ORTAÖ RET M GEOMETR 9 YAZARLAR KOM SYON

Transkript

1 RTÖ RT M GMTR 9 YZRLR KM SYN

2 TÖR... L UZMNI... PRGRM GL fit RM UZMNI... ÖLÇM RLN RM UZMNI... RHRL K UZMNI... GÖRSL TSRIM UZMNI Yüksel ULUÇY U ur SPMZ

3 istikll MRfiI Korkma, sönmez bu flafaklarda üzen al sancak; Sönmeden urdumun üstünde tüten en son ocak. benim milletimin ld z d r, parlaacak; benimdir, o benim milletimindir ancak. Çatma, kurban ola m, çehreni e nazl hilal! Kahraman rk ma bir gül! Ne bu fliddet, bu celal? Sana olmaz dökülen kanlar m z sonra helal... Hakk d r, hakk'a tapan, milletimin istiklal! en ezelden beridir hür aflad m, hür aflar m. Hangi ç lg n bana zincir vuracakm fl? fiaflar m! Kükremifl sel gibiim, bendimi çi ner, aflar m. Y rtar m da lar, enginlere s mam, taflar m. Garb n afak n sarm flsa çelik z rhl duvar, enim iman dolu gö süm gibi serhaddim var. Ulusun, korkma! Nas l böle bir iman bo ar, 'Medeniet!' dedi in tek difli kalm fl canavar? rkadafl! Yurduma alçaklar u ratma, sak n. Siper et gövdeni, dursun bu haas zca ak n. o acakt r sana va'detti i günler hakk' n... Kim bilir, belki ar n, belki ar ndan da ak n. ast n erleri 'toprak!' dierek geçme, tan : üflün alt nda binlerce kefensiz atan. Sen flehit o lusun, incitme, az kt r, atan : Verme, dünalar alsan da, bu cennet vatan. Kim bu cennet vatan n u runa olmaz ki feda? fiuheda f flk racak topra s ksan, fluheda! an, canan, bütün var m als n da hüda, tmesin tek vatan mdan beni dünada cüda. Ruhumun senden, ilahi, fludur ancak emeli: e mesin mabedimin gö süne namahrem eli. u ezanlar-ki flahadetleri dinin temeli, bedi urdumun üstünde benim inlemeli. zaman vecd ile bin secde eder -varsa- tafl m, Her cerihamdan, ilahi, boflan p kanl afl m, flk r r ruh-i mücerred gibi erden na'fl m; zaman ükselerek arfla de er belki bafl m. algalan sen de flafaklar gibi e flanl hilal! lsun art k dökülen kanlar m n hepsi helal. bedien sana ok, rk ma ok izmihlal: Hakk d r, hür aflam fl, bara m n hürriet; Hakk d r, hakk'a tapan, milletimin istiklal! Mehmet kif rso

4 TTÜRK'ÜN GNÇL H TS Türk gençli i! irinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk umhuriet'ini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir. Mevcudietinin ve istikbalinin egâne temeli budur. u temel, senin, en k metli hazinendir. stikbalde dahi, seni bu hazineden mahrum etmek isteecek, dahilî ve haricî bedhahlar n olacakt r. ir gün, istiklâl ve cumhurieti müdafaa mecburietine düflersen, vazifee at lmak için, içinde bulunaca n vazietln imkân ve fleraitini düflünmeeceksin! u imkân ve flerait, çok nâmüsait bir mahiette tezahür edebilir. stiklâl ve cumhurietine kastedecek düflmanlar, bütün dünada emsali görülmemifl bir galibietin mümessili olabilirler. ebren ve hile ile aziz vatan n, bütün kaleleri zaptedilmifl, bütün tersanelerine girilmifl, bütün ordular dag t lm fl ve memleketin her köflesi bilfiil iflgal edilmifl olabilir. ütün bu fleraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hianet içinde bulunabilirler. Hatta bu iktidar sahipleri flahsî menfaatlerini, müstevlilerin siasî emellerile tevhit edebilirler. Millet, fakr ü zaruret içinde harap ve bîtap düflmüfl olabilir. Türk istikbalinin evlâd! flte, bu ahval ve flerait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhurietini kurtarmakt r! Muhtaç oldu un kudret, damarlar ndaki asil kanda, mevcuttur! K. TTÜRK

5 MUST KML TTÜRK

6 Ç NK LR. ÖLÜM : GMTR K KVRMLR NKT, RU, ÜZLM V UZY KVRMLRI SYI RUSU (KSN ) V R NKTNIN KR NTI UYGULMLR 6 LIfiTIRMLR 7 NKT, RU V ÜZLM RSINK L fik LR 8 ÜZLM K RUNUN R RLR N GÖR URUMLRI 9 K ÜZLM N R R N GÖR URUMLRI LIfiTIRMLR ÇILRL LG L TML KVRMLR ÇILRIN ÖLÇÜLMS ÇI Çfi TLR 5 KNRLRI PRLL ÇILR 9 KNRLRI K ÇILR R ÇININ ÇIRTYI VR LN R ÇIY fi R ÇI Ç ZM UYGULMLR 4 LIfiTIRMLR 5 TST 7. ÖLÜM : RUNUN NL T K NLNMS NL T K ÜZLM 9 K NKT RSINKI UZKLIK 0 R RU PRÇSINI LL RN ÖLN NKTLRIN KR NTLRI UYGULMLR LIfiTIRMLR 4 R RUNUN M ÇISI V M 5 R M (TR GNMTR K) ÇMR 6 RUNUN NKLM 8 NKLM VR LN RUNUN GR 4 LIfiTIRMLR 45 K RUNUN R R N GÖR URUMLRI 47 K RU RSINK ÇI 49 LIfiTIRMLR 50 R NKTNIN R RUY LN UZKLI I 5 LIfiTIRMLR 5 R N RN K L NMYNL fi TS ZL KLR 54 LIfiTIRMLR 55 TST 56 TST 60. ÖLÜM : ÜÇGNLR ÜÇGNL LG L TML KVRMLR 6 ÜÇGN Çfi TLR 64 ÜÇGN N YRIMI LMNLRI 64 ÜÇGN ÇILR RSINK INTILR 65 UYGULMLR 69 LIfiTIRMLR 7 R ÜÇGN N ÇILRI V KNRLRI RSINK INTILR 76 ÜÇGN fi TS ZL 77 LIfiTIRMLR 78 TST 79 TST 8 K ÜÇGN MTR K INTILR 8 P SGR TRM 85 LIfiTIRMLR 86 TST 87

7 4. ÖLÜM : ÇMR ÇMR TML KVRMLR 89 K R fi N ÖZLL KLR 90 T T N ÖZLL KLR 9 UYGULMLR 9 K ÇMR N R R N GÖR URUMLRI 9 LIfiTIRMLR 94 ÇMR YYLR V ÇILR 96 UYGULMLR 0 LIfiTIRMLR 04 R ÇMR N V YYININ UZUNLU U 05 TST ÖLÜM : KTI S MLR PR MLR 09 ÜZGÜN PR ZM 0 PR ZMNIN LNI PR ZMNIN HM VLIRI (KVL Y) LKS 4 LIfiTIRMLR 4 P RM T 5 P RM T N LNI 6 P RM T N HM 7 LIfiTIRMLR 8 S L N R 8 S L N R N LNI 9 S L N R N HM 9 LIfiTIRMLR KN K RSL KN N N ÖZLL KLR K RSL KN N N LNI KS K KN K RSL KS K KN N N LNI 4 RSL KN N N HM 5 RSL KS K KN N N HM 7 LIfiTIRMLR 9 KÜR 9 KÜRN N LNI V HM 0 LIfiTIRMLR TST 6.ÖLÜM : ÜZLM VKTÖRLR YÖNLÜ RU PRÇSI 5 LIfiTIRMLR 7 VKTÖR 7 NL T K ÜZLM VKTÖRLR 8 LIfiTIRMLR 4 R M VKTÖR 4 VKTÖRLR N L NR Lfi M 44 LIfiTIRMLR 47 SÖZLÜK 48 SMLLR 5 KYNKÇ 5

