksiyon olsun. Ayrıca {u m } L p () ve u L p () için u m u Lp() ve u m hhy u olsun. O zaman {u mk } {u m } vardır ki sağlanır. f (x, u mk ) f (x, u ) Lq () SOBOLEV UZAYLARI Tanım 2.3 ([2]) R n bölge, m > bir tamsayı ve 1 p olsun. Wp m () = {u L p () : D α u L p (), α m } biçiminde tanımlanan uzaya Sobolev uzayı denir. Burada α = α 1 + α α n ve D α u (x) = α u (x) α 1 x 1 α 2 x 2... x αn n 9

17 dir. Bu doğrusal uzay üzerindeki norm, 1 p < için; ve p = için; ( u W m p () = Σ D α u p L α m p() u W m () = şeklindedir. m = için W p () = L p () dır. p = 2 ise W m 2 biçiminde tanımlanır. ) 1 p max α m Dα u L () () uzayı bir Hilbert uzayıdır. Bu uzay üzerindeki iç çarpım u, v m = Σ D α u (x) D α v (x) dx α m Teorem 2.31 ([2]) W m p () Banach uzayıdır. Teorem 2.32 ([2]) Eğer 1 p < ise W m p Teorem 2.33 ([2]) Eğer 1 < p < ise W m p () ayrılabilir uzayıdır () yansımalı uzaydır. Teorem 2.34 ([13]) = R n + ya da C 1 sınıfına ait açık sınırlı küme olsun. Bu durumda aşağıdaki gömülmeler süreklidir. (i) Eğer 1 p < n ise W 1 p () L q (), q [ ] 1, np n p (ii) Eğer p = n ise W 1 p () L q (), q [1, ) (iii) Eğer p > n ise W 1 p () L () Teorem 2.35 ([2]) R n de uniform C m -regularity özelliğine sahip olsun. Eğer mp < n ve p q (n 1)p n pm ise W m p () L q ( ) sürekli gömülmesi vardır. Eğer mp = n ise p q < için bu gömülme vardır. (Uniform C m -regularity özelliği: Eğer sınırının yerel bir sonlu açık örtüsü {U j } ve ona karşılık gelen birebir, m-smooth dönüşümlerin bir ailesi {Φ j } varsa öyle ki Φ j, U j yi B = {y R n : y < 1} kümesine götürüyor ve şu özellikler sağlanıyor: 1

18 (i) Bazı δ > için, j=1ψ j ( { } y R n : y < 1 2 ) δ, Ψ j = Φ 1 j. (ii) Bazı sonlu R için, U j kümelerinin her R + 1 koleksiyonu boş arakesite sahiptir. (iii) Her j için, Φ j (U j ) = {y B : y n > }. (iv) (Φ j,1,.., Φ j,n ) ve (Ψ j,1,.., Ψ j,n ), Φ j ve Ψ j nin bileşenlerini temsil etmek üzere, öyle bir sonlu M sayısı vardır ki, her α için α m, her i için 1 i n ve her j için, D α Φ j,i (x) M, x U j ve D α Ψ j,i (y) M, y B dir. o zaman, uniform C m -regularity özelliğine sahiptir.) Teorem 2.36 ([13]) C 1 sınıfına ait açık, sınırlı bir küme olsun. Bu durumda aşağıdaki gömülmeler kompakttır: (i) Eğer p < n ise W 1 p () L q (), q [ ) 1, np n p (ii) Eğer p = n ise W 1 p () L q (), p = n, q [1, ) (iii) Eğer p > n ise W 1 p () C ( ) Teorem 2.37 ([7]) sınırı C 1 e ait sınırlı bölge olsun. Öyle bir doğrusal sınırlı T : W 1 p () L p ( ) operatörü vardır ki aşağıdakiler sağlanır. (i) T u = u, u W 1 p () C ( ) (ii) T u Lp ( ) c u W 1 p (), u W 1 p (), c = c (p, ) Teorem 2.38 ([2]) Eğer u W m p () ise v = u W m 1 p p ( ) uzayına aittir ve v W m p 1 K 1 u W m p ( ) p () sağlanır ve tersine eğer v W m 1 p p ( ) ise o zaman u W m p () vardır ki v = u ve sağlanır. u W m p () K 2 v W m p 1 p ( ) 11

19 Tanım 2.39 ([7]) X bir Banach uzayı 1 p < ve a < b olmak üzere W 1 p (a, b; X) = {u L p (a, b; X) : u L p (a, b; X)} biçiminde tanımlanan uzaya W 1 p (a, b; X) uzayı denir. Bu uzay bir normlu lineer uzaydır ve bu uzay üzerindeki norm f W 1 p (a,b;x) = biçiminde tanımlıdır. b ( u(t) p X dt + u (t) p X ) 1 p, a ess sup ( u(t) X + u (t) X ), t (a,b) 1 p < p = Tanım 2.4 ([8])(Coercive Operatör) X Banach uzayı, X onun dual uzayı olmak üzere f : X X operatörü u X için u X iken ise f operatörüne coercive dir denir. f (u), u u X Teorem 2.41 (Varlık Teoremi, [29]) X ve Y Banach uzayları, X ve Y da sırasıyla dual uzayları olsun, M X zayıf tam reflexive pn-uzay, X M Y ayrılabilir topolojik vektör uzayı olsun. Aşağıdaki koşullar sağlansın: (I) f : P L q (, T ; Y ) zayıf sürekli bir dönüşümdür, burada P L p (, T ; M ) W 1 q (, T ; Y ) {x (t) x () = } 1 < max{q, q } p <, q = q q 1 ; (II) s, m 1 olmak üzere A : W s m (, T ; X ) W s m (, T ; Y ) lineer sürekli operatörü vardır ki, A t ile değişmelidir ve ker(a ) = {} dır; (III) f ve A operatörleri, genelleşmiş anlamda, L p (, T ; X ) uzayı üzerinde coercive ikili oluşturur, yani öyle bir r > sayısı ve Ψ : R 1 + R 1 + fonksiyonu vardır ki τ iken Ψ(τ)/τ ve her x L p (, T ; X ) için [x] Lp (M ) r koşulu altında aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: T f(t, x (t)), Ax (t) dt Ψ ( ) [x] Lp (M ) 12

