İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN MATEMATİKSEL ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ

Transkript

1 İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN MATEMATİKSEL ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ Editörler: Erhan Bingölbali Mehmet Fatih Özmantar 4. Baskı

2

3

4

5

6

7 TEEKKÜR Bu kitap bir yl süren titiz bir çalmann neticesinde ve birçok kiinin katklaryla ortaya çkmtr. Bunlar arasnda bölüm yazar arkadalarmza, bölüm yazmlarnda gösterdikleri yüksek performans, bu süreçte sergiledikleri profesyonel tutum ve dier bölümler için yaptklar hakemliklerden dolay öncelikle te- ekkür etmek isteriz. Alannda uzman ve profesyonel böylesi bir ekip ile çalmak bizim için büyük bir keyif oldu. Öte yandan kitapta yer alan birçok bölümü okuyarak çeitli tavsiye ve önemli katklarda bulunan deerli öretim üyesi arkadalarmz Yrd. Doç. Dr. Ali BOZKURT ve Yrd. Doç. Dr. Recep BNDAK a da yardmlarndan dolay teekkür ederiz. Ar. Gör. Ökke ESENDEMR e ise bölümlerin dizgiye hazrl srasnda salad yardmlardan dolay teekkür ederiz. Son olarak bu kitabn basmn gerçekletiren PEGEM AKADEM yaynevine de göstermi olduklar yakn ibirlii ve profesyonellikten dolay teekkür ederiz. Erhan BNGÖLBAL Mehmet Fatih ÖZMANTAR vii

8 ÖNSÖZ Örencilerin karlatklar matematiksel zorluklar ve sahip olduklar kavram yanlglar uzun bir süredir deiik ülkelerdeki matematik eitimcilerinin ilgi oda- n oluturmutur. Bu aratrmaclar örencilerin matematiksel zorluklarn belirleme, anlama, anlamlandrma ve sebeplerini ortaya koyma yönünde birçok çalma yapmlardr. Bununla birlikte, matematik öreniminde karlalan zorluklarn almas yönünde de önemli uralar verilmitir. Yaplan bu aratrmalarla deiik seviyelerdeki örencilerin matematiin birçok kavramna dair ne tür örenme güçlükleri ile karlatklar, sahip olduklar kavram yanlglarnn doasnn ne olduu ve bu yanlglarn almas için nelerin yaplabilecei ile ilgili kapsaml bir ngilizce literatür olumutur. Birçok ülkede matematik örenimi ve öretimi konusunda derin etkiler oluturan bu literatürün, dilimize kazandrlmasnn önemine olan inancmz bu kitap çalmasnn ortaya çkmasna yol açmtr. Bu kitap çalmas, daha önce hazrladmz Matematiksel Kavram Yanlglar ve Çözüm Önerileri adl kitap çalmasnn devam niteliindedir. Daha önceki çalma ortaöretim seviyesindeki kavramlar üzerine younlarken, bu çalmada ilköretim seviyesinde öretilen kavramlar ele alnmtr. Fakat bu kitap çalmas bir çeviri mantndan çok yaplan aratrmalarn bulgu ve sonuçlarnn incelenmesi ve sentezlenmesi sonucu ortaya çkmtr. lköretim seviyesinde öretilmekte olan matematik konular arasndan seçilen kavramlar hakknda yaplan çalmalar, kendi alanlarnda uzman ve tecrübeli aratrmaclar tarafndan titizlikle incelenmi ve bu kavramlara dair literatürde rapor edilen örenci zorluklar ve kavram yanlglar ortaya konulmutur. Bu kapsamda, ele alnan kavramlara dair örencilerin sergiledikleri alg biçimleri, bu alglarn niçin bir yanlg ya da zorluk oluturduu tartlm, söz konusu zorluklarn daha rahat anlalmas için örnekler sunulmu ve bu zorluklar ortaya çkaran nedenler irdelenmitir. Belirtilen zorluklarn ve kavram yanlglarnn almasna dönük her bölümde bir takm önerilere ayrca yer verilmitir. lköretimde Karlalan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri adl bu kitap çalmasyla Türkçe matematik eitimi literatürüne katkda bulunmak amaçlanmtr. Böylesi bir çalma ile matematik eitimcilerinin, halen hizmet vermekte olan matematik öretmenlerinin ve öretmen adaylarnn faydalanabilecei bir eser oluturarak, daha etkin bir matematik öretiminin gerçeklemesine katkda bulunmu olmay ümit etmekteyiz. Erhan BNGÖLBAL ve Mehmet Fatih ÖZMANTAR Eylül 2009, Gaziantep ix

