MATEMATİK 12. SINIF DERS KİTABI

Transkript

1 ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Mustafa BAĞRIAÇIK Muslu LÖKÇÜ Zenel SAĞLAM Önder ÇOLAK Timur YURTSEVEN Turgut OĞUZ Asun Nükhet ELÇİ Yalçın YILDIRIM DEVLET KİTAPLARI BEŞİNCİ BASKI...,

2 MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI...: 45 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 9.?.Y..69 Her hakkı saklıdır ve Milli Eğitim Bakanlığına aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp aınlamaz. EDİTÖR Prof. Dr. Hüsein ALKAN DİL UZMANI Şerife KAÇMAZ GÖRSEL TASARIM UZMANI Hatice Elif KÖŞKER ÖLÇME DEĞERLENDİRME UZMANI Didem AKBULUT GRAFİK TASARIM Uğur SAPMAZ ISBN Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbie Kurulunun..8 gün ve 58 saılı kararı ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün 9.. gün ve 98 saılı azısı ile beşinci defa adet basılmıştır.

3

4

5

6

7 .BÖLÜM: FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER FONKSİYONLAR.... Fonksionların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi (. Etkinlik).... Fonksionların Türleri (. Etkinlik)...4. Ters Fonksion (. Etkinlik) Artan, Azalan ve Sabit Fonksion (5. Etkinlik) Çift ve Tek Fonksion (8. Etkinlik)... FONKSİYONLARIN TANIM KÜMESİ.... Kuralı Verilen Fonksionun En Geniş Tanım Kümesi (9. Etkinlik)... PARÇALI FONKSİYONLAR...8. Parçalı Fonksion (6. Etkinlik)...8. Parçalı Fonksionun Grafiği (7. Etkinlik)... MUTLAK DEĞER FONKSİYONU.... Mutlak Değer Fonksionu (9. Etkinlik).... Mutlak Değer Fonksionunun Grafiği (. Etkinlik).... Mutlak Değerli Denklemler (. Etkinlik) Mutlak Değerli Eşitsizlikler (. Etkinlik)...6 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...8. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK LİMİT...4. Yaklaşma ve Limit Kavramı (. Etkinlik)...4. Bir Fonksionun Bir Noktadaki Sağdan ve Soldan Limiti (4. Etkinlik)...8. Sabit Fonksionun Limiti (5. Etkinlik) Kuvvet Fonksionlarının Limiti (7. Etkinlik) Limit İle İlgili Özellikler (8. Etkinlik) Polinom Fonksionlarının Limiti (9. Etkinlik) Mutlak Değer Fonksionlarının Limiti (. Etkinlik) Köklü Fonksionların Limiti (. Etkinlik) Parçalı Fonksionların Limiti (. Etkinlik) Trigonometrik, Logaritmik ve Üstel Fonksionların Limiti (5. Etkinlik) Genişletilmiş Gerçek Saılar Kümesinde Sonsuz Limit ve Sonsuz İçin Limit (6. etkinlik) Trigonometrik Fonksionların Limiti (9. Etkinlik)...5. Limit Hesaplarında Belirsizlik Durumları (. Etkinlik) Dizilerde Limit (4. Etkinlik)...6 ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı (5. Etkinlik)...64 SÜREKLİLİK Fonksionun Bir Noktadaki Sürekliliği (6. Etkinlik) Fonksionun Bir Aralıktaki Sürekliliği (7. Etkinlik)...7. Sürekli Fonksionlarda İşlemler (8. Etkinlik) Sınırlı Fonksionlar (9. Etkinlik) Kapalı Aralıkta Sürekli Fonksionların Özellikleri (. Etkinlik)...74 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...76

8 . BÖLÜM: TÜREV TÜREV...8. Türev Kavramı (. Etkinlik)...8. Türevin Fiziksel Yorumu (5. Etkinlik)...9. Fonksionun Bir Noktadaki Sağdan Soldan Türevi (6. Etkinlik) Süreklilik ve Türevlenebilme (7. Etkinlik) Bir Fonksionun Bir Aralıkta Türevlenebilirliği (9. Etkinlik) Sabit Fonksionun Türevi (. Etkinlik) Kuvvet Fonksionunun Türevi (. Etkinlik) Parçalı Tanımlı Fonksionların Türevi (. Etkinlik) Mutlak Değer Fonksionların Türevi (. Etkinlik)...5. Bileşke Fonksionun Türevi (4. Etkinlik)...6. Parametrik Fonksionların Türevi (5. Etkinlik)...8. Kapalı Fonksionların Türevi (6. Etkinlik)...9. Ters Fonksionun Türevi (7. Etkinlik) >, m ve n Z Olmak Üzere = m/n in Türevi (8. Etkinlik) Trigonometrik Fonksionların Türevi (9. Etkinlik) Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi (. Etkinlik) Logaritma Fonksionunun Türevi (. Etkinlik) Üstel Fonksionun Türevi (. Etkinlik) İki Fonksionun Toplamının Türevi (. Etkinlik)...9. İki Fonksionun Çarpımının Türevi (4. Etkinlik).... İki Fonksionun Bölümünün Türevi (5. Etkinlik)...5. Doğrusal Hareketle Türevin İlişkisi (6. Etkinlik)...6. Bir Fonksionun Grafiğinin Bir Noktasındaki Teğetinin ve Normalinin Denklemi (7. Etkinlik) Bir Fonksionun Ardışık Türevleri (9. Etkinlik)... TÜREVİN UYGULAMALARI...6. Bir Fonksionun Artan ve Azalan Aralıklarıla Türevin İlişkisi (. Etkinlik)...7. Yerel Ekstremum Noktalar (.Etkinlik)...4. Ekstremum Noktalarla Türevin İlişkisi (. Etkinlik) Mutlak Ekstremum Noktalar (. Etkinlik) Maksimum ve Minimum Problemlerin Türev ile İlişkisi (5. Etkinlik) Bükelik Kavramı ve Türevle İlişkisi (6. Etkinlik) Bir Fonksionun Dönüm Noktası ve Türevle İlişkisi (7. Etkinlik) Polinom Fonksionların Grafikleri (8. Etkinlik) Düşe Asimptot (4. Etkinlik) Yata Asimptot (4. Etkinlik) Rasonel Fonksionların Grafikleri (4. Etkinlik) Eğik ve Eğri Asimptot (4. Etkinlik)...6. İrrasonel Fonksionların Grafikleri (45. Etkinlik) Bir Polinomun Katlı Kökleri İle Türevleri Arasındaki İlişki (47. Etkinlik) L Hospital Kuralı Yardımıla Fonkionların Limitlerinin Hesaplanması (48. Etkinlik)...65

9 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME BÖLÜM: İNTEGRAL BELİRLİ İNTEGRAL Riemann Toplamı (. Etkinlik)...8. Belirli İntegralin Özellikleri (. Etkinlik) İntegral Hesabının. Temel Teoremi (4. Etkinlik) İntegral Hesabının. Temel Teoremi (5. Etkinlik)...98 BELİRSİZ İNTEGRAL.... Bir Fonksionun Belirsiz İntegrali (6. Etkinlik).... Temel İntegral Alma Kurallarının Türev Alma Kuralları Yardımıla Yazılması (7. Etkinlik)...4. Bir Fonksionun Bir Sabitle Çarpımının, İki Fonksion Toplamının ve Farkının İntegrali (8. Etkinlik) Değişken Değiştirme Yöntemi İle İntegral Alma (9. Etkinlik) Kısmi İntegrason Yöntemi İle İntegral Alma (. Etkinlik) Basit Kesirlere Aırma Yöntemile İntegral Alma (. Etkinlik) Trigonometrik Özdeşliklerden Fadalanarak İntegral Alma (. Etkinlik)...8 BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI.... İntegral İle Alan Hesabı (5. Etkinlik).... İki Eğri Arasında Kalan Alan (6. Etkinlik)...7. İntegral İle Hacim Hesabı (7. Etkinlik) İntegral Yardımı İle Doğrusal Hareket Problemi Çözümü (8. Etkinlik)...8 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...4 SÖZLÜK...49 KAYNAKÇA...5

10 N S Z Sevgili Öğretmen ve Öğrenciler, Tüm dünada matematik öğrenirken değişik aklaşımlardan ararlanılmaktadır. Bir andan eni ol ve öntemler denenmekte öte andan da matematik öğrenmede daha etkin olabilecek eni aklaşımlar aranmaktadır. Kısacası matematik apmanın biree kazandıracaklarını gerçekleştirmek için sürekli çalışılmaktadır. Sanırız insanın aşamı sürdükçe bu çalışmalar da var olacaktır. Çünkü amaç, birei okul testi başarısından aşamda başarıa taşımaı sağlamaktır. Lütfen bu amacı siz de benimseiniz. Küçük ve geçici başarılar ile etinmeiniz. Matematiği amaçları doğrultusunda öğrenerek ve öğrenilmesine ardımcı olarak aşamda başarılı olmaı hedefleiniz. Sizlere inanıor ve başarılar dilioruz. Prof. Dr. Hüsein ALKAN KİTABIMIZDA KULLANILAN KAVRAMLARIN VE İŞARETLERİN ANLAMLARI Etkinlik: Belirli bir matematiksel kavramın temel apısını oluşturabilmek amacıla apılan çalışmalar. Çalışma Yaprağı: Kavramın pekiştirilmesi amacıla kullanılan sorularla ve örnek çözümlerle ilgili apılan tüm çalışmalar. : Konu ile ilgili alt bölümler : Bilgi Notu : Örnek : Haftalık ders saati programına ugun bölümler ) : Haftalık ders saati programına ugun ölçme soruları

11 . BÖLÜM ALT ÖĞRENME ALANLARI Fonksionlar Fonksionların Tanım Kümesi Parçalı Fonksionlar Mutlak Değer Fonksionu

12 FONKSİYONLAR Önceki ıllarda matematiğin önemli kavramlarından biri olan fonksion ile tanıştınız. Polinom, trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksionları incelediniz. Ana özelliklerini öne çıkardınız. Örneğin, 9. sınıfta öğrendiğiniz bir bağıntının fonksion olabilmesi için, tanım kümesinin her bir elemanının, değer kümesinde alnız ve ancak bir elemana eşlenmesi gerektiğini biliorsunuz. A B Tanım Kümesi f Değer Kümesi.. Görüntü Kümesi (f(a)) f: A B, = f() bağıntısı ile verilen fonksionda, e bağımsız değişken, e bağımlı değişken dendiğini öğrendiniz. A R, B R olması durumunda fonksion, gerçek değişkenli ve gerçek değerli fonksion adını alır. R Bildiğiniz gibi normal bir telefonun tuşlarının sekiz tanesinde hem rakam hem harfler vardır. Anı tuşun üzerindeki rakamları harflere ve harfleri rakamlara eşleen bağıntıları inceleiniz. Bu bağıntıların fonksion olup olmadığını tartışınız. H H R a b c a b c 4 : 9 d : z d : z 4 : f() Yukarıda f: [ 5,8] R, = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir.

13 Grafiği inceleerek f()= eşitliğini sağlaan değerlerini görünüz. ( 5, ) ndaki değerlerinin görüntülerinin pozitif olduğunu görüorsunuz. Grafiği ve fonksionun diğer aralıklardaki değerlerinin işaretini inceleerek aşağıdaki tablou tamamlaınız f() in + işareti Fonksionun grafiği ile oluşturduğunuz tablou ilişkilendiriniz. Fonksionun grafiğini göz önünde bulundurarak tanımlı olduğu aralıktaki görüntü kümesini belirleiniz. Gördüğünüz gibi grafiği verilen bir fonksionun tanım kümesi, görüntü kümesi bulunur ve işareti kolaca incelenebilir.. ) Aşağıda grafiği verilen fonksionların örnekteki gibi tanım ve görüntü kümelerini bulunuz ve işaretini inceleiniz. Tanım kümesi: [, 4] Görüntü kümesi: [, ] 4 4 f() in işareti + a) b) c) 4 ç) d) e) =

14 ) Aşağıda verilen fonksionların görüntü kümelerini azmaa çalışınız. a) f: [, ] B, f()= + b) g: [, ] B, g()= +5 c) h: [, 5] B, h()= ç) t: [ π, π ] B, t()= sin 4. Aşağıda Venn şemaları ile verilen fonksionların türleri altlarında belirtilmiştir. A f B A g B A h B Bu fonksionların değer ve görüntü kümelerini karşılaştırınız. Verilenleri inceleerek bire bir, örten ve içine fonksionları kendi cümlelerinizle tanımlaınız. bire bir bire bir bire bir örten örten örten i i ne i i ne i i ne Şimdi de aşağıda verilen f ve g fonksionlarının grafiklerini inceleiniz. 5 g 4 f g fonksionunda, g( )= g( ) olduğunu görüorsunuz. Benzer olarak görüntüleri anı olan farklı değerleri bulabilirsiniz. Bu durumda g fonksionunun bire bir olup olmadığını tartışınız. Anı şekilde düşünerek f fonksionlarının tanım kümesinde, görüntüleri anı olan elemanlar olabilir mi? f fonksionunun bire bir olup olmadıklarını 9. sınıfta öğrendiğiniz ata doğru testi ile de bulabilirsiniz. f ve g fonksionunun görüntü kümelerini belirleiniz. Bu fonksionların içine a da örten fonksion olması için değer kümelerinin nasıl seçilmesi gerektiğini tartışınız. A ve B boş kümeden farklı iki küme ve f:a B e tanımlı bir fonksion olsun., A için iken f( ) f( ) vea f( )=f( ) iken = oluorsa f fonksionuna bire bir fonksion, f(a)= B oluorsa f fonksionuna örten fonksion denir. ) Aşağıdaki fonksionların örnekteki gibi grafiklerini çizerek bire bir, örten a. da içine fonksion olup olmadıklarını belirtiniz. f: (,5] R, f()= fonksionunun grafiğini çizelim. 5 f 4

15 Yata doğru testi ugulandığında fonksionun bire bir olduğu görülür. Fonksionun görüntü kümesinin (,] olduğunu görüorsunuz. Görüntü kümesi ile değer kümesini karşılaştırdığınızda fonksionun içine olduğunu söleebilirsiniz. a) f: R R, f()= + b) f: R R, f()= 4 c) f: R R +, f()= ç) f: R R, f()= d) f: R + R, f()= ln e) f: R + R, f()= log f) f: R R, f()= sin g) f: R [,], f()= cos ğ) f: [ π, π ] [,], f()= sin h) f: [,] [, ], f()= arccos ) f() Yukarıda verilen f:r R, f() fonksionunun grafiğini inceleiniz. Bu fonksionun bire bir ve örten fonksion olduğu alt aralıkları belirtiniz. ) Bire bir ve içine fonksion olan f:a B fonksionu verilior. n N olmak üzere, s(a)= 5n+ ve s(b)= n+7 ise n nin alacağı değerleri bulunuz.. Bir fonksionun tersinin de fonksion olabilmesi için, bire bir ve örten fonksion olması gerektiğini hatırlaınız. Buna göre aşağıdaki fonksionlardan hangilerinin ters fonksionu olduğunu bulmaa çalışınız. f :R R, f ()= 5 4 f :R (, ), f ()= + f :R R, f ()= + f 4 :R {} R {}, f 4 ()= + f 7 :R [,], f 7 ()= sin f 5 :[, ) [, ), f 5 = + f 8 :R {} R, f 8 ()= f 6 :(,6) R,f 6 ()= 6 f 9 :R R +,f 9 ()= ln Çalışmanız sonucunda tersi olmaan fonksionlar buldunuz mu? Eğer cevabınız evet ise şunu düşünmenizi istioruz. Acaba tersi olmaan fonksionların, kuralını değiştirmeden, tanım aralığının alt aralıklarında tersi olabilir mi? Tartışarak bulduğunuz bu sonucu genişletiniz. f:r [,], f()= cos fonksionunun ters fonksionunun olup olmadığını inceleelim. f()= cos fonksionunun grafiği dinamik matematik azılımı ile çizdirildiğinde aşağıdaki gibi olur. f 6 -π 4 4 -π π - π π π π 6 Grafikte görüleceği gibi f() fonksionu R de bire bir olmadığından ters fonksionu oktur. Fakat f() in tanım kümesini kısıtlaarak f() in bire bir ve örten olduğu alt aralıklar azılabilir. 5

16 Örneğin f:[,π] [, ] aralığında fonksion ve örten olduğundan bu aralıkta fonksionun tersi vardır. 4. f:a B, = f() fonksionu bire bir ve örten fonksion ise tersini, =f() =f () bağıntısı ile buluordunuz. Ters fonksionu şema ile aşağıdaki gibi gösteriordunuz. A f B =f ().. =f() f Ön öğrenmelerinize göre, f:[,] [4,5], f()= +5 fonksionu bire bir ve örten fonksiondur. Bu fonksionun tersini bulabilmek için, i, cinsinden azmak gerekmektedir. Bunun için, = +5 eşitliğinin sağ tarafını tam karee tamamlaınız. Tamkare ifadei alnız bırakarak eşitliğin her iki tarafının karekökünü alınız. değişkenini alnız bırakınız ve f ()= 4 + bağıntısına ulaşınız. Bulunan f () fonksionunun tanım ve görüntü kümesini bulunuz. f:[,5] [6,46], f()= +4+ fonksionun tersini bulalım. = +4+= +4+4 = (+) = (+) = + + = + [,5] olduğundan += + = + bulunur. Buradan, f ()= + olur. f:r R +, f()= + fonksionun tersini bulalım. = = + += log = log olur. Buradan, f ()= log olarak bulunur.. ) Aşağıdaki fonksionların varsa terslerini bulunuz. a) f :R R, f ()= 5 b) f :R {} R {}, f ()= + c) f :R + R, f ()= log ç) f 4 :[, ) [ 4, ), f 4 ()= 4 d) f 5 :R R +, f 5 ()= e) f 6 :R (, ), f 6 = e + f) f 7 : [ 5 4, ) R+, f7 ()= 4+5 g) f 8 :[,] [ π, π ], f 8 ()=arcsin ) f:r {} R {}, f()= m+7 fonksionunda m+n toplamını bulunuz. n ) = 4 f() Yanda grafiği verilen f:[4,7] [,4], f() fonksionu nun tersinin grafiğini çiziniz. 6

17 4) = Yanda grafiği verilen g fonksionunun tersinin grafiğini çiziniz. 5) g = = f g. Şekil. Şekil. şekildeki f fonksionunun = e göre simetriği bir fonksionken. şekildeki g fonksionunun = e göre simetriği bir fonksion değildir. Bunun nedenlerini açıklaınız. Genelleme apıp apamaacağınızı tartışınız. Evden okula giden bir öğrenci, evden çıktıktan dakika sonra projesini evde 5. unuttuğunu fark ederek eve geri dönüor. Evden projesini alıp çıkması 5 dakika sürüor. dakika sonra da okula ulaşıor. Bu durum aşağıdaki ol zaman grafiğinde gösterilmiştir. 6 Yol (metre) Zaman (dakika) 6. Grafikten de ararlanarak aşağıdaki soruları anıtlaınız. ) Evden uzaklaştığı a da eve aklaştığı zaman aralıklarını belirtiniz. ) Eve olan uzaklığının değişmediği zaman aralığı var mıdır? ) Evden uzaklaştığı zaman aralıklarını göz önüne aldığımızda, zaman ilerledikçe öğrencinin eve olan uzaklığı nasıl değişmektedir? 4) Benzer şekilde, eve aklaştığı zaman aralığında, geçen zaman ile eve olan uzaklık arasında nasıl bir ilişki vardır? a b c d Yukarıda f: [a, d] R tanımlanan f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Bu fonksionun tanım kümesinin farklı alt aralıklarındaki değişimi inceleelim. 7

18 ) a b f( ) f( ) (a, b) nda seçilen herhangi < için f( ) ile f( ) değerlerini karşılaştırınız. ) b c Benzer şekilde, [b,c] nda fonksionun grafiğini incelediğimizde, (b, c) na ait, seçilen herhangi < 4 için f( ) ile f( 4 ) değerlerini karşılaştırınız. ) [c, d] nda, farklı değerlerinin c d fonksiondaki görüntülerini karşılaştı rınız. Aşağıda, f:[ 5, 6] R fonksionunun grafiği verilmiştir ( 5, ) nda değerleri artarken değerleri de arttığından fonksion artan, (, 4) nda değerleri artarken değerleri azaldığından fonksion azalandır. (4, 6) nda değerleri artarken değerleri sabit olduğundan fonksion sabit fonksiondur. Bir fonksionun tanım kümesinin bir alt aralığından seçilen her ve değeri için < olmak üzere; a) f( )<f( ) ise f fonksionu artan, b) f( )>f( ) ise f fonksionu azalan, c) f( )= f( ) ise f fonksionu sabit bir fonksiondur. Kalpteki Elektrik Faalietini Gösteren Grafik (EKG) 8

19 7. Aşağıda er alan. şekilde f fonksionun artan ve azalan olduğu aralıklar,. şekilde ise f fonksionunun işareti grafik üzerinde gösterilmiştir. İnceleiniz. f f. Şekil. Şekil 4. Fonksionun apsisi ve olan noktaları için ne sölenebilir? Apsisi olan noktanın özelliği nedir? Fonksionun artan a da azalan olduğu aralıklarla pozitif a da negatif olduğu aralıklar arasında bir ilişki var mıdır? ) 5 5 f Grafiği verilen f:r R, f() fonksionunun artan a da azalan olduğu aralıkları azınız. ) f Yukarıda grafiği verilen R R, f fonksionunun artan a da azalan olduğu aralıkları belirtiniz. ) Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çizerek artan, azalan a da sabit oldukları alt aralıklar varsa belirleiniz. a) f : R R, f ()= b) f : R R, f ()= + c) f : R R, f ()= ç) f 4 : R R, f 4 ()= 6+ d) f 5 : R R, f 5 ()= + e) f 6 : R R +, f 6 ()= f) f 7 : R + R, f 7 ()= log g) f 8 : [,π] [,], f 8 = sin 4) f: [,π] [,], f()= sin ve g: [,π] [,], g()= cos fonksionlarının her ikisinin artan a da azalan olduğu aralıkları bulmaa çalışınız. 9

20 5) Bir aralıkta artan a da azalan bir fonksionun tersi var mıdır? 6) Artan a da azalan bir fonksionun varsa tersi de artan a da azalan mı olur? 8. Aşağıda grafikleri verilen fonksionları inceleiniz. =cos = = = = =sin. GRUP. GRUP Her iki grupta fonksionların başlangıç noktası ve ekseni ile olan ilişkisini a- raştırınız. Bunun için her iki gruptan seçilen aşağıdaki örnekleri çalışınız. f()= g()= f()=... f( )=... g()=... g( )=... f()=... f( )=... g()=... g( )=... f()=... f( )=... g()=... g( )=... f( )=... f( )=... g( )=... g( )=... Elde ettiğiniz görüntülerden ararlanarak f() ve g() fonksionları için bir çıkarıma ulaşmaa çalışınız. Ulaştığınız çıkarımların her =a ve = a değerleri için geçerli olup olmadığını tartışınız. f() fonksionu için elde ettiğiniz sonuç,. gruptaki diğer fonksionlar için de geçerli midir? g() fonksionu için elde ettiğiniz sonuç,. gruptaki diğer fonksionlar için de geçerli midir?

21 Ulaştığınız sonuçları etkinlikte seçilen fonksionların grafikleri ile ilişkilendiriniz. Şimdi de aşağıdaki grafikleri inceleiniz. h()= f()= + g()=. şekilde grafiği verilen f() fonksionunun eksenine göre simetrik olduğunu ve R için f()= f( ) şartını sağladığını,. şekilde ise grafiği verilen g() fonksionunun başlangıç noktasına göre simetrik olduğunu ve R için f( )= f() şartını sağladığını görüorsunuz. Osa. şekilde verilen h() fonksionunun grafiği ne eksenine ne de başlangıç noktasına göre simetriktir ve R için h()= h( ) vea h( )= h() şartlarından hiçbirini sağlamaz. Grafikleri eksenine göre simetrik olan fonksionlara çift fonksion, başlangıç noktasına göre simetrik olan fonksionlara tek fonksion denir. Çift fonksionlar f( )= f(), tek fonksionlar f( )= f() şartını sağlar. 5. ) f:r R, f()= + fonksionu verilior. Bu fonksionda erine alınarak f( )= ( ) +( )= = ( +)= f() sonucuna ulaşılır. Bu size f() fonksionunun hangi özelliğini hatırlatmaktadır? ) = + f() f:r R, f()= + fonksionunun grafiği ukarıda verilmiştir. Bu fonksionun grafiği eksenine a da başlangıç noktasına göre simetrik olmadığından fonksion ne tek ne de çifttir. f( ) ile f() i karşılaştırarak bu fonksionun tek a da çift olmadığını gösteriniz. ) Aşağıda verilen fonksionların tanımlı olduğu aralıklarda tek, çift a da ne tek ne de çift olduklarını belirlemee çalışınız. fonksion tek i ft ne tek ne de çift = + = 4 + = tan = sin+ cos = ++ = + = cos = sin( ) =

22 FONKSİYONLARIN TANIM KÜMESİ Günlük aşantımızda er alan bazı eşlemeler haatımızı kolalaştırır, işlerin daha rahat ürümesini sağlar. Her arabanın bir plakasının bulunması, herkesin bir T.C. kimlik numarasına sahip olması ve ürünlerin barkod numaralarıla belirlenmesi gibi Burada plakaları arabalarla, kimlik numaralarını insanlarla, barkot numaralarını ürünlerle eşleen bağıntıların her biri birer fonksion belirtir. Bu fonksionların tanım kümelerinin sırasıla plaka, kimlik ve barkot numaralarından oluştuğunu söleebiliriz. Adrese Daalı Nüfus Kaıt Sistemi 9. Bir fonksionun tam olarak belirlenebilmesi için tanım kümesinin ve kuralının açık olarak bilinmesi gerekir. Dolaısıla tanım kümesi fonksionun önemli elemanlarından biridir.tanım kümesine bağlı olarak fonksionun özellikleri değişir. Örnek olarak, A R olmak üzere, f:a R, f()= fonksionunu ele alalım. Eğer A kümesi {,,} olarak seçilirse fonksionun grafiği aşağıdaki gibi olur. 4 Değişik olarak A kümesi [,] seçildiğinde fonksionun grafiği, 4 biçimine dönüşür.

23 Sizler de bu fonksion için ugun A kümeleri seçiniz. Kuralı değiştirmeden farklı tanım kümeleri seçebileceğinizi görünüz. Sizce seçilebilecek en geniş A kümesi ne olabilir? g:a R, g()= fonksionunun tanım kümesi A= {,, 4 } a da A= [ 5, 5] olarak seçilebileceği gibi A R olmak üzere farklı A kümeleri de seçilebilir. Burada alınabilecek en geniş A kümesi de R dir. Kuralı verilmiş bir fonksionun tanımlı olduğu en geniş gerçek saı kümesine o fonksionun en geniş tanım kümesi denir. Buna göre f()= fonksionunun en geniş tanım kümesinin gerçek saılar kümesi olduğunu söleebiliriz. Sizler de doğrusal fonksionların en geniş tanım kümeleri ile ilgili bir genellemee ulaşınız. 6. ) A R tanımlı aşağıdaki fonksionlar için seçilebilecek en geniş A kümesini azınız. a) f()= + b) g()= 4 c) h()= a) ) Aşağıda verilen fonksionların tanım kümelerini azınız. b) c) ç). f()= + ve g()= 5 gibi doğrusal fonksionların en geniş tanım kümelerinin gerçek saılar kümesi olduğunu ve bu fonksionların anı zamanda birinci dereceden polinom fonksionlar olduğunu hatırlaınız. Bu tip fonksionların toplamından, farkından vea çarpımından elde edilecek fonksionların, ine bir polinom fonksion olduğunu hatırlaarak aşağıdaki fonksionların tanım kümelerinin gerçek saılar kümesi olup olamaacağını tartışınız. f()+g()= ++ 5= f() g()= + +5= +8 f().g()= (+).( 5)= 7 5 Yaptığınız işlemler sonucunda elde edilen polinom fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. Acaba bu fonksionların tanım kümelerine sınırlama getirme gereği var mıdır? Ulaştığınız sonucu genelleerek polinom fonksionların tanım kümelerinin gerçek saılar kümesi seçilip seçilemeeceğini tartışınız. f()= + + polinom fonksionunda, seçilecek her gerçek saısının görüntüsü de gerçek saı olacağından bu fonksionun en geniş tanım kümesi R dir.

24 . Yapılan çalışmalar sonunda polinom fonksionların en geniş tanım kümesinin, gerçek saılar kümesi olduğunu fark etmişsinizdir. A,B R, f:a R, f()= + ve g:b R, g()= fonksionlarının bölümünden h() = + bağıntısı elde edilior. Bu bağıntıda h(), h( ) ve h() değerlerini bulmaa çalışınız. = için bağıntının tanımsız olduğunu görmüşsünüzdür. Bunun gibi bağıntıı tanımsız apan başkaca gerçek saılarının olup olmadığını tartışınız. Bağıntının = dışında her gerçek saı için bir görüntüsü vardır, diebilir miiz? h() bağıntısının bir fonksion belirtebilmesi için tanım kümesi nasıl seçilebilir? h() fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. Rasonel bir fonksionun en geniş tanım kümesini belirtirken nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız. f()= fonksionu için padaı sıfır apan değerler 4 ve 4 olduğundan bu 6 fonksionun en geniş tanım kümesi R { 4, 4 } olur. Rasonel bir fonksionun en geniş tanım kümesi, gerçek saılardan rasonel ifadenin padasını sıfır apan değerler çıkarılarak bulunur. 7. ) Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini azınız. a) = b) = +5 c) = ç) = + ) Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerinin gerçek saılar kümesi olabilmesi için m ve n değerleri nasıl seçilmelidir? 5 + a) f()= b) f()= +n +4+m ) En geniş tanım kümesi R olan iki tane fonksion azınız. 4) En geniş tanım kümesi R {,} olan bir tane fonksion azınız.. 9. sınıfta öğrendiğiniz köklü saılarla ilgili özellikleri hatırlaınız.tablonun. sütununda verilen değerlerini, diğer sütunlarda erlerine azınız. Elde edilen değerlerin gerçek saı olup olmadığını örneğe ugun biçimde belirtiniz R 8 4 R 5 n N + ve n n tek n N + ve n n i ft n 8 R Tablou doldururken ulaştığınız sonuçlara göre, n N + n ve R için ifadesinin bir gerçek saı olma şartlarını belirtmee çalışınız. n f()= fonksionun en geniş tanım kümesini, n nin tek a da çift olma durumlarına göre bulunuz. Ulaştığınız çıkarımlara göre, g()= +, h()= +5 rının en geniş tanım kümelerini bulmaa çalışınız. 4 4, t()= + fonksionla-

25 n P() bir polinom olmak üzere f()= P() fonksionunun en geniş tanım kümesi n tek ise gerçek saılar kümesi, n çift ise P() şartını sağlaan gerçek saılar kümesidir. f()= fonksionunun kök derecesi çift olduğundan dır. O hâlde f() fonksionunun en geniş tanım kümesi [, ) olur. g()= + fonksionunun kök derecesi tek olduğundan + R dir. O hâlde g() fonksionunun en geniş tanım kümesi R olur. 8. ) Aşağıda verilen fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a) = b) = 4 9 c) 5 d) = + e) = + ğ) = + h) = 4 f) = ++6 ı) = + + g) = 5 + ç) = 5 4 ) f()= +a+6 fonksionunun en geniş tanım kümesinin, gerçek saılar kümesi olabilmesi için a değerinin nasıl seçilmesi gerektiğini belirleiniz.. log a b biçiminde bir ifadenin, bir gerçek saıa eşit olabilmesi için a> ve a ve b> olması gerektiğini. sınıfta öğrenmiştiniz. Bu ön öğrenmenizi kullanarak log ( ) (+) ifadesinin bir gerçek saıa eşit olabilmesi için gerekli olan şartları azınız. Bu şartlar ardımıla f()= log ( ) (+) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulmaa çalışınız f()= log (7 ) ( ) fonksionunda 7 >, 7 ve > olması gerekir. Ölese in 7>, 6 ve > şartlarını sağlaması gerektiği kolaca sölenebilir. Buradan f() fonksionunun en geniş tanım kümesi (,7) {6} olarak bulunur. h()=log f() g() biçimindeki fonksionların en geniş tanım kümesi, f()>, f() ve g()> eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. ) Aşağıda verilen fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a) = log ( 4 5) b) = ln( ) c) = log ( ) (4 ) ç) = log( ) ) f()= log log (+) ve g()= log fonksionlarını karşılaştırarak en geniş tanım kümelerini bulunuz. + D C E Şekildeki birim kenarlı ABCD karesinin BC kenarı üzerinde bir E noktası alınıor. CE = seçerek DCE üçgenin alanını e bağlı olarak veren fonksion, f()=. = olur. Tanımlanan f() = fonksionunun en geniş A B tanım kümesini belirlerken değişkeninin bir uzunluk belirttiğini ve ölçüsünün (,) nda kaldığını söleebilirsiniz. Bu küme anı zamanda tanımlanan alan fonksionunun tanım kümesi olur mu? 5

26 Aşağıda verilen ABCD karesinin her köşesinden, bir kenarı birim olan bir kare kesip çıkartıp kalan şeklin alanını veren fonksion f()= 4 olarak azılır. Alan negatif olamaacağından 4 olmalıdır. 4 nin işareti + Tablodan [, olduğu görülür. Ancak uzunluğu gösterdiğinden dır. ] O hâlde fonksionun en geniş tanım kümesi [, ] olur. D C E A B Yaptığınız çalışmalardan gördüğünüz gibi bir fonksionun en geniş tanım kümesini belirlerken matematiksel kısıtlamaların anında geometrik a da fiziksel kısıtlamalar da olabilir. Ölese bir fonksionun tanım kümesini belirtirken alnızca bağıntıı değil, bağıntının temsil ettiği apıı da düşünmek zorunlu olur.. ) Bir kümenin eleman saısını alt küme saısına eşleen fonksionu, değişkenine bağlı olarak azıp en geniş tanım kümesini belirleiniz. ) D C E A B Kenarları AB = cm ve BC = 8 cm olan dikdörtgen biçimindeki kartonun her bir köşesinden, bir kenarı cm olan kareler şekildeki gibi kesilip çıkartılıor. Kalan kısım katlanarak üstü açık bir dikdörtgenler prizması oluşturuluor. Oluşan prizmanın hacmini e bağlı olarak veren fonksionun kuralını azarak en geniş tanım kümesini belirtiniz. 5. f:r R, f()=, g:[, ) R, g()= ve h:r R h()= fonksionları verilior. Bileşke işlemini hatırlaarak (hog)()=h(g())=h( )= olur. Bu fonksionun en geniş tanım kümesi ile h ve g fonksionlarının tanım kümelerini karşılaştırınız. Siz de farklı iki fonksion ile anı işlemleri aparak genel bir sonuca ulaşmaa çalışınız. 6

27 f()= ve g()= + fonksionları verilior. (fog)() fonksionunu en geniş tanım kümesini bulalım. fog()= dir. Bu fonksionun en geniş tanım kümesi R { } dir. + Bu kümei f ve g fonksionlarının en geniş tanım kümeleri ile karşılaştırınız. Yapmış olduğunuz çalışmalardan, oluşan kurala göre bileşke fonksionlarının en geniş tanım kümelerinin eniden belirlenmesi gerektiği sonucuna ulaşılır.. ) Aşağıdaki tabloda verilen f() ve g() fonksionları için (gof)() fonksionunu bulunuz ve tanım kümesini azınız. f() g() (gof)() f:r R f()= f:r R f()= + f:r R f()= f:r {} R f()= + g:r + R g()= log g:r {} R g()= g:r { π +k.π } R, (k Z) g()= tan g:r { } R g()= + ) Aşağıdaki tabloda verilen h() fonksionlarının hangi iki fonksionun bileşkesi olarak azılabileceğini örnekten de ararlanarak bulunuz. h()= g(f()) g() f() (+) sin5 4 cos + + ln(sin) ) Gerçek saılarda tanımlı, f()=, g()= 8 ve h()= ++ fonksionları verilior. fog, gof, hof, foh ve fof bileşke fonksionlarının kurallarını bularak bileşenleri ile karşılaştırınız. Fonksionlarda bileşke işleminin birim elemanı ile ilgili bilgilerinizi hatırlaarak herhangi bir f fonksionu ile hangi fonksionun bileşkesi f olur? Genelleiniz. 7

28 f()= (+) 5 fonksionu 5 ve + fonksionlarının bileşkesi biçiminde gösterilir. Bu gösterim tek değildir. f() fonksionu 5 ve (+) fonksionlarının bileşkesi biçiminde de gösterilir. PARÇALI FONKSİYONLAR 6. MEB Ortaöğretim Kurumları Sınıf Geçme ve Sınav Yönetmeliği nin (9..5/597) 6. maddesi aşağıda verilmiştir. Not Düzeni: Madde 6 Öğretmenler, sınav sorularını düzenlerken öğretim programlarında belirtilen özel ve genel amaçları varsa hedeflenen becerileri, açıklamaları ve konuları esas alır. Öğrenci başarısını ölçme ve değerlendirmede beşli not düzeni kullanılır. Öğrencinin başarısı dört, başarısızlığı iki notla değerlendirilir. Sınav, ödev ve projeler ile ilgili ugulamalar, tam puan üzerinden değerlendirilir. Değerlendirme sonuçları, öğretmen not defteri ile not çizelgelerine puan olarak azılır. 8

29 Puanların not değeri ve derecesi aşağıdaki gibidir. Puan Not Derece 85 5 Pekii İi Orta Geçer 5 44 Geçmez 4 Etkisiz Puanlara karşılık gelen not değeri grafik olarak aşağıdaki gibi çizilebilir. Not Puan Çizilen grafiği ve puan tablosunu inceleiniz. Alınan puanları nota çeviren bağıntının bir fonksion tanımladığını görmee çalışınız. Tartışmalar sonucunda belirlediğiniz fonksionun tanım ve görüntü kümelerini azınız. Şimdie kadar öğrendiğiniz fonksionlarla bu fonksionu karşılaştırınız. Sizce, fonksionun tanım kümesinin her elemanı için fonksionun kuralı anı mıdır? Tanımladığınız fonksionu oluşturan bağıntı, <5 ise, 5 <45 ise, 45 <55 ise f()= biçiminde gösterilir., 55 <7 ise 4, 7 <85 ise 5, 85 ise R den R e tanımlı, tanım kümesinin (, ) alt aralığında = + ve (,] alt aralığında = kuralları ile verilen f() fonksionu, f()= { + > ise ise biçiminde gösterilir. Tanım kümesinin farklı alt aralıklarında kuralı değişen fonksiona, parçalı fonksion denir. 9

30 . ) Bir ilacın çocuklar için, vücut ağırlığına göre saatte bir ugulanacak dozu aşağıdaki gibidir. Vücut Kütlesi Ugulanacak Doz 8 kg,5 ml 9 kg,5 ml 9 kg,75 ml 4 kg 5 ml Yukarıdaki tablou parçalı fonksion hâline dönüştürerek grafiğini çiziniz. ) İzmir Büükşehir Belediesinin 7 ılında konutlar için su tüketim tarifesi aşağıdaki gibidir. SU HAYATTIR SUYU TASARRUFLU KULLANALIM. Miktar (m /a) kg 4 kg kg... kg Fiat (TL),9 TL,9 TL 5 TL 6 TL Tüketilen su miktarını fiata eşleen parçalı fonksionu azarak grafiğini çiziniz. 7. = = 4 4 = Yukarıda verilen fonksion grafiklerinden renklendirilmiş kısımlar alınarak aşağıdaki f() parçalı fonksionu tanımlanıor. 4 Elde edilen eni fonksionun bağıntısını azınız. Yazdığınız fonksionun f( ), f(), f(), f(4) ve f(6) değerlerini bulunuz.

31 Tüm aptıklarınızı tartışınız ve eniden değerlendiriniz. Çalışmalar sonunda parçalı tanımlı bir fonksionun tanım kümesinin nasıl azılacağını belirlemee çalışınız. Tanım aralığının alt aralıkları ile aptığınız tanımı ilişkilendiriniz. 8. {, ise f:r R, f()= +, < ise +, > ise parçalı tanımlı fonksionu verilior. Önce her biri R R tanımlı f ()=, f ()= +, f ()= + fonksionlarının aşağıda verilen anı koordinat düzlemindeki grafiklerini inceleiniz. Daha sonra bu grafikler ardımıla parçalı tanımlı fonksionun grafiğini çizmee çalışınız. Aralarındaki ilişkii tartışınız. f ()=+ f ()= f ()= + Çalışmalarınıza göre bir parçalı tanımlı fonksionun grafiği çizilirken nelere dikkat etmek gerekir? Fonksionun parçalanma (kritik) noktalarının grafikteki önemi nedir?. ) Aşağıda verilen fonksionların belirtilen değerler için görüntülerini bulunuz. < ise a) f:r R, f()= { 5 ise f()=?, f( )=?, f( )=?, (fof)()=? { ++, ise b) g:r R, g()= 5, < ise g()=?, g( )=?, g()=? +, > ise g(5)=? {, tek saı ise c) h:n R, h()= +4, çift saı ise h()=?, h( )=?, h()=?, h(8)=? m < ise ) f:r R, f()= { fonksionu için +m ise f( 4)=f(5) ise m değerini bulunuz. ) Aşağıda R R e tanımlanan fonksionların grafiklerini çiziniz. + < ise a) f()= { ise ise b) g()= { < ise < ise c) h()= { + ise > ise

32 MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Deniz seviesi çizgisini düşünerek dağın gerçek büüklüğü ile ansımasının büüklüğünü karşılaştırınız. Saı doğrusu üzerinde, bir gerçek saının karşılık geldiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o saının mutlak değeri dendiğini hatırlaınız. Bu tanımlamaa göre, = 5, =, = oluordu. Daha genel biçimde a gerçek saı olmak üzere, a = a, a ise, { a, a< ise, gösterimini kullanıordunuz. Bu konumuzda ise fonksion kavramı ile mutlak değer kavramını ilişkilendireceğiz. 9. Bir gerçek saıı mutlak değerine eşleen fonksionu, f: R R, f()= olarak azalım. Bu fonksionu, mutlak değerin tanımı ve aşağıdaki tablo ardımıla in işareti f() + f()= =, ise, {, < ise, şeklinde azılabilir.. Gördüğünüz gibi azılan fonksion, bir parçalı tanımlı fonksiondur. Benzer şekilde, g()= ve h()= 4 fonksionlarını aşağıdaki tablolar ardımıla parçalı tanımlı fonksion biçiminde azınız. nin işareti + 4 ün işareti + + g() + h() Siz de değişik örnekler seçerek işlemleri sürdürebilirsiniz.