20 (IV) öyle C >, C 1, C 2, ν > 1 sabitleri vardır ki her x W 1 p (, T ; X ) ve ξ L p (, T ; X ) için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır: T t ξ (t), Aξ (t) dt C ξ ν L q(,t ;Y ) C 2, dx dτ, Ax (τ) dτ C 1 x ν Y (t) C 2, a.e. t [, T ] (I) - (IV) koşulları sağlansın. Bu taktirde aşağıdaki eşitlik her y M L q (, T ; Y ) için P da çözülebilirdir, T burada M = dx dt + f(t, x (t)), y (t) dt = { { y L q (, T ; Y ) : sup biçiminde tanımlanmıştır. Lemma 2.42 ([7])(Gronwall Lemma) T y (t), y (t) dt, y L q (, T ; Y ), 1 [x] Lp(,T ;M ) T } } y (t), Ax (t) dt x L p (, T ; X ) < η(.), [, T ] aralığı üzerinde mutlak sürekli, negatif olmayan fonksiyon olsun ve ϕ, ψ fonksiyonları [, T ] üzerinde negatif olmayan toplanabilir fonksiyonlar olmak üzere hemen hemen her t için aşağıdaki diferensiyel eşitsizlik sağlansın: η (t) ϕ(t)η(t) + ψ(t) O zaman her t T için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: η(t) e Düzgün Gronwall Lemma: t ϕ(s)ds [η() + t ψ(s)ds] g, h ve y (t, ) üzerinde yerel olarak integrallenebilir pozitif fonksiyonlar olsunlar öyle ki dy dt (t, ) üzerinde yerel olarak integrallenebilir olsun ve a 1, a 2, a 3 >, r > olmak üzere t t aşağıdaki eşitsizlikler sağlansın: dy dt g(t)y(t) + h(t), O zaman t t için eşitsizliği sağlanır. t+r t g(s)ds a 1, t+r y(t + r) ( a 3 r + a 2)e a 1 13 t h(s)ds a 2, t+r t y(s)ds a 3

21 Lemma 2.43 ([7]) (Kısmi İntegrasyon Formülü) R n sınırlı, açık bir alt küme ve sınırı C 1 den olsun, η i sınırın birim normal vektörünün (η = (η 1, η 2,...,η n )) i. bileşeni olmak üzere u, v C ( 1 ) olsun o zaman; u xi vdx = uv xi dx + uvη i ds dir (i = 1...n). Teorem 2.44 ([7]) (Green Formülü) R n sınırlı, açık bir alt küme olsun, ve sınırı C 1 den olsun. u, v C 2 ( ), ν nın dış birim normal vektörü olmak üzere aşağıdaki eşitlikler vardır. (i) udx = u ds ν (ii) Dυ.Dudx = υ u υdx+ uds ν (iii) (u υ υ u) dx = ( u υ υ ) u ν ν ds Tanım 2.45 ([31])(Test Fonksiyonu) φ, kompakt support a sahip gerçel değerli ve her mertebeden sürekli türevi olan bir fonksiyon ise (φ C c denir. ()) φ ye test fonksiyonu Bilinen toplama ve skalerle çarpma işlemi ile test fonksiyonlar kümesi bir vektör uzayıdır (bu uzayı D ile göstereceğiz). Tanım 2.46 ([31])(Genelleştirilmiş Fonksiyon)f, D üzerinde tanımlı bir fonksiyonel olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f e genelleştirilmiş fonksiyon denir: (a) Her α 1 ve α 2 gerçel (veya kompleks) sayıları ve her φ 1, φ 2 D için f, α 1 φ 1 + α 2 φ 2 = α 1 f, φ 1 + α 2 f, φ 2 (b) Her sıfıra yakınsayan {φ n } D dizisi için { f, φ n } dizisi sıfıra yakınsar. Yukarıdaki tanımdan çıkar ki, integrallenebilir bir f fonksiyonu D üzerinde genelleştirilmiş fonksiyondur. Gerçekten, her φ D için f, φ = f(x)φ(x)dx integrali sonludur ve integralin özelliklerinden yukarıdaki tanımın koşulları sağlanır. 14

22 Tanım 2.47 ([7])(Zayıf Türev) R n açık bir bölge ve u, v L 1 loc () (L 1 loc () = {u : R her V için u L1 (V )}), α multiindex olmak üzere eğer her test fonksiyonu φ için ud α φdx = ( 1) α vφdx eşitliği sağlanırsa v ye u nun α. zayıf kısmi türevi denir (D α u = v). Lemma 2.48 ([7])(Hölder Eşitsizliği) 1 p 1,..., p m, 1 p p m olur. u k L pk (), k = 1,..., m ise u 1...u m dx m u k Lpk () k=1 = 1 olsun. Lemma 2.49 ([7])(Young Eşitsizliği) 1 < p, q <, 1/p + 1/q = 1 olsun. Bu durumda veya ab ap p + bq, (a, b > ) q ab εa p + C (ε) b q, (ε > ) olur. Lemma 2.5 ([33])(İnterpolasyon Eşitsizliği) R n sınırlı bir bölge olmak üzere, p, r [1, ] ve p r olsun λ [, 1] olmak üzere q [p, r] aşağıdaki gibi tanımlansın: 1 q = λ p + 1 λ r Eğer f L p () L r () ise f L q () dır ve aşağıdaki eşitsizliği sağlar. f Lq () f λ L p() f 1 λ L r () Lemma 2.51 ([2]) Eğer 1 p < ve a, b ise o zaman (a + b) p 2 p 1 (a p + b p ) (2.1) eşitsizliği sağlanır. 15