9 KNC BASKI ÇN ÖNSÖZ lköretimde karlalan matematiksel zorluklar ve çözüm önerileri isimli kitap çalmamzn ikinci basmnda siz deerli okuyucularmzla yeniden bulumann mutluluunu yaamaktayz. lk basksnn bir yldan daha ksa bir sürede tükenerek, ikinci basksnn yaplmas böylesi bir kitaba olan ihtiyacn bir göstergesi olduu düüncesindeyiz. Özellikle ilköretim seviyesinde çeitli matematiksel kavramlarn örenilmesinde sklkla karlalan zorluklar konu edinen bu çalma, matematik eitimi alannda akademik çalma yapan ve konunun daha çok teorik boyutuyla ilgilenen aratrmaclara olduu kadar uygulamann içinde olan öretmenlerimize de faydal olmas amaçlanarak oluturulmutu. Bu yüzden de çalmada karlalan zorluklarn yan sra bu zorluklarn almas için çözüm önerileri de sunulmutu. Kitabn ilk basmndan sonra, hem deiik üniversitelerimizde görev yapan ve bu kitab lisans ve yüksek lisans seviyesinde derslerinde kullanan meslektalarmzdan ve hem de ilköretim seviyesinde öretim yapan snf ve matematik öretmenlerinden yorum ve dönütler bizlere ulamtr. Bu dönütler ise kitabmzn ortaya çk amacna hizmet edecek nitelikte bir çalma yapldna dair yorumlar içermektedir. Ülkemizde oldukça yeni ve hzla gelien bir çalma alan olan matematik eitimine böylesi bir eser ile katkda bulunmann sevincini tüm yazar arkadalarmzla birlikte yaamaktayz. Deerli okuyucularmza bize verdikleri destekler ve yapc yorumlarndan dolay teekkürü bir borç biliriz. Erhan Bingölbali ve Mehmet Fatih Özmantar Austos 2010 x

10 ÇNDEKLER Özgeçmiler... iii Teekkür... vii Önsöz... ix çindekiler... xi 1. Bölüm MATEMATKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLER VE ÇÖZÜM ARAYILARI (ss: 1/30) Giri...1 Kavram Yanlgs Nedir?...2 Kavram Yanlgsnn Türleri Söz Konusu Mudur?...6 Ar Genelleme...6 Ar Özelleme...9 Kavram Yanlglarnn Sebepleri Neler Olabilir?...10 Kavram Yanlglarnn Epistemolojik Nedenleri...11 Kavram Yanlglarnn Psikolojik Nedenleri...14 Kavram Yanlglarnn Pedagojik Nedenleri...18 Kavram Yanlglarn Amak Mümkün müdür?...20 Sonuç ve Deerlendirme...27 Teekkür...28 Kaynakça Bölüm TOPLAMA VE ÇIKARMA KAVRAMLARININ ÖRETM VE ÖRENC GÜÇLÜKLER (ss: 31/61) Giri...31 Toplama ve Çkarma ile lgili Problem Türleri...33 Toplama ve Çkarma Problemlerini Çözme Stratejileri ve Geliimleri...36 Farkl Problem Türlerinde Karlalan Güçlükler...37 Çok Basamakl Saylarla Toplama ve Çkarma...39 Çok Basamakl Saylarda Toplama ve Çkarmaya Geçi...39 Çok Basamakl Saylarda Sembolik Toplama ve Çkarma...42 Sembolik Toplama ve Çkarma lemlerinde Örenci Hatalar ve Kavram Yanlglar...45 Örenci Kavram Yanlglar...45 Öretim Programlarnda Toplama ve Çkarma...50 Deerlendirme ve Sonuç...57 Kaynakça...59 xi