8 I. ÖLÜM GMTR K KVRMLR NKT, RU, ÜZLM V UZY KVRMLRI ugüne kadar matemati in bir dal olan geometri derslerinde noktalar, nokta kümeleri (geometrik flekiller, cisimler vb.) ve bunlar n aras ndaki iliflkiler ile ilgili birçok bilgi ö rendiniz. Örne in: ikdörtgenin alan, ard fl k iki kenar n n uzunluklar çarp m na eflittir. ir üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 80 0 dir. önermelerinin do ru oldu unu biliorsunuz. u bilgilerden baz lar o kadar basit ve aç kt r ki bunlar n do rulu unu tart flmak vea düflünmek akl n za bile gelmez. arkl iki nokta bir tek do ru belirtir. önermesinde oldu u gibi. akat, dik üçgenlerdeki Pisagor a nt s n n do rulu unu hemen sezemezsiniz. unun için geometri bilgilerini öle bir s raa komal z ki karmafl k önermeler daha basit ve anlafl l r hâle gelebilsin. u s ran n koladan zora do ru olmas mant a ugundur. u aflamada geometrideki temel tan m ve kavramlar aç k ve do ru olarak verilecek, baz basit ve temel önermelerin do rulu u gösterilmeden kabul edilecek, baz lar ise ispatlanacakt r. fiimdi geometrideki temel kavramlar n tan mlar n apal m. Tan m : Geometride özel anlam olan terimlere geometrik terim denir. Nokta, do ru, düzlem, üçgen, aç geometrik terime birkaç örnektir. Tan m : az geometrik terimleri tan mlamak için daha basit terimlere ihtiaç vard r. unlara tan ms z terim denir. Nokta, do ru, düzlem ve uza tan ms z terim olarak kabul edece iz. Tan m : o rulu u ispats z kabul edilen basit ve temel önermelere aksiom denir. arkl iki noktadan bir ve aln z bir do ru geçer. önermesi bir aksiomdur. Tan m : Tan mlar ve aksiomlar ard m la do rulu u ispatlanabilen önermelere teorem denir. ir üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 80 0 dir. önermesi bir teoremdir. Nokta Tan ms z kabul edilen nokta, geometrinin en temel terimidir. Kaleminizin ucunun defterinizde b rakt iz, nokta hakk nda bir fikir verebilir. Noktalar büük harflerle adland r l r :,, gibi. noktas o ru o ru, bir noktalar kümesi olup tan ms z bir terimdir. ki tarafa istenildi i kadar uzat labilen gergin bir lastik, do ru hakk nda bize bir bilgi verebilir. o runun iki önde de sonsuza uzad kabul edilir. unun için afla da oldu u gibi iki taraf na da ok iflareti konur. o rular küçük harfler ile vea iki noktas an ana az larak gösterilir. d do rusu d vea do rusu ir noktas d do rusu üzerinde ise d, de il ise d ile gösterilir. Yukar daki flekilde noktas do ru üzerindedir. akat noktas do ru üzerinde de ildir. d d d

9 üzlem Tan ms z kabul edilen ve noktalar kümesi olan bir di er terim de düzlemdir. ir gölün vea bir masan n üzei bize düzlem hakk nda bir bilgi verebilir. üzlemin her önde s n rs z noktalar kümesinden olufltu u kabul edilir ve büük harflerle adland r l r. P P P P düzlemi Yukar daki flekilde noktas düzlemin üzerinde, noktas düzlemin d fl ndad r. Uza Tan m : ütün noktalar n oluflturdu u en genifl kümee uza denir. ksiom : arkl iki noktadan bir ve aln z bir do ru geçer., farkl noktalar ve d, d olacak flekilde bir tek d do rusu ( do rusu) vard r. ir duvara çak lan iki çivinin uçlar na ancak bir gergin ip ba laabilirsiniz. n çivilerin uçlar na ba lanacak birden fazla gergin ip çak fl k olur. u size iki noktadan aln z bir do ru geçti ine örnektir. efterinize kaleminizle farkl iki nokta iflaretleiniz ve bu noktalar cetvel ard m la birlefltirin. u noktalardan geçen baflka bir do ru çizebilir misiniz? Tan m : ir noktalar kümesinin bütün elemanlar an do ru üzerinde ise bu noktalara do rusald r (do rudafl noktalar) denir.,,, d oldu undan,, ve noktalar do rusald r. d d Örnek : ört farkl noktadan en az ve en çok kaç farkl do ru geçer? fiekil çizerek görelim: d d d d d d d d4 d5 I II III d4 d6 Yukar daki flekillerde görüldü ü gibi üç durum vard r. I. Noktalar n hepsi do rusal ise bir do ru geçer (d do rusu). II. Noktalardan herhangi üçü do rusal ise 4 do ru geçer (d, d, d ve d4 do rular ). III. Herhangi üçü do rusal de ilse 6 do ru geçer (d, d, d, d4, d5 ve d6 do rular ). hâlde, dört farkl noktadan en az, en çok 6 do ru geçer. u durumda; a. arkl 4 noktadan hepsi do rusal ise verilen noktalardan en az bir do ru geçer. b. arkl 4 noktadan herhangi üçü do rusal de ilse; her farkl iki noktadan bir n(n ) do ru geçece inden, en çok n eleman n ikili kombinasondan (n, ) = kadar farkl do ru geçer.

10 Tan m : Noktalar kümesinin bütün elemanlar an düzlemin üzerinde ise bu noktalara düzlemseldir denir. P,,, P oldu undan bu noktalar düzlemseldir. Tan m : üzlemde bir noktadan sonsuz do ru geçer. u do rular kümesine düzlemsel do ru demeti denir. d d d d4 P d, d, d, d4 P d d d d4 = {} d, d, d, d4 do rular düzlemsel do ru demetidir. Tan m : Uzada bir noktadan sonsuz do ru geçer. u do rular kümesine uzasal do ru demeti denir. d d d d4 d d d d4 = {} noktas ndan geçen uzasal do ru demeti SYI RUSU (KSN ) V R NKTNIN KR NTI ksiom : ir do runun noktalar ile reel sa lar aras nda öle bir eflleme ap lmal ki;. o runun her noktas na bir ve aln z bir reel sa karfl l k gelir.. Her reel sa a do runun bir ve aln z bir noktas karfl l k gelir. u aksioma cetvel aksiomu dioruz. Tan m : etvel aksiomu ile belirtilen flartlarda reel sa larla bire bir efllenmifl do rulara sa do rusu vea sa ekseni denir. Sa do rusu üzerinde bir nokta ile efllenen reel sa a bu noktan n koordinat denir. Sa do rusu üzerindeki P noktas n n efllendi i reel sa a ise bu sa P noktas n n koordinat d r ve P(a) fleklinde gösterilir. Koordinat 0 olan noktaa bafllang ç noktas denir P 4 0 a d d sa do rusu üzerinde noktas bafllang ç noktas d r. (0) az l r. noktas n n koordinat oldu undan (), P noktas n n koordinat a oldu undan P(a) az l r. u an zamanda koordinat a olan noktan n P harfile adland r ld n ifade eder. ki Nokta ras ndaki Uzakl k ksiom (Uzakl k ksiomu) : irbirinden farkl herhangi iki nokta aras ndaki uzakl a bir tek pozitif reel sa karfl l k gelir. Tan m : Uzakl k aksiomu ile verilen pozitif reel sa a iki nokta aras ndaki uzakl k denir. Verilen noktalar ve ise bu noktalar aras ndaki uzakl k vea ile gösterilir. ve noktalar an, ani = ise = 0 olur.

11 ksiom : Sa do rusu üzerinde verilen iki nokta aras ndaki uzakl k, bu iki noktan n koordinatlar fark n n mutlak de erine eflittir. (a) ve (b) noktalar aras ndaki uzakl k: = b a = a b olur. Örnek : ( ) ve () noktalar aras ndaki uzakl bulunuz. Çözüm : 0 ( ) ve () noktalar aras ndaki uzakl k: = b a = ( ) = 5 = 5 birim bulunur. Örnek : () ve () noktalar için = 5 ise in alabilece i de erleri bulunuz. Çözüm : = = 5 a. = 5 = b. = 5 = 8 bulunur. Tan m (rada olma) : ir do runun farkl, ve noktalar verilsin. + = ise noktas ile aras ndad r denir. 0 Yukar daki flekilde; ( ), () ve () noktalar verilmifltir. = ( ) =, = = ve = ( ) = 5 birim olur. + = 5 ani + = oldu undan noktas, ile aras ndad r. Örnek : Koordinatlar a, b ve c olan do rusal, ve noktalar verilior. a, b, c sa lar aras nda c a + b c = b a eflitli i varsa arada olan nokta bulunuz. Çözüm: c a + b c = b a ise a < c < b vea b < c < a az labilir ki noktas ile aras nda olur. Tan m (o ru parças ) : ir do ru üzerinde al nan farkl iki nokta ve olsun. ve ile aralar ndaki bütün noktalar n kümesine do ru parças denir. do ru parças [] ile gösterilir. ve noktalar na da [] nin uç noktalar denir. d d noktas, ile noktalar aras nda ise [] d r. Tan m (ir do ru parças n n uzunlu u) : Sa do rusu üzerinde uç noktalar (a) ve (b) olan iki nokta verilsin. ve noktalar aras ndaki uzakl a do ru parças n n uzunlu u denir. [] n n uzunlu u, = b a = a b ile ifade edilir. Tan m (fl do ru parçalar ) : Uzunluklar eflit olan do ru parçalar na efl do ru parçalar denir. [] ve [] efl do ru parçalar ise [] [] ile gösterilir ve = [] [] olur. u durumda; her do ru parças kendisine eflittir. Örnek : (), ( ), () ve (6) noktalar verilior. [] [] oldu unu gösteriniz. Çözüm: = = 5 = 5 ve = 6 = 5 = 5 oldu undan = dur. uradan [] [] olur. Örnek : ( 5), (), () ve () noktalar verilior. [] [] ise in alabilece i de erleri bulunuz. Çözüm: [] [] oldu undan = dur. = ( 5) = 6 = 6 ve = olur. uradan = 6 a. = 6 = 7 ve b. = 6 = 5 bulunur. 4

12 Tan m (rta nokta) : ir do ru parças verilsin. [] ve = ise noktas na [] n n orta noktas denir. [] ve = ise noktas [] n n orta noktas d r. Örnek : Sa do rusu üzerinde (a), (b) ve () noktalar verilsin. noktas [] n n orta noktas ise de erini a ve b cinsinden hesapla n z. Çözüm: noktas, [] n n orta noktas ise = ve a < < b olur. Çözüm : Yukar daki örnekten Örnek : P = {: +, R} kümesinin elemanlar n sa do rusu üzerinde gösteriniz. Çözüm: vea [ 4, ] olur. Verilen P kümesinin elemanlar koordinatlar 4 ve olan ve noktalar ile bu iki nokta aras ndaki bütün noktalar, ani [] d r. Ifl n Tan m : ve bir d do rusunun farkl iki noktas olsun. do ru parças ile noktas ile aras nda kalacak flekilde al nan bütün noktalar n n kümesine fl n denir ve [ ile gösterilir. noktas na da fl n n bafllang ç noktas denir. [ = [] {: + =, d} olur. Tan m (Z t fl nlar) : er bir noktas an do ru üzerindeki ve noktalar aras nda ise [ ve [ na z t fl nlar denir. fiekildeki [ ve [ z t fl nlard r. [ [ = {} ve [ [ = d dur. Tan m (Yar do ru) : afllang ç noktas hariç bir fl na ar do ru denir. ar do rusu Örnek : Verilen bir [X üzerinde = birim = birim ve = birim olacak flekilde, ve noktalar n bulunuz. Çözüm: = birim olan [] n alal m ve [X n çizelim. = a = a ve = b = b az l r. uradan a = b = a+b = a + b olur. Örnek : ( ), (b) ve () noktalar verilior., [] n n orta noktas ise b nin de erini bulunuz. = + b 4 6 = + b b = 8 bulunur. d d d X Pergelin ucunu = birim olacak flekilde açal m. Sivri ucunu noktas na koarak bir a çizelim. u a n [X n kesti i nokta olur. Pergelin ucunu noktas na koarak çizilen a n fl n kesti i nokta, noktas na koarak çizilen a n fl n kesti i nokta da olur. ölece [X üzerinde noktas ndan, ve birim uzakl ktaki, ve noktalar bulunmufl olur. 5

13 UYGULMLR Örnek : Uç noktalar ( ), () olan [] verilior. [] n n orta noktas n n koordinat n bulunuz. Çözüm: ( ) () () [] n n orta noktas () olsun. = ( ) = + = = = olur. Sa do rusu üzerinde koordinat olan sadece bir nokta vard r. ölece [] n n bir ve aln z bir tane orta noktas oldu u görülür. Örnek : = { : >, R} kümesinin elemanlar n sa do rusu üzerinde gösteriniz. Çözüm: kümesinin elemanlar, flekilde görüldü ü gibi ar do rusudur. aflka bir deiflle d do rusunun noktas n n sa nda kalan bütün noktalar d r. Örnek : Yukar daki flekle göre; a. [] [ b. [] [ c. [] [ d. [ [ ifadelerinin eflitlerini bulunuz. Çözüm: a. [] [ = {} b. [] [ = [] c. [] [ = [ = [ d. [ [ = [] olur. Örnek : P = { :, R} kümesinin elemanlar n sa do rusu üzerinde gösteriniz. Çözüm: a. ve b. ( ) olur. d d P kümesi, [ [ = (, ] [, + ) olur. d Örnek : = { :, R} ve = { :, R} kümeleri verilior. kümesinin elemanlar n sa do rusu üzerinde gösteriniz. Çözüm: P Q = [QP = (, ] ve = [PQ = [, + ) d r. uradan = [PQ] = (, ] [, + ) = [, ] bulunur. Örnek : Koordinatlar (), (0) ve () noktalar verilsin. + 0 ifadesinin en küçük de erini bulunuz. Çözüm: 0 fiekilden; = ve = 0 oldu u görülür. + 0 toplam n n en küçük olmas için noktas ile aras nda olmal d r. Yani, koordinat < < 0 flart n sa lamal d r. fadenin en küçük de eri; < < = +0 = +0 = 8 olur. 6

14 LIfiTIRMLR. efl farkl noktadan en az ve en çok kaç farkl do ru geçer? fiekil çizerek gösteriniz.. ir çember üzerinde bulunan 0 nokta verilior. a. u noktalardan kaç farkl do ru geçer? b. u noktalardan birisi oldu una göre dan geçen kaç farkl do ru vard r?. 4 ü bir d do rusu üzerinde, bunlar n d fl nda herhangi üçü do rusal olmaan 9 nokta verilior. u noktalardan kaç farkl do ru geçer? 4. ü bir d do rusu üzerinde, 4 ü farkl bir t do rusu üzerinde bulunan 7 nokta verilior. u noktalardan kaç farkl do ru geçer? 5. noktas ortak olan, iki farkl do ru verilior. d fl nda bu do rular n birisi üzerinde 4, di eri üzerinde nokta al n or. u noktalardan geçen kaç farkl do ru vard r? 6. ir d do rusu üzerinde 4, bir t do rusu üzerinde nokta ile bu do rular üzerinde bulunmaan nokta daha verilior. u noktalardan en az ve en çok kaç do ru geçer? 7. fla da koordinatlar verilen noktalar aras ndaki uzakl klar bulunuz. a. ( ), (7) b. ( 9), ( ) c. (), () d. ( ), G( ) e. K( ), L( ) f. M(0,), N(,5) 8. ( 5) ve (b) noktalar aras ndaki uzakl k 4 birim ise b nin alaca de erleri bulunuz. 9. R olmak üzere afla daki önermelerin çözüm kümelerini bularak sa do rusu üzerinde geometrik orum ap n z. a. = b. + 5 c. + < d. 7 e. > 4 f = { :, R} ve = { : < 4, R} kümeleri verilior. ve kümelerini an sa do rusu üzerinde göstererek afla daki kümeleri bulunuz. a. b. c. d. e.. ( ), (), () ve () noktalar verilior. noktas [] n n ve noktas da [] n n orta noktas oldu una göre, ile noktalar aras ndaki uzakl bulunuz.. ( ), (a ), () ve (a) noktalar verilior. [] [] ise a n n alaca de erleri bulunuz.. (a), (b) ve () noktalar verilior. (a<b) [] ve = k. oldu una göre, de erini a ve b cinsinden bulunuz. 4. (a), (b) ve () noktalar verilior. (a<b) [] ve = k. oldu una göre; a. k < için b. k > için de erini a ve b cinsinden hesapla n z. 5. ( 5), () ve (9) noktalar verilior. [] ve oldu una göre in de erini bulunuz. = 5 6. ( 7), (9) ve () noktalar verilior. [] ve = 5 oldu una göre nin de erini bulunuz. 7. ( ), (9) ve () noktalar verilior. = eflitli ini sa laan noktalar aras ndaki uzakl bulunuz. 8. ( ), () ve () noktalar verilior. + toplam n n en küçük de erini bulunuz. 9. (), () ve (5) noktalar verilior. kesrinin alabilece i en büük de eri bulunuz. + 7

15 NKT, RU V ÜZLM RSINK L fik LR ksiom:. Her düzlemin do rusal olmaan en az üç noktas vard r.. Uza n düzlemsel olmaan en az dört noktas vard r. P P,, P ve,, P fakat P Uzada do rusal olmaan farkl üç noktadan bir ve aln z bir düzlem geçer. ksiom: ir do runun farkl iki noktas bir düzleme ait ise o do ru düzlemin içindedir. aflka bir deiflle bir do ru ile düzlemin iki noktas ortak ise do runun bütün noktalar düzlemin de noktalar d r. d P, P P d P Tan m : ir do ru ile düzlemin hiçbir ortak noktas ok ise do ru düzleme paraleldir. d P = Ø d // P olur. P d Teorem : ir do ru içinde bulunmad bir düzlemi en çok bir noktada keser. d P d P = {} d do rusu P düzlemini noktas nda keser. spat : d P olsun.. durum : d P Ø ise, d do rusu ile P düzleminin noktas ndan baflka gibi bir ortak noktas daha olsun. ksioma göre d do rusu P düzleminin içinde olur. Yani d P olur ki verilene ak r d r.. durum : d P = Ø ise d // P olur ki do ru düzlem ile kesiflmez. hâlde d do rusu içinde bulunmad düzlemi en çok bir noktada keser. 8

16 ÜZLM K RUNUN R RLR N GÖR URUMLRI Tan m (Paralel do rular) : ir düzlem içinde ortak noktas olmaan iki do ru birbirine paraleldir. d ve do rular paralel ise d // ile gösterilir. d P d, P ve d = Ø d // dir. ksiom (Paralellik aksiomu) : üzlemde bir do rua d fl ndaki bir noktadan en çok bir paralel do ru çizilebilir. d P P düzleminde noktas ndan geçen ve do rusuna paralel bir tane d do rusu vard r. Tan m (Kesiflen do rular) : ki do runun bir tek ortak noktas varsa bu iki do ru bir noktada kesiflior denir. d d = {} olur. n, r N ve r n olmak üzere n eleman n r li kombinasonlar sa s, n! n(n ) (n, r) = olup bir düzlem içindeki n farkl do ru en fazla (n,) = farkl noktada ( n r)!. r! kesiflir. Örnek : ir düzlem içindeki 0 farkl do ru; a. n az kaç noktada kesiflir? b. n çok kaç farkl noktada kesiflir? Çözüm: a. o rular n hepsi birbirine paralel ise do rular kesiflmez. Yani ortak noktalar ok tur. n az 0 noktada kesiflirler. b. kifler ikifler farkl noktalarda kesifliorlarsa iki do ru bir noktada kesiflece inden en fazla P (0, ) = 0! ! = (0 )!.! 8!.. = 45 noktada kesiflir. Örnek : üzlemde herhangi üçü do rusal olmaan en az kaç nokta, 0 farkl do ru belirtir? Çözüm: arkl iki nokta bir do ru belirtece inden, nokta sa s n ise (n, ) = 0 n! (n )!.! n(n ) = 0 = 0 n n 0 = 0 (n + 4)(n 5) = 0 n = 5 bulunur. Örnek : ir düzlemde ü bir noktas ndan, 4 ü farkl bir noktas ndan geçen 7 do ru verilior. u do rular; a. n az kaç noktada kesiflir? b. n çok kaç noktada kesiflir? Çözüm: a. u do rular n en az noktada kesiflmesi için ve noktalar ndan geçen do ru ikifler ikifler paralel olmal d r. dan geçen her do ru den geçen do rula kesiflece inden, ve d fl nda. = 9 noktada kesiflir. ve i dahil edersek toplam 9+ = noktada kesiflirler. b. u do rular n en fazla noktada kesiflmesi için ve noktalar ndan geçen do rular ikifler ikifler kesiflmelidir. u noktalardan geçen do rular ve noktalar d fl nda.4 = noktada kesiflir. ve i dahil edersek toplam + = 4 noktada kesiflirler. u durumlar ugun flekiller çizerek siz gerçekleiniz. 9

17 Tan m (Çak fl k do rular) : ki do runun farkl iki noktas ortak ise bu do rulara çak fl k do rular denir. P l d, d ve, l ise d = l dir. Tan m (k r do rular) : arkl düzlemlerde bulunan ve kesiflmeen iki do rua ak r do rular denir. H d G d Yukar daki dikdörtgenler prizmas n n GH üzei üzerindeki d do rusu ile üzei üzerindeki d do rusu an düzlemde de ildir. u do rular, kesiflmedi inden (d d = Ø) ak r do rulard r. ksiom: Herhangi üç noktadan bir düzlem geçer. o rusal olmaan üç noktadan bir ve aln z bir düzlem geçer. P [] ve,, P ise P tektir., ve noktalar do rusal de ilse, bu noktalardan geçen bir tek P düzlemi vard r. S n f n zda az tahtas n n bulundu u duvar n üç köflesinden aln z bu duvar düzlemi geçer. Sabit iki aak üzerine bir masa tablas n niçin kolaca koamazs n z? Masalar n vea taburelerin neden en az üç aakl oldu unu düflündünüz mü? Teorem : ir do ru ile d fl ndaki bir noktadan aln z bir düzlem geçer. d P spat : d olacak flekilde bir d do rusu ile noktas verilsin. d fl nda d do rusu üzerinde ve gibi farkl iki nokta daha alal m. ksiom gere ince do rusal olmaan, ve noktalar ndan bir tek P düzlemi geçer. Teorem : Kesiflen iki do rudan bir ve aln z bir düzlem geçer. d l P spat : d l = {} olsun. l do rusu üzerinde dan farkl bir nokta olsun. d do rusu ile d fl ndaki noktas ndan bir önceki teorem gere i bir tek P düzlemi geçer. Teorem : Paralel iki do ru bir tek düzlem belirtir. P d u teoremin ispat n da siz ap n z. d 0

18 Örnek : Uzada 5 elemanl bir do ru demeti ile 4 nokta verilior. u do rular ile noktalar en fazla kaç düzlem belirtir? Çözüm: Kesiflen iki do ru bir düzlem belirtti inden 5 do ru, en fazla (5, ) = 0, do rusal olmaan üç nokta bir düzlem belirtti inden 4 nokta, en fazla (4, ) = 4 ve bir do ru ile d fl ndaki bir nokta bir düzlem belirtti inden 5 do ru ile 4 nokta, en fazla 4.5 = 0 düzlem belirtir. hâlde verilen do ru ve noktalar en fazla, = 4 düzlem belirtir. K ÜZLM N R RLR N GÖR URUMLRI Tan m (Paralel düzlemler) : ki düzlemin ortak hiçbir noktas oksa bu düzlemlere paralel düzlemler denir. P Q P Q = Ø P // Q dur. ksiom: arkl iki düzlemin bir ortak noktas varsa, düzlemler bu noktadan geçen bir do ru bounca kesiflirler. Yukar daki aksiomda belirtilen do rua bu iki düzlemin ara kesiti denir. P d Q P Q = d olur. Tan m : o rusal olmaan farkl üç noktas ortak olan iki düzleme çak fl k düzlemler denir. Q P,, P ve,, Q P = Q olur. P ve Q çak fl k düzlemlerdir. Konveks ( flbüke) ve Konkav ( çbüke) Kümeler Tan m : ir P noktalar kümesinin herhangi iki farkl eleman ve olsun. [] n n bütün noktalar P kümesinin içinde kal orsa bu kümee konveks (d flbüke), baz noktalar d fl nda kal orsa bu kümee de konkav (içbüke) küme denir. P dörtgeninin iç bölgesi konveks kümedir. dörtgeninin iç bölgesi konkav kümedir. Örnek : 6 farkl düzlemin ara kesiti en çok kaç do ru olur? Çözüm: ki farkl düzlemin ara kesiti en çok bir do ru olaca ndan; (6,) = 6!!.4! = 6.5.4! = 5.4! do ru olur. Örnek : farkl düzlem uza en az ve en çok kaç k sma a r r? Çözüm: a. üzlemlerin hepsi birbirine paralel ise uza en az + = 4 k sma a r r. b. üzlemlerin ara kesitleri farkl ise uza en çok 8 k sma a r r. P

19 . fiekilden ararlanarak afla da noktal erlere ugun olan ifadeleri az n z. a. [] [] =... b. [ [ =... c. [ [ =... d. [] [] =... e. [ [ =... f. [ [ =.... üzlemde 5 farkl do ru en az ve en çok kaç noktada kesiflir?. ir düzlemde 5 i bir noktas ndan geçen, bunlar d fl nda 4 ü birbirine paralel olan 9 do ru en az ve en çok kaç farkl noktada kesiflir? 4. ir düzlemde 4 ü bir noktas ndan geçen 8 farkl do ru verilior. u do rular en az ve en çok kaç farkl noktada kesiflir? 5. ir düzlemde 4 ü birbirine ve bunlardan farkl 5 i de birbirine paralel olan 9 do ru verilior. u do rular kaç farkl noktada kesiflir? 6. Uzada farkl do ru en çok kaç düzlem belirtir? 7. Herhangi üçü do rusal olmaan 5 nokta verilior. a. u noktalardan kaç farkl do ru geçer? b. u noktalardan kaç farkl düzlem geçer? 8. Uzada 4 ü bir d do rusu üzerinde, bunlar n d fl nda herhangi üçü do rusal olmaan 9 nokta verilior. a. u noktalardan kaç farkl düzlem geçer? b. n az bir noktas d do rusu üzerinde bulunan ve bu noktalardan geçen kaç düzlem vard r? 9. ir düzlemde 7 farkl do ru düzlemi en az ve en çok kaç farkl bölgee a r r? 0. Uzada farkl düzlem en çok kaç farkl do ru belirtir?. n farkl do ru, bir düzlemi en çok 46 bölgee a r or. a. n sa s kaçt r? b. u n do ru en çok kaç farkl noktada kesiflir?. Uzada en az kaç nokta 56 farkl düzlem belirtir?. Uzada herhangi üçü düzlemsel olmaan 5 paralel do ru ile bu do rular üzerinde olmaan nokta verilior. u do rular ve noktalar en fazla kaç düzlem belirtir? 4. Uzada bir noktas nda kesiflen 8 do ru en az ve en çok kaç düzlem belirtir? 5. Uzada ü bir noktas ndan, si bir noktas ndan geçen 5 do ru en fazla kaç düzlem belirtir? 6. ir düzlemi ile d ve k do rular için: a. d = {} b. k c. k önermeleri verilior. d ve k do rular hakk nda ne söleebilirsiniz? 7. fla da verilenlerden hangileri daima bir tek düzlem belirtir? a. arkl üç nokta b. o rusal olmaan üç nokta c. Kesiflen iki do ru d. arkl iki do ru e. Paralel iki do ru f. ir do ru ve d fl ndaki bir nokta 8. ve düzlemleri ile ve noktalar için:,, ve, önermeleri verilior. do rusu hakk nda ne söleebilirsiniz? u sonuç hangi aksiomla ilgilidir? 9. ir düzlemi uza P ve R ar uzalar na a r or. P içinde ve R içinde noktas al n or. do rusu düzlemini keser mi? 0. arkl dört düzlem uza en az ve en çok kaç k sma böler?. fiekilde düzlemsel olmaan,, ve noktalar verilmifltir. a. u noktalardan geçen kaç do ru vard r? b. u noktalardan kaç düzlem geçer? c. irbirini kesmeen düzlemler var m d r? d. üzlemlerin ara kesitlerini az n z. LIfiTIRMLR

20 ÇILR ÇILRL LG L TML KVRMLR Tan m : afllang ç noktalar an olan iki fl n n birleflimine aç denir. afllang ç noktas na aç n n köflesi, fl nlara da aç n n kenarlar denir. [ [ = é = é = ë noktas aç n n köflesi [ ve [ fl nlar na aç n n kenarlar [ ve [ fl nlar n n birlefliminden oluflan aç, köfle ortada olmak üzere é, é vea ë fleklinde gösterilir. Yönlü ç lar Tan m : ir aç n n kenarlar ndan birisi bafllang ç, di eri bitifl kenar olarak düflünüldü ünde; saatin dönme önü negatif, tersi pozitif ön olarak kabul edilir. öle aç lara önlü aç lar denir. + [ bafllang ç kenar ve [ bitifl kenar ise é pozitif önlü aç d r. [ bafllang ç kenar ve [ bitifl kenar ise é negatif önlü aç d r. ç n n ç ve fl ölgesi Tan m : ir P düzleminde aç s verilsin. [ fl n n n noktas taraf nda kalan ar düzlemi ile [ fl n n n noktas taraf nda kalan ar düzleminin kesiflimine aç s n n iç bölgesi, aç n n bulundu u düzlemin; aç ve iç bölgesine ait olmaan noktalar kümesine de aç n n d fl bölgesi denir. fl bölge ç bölge P P noktas aç n n iç bölgesinde ve noktas aç n n d fl bölgesindedir. K noktas da aç n n üzerindedir. K ÇILRIN ÖLÇÜLMS ç lar çeflitli ölçü birimlerile ölçülmektedir. u ölçü birimleri; derece, radan ve gradd r. iz sadece derece ölçü birimini kullanaca z. i er ölçü birimlerini matematik dersinde, trigonometri konusunda ar nt lar ile ö reneceksiniz.

21 Tan m : ir çember a n n 60 efl parças ndan birini gören merkez aç n n ölçüsüne bir derece denir. ir derece ile gösterilir. noktas çemberin merkezi ve = = r olsun. ï =.π.r m(é) = dir. 60 ç lar iletki (aç ölçer) ard m la ölçülür. ir derecenin na bir dakika, bir dakikan n na da bir sanie denir. ir dakikal k aç ve bir sanielik aç da ile gösterilir. = 60 = 60 oldu undan, = 60 = 600 dir. ksiom (ç ölçme aksiomu) : Her aç a 0 ile 80 aras nda bir reel sa karfl l k gelir. Tan m : Yukar daki aksioma göre bir aç a karfl l k gelen reel sa a bu aç n n derece olarak ölçüsü denir. ir aç s n n ölçüsü m(é) vea s(é) ile gösterilir. α m(é) = α ve 0 < α < 80 dir. Tan m : Ölçüleri eflit olan aç lara, efl aç lar denir ve efl aç lar iflaretile gösterilir. α α m(é) = m(é) = α é é dir. Tan m (Komflu aç lar) : irer kenar ve bir köflesi ortak, iç bölgeleri ar k iki aç a komflu aç lar denir. fiekilde; é é = [ oldu undan α β é ve é komflu aç lard r. m(é) + m(é) = m(é) fleklinde az l r. Tan m (o rusal çift) : rtak olmaan kenarlar z t fl nlar olan komflu iki aç a do rusal çift oluflturuor denir. α β fiekilde;, ve noktalar do rusal oldu undan é ve é aç lar do rusal çift olufltururlar. 4

22 ÇI Çfi TLR Tan m (ik aç ) : Ölçüsü 90 olan aç a dik aç denir. o rusal çift oluflturan iki aç n n ölçüleri eflit ise bu aç lardan her biri dik aç d r., ve noktalar do rusal ve (é) (é) m(é) = m(é) = 90 dir. Tan m (ar aç ) : Ölçüsü 0 ile 90 aras nda olan aç a dar aç denir. α m(é) = α ve 0 < α < 90 ise é dar aç d r. Tan m (Genifl aç ) : Ölçüsü 90 ile 80 aras nda olan aç a genifl aç denir. α m(é) = α ve 90 < α < 80 ise é genifl aç d r Saat te akrep ile elkovan n Saat de akrep ile elkovan n Saat 5 te akrep ile elkovan n oluflturdu u aç dik aç d r. oluflturdu u aç dar aç d r. oluflturdu u aç genifl aç d r. ç ölçüsü 60 dir ç ölçüsü 50 dir unlar n d fl nda hangi saat bafllar nda akrep ve elkovan n oluflturdu u aç lar dik, dar a da genifl aç d r? Saat ve 4 teki akrep ile elkovan n oluflturdu u aç lar n ölçüleri kaçar derecedir? Saat 4 ü 5 dakika geçe akrep ile elkovan n oluflturdu u aç n n ölçüsünü hesaplaabilir misiniz? Tan m (o ru aç ) : Z t iki fl n n oluflturdu u aç a do ru aç denir ve ölçüsü 80 dir. 6 80, ve noktalar do rusal oldu undan, [ ve [ z t fl nlard r. hâlde aç s do ru aç d r. Yani; m(é) = 80 dir. 6 6 Tan m : Kenarlar çak fl k olan aç a s f r derecelik aç denir. [ = [ ise m(é) = 0 olur. 5

23 Tan m : [, noktas etraf nda pozitif önde 60 döndürülerek [ ile çak flt r l rsa bir tam aç oluflur. m(é) = 60 olur ki o runun ikli i ki do ru, do ru parças vea fl n kesifltiklerinde, dik aç oluflturursa bu do rular, do ru parçalar vea fl nlar diktir denir. d 6 Saat 6 da akrep ile elkovan n oluflturdu u aç do ru aç d r. 6 Saat de akrep ile elkovan n oluflturdu u aç s f r derecelik aç d r. d 6 krebi sabit bir saatin elkovan n n bir tam dönüflü tam aç oluflturur. k d k [] [] [ [ [] d Tümler ç lar Tan m : Ölçüleri toplam 90 olan iki aç a tümler aç lar, bu aç lardan her birine di erinin tümleeni denir. Komflu Tümler ç lar Tan m : Hem komflu hem de tümler olan aç lara komflu tümler aç lar denir. β α α Sonuç :. ir aç ve tümleeni daima dar aç lard r.. fl aç lar tümleen aç lar da efltir. β m(é) + m(é) = α + β = 90 ise é ve é tümler aç lard r. m(é) + m(é) = α + β = 90 ve é é = [ oldu undan ve aç lar komflu tümler aç lard r. Örnek : Tümler iki aç dan birinin ölçüsü, di erinin ölçüsünün kat ndan 5 fazla oldu una göre bu aç lar n ölçülerini bulunuz. Çözüm: Küçük olan aç n n ölçüsü ise di eri + 5 olur = 90 = 75 = 5 dir. üük aç ise 90 = 90 5 = 65 bulunur. 6

24 ütünler ç lar Tan m : Ölçüleri toplam 80 olan iki aç a bütünler aç lar ve bu aç lardan her birine di erinin bütünleeni denir. α β m(é) + m(é) = α + β = 80 ise é ve é bütünler aç lard r. Sonuç : fl aç lar n bütünleenleri de efltir. Komflu ütünler ç lar Tan m : Hem komflu hem de bütünler olan vea do rusal çift oluflturan iki aç a komflu bütünler aç lar denir. ütünler aç lar efl ise her biri dik aç d r, efl de illerse biri dar, di eri genifl aç d r. Örnek : ütünler aç lardan birinin ölçüsü, di erinin ölçüsünün 4 kat ndan 0 eksik ise küçük aç n n ölçüsünü bulunuz. Çözüm: ütünler aç lardan küçü ünün ölçüsü ise di erinin ölçüsü 4 0 olup ölçüleri toplam 80 olaca ndan; = 80 5 = 00 = 40 bulunur. Ters ç lar Tan m : Kenarlar z t fl nlar olan iki aç a ters aç lar, bunlardan her birine de di erinin tersi denir. [ ile [ ve [ ile [ z t fl nlar olduklar ndan é ile é ve é ile é ters aç lard r. Ters aç lar efltir. Örnek : Yandaki flekilde; m(é) = 5 oldu una göre m(é), m(é) ve m(é) kaç derecedir? 5 Çözüm : m(é) + m(é) = 80 m(é) + 5 = 80 m(é) = 55 dir. m(é) = m(é) = 5 m(é) = m(é) = 55 olur. 7

25 ç Ters, fl Ters ve Yöndefl ç lar m ve n do rular ve k keseni verilsin. Yandaki flekilde; éh ile Gé ve éh ile Gé iç ters aç lar, ég ile éh ve Gé ile Hé d fl ters aç lar, éh ile ég ve éh ile ég karfl durumlu aç lard r. G 4 4 H k Tan m : ir aç ile o aç n n iç tersinin vea d fl tersinin tersi olan aç lara da öndefl aç lar denir. fiekilde; ég ile ég ve Hé ile Hé öndefl aç lard r. n m ë ile ë ë ile ë ile ë 4 ile ë ë ile ë4 ë ile ë ile ë4 ë ile ë ë ile ë ë4 ile ë4 Yöndefl aç lar ç ters aç lar fl ters aç lar Karfl durumlu aç lar ksiom : Paralel iki do ru bir kesenle kesildi inde medana gelen öndefl aç lar efltir. k d 4 d // l ise m(ë) = m(ë), m(ë) = m(ë), 4 l m(ë) = m(ë) ve m(ë4) = m(ë4) olur. Teorem : Paralel iki do ru bir kesenle kesildi inde medana gelen iç ters aç lar efltir. spat : d // l olsun.. m(ë) = m(ë) (öndefl aç lar). m(ë) = m(ë) (ters aç lar). m(ë) = m(ë) olur. ( ve. den) 4 4 k d l Teorem : Paralel iki do ru bir kesenle kesildi inde oluflan d fl ters aç lar efltir. spat : d // l olsun.. m(ë) = m(ë) (öndefl aç lar). m(ë) = m(ë) (ters aç lar). m(ë) = m(ë) olur. ( ve. den) 4 4 k d l 8

26 Örnek : Paralel iki do ru bir kesenle kesildi inde oluflan karfl durumlu iki aç n n bütünler aç lar oldu unu gösteriniz. Çözüm: Karfl durumlu aç lardan biri, di erinin öndeflinin komflu bütünleridir. hâlde verilen önerme do rudur. ( Niçin?) Sonuç : ki do ru bir kesenle kesildi inde;. Yöndefl aç lar efl ise do rular paraleldir.. ç ters aç lar efl ise do rular paraleldir.. fl ters aç lar efl ise do rular paraleldir. Teorem : Paralel iki do rudan birine dik olan do ru di erine de diktir. Hipotez : d // l ve k d ise Hüküm : k l olur. spat :. k d oldu undan m(ë) = 90. d // l oldu undan m(ë) = m(ë) (öndefl aç lar). m(ë) = m(ë) = 90 ( ve. den) 4. k l olur. (. den) k d l Teorem : ir düzlemde an do rua dik olan iki do ru paraleldir. Hipotez : k d ve k l ise Hüküm : d // l olur. (u teoremin ispat n da siz ap n z.) Teorem : ir do rua d fl ndaki bir noktadan bir tek paralel do ru çizilebilir. Hipotez : P d ise Hüküm : P k ve d // k olacak flekilde en az bir k do rusu vard r. (u teoremin ispat n da siz ap n z.) P k d KNRLRI PRLL ÇILR Tan m : irinin kenarlar di erinin kenarlar na karfl l kl olarak paralel olan aç lara kenarlar paralel aç lar denir. H K L G N M Q R S T P V [ // [ ve [ // [ [HG // [ML ve [HK // [MN [QP // [TV ve [QR // [TS ile aç lar kenarlar an önde, GHK ile LMN aç lar kenarlar z t önde, PQR ile VTS aç lar kenarlar ndan biri an, di eri z t önde paralel aç lard r. 9

27 Teorem : Kenarlar paralel aç lar a efltir a da bütünlerdir. a. Kenarlar an vea z t önde paralel ise efltir. K L L Hipotez : [ // [ ve [ // [ ise Hüküm : é é olur. spat : fiekilde [ n n uzant s [ n L noktas nda kessin.. m(é) = m(él) ([ // [ oldu undan L // [ olur ki öndefl aç lar). m(é) = m(él) ([L // [ oldu undan öndefl aç lar). m(é) = m(é) ( ve. den geçiflme özelli i) 4. é ù olur. (. den) i er durumu an flekilde ispatlaabiliriz. b. Kenarlar ndan biri an önde, di eri z t önde paralel ise bütünlerdir. Hipotez : [ // [ ve [ // [ ise Hüküm : m(é) + m(é) = 80 dir. spat : [ fl n n z t önde uzatal m.. m(é) = m(él) (kenarlar an önde paralel aç lar). m(él) + m(é) = 80 (komflu bütünler aç lar). m(é) + m(é) = 80 (. ve. den) K L Örnek : Yandaki flekilde; [ // [, [ // [ m(ë) = 65 ve m(ë) = + 5 ise kaç derecedir? +5 Çözüm : m(ë) = m(ë) = 65 (kenarlar z t önde paralel aç lar) m(ë) = + 5 = 65 = 0 olur. 65 Örnek : Yandaki flekilde; [ // [, [ // [ m(é) = + ve m(é) = ise 5+9 m(é) kaç derecedir? Çözüm : m(ë) + m(ë) = 80 (kenarlar paralel aç lar) = 80 = 0 ve m(é) = 09 dir. 0

28 KNRLRI K ÇILR Tan m : Karfl l kl ikifler kenar da dik olan aç lara kenarlar dik aç lar denir. M K L L K [ [ ve [ [ ç lardan birinin köflesi di erinin d fl bölgesinde é ve é kenarlar dik aç lar [ [ ve [ [ ç lardan birinin köflesi di erinin iç bölgesinde é ve é kenarlar dik aç lar Teorem : Kenarlar dik aç lar a efltir a da bütünlerdir. a. ç lardan birinin köflesi di erinin d fl bölgesinde ise bu aç lar efltir. N Hipotez: [ [ ve [ [ ise α K L M α T Hüküm : é é dir. spat : [ // [T ve [ // [N çizelim.. m(é) = m(tén) = α. [T [. m(tén) = m(é) 4. m(é) = m(é) 5. é é olur. b. ç lardan birinin köflesi di erinin içinde ise bu aç lar bütünlerdir. α L α K N T Hipotez: [ [ ve [ [ ise Hüküm : m(é) + m(é) = 80 dir. spat : [ // [T ve [ // [N çizelim.. m(é) = m(tén) = α. m(ék) = m(két) = 90. m(él) = m(én) = m(é) + m(nét) + m(két) + m(én) = m(é) + m(nét) = m(é) + m(é) = 80 olur.

29 Örnek : Yandaki flekilde; [ [, [ [ m(ë) = a + ve m(ë) = 5a + 8 oldu una göre m(ë) kaç derecedir? Çözüm : m(ë) + m(ë) = 80 a + + 5a + 8 = 80 5a + 8 a + 8a + 0 = 80 a = 0 dir. uradan m(ë) = a + =.0 + = 7 dir. R ÇININ ÇIRTYI Tan m : Komflu iki aç n n aç ölçüleri eflit ise ortak fl na, ortak olmaan fl nlar n oluflturdu u aç n n aç orta denir. m(é) = m(é) = α oldu undan [, é n n aç orta d r. α P α Sonuç : Köfle d fl nda aç orta üzerinde al nan her nokta aç n n iç bölgesindedir ve aç n n kenarlar ndan eflit uzakl ktad r. undan dola, bir aç n n kenarlar ndan eflit uzakl kta bulunan noktalar n kümesi (geometrik eri) bu aç n n aç orta d r. fl n é n n aç orta, P [, [P] [ ve [P] [ ise P = P olur. Vea P [ ve [P] [, [P] [ ve P = P ise P noktas é n n aç orta üzerindedir. Teorem : Komflu bütünler iki aç n n aç ortalar birbirine diktir. Hipotez : ve aç lar komflu bütünler ve aç ortalar s ras la [ ve [ fl nlar olsun. β β α α Hüküm : [ [ dir. spat :. m(é) = m(é) = m(é) = α. m(é) = m(é) = m(é) = β. m(é) + m(é) = 80 (Komflu bütünler aç lar) 4. m(é) + m(é) = α + β = 90 (. den) 5. m(é) = m(é) + m(é) = α + β 6. m(é) = α + β = 90 (4 ve 5. den) 7. [ [ bulunur. (6. dan)

30 VR LN R ÇININ ÇIRTYINI Ç ZM P. ir aç s verilsin.. merkezli herhangi bir çember a çizelim. u a aç n n kollar n ve noktalar nda kessin.. ve merkezli eflit ar çapl iki çember a çizelim. u alar bir P noktas nda kesiflsin. 4. ç n n köflesi olan noktas ile P noktas aç s n n aç orta üzerinde olaca ndan [P fl n verilen aç n n aç orta olur. VR LN R ÇIY fi R ÇI Ç ZM P P. ir aç s verilsin. ir [P n çizelim.. Pergelimizin sivri ucunu noktas na koarak bir a çizelim. u a n aç s n n kollar n kesti i noktalar ve olsun.. Pergelimizin aç kl n bozmadan sivri ucunu bu defa noktas na koarak bir a çizelim. u a n [P n kesti i nokta olsun. 4. Pergelimizi kadar aç p sivri ucunu noktas na koal m ve bir a çizelim. Çizilen alar n kesim noktas olsun. 5. [ n çizelim. aç s verilen aç s na efl bir aç olur. Niçin? Örnek : Yandaki flekilde; [, aç s n n ve [, aç s n n aç orta d r. a b b m(é) = 00 oldu una göre m(é) nü bulunuz. Çözüm :. m(é) = m(é) = a ([ aç orta). m(é) = m(é) = b ([ aç orta). m(é) = m(é) m(é) (aç ölçülerini toplama aksiomundan) = a b a b = 50 (. den) 5. m(é) = m(é) m(é) (aç ölçülerini toplama aksiomundan) 6. m(é) = a b = 50 bulunur.

31 UYGULMLR Örnek : Yandaki flekilde; [, aç s n n aç orta [K] [, [H] [ H = cm, K = 4 cm ise in de eri kaçt r? K 4 Çözüm : K = H ( noktas aç orta üzerinde oldu undan) = 4 = 5 cm bulunur. H Örnek : Yandaki flekilde;, ve noktalar do rusald r; m(é) = 50, m(é) = m(é) = α ve m(é) = m(é) = θ oldu una göre m(é) nü bulunuz. Çözüm : fiekilden; m(é) + m(é) + m(é) = 80 θ α = 80 α + θ = 65 olur. θ θ 50 α α m(é) + m(é) + m(é) = θ α m(é) = = 5 bulunur. Örnek : Yandaki flekilde; [ // [ ve [P ile [P, s ras la ile aç lar n n aç ortalar oldu una göre m(ép) = 90 oldu unu gösteriniz. P Çözüm : P noktas ndan geçen ve [ na paralel olan d do rusunu çizelim.. m(é) + m(é) = 80 (karfl durumlu aç lar). m(pé) = m(pé) = α ([P aç orta). m(pé) = m(pé) = θ ([P aç orta) 4. [m(é) + m(é)] = α + θ = 90 (. den) 5. m(pé) = m(ép) = α (iç ters aç lar) 6. m(pé) = m(ép) = θ (iç ters aç lar) θ θ α α P d 7. m(ép) + m(ép) = θ + α = 90 (4, 5 ve 6. dan) 8. m(ép) = 90 bulunur. 4

32 LIfiTIRMLR. Yandaki flekilde verilenlere göre, afla daki ifadelerin sonuçlar n bulunuz. a. éhg é b. [ é c. é éhg d. [G [ H G. α = aç s ve β = aç lar verilior. fla daki ifadeleri hesapla n z. a. α + β b. α β c. α + β d. α β 7. Tümler iki aç n n ölçüleri oran dir. u aç lar n ölçülerini bulunuz ütünler iki aç dan birinin ölçüsü, di erinin ölçüsünün 6 kat ndan büüktür. u aç lar n ölçülerini bulunuz. 5. α = aç s n n; a. tümleenini b. bütünleenini bulunuz. 6. Yandaki flekilde;, ve noktalar do rusald r. m(é) = + 7, m(é) = + 8 oldu una göre, aç s n n ölçüsünü bulunuz. 7. Yandaki flekilde; [ // [, [ // m(é) = n ve m(é) = n + 5 oldu una göre, m(é) kaç derecedir? 8. Yandaki flekilde; d // k ise + + z = 60 oldu unu gösteriniz. n z n + 5 d k 9. Yandaki flekilde; [ // [, [ // [, m(é) = 5 5 ve m(é) = + 5 oldu una göre, in de erini bulunuz. + 5 K Yandaki flekilde; [LK [, [LM [ m(kélm) = a 0, m(é) = b + 5 ve a + b = 50 oldu una göre, a b fark n bulunuz. K L M. Yandaki flekilde; [ [, m(é) =, m(é) = ve m(é) = 5 oldu una göre kaçt r? 5 5

33 . Yandaki flekilde; [ // [ m(ë) =, m(ë) = ve m(ë) = z ise = + z oldu unu gösteriniz. z. Yandaki flekilde; [ aç orta, P [ [PH] [ ve [PL [ d r. PH = + 4 cm, PL = + cm ve + = cm oldu una göre. çarp m kaçt r? L P H 4. Yandaki flekilde;, ve noktalar do rusald r. [ [, [, aç s n n ve [, aç s n n aç ortalar d r. m(é) = 40 ise m(é) m(é) fark kaç derecedir? Yandaki flekilde; [ // [, m(é) = m(é) = m(é) = α m(é) = α ve m(é) = 75 α α oldu una göre m(é) kaç derecedir? 75 α α 6. Yandaki flekilde; [ // [, m(é) =.m(é) =.m(é) m(é) = 80 oldu una göre 80 m(é) kaç derecedir? 7. Yandaki flekilde verilenlere göre kaç derecedir? 7 α α 50 6

34 TST. Tümler iki aç n n ölçüleri fark 8 ise küçük aç n n ölçüsü kaç derecedir? ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 40. ütünler iki aç dan birinin ölçüsü dir. i er aç n n ölçüsü afla dakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) Yandaki flekilde;, ve noktalar do rusal, m(é) = a, m(é) = m(é) = b ve 0 < a < 40 ise, b için afla dakilerden hangisi do rudur? ) 60 < b < 65 ) 65 < b < 70 ) 60 < b < 70 ) 70 < b < 75 ) 75 < b < Yandaki flekilde;, ve noktalar do rusal, [, aç s n n ve [, aç s n n aç ortalar d r. m(é) = 68 ise m(é) = kaç derecedir? b a b ) 40 ) 4 ) 44 ) 46 ) Yandaki flekilde; [ // [, m(ë) = 0, m(é) = m(é) = ve m(é) = oldu una göre, kaç derecedir? ) 5 ) 45 ) 50 ) 55 ) n 6. Yandaki flekilde; [ // [ ve m(ë) = 5n, m(ë) = n ve m(ë) = n ise, aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ) 50 ) 45 ) 40 ) 5 ) 0 n n 7. Yandaki flekilde; [ // [, m(ké) = 6, m(ké) = 5b, m(é) = b + 40 oldu una göre a kaç derecedir? ) 64 ) 70 ) 74 ) 78 ) 8 5b 6 K b + 40 a 7

35 8. Yandaki flekilde; m(é) = m(é) = m(é), m(ë) =, m(é) = 80 ve m(é) = 0 oldu una göre kaç derecedir? ) 45 ) 50 ) 55 ) 60 ) Yandaki flekilde; [ // [, m(é) = 0, m(é) = 45 ve m(é) = 65 ise m(é) = kaç derecedir? ) 5 ) 40 ) 45 ) 50 ) Yandaki flekilde; [ // [, m(é) = 0 ve m(é) = 00 ise m(é) = kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 ) Yandaki flekilde; [ // [, a m(é) = 60 ve m(é) = 50 ise m(é) = a kaç derecedir? ) 00 ) 0 ) 5 ) 0 ) Yandaki flekilde; [ // [, m(é) = m(é) m(é) = m(é) ve m(é) = 00 oldu una göre m(é) = a kaç derecedir? 00 a ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 ) 60. Yandaki flekilde; [ // [, [KL [], 5 [KN [], m(é) = 5 ve m(é) = 5 oldu una göre m(lékn) kaç derecedir? K L ) 95 ) 00 ) 05 ) 0 ) 5 5 N

36 II. ÖLÜM RUNUN NL T K NLNMS üzlemde vea uzada noktalar n erinin belirtilmesi amac la çeflitli sistemler gelifltirilmifltir. Geometrinin temel eleman olan nokta, sa ikilisi vea üçlüsüle temsil edilmifltir. az özellikleri olan noktalar kümesinin oluflturdu u düzgün geometrik flekiller (do ru, çokgen, çember, elips...) iki vea üç bilinmeenli denklemlerle ifade edilebilmektedir. elirtilen düflünce do rultusunda geometrik flekiller, sa lar ve denklemlerle ifade edilerek matemati in eni bir dal olan analitik geometri oluflturulmufltur. ölece baz geometri problemlerinin de iflik bir aklafl mla daha basit çözüm ollar bulunmufltur. u düflüncei ilk kez, 6 l nda rans z matematikçisi ve fiozofu olan Rena escartes (Rone ekart ) gelifltirmifl ve çal flmalar n La Geometrie adl kitab nda a nlanm flt r. aha sonra gelifltirilen sistemlerden en çok kullan lan dik koordinat sistemine ekart isminden dola kartezen koordinat sistemi de denilmifltir. fiimdi dik koordinat sistemini inceleelim. NL T K ÜZLM ik Koordinat Sistemi afllang ç noktas nda birbirine dik olan iki sa do rusunun oluflturdu u sisteme dik koordinat sistemi denir. fiekilde; e ata eksen (apsisler ekseni vea ekseni), e düfle eksen (ordinatlar ekseni vea ekseni). noktas na bafllang ç noktas (orijin) ve dik koordinat sisteminin belirtildi i düzleme ise analitik düzlem ad verilir. nalitik düzlemin üzerindeki her noktaa R R kümesinin bir eleman (reel sa ikilisi). R R kümesinin her eleman na da düzlemde bir nokta karfl l k gelir. üzlemde al nan bir noktas n n ekseni üzerindeki dik iz düflümü (a) ve ekseni üzerindeki dik iz düflümü (b) noktalar ise (a, b) ile gösterilir. (a, b) R R ikilisine ise, eksenine apsisi a olan noktadan ç k lan dikme ile eksenine ordinat b olan noktadan ç k lan dikmelerin kesim noktas karfl l k gelir. Koordinat sistemi analitik düzlemi dört bölgee a r r. nalitik düzlemde (a, b) noktas verilsin. noktas ; I. bölgede ise, a > 0 b > 0, II. bölgede ise, a < 0 b > 0, III. bölgede ise, a < 0 b < 0, VI. bölgede ise, a > 0 b < 0, üzerinde ise, a R b = 0, üzerinde ise, a = 0 b R, noktas ile çak fl k ise, a = 0 b = 0 olur. 4 b (0, b) (a, b) (a, 0) 4 a 4 4 II. ölge I. ölge III. ölge IV. ölge 9

37 Örnek : (, ), (, ), (, ), (, ), (4, 0), (, 0), G(0, ), H(0, ) ve (0,0) noktalar verilior. (,) G(0,) (,) (,0) (4,0) (0,0) 4 4 u noktalar andaki analitik düzlemde gösterilmifltir. nceleiniz. (, ) H(0, ) (, ) Örnek : (a, b) noktas analitik düzlemin II. bölgesinde ise ( a, b a) noktas hangi bölgededir? Çözüm : noktas, analitik düzlemin ikinci bölgesinde ise a < 0 ve b > 0 d r. a > 0 ve b a > 0 olur. u durumda, noktas analitik düzlemin birinci bölgesindedir. K NKT RSINK UZKLIK (, ) ve (, ) verilen iki nokta olsun. [] n n uzunlu unu hesaplaal m: fiekilden; = =, = = olur. dik üçgeninde Pisagor teoreminden; = + = ( ) + ( ) (, ) ve (, ) noktalar aras ndaki uzakl k; = ( ) + ( ) bulunur. (0, ) (0, ) (, ) (, 0) (, 0) (, ) } Örnek : (, 7) ve (, 4) noktalar aras ndaki uzakl bulal m. Çözüm : (, 7) ve (, 4) noktalar aras ndaki uzakl k, = ( ) + ( ) = (+ ) + (4 7) = = 5 = 5 birim bulunur. Örnek : (, ) ve (, a) noktalar verilior. = 5 birim ise a de erlerini bulal m. ( Çözüm : = ) +( ) = ( ) +(a +) = 6+(a +) = 5 6+(a +) = 0 (a +) = 4 a += den, a = vea a = bulunur. Örnek : (, ) ve (, a) ve (, ) noktalar verilior. = ise a reel sa s n bulal m. Çözüm : = ( ) +( a) = ( ) +( a) a + a = a + a a = a = bulunur. 0

38 R RU PRÇSINI VR LN R RN ÖLN NKTLRIN KR NTLRI [] ve = k ise noktas [] n k oran nda içten bölen;, [] ve ise = n noktas na da [] n n oran nda d fltan bölen nokta nedir. ir o ru Parças n elli ir randa çten ölen Noktan n Koordinatlar (, ) ve (, ) noktalar verilsin. [] n k oran nda içten bölen ( 0, 0 ) noktas n n koordinatlar n bulal m. = k olsun. fiekilden; (.. benzerlik teoremi) = = = k = 0 0 d r. = k k k 0 = 0 + k = 0 (+k) 0 (, ) ( 0, 0 ) (, ) 0 0 = + k + k 0 = 0 0 = k k k 0 = 0 + k = 0 (+k) [] n, 0 = + k + k bulunur. = k oran nda içten bölen ( 0, 0 ) noktas n n koordinatlar ; 0 = + k + k ve 0 = + k + k olur. ir o ru Parças n n rta Noktas n n Koordinatlar (, ) ve (, ) noktalar verilsin. [] n n orta noktas ( 0, 0 ) ise; (, ) = oldu undan, = k = dir. (, ) ( 0, 0 ) 0 = + k ve 0 = + k eflitliklerinde, k= al n rsa; + k + k ( 0, 0 ) noktas n n koordinatlar, 0 = + ve 0 = + bulunur.

39 ir o ru Parças n elli ir randa fltan ölen Noktan n Koordinatlar (, ) ve (, ) noktalar için [] n, koordinatlar ; = k oran nda d fltan bölen ( 0, 0 ) noktas n n flekilde = = (.. benzerlik teoremi) = k oldu undan; = k 0 = k = 0 0 = k k = k = k 0 = k 0 bulunur. = 0 k 0 (, ) (, ) 0 ( 0, 0 ) Örnek : (, 4) ve (5, 5) noktalar verilior. [] do ru parças n, = oran nda içten bölen nokta noktas n n koordinatlar n bulal m. (, 4) Çözüm : = oldu undan, 0 = + k = + k = 9 = ( 0, 0 ) (5, 5) 0 = + k = 4 +.( 5) = 6 bulunur. [] do ru parças n, = oran nda içten bölen + k + = nokta (, ) dir. Örnek : (, 4), (, 7) ve (, 9) noktalar verilior. üçgeninin [] kenar na ait kenarorta uzunlu unu bulal m. Çözüm 0 = + : [] n n orta noktas ( 0, 0 ) olsun. = 4 ve 0 = 7 9 UYGULMLR = 8 den (4, 8) olur. (, 4) bulunur. = (4 +) + ( 8 4) = = 69 = birim (, 7) ( 0, 0 ) (, 9) Örnek : (, ), (, ), (, ) ve ( 4, 4 ) noktalar verilsin. paralelkenar ise + = + 4 ve + = + 4 oldu unu gösterelim. Çözüm : paralelkenar nda [] []= {} olsun. Paralelkenar n köflegenleri birbirini ortalad ndan; = ve = olur. ( 0, 0 ) olsun. ( 4, 4 ) ( 0, 0 ) (, ) 0 = + = = + 4 (, ) (, ) 0 = + = = + 4 bulunur.

40 Örnek : (, ), (4, ), ( 7, ) ve (a, b) noktalar verilior. paralelkenar nda a ve b reel de erlerini bulal m. [] köflegen uzunlu u ile bu paralelkenar n çevresini hesaplaal m. Çözüm : ir önceki örnekten; + ( 7) = 4 + a a= 0 + = + b b= 6 ve ( 0, 6) olur. ve noktalar aras ndaki uzakl k ise; (a, b) ( 7, ) = (4+0) +( 6) = 4 +4 = 96+6 = = 5 birim bulunur. = ( 4) +( ) = = 4 birim, (, ) (4, ) = (4 + 7) +( ) = + 8= 0 birim oldu undan; Ç() = ( + )= ( 4 + 0) = birim bulunur. Örnek : paralelkenar nda; (, 7), (6, ), (a, 4) ve (, b) dir. = ve [] []= {P} ise P noktas n n koordinatlar n bulal m. Çözüm : paralelkenar nda, +a = 6 den, a = 6 ve (6, 4) bulunur. = ve P P (.. benzerlik teoremi) den (, b) 4k (a, 4) P( 0, 0 ) (, 7) k k (6, ) = P P = 4 P( 0, 0 ), [] n = P P = 4 oran nda içten bölen nokta oldu undan; + 0 = = = = = = 40 7 P 0 7, 40 7 bulunur. Örnek : Yandaki flekilde; (, ), (, ) ve (, 5) noktalar verilior. = ve = ise ve noktalar n n koordinatlar n bulal m. Çözüm : ( 0, 0 ) olsun., [] do ru parças n n orta noktas oldu undan; (, ) + 0 = = 5 ve = = 0 (, ) (, 5) ( 5, ) dir. (a, b) noktas [] do ru parças n, a = b = k.( 5) = = 4 k = 7 k.( ) 0 k k =.( ) = 0 = 0 ( 7, 0) = oran nda d fltan böler. bulunur.