23 Teorem 2.52 ([32]) Her u W2 1 () için en az bir c = c() sabiti vardır öyle ki, u 2 dx c( Du 2 dx + u 2 dx ) eşitsizliği sağlanır. Bu teoremden aşağıdaki sonuç elde edilir: Sonuç 2.53 Her u W 1 2 () için en az bir c = c(c()) sabiti vardır öyle ki, eşitsizliği sağlanır. u 2 W 1 2 () c( Du 2 L 2 () + u 2 L 2 ( ) ) (2.2) Sonuç 2.54 Her u W 1 2 () L α+1 () (α > 1) için en az bir c = c() sabiti vardır öyle ki, eşitsizliği sağlanır. u 2 W 1 2 () u α+1 L α+1 () + Du 2 L 2 () + c (2.3) İspat. u 2 L 2 () yani, normuna aşağıdaki şekilde Young Eşitsizliği ni uygularsak, u 2 dx 2 u 2 α+1 2 dx + α 1 dx α + 1 α + 1 u 2 L 2 () u α+1 L α+1 () + mes() eşitsizliğini alırız ( 2 α+1, α 1 α+1 < 1). Bu eşitsizlikte her iki tarafa Du 2 L 2 () terimini eklersek, u 2 L 2 () + Du 2 L 2 () u α+1 L α+1 () + Du 2 L 2 () + mes() eşitsizliğini dolayısıyla, u 2 W 1 2 () u α+1 L α+1 () + Du 2 L 2 () + c eşitsizliğini elde ederiz (c = mes(); mes(), nın ölçümüdür). Sonuç 2.55 Her u W 1 2 () L α+1 () (α > 1) için u 2 W 1 2 () + u α+1 L α+1 () 2( Du 2 L 2 () + u α+1 L α+1 () ) + c eşitsizliği sağlanır. 16

24 Teorem 2.56 ([35]) Her u W2 1 () ve her ε > sayısı için öyle bir C ε pozitif sabiti vardır ki aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: u 2 dx ε u 2 dx + C ε u 2 dx (2.4) YARI AKIŞ TEORİSİ Bu bölümde yer alan tüm tanım ve sonuçlar Temam ([33]) ten alınmıştır. X bir Banach uzayı olmak üzere, B X in tüm sınırlı alt kümelerinin ailesini göstersin: Tanım 2.57 {S(t)} t, X üzerinde tanımlı operatörler ailesi olmak üzere aşağıdaki koşulları sağlasın: i) S() = I, ii) S(t + s) = S(t)S(s), t, s R + iii)s(t) : X X dönüşümü t için süreklidir. O zaman {S(t)} t ailesine sürekli yarı akış denir. Tanım 2.58 (Değişmez küme) S(t) : X X, B X olsun. Eğer t R + için t R + bir yarı akış olmak üzere S(t)B = B oluyorsa B kümesine değişmez küme denir. Tanım 2.59 S(t) : X X, t R + bir yarı akış ve B X olsun. B B için S(t)B B, t T 1 (B) olacak şekilde T 1 (B) > sayısı varsa B kümesine yutan küme denir. Tanım 2.6 S(t) : X X, t R + bir yarı akış olmak üzere A X, B B için t iken dist X (S(t)B, A) koşulunu sağlıyor ise A kümesi B kümesini çeker denir. Tanım 2.61 (Yerel olmayan çekici) S(t) : X X t R + yarı akış olsun. A B aşağıdaki koşulları sağlasın: (i) A kompakttır. (ii)a kümesi B B yi çeker. (iii) A değişmez bir kümedir. Bu durumda A kümesine {S(t)} t yarı akışının yerel olmayan çekicisi denir. 17

25 Tanım 2.62 (Asimptotik Kompaktlık) S(t) : X X, t R + bir yarı akış ve B B için φ k B olmak üzere t k iken {S(t k )(φ k )} k=1 dizisi relatif kompakt oluyorsa {S(t)} t yarı akışına asimptotik kompakt yarı akış denir. Teorem 2.63 S(t) : X X, t R + sürekli yarı akış olsun. Eğer {S(t)} t yarı akışı yutan kümeye sahip ve asimptotik kompakt ise bu yarı akış yerel olmayan çekiciye sahiptir. 18

26 Çalışmamızda kullanacağımız diğer sabitler aşağıdaki eşitsizliklerden gelmektedir: Teorem 2.34 e göre u W 1 2 () için c 1 > ve c 2 > sabitleri vardır ki u L 2n n 2 () c 1 u W 1 2 () (2.5) u L2 () c 2 u W 1 2 () (2.6) Teorem 2.35 e göre u W 1 2 () için c 3 > sabiti vardır ki u L2 ( ) c 3 u W 1 2 () (2.7) Teorem 2.35 e göre u W 1 2 () için c 4 > sabiti vardır ki u L 2n 2 ( ) c 4 u W 1 2 () (2.8) n 2 Teorem 2.38 e göre u W 1 2 () için c 5 > sabiti vardır ki u W ( ) c 5 u W 1 2 () (2.9) Teorem 2.38 e göre u W 1 2 () için c 6 > sabiti vardır ki u W 1 2 () c 6 u W ( ) (2.1) eşitsizlikleri sağlanır. 19

27 3 BİR SINIF DİFÜZYON-REAKSİYON DENKLEMİ İC. İN ROBİN SINIR DEĞER PROBLEMİNİN GENELLEŞMİŞ C. ÖZÜMÜNÜN VARLIĞI 3.1 Problem (1)-(3) ün Formülüze Edilmesi ve Ana Koşullar Bu bölümde 2. Bölümde yer alan Varlık Teoremini (Teorem 2.41) kullanarak problem (1)-(3) ün genelleşmiş çözümünün varlığını ispatlayacağız: u t u + a(x, t) u ρ u b(x, t) u ν u = h(x, t), (x, t) Q T (1) ( u η + k(x, t)u) = φ(x, t), (x, t) Σ T (2) u(x, ) = u (x), x (3) Problem (1)-(3) için T > olmak üzere h L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T ) ve φ L 2 (, T ; W ( )) olduğunu kabul edelim. Aşağıdaki koşullar sağlansın; (i) a ve b negatif olmayan fonksiyonlardır öyle ki a L p1 (, T ; L p2 ()), b L r1 (, T ; L r2 ())(burada p 1, r 1, p 2, r 2 parametrelerine bağlı olarak ileride tanımlanacaktır). (ii) k L (, T ; L n 1 ( )) dır. P uzayı aşağıda olduğu gibi tanımlansın; > 1 olmak üzere bu sayılar ρ ve ν P : L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) W 1 2 (, T ; (W 1 2 ()) ) {u : u(x, ) = u (x)} Tanım 3.1 Aşağıdaki eşitliği keyfi v W 1 2 (, T ; (W 1 2 ()) ) L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) için sağlayan u P fonksiyonuna problem (1)-(3) ün genelleşmiş çözümü denir: T T u v t dxdt + a(x, t) u ρ uvdxdt u(x, T )v(x, T )dx u(x, )v(x, )dx + T b(x, t) u ν uvdxdt + T T Du.Dvdxdt+ k(x, t)uvdx dt = T T hvdxdt + φvdx dt 2