11 3. Bölüm ÖRENCLERN KESRLER KONUSUNDAK KAVRAM YANILGILARI (ss: 63/95) Giri...63 Yenilenen Müfredatta Kesirlerle lgili Kazanmlar...65 Kesirlerde Kavram Yanlglar ve Nedenleri...66 Kesirin Öretim Modelleri...78 Sonuçlar...92 Kaynakça...93 EK - Öretmenler çin Kesirler Konusunda nternetteki Ücretsiz Elektronik Programlar Bölüm SAYILARDA BASAMAK DEER KAVRAMI VE ÖRENCLERN YAADII ZORLUKLAR (ss: 97/126) Giri...97 Basamak Deeri Kavram ve Ksa Tarihçesi...99 Basamak Deeri Kavramnn Örencilerde Geliimi ve Zorluklarn Olas Nedenleri Basamak Deeriyle ilgili Karlalan Zorluklar, Hatalar ve Kavram Yanlglar Basamak Deeri Kavramnn Çokluk Deerine ndirgenmesi Rakamn Basamak ve Say Deerlerinin Ayrt Edilememesi Basamaklar Arasndaki likiyi Anlama ile lgili Güçlükler Sfr Bir 'Yer Tutucu' Olarak Kabul Etmede Karlalan Güçlükler ile Çarpmayla lgili Güçlükler Ondalk Yerler Arasndaki likileri Belirleme Güçlüü Ondalk Saylarda Basamak Deeri ile lgili Güçlükler Basamak Deeri Kavram ile lgili Karlalan Zorluklar Engellemek çin Öneriler Gattegno Tablolar Basamak Deeri (Gattegno) Kartlar Dier Materyaller Sonuç Kaynakça Bölüm ÖLÇME, TEMEL BLEENLER VE SIK KARILAILAN KAVRAM YANILGILARI (ss: 127/154) Giri Deiik Anlamlaryla Ölçme Ölçmenin Matematiksel Yaps Farkl Nitelikler, Birbirleriyle Olan likileri ve Genel Yanlglar Ölçme ile lgili Sk Karlalan Yanlglar Alan ile lgili Genel Alglar ve Yanlglar xii

12 Hacim ile lgili Genel Alglar ve Yanlglar Uzunluk ile lgili Genel Alglar ve Yanlglar Uzunluk Nitelii ve MEB lköretim 1-5 Matematik Programnda Ele Aln Ölçmenin Yapsn Dikkate Alan Yaplandrmac Bir Ders Örnei Önerisi Sonuç Kaynakça Bölüm NEGATF SAYILARA LKN ZORLUKLAR, KAVRAM YANILGILARI VE BU YANILGILARIN GDERLMESNE YÖNELK ÖNERLER (ss: 155/186) Giri Negatif Say Nedir? Negatif Saylarn Müfredattaki Yeri Negatif Saylara likin Zorluklar ve Kavram Yanlglar Negatif Saylarn Kavramlatrlmasna likin Zorluklar Negatif Saylarda Toplama ve Çkarma lemlerine likin Zorluklar Negatif Saylarda Çarpma ve Bölme lemlerine likin Zorluklar Kavram Yanlglarnda Öretmen Bilgisinin Önemi Çoklu Gösterim Modellerinin Kullanlmas Negatif Saylar Anlaml Örenmeye Yönelik Yöntem ve Öneriler Negatif Saylarn Anlamlandrlmas Negatif Saylarda Toplama ve Çkarma lemlerinin Anlamlandrlmas Toplama lemi Çkarma lemi Negatif Saylarda Çarpma ve Bölme lemlerinin Anlamlandrlmas Sonuç Kaynakça Bölüm SMETR KAVRAMININ ÖRENM VE ÖRETMNDE KARILAILAN ZORLUKLARIN ANALTK BR YAKLAIMLA NCELENMES (ss: 187/215) Giri Simetri Kavramnn Doas Simetri Kavramnn lköretim Ders Programlarndaki Yeri Simetri Kavramnn Öreniminde Karlalan Zorluklar Simetri Kavramnn Örenimini Nasl Kolaylatrabiliriz Sonuç ve Öneriler Kaynakça xiii