33 Genel olarak = f() biçiminde tanımlanan fonksionlara mutlak değer fonksionu denir. Ulaşılan tanımı ve etkinlikte aptıklarınızı birlikte düşünerek her mutlak değer fonksionunun bir parçalı tanımlı fonksion olduğunu söleebilir misiniz? 4. ) Aşağıda R de tanımlanan mutlak değer fonksionlarını birer parçalı tanımlı fonksion olarak azınız. a) f ()= +5 b) f ()= c) f ()= ç) f 4 ()= 9 ) f: R R, f()= + + fonksionunu aşağıdaki tablodan ararlanarak parçalı tanımlı fonksion olarak azınız. + nin işareti f() + += ++=+ ) Aşağıda R de tanımlanan mutlak değer fonksionlarını birer parçalı tanımlı fonksion olarak azınız. a) f ()= + b) f ()= + + c) f ()= + ç) f 4 ()=. f: R R, f()= + fonksionunun grafiğini çizelim. ün işareti f() ++= + += Tablodan da görüldüğü gibi, fonksionu,, < ise, f()= {, ise, biçiminde parçalı tanımlı fonksion olarak azabiliriz. = ve = fonksionlarının grafikleri aşağıda verilmiştir. Bu grafiklerden ararlanarak parçalı tanımlı f() fonksionunun grafiğini çiziniz. Fonksionun kritik noktası ile grafiğini ilişkilendiriniz. Benzer olu izleerek g: R R, f()= + fonksionunun grafiğini çiziniz.

34 . Aşağıda R R e f()= ve g()= 4 fonksionları ile f() ve g() fonksionlarının grafikleri çizilmiştir. f() f() g() 4 g() 4 Grafikleri inceleerek bir fonksionun grafiği ile mutlak değerinin grafiğini karşılaştırınız. Grafiklerde gözlemlediğiniz değişiklikleri azınız. Siz de değişik fonksionlar alarak bu fonksionların grafikleri ile mutlak değerlerinin grafikleri arasında da benzer değişikliklerin olup olmadığını araştırınız. Mutlak değer fonksionunun uzunluk kavramında olduğu gibi negatif değer alamaacağını söleebiliriz. f: [ π, π [, ] f()= cos fonksionunun grafiğini çizelim. Bunun için anı ] tanım aralığında =cos fonksionunun grafiği çizilir. π π π =cos π π Bu grafikten ararlanarak f()= cos fonksionunun grafiği andaki gibi çizilir. f()= cos π π π π π Bir fonksionun mutlak değerinin grafiği çizilirken fonksionun pozitif değerler aldığı kısım anen kalır, negatif değerler aldığı kısmın eksenine göre simetriği alınır. 4

35 5. ) Aşağıda R de tanımlanan fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f ()= + 4 b) f ()= 6 c) f ()= ++ ç) f 4 ()=. + d) f 5 ()= + e) f 6 ()= + + ) f: [ π, π] [, ], f()= sin fonksionunun grafiğini çiziniz. ) f: R + R, f()= ln fonksionunun grafiğini çiziniz. 4) Aşağıda grafikleri verilen fonksionların mutlak değer fonksionlarının grafiklerini çiziniz. f() b g() h() a a b a b c. Mutlak değer fonksionlarında öğrendiğiniz bilgileri, mutlak değerli denklem çözümünde kullanalım.örnek olarak, + + = denkleminin çözüm kümesini bulalım. Denklemdeki mutlak değerli terimlerin işaretlerini incelediğimizde aşağıdaki işaret tablosunu elde ederiz. nin işareti + nin işareti Tabloda görüleceği gibi < durumunda denklem ( +)+( )= biçimine dönüşür. İkinci olarak < durumunda ise denklem ( +)+(+)= olur. Son olarak konumunda denklem ( )+(+)= biçiminde azılır. Her konumda denklemin çözümünü araştırınız. Çözüm kümesi ile tanım aralığının ilişkisini bulmaa çalışınız. Şartları sağlaan değerlerini alarak = denkleminin genel çözüm kümesini tanımlaınız. + += 5 denkleminin genel çözüm kümesini bulalım. Mutlak değerli terimin işaretini inceleelim: + in işareti

36 Tablodan, < ise += 5 işlemi apılarak = 6 bulunur. = 6, < şartını sağlamadığından denklemin kökü olamaz. ise ++= 5 = 4 = 4 olur. = 4, şartını sağlar ve denklemin bir köküdür. Ölese bu denklemin çözüm kümesi: Ç.K.= { 4 } olur. Yukarıdaki çalışmalardan mutlak değer içeren herhangi bir denklemi çözerken öncelikle mutlak değerin kaldırılması gerektiğini fark etmişsinizdir. Bunun için mutlak değeri alınan ifadenin işaretini incelemek gerektiği sonucuna ulaşılır. 6. ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) + = b) =4 c) = ç) = d) + 4 =8 e) + + =5 f). 9= g) + 6= ğ) + = ) f()= + 4 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ) f: R R, f()= + + fonksionunun grafiğinin eksenini kestiği noktalar ile + = denkleminin çözüm kümelerini karşılaştırınız. 4) f: R R, f() fonksionu tanımlanıor. f( ) = f() ise f fonksionu için ne sölenebilir? 5) f: R R, f()= ve g:r R, g()= 4 + fonksionlarının kesişim noktasını bulunuz. Bulduğunuz noktaı grafikleri kullanarak doğrulaınız.. Mutlak değerli denklemlerin çözümünde izlediğimiz işlem basamaklarından ararlanarak <+4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmaa çalışalım. in + işareti İşaret tablosunda görüldüğü gibi, < durumunda eşitsizlik +<+4 biçimine dönüşür. Buradan > elde edilir. < ve > şartlarını beraber sağlaan değerlerinin ait olduğu aralığı azınız. durumunda eşitsizlik <+4 biçiminde azılabilir. Buradan > 6 elde edilir. ve > 6 şartlarını beraber sağlaan değerlerinin ait olduğu aralığı azınız. Elde edilen çözüm aralıklarından ararlanarak eşitsizliğin çözüm kümesi Ç.K.= {, R} biçiminde azılabilir. Mutlak değerli denklemlerin çözümünde izlenecek basamakları tartışarak bir sonuca ulaşmaa çalışınız. + + < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Bunun için denklemdeki mutlak değerli terimlerin işaretlerini inceleelim. 6

37 + nin işareti nin işareti + + <4 +<4 > <4 <4 ++ <4 < < için eşitsizlik > ifadesine dönüşür. Bu aralık için çözüm Ç = (, ) olur. << için eşitsizlik <4 olur. Bu ifade aralıktaki her değer için doğrudur. Yani Ç = (, ) olur. > için eşitsizlik < biçimine dönüşür. Bu aralık için çözüm Ç = (, ) olur. = ve = için eşitsizliğin sağlandığını kolaca görebilirsiniz. Buradan eşitsizliğin çözüm kümesi Ç= (, ) olur. Yapılan çalışmaların sonucunda, mutlak değer içeren eşitsizliklerin çözümü a pılırken öncelikle mutlak değerin kaldırılması gerekir. 7. ) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) < 4 b) + c) +4 ç) + + < 6 d) < < 4 e) +4 < f) 6 > g) < ) Saı doğrusu üzerinde seçilen tam saısına olan uzaklıkları, 5 e olan uzaklıklarından daha küçük olan saıların bulunduğu aralığı belirtiniz. ) +4 4 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz. 5 ( ) 4) f()= 9 değeri vardır? fonksionun tanımlı olduğu aralıkta in kaç farklı tam saı 5) f()= (a ) 5 + +(b ) +c+6 fonksionu çift fonksiondur. a+b+c= olduğu na göre f() değeri kaçtır? 6) f()= 7 +(m+) 4 + +m+n+4 fonksionu tek fonksion olduğuna göre, f( m n ) değeri kaçtır? 7) f()= +7 fonksionunun alabileceği en büük değer kaçtır? kaçtır? 8) f() çift fonksiondur. f( )+f( )=( a) +(a+)+a ise f( ) değeri 9) f()= f( )+4+6 eşitliğini sağlaan f() fonksionu tek fonksion olduğuna göre f (7) değerini bulunuz. + ) f()= { + < ise f() fonksionunun grafiğini çiziniz. 7

38 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME ) I.Bir okulda, öğrencileri okul numaralarına eşleen fonksion II.Her T.C. vatandaşını, on bir basamaklı T.C. kimlik numarasına eşleen fonksion III.Bir okuldaki öğrencileri, sınıflarına eşleen fonksion IV.Bir şehirde aşaan insanları, ev adreslerine eşleen fonksion V.Yukarıda verilen fonksionların türlerini belirtiniz. ) Koordinat düzleminde hareket eden bir noktanın t zamanına bağlı olarak koordinatları =t ve =t+ olmaktadır. i türünden ifade ederek noktanın hareketini gösteren fonksionu azınız. Nokta nasıl bir ol izlemektedir? ) f() Yanda grafiği verilen f() fonksionunun bire bir olmadığı aralıkları belirtiniz. 4) f()= (a ) +(b+)+a.b fonksionunun sabit bir fonksion olması için a ve b değerleri ne olmalıdır? 5) Her elemanı kendisi ile çarpımsal tersinin toplamına götürüor. biçiminde tanımlanan f fonksionu verilior. Buna göre f(7) değerini bulunuz. 6) 4 Yanda f() fonksionunun grafiği verilmiştir..f() eşitsizliğini sağlaan tam saılarının kaç tane olduğunu bulunuz. 4 f() 7) Aşağıdaki tablo, düzgün çokgenin kenar saısına bağlı olarak her bir çokgenin bir iç açısının ölçüsünü göstermektedir. kenar saısı n açı ölçüsü A(n) a) Bu fonksionun tanım kümesini azınız. b) Geometri bilgilerinizi kullanarak A(n) fonksionunu oluşturunuz vea azınız. 8) Aşağıda verilen bağıntılardan fonksion olanların tanım ve değer kümelerini azınız. f()= =g() 4 =h() 8

39 = = =k() 9) f: {,,, } R tanımlı f()= + fonksionunun görüntü kümesinin elemanları toplamını bulunuz. ) Yerden m/sn. hızla dike olarak havaa atılan topun t saniede üksekliğini veren fonksion h(t)=t 5t dir. a) Top kaç sanie sonra ere düşer? b) h fonksionunun tanım kümesini azınız. c) Top kaç metre ükselmiştir? ) Aşağıdaki tabloda bazı değerleri verilen doğrusal fonksion günlük aşamdan ne ile ilişkilendirilebilir? a) Fonksionun e bağlı kuralını oluşturabilir misiniz? b) Tabloda verilmeen iki değeri bulunuz. c) = 4 iken fonksionun değeri kaçtır? ) Karenin alanını ifade eden bağıntıı çevresi cinsinden azınız. Yazdığınız bağıntı fonksion ise tanım ve değer kümelerini azınız. ) f: [, 5 ] R, f()= +8 5 fonksionunun grafiğini çiziniz. Fonksionun bire bir olup olmadığını araştırınız. 4) f: {(a,),(b,),(c,),(d,4),(e,5)} fonksionu verilior. f fonksionunun tanım ve görüntü kümelerini azınız. 5) f: [4, ) [ 5, ) tanımlı f()= 8+ ise f () nedir? 6) 5 4 f() Yanda grafiği verilen f fonksionu için aşağıdaki soruları anıtlaınız. a) f()= denklemini sağlaan değerleri bulunuz. b) f ( )+f( )+ f() toplamını bulunuz. c) f( )+ f (5) toplamını bulunuz. 7) f: [,+ ) R tanımlı f()= ln( ) verilior. f () fonksionunun kuralını bulunuz. 8) R de tanımlı f fonksionu için f( 4)=6+5 tir. Buna göre f () fonksionunu bulunuz. 9

40 9) f: R R, f()= ve g: R R, g()= + fonksionları verilior. 4 f (a)+g (a)=(fog)() eşitliğini sağlaan a değerini bulunuz. ) f: R {} R {a} tanımlı f()= a verilior. f()=f () ise a değeri kaç olma- ) f: R R +, f()= üstel fonksionu verilior. f () değerini hesaplaınız. lıdır? ) f: R + R, f()=log fonksionu verilior. f () değerini hesaplaınız. ) = doğrusuna göre simetrik olan iki fonksion azınız. 4) f()=a+b fonksionu daima artan bir fonksiondur. g()= f ()=c+d olduğuna göre a ile c nin işaretlerini karşılaştırınız. 5) 4 f() Şekilde verilen f() fonksionunun azalan olduğu en geniş aralığını bulunuz. 6) R [,], f()= sin ile g()= cos fonksionlarının tek a da çift olup olmadıklarını araştırınız. 7) Gerçek saılarda tanımlı f() fonksionu tek fonksiondur. f() f( )= 8 +8 ise f() in değeri kaçtır? 8) = + fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 9) = ++ fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ) = C D Yandaki şekilde verilen ABCD dikdörtgeninin B A köşesi parabolün üzerindedir. C(, 4) olduğuna göre dikdörtgenin alanını gösteren fonksionun kuralını azarak en geniş tanım kümesini belirtiniz. ) f()= 4 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ) f: R R, f()= fonksionu ) f()= iken 4) f: R R, f()= { f(4)+f() toplamının değerini bulunuz. f (+h) f () h oranını bulunuz. (h ) f (+a) f (), (a ) ifadesinin değerini hesaplaınız. a ise = ise biçiminde tanımlanan f fonksionu için

41 5) Tabloda verilenleri göz önüne alarak t değişkenine bağlı fonksionları azıp grafiğini çiziniz. <t ve t <t ve t <t ve t <t ve t 4 6) f: R R, f()= { 7) () 5+.() 5+.() < ise < ise ise fonksionun grafiğini çiziniz. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 8) Gerçek saılarda tanımlı f()= + 4 fonksionunun grafiği ile ekseninin sınırladığı bölgenin alanını bulunuz. 9) f() in grafiğini çiziniz. f() 4) =f() Yandaki şekil =f() fonksionuna ait bir grafiktir. Buna göre, = f()+f() fonksionunun grafiğini çiziniz. 4 4) f()= f()= fonksionunun grafiği anda verilmiştir. f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. 4) < ve eşitsizliklerini sağlaan (, ) ikililerinin belirttiği bölgei analitik düzlemde gösteriniz. 4) = 4 fonksionu verilior. fonksionunun grafiğini çiziniz. 44) = + + fonksionunu grafiğini çiziniz. + 45) a < ve b 6 < koşullarına uan ve a ve b değerlerini bulunuz. Bulduğunuz bu değerler için aşağıdaki ifadelerin hangi değerleri alabileceğini söleiniz. a) a b b) a +ab+ 46) f()= ve g()= fonksionlarının grafiklerini karşılaştırınız.

42 47) <<5 için f()= ifadesinin eşiti nedir? 48) += denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 49) =f()= Yandaki şekilde R R, f()= fonksionunun grafiği verilmiştir. Sizce R R, f() fonksionu; a) Bire bir midir? b) Örten midir? c) Artan mıdır? ç) f() fonksionunun grafiği nasıl olabilir? d) f() fonksionunun görüntü kümesi nedir? e) f() ile f() fonksionlarının tek a da çift fonksion olup olmadıklarını araştırınız. 5) f()= 4 fonksionunun en geniş tanım kümesinin R {} olduğunu söleebiliriz. Gerçekten de = dışındaki tüm gerçek saılar için fonksionun gerçek saı olan bir görüntüsü vardır. Şimdi fonksionu çarpanlarına aırıp sadeleştirelim. f()= 4 = ( ).(+) = + Yaptığımız sadeleştirme fonksionun tanım kümesini değiştirmiştir. Çünkü, f()= + fonksionu = için tanımlanmıştır. Bu hatadan kaçınmak için fonksionun sadeleşmiş biçimi f()= +, olarak belirtilmelidir. Sizler de aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini ve sadeleşmiş biçimlerini azınız. a) f ()= 6 b) f ()= + c) f ()= + ç) f 4 ()= log ( ) (+) d) f 5 ()= log ( 4) e)f 6 ()= f) f 7 ()= 4 5 g) f 8 ()= 5) f()= log ( ++) fonksionunu tanımlı apan tam saılarının toplamı kaçtır? 5) f()= log ( )( 6 + ) fonksionunu tanımlı apan doğal saıları kaç tanedir? Bilim deince, onda hakikat die öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şeklile matematikte bulunur. O hâlde bilim o disiplindir ki önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmaan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır. M.Kemal Atatürk

43 . BÖLÜM ALT ÖĞRENME ALANLARI Limit Aritmetik ve Geometrik Diziler Süreklilik

44 LİMİT İÖ 5. üzılda aşamış Yunanlı düşünür Zenon'un şu hikâesi meşhurdur. Bir gün Antik Yunan'ın meşhur savaşçısı Akhilleus (Aşil), bir kaplumbağala koşu arışı apmaa karar vermiş. Akhilleus, kaplumbağadan tam kat daha hızlı olduğu için kaplumbağanın arışa m önden başlamasına izin vermiş. Yarış başladıktan birkaç sanie sonra, Akhilleus aradaki m'i hemen aşmış, ama bu arada onunkinin onda biri hızla hareket eden kaplumbağa, m ilerlemiş. Yani aralarındaki mesafe artık m imiş. Akhilleus, bu m'i de geçerken kaplumbağa da m ilerlemiş, ani artık aralarında m varmış. Akhilleus, bu m'i geçerken kaplumbağa da / m, ani cm ilerlemiş. Akhilleus bu cm'i geçerken de kaplumbağa cm ilerlemiş. Akhilleus bu cm'i de geçince aralarındaki uzaklık mm'e düşmüş. Yani fark sürekli onda birine düşüor ama asla kapanmıormuş! Yani kaplumbağadan kat hızlı olan Akhilleus, kaplumbağaı hiç geçememiş! Limit, matematiğin en önemli kavramlarından biridir. O nedenle beşinci işlem olarak da adlandırılmaktadır. Tüm matematiksel kavramlarda olduğu gibi limit kavramının oluşturulması ve öğrenilmesi için bazı ön öğrenmelerin çok ii bilinmesi gerekmektedir. Bunlar özetle sonluluk, sınırlılık, aralık, komşuluk, aklaşım ve aklaşık değer olarak sıralanabilir. Limiti öğrenmek isteenlerin ön öğrenmelerle ilgili eksikleri varsa önce bunları gidermeleri gerekir... şekilde görüldüğü gibi çemberin içine düzgün ve dışbüke çokgenler çizilmiştir. Bu çokgenlerin her birinin çevresinin, çemberin çevresinden küçük olduğunu kolaca söleebiliriz. Ancak çokgenlerin kenar saılarını artırarak çevre uzunluğunun nee aklaştığını tahmin edebilirsiniz.... A. Şekil Yukarıdaki aklaşıma benzer olarak anda verilen çemberin AB kesenini ele alalım. B 4

45 A B B B B B 4 t B noktasını A noktasına adım adım aklaştırarak keselerin nee aklaştığını görmee çalışınız. a b a b a b [a, b] nda, grafiği verilen eğri altında kalan alanı, şekildeki gibi dikdörtgenlere bölünüz. Dikdörtgenlerin saısını artırdığınızda dikdörtgenlerin alanları toplamının hangi alana aklaştığını tahmin ediniz. Yaptığınız çalışmaların ortak anlarını tartışınız ve bunlardan bir sonuç çıkarmaa çalışınız.. İki öğrenci, aşağıdaki kurallara uarak bir saıa aklaşma ounu onamaktadır. Bir saı seçilir. Öğrencilerden biri seçilen saıdan her zaman daha küçük, diğeri daha büük gerçek saılar söler. Seçilen saıa en akın saıı sölemee çalışır. Rakibinin sölediği saıdan daha akın bir saı söleemeen ounu kabeder. Örneğin 5 saısı seçilmiş olsun ve öğrenciler sırasıla çizelgede verilen saıları sölemiş olsun.. öğrenci. öğrenci 4,5 5,5 4,9 5,9 4,97 5, 4,99 5, 4,9998 5, Sizce bu ounu kim kazanır? Daha önce oluşturulan R saı ekseni üzerinde seçilen bir a noktasına, r birimden daha akın olan noktaların kümesine "a nın r komşuluğu" denir ve (a r, a+r) biçiminde gösterilir. Bu gösterim R saı ekseninde aşağıdaki gibidir. a r a a+r R Buna göre R saı ekseni üzerinde seçeceğiniz bir a noktasının r komşuluğunu düşününüz ve seçilen komşulukta a noktasına nasıl aklaşabileceğinizi araştırınız. a r a a+r R Tartıştığınızda göreceksiniz ki eğer (a,a+r) nda iseniz a a aklaşmanız için a dan büük saıları kullanmanız gerekir. Tersine eğer (a r, a) nda iseniz a a aklaşmak için a dan küçük değerleri kullanmanız kaçınılmazdır. 5

46 Biz bilioruz ki R de saılar sıralıdır. Yani R de seçilen bir b saısı sağındaki saıdan küçük, solundaki saıdan büüktür. Bu nedenle alnızca R den söz ettiğimizde, büük değerler alarak bir saıa aklaşmak o saıa "sağdan aklaşmak" ve küçük değerler alarak bir saıa aklaşmak da "soldan aklaşmak" olarak adlandırılır. Yukarıda seçilen a nın komşuluğu için düşündüğünüzde "", a a soldan aklaşıor." dediğimizde a dan küçük değerler alarak gelior, anlamındadır. Matemetik dilile bu " a " ile gösterilir. Tersine ", a a sağdan aklaşıor." dediğimizde ise a dan büük değerler alarak gelior, biçimindedir ve a + ile gösterilir.. Aşağıdaki fonksionların verilen nokta komşuluğunda o noktaa aklaşırken aldığı değerler ile fonksionların grafiklerini karşılaştırınız ve tartışınız.. f : R R, f ()= fonksionunda = noktası: f (),,,9,8 f ()= : : : :,9,,99,,, : :,8,9,, : :,8,9 { <. f : R R, f ()= = + > fonksionunda = noktası: f (),9 : : +,,,, : :,9,9 : :,,,, : :,8. f : R R, f ()= fonksionunda = noktası:,9 : :,,,, : :,9 f () :: : : 6

47 { > 4. f 4 : R R, f 4 ()= = fonksionunda = noktası: <,9 : :,,,,, :,9 f 4 (),8 : :,,,,, :,9 Yapılan etkinliği ele alarak gördüklerimizi sıralaalım.. Çalışmaların temel amacı belirlenen noktada fonksionun alabileceği aklaşık değerin tahmin edilmesidir.. Belirlenen noktaa sağdan ve soldan aklaşıldığında fonksionun aldığı değerler anı a da farklı saılara aklaşabilir.. Belirlenen noktaların komşuluğunda fonksion tanımlıdır. Ama seçilen noktada fonksionun tanımlı olma zorunluluğu oktur. Bu defa belirlenen noktalara sağdan ve soldan aklaşıldığında, fonksionun aldığı değerin anı değere aklaştığı durumları ele alalım. f fonksionunun, değeri e sağdan ve soldan aklaşırken a aklaştığı, f 4 fonksionunun ise değeri a sağdan ve soldan aklaşırken a aklaştığı görülmektedir. Bu durumu matemetiksel olarak f () f 4 () biçiminde azabiliriz. Fonksionların aklaştığı bu değerlerin tamamen seçilen nokta ile ilgili olduğunu unutmaınız. Eğer nokta değişirse fonksionun aklaştığı değer de değişebilir. O nedenle seçilen noktalara bağlı olarak fonksionun aklaştığı değere, "fonksionun o noktadaki limiti" adı verilir ve aşağıdaki gibi gösterilir. lim f ()= lim f 4 ()= Genel olarak düşündüğümüzde, f: A R, f() fonksionu ve =a noktası verildiğinde, f() in a daki limitini bulmak isteebiliriz. Bunun için a f() L gibi sonlu bir gerçek değere aklaşıp aklaşmadığı araştırılır. Eğer bu sağlanıor ise sonlu "L R değerine f() in a daki limiti" denir ve lim f()= L a ile gösterilir. Burada unutulmaması gereken, a gösteriminin a ve a + konumlarını birlikte içermesidir. Tüm bu açıklamalara göre, f () ile f () fonksionlarının durumunu tartışınız. f () ile f () in da limitinin olup olmadığını belirleiniz. 7

48 4. { +, < ise h: R R, h()=, = ise fonksionu verilior. 5, > ise in e soldan aklaşırken ( ), fonksionun görüntülerinin hangi saıa aklaştığı aşağıdaki çizelgede çıkarılmıştır.,9,95,98,99, h(),8,9,96,98, Tanımlanan h() fonksionunun verilen grafiğini ve tablou bir kez daha incele- 4 iniz. 4 5 h() Hem tablodan hem de grafikten ararlanarak için fonksionun aldığı değerin hangi saıa aklaştığını belirtiniz. Benzer bir aklaşımla değerler vererek + için h() fonksionunun görüntülerinin hangi saıa aklaştığını tablo ile gösteriniz ve bulduğunuz değerleri grafikle de karşılaştırınız. için ve + için fonksionun aklaştığı değerleri karşılaştırınız. Yapmış olduğunuz çalışmalardan, için fonksionun e aklaştığını görmüşsünüzdür. Bu saısına h fonksionunun = noktasındaki soldan limiti denir ve lim h()= biçiminde gösterilir. Buna göre sizler de fonksionun = noktasındaki sağdan limitini matematiksel olarak gösteriniz. Benzer şekilde aşağıda grafiği verilen f() fonksionunun =, = ve =4 noktalarındaki sağdan ve soldan limitlerini bulalım. 4 f() lim f()= ve lim f()= + lim f()= ve lim f()= + lim f()= ve lim f()=

49 Genel olarak a R ve A R olmak üzere, f: A R fonksionunda lim f()= L a değerine fonksionun = a da soldan limiti, lim f()= L değerine fonksionun = a da a + sağdan limiti denir. Eğer L = L = L bağıntısı sağlanıor ise fonksionun = a da limiti vardır denir ve lim f()= L biçiminde gösterilir. a L L ise = a noktasında fonksionun limiti oktur. Yukarıdaki h fonksionunun ilgili değerleri için limitinin olup olamaacağını belirtiniz ve matematiksel olarak ifade ediniz.. ) A Şekildeki ABC üçgeninin A köşesi ekseni üzerindedir. A noktasının orijine aklaşması durumunda üçgenin alanı hangi saıa aklaşır? B C ) Aşağıda grafikleri verilen fonksionların belirtilen noktalarda limitlerinin olup olmadığını araştırınız. a) b) 4 c) f() f() ç) f() 4 f() d) f() e) f() 4 9

50 ) Aşağıda verilen fonksionların belirtilen noktalarda limitlerini araştırınız. a) f : R R, f ()= +5 = için < ise b) f : R R, f ()= { ise c) f : R R, f ()= = için ç) f 4 : R R, f 4 ()= 4 = için = için 4) Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çiziniz ve belirtilen değerler için limitlerini tartışınız. a) f : R R, f ()= sin = π i i n b) f : R R, f ()= = için c) f : R + R, f ()= log = için 5) 4 f() Yukarıda grafiği verilen fonksionu inceleiniz. Hangi noktalarda limitinin olmadığını sölemee çalışınız. 6) Bir fonksionun bir noktadaki limiti ile o noktadaki görüntüsü arasında bir ilişki var mıdır? Tartışınız. 5. f()= h()= Yanda grafiği verilen f:r R, f()= fonksionu için, lim f(), lim f(), lim f() değerlerini grafikten ararlanarak bulunuz. Siz de farklı değerleri alarak fonksionun bu noktalardaki limitlerini bulunuz. Bulduğunuz limit değerlerini karşılaştırınız. Ulaştığınız sonucu azınız. Yandaki şekilde, h:r R, h()=, g()= g:r R, g()= fonksionlarının grafikleri verilmiştir. = ve = noktaları için h() ve g() fonksionlarının limitlerini bulunuz. Değişik sabit fonksionlar seçiniz. Bu fonksionların her a R noktasındaki limitleri için bir genelleme apmaa çalışınız. Sizce bu genelleme c R için lim c= c a biçiminde azılabilir mi? Sabit bir fonksionun her noktadaki limitinin anı olduğunu söleebilir miiz? 4

51 6. f ()= f ()= f ()= f 4 ()= Yukarıda grafikleri verilen fonksionların, =, =, = ve = noktalarındaki limitlerinin varlığını ve varsa değerlerini araştırınız. Fonksionların verilen noktalarda aldığı değerleri ile bulduğunuz limit değerlerini karşılaştırınız. Bu durum her a R için ukarıdaki fonksionların = a noktasındaki limitleri ile görüntüleri için de geçerli midir? Ulaştığınız sonucu arkadaşlarınızla tartışınız. Genel olarak a,c R ve f:r R, f()= c. fonksionunun =a noktasındaki limiti lim c.= c.a olur. a 7. R R tanımlanan f ()=, f ()= fonksionları verilior. Bu fonksionların belirtilen noktalardaki değerlerini hesap makinesi ardımıla bularak tablou doldurunuz.,87,9,999...,,, f ()= ? f ()= ? Tablou incelediğinizde değerleri saısına sağdan ve soldan aklaşırken, f ()= fonksionunun görüntüleri hangi saıa aklaşmaktadır? f ()= fonksionunun görüntüleri hangi saıa aklaşmaktadır? Bu durumları matematiksel olarak ifade ediniz. Bulduğunuz limit değerleri ile fonksionların = noktasındaki görüntülerini karşılaştırınız. Benzer durum = noktası a da alabileceğiniz her a R noktası için de geçerli midir? Benzer işlemleri R R, f ()= 4, f 4 ()= 5 fonksionları için de apınız. Yukarıda ulaştığınız sonucun bu fonksionlar için de geçerli olup olmadığını görmee çalışınız. Yapılan etkinliklerden çıkardığınız sonuçları R R, f()= n (n N + ) kuvvet fonksionuna ugulaınız. 4

52 Çalışmalarınızın sonucunda a R için kuvvet fonksionunun limitinin, lim n = a n olduğunu görebilirsiniz. a Buna göre, lim 4 limit değeri lim 4 = 4 = 8 olur.. ) Aşağıda verilen fonksionların verilen noktalardaki limitlerini bulunuz. a) lim 5 b) lim ( ) c) lim ( ) ç) lim d) lim e) lim 8 f) lim g) lim ğ) lim 4 4 ) Aşağıdaki eşitlikleri sağlaan c gerçek saılarını bulunuz. a) lim c.= 6 b) lim = c 8 8. R R, f()= ve g()= 5 fonksionları verilior. Bu fonksionların = noktasındaki limitlerini lim f()= 6 ve lim g() = 5 olarak kolaca bulabiliriz. Şimdi de h:r R, h()= f()+g()= +5 fonksionunun = noktasındaki limitini h() foksionunun grafiğinden ararlanarak bulmaa çalışalım. h() 5 lim h()= olduğu görülür. Sizler de e aklaşan değerler vererek bu limit değerini bulabilirsiniz. h() fonksionunun = noktasındaki limiti ile f() ve g() fonksionlarının = noktasındaki limitleri toplamını karşılaştırınız. Buradan bir çıkarıma ulaşmaa çalışınız. f() ve g() fonksionlarının kurallarını değiştirerek eni h() fonksionları elde ediniz. Bu fonksionların farklı değerlerinde var olan limitleri için de anı çıkarıma ulaşılabilir mi? f ve g, = a noktasında limitleri olan iki fonksion olmak üzere, lim [ f() + g()] = lim f() + lim g() olduğu görülür. a a a f()= + fonksionunun = noktasındaki limiti lim ( + )= lim + lim = ( ) +( ) = olarak bulunur. 8 4

53 Benzer düşüncele lim [ f() g()] = lim a a f() lim g() a lim [ f(). g()] = lim f(). lim g() a a a lim [ c. f()] = lim f() a a (c R) g() ve lim a g() olmak üzere lim a [f():g()]= lim a f():lim g() a Eşitliklerinin doğru olduğunu görünüz. 9. Şimdi de bu özelliklerden ararlanarak f:r R, f()= a n n +a n n +É+ a polinom fonksionlarının c R için limitini araştıralım. lim [ a n n +a n n +É+ a ] c limitinin özelliklerinden ararlanarak toplamların limiti ifadesini, limitlerin toplamı biçiminde azınız. Toplam durumundaki her bir limitin kuvvet fonksionunun limitinden ararlanarak limit değerlerini azınız. Bulduğunuz limit değerleri toplamı ile f(c) i karşılaştırınız. Yaptığınız çalışmalardan polinom fonksionların limiti için bir genellemee ulaşmaa çalışınız. f()= polinom fonksionunun = noktasındaki limiti, lim [4 + 5 ]= lim 4 + lim lim 5 lim = +4 = 5 olur. Fonksionun = noktasındaki görüntüsü, f()= +4 = 5 dir. O hâlde lim f()= f() olur. Buradan, f() bir polinom fonksion olmak üzere, lim f() = f(a) sonucuna ulaşılır. a. ) f()= + fonksionunun = noktasındaki limitini bulalım. Bu polinom fonksionunda, lim f()= f() =.+= 7 6+= olarak bulunur. Sizler de aşağıdaki işlemleri sonuçlandırınız. a) lim ( +5 8) b) lim [( +).( 7)] c) lim + + ç) lim ( + ) d) lim (+ ) e) lim ( ) ) Aşağıdaki eşitlikleri sağlaan c gerçek saılarını bulunuz. a) lim ( c+5)= 4 b) lim c+ = 5 ) lim f()= 4 ve lim g()= 5 olarak verilior. lim ( f() + g() ) değerini bulunuz. 4

54 . f:r R, f()= fonksionu verilior. f() fonksionunun parçalı fonksion olarak f() = { + < ise ise biçiminde azıldığını ve grafiğinin aşağıdaki gibi olduğunu bilioruz. f() Grafiği inceleerek a da parçalı fonksiondan ararlanarak, lim f() = lim = lim ( +) = olduğunu kolaca görebilirsiniz. Anı aklaşımla lim f() = lim ( ) = = değerini de bulabilirsiniz. Bulunan bu değerler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Siz de, 4 ve 7 için değerleri hesaplaarak tablou doldurunuz. a lim f() a lim f() a Tabloda ve. sütundaki değerleri karşılaştırarak bir sonuca ulaşınız. Ulaştığınız bu sonucun a R için geçerli olup olmaacağını tartışınız. Genel olarak herhangi bir f() fonksionunun = a noktasında limiti varsa lim() = lim f() eşitliği geçerli olur. a a lim değerini hesaplaalım. 5 + lim = lim + + = 5 +5 = 5 6 = 5 6 olur. 5 5 Aşağıdaki limitleri bulunuz. a) lim b) lim +4 c) lim 4 ç) lim +5 d) lim + e) lim 7 +. değeri 64 saısına aklaşırken ve ifadelerinin hangi saıa aklaştığı nı, hesap makinesi a da bilgisaar ardımıla bulmaa çalışınız. Bulduğunuz değerleri 64 ve 64 değerlerile karşılaştırınız. Benzer işlemler için farklı gerçek saı değerleri seçiniz., seçtiğiniz bu saılardan her birine aklaşırken ve ifadelerinin aklaştığı değerleri bulunuz. =a noktasında limiti olan bir f() fonksionu seçiniz. i ) n tek doğal saı ise 44

55 i i ) n çift doğal saı ve in a a akın tüm değerleri için f() ise n n lim f() = lim f() eşitliğinin doğru olup olmadığını araştırınız. Bulduğunuz a a sonucu önceki çalışmalarınızla ilişkilendiriniz. lim +5+ limit değeri, lim +5+ = lim ( +5+) = 9+5+ = 5 = 5 5. Aşağıdaki limitleri bulunuz. a) lim + b) lim 5 ç) lim d) lim c) lim + + e) lim +. a f() g() Yanda f() ve g() fonksionlarının grafikleri verilmiştir. Bu fonksionlar a da birbirine teğettir. in a nın komşuluğundaki tüm değerleri için g() f() olduğu görülmektedir. Fonksionların görüntü kümeleri arasındaki bu ilişkinin, anı komşuluktaki limit değerleri için de geçerli olup olamaacağını tartışınız. Şimdi de g() h() f() eşitsizliğini sağlaan herhangi bir h() fonksionunu seçerek ukarıdaki grafiği eniden çiziniz. f() ve g() fonksionlarının limitlerinin eşit olduğu noktada, h() fonksionunun limiti için ne sölenebilir? f ve g fonksionları = a noktasında limitleri olan iki fonksion olmak üzere, lim f() = lim g() = L ve in a saısına akın tüm değerleri için a a g() h() f() ise lim h() = L olur. Bu özelliğe "sıkıştırma teoremi" denir. a 6. f() fonksionu, için 5 f() 5 eşitsizliğini sağlıorsa lim f() değerini bulunuz.. { + < ise f:r R, f()=, < ise ise parçalı tanımlı fonksionu verilior. Fonksionun = noktası komşuluğunda kuralını belirtiniz ve limitini hesaplaınız. = noktası komşuluğunda kuralın değiştiğine dikkat ederek varsa limit değerini bulunuz. = noktasında varsa limitini hesaplaınız. Aşağıda f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Yukarıda aptığınız çalışmalarda 45

56 bulduğunuz sonuçları grafikle ilişkilendirmee çalışınız. f() 4 Kuralının değiştiği noktalarda parçalı fonksionun limitinin varlığını ve hangi durumlarda limit olamaacağını tartışınız. 5 < ise f:r R, f()= { + ise fonksionunun = ve = noktalarındaki limitlerini bulalım. = noktasının komşuluğunda fonksionun kuralı değiştiğinden sağdan ve soldan limitine bakalım. lim f ()= lim ( +)= += lim f ()= lim 5= 5 lim f () lim f() olduğundan lim f() oktur. + = noktası komşuluğunda fonksionun kuralı değişmediğinden lim f ()= lim ( +)=. += Parçalı fonksionların kritik noktalarında limit alınırken sağdan ve soldan limitlerine bakılır. 7. ) Aşağıdaki fonksionların belirtilen noktalarda limitlerini araştırınız. { +5 ise a) f:r R, f()= < < ise =, = ve = için ise 5 = ise b) f:r R, f()= { ise = ve = için a+ < ise ) f:r R, f()= { 7 ise fonksionunun = 4. noktasında limitinin olabilmesi için, a gerçek saısı kaç olmalıdır? f:r {} R, +4 fonksionunun = ve = noktalarındaki limitlerini aşağıdaki işlem basamaklarını tamamlaarak bulunuz. lim +4 =...=... lim +4 =...=... Benzer olla f() fonksionunun = noktasındaki limitinin hesaplanıp hesaplanamaacağını araştırınız. f() fonksionu = noktasında tanımlı olmadığından benzer olla bu noktadaki limitinin hesaplanamaacağını fark etmişsinizdir. Ancak bu noktanın komşuluğunda fonksion tanımlıdır. Ölese bu fonksionu parçalı biçimde azıp = noktasındaki limitini hesaplamaa çalışınız. 46

57 f()= fonksionunun = noktasındaki limitini bulalım. f()= fonksionu = noktasında tanımlı değildir, fakat bu noktanın komşuluğunda tanımlıdır. Ölese bu fonksionu parçalı olarak gösterelim. < ise f()= + = > ise f()= =, < ise f()= {, > ise Buradan lim f()= ve lim f()= olur. Ölese = noktasında f() fonksio + nunun limiti oktur. Mutlak değer içeren fonksionların limitleri bulunurken nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız. 8. ) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim b) lim + ç) lim d) lim 4+4 c) lim e) lim lim +, lim ln( ) ve lim cos değerlerini hesaplaabilmek için, Dinamik matematik azılımı ardımıla f()= +, g()= ln( ) ve h()= cos fonksionlarının grafiğini çiziniz. + için f(), g() ve h() fonksionlarının hangi değere aklaştığını grafiklerini gözlemleerek bulunuz. için f(), g() ve h() fonksionlarının hangi değere aklaştığını grafiklerini gözlemleerek bulunuz. Gözlemlerinizi hesap makinesi kullanarak destekleiniz. Yaptığınız çalışmalardan için fonksionların varsa limitlerini bulunuz. lim değerini hesaplaalım. f()= fonksionunun grafiği aşağıdaki gibidir. f() + *,5,7,,9,,45,,6,,,, *,5,577,7,79,8,8,9,895,99,989,999,999 *: Hesaplamalarda virgülden sonraki basamak dikkate alınmıştır. Fonksionun grafiğinden ve tablodan da görüleceği gibi lim 47 = olur.

58 6. f:r {} R tanımlı f()= fonksionunun tanımsız olduğu = noktasındaki limitini bulmaa çalışalım. = noktasında f() fonksionu tanımlı değildir. Ancak = noktasının komşuluğunda tanımlıdır. Tablodan f() in = noktası komşuluğunda aldığı değerleri inceleelim. +,,,,,,,, değişkeni, sıfıra sağdan ve soldan aklaşırken fonksionun aldığı değerlerdeki değişim için ne söleebilirsiniz? Sınırsız olarak büüen değerler artı sonsuz (+ ), sınırsız olarak küçülen değerler ise eksi sonsuz ( ) ile gösterilir. Gerçek saılar kümesine + ve un katılmasıla elde edilen kümee genişletilmiş gerçek saılar kümesi denir. Bu durumda lim ve lim değerlerini bulunuz. + Bulduğunuz sonuçları f()= fonksionunun grafiğini inceleerek de kolaca görebilirsiniz. f()= Grup olarak a saısal değerleri alarak a da grafikten ararlanarak lim ve lim değerlerini hesaplaınız. + Arıca 8. etkinlikte gördüğünüz limit ile ilgili özellikler genişletilmiş gerçek saılar kümesinde de geçerlidir. Buradan, aşağıdaki limitler: lim = lim (. ) = lim 7 = lim ( 7. ) = lim 5 = lim ( 5. ) = lim = olarak hesaplanır. 48

59 Yapılan ve önerilen etkinliklerden aşağıdaki çıkarımlara ulaşılır.. Bir fonksionun sonlu bir noktadaki limiti sonlu olmak zorunda değildir.. Bir fonksionun sonsuzdaki limiti sonsuz olmak zorunda değildir.. lim =, lim + =, lim + 9. ) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. = +, lim = a) lim 4 b) lim c) lim ç) lim + + d) lim e) lim f) lim 4 g) lim + + ğ) lim h) lim 5 ı) lim i) lim j) lim k) lim 8 8 l) lim m)lim ) Aşağıda verilen fonksionların belirtilen noktalarda limitlerinin varlığını araştırınız. a) f()= 6, = b) g()= 7, = c) h()=, = 4 +4 ç) m()= 5 9, = d) n()= 4 ++, = ) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim 4 b) lim c) lim ç) lim ( ) d) lim ( 5 7 ) e) lim ( + ) f) lim ( 7 + ( 5 4 ) ) g) lim ) Aşağıda grafikleri verilen fonksionların belirtilen noktalardaki limitlerini bulunuz. a) f() lim f()=? lim f()=? + lim f()=? lim f()=? + b) 4 f() lim f()=? lim f()=?

60 c) f() lim f()=? lim f()=? + 7. Aşağıda grafikleri verilen fonksionların bazılarının ve + için limitleri verilmiştir. Diğerlerini de siz bulunuz. = = = = 4 lim = + lim =... lim =... lim 4 = lim =... lim = + lim = + lim 4 =... Etkinlikteki gibi kuvvet fonksionlarının + a da limitlerini almaa devam ettiğinizi düşününüz. Bu durumda, ) (+ ).(+ )= + ( ).( )= + (+ ).( )= ) n N + için, lim n = + lim +, n=, 4, 6,... n = {, n=,, 5,... ) n N + n i i n + genellemelerine ulaşılır. olur. olur. n = +, n tek ise = lim 5 ifadesinde kuvvet tek doğal saı olduğundan limitin değeri lim 5 = lim 6 ifadesinde ise kuvvet çift doğal saı olduğundan limitin değeri lim 6 = + Limiti sonsuz olan bir fonksionun sıfırdan farklı bir gerçek saı ile çarpımı biçiminde tanımlanan eni fonksionun anı noktadaki limitini, limitteki çarpım kuralı ardımıla bulabiliriz. Buna göre, lim = olduğundan lim = olur. lim 4 = olduğundan lim 5 4 = olur. lim = olduğundan lim = olur. 5

61 . Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim b) lim 5 c) lim ç) lim d) lim e) lim 4 f) lim g) lim Gerçek saılarda tanımlı f()= 5 + polinom fonksionunun + ve için limitlerini araştıralım. Fonksionun terimlerini parantezine alarak fonksionu eniden, f()= 5 +=. (5 + bağıntısı ile verebiliriz. ( ) ) Önceki etkinliklerde bulunan lim n= ve lim eşitlikleri kullanıldığında + n= + ve için parantezin içindeki,, terimlerinin limitlerinin a aklaştığı kolaca görülür. lim 5 += lim. (5 [ + ) + + ] = lim. lim ( 5 + ) + + = lim. [ lim 5 lim lim + lim ] = 5. lim = lim Benzer şekilde, lim. [ ( 5 + )] = lim 5 eşitliğine ulaşılır. Bu eşitlikler ardımıla f() fonksionunun + ve için limitleri bulunabilir. Sizler de farklı polinom fonksionlar alarak + ve için fonksionun limiti ile en büük dereceli teriminin limitlerini karşılaştırınız. Ulaştığınız sonucu genellemee çalışınız. Genel olarak f()= a n n + a n n a + a, ( ) polinom fonksionu f()= n. (a + a n + a n a n n ) biçiminde azılabileceğinden, lim (a n n + a n n a )= lim n. (a + a n + a n a ) n n ± ± = a lim [ n lim a a n lim n lim ] n ± ± ± ± a n işlemini devam ettirerek bir genellemee ulaşmaa çalışınız. ) a n n + a n n a polinomu için lim (a n n + a n n a ) = lim a n n ± 5 ± ) (+ )+(+ )= + ( )+( )= eşitlikleri elde edilir.

62 . ) Aşağıdaki limitleri hesaplaınız. a) lim ( 5 4) b) lim ( ) c) lim (+) + + ç) lim ( ) d) lim ( 9 +9) e) lim ( 4 +) + ) Bir polinom fonksionun + için limitinin bir gerçek saıa eşit olabilmesi için fonksion nasıl seçilmelidir? ) lim (a + )= + eşitliğini gerçekleen a gerçek saısı hangi aralıkta olabilir? 9. Aşağıda f:r [,], f()= sin fonksionunun grafiği verilior. π π π π π π π f()= sin π Grafikten ararlanarak fonksionun = π 4 noktasındaki limitini araştıralım. Grafikte de görüldüğü gibi π 4 π π f()= sin olarak bulunur. lim sin= sin π 4 = π 4 lim sin= sin π 4 = + π 4 Buradan lim sin = π 4 ve dir. Sizler de grafikten ararlarak =, = π ve = π noktalarında fonksionun limitlerini bulunuz. 6 Şimdi de g:r [,], g()= cos fonksionunun grafiğinden de ararlanarak =, = π ve = π = π noktalarında fonksionun limitlerini bulunuz. 4 π π π π π π π π g()= cos Yaptığınız işlemler sonucunda, a R olmak üzere, lim sin = sina ve a lim cos= cosa genellemesine kolaca ulaşabilirsiniz. a 5

63 Ancak bir fonksionun bir noktadaki limiti ile o noktadaki görüntüsünün her zaman eşit olamaacağına dikkat ediniz. tan= sin, cot= cos eşitliklerinden ve limitin bölme işlemi ile ilgili özelliğinden ararlanarak a R olmak üzere, cos sin lim tan = tana (cosa ) ve a lim cot = cota (sina ) olduğu sölenebilir. a. ) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz a) lim (sin+cos) b) lim (cos+sin) c) lim ( cos+sin cos ) π π π ç) lim sin d) lim e) lim (sin.cos) π π sin π 4 f) lim cos h) lim (sin+cos) +sin g) lim cos ( ) ğ) lim sin ( ) ) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz a) lim b) lim π + cos π cos ç) lim d) lim cos+ sin cos π 4 + π c) lim sin e) lim cos 5 sin ) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz a) lim (tan cot) b) lim tan+ c) lim tan π π +cos π 4 ç) lim tan d) lim cot e) lim tan + π ( ) π 4) lim sin limitinin değerini sıkıştırma teoreminden ararlanarak aşağıdaki gibi bulabilirsiniz. sin sin lim = ve lim = olduğundan lim sin = olur. Sizler de benzer öntemle aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim sin b) lim cos c) lim cos ç) lim sin d) lim sin4+cos π. Aşağıda verilen limit değerlerini hesaplamaa çalışınız. lim, lim , lim 4 4 Bu limit değerlerini hesaplarken karşılaştığınız güçlükleri grup arkadaşlarınızla tartışınız. Limit değerlerini hesaplarken verilen noktalarda pa ve padadaki fonksionların birlikte sıfıra aklaştığını fark ettiniz mi? Eğer bu durum rasonel fonksionun genişletilmiş olmasından kanaklanıor ise gerekli sadeleştirilmeleri aparak limitleri hesaplamaa çalışınız. 5

64 lim 9 limitini hesaplaalım. lim lim 9 ( 9) = = lim ( ) olur. Bu durumda gerekli sadeleştirmeleri aparak limit değerini bulalım. lim 9 = lim ( ).(+) = lim (+)= 6 olur. ( ) Rasonel bir fonksionun seçilen bir gerçek saı için limit değeri hesaplanırken pa ve padadaki fonksionların limitleri anı anda sıfıra aklaşıorsa bu durum belirsizliği olarak adlandırılır.. ) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim + d) lim t +t 5t+ t t+ ğ) lim + 8 b) lim + 5 e) lim 4 h) lim a a a+a c) lim t +8 t+ f) lim sin cos t t 4 π ç) lim g) lim cos sin ) lim 7 +m 7 = ise m değerini bulunuz. f:r {} R, f()= sin fonksionunun = noktasındaki limitini bulalım. lim sin ifadesinde belirsizliği vardır. Ancak bunun kaldırılması için önceki etkinlikte izlediğimiz sadeleştirme aklaşımının kullanılamaacağı da açıktır. O nedenle lim sin limitinin hesaplanmasında izlenecek ollardan biri aşağıdaki gibi seçilebilir. << π olmak üzere, birim çember üzerinde radanlık daire dilimi alalım. (Trigonometrik fonksionların limitleri bulunurken in ölçüsü radan olarak alınır.) O A A B Şekilde AOB üçgeninin alanını veren bağıntı, A =.AO.OB. sin (AOB) =... sin= sin olarak azılır. O A A B A = AOB daire diliminin alanının bağıntısı ise, π.π.r = olur. O A A B C tan BC çembere B noktasında teğet olmak üzere, OBC üçgeninin alanı da, A = OB.BC şeklindedir. =.tan = tan 54

65 Yukarıda hesapladığımız alanları büüklüklerine göre A <A <A şeklinde sıralaabiliriz. Başka bir deişle sin < < tan eşitsizliği azılabilir. sin<<tan eşitsizliğinin her terimi sin ile bölünürse (sin, ) eşitsizliğinin eni şekli, < sin < tan sin < sin < olur. cos alındığına göre, cos < sin < biçiminde de düzenlenebilir. Eşitsizliğin terimlerinin limitlerini aldığımızda lim cos= ve lim = olduğundan, Sıkıştırma teoreminden, lim sin = eşitliği kolalıkla elde edilir. Bu sonucu f()= sin fonksionunun grafiğinden de görmee çalışınız. π π π π f()= sin 4. lim sin limitini bulmaa çalışalım. 5 t= dönüşümü apalım. iken t dır. Buradan, lim sint = lim 5t 5. sint = t 5. lim sint = olur. t t t t 5 Benzer aklaşımla aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim sin b) lim sin( ) c) lim sin 7 sin4 ç) lim d) lim tan tan e) lim sin 5 π.( π) f) lim 9 tan( ) g) lim +sin sin ğ) lim sin tan 5. lim + 5, lim 4, lim 4 + limit değerlerini hesaplamaa çalışınız. Bu limit değerlerini hesaplarken karşılaştığınız güçlükleri grup arkadaşlarınızla tartışınız. Tartışmalarınız sonucunda hem paın hem de padanın sonsuza aklaştığını görmüşsünüzdür. Bu durumda, pa ve padadaki polinomlar en büük dereceli değişken parantezine alınır. Gerekli sadeleştirme ve limit işlemlerini aparak istenilen limit değerlerini hesaplamaa çalışınız. 55

66 lim +5, lim , 56 lim limitlerini hesaplaalım. lim lim +5 +5) = lim ( ) = olur. Bu durumda gerekli işlemleri aparak limit değerini bulalım. ( lim +5 5 = lim ) = ( ) = + diğer fonksionların da pa ve padaları sonsuza aklaştığından benzer düşünce ile aşağıdaki gibi hesaplanır. lim +5 ( = lim ) (+. lim ) 4 = ( 4 7 ) = lim ( 4 7 ) =. lim +5 ( + 5 = lim ) 5 (+ ++ ( + + = lim. lim ) ) ( + + ) =.= Yukarıdaki aklaşımı, bu kez de genel apısıla iki polinom fonksionunun oranından oluşan rasonel fonksionun limitini bulmada kullanabiliriz. Ugulama sonucunda, a lim n n +...+a +a = lim a n n ± b m m +...+b +b ± b m m eşitliğinin elde edileceğini görebiliriz. Bulunan genel bağıntıı kullanarak lim + = lim 5 5 = olduğunu görürüz. Sizler de benzer aklaşımla diğer 5 limitleri bulunuz. Rasonel fonksionların daki limit değerlerinin hesaplanmasında hem pa hem de padasındaki fonksionlar sonsuza aklaşıor ise bu duruma belirsizliği adı ± verilir. Genel olarak n ve m doğal saı olmak üzere,, n < m a n lim ( a n n +...+a +a b m m +...+b +b ) =, n = m ± b m vea +, n > m olduğunu göstermee çalışalım. lim ( a n n +a n n +...+a +a b m m + b m m +...+b +b ) = lim a n n olduğunu bilioruz. ± ± m b m i ) n<m ise m= n+k olacak şekilde bir k Z + vardır. lim a n n b m = lim a n n ± m ± b n+k n+k = lim ± = a n lim b ± n+k k = a n. b m = bulunur. a n b n+k. n n. k

67 i i ) n= m ise lim a n n b m = lim m ± ± a n n b n n = a n b n = a n b m bulunur. i i i ) n>m ise m= n k olacak şekilde bir k Z vardır. lim a n n b m = lim a n n m ± b n k n k ± = a n. lim b n k = a n b m ±. lim k ± n n. k + vea = + vea bulunur. Bu genellemeden hareketle aşağıdaki limitleri hesaplaalım. lim = lim = 4 7 lim +5 = lim + = lim = lim 6 = 4 5. ) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim 4+5 b) lim 7 6+ c) lim + + ç) lim d) lim e) lim ) lim + a = 8 ise a değerini bulunuz. ) lim (m ) = ise m değerini bulunuz. 4) lim (a ) ğine göre a+b değerini bulunuz. = b ifadesinde b nin bir gerçek saı olduğu bilindi- 5) π π π f()= π g()=sin [,] nı ve grafiğini kullanarak lim sin limitini saısal olarak bulmaa çalışınız. 57

68 6) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim b) lim 5 c) lim ç) lim 5 d) lim 4 e) lim + f) lim e) lim g) lim ) Örnek çözümlerden ararlanarak aşağıdaki limitleri hesaplaınız.. Örnek lim +4 = lim +. ( + 4 ). ( + ) = lim ( + ). Örnek lim = lim + +4 = lim ( + ). ( + 4 ). ( + ) = lim + = lim ( + ) ( + ) = = lim ( + ) = lim ( + ) = a) lim + c) lim b) lim + ç) lim lim ( 4 4 ) ve lim ( +5 ) limitlerini hesaplamaa çalışınız. + + Limiti bulmada karşılaştığınız güçlükleri grup arkadaşlarınızla tartışınız. Yukarıdaki limitleri hesaplarken limitleri sonsuz olan iki fonksionun farkı ile karşılaştığınızı umuoruz. Bu apının önceki karşılaştığınız apılardan farklı olduğunu görmüşsünüzdür. Bu limitleri, pada eşitleerek a da eşlenik ile genişleterek, belirsizliklerinden birine dönüştürüp hesaplamaa çalışınız. 58

69 lim + lim ( + + ) limiti lim ( ) = ve = olduğundan apısına dönüşür. Bu güçlüğü aşmak için pada e- şitleerek bu limit, lim ( + + = lim ) ( ) () = belirsizliğine dönüştürülür. Buradan lim ( + ) = lim + (+)( ) = lim = bulunur lim ( 4 + ) limitini hesaplaalım. Bu limit apısında olduğundan, ifadei eşleniğile genişleterek bu apıdan kurtulabiliriz. lim ( 4 + ) = lim ( 4 + ).( 4 ++) ( 4 ++) = lim = lim 4 ++ ( belirsizliği) (. + 4 = lim = lim = +) 4 Etkinlikte ele aldığımız bu apıa belirsizliği denilmektedir. Bu tür belirsizlikler genellikle pada eşitleerek a da eşlenikle genişletilerek giderilebilir. 6. ) Aşağıda tanımlanan limitleri hesaplaınız. a) lim ( +4 ) b) lim ( +5 ) c) lim ( +9 ) ç) lim ( ++) d) lim ( ) e) lim ( + ) f) lim (cot cosec) g) lim (cot cosec) ğ) lim (cot cosec) + h) lim ( ) + ) lim ( ) = lim lim = = Yukarıdaki işlemi inceleiniz. Sizce nerede hata apılmıştır? 59

70 lim ( ) + = olduğunu gösteriniz. a +b+c ifadesini, geçmiş ıllardaki bilgilerinizi hatırlaarak a +b+c = a. ( + b + 4ac b a) eşitliği biçiminde azabilirsiniz. 4a Her iki anın limiti alınarak lim a +b+c = lim a. ( ( + b ± ± + 4ac b a) 4a ) eşitliğine ulaşılır. Bu eşitlikte + b a = u ve 4ac b 4a = k dönüşümü apıldığında ± i i n u ± ve lim a +b+c = lim a. u +k olur. ± ± = a. lim u ± u. (+ k u ) = a. = a. lim u lim u ± u. lim u ± ( + k u ) ± = a. lim u ± lim a +b+c = a. lim. + b ± ± a eşitliğine ulaşılır. Örnek olarak alacağınız, lim ( ) farkının limiti bizi belirsizliğine götürmektedir. Bu belirsizlik eşlenikle çarpılarak giderilebildiği gibi ukarıda elde edilen eşitlik kullanılarak [ lim ] 8 [ lim. + 4 ). ] 8 lim [ ] = 7 4 biçiminde de bulunabilir. 6

71 7. a> olmak üzere, lim a +b+c = lim ( a. + b a ) ± ± formülünü kullanarak aşağıdaki limitleri hesaplaınız. a) lim ( 6 7+) b) lim ( ) + c) lim ( +6+5 ) ç) lim ( ++7+ ) + d) lim ( 4 ++ ) e) lim ( ++ +6) + +. İki fonksionun çarpımının limiti, limitlerinin çarpımına eşittir. Bu kuraldan fadalanarak, lim (.cot), lim (.sin ), lim [( π ) ]. tan limitlerini hesaplamaa çalışınız. + π Karşılaştığınız güçlükleri arkadaşlarınızla tartışınız. belirsizliklerine dönüştürerek aşmaa çalışınız. Bu güçlükleri, limitleri a da lim (.sin ) = lim. lim sin lim = ve lim sin = olduğundan lim (.sin ) = lim sin ( belirsizliği ) lim sin.. = lim 6. lim sin = 6. = 6 olur. Yukarıda da görüldüğü gibi çarpım biçimindeki fonksionlardan birinin limitinin sıfıra, diğerinin de sonsuza aklaşması durumunda ortaa çıkan apıa. belirsizliği denir. Bu tür belirsizlikler genellikle a da belirsizliklerine dönüştürülerek hesaplanır. 8. Gerektiğinde. etkinlikte er alan ol göstermelerden de ararlanarak aşağıdaki limitleri hesaplaınız. a) lim (.sin 4 ) b) lim [(π ). tan] + π + c) lim [( tan). sec] ç) lim [ tan(π). tan ( π π 4 d) lim + [. ( +cos )] e) lim (. sin π ) )] 6

72 4. Ali, sırıkla üksek atlama şampionasına hazırlanmaktadır. Günlük antrenmanlarını apmakta ve kendini sürekli geliştirmektedir. Bu sporcunun atlaabildiği ükseklik deneme saısını göstermek üzere h()= fonksionu ile ifade edilior. (deneme saısı) h() (ükseklik-m) Yanda belirtilen deneme saıları i in bu sporcunun atlaabildiği üksekliği hesaplaınız. Daha büük deneme saıları seçerek sporcunun atlaabildiği üksekliği hesaplaınız. Bu sporcu en çok kaç metre ükseğe atlaabilir? Tartışınız. lim h() değerini hesaplaarak sporcunun rekoru ile karşılaştırınız. Bu fonksionun tanım ve görüntü kümelerini azınız. Bu fonksionun tanım ve görüntü kümesini göz önünde bulundurarak bir dizi belirtip belirtmediğini tartışınız. Bir dizinin genel teriminin aklaştığı değerin, fonksionun limitinden ararlanarak bulunup bulunamaacağını tartışınız. Genel terimi a n = n n+ olan (a ) dizisinin aklaştığı değeri aşağıdaki tablou n doldurarak bulalım. Bu değeri, f(n)= n fonksionunun n için limiti ile karşılaştıralım. n+ n a n,5,5 4,4,77.97.,997..,999 Tabloda görüldüğü gibi n saısı büüdükçe a n ifadesinin değeri saısına aklaşmaktadır. Niels Henrik Abel (Niils Henrik Abel) (8 89) Derecesi beşten büük polinom denklemler için genel bir çözüm verilemeeceğini kanıtlamıştır. Norveçli bilim adamının integral hesaplamalarına büük katkısı olmuştur. 6

73 eşittir. f(n) fonksionunun limiti, lim f(n)= lim n n n n+ = olur. Görüldüğü gibi a n ifadesinin aklaştığı değer ile n için fonksionunun limiti. Bir (a n ) dizisinde n i i n a n bir a saısına aklaşıorsa (a n ) dizisinin limiti a dır ve lim a n = a biçiminde gösterilir. n. f(), [, ) aralığında tanımlı bir fonksion ve (a n ), genel terimi a n = f(n) olan bir dizi olsun. lim f() mevcutsa lim a n = lim f() olur. n Genel terimi a n = n+ n+ olan (a ) dizisinin limitini bulalım. n lim a n = lim n+ n. ( + n+ = lim n ) n n n n ( + n ) = olur. ( belirsizliği ) Genel terimi a n = ( 5n).sin n olan (a ) dizisinin limitini bulalım. n lim a n = lim [ ( 5n).sin n n n ] = lim (.sin n 5n.sin n ) = lim.sin n lim 5n.sin n n n n =.lim sin n 5.lim.sin n n n. n =. 5. sin. lim n n n (. belirsizliği) = 5.= 5 ( n ise n ) Genel terimi a n = n+ n 5n+ olan (a ) dizisinin limitini bulalım. Burada paın derecesi padanın derecesinden küçük olduğundan n lim a n = lim n+ n 5n+ = olur. n n Genel terimi a n = n + n n 7 olan (a ) dizisinin limitini bulalım. n Paın derecesi padanın derecesinden büük olduğundan lim a n = lim n + = olur. n n n n 7 cm arıçaplı dairenin içine her birinin arıçapı bir öncekinin arıçapının 4 ü olacak şekilde daireler çizilior. Oluşan dairelerin arıçapları toplamını bulalım.. dairenin arıçapı: cm. dairenin arıçapı:. 4 cm. dairenin arıçapı:. ( cm 4 ) n. dairenin arıçapı:. ( n cm 4 ) 6

74 İlk n dairenin arıçapları toplamı bir geometrik dizinin ilk n terimi olduğundan bu toplam; Σ n. k= ( k = 4 ) k=( Σ n k =. 4 ) ( ( 4 )+ ( ) ( n 4 ) ) = ( n 4 ) = 4. ( ( cm olur. 4 ) n) 4 Buradan tüm dairelerin arıçapları toplamı n için; lim 4. ( ( n 4 ) ) = 4.( )= 4 cm dir. n ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER Yusuf, ailesini de anına alarak özel arabasıla İzmir den Sivas a doğru ola çıkıor. km ol aldıktan sonra dinlenmek için mola verior. Üniversite sınavına hazırlanan oğlu Çağan, Yusuf a: Babacığım biz bir sonraki molamızı bir önceki aldığımız olun (son mola arasındaki ol) / ü kadar ol gittikten sonra verir ve bu şekilde devam edersek 7 km uzaklıktaki Sivas a ulaşabilir miiz?" die sorar. 5. ) Aşağıdaki şekli inceleiniz. /6 /8 /56 /64 /8 / / /4 Yandaki şekil kenarı birim olan karedir. Birinci adımda şeklin arısı, ikinci adımda kalan kısmın arısı, üçüncü adımda kalan kısmın da arısı farklı renklerde boanıor. Bu işlem sürekli tekrarlanıor. Kapalı bölge içinde azılı olan saılar o bölgenin alanını ifade edior mu? Elde edilen alanları ifade eden saıların bir dizi oluşturup oluşturmadığını tartışınız. Dizi oluşturuor ise bu dizinin genel terimini azınız. Bu dizinin terimleri toplamının bir gerçek saıa aklaşıp aklaşmadığını tartışınız.... Yukarıda eni birim olan şeridin bir kısmı görülmektedir. Bu şerit anı renk an ana gelmemek şartıla aşağıdaki kurala göre kırmızı ve beaz renge boanmaktadır. Her seferinde bir önceki boanan kısmın katı kadar er boanacaktır. İlk olarak br lik alan kırmızıa boanmaktadır. İlk 5 adım için boanan kısımların alanlarını hesaplaarak azınız. Boanan alanları ifade eden saıların bir dizi belirtip belirtmediğini tartışınız. Dizi belirtior ise bu dizinin genel terimini azınız. Bu dizinin terimleri toplamının bir gerçek saıa aklaşıp aklaşmadığını tartışınız. 64

75 ) = + A C B E D G F H T = Yukarıdaki koordinat düzleminde = ve = + doğrularının grafiği verilmiştir. Bu iki doğrunun kesiştiği T noktasının koordinatını bulunuz. A noktasının koordinatını bularak AB, CD ve EF uzunluklarını hesaplaınız. Oluşan dizi ardımıla GH uzunluğunu bulunuz. AB + CD + EF + GH +... toplamını T noktasının koordinatı ile ilişkilendiriniz. Aşağıdaki koordinat düzleminde = ve = + doğrularının grafiği verilmiştir. AB + CD + EF + GH +... toplamını bulalım. = + A α C B E D G F H T α K = = + doğrusunda = için = olduğundan AO= br dir. = doğrusunda = için = olduğundan AB= br dir. = + doğrusunda = için =.+ olduğundan BC= br dir. = doğrusunda = + için, = + olduğundan CD= br dir. = + doğrusunda = + için, =. ( + ) += + ED = br dir. Oluşan örüntü dikkate alındığında = doğrusunda = + + için, = + + olduğundan EF = br olur. + olduğundan AB + CD + EF + GH +...= olur.bu toplam OK uzunluğuna eşittir. 65

76 = ve = + denklemlerinin ortak çözümünden T noktasının koordinatı T(6,6) olur. Buradan OK = 6 br dir. Ölese, =6 br dir. a, r R ve r < ise Σ a.r n sonsuz geometrik dizi toplamı bir gerçek saıa n= aklaşır.yaklaştığı bu gerçek saı Σ a.r n = a+a.r+a.r +a.r +...= a şeklinde ifade edilir. r n= r ise Σ a.r n sonsuz geometrik dizi toplamı bir gerçek saıa aklaşmaz. n= (,, 5 45, 8 5,..., ( n,... 5) ) geometrik dizisinin terimleri toplamını bulalım. r= ve r< olduğundan toplam gerçek bir saıa aklaşır. Bu değer; = ( + 5) ( +...= 5) = 5 olur. 5 ) ) Σ 5. n= ( Σ 5. n= ( n n geometrik dizi toplamının varsa aklaştığı değeri bulalım. geometrik dizi toplamında r= saıa aklaşır. Bu değer; n = 5. ( +5. ( +5. ( ) Σ 5. n= ( ) ) ) ve r < olduğundan gerçek bir +...= 5 = 5 = 5 olur. Σ n geometrik dizi toplamının varsa aklaştığı değeri bulalım. n= Σ n geometrik dizi toplamında r= ve r olduğundan bu toplam gerçek n= bir saıa aklaşmaz. Σ n = = n= (,, 4, 8,..., ( n,... ) ) geometrik dizisinin terimleri toplamını bulalım. r= ve r < olduğundan toplam gerçek bir saıa aklaşır. Bu değer; + ( ) ( 8) +...= ( ) = olur. 9. ) Aşağıda verilen dizilerin limitini bulunuz. a) ( n 5 +n ) b) (( c) 7 ) n) ( n ç) n +) ( n 5 n +n ) d) ( 4 n +5 n e) 6 n + ) ( n+ + f) n n +n ) ( n.sin g) n ) ( (5n ).tan n ) 66

77 ğ) ( sinn h) ( n n n ) ) ı) ( 5. n+ ) i) ( ) ) (+n ) Genel terimi a n = (n ) n + olan dizinin limitini bulunuz. ) lim n n n değerini bulunuz. saıa aklaşır? a) (( ) d) (( e π ) 4) Aşağıdaki geometrik dizilerden hangilerinin terimleri toplamı bir gerçek b) n) (( n 9 c) 5 ) ) (( ç) 5 ) n) (( n π ) ) e) (5 n) n ) f) ( n ) g) (5 n ) h) (( ) n ) n) b) Σ 5) Aşağıda verilen ifadeleri hesaplaınız.. a) ( ( 5) n=( n ) c) n=( Σ ) ç) n=( Σ n+ d) 7 ) n=( Σ n 5 ) e) n=( Σ 5 ) f) Σ. n= ( n ) g) Σ.5 n+ ğ) Σ n= n n+ 7. n+ n= 6) Bir top 6 metre ükseklikten bırakılıor. Yere değdikten sonra her defasında bir önceki üksekliğin ü kadar ükselior. Top duruncaa kadar topun aldığı olun kaç metre olduğunu bulunuz. 7) Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirerek eni bir üçgen elde edilior. Bu işlem sonsuza kadar devam ettirildiğinde elde edilen eşkenar üçgenlerin alanları toplamını hesaplaınız. 8) İsviçreli büük matematikçi Leonhard Euler (Leonhard Oler) sonsuz toplamlarla ilgili çalışmalar aparken zaman zaman hatalara düşüordu = ifadesinde erine ve azıldığında; = için = = için = eşitliklerini buluor. Sizce Euler in aptığı hata nerede? Leonhard Euler 9),, 4, 8,... geometrik dizisinin terimleri toplamı 5 ise gerçek saısını bulunuz. ),= 9 = olduğunu biliorsunuz. Ölese;,=,...=,+,+,+,+... = ( 4+...= + + ( ) + ( +... ) ) ifadesinin sonucunu tahmin ediniz. 67

78 SÜREKLİLİK ABD nin Minneapolis kentinde bir köprü, trafiğin en oğun olduğu saatte çöktü (.8.7). Ortaa çıkan zararın dışında, trafik akışı da kesintie uğramıştır. Siz de günlük haattan devamlılığı olan a da kesintie uğraan örnekler veriniz. 6. Aşağıda verilen fonksion grafiklerini inceleiniz. c c c c c Bu fonksionların grafiklerini bir düzleme, bir noktadan bir daha geçmemek ve kalemi kaldırmamak üzere çizmek istioruz. Sizce bu şartlarda grafiğini çizebileceğimiz bir fonksion var mı? Hangi noktalarda kalemi kaldırıorsunuz? Koordinat düzleminde kaleminizi kaldırmadan çizebildiğiniz eğriler sürekli eğrilerdir. Şimdi de sürekliliğin anlamını matematik dili ile oluşturmaa çalışalım. 4 f() 4 5 Bunun için önce verilen f() fonksionunun grafiğini inceleiniz. Bu fonksionun sürekli olmadığı noktaları sölemee çalışınız. Fonksionun 4,, ve 5 apsisli noktalarda limitleri varsa bulunuz. Bulduğunuz limitleri tartışınız ve farklı olan noktaı bulmaa çalışınız. 68

79 Sürekli olmadığını düşündüğünüz noktalarda fonksionun limiti ve görüntüsü arasında nasıl bir ilişki buldunuz? Grup olarak şunları tartışınız ve sonuçlandırınız. a) f() fonksionu = de tanımlı mıdır? b) f() fonksionunun = de limiti var mıdır? c) f() fonksionunun = deki görüntüsü ile limiti anı mıdır, farklı mıdır? ç) = de fonksion sürekli midir? Sizce = noktasıla anı özelliği sağlaan başka noktalar var mıdır? Örnekleiniz. { < ise f:r R, f()= <4 ise 4 ise fonksionunun =, = 4 ve = 8 noktalarındaki sürekliliğini inceleelim. lim lim + f()=.( )= f()= = ve f( )= = lim f()= f( )= olduğundan fonksion = noktasında süreklidir. lim f()= 4 = ve lim f()= 4 = lim 4 f() lim f() olduğundan lim f() oktur. lim 8 Fonksion = 4 noktasında sürekli değildir. = 8 kritik nokta olmadığından, f()= 64 ve f(8)= 64 olur. lim 8 f()= f(8) olduğundan fonksion =8 noktasında süreklidir. lim a Genel olarak A R, a A olmak üzere, f:a R tanımlanan f() fonksionunda, f()= f(a) ise f fonksionu = a noktasında süreklidir denir.. ) Yukarıda verilen f() fonksionunun grafiğini inceleerek aşağıdaki tablou örneğe ugun biçimde doldurunuz. lim f() lim f() lim f() f( + ) f nin noktasındaki sürekliliği Tanımsız Süreksiz 4 5 Sürekli

80 { +4 < ise ) f:r R, f()= < ise ise fonksionunun,, ve apsisli noktalarındaki sürekli olup olmadığını araştırınız. { a <4 ise ) f:r R, f()= =4 ise +b >4 ise fonksionu = 4 noktasında sürekli ise a ve b değerlerini bulunuz. 7. f :(, ) R, f ()= fonksionunun grafiği aşağıda verilmiştir. f () f () fonksionu = ve = noktalarında tanımlıdır. Buna göre f ( ) ve f () değerlerini bulunuz. lim f () ve lim f () değerlerini hesaplaınız. Yaptığınız çalışmalardan fonksionun bu noktalarda sürekli olup olmadığını tartışınız. (, ) nda seçilecek her değeri için fonksionun sürekli olduğunu söleebilir misiniz? Bir fonksion (a, b) ndan alınan tüm değerler için sürekli ise bu fonksion (a, b) nda süreklidir denir. f () Benzer bir aklaşımla ukarıdaki grafikten de ararlanarak f : [, ] R, f ()= fonksionunun [, ] ndaki sürekliliğini inceleelim. Yukarıdaki çalışmalarımızdan fonksionun (, ) nda sürekli olduğunu biliorsunuz. O hâlde aralığın sınır değerleri olan ve noktalarındaki sürekliliği incelemek eterlidir. Fonksion = noktasının sadece sağında tanımlı olduğundan, lim f () ile f () değerini, = noktasının sadece solunda tanımlı olduğundan + lim f () ile f () değerini karşılaştırınız. Bu uç noktalarda fonksionun limitinden söz edebilir misiniz? 7

81 Bir f fonksionunun [a, b] nda sürekli olması için; ) f, (a, b) nda sürekli olması, ) lim f()= f(a) olması, a + ) lim f()= f(b) olması şartlarını sağlaması gerekir. b Buna göre f () fonksionunun [, ] nda sürekli olup olmadığını söleiniz. Şimdi de aşağıda grafiği verilen fonksionun sürekli olduğu aralıkları tartışalım Bu fonksion ( 5, 4) nda sürekli midir? Nedenlerile tartışınız. ( 5, ) için fonksionun sürekliliğini tartışınız. Çalışmanızı sürdürerek fonksionun sürekli olduğu başka alt aralıklar azınız. Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini inceleelim. f () f () f () f :R R f ()= f :R R + f ()= f :R + R f ()= log π π π π f 4 () π π π f 5 () π 5π denir. f 4 :R [,] f 4 ()= sin f 5 :R [,] f 5 ()= cos Verilen fonksionlar tanım kümelerinin her bir noktası için süreklidir. Tanım kümesinin her noktasında sürekli olan bir fonksiona "sürekli fonksion". ) Aşağıda grafikleri verilen fonksionların sürekli olup olmadıklarını belirtiniz. Tanım kümesinde sürekli olmaan fonksionların sürekli oldukları aralıkları azınız. f f 4 5 f 7

82 f 4 f 6 f 5 ) Aşağıdaki fonksionlardan hangileri süreklidir? Sürekli olmaan fonksionların süreksiz olduğu noktaları bulunuz. a) f :R R, f ()= 4+5 b) f :(, ) R, f ()= log ( ) c) f :R R, f ()= + + < ise ç) f 4 :R R, f 4 ()= { ise d) f 5 :R R, f 5 ()= +5 { m < ise ) f:r R, f() n <4 ise m+ 4 ise fonksionu sürekli bir fonksion olduğuna göre m ve n değerleri kaçtır? 4) Seçeceğiniz polinom fonksionların sürekliliklerini tartışınız. Bir genellemee ulaştığınızda genellemenizi azınız. 8. Gerçek saılarda tanımlı f()= + ve g()= fonksionları verilior. Bu fonksionların, ve apsisli noktalarda sürekli olduğunu biliorsunuz. Bu ön bilgilerinizi de kullanarak (f+g)(), (f g)(), (f.g)(), (f:g)() fonksionlarını bulunuz. f+g, f g, f.g, f:g fonksionlarının ukarıda verilen noktalar için sürekli olup olmadığını araştırınız. Süreksiz oldukları noktalar var ise nedenini tartışınız. Alınan iki sürekli fonksionun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünden elde edilen fonksionlardan her birinin sürekliliği için ne sölenebilir? Gerçek saılarda sürekli olan h()= sin ve k()= cos fonksionlarının toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü ile elde edilen fonksionların sürekliliğini araştıralım. T()= h()+k()= sin+cos fonksionu R için, (sin+cos)= lim sin+ lim cos= sina+cosa= h(a)+k(a)= T(a) lim a a a olduğundan gerçek saılarda süreklidir. Yukarıdaki öntemle h k ve h.k fonksionlarının da gerçek saılarda sürekli olduğu kolaca görülebilir. Ancak B()= h():k()= sin fonksionu cos= şartını sağlaan değerleri cos için tanımsız olduğundan bu noktalarda sürekli değildir. Yapmış olduğumuz çalışmalardan aşağıdaki genellemelere ulaşırız.. f ve g fonksionlarının = c noktasında sürekli olması durumunda, f+g, f g ve f.g fonksionları da = c noktasında süreklidir.. Buna karşılık, f:g fonksionu = c noktasında g(c) ise sürekli, g(c)= ise süreksizdir. 7

83 . ) A R tanımlanan aşağıdaki fonksionların sürekliliğini araştırınız. Varsa süreksiz oldukları noktaları bulunuz. a) f ()= b) f ()= 5 c) f ()= cot ç) f 4 ()= cos sin+ + sin cos d) f 5 ()= sec e) f 6 = {, < ise { f) f 9, ise 7 ()= 4 < ise ise ) f()= + ++m fonksionu R de sürekli ise m hangi aralıkta değerler alır? ) Aşağıdaki fonksionların sürekli olduğu aralıkları belirtiniz. a) f ()= b) f ()= log (4 ) c) f ()= ç) f 4 ()=.sin 9. Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini inceleiniz. f ()= 4 f ()=cos f ()=log 4 f 4 ()= 4 f 5 ()= f 6 ()=+ Bu fonksionların arı arı görüntü kümelerini azınız. Hangi fonksionların görüntü kümesinin tüm elemanları bir gerçek saıdan daima küçük a da ona eşit olarak alınabilir? Belirtiniz. Görüntü kümesinin tüm elemanları bir gerçek saıdan daima büük a da ona eşit olan fonksionlar varsa belirtiniz. Verilen fonksionlardan f ()= cos ve f ()= log fonksionlarını ele alalım. f fonksionunun görüntü kümesinin elemanları [,] aralığındadır. f fonksionunun görüntü kümesinin tüm elemanları belli bir gerçek saıdan büük a da küçük değildir. 7

84 . A R, f:a R olmak üzere, A için, m f() M olacak biçiminde m ve M gerçek saıları varsa f fonksionu sınırlı fonksion adını alır. Aksi konumda fonksion sınırsız olur. Buna göre f fonksionu sınırlı, f fonksionu sınırsız fonksiondur. Sizler de diğer fonksionların sınırlı olup olmadığını belirtiniz. f a b c d f f fonksionu [a, b] nda sürekli midir? f fonksionu [c, d] nda sürekli midir? Grafiklerden ararlanarak verilen fonksionların sınırlı olup olmadığını tartışınız. Bu fonksionlar, verilen aralıkta en büük değer arasındaki her bir değeri en az bir kez aldığı sölenebilir mi? f: [ e ], e R, f()= ln fonksionunu inceleelim. a [ e ], e i i n lim a Bu üzden bu aralıkta sınırlıdır. Fonksionun grafiğini çizelim. f()= f(a) olduğundan fonksion tanım aralığında süreklidir. e Grafikte görüldüğü gibi, fonksionun ve en küçük değeri ve büük değeri de dir. Bu fonksionun görüntü kümesi [, ] dir. Fonksion [, ] nda her değeri en az bir kez alır. Sizler de kapalı bir aralıkta, farklı sürekli fonksion grafikleri çizerek ukarıdaki sorulara cevaplar aramaa çalışınız. Tartışmalarınız sonucunda aşağıdaki çıkarımlara ulaşmışsınızdır. i) Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksion bu aralıkta sınırlıdır. ii) Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksionun bu aralıktaki en küçük ve en büük değeri vardır. iii) Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksion, bu aralıktaki en küçük ve en büük değer arasındaki her bir değeri en az bir kere alır. 74

85 . A a B b A a b B a A B b a A b B Yukarıda dört koordinat düzlemi verilmiştir ve her birinde A ve B noktaları tanımlanmıştır. Sizlerden grafiği A noktasından başlaıp B noktasında sona eren [a,b] nda tanımlı sürekli fonksionları çizmeniz istenmektedir. Ancak fonksion grafiklerini çizerken eksenini kesmemeniz şart koşulmaktadır. Sizce her düzlemde istenen fonksionu çizmek mümkün müdür? Hangi durumda çizilemediğini gerekçelerile tartışınız. Fonksionların a ve b deki görüntüleri ters işaretli olduğunda çizilen grafiğin eksenini en az bir noktada keseceğini görebildiniz mi? f:[, ] R, f()= + fonksionunu alalım. Bu fonksion tanım aralığında süreklidir. f( )= 8+= 7, f()= 8+= 9 ve f( ).f()= 6< olduğundan, bu aralıkta f( )= şartını sağlaan en az bir değeri vardır. Bu durumda, [a, b] nda sürekli bir f fonksionu için f(a).f(b)< ise f( )= olacak şekilde en az bir (a, b) vardır, denir.. ) Aşağıdaki fonksionlar sınırlı mıdır? Sınırlı ise fonksionun en büük ve en küçük değerlerini bulunuz. a) f :R R, f ()= sin+ b) f :[, ], f ()= + c) f :[, ], f ()= 9 ç) f 4 : ( π, π ) R, f ()= tan 4 d) f 5 :R R +, f 5 ()= + e) f 6 :R R, f 6 ()= ) + 5= denkleminin (, ) nda bir kökünün olduğunu gösteriniz. ) Aşağıda verilen önermelerin doğruluğunu önlerinde bulunan kutucukta belirtiniz. Kapalı bir aralıkta sınırlı her fonksion süreklidir. Sürekli her fonksion sınırlıdır. Kapalı bir aralıkta sürekli her fonksion sınırlıdır. [a, b] nda sürekli bir fonksionda f(a).f(b)> ise fonksion eksenini kesmez. Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksionun bu aralıkta en büük ve en küçük değeri vardır. Kapalı bir aralıkta sürekli her fonksion örtendir. 4) f:[, 4] R, f()= a +4 sürekli fonksionunda a hangi aralıktan seçilirse (, 4) nda f()= denkleminin bir kökü vardır? 75

86 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME ) Yandaki şekilde grafiği verilen f() fonksionunun,,, apsisli noktaları için var olan limitlerin toplamı kaçtır? ) lim + lim 5 toplamının sonucunu bulunuz. 4 ) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim ( +) b) lim ( ).(+) c) lim (5 +e ) ç) lim 9 log 7 4) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim ç) lim +4 b) lim c) lim d) lim 7 e) lim ) lim c = lim c eşitliğini sağlaan c gerçek saısını bulunuz. 6) Yanda grafiği verilen = f() fonksionu için aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. =f() a) lim f() ç) lim f() b) lim f() d) lim f() c) lim f() 6 e) lim f() + { + < ise 7) f:r R, f()= ise + > ise biçiminde verilen = f() fonksionu için aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim 4 f() b) lim f() c) lim f() ç) lim f() d) lim f() 76

87 8) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim b) lim + c) lim 9) I) lim + = ç) lim ( + ) II) lim = III) lim + = IV) lim ( ++ ) = Yukarıdaki limit değerlerinden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz. ) f() Yanda grafiği verilen = f() fonksionunun grafiği için aşağıdaki limitleri hesaplaınız. a) lim f() b) lim f() ) f() Yanda grafiği verilen = f() fonksi- onu için aşağıdaki limit değerleri varsa bulunuz. a) lim f() b) lim f() c) lim f() ç) lim f() d) lim f() ) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim 4 + b) lim c) lim + + ç) lim 5 5 ) Yandaki şekilde verilen = f() fonksi- onunun grafiğine göre aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. f() a) lim + f() b) lim f() 77

88 4) Yanda grafiği verilen = f() için aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. f() a) lim + f() b) lim f() c) lim f() + ç) lim f() d) lim f() 5) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim + ( +5) ç) lim + ( +5 ) b) lim (5 + +) d) lim (5 +) 6) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim (cos ) b) lim (tan cot) π π ç) lim π sin+ cos d) lim + sin 7) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim 4+ 6 c) lim c) lim ( +) e) lim ( 5 ) c) lim π sin cos4 e) lim cos b) lim a ç) lim a+ a sin cos 8) lim +a = b ise (a, b R) a+b toplamını bulunuz. 9) lim ) lim θ cos (sinθ) θ.cosθ değerini hesaplaınız. değerini hesaplaınız. ) Aşağıda verilen limit değerlerini hesaplaınız. a) lim + ( ) c) lim 5 + ( 6 ) b) lim ( 9 4 ) ç) lim (+) 5 (+) ) lim + m 6 = ise m kaçtır? m + 78

89 ) =f() Şekildeki grafik = f() fonksionuna aittir. lim f () değerini bulunuz. + f() 4) lim + a +b+ + =5 ise a+b kaçtır? 5) lim n değerini hesaplaınız. n + n n 6) lim + limitini hesaplaınız ) Aşağıdaki limitleri hesaplaınız. a) lim (+ 6+) c) lim 4 ( 4 ) 8) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplaınız. a) lim sin tan7 ç) lim +sin sin b) lim t d) lim π 4 (.sin t c) lim t ) ( π ( π 4).tan b) lim ( ) π ). cos 9) Aşağıda verilen R R tanımlı f ve g fonksionları R için sürekli ise m ve kaç olmalıdır? +m < ise a) f()= { 4 ise b) g()= { +n ise n > ise { ) f:r R tanımlı, f()= + ise m+ = ise fonksionunun = de sürekli olması için m nin değerinin ne olacağını bulunuz. ) f:r R tanımlı, f()= + fonksionunun sürekli bir fonksion olması için m nin +m değişim aralığının ne olabileceğini bulunuz. ) Grafiği verilen = f() fonksionunun [, 5] nda hangi tam saı değerleri için =f() sürekli ve hangi tam saı değerleri için süreksiz olduğunu 4 5 bulunuz. 79

90 ) Aşağıdaki fonksionlardan hangilerinin sınırlı olup olmadığını bulunuz. Sınırlı olanların alacağı en büük ve en küçük değerleri hesaplaınız. a) f:r R, f()= cos b) g:[, ] R, g()= c) h: [ π ], π {} R, h()= cot ç) k:r R, k()= 4) 4 += denkleminin aşağıda verilen aralıklarda hangilerinde bir reel kökünün olabileceğini belirtiniz. a) (, ) b) (, ) c) (, ) ç) (, 4) 5) f() fonksionu, için 5 f() 5 eşitsizliğini sağlıorsa lim değerini bulunuz. f() 6) lim f()= L olarak verilior. + a) f() tek ise lim f() değerini bulunuz. b) f() çift ise lim f() değerini bulunuz. 7) lim f()= A ve lim f()= B olsun. + a) lim + f( ) c) lim f( 4 ) b) lim f( ) ç) lim + f( 4 ) değerlerini hesaplaınız. 8) Herhangi bir sembol kullanmadan limit kurallarının açıklandığı bir liste oluşturunuz. 9) Bir fonksionun bir noktada limitinin varlığının ne anlama geldiğini sembol kullanmadan açıklaınız. 4) Bir rasonel fonksionun padasını sıfır apan bir değer için limitinin bir gerçek saıa eşit olması nasıl mümkün olabilir? 4) Bir fonksionun bir noktada süreksiz olması ne anlama gelir? Gerçek haattan süreksiz bir fonksion örneği verebilir misiniz? 4) Bir işletmenin öneticileri, ılı göstermek üzere ton cinsinden üretimi veren bağıntıı, D()= biçiminde modelliorlar. Buna göre uzun ıllar sonra aklaşık olarak +4 a) Bu fabrikanın üretimi en fazla kaç olabilir? b) Bu fabrika üretimini en fazla ne kadar artırabilir? 8

91 . B L M ALT ÖĞRENME ALANLARI TŸ rev TŸ revin Ugulamaları 8

92 TÜREV Güzel bir havada Güneş in batışına bağlı olarak havanın kararmasını gözlemleiniz. Zamandaki değişim ile kararmadaki değişimi ilişkilendiriniz. Tam kararmanın oluştuğu anı belirlemee çalışınız. Daha sonra tersini düşünerek sabahın erken saatinde karanlıktan adınlığa geçişi gözlemleiniz. Yaptığınız gözlemleri görsel bir şekle dönüştürmee çalışınız ve orumlaınız. Çocukken çoğumuzun bindiği tahterevallii düşününüz. Burada dengenin nasıl sağlandığını anlamaa çalışınız. Sistemde kütle merkezi ve denge noktasının ilişkisini tartışınız. Hareket eden bir cismin belli zaman aralıklarında aldığı olun değişmesi a da sabit kalması durumunda hızının ne olacağını tartışınız. Grupça tartıştığınız bu üç olaın her birinde, birbirine bağlı olarak iki arı şein değişimi söz konusudur. Bu değişim birinci olada havanın kararması ile Güneş in ufuk çizgisi altına inmesi, ikinci olada dengenin sağlanması ile kütle merkezinin er değiştirmesi ve üçüncü olada da oldaki değişim ile zamandaki değişim biçiminde karşımıza çıkmaktadır. Söz konusu değişimlerin oranları da arı bir araştırma konusudur. Genel olarak düşünürsek buradaki problem, anı zamanda değişen iki şein değişim oranlarının ne olabileceğidir. Gottfried Wilhelm Leibniz (Gotfrid Vilhelm Labniz) (646 76) Bilim dünasının en önemli sistemci düşünürlerinden biridir. Matematik, metafizik ve mantık alanlarında ileri sürdüğü eni düşünce ve görüşlerile tanınır. Diferansiel ve integral hesabının kurucularındandır. 8

93 . Geometri derslerinde de tartıştığınız doğruu düşününüz. Biliorsunuz ki bir doğruu tanımlaabilmeniz için a doğru üzerinde bulunan iki noktaa a da bir nokta ile doğrunun eğimine ihtiacınız vardır. Bildiğiniz bir başka şe de şudur: Bir doğrunun eğimi, doğrunun ekseni ile aptığı açının tanjantına eşittir. d } α } Şekil üzerinde gösterirsek ekseni ile doğrunun aptığı açı α olarak alınırsa doğrunun eğimi, m= tanα= bağıntısı ile verilebilir. Bağıntıı dikkatlice incelerseniz ukarıda ortaa konan probleme benzediğini görebilirsiniz. Çünkü burada, anı sürede değişen ile in oranı söz konusudur. Tartışmanız sonucunda bu oranın sabit kaldığını söleebilirsiniz. Bu durum her doğru için geçerlidir. Yani bir doğrunun eğimi sabittir. Bu kez ine çok ii bildiğiniz parabol ile üzerinde seçilen A, B, C noktalarından parabole çizilen d, d, d teğet doğrularını düşününüz. f()= C B A d d d 8

94 Çizilen teğet doğrularının eğimleri için neler söleebilirsiniz? A, B, C noktalarından parabole farklı teğetler çizmeniz mümkün olabilir mi? Bu parabole çizdiğiniz teğetlerin saısını çoğaltınız. Daha sonra çizdiğiniz teğet doğrularının ait oldukları nokta komşuluğundaki doğru parçaları ile parabolün grafiğini aşağıdaki gibi an ana getiriniz. f()= f()= Sizce her iki grafik, fonksionu temsil edior mu? Bu noktada tüm aptığınız etkinlikleri birlikte düşünerek şu sorulara doğru cevaplar bulmaa çalışınız. Bir eğrie üzerinde seçilen bir noktadan çizilen teğetin eğimi, seçilen nokta ile ilişkili midir? Nokta değiştikçe çizilen teğetlerin eğimleri değişir mi? Verilen bir eğrinin üzerindeki bir noktadan eğrie çizilen teğetin eğimi nasıl bulunur?. f:r R, f()= fonksionunun grafiği ile grafik üzerinde seçilen A(,) ve B(,4) noktaları verilior. Eğrinin A ve B noktalarından geçen keseni ve A noktasındaki teğeti çizilior. f()= B(,4) Fonksionu grafiği ile birlikte düşününüz 4 ve nelere sahip olduğunu görünüz. B Tartışmanız sonucunda şunları söleebilir- B siniz: Çizdiğiniz AB keseninde bir belirsizlik A(,) oktur. Çünkü üzerindeki iki nokta bilinmektedir. Buna karşılık A noktasından çizilen te- ğetin eğimi bilinmemektedir. Problemimiz A noktasından çizilen teğetin eğimini bulmak tır. 84

95 Bunun için B noktasını A noktasına aklaştırarak B, B,... noktalarını ve onlardan geçen kesenleri tanımlaalım. AB, AB, AB kesenlerinin eğimlerini bulalım. Bulduğumuz değerleri tablo üzerinde erlerine azalım. B (, 4) (,5,,5) (,,,44) (,,,) (,5,,5) A,5,44,,5,5,,,5 m AB,5,,,5 Tabloda görüldüğü gibi burada B noktası A a aklaştıkça kesenin eğimi m AB de e aklaşmaktadır. Bu kez aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi A nın solunda eğri üzerinde seçeceğimiz C noktası ile CA kesenini düşünelim ve C noktası A a aklaştığında kesenin eğimindeki değişikliği gözlemleelim. f()= 4 C A(,) C (,,,) (,5,,5) (,9,,8) (,99,,98) A,99,75,9,,9,5,, m AC,,5,9,99 Dene sonucunda gördük ki hem B hem de C noktası arı arı A noktasına aklaştıkça AB ve AC kesenlerinin eğimleri saısına aklaşmaktadır. Deneler bizi bir başka sonuca daha götürmektedir. B ve C noktalarının A nok- 85

96 tasına aklaşması, anı zamanda kesenlerin A dan çizilen teğete aklaşması anlamındadır. Değişik biçimde sölersek B ve C noktaları A noktasına aklaşıor ise kesenlerin eğimi de A noktasından çizilen teğetin eğimine aklaşır. Bunun için teğetin eğimini bulmada kesenin eğiminden ararlanılır.. Aşağıda verilen = f() fonksionunun grafiğini inceleiniz. A B α B B α β ta A ve B noktalarından geçen kesenin eğimi m AB ve A noktasından çizilen teğetin eğimi de mt olsun. AB keseninin eğimi, m AB = = f( ) f( ) = eşitliği ile bilinmektedir. B noktası eğri üzerinde hareket ettirilerek A noktasına aklaştırıldığında oluşan AB ı, AB ıı, kesenlerini çiziniz. Çizdiğiniz kesenlerin hangi doğrua aklaştığını, Kesenlerin eğim açılarının hangi açıa aklaştığını, AB keseninin eğiminin hangi doğrunun eğimine aklaştığını, tahmin etmee çalışınız. Buradan elde ettiğiniz çıkarımları göz önünde bulundurarak AB keseninin eğimini kullanarak teğetin eğimini limit ardımıla matematiksel olarak ifade etmee çalışınız. 86

97 f:r R, f()= fonksionuna A(,) noktasından çizilen teğetin eğimini bula lım. f()= f()= B t f()= A B noktasını eğri üzerinde A noktasına aklaştırdıkça kesenlerin teğete, kesenlerin eğim açılarının teğetin eğim açısına, kesenlerin eğimleri de teğetin eğimine aklaşır. AB keseninin eğimi m AB = f() f() olur. B noktası A a aklaştıkça değeri e aklaşmaktadır. Buna göre teğetin eğimi AB keseninin eğimi ve limit ardımıla matematiksel olarak, m t = lim f() f() biçiminde gösterilir ve teğetin eğimi m t = lim f() f() = lim = lim (+)= olarak hesaplanır. Genel olarak bir t fonksionunun üzerindeki bir A(, ) noktasındaki teğetinin eğimi mt= = f aklaşık eşitliğinden hareketle limit ardımıla f m t = lim = lim f() f( ) biçiminde azılabilir. Bölece A noktasından çizilen teğetin eğimi bulunmuş olur. Unutmaalım ki m t 87

98 } eğimi limite bağlıdır. Limit oksa eğimden söz edemeiz. Hatırlaalım ki limitin varlığı noktaa sağdan ve soldan aklaştığımızda anı değere ulaşmakla mümkün idi. Buna göre m t tek olmalıdır, denilebilir. Bu da bizi A dan eğrie çizilen teğetin tek olması durumunda, eğimin bulunabileceği sonucuna götürür. Bir fonksionun, bir noktasındaki teğetinin eğimi biraz daha farklı bir aklaşımla aşağıdaki gibi elde edilebilir. Q( +h,f( +h)) P(,f( )) +h h PQ kesenin eğimi f( +h) f( ) ( +h) = f( +h) f( ) h şeklindedir. Q noktası P noktasına aklaşırken h değerinin a aklaştığını görüorsunuz. Bu durumda P noktasından çizilen teğetin eğimi, m t = lim h f( +h) f( ) h olur. Bu durum bazı kanaklarda, f lim h olarak da gösterilmektedir. 88

99 f:r R, f()= + fonksionunun = noktasındaki teğetinin eğimi, olarak bulunur. m t = lim f(+h) f() h = h lim (+h) +(+h) 6 h h = lim h +5h h = h lim h (h+5)=5. Aşağıda verilen fonksionların belirtilen noktadaki teğet doğrularının eğimlerini bulunuz. a) f:r R, f()= +, = b) f:r R, f()=, = c) f:r R, f()= +, = ç) f:r R, f()= 4, = 5 d) f:r R, f()= 5+, = 4. Yukarıdaki etkinliklerden elde ettiğimiz kazanımların başında Eğri üzerinde seçilen her noktadan eğrie çizilen teğetin eğimi tektir. kazanımı gelmektedir. Buna göre nokta değiştikçe çizilen teğetin eğimi de değişebilir, diebiliriz. Bu sonucu f:a R, f() fonksionu için azmaa çalışırsak her i A için aşağıdaki şemaa ulaşılır. g.. n f lim h f lim h.. f lim h n Şema bizi, i noktalarından, noktadan eğrie çizilen teğetin eğimine tanımlı bir g fonksionuna götürmektedir. Yeni fonksionun tanım kümesi, ilk fonksionun tanım kümesinin elemanlarından seçilmektedir ve değer kümesi de ilk fonksionun teğetlerinin eğimlerinden oluşmaktadır. Yani tanımlanan g fonksionu, verilen f fonksionu ile doğrudan ilişkilidir. O nedenle g fonksionuna f fonksionunun türevi adı verilir ve 89

100 g=f ()= df d = D f biçiminde gösterilir. Bunun gerçekleşebilmesi için her noktada oranın limit değerinin varlığını unutmaınız. f:a R, f()= + fonksionunun grafiği üzerinde bulunan herhangi bir A(, f()) noktasındaki teğetinin eğimini bulmaa çalışalım. m t = lim f(+h) f() h = lim +h+h ++h h h h = lim h h+h +h h = lim h (+h+)= + bulunur. Elde ettiğimiz bu bağıntı, f fonksionunun herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimini veren fonksiondur, f fonksionundan türetilmiştir ve f : R R, f ı ()= + şeklinde azılır. Elde edilen bu bağıntıda = alınarak özel değere ulaşılabilir. Genel olarak, f ()= lim h f(+h) f() h eşitliği ile tanımlanan f fonksionuna, f fonksionunun türev fonksionu denir. Ancak unutulmamalıdır ki türev fonksionu, lim f() f( ) ( lim h f( +h) f( ) h ( limitinin var olaması durumunda tanımlıdır ve verilen noktasındaki türev fonksionu olarak f ( ) gösterilir. 9

101 . Aşağıda verilen fonksionların türev fonksionlarını bulunuz. a) f:r R, f()= + b) f:r R, f()= + c) f:r R, f()= + ç) f:r R, f()= 6 d) f:r R, f()= 5. Bir hareketlinin t saatte aldığı ol, kilometre cinsinden s(t)=t +4t fonksionu ile verilmektedir. Hareketlinin [t, t ] ndaki ortalama hızı, V ort = s(t ) s(t ) t t ile hesaplanır. Örneğin, hareketlinin [8, ] ndaki ortalama hızı, ORTALAMA HIZ= s() s(8) 8 = 5 84 = 58 km/sa. [, ] aralığındaki ortalama hızı, ORTALAMA HIZ= s() s() 8 = 64 5 = 6 km/sa. olarak bulunur. Hesaplamaa devam ederek aşağıdaki tablou doldurunuz. [t,t ] V ort (km/sa.) [8, ] 58 [9, ] [9,5, ] [9,9, ] [,,] [,,5] [, ] [, ] 6 Bulduğunuz değerlerden ararlanarak hareketlinin. saatteki hızını (anlık hızını) tahmin etmee çalışınız. Hareketli. saatte radara girmiş olsun. O andaki ani. saatteki anlık hızını 9

102 h R + olmak üzere, h için [, +h] aralığında ortalama hızını anlık hız kullanarak bulmaa çalışalım. Buna göre, ANLIK HIZ = lim h s(+h) s() (+h) = lim +h+h +4+4h 5 h h = lim (h+6)=6 h olur. Siz de [ h, ] ndaki ortalama hızı kullanarak benzer olla. saatteki anlık hızı bulmaa çalışınız. Yaptığınız çalışmaların sonucunda, bir hareketlinin t saatte aldığı ol fonksionunun bir noktadaki türevi ile o andaki hızını ilişkilendiriniz. Yukarıda sözü edilen hareketlinin t. saatteki anlık hızını veren türev fonksionunu bulunuz. Aracın. saatteki anlık hızını, elde ettiğiniz türev fonksionu ardımıla da bulunuz.. Şekildeki silindir biçiminde tank 6 litre su ile doludur. Dibinde açılan bir delik ardımıla bu tank 6 dakikada boşalmaktadır. Delik açıldıktan t dakika sonra, tankta kalan su miktarı, H(t)= 6 (6 t) olarak verilmektedir. Delik açıldıktan 5 dk. ve 45 dk. sonraki suun anlık akış hızını bulunuz. 6. Q t R f() t P 9

103 9. safadaki şekilde f:a R, f() fonksionunun grafiği verilmiştir. P noktasının sağında alınan R ve solunda alınan Q noktasını kullanarak PQ ve PR kesenlerini çiziniz. Q noktası P noktasına aklaştıkça PQ keseninin eğimi hangi doğrunun eğimine aklaşır? R noktası P noktasına aklaştıkça PR keseninin eğimi hangi doğrunun eğimine aklaşır? Bu sorulara verdiğiniz anıtlara göre aşağıdaki limitlerin hangi doğruların eğimleri olduğunu noktalı erlere azınız. lim f( +h) f( ) h =... lim f( +h) f( ) h h + =... h Yaptığınız çalışmalardan sonra lim f( +h) f( ) limitinin varlığını başka bir deişle fonksionun h h noktasında türevinin olup olmadığını belirtiniz. d f() P k Yukarıda grafiği verilen f() fonksionunda lim f( +h) f( ) h = m h k ve olur. lim f( +h) f( ) h + h = m d m k m d olduğundan fonksionun noktasında türevi oktur. 9

104 Herhangi bir f fonksionu için, lim f( +h) f( ) h limiti bir gerçek saı değeri ise bu değere f fonksionunun h noktasındaki soldan türevi denir ve f ( ) biçiminde gösterilir. Benzer olarak lim f( +h) f( ) limiti bir gerçek saı değeri ise bu değere f fonksionunun h + h noktasındaki sağdan türevi denir ve f ( + ) biçiminde gösterilir. f ( ) f ( + ) ise fonksionun noktasında türevi olmaacaktır. 4. ) Aşağıda grafikleri verilen fonksionlarda, PQ ve PR kesenlerini çiziniz. Q ve R noktaları P noktasına aklaştıkça, kesenlerin aklaştığı doğruları gözlemleerek bu fonksionların = a noktasındaki türevlerinin varlığını araştırınız. a) Q P R b) Q P R a a c) Q P R ç) Q P R a a 94

105 ) Aşağıdaki grafiği inceleerek f ( ), f ( + ) ve f () değerini hesaplaınız. f() ) Aşağıda grafiği verilen fonksionun hangi noktalarda türevinin olamaacağını nedenleri ile birlikte ortaa kounuz. a b c d g() 4) Aşağıda grafiği verilen f() fonksionu için f ( ) ve f ( ) değerlerini bulunuz. Bulduğunuz sonuçları tartışınız. f() 5) f:r R, f()= fonksionu için f ( + ) ve f ( ) değerlerini bulunuz. 95

106 7. Aşağıda grafikleri verilen fonksionları inceleiniz. a) b) c) ç) d) e) Bu fonksionların noktasında sürekli olup olmadıklarını belirtiniz. türevsizdir? İncelediğiniz fonksionlardan noktasında hangileri türevlidir, hangileri Buradan hareketle bir noktada sürekli bir fonksionun anı noktadaki türevlenebilirliği için ne sölenebilir? 96

107 8. Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini inceleiniz. Bu fonksionların noktasında tanımlı olup olmadıklarını söleiniz. Fonksionlardan hangileri noktasında süreklidir? Fonksionların noktasında türevli olup olmadıklarını belirtiniz. Buradan hareketle bir fonksionun bir noktada süreksizliği ile türevsizliği arasında nasıl bir ilişki vardır?. Şekilde grafiği verilen fonksionun,, ve 4 noktalarındaki türevlenebilirliğini inceleelim. f() 4. Şekil Fonksion, noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevi eşittir. Dolasıısıla türevlidir. noktasında tanımlı ancak süreksiz olduğundan türevli değildir. noktasında süreklidir ancak sağdan ve soldan türevi eşit olmadığından türevsiz- 4 noktasında tanımlı değildir. Bu noktada türevli değildir. Yukarıda apmış olduğunuz çalışmalardan aşağıdaki genellemelere ulaşılır. dir. 97

108 i) Bir noktada sürekli olmaan fonksionun o noktada türevi oktur. ii) Bir noktada türevlenebilen bir fonksion o noktada süreklidir. iii) Bir fonksionun bir noktada türevinin olabilmesi için, o noktada sürekli olması gereklidir ancak bu eterli değildir. 5. ) f f 4 f f Yukarıdaki grafiklerde, fonksionların sürekli olmasına rağmen türevli olmadığı noktaları bulunuz. ) f() 5 8 Yukarıda grafiği verilen f() fonksionunun belirtilen noktaları için aşağıdaki tablou örnekteki gibi doldurunuz. Apsis Sürekli TŸ revli

109 ) f:r R, f()= { + < ise ise fonksionunun grafiğini çizerek = ve = noktalarında türevlenebilirliğini araştırınız. 4) f:r R, { 4+ < ise f()= +5 <4 ise 4 ise fonksionunun =, = ve =4 noktalarında türevli olup olmadığını grafiğini çizerek araştırınız. 9. Aşağıda f () fonksionunun (c, d) ndaki grafiği verilmiştir. f () c d f () fonksionu (c, d) nda sürekli midir? f () fonksionunun (c, d) ndan seçeceğiniz her nokta için türevli olup olmadığını araştırınız. Bir açık aralığın her noktasında türevli olan bir fonksion bu açık aralıkta türevlidir, denir. Buna göre f () fonksionu (c,d) nda türevli midir? Şimdi de bu fonksionun tanım aralığını [c,d] alarak elde edilen f () fonksionunun türevlenebilirliğini inceleelim. f () c d Sanırız f () fonksionunun, f () fonksionundan farklı olarak uç noktalarda tanımlı olduğunu fark etmişsinizdir. Ölese sonuca ulaşmak için bu fonksionun uç noktalarında da türevlenebilir olup olmadığını incelemek eterli olur. 99

110 Fonksion = c noktasının sağında tanımlı olduğundan bu noktaa alnızca sağdan aklaşılabilir. O hâlde f () fonksionunun = c noktasında sağdan türevli olup olmadığını araştırınız. Benzer düşüncele fonksionun = d noktasında da soldan türevlenebilirliğini araştırınız. Genel olarak, (a,b) nda türevli, = a noktasında sağdan ve =b noktasında soldan türevli olan fonksiona [a,b] nda türevlenebilir fonksion denir. Aşağıda grafiği verilen f() fonksionunun (,) nda, [,] nda ve [,] nda türevlenebilirliğini inceleelim. f() f() fonksionu, (,) ndaki her noktada türevli olduğundan (,) nda türevli, (,) nda her noktada türevli ve = noktasında sağdan, = noktasında soldan türevli olduğundan [,] nda türevli, [,] na ait = noktasında türevsiz olduğundan [,] nda türevsizdir. 6. ) Yukarıda [,7] nda grafiği verilen fonksionun aşağıda verilen alt aralıklarda türevli olup olmadığını belirtiniz. a) [, ] b) [,] c) (,4) ç) [,4] d) [4,7] e) [,4]

111 ) Tanım aralığının bir noktası dışında tüm noktalarında sürekli ve iki noktası dışında tüm noktalarında türevli bir fonksion grafiği çiziniz.. Şimdie kadar türev kavramını anlamaa ve limit ardımıla bazı fonksionların belli noktalardaki türevini bulmaa çalıştık. Sizler de fark etmişsinizdir ki bir fonksionun türevini her defasında limit ardımıla bulmak güç olmaktadır. Bundan sonraki etkinliklerde ise bazı temel fonksionların türevlerinin bulunmasında bize kolalık sağlaacak olan kuralları elde etmee çalışacağız. Önce sabit fonksion örneklerinden f ()= ve f ()= fonksionlarını ele alalım. Her iki fonksionun = noktasındaki türevini limit ardımıla bulunuz. Farklı noktalar seçerek foksionların bu noktalardaki türevlerini bulunuz. Bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız. f()= 5 sabit fonksionunun = noktasındaki türevini bulalım. f ()= lim h f(h+) f() h = lim 5 ( 5) h = lim h h h = olur. Genel olarak bu durum, c R olmak üzere f:r R, f()= c biçiminde tanımlanan sabit bir fonksiona ugulanırsa türevi veren limit tanımından, f ()= olur. f ()= lim f(+h) f() h = lim c c h h h Bu durum d (c)= biçiminde de gösterilebilir. d = lim h = elde edilir. Buna göre f()= c ise 7. ) Aşağıda verilen fonksionların türevlerini bulunuz. f: R R, f()= 4 g: R R, g()= h: R R, h()= ) a, b, c ve d R olmak üzere aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. d d (a) d d (b) d d (c) d d (bd )

112 . Şimdi de kuvvet fonksionlarının türevi için bir kural oluşturmaa çalışalım. Bu nun için aşağıdaki işlemleri sürdürerek sonuçlandırınız. f ()= ise f f ()= lim (+h) f () h = lim +h c h h = =. h f ()= ise f f ()= lim (+h) f () h =... h f ()= ise f f ()= lim (+h) f () h =... h Bulduğunuz türev değerlerini tablodaki noktalı erlere azınız. f()... f () Bu şekilde devam edildiğinde n N +, f()= n fonksionunun türevi için ne sölenebilir? f()= 7 fonksionunun türevi bu genelleme ardımıla f ()= 7 6 biçiminde kolaca bulunur. Şimdi c R, f:r R, f()= c.g() fonksionunu ele alalım. Benzer olla bu fonksionun türevi, f () = lim h f(+h) f() h = lim h c.(g(+h) g()) h = lim c.g(+h) c.g() h h = c. lim (g(+h) g()) h h f ()= c.g () olarak bulunabilir. Bu bizi sabit ile bir fonksionun çarpımının türevini alma kuralına götürür. f()= 4 fonksionunun türevi, f ()=.4. =. olur.

113 Sonuçta a R ve n N +, f()=a n için f ()=an n olur. 8. ) Aşağıdaki tabloda verilen fonksionların türevlerini bularak boşlukları doldurunuz. f() π. 5 f () 8 ) ? 5 4 Yandaki çarkta soru işareti erine gelecek kuvvet fonksionunu azınız. ) f:r R, f()= fonksionunun = noktasından çizilen teğetinin eğimini bulunuz. 4) Aşağıdaki soruları anıtlaınız. a) = d d =? b) =t d dt =? c) =a 5 d da =? ç) =4 d d =?. Parçalı tanımlı fonksionun bir noktadaki türevlenebilirliğini grafikleri ardımıla bulmaı önceki etkinliklerimizde öğrenmiştik. Bu etkinliğimizde ise parçalı tanımlı fonksionun türevi için, türev tanımı kullanarak bir kural oluşturmaa çalışacağız. +, < ise f: R R, f ()= { 5, ise fonksionu verilior. f() fonksionunun grafiğini dinamik matematik azılım programı kullanarak çiziniz. Fonksionun sürekliliğini inceleiniz varsa kritik noktalarını belirleiniz. Bulduğunuz kritik noktalarda fonksionun türevlenebilirliğini türev tanımını kullanarak bulmaa çalışınız. Türev tanımı kullanarak f () in kuralını azmaa çalışınız f: R R, f ()= +, < ise {, ise verilior.

114 f () in kuralını bulalım. Grafikte görüldüğü gibi f() fonksionu sürekli bir fonksiondur. = nokta kritik nokta olduğundan fonksionun bu noktadaki türevlenebilirliğini inceleelim. f() f ( + ) = lim + f() f() = lim + = f ( - ) = lim - f() f() = lim - + = f ( + ) f ( - ) olduğundan f() fonksionunun = noktasında türevi oktur. < için türev fonksionunun kuralı, f(+h) f() f ()= lim h = lim (+h)+ ( +) h h h = lim h h h = > için f ()= lim h f(+h) f() h = lim h +h ( ) h = lim h h h = olur. Buradan f() in türev fonksion kuralı,, < ise f ()= { olarak azılır., > ise Tanımlı olduğu alt aralıklarda türevlenebilen parçalı tanımlı bir fonksionun türevi bulunurken;. Kritik noktalardaki türevlenebilirliği incelenir.. Her bir kuralın tanımlanan aralıktaki türevi alınır. 9. ) Aşağıda verilen R de tanımlı parçalı fonksionların türevlerini türev tanımından bulunuz., < ise a) f()= { +, ise, < ise b) g()= {, ise ) h: R R, ise h()= { 4, = ise fonksionun = ve = noktalarındaki türevlerini türev tanımından bulunuz. 4

115 . f : R R, f ()= ve g : R R g () = fonksionları verilior. Her bir fonksionu parçalı tanımlı fonksion biçiminde azınız. Kritik noktalarını belirleiniz. Parçalı tanımlı fonksionun türev kuralına ugun biçimde f () ve g () in türev fonksionlarının kuralını bulmaa çalışınız. Yaptığınız çalışmalardan ararlanarak f: R R, f()= g() in türev fonksionu için bir genelleme apmaa çalışınız. f: R R, f()= 4 fonksionunun türevini bulalım. f() = 4 fonksionunu parçalı tanımlı biçimde azalım. { 4, < ise f() = +4, < ise 4, ise 4 f() f() fonksionunun kritik noktaları ve - olduğundan bu noktalarda fonksionun türevlenebilirliğini inceleelim. - f ( + ) = lim + f() f() = lim + 4 = lim + (+) = 4 f ( ) = lim f() f() = lim +4 = lim ( ) = 4 f ( + ) f ( ) olduğundan = noktasında fonksionun türevi oktur. f ( + f() f( ) ) = lim = lim +4 = + ( ) + + lim +( ) = 4 f ( ) = lim f() f( ) ( ) = lim +4 + = lim ( ) = 4 f ( + ) f ( ) olduğundan = noktasında fonksionun türevi oktur. < ve > için fonksionun kuralı anı olduğundan bu aralıklardaki türevi, f ()= lim h f(+h) f() h = lim h (+h) 4 ( 4) h = lim +h+h 4 +4) = lim h+h h h h h < < için fonksionun türevi, = lim h(+h) h = olur. h f ()= lim h f(+h) f() h = lim h (+h) +4 ( +4) h 5

116 = lim h h h h = lim h h( h) h = olur. Buradan, {, < ise f () =, < < ise olarak bulunur., > ise A R ve g fonksionu A kümesinde türevli bir fonksion olmak üzere f() = g() in türev fonksionu, { g () g() > ise f () = dir. g () g() < ise. ) Aşağıda verilen R de tanımlı mutlak değer fonksionlarının türevini türev tanımından bulunuz. a) f() = b) g() = ) h: R R h() = + fonksionunun =, = ve = noktalarındaki türevlerini türev tanımından bulunuz. 4. g; te, f; g() te türevlenebilir iki fonksion olsun. f(g()) bileşke fonksionunun türevi, türev tanımından [f(g()] = lim f(g(+h)) f(g()) şeklinde azılabilir. h h f(g(+h)) f(g()) h ifadesini g(+h) g() ile genişleterek ve limit özelliklerinden ararlanarak [f(g()] in türevini f() ve g() fonksionlarının türevleri ile ilişkilendiren matematiksel bir model oluşturunuz. Oluşturduğunuz model ardımıla f() = 5, g() = + fonksionları için [f(g()] in türevini bulmaa çalışınız. g() ve f(g()) türevlenebilir iki fonksion olmak üzere f() = 8 ve g() = fonksionları verilior. f(g()) fonksionunun türevini bulalım. [f(g()] = lim f(g(+h)) f(g()) = lim f((+h) ) f( ) ifadesini h h h h ((+h) ) ( ) ile genişletelim. 6

117 = lim f((+h) ) f( ) h h. ((+h) ) ( ) ((+h) ) ( ) f((+h) ) f( ) = lim h ((+h) ) ( ). lim h ((+h) ) ( ) h (limit özelliklerinden) = lim h ((+h) ) 8 ( ) 8. +h + lim h +h + h = = lim h lim h (+h ) 8 ( ) 8 h (+h ) 8 ( ) 8 h. lim h h h. lim h = = = lim h lim h lim h (+h ) 8 ( ) 8 h ( ) h [f(g()] = 8.( ) 7. olur.. ( ) ( )7. (h) + ( 8 ) ( )6.(h) (h) 8 ( ) 8 h 8 [( ) ( )7 + ( 8 ) ( )6.(h) (h) ] 7 h.. g; te f; g() te türevlenebilir fonksionlar olmak üzere f(g()) bileşke fonksionun türevi, [f(g()] = f (g()). g () dir. Burada = f(g()) fonksionunda g() = z dönüşümü apılırsa = f(z) olur. Buradan türev eşitliği, = f (z). z d d = d dz. dz d biçiminde azılır. Bu eşitliğe zincir kuralı ile türev alma denir. h() türevlenebilir bir fonksion olmak üzere h() =.( ) un türevini bulalım. h(), f() =. ve g() = fonksionların f(g()) bileşkesi olduğundan h () = f (g()). g () olur. f()=. f ()=. 9 (a. n kuvvet fonksionunun türev kuralı) f (g()) =.( ) 9 g () = lim h g(+h)) g() h = lim (+h) + h h = olduğundan h ()=.( ) 9.( )= 4( ) 9 olur. 7

118 . ) Aşağıda verilen R de tanımlı bileşke fonksionların türevlerini bulunuz. a) f() = ( ) 5 b) g() = (+) 4 ) f ve g R de tanımlı türevlenebilir iki fonksion olmak üzere f()= 6 ve g()= fonksionları için f(g()) bileşke fonksionunun = noktasındaki türevini bulunuz. 5. Analitik düzlemde = f() fonksionu ile belirlenemeen birçok önemli eğri vardır (örneğin, geometrik er olan çember, elips gibi). Bu eğriler tek fonksion erine fonksion çiftleri ile ifade edilir. Bu fonksionlardan biri, eğri üzerindeki noktaların apsisini, diğeri ise ordinatını gösterir. Bu tür fonksion çiftlerinden oluşan denklemlere parametrik denklem denir ve genel olarak, = f(t) = g(t) biçiminde gösterilir. Bu denklemlerdeki t değişkenine parametre adı verilir. Örneğin, denklemi + =4 olan çemberin parametrik denklemi, = sinθ =cosθ biçiminde azılabilir. Parametrik denklemlerin türevinin fonksion şartını sağladığı ugun aralıklarda zincir kuralı ile alınabileceğini aşağıdaki işlemleri aparak görünüz. = t =t parametrik denklemleri ile =f() fonksionu verilsin. Verileri dikkate ala- için zincir kuralını azınız. Oluşan bağıntıdan ararlanarak d d i bulunuz. rak d dt Yaptığınız çalışmalardan ararlanarak parametrik fonksionların türevi için bir matematiksel model oluşturunuz. Ugun aralıklardaki = u 5 = u 4 parametrik =f() fonksionunun türevini u= için bulalım. d d için zincir kuralı du du = d d. d du olur. Burada d du = 5u4 (kuvvet fonksionu türevinden) d du =u (kuvvet fonksionu türevinden) olduğundan d du = d d. d du 5u4 = d d.u d d = 5u4 u d d = 5.u d = 5 d u=. = 5 bulunur. 8

119 = f(t) = g(t) parametrik fonksionunda nin e göre türevi, d dt = d d. d (zincir kuralından) dt d d = d dt d dt = f (t) g (t) ( d dt = g (t) ) olur.. ) Ugun aralıklardaki = u 6 ve = u parametrik = f() fonksionu için, a) d d i bulunuz. b) d i bulunuz. d = ) d dt d dt =t + = t 4 türev fonksionları verilior. d d t= değerini hesaplaınız. 6. Analitik geometri dersinden hatırlaacağınız gibi denklemi = olan doğruu = şeklinde de azabiliriz. Bu şekildeki azıma kapalı biçim denir. = ifadesinin bir doğrusal fonksion olduğunu ve =f()= biçiminde azıldığını biliorsunuz. Kapalı biçimde azılan = ifadesi de F(,)= = biçiminde gösterilir ve bunun gibi e göre çözülemeen ama =f() fonksionu olduğu bilinen iki değişkenli denklemle gösterilen fonksionlara kapalı fonksionlar denir. Kapalı olarak tanımlanan bir fonksionun türevi, fonksion =f() biçimine dönüştürülerek alınabilir. Örneğin, G(,)= += fonksionunun türev fonksionunu =f() biçiminde azarak bulunuz. Benzer olla F(,)= + = fonksionunun türevini bulup bulamaacağınızı tartışınız. Burada nin e bağlı fonksion olduğu bilindiğinden erine f() azıp türev tanımından fonksionun türevini bulmaa çalışınız. F(,)= 6 = kapalı fonksionu verilior. Ugun tanım aralığında; a) F (,) i bulalım. b) F (,) değerini hesaplaalım. a) Burada, e bağlı bir fonksion olduğundan =f() için denklem, f () 6 = olur. F(,) nin türevi, türev tanımından lim h [(+h) f (+h) 6] [ f () 6] h = lim h 9

120 lim h +4h+h.f (+h) 6 +.f ()+6 h = lim h 4h+h h + lim h.(f (+h) f ()) h = (limit tanımından) lim h h(4+h) h. lim h [f(+h) f()]. [f+h)+f()] h = 4. lim h f(+h) f() h 4.f ()..f() = 4 6.f (). f() =. lim [f(+h)+f()] h = (limit tanımından) f () = 4 6f() =.. (=f() olduğundan) Buradan, F (,)=.. olur. b) F (,)=.. = olur. Bir F(,) kapalı fonksionunun ugun tanım aralığındaki türevini bulmak için erine f() azılır. Türev tanımından ararlanarak =f () ifadesi bulunur.. ) Aşağıda verilen kapalı fonksionların ugun tanım aralığındaki türevlerini bulunuz. a) F(,) = + = b) G(, ) = + = ) F(,) = 5 = fonksionu için F (4, ) değerini hesaplaınız. 7. Bir fonksionun birebir ve örten olması durumunda tersinin olduğunu ve nasıl bulunacağını Fonksionlar konusunda incelemiştik. Aşağıda, R R e tanımlı birebir ve örten f ve g fonksionlarının grafiği verilmiştir. İnceleiniz.

121 f = g = f ve g fonksionlarından hangisinin her noktada türevlenebilir olduğunu belirleiniz. Bir fonksion ile ters fonksionun grafiklerinin = doğrusuna göre simetrik olduğunu hatırlaarak f ve g fonksionlarının grafiklerini çiziniz. f ve g fonksionlarının hangisinin her noktada türevlenebilir olduğunu belirleiniz. Yaptığınız çalışmalardan ararlanarak; Her noktada türevlenebilir ve tersi alınabilir bir fonksionun tersinin de türevlenebilir olup olmadığını, Herhangi bir noktada türevli olmaan tersi alınabilir bir fonksionun tersinin de her noktada türevli olup olmadığını tartışınız. Türevlenebilir bir f fonksionunun ters fonksionunun türevini bulabilmek için =f() f () = olduğunu hatırlaarak aşağıdaki işlem basamaklarını gerçekleştiriniz. f () = ifadesinde erine f() azınız. Elde ettiğiniz eşitliğin her iki anının türevini h için türev tanımından ararlanarak azınız. Eşitliğin sol anını f(+h) f() ile genişleterek türevini alınız. Elde ettiğiniz eşitlikten ararlanarak ters fonksionun türevi için matematiksel bir model oluşturunuz. f: (, ) R, f() = + 4 fonksionu verilior. f () fonksionunun türevini bulalım. =f() = + 4 f ( + 4) = f (f()) = olduğundan her iki tarafın türevini alalım. lim h lim h [ f (f(+h)) f (f()) +h = lim h h h f (f(+h)) f (f()). f(+h) f() h f(+h) f() ] = lim h h h (eşitliğin sol tarafını f(+h) f() ile genişletelim. lim h f (f(+h)) f (f()) f(+h) f(). lim f(+h) f() h h = (limit kuralından) [ f (f()) ]. lim (+h) +4(+h) ( +4) = (türev tanımı) h h

122 [ f ()] +h+h +4+4h 4. lim = h h [ f ()]. lim h(+h+4) = h h [ f ()].(+4) = [ f ()] = +4 Türevlenebilir bir =f() fonksionunda [ f ()] = f () bağıntısı vardır. Buradan, (a,b), f() fonksionunun bir noktası ise, [ f (b)] = f (a) olur. 4. ) f: R R f() = fonksionu için (f ) () değerini hesaplaınız. ) g: [, ) [, ), g()= +, (g ) () değerini hesaplaınız. 8. Önceki etkinliklerimizde türev tanımından ararlanarak f() = m kuvvet fonksionunun türevinin f () =m. m ve n N + olmak üzere h() = [f()] n bileşke fonksionunun türevinin de h () = n.[f()] n.f () olduğunu görmüştük. m m, n N + n ve > olmak üzere f() = fonksionunun türevini bulabilmek için, m n f() = eşitliğinin her iki anının kuvvetini, kuvvet alma işlemleri ardımıla doğal saıa dönüştürünüz. Dönüştürdüğünüz ifadenin türevini ukarıdaki bilgilerden ararlanarak alınız. Elde ettiğiniz eşitlikten f() in türevi için bir kural oluşturunuz. f: R + R, f()= fonksionunun türevini bulalım. f()= fonksionunun her iki anının. kuvvetini alalım. ( [f()] = ( f() = olur. Elde edilen (f() = ifadesinin her iki anının e göre türevini alarak f () i bulalım. (f() =.(f().f ()= f ()=.(f()) f () = (. f () =. ( m m, n N + m ve > için f() = fonksionunun türevi f () = n. n dir.

123 5. ) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f: R R, f() = b) g: R R, g() = 5 ) f: R R, f() = ( ) fonksionunun = noktasındaki türevinin değerini bileşke fonksion kuralından ararlanarak hesaplaınız. 9. f()=sin fonksionunun türevini, h için türev tanımını kullanarak azınız. Elde ettiğiniz ifadei, sina sinb =.cos a+b. sin a b dönüşüm formülünden fadalanarak düzenleiniz. Limit kurallarını kullanarak f () = lim cos +h sin h h. lim h h eşitliğine ulaşmaa çalışınız. Bu eşitlikten f () = cos bulunur. O hâlde, (sin) =cos Benzer olla cos in türevini bulmaa çalışınız. f()=tan fonksionun h için türev tanımını kullanarak azınız. Elde ettiğiniz ifadei tana tanb =ta(a b).(+tana.tanb) dönüşüm formülünden fadalanarak düzenleiniz. Limit kurallarından fadalanarak f ()=+tan eşitliğine ulaşmaa çalışınız. Benzer olla cot in türevini bulmaa çalışınız. f()=sin() fonksionunun türevini bulalım. Türev tanımından, f ()= lim h = lim h sin((+h)) sin h.cos = lim h 4+h.sin h h sin(+h) sin h (Dönüşüm formülünden) = lim h cos(+h). sinh h = lim h sinh cos(+h). lim h (Limit özelliklerinden) f () =.cos olur. }

124 ) a) f() = sin, g()=cos fonksionları her R için türevlenebilirdir. Türevleri ve f () = cos ve g () = sin dir. b) f() = tan, g()= cot fonksionları tanımlı oldukları erde türevlenebilirdir f ()= + tan ve g () = ( + cot ) dir. ) h() türevlenebilir bir fonksion olsun. Bileşke fonksion tanımından [sinh()] = h (). cosh() [cosh()] = h(). sinh() [tanh()] = h (). [ +tan h()] [coth()] = h ().[+cot h()] eşitlikleri azılabilir. 6. ) Aşağıdaki fonksionların türevlenebilir olduğu aralıklar için türev tanımını kullanarak türevlerini bulunuz. a) f() = sec b) g() = cosec c) h() = tan4 ) f: R R, f() = sin fonksionunun = π noktasındaki türevini bulunuz.. Bilindiği gibi bir fonksionun tersinden söz edebilmek için, o fonksionun bire bir ve örten olması gerekir. Osa trigonometrik fonksionlar periodik fonksionlardır. Bu, belli aralıklarda anı değerleri aldıkları anlamına gelir. Örneğin, sin(+π) = sin olur ve sin fonksionu her π aralığında anı değeri alır. Dolaısıla doğal tanım kümesinde sin fonksionunun tersinden söz edilemez. Ancak tanım kümesinin - π π, nda sin fonksionu bire bir ve örten bir fonksiondur ve tersinden söz edilebilir. f() =arcsin fonksionunun türevini almaa çalışalım. Bunun için f() = arcsin fonksionunu sinf() = biçiminde azalım. Her iki tarafın türevini alalım. lim h sinf(+h)) sinf() h = lim h sina sinb =cos a+b h. sina b h lim h +h h cos f(+h)+f().sin f(+h) f() h Eşitliğin sol anını lim h cos dönüşümünü kullanalım. = lim h f(+h)+f() ile genişletelim. f(+h)+f().sin f(+h) f(). f(+h) f() h. f(+h) f() = 4

125 lim h sin f(+h) f() f(+h) f() }.cosf().f () =. lim h cos f(+h) f(). lim h cos f(+h) f() = f () = cosf() sonucuna ulaşırız. Trigonometrik fonksionların tanım kümesindeki değerlerinin açı cinsinden olduğunu hatırlaalım. Bu durumda, daha önceki ıllarda kullandığınız trigonometrik bağıntılardan ararlanabiliriz. Seçilen bir ABC dik üçgeni için sinf() = olduğundan A B f() C cosf() = olduğunu görebiliriz. Bulunan sonucun f () = azılması ile cosf() eşitliğinde erine f () = (arcsin) = olarak buluruz. Benzer aklaşımla sizler de arccos, arctan in türevlerini bulmaa çalışınız. f() = arctan fonksionunun türevini bulalım. f() = arctan tanf() = azılabilir. Her iki anın türevini alalım. lim h tanf(+h) tanf() h = lim h (+h) h tana tanb = tan(a b). [+ tana.tanb] olduğundan ukarıdaki eşitlik, lim h tan(f(+h) f()). [+tanf(+h).tanf()] h = lim h +h h şeklinde azılır. Bu eşitliğin sol anını f(+h) f() ile genişleterek limit özelliklerini de kullanarak lim h tan(f(+h) f()) f(+h) f(). lim (f(+h) f()) h h. lim [+tanf(+h).tanf()] h = { f (). [+tan f()] = f () = +tan f() f () = +4 (tanf() = ) 5

126 ) f() = arcsin, g() = arccos, t() = arctan, k() = arccot fonksionları tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilirdir ve f () =, g () =, t () = +, k () = + dir. ) h() türevlenebilir bir fonksion olsun. Bileşke fonksion tanımından h () (arcsinh()) =, (arccosh()) = h () h () h () h () (arctanh()) = + h () h (), (arccoth()) = + h () dir. 7. ) Ugun aralıklarda tanımlanan ve türevlenebilen aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()= arccot() b) g() = arcsin c) h) = arccos(sin) ) f: π π -, [, ], f() = cos ise (f ) () değerini hesaplaınız.. Aşağıda f: R + R, f() = log a fonksionunun grafiği verilmiştir. f() = log a Özenle incelenirse grafik üzerinde seçilen her noktadan eğrie alnız bir teğet çizilebileceği ve bu teğetlerin eğimlerinin bir gerçek saıa eşit olacağı gözlenebilir. Bu düşünceden hareketle logaritma fonksionların türevlenebilir olduğunu söleebiliriz. Türev tanımından hareketle f() = log a fonksionunun türevini çıkaralım. Hatırlaın: ( lim + ( = e d d (log )= lim log a a (+h) log a h h log +h a = lim h = lim h log a h ( + h ( = log a lim + h h e { = lim h (.loga + h h ( ( h = log a lim h h ( + h h ( ( = log a (e) 6

127 ( Buradan da d d (log ) = a. log e olarak bulunur. a Sonucu elde etmek için logaritma ve limit işlemlerinin özelliklerinin kullanıldığını görmüş olmalısınız. Bulunan kural ardımıla f: R + R, f() = ln fonksionunun türevini bulmaa çalışınız. f: R + R, f() = ln() in türevini bulalım. f () = lim ln(+h) ln h h = lim h ln (+h) h = lim h ln +h h = lim h (.ln + h h ( = lim ln + h h = lim h h ( ( ln + h h ( = ln lim h ( e{ + h h ( = lne =. lne = olur. ) a R + {}, f: R + R ve g: R + R olmak üzere f() = log a fonksionunun türevi f ()=.log a e ve g() = ln fonksionunun türevi f ()= dir. ) h() türevlenebilir bir fonksion olsun. Bileşke fonksionun türev tanımından h () h () [log a h()] =. loga e ve [lnh()] = dir. h() h() 8. ) Ugun aralıklarda tanımlı ve türevlenebilir olan aşağıdaki fonksionların türevini türev tanımı kullanarak bulunuz. a) f() = log b) g() = ln( ) ) f: R + R, f() = log 4 fonksionu için f (4). ln4 değerini hesaplaınız. ) f: R + R, f() = ln fonksionu için f () değerini hesaplaınız.. Önceki etkinliklerinizden türevlenebilir bir fonksionun, varsa tersinin de türevlenebilir olduğunu biliorsunuz. Bu durumda logaritma fonksionunun tersi olan üstel fonksion da türevlenebilir bir fonksiondur, diebiliriz. Buna göre, f() = a üstel fonksionunun türevini bulmak için önce her iki tarafının doğal logaritması alınarak lnf() = lna bulunur. Logaritmanın özellikleri kullanılarak eşitlik, lnf() =.lna şekline dönüştürülür. Bu kez türev alma basamakları ugulanarak 7

128 f () f() = lna f () = f(). lna f () = a.lna bağıntısına ulaşılır. Benzer öntemle, sizler de f() = e fonksionunun türevini bulmaa çalışınız. f() = e fonksionunun türevini bulalım. Eşitliğin her iki anının doğal logaritmasını alalım. lnf() = lne lnf() =.lne (logaritma özelliğinden) lnf() =. lne. Elde edilen eşitlikte her iki anın türevini alalım. f () =.lne f() f () =. lne. f() f () =.e bulunur. ) a R + {}, f: R R + ve g: R R + olmak üzere f() = a fonksionunun türevi f () = a. lna ve g() = e fonksionunun türevi g () = e dir. ) h() türevlenebilir bir fonksion olsun. Bileşke fonksion tanımından [ a h() ] = h (). a h().lna ve [ e h() ] = h (). e h() dir. Üstel fonksionlardan farklı olarak =(+) +, =( +), = sin, =(sin) cos fonksionlarının türevlerinin nasıl alınabileceğini önceki bilgilerinizden ararlanarak tartışınız. Tanımlanan fonksionlarda er alan tabanda ve üstte bulunan fonksionların ikisinin de türevlenebilir birer fonksion olduklarını unutmaınız. Bu tür fonksionların türevlerinin üstel fonksionların türevleri alınırken kullanılan önteme benzer bir öntemle alınabileceğini düşünmüş olabilirsiniz. Bu düşünceden hareketle f() > olacak şekilde = f() g() fonksionunun türevini bulalım. Her iki tarafın doğal logaritması alınarak işe başlanabilir. İlk adımda, ln= lnf() g() elde edilir. Logaritmanın özelliklerinden, ln= g(). lnf() şekline dönüştürülür. 8

129 Türev tanımı kullanarak eşitliğin her iki anının türevini alalım. = lim h g(+h).lnf(+h) g().lnf() h = lim h = lim h [g(+h) g()+g()].lnf(+h) g().lnf() (g(+h) ifadesine g() ekleip çıkaralım.) h [g(+h) g()]. lnf(+h) + lim h h ( g()(lnf(+h) f() h ( = g ().lnf() + g(). (lnf()) f() g() = g ().lnf() + g(). f () f() g() = f() g(). g ().lnf() + g(). f () olur. f() 9. ) Aşağıdaki fonksionların türevini türev tanımından ararlanarak bulunuz. a) f() = ( b) e ( ) f() = fonksionu için f () değerini hesaplaınız. ) > olmak üzere, f() = fonksionunun = noktasındaki türevini türev tanımından ararlanarak bulunuz.. Aşağıdaki tabloda apılan işlemleri inceleiniz.. Tablo f()= g()= 5 f ()= g ()= 5 (f+g)()= +5 (f+g) ()= lim (f+g) (h+) (f+g)() h h (f+g) ()= +5 = lim h (h+) +5.(h+) ( +5) h = lim h.(h++5) h h = +5 İncelemeleriniz sonucunda, verilen fonksionların türevleri ile bu fonksionların toplamının türevi arasında bir ilişki kurmaa çalışınız. Benzer işlemleri aşağıdaki tabloda verilen fonksionlar için de apınız. 9

130 . Tablo f() g() f ı () g ı () (f+g) ı () 4 5. tabloda verilen fonksionların türevleri ile bu fonksionların türevi arasında var olan ilişki,. tablodaki fonksionlar için de geçerli midir? Yapılan çalışmaları genellemek istersek A R için A R tanımlanan f ve g fonksionlarının türevi, (f+g) ()= lim h (f+g) (h+) (f+g)() h = lim h f(h+)+g(h+) (f()+g()) h = lim h f(h+) f()+g(h+) g() h = lim f(h+) f() h + lim g(h+) g() h h h (f+g) ()= f ()+g () olur. f()= + fonksionunun türevi f ()=( + ) =( ) +( ) = + tir. Yapılan çalışmalardan iki fonksionun toplamının türevi, bu fonksionların türevleri toplamına eşittir, sonucuna ulaşılır. Bu durumu d(f+g) d = df d +dg biçiminde gösterebiliriz. d. ) Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz. a) (f g) = f g b) (f +f +...+f n ) = f +f +...+f n ) Aşağıdaki soruları anıtlaınız. a) V(t)=t +t, dv dt =? c) S(t)= 4, ds dt b) U()=, du dt =? ç) H(t)=gt, dh dt =?

131 ) Aşağıda verilen ugun tanım aralığında fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()= 8 b) f()= 4 +5 c) f()= 7+ ç) f()= d) f()= e) f()= (+) f) f()= sin+cos g) f()= arctan+ h) f()=arccot( ) ı) f()=arccos++ i) f()=4.arcsin(+) j) f() = log ( +7) k) h()= ln(cos) 4) f:r R, f()= + + fonksionunda df d = değerini hesaplaınız. 5) f:r R, f()= 4 m+ fonksionu verilior. Fonksionun = noktasındaki teğetinin eğimi 4 ise m kaçtır? 6) f:r R, f()= 4 +4 fonksionun hangi noktasındaki teğeti eksenine paraleldir? 7) Aşağıda verilen fonksionların belirtilen noktalardaki türevlerinin varlığını araştırınız, varsa değerini bulunuz. 4 > ise a) f()= { 4 ise = ve = 4 < ise b) f()= { 8 4 ise = ve = c) f()= 9 = ve = ç) f:r R, f() = +. =, = ve = 8) f:r R, f()= ise { a+b > ise fonksionunun = noktasında türevlenebilir olması için a ve b değerleri kaç olmalıdır? 9) f:r R, f()= + ve g:r R, g()= 4 fonksionları verilior. Oluşturulan aşağıdaki bileşke fonksionlarının türevlerini bulunuz. a) (gof) () b) (fog) () ) = u 5u+ u= 5 t biçiminde verilen = f(t) fonksionu için d değerini hesaplaınız. dt t=

132 ) = u 5 u= t t= + biçiminde verilen = f() fonksionu için d d değerini hesaplaınız. ) f:a R tanımlı türevlenebilir bir =f() fonksionu f( )= +5 ise f () değerini hesaplaınız. d ) =f() türevlenebilir bir fonksion olmak üzere ] d [+ ifadesinin eşitini bulunuz. 4) Aşağıda verilen parametrik fonksionların belirtilen değerler için türevlerini bulunuz. a) = u u +5 = u + ise d =? d u= b) = (m ) = (+m) ise d d m= =? 5) Aşağıda verilen kapalı fonksionların her biri için d d i bulunuz. a) + = b) + = 6) Aşağıda verilen kapalı fonksionların eğrileri üzerinde seçilen noktalardaki teğetlerin eğimlerini bulunuz. a) = +, (, ) ( ) b) + 6 =,, 7) f:r R, f()= fonksionu için d d (f ()) değerini hesaplaınız. = 8) f:[,5] [,5], =f() ve + = 5 olarak verilior. (f ) () değerini hesaplaınız. 9) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()= + b) f() =.( ) c ) g() = ( ++) ç) h() = ( + ) ) Aşağıda verilen fonksionların istenen noktalardaki türev fonksionunun değerini bulunuz. a) = +99., d d =

133 b) = ( + ), d d = 4. f ve g türevlenebilir fonksionlar olmak üzere u()= f().g() çarpım fonksionunun türevi ile ilgili kuralı bulmak için aşağıda apılanları inceleiniz. g g g f Kenar uzunlukları f ve g olan dikdörtgenin alanı u olsun. f Bu uzunlukların sırasıla f ve g kadar büütülmesi sonucu elde edilen eni dikdörtgenin alanı u+ u olsun. f u alanını veren bağıntıı azınız. u+ u alanını veren bağıntıı azınız. Yaptığınız işlemlerden u u veren bağıntıı azınız. olmak üzere elde ettiğiniz eşitliğin her iki anını ile bölünüz ve limit alınız. Bu işlemleri aptığınızda lim u = lim f(). g + lim g(). f + lim f. g } () } } } () eşitliğine ulaşmış olmalısınız. Buradan limitler arı arı alınırsa () (4) () lim u = u ()= (f.g) () lim f(). g = lim f(). lim g = f().g () () lim g(). f = lim g(). lim f = g().f () (4) lim f. g = lim f. lim g =.g ()= oldukları görülebilir. Elde edilen limitler birlikte kullanıldığında, f ve g fonksionlarının çarpımı olan fonksionun türevi, (f.g) ()= f ().g()+g ().f() olarak bulunur.

134 Bölece, çarpımının türevi için bir kural oluşturulmuş olur. Fonksionlar genel olarak seçildiği için elde edilen kural da genel olur. olur. f()= ( ).( +) fonksionunun türevini alalım. Çarpımın türevi kuralından, f()= ( ).( +)+( ).( +) =.( +)+( ).( +) = = ) Aşağıdaki fonksionların ugun tanım aralığında türevlerini bulunuz. a) f ()= (+).( ) b) f ()= ( ++).(5 ) c) f ()= ( + ).( +) ç) f 4 ()= ( 7+).( +) d) = sin.tan e) f()=.arctan f) = () g) g()= sin ğ) h()= e 4 h) k()= e cos ı) s()= 5 ln i) r()= log(tan) ) Türevlenebilir f ve g fonksionları için, (f+g) =f +g olmasına rağmen (f.g) = f.g eşitliği doğru değildir. Bunun sebebini gerekçelerile tartışınız. ) f, g ve h türevlenebilir iki fonksion olsun. (f.g) = f.g+f.g eşitliğinden ararlanarak f.g.h fonksionunun türevini bulunuz. d 4) =f() türevlenebilir bir fonksion olmak üzere ] d [. ifadesinin eşitini bulunuz. 5) Aşağıda verilen kapalı fonksionların her biri için d d i bulunuz. a).+ = b) + = c) 5 += ç). +. = 6) Aşağıda verilen kapalı fonksionların eğrileri üzerinde seçilen noktalardaki teğetlerin eğimlerini bulunuz. a). 5 +6=, (,) b) + =, (,) 4

135 7) f() =. fonksionu için df() d = değerini hesaplaınız. 8) Aşağıda verilen fonksionların ugun tanım aralığında türevlerini bulunuz. a) = b) = cos c) = ln ç) = (cos) sin d) = (cos) e) = (e ) e 5. g() olmak üzere, türevlenebilir f ve g fonksionları verilmektedir. Tanımlanan f g fonksionunun türevini araştıralım. f() in türevinin h limit gösterimi g() lim h f(+h) g(+h) f() g() şeklindedir. h Bu ifadei düzenleerek limiti alınan kesrin paına f().g() çarpımını ekleip çıkartınız. Gerekli düzenlemeleri aparak f(+h) f() lim g().lim h h h lim f(). lim h h lim h g().lim h g(+h) g(+h) g() h sonucuna ulaşmaa çalışınız. Ulaştığınız bu sonucu orumlaınız. Buradan iki fonksionun bölümünün türevi için bir genellemee ulaşmaa çalışınız. f ve g fonkionları sürekli iki fonksion olmak üzere, d d [ g()] f() = g().f () f().g () dır. [g()] Ulaşılan sonuç iki fonksionun oranının türevi için bir kural ortaa komaktadır. f()= + fonksionunun türevini alalım. Bölümün türev kuralından f ()= (+).( ) (+).( ) ( ) =.( ) (+) = = bulunur.

136 . ) Aşağıdaki fonksionların ugun tanım aralığında türevlerini bulunuz. a) f()= + ç) f()= f) f()= sin cos b) f()= d) f()= + 8+ g) f()=arccot ( ) c) f()= e) f()= + ) f() ve f türevlenebilir bir fonksion olmak üzere, d d [ f()] = f () olduğunu gösteriniz. [f()] ) f()= ve f ()=4 ise aşağıdaki g() fonksionları için g () değerini bulunuz. a) g()= 5.f() b) g()= + f() 4) d d ( +) ifadesinin eşitini bulunuz. 5) =f() türevlenebilir bir fonksion olmak üzere d ] d [ ifadesinin eşitini bulu- nuz. 6) Aşağıda verilen kapalı fonksionların her biri için d d i bulunuz. a) + = b) = + fonksionu için (h ) (4) değerini hesaplaınız. 7) h: R { } R {}, h()= + 8) = f() ve = g(t) fonksion olmak üzere = + fonksionunda t= iken = 9 ve d = verildiğine göre d değerini bulunuz. dt t= dt t= 6. Doğrusal bir olda hareket eden bir aracın t saniede aldığı ol, s:[, ) R, s(t)= t fonksionula verilmektedir. Varsaılan fonksionun ol-zaman grafiği aşağıdaki gibidir. 6

137 s (t) (m) s(t)= t t (sn.) Bu şartlar altında s(t)= t fonksionunun herhangi bir t noktasındaki türevini bulunuz. Bulduğunuz bu bağıntıa aracın anlık hızı denir ve V(t)= s (t) biçiminde gösterilir. Bir hareketlinin birim zamandaki hız değişimine ortalama ivme denir ve V t = V(t ) V(t ) bağıntısı ile hesaplanır. t t Tanımlardan ararlanarak ukarıda sözü edilen hareketlinin. saniedeki anlık hız değişimini bulmak için sağdan ve soldan. sanie komşuluğunda ortalama ivmesini bulmamız gerekir.. sanieden. saniee aklaşırken ortalama ivmesinin ilk değeri, V t = V() V() = 9 4 = 5 m/sn. olur. Benzer işlemleri aparak aşağıdaki tabloları doldurunuz. [t, t ] V t [, ] 5 [,5, ] [,7, ] [,9, ] [,99, ] [t, t ] V t [, 4] [,,5] [,,] [,,] [,,] Bulduğunuz değerlerden ararlanarak hareketlinin. saniedeki ivmesini tahmin etmee çalışınız. Bir cismin seçilen bir d doğrusu bounca hareket ettiğini düşünelim. I cismin 7

138 belli bir t anında aldığı ol olsun. Bunu, I= f(t) olarak belirtelim. Alınan ol başlangıç noktasından gelinen A noktasına kadardır. Hiç kuşku ok ki cismin A noktasındaki hızı V= V(t) olacaktır. A I=f(t) Cisim hareket ederken seçilen iki zaman t ve t ise (t >t ) bu zaman aralığındaki ortalama hızı, V ort = f(t ) f(t ) t t oranı ile verilebilir. Burada f(t ) f(t ), cismin aldığı ol farkı, t t de zaman farkıdır. Tanımlanan fonksiona göre t= t t, l= f(t ) f(t ) olur. t t iken t olacağı açıktır. Bu durumda ortalama hız, erini anlık hıza bırakır. Burada, V(t )= lim t Ι t = l (t ) olarak belirtmek mümkün olur. Hareketlinin. saniedeki ivmesi, h R olmak üzere h için [,+h] aralığında ortalama ivme ardımıla V(+h) V() lim h (+h) = lim V(+h) V() h h şeklinde hesaplanır. Bu limitin zamana bağlı hız fonksionu olan V(t) nin. saniedeki türevi olduğunu söleebiliriz. Ölese aracın. saniedeki ivmesi, dv = t = 6 olur. Bulunan bu değerle tablou kullanarak tahmin ettiğiniz dt t= t= değeri karşılaştırınız. nci saniedeki anlık ivmesi- Hareket denklemi s(t)= t 8t + olan cismin t= ni bulalım. V(t)= s (t)= 9t 6t olduğundan 8

139 a(t)= V (t)= 8t 6= 8. 6= 7 6= m/sn olarak bulunur. Genel olarak bir hareketlinin zamana bağlı hız fonksionu V(t) olmak üzere, t. saniedeki ivmesine anlık ivme denir ve V (t) ardımıla hesaplanabilir.. ) Bir hareketlinin t saniede aldığı ol, s(t)= t +4t fonksionu ile verilior. a) Hareketlinin 5. sanie sonunda aldığı olu bulunuz. b) Hareketlinin 5. saniedeki hızını bulunuz. c) Hareketlinin 5. saniedeki ani ivmesini bulunuz. ) a R olmak üzere bir hareketlinin t saniede aldığı ol, s(t)= a.t fonksionu ile verilior. Hareketlinin sanie sonraki hızının 4 m/sn. olduğu bilindiğine göre, 5. saniedeki ani ivmesi ne olur? ) s(t) s(t)= t (m) t (sn.) Yukarıda bir aracın ol-zaman grafiği verilmiştir. Bu aracın ivme-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz. 4) V(Hız) V(t) d V(t ) B d V(t ) A t t t(zaman) Şekilde bir aracın hız-zaman grafiği verilmiştir. d doğrusu V(t) eğrisini A ve B noktalarında keserken d doğrusu, A noktasında eğrie teğettir. Bu aracın [t, t ] zaman aralığındaki ortalama ivmesini ve t. saniedeki ani iv- 9

140 mesini d ve d doğrularının eğimlerini kullanarak belirlemee çalışınız. 5) Küre şeklindeki bir balon şişirilirken üze alanı 4 cm /sn. lik hızla artıor. (S= Yüze Alanı, r= arıçap, S= 4πr r= S 4π ) Buna göre; a) dr ds s=4 değerini bulunuz. b) Yüze alanı 4 cm e ulaştığı andaki arıçapının artış hızını belirleiniz. c) Elde ettiğiniz sonuçları birlikte orumlaınız. 7. f()= = Yandaki şekille ilgili aşağıdaki bilgiler verilior. A(,) noktası = denklemini sağlar. A(,) A(,) noktası f()= fonksionu üzerindedir. f() fonksionunun = noktasındaki türevinin değeri = doğrusunun eğimine eşittir. Verilen bilgileri grafikle ilişkilendirerek orumlaınız. Grafikte, d doğrusunun denklemi verilmesedi bu denklemi bulabilir midiniz? Ünitee başlarken matematiğin en önemli problemlerinden birinin teğet problemi olduğunu belirtmiştik. Şimdie kadar bir eğrinin, herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimini bulmaı öğrendiniz. Yine analitik geometri dersinizden eğimi ve bir noktası belli olan bir doğrunun denkleminin = m.( ) olduğunu biliorsunuz. Bu bilgileri birleştirerek f()= fonksionunun = noktasından çizilen teğetinin denklemini bulunuz. 8. B f() A C D d d Şekildeki grafikte f() fonksionunun A noktasından geçen d teğeti ile bu teğete anı noktada dik olan d doğrusu çizilmiştir. Sizler de B, C, D noktalarından geçen teğetler ile anı noktalarda teğetlere dik

141 olan doğrular çiziniz. Eğri üzerindeki bir noktadan çizilen teğete, o noktada dik olan doğrua normal doğrusu adı verilir. Analitik geometri dersinden birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımının e eşit olduğunu hatırlaarak ukarıdaki grafikte çizdiğiniz normal doğruların denklemlerinin nasıl azılabileceğini tartışınız. f()= eğrisine = noktasından çizilen teğet ve normalin denklemini azalım. Bir doğru denklemini azabilmemiz için doğrunun eğimini ve geçtiği bir noktaı bilmemiz gerekir. f() =.() = olduğundan teğetin değme noktası (, ) olur. f () = 4, f () = 4, olduğundan teğetin eğimi 4 olarak bulunur. Eğimi ve bir noktası belli doğru denkleminin = m t.( ) olduğunu biliorsunuz. Buradan teğet denklemi, ( )= 4.( ) =4 5 olarak bulunur. Normalin denklemi ise ( )= 4.( ) +4+= olur. Fonksionun bir noktadaki türevi o noktadan çizilen teğetin eğimini verdiğine göre, bir noktası ve eğimi bilinen doğru denkleminden teğetin ve normalin denklemi azılabilir. 4. ) Aşağıda verilen fonksionların belirtilen noktalardaki teğet ve normal denklemlerini bulunuz. a) f ()= +5, = b) f ()= +, = c) f ()=, = ) = a +b eğrisine A(,4) noktasından çizilen teğetin eğimi ise a ve b değerlerini bulunuz.

142 ) f()= +5 fonksionunun hangi noktasındaki teğetinin eğimi tür? 4) f()= +8+ fonksionunun = + doğrusuna paralel olan teğetinin denklemini azınız. 5) 5 A =f() 5 t Şekilde t doğrusu f() fonksionuna A noktasında teğettir. f() ve f () değerlerini bulunuz. 6) = doğrusunun = +k eğrisine teğet olması için k değeri kaç olmalıdır? 7) Bir f() fonksionunun bir A noktasındaki teğetinin denklemi + 5=, normalinin denklemi = +5 olarak bilindiğine göre A noktasının koordinatları ne olur? 8) = a +b+c parabolünün tepe noktasının koordinatlarını türev ardımıla bulunuz. 9) k nin hangi değeri için += k doğrusu = eğrisinin normali olur? Benzer öntemle ukarıda verilen diğer fonksionların türevlerini sizler bulabilirsiniz. ) = t, = t 8 parametrik denklemile verilen eğrinin t= noktasındaki teğet ve normalinin denklemini azınız. ) + 5= ifadesinin e göre türevini alarak (,4) ve (5,) noktalarındaki teğetlerinin eğimlerini bulunuz.

143 Bulduğunuz sonuçlarla aşağıdaki şekilleri ilişkilendiriniz. 5 4 A(,4) B(5,) 5 5 ) Aşağıda bazı eğriler ile üzerlerindeki birer nokta verilmektedir. Bu noktalardan eğrilere çizilen teğetlerin eğimlerini, bir kez kapalı fonksionunun türevi ardımıla bir kez de eğrileri = f() biçiminde azıp türev ardımıla bulunuz. a).= 8, (,4) b) +=, (,) c) + =, ( ), ç) + = (,) d) 4+4 = 4, (,8) ) f:r R, f()= fonksionu tanımlanıor. f () fonksionunun = 7 noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. 4) f:r R, f()= cos fonksionuna = π bulunuz. noktasından çizilen teğetin eğimini 9. f: R R, = f()= fonksionunun türevinin d d = = f ()= olduğunu biliorsunuz. Seçtiğimiz f() fonksionu ile f () türev fonksionunun ikisinin birer polinom fonksion olduğunu ve her gerçek saısı için türevlenebileceğini kolaca söleebiliriz. f () in tanımlandığı eni polinom fonksiona g() denirse g()= f () eşitliği kurulabilir. Bağıntıda türev ugulamasına geçilerek

144 dg d = d d [f ()]= d df d [ d = d f d [ elde edilir. f () fonksionunun türevlenebildiği bir noktasındaki türevine, f() fonksionunun ikinci basamaktan türevi denir ve f () a da d biçiminde gösterilir. d Buna göre verilen fonksionun ikinci basamaktan türevi, (f ) ()= f ()= d d = + 8 olur. = ( ) Benzer düşünce ile hareket edilerek f () fonksionunun da türevlenebildiği bir noktasındaki türevine, f() fonksionunun üçüncü basamaktan türevi denir ve f ()= d biçiminde gösterilir. d Peş peşe türev almaa devam edersek f() in; 4. basamaktan türevi f (4) ()= d4 d 4, 5. basamaktan türevi f (5) ()= d5 d 5,..., n. basamaktan türevi f (n) ()= dn d n olur. Birinci basamaktan sonra gelen türevlerin tümüne üksek basamaktan türev ortak adı verildiğini unutmaınız. Yapılan işlemlerden sonra, f (), f (4) (), f (5) (), f (6 ) () fonksionlarının kurallarını bulunuz. Grup çalışmanızda f n () ile f (n) () in farkını ortaa kouncaa kadar tartışmanızı sürdürünüz. 4

145 5. ) Aşağıdaki fonksionların 4. basamaktan türevlerini bulunuz. a) f()= +5 7 b) g()= 6 ++ c) h()= ç) k()=ln ) Bir polinom fonksionun hangi basamaktan türevlerinin sıfır olacağını bulmaa çalışınız. ) =e fonksionu için d4 d 4 nedir? 4) f()=sin fonksionu için f (8) () nedir? ( 5) f()=sin fonksionu için f π ) değerini hesaplaınız. Hilbert KŸ pÿ 5

146 TÜREVİN UYGULAMALARI Mostar Kš prÿ sÿ 6. üzılda Bosna Hersek in Mostar kentinde, Neretva Nehri üzerinde kurulan ve şehrin iki akasını birbirine bağlaan bir köprüdür. 99 te Bosna Savaşı nda ıkılan ve daha sonra eniden inşa edilen Mostar Köprüsü, dünanın en ünlü ve en zarif tarihî köprülerinden biri olarak tanınmaktadır. Mimar Sinan ın öğrencisi Mimar Hareddin tarafından tasarlanan köprü, 9 ılda inşa edilmiş ve 566 da tamamlanmıştır. metre uzunluğunda, 4 metre genişliğinde ve nehirden 4 metre ükseklikteki köprü, dönemi için gelişmiş bir teknoloji ile inşa edilmiş ve düna kültür mirasının bir parçası olarak kabul edilmiştir. Bir fonksionun analiz edilmesinde fonksionun grafiği bize ardımcı olur. Kuralı verilen bir fonksionun gerçek anlamda grafiğini çizmek mümkün değildir. Ancak bazı özel noktalar ve özelliklerden ararlanarak gerçek grafiğe olabildiği kadar akın bir grafik çizilebilir (Örneğin, grafiğin eksenleri kestiği noktalar fonksionun pozitif a da negatif olduğu aralıklar gibi.). Fonksionun grafiğini çizmede ve orumlamada fonksionun türevinden de ararlanılabilmektedir. Bu bölümde türevden nasıl ararlanıldığı tartışılacaktır. 6

147 { Aşağıda verilen fonksion grafiğini inceleiniz. Fonksionun artan, azalan ve sabit olduğu alt aralıkları görünüz. Buna bağlı olarak ön öğrenmelerinizi gözden geçiriniz.. { { AZALAN ARTAN SABİT Şimdi de bir fonksionun artan, azalan a da sabit olması ile üzerindeki noktalardan çizilen teğetleri arasındaki ilişkii inceleelim.. Şekil. Şekil. Şekil. şekilde teğetler çizilmiştir. ve. şekillerde de sizler noktalar alarak bu noktalardan geçen teğetleri çiziniz. Teğetlerin eğimlerinin işaretleri ile fonksionların artan, azalan a da sabit olması arasındaki ilişkii kurmaa çalışınız. Fonksionun bir noktasındaki türevinin, fonksiona o noktadan çizilen teğetin eğimi olduğunu biliorsunuz. O hâlde ukarıda elde ettiğiniz bilgileri türevle ilişkilendirmek istersek bir fonksion bir aralıkta artan ise anı aralıkta türevinin işareti pozitif, azalan ise türevinin işareti negatif, sabit ise türevi sıfır diebiliriz. 7

148 Bu durumu matematiksel olarak ifade edelim. f fonksionu [a,b] nda sürekli ve (a,b) nda türevlenebilir bir fonksion olsun. Seçilen her (a,b) için;. f () > ise f, [a,b] nda artan. f () < ise f, [a,b] nda azalan,. f () = ise f, [a,b] nda sabit fonksiondur. 6. ) A B C f() Yukarıda grafiği verilen f() fonksionunun A, B ve C noktalarındaki türevlerinin işaretini belirtiniz. ) f:r R, f()= 9+5 fonksionunu ele alarak f () fonksionunu bulunuz. Bulduğunuz f () fonksionunun işaret tablosunu apınız. Yaptığınız tablo ardımıla f() fonksionunun artan, azalan aralıklarını belirtiniz. Benzer olları kullanarak aşağıdaki fonksionların artan ve azalan oldukları aralıkları belirtiniz. a) f:r R, f()= + b) f:r R, f()= 4 c) f:r { } R, f()= + ç) f: (,π) R, f()= sin d) f:r + R, f()= ln e) f:r R, f()= + π π f) f:r R, f()= g) f:r [, [, f()= arctan 8

149 ) f () 5 Yukarıda, f:r R, f() fonksionunun türev fonksionunun grafiği verilmiştir. Grafikten ararlanarak f() fonksionunun artan, azalan olduğu aralıkları bulunuz. 4) Yanda, f:r R, f() fonksionunun türev fonksionunun grafiği verilmiştir. Grafikten ararlanarak aşağıda? bulunan erlerde <, > a da = sembollerinden birini kullanınız. f () a) f( )? f() b) f(4)? f(7) c) f ( )? f() ç) f ()? 5) f() in (, ) nda artan bir fonksion olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki fonksionların anı aralıkta artan a da azalan olmasını tartışınız. a) +f() b) f() c).f() ç) 5 +f() d) 4.f () e).f() 9

150 . Aşağıda Everest in zirvesinde er alan bulutun parlak ışığı, barındırdığı tehlikei de ima edercesine krallara laık bir taç gibi duruor. İki önden dışbüke olan bulut, zirvede güçlü rüzgârların, hatta doruğu taraıp duran jet akımlarının varlığına işaret edior. Hızları saatte 45 ile 8 km arasında değişebilen jet rüzgârlarının, dağa tırmananların aağını erden kestiği de bilinior. Fotoğraf: Grant Dion (Gırant Diksın) www. nationalgeographic.com 9 Maıs 95 te Edmund Hillar (Edmınt Hilari) ile Tenzing Norga (Tenzing Norge) in Everest in karla kaplı zirvesine aak basmasından beri düna değişti. Birden fazla dağcı onların zirvee çıkan olunu takip etti, e akın dağcı ise bu olda haatını kabetti. Fotoğraf: Stephane Schaffer (Sitefan Şefır) 4

151 Bu resimler Rusa da bulunan bir elmas madeninin resimleridir. Bu dehşet çukurun derinliği 55 m, çapı ise m dir. Müthiş bir hava boşluğu aratması sebebile bu çukur üzerinde uçak ve helikopter uçması asaklanmıştır. Bu çukurun ne derece büük olduğunu anlamak açısından üçüncü resimdeki kırmızı ok ile işaretli eri inceleiniz. Okla işaretli şe aslında 6 tekerlekli olan ve madende çalışan kamonlardan birinin görüntüsüdür. Tabii herkes bilior ki dünanın en büük çukuru MARİANA ÇUKURU, doğal bir şekilde oluşmuştur. Bu çukur ise elmas çıkartmak için insanlar ve makineler tarafından açılmıştır. Resimlerde gördüğünüz gibi dünamızın değişik erlerinde birçok tepe ve çukur, insanların dikkatini çekmekte ve onları heecanlandırmaktadır. Matematikte de fonksion grafiklerindeki tepe ve çukurlar, başka bir deişle fonksionların aldıkları en büük ve en küçük değerler dikkat çeken önemli göstergelerdir. Bu kavramlar, hem fonksionun analizinde hem de birçok problemin çözümünde kullanılan önemli kavramlardır. 4

152 Aşağıda verilen fonksion grafiklerini inceleiniz. Fonksionların artanlıktan azalanlığa a da azalanlıktan artanlığa geçtiği noktaları varsa grafik üzerinde gösteriniz. Gösterdiğiniz noktaların komşuluğunda bu fonksionların en büük a da en küçük değerlerini aldığını söleebilir miiz? Aşağıdaki grafiği inceleelim. f() Fonksion (, ) nda ve (, ) nda artan, (,) nda azalandır. = noktasında artanlıktan azalanlığa geçmekte ve bu nokta komşuluğundaki en büük değerini almaktadır. = noktasında azalanlıktan artanlığa geçmekte ve bu nokta komşuluğundaki en küçük değerini almaktadır. Sürekli bir f fonksionunun bir noktası komşuluğunda en büük değerini (,f( )) noktasında alıorsa bu noktada bir erel maksimumu vardır denir. f( ) değerine de erel maksimum değeri denir. Benzer şekilde fonksion en küçük değerini bu noktada alıorsa (, f( )) noktasında erel minimumu vardır denir. f( ) değerine de erel minimum değeri denir. Bir fonksionun erel maksimum ve erel minimum noktalarının hepsine birden erel ekstremum noktaları denir. Bu noktada, önceki bilgilerimizi kullanarak tanımı farklı biçimde apabiliriz. Bir fonksion bir noktası öncesinde artan, sonrasında azalan ise da bir erel maksimumu vardır. Aksine noktası öncesinde azalan, sonrasında artan ise da bir erel minimumu olur. 4

153 7. Aşağıda, = f() fonksionlarının belli aralıklardaki grafikleri verilmiştir. Bu fonksionların erel ekstremum noktalarının apsislerini bulunuz. f g 4 4 p h. Bu etkinlikte bir fonksionun ekstremum noktaları ile türevi arasındaki ilişkii öğrenmee çalışacağız. f()= g()= h()= Yukarıdaki grafikleri inceleiniz. Her bir fonksionun varsa erel ekstremum noktalarını bulunuz. Verilen fonksionların türevlerinin işaret tabloları aşağıdaki gibidir. f () in işareti + g () in işareti + + h () in işareti + Grafikleri ve tabloları incelediğinizde; Türevin sıfır olduğu noktalar erel ekstremum noktalarıdır diebilir misiniz? Yerel ekstremum noktalarda türev sıfır mıdır? Fonksionların türevlerinin işaretleri ani artan azalan olma durumları ile erel ekstremum noktaları arasındaki ilişkii söleiniz. 4

154 f: R R, f()= + fonksionunun varsa erel ekstremum noktalarını bulalım. f () = f () = ise = = ve = bulunur. + f () + + f() f( ) f() + (, f( )) erel maksimum, (, f()) erel minimum noktasıdır. f: R R, f()= fonksionunun erel ekstremum noktalarını bulalım. f () = f () = ise = olur. Buradan, = = bulunur. f () + f() f() + İşaret tablosunu incelediğinizde (, f()) noktasının bir erel ekstremum noktası olmadığı görülmektedir. f: A R, = f() fonksionu verilsin. Eğer bir A noktası fonksionun erel ekstremum noktası ise ve bu noktada türev varsa bu türevin değeri f ( )= dır. Bu nedenle türevin sıfır olduğu noktalarda türev işaret değiştiriorsa bu noktalar ekstremum noktalardır. 8. ) Aşağıdaki tanım kümelerinde verilen fonksionların varsa erel ekstremum noktalarını bulunuz. a) f:r R, = + b) f:r R, f()= 6+ c) f:r R, = (+) ç) f: (,π) R, f()= sin d) f:r R, = + ++ e) f:r R, f()= + + f) f:r R, = g) f:r R, f()= + ) f:r R, a R, f()= +a+4 verilior. Fonksionun erel ekstremum noktasının olup olmadığını araştırınız. 44

155 ) f:r R, f()= +m+n verilior. Fonksionun = noktasında bir erel minimuma sahip olduğu ve f( )= 6 olduğu bilindiğine göre m ve n değerleri ne olur? 4) Aşağıdaki fonksionların türev fonksionlarının grafiklerini kabaca çizmee çalışınız. Fonksionların türevlenebilir olduğu aralıkları belirtiniz. a) f() b) g() c) ç) k() m() 5) 4 Yanda türevinin grafiği verilen = f() fonksionunun ekstremum noktalarını bulunuz. 5 6 f Matematiği kullanmaan bilimler, ele aldıkları konularda ancak dış apıı inceleebilirler; çünkü matematikle dile getirdikleri, ancak birtakım bağıntılardır; Bu bağıntılar ise özle ilgili unsurlar arasında değil, dış görünüşle ilgili noktalar arasında olabileceğinden, bir varlığın özünü, onun aslında ne olduğunu bize vermekten acizdirler. O hâlde matematik, tabiat bilimleri, tarih gibi kişiliğin içlerine nüfuz edip, onu derin bir sezgi ile kavraabilen bir disiplinin önünde çok aşağı niteliktedirler. Mustafa Kemal Atatürk 45

156 . f(a) f(b) a b Yanda [a,b] R, =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. [a,b] için bu fonksionun; a) Alacağı en küçük değeri bulunuz. b) f( ) f() eşitsizliğini sağlaan f( ) değerini bulunuz. c) Alacağı en küçük değer ile (b) maddesindeki f( ) değerini karşılaştırınız. Bir f fonksionunun f([a,b]) görüntü kümesindeki varsa en küçük elemanına mutlak minimum, en büük elemanına da mutlak maksimum değerleri denir. Bu bilgilerden hareketle sizler de ukarıda grafiği verilen fonksionun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. 4. Aşağıda [, ] nda tanımlı = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. f() f( ) f( ) f() Fonksionun erel ekstremum, mutlak minimum ve mutlak maksimum noktalarını bulunuz. Bulduğunuz bu noktaları karşılaştırınız. [a,b] nda tanımlanmış bir f fonksionunda f(a) ve f(b) değerleri her zaman mutlak minimum a da maksimum değerleri olur mu? f:[, ] R, f()= fonksionunun mutlak maksimum ve minimum noktalarını bulalım. f ()= = denklemin kökleri ve olur. 46 f ()in işareti + Türevin işaret tablosunu incelediğinizde, f()= değerinin erel minimum değeri olduğu görülmektedir. f( )= 9 ve f()= 8 olduğundan fonksionun mutlak minimum noktası (, ) ve mutlak maksimum noktası (, 9) olur.

157 9. ) Aşağıda belirtilen aralıklarda tanımlanmış fonksionların mutlak minimum ve mutlak maksimum değerlerini bularak bu değerleri, erel ekstremum değerleri ile karşılaştırınız. a) 4 f() b) 4 g() ) f:[,4] R, f()= 4 fonksionu verilior. a) Bu fonksionun grafiğini çizerek mutlak minimum ve mutlak maksimum değerini bulunuz. b) f( ), f(4) ve erel ekstremum değerlerini bularak matematiksel işlem ardımıla fonksionun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. ) Aşağıda tanımlı olduğu aralıklarda verilen fonksionların mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. a) f:[,4] R, f()= + b) f:[,4] R, f()= c) f:[,] R, f()= +4 ç) f:[,] R, f()= d) f:[, π] R, f()= cos e) f:[,] R, f()=

158 4) Mutlak maksimum değere sahip bir fonksionun erel maksimum değerinin de kesinlikle olup olamaacağını tartışınız. 5) Yerel maksimum değeri olan bir fonksionun mutlak maksimum değeri de olmalı mıdır? Tartışınız. 6) Bir fonksionun bir aralıkta alabileceği en büük değeri bulmak için izleeceğiniz adımları sırala azınız. 5. Fonksion kavramının çok farklı bilim dallarında kullanıldığını şimdie kadarki derslerinizde gördünüz ve bunlarla ilgili ugulamalar aptınız. Bir problemde verilen ve istenene göre bir fonksion oluşturduğunuzu, oluşturduğunuz fonksionun tanım kümesini, problemin sınırlılıklarını dikkate alarak belirlediğinizi hatırlaınız. Fonksion bağıntılarının probleme göre değişebileceğini unutmaınız. Buradan, Negatif olmaan iki saının toplamı dur. Bu saıların çarpımı kaç olabilir? problemini ele alalım. Bu problemdeki saıları ve değişkenleri ile gösterirsek verilen bilgiden += eşitliğini azarız. İstenen de.=? biçiminde ortaa konur. Verilen eşitlikten = azılabilir.. ifadesinde erine alınarak problemin çözümünü verecek olan, f()=.( ) f:[,] R, f()= fonksionuna ulaşılır. Bu fonksionun tanım aralığının [,] alınma nedenini tartışınız. Problemin çözümünü veren fonksion değişkenine bağlı olarak azılabilir midi? Başka çözüm fonksionları tanımlanabilir midi? Bu ve benzeri soruları tartışınız. Problemde ele alınan saılardan birini, örneğin i, a da 6 aldığınızda istenen çarpımın kaç olacağını bulunuz. Acaba bu iki saının çarpımı en çok kaçtır? Çarpımın en büük değerini, elde edilen f() fonksionunun ekstremum değerleri ardımıla bulmaa çalışınız. Aşağıda verilen problemi ve çözüm basamaklarını inceleiniz. PROBLEM: Şekilde O merkezli arım dairenin içine ABCD dikdörtgeni çizilmiştir. Dairenin arıçapı 4 cm ise ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm dir? D C A B ÇÖZÜM: AO= OB= ve AD= olsun. AOD üçgeninden + = 6 azılabilir. ABCD nin alanı. dir. 48

159 D C 4 A B Bu verileri kullanarak ABCD dikdörtgeninin alanını veren bağıntı A()=. 6 olarak bulunur.bu bağıntının A: [, 4] R, A()= durumunda bir fonksion olacağı görülmektedir. Fonksionun ekstremum değerleri. türev ardımıla 8 6 A ()= = = 6.(8 )= 6.( ).( +)= =, = ve = olarak bulunur. Bunlara bağlı olarak A () in işaret tablosu aşağıdaki gibi oluşturulabilir. + A () in işareti + + = için, A( )= = 6 değeri ABCD nin alabileceği en büük değer olur. Problemin çözümü için değişkenine bağlı bir fonksion bulunabilir midi? Bulunan fonksion elde edilen sonucu değiştirir midi? gibi sorulara cevaplar aramaa çalışınız. A() fonksionunun en geniş tanım kümesinin ne olabileceğini tartışınız. ABCD dikdörtgeninin alabileceği en büük değer bulunurken = a da = değerlerinden ararlanılabilir mi? Nedenlerile tartışınız. Yapılan çalışmalardan da anlaşılacağı gibi ekstremum değer problemlerinin çözümünde türevden ararlanılır.. ) Farkları olan iki gerçek saının çarpımları en az kaç olur? ) Bir kenarı cm olan kare biçimindeki bir kartonun köşelerinden anı büüklükte kareler kesilip atılarak üstü açık, dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu apılacaktır. Bu kutunun hacminin en çok olabilmesi için, kesilen parçaların kenar uzunluğu kaç olmalıdır? ) Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın üç kenarına üç sıra tel çekilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu metre olduğuna göre, tarlanın alanı en çok kaç metre karedir? 49

160 4) f()= 9+7 parabolünün grafiği üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? 5) Üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutunun hacmi 45 cm tür. Tabandaki dikdörtgenin bou eninin katıdır. Bu kutunun alanının en az olması için boutları kaç olmalıdır? 6) Hacmi m olan kapaksız silindirik bir kavanoz imal etmek istioruz. Silindirin an üzü alüminumdan, tabanı bakırdan apılacaktır. Bakır, alüminumdan 5 kat pahalıdır. Malietin en az olması için kavanozun boutları kaçar metre olmalıdır? 7) Şekildeki duvara metre uzaklıkta ve 8 metre ükseklikte bir demir destek borusu dikilior. Bu borunun üzerinden atala θ açısı apacak biçimde şekildeki gibi kalas konuluor. Kalasın uzunluğu en az kaç metredir? Yol Gösterme: Kalas uzunluğunu θ cinsinden ifade ediniz. 8) km 6 km B M C A Denizdeki kaıkçının plajdaki B noktasına olan uzaklığı km dir. Kaıkçı B noktasına 6 km uzakta bulunan evine gitmek istior. Kaıkçının denizdeki hızı km/sa. ve plajdaki ürüme hızı 5 km/sa. tir. Buna göre kaıkçının en kısa sürede evine ulaşması için sahile çıkması gereken noktanın B noktasına olan uzaklığı kaç km dir? 6. Aşağıda bazı fonksionların grafikleri verilmiştir. Grafiklerin üzerinde belirtilen noktalardan teğetler çiziniz. a) f b) g 5

161 c) h ç) s Çizdiğiniz teğetler hangi grafiklerde eğrinin altında kalmıştır. Bu grafiklerin üzerindeki bütün noktalardan çizilecek teğetler benzer özelliği gösterir mi? Çizdiğiniz teğetler hangi grafiklerde eğrinin üstünde bulunur. Bu grafiklerin üzerindeki bütün noktalardan çizilecek teğetler benzer özelliği gösterir mi? Benzer şekilde aşağıda grafiği çizilen eğri üzerinde seçilen noktalardan çizilen teğetlerin bir kısmı eğrinin altında bir kısmı da eğrinin üstündedir. Bir eğrie tanım aralığının belli bir alt aralığında çizilen bütün teğetler eğrinin altında kalıor ise eğrie bu aralıkta dışbüke, eğrinin üstünde kalıor ise içbüke eğri denir. Bütün tanım aralığında bu şartlar sağlanırsa eğri içbüke a da dışbüke olarak adlandırılır. Buna göre aşağıda verilen. şekildeki eğri dışbüke,. şekildeki eğri içbükedir. f() d d 5 E d 6 A C D F d. şekil B d d 4. şekil g() Bir fonksionun grafiğinin bir aralıkta içbüke a da dışbüke olması ile türev kavramını ilişkilendirelim. Yukarıda. şekilde verilen d, d ve d teğet doğrularını eğimlerinin işaretine göre sıralaınız. d teğetinin eğiminin negatif, d teğetinin eğiminin sıfır ve d teğetinin eğiminin ise pozitif olduğunu söleebilir misiniz? Bu durumda f () fonksionunun işaretinin eksiden artıa değiştiğini ve bunun olması için B noktasında sıfır olduğunu gördünüz. Anı çalışmaı. şekil üzerinde aptığınızda değişimin ters önde olduğunu 5

162 keşfedebilirsiniz. Buradan bir eğrinin dışbüke olması durumunda, artan değerleri için teğetlerinin eğimlerinin işareti eksiden artıa değişir, diebiliriz. Aksi durumda da tersi düşünülebilir. Ortaa çıkan bu durumu, grafiği verilen fonksionun türevi ile ilişkilendirmee çalışınız. Bunun için birinci ve ikinci basamaktan türevlerin işaretlerinden ararlanınız. Yaptığınız işlemleri bir kez daha gözden geçirerek [a,b] nda tanımlı f() fonksionu için bir sonuca ulaşmaa çalışınız. f:r R, f()= +5 fonksionunun içbüke ve dışbüke olduğu aralıkları bulalım. Fonksionun birinci türevi, f ()= 6 6 dir. İkinci türevi de f ()= 6 olur. f ()in işareti + Tablodan ararlanarak f() fonksionunun (, ) ( nda içbüke ve, ) nda dışbüke olduğunu söleebiliriz. f () azalan ise f () < dır. Bu aralıkta f() fonksionu içbüke, f () artan ise f () > dır. Bu aralıkta f() fonksionu dışbükedir.. ) Aşağıda f() fonksionunun grafiği verilmiştir. f (b)= ise fonksionun içbüke ve dışbüke olduğu aralıkları azınız. f() a b c d ) Aşağıdaki şekilde f () fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre f() fonksionunun içbüke ve dışbüke aralıklarını bulunuz. f () ) f:r R, f()= fonksionunun içbüke ve dışbüke olduğu aralıkları bulunuz. 5

163 Aşağıda grafiği verilen [a,b] ndaki sürekli fonksionu inceleiniz. =f() a b Yukarıdaki grafiğe, üzerindeki işaretlenmiş noktalardan teğetler çiziniz. Çizdiğiniz teğetlerin, eğrinin üstünden altına vea altından üstüne geçmekte olduğu noktaları tahminî olarak işaretleerek apsislerini isimlendiriniz. İşaretlediğiniz noktalar için, eğrinin içbükelikten dışbükeliğe vea dışbükelikten içbükeliğe geçtiği noktalardır, diebilir miiz? Fonksionun bu noktalardaki türevlenebilirliğini tartışınız. Matematikçiler, içbükelikten dışbükeliğe vea dışbükelikten içbükeliğe geçiş noktalarına fonksionun bükülme (dönüm) noktaları adını verirler. Sürekli bir fonksionda, türevlenebilen vea türevlenemeen bir nokta da dönüm noktası olabilir. f()= fonksionunun = da türevlenebildiğini ve bu noktanın dönüm noktası olduğunu, g()= fonksionunun = ve = noktalarında türevlenemediğini ancak bu noktaların dönüm noktaları olduğunu görünüz. Sürekli bir f fonksionunun, herhangi bir noktasının bir tarafında f () <, diğer tarafında f ()> olması sağlandığında, f fonksionunun bir dönüm noktasıdır. 7. =f() a b c d e Yukarıda dönüm noktasının apsisi c, f (b)= ve f (d)= olan = f() in grafiği verilmiştir. Bu fonksionun türev fonksionu olan = f () fonksionunun grafiği tahminî olarak aşağıdaki gibidir. =f () a b c d e 5

164 = f () fonksionunun (a,c) nda azalan, (c,e) nda artan olduğunu ön öğrenmelerimizden bilioruz. f () fonksionunda apsisi c olan noktada f () in minimum noktası vardır. Bu noktada f (c) için ne sölenebilir? f()= 4.e fonksionunun dönüm noktalarını bulalım. f ()= e.(4 + 4 ) f ()=.( +8+).e = denklemin kökleri =, =, = 6 olur. 6 f ()in işareti İşaret tablosunu incelediğimizde = 6 ve = noktalarında f () in işareti değiştiğinden bu noktalar dönüm noktalarıdır. = noktasında f () in işareti değişmediğinden bu nokta dönüm noktası değildir. Bir f() fonksionu c noktasında türevli bir fonksion ve (c,f(c)) noktası dönüm noktası ise f (c)= dır.. ) f() fonksionunun grafiği aşağıda verilmiştir. f (c) =, f (b) = ve f (d) = olduğu bilindiğine göre f () ve f () fonksionlarının ilgili aralıklarda işaretlerini inceleerek tablou doldurunuz. a b c f() d e Aralık f() f () f () (a,b) + (b,c) + (c,d) + (d,e) ) Şekildeki grafiği inceleiniz. Eğer bu grafik; a) f() in, b) f () in, c) f () in, grafiği ise f() in kaç tane dönüm noktası olabilir? ) Aşağıdaki fonksionların içbüke ve dışbüke olduğu aralıkları ve büküm 54

165 noktalarını bulunuz. a) f()= + b) f()= 4 c) f()= + 4) Eğer (,) noktası f()= +c +d fonksionunun dönüm noktası ise c ve d değerleri ne olabilir? 5) Aşağıda, ikinci türevlerinin grafiği verilen f fonksionlarının büküm noktalarını bulunuz. f f f 6) Üçüncü dereceden bir polinom fonksionun, bir tane dönüm noktası olduğunu ispat ediniz. 7) Dördüncü dereceden bir polinom fonksionun grafiğinin a hiçbir dönüm noktası bulunmadığını vea tam iki dönüm noktası bulunduğunu ispat ediniz. 8) Bir fonksionun dönüm noktasını bulmak, grafiğin çizimine nasıl bir katkı sağlar? Araştırınız Bir fonksionun grafiğinin çiziminde problemlerden birisi de şekilde görüldüğü gibi, değerleri çok küçük a da çok büük değerler alırken fonksionun nasıl hareket edeceğini belirlemektir. değerlerinin büümesi durumunda + a, küçülmesi durumunda a gittiğini biliorsunuz. Bu durumda fonksionun + daki limit durumunu incelememiz gerektiği açıktır. Buna göre f()= + fonksionunun grafiğinin nasıl bir davranış göstereceğini bulmaa çalışalım. lim f()= lim + = () lim f()= lim + =+ () + + () ve () ifadelerinden fonksionun analitik düzlemin. bölgesinden gelip. bölgesine devam ettiğini söleebilirsiniz. Sizler de değişik polinom fonksionlar azarak grafiklerinin nasıl hareket edeceğini bulmaa çalışınız. 55

166 9. Geçmiş ıllarda, birinci dereceden polinom bir fonksionun grafiğini, eksenleri kestiği noktalar ardımıla ikinci dereceden polinom bir fonksionun grafiğini, eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktası ardımıla çizmei öğrenmiştiniz. Bu etkinlikte ise limit ve türev kavramlarını da kullanarak daha üksek dereceden polinom fonksionların grafiklerini çizmee çalışacağız. f()= 6 +6 fonksionunun grafiğini grup arkadaşlarınızla aşağıdaki soruları cevaplandırarak çizmee çalışınız. Fonksionun en geniş tanım kümesini belirleiniz. değerleri a da + a giderken fonksionun nasıl hareket ettiğini, diğer bir deişle hangi bölgeden gelip hangi bölgee devam ettiğini belirlemee çalışınız. Fonksionun eksenleri kestiği noktaları bulunuz. Birinci basamaktan türev ardımıla artan a da azalan olduğu aralıkları ve ekstremum noktalarını belirleiniz. İkinci basamaktan türevi ardımıla içbüke a da dışbüke olduğu aralıkları ve büküm noktalarını bulunuz. f() fonksionunun grafiğini çizmee çalışınız. f()= 9 fonksionun tanım aralığı (, ) dur. lim f()=, lim + f()= + olduğundan fonksion. bölgeden gelip. bölgeden devam eder. Fonksionun eksenini kestiği noktalar, 9=.( 9)= =, =, = + eksenini kestiği nokta ise = için f()= dır. f ()= 9 olduğundan 9= =, = dÿ r. f ()= 6 olduğundan 6= = dır. Elde ettiğimiz veriler ardımı ile aşağıdaki tablou oluşturabiliriz. + f () f () f() artan artan azalan azalan artan artan içbüke dışbüke 56

167 Bu tablodan ararlanarak fonksionun grafiği aşağıdaki gibi çizilir. 6 f()= 9 6 Bir polinom fonksionun grafiği çizilirken takip edilen işlem basamaklarını kendi cümlelerinizle azınız.. Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f()= 6 9 b) f()= + c) f()= +4 ç) f()= Polinom fonksionların grafiğini çizerken izlediğiniz ola benzer bir olla, bir rasonel fonksionun grafiğinin çizilmesi istenirse öncelikle en geniş tanım kümesinin bulunması gerekir. Örnek olarak f()= + fonksionunu ele alalım. Bu fonksionun en geniş tanım kümesinin R {} olduğunu sanırız bulmuşsunuzdur. = için f() fonksionunun tanımsız olduğu açıktır. Bu durumda f() fonksionunun apsisi olan noktası oktur. Apsisi olan noktaları (, ) olarak düşünürsek bu noktalar analitik düzlemde, şekilde görüldüğü gibi = düşe doğrusudur. Ölese f() fonksionunun doğru üzerinde noktası oktur, diebiliriz. Başka bir deişle = doğrusu bu fonksion için özel bir doğrudur. f() fonksionunun grafiğinin bu doğruu kesmeeceğini sizler de fark etmişsinizdir. Burada sorun, = noktasına aklaşan değerler için fonksionun nasıl bir davranış göstereceğidir. 57

168 Önceki etkinliklerden bu aklaşımın limit olduğunu biliorsunuz. O hâlde, lim f() ve lim + f() limitlerini bularak fonksionun davranışını grup arkadaşlarınızla tartışınız. Genel olarak a R, a A olmak üzere, f: A R, = f() fonksionu için, lim f()= ± a da lim a a + f()= ± oluorsa = a doğrusuna, f() fonksionunun düşe asimptotu denir. Bu tanımdan ve ukarıda aptığınız çalışmalardan ararlanarak f()= + fonksionunun düşe asimptotunun = doğrusu olduğunu söleebiliriz. 4. ) Aşağıda verilen fonksionların varsa düşe asimptotlarını bulunuz. a) f()= b) f()= 4 c) f()= ) Aşağıda verilen f() fonksionlarının grafiklerile ilgili soruları anıtlaarak düşe asimptotlarını bulunuz. 4 lim f()=? lim f()=? + lim f()=? lim f()=? + lim f()=? 4 lim f()=? 4 + lim f()=? lim + f()=? 4. Polinom fonksionların, a da + a giderken grafiklerinin davranışlarını limit alarak buluorduk. Benzer düşüncele f()= + fonksionunun grafiğinde in a da + a aklaşan değerleri için nin hangi değere aklaştığını limit ardımıla bulunuz. Bulduğunuz bu değerin fonksionun grafiğinde ne anlama geleceğini tartışınız. Tartışmalarınızın sonuçlarını aşağıda apılan işlemle ilişkilendirmee çalışınız. f()= + = + Bu eşitlikten ararlanarak in a aklaşan değerleri için fonksionun e soldan, in + a aklaşan değerleri için fonksionun e sağdan aklaştığını söleebiliriz. Ancak bu durumdan fonksionun değerini almadığı sonucunu da çıkarabiliriz. f()= 4+ fonksionunun grafiğinin değerleri ve a giderken davranışını inceleelim. lim f()= 4+ = 4 lim f()= 4+ + = 4 olur. Ölese ( saısı, ve + a...) aklaşırken fonksion 4 e aklaşır. 58

169 Buradan bir genelleme aparak b R olmak üzere, = f() fonksionu için, lim f()= b vea lim f()= b ise denklemi = b olan doğrua f() fonksionunun + ata asimptotu denir. Bu tanımdan ve aptığınız çalışmalardan f()= 4+ fonksionunun ata asimptotunun = 4 doğrusu olduğu kolaca sölenebilir. 5. ) Aşağıda verilen fonksionların varsa ata asimptotlarını bulunuz. a) f()= + 8 c) f()= +5 b) f()= 4 ++ ç) f()= + + ) Aşağıda grafikleri verilen fonksionlarla ilgili soruları anıtlaarak fonksionların ata asimptotlarını bulunuz. a) b) f() f() lim + f()=? lim f()=? c) f() ç) f() lim f()=? lim f()=? lim f()=? + 4. f()= fonksionunun grafiğini çizebilmek için aşağıdaki adımları izleiniz. Fonksionun, En geniş tanım kümesini, Düşe ve ata asimptotlarını, Eksenleri kestiği noktalarını, Birinci türevi ardımıla artan a da azalan olduğu aralıkları ve ekstremum noktalarını, İkinci türevi ardımıla, iç büke ve dış büke olduğu aralıkları ve büküm noktalarını bularak fonksionun grafiğini çiziniz. 59

170 Yaptığınız çalışmaları aşağıdaki tablo ve grafik ile karşılaştırınız. + f () f () + f() + içbüke dışbüke 6. ) Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f()= c) f()= +4 d) f()= + b) f()= 4 ç) f()= + e) f()= ) Bir fonksionun grafiğinin ata asimptotunu herhangi bir noktada kesip kesemeeceğini tartışınız. f:a R R, f()= + fonksionu için, + lim f()=, lim + f()= + olduğu görülür. Buradan bu fonksionun ata asimptotunun olmadığını söleebiliriz. Ancak fonksionun grafiği çizilmek istendiğinde in ve + a aklaşan değerleri için fonksionun davranışını incelememiz gerekir. Bunun için önceki bilgilerimizi kullanarak fonksionun, f()= + + = + + biçiminde azılabildiğini biliorsunuz. Bu durumuda in çok büük a da çok küçük değerleri için f() fonksionunun alacağı değerlerin, in değerlerine akın değerler olacağını kolaca görebilirsiniz. 6

171 Çünkü + için + a gitmektedir. Bir f() fonksionu ve lim (f() g())= a da lim + (f() g())= eşitliklerini sağlaan bir g() fonksionu olduğunu varsaalım. Bu durumda, ) g()= a+b (a ) ise denklemi = a+b olan doğrua f() in bir eğik asimptotu, ) g() fonksionu en az ikinci dereceden ise g() eğrisine f() in bir eğri asimptotu denir. Tanımlamaa göre f()= + fonksionunun eğik asimptotunun = olduğunu + görünüz. 7. Aşağıda verilen fonksionların varsa eğik a da eğri asimptotlarını bulunuz. a) f()= + b) f()= c) f()= ++ f()= + + fonksionunun grafiğini çizelim. 44. Önceki etkinlikte bu fonksionun eğik asimptotunun = doğrusu olduğunu bulmuştuk. Sizler de bu fonksionun; En geniş tanım kümesini, Varsa düşe asimptotunu, Eksenleri kestiği noktaları, Artan a da azalan oldukları aralıkları ve ekstremum noktalarını, içbüke a da dışbüke oldukları aralıkları ve büküm noktalarını bulunuz. Aşağıdaki tablou doldurunuz ve çizilen grafikle karşılaştırınız. f () f () f() + 6

172 8. Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f()= + b) f()= Şimdie kadar grafiklerini çizdiğimiz fonksionlardan biraz daha farklı olarak f()= fonksionunu ele alalım. Bu fonksionun; En geniş tanım kümesini, Eksenleri kestiği noktaları, Artan a da azalan, içbüke a da dışbüke olduğu aralıkları, Ekstremum noktaları ve büküm noktalarını bulunuz. Bulduğunuz sonuçları kullanarak aşağıda f() fonksionu için verilen tablou doldurunuz ve çizilmiş olan grafikle ilişkilendiriniz. f () f () f() + f() 46. f()= fonksionunun grafiğini çiziniz. Bunun için fonksionun, İşaret tablosu ardımıla en geniş tanım kümesini, Yata ve düşe asimptotlarını, Eksenleri kestiği noktaları,. türev ardımıla artan azalan olduğu aralıkları bulunuz. 6

173 Bulduğunuz sonuçları kullanarak aşağıda f() fonksionu için verilen tablou doldurunuz ve çizilmiş olan grafikle ilişkilendiriniz. f () f() + Buraa kadar, fonksionların grafiklerinin çizimlerile ilgili aptığımız çalışmaları eniden gözden geçiriniz. Bir fonksionun grafiğini çizerken izlenebilecek basamakları, kendinize ugun bir öntem olarak oluşturunuz. Geliştirdiğiniz öntemin tartışmasını apınız. 9. Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f()= b) f()= c) f()= ç) f()= 47. Bir polinomda P()= apan değerlerine polinom kökü denir. P()= ( a) n.q() biçiminde verilen bir polinomun sıfır olması için, ( a) n = vea Q()= olması gerekmektedir. Buradan, ( a) n = eşitliğini sağlaan = a değerlerine polinomun n katlı kökü adı verilir. Bu etkinliğimizde bir polinomun n katlı kökleri ile türevleri arasındaki ilişkii inceleelim. Örneğin, P()= ( ).B() polinomu için P () ile P () i bulunuz. Verilen P() ile elde ettiğiniz P () ve P () polinomlarını inceleiniz. Bu polinomların hangileri ile tam bölünebilir? P() polinomu P()= ( ).M() biçiminde verilirse P(),P () ve P () değerleri için ne sölenebilir? Yaptığınız çalışmanın önceki ile olan ortak anlarını bulunuz ve bir genelleme apmaa çalışınız. 6

174 P()= 4 polinomunun katlı kökü ile türevleri olan P(), P (), P (), P () polinomları arasındaki ilişkii grafik üzerinden görmee çalışalım. P(), P (), P (), P () polinomlarının grafikleri grafik çizer hesap makinesi ardımıla çizdirildiğinde aşağıdaki gibi olduğu görülür. =, P()= 4 polinomunun 4 katlı bir köküdür.grafikleri incelediğimizde P() polinomunun katlı kökü P () ve P () ve P () polinomlarının da köküdür. Burada, = için P ()= P ()= P ()= olduğu görülür. Sizler de P ıv () polinomunun grafiğini çizerek P (4) () olduğunu görünüz. Genel olarak n N +, a R olmak üzere, P()= ( a) n.q() polinomu için, P(a)= P (a)= P (a)= : P (n ) (a)= olur. P()= +a +b polinomu (+) ile tam bölünebilmektedir. Buna göre a b kaçtır? Sorusunun anıtını araştıralım. P()= (+).K() biçimindedir. O hâlde P( )= ve P ( )= olmalıdır. P( )= ( ) +a.( ) +b.( ) = a b=...(i) P ()= +a+b olduğundan P ( )= ( ) +a( )+b= 4a+b=...(II) olur. (I) ve (II) denklemlerinin ortak çözümünden a=, b= 8 ve a b = 8 bulunur. 64

175 Aşağıdaki P() polinomu ve bu polinomun ardışık 4 türevinin grafiği verilmiştir. P() polinomunun katlı köklerile türevleri arasındaki ilişkii grafik üzerinden görmee çalışalım. P(), P (), P (), P () ve P ıv () polinomları grafik çizer hesap makinesi ardımıla çizdirildiğinde aşağıdaki görüntü elde edilmiştir. P() kırmızı P () mavi P () eşil P () eflatun P (4) () sarı renk ile grafikleri gösterilmiştir. P()= (+) 4.( ) Grafikleri incelediğimizde = için P( ) = ve = için P() = = için P ( ) = ve = için P () = = için P ( ) = ve = için P () = = için P ( ) = ve = için P () = için P (4) ( ) olur. 4. ) P()= a 5 +b 4 +c polinomu (+) ile tam bölünebildiğine göre b.c a kaçtır? ) P()= m 4 +n k polinumunun bir çarpanı ( ) ise m+n+k kaçtır? ) P()= a +b ++9 polinomunun iki katlı kökü = olduğuna göre a.b kaçtır? 48. lim f()= 4, lim + ++, lim cos sin Limit konusundaki bilgilerinizi gözden geçirerek ukarıdaki limit değerlerini bulunuz. Bu etkinliğimizde limitte belirsizlik durumunu çözmede etkili bir teknik olan türevden aralanacağız. Önce türevin ve çalışalım. belirsizlik durumlarında nasıl kullanıldığını 65

176 ve lim Varsaalım f ve g fonksionları [a,b] nda sürekli, (a,b) nda türevli iki fonksion f() ifadesinde pa ve pada birlikte sıfıra aklaşsın. g() Bu durumda, f( )= ve g( )= olur. O hâlde, lim f() g() = lim f() g() = lim f() f( ) g() g( ) azılabilir. Bu limitin pa ve padasını ile bölünüz. Bölümün limitini, limitlerin bölümü olarak ifade ediniz. Pa ve pada da oluşan limitleri türevle ilişkilendiriniz. lim f ve g fonksionları [a, b] nda sürekli (a, b) nda türevli iki fonksion ve f() g() ifadesinde pa ve pada birlikte sıfıra a da + a aklaşsın. lim f() g() = f ( ) g ( ) olur. Bu eşitlik L Hospital (Lopital) kuralı olarak ifade edilir. Bu kural ardımıla belirsizliği olan lim + ++ değerini hesaplaalım. lim + ++ ( = lim + ++) ( ) = lim = bulunur. Sizler de ön öğrenmeler ardımıla bulduğunuz limitleri kural ardımıla bir kez daha aparak doğrulaınız. lim + ( +ln ) değerini L Hospital kuralı ardımıla hesaplaalım. lim + ( +ln ) ifadesinde belirsizliği vardır. lim ln + (.ln ) + = lim ln. lim + ( +.ln ) + lim ln. [ lim + +.ln +lim ]...( + * ) A A= lim +.ln = lim + ln ( belirsizliği olup L Hospital kuralını ugulaalım.) = lim = lim + +. = lim = + * ifadesinde A, erine azılırsa.( +)= ( ).( )= + olur. 66

177 lim (.cot) değerini bulalım. lim lim (.cot)= lim.lim (.cot)= lim. = lim tan cot ifadesinde. belirsizliği vardır. tan ifadesi belirsizliği hâline dönüşür. Burada L Hospital kuralı ugulanırsa lim tan = lim +tan = = olarak bulunur. + (Önceki derslerden lim a tanb = a b lim ( + ) değerini bulalım. lim ( + ) = lim ( = ( + ) ln= ln ( + ) =.ln + olduğunu hatırlaınız.) + ) ifadesi belirsizliğidir. ifadesindeki her iki tarafın Doğal Logaritmasını alalım. (Her iki tarafın limiti alınırsa) lim ln= lim.ln + (. belirsizliği vardır.) ln + ln= lim ( belirsizliği olduğundan L Hospital kuralını ugulaalım.) ln= lim (. (+) : + ) : ( ) (Sadeleştirmeler apılırsa) ln= lim = (Logaritma kuralından) + = e olduğundan lim ( + ) = e olur. 67

178 . sınıfta Logaritma konusundan n saısının çok büük pozitif ve çok küçük negatif değerler için ( n + n ) ifadesinin aklaştığı saının e=, olduğunu hatırlaınız. lim lim değerini bulalım. ifadesi belirsizliğidir. = ln= ln =.ln (Her iki tarafın Doğal logaritmasını alalım.) (Her iki tarafın limitini alalım.) lim ln= lim (.ln ) ln= lim ln ( belirsizliği olduğundan L Hospital kuralını ugulaalım.) ln= lim ln= = e = olduğundan lim = olur. lim + (sin) ifadesinin değerini bulalım. lim + (sin) ifadesinde belirsizliği vardır. Bunun için = (sin) (Her iki tarafın Doğal logaritması alınırsa) ln= ln(sin) ln=.ln sin (Her iki tarafın limiti alınırsa) lim + ln= lim (.ln sin) + (. belirsizliği) ln= lim + ln sin ( belirsizliği olduğundan L Hospital kuralını ugulaalım.) 68

179 ln= lim + cos sin = lim cos + sin ( belirsizliği olduğundan tekrar L Hospital kuralını ugulaalım.) ln= lim (.cos sin) + cos ln= = e = olduğundan lim + (sin) = olur. 4. ) Aşağıdaki limitleri L Hospital kuralı ardımıla bulunuz. a) lim +sin tan b) lim cos c) lim sin ç) lim sin d) lim + +sin sin f) lim + e ğ) lim + e e) lim g) lim + cot cot h) lim + sin ı) lim j) lim ( ( ) tan π sin ) i) lim +.In l) lim ( In) m) lim + k) lim (cot In) + ( ln ( ) e) ) m ve n pozitif tek tam saı olmak üzere aşağıdaki limitin değerini bulunuz. lim m + n + (Yol Gösterme: L Hospital kuralını kullanabilirsiniz.) ) lim ( 4 tan sin ) limitinin değerini bulunuz. (Yol Gösterme: L Hospital kuralını kullanabilirsiniz.) 69

180 ( ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME ) = fonksionu için f ( ) ve f ( + ) değerlerini hesaplaarak bu fonksiona başlangıç noktasından teğet çizilip çizilemeeceğini söleiniz. ) f()= +, ise { > ise fonksionunun = noktasında hem sürekli hem de türevlenebilir olduğunu gösteriniz. ) Aşağıda verilen f fonksionlarının türev fonksionlarını bulunuz. f fonksionunun tanım kümesi ile f fonksionunun tanım kümesini karşılaştırınız. Tanım kümelerinin anı a da farklı olması ne anlama gelir? Açıklaınız. a) f:r R, f()= + b) f:[, ) R, f()= c) f:r R, f() = fonksionunun = noktasında türevlenebilir olması 4) f()= m+n, < ise { ise için m ve n değerlerini bulunuz. ifadesinin eşi- 5) f:r R, f() fonksionu için f()= ve f ()= ise d d ( f() tini bulunuz. = 6) f()= eğrisi üzerinde (8,) noktasına en akın olan noktaı bulunuz. 7) cm sıvı koabileceğimiz silindirik bir kutu apmak istioruz. Kutunun apımında kullanılacak malzemenin en az olabilmesi için ükseklik ve arıçapı nasıl seçmeliiz? 8) a +b+c= denkleminin farklı iki kökü olsun. f()= a +b+c fonksionunun, bu köklerin aritmetik ortalamasında bir ekstremum noktaa sahip olduğunu gösteriniz. 9) = bulunuz. eğrisinin = 4 doğrusuna dik olan teğetlerinin kesim noktalarını ) f()= fonksionunun n. basamaktan türevini veren bağıntıı bulunuz. 7

181 ) a) Tek ve türevli bir fonksionun türevinin çift, b) Çift ve türevli bir fonksionun türevinin tek olduğunu gösteriniz. ) f()= fonksionunun minimum a da maksimum değerinin olmamasının sebebi nedir? ) f()= ise { = noktasında ikinci türevinin olabilmesi a +b+c > ise için a, b ve c değerleri kaç olmalıdır? 4) += eğrisine bir noktasından çizilen teğetin denklemi = +n ise n değerlerini bulunuz. fonksionunun grafiğini çiziniz. 5) A R olmak üzere, f:a {,} R, f()= 6) 4 = +4 Şekildeki gibi iki köşesi = +4 parabolü her bir kenarı ekseni üzerinde olan bir dikdörtgen çizilior. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç birim kare olabilir? 7) 6 Şekildeki gibi 6 cm arıçaplı bir küre içine erleştirilebilecek maksimum hacimli bir silindirin hacminin kaç cm olabileceğini bulunuz. 8) Bir maddenin asidik vea bazik olması o maddenin ph ının aldığı değere bağlıdır ( ph 4). Madde asidik ise ph<7 Madde bazik ise ph>7 Şu anda Kuze Amerika daki ağmur suunun ph ı 6 olarak ölçülmüştür. Çevre 7

182 bilimciler bu bölgenin ıl sonra ağmur suunun ph ının A()= 6 formülü ile hesaplanabileceğini tahmin ediorlar. Buna göre en +9 düşük ph, kaç ıl sonra gerçekleşir? O ılın ph değerini hesaplaınız. 9) f () Şekilde f () fonksionunun grafiği verilmiştir. Yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı α ve <7 için büküm noktasının apsisi β ise α+β toplamı kaçtır? ) f()= 4 +a+b fonksionlarının dönüm noktasının olup olmadığını belirtiniz. g()= +a +b+c fonksionunun her zaman bir dönüm noktası olduğunu gösteriniz. Bu fonksionun = noktasında dönüm noktası varsa a ne olmalıdır? ) A f() d Yandaki şekilde d dorusu f() fonksionuna A noktasında teğettir. d doğrusunun denklemi = + ise f() + f () toplamını hesaplaınız. ) f()= ++ fonksionunun en fazla bir gerçek kökü olduğunu türev bilgileriniz ardımıla gösteriniz. ) β= { (, ): += +, (, ) R ve bağıntısının grafiğini çiziniz. Buna göre; I) Bu bağıntının bir fonksion olduğunu gösteriniz. Tanım ve değer kümelerini azınız. II) β fonksionunun hangi nokta için türevsiz olacağını belirtiniz. 7 {

183 4) f 4 Yukarıda türevinin grafiği verilen =f() fonksionu için; a) f() in artan a da azalan olduğu aralıkları bulunuz. b) f() in dönüm noktalarını bulunuz. c) f() in ekstremum noktalarını bulunuz. ç) f () in ekstremum noktalarını bulunuz. kaçtır? 5) f()= a+b fonksionunun (,4) noktası erel maksimum noktası ise a+b ++4 6) f()= fonksionunun ekstremum noktasının koordinatları toplamı kaçtır? e 7) 4 A 6 f() d f() fonksionuna A(6,4) noktasında teğet d doğrusu çizilmiştir. Buna göre, g()= f() ise g (6) kaçtır? 7

184 8) f()= a+b fonksionu = apsisli noktada eksenine teğet ise a kaçtır? 9) f () 4 Yukarıdaki şekilde f() in türev fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki argılardan kaçı doğrudur? Yanlışları düzeltiniz. a) = de f() in erel minimumu vardır. b) = de f() in erel minimumu vardır. c) = de f() in erel maksimumu vardır. ç) = de f() in dönüm noktası vardır. d) = da f() in dönüm noktası vardır. ) f()= m +4 4 fonksionu daima azalan fonksion ise m aralığı için ne sölenebilir? ) f()= g( +).ln(+) fonksionu verilior. g()= 4 olup f() fonksionuna = noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır? fonksionunun = noktasındaki teğeti =5 doğrusuna pa- ) f()= a ralel ise a kaçtır? ) P()= + +m+n polinomunun (+) ile tam bölünebilmesi için m ve n değerleri ne olmalıdır? 74

185 4) Bir hareketlinin t saniede aldığı ol, s(t)= 4t +6t (metre) denklemi ile verilior. Buna göre hareketlinin; a) saniede aldığı olu, b). saniedeki hızını, c) İvmesini bulunuz. 5) f:r R, f()= fonksionu verilior. lim h f( h) f(+4h) h ifadesinin eşiti kaçtır? 6) f()=e cos fonksionu verilior. lim π e f() π ifadesinin değeri kaçtır? a) lim π ç) lim 7) Aşağıdaki limitleri hesaplaınız. arctan π 4.In b) lim 4 π cos ( ) d) lim ( tan sin cos + π ) c) lim tan( ).ln π e) lim π sin a) lim In(+) e ç) lim + e + 8) Aşağıdaki limitleri hesaplaınız. + b) lim d) lim cosec ) ) + c) lim e e) lim In(cos) 9) +4 = denklemile verilen eğrinin = daki teğetinin eğimini bulunuz. 4) Denklemi ++4+= olan eğrinin (,) noktasından çizilen teğetinin denklemini azınız. 4) f:(, ] [, + ), f()= ise (f ) (4) değeri nedir? 4) Aşağıda verilen fonksionların belirtilen noktalardaki teğetlerinin eğimlerini bulunuz. a) f()= ( ), = b) f()=.sin, = π c) f()= +5+4, = ç) f()=. +, = + 4) f:r R, f()= ++ ise (f ) () değerini hesaplaınız. 75

186 44) f()= tan ise f π 4 ) değeri nedir? ) 45) = t t = t t ise d d in t= için değeri kaçtır? 46) = t = t + parametrik denklemile verilen eğrinin = noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. 47) =t =t +t parametrik denklemile verilen =f() fonksionu için d d i bulunuz. 48) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) = sin( +) b) = tan(sin) c) = arctan ( ) ç) = ln( ++) d) = e + e) = arcsin(cos) f) = ln(ln) g) = e.ln ğ) = + h) = sin 49) Tanım kümesi: [,9] dır. <6 ise f () negatif, >6 ise f () pozitiftir. f () daima pozitiftir. f(6)=4, f()=8 ve f(9)=5 tir. Yukarıdaki koşulları sağlaan fonksionun grafiğini tahmini olarak çiziniz. 5) Bir hareketlinin aldığı olun zamana bağlı fonksionu s(t)=6t +t +8t+6 olarak verilior. Bu hareketlinin ivmesi kaçıncı saniede 8 m/sn. olur? 5) D A O r C h B Bir odanın penceresi, şekildeki gibi bir arım daire ve dikdörtgenden oluşmaktadır. Pencerinin mavi kısmı birim alanda ışığın arısını, sadam kısmı ise ışığın tamamını içerie almaktadır. Odadaki adınlanmanın en çok olabilmesi için r uzunluğunu, pencerenin çevresinin uzunluğuna bağlı olarak bulunuz. 76

187 5) Şekildeki gibi genişliği 9 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir kâğıt şerit C köşesi DA kenarı üzerine gelecek şekilde katlanıor. Oluşan FDE üçgeninin alanının en büük değeri kaçtır? C G B F 9 cm D E A 5) Bir çocuk az tatilinde verilen proje çalışması için evlerinin bahçesine bir ağaç fidesi dikerek ağacın büüme evresini, tatil bounca not edecektir. Bu fidei sulamak için her gün evine 9 metre uzaklıktaki dereden kova ile su alarak deree 6 metre uzaklıktaki ağaç fidesini sulaacaktır. Evin deree en akın uzaklığı ile ağacın deree en akın uzaklığı arasındaki mesafe metredir. Çocuk ağaç fidesini sulamak için en kısa oldan gidior. Bu durumda çocuğun su aldığı noktaı bulunuz. 77

188 4. B L M ALT ÖĞRENME ALANLARI Belirli İntegral Belirsiz İntegral Belirli İntegralin Ugulamaları 78

189 BELİRLİ İNTEGRAL Düzlemde tanımlanan üçgen, kare, dörtgen ve daire gibi geometrik şekillerin alanlarının nasıl bulunacağını biliorsunuz. Pek çok düzgün şeklin alanını bulmak için de bu bilgilerinizi kullanmanız eterli olabilmektedir. Ancak bazı alanları bulabilmek için düzgün geometrik şekillerin alanlarını kullanmak eterli olmaabilir. Kenarları düzgün olmaan kapalı bir bölgenin alanını hesaplamak için bölge, düzgün kenarlara sahip daha küçük parçalara arılarak bu parçaların alanlarından aralanılabilir. d c Şimdi de düzlemde gelişigüzel çizilen. şekildeki alanı bulmaa çalışacağız. A. Şekil A a b. Şekil Gördüğünüz gibi bu alanı tanılaan bir geometrik apı ok. Ancak sonlu bir alan değerinden söz edebilmek için şeklin taşıması gereken özellikler var. Bunların birkaçını birlikte düşünebiliriz. Örneğin, alandan söz ediorsak boutlarının ölçülebilir olduğunu kabul edioruz demektir.buradaki gelişigüzel düzlem parçası için bu gereklilik koşulu, parçanın eni bou sonlu bir dikdörtgenin içine konabileceği anlamını taşır. Görsel olarak alanı. şekildeki gibi temsil edebiliriz. Buna göre alanın bou (a,b) ve eni (c,d) nda kalacaktır. Aksi durum olsadı alan için sonlu bir değerden söz etmek mümkün olmazdı. Görünen a da olması gereken ikinci özellik, alanın küçük alt alan parçacıklarının toplamı olarak düşünülebileceğidir. Bu düşünce bize doğrudan tüm alanı bulmak erine, küçük parçacıkların tek tek alanlarını bularak toplamlarını oluşturma şansını verir. Bölece istenen alanı bulabiliriz. Georg Friedrich Bernard Riemann (Georg Fridriş Bernard Riiman) (86 866) Matematik ve geometri dalında çok önemli çalışmaları ile modern kuramsal fiziğin gelişmesine önemli katkıları olmuştur. Riemann integrali olarak bildiğimiz belirli integral kavramını ortaa komuştur. 79

190 Önce alanı bir doğru ile keserek birer kenarları düz olan iki parçaa aırabiliriz. Burada şunu unutmamalıız: Bütünün boutları sonlu ise parçalarının boutları da sonlu olur. Alanı iki parçaa aırmada kullanılan aklaşım, peş peşe eniden kullanılarak bu kez her bir alan şekildeki gibi pek çok alt alanın toplamına dönüştürülebilir. Bu aklaşım ile önemli olan ve kullanılabilecek iki sonuç elde edilmiştir. Birincisi küçük alt alanların toplamından genel alana ulaşılmasıdır. İkincisi küçük alt alanların her birinin üç anının doğru parçası, bir anının ise eğri parçasıla sınırlı daha küçük eni alanlar oluşturmasıdır. Ölese başlangıçtaki alan problemi üç anı doğru ve bir anı eğri ile sınırlı olan daha küçük bir alanı bulma biçimine dönüşmüş olur. Üç kenarın doğru parçaları ile sınırlı oluşu önemli bir kolalık olarak düşünülmelidir. Bu aşamada problemi çözebilmek için elimizde var olan verileri eniden değerlendirebiliriz. Buna göre elimizde koordinat sistemine de erleştirebileceğimiz şekildeki küçük bir parça var ve bu parçanın alanını bulmak istioruz. e f Şekildeki görüntüü de göz önüne alarak alan parçası için öncelikle; Bir kenarı ekseni ile, İki kenarı eksenine paralel doğru parçaları ile, Üst kenarı bir eğri ile sınırlıdır, belirlemeleri apılabilir. Daha sonra boutları için ortaa konanlar da göz önüne alınarak; [e, f] nın sonlu bir kapalı aralık olduğu, Alanı üstten sınırlaan eğrinin her noktasının, eksenine olan uzaklığının sonlu ve eğrii tanımlaan fonksionun sınırlı olduğu, [e, f] ndaki eğrinin, f:[e, f] R gibi sürekli bir fonksionla temsil edilebileceği gibi 8

191 kısıtlamalar da apılabilir. Bölece verilen herhangi bir eğri ile sınırlı, sonlu boutlu bir bölgenin alanını bulma problemi, küçük bölgelerin tek tek alanlarını bulmaa indirgenmiş olur. Kuşku ok ki bu alanların bulunması büük alana göre daha koladır.bu kez matematik dili ile problemin eni şeklini şöle belirlemek mümkündür: Ortaa konan eni koşullar altında problem;. [e, f] sonlu kapalı aralığı ile sağdan ve soldan sınırlanmış,. Tabanı ekseni ile çakışan ve sınırlanan,. Üstten f() fonksionu ile sınırlı, 4. Alanı üstten sınırlaan f fonksionu, (e, f) noktasında tanımlı ve bu aralıkta, sonlu, sınırlı, sürekli olan alanın bulunmasına dönüşmüş olur. Yeni problemin çözümü için bir çok bilim adamı çalışmalar apmıştır. Bunların en önemlileri Newton (Nivtın) (669) ve Leibniz (Labniz) (67) tarafından, birbirinden bağımsız olarak apılan çalışmalardır. Bu önemli çalışmalar kimilerince matematik analizinin bir şekilde başlangıcı olarak adlandırılmıştır. Problemi çözmek için ıllar önce ortaa konanlara paralel düşünmemiz eterli olacaktır. Buna göre şekilden de ararlanarak şunları söleebiliriz: f() e + f c + f(c)=h S(+ ) S(). [e, ] kapalı alt aralığındaki alan S() ve [e, + ] ndaki alan ise S(+ ) ile gösterilebilir.. İki alan farkı S() = S(+ )-S() eşitliği ile verilebilir. Bu [,+ ] ndaki şeridin alanı demektir.. Bu durumda dikdörtgen ile şeridin alanı arasında aşağıdaki bağıntı kurulabilir. S(+ )- S().f(c) 4. > olduğu bilindiğine göre aklaşık eşitliğinin her iki anını ile bölmek mümkün olur. Bunun sonucunda da aklaşık eşitliği, S(+ ) S() biçimine dönüşür. f(c) 8

192 Bu aşamada durumunda her iki anın limiti alınarak aklaşık eşitlikten, eşitliğe geçilebilir die düşünüoruz. Buna göre ise + ve buradan c aklaşımlarına da sahip oluruz. Ölese dördüncü basamakta verdiğimiz aklaşık eşitlik için bu kez, lim S(+ ) S() = lim f(c) eşitliği elde edilir.. 9 f()= 4 f()= eğrisi, ekseni ve = doğrusu ile sınırlanan alanı bulmaa çalışalım. 9 f()= [,] nı üç eşit parçaa aırarak eğrinin altında kalan dikdörtgen- 4 leri çizelim ve alanların toplamını hesaplaalım. Bu dikdörtgenlerin alanları toplamı:.f()+.f()+.f()= =.( + + )=5 olur. 8

193 9 f()= Bu kez de [,] nı altı eşit parçaa bö- 5 4 lerek oluşan dikdörtgenlerin alanları toplamını hesaplaalım Bu dikdörtgenlerin alanları toplamı,.f()+.f ( ) +.f()+.f ( ) +.f()+ f ( 5 ) = ( + ( ) + + ( ) + + ( 5 ) ) 4 5 = 6,875 olur. Benzer işlemlere devam edilerek aşağıdaki tablo oluşturulmuştur. İnceleiniz. parça saısı alan hesaplama toplam alan.(f()+f()+f()) 5 6. (f()+f +.f()f( )+f()+f( 5 )) 6,875 7,965 8, , , f()= 4 Şimdi de [,] nı ine üç eşit parçaa aırarak anda bulunan şekildeki gibi üst dikdörtgenleri çizelim ve alanları toplamını hesaplaalım..f()+.f()+.f()= =.( + + )=4 8

194 9 f()= [,] nı altı eşit parçaa bölerek 5 4 oluşan üst dörtgenlerin alanları toplamı da aşağıda hesaplanmıştır f ( ) +.f()+.f ( ) +.f()+ f ( 5 ) +.f() = ( ) 4 5 =,75 Benzer işlemlere devam edilerek aşağıdaki tablo oluşturulmuştur. İnceleiniz. parça saısı alan hesaplama toplam alan.(f()+f()+f() 4 6. ( f ( ) +.f()+...f() ),75,565 9,545 9,545 9,545 Etkinlikte apılan tablolara bakıldığında parça saısı arttıkça alt ve üst dikdörtgenlerin alanları toplamının hangi saıa aklaştığını sölenebilir mi? Yapılan çalışmaları eniden gözden geçirerek, bulmaa çalışılan, f()= eğrisi ekseni ve = doğrusu ile sınırlanan alanın kaç birim kare olduğunu tahmin ediniz. Bu kez aptığımız tahmini daha kesin bir sonuca ulaştırmaa çalışalım. 84

195 9 f()= Alt ve üst dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak için [,], = < < <...< n- < n = olmak üzere, k {,,,...n} için [ k-, k ] biçiminde n tane kapalı alt aralığa bölünmüştür. k = k - k-, f()= ve t k [ k-, k ] olmak üzere bu alanlar toplamı,... k- k n = Σ n k= f(t k ). k biçiminde azılabilir. Bu toplama Riemann (Riman) toplamı denir. f()= k- t k k Buradan n ( k ) için toplamının limiti, lim n Σ n k= f(t k ). k olur ve d biçiminde gösterilir. Genel olarak, eğer f() fonksionu [a,b] nda türevli ve [a,b] için f() ise =f() eğrisi ve [a,b] nda kalan alan A= lim k Σ n k= f( k ). k = b a f()d biçiminde gösterilir. Buna f fonksionunun a dan b e belirli integrali denir. b a f()d gösteriminde a a integralin alt sınırı, b e integralin üst sınırı denir. 85

196 f()= üst toplam alt toplam Riemann toplamı k- t k k Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi, Riemann toplamının alt toplamdan her zaman büük eşit, üst toplamdan da her zaman küçük eşit olacağını kolalıkla söleebiliriz. Alt toplam Riemann toplamı Üst toplam [,] ndaki alt aralık saıları artırılarak sonsuza götürüldüğünde alt ve üst toplamlarının dokuz saısına aklaştığını tahmin edebiliriz. Bu durumda ukardaki eşitsizlikten Riemann toplamının da anı saıa aklaştığını söleebiliriz. f:r R, f()= fonksionunda, 5 ardımıla hesaplaalım. f()d belirli integralini Riemann toplamı f() = n =5 86

197 Hesaplanması istenilen alanı şekilde görüldüğü gibi n tane üstdikdörtgene aıralım. Bu alan i : kaçıncı dikdörtgen olduğunu f( i ) : i. dikdörtgenin üksekliğini : dikdörtgenlerin taban uzunluğunu göstermek üzere b a f()d= lim n Σ n i= f( i ) olur. b a ( = n ) 5 a= ve b= 5 iken ( = n = 4 n ) i = +i ( = ) i = +i. 4 n olduğundan n tane üstdikdörtgenin alanları toplamı Σ n i= f( i ). = Σ n i= f ( +i. 4 n ). 4 n = Σ n i= ( +i. 4 4 n ). n = Σ n ( i= 8i + n +6i n ). 4 n = 4 n [ Σn i= + 8 n. Σ n i= i+ 6 n Σ n i= ] i = 4 n [ n+ 8 n.n(n+) + 6 n. n(n+)(n+) 6 ] = 4+ 6(n+) + (n+)(n+) n n Buradan lim n Σ n i= = lim n 4+lim f( i ). = lim n [ 6n+6 n n 4+6n n +96n+ n n ] +lim 64n +96n+ n = n = 4 Buradan 5 d= 4 br olur. 87

198 . Aşağıdaki integralleri Riemann toplamı ardımıla hesaplaınız. a) Ð d b) Ð d c) (+)d ç) 4 d) Ð e). a) (+)d ve (+)d b) (+)d ve (+)d c) (+)d ve (+)d+ (+)d ç).(+)d ve. (+)d d) Ð (+)d ve Ð d+ Ð d e) (+)d ve Ð Ð + d Yukarıda verilen integralleri Riemann toplamı ardımıla hesaplaınız. Yukarıda her bir satırdaki hesapladığınız integrallerin sonuçlarını karşılaştırınız. Sizler de benzer örnekler seçerek bir genelleme apmaa çalışınız. 88

199 k R için, bir [a,b] nda f, g, k.f, f+g ve f g fonksionları integrallenebilir ise a a f()d= b a f()d= a b f()d c a f()d= b a f()d+ c b f()d (a<b<c) b a k.f()d= k. b a f()d b a [f() ± g()]d= b a f()d ± b a g()d b a f()d b a f() d Bu özelliklerin her birini Riemann toplamı ardımıla örnekleelim. (+)d integralini hesaplaalım. lim n Σ n i= f( i ). = lim n Σ n i= f(). ( = n = ) = lim n Σ n i= = lim n = ( i = +i. = +i.= ) 89

200 bulalım. A= d ve B= d integralleri verilior. A ile B arasındaki bağıntıı A= d= lim n Σ n i= f( i ). = lim n Σ n i= [. ( +i. n ). n ] ( = n = n ) = lim n 4 n [ Σn i= + n Σn i= i] ( i = +i. n ) = lim n 4 n ( n+ n.n(n+) ) = lim n 8n+ n = 8 B= d= lim n Σ n i= f( i ). = lim n Σ n i= [. ( n ).i. ( n )] ( = n = n ) = lim n ( 4 n )[ Σn i= n Σn i= i] ( i = +i. ( n )) = lim n ( 4 n )( n n.n(n+) ) ( = i n ).i = lim 8n+4 n = 8 n A= 8 ve B= 8 olduğundan A= B olur. 9

201 A= 5 d, B= d ve C= 5 d integralleri için A=B+C olduğunu gösterelim. A= 5 d= lim n Σ n = lim n ( 75 Σ n n i= i=. ( 5 n ) i. 5 n = lim n [ 75 n(n+)(n+) n 6 ] 5 ( = n = 5 n ) i ) ( i = +i. 5 n = 5 n i ) = 5 B= d= lim n Σ n i= [. ( n ) i. n ] ( = n = n ) = lim n ( 4 Σ n n i= i ) ( i = +i. n = n i ) = lim n [ 4 n(n+)(n+) n 6 ] = 8 C= 5 d= lim n Σ n i= [. ( + n ) i. n ] 5 ( = n = n ) = lim n ( 9 Σ n n i= = lim n [ 4+ n i+ 9 n i) ( i = +i. n ) 9 n ( 4n+ n.n(n+) + 9 n n.n(n+)(n+) 6 )] = lim n ( 6+54(n+) + 7(n+)(n+) n n ) = =7 Buradan A= B+C olduğu görülür. 9

202 4(+)d= 4. (+)d olduğunu gösterelim. lim n Σ n i= 4. ( n i+ ). n 4.lim n Σ n i= 4. ( n i+ ). n lim 4. n Σ n lim n Σ n i= i= ( n i+ ). n 4. ( n.n(n+) +n ). n lim n+8 n n 4.lim n Σ n 4.lim n Σ n i= ( i= ( n i+ ). n n.n(n+) +n ). n 4. lim n 5n+9 n ( = n ) ( = +i. = i n n.i ) 4. 5 Buradan 4(+)d= 4. 4(+)d olduğu görülür. f: R R f()= 4 ve g()= fonksionarı verilior. A= (f()+g())d B= (f())d C= (g())d verilior. A= B+C olduğunu gösterelim. A= (4 + )d= lim n Σ n i= f( i ). ( = n = n ) = lim n Σ n i= [ 4. ( n ) i +.( n ) ] i. n ( = +i. = i n n.i ) 9

203 = lim n [ 64 Σ n n 4 i= = lim n 64 n 4. [ n(n+) = 64 +8= 4 4 i + 4 n Σ n i= n ] + 4 B= 4.d= lim n Σ n = lim 64 n Σ n n 4. i= i ( i= = lim 64 n n ( 4. n(n+) n ) = 6 C=.d= lim n Σ n = lim 4 n Σ n n. i= i i= = lim n ( 4 n.n(n+)(n+) 6 ) = 8 i ] ( i = n i ) n.n(n+)(n+) 6 4. ( n ) i. n ( = n ). ( n ) i. n i = n.i ) Buradan A= B+C olduğu görülür. d Ð Ð d olduğunu gösterelim. A = Ð d = lim n Σ n i= ( + n i ) n ( ( ) = = n n ) = lim n Σ n i= ( 8 n i 6 n ) ( i = +i. n ) 9

204 = lim n ( 8 n.n(n+) n 6 n.n ) = 9 6 = = B= Ð d integralinde f()= fonksionu f()= { < parçalı fonksion olduğundan grafiği aşağıdaki gibidir. = - B= d= d+ d= d+ d Ð Ð Ð = lim n Σ n i= ( + n ) i n + lim n Σ n i= ( + n i ) n = lim n n ( n+ n. n(n+) n ) + lim n n ( n. n(n+) n ) = ( + ) +. 4 = +4 = 5 Buradan A B olduğu görülür. 94

205 . ) + d integralini hesaplaınız. + ) 5 (+) d+ (+) d integrallerini hesaplaınız. 5 ) a, b, c R ve a<c<b olmak üzere b a ( ) d= ve c a ( ) d= ise b c ( ) d integralini hesaplaınız. 4) b (+) d= A ise a b a (6+9) d integralini A türünden hesaplaınız. 5) b 6 d= 4 ve b 8 d= 4 olarak verilior. a a b a ( )( ++4)d integralini hesaplaınız.. [a,b] nda türevli bir f() fonksionu alalım. d f(b) f(a) a b 95

206 f(b) d Şekildeki d doğrusunun eğiminin f(a) a c b f(b) f(a) b a biçiminde hesaplanabileceğini bilioruz. Bu aralıkta fonksionun d doğrusuna paralel en az bir teğetinin olması gerektiği d açıktır. Ölese c [a,b] olmak üzere a c b f(b) f(a) b a =f(c) eşitliğini sağlaan en az bir c noktası vardır. Bu eşitlik f(b)-f(a)=f(c).(b-a)...() biçiminde de gösterilebilir. 4. Aşağıdaki verilen şekli inceleiniz. f() =a b= n Şekildeki alanın, lim n Σ n k= f(t k ) k = b a Σ n f(t k ) k ifadesini açık olarak azalım. k= f()d ile gösterildiğini biliorsunuz. Σ n f(t k ) k = f(t ). +f(t ) f(t n ). n = f(t ).( a)+f(t ).( )+...+f(t n ).(b n ) k= F ()=f() olmak üzere () eşitliği, F(b) F(a)=f(c).(b a) biçiminde azılarak ukarıdaki eşitlikte kullanılırsa, Σ n f(t k ) k = f(t ).( a)+f(t ).( )+...+f(t n ).(b n ) k= 96

207 = F( )-F(a)+ F( ) F( )+ + F(b) F( n )= F(b) F(a) olur. Buradan, Σ n f(t k ) k = F(b) F(a) eşitliği elde edilir. k= n için eşitliğin her iki tarafının limitini alarak b a f()d= F(b) F(a) eşitliğini elde etmee çalışınız. F ()= f() olmak üzere F()= fonksionu verilior. 4 f()d integralini Riemann toplamı ardımı ile hesaplaarak F(4) F() değeri ile karşılaştıralım. F()= F ()= f()= olur. 4 d= lim n Σ n = lim n Σ n i= = lim 4 n n. Σ n = lim i= f ( 4 n.i ). 4 n i= 9 n n. ( 4 n.i ) 4 ( = n = 4 n ) f( i ) ( i = + 4 n.i ). n(n+)(n+) = 64 6 Diğer andan F(4) F()= 4 = 64 olur. Buradan 4 f()d= F(4) F() azılabilir. Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin azıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik dilile azılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz, bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır. GALİLEO 97

208 f, [a, b] nda sürekli ve F ()= f() ise b a b f()d= F() = F(b) F(a) biçiminde gösterilir ve buna integral hesabının a birinci temel teoremi denir. F ()= f() olmak üzere F()= sin fonksionu verilior. π π π π f()d integralini hesaplaalım. f()d= F(π) F ( π ) = sinπ sin π = = (Birinci temel teorem) F() 5 Yandaki şekilde F() fonksionunun grafiği verilmiştir. F ()= f() olduğuna göre f()d integralini hesaplaınız. f()d= F() F() (Birinci temel teorem) = 5 = 5 5. f (t)= sint için d d ( f (t)dt ), f (t)= t için d d ( 5 f (t)dt ), f (t)= e t +t için d d ( f (t)dt ), işlemlerini aparak bulduğunuz sonuçları, sırasıla f (), f () ve f () fonksionlarıla karşılaştırınız. Bir genellemee ulaşmaa çalışınız. 98

209 f(t)= t +t fonksionu verilior. Buna göre d d ( d d ( f(t)dt ) işleminin sonucunu bulalım. f(t)dt ) = d d (F() F()) = d d F() d d F() = f() = f()= + olarak bulunur. f fonksionu a ve i içeren açık aralıkta sürekli ise d d ( a f(t)dt ) = f() dir. Bu teorem integral hesabının ikinci temel teoremi olarak adlandırılır. f(t)= cost fonksionu verilior. Buna göre d d ( π d d ( costdt π ) işleminin sonucunu bulalım. costdt ) = cos olur. (. temel teorem) d d ( g() f(t)dt ) işleminin sonucunu bulalım. F (t)= f(t) olsun d d ( g() a a f(t)dt ) = d d ( F(t) g() a ) (. temel teorem) = d d (Fg() F(a))= F (g()).g () (Bileşke fonksionun türevi) = f(g()).g () olur. 99

210 h()= t.sint.dt verilsin.h () değerini bulalım. d d ( g() f(t)dt ) = f(g()). g () eşitliğinde a f(t)= t.sint ve g()= olduğundan h ()= d d ( t.sint.dt ) = f( ).g ()= ( ).sin. = 7.sin olur. h()= ln ln e t dt fonksionu verilior. h() fonksionunun türevini bulalım. h ()= d d e t dt= e ln.(ln ) e ln.(ln ) ln ln (. temel teorem).. h ()= olur.. ) Aşağıda verilen fonksionların türevlerini, örneği inceleerek ve integral hesabının ikinci temel teoreminden ararlanarak bulunuz. f()= t dt fonksionunun türevi t + f ()= d d t dt= t ( ) = 4.= olur. a) f()= (t +) 7 dt b) g(t)= t +6 d c) h(z)= z u+ du ç) A()= t dt d) B()= ( t t ) dt e) C()= cos4t dt

211 ) İntegral hesabının ikinci temel teoremini kullanarak aşağıdaki türevleri hesaplaınız. a) d d dt + t b) d t+ dt t e e + d c) d dm cosm sinm + + d ç) d dz z sin d ) F()= t + dt olarak verilior. F(), F () ve F () değerlerini hesaplaınız. 4) F()= t t +7 dt a) F() in minimum değerine ulaştığı değerini bulunuz. b) F() in artan a da azalan olduğu aralıkları bulunuz. c) F() in içbüke a da dışbüke olduğu aralıkları bulunuz. BELİRSİZ İNTEGRAL Aşağıda integral alabilen bir hesaplaıcı programında ++ fonksionu azıldığında çıkan sonuç görülmektedir. İNTEGRAL HESAPLAYICI FONKSİYON: ^+*+ DEĞİŞKEN: İNTEGRALİ İNTEGRALİ ( ++)d = + + Sizler f() fonksionu azıldığında integralini alabilen bir programı inceleiniz. Birkaç fonksion azarak sonuçlarını gözlemleiniz. Böle bir programın nasıl çalıştığını ve nasıl programlanabileceğini araştırınız.

212 f() S(+ ) S() f(c)=h e + f c + Belirli integralde bir eğri altındaki alanı hesaplama çalışmalarımızda ukarıdaki şekiller ardımıla aşağıdaki eşitliğe ulaşmıştık. lim S(+ ) S() = lim f(c) Bu eşlitliğin birinci anı bizi çok ii bilinen bir matematiksel kavrama götürür. Bu kavramın adı türev kavramıdır. Başka bir deişle eşlitliğin birinci anı S () olarak adlandırılabilir. Ölese eşlitliğin eni şekli, S ()= lim f(c)= f() c olarak elde edilir. Çünkü f() fonksionu sürekli bir fonksion olarak belirlenmişti. Aradaki limitli terim atıldığında, S ı ()=f() bağıntısına ulaşılır. Elde edilen matematiksel bir modeldir. Bu modelde aranan alan bulunamamış ama alanın türevinin ne olduğu ortaa çıkarılmıştır. indirgenmiştir. Bu durumda alan problemi, türevi bilinen bir fonksionun kendisini bulmaa Bölece gelişigüzel bir düzlemsel şeklin alanının bulunması problemi önce, üç anı doğru parçaları ve bir anı belli koşulları sağlaan bir fonksionun eğrisi ile sınırlı bölgenin alanının bulunmasına indirgenmiş ve son adımda da türevi bilinen bir fonksionun kendisinin bulunmasına dönüştürülmüştür.

213 Matematikte türevi verilen fonksionun kendisini bulma işlemine integral alma adı verilir ve F ()= f() f() d= F()+c biçiminde gösterilir. Burada kullanılan işareti, toplam anlamındaki latince summa kelimesinin baş harfi olan S nin bozulmuş şeklidir. 6. Yanda verilen tablou inceleiniz. Sizler de türevi olan farklı fonksionlar f() fonksionu f ı () fonksionu azınız. İntegral, türevi bilinen fonksionu bulmak olduğuna göre, in integralini bulunuz. + Görüldüğü gibi f:r R, f()= +c (c R) fonksionunda c için,, +,, - gibi saısal değerler aldığımızda, türev fonksionu değişmemektedir. + Türevi olan fonksionun kendisi, birinci sütundaki tüm fonksionlar olabilir. - Başka bir deişle c sabiti belirsiz bir sabittir. Bu durum c i içeren integrali belirsiz hâle.. getirir. Türev ardımı ile f ()= +6, f ()=, f ()= 5 fonksionlarının hangi fonksionun integrali olduğunu bulalım. d d f ()= d d ( +6)= d d f ()= d d ( )= d d f ()= d d ( 5)= Görüldüğü gibi f (), f () ve f () fonksionlarının herbirinin türevi dir. O hâlde fonksionunun integrali d= +c (c R) olur.

214 f() d= F()+c e f() fonksionunun "belirsiz integrali" adı verilir. f() d gösterimindeki... d ifadesi tek bir sembol gibi düşünülür ve noktalı ere türevi alınmış fonksion azılır. Noktalı ere azılan bu fonksiona integrand, c gerçek saısına da integral sabiti denir. Gösterimde er alan d, bağımsız değişkenin olduğunu gösterir. d f()= f () eşitliğinden elde edilen d(f())= f () d ifadesine f() fonksionunun diferansieli, d e de diferansiel çarpanı d denir. 4. ) d d ( ), d dt (tant), d du ( u) ifadelerinin eşitini azarak d, sec t dt, du u integrallerinin eşitini azınız. ) f() d d f() d= f() eşitliğinin geçerli olup olmadığını tartışınız. d ) f()= + fonksionu ile türevinin grafiğini dinamik matematik azılımı ardımı ile çiziniz. f() fonksionunun grafiğini ekseni bounca hareket ettirerek türev fonksionunda bir değişim olup olmadığını belirleiniz. Sir Isaac Newton (64-77), tarihinin etiştirdiği en büük bilim adamlarından biridir. Matematik, astronomi ve fizik alanlarındaki buluşları ile tanınır. Bilime aptığı temel katkılar, diferansiel ve integral hesap, evrensel çekim kanunu ve güneş ışığının apısı olarak sıralanabilir. 4

215 7. İntegral ile türevin birbirinin tersi işlemler olduğunu biliorsunuz. Bu nedenle d d [ ]= olduğundan d= +c d dt [ cott]= cosec t olduğundan cosec t dt= cott+c d du [ u ]=. u du olduğundan = u+c azılabilir.. u Sizler de aşağıdaki tablou örneklere ugun biçimde doldurunuz. f() f () f ()d=f()+c n n+ (n+). n n+ = n n d= n+ n+ +c sin cos cos d = sin +c cos tan cot arcsin arccos arctan arccot In e a lna d= + + +c= 4 4 +c ve 5 d= 5 d= 4 +c olur. 4 5

216 Aşağıdaki eşitliklere temel integral alma kuralları adı verilir. n d= n+ n+ +c (n ) sin d = cos +c d= ln +c sec d = tan +c + e d= e +c cosec d = cot +c a d= a lna +c d= arccos+c d= arcsin+c d= arctan+c d d= arccot+c cos d = sin +c + 5. ) Aşağıda verilen belirsiz integralleri alınız. a) 4 d b) d c) d ç) d d) u d e) dt t 5 f) d g) d ) Bir öğrenciden aşağıdaki integral alma örneğini sonuçlandırması istenmektedir. d =? Öğrenci tarafından apılan çözüm aşağıdaki gibidir. d = d= d= + +c= + +c= +c Yapılan bu işlemde öğrencinin soruu anlış çözdüğü sölenmektedir. Sizce apılan hata nerededir? Burada integrali alınan fonksionunun özelliklerini hatırlaınız. ) R için türevlenebilen bir f() fonksionunun türevi f ()= biçiminde verilior. f()= olduğuna göre f() fonksionunun kuralını bulunuz. 4) İvme-zaman denklemi, a(t)=t olan bir aracın. saniedeki hızı 8 m/sn. ise bu aracın hız-zaman bağıntısını bulunuz. 5) Aşağıdaki belirsiz integrallerde verilen eşitliklere göre her bir integralde azılı f() fonksionunu bulunuz. a) f() d= +c b).f() d= 5 +4+c c) f() d= 4+c ç) f() d= cos+sin+c 6) Aşağıda verilen belirsiz integralleri alınız. a) f () d b) f () d c) f () d 6

217 7) Aşağıda verilen işlemlerin sonucunu örneğe ugun biçimde bulunuz. d d [ d] = d d [ ] +c = += a) d d [ cos d ] b) d dt [ sec t dt] c) d du [ du u ] ç) d) d d [ e d] ç) d dm [ ] m dm d d [ d] a 8) Aşağıda verilen işlemlerin sonucunu örneğe ugun biçimde bulunuz. [ d d ( )] d= d= +c a) [ d d (cos) ] d b) [ d d (ln) ] d c) [ d du ( cotu) ] du ç) [ d da (arctana) ] da d) [ d dm ( m )] dm e) [ d dn (e n ) ] dn Yaptığınız işlemleri bir kez daha gözden geçirdiğinizde, [ d d (f()) ] d= f()+c olduğu sonucuna kolaca ulaşabilirsiniz. 8. A d d cos d 5e d B. cos d 5. e d. d. d Yukarıda A ve B gruplarında verilen integrallerden A grubundakilerinin sonuçlarını tahmin ediniz. B grubundaki integrallerin sonuçlarını temel integral alma işlemlerinden ararlanarak bulunuz. B grubunda bulduğunuz sonuçlarla A grubundaki tahminlerinizi karşılaştırınız. Bir genellemee ulaşmaa çalışınız. 7

218 Herhangi bir f() fonksionu için, c. f() d gösteriminin türevini alalım. d d [ c.f() d ] = c. d d [ f() d ] = c.f() olur. Madem ki c. f() d gösteriminin türevi c.f() olarak azılabilior, ölese c.f() d= c. f() d eşitliği vardır diebilir miiz? Bu eşitlikle, ukarıda aptığınız çalışmaları ilişkilendirerek bir sonuca varmaa çalışınız. Benzer şekilde, ( + 4) d gösterimini aldığınızda, d d [ ( + 4) d ] = + 4 () eşitliği elde edilir. Benzer olla, d+ d 4 d gösteriminin türevi alınırsa d d [ d+ d 4 d ] = d d d+ d d d d d 4 d = + 4 () bulunur. Yapılan işlemlerde elde edilen () ve () sonuçlarını karşılaştırınız. f ve g integrallenebilir fonksionlar olmak üzere olur. [f()+g()] d= f() d+ g() d ve [f() g()] d= f() d g() d (6 4+4) d integralini alalım. 8

219 (6 4+4) d= 6 d 4 d+4 d = 6. +c 4. +c +4+c = +4+c +c +c olur. = +4+c 6. ) Aşağıda verilen belirsiz integrallerin eşitlerini azınız. a) (5 +sin) d b) (cos+sin) d c) ( ) d ç) (5.e 7. ) d d) ( ) d e) ( + 8 ) d f) ( ) d g) 5 ( 7 ) d ) İileşme sürecindeki küçük bir aranın üze alanının zamana göre değişimi, da dt = 5t, t 5 bağıntısı ile verilmektedir. Burada t, günü belirtmektedir. A()= 5 cm dir. Verilenlere göre aranın 5. gündeki alanını bulunuz. ) Bir rado istasonu günlük 65 olan dinleici saısını artırmak için bir reklam kampanası düzenlior. Bu kampana ile günlük dinleici saısı artış hızının, s (t) = 9t (dinleici/gün) olması beklenmektedir. Burada s(t) kampananın t. gündeki dinleici saısını göstermektedir. Dinleici saısının 4 e ulaşması için kampananın kaç gün devam etmesi gerektiğini bulunuz. 9

220 9. Temel integral alma kurallarını ve bunlarla ilgili bazı özellikleri bundan önceki etkinliklerde öğrendiniz. Şimdi de daha karmaşık bir apıa sahip integralleri, önceden öğrendiğiniz basit apılara dönüştürecek bazı öntemler bulmaa çalışacağız. ( +). d, cos( +). d e sin.cos d integrallerinin temel integral alma kuralları kullanılarak alınıp alınamaacağını tartışınız. Bu tür integrallerin daha basit apıa dönüştürülmesi gerektiğini fark etmişsinizdir. Bunun için. sınıfta gördüğünüz değişken değiştirme öntemini kullanalım. Örneğin, ( + ). d integralinde += u dönüşümü apıldığında du d = olur. Buradan du= d elde edilir. Bu durumda integral u du biçiminde daha basit bir apıa dönüşür. Bu integrali kolaca hesaplaabilirsiniz. Benzer şekilde diğer integraller için ugun değişken değiştirmeler aparak bu integralleri daha basit apıa dönüştürüp hesaplaınız. Yaptığınız çalışmaları göz önünde bulundurarak değişken değiştirme öntemile integral alma ugulamalarında, nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız. Aşağıda apılan integral alma işlemlerini inceleiniz. olur. ( +) 5 (+) d integralinde += u dönüşümü apıldığında (+) d= du Buradan ( +) 5 (+) d= u 5 du= 6 u6 +c= 6 ( +) 6 +c bulunur. cos d integralinde sin= u dönüşümü apıldığında cosd= du olur. sin Buradan cos sin d= du = lnu + c = ln sin+c bulunur. u

221 e d integralinde = u dönüşümü apıldığında d= du olur. e d= eu du= eu +c= e +c bulunur. +6 d integralinde 6= u dönüşümü apılırsa d= du 6 olur. Buradan +6 d= du +u 6 = 6 arctanu+c= arctan (6)+c bulunur A) Aşağıda verilen integralleri değişken değiştirme öntemi ardımıla karşılarında verilen daha basit integrallere dönüştürünüz. cos( ). d cosu du ( +) 4. d u 4 du arctan + u du e d ln d g(f()).f ()d eu du u du g(u) du B) Aşağıda verilen integralleri değişken değiştirme öntemi kullanarak ve verilen temel integral alma formüllerinden ararlanarak hesaplaınız. ) n d= n+ +c, (n ) n+ a) (+5) d b) sin.cos d c) ln d ç) (arcsin)4 d d) tan.(+tan ) d e) (5 sin).cos d f) + d g) +. d ğ) sin.cos d h) d

222 ) d= ln+c a) d b) cot d +5 c) tan d ç) d).ln d e 4e + d e) 6+7 d f) ğ) sin +cos d a+b d g) sec 5+tan d f () h) f() d ) e d= e +c a) e + d b) 5e 5 d c) e. d ç).e 5 d d) eln d e) esin+.cos d f) etan+ cos d g) e d ğ) e d h) e + d ı) e a+b d i) e f().f () d 4) a d= a lna +c a) + d b) 8.( 4) d c) 5 sin.cos d ç) 7ln d d) arctan 5cot d e) + sin d f) 5 a+b d g) a m+n d

223 5) cos d= sin+c sin d= cos+c a) 4sin(4) d b) cos() d c) cos8 d ç).sin( +) d d) cos(ln) d 6) sec d= (+tan ) d= cosec d= (+cot ) d= d= tan+c cos d= cot+c sin e) sin(e ).e d a) sec () d b) 5cosec () d c) cos (7+) d ç) sin ( ) d d) (+tan (6)) d e) (+cot ()) d f) tan d g) cot 5 d 7) d= arcsin+c a) c) d) f) () d b) 9 d ç) 9 d e) d 5 4 g) 4 7 d a d d d a) c) 8) d= arctan+c + +() d b) +4 d d 6+ ç) d

224 d) d e) a + d f) ğ) +( ) d g) cos +sin d e d +e C) cos d(cos) integralini u=cos dönüşümü aparak u du = u +c = cos biçiminde hesaplaabiliriz. Benzer aklaşımla aşağıdaki integralleri hesaplaınız. a) d( ) b) d(cos) c) d(tan) ç) sin d(cos) d) d(f()) e) d(+) f) d(ln) g) ln d(e ) D) Aşağıdaki integralleri hesaplaınız. + a) d b) d c) + d + +..e d,. sin d, ln d, integrallerini almak istediğinizde şimdie kadar öğrendiğiniz integral alma kurallarının a da değişken değiştirme önteminin eterli olmadığını fark etmişsinizdir. Çünkü buradaki çarpım hâlindeki fonksionların türleri değişiktir. Bu tür integralleri almak için çarpımın türevinden ararlanılır. Bunun için önce aşağıdaki işlemleri inceleelim..cos fonksionunun türevinin, d d (.cos)=cos. d d ()+. d d (cos) d d (.cos)=cos.sin olduğu görülür. Bu eşitliğin her iki anının integrali alındığında 4

225 d d (.cos)d= cos d.sin d.sin d= cos d d d (.cos)d.sin d= sin.cos+c olur. Benzer aklaşımla.e fonksionunun türevinden fadalanarak.e d integralini,.ln fonksionunun türevinden fadalanarak da ln d integralini bulunuz. Yapılan işlemleri bir kere daha inceleiniz. Verilen integralleri bulmak için başka olları kullanmanın zor olduğunu göreceksiniz. Ölese apılanları genelleerek bu tür fonksionların integrallerini bulmak için genel bir kural elde etmenin doğru olacağını söleebiliriz. En genel biçimde u ve v, e bağlı birer fonksion olmak üzere, u.v fonksionunun türevinin, d (u.v)=v. du +u. dv olduğunu görebiliriz. d d d Buradan, u. dv d = d (u.v) v. du eşitliği oluşturulur ve iki tarafın integrali alınırsa d d u. dv d d= d (u.v) d v. du d d d u.dv=u.v v.du sonucuna ulaşılır. Aşağıdaki tablou örneğe ugun biçimde doldurunuz. u.dv u dv u.v v. du du v.e d u= dv= e d.e du=d v= e e d.sin d ln d.ln d.cos d 5

226 denir. Kısmi integral alma öntemile ilgili aptığınız çalışmaları eniden gözden geçiriniz. Bu eşitlikten ararlanarak integral alma işlemine kısmi integral alma öntemi u ve dv nin seçiminde nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız. 8. Aşağıdaki integralleri kısmi integral alma öntemile hesaplaınız. a).cos d b).ln d c).sin d ç).e d d) arctan d e) arccos d f).sin d g). d ğ) e.cos d h) cos(ln) d ı) (ln) d i).sin d. + f () =, f +5 ()= 6 gibi rasonel fonksionların integralini alırken şimdie kadar gördüğünüz öntemler kullanışlı olmaabilir ve farklı bir ol araştırmak zorunda kalabilirsiniz.. sınıf matematik dersinin polinomlar ünitesinde, rasonel ifadelerin basit kesirlere arılmasıla ilgili aptığınız çalışmaları hatırlaıp bilgilerinizi eniden gözden geçiriniz. Bu bilgiler ışığında aşağıdaki tabloda verilen fonksionları ve bunlarla ilgili apılan işlemleri inceleiniz. A, B, C değerlerini bularak verilen rasonel fonksionları daha basit integrali alınabilen rasonel fonksionların birleşimi biçiminde azınız. Bunu aparken iki polinomun denkliğini kullanınız. f () = +5 + f ()= 6 f () = ( ) +5 A B = = +.(+5) A B = = + 6 ( ).(+) + ( ) A B = + ( ) f 4 () = 4 f 5 () = A B C = = + ( ) + 4 A B+C = = + ( +) + 6

227 Sanırız, biçiminde basit kesirlere aırmış- f () = +5 sınızdır. fonksionunu = Buna göre, fonksionun integrali için, ( ) 5 d= +5 5 d bağıntısını azabiliriz. +5 Görüldüğü gibi sağ andaki basit fonksionların integralini almak daha koladır. +5 d= 5 d 5 +5 d = 5 ln 5 ln +5 +c = ln c olarak bulunur. Sizler de tabloda verilen ifadeleri basit kesirlere aırarak integrallerini alınız. 4 4 ( ) d integralinde ( ) ifadesini basit kesirlere aıralım. 4 A B = + 4= A( )+B ( ) ( ) ( ) () 4= A A+B buradan A= ve B= bulunur. O hâlde 4 ( ) d= ( ) d+ ( ) d= ln +c olur. 9. ) Aşağıdaki belirsiz integralleri hesaplaınız. a) d b) 4 d c) d ç) d + 7

228 d) ++ (+).( +) d e) ( ) d f) e d g) e ++ d.(+) ) Aşağıdaki integraller alınırken basit kesirlere aırma önteminin kullanılıp kullanılamaacağını araştırınız. Bunlara benzer fonksionlar için bir öntem geliştirmee çalışınız. (Yol gösterme: Polinomlarda bölme işleminden ararlanınız.) =+ a) + d b) ++5 d c) d ç) ++ d + +. m ve n doğal saılar olmak üzere, sinm. cos n d biçimindeki integralleri almak için, sin + cos = +cos cos = cos sin = gibi derece düşüren trigonometrik özdeşliklerden ararlanılabilir. Aşağıdaki tabloda apılan işlemleri inceleiniz. Değişken değiştirme işlemlerini tamamlaarak integralleri hesaplaınız. sin d sin.cos d sin.cos 5 d cos d sin =sin.sin =sin.( cos ) sin.cos = sin.cos.cos = sin.(-sin ).cos sin.cos 5 = sin.sin.cos 5 = sin.(-cos ).cos 5 +cos cos = cos = + u=cos du= sin d (u ) du u= sin du= cos d u= cos du= sin d u= du= d cos.sin d cos.sin = +cos cos. u= du= d 8

229 Yapılan işlemlerden hareketle m, n N için, sinm.cos n d biçimindeki integraller alınırken m ile n nin tek vea çift olmasına göre nasıl bir ol izlenmesi gerektiğini tartışınız. Arıca sina.cosb d, sina.sinb d ve cosa.cosb d biçimindeki integralleri alırken ters dönüşüm formüllerinden ararlanılabileceğini unutmaınız. Ters Dönüşüm Formülleri sina.cosb= [sin(a+b)+sin(a b)] cosa.cosb= [cos(a+b)+cos(a b)] sina.sinb= [cos(a+b) cos(a b)] Örneğin, sin5.cos d integrali alınırken ters dönüşüm formülü ugulanarak sin5.cos d= [sin(5+)+sin(5 )] d elde edilir. Buradan da aranan integral, sin5.cos d= [sin8+sin] d olarak eniden azılabilir. Bu integrali ön bilgilerinizden ararlanarak kolaca hesaplaabilirsiniz. cos5.cos d integralini alalım. Ters dönüşüm formüllerinden cos5.cos= [cos7+cos] olduğundan cos5.cos d= [cos7+cos] d = ( cos7 d+ cos d) = sin7 + sin + c 4 6 9

230 Yapılan işlem ve dönüşümlerle iki fonksionun çarpımının integralinin iki fonksionun toplamının integraline dönüştürüldüğünü unutmaınız.. ) a) cos5 d b) sin 5 d c) cos 4 d ) a) sin d b) cos 5 d c) sin4 d ) a) cos.cos d b) cos5.sin4 5 d c) sin.cos 5 d ç) cos.cos d 4) a) cos5.sin d b) sin7θ.cosθ dθ c) cos4.cos d ç) cos.cos6 d. Bu kez biraz daha farklı olan 4 d integralini hesaplamaa çalışalım. Bu türden verilen integralleri hesaplarken öncelikle integralde verilen köklü ifadeden kurtulmak gerekir. Bunun için, = sint a da = cost ( <t<9 ) değişken değiştirmesi apılmalıdır. Eğer = sint dönüşümü apılırsa d= cost dt olur. Yeni değerleri, verilen integralde erine azalım. Sizler başlatılan integral işlemini devam ettirerek verilen sonuca ulaşmaa çalışınız. 4 d= 4 (sint).cost dt d =... =... = t+sint+c...() Şimdi, t ve sint değerlerini bulalım. = sint ise sint= dir. Buna ugun çizilen dik üçgen ardımıla sint=. 4...() t 4

231 Benzer olla, sint= ise t= arcsin...() azılır. () ve () te elde edilenler () de erine azılarak 4 d integralinin sonucu bulunur. Genel olarak içinde a, a, a da a + den başka köklü ifade bulundurmaan fonksionların integrali için; a için =a.sint vea =a.cost, a için =a.sect vea =a.cosect, a + için =a.tant vea =a.cott, değişken değiştirmelerinin apılması, matematikçiler tarafından daha ugun görülmektedir.. ) Aşağıdaki belirsiz integralleri bulunuz. a) 5 d b) 9 d c) d ç) 9 d f) d +6 d) g) 6 d 4 d e). 5 d 4. d integralini önceki bilgilerinizi kullanarak hesaplamaa çalışınız. Karşılaştığınız güçlükleri grup arkadaşlarınızla tartışınız. Bu güçlükleri aşmak için = t 6 dönüşümü aparak ifadei eniden düzenleiniz ve integrali almaa çalışınız. = t 6 dönüşümünde t nin kuvvetini köklerin dereceleri ile ilişkilendiriniz.

232 Kök içleri anı olan köklü ifadelerin integrali alınırken nelere dikkat edilmelidir? + + d integralini hesaplaalım. Kök dereceleri ve olduğundan OKEK(,)= 6 dır. O hâlde +=t 6 dönüşümü apalım. d=6t 5 dt olur. Buradan + + d= t6.6t 5 dt t 6 = (6t6 t ) dt= 7 6 t7 4 t 4 + c sonucuna varılır. Sonuçta apılan dönüşümün tersi kullanılarak ani +=t 6 6 ise t= + alınarak d= (+) 7 (+) + c ifadesi elde edilir. 7 Kök içleri anı olan köklü ifadelerin integrali alınırken kök kuvvetlerini en küçük katı değişim apılacak değişkene kuvvet olarak azılır.. ) Aşağıdaki belirsiz integralleri hesaplaınız. a) d b) d c) d ç) d + 5 ) İçerisinde köklü ifade bulunduran integrallerin hesaplamasında kullanılan öntemlerin işlem basamaklarını azınız. Değişik örnekler ile aptıklarınızı doğrulaınız.

233 BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI Yapılan vazou inceleiniz. Bu vazonun dışını altın varakla kaplamak istediğinizde dış üzein alanını bilmeniz gerekir. Bunun için neler apılmalıdır? 5. Aşağıdaki her bir şekilde gösterilen taralı bölgelerin alanlarını geometri bilgilerinizden ararlanarak hesaplaınız. Her bir şeklin altındaki belirli integralin sonucunu bularak hesapladığınız alanlarla karşılaştırınız. = = d=? ( ) d=? =+ (+) d=? 4 ( ) d=? =.Grup.Grup

234 Bir aralıkta pozitif değerler alan bir fonksionun bu aralıkta ekseni ile sınırladığı bölgenin alanının, fonksionun o aralıktaki belirli integrali ile bulunduğunu biliorsunuz.. grupta aptığınız işlemlerde bu durumu görmüşsünüzdür.. grupta aptığınız işlemlerde, bir aralıkta negatif değerler alan bir fonksion için integral hesabının alan olmadığını görmüşsünüzdür. f()= Yandaki grafikte verilen taralı bölgenin alanı integral ardımı ile bulalım. ( ) d = ( 8 = ( 4 ( = ( ( ( ( ( ( ( ) d ( = = ( 9 ( 4 = Alan pozitif değer olacağından erine alınarak toplam alan + 4 = 6 = olarak hesaplanır. f() c a b c a b f() Sonuç olarak, şekillerden de görüldüğü gibi bir f() fonksionunun [a,b] nda ekseni ile arasında kalan alan mutlak değerinin integrali ile diğer bir deişle b a f() d ile hesaplanır. 4

235 . ) Aşağıda verilen fonksionların grafiklerinde taralı bölgelerin alanlarını bulunuz. a) f()= b) 4 4 g()= +4 c) h()= ç) g()=sin π π d) u()=tan e) m()=ln π π 4 π e e f) s()=e g) n()= e 5

236 ) Denklemi = + olan eğri, denklemleri = ve = olan doğrular ve O ekseni ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz. bulunuz. ) Denklemi = 4 olan eğri ile O ekseninin sınırladığı bölgenin alanını 4) Yandaki şekilde, denklemi =f() olan eğrinin O ekseni ile aptığı A alanı 4 br, A alanı 8 br ve A alanı 5 br olduğuna göre, a A b A c d A =f() d a f() d değerini hesaplaınız. 5) =f() Yukarıda [,6] nda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre a) Taralı bölgenin alanını hesaplaınız. b) 6 f() d belirli integralinin değerini hesaplaınız. 6) = f() 4 Yandaki şekil = f() parabolünün grafiğine aittir. Şekildeki taralı bölgenin alanı- nı hesaplaınız. 6

237 6. İntegral almanın alan probleminin çözümü sonucu ortaa konan bir işlem olduğunu bilioruz. Bunun için şu ana kadar apılan işlemlerde, integrali bulunmak istenen alanın bir andan ekseni ile sınırlı olduğunu varsadık. Bu varsaımı değiştirsek ne olur? Başka bir deişle alt sınırı da bilinen bir fonksion alsak sonuç değişir mi? Şimdi bu sorunun cevabını araalım. A g() a b f() Örneğin andaki taralı bölgenin alanı hesaplanmak istenior. Bunun için, ve.. Şekil şekilleri inceleerek soruları cevaplaınız. g() g() A A a b a b f() f(). Şekil. Şekil. şekildeki taralı bölgenin alanını integral ardımıla ifade ediniz.. şekildeki taralı bölgenin alanını integral ardımıla ifade ediniz.. şekilde verilen alanı integral ardımıla ifade ediniz. Yaptığınız çalışmalardan belli bir aralıkta iki eğri arasında kalan alanı veren bir genellemee ulaşmaa çalışınız. Aşağıda verilen. şekildeki alanı hesaplaalım. f()= g()= f()= g()= f()= g()=. Şekil. Şekil. Şekil 7

238 . şekildeki taralı bölgenin alanı: g()d = d = = ve. şekildeki taralı bölgenin alanı: f()d = d = = olur. Buradan. şekildeki taralı bölgenin alanı g() d f() d = = 6 olarak bulunur. Bu alanı [g() f()] d biçiminde ifade edebiliriz. Bir aralıkta, büüklük küçüklük ilişkisini bilemediğimiz iki fonksionun grafiğinin sınırladığı bölgenin alanını bulmaa çalışırken nelere dikkat edilmesi gerektiğini grup arkadaşlarınızla tartışınız. Tartışılan durumu daha açık ifade edelim. f ve g fonksionlarının grafiği aşağıdaki gibi olsun. f() g() a b c Şekilde gösterilen taralı alanların toplamını, b a [f() g()] d + c b [g() f()] d şeklinde bulabiliriz. Bu durumu daha basit olarak c a f() g()d biçiminde de ifade edebiliriz. 8

239 [, ] nda = ve = fonksionlarının sınırladığı bölgenin alanını hesaplaalım. Bu alan ( ) d = d integrali ile hesaplanır. Bu integral andaki tablo ardımı ile ( ) d + ( ) d in işareti + + biçimine dönüştürülerek ( olarak hesaplanır. ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) = 4. ) Aşağıda verilen grafiklerdeki taralı bölgelerin alanlarını, integral ardımıla hesaplaınız. a) f()= + b) f()= g()= g()= c) =e = ln 9

240 ) f()= eğrisi ile g()= + doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulalım. Bu fonksionların grafikleri aşağıdaki gibidir. f()= g()= +?? Grafikte verilen taralı alanın soru işaretile belirtilen sınırlarını fonksionların kesim noktalarını bularak elde edelim. = + ise = ( ).(+)= = vea = olur. Buradan aradığınız alanı, [ (+)] d integralini hesaplaarak kolaca bulabilirsiniz. Sizler de aşağıda verilen eğrilerle sınırlanan bölgelerin alanlarını bulunuz. a) =, = b) =, =, =, = c) =, =, =, = ç) = Ð 4, =, =, = d) = +4, += 6 e) =, =, = 8 f) = sin, = cos, =, = g) =, =, =, = ğ) =, =, =, = h) = 4, = +4 ı) = 9, = +9 i) =, =, =, = ) r + =r r r Şekilde görülen dairenin alanının A= π.r olduğunu integral ardımıla gösteriniz. r (Yol Gösterme: Birinci bölgedeki alandan ararlanınız.)

241 4) b Şekilde görülen elipsin alanının A= π.a.b olduğunu integral ardımıla a gösteriniz. + = a>, b> a b 5) =, =, =, =b (b>) eğrilerinin sınırladığı bölgenin alanı A olsun. a) A ı bulunuz. b) lim b A ı bulunuz. 6) =, =, =, =b (b>) eğrilerinin sınırladığı bölgenin alanı A olsun. a) A ı bulunuz. b) lim b A ı bulunuz. 7) Aşağıdaki belirli integralleri alan ardımıla hesaplamaa çalışınız. a) 4 6 d b) 4 d c) ( 9 ( ) ) d Şimdie kadar aptığınız çalışmalarda, anda. şekilde görüldüğü gibi, ekseni, =a ve =b doğruları ve =f() eğrisi ile sınırlanmış alanın integral ardımıla b a f() d hesaplandığını öğrendiniz. =f() a b. Şekil

242 =f() b. şekildeki alan da. şekildeki alan gibi üç tarafı doğrularla bir tarafı eğrile sınırlanmış ancak eksenine oturtulmuştur. Önceki bilgilerimizden. şekilde gös- a terilen alanın integral ardımıla. Şekil b a f()d biçiminde hesaplanabileceğini söleebiliriz. = Bu bilgilerden ararlanarak andaki grafikte gösterilen alanı, 4 4 d ve d = integralleri ile hesaplaıp karşılaştırınız. 5. ) Yandaki şekilde verilen f()= 5 fonksionu, =, = ve ekseni ile sınırlı taralı bölgenin alanını bulunuz. =5 = ) Yandaki grafikte verilen, =, =, = ve ekseni ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz.

243 ) Yandaki şekilde verilen taralı bölgenin =f() b alanı 4 birim kare olduğuna göre, 4 b a f() d integralinin değeri kaçtır? a f() 4) Grafikte verilen ekseni ve f() ile sınırlı 5 bölgelerin alanları şekilde verilmiştir. Buna göre, f() d integralinin değeri kaçtır? f() g() 5 5) Yandaki grafikte verilen taralı bölgenin alanını integral ile ifade ediniz. 7. Bu etkinlikte cisimlerin hacimleri ile integral arasındaki ilişkii araştıralım. Geometri dersinde öğrendiğiniz bilgileri hatırlaarak aşağıdaki şekilleri inceleiniz.

244 Verilen taralı bölgelerin vea ekseni etrafında 6 döndürülmesi ile oluşan cisimler için ne sölenebilir? Bu cisimlerin hacimlerini veren bağıntıı azınız. Gördüğünüz gibi hacimleri istenen bu cisimlerin ana özelliği, düzlem geometride tanımını apabildiğiniz bir geometrik şekilden oluşturulmalarıdır. Bütün alanlar bu şartları sağlamaabilir. Bu durumda oluşan ve bilinen bir şekil olmaan alanın eksen etrafında dönmesi söz konusu olduğunda medana gelen cismin hacminin bulunması ile karşı karşıa kalınır. Önce problemin aşağıdaki gibi geometrik kurgusunu oluşturalım. Daha sonra da bu bölgenin ekseni etrafında 6 döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulmaa çalışalım. f() a b [a,b] nı a= < < < < n = b olmak üzere, k {,,,, n} için [ k, k ] biçiminde n tane kapalı alt aralığa bölelim. f() f() a k t k k b f( k ) Bu silindirin hacmi V k = π [f(t k )]. ( k ) ( k ) 4

245 k = k Ð k, = f() ve t k [ k, k ] olmak üzere oluşan n tane silindirin hacimleri toplamı, Σ n π.[f(t k )]. k k= biçiminde azılabilir. Burada n ( k ) için, lim b b π.[f(t Σn k )]. k = π. k= a [f()] d biçiminde gösterildiğini önceki etkinliklerden biliorsunuz. O hâlde [a,b] nda bir =f() fonksionunun ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin ekseni etrafında 6 döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi integral ardımıla V= π. b a [f()] d biçiminde hesaplanır. = f() Benzer düşüncele [c,d] nda d bir =f() fonksionunun ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin ekseni etrafında 6 döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi integral ardımıla c V= π. d [f()] d c biçiminde hesaplanır. f:r R, f()= + fonksionu, =, = ve = doğruları arasında kalan bölgenin ekseni etrafında 6 döndürülmesile elde edilen cismin hacmini bulalım. π = π [f()] d = π ( 4 +) d ( +) d = π 5 ( 5 ) + = π ( + = 5 5 ) π olur. 5 5

246 6. ) Aşağıdaki, grafiklerde gösterilen kapalı bölgelerin ekseni etrafında 6 döndürülmesi ile oluşan cisimlerin hacimlerini hesaplaınız. a) b) = =+ 4 c) f()= 4 ç) = 4 4 ) Aşağıda verilen eğri ve doğrularla sınırlı bölgelerin ekseni etrafında 6 döndürülmesile oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz. a) = +, =, =, = b) =, =, =, = c) = 4, = ç) = e, =, = e, = ) Aşağıdaki grafiklerde gösterilen kapalı bölgelerin ekseni etrafında 6 döndürülmesile oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz. a) = b) = 9 6

247 4) Aşağıda verilen eğri ve doğrularla sınırlı bölgelerin ekseni etrafında 6 döndürülmesile oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz. a) =, =, =, = b) =, =, =, = c) = e, =, =, = 5) r = r Şekilde verilen arım dairenin r r ekseni etrafında 6 döndürülmesile oluşan kürenin hacmini bulunuz. 6) h Şekilde verilen taralı bölgenin r ekseni etrafında 6 döndürülmesile oluşan koninin hacmini bulunuz. 7) f() f() g() g() a b a b. Şekil. Şekil. şekildeki [a,b] nda f ve g fonksionları ile sınırlanan alan ekseni etrafında 6 döndürülerek. şekildeki cisim oluşmaktadır. Bu cismin hacmi, 7

248 π. b a [f()] [g()] d ile hesaplanır. Buna göre aşağıda verilen eğrilerle sınırlı bölgelerin ekseni etrafında 6 döndürülmesile oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz. a) =, = b) = sin, = cos, =, = 4 π 8. Hareket eden bir cismin aldığı olun, zamana bağlı olarak s:[t,t ] R, l=s(t) biçiminde verildiğini biliorsunuz. Önceki öğrenmelerinizden, olun birinci basamaktan türev fonksionuna hareket eden cismin hızı ve hızın birinci basamaktan türev fonksionununa da ivmesi dendiğini hatırlaınız. Bu bilgilerinizi ve türev ile ilgili diğer öğrenmelerinizi kullanarak ol fonksionunu bilinen hız fonksionu ardımıla bulmaa çalışalım. Önce verilen V(t)= s (t)= ds eşitliğini anlamlandıralım. dt Zamana bağlı hız denklemi bilinen hareketlinin zamana bağlı ol denklemini integral ardımı ile ifade ediniz. Benzer düşüncele bir hareketlinin zamana bağlı hız fonksionunu integral ardımı ile ivme fonksionu türünden ifade ediniz. 9. Bu kez hareket eden cismin, hareketinin belli bir anından sonraki durumunu araştırabiliriz. Bunun için önce belirsiz integralin bir kefî sabit içerdiğini ve F()= f()d+c biçiminde gösterildiğini hatırlaalım. Verilen gösterimden c kefî sabitinin nasıl a da hangi durumda ortadan kaldırılabileceğini düşünelim. Düşüncemizi somutlaştırmak amacıla şekildeki gibi üksekliğinde V hızı ve a(t)= m/sn. ivmesi ile hareket eden cismi göz önüne alalım. 8

249 V Bu hareketlinin hızını, Yer bağıntısından, V(t) = a(t) dt V(t)= t+c olarak buluruz. t= anında V()= V seçerek c için V = c belli değerine ulaşırız. Bu durumda zamana bağlı hız denklemi, V(t)= V t olarak elde edilir. Elde edilen sonucu şöle genelleebiliriz: Eğer fonksionun belli bir noktadaki değeri biliniorsa belirsiz integraldeki c kefî değeri bulunarak sonuç belirli hâle dönüştürülebilir. Sizler de aşağıdaki soruları anıtlaınız. Hareketlinin ilk saniede aldığı ol V ise ol-zaman denklemini bulunuz. Yol-zaman denklemindeki integral sabiti fiziksel olarak nei ifade eder? Bir cismin çıkış süresi, cismin hızının sıfır olduğu ana kadar geçen süredir. Buna göre cismin çıkış süresini V ilk hızına bağlı olarak bulunuz. Cismin çıkabileceği maksimum ükseklik m olduğuna göre cismin ilk hızını bulunuz. 7. ) Düz bir çizgide hareket eden bir cismin zamana bağlı hız denklemi V(t)=cos(π.t) dır. t= anındaki cismin aldığı ol 4 ise bu hareketlinin ol-zaman denklemini bulunuz. 9

250 ) Yerüzüne akın erlerde düşe hareketler apan bir cismin düşe doğrultuda bir a ivmesi vardır. Bu ivme küçük mesafeler söz konusu olduğunda hemen hemen sabittir. Bu sabitin büüklüğü g ile gösterilir ve aklaşık olarak 9,8 m/sn. dir. Hava direnci ok saılırsa hareket eden cisme etki eden dış etkenin sadece er çekiminden kanaklanan ivme olduğunu kabul edebiliriz. Burada düşe hareketle ilgilenildiğinden cismin konumunun koordinat sistemi olarak ekseni ve erüzü seviesini = ile gösterelim. Düşe doğrultuda ukarı doğru ön, pozitif ön olarak seçilirse er çekiminin cisme etkisi cismin erden üksekliğini ve hızını azaltır. Bu durumda cismin ivmesi, a(t)= dv = g = 9, 8m / sn. dir. dt Bu durumda cismin hız zaman denklemi, V(t)= V 9,8t Bir başka deişle V(t)= V g.t bulunur. Bu bilgilerden ararlanarak aşağıdaki problemleri çözünüz. a) Başlangıçtaki hızı 49 m/sn. olan bir top 8 metre ükseklikten ukarı doğru düşe bir hareket apacak biçimde fırlatılıor. Topun çıkabileceği maksimum ükseklik kaç metredir? b) Bir çocuk bir kuua taş bırakmıştır. Taş sanie sonra kuunun dibine ulaşmıştır. Kuunun derinliği kaç metredir? (Yol Gösterme: Burada er çekimi ivmesi pozitif alınır.) ) Bir aracın t anındaki ivmesinin değeri a= (t+)m/sn. denklemi ile verilmiştir. Bu aracın t= anındaki hızı 4 m/sn. ise. saniedeki hızı kaç m/sn. dir? 4) Bir hareketlinin herhangi bir t anındaki hızı V(t)= 4t t +t m/sn. dir. Başladığı andan itibaren 4 sanie sonra gittiği ol kaç metredir? 4

251 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME ) (5 4 +4) d=? 4 ) ( + ) d =? ) Kenarları koordinat eksenlerine paralel, A köşesi orijinde ve C köşesi =b doğrusu üzerinde olan ABCD dikdörtgeninin alanının, A ve C köşelerinden geçen =k. m eğrisi ile ekseni arasında kalan alana oranının m e bağlı olduğunu, k ve b e bağlı olmadığını gösteriniz. (b>, k>) 4) d ( ) 9 d=? 5) ( 4 ) cos d=? 6) ( ) d=? 7).f() d= 4 6 (4ln )+c eşitliğini sağlaan f() fonksionunu bulunuz. 8) 5.e d=? 9) f ()= ve f()= bağıntısını sağlaan f() fonksionunu bulunuz. ) ( +). d=? 4

252 ). d=? ) d=? ) f() d = F()+c olduğundan f(a+b) d=? 4) e.cose d=? 5) e sin.cos d=? 6) 4 (+) d=? 7) d =? 8) (+) d =? 9). + d=? ).e d=? ) arcsin d=? ) d 4 =? 4

253 d ) + 6 =? 4) (+) d + =? 5) d=? 6) sin 7 d=? 7) sin 5.cos d=? 8) d 4+ =? 9) 9 4 d=? ) d=? 4 ) d 4+ =? ) Kısmi integrasonu kullanarak.arcsin d integralini hesaplaınız. ) Herhangi bir noktadaki eğimi, o noktadaki apsisinin iki katının negatifine eşit olan ve (,) noktasından geçen eğrii bulunuz. 4) Düzgün bir çaır üzerinde bir top 8 m/sn. ilk hız ile uvarlanıor. Sürtünmeden dolaı hız m/sn. hızla azalıor. Top hangi uzaklığa kadar uvarlanır? 4

254 5) Yerden 96 metre üksekteki balondan bir top düşürülmüştür. Balon 4,7 m/sn. hızla ükselior. a) Topun ulaştığı en büük üksekliği, b) Topun havada kaldığı sürei, c) Topun ere çarptığı andaki hızını bulunuz. 6) Bir araba,5 m/sn. hızla avaşlamaktadır. İlk hızı 5 km/sa. olduğuna göre duruncaa kadar aldığı olu hesaplaınız. 7) Belli bir q miktarı kendisi ile oranlı olarak artmaktadır. t= olduğunda q= 5 ve t= olduğunda q= 75 ise t= 6 olduğunda q nun değerini bulunuz. 8) (+) d=? 9) ( ) d=? 4) ( +) d=? 4) d + d=? 4) = e t.cost, = e t.sint verildiğine göre, ( ) d dt + d ( dt ) dt= e t.(e ) eşitliğini gösteriniz. 44

255 4) 6 d=? 44) f()= fonksionu için 6 4, 4 <5 ise, 5 <6 ise f() d integralini hesaplaınız. 45) + d=? 46) Aşağıdaki taralı bölgelerin alanlarını bulunuz. a) b) = + = c) = ç) = =4 =4 47) Aşağıda denklemleri ile verilen eğri, doğru ve O ekseni arasında kalan kapalı bölgelerin alanlarını bulunuz. a) = +, =, = b) =, =, = c) =cos sin, =, = π ç) =tan, = 4 π, = 6 π 45

256 48) Aşağıda denklemleri ile verilen eğriler tarafından sınırlanan bölgelerin alanlarını bulunuz. a) =, =8 b) =, = c) = +, = ç) = +, =+9 49) + =4 ve + =4 daireleri arasında kalan alanı bulunuz. 5) = 4 parabolü ve ekseni arasında kalan alanı bulunuz. 5) k N olmak üzere, = k ile = k+ eğrileri verilior. Bu iki eğri arasında kalan bölgenin alanı A(k) olsun. A(k) ifadesini hesaplaınız. k= 5) Yandaki şekilde taralı bölgenin = O ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz. = cos π π 5) Yandaki taralı bölgenin O ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz. = + = = 46

257 54) = 6 Yukarıdaki taralı bölgenin O ekseni etrafında döndürülmesile oluşan cismin hacmini bulunuz. 55) Aşağıda denklemleri verilen eğri ve doğrular tarafından sınırlanan bölgelerin O ekseni etrafında döndürülmesile oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bulunuz. a) =, = 5, = b) =, =, =, = c) = e, =, =, = ç) =, =, = 56) Aşağıda denklemleri verilen eğri ve doğrular tarafından sınırlanan bölgelerin O ekseni etrafında döndürülmesile oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bulunuz. a) =, = b) = +, = + c) = +, = 4 ç) = +, = + 47

258 57) Aşağıdaki eğri ve doğrular tarafından sınırlanan bölgelerin O ekseni etrafında döndürülmesile medana gelen dönel cisimlerin hacimlerini bulunuz. a) =, =, = 4 b) =, =, =, = c) = 4, =, = ç) =, = 58) f()= eğrisi, = 8, = 8 ve = doğruları ile sınırlı bölge ekseni etrafında 6 döndürülerek bir kum saati 8 oluşturuluor. Oluşturulan kum saatinden dakikada 5 4 cm kum üst taraftan alt tarafa aktığına göre, üst taraf tamamen dolu iken kumlar kaç dakikada alt tarafa akar? 48

259 S ZL K A aralık: Verilen iki reel saı arasındaki bütün reel saıları kapsaan küme. artan fonksion: Bir fonksionda bağımsız değişken artarken, bağımlı değişkenin de artması. asimptot: Düzlemsel bir eğrie sonsuzda teğet olacak biçimde çizilebilen doğru vea eğri. azalan fonksion: Bir fonksionda bağımsız değişken artarken bağımlı değişkenin azalması. B belirsiz ifade:,,,.,,, biçimindeki ifadelerin her biri. büküm noktası: Bir fonksionun eğrilik durumu. Çukurluk önünün ön değiştirdiği ve sürekli olduğu nokta. çift fonksion: Grafiği eksenine göre simetrik olan fonksion. D dönel cisim: Düzlemsel bir bölgenin bir doğru etrafında 6 dönmesile oluşan cisim. 49

260 E açının tanjantı. eğim: Analitik düzlemde bir doğrunun ekseni ile apmış olduğu pozitif önlü ekstremum değer: Fonksionun en büük ve en küçük değerlerinden her biri. G grafik: Bir fonksionun (,f()) noktalar kümesinin koordinat sisteminde işaretlenmesi ile oluşan noktaların bileşim kümesi. İ ilkel fonksion: Türevi bilinen bir fonksionun aslı. integral: Türevi bilinen bir fonksionun aslını (ilkelini) bulma işlemi. integrand fonksionu: f() d integralindeki f() fonksionu. integrason sabiti: f() d=f()+c eşitliğindeki c reel saısı. irrasonel fonksion: En az bir terimi köklü biçimde ifade edilen fonksion. ivme: Bir cismin zamana bağlı olarak hızının değişim oranı. K kapalı fonksion: F(,)= biçiminde azılabilen fonksion. L nicelik. limit: Değişken bir niceliğin istenilene çok akın olarak aklaştığı bir başka 5

261 M değer. maksimum değer: Sürekli bir fonksionun bir aralıkta almış olduğu en büük değer. minimum değer: Sürekli bir fonksionun bir aralıkta almış olduğu en küçük N normal: Bir eğrinin teğetine değme noktasında dik olan doğru. S sınırlı fonksion: Tanım kümesinin her elemanı için f() <k olacak biçimde bir k pozitif reel saısı bulunabilen fonksion. eşit olması. süreklilik: Bir fonksionun noktasındaki limiti ile o noktadaki görüntüsünün T tek fonksion: Grafiği orijine göre simetrik olan fonksion. türev: [a,b] nda tanımlı bir f() fonksionuna verilecek olan çok küçük bir artışında fonksion artmasının değişken artmasına oranının (değişken artmasının a aklaştığındaki) limit değeri. türevlenebilir fonksion: Tanım kümesindeki her (a,b) nın her noktasında türevi tanımlı olan bir fonksion. Y erel ekstremum: Bir fonksionun sürekli olduğu belli aralıktaki en büük vea en küçük değeri. 5

262 KAYNAKÇA. Alkan, H., E. Bukova, Constructing Derivative as a Function b Using Animations, ICTM Toplantısı, İstanbul, 6.. Alkan, H., Matematik Öğreniorum, Anı Yaınları, Ankara, 7.. Anton, H., Calculus, John Wile & Sons, Inc., Canada, Adın, N., Liseler İçin Matematik 5, Adın Yaınları, Ankara,. 5. Ares F., Teori ve Problemlerle Diferansiel ve İntegral Hesap, Güven Kitabevi Yaınları, Ankara, Balcı, M., Genel Matematik Problemleri, Balcı Yaınları, Ankara, 4. Ankara, Bakşi, E., H. Korkmaz, U. Adalıoğlu, Matematik Lise, Millî Eğitim Yaınları, 8. Barış, M., Lise Matematik, Ders Kitapları Anonim Şirketi, İstanbul,. 9. Bitsch, G., H. Freudigmann, G. Reinelt, J. Stark, I. Weidig, M. Zinser, LS Kursstufe, Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 5.. Bittinger, M., Calculus and Its Applications, Addison-Wesle Publishing Compan, Indianapolis, Bontemps, G., Fractale Terms Maths Obligatoire, Larousse-Bordas, Paris,. Edwards, C. H., D. E. Penn, Matematik Analiz ve Analitik Geometri, Palme Yaıncılık, Ankara,.. Goldstein, L. J., D. C. La, D. I. Schneider, Calculus and Its Applications, Prentice Hall, Marland,

263 4. Silverman, R. A., Calculus with Analtic Geometr, Richard A. Silverman, Prentice Hall New Jerse, Urso, R., Calculus with Applications, McGraw-Hill, Inc., New York, Waner, S., S. R. Custenoble, Calculus Applied to the Real World, Harper Collins College Publishers, Hofstra, 996. İNTERNET ADRESLERİ pdf=&id=9 5