28 Şimdi P uzayını karakterize edelim. (1) denklemine baktığımızda açıktır ki doğrusal olmayan terimler arasında a(x, t) u ρ u terimi diğer terimlere göre daha güçlü bir doğrusal olmayan yapıya sahiptir. Bu yüzden P ın karakterizasyonu ρ terimine göre yapılmıştır. P ın tanımında geçen ilk iki uzay arasındaki bağlantılara bakalım: 1 < ρ ise ρ olduğundan L 2 (, T ; W2 1 ()) L ρ+2 (Q T ) olacaktır. Dolayısıyla burada h L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) olacaktır. Buradan açıktır ki problem (1)-(3) ü aşağıdaki üç alt bölümde incelemeliyiz: (1) Üst Lineer Durum (ρ > ) (2) Alt Lineer Durum ( 1 < ρ ) (3) Lineer Durum (ρ = ν = ) ν paremetresi ise ρ ya bağlı olarak alınanacaktır. Bu üç alt bölümde başlangıç koşulu sıfır (u (x) = ) olduğunda genelleşmiş çözümün varlığını ispatlayacağız. Bu durumların dışında dördüncü alt bölümde ise başlangıç koşulu sıfırdan farklı (u (x) ) olduğunda, üst lineer durumda, yani ρ, ν > iken genelleşmiş çözümün varlığını ve tekliğini ispatlayacağız. 3.2 Üst Lineer Durumda Problem(1)-(3) ün C. özülebilirliği Bu bölümde problemimiz ρ >, 1 < ν ρ olduğunda incelenecektir. Burada tanım 3.1 de verilen P uzayı aşağıdaki gibi alınacaktır; P = L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) W 1 2 (, T ; (W 1 2 ()) ) {u : u(x, ) = }. 3.1 alt bölümünde yer alan (i) koşulundaki p 1, p 2, r 1, r 2 sabitleri aşağıdaki gibi alınacaktır: p 1 = p 2 := ρ+2 r 1 = r 2 :=, eğer ν < ρ ρ ν, eğer ν = ρ Üst lineer durumda genelleşmiş çözümün varlık teoremini ifade edebiliriz, Teorem 3.2 (i) ve (ii) koşulları sağlansın. Ayrıca ρ >, 1 < ν ρ olsun. Ek olarak aşağıdaki koşulların sağlandığını kabul edelim: 21

29 (iii) Eğer 1 < ν < ρ ise öyle bir a (x, t) Q T için a(x, t) a dır. > sayısı vardır ki hemen hemen her Eğer ν = ρ ise öyle bir b > sayısı vardır ki hemen hemen her (x, t) Q T için a(x, t) b(x, t) b dır. (iv) Öyle bir k > sayısı vardır ki hemen hemen her (x, t) Σ T için k(x, t) k eşitsizliği sağlanır, burada min{a,1}, eğer 1 < ν < ρ c 2 3 k < min{b,1}, eğer ν = ρ c 2 3 O zaman (h, φ) [L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T )] L 2 (, T ; W ( )) için problem (1)-(3) ün P da genelleşmiş çözümü vardır. (burada a, b sayıları a < a ve b < b olacak şekilde pozitif sayılardır.) Teorem 3.2 nin ispatı için Teorem 2.41 i kullanacağız. Bunun için problem (1)-(3) ün yarattığı dönüşümleri ve uygun uzayları tanımlayalım. f := {f 1, f 2 } : P [L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T )] L 2 (, T ; W ( )) f 1 (u) := u + a(x, t) u ρ u b(x, t) u ν u f 2 (u) := u η + k(x, t)u A := Id : P P Gerekli uzayları ve dönüşümleri belirledik. Şimdi bu dönüşümlerin Teorem 2.41 in koşullarını sağladığını görmek için bu dönüşümler üzerine gerekli lemmaları ispatlayacağız. Lemma 3.3 Teorem 3.2 nin koşulları sağlansın. O zaman f dönüşümü P uzayından [L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T )] L 2 (, T ; W ( )) uzayına sınırlı bir dönüşümdür. İspat. Bu dönüşümün sınırlı olduğunu görmek için f 1 ve f 2 nin uygun uzaylarda sınırlı olduğunu tek tek gösterelim. Önce f 1 : P L 2 (, T ; W2 1 ()) L ρ+2 (Q T ) L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T ) 22

30 dönüşümünün sınırlı olduğunu görelim: u, v P olmak üzere; f 1 (u) L2 (,T ;(W2 1()) )+L ρ+2 (Q T ) sup f 1 (u), v (3.1) v L2 (,T ;W 2 1()) L ρ+2 (Q T )=1 şeklindedir. T f 1 (u), v = uvdxdt + T a(x, t) u ρ uvdxdt T b(x, t) u ν uvdxdt Bu eşitliğin sağ kısmını üstten değerlendirelim. Bu eşitliğin 1. terimine sınır koşullarını gözönüne alarak kısmi integrasyon uygular ve değerlendirirsek; f 1 (u), v T Du Dv dxdt + T + T u η v dx dt + T a(x, t) u v dxdt b(x, t) u ν+1 v dxdt (3.2) eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin birinci terimine Hölder eşitsizliği uygularsak; T Du Dv dxdt eşitsizliği elde edilir. T T Du L2 () Dv L 2 () dt u W 1 2 () v W2 1 () dt u L2 (,T ;W 1 2 ()) v L2 (,T ;(W 1 2 ()) (3.3) (3.2) eşitsizliğinin 2. terimi için u v η Du v olduğunu gözönüne alır ve W ( ) dual uzayındaki norm tanımından yararlanırsak; T du dη v dx dt T Du v dx dt T Du W ( ) v W ( ) dt olur. Bu eşitsizlikte keyfi u W ( ) için Du 1 u W 2 2 ( ) W 2 1 olduğunu ve 2 ( ) (2.9) eşitsizliğini gözönüne alıp Hölder Eşitsizliğini uygularsak; eşitsizliğini elde ederiz. c 2 5 u L2 (,T ;W 1 2 ()) v L 2 (,T ;W 1 2 ()) (3.4) (3.2) eşitsizliğinin 3. terimi için a(x, t) L (Q T ) olduğunu gözönüne alıp Hölder eşitsizliğini uygularsak; 23

31 T eşitsizliğini elde ederiz. a(x, t) u v dxdt a L (Q T ) T u L ρ+2 () v L ρ+2 ()dt a L (Q T ) u L ρ+2 (Q T ) v L ρ+2 (Q T ) (3.5) (3.2) eşitsizliğinin 4. terimine r 1, ρ+2 ve ρ+2 sabitleri ile Hölder eşitsizliğini uygularsak; ν+1 olur. T b(x, t) u ν+1 v dxdt b(x, t) Lr1 (Q T ) u ν+1 L ρ+2 (Q T ) v L ρ+2 (Q T ) (3.6) (3.3), (3.4), (3.5), (3.6) eşitsizliklerinde u L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) için u Lρ+2 (Q T ), u L 2 (,T ;W 1 2 ()) u L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) eşitsizlikleri (3.2) de kullanırsak; olduğunu gözönüne alır ve bu f 1 (u), v v L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T )(2c 2 5 u L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T )+ a L (Q T u L 2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) + b L r1 (Q T ) u ν+1 L 2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) ) olur. Son eşitsizliğin sağ tarafındaki parantezli kısmı γ( u L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T )) ile gösterelim. O zaman f 1 (u), v γ( u L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T )) v L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) elde edilir. Bu eşitsizlik keyfi u, v L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) için var olduğundan v L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) göre = 1 üzerinde supremum için de geçerlidir. O zaman (3.1) e f 1 (u) L2 (,T ;(W2 1()) )+L ρ+2 (Q T ) γ( u L2 (,T ;W2 1()) L ρ+2(q T )) γ monoton artan, sürekli fonksiyon olduğundan u B (, r) L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) için u L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) r iken olur ve böylece γ ( ) u L2 (,T ;W2 1()) L ρ+2(q T ) γ (r) f 1 (u) L2 (,T ;(W 1 2 ()) )+L ρ+2 (Q T ) γ (r) 24

32 bulunur. P L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) olduğundan f 1 dönüşümünün P dan L 2 (, T ; (W 1 2 ()) )+ L ρ+2 (Q T ) ye sınırlı dönüşüm olduğunu ispatladık. Şimdi f 2 : P L 2 (, T ; W 1 2 ()) L 2 (, T ; W ( )) dönüşümünün sınırlı olduğunu görelim. L 2 (, T ; W 1 2 ()) uzayına ait fonksiyonların sınır değeri L 2 (, T ; W ( )) uzayına ait olduğundan f 2 dönüşümünün sınırlılığını L 2 (, T ; W ( )) dan L 2 (, T ; W ( )) ya gösterelim. Bunun için L 2 (, T ; W ( )) daki norm tanımını kullanacağız. u, v P olmak üzere şeklindedir. f 2 (u) L2 (,T ;W 1 sup 2 2 ( )) f 2 (u), v = T v 1 =1 L 2 (,T ;W 2 2 ( )) u η vdx dt + Bu eşitliğin sağ kısmını üstten değerlendirelim: f 2 (u), v T u η v dx + T T f 2 (u), v (3.7) k (x ) uvdx dt k (x ) uv dx (3.8) (3.8) eşitsizliğinin 1. terimi için u v η Du v olduğunu gözönüne alır ve W ( ) dual uzayındaki norm tanımından yararlanırsak; T u η v dx dt T Du v dx dt T Du W ( ) v W ( ) dt Bu eşitsizlikte keyfi u W ( ) için Du 1 u W 2 2 ( ) W 2 1 olduğunu gözönüne 2 ( ) alırsak; T u η v T dx dt u 1 v W 2 2 ( ) W 2 1 dt (3.9) 2 ( ) eşitsizliğini elde ederiz. (3.8) eşitsizliğinin 2. terimine Hölder eşitsizliğini uygularsak; T k (x, t) uv dx dt T k Ln 1 ( ) u L 2(n 1) n 2 Burada (2.8) ve (2.1) eşitsizliklerini kullanırsak; T k (x, t) uv dx dt c 2 4c 2 6 T ( ) v L 2(n 1) ( ) dt n 2 k Ln 1( ) u W ( ) v W ( ) dt 25

33 elde edilir. Burada k L (, T ; L n 1 ( )) olduğunu gözönüne alıp Hölder Eşitsizliğini uygularsak; T k (x, t) uv dx dt c 2 4c 2 6 k L (,T ;Ln 1( )) u L 2 (,T ;W ( )) v L 2 (,T ;W ( )) eşitsizliğini elde ederiz. (3.9), (3.1) eşitsizliklerini (3.8) eşitsizliğinde gözönüne alırsak; f 2 (u), v v L2 (,T ;W ( )) eşitsizliği elde edilir. Son eşitsizlikte (3.1) ( u L2 (,T ;W ( )) + c2 4c 2 6 k L (,T ;Ln 1( )) u L 2 (,T ;W ( )) ) γ 1 ( u L2 (,T ;W ( )) ) := ( u L 2 (,T ;W ( )) + c2 4c 2 6 k L (,T ;Ln 1( )) u L2 (,T ;W ( )) ) ile gösterirsek; olur. f 2 (u), v γ 1 ( u L2 (,T ;W ( )) ) v W ( ) Son eşitsizlik keyfi u, v L 2 (, T ; W ( )) için var olduğundan v L2 (,T ;W 2 1 = 1 2 ( )) üzerinde supremum için de geçerlidir. O zaman (3.7) ye göre olur. için iken f 2 (u) L2 (,T ;W ( )) γ 1 ( u L2 (,T ;W ( )) γ 1 monoton artan, sürekli fonksiyon olduğundan u B (, r) L 2 (, T ; W ( )) olur ve böylece bulunur. u L2 (,T ;W ( )) r ( ) γ 1 u L2 (,T ;W 1 γ 2 1 (r) 2 ( ) f 2 (u) L2 (,T ;W ( )) γ 1 (r) Böylece f 2 dönüşümünün P uzayından L 2 (, T ; W ( )) ya sınırlı dönüşüm olduğunu ispatladık. 26 )

34 Lemma 3.4 f dönüşümü Teorem 3.2 nin koşulları altında P uzayından L 2 (, T ; (W 1 2 ()) )+ L ρ+2 (Q T ) uzayına zayıf süreklidir. İspat. f {f 1, f 2 } olduğundan f 1 ve f 2 dönüşümlerinin zayıf sürekliliğine ayrı ayrı bakacağız. Önce f 1 : P L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T ) dönüşümünün zayıf sürekli dönüşüm olduğunu görelim. Bu dönüşümün doğrusal kısmının ve doğrusal olmayan kısmının zayıf sürekliliğini sırasıyla göstereceğiz. f 1 : P L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T ) olmak üzere; f 1 (u) := u olsun. Lemma 3.3 den bu dönüşümün sınırlı olduğu elde edilir. Dönüşüm doğrusal olduğundan sınırlılığı sürekliliğine denk gelir. Dolayısıyla dönüşüm zayıf sürekli olur. Şimdi doğrusal olmayan kısmın zayıf sürekliliğini gösterelim. Bunun için ϕ 1 : P L ρ+2 (Q T ) L ρ+2 (Q T ) ϕ 1 (x, u, t) := a(x, t) u ρ u b(x, t) u ν u dönüşümünün zayıf sürekli olduğunu göstereceğiz. Burada zayıf süreklilik tanımını kullanacağız. u P a bu uzayda zayıf yakınsayan keyfi {u m } P dizisi (u m P ϕ 1 (x, u mk, t) L ρ+2 (Q T ) ϕ 1 (x, u, t) u ) için olacak şekilde {u mk } {u m } bulmak yeterlidir. Burada Lemma 2.29 u kullanacağız. Şimdi ϕ 1 dönüşümünün Lemma 2.29 un koşullarını sağladığını sırasıyla görelim: Bu dönüşümün L ρ+2 (Q T ) den L ρ+2 (Q T ) ye sınırlı olduğunu görelim: u L ρ+2 (Q T ) için aşağıdaki integrali değerlendirelim. T T ϕ 1 (x, u, t) ρ+2 dxdt = (a(x, t) u ρ u b(x, t) u ν u) ρ+2 dxdt Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafı için (2.1) eşitsizliğini gözönüne alırsak: T 2 ρ+2 ( ((a(x, t)) ρ+2 u(x, t) ρ+2 + (b(x, t)) ρ+2 u(x, t) (ρ+2)(ν+1) )dxdt 27

35 olur. İlk terim için a(x, t) L (Q T ) olduğunu gözönüne alıp ikinci terim için aşağıdaki sabitlerle Hölder Eşitsizliğini uygularsak: eğer 1 < ν < ρ ise; ρ ν d 1 := eğer ν = ρ ise; d 2 := ν+1 eğer 1 < ν < ρ ise; 1 eğer ν = ρ ise; T ϕ 1 (x, u, t) ρ+2 ρ+2 ρ+2 dxdt 2 a L (Q T ) u ρ+2 L ρ+2 (Q T ) + 2 ρ+2 b ρ+2 (ρ+2)(ν+1) L r1 (Q T ) u L ρ+2 (Q T ) eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlikten ϕ 1 dönüşümünün L ρ+2 (Q T ) den L ρ+2 (Q T ) ye sınırlı dönüşüm olduğu açıktır. {u m } P ve u m u olsun. P L ρ+2 (Q T ) olduğundan u m u olur. P L ρ+2 (Q T ) P L 2 (, T ; W 1 2 ()) W 1 2 (, T ; (W 1 2 ()) ) L 2 (Q T ) kompakt gömülmesini gözönüne alırsak {u ml } {u m } vardır ki Q T de hemen hemen her yerde u ml u dır Φ 1 (x, t, ) : R 1 R 1 sürekli bir fonksiyondur. Böylece Lemma 2.29 un tüm koşullarının sağlandığını kanıtladık. O zaman Lemma 2.29 u uygularsak {u mk } {u m } vardır ki olur. olduğundan L ρ+2 Φ 1 (x, t, u mj ) zayıf yakınsamasını elde ederiz. ϕ 1 (x, u mk, t) L ρ+2 (Q T ) ϕ 1 (x, u, t) (Q T ) L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T ) L 2 (,T ;(W2 1()) )+L ρ+2 (Q T ) Φ 1 (x, t, u ) O zaman Φ 1 dönüşümü P dan L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T ) ye zayıf sürekli olur. Böylece f 1 : P L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T ) dönüşümünün zayıf sürekli olduğu ispatlanmış oldu. 28

36 Şimdi f 2 : L 2 (, T ; W ( )) L 2 (, T ; W ( )) dönüşümünün zayıf sürekli olduğunu ispatlayalım: Bu dönüşümün sınırlı olduğunu Lemma 3.3 de ispatlamıştık. Ayrıca doğrusal olduğundan sınırlılığı sürekliliğine denk gelir. Buradan zayıf sürekliliği elde edilir. Lemma 3.5 f ve A dönüşümleri Teorem 3.2 nin koşulları altında L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) üzerinde coercive ikili oluşturur. İspat. A dönüşümü birim dönüşüm olarak alındığından coercive ikilik bize f dönüşümünün L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) da adi coercive olmasını verir. Şimdi f (u), u QT formuna bakalım. f(u), u QT = T ( u)udxdt + T + T u η udx dt + a(x, t) u ρ+2 dxdt T k(x, t)u 2 dx dt T b(x, t) u ν+2 dxdt dual Bu eşitliğin 1.terimine sınır koşullarını gözönüne alarak kısmi integrasyon uygular ve gerekli sadeleştirmeleri yaparsak; T T f(u), u dt = (Du) 2 dxdt + T a(x, t) u ρ+2 dxdt T b(x, t) u ν+2 dxdt T + k(x, t)u 2 dx dt (3.11) elde edilir. Buradan sonra Lemma nın ispatını (i) 1 < ν < ρ olduğunda, (ii) ρ = ν olduğunda ayrı ayrı göstereceğiz. (i) 1 < ν < ρ olduğunda; (3.11) eşitsizliğinde a(x, t) a olduğunu gözönüne alırsak; T f(u), u dt T T (Du) 2 dxdt + a u ρ+2 L ρ+2 (Q T ) T + k(x, t)u 2 dx dt b(x, t) u ν+2 dxdt 29

37 Bu eşitsizliğin 3. terimine ρ+2 ρ ν, ρ+2 ν+2 sabitleri ile Hölder eşitsizliğini uygularsak; T (Du) 2 dxdt+a u ρ+2 L ρ+2 (Q T ) b L ρ+2 ρ ν T (Q T ) u ν+2 L ρ+2 (Q T ) + Bu eşitsizliğin 3. terimine aynı üslerle Young Eşitsizliğini uygularsak; Du 2 L 2 (Q T )+a u ρ+2 ρ+2 L ρ+2 (Q T ) c(ε) b ρ ν elde edilir. Son eşitsizlikten; L ρ+2 ρ ν T (Q T ) ε u ρ+2 L ρ+2 (Q T ) + k(x, t)u 2 dx dt k(x, t)u 2 dx dt min{1, a ε}( Du 2 L 2 (Q T )+ u ρ+2 ρ+2 L ρ+2 (Q T ) ) c(ε) b ρ ν olur. L ρ+2 ρ ν k(x, t) fonksiyonu için (iv) koşulunu gözönüne alırsak: T (Q T ) + k(x, t)u 2 dx dt (3.12) min{1, a ε}( Du 2 L 2 (Q T ) + u ρ+2 ρ+2 L ρ+2 (Q T ) ) c(ε) b ρ ν Burada (2.7) eşitsizliğini gözönüne alırsak; L ρ+2 ρ ν (Q T ) k u 2 L 2 (,T ;L 2 ( )) min{1, a ε}( Du 2 L 2 (Q T )+ u ρ+2 ρ+2 L ρ+2 (Q T ) ) c(ε) b ρ ν L ρ+2 ρ ν Burada son terim için (2.3) eşitsizliğini gözönüne alırsak; min{1, a ε}( Du 2 L 2 (Q T ) + u ρ+2 ρ+2 L ρ+2 (Q T ) ) c(ε) b ρ ν k c 2 3( Du 2 L 2 (Q T ) + u ρ+2 L ρ+2 (Q T ) + c T ) = (min{1, a ε} k c 2 3)( Du 2 L 2 (Q T ) + u ρ+2 ρ+2 L ρ+2 (Q T ) ) c(ε) b ρ ν İlk terim için (2.3) eşitsizliğini gözönüne alırsak; (Q T ) k c 2 3 u 2 L 2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2 ρ ν L ρ+2 ρ ν (Q T ) (Q T ) k c 2 3c T 1 2 (min{1, a ε} k c 2 3)( u 2 ρ+2 L 2 (,T ;W2 1())+ u ρ+2 L ρ+2 (Q T ) c ρ ν T ) c(ε) b (Q T ) k c 2 3c T 3 L ρ+2 ρ ν

38 1 2 (min{1, a ε} k c 2 3)( u 2 L 2 (,T ;W2 1())+ u 2 L ρ+2 (Q T ) 1 c ρ+2 ρ ν T ) c(ε) b = 1 2 (min{1, a ε} k c 2 3)( u 2 ρ+2 L 2 (,T ;W2 1()) + u 2 ρ ν L ρ+2 (Q T )) c(ε) b 1 2 (min{1, a ε} k c 2 3)(1 + c T ) k c 2 3c T İlk terim için (2.1) eşitsizliğini gözönüne alırsak; L ρ+2 ρ ν L ρ+2 ρ ν (Q T ) k c 2 3c T (Q T ) 1 4 (min{1, a ε} k c 2 3)( u L2 (,T ;W2 1()) + u Lρ+2 (Q T )) 2 ρ+2 ρ ν c(ε) b 1 2 (min{1, a ε} k c 2 3)(1 + c T ) k c 2 3c T olur. Arakesit normunu kullanırsak; L ρ+2 ρ ν f(u), u 1 4 (min{1, a ε} k c 2 3) u 2 L 2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) c(ε) b ρ+2 ρ ν eşitsizliğini elde ederiz. L ρ+2 ρ ν (Q T ) (Q T ) 1 2 (min{1, a ε} k c 2 3)(1 + c T ) k c 2 3c T (3.13) (ii) ν = ρ olduğunda; T T f(u), u dt Du 2 L 2 (Q T )+ T (a(x, t) b(x, t)) u ρ+2 dxdt+ k(x, t)u 2 dx dt Teoremin koşulunu gözönüne alırsak; T Du 2 L 2 (Q T ) + b u ρ+2 L ρ+2 (Q T ) + T min{1, b }( Du 2 L 2 (Q T ) + u ρ+2 L ρ+2 (Q T ) ) + k(x, t)u 2 dx dt Benzer işlemleri yaptığımızda aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz: k(x, t)u 2 dx dt 1 4 (min{1, b } k c 2 3) u 2 L 2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) k c 2 3c T 1 2 (min{1, b } k c 2 3)(c T +1) olur. (3.14) 31

39 Teorem 3.2 nin koşullarını da gözönüne alırsak (3.13), (3.14) eşitsizliklerinden açıktır ki olduğunda olur. u L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) 1 u L2 (,T ;W 1 2 ()) L ρ+2(q T ) T f(u), u dt Böylece f dönüşümünün Teorem 3.2 nin koşulları altında L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) da coercive olduğunu ispatladık. Teorem 3.2 nin İspatı. A birim dönüşüm olarak alındığından Teorem 2.41 in (ii) koşulunu sağlamaktadır. Ayrıca, keyfi u W 1 2 (Q T ) için aşağıdaki eşitsizlikler vardır; h.h.h. T u, u dt = t [, T ] için t T u 2 L 2 ()dt c 7 u 2 L 2 (,T ;(W2 1()) )+L ρ+2 (Q T ) u τ, u dτ = 1 2 u 2 L 2 ()(t) 1 2 c 8 u 2 (W (t), 2 1()) (c 7, c 8 > Sobolev gömülme eşitsizliklerinden gelmektedir.) Lemma 3.3, Lemma 3.4, Lemma 3.5 ten görülmektedir ki tanımladığımız f ve A dönüşümleri Teorem 2.41 in tüm koşullarını sağlar. Böylece Teorem 2.41 i problem (1)-(3) e uygulayabiliriz. O halde problem(1)-(3) aşağıdaki eşitsizliği sağlayan keyfi (h, φ) [L 2 (, T ; (W 1 2 ()) )+ L ρ+2 (Q T )] L 2 (, T ; W ( )) için P da çözülebilirdir. 1 T sup h, u u + φ, u dt : u L 2 (, T ; W L2 (,T ;W2 1()) L 2 1 ()) L ρ+2 (Q T ) ρ+2(q T ) < Burada [L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T )] L 2 (, T ; W ( )) uzayından alınan (h, φ) genelleşmiş fonksiyonlarının aşağıdaki norm tanımlarını gözönüne alalım; h L2 (,T ;(W 1 2 ()) )+L ρ+2 h, u (Q T ) = sup{ u L2 (,T ;W2 1()) L ρ+2(q T ) : u L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T )} φ L2 (,T ;W 1 = sup{ φ, u 2 2 ( )) u L2 (,T ;W ( )) 32 : u L 2 (, T ; W ( ))}

40 O zaman her (h, φ) [L 2 (, T ; (W2 1 ()) ) + L ρ+2 (Q T )] L 2 (, T ; W ( )) için problem (1)-(3) P da çözülebilirdir. 33

41 3.3 Alt Lineer Durumda Problem (1)-(3) ün C. özülebilirliği Bu bölümde problem(1)-(3) ü 1 < ρ, 1 < ν < veya 1 < ρ <, 1 < ν olduğunda inceleceyiz. Burada L 2 (, T ; W 1 2 ()) L ρ+2 (Q T ) olduğundan Tanım 3.1 deki P tanımlandığı gibi alınacaktır; P L 2 (, T ; W 1 2 ()) W 1 2 (, T ; (W 1 2 ()) ) {u : u(x, ) = }. uzayı aşağıda Bölüm 3.1 deki (i) koşulunda yer alan p 1, r 1, p 2, r 2 sayıları aşağıdaki gibi alınacaktır; 2 ρ p 1 :=, eğer 1 < ρ < 2n p 2 :=, eğer 1 < ρ < ρ(2 n)+4, eğer ρ = n, eğer ρ = 2 r 1 := 2, eğer 1 < ν < ν, eğer ν = r 2 := 2n, eğer 1 < ν < ν(2 n)+4 n, eğer ν = 2 Alt lineer durum için varlık teoremini ifade edebiliriz: Teorem 3.6 ( i), ( ii) koşulları sağlansın. Ek olarak aşağıdaki koşullar sağlansın; ( iii) Öyle bir k > sayısı vardır ki hemen hemen her (x, t) Σ T için k(x, t) k eşitsizliği sağlanır. ( iv) Eğer ν = ise b Lr1 (,T ;L r2 ()) < 1 c c 2 1 min{1, k } eşitsizliği sağlanır. Bu taktirde keyfi (h, φ) [L 2 (, T ; (W 1 2 ()) )] L 2 (, T ; W ( )) için problem(1)-(3) P da çözülebilirdir. Teorem 3.6 nın ispatı için Teorem 2.41 i kullanacağız. Bunun için problem (1)-(3) ün yarattığı dönüşümleri ve uygun uzayları tanımlayalım. f := {f 1, f 2 } : P L 2 (, T ; (W 1 2 ()) L 2 (, T ; W ( )) f 1 (u) := u + a(x, t) u ρ u b(x, t) u ν u f 2 (u) := u η + k(x, t)u A := Id : P P Gerekli uzayları ve dönüşümleri belirledik. Şimdi bu dönüşümlerin Teorem 2.41 in koşullarını sağladığını görmek için bu dönüşümler üzerine gerekli lemmaları ispatlayacağız. 34

42 Lemma 3.7 f dönüşümü Teorem 3.6 nın koşulları altında P uzayından L 2 (, T ; (W 1 2 ()) ) uzayına sınırlı bir dönüşümdür. İspat. Bu dönüşümün sınırlı olduğunu görmek için f 1 ve f 2 nin uygun uzaylarda sınırlı olduğunu tek tek gösterelim. Önce f 1 : P L 2 (, T ; W 1 2 ()) L 2 (, T ; (W 1 2 ()) ) dönüşümünün sınırlı olduğunu görelim: u, v P olmak üzere; f 1 (u) L2 (,T ;(W 1 2 ()) ) sup f 1 (u), v (3.15) v L2 (,T ;W 2 1())=1 şeklindedir. Üst lineer durumda aşağıdaki eşitsizliği elde etmiştik; f 1 (u), v T Du Dv dxdt + T + T u η v dx dt + T a(x, t) u v dxdt b(x, t) u ν+1 v dxdt (3.16) Bu eşitsizliğin ilk iki terimi için üst lineer durumda aşağıdaki eşitsizlikleri elde etmiştik; T T Du Dv dxdt u L2 (,T ;W 1 2 ()) v L2 (,T ;W 1 2 ()) (3.17) du dη v dx dt c 2 1 u L2 (,T ;W2 1()) v L 2 (,T ;W2 1()) (3.18) (3.16) eşitsizliğinin 3. terimine aşağıdaki sabitlerle Hölder Eşitsizliğini uygularsak; T d 2 := a(x, t) u v dxdt d 1 := p 2 2n eğer 1 < ρ < ise; (n 2)() 2n eğer ρ = ise; n 2 d 3 := T 2n n 2 a Lp2 () u L 2n () v L 2n ()dt n 2 n 2 35

43 olur. Burada W2 1 () L 2n () gömülmesini gözönüne alırsak; n 2 c ρ+2 1 T a Lp2 () u W 1 2 () v W 1 2 () dt olur, aşağıdaki sabitlerle Hölder Eşitsizliğini tekrar uygularsak; d 2 := d 1 := p 1 2 eğer 1 < ρ < ise; 2 eğer ρ = ise; d 3 := 2 olur. T a(x, t) u v dxdt c ρ+2 1 a Lp1 (,T ;Lp 2 ()) u L 2 (,T ;W 1 2 ()) v L 2 (,T ;W 1 2 ()) (3.16) eşitsizliğinin 4. terimine aşağıdaki sabitlerle Hölder eşitsizliğini uygulayalım; T d 2 := b(x, t) u ν+1 v dxdt d 1 := r 2 2n eğer 1 < ν < ise; (n 2)(ν+1) 2n eğer ν = ise; n 2 d 3 := T 2n n 2 b(x, t) Lr2 () u ν+1 L 2n v L 2n ()dt n 2 () n 2 olur. Burada W2 1 () L 2n () gömülmesini gözönüne alırsak; n 2 T c ν+2 1 b Lr2 () u ν+1 W 1 2 () v W 1 2 () dt olur, aşağıdaki terimlerle Hölder Eşitsizliğini tekrar uygularsak; d 2 := d 1 := r 1 2 eğer 1 < ν < ise; ν+1 2 eğer ν = ise; 36