13 8. Bölüm OLASILIK KONUSU ÖRENCLERE NEDEN ZOR GELMEKTEDR? (ss: 217/239) Giri Olaslklar Tahmin Etme ve Deerlendirme Olas Durumlar Belirleme Olaslkla lgili Temel Kavramlar Anlama ve Uygulama Olaslk Çeitlerini ve Aralarndaki likiyi Anlama Teknoloji Destekli Olaslk Öretimi Sonuç Kaynakça Bölüm BRNC DERECEDEN TEK BLNMEYENL DENKLEMLER LE LGL KAVRAM YANILGILARI (ss: 241/262) Giri Cebirsel denklem çözümü örenciler için anlaml bir etkinlik olabilir mi? Kavram Yanlglar ve lgili Hatalarn Belirlenmesinin Faydalar Denklem Çözümünde Eitlik Kavramnn Önemi ve Bununla lgili Kavram Yanlglar Denklem Balamnda lemler Aras likiler Denklemlerin Yaps ve Edeer Denklemler Denklem Çözümü ve Getirdii Zorluklar Deiken Kavramnn Denklem Kavram Üzerindeki Etkisi Çözüm Önerileri Tartma Kaynakça Bölüm ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL ÖRENMNDE KARILAILAN ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERLER (ss: 263/285) Giri Orantsal Düünebilme Yetenei Oran ve Orant Toplamsal ve Çarpmsal likilendirme Yapabilme Yetenei Nitel Muhakame ve Nicel Muhakeme Oran Kavramnn çerdii Nitel ve Nicel (Kantatif) Muhakeme Çeitleri Nitel Muhakeme Çeitleri Nicel Muhakeme Çeitleri Dönüüm (Transformasyon) Oran Kavramnn Oluturulmas Sürecinde Karlalabilecek Muhtemel Kavram Yanlglar..273 Toplamsal ve Çarpmsal likilendirmeyle lgili Örenci Yanlglar xiv

14 Kovaryasyon ve Dönüüm ile lgili Örenci Yanlglar Deimezlik Konusundaki Yanlglar Oran Kavramnn Oluturulmasnda Karlalabilecek Muhtemel Örenme Zorluklar Oran Konusunda Kavram Yanlglar ve Örenme Zorluklar Üzerine Çözüm Önerileri Sonuç ve Deerlendirme Kaynakça Bölüm MATEMATKSEL PROBLEMLERN ÖRENM VE ÖRETM (ss: 287/312) Giri Problem ve Problem Çözme Nedir? Problem Türleri Problem Çözme Sürecinde Takip Edilen Aamalar Problem Çözme Stratejileri Tahmin-Kontrol Stratejisi Geriye Doru Çalma Stratejisi Tümevarmc Düünme Stratejisi (Looking for Pattern) Problem Çözme Konusunun Öretimi Nasl Yaplmaldr? Üst Bilisel Yetenek ve Problem Çözme Sonuç ve Öneriler Kaynakça Bölüm ETKNLK TASARIMI VE TEMEL TASARIM PRENSPLER (ss: 313/348) Giri Etkinlik Nedir? Etkinlik (Task) Türleri Matematiksel objeleri snflandrma Farkl gösterimlerin yorumlanmas Matematiksel ifadeleri deerlendirmek Örencinin kendi problemini oluturmas ve çözmesi Çözüm ve Gerekçeleri Analiz Etme Var olan problem durumlarndan genellemeler yapmak Etkinlik Tasarm Prensipleri Etkinliin Amac Snf Yönetimi Etkinliin Birden Fazla Balangç Noktasna Sahip Olmas Kullanlacak Materyaller/Araçlar Öretmen ve Örenci Rolleri Örencilerin Ön Bilgileri Örenci Zorluk ve Yanlglar Ölçme Deerlendirme xv

