MODÜLLER VE ASAL ALT MODÜLLERİ

Transkript

1 YILDIZ TEKİK ÜİVESİTESİ FE BİLİLEİ ESTİTÜSÜ ODÜLLE VE ASAL ALT ODÜLLEİ Yüksek atematkç Kürşat Hakan OAL FBE atematk Anablm Dalı atematk Proramında Hazırlanan DOKTOA TEZİ Tez Savunma Tarh : Tez Danışmanı : Prof. Dr. A. Göksel AĞAGÜ (YTÜ) İknc Tez Danışmanı : Doç. Dr. Ünsal TEKİ (Ü) Jür Üyeler : Prof. Dr. ustafa BAYA (FÜ) Doç. Dr. eral TOSU (GSÜ) Prof. Dr. İrfan ŞİAP (YTÜ) Prof. Dr. ustafa SİVİ (YTÜ) İSTABUL, 2010

2 İÇİDEKİLE Sayfa İÇİDEKİLE... SİGE LİSTESİ... KISALTA LİSTESİ.... v ÖSÖZ... v ÖZET... v ABSTACT... v 1. GİİŞ ODÜLLEDE TEK TÜLÜ ÇAPALAA AYIA Halkalarda Çarpanlara Ayırma odüllerde Çarpanlara Ayırma Tek Türlü Çarpanlara Ayırma odüllernde Asal Alt odüller Zayıf Asal Elemanlar ve Zayıf Asal Alt odüller Zayıf Tek Türlü Çarpanlara Ayrılablen odüller DEECELEDİİLİŞ ODÜLLEİ ASAL VE ASALISI ALT ODÜLLEİ Derecelendrlmş Halkalar Derecelendrlmş odüller Derecelendrlmş odüllern Asal Alt odüller Derecelendrlmş Asal Alt odüller Derecelendrlmş Asalımsı Alt odüller SOUÇ KAYAKLA ÖZGEÇİŞ... 53

3 SİGE LİSTESİ Halka odül Çarpım sembolü Toplam sembolü Drekt toplam sembolü \ Fark sembolü eel sayılar kümes Doğal sayılar kümes Tam sayılar kümes Bölme sembolü İk elemanın lllğ halkanın. dereceden alt rubu I dealn. dereceden alt rubu modülün. dereceden alt rubu alt modülün. dereceden alt rubu a elemanın. dereceden homojen elemanı

4 KISALTA LİSTESİ U ( ) halkasının brmsel elemanlarının kümes TÇB TÇ cd lcm Tek türlü çarpanlara ayrılablen böle Tek türlü çarpanlara ayrılablen modül En büyük ortak bölen En küçük ortak kat w TÇ Zayıf tek türlü çarpanlara ayrılablen böle G( ) h( ) h( ) G-derecelendrlmş halkası nn homojen elemanlarının kümes nn homojen elemanlarının kümes m rad( ) nn derecelendrlmş radkal v

5 ÖSÖZ Tez çalışmam sırasında bl ve brkmler le bana destek olan, yaptığım çalışmaları erçekleştreblmem çn erekl bütün mkanları ellernden eldğnce önüme sunan, akademk elşmmde büyük katkıları olan değerl danışman hocalarım Prof. Dr. A.Göksel AĞAGÜ ve Doç. Dr. Ünsal TEKİ e teşekkürlerm sunarım. Ayrıca, hocalarım Prof. Dr. ustafa BAYA ve Doç. Dr. eral TOSU a tez çalışmasının değerlendrlmesnde ve eçen sürede bana verdkler desteklerden dolayı teşekkür ederm. Tez çalışmam sırasında karşılaştığım Fransızca makaleler çevrme konusunda bana yardımcı olan Türk Dl ve Edebyatı Bölümü Araştırma Görevllernden Banu Öztürk hanımefendye, tez yazımı ve kontroller esnasında yardımlarını esremeyen Arş. Gör. Ayşen. Özkrşç hanımefendye teşekkürlerm sunarım. Yıldız Teknk Ünverstes çalışanlarına ve tez süresnce bana destek olan mesa arkadaşlarıma ayrıca teşekkür ederm. Son olarak eğtm hayatım boyunca madd manev desteklern esremeyen, her zaman yanımda bana destek olan annem ve babam başta olmak üzere eşme, oğluma, bu ünlere elmemde büyük pay sahb olan anneannem le dedeme ve bütün aleme sonsuz teşekkürlerm sunarım. v

6 ÖZET Bz bu çalışmamızın lk kısmında modül yapısı üzernde zayıf asal eleman tanımını yaptık. Zayıf asal elemanlarının özellklern nceledkten sonra zayıf asal dealler le arasındak lşkler nceleyeceğz. Daha sonra da bu zayıf asal elemanlar le çarpanlara ayırma yapacağız. Bu çarpanlarına ayrılışı da zayıf tek türlü çarpanlarına ayrılış olarak adlandıracağız. Çalışmamızın knc kısmında se derecelendrlmş modüllern derecelendrlmş asal ve asalımsı alt modüllern nceledk. Daha sonra da bu derecelendrlmş alt modüller çarpımsal derecelendrlmş modüllerde karakterze ettk. v

7 ABSTACT ODULES AD ITS PIE SUBODULES In ths work frstly we ve the defnton of weakly prme element of a module. We nvestate weakly prme elements and after ths we ve some correspondence between weakly elements and weakly prme submodules of a module. Further we defne a new factorzaton of module elements wth weakly prme elements, whch wll be called weakly unque factorzaton. In the second part of ths work, we nvestate raded prme and raded prmary submodules of a raded module. After ths we characterzed such submodules n a multplcaton raded module. v

8 1 1. GİİŞ Tek türlü çarpanlara ayırma konusu lk olarak halka yapısı üzernde ncelenmştr. Bu konuda brçok çalışma yapılmış ve hala yapılmaktadır. Bu çalışmalar önceler tamlık böles olan halka yapısında yapılmış ve daha sonraları tamlık böles olamayan halka yapıları üzernde devam etmştr. Buna karşın çarpanlara ayırma konusu modül yapısı üzernde çok fazla ncelenmemştr. Bz de bu düşünceyle modüller üzernde çarpanlara ayırma konusu üzernde çalıştık. Tamlık bölesnn karşılığı olan burulmalı modüllerde çarpanlara ayrılma özellklern nceledk. Burulmalı modüllerde çarpanlara ayırma konusu lk olarak Fransız matematkç Anne-are colas tarafından Semnare Dubrell-Psot da 1967, no 10 da odules Factorels adlı çalışmasıyla yapılmıştır. Bu çalışması daha sonra 1971 yılında Bulletn des Scences athematques n 95. sayısında numaralı sayfalarında yayınlanmıştır. odül elemanlarını, halkanın br takım ndrenemez elemanları le modülün br ndrenemez elemanının çarpımı şeklnde çarpanlarına ayrılmasını ncelemştr. Bu çalışmadan sonra 1974 yılında yne aynı derde colas ın konuyla ll knc makales yayınlandı. Daha sonrak yıllarda Costa, Lu ve son yıllarda Ağarün, Anderson le Leon un bu konuda yayınları bulunmaktadır. Bzm yaptığımız çalışma da burulmalı modüller üzernde tanımlanan zayıf asal elemanlar yardımı le çarpanlara ayırma le lldr. Çalışmamızın knc bölümü se derecelendrlmş modüller üzernedr. Bu kısımda da derecelendrlmş modüllern derecelendrlmş asal alt modüller le derecelendrlmş asalımsı alt modüllern nceledk ve karakterze ettk. Derecelendrlmş modüller üzerne pek çok yazar çalışmıştır. Bunlardan bazıları, Escorza, Torrecllas, astasescu, Atan, Farzalpour, efa, Al-Zoub v.s. dr. Çalışmamızda, Escorza ve Torrecllas ın faydalandığımız makaleler Çarpımsal derecelendrlmş halka ve modüller karakterze ettkler makalelerdr. Bu makalelerde çarpımsal derecelendrlmş modüller ve halkalar ncelenmştr. efa ve Al-Zoub (2004) de yaptıkları çalışmada derecelendrlmş halkaların derecelendrlmş asalımsı dealler ncelemşler ve derecelendrlmş dealler çn derecelendrlmş asalımsı ayrışımı ncelemşlerdr. Atan (2006) makalesnde derecelendrlmş modüllern derecelendrlmş asal alt modüller üzernde çalışmış ve brtakım sonuçlar bulmuştur. Daha sonraları Atan ve Farzalpour un (2006) da yaptıkları makalede derecelendrlmş modüllern derecelendrlmş asalımsı alt modüller ncelemeşlerdr. Bu çalışmada ayrıca derecelendrlmş alt modüller çn derecelendrlmş asalımsı ayrışımı ncelemşlerdr. Bu k yazarı (2007) dek makalelernde se yaptıkları

9 2 çalışmayı braz daha enşletmşlerdr ve buna ek olarak derecelendrlmş maksmal alt modüller ncelemşlerdr.

10 3 2. ODÜLLEDE TEK TÜLÜ ÇAPALAA AYIA Bu bölümde br burulmalı modül yapısı üzernde çarpanlara ayırma konusunu nceleyeceğz. Bu konudak lk çalışmayı colas, yıllarında Dubrell-Psot semnerlerndek sunumuyla erçekleştrmştr. Bu çalışması daha sonra 1971 yılında Bulletn des Scences athematques n 95.sayısında numaralı sayfalarında yayınlanmıştır. odül elemanlarını, halkanın brtakım ndrenemez elemanları le modülün br ndrenemez elemanının çarpımı şeklnde çarpanlarına ayrılmasını ncelemştr. Bu çalışmadan sonra 1974 yılında yne aynı derde colas ın konuyla ll knc makales yayınlandı. Bu makalede çarpanlarına ayrılma konusunu polnom modüllerne enşletmştr. Daha sonrak yıllarda Costa, yaptığı çalışmada herhan br burulmalı modülün çarpanlarına ayrılablen modülün çne ömülmesn ncelemştr. Lu, 1977 yılında yaptığı çalışmada daha önce yapılan çalışmaları toparlamış ve modüllerde çarpanlara ayırma yapılırken modülün elemanlarında tanımlanan asal, ndrenemez elemanları le asal alt modüller arasındak bağlantılar vermştr. Son yıllarda Anderson le Leon un bu konuda br yayınları bulunmaktadır. Bu yayınlarında daha önce halkalar çn yaptıkları bazı tanımları modüllere enşletmşlerdr. Bzm yaptığımız çalışma da burulmalı modüller üzernde tanımlanan zayıf asal elemanlar yardımı le çarpanlara ayırma le lldr Halkalarda Çarpanlara Ayırma Halkalarda çarpanlara ayırma konusu uzun yıllardır cebr le llenen akademsyenler meşul etmştr. Bu çalışmalar tamlık böles üzernde başlamış ve daha sonrak yıllarda sıfır bölenl halkalar üzernde devam etmştr. Bz burada sadece br hatırlatma olması açısından tamlık böles üzerndek tanımları verlecektr. Bu bölümü oluştururken kaynak olarak (Sharp, 2000), (Ağarün ve dğerler, 2002) ve (Sharpe, 1987) ktapları kullanılmıştır. Bu çalışma boyunca aldığımız bütün halkalar değşmel ve brml olacak, aldığımız bütün modüller de sıfırdan farklı burulmalı modül olacaktır. br halka olmak üzere U le halkanın bütün brmsel elemanlarının kümesn östereceğz. Tanım br halka, a, b ve p sıfırdan farklı, brmsel olmayan br eleman olsun. () ax b olacak şeklde br x var se a, b y böler denr ve a b le österlr. Ayrıca a b ve b a se () p a le b lldr denr ve a b le österlr. ab ken a veya b brmsel oluyor se p ye ndrenemez eleman denr.

11 4 () p ab ken p a veya p b oluyor se p ye asal eleman denr. ot : (1) Tanım 2.1.1() de tanımlanan bölme bağıntısının yansıma, eçşme özellkler olduğu halde smetr özellğ enel olarak yoktur. Örneğn Tam sayılar halkasında 2 4 olduğu halde 4,2 y bölmez. Dolayısıyla bölme bağıntısı br denklk bağıntısı değldr. (2) br halka olmak üzere, u U dr ancak ve ancak u 1 dr. (3) Bölme bağıntısı br denklk bağıntısı olmamasına rağmen (lllk) bağıntısı br denklk bağıntısıdır. (4) br halka olmak üzere, p br ndrenemez eleman olsun. Bu durumda her u U çn up elemanı da ndrenemez elemandır. (5) br tamlık böles olmak üzere, p br asal eleman olsun. Bu durumda her u U çn up elemanı da asal elemandır. Örnek halkasını alırsak eğer, 2 elemanı asal eleman olduğu halde ndrenemez br eleman değldr. Teorem br tamlık böles olsun. nn her asal elemanı ndrenemezdr. İspat br tamlık böles ve p asal elemanı olsun. a, b çn p ab olduğunu kabul edelm. brml br halka olduğundan p ab ve böylece p a veya p b elde edlr. p a olursa en az br r çn a pr bulunur. Yukarıdak eştlkte yerne konulduğunda 1 rb ve böylece b brmsel bulunmuş olur. Aynı şeklde p b alındığında da a brmsel eleman olarak bulunmuş olur. Tanım br tamlık böles olsun. Aşağıdakler fadeler doğru se ye tek türlü çarpanlara ayrılablen böle (TÇB) denr. () her sıfırdan farklı ve brmsel olmayan a nn, b1, b2,..., bk ndrenemez elemanlar olmak üzere a b... 1b2 bk ayrışımı vardır. () b1,..., bk, c1,..., ct ndrenemez elemanlar olmak üzere a nn k farklı ayrışımı a b b... b c c... c olsun. Bu durumda k t 1 2 k 1 2 b c dr. t ve uyun dzlşten sonra 1, 2,..., t çn

12 5 Örnek 2.1.5: () tam sayılar halkası br TÇB dr. () Her esas deal böles br TÇB dr. () x polnomlar halkası br TÇB dr odüllerde Çarpanlara Ayırma Bu bölümde, Anne-are colas ve Chn-P Lu nun yaptıkları çalışmalardan faydalanarak modül yapısı üzernde çarpanlara ayırma tanımlanacak ve özellkler ncelenecektr. Bu bölümde alacağımız bütün modüller burulmalı olarak kabul edlecektr. Br -modül ye burulmalı denr eğer r, m çn rm 0 ken r 0 veya m 0 oluyor se. Tanım 2.2.1: (Lu, 1977) br halka ve br burulmalı -modül olsun. d ve m, m ' () m' olmak üzere, rm olacak şeklde br 0 r var se m elemanı m ' elemanını bölüyor denr ve m m ' le österlr. Bu durumda m ye aynı zamanda () m elemanı m ' elemanını bölüyor ve ll elemanlar denr ve m ~ m ' le österlr. m ' nün br bölen ya da çarpanı denr. m ' elemanı m elemanını bölüyor se m le m ' ye () m dm0 olacak şeklde br m0 elemanı var se d elemanı m elemanını bölüyor denr ve d m le österlr. Burada özel olarak m elemanı bölmüyor se m ye m ' nün öz çarpanı denr. m ' elemanını böldüğü halde m ' elemanı m elemanını Önerme 2.2.2: (Lu, 1977) br halka ve br burulmalı -modül olsun. m, m ' olmak üzere m ~ m ' olması çn erek ve yeter koşul m' um olacak şeklde br u U ( ) var olmasıdır. İspat : m, m ' m' olmak üzere m ~ m ' olsun. m m ' ve m' m olduğundan a, b çn am ve m bm' olur. Buradan da m' am abm ' ve böylece burulmalı -modül olduğundan ab bulunur. Yan a U ( ) olur. Tersne m' um olacak şeklde br 1 u U ( ) var se m ~ m ' elde edlr. 1 m u m' elde edlr. Bu da m m ' ve m' m demek olur k buradan da Tanım 2.2.3: (colas, 1967) br halka, br burulmalı -modül ve 0 m olsun.

13 6 () a ve m' çn, m am' ken a U ( ) oluyor se 0 m elemanına ndrenemez eleman denr. () 0 a ve m' çn, m am' olduğunda m m ' oluyor se 0 m elemanına lkel eleman denr. () a, m ve p ndrenemez eleman olsun. Eğer, oluyor se p ye de asal eleman denr. p am olduğunda p a veya p m Önerme 2.2.4: (colas, 1967) br burulmalı -modül olsun. 0 m ndrenemez eleman olması çn erek ve yeter koşul m nn de öz çarpanının olmamasıdır. İspat : 0 m ndrenemez eleman ve m' çn m' m olsun. Bu durumda br 0 a çn m am' m' olur. m ndrenemez olduğundan a U 1 a m olur ve böylece ' ve ' olur. Böylece m m m m elde edlr. Bu da m' nn öz çarpan olmaması demektr. İfadenn ters erektrmesn spatlamak çn m nn de öz çarpanı olmadığını kabul edelm. a ve m' çn, m am' olduğunu kabul edelm. Buradan m' m dr ve m', m nn has bölen olamayacağından m m ' dr. Yan br b çn m' bm dr. Buradan da böylece a U m am ' abm olur k br burulmalı -modül olduğundan ab 1 ve bulunmuş olur. Önerme 2.2.5: (colas, 1967) br burulmalı -modül olsun. dek her lkel eleman ndrenemez elemandır. İspat : Kabul edelm k m br lkel eleman ve a, m' çn m am' olsun. brml br halka olduğundan m am ' dür. m lkel eleman olduğundan, m m ' dr. En az br b çn m' bm olur. Buradan, m am ' abm elde edlr. burulmalı modül olduğundan ab ve böylece a U 1 bulunmuş olur. Tanım 2.2.6: (Lu, 1977) br -modül ve de alt modülü olsun. Eğer her a çn

14 7 a a oluyor se ye pür alt modül denr. Önerme 2.2.7: (Lu, 1977) br burulmalı -modül ve m sıfırdan farklı br eleman olsun. Aşağıdak fadeler denktr: () m lkel elemandır. () nn devrl alt modülü m pür alt modüldür. () Her x çn ya x m 0 ya da x m dr. İspat : () () a ve m lkel eleman olsun. Kabul edelm k x a m olsun. O zaman m' ve r çn, x am ' rm olur. Buradan m am ' elde edlr ve m lkel eleman olduğundan m m ' olur. En az br vardır öyle k m' r ' m ve böylece x am' ar ' m am bulunur. Ters kapsamayı östermek çn y am alalım. En az br r vardır öyle k y arm dr. Buradan da y a ve y m bulunmuş olur. () () nn devrl alt modülü m pür alt modül olsun. x m 0 olacak şeklde br x alalım. Bu durumda en az br y x m vardır öyle k br r ' elemanı çn y r ' x olur. m pür alt modül olduğundan r ' m r ' m dr. Böylece r ' y r ' x r ' m r ' m elde edlr. Buradan da en az br * r çn * y r ' x r ' r m, yan x * r m bulunur. Sonuç olarak x m elde edlr. () () Her x çn ya x m 0 ya da x m olsun. Br a ve m' çn m am ' olduğunu kabul edelm. Bu durumda, en az br r vardır öyle k am' rm dr. Yan, m' m 0 olur ve böylece m' m elde edlr. En az br s çn m' sm bulunur k bu da m nn lkel eleman olması demektr. Sonuç 2.2.8: (Lu, 1977) br burulmalı -modül ve m, m ' m le m ' ll olmaması çn erek ve yeter koşul m' m 0 olmasıdır. İspat : m, m ' lkel elemanlar olsunlar. lkel elemanları ll olmasınlar. m ve m ' lkel olduğundan Önerme den m' m 0 olur. Aks halde ll olurlardı. Ters çn m' m 0 olduğundan m ' ve m ll değllerdr.

15 8 Tanım 2.2.9: (colas, 1967) Br tamlık böles üzerndek br burulmalı modülü çn aşağıdak k koşul sağlanıyorsa ye tek türlü çarpanlarına ayrılablen modül (TÇ) denr : (TÇ 1) Sıfırdan farklı her x elemanı, a 1, a2,..., an elemanları de ve m elemanı de ndrenemez olmak üzere x a a anm şeklnde br ndrenemez çarpanlarına ayrılışa sahptr. (TÇ 2) x elemanının k farklı ndrenemez çarpanlarına ayrılışı x a a... a m b b... 2 b ' se n k, de m ~ m' ve her { 1,2,..., n} çn b lern sırası 1 2 n 1 km düşünülmekszn de a ~ b dr. Önerme : (colas, 1967) br burulmalı -modül olsun. br tek türlü çarpanlarına ayrılablen modül se br tek türlü çarpanlarına ayrılablen böledr. İspat : br burulmalı -modül olsun. Bu durumda br tamlık bölesdr. r alalım. Bu durumda br m ndrenemez eleman olmak üzere kabulümüzden dolayı rm nn tek türlü br çarpanlarına ayrılışı vardır. Bu ayrılış uyun şeklde düzenlendğnde r... 1 rk m şeklnde yazılablr. burulmalı modül olduğundan da r r... 1 rk şeklnde r nn br çarpanlarına ayrılışı bulunur. Bu yazılış da br TÇ olduğundan tek türlüdür. Sonuç olarak br TÇB bulunmuş olur. Önerme : (colas, 1967) br burulmalı -modül ve br tek türlü çarpanlarına ayrılablen böle olsun., devrl alt modüller çn artan zncr koşulunu sağlıyor se de (TÇ 1) sağlanır. İspat : Kabul edelm k m nn ndrenemez ayrışımı olmasın. Bu durumda oluşturduğumuz, m m r1... rk n, n ndrenemez kümesnn kabulümüzden dolayı en az br maksmal elemanı vardır. Dyelm k bu eleman x olsun. O zaman x ndrenemez olamaz dolayısıyla tersnr olamayan br r ve y çn x ry elde edlr. Buradan x y olduğundan y nn br ndrenemez ayrışımı vardır. Yan a1, a2,..., an ndrenemez elemanları ve z ndrenemez elemanı çn y a... 1a2 anz dr. br TÇB olduğundan b1, b2,..., bk ndrenemez elemanları vardır öyle k r b... 1b2 bk dır. Buradan da 1 2 k 1 2 x ry b b... b a a... a z bulunmuş olur. Böylece br ndrenemez ayrışım bulmuş oluruz ve stenen elde edlmş olur. n Tanım : (Lu, 1977) br burulmalı -modül, a ve m olsun.

16 9 1) Br d elemanı a le m nn en büyük ortak bölendr (ebob), eğer () de d a ve de d m ve () de bölendr. Bu durumda d elemanı c a ve de c m olacak şeklde br c elemanı olduğunda c, d nn br,m a veya, ebob a m le österlr. 2) Br m * elemanı a le m nn en küçük ortak katıdır (ekok), eğer () de sırasıyla * a m ve * m m ve () de a w ve m w olacak şeklde br w elemanı var se * m, w elemanının br çarpanı olur. Bu durumda * m,,m a veya, ekok a m le österlr. Önerme : (Lu, 1977) br tamlık böles üzernde br modül, a olsun. Şu halde; m,m * ve m *, () ~ ekok a m olması çn erek ve yeter koşul a * m m olmasıdır. () p, nn br ndrenemez elemanı ve ekok a, m, de var olsun. Eğer p, m y bölmez se p m pm dr. İspat : m *, () ~ çn ekok a m olduğunu kabul edelm, bu durumda en az br brmsel eleman u * um, * m a m, yan ekok a m olur. Burada tanımdan a um ve m um elde edlr. Böylece * m a m bulunur. Ters kapsamayı östermek çn de br x a m alalım. Bu durumda x an bm olacak şeklde n, b elemanları vardır. Yan a x ve m x olur. En küçük ortak kat tanımından m x olur k bu da x m demek olur. Böylece ters kapsama da österlmş olur ve edlmş olur. Şmd de a a * m m olduğundan a m ve * x a m m ve böylece m a * m m fades elde * m m olduğunu kabul edelm. x ekok a, m m m x bulunmuş olur. elde edlr. x ekok a, m olsun. olduğundan da

17 10 () * m, ekok p m olsun. Bu durumda bazı sıfırdan farklı a,b ve m 0 çn * 0 m am ve pm ve 0 * pm bm dır. p ab dr ve böylece b m olduğundan p, b le ll değldr elde edlr. Böylece m * ~ pm olduğu çn () den p m pm olduğu örülür. m bm olur. p, m y bölmesn 0 p ~ a ve b brmseldr, yan Önerme : (Lu, 1977) br, GCD-böles üzernde br modül olsun öyle k her a ve m çn eboba, m a, m () a,b,m a, b,m,, () ba,bm ba,m mevcut olsun. Bu durumda br b çn; () a bm ve a,m 1 se a b durumları sağlanır. Teorem : (Lu, 1977), br tek türlü çarpanlarına ayrılablen böle olan üzernde (TÇ 1) şartını sağlayan br modül olsun. Şu halde aşağıdak fadeler brbrne denktr: () modülü üzernde tek türlü çarpanlarına ayrılablen modüldür. () nn her ndrenemez elemanı lkeldr. () Herhan (v) Herhan modülü devrldr. a ve a ve m kls çn, m kls çn, (v) nn her p ndrenemez elemanı de asaldır. (v) nn a ve b elemanları c mevcuttur öyle k a b c dr. İspat : () () modülü üzernde TÇ ve edelm k ebob a m de mevcuttur. ekok a m de mevcuttur, yan a m alt a b şeklnde se a b dr ve her a, b kls çn br m ndrenemez eleman olsun. Kabul a ve m' çn m am ' olsun. Bu durumda en az br r çn rm am' olur., TÇ olduğundan öyle r1, r2,..., rk, a1, a2,..., an, b1, b2,..., bt ve m'' ndrenemez elemanları vardır k r 1 r 2... rk m a 1 a 2... anb 1 b 2... bt m'' elde edlr ve (TÇ 2) den de m m'' bulunur. Buradan da m m'' yan m m ' bulunmuş olur. Yan m br lkel elemandır.

18 11 () (): m 0 se her a çn eboba, m~ a dır. b ve m 0 elemanı nn br ndrenemez elemanı olmak üzere m bm 0 0 se eboba, m ~ebob a, b d olduğunu österrsek stenen elde edlmş olur. d nn a le m nn ortak bölen olduğu açıktır. d ' nün a le m nn br başka ortak bölen olduğunu kabul edelm ve bazı m' çn m bm0 d' m' yazalım. Bu durumda m 0 lkel ve d eboba, b olduğundan d ' b yan d ' d dr. Sonuç olarak d ~ eboba, m elde edlr ve () bulunmuş olur. () (v): a 0 se her m çn ekoka, m~ 0 dır. Herhan 0 a ve m kls çn d ~ eboba, m olsun. Şu halde eboba ', m' ~ 1 olacak şekldek bazı a' ve m' elemanları çn Önerme , () den a da' ve m dm' dür. Buradan da Önerme , () yardımıyla m * a' m nn ekoka, m olduğu österlr. (v) (v): a ve m çn p elemanı nn p am olacak şeklde br ndrenemez elemanı olsun. p, m y bölmez se Önerme , () den am p m pm dr. Böylece p a olduğu, dolayısıyla (v) n doğruluğu örülmüş olur. (v) (v) nn a ve b elemanları a b şeklnde olsun. Eğer b 0 se a 0 dır yan b a dır. b 0 olduğunu kabul edelm. O halde herhan br m 0 ndrenemez elemanı çn b am0 dır ve buradan b nn her p asal çarpanı çn p am0 dır. (v) ten b nn her p asal çarpanı çn p a dır, dolayısıyla b a dır. Eğer a 0 ve b 0 se c 0 olduğu açıktır. a 0 ve b 0 olduğunu kabul edelm ve c ~ ekoka, b ve d ~ eboba, b olsun. Şu halde a b c ve a ' a d ve b ' b d olmak üzere c a' b ab' dür. Eğer sıfırdan farklı w elemanı nn w am bm' a b şeklndek br elemanı se a' m b' m' dür. ' b' m' a ve a ', b' ~ 1 olduğundan () dek spata benzer şeklde a ' m' elde edlr. Sonuç olarak c a' b, w bm' nü böler. Böylece a b c dr ve stenen sağlanır. (v) () (): Bazı a, b ve m' çn m elemanı nn am' bm olacak şeklde br ndrenemez elemanı se bazı c elemanı çn (v) den am' bm a b c dr ve (v) den b c ve a c dr. m ndrenemez olduğundan b ~ c dr, buradan a b ve m m' dür. Yan m lkeldr. Dolayısıyla () doğrulanır ve () (), (a) şıkkındadır. Böylece Teorem n spatı tamamlanmış olur.

19 12 Sonuç : (Lu, 1977) Br tek türlü çarpanlarına ayrılablen böle olan üzerndek her m burulmalı devrl modülü br tek türlü çarpanlarına ayrılablen modüldür ve bu modülün her lkel elemanı m le lldr. İspat : İlk önce m m nn ndrenemez br eleman olduğunu österelm. m am olacak şeklde a ve m m olsun. m m olduğundan en az br r çn m rm dr. Br öncek eştlkte yerne yazarsak, m am arm bulunur ve böylece a brmsel olarak bulunmuş olur. Şmd herhan br n m alalım. Bu durumda en az br r çn n rm olur. br TÇB olduğundan a1, a2,..., an ndrenemez elemanları çn r a... 1a2 an ve buradan da n rm a... 1a2 anm bulunduğundan m de (TÇ 1) sağlanır. burulmalı modül olduğundan da (TÇ 2) sağlanır ve böylece m br TÇ modül olarak elde edlr. Şmd de m de br lkel eleman olan x m alalım. Bu durumda m x ve brml olduğundan x m elde edlr. Böylece m x olur. Sonuç : (Lu, 1977) Her vektör uzayı br tek türlü çarpanlarına ayrılablen modüldür ve sıfırdan farklı her elemanı lkeldr. Sonuç : (Lu, 1977) K, br tek türlü çarpanlarına ayrılablen böle olan nn kesr csm ve modülü K nın br -alt modülü olsun. Şu halde br tek türlü çarpanlarına ayrılablen modül olması çn erek ve yeter koşul modülünün devrl olmasıdır. Dolayısıyla nn br deal üzernde br TÇB olması çn erek ve yeter koşul bu dealn temel deal olmasıdır. İspat: nn herhan sıfırdan farklı x a ve c b y eleman çft çn d 0 bcx ady x y dr. Sonuç e öre, br lkel eleman tarafından üretlen en fazla br devrl alt modüle sahptr. Dolayısıyla tek br tane ndrenemez elemanı olmuş olur. Buradan da br devrl modül elde edlr. Ters çn de y devrl kabul edelm. Bu durumda tek türlü çarpanlarına ayrılablen böle olduğundan de tek türlü çarpanlarına ayrılablen modül elde edlmş olur. Sonuç : (Lu, 1977) Br tek türlü çarpanlarına ayrılablen böle olan üzerndek br tek türlü çarpanlarına ayrılablen modülün her pür alt modülü de tek türlü çarpanlarına ayrılablen -modüldür. nn bütün ndrenemez elemanları aynı zamanda de ndrenemezdr. İspat: alt modülünün (TÇ 1) şartını sağladığı açıktır. Herhan x çn pür alt modül olduğundan a, m ve bazı

20 13 a m a m a m x x elde edlr. Böylece Teorem , (v) ten br TÇ dr. bütün ndrenemez elemanları aynı zamanda de ndrenemez elemandır. olduğundan nn Sonuç : (Lu, 1977) I ales br tek türlü çarpanlarına ayrılablen böle olan üzernde modüllern ales olsun. O halde aşağıdak fadeler brbrne denktr: () I () I () Her, üzernde TÇ dr., üzernde TÇ dr., üzernde TÇ dr. İspat: Burada I I alt modüller pür olduğundan Sonuç dan () () () olduğu örülür. Şmd de () ün varlığını kabul edelm ve I olsun. Bazı a ve br m ' ndrenemez elemanı çn m am ' olmak üzere m m se m elemanının ndrenemez olması çn erek ve yeter koşul a I I kümesnn de en büyük ortak bölennn olmamasıdır. Böylece nn (TÇ 1) koşulunu sağladığını öreblrz. p elemanı bazı a ve m m çn de p am olacak I şeklde nn br ndrenemez elemanı olsun. Şu halde her çn de p, a yı bölmez se Teorem , (v) ten her çn de de p am dr. Eğer p m olduğu örülür, çünkü her faktöryeldr. Sonuç olarak p m ve böylece yne Teorem , (v) ten I faktöryeldr. Dolayısıyla () () sağlanmış olur. Sonuç : (Lu, 1977)Br tek türlü çarpanlarına ayrılablen böle üzerndek her serbest modül tek türlü çarpanlarına ayrılablen modüldür Tek Türlü Çarpanlara Ayırma odüllernde Asal Alt odüller Bu bölümde, Chn-P Lu nun yaptığı çalışmadan faydalanarak modül elemanları le bu elemanların ürettkler alt modüller arasındak lşkler nceleyeceğz. Ayrıca asal alt modüller de karakterze edeceğz. Tanım 2.3.1: (Lu, 1977) Br halkası üzernde br modülünün has alt modülü olsun. () r r kümes de br dealdr.

21 () Eğer modül denr. 14 x ve a çn ax ken Örnek 2.3.2: (Lu,1977) x veya a () Br halkasının her P asal deal -modül nn asal alt modülüdür. () Her burulmalı modülün 0 alt modülü asal alt modüldür. () ve oluyorsa ye asal alt x olmak üzere 2 x olsun. Bu durumda ve alt modülü de asal alt modül olur. : 2 olur Sonuç 2.3.3: (Lu, 1977) br -modül nn asal alt modülü se nn br asal dealdr. deal de İspat : alt modülü de asal alt modül ve edelm k b a b, çn ab olsun. Kabul olsun. Bu durumda en az br m çn bm fakat abm dr. Buradan da asal olduğundan a elde edlr. Sonuç 2.3.4: (Lu, 1977) Br modülün her maksmal alt modülü asal alt modüldür. İspat : br -modül ve br maksmal alt modül olsun. m ve r çn rm olsun. Kabul edelm k m olsun. Bu durumda m dr. Her x çn n ve a vardır öyle k x n am Yan r bulunmuş olur. dr ve böylece rx r n am rn ram elde edlr. Sonuç 2.3.5: (Lu, 1977) Br modülünün has alt modülünün pür olması çn erek ve yeter koşul nn asal alt modül ve : 0 olmasıdır. İspat :, modülünün br has pür alt modülü olsun. r se r dr ve böylece r r r bulunur. burulmalı modül olduğundan da r 0 elde edlr. Şmd de rm r r m ve r çn rm olsun. Kabul edelm k m olsun. Bu durumda bulunur ve burulmalı modül olduğundan da r 0 elde edlr. Ters erektrmey östermek çn r alalım. r r olduğu açıktır. Ters kapsama çn 0 x r olsun. Bu durumda x rm n olacak şeklde m ve n vardır. rm ve asal alt modül olduğundan r Kabulümüzden r 0 olduğundan m bulunur ve böylece rm r olur. veya m dr.

22 15 Sonuç 2.3.6: (Lu, 1977) br serbest -modül se nn her P asal deal çn P alt modülü de asaldır ve P P : dr. Önerme 2.3.7: (Lu, 1977) br tamlık böles üzernde modül ve m olacak şeklde m olsun. O halde m nn lkel olması çn erek ve yeter koşul m nn asal alt modül ve : 0 İspat : m olmasıdır. m br lkel eleman ve 0 r, x çn rx m olsun. Bu durumda m rx ve m lkel olduğundan m x bulunur. Yan x m olur. 0 Şmd de r m : r se de r m : olur. alalım. Bu durumda her x çn rx m olur. x \ m olarak seçersek m x elde edlr k bu br çelşkdr. Dolayısıyla 0 bulunmuş olur. Ters çn de m nn asal alt modül ve : 0 r ve böylece m : 0 m olduğunu kabul edelm. 0 r, x çn m rx olsun. O zaman rx m olur. Burada 0 r ve : 0 m olduğundan x m ve böylece m x bulunur. Önerme 2.3.8: (Lu, 1977) br tamlık böles üzernde, her brmsel olmayan p elemanı çn p olmak üzere br modül olsun. Bu durumda aşağıdak fadeler brbrne denktr: () p elemanı de asaldır. () p alt modülü de asaldır ve p p : dr. İspat: () () p elemanı de asal olsun. r, x çn rx p olsun. Bu durumda p rx olur ve böylece tanımdan p r veya p x elde edlr. p r se r p p olur. p x se x p elde edlr. Şmd de p : p olduğunu österelm. p p olduğu açıktır. Ters kapsamayı östermek çn de a p : alalım. Bu durumda a p dr. Özel olarak m \ p aldığımızda am p olduğundan p a bulunur. Yan a p bulunmuş olur. () () p alt modülü de asal ve p p : olsun. Bu durumda p ndrenemez eleman olur. r, x çn p rx olsun. Buradan rx p olur. p asal alt modül olduğundan x p veya r p : p elde edlr. Bu da p x veya p r demek olur, yan p elemanı de asaldır.

23 16 Teorem 2.3.9: (Lu, 1977) br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan üzernde tek türlü çarpanlara ayrılablen modül olsun. Bu durumda aşağıdakler sağlanır, () m şeklndek her m ndrenemez elemanı çn m asal alt modüldür ve : 0 m dır. () Her p ndrenemez elemanı çn p asal alt modüldür ve p : p dr. Sonuç : (Lu, 1977) br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan üzernde x devrl modülü ve m de x le ll olmayacak şeklde m olsun. Bu durumda aşağıdak fadeler denktr: () m asal alt modüldür. () Bazı () Bazı p ndrenemez elemanı çn m ~ px dr. p ndrenemez elemanı çn m p dr. Teorem : (Lu, 1977) S br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan nn çarpımsal kapalı alt kümes ve 0 S olsun. Eğer br tek türlü çarpanlara ayrılablen -modül se s kesr modülü de br tek türlü çarpanlara ayrılablen İspat: nn her ndrenemez elemanı s -modüldür. s de de ndrenemez olduğundan s, (TÇ 1) koşulunu sağlar. P, s nn ndrenemez elemanlarını temsl eden br sstem olsun. Her temsl den P olacak şeklde seçeblrz. modülü üzernde TÇ olduğundan Teorem (v) ten her P nn her p elemanı de asaldır. Ayrıca her s S çn p, s y bölmez. Bu özellkler P nn elemanlarına uyularsak her p P nn s -modül s de asal olduğunu spatlayablrz. Böylece Teorem (v) ten s br TÇ s -modüldür. Teorem : br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan üzernde (TÇ 1) koşulunu sağlayan br modül olsun. S, nn çarpımsal kapalı kümes ve de asal olan elemanların br ales olan P ' le üretlsn. Eğer s -modül modül se -modül de tek türlü çarpanlara ayrılablen modüldür. İspat: P ve P '' sırasıyla ve s tek türlü çarpanlara ayrılablen s nn ndrenemez elemanlarının temsl sstemler olsun. O halde P P' P' ' dür. Teorem (v) e öre nn her ndrenemez elemanının de asal oluğunu östermek yeterldr. Bu fadenn her p P' çn doğruluğu açıktır. Kabul edelm k, bazı ve m çn p P' ' ve de p am olsun. s br TÇ olduğundan s de p a ve s de p m dr. Her S s çn de, p 1 s ve s S nn her ndrenemez

24 17 çarpanının de asal olduğunu kullanarak de p a veya de p m olduğunu spatlayablrz. Böylece P '' nün, dolayısıyla P nn her p elemanı -modül de asaldır. Önerme : (Lu, 1977) temel dealler çn artan zncr koşulunu sağlayan br tamlık böles olsun ve br -modül olsun. Eğer devrl alt modüller çn artan zncr koşulunu sağıyorsa, herhan br I kümes çn hem x I -modül x I x I -modül x I artan zncr koşulunu sağlar., hem de Teorem : (Lu, 1977) br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan üzernde tek türlü çarpanlara ayrılablen modül se modül olur. İspat: 0 x-modül x de tek türlü çarpanlara ayrılablen S ve K, nn bölüm csm olsun. Teorem ve Önerme ü kullanarak, (TÇ 1) koşulunu sağlayan x Kx s x x modülü br TÇ dr. Dolayısıyla x s Teorem den s x modülü x temel deal böles üzernde s üzernde TÇ dr., TÇ olup bunun sonucunda da Sonuç : (Lu, 1977) br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan üzernde tek türlü çarpanlara ayrılablen modül se herhan br I ndeks kümes çn x I x I üzernde tek türlü çarpanlara ayrılablen modül olur. modülü 2.4. Zayıf Asal Elemanlar ve Zayıf Asal Alt odüller Bu bölümde, br modülün zayıf asal elemanlarını tanımlayacağız. Bu elemanların ürettkler alt modüllern zayıf asal alt modül olduklarını östereceğz. Daha sonra da zayıf asal alt modüller karakterze edeceğz. Tanım 2.4.1: br burulmalı -modül olsun. 0 m elemanı a, b ve m' olmak üzere, m abm ' se m am ' veya m bm ' koşulu sağlanıyor se m ye zayıf asal (z-asal) eleman denr. Burada not edelm k, m zayıf asal (z-asal) eleman se her r U elemanı çn rm elemanı da br zayıf asal elemandır. Önerme 2.4.2: br burulmalı -modül olsun. modülünün her lkel elemanı aynı zamanda z-asal elemandır.

25 18 İspat : m br lkel eleman olsun. a, b ve m' olmak üzere, m abm ' olduğunu kabul edelm. m lkel olduğundan, m m ' dr. Sonuç olarak m am ' ve m bm ' bulunmuş olur. Örnek br değşmel ve brml halka olmak üzere Bu durumda x br z-asal (lkel, ndrenemez) elemandır. x br -modül olsun. Örnek 2.4.4: x ve = br -modül olsun. Bu durumda 2x br z-asal eleman olduğu halde ne lkel ne de ndrenemez elemandır. Teorem 2.4.5, tek türlü çarpanlara ayrılablen böle ve devrl x modülü olsun. m elemanı x le ll olmasın. Aşağıdak fadeler denktr: () m, z-asal elemandır. () Br ndrenemez p elemanı çn m px dr. () Br ndrenemez p elemanı çn m p dr. İspat : () () m, z-asal elemanı olsun. Burada m x olduğundan en az br r çn m rx olur., tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olduğundan r p... 1 p2 pk olacak şeklde p ndrenemez elemanları vardır. m, z-asal eleman olduğundan br 1, 2,..., k çn m p x dr. Böylece m p x elde edlmş olur. () () Br ndrenemez p elemanı çn m px olsun. Bu durumda en az br u U vardır öyle k m upx pux px p. Eğer n çn pn p alınırsa br s çn, elde edlr. Böylece m p bulunmuş olur. 1 pn psx spx su m m () () Br ndrenemez p elemanı çn m p olsun. n ve a, b çn m abn olduğunu kabul edelm. En az br r çn rm abn dr. m p ve x olduğundan bazı m' ve r ', r '' çn abn abr ' x ve rm pm' pr '' x bulunur. Yan abr ' pr '' ve p abr ' elde edlr. Buradan p a veya p b veya p r ' bulunur. Buradan da m, z-asal elemandır. Tanım 2.4.6: br -modül ve de alt modülü olsun. Eğer a, b ve k çn, abk se ak veya bk koşulu sağlanıyor se ye zayıf asal alt modül (z-asal alt modül) denr.

26 19 Teorem 2.4.7: br -modül ve de alt modülü olsun. br zayıf asal alt modül olması çn erek ve yeter koşul nn br K alt modülü ve a, b çn abk koşulu sağlandığında ya ak ya da bk olmasıdır. İspat : Kabul edelm k br zayıf asal alt modül olsun. Bazı a, b ve nn br K alt modülü çn abk olsun. Bu durumda her k K çn abk olur ve br zayıf asal alt modül olduğundan ak veya bk bulunur. Buradan da ak veya bk olur, eğer olmasaydı öyle k1, k2 ve bk2 olduğu halde ak2 K elemanları bulunurdu k ak1 olduğu halde bk1 durumları sağlanırdı. Burada k1 k2 K elemanını aldığımızda abk k olur. br zayıf asal alt modül olduğundan veya a k k 1 2 b k k elde edlr. Buradan da her k durum çn çelşk oluşur. Ters erektrmey östermek çn a, b ve k elemanları abk yı sağlasın. O zaman abk olur. Kabulümüzden ak veya bk bulunur. veya bk elde edlr. Sonuç olarak ak Teorem 2.4.8: br -modül olsun. O zaman m elemanı z-asal olması çn erek ve yeter koşul m, nn z-asal alt modülü olmasıdır. İspat : Kabul edelm k m elemanı z-asal eleman ve a, b ve k çn abk m olsun. Bu durumda m abk olur. m elemanı z-asal olduğundan m ak veya m bk dr. Bu da ak m veya bk m demek olur. Şmd de ters tarafı östermek çn m, nn z-asal alt modülü olduğunu kabul edelm. a, b ve m' çn m abm ' olsun. z-asal alt modül olduğundan bulunur. am' abm' m ve m m veya bm' m dr. Buradan da m am ' veya m bm ' 2.5. Zayıf Tek Türlü Çarpanlara Ayrılablen odüller Tanım 2.5.1: Değşmel ve brml halkası üzerndek br burulmalı modül ye zayıf tek türlü çarpanlarına ayrılablen modül (z-tç) denr, eğer aşağıdak koşullar sağlanır se: (z- TÇ 1) Sıfırdan farklı her x elemanının z-ayrılışı vardır, yan x a... 1 atm olacak şeklde de a,..., 1 a t ndrenemez elemanları ve de m z-asal elemanı vardır. (z- TÇ 2) Eğer x a1... atm b1... bl m, x nn k farklı z-ayrışımı se t l, her 1, 2,..., t çn a b ve m m olur.

27 20 Teorem 2.5.2:, br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan üzernde modül ve (z- TÇ 1) sağlasın. O zaman br z-tek türlü çarpanlara ayrılablen modül olması çn erek ve yeter koşul nn her z-asal elemanı aynı zamanda lkel eleman olmasıdır. İspat : br z-tç ve m br z-asal eleman olsun. Kabul edelm k a, b ve m' çn m abm ' olsun. O zaman en az br r çn rm abm' olur. br z-tç ve br TÇB olduğundan de ndrenemez olan r 1,..., rk, a 1,..., at, b 1,..., bl, c 1,..., c n elemanları ve de br z-asal olan m elemanı vardır öyle k r r... 1 rk, a a... 1 at, b b... 1 bl ve m' c c m 1... n dr. Buradan da 1... k 1... t 1... l 1... n r r m a a b b c c m elde edlr. br z-tç olduğundan teklkten k t l n olur ve uyun dzlşten sonra r a, r b, r c ve m m bulunur. Uyun br r U 1 n 1 j j s s çn m r m bulunur. Böylece m' c... c m c... c r m elde edlr k buradan da stendğ şeklde m am ' veya m bm ' n bulunur. Şmd de ters erektrmey österelm. Bunun çn de dek her z-asal elemanın lkel eleman olduğunu ve x nn x a1... atm b1... bl m şeklnde k z-ayrışımı olduğunu kabul edelm. m b... 1 bl m ve m a... 1 atm bulunur. m ve m z-asal elemanlar olduğundan m m ve m m elde edlr, yan en az br r U çn m r m olur. Buradan da a1... atr m b1... bl m ve böylece r a1... at b1... bl bulunmuş olur. halkası TÇB olduğundan da stenen elde edlr. Sonuç 2.5.3: br -modül olsun. br z-tek türlü çarpanlara ayrılablen modül se br tek türlü çarpanlara ayrılablen modüldür. İspat : Teorem ve Teorem den sonuç hemen elde edlr. Sonuç 2.5.4: Her vektör uzayı br z-tek türlü çarpanlara ayrılablen modüldür. Teorem 2.5.5:, br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan üzernde modül ve (z- TÇ 1) sağlasın. Aşağıdak fadeler denktr: () dek her w-asal elemanın lkel elemandır. () Herhan a ve m () Herhan a ve m devrldr. çn de, ebob a m vardır. çn de, ekok a m vardır, yan a (v) nn her ndrenemez p elemanı de asal elemandır. m alt modülü

28 21 Sonuç br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle ve m, (z-tç 1) koşulunu sağlayan br devrl -modül olsun. O zaman m br z-tek türlü çarpanlara ayrılablen modüldür. Sonuç 2.5.7:, br esas deal böles olan üzernde modül olsun. O zaman br z-tek türlü çarpanlara ayrılablen modül olması çn erek ve yeter koşul, (z-tç 1) koşulunu sağlamasıdır. Sonuç br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle ve br z-tek türlü çarpanlara ayrılablen modül olsun. nn her pür alt modülü br z-tek türlü çarpanlara ayrılablen modüldür. Teorem 2.5.9:, br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle olan üzernde br z-tek türlü çarpanlara ayrılablen modül ve her p \ U aşağıdak fadeler denktr: () p, de asal br elemandır. () p, p p çn p olsun. Bu durumda koşulunu sağlayan nn br z-asal alt modülüdür. İspat : () () p, de asal br eleman ve a, b, k elemanları çn abk p olsun. br TÇB ve p, de asal eleman ve p abk olduğundan p a veya p b veya p k elde edlr. Böylece p alt modülü br z-asal alt modül olur. İknc kısım çn p p olduğu açıktır, şmd ters kapsama çn r p alalım. Burada en az br m \ p vardır ve rm p dr. Burada p rm bulunur k p, de asal eleman olduğundan p r elde edlr. Yan r p () () Kabul edelm k p, p p dr. koşulunu sağlayan nn br z-asal alt modül olsun. İlk önce p nn ndrenemez eleman olduğunu österelm. Bunun çn de a, b çn p ab alalım. Bu durumda ab p dr ve p z-asal alt modül olduğundan a p veya b p olur. Buradan da a p p veya b p p bulunur. O zaman bu durumda ya a ya da b brmsel eleman olur. Şmd de a ve m çn p am olsun. En az br m çn pm am bulunur. br z-tç olduğundan da p a veya p am elde edlr. Yan p, de asal br elemandır.

29 22 Teorem br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle ve I kümes - modüllern kümes olsun. Aşağıdak fadeler denktr: () () I I, üzernde br z-tç dr., üzernde br z-tç dr. () Her I çn, üzernde br z-tç dr. Sonuç : Tek türlü çarpanlara ayırma böles üzerndek her modül br z-tç dr. Sonuç br tek türlü çarpanlara ayrılablen böle ve S de çarpımsal kapalı alt kümes olsun. 0 S ve, üzernde br z-tç se S de S üzernde br z-tç dr.

30 23 3. DEECELEDİİLİŞ ODÜLLEİ ASAL VE ASALISI ALT ODÜLLEİ Çalışmamızın knc bölümünde se derecelendrlmş modüller üzernedr. Bu kısımda da derecelendrlmş modüllern derecelendrlmş asal alt modüller le derecelendrlmş asalımsı alt modüllern nceledk ve karakterze ettk. Derecelendrlmş modüller üzerne pek çok yazar çalışmıştır. Bunlardan bazıları, Escorza, Torrecllas, astasescu, Atan, Farzalpour, v.s. dr. Çalışmamızda bze yön veren Escorza ve Torrecllas ın Çarpımsal derecelendrlmş halka ve modüller karakterze ettkler makaleler ve S.E.Atan nn derecelendrlmş asal alt modüller le ll yaptığı makalelerdr. Bu bölümde vereceğmz temel tanımlar çn astasescu (1982) nun Graded n Theory ve astasescu le Von Oystaeyen (2004) ün ethods of Graded ns adlı ktapları kullanılmıştır Derecelendrlmş Halkalar Tanım 3.1.1: G, brm e olan br rup ve br halka olsun. nn G le ndekslenmş toplamsal alt rupları olmak üzere, ve her, h G çn, G h h oluyorsa ye br G -derecelendrlmş halka (ya da kısaca derecelendrlmş halka) denr ve G le österlr. nn elemanları. dereceden homojen eleman olarak adlandırılır ve tüm homojen elemanların kümes h le österlr, yan dr. h Burada not edelm k, drekt toplamın özellğnden, her br a, tüm termler sıfırdan farklı olacak şekldek tek türlü yazılan sonlu G a a G toplamından oluşur. Buradak a elemanları a nın dek -bleşen olarak adlandırılır. Ayrıca her G çn 0 0 dr.

31 Örnek br halka olmak üzere halkadır. Her çn, x alt ruplarını alırsak olduğundan 24 x polnom halkası br -derecelendrlmş x eer 0 eer 0 0 eer 0 olarak yazılır ve, j çn, x x x j j j j x halkası br derecelendrlmş halka olur. Tanım 3.1.3: (Atan ve Farzalpour, 2006) br derecelendrlmş halka ve a, b h( ) olsun. ab 0 ken a 0 veya b 0 oluyorsa ye derecelendrlmş tamlık böles denr. Örnek br tamlık böles olmak üzere x br derecelendrlmş tamlık bölesdr. Teorem br derecelendrlmş halka olsun. 1, e. dereceden homojendr. İspat : 1 G, x ve buradan a e olduğunu östereceğz. Br a G çn 1 a olduğunu kabul edelm. Her çn 1 x x olduğundan a elde edlr. Dolayısıyla a bulunur e elde edlr. Sonuç 3.1.6e, derecelendrlmş halkasının br alt halkasıdır. İspat e, derecelendrlmş halkasının br alt rubudur. Çarpamaya öre kapalı olduğunu östermek yeterl olacaktır. Derecelendrlmş halka koşullarından ee e olduğundan, e nn alt halkası olur. Tanım br derecelendrlmş halka ve I br deal olsun. Eğer her G çn I I olmak üzere, I I G oluyorsa I ya nn br derecelendrlmş deal denr. Bu durumda I, I nın -bleşen olarak adlandırılır.

32 25 Tanım br derecelendrlmş halka ve p br has deal olsun. a, b h( ) olmak üzere ab p olması a p veya b p olmasını erektryorsa p ye br derecelendrlmş asal deal denr. Teorem br derecelendrlmş tamlık böles p br derecelendrlmş deal olsun. p, nn derecelendrlmş asal deal olması çn erek ve yeter koşul p nn derecelendrlmş tamlık böles olmasıdır. İspat : p, nn derecelendrlmş asal deal olsun. a, b h( ) çn ab 0 olsun. Bu p durumda ab p elde edlr ve böylece a p veya b p bulunur. Yan a 0 veya b 0 olur. Ters olarak derecelendrlmş tamlık böles ve a, b h( ) olmak üzere ab p p olsun. Buradan ab 0 ve böylece ab 0 bulunur. derecelendrlmş tamlık böles p olduğundan a 0 veya b 0 olur. Yan a p veya b p dr. Tanım : (Atan ve Farzalpour, 2006) br derecelendrlmş halka olsun. Eğer her 0 a h( ) elemanı çn ab 1 olacak şeklde br b h( ) elemanı var se derecelendrlmş halkasına derecelendrlmş csm denr. Örnek : k br csm se -derecelendrlmş csmdr. Örnek : k br csm olmak üzere k k br 2 -derecelendrlmş csmdr. Burada k 0 0 ve 0 k olmak üzere ve,0 0, h a a a a dr olduğundan 0, a 0, b a b,0 2 -derecelendrlmş csmdr elde edlr. Dolayısıyla k k br Önerme , sıfırdan farklı br derecelendrlmş tamlık böles olsun. sonlu se br derecelendrlmş csmdr.

33 26 İspat sonlu olduğundan, h de sonludur. Br a h 2 olduğundan a 2 h a n dr. n a h n k n Buradan da olduğundan alalım. En az br G çn dr. Aynı yolla devam edersek her n çn h sonlu olduğundan, br k n doğal sayısı çn a k n a olmalıdır. a a 1 0 bulunur ve böylece br derecelendrlmş tamlık böles k n 1 aa 1 elde edlr. Yan a h br brmsel eleman olmuş olur. Teorem , sıfırdan farklı br derecelendrlmş tamlık böles olsun. br derecelendrlmş csm olması çn erek ve yeter koşul nn her derecelendrlmş dealnn asal olmasıdır. İspat br derecelendrlmş csm ve I da derecelendrlmş deal olsun. Kabul edelm k a, b h olmak üzere ab I olsun. ab h olduğundan en az br x I h ab x olur. a h ve br derecelendrlmş csm olduğundan 1 a xb I çn elde edlr. Yan I br derecelendrlmş asal dealdr. Şmd de tersn kabul edelm, yan nn her 2 derecelendrlmş deal asal olsun. 0 a h elemanını alalım. O zaman a h olduğundan br r h çn 2 2 a deal br derecelendrlmş asal dealdr. Dolayısıyla a a a ve böylece 2 ra elde edlr. br derecelendrlmş tamlık böles olduğundan ra 1 bulunur. Sonuç olarak br derecelendrlmş csm olur. Teorem : (Atan ve Farzalpour, 2006), sıfırdan farklı br derecelendrlmş halka ve P de derecelendrlmş deal olsun. Aşağıdakler fadeler sağlanır: () nn her I öz derecelendrlmş dealn kapsayan en az br Q derecelendrlmş maksmal deal vardır. () P, nn derecelendrlmş maksmal deal olması çn erek yeter koşul P nn br derecelendrlmş csm olmasıdır. İspat : () I, nn derecelendrlmş br öz deal olsun. Bu durumda nn I yı kapsayan en az br maksmal deal vardır. Bu maksmal deal olsun. I olduğundan deal I dealnn bütün homojen elemanlarını kapsar. Burada elemanlarının ürettğ deal olarak tanımlayalım. Bu durumda derecelendrlmş deal olur. kümesn nn bütün homojen deal maksmal

34 () P, nn derecelendrlmş maksmal deal olsun. a P h durumda a h P elde edlr. P, maksmal olduğundan da a P h 27 olarak alalım. Bu P P a bulunur. Buradan brmsel eleman elde edlr. Tersnn spatı çn de nn P P derecelendrlmş csm olsun. Kabul edelm k Q, nn P Q koşulunu sağlayan derecelendrlmş deal olsun. Bu durumda en az br x hq P çn en az br y P h vardır ve x P h vardır öyle k xy P 1 P olur. Buradan da xy 1 P Q P ve böylece 1Q elde edlr. Yan P, nn derecelendrlmş maksmal deal olmuş olur. Sonuç : (Atan ve Farzalpour, 2006), sıfırdan farklı br derecelendrlmş halka olsun. br derecelendrlmş csm olması çn erek ve yeter koşul nn tam k tane derecelendrlmş deal olmasıdır. İspat : Teorem uyulandığında hemen elde edlr. Tanım : (efa ve Al-Zoub, 2004) br derecelendrlmş halka ve p br has deal P olsun. a, b h( ) olmak üzere ab p olması a p veya br k çn k b p olmasını erektryorsa p ye br derecelendrlmş asalımsı deal denr. Tanım : (efa ve Al-Zoub, 2004) br derecelendrlmş halka ve I br derecelendrlmş deal olsun. I x her G cn br n vardr oyle k x I derecelendrlmş dealne I nın derecelendrlmş radkal denr. Teorem : (efa ve Al-Zoub, 2004) br derecelendrlmş halka ve I br n derecelendrlmş asalımsı deal olsun. O zaman I br derecelendrlmş asal dealdr. İspat : a, b h( ) çn ab I ve b I olsun. En az br n b I olduğundan n b I olur. Böylece n a çn n n n ab a b I dr. I elde edlr. Yan a I bulunmuş olur. Böylece I derecelendrlmş asal deal olmuş olur.

35 Derecelendrlmş odüller Tanım br derecelendrlmş halka ve br -modül olsun. nn alt ruplarının br ales olmak üzere her, h G çn, G G ve h h oluyorsa ye G -derecelendrlmş -modül (veya derecelendrlmş -modül) denr. Burada h kümes, r ve mh h olmak üzere r m h elemanlarının sonlu toplamlarından oluşan nn toplamsal alt rubudur. nn tüm homojen elemanlarının kümes h( ) le österlr ve dr. h( ) G Örnek br derecelendrlmş halka ve br -modül olsun. derecelendrlmş x-modüldür. Çünkü, x br 0 0 x x ve 0 0 x x şeklnde yazılırsa x x x j j j j olduğu örülür. Önerme 3.2.3: (Escorza ve Torrecllas, 1998) derecelendrlmş br -modül G se her G çn nn alt rubu br e -modüldür. İspat : Her G çn, nn alt rubu ve e e olduğundan spat tamamlanmış olur.

36 29 Tanım 3.2.4: derecelendrlmş br -modül ve, nn br alt modülü G olsun. Her G çn, olmak üzere, G oluyorsa ye nn br derecelendrlmş alt modülü denr. Ayrıca olarak adlandırılır., nn -bleşen Önerme 3.2.5: (astasescu, 1982) br derecelendrlmş halka, derecelendrlmş br -modül ve, nn br derecelendrlmş alt modülü olsun. Her G çn, G olarak alınırsa bölüm modülü br G -derecelendrlmş -modül olmuş olur. İspat : Burada ve G G G G h h h h h olduğundan bölüm modülü br G -derecelendrlmş -modül olmuş olur. Tanım 3.2.6: (astasescu, 1982) ve fonksyonu br -modül homomorfzması ve ' derecelendrlmş -modüller olsun. f : ' G olmak üzere her G çn, ' f koşulunu sağlıyorsa f ye. dereceden derecelendrlmş homomorfzma denr.

37 30 Teorem 3.2.7: (Escorza ve Torrecllas, 1998) derecelendrlmş br -modül ve, nn br derecelendrlmş alt modülü olsun. Bu durumda derecelendrlmş dealdr. İspat: Her G çn, G : : : deal de dr. Buradan : : elde edlr. Ters kapsama çn a a : G alalım. Her G çn a G olduğunu östermek yeterl olacaktır. Genellğ bozmadan 1, 2,..., t çn 0 a ve 1, 2,..., t çn a 0 olmak üzere t a a alablrz. 1 a olduğundan t a elde edlr. Aynı şeklde her m 1 alındığında, j 1, 2,..., n çn m 0 olacak şeklde h j n m m j1 hj yazılablr. Bu durumda her j çn amh j bulunur. Buradan da t a m h am j h elde edlr. br derecelendrlmş alt j 1 modül olduğundan a m h j bulunur. Ve böylece stenen a fades elde edlmş olur. Tanım 3.2.8: (Atan, 2006) br derecelendrlmş halka, -modül olsun. derecelendrlmş br G () am 0 koşulunu sağlayan a e, m çn m 0 veya a 0 oluyorsa ye br - burulmalı e -modül denr. () am 0 koşulunu sağlayan a h, m çn m 0 veya a 0 oluyorsa ye br derecelendrlmş burulmalı -modül denr. Teorem 3.2.9: (Atan, 2006) br derecelendrlmş halka, derecelendrlmş br G -modül olsun. br derecelendrlmş burulmalı -modül se br -burulmalı e - modüldür.

38 31 İspat : br burulmalı -modül ve a, m çn am 0 olsun. a h, m ve derecelendrlmş burulmalı -modül olduğundan m 0 veya a 0 olur. e Önerme br derecelendrlmş halka, derecelendrlmş br -modül olsun. derecelendrlmş csm se derecelendrlmş burulmalı modüldür. İspat derecelendrlmş csm ve a h, m çn am 0 olsun. ab 1 olacak şeklde br b h vardır. Buradan da m ba m b am b 0 0 derecelendrlmş burulmalı modül olur. elde edlr. Böylece 3.3. Derecelendrlmş odüllern Asal Alt odüller Tanım 3.3.1: (Atan ve Farzalpour, 2007) br derecelendrlmş halka, G derecelendrlmş br -modül ve, nn br derecelendrlmş alt modülü olsun. () olmak üzere am koşulunu sağlayan her a e, m çn, oluyorsa () m ye -asal alt modül denr. olmak üzere am veya a koşulunu sağlayan her a h, m h : e m veya a oluyorsa ye derecelendrlmş asal alt modül denr. çn, Teorem 3.3.2: (Atan, 2006) br derecelendrlmş halka, derecelendrlmş br G -modül ve, nn br derecelendrlmş alt modülü olsun., nn derecel asal alt modülü se de nn -asal alt modülüdür. İspat :, nn derecelendrlmş asal alt modülü ve G olsun. a e, m çn am olsun. m olduğu çn m olur. Eğer a se a elde edlr. Sonuç olarak, olur. : e veya a bulunur. Eğer m se a a olur. Buradan da a e olduğundan nn -asal alt modülü olarak bulunmuş

39 32 Tanım 3.3.3: (Atan, 2006) br derecelendrlmş halka, -modül olsun. derecelendrlmş br G 0 ( ) çn 0 T m r h rm olarak tanımlansın. Teorem 3.3.4: (Atan, 2006) br derecelendrlmş tamlık böles, derecelendrlmş br -modül se T ( ) br derecelendrlmş alt modüldür. G İspat : İspatı yaparken önce T ( ) nn nn br alt modülü olduğunu österelm, sonra da derecelendrlmş olduğunu österelm. Bunun çn de m1, m2 T( ) ve r alalım. Bu durumda sıfırdan farklı öyle r, r h 1 2 vardır k r1 m1 0 ve r2 m2 0 dır. Buradan da r1 r2 m1 m2 r2 r1 m1 r1 r2 m elde edlr. br derecelendrlmş tamlık böles olduğundan r1 r2 0 ve böylece m1 m2 T( ) bulunmuş olur. Aynı şeklde r r m olduğundan da rm T r rm elde edlmş olur. Yan T ( ) br alt modüldür. Şmd de derecelendrlmş alt modül olduğunu österelm. Göstermemz ereken fade T ( ) T ( ) dr. T ( ) T ( ) G olduğu açıktır, şmd de ters G kapsamayı österelm. m T( ) olarak alalım. derecelendrlmş modül ve m olduğundan m tek türlü olarak m m yazılır. Bu durumda her G çn m T ( ) G olduğu österlrse stenen sonuç elde edlmş olur. Genellğ bozmadan 1, 2,..., t çn m 0 ve 1, 2,..., t çn m 0 olmak üzere olduğundan en az br sıfırdan farklı r h rm rm... rm 0 m 1 2 t t m m alablrz. m T( ) 1 çn rm 0 dır ve böylece bulunmuş olur. Sonuç olarak stendğ şeklde 1, 2,..., t T ( ) elde edlmş olur. çn Teorem 3.3.5: (Atan, 2006) br derecelendrlmş tamlık böles, br G derecelendrlmş -modül olsun. T ( ) modülüdür. se T ( ), nn br derecelendrlmş asal alt