Doç. Dr. Mustafa KÖKSAL

Transkript

1 TA EV) SAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ VE BİR DEĞERLEME Doç. Dr. Mustafa KÖKSAL 1.1 GİRlIŞ Matematik programlama denilince akla hemen Doğrusal Programlama ve simpleks çözüm tekniği gelmektedir. Gerçekten, Doğrusal Programlama modeli ve çözüm tekniği simpleks, biraz sonra değineceğimiz Tamsayılı Programlama problemlerinin çözüm algoritmaları içinde de kullanılmakta, böylece optimizasyon çalışmalarının temel taşını oluşturmaktadır. Bir Doğrusal Programlara (DP) modelinin genel formülasyonu şu şekilde ifade edilir: Amaç Fonksiyonu n Optimize Z = 2 CjXj Kısıtlayıcı Koşullar S a,jxj (<, =)bi, i = 1,2,,m.için xj> 0 j = 1,2,,n için Buna göre bir DP modelinin varsayımları şöyle özetlenebilir: a) Oeterministik bir modeldir. Modeldeki herbir katsayı sabit.ve kesinlikle biliniyor olmalıdır.

2 b} Amaç fonksiyonu ve her kısıtlayıcı denklem üneer olmalıdır. c) Karar değişkenleri bölünebilir olmalıdır (1) Simpleks Çözüm Yöntemi Bir DP probleminin simpleks yöntemi ile çözümlenebilmesi için standart forma getirilmesi gerekir: Tüm kısıtların (^) olması halinde standart form; optimize Z =* 2 CJXJ kısıtlayıcı koşullar 2 âijxj + S, = b { I = 1,,m ve Xj > 0, İ = 1,,n Si > 0, i - 1,.,m fi. kısıtın gevşek değişkeni) olarak ifade edilir. Bu şartlar altında başlangıç simpleks tablosu düzenlenerek simpleks algoritması problemi aşağıdaki gibi çözer (2): Simpleks Yöntemin Adımları: 1. Problemi bir gaye fonksiyonu ve bir dizi kısıplayıcı koşül denklemleri Üe formüle et. (Standart Forma getir), (1) Dantzing, Georgo B.: «Linear Programming and Extonsİons», Prlnceton Unfverslty Press, 1963, s. 6. (2) Thierauf, R. J. - Grosse, R. A.: «Decislon Making Through Operaiions Research» John Wi ey and Sons, Inc., New York, 1970, s. 250.

3 2. Başlangıç tablosunu gevşek değişkenlerle düzenle ve Z J( Cj - Zj satırlarını hesapla, 3. Çözüme hangi değişkenin gireceğini belirle (en büyük Cj - Zj değeri), 4. 'Hangi değişkeni (çözümden) temelden çkkaracağına karar ver (Miktar (sabitler) kolonunun optimum veya anahtar sütunundaki karşılığı katsayı değerlerine bölünmesinden ortaya çıkan oranların en küçüğü), 5. Giren değişken için yeni satır değerlerini hesapla ve bu değerleri yeni tabloya yerleştir. 6. Diğer satır değerlerini de hesapla ve yeni tabloya koy. Yeni Zj ve Cj - Zj satırlarını hesapla. Şayet Cj - Zj satırında pozitif değer kalmadı ise çözüm optimumdur. Pozitif değer varsa (Cj - Zj de) 3, 4, 5 ve 6. adımları tekrarla. Minimizasyon Problemlerinde Cj - Zj satırlarında en büyük negatif değerli değişken i!k defa çözüme sokulur. Karar Değişkenleri Gevşek Değişkenler C fi Temel Değişkenler 0 s E û S: c, c, C,. c n u x, x, «n x n s, s } s m a.. am ajı a» a am a 5 n 0 u 1 ÇÖ2ÜIB seti b tu w c ; ıcr> c; b û) X. <"ı t:,. <u 2.1. TAMSA YILI DOĞRUSAL PROGRAMLARI MODBLİ (TDP) Tamsayılı Doğrusal Programlara matematiksel programlama tekniklerinden birisidir. Gerçekte Doğrusal Programlamanın

4 özel bir durumudur. Tüm değişkenlerin tamsayı olması durumunda 'salt' (pure) tamsayıfı programlama, sadece seçilen bazı değişkenlerin tamsayı olması durumunda 'karma' (mixed) tamsayılı programlama söz konusudur. Model formüle edilirse; Amaç Fonksiyonu: optimize Z = 2 CjXj J=1 kısıtlayıcı koşullar S a ;j Xj b İ5 i 1, 2,...m için Xj> 0 j = 1, 2,,n için Xj tamsayılı j = 1,2,,p (<n) şeklindedir. Notasyoniaria ifade edecek olursak dördüncü koşulda p = n olması halinde salt, aksi durumda karma tamsayılı programlama modeli karşımıza çıkar. Ayrıca amaç fonksiyonu uygulamaya bağlı olarak maksimum veya minimum olabileceği gibi, kısıtlayıcı koşullarda (>) eşitsizlikleri veya (=) eşitliklerini içerebilir. ' Tamsayı değişkenlerin sadece sıfır veya bir olması durumunda TOP nin özel bir hali olan sıftr-bir (0-1) programlama problemi ortaya çıkar (3). Ulaştırma (Transport) modeli arz (sj) ve talep (dj) değerlerinin tamsayı olması koşulu ile bir salt TOP problemi olarak nitelenebileceği gibi, atama (yükleme) modeli de Ö - 1 programfarna problemine bir örnek teşkil eder. (3) Budnick, F. S. - Mojena, R. - Volîmann, T. E.: «Princlpfeş of Operatİohs Research for Management» Richard D. lrwin Inc., Homewood Illinois, 1977, s. 275.

5 Bilindiği gibi lineer programlama modelinde değişkenlerin bölünebilir olma varsayımı yapılmaktadır. Simpleks yaklaşımın sonunda elde edilen karar değişkenleri de uygulamanın niteliklerine göre; örneğin, mamul karışımı probleminde kesirli miktarlar, yatırım bütçeiemesinde bir projenin bir bölümü veya işlere tahsis edilen işçilerin kesirli birimler olması gibi sonuçlar verecektir. Kesirli sonuçların yuvarlatılarak tamsayıya çevrilmesi ise çözümün mümkün olmayan veya 'optimal olmayan' bir niteliğe bürünmesine yol açabilir. Bazı durumlarda sayıların yuvarlatılması işlemi devamlı surette 'mümkün olmayan' sonuçlar verir (4).. ' TOP problemlerinin DP problemlerinin özel bir hali olduğunu belirttikten sonra, optimal tamsayılı olmayan bir TDB problemi çözümünün optimal tamsayılı <bir çözümden daima iyi veya ona eşit olacağını burada belirtelim. Başka bir deyişle 4 koşulunun sınırlayıcı özelliği bir TOP probleminde amaç fonksiyonun maksimum değerinin bir DP problemi için karşılığı olan çözüm değerinden daha küçüktür. Grafik üzerinde gösterecek olursak, basit bir hava kargo taşımacılık problemi aşağıdaki gibi formüle edilmişse; z max = 20xı 4-10x z kısıtlayıcı koşullar: 5x, + 4x 3 < 23 (Hacim) 2x,, + 5x ^13 (Ağırlık) x,, x 2 negatif olmayan tamsayılar olmak üzere Şekil 1.1 elde edilir. Optimal OP çözümü sadece 4.8 konteynıriık Xı ürününün sevkjyatını önermektedir. Gerçekte bir konteynırın 0.8 inin gön- (4) Glover; F. - Samme-r, D. C: «Pitfalls of Rounding in Discrete Management Decision Problems», Decision Cciences, Vol. 6., No. 2, April 1975, s

6 derilmesi mümkün olmadığından problem TOP Özelliğini taşımaktadır. Tamsayı olmayan 4.8 çözüm değerini en yakın tamsayı 5 değerine çıkarttığımızda, şekilden de görüleceği gi'bi ilk kısıt çiğnenmektedir. (+) ile gösterilen diğer tamsayı çözüm noktalarından (x, = 4ı, x 2 = 0). seti için 2 = 80 elde edilmektedir. Bu sonuç mümkün ve tamsayılı olmasına rağmen optimal değildir. Grafikten de görüleceği gibi optimal sonuç (xı = 4ı, X 2 1) seti için (2 = 90) olmaktadır. Literatürde tamsayılı olmayan ve tamsayılı olan optimal Z değerleri arasındaki farka genellikle «bölünmezlik maliyeti» adı verilmektedir (5). Bölünmezlik maliyeti bu spesifik örnek için (96 90=6) olarak, hesaplanabilir. Şekiî: 1 - Kargo Problemi Grafik Gösterimi, (5) Budnİk - Nojena - Vollmân; a.g.e., s \

7 2.2. TAMSAYI LI PROGRAM LAMA MODELİ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Görüldüğü gibi birçok işletme problemi TDP problemi gibi formüle edebilmektedir. TDP problemlerini çözmek için genel ve özel nitelikli çeşith algoritmalar mevcuttur. Bundan sonraki bölümlerde genelden özele doğru TDP probleminin çözüm yöntemleri tartışılacaktır Dal Sınır Algoritması Dai-Sınır Algoritması salt ve karma TDP problemleri yanışım 0-1 problemleri için uygundur. Başlangıçta orijinal problemin simpleks yöntemine göre optimal çözümü bulunur. Eğer bu çözüm tamsayılı olma koşulunu gereekleştirmiyorsa, orijinal problem daha fazla kısıtlı alt problemlere ayrıştırılır. Alt problemler tekrar simplekse göre çözülerek sonuçlara bakılır, tamsayılı sonuçlar elde edilene kadar bu özel arama rutininde devam edilir. Her düğümde simlpeks uygulandığı için dal sınır algoritması daha fazla sınır koşulu altında bir dizi doğrusal programlama probleminin çözümü diye tanımlamak mümkündür (6). Dal-sınır algoritmasının yapısını anlamak için belki en kolay yol bir örnek üzerinde açıklamaktır. örnek Problem; z max = 40xı + 90x 2 kısıtlayıcı koşullar: 9x, + 7x 2 < 56 7x, + 20x 2 < 70 xı, x 2 pozitif tamsayı Şekil: 2 den görüldüğü gibi simpleks çözümü b noktasında elde edilmektedir (xı.= 4,809, x ve Z, = ).. (6) Plano, D. - McMillan, C. Jr., «Dİ3rete Optimization - Integer Programming and NelVvork Analysis for Management Decisfons», Prantice - Half, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1971, s. 75.

8 Şekil; 2 Örnek Problemin Grafik Gösterimi. Her iki değişken de tamsayı değildir. O halde dal-sınır yöntemine başvurulabilir. Dal-sıntr yönteminde tamsayı olmayan karar değişkenlerinden herhangi biri, seçilerek dallanma başlatılır. xı değişkeni seçildiği takdirde x T < 4 ve xı > 5 koşullarına göre (xı - 4 ve xt = 5 değerleri arasındaki alanın çözüm alanı olarak alınmadığı kabul edilir). Orjinal problem iki yavru probleme ayrıştırılır, Bkz. : Şekil 3. Yeni formüle edilen problemler süreklilik varsayımına göre simpleks yöntemi ile çözümlendiğinde aşağıdaki sonuçlar elde edilir: 12

9 Problem (2) Problem (3) Z = = x, = x, = x 2 = 2=100 x 2 = Şokil: 3 Ana Problemden Ayrıştırılmış Yavru Problemlerin Grafik Gösterimi Yine xı dışında kalan değişkenlerin tamsayı olmadığı görülmektedir. Sonuçları yorumlarsak; x, in dört veya daha az değerleri için Z nin 349 dan daha büyük değerler alması beklenemez. Aynı şekilde xı in beş veya daha büyük değerleri içinde Z nin 341,390 i aşması söz konusu değildir. Mümkün çözüm aramaya devam ederken dal-smır algoritması, elde edilen sonuçlardan üstün olan düğümden (veya yavru problem) dallanmayı sürdürme prensibini uygular. Analiz sonuçları 2. problemden dallanmanın daha umut verici olduğunu göstermektedir. x 2 < 2 ve x 2 > 3 yeni kısıtlayıcı koşullarına göre 4. ve 5. problemler çözümlenirse şekil 4 deki özet sonuçlar elde edilir. 4. problemin amaç fonksiyonu 340 ve değişkenleri tam sayılıdır. 5. problemin sonuçları ise tamsayılı değildir. Ayrıca dallanmaya 13

10 devam edilirse Z değerinden daha büyük bir değer elde edilemeyeceğinden arama işlemi bu seviyede kesilir. Böylece optimal sonuç x^ = 4.0 ve x 2 + 2, Z = diyebilmemiz için problem 3 sonuçları ile problem 4 sonuçlarının da kıyaslanması gerekmektedir. Z = değeri 3. problemin x 2 < 1 ve x 2 >\ ek kısıtlarına göre 6. ve 7. problemler şeklinde tekrar çözülmesini böylece 4. problemden daha İyi bir sohucun bu bölgelerde olup olmadığını aramayı öngörmektedir. Bu özelliğinden dolayı dal-sınır algoritmasına «Geri İzleme» yöntemi diyenler de vardır (7). Ancak şekil 4. de de özetlendiği üzere daha iyi sonuçlar elde edilemediğinden optimal çözümün x, - x 2 = 2 ve Z 340 olduğu anlaşılmaktadır. H s 35$ %İ0 K. - V tüt* *, = -l.tıî. z = '% 2 İD V * ı : 5.0DO i *. = İAZ$ y± - 3.D» i _ 3ÛÎ. ^ DO Şekil 4 Örnek Problemin Dal-Sınır örnekte ele alınan dal-sınır algoritması şekil 5'de verilen akış diyagramına göre çözülmüştür. Bir başka deyişle bir dalsınır algoritmasının akışı şekil 5'dekİ diyagram gibi özetlenebilir (8), (7) VVagner, Harvey M.: «Principles of Management Science», Prontice- Hall. 1970, s. 300., / (8) Land, A. H. - Doig, A.: «An Automatic Method of Solvİng Discrete Programming Problems», Econometrica, 28, 1960, s /

11 Daha önce de belirtildiği gibî hem salt hem de karma TDP problemlere uygulanan bu teknik, örnek problemde sadece x t in tamsayı olması koşuluna göre ilk dallanmada optimal sonucu verecekti. (Xi = 4.0, x 2 = 2.1 ve Z = 349.0). O halde karma tamsayılı problemler için dal-şınır tekniği daha cazip bir yaklaşım olarak nitelenebilir (9) Kesen Düzlem Algoritması Gerek salt, gerekse karma tamsayılı programlama modellerinin çözümünde kullanılan diğer bir teknik de Gomory'nin kesen düzlem algoritmasıdır (10). Dll-sınır yönteminde olduğu gibi bu teknik de problemin süreklilik halindeki optimal çözümü ile işe başlar. Bayet optimal çözüm tamsayı koşullarını sağlamıyorsa, yeni kısıtlar formüle edilerek probleme eklenir. Bu kısıtlar iki-boyutlu problemlerde düzlemleri, n-boyutlu problemlerde ise hiperdüzlemleri temsil etmektedirler. Kesen düzlemler hiçbir tamsayılı çözüm noktasını dışarıda bırakmayacak veya elimine etmeyecek biçimde mümkün çözüm alanını veya uzayını sınırlar. Doğrusal programlama problemlerinden hatırlanacak olursa, optimal çözümlerden en az birisi çözüm alanının köşelerinden birisinde ortaya çıkmaktadır. Simpleks algoritması da bu nedenle, optimal sonucu buluna dek köşe noktalarını sistematik bir tarama işlemine tabi tutmaktadır. DP modelinde tüm köşe noktalarının tamsayı olması gerekmediğinden, kesen düzlem yöntemi tamsayılı köşe noktalarını içerecek şekilde mümkün çözüm alanını yeniden belirlemektedir. Bunu başardığı anda, simpleks uygulanırsa optimal tamsayılı bir çözüm elde edilebilmektedir. Oal-sınır yönteminde örnek iki değişkenli mekanizasyon problemi için kesen düzlem yaklaşımı Şekil 6'da grafik olarak temsil edilmektedir. Optimum sonuç yine x, = 4, x 2 = 2 olan c noktasında elde edilmektedir. (9) Plane, D, - McMİllan, C: a.g.e., s. 82. (10) Goriıory, R. E.: «An Algorithm for Integer Solutions to Linear Prograrns» Recent Advancas in Methematİcal Programming, Graves and VVolfe (editors) McGraw-Hill Bok Company, 1963.

12 _ 1- - Orjinal problemin ' tamsayılı olmayan şeklini çöz. Bunu geçici olarak A problemi diye *çağır. A problemi çözümünden tamsayı olmayan bir xj değişkenini seç. Kj değeri bj ise A problemine sıra i l e aşağıdaki kısıtları ekleyerek i k i yavru problen: düzenle; a. xj bj nin tamsayı kısmı b. Xj b: cen büyük bir sonraki tamsayı İki alt problemi simplekse göre çöz.! Mevcut durumda yavrusu olmayan tüm mümkün problemlerden gaye fonksiyonunda en i y i değerlisini belirle, bu problemi tekrar A diye isimlendir. Şekil: 5 Dai-Sınır Algoritması Akış Diyagramı.

13 Şekil 6 Kesen Düzlem Algoritması örnek probleminin grafik gösterimi Grup Teorik Yaklaşımı Bu metot bir TDP problemini sırt çantası (knapsack) problemine dönüştürerek çözüm arar. Bu çözüm tekniğinin ayrıntıları yazının boyutlarını çok genişleteceğinden şimdilik kapsam dışı bırakılmıştır Sezgisel Yaklaşımlar Sezgisel ( = Heuristic) karşılığı kullanılan bir nevi el yordamı ile çözüm arama yöntemidir. Sezgisel yöntemler Maier, Pazer ve Nawell'e (11) göre; karşılıklı bağdaşmaz olması gerekmeyen üç alt setten oluşmaktadır. Bunlar sıra ile; a) Sezgisel problem çözme, b) Yapay akıt, (11) Meier, R. C. - Newell, W. T. - Pazer, H.L: «Simulatİon in Business and Ecönomics» Prentice-Hall, Inc., 1969, s

14 c) İnsan düşüncesinin simuiasyonudur. Bizim burada sözünü edeceğimiz bu altsetlerdeh ilki olup, amaç bir problemin özelliği dikkate alınarak çözüm uzayını tarama çabalarının azaltılmasıdır. Sezgisel yöntemler özel amaçlı ve genel amaçlı olarak da ayırdediiebilir. özel amaçlı sezgisele örnek; satrançta kullanılan kurallardır. Genel amaçlı sezgisellerin başında ise ilk Giren İlk Çıkar (FIFO) kuralı gelmektedir. FIFO kuralı envanter değerleme ve kuyruk sistemlerine oldukça geniş uygulama olanağı bulmuştur. Diğer bir sezgisel metot problemi DP kodu İle çözmek ve çözüm vektöründeki sonuçları, mümkün bir çözüm elde edene kadar tamsayıya çevirmek olabilirdi. Fakat bu çözümün optimalden çok uzak olabileceği daha önce belirtilmişti. Sezgisel yöntemler birçok problemde kullanılmakla beraber bilhassa, enumerasyon (sayılama) ile optimal çözümün arandığı büyük kombinatorik problemler veya TDP problemlerinin çözümünde, çözüm uzayının sınırlı bir taramasını yaparak mümkün çözümü bulabilmektedir TAMSAYILI PROGRAMLAMA MODELİ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİNİN DEĞ E RLENOİ RİMESİ; Tamsayılı programlama problemlerinde ana sorun, formülasyondan ziyade problemin etkin biçimde çözümüdür. Her metodun kendine özgü avantaj ve dezavantajları vardır. Bir problem için çok iyi sonuç veren bir yöntem, benzer bir başka problemde başarısızlığa uğrayabilmektedir. En iyi çözüm algoritmasının seçimi araştırmacının bilgisi ve tecrübesi yanısıra sezgisine de dayandığı için bir sanat olarak nitelendirilebilir. Aşağıdaki satırlarda TDP çözüm algoritmalarının bir değerlendirilmesi yapılmaktadır; Kesen Düzlem Algoritması Gomory'nin kesen düzlem algoritması kolaylıkla bilgisayarda kodlanabilecek özelliktedir. Belirli sayıda iterasyondan son-

15 ra optimal çözüme kavuşulacağı varsayılmakla birlikte, genellikle bu sayı bilgisayarla çalışılmasına rağmen çok büyük olabilmektedir. Bu yöntemde diğer bir problem yuvarlatma (round-off) hatalarına karşı hassas oluşudur. Kesirli değerlerle çalışıldığı için bilgisayarda ondalık aritmetik kullanılması zorunluluğu vardır.-birçok bilgisayar kodunda çift duyarlı (double precision) aritmetik özellik mevcut olmakla beraber, problem her İterasyonda büyüyen sayıda kesen düzlemlerle çözümlenmeye çalışıldığı İçin bazen bu da yetersiz kalabilmektedir (12). Kesen düzlem algoritmasının diğer bir özelliği, amaç fonk-. siyonu bir platoya ulaştığında, İterasyondan iterasyona önemli bir ilerlemenin kaydedilememesidir. Birçok kesen düzlem eklenmesine rağmen amaç fonksiyonunun değerinde oldukça küçük değişiklikler elde edilebilir. Büyük boyutlu problemlerde olduğu kadar, küçük problemlerde de bu pahalı özellik veya dez-. avantajla sık sık karşılaşılabilmektedir. Bu sakıncayı gidermek için uzmanların geliştirilmiş, bu bölgeden (platodan), kurtulma hilelerine çözüm algoritması içinde başvurulmuştur. Bu algoritmanın diğer bir sakıncası da ajî ve bi değerleri olan problemlerde zorlanmasıdır. Son olarak, kesen düzlem yöntemi bir (duai-simpleks) dual metot olduğu için eleştirilmektedir. Bu teknik, mümkün olmayan bir çözümle İterasyonlara başlamakta ve optimal çözüm elde edene kadar bulduğu sonuçlar mümkün olmayan özellik taşımaktadır. Şayet metot optımale yakınsaklaşmaz ise veya yakınsaklaşmayı tamamlamasına izin vermek çok pahalıya mal olacak ise, kullanıcı bilgisayarda, programı kestiği noktada ne bir 'optimale yakın' ne de iyi bir 'mümkün çözüm' elde edebilmiş olmaktadır. (12) Geoffrion, A. M.: Marsten R. E., «Integer Programming Algorİthms: A Frameıvork and State of the Art Survey», Management Selence, 18, 7 (March 1972)ı

16 özetle, kesen düzlemin başarısı problemin şekline bağlıdır. Optimal çözüme ulaşmak için, bazen sadece kısıtların sırasını değiştirmek, gerekli kesen düzlemlerin sayısını önemli ölçüde etkileyebilmektedir Kısmi Sayılama (Enumerasyon) Yöntemleri a) Dal-sınır Algoritması;, Bu yöntem küçük boyutlu problemlerin çözümünde oldukça etkin olmakla beraber, problem 50. değişken ve 25 kısıttan fazla olan büyük problemlerde veya ilk simpleks. çözüm, optimal tamsayılı çözümden bir hayli uzakta ise, gerekli iterasyon- İarın sayısı aşırı derecede büyüyebilmededir. Sadece problemin boyutu çözüm karmaşıklığı için neden değildir. Belirli bazı problemler büyük dalların dudanmasına müsaade ederken, diğer bazıları en uç noktaya kadar taramayı gerektirebilir. Fakat, kesen düzlemle mukayese edildiğinde, dal-sınır yönteminin optimuma yakınsaklaşması zaman (maliyet) açısından durdurulsa dahi, değeri olan bir mümkün çözümü kullanıcıya sunması açısından ter* cih edilmelidir. Daha önce de belirtildiği gibi bilhassa karma tamsayılı programlama da iyi bir yöntemdir. I b) Gizli Sayılama Algoritması: Gizli sayılamanın en önemli avantajı tamsayılı aritmetik kullanmasıdır. Böylece kodlamada sabit nokta aritmetik özellikten yararlanarak, yuvarlatma problemleri ortadan kalkar, üstelik hafıza gereksinimi, bu yöntemde simpleksle ilgili diğerlerinden daha azdır. Fakat genel bir TDP probleminin 0-1 eşdeğerine dönüştürülerek çözülmesi de birçok değişkenin eklenmesine sebeb olur. Böyle durumlarda hafıza kapasitesi ve zamanı çok kritik olabilir. 20