GİRİŞ. elde edilmesi çok eski ve önemli bir problemdir. Bunun için öncelikle v cismine genişlemelerinin belirlenmesi hedeflenmiştir.

Transkript

1 GİRİŞ Değerlendrme teors cebrsel fonksyonlar e cebrsel sayılar arasındak lşknn sonucu olarak ortaya çıkmıştır. Dedeknd e Weber n cebrsel fonksyonlar teorsne artmetk yaklaşımları Remann yüzeynn br noktasında kuet sers açılımlarının elde edlmes roblemn ortaya koymuştur. Bu şekldek br yaklaşımı -adk sayılar teorsnde ele alan Hensel bunun cebrsel fonksyonlar teorsnde sıkça ortaya çıkan kongruens sstemlern açıklamakta yardımcı olacağını göstermştr. Ayrıca 908 yılında yayımladığı Theore der Algebraschen Zahlen adlı ktabında değerlendrme teors alanındak çalışmalara taban oluşturan e olnomların asal olu olmadıklarının belrlenmes konusunda br krter olan ndrgeneblrlk lemmasına yer ermştr. 900 lü yıllarda değerlendrme teorsnn kullanılmasıyla brlkte cebrsel sayılar teorsnn daha y anlaşılması üzerne değerlendrme teorsnde hızlı br gelşme olmuştur. Bu gelşmde göze çaran en öneml kşler Ostrowsk, Chealley e rull dur. csm üzernde br değerlendrmes tanımlanmış se csmnn br cebrsel genşlemes e nn csmne br genşlemes ele alındığında csmnn br α elemanı çn G değer grubunda bazı sabtler tanımlanmıştır. değerlendrmesnn rezdü csm e değer grubunun belrlenmesnde kullanıldığı çn bu sabtler önemldr. Bu sabtler arasında özellkle rasner sabtnn özel br yer ardır. Bu sabtlerle lgl çalışmalar rasner le başlamış, James Ax le deam etmştr. handuja da bu konudak çalışmaları günümüze kadar getrmştr. Br csmnn değerlendrmesnn x,..., x csmne genşlemelernn ( n elde edlmes çok esk e öneml br roblemdr. Bunun çn öncelkle değerlendrmesnn (x csmne genşlemelernn belrlenmes hedeflenmştr. (x, nın br transandant genşlemes se nn (x csmne genşlemeler de yne csmnn cebrsel genşlemeler yardımıyla elde edlmektedr. Dolayısıyla değerlendrmesnn x,..., x e tüm genşlemeler de yne nın cebrsel ( n genşlemeler yardımıyla elde edlecektr. Br csmnn (x csmne rezdül transandant genşlemeler lk olarak Nagata tarafından ele alınmıştır. Bu çalışmaların yardımıyla Alexandru, Poescu, Zaharescu e handuja tarafından br csmnn değerlendrmelernn (x csmne tüm genşlemeler e rezdül transandant

2 genşlemeler tanımlayan mnmal çftler belrlenmştr. Rezdül transandant genşlemeler br cebrsel genşleme yardımıyla tanımlanabldğnden en uygun cebrsel genşlemenn elde edlmes çn mnmal çftlern belrlenmes gerekldr. Mnmal çftn belrlenmes de csmnn cebrsel genşlemelernn kıyaslanması le mümkündür. Burada sözü edlen sabtler değerlendrlmş csmlern kıyaslanmalarında kullanılan teorlern fade e kanıtlarında da öneml br yere sahtr. Yne bu sabtler kullanılarak cebrsel genşlemeler çn Henselan hata; transandant genşlemeler çn tanımlanan Henselan hata yardımıyla elde edleblr. Dolayısıyla knc bölümde öncelkle bu sabtlern rdelenmes amaçlanmıştır. Üzernde br değerlenmes tanımlanan csmnn cebrsel genşlemeler sağladıkları özellklere göre adlandırılır. Bunlardan en önemls tame genşlemes olarak adlandırılan genşleme tdr. Bu genşlemeler hatasızdır e yukarıdak sabtler yardımıyla rezdü csmler e değer gruları hakkında yorum yamak mümkündür. Bu yüzden bu bölümde tame genşlemeler ayrıca rdelenmştr. Son bölümde de I. e II. Bölümlerdek çalışmalardan yararlanılarak değerlendrlmş br csmnn genşlemesnn tame genşlemes olablmes çn lteratürde rastlanmayan gerekl e yeterl yen koşullar elde edlmştr. Ayrıca sabtlern kıyaslanmalarıyla lgl orjnal sonuçlar elde edlmştr.

3 . BÖLÜM ÖN BİLGİLER..Tanım: G çarımsal (eya tolamsal değşmel br gru, < (eya > G üzernde br sıra bağıntısı olsun. Her α, β, γ G çn α < β, β < γ se α < γ (eya α > β, β > γ se α > γ α < β, α = β, β < α (eya α > β, α = β, β > α dan yalnız br sağlanır, α < β, δ G se αδ < βδ (eya α > β, δ G se α + δ > β + δ koşulları gerçeklenyorsa G grubuna üzerndek < (eya > bağıntısı le sıralı br gru denr..2.tanım: br csm, G çarımsal (eya tolamsal sıralı br gru olsun. : G {0} (eya : G { } bçmnde tanımlanan dönüşüm her a, b çn ( a = 0 a = 0 (eya ( a = a = 0 ( a. b = ( a ( b (eya ( a. b = ( a + ( b ( a + b max{ ( a, ( b } (eya ( a + b mn{ ( a, ( b } koşulları gerçeklenyorsa dönüşümüne csm üzernde br değerlendrme adı erlr. grubu denr..3.tanım:.2. Tanımı ndak G sıralı grubuna değerlendrmesnn değer.4.tanım: br csm olsun. ( a 0, ( a = 0 a = 0 ( a b = ( a ( b ( a + b = ( a + ( b + : IR dönüşümü her a, b çn koşulları gerçeklenyorsa dönüşümü csmnn rankı olan değerlendrmes eya csmnn mutlak değer olarak adlandırılır..5.tanım: br csm, csm üzernde br değerlendrme olsun. Her a çn ( a = (eya ( a = 0 oluyorsa ye csmnn aşkar değerlendrmes denr.

4 .6.Önerme: br csm, csm üzerde değer grubu çarımsal (eya tolamsal olan br değerlendrme olsun. Aşağıdak fadelern gerçeklendğ değerlendrmesnn tanımından kolayca görülür. ( = (eya ( = 0 a, b, ( a ( b se ( a + b = max{ ( a, ( b} dr, (eya ( a + b = mn{ ( a, ( b } dr n çn a se ( n = a max( ( a dr, (eya ( a mn { ( a } n = dr dönüşümü n n çn a e a = 0 se en az br j çn a = ( a dr. =.7.Tanım: e F k csm e F csm cebrsel kaalı olsun. ϕ : F { } ϕ ( F = V br halkadır, ( j ϕ nn V halkasına kısıtlanışı ϕ V aşkar olmayan br homomorfzmadır, a çn ϕ (a = se ϕ ( a = 0 koşulları gerçeklenyorsa ϕ dönüşümüne csmnn br lace adı erlr..8.tanım: br csm, V csmnn br alt halkası olsun. a ken a V eya a V oluyorsa V halkasına csmnn br değerlendrme halkası denr..9.tanım: br csm ; V, csmnn br değerlendrme halkası olsun. P = { a V a V } kümes V değerlendrme halkasının tek maksmal dealdr..0.tanım: br csm, V csmnn br değerlendrme halkası olsun. U = { a V a V } kümes br grutur e bu kümeye V değerlendrme halkasının brm grubu adı erlr.

5 .. Önerme: br csm, csmnn br değerlendrmes e G nn değer grubu olsun. G çarımsal br gru se V = { a ( a }, P = { a ( a < }, U = { a ( a = } e Γ tolamsal br gru se bçmndedr. V = { a ( a 0}, P = { a ( a > 0 }, U = { a ( a = 0 }.2. Tanım: br csm, csm üzernde br değerlendrme, V nn değerlendrme halkası ; P, V nn tek maksmal deal se V / P kümes br csmdr e bu csme değerlendrmesnn rezdü csm adı erlr..3. Teorem: br csm olsun. csm üzerndek değerlendrmeler değerlendrme halkaları e lace ler arasında bre-br br eşleme ardır. (Bachman, Teorem: br csm, A csmnn br alt halkası, F cebrsel kaalı br csm e f : A F aşkar olmayan br homomorfzma olsun. csmnn φ f olacak bçmde br ϕ lace ardır. (Bachman, 964 A =.5. Tanım: A tek türlü asal çaranlarına ayrılablen br bölge e A nın kesr csm olsun. µ A brmsel eleman e ler A nın asal elemanları olmak üzere herhang br x A elemanı x = µ α olarak yazılır. c IR, 0 < c < olmak üzere α ( x = c (eya (x = α bçmnde tanımlanan dönüşüm değerlendrme tanımındak koşulları gerçekler. Bu dönüşüm A nın kesr csm olan ya tek şeklde genşletlr. Bu değerlendrmeye csmnn -adk değerlendrmes adı erlr..6. Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. değerlendrmes csm üzernde br Hausdorff toolojs tanımlar. Her a nın komşuluklarının temel sstem µ > 0 olmak üzere tüm kümeler le erlr. U ( a, µ = { b ( a b < µ } a çn

6 .7. Teorem: br csm, e 2 csmnn aşkar olmayan k değerlendrmes, T e T 2 csm üzernde sırasıyla e 2 değerlendrmeleryle belrlenen toolojler e a olsun. α =, α 0 a ( a 2 > ( 2 T = T a > ( a 2 ( 2 > T T den daha ncedr. a ( a 2 ( 2 a < ( a a = ( a ( 2 < ( 2 = fadeler denktr. (Wess, Tanım:G sıralı br gru, H G grubunun br alt grubu olsun. a G olmak üzere b H e b a b solated alt grubudur denr. ken a H oluyorsa H alt grubuna G grubunun br.9. Tanım: G sıralı br gru olsun. G grubunun kendsnden farklı tüm solated alt grularının sayısına G sıralı grubunun rankı adı erlr..20. Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes, G nn değer grubu olsun. değerlendrmesnn rankı G sıralı grubunun rankıdır..2. Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. csmnde alınan her Cauchy dzs değerlendrmesne göre csmnn br elemanına yakınsıyorsa csm değerlendrmesne göre tamdır denr..22. Teorem: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. ~ csm değerlendrmesyle tam e csm ~ csm çnde yoğun olacak şeklde br ~ csm ardır. Bu ~ csmne csmnn değerlendrmesne göre tamlanışı adı erlr..23. Teorem: br csm csmnn br değerlendrmes e ~, ~ ~ ~ csmnn değerlendrmesne göre tamlanışı se char = char e ( = ( dır. (Bachman, Tanım: e L k csm olsun. α L çn L = (α bçmnde yazılıyorsa L csmne csmnn br bast genşlemes denr.

7 .25. Tanım: L csmnn br genşlemes e α L olsun. f ( α = 0 olacak şeklde en az br f ( x [ x], f ( x 0 olnomu arsa α L elemanı csm üzernde cebrseldr denr e α ceb / le gösterlr..26. Tanım: L csmnn br genşlemes olsun. Her α L elemanı csm üzernde cebrsel se L csmnn br cebrsel genşlemesdr denr..27. Tanım: L, csmnn br genşlemes olsun. = { a L a ceb / } csmne csmnn L csm çndek cebrsel kaanışı adı erlr..28. Tanım: L csmnn br genşlemes, α L olsun. α csm üzerndek mnmal olnomunun br bast kökü se α L elemanı csm üzernde ayrılablrdr denr e α ayr / le gösterlr..29.tanım: : L csmnn br genşlemes olsun. Her α L elemanı csm üzernde ayrılablr se L csmnn br ayrılablr genşlemesdr denr..30 Tanım: L, csmnn br genşlemes olsun. = { a L a ayr / } ayr csmne csmnn L csm çndek ayrılablr kaanışı adı erlr..3. Tanım: csmnn tüm genşlemeler ayrılablr se csmne mükemmel csm denr..32. Tanım: L csmnn br genşlemes, α L olsun. α elemanının csm üzerndek mnmal olnomu L [x] çnde doğrusal çaranlarına ayrılablyorsa α L elemanı csm üzernde normaldr denr..33. Tanım: L csmnn br genşlemes olsun. Her α L elemanı csm üzernde normal se L csmnn br normal genşlemesdr denr..34. Tanım: L csmnn normal e ayrılablr br genşlemes se L csmne csmnn br Galos genşlemes denr..35. Tanım: L csmnn br Galos genşlemes olsun. L nn csmn sabt bırakan otomorfzmalarının kümes bleşke şlemne göre br grutur e bu gruba L nn csm üzerndek Galos grubu denr..36. Tanım: L, csmnn sonlu br genşlemes, a L e ( x = Irr( a, olsun. Eğer ( x = ( x a, m > m se a elemanına csm üzernde tamamıyla ayrılamaz denr. L, csmnn br genşlemes olsun. Her a L elemanı csm üzernde tamamıyla ayrılamaz se L, csmnn tamamıyla ayrılamaz genşlemesdr

8 denr. [ ayr : ] derecesne L csmnn csm üzerndek ayrılablrlk dereces, [ ayr L : ] derecesne se L csmnn csm üzerndek ayrılamazlık dereces denr..37. Tanım: F csmnn sonlu br genşlemes, F nn csm çndek ayrılablrlk dereces n, ayrılamazlık dereces [ : F] olsun. σ,...,σ n nın F- otomorfzmaları olmak üzere e trace bçmnde tanımlanır. a elemanının F üzerndek normu N T n / F ( a = σ ( a = [ : F ] n / F ( a = [ : F] σ ( a =.38. Teorem: br csm, csmnn br değerlendrmes e L csmnn br genşlemes olsun. Bu durumda genşletleblr. (Bachman, 964 değerlendrmes L csmne.39 Teorem: L csmnn br genşlemes, csmnn br değerlendrmes, L değerlendrmesnn L csmne br genşlemes olsun. V değerlendrmesnn değerlendrme halkası, P V nn maksmal deal, U V nn brm grubu, V L L değerlendrmesnn değerlendrme halkası, P L V L nn maksmal deal e U L V L nn brm grubu se şeklndedr. V = V, P = P, L L U = U.40. Tanım:, br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. L csmnn br genşlemes e L değerlendrmesnn L csmne br genşlemes olsun. L e L değerlendrmelernn sırasıyla değer gruları G e G L, rezdü csmler k e k se e = e / = [ G : G ] ndeks dallanma ndeks, L ( L L f = f / = [ k : k ] dereces rezdü dereces olarak adlandırılır. Eğer ( / = ( L L e L se L değerlendrmesne üzernde dallanmamıştır denr.

9 .4. Teorem: L csmnn n. dereceden br genşlemes, csmnn br değerlendrmes, L değerlendrmesnn L csmne br genşlemes olsun. e dallanma ndeks, f rezdü dereces olmak üzere e f n dr. (Bachman, Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. değerlendrmesnn değer grubu sonsuz derl br gru se ye ayrık değerlendrme denr..43 Teorem: br csm, csmnn ayrık br değerlendrmes olsun. csm değerlendrmesne göre tam se e L csmnn n. dereceden br genşlemes se e f = n dr. (Bachman, Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. csmnn her br L cebrsel genşlemes çn değerlendrmesnn L csmne br tek genşlemes arsa ye Henselan değerlendrme denr..45. Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. L csmnn değerlendrmesnn tek şeklde genşletlebldğ en küçük csm se L csmne csmnn Henselzasyonu denr..46. Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes, L csmnn cebrsel br genşlemes e L, değerlendrmesnn L csmne br genşlemes olsun. e e f sırasıyla dallanma ndeks e rezdü dereces olsun. L csmnn Henselzasyonu h ( L e csmnn Henselzasyonu h ( olmak üzere L / genşlemesnn h h Henselan hatası [( L : ( ] / ef le tanımlanır, def (( L, L /(, eya def ( L / le gösterlr. Eğer def ( L / = se genşleme hatasızdır denr..47. Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes, L csmnn br genşlemes e L değerlendrmesnn L csmne br genşlemes olsun. Eğer değerlendrmes le L değerlendrmesnn değer gruları e rezdü csmler aynı se L değerlendrmesnn mmedate genşlemesdr denr..48. Tanım: br csm, csmnn henselan br değerlendrmes, L csmnn br genşlemes e L, değerlendrmesnn L csmne br genşlemes olsun. e e f sırasıyla dallanma ndeks e rezdü dereces olmak üzere [ L : ] = ef k L, k csmnn ayrılablr br genşlemesdr.

10 chark ł e koşulları sağlanıyorsa L / genşlemesne Tame genşlemes denr..49. Tanım: br csm, csmnn henselan br değerlendrmes, L csmnn br genşlemes e L, değerlendrmesnn L csmne br genşlemes olsun. e dallanma ndeks chark = nn br kuet e k L / k tamamıyla ayrılamaz br genşleme se L / genşlemesne tamamıyla wld genşleme denr..50. Tanım: L, csmnn br genşlemes olsun. α L elemanı csm üzernde cebrsel değlse α elemanı csm üzernde transandanttır denr e α trans / le gösterlr. En az br α L elemanı csm üzernde transandant oluyorsa L csmnn transandant br genşlemesdr..5. Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. (x csmnn bast transandant br genşlemes, değerlendrmesnn (x csmne genşlemes w, değer grubu transandant genşleme se w değerlendrmesne transandant genşlemes denr. G w, rezdü csm k w olmak üzere k w / k genşlemes de değerlendrmesnn br rezdül ξ w nın değerlendrme halkasının br elemanı, ξ nn w-rezdüsü ξ e ξ trans / k e w değerlendrmesnn (ξ csmne kısıtlanışı ξ olsun. ( ( x, w /( ( ξ, ξ sonlu genşlemesnn Henselan hatası D h olmak üzere E, I e R E = mn{[ ( x : ( t] t ( x, w( t = 0, t I = [ G w : G ] = [ k : k ] ( k k nn w R : trans / k k çndek cebrsel kaanışı eştlkler le tanımlanır..52. Tanım: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. (x } csmnn bast transandant br genşlemes, değerlendrmesnn csmne genşlemes, w değerlendrmesnn (x csmne genşlemes olsun. w ( x a = δ olmak üzere (x csmnn w genşlemes w( d ( x a = nf{ ( d + δ }, d

11 şeklnde tanımlanmış olsun. çft adı erlr. ( a, δ G çftne w değerlendrmesn tanımlayan.53. Tanım: ( a, δ, (x csmnn w değerlendrmesn tanımlayan br çft olsun. w değerlendrmesn tanımlayan her ( c, γ G çft çn [ ( a : ] [ ( c : ] oluyorsa ( a, δ G çftne w değerlendrmesn tanımlayan mnmal çft denr..54 Tanım: : br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. Her n 0 n x f = a + a x a x [ ] olnomu çn w ( f = nf{ ( a } şeklnde tanımlanan w değerlendrmes değerlendrmesnn (x csmne Gauss genşlemes olarak adlandırılır. Bu durumda w ( x = 0 e kw = k x dır..55. Lemma: : br csm, csmnn br değerlendrmes; G, G grubunu kasayan sıralı br gru e γ G olsun. Her f ( x = a x [ x] çn w( f ( x = nf{ ( a + γ } şeklnde tanımlanan w, değerlendrmesnn (x csmne br rezdül transandant genşlemesn gösterr..56. Tanım: br csm, csmnn henselan br değerlendrmes olsun. f ( x [ x], f ( x 0 olan br olnom olsun. Her br F( x [ x] olnomu deg F ( x < deg f ( x olmak üzere F ( x = F ( x f ( x olarak tek şeklde yazılır e bu yazılışa F (x olnomunun f-açılımı denr. ( α, δ G mnmal çft olsun. (x csmnn ( α, δ çftne bağlı ( tanımlanan w değerlendrmes [x] de α, δ wα, δ c x = c + ( α mn{ ( δ}, c

12 şeklnde tanımlanır..57. Teorem: w α, δ (x csmnn ( α, δ mnmal çft yardımıyla tanımlanan br değerlendrmes olsun. α elemanının csm üzerndek mnmal olnomu f (x se f-açılımı F ( x = F ( x f ( x olan herhang br F( x [ x] olnomu çn olarak yazılır. (handuja, 992 ( F x = mn{ ( F ( w ( f ( wα α +, δ ( α, δ x.58. Tanım: karakterstğ char = 0 olan br csm e csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. Herhang br f ( x = a x ( x olnomu çn f [ j] ( x = j olnomu yazılır. f (x olnomunun j. türe a j x j f ( j ( x = j! f [ j] ( x olur. olacak şeklde D = { α ( α β λ} β e λ G elemanları arsa csmnn D alt kümesne dsk denr. β dskn merkezn, λ se çaını gösterr. α.59. Tanım: csmnn herhang ranklı Henselan br değerlendrmes e \ elemanı csm üzernde ayrılablr olsun.α elemanının rasner sabt w ( α = max{ ( α α α α nın -eşlenğ, α α} şeklnde tanımlanır. Ayrıca csm genşlemelernde eştlğ de önemldr. ( α = mn{ ( α α α, α nın -eşlenğ}.60. Tanım: G br gru olsun. k G = m, asal, ł m se G grubunun mertebes k olan alt grubuna -Sylow alt grubu denr.

13 çn.6. Tanım: ( P, kısm sıralı br küme, A P alt küme olsun. Her x P x y olacak şeklde y A elemanı arsa A ya P çnde br kofnal denr..62. Tanım: G br gru olsun. Her x G çn x = y olacak şeklde y G elemanı arsa G grubuna -bölüneblr gru denr..63.tanım: I kısm sıralanmış br küme olsun. I kümesnn herhang k e j elemanı çn k e j k olacak şeklde br k I elemanı arsa I kümesne yönlendrlmş küme denr..64. Tanım: X br küme, I yönlendrlmş br küme olsun. I kümesnden X kümesne br f fonksyonuna X de br ağ (net adı erlr. f ( fonksyon değer f le e ağın kends { f } le gösterlr. I.65. Tanım: G tam sıralı br gru H G alt gru olsun. h, h 2 H e g G olmak üzere h g h2 ken g H oluyorsa H alt grubuna conex denr..66. Tanım: L, csmnn [ L : ] = asal olan br derl genşlemes olsun. y y = c, L = ( y olacak şeklde y L elemanı arsa L / genşlemesne Artn-Schreer genşlemes denr..67. Teorem: (Hlbert Teorem 90 L, csmnn br Galos genşlemes e Galos grubu σ le üretlen derl br gru olsun. α L, Tr L / ( α = 0 olmak üzere en az br 0 β elemanı çn α = σ ( β β yazılır..68. Tanım: csm üzerndek mutlak değer her a, b çn ( a + b max{ ( a, ( b} koşulunu sağlıyorsa Arşmetsel olmayan mutlak değer aks halde Arşmetsel mutlak değer olarak adlandırılır..69. Lemma: (Hensel Lemma br csm, csmnn Arşmetsel olmayan, rankı olan br değerlendrmes, O değerlendrmesnn değerlendrme halkası, M maksmal deal, k rezdü csm olsun. f ( x O[ x] e G( x, H ( x k ( x aralarında asal olnomlar olmak üzere f ( x = G( x H ( x olsun. Bu durumda f ( x = g( x h( x olacak şeklde g( x, h( x [ x], deg G ( x = deg g( x olnomları ardır. (Mc Charty, 966

14 2. BÖLÜM TAME GENİŞLEMELERİ VE SABİTLER br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. csmnn br genşlemes olmak üzere, değerlendrmesnn csmne br genşlemes, değer grubu G, rezdü csm k le gösterlsn. 2.. Lemma: mükemmel br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes e char = 2 olsun., csmnn hatasız br Galos genşlemes e [ : ] = olsun. Bu durumda her α elemanı çn ( α a ( α olacak şeklde en az br a elemanı ardır. anıt: mükemmel br csm e char = 2 olduğundan G grubu - bölüneblrdr e k csm de chark = olan mükemmel br csmdr. Buradan dallanma ndeks e, nn br bölen olduğundan e = dr e, csmnn hatasız br genşlemes olduğundan [ k : k dr. ξ, Artn-Schreer genşlemesnn ] = k k ξ ξ k olacak şeklde br üretec olsun. Hensel Lemma dan ( β = 0 e rezdüsü β = ξ β β c = 0 dır. olan br β elemanı ardır e en az br c elemanı çn, β, β 2,..., β elemanlarının rezdülernn k csm üzernde lneer bağımsız olduğu göz önüne alındığında a0, a,..., a olmak üzere 0 β ( a + a β a = mn ( a (2. olduğu kolayca görülür. Her = 0,,..., çn a olmak üzere \ da herhang br eleman = 0 α = a β olsun. a j = ( a a olacak şeklde en büyük j ndeks seçlsn ( 0 e γ = α a 0 olsun. ( α a ( α olacak şeklde en az br a elemanının a j arlığını göstermek çn ( γ ( γ yan ( γ 0 olduğunu göstermek yeterldr. b = a / a j elemanı

15 ( = 0 e > j ken ( > 0 (2.2 b j olmak üzere γ elemanı γ = b β bçmnde yazılır. csmnn β yı = β + e götüren -otomorfzması altında γ elemanının görüntüsü ( b ( γ olsun. c olmak üzere γ γ = c β olur. c 0, c,..., c 2 katsayıları b, b2,..., b cnsnden = yazılır e (2.2 fades kullanılırsa ( = 0 olduğu bulunur. (2. eştlğ yardımıyla ( c j ( γ γ 0 olur, buradan da ( γ 0 elde edlr Lemma: mükemmel br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes e chark = 0 olsun., csmnn [ : ] dereces le bölünmeyen br genşlemes olsun. Bu durumda her α elemanı çn ( α a ( α eştszlğn sağlayan en az br a elemanı ardır. anıt: α \ alınsın. (α csm L le gösterlsn. mükemmel csm olduğundan L / ayrılablr br genşlemedr e dolayısıyla ayrılamazlık dereces [ L: ] [ L : ] = dr. Bu yüzden TrL / ( α = σ ( α dır. csmnde = A = { σ σ : L, monomorfzma} kümes tanımlansın. [ L : ] = A olduğu açıktır. Hotezden dolayı, [ L : ] yı bölmez. Bu durumda ([ L : ] = 0 olur. ( α [ L : ] Tr L / bulunur. Böylece kanıt tamamlanır. ( α = ([ L : ] α Tr = ([ L : ] α Tr = ( = ( [ L: ] = [ L: ] = α L / [ L: ] = L / σ ( α ( α σ ( α ( α = ( ( σ σ ( α σ A mn{ ( σ σ ( α} = σ A ( α ([ L : ] ( α

16 2.3. Lemma: mükemmel br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes, char = 2 olsun. csmnn br Galos genşlemes e nn csmne hatasız br genşlemes olsun. Bu durumda her α elemanı çn ( α a ( α eştszlğn sağlayan en az br a elemanı ardır. anıt: [ : ] derecesn bölen nn kuet n le gösterlsn. Eğer n = 0 se 2.2.Lemma dan stenlen gösterlmş olur. n 0 olsun. / genşlemesnn Galos grubunun Sylow alt grubunun sabt csm L olsun. Buradan, [ L : ] derecesn bölmez e = 0,,..., n çn L + / L csm genşlemeler. dereceden normal genşlemeler olmak üzere L = L0 L... Ln = ara csmler ardır. (, /(, genşlemes hatasız olduğundan ( α γ ( α L n ( α ( α (2.3 sağlayan en az br γ L n elemanı ardır. γ, γ elemanının br eşlenğ e σ cebrsel kaanışın σ ( γ = γ sağlayan br otomorfzması olsun. Henselan olduğundan ( σ ( α γ = ( α γ eştlkler sağlanır. (2.3 fades de göz önüne alındığında γ elemanının tüm eşlenkler çn ( γ γ = ( γ σ ( γ = ( γ α + α σ ( α + σ ( α σ ( γ mn{ ( γ α, ( α σ ( α, ( σ ( α γ } olur. Buradan ( γ ( α elde edlr. Benzer şeklde deam edlerek bulunur. Böylece (2.3 e (2.4 fadelernden ( γ a ( γ ( α (2.4 ( α a = ( α γ + γ a mn{ ( α γ, ( γ a} ( α elde edlmş olur Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun., csmnn br Galos, tame genşlemes olsun. Bu durumda her α elemanı çn ( α a ( α eştszlğn sağlayan en az br a elemanı ardır. (handuja,998

17 Bu lemmanın tersnn doğru olmadığı aşağıdak örnek le gösterleblr Örnek: u 2 Q csm üzerndek 2-adk değerlendrmes olsun. Bu durumda u nn değer grubu G u = Z 2 2 e rezdü csm k u = Z 2 olur. θ brmn 3.lkel kökü 2 olmak üzere u 2 nn Q (θ csmne genşlemes 2 olsun. 2 nn değer grubu G = 2 dr. Rezdü csm k = Ω csm olsun. t transandant br eleman e 2 t 2, 2 değerlendrmesnn Q( θ, t csmne br genşlemes şeklnde tanımlı Gauss genşlemes olsun. t 2 ( a x = mn{ 2 ( a }, a Q( θ (,, Q( θ, t, csmnn henselzasyonu e ( = ( t, da ( 2 t csmnn 6. dereceden br Galos genşlemes olsun. nn rezdü csm k = Ω t e / 6 nn rezdü csmnn = Ω(( t olduğu açıktır. nn Gauss genşlemes olduğundan olmadığından k t csm üzernde transandanttır. k / k ayrılablr br genşleme / br tame genşlemes olamaz. Oysa her α \ elemanına ( α a ( α eştszlğn sağlayan en az br a elemanının karşılık geleceğ örneğn sonunda gösterlmş olacaktır. / 6 t x = e ξ brmn 6. lkel kökü olsun. σ, σ 2, σ 3, σ 4, σ 5, σ 6 fonksyonları / genşlemesnn σ x = ξ x 2. lkel kökü olduğundan / 6 ( şeklnde tanımlı otomorfzmaları olsun. 3 ( 2 ( Z 3 ξ brmn ξ = (2 = (2.5 6 dr. ( ξ = 6 e G = Z = 2 olduğundan (2.5 fades yardımıyla 6 = 2 ( ξ = 2 (6 = = 2 ( ξ 2 elde edlr. Buradan her =,..., 6 çn ( ξ 0 olduğundan 3 bulunur. 2 = 5, 3 çn ( ξ 0 (2.6

18 x, x, x, x, elemanlarının, x bağımsız olduğu göz önüne alındığında rezdülernn k csm üzernde lneer a se 5 ( a x = mn{ ( a = 0 olur. (2.5, (2.6 e (2.7 fadeler brlkte kullanıldığında } (2.7 a olmak üzere herhang br α 5 = = 0 a x \ elemanı çn ( α σ ( α = mn{ ( a, ( a2, ( a3 +, ( a4, ( a5} ( α σ 2 ( α = mn{ ( a, ( a2, ( a4, ( a5} ( α σ ( α = mn{ ( a +, ( a3 +, ( a5 3 + ( α σ 4 ( α = mn{ ( a, ( a2, ( a4, ( a5} ( α σ 5 ( α = mn{ ( a, ( a2, ( a3 +, ( a4, ( a5} eştlkler kolayca elde edlr. Sonuç olarak ( α = mn{ ( a, ( a2, ( a3, ( a4, ( a5} + şeklnde bulunur. Eğer ( α = ( a3 + se a = a 0 + 2a3 elemanı ( α a = ( α eştlğn sağlar. ( α < ( a3 + se ( a elemanları tam sayı olduğundan j 5, j 3 çn ( a ( a j e ( α = ( a j dr. Burada a = a 0 + a j elemanı ( α a = ( α eştlğn sağlayan br elemandır Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes e, csmnn br mmedate cebrsel genşlemes olsun. Her α elemanı çn olacak şeklde en az br c elemanı arsa = dır. ( α c ( α (2.8 anıt: olduğu arsayılsın. α \ olsun. α elemanının herhang br α eşlenğ e herhang br a elemanı çn }

19 ( α α = ( α a + a α = ( α a ( α a mn{ ( α a, ( α a } = ( α a olur e dolayısıyla her alındığında a çn ( α ( α a dır. (2.8 fades de göz önüne ( α = max{ ( α a a } (2.9 bulunur. le değerlendrmelernn değer gruları aynı olduğundan en az br b α α çn ( α = ( b olur. (2.8 fadesnden dolayı ( c ( yan b b ( α bc ( α olacak şeklde en az br c ardır. (2.9 eştlğ yardımıyla da ( α bc = ( α bulunur. 0 d e ( d = ( α bc olsun. le bc değerlendrmelernn rezdü csmler de aynı olduğundan ( α s > 0 olacak d şeklde en az br s elemanı ardır. Buradan da ( α bc ds > ( d = ( α olur. Bu da (2.9 fades le çelşr. O halde = olmalıdır. 2.7.Uyarı: mükemmel br csm, char = > 0, csmnn Henselan br değerlendrmes se k csm de mükemmeldr e G grubu -bölüneblrdr. Sonuç olarak (, csmnn herhang br sonlu e tamamıyla wld genşlemes br mmedate genşlemedr. 2.8.Teorem: karakterstğ sıfırdan farklı mükemmel br csm, csmnn herhang ranklı Henselan br değerlendrmes olsun. Her α elemanına karşılık ( α a ( α eştszlğn sağlayan en az br a elemanının olması çn gerekl e yeterl koşul değerlendrmesnn hatasız olmasıdır.

20 anıt: 2.3.Lemma göz önüne alınırsa her α elemanı çn ( α a ( α eştszlğn sağlayan en az br a elemanının olması durumunda (, csmnn hatasız değerlendrlmş br csm olduğunun gösterlmes le kanıt tamamlanır. csmnn sonlu br genşlemes olsun. [2] den csm e 2 le üretlen 2 csm çnde kalacak şeklde (, csmnn br (, tame genşlemes e br, sonlu tamamıyla wld genşlemes ardır Uyarı e 2.4. Lemma dan ( = bulunur e buradan da dr. csmnn br tame genşlemes olduğundan hatasızdır. Dolayıyla / genşlemes de hatasız olur Teorem: br csm, csmnn herhang ranklı Henselan br değerlendrmes olsun. Her α elemanı çn ( α a ( α eştszlğn sağlayan en az br a elemanının ar olması çn gerekl e yeterl koşul (, csmnn br tame csm olmasıdır. anıt: 2.8. Teorem nn kanıtına benzer olarak kolayca elde edlr Teorem: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. α \ elemanı csm üzernde ayrılablr olsun. ( α a w ( α olacak şeklde en az br a elemanı arsa (α, csmnn br tame genşlemesdr. anıt: csmnn α elemanının bulunduran en küçük Galos genşlemes e csmnn çndek maksmal tame genşlemes T olsun. Varsayımdan eştszlğn sağlayan en az br ( α a w ( α (2.0 a elemanının olduğu blnyor. (α nın csmnn br tame genşlemes olmadığı yan α T olduğu arsayılsın. Bu durumda σ ( α α olacak şeklde br σ Gal / elemanı ardır. ( T ( σ ( α a ( α a > ( α a (2. olur. (2.0 e (2. fadelernden ( σ ( α α > w ( α bulunur. Bu da w (α sabtnn tanımı le çelşr. Bu durumda (α / br tame genşlemesdr.

21 2.. Teorem: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun., csmnn br Galos genşlemes e [ : ] = n e değerlendrmesnn csmne genşlemes olsun. Bu durumda aşağıdak fadeler denktr. k k e her α \ elemanı çn ( α a w ( α eştszlğn sağlayan en az br a elemanı ardır. n br asal sayıdır e k / k genşlemes n. dereceden br Galos genşlemesdr. anıt: k / k normal br genşlemedr. Herhang br σ Gal ( / dönüşümünün Gal ( / grubundan k / k nn otomorfzmaları grubuna tanımlı kanonk homomorfzma altındak görüntüsü σ olsun e nn değerlendrme halkasındak herhang br ξ elemanı çn σ ( ξ = σ ( ξ şeklnde tanımlansın. ( fadesnn sağlandığı arsayılsın. Buradan k / k genşlemes br Galos genşlemesdr. Her β k \ k elemanı çn [ k olduğu gösterldğnde ( fades kanıtlanmış olur. ( β : k ] = [ : ] = [ k : k ] (2.2 β, ( β = 0 olmak üzere β k \ k olsun. ( fadesnden ( β b w ( β olacak şeklde b elemanı ardır. Eğer w ( β > 0 olsaydı β = b olurdu. β k \ k olduğundan bu mümkün değldr. Dolayısıyla w ( β = 0 olmalıdır. σ ( β β olacak şeklde σ Gal ( / arsa σ ( β β dır. Çünkü σ ( β = β olsaydı ( σ ( β β > 0 e dolayısıyla w ( β > 0 olacaktı. Bu da w ( β = 0 le çelşr. Buradan [ ( β : ] = [ k ( β : k ] (2.3 olur. (2.2 eştlğnn elde edlmes çn (β = (2.4 olduğu gösterlmeldr.

22 (2.4 eştlğnn sağlanmadığı arsayılsın. α, / genşlemesnn br üretec e d, csmnn ( dα > 0 eştszlğn sağlayan br elemanı olsun. (β, = (α nın br alt kümes olduğundan τ ( α α, τ ( β = β olacak şeklde br τ Gal ( / elemanı ardır. d nn seçlşnden dolayı ( τ ( dα + β ( dα + β = ( d( τ ( α α > 0 bulunur. Sonuç olarak w ( dα + β > 0 olur. ( fadesnden dolayı ( dα + β c w ( dα + β > 0 olacak şeklde c elemanı ardır. ( dα > 0 olduğundan ( β c > 0 olduğu da görülür. Yan β = c olur. Fakat bu eştlk de mümkün değldr. Bu çelşk (2.4 eştlğnn sağlandığını gösterr. (2.3 e (2.4 fadeler göz önüne alındığında [ k ( β : k ] = [ ( β : ] = [ : ] olur. [ k ( β : k ] [ k : k ] [ : ] fades le brlkte (2.2 fades elde edlmş olur Lemma: br csm, csmnn br değerlendrmes r IN e x, y olsun. ( x y > ( x se ( x y > ( x dr. (handuja,999 r r 2.3. Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. (α, csmnn br tame genşlemes e [ ( α : ] = n > olsun. Bu durumda [ ( δ : ] < n e ( α δ w ( α olacak şeklde en az br δ (α elemanı ardır. anıt:. (α / br tame genşlemes olduğundan ayrılablr br genşlemedr., csmnn α elemanını bulunduran en küçük Galos genşlemes olsun. (, çndek (, csmnn maksmal tame genşlemes T le gösterlsn. [0,2.2] den T, csmnn (α yı çeren br Galos genşlemesdr. O halde T = olmalıdır. Gal ( / nın br alt grubu r H = { σ Gal( / ( α σ ( α w ( α } (2.5 şeklnde tanımlanmış olsun e H alt grubunun sabt csm F le gösterlsn. w (α nın tanımından Gal( / ( α H olduğu açıktır. Dolayısıyla F (α olur. ( α = mn{ ( α α α α nın F-eşlenğ} F olmak üzere ( α w ( α olduğu kolayca görülür. w ( α ( α ( α olduğu da göz önüne alındığında F F

23 ( α = w ( α (2.6 F bulunur Lemma dan e (2.6 eştlğnden dolayı ( α δ w ( α eştszlğn sağlayan en az br δ (α elemanı ardır. Ayrıca F (α olduğundan [ ( δ : ] < [ ( α : ] dır. Böylece kanıt tamamlanmış olur Lemma (rasner Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. α \, α ayr / olsun. ( α β > w ( α olacak şeklde β elemanı arsa ( α ( β dır. [2,6.8] 2.5. Teorem: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. (α, csmnn br tame genşlemes, [ ( α : ] = n > e w değerlendrmesnn (α csmne br genşlemes olsun. Bu durumda aşağıdak fadeler denktr. ( α = w ( α r (α a = ( b G eştlğn sağlayan en küçük oztf tamsayı r olmak üzere w nın değer grubu e rezdü csm sırasıyla G = G + Z ( α a e w k w r = k (( α a / b olacak şeklde br a elemanı ardır. anıt: Henselan br değerlendrme olduğundan α nın herhang br α eşlenğ e herhang br d elemanı çn ( α d = ( α d dr. Buradan da ( α α = ( α d + d α mn{ ( α d, ( α d} = ( α d dr. Yan d olmak üzere olur. ( α ( α d (2.7 ( α = w ( α olsun. (α / br tame genşlemes olduğundan 2.9. Teorem den ( α a ( α olacak şeklde en az br a elemanı ardır. Böylece (2.7 fades de kullanıldığında

24 ( α a = ( α = w ( α (2.8 olduğu görülür. α a = β şeklnde yazılsın. nn br bast transandant genşlemes (x e değerlendrmesnn (x csmne br genşlemes u olsun. u değerlendrmes [x] üzernde u( c x = mn{ ( c + ( β }, c şeklnde tanımlansın. u nn (x csmne kısıtlanışı u le gösterlsn. u değerlendrmesnn değer grubu G = G Z(β olur. G u = Gw olduğu u + gösterldğnde ( fadesnn lk kısmı kanıtlanmış olur. Bunun çn de dereces n den küçük olan herhang br g( x [ x] olnomu çn olduğunun gösterlmes yeterldr. ( g( β = u( g( x (2.9 deg g ( x = m, g( x olnomunun kökler β, β 2,..., β m e baş katsayısı c olsun. (2.8 fades e rasner Lemma dan ( β β = ( α a β w ( α ( β = dır. Yukarıdak eştszlk e genel değerlendrme teorsnden olur. u nn tanımından da β β = mn{ ( β, ( β } (2.20 ( u x β = mn{ ( β, ( β } (2.2 ( bulunur. (2.20 e (2.2 fadeler brlkte göz önüne alındığında β β = u( x β olduğu görülür. Sonuç olarak ( g( β = ( c + ( β β = ( c + u( x β = u( g( x bulunur. Yan (2.9 eştlğ gösterlmş olur. ( ( fadesnn knc kısmının kanıtı çn [x] de dereces t < n olan br h (x olnomu alınsın. ( h ( β, k w csmnn sıfırdan farklı br elemanı olsun.

25 (2.9 fadesnden ( h( β = u( h( x = 0 dır. Eğer =,2,..., t çn a olmak üzere t h ( x = a0 + ax a t x şeklnde yazılırsa u( h( x mn{ ( a + ( β } = 0 olur. Burada her çn ( a + ( β 0 olmalıdır. = r (β = ( b olacak şeklde en küçük oztf tamsayı r olduğundan r ł ken G ( a + ( β > 0 olur. Buradan h( β = a β nn rezdüsü alındığında r = ( ar β = ( h( β ( a b (( β / b dır.böylece stenlen gösterlmş olur. Ters çn ( fades sağlansın fakat ( fades sağlanmasın. Yan olsun. 2.3 Lemma dan w δ (α elemanı ardır. (2.7 e (2.22 fadelernden r r ( α > ( α (2.22 [ ( δ : ] < n e ( α δ w ( α olacak şeklde ( α δ w ( α > ( α ( α a bulunur. Yan ( α δ > ( α a dır. Bu da ( δ a = ( α a (2.23 olduğunu gösterr. 2.2 Lemma dan (( α a ( δ a > (( α a = ( b dr. Buradan ( α a b r r ( δ a = b r r r (2.24 yazılır. w nın (δ csmne kısıtlanışı le elde edlen w 0 değerlendrmesnn değer grubu e rezdü csm sırasıyla G w 0 e brlkte ( dek arsayımlardan dolayı Gw G w0 e k w 0 olmak üzere (2.23 e (2.24 fadeler le kw k w0 (2.25 olur. (α / hatasız br genşleme olduğundan

26 n = [ ( α : ] = [ G w : G ][ k w : k ] [ G w 0 : G ][ k [ ( δ : ] < n w 0 : k ] olur. Bu çelşk le de aranılan sonuç elde edlmş olur Teorem: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. α csm üzernde ayrılablr br eleman e asal sayı olsun. Bu durumda w ( α = ( α dır. anıt: csmnn α elemanını bulunduran en küçük normal genşlemes N olsun. Gal ( N / grubunun br alt grubu H = { σ Gal( N / ( α σ ( α w ( α} şeklnde tanımlanmış olsun. H ın sabt csm L olmak üzere Gal( N / H olduğu açıktır. Buradan da L (α olduğu görülür. [ ( α : ] = asal olduğundan L = olmalıdır. Yan Gal ( N / = H olur. Böylece α nın tüm α -eşlenkler çn ( α α w ( α dır e aranılan eştlk de buradan kolayca elde edlr Tanım: : br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. α \ elemanı çn kümes tanımlanır. M ( α, = { ( α β β,[ ( β : ] < [ ( α : ]} 2.8. Teorem: br csm, csmnn reel, Henselan br değerlendrmes e değerlendrmesne göre csmnn tamlanışı ~ olsun. değerlendrmesnn ~ ya genşlemes ~ e α \ olsun. M ( α, kümesnn G grubunda br üst ~ ~ sınırının olması çn gerekl e yeterl koşul [ ( α : ] = [ ( α : ] olmasıdır. (Alexandru e Poescu e Zaharescu, Tanım: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. δ (α, M ( α, kümesnn şeklnde tanımlı üst sınırıdır. G grubundak δ ( α = su{ ( α β β,[ ( β : ] < [ ( α : ]

27 2.20. Teorem: br csm, csmnn reel, Henselan br değerlendrmes olsun. (α csmnn [ ( α : ] = n > olan hatasız, ayrılablr br genşlemes, değerlendrmesnn (α csmne genşlemes α olsun. Bu durumda aşağıdak fadeler denktr. α ( α = δ ( α r (α = ( b G olacak şeklde en küçük oztf tamsayı r olmak üzere α değerlendrmesnn değer grubu e rezdü csm sırasıyla olur. G = G Z(α e k k (( α / b α + = α anıt: 2.5. Teorem nn kanıtına benzer olarak kolayca kanıtlanır Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. chark > 0 ken = chark, chark = 0 ken = e (, d = olmak üzere m f ( x [ x] olnomu n = d derecel br olnom olsun. q = n e D f r m < [ ] f q olnomunun tüm köklern bulunduran br dsk se ( x olnomunun da br kökü D dskndedr. (Ax, Lemma:, karakterstğ char = 0 olan br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. chark = > 0 olmak üzere f ( x [ x] dereces n > = m olan br olnom olsun. f olnomunun tüm kökler β merkezl, λ yarıçalı br dsk çnde kalsın. Eğer q = m se [q] f olnomunun kökler de β merkezl, ( λ çalı br dsk çndedr. m m

28 2.23. Önerme: mükemmel br csm, csmnn br değerlendrmes, char = > 0 olsun. ( α 0 olan her α elemanına e herhang br l > tamsayısına, ( α a ( / l ( α olacak şeklde en az br a elemanı karşılık gelr. (Ax, Teorem: mükemmel br csm, csmnn reel, Henselan br değerlendrmes olsun. α, [ ( α : ] = n > e chark = 0 olsun. = 0 olması durumunda ya da > ken char = 0 olması e n nn nn br kuet olmaması durumunda δ ( α ( α dır. char = 0, > e m n = se char = > 0 se δ ( α ( α dır. ( δ ( α ( α dır. m m anıt: α elemanının csm üzerndek mnmal olnomu f (x olsun. char = 0, chark = 0 olsun e n nn br kuet olmasın. = 0 se q = olduğu, > 0 e d >, ł d olmak üzere n = d se m m q = olduğu arsayılsın Lemma da merkez α, ça; (α olarak alınırsa [q] f olnomunun ( α β ( α olacak şeklde br β kökü ardır. Buradan da δ ( α ( α olduğu görülür. char = 0, > e m n = olsun Lemma da merkez α, ça (α ( olarak alınırsa δ ( α ( α olduğu görülür. m m char = > 0 olsun. ( α 0 se Önerme den her l > tamsayısı çn δ ( α ( / l ( α olur. Sonuç olarak δ ( α ( α dır. Eğer ( α < 0 se δ ( α = δ ( α 2( α olduğu göz önüne alındığında δ ( α ( α olduğu görülür. e ( α = ( α 2( α

29 2.25. Teorem: mükemmel br csm, csmnn reel, henselan br değerlendrmes e α üzernde [ ( α : ] = n > olan cebrsel br eleman olsun. chark ł n se δ ( α = w ( α olur. anıt: α = α, α2,..., αs elemanları α nın ( α α w ( α eştszlğn sağlayan _eşlenkler olsun. Eğer s = n se ( α = w ( α dır e Teorem n ( e ( fadelernden δ ( α = w ( α olduğu görülür. s < n olsun. csmnn ayrılablr kaanışı ayr olmak üzere ayr / nn Galos grubunun br alt grubu H = { σ Gal( / ( α σ ( α w ( α} ayr olsun e H ın sabt csm L le gösterlsn. Gal( ayr / H olduğu açıktır. Buradan da L (α olur. α elemanının L csm üzerndek mnmal olnomu s derecel h (x olnomu olsun. s n e char ł n olduğu çn h (x n türe h (x olnomu s dereceldr. h (x n kökler c, c2,..., c s olsun. Bu durumda her br c kökünün üzerndek dereces n den küçük olur. Buradan ( h ( α = ( s + ( α c ( s + ( s δ ( α (2.26 olur. Dğer yandan h s ( x = ( x α den h = = s ( α ( α α dr e = 2 ( h ( α = ( s w ( α (2.27 olur. ( s = 0 olduğundan (2.26 e (2.27 göz önüne alındığında w ( α δ ( α olduğu bulunur. rasner Lemma dan da δ ( α w ( α olduğu kolayca görülür. Böylece δ ( α = w ( α eştlğ gösterlmş olur.

30 2.26. Teorem: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes, değerlendrmesnn (x csmne br rezdül transandant genşlemes w olsun. Bu durumda w / çn E = I R Dh eştlğ sağlanır. (Ohm e Matgnon,990 G Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes e γ, grubunun bölüneblr kaanışında br eleman olsun. değerlendrmesnn (x csmne br w genşlemes + w( a x = mn{ ( a γ } şeklnde tanımlanmış olsun. Bu durumda D h ( w / = dr. anıt: s, sγ G y sağlayan en küçük oztf tamsayı olsun. sγ = ( d, d olarak alınsın. I ( w/ = s olduğu açıktır. [0,0..2] dan x s / d elemanının w-rezdüsü k üzernde transandanttır. Sonuç olarak E( w / I( w / dr Teorem kullanılarak D h ( w / = bulunur Teorem: (x csmnn ( a, δ le tanımlanan değerlendrmes w le gösterlsn.. w nn (x e (a csmlerne kısıtlanışları sırasıyla w e a olsun. a elemanının üzerndek mnmal olnomu (x, a n değer grubu G a G a e s ; sw( ( x sağlayan en küçük oztf tamsayı olsun. Bu durumda a / nn dallanma ndeks e( a / e rezdü dereces f ( a / olmak üzere E ( w/ = s[ ( a : ], I( w / = s ( e( /, R( w / = f ( / eştlkler sağlanır. (Alexandru e Poescu e Zaharescu,988 a Sonuç: w e a değerlendrmeler Teorem dek gb olsun. a Henselan se D h ( w / = def (( ( a, /(, olur. (handuja, Lemma: br csm, csmnn br değerlendrmes olsun. csmnn br genşlemes, değerlendrmesnn csmne genşlemes olsun. t transandant e / genşlemes sonlu olsun. n ( t csmne Gauss genşlemes

31 t bt = mn{ ( b }, ( b olsun. t nn (t csmne kısıtlanışı t olmak üzere def ((, /(, = def (( ( t, /( ( t, sağlanır. (Ohm, Teorem: br csm, csmnn herhang ranklı Henselan br değerlendrmes olsun. a e b, csmnn [ ( c : ] < [ ( a : ] eştszlğn t t sağlayan her c elemanı çn ( a b > ( a c özellğn sağlayan elemanları olsun. değerlendrmesnn ( a e ( b csmlerne genşlemeler sırasıyla a e b olsun. G e G sırasıyla a b a b csmlern göstermek üzere G G a b e nn değer grularını, k e k rezdü a b k k a b def ( ( a / def ( ( b / [ ( a : ] [ ( b : ] özellkler sağlanır. anıt: ( a b = δ olsun. Hotezden ( a, δ mnmal çft olur. w ( a, δ mnmal çft le tanımlanan br değerlendrme e w nın (x csmne kısıtlanışı le elde edlen w değerlendrmes nn br rezdül transandant genşlemes olsun. a elemanının üzerndek mnmal olnomu (x e deg ( x = n olsun. elemanı olsun. F ( x [ x],deg F( x < n olmak üzere F( a ( a csmnn herhang br olduğu gösterldğnde ( e ( kanıtlanmış olur. F( x = α ( x β, a, β yazılsın. ( F( a F( b > ( F( b (2.28

32 F( a F( b = ( a β ( b β = a b ( + b β (2.29 olur. [ ( β : ] < n olduğundan hotez yardımıyla her çn b a > ( a β dr. ( b β = ( b a + a β = mn{ ( b a, ( a β } = ( a β ( F( a bulunur. Sonuç olarak ( a b > ( b β dr. Buradan (2.29 le ( > 0 F( b bulunmuş olur. Böylece (2.28 fades elde edlr. k csm üzernde w-rezdüsü transandant olan br t (x elemanı alınsın. w ~ ~ değerlendrmesnn ( b e ( b, x csmlerne kısıtlanışları sırasıyla e w olsun. w ( x b = δ olduğu göz önüne alınarak w ~ değerlendrmesnn [ b, x] üzernde w ~ ( α ( x b = mn{ ~ ( α + δ }, α ( b (2.30 şeklnde tanımlandığı kolaylıkla görülür. Henselan hatanın çarımsal olduğu kullanılarak da def ( ( b, x / ( b, t def ( ( b, t / ( t (2.3 = def ( ( b, x / ( x def ( ( x / ( t ~ olduğu bulunur. (2.3 eştlğnn sol tarafı D ~ h ( w / dır. w ~ değerlendrmesnn (2.30 fadesndek tanımından e Lemma nın ( b,( x b / ( b bast transandant ~ genşlemesne uygulanmasından D ~ h ( w / = olur Lemma dan se def ( ( b, t / ( t = def ( ( b / elde edlr. (2.3 fadesnden def ( ( x / ( t def ( ( b / olur Sonuç tan da def ( ( x / ( t = def ( ( a / bulunur. Böylece def ( ( a / def ( ( b / elde edlmş olur. Henselan olduğundan lk üç fade kullanılarak ( fades kolaylıkla görülür.

33 2.32. Teorem: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. a, [ ( α : ] = n > e char = 0 olsun. n, chark nn br kuet olmasın. Bu durumda [ ( c : ] < n e w ( a = ( a c olacak şeklde en az br c elemanı ardır. Eğer rank = se δ ( a w ( a olur. anıt: = chark = olmak üzere a elemanının üzerndek mnmal olnomu m f (x e dereces n = d olsun. f (x olnomunun tüm kökler a merkezl (a çalı br dskn çnde olduğundan 2.2. Lemma dan f q ( x [ x] olnomunun ( a c w ( a eştszlğn sağlayan en az br c kökü ardır. a elemanının herhang br -eşlenğ a olmak üzere ( a a = ( a c + c a mn{ ( a c, ( c a } = ( a c olduğu da kullanıldığında ( a = ( a c eştlğ elde edlr. rank = se w δ ( a w ( a dır. rasner Lemma dan da w ( a δ ( a olduğu blndğne göre δ ( a w ( a eştlğ de sağlanır. = Teorem: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes e ( a / genşlemes [ ( a : ] = n > olan br tame genşlemes olsun. Bu durumda [ ( c : ] < n e w ( a = ( a c olacak şeklde en az br c (a elemanı ardır. Eğer rank = se δ ( a w ( a olur. (handuja e Saha, 999 = Teorem: br csm, csmnn herhang ranklı Henselan br değerlendrmes olsun. csmnn; [ ( c : ] < [ ( a : ] eştszlğn sağlayan her c elemanı çn ( a b > ( a c özellğn sağlayan elemanları a e b olsun. Bu [ ] w durumda ( a / genşlemesnn maksmal tame alt genşlemes ( b / genşlemesnn maksmal tame alt genşlemes çnde kalır. anıt: ( a / genşlemesnn maksmal tame alt genşlemes F le gösterlsn. F / bast e ayrılablr br genşlemedr. F (b olduğu gösterlmeldr.

34 [ F : ] = se kanıt aşkardır. [ F : ] olsun. s 2 F nn csm üzerndek derecesn geçmeyecek şeklde br tamsayı olsun. F nn csm üzerndek dereceler s den küçük olan tüm alt csmlernn (b çnde kaldığı arsayılsın. F = ( csm F nn csm d üzerndek dereces s olan br alt csm olsun Teorem den [ ( c : ] < s e w ( d = ( d c (2.32 olacak şeklde c F elemanı ardır. (2.28 fades d c (a elemanına uygulandığında ( d c h > ( d c (2.33 olacak şeklde en az br h (b elemanı ardır. (2.32 e (2.33 fadeler brlkte göz önüne alındığında ( d c h > w ( d (2.34 olduğu görülür. rasner Lemma yardımıyla (2.34 fadesnden ( d ( c + h ( h, c ( b, c olduğu elde edlr. Varsayımdan dolayı c (b dr. Dolayısıyla F = ( d ( b elde edlmş olur Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. ( α, δ G kls e ye göre br mnmal çft e θ, csmnn ( θ α δ eştszlğn sağlayan br elemanı olsun. h( x [ x] olnomu, tüm β kökler ( α β < δ sağlayan br olnom olarak seçlsn. Bu durumda ( h( θ h( α > ( h( α olur. (Aghgh e handuja, Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes olsun. θ \ nın δ ( θ M ( θ, özellğn sağlayan br elemanı olarak alınsın. α elemanı ( θ α δ ( θ eştlğn sağlayan e csm üzernde en küçük dereceye sah br eleman se aşağıdak fadeler sağlanır.

35 ( α, δ ( θ br mnmal çfttr..56. Tanım da δ = δ (θ alınarak tanımlanan değerlendrme w α, δ olmak üzere θ elemanının csm üzerndek derecesnden küçük derecel herhang br G( x [ x] olnomu çn w α, δ ( G( x = ( G( θ dır. (Aghgh e handuja, Teorem: br csm, csmnn herhang ranklı Henselan br değerlendrmes olsun. Aşağıdak fadeler denktr. Her α \ elemanına δ ( α = ( α β eştlğn sağlayan [ ( β : ] < [ ( α : ] olan en az br β elemanı karşılık gelr. Her θ çn değerlendrmesnn kısıtlanışı le elde edlen değerlendrmeye göre (θ csmnn hatasız br genşlemesdr. anıt: ( fades sağlansın. ( fadesnn kanıtlanması çn her θ elemanına [ ( α : ] < [ ( θ : ] e def ( ( α / = def ( ( θ / özellklern sağlayan en az br α elemanının karşılık geldğnn gösterlmes yeterldr. θ elemanı alınsın. degθ = m 2 olsun. α elemanı δ ( θ = ( θ α eştlğn sağlayan csm üzernde en küçük derecel br eleman olsun. α elemanının mnmal olnomu csm üzerndek mnmal olnomu dereces n olan f (x \ olnomu olsun. δ ( θ = δ le gösterlsn Lemma nın ( fadesnden ( α, δ br mnmal çfttr. w (x csmnn α, δ wα, δ ( c ( x α = mn{ ( c + δ }, c şeklnde tanımlı br değerlendrmes olsun. γ e deg γ < degα = n se ( θ γ < ( θ α olur. Sonuç olarak ( α γ < ( α θ = δ dır. değerlendrmesnn (θ e (α csmlernn kısıtlanışları sırasıyla θ e α olsun Teorem den elde edlr. G G, α θ k = k e def ( ( α / def ( ( θ / fadeler α θ

36 e, e( f ( G olacak şeklde en küçük oztf tam sayı olsun. Lagrange θ α m teoremnden e [ G : G ] θ α dır. Buradan en m olur. = l le gösterlsn. Bu durumda en yazılır. [ G l = θ : G e α ] [ k θ : k α def ( ( θ / ] def ( ( α / (2.35 l = [ k : k ] (2.36 θ α eştlğnn sağlandığı kanıtlanmalıdır. Böylece (2.35 e (2.36 fadelernden gösterlmek stenlen def ( ( θ / = def ( ( α / eştlğ bulunmuş olacaktır. Dereces n den küçük olan e e( f ( θ = ( h( α eştlğn sağlayan br h( x [ x] olnomu seçlsn. (2.36 eştlğnn kanıtlanması çn e ( f ( θ h( α elemanının k α csm üzernde l. dereceden cebrsel olduğunun gösterlmes yeterldr. Bu fadenn tersnn doğru olduğu arsayılsın. Yan e ( f ( θ h( α elemanı k α csm üzernde q < l dereceden cebrsel olsun. Bu durumda (( f ( θ e h( α q + ( A q ( α (( f ( θ e h( α q ( A 0 ( α = 0 ( eştlğ sağlanacak şeklde dereceler n den küçük e ( A ( α 0 olan A ( x [ x] olnomları ardır. 0 q çn her br B ( x [ x] olnomunun dereces n den küçük olmak üzere h ( α A ( α = B ( α e h ( α = B ( α olarak yazılsın. Böylece 0 0 (2.37 eştlğ ( B ( α = ( A ( α 0 olmak üzere eq ( Bq ( α f ( θ + ( Bq ( α f ( θ ( B0 ( α = 0 (2.38 q e( q şeklnde yazılır. ( α, δ mnmal çft, ( θ α = δ olduğu çn Lemma dan q B ( α ( B θ = dr. Buradan (2.38 eştlğ kullanılarak eq e( q ( 0 Bq ( θ f ( θ + Bq ( θ f ( θ B ( θ > 0 (2.39 olduğunu görülür.

37 olnomu yazılsın. eq e( q G( x = Bq ( x f ( x + Bq ( x f ( x B0 ( x (2.40 deg G( x < n + eqn < n + enl m en + n = m ( e n m dr. (2.40 fades G (x olnomunun f -açılımıdır e.57. Teorem den wα, δ G( x = mn { ( B ( α + ewα, δ ( f ( x} ( B ( α = 0 ( 0 0 q (2.4 olur. deg G ( x < m olduğundan Lemma nın ( koşulu e (2.39 eştszlğnden w α, δ ( G( x = ( G( θ > 0 olur. Bu fade se (2.4 fades le çelşr. Böylece (2.36 eştlğ gösterlmş olur. ( fades sağlansın. (θ, csmnn hatasız br genşlemes olduğundan ~ csmnn değerlendrmesne göre tamlanışı olmak üzere ~ ~ [ ( θ : ] = [ ( θ : ] eştlğ sağlanır. Böylece 2.8. Teorem den M ( θ, kümesnn G grubunda br üst sınırı ardır. Bu üst sınır da δ (θ le gösterlr. ( fadesnn doğru olmadığı arsayılsın. α \ nın csm üzerndek dereces n olan e δ ( α M ( α, yı sağlayan br elemanı olarak seçlsn. Aranan çelşk (α nın csm üzernde hatasız br genşleme olmadığının gösterlmes le elde edlecektr M ( α, en büyük elemanı olmayan tam sıralı br küme olduğundan y sıralı br kofnal alt kümes ardır. O halde dr. ken ( {δ } I, M ( α, da br kofnal alt kümedr e, j I, < j çnδ < δ j (2 β, deg β < n ken δ = ( α β dır e γ, deg γ < deg β ( α γ < δ dır. özellklern sağlayan M ( α, da br {δ } I net seçleblr. Ayrıca β lern her brnn csm üzernde aynı s derecesne sah olduğu arsayılablr. δ < δ olduğu göz önüne alınırsa j < j ken

38 ( β β = ( β α + α β j mn{ ( β α, ( α β } = mn{ δ, δ } = δ olur. Herhang br γ, degγ < s çn j j j ( β γ = ( β α + α γ = ( α γ = mn{ ( β α, ( α γ } = mn{ δ, ( α γ } < δ olduğu görülür. Sonuç olarak 2.3. Teorem den G G, < β β j j (2.42 k β k, < j,, j I β j (2.43 yazılır. Tüm ( β csmler csm üzernde hatasız e s < n derecel olduğundan (2.42 e (2.43 fadeler eştlğe dönüşür. Buradan herhang br j I çn olur. U G = G, I G α β olduğu gösterlmeldr. Böylece = U I β j G β U k = k (2.44 I β, k = Uk α I β j β (2.45 (α csmnn n > s derecel genşlemes olduğundan (2.44 e (2.45 fadeler kullanılarak (α nın csm üzernde hatasız olmadığı sonucu elde edlr. Bu da br çelşkdr. (2.45 dek eştlklern elde edlmes çn; dereces n den küçük herhang br F( x [ x] olnomu alınsın. F( α F( β > ( F( β eştszlğn sağlayan k I elemanının ar ( k k olduğunun kanıtlanması yeterldr.

39 γ F (x olnomunun br kökü olsun. ( α γ M ( α, olduğu çn {δ } I netnn ( özellğnden ( α γ < δ olacak şeklde k I elemanı ardır. k yeter kadar büyük seçlerek F (x olnomunun her br γ t kökü çn k ( α γ < δ (2.46 olduğu arsayılablr. F ( x = c ( x γ olarak yazılsın. Buradan t t t k F( α F( β k = t α γ = β γ t α β k + β k γ t (2.47 olur. (2.46 eştszlğ le ( α β = δ fadesnden k k olur. Sonuç olarak (2.47 fadesnden ( β γ = ( β α + α γ k t k = mn{ ( β α, ( α γ } = ( α γ F( α > 0 ( F β k eştszlğ elde edlr. Böylece (2.45 dek eştlkler sağlanmış olur e kanıt tamamlanır Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes e chark = > 0 olsun. n, n 2 olan e le bölünemeyen br doğal sayı e ζ brmn n. lkel kökü olsun. Bu durumda (ζ csm csmnn dallanmamış hatasız br genşlemesdr. (handuja, 2002 t k Sonuç:,, n e ζ Lemma dak gb olsun. c csmnn br elemanı e θ, x n c = 0 olnomunun br kökü se ( ζ, θ csm csmnn br tame genşlemesdr. (handuja, Lemma: : br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes, (α csmnn ayrılablr br genşlemes, [ ( α : ] = n e ( α = w ( α olsun. Q ( x csm üzernde n. dereceden monk ndrgenemez br olnom olsun. Eğer ( Q( α nw ( α oluyorsa Q (x olnomunun her β kökü çn ( α β = ( Q( α / n olur. (Bhata e handuja, 2002 t t

40 2.4. Lemma: br csm, csmnn reel, Henselan br değerlendrmes, α csm üzernde ( α = 0 sağlayan n > dereceden ayrılablr br eleman olsun. g( x = c x [ x] olnomu mn { ( c } = 0 olacak şeklde dereces m < n olan br olnom olsun. Bu durumda ( g( α mδ ( α sağlanır Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes e chark = > 0 olsun. csmnn ayrılablr br genşlemes, [ : ] = asal sayı e, değerlendrmesnn csmne genşlemes olsun. Bu durumda Eğer, csmnn hatasız br genşlemes e γ, csmnde ya (γ G özellğn ya da ( γ = 0 e γ k özellklern sağlayan br eleman se mn{ ( Tr / ( δ ( δ 0 δ } = ( [ w ( γ ( γ ] sağlanır. (Bhata e handuja,2002 Eğer reel br değerlendrme e γ, \ da ( γ = 0 olan br eleman se 0 δ elemanı çn ( Tr / ( δ ( δ = ( [ w ( γ δ ( γ ] dır. özellkler sağlanır.(handuja, Lemma: br csm, csmnn Henselan br değerlendrmes, char = > 0 olsun. α elemanı üzernde. dereceden ayrılablr e ( α 0 se her l > doğal sayısına ( α β ( ( α l eştszlğn sağlayan üzernde tamamıyla ayrılamaz olan β elemanı karşılık gelr. (Ax, 970