15 Uygulamada Dikkat Edilecek Baz Noktalar Esneklik Örencilerin Dikkatlerini Yönlendirme (shift of attention) Alana Özgü Uygun Dil Gelitirme Sonuç Teekkür Kaynakça xvi

16 1. Bölüm MATEMATKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLER VE ÇÖZÜM ARAYILARI 1 Erhan Bingölbali Mehmet Fatih Özmantar Bu bölümde matematiksel kavram yanlglar ve bu yanlglarn giderilebilmesine yönelik çözüm araylar üzerinde durulmaktadr. Bunun için öncelikle kavram yanlgs, hata ve zorluk terimlerinin ne anlama geldii ve bunlar arasnda ne tür bir ilikinin söz konusu olduu açklanmtr. Daha sonra kavram yanlglarnn türlerinden bahsedilmi ve bu türler matematiin deiik konularndan seçilen kavramlarla örneklendirilmitir. Ayrca kavram yanlglarn ortaya çkaran epistemolojik, psikolojik ve pedagojik sebepler incelenmitir. Matematiksel yanlg ve zorluklarn almas için öretim sürecinde neler yaplabilecei konusunda bir deerlendirme yaplarak, bu kapsamda örnek etkinlikler sunulmutur. Giri Örenciler matematii örenmede neden zorlanmaktadrlar? Örenciler matematik öreniminde neden kavram yanlgsna dümektedirler? Örenciler baz matematiksel hatalar neden sistematik bir ekilde yapmaktadrlar? Matematiksel zorluklarn almas ve kavram yanlglarnn engellenmesi için neler yaplabilir? Bu ve benzeri sorular özellikle son 40 yldr deiik ülkelerdeki matematik eitimcilerinin ilgisini çekmi ve birçok aratrmaya yön vermitir. 1 Bu çalma TÜBTAK tarafndan desteklenen bir proje sonucu olarak ortaya çkmtr (proje numaras: 108K330).

17 2 lköretimde Karlalan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri Matematik eitimcilerinin matematik öreniminde karlalan zorluklarla ilgili yukarda belirtilen sorular eksenli yaptklar aratrmalar incelendiinde, karmza birbirini tamamlayan ve ksmen de takip eden iki aratrma temas çkmaktadr. Bunlardan birincisi problemi belirleme ve anlamlandrma, ikincisi ise çözüm üretme temasdr. Matematik eitimi literatüründe kavram-eksenli yaplan ve örencilerin karlatklar zorluklarn, kavram yanlglarnn, hatalarn ve bunlarn nedenlerinin aratrld çalmalar (örnein kesirlerle alakal örenci zorluklar, kavram yanlglar, hatalar ve bunlarn nedenleri) problemi belirleme ve anlamlandrma temas çalmalarna örnek olarak gösterilebilir. Çözüm üretme temas çerçevesinde yer alan çalmalar ise örencilerin karlatklar zorluklarn almasna yönelik olarak nelerin yaplabilecei konusu üzerinde durmaktadrlar. Matematik öretiminde çoklu temsillerin kullanm (cebirsel, tablo, grafik), teknolojinin öretime entegre edilmesi, örenci zorluklar göz önünde bulundurularak etkinliklerin tasarlanmas, öretmen eitimi ve mesleki geliimine yönelik yaplan aratrmalar çözüm üretme temasna örnek gösterilebilecek çalmalardr. Matematik eitimi çalmalarnda ön plana çkan bu iki ana tema, örencilerin matematiksel zorluklarn, kavram yanlglarn ve hatalarn anlamlandrmay ve bunlar için çözüm olabilecek öneriler sunmay amaçlayan bu bölüm yazmnda rehber olarak kullanlacaktr. Bu kapsamda öncelikle matematiksel zorluk, kavram yanlgs ve hata kavramlar, kavram yanlgs ile ilikilendirilerek tantlacaktr. Daha sonra kavram yanlgs türleri ilenecektir. Ayrca örencilerin karlatklar zorluklarn ve kavram yanlglarnn nedenleri konusu ele alnacaktr. Son olarak karlalan zorluklarn almasna yönelik çözüm olabilecek öneriler üzerinde durulacaktr. Kavram Yanlgs Nedir? Matematik eitimi literatüründe matematik öreniminde karlalan zorluklar ifade etmek için birçok deiik terimin, çou zaman da birbirlerinin yerine, kullanld görülmektedir. Zorluk (difficulty), kavram yanlgs (misconception) ve hata (error) terimleri örencilerin matematik öreniminde yaadklar güçlüklerin ifade edilmesinde en sk kullanlanlar arasnda gelmektedir. Zorluk kapsaml bir kavram olup, örencilerin matematik örenimi ile ilgili yaadklar güçlükleri genel anlamda ifade etmek için kullanlan bir terimdir. Bu özelliinden dolay kavram yanlgs ve hatay da içeren bir kavramdr. Zorluk teriminin genel ve kapsayc bir ifade olarak kullanlmas kanaatimizce bu terimi örencilerin örenme güçlüklerini anlamlan-

18 Matematiksel Kavram Yanlglar: Sebepleri ve Çözüm Araylar 3 drmada ve çözümlemede yetersiz de klmaktadr. Zorluk teriminin bu özelliinden ötürü örencilerin karlatklar güçlükler daha çok kavram yanlgs terimi ekseninde incelenecektir. Zorluk ve hata terimlerinin anlalmasn da mümkün klacan düündüümüz bu inceleme, öncelikle kavram yanlgsnn ne olduunun açklanmasn gerekli klmaktadr. Mevcut literatüre bakldnda kavram yanlgsn (misconception) ifade etmek için birçok deiik terimin kullanld görülmektedir. Bunlar arasnda ön kavray (preconceptions), alternatif kavray (alternative conceptions), olgunlamam kavray (naive conceptions) terimleri örnek olarak verilebilir (Clement, 1982; Hewson ve Hewson, 1984; McCloskey, 1983; daha fazla detay için, bknz, Zembat, 2008a). Bu terimler yakndan incelendiinde iki önemli husus ön plana çkmaktadr. Birincisi bu terimler aslnda örtük de olsa uzman bilgisinden farkl olan veya bilimsel olarak kabul edilen bir kavraytan uzak olan kavraylar ifade etmek için kullanlmaktadr. Bu anlamda kavram yanlgs bir konuda uzmanlarn (expert) üzerinde hemfikir olduklar görüten uzak kalan alg ya da kavray (conception) olarak kullanlmaktadr (Zembat, 2008a, s.2). kincisi husus ise Hammer n (1996) da belirttii gibi kavray (conception) teriminin bu terimlerin hepsinin özünü ve esasn oluturmasdr. Her iki husus da aslnda kavram yanlgs teriminin anlalmasnda kavray teriminin önemli rolüne iaret etmektedir. Bu balamda Smith, disessa ve Roschelle (1993, s.119) kavray teriminin kavram yanlgsnn anlamlandrlmasndaki rolüne iaret etmi ve kavram yanlgsn sistematik bir ekilde hata üreten örenci kavray olarak tarif etmitir. Bu açdan, Zembat n da (2008b, s.42) belirttii gibi, kavram yanlgs basit hatadan çok sistemli bir ekilde insan hataya tevik eden alg biçimidir. Buradan da anlalmaktadr ki örencilerin sistematik olarak yaptklar hatalar sradan yaplan bir ilem hatasndan farkl olup, kendisini ortaya çkaran ve kontrol eden derin bir kavrayn, bir mana sisteminin (Nesher, 1987), bir bilisel yapnn (cognitive structure) (Oliver, 1989) ya da bir kavram yanlgsnn varlna iaret etmektedir. Baka bir deyile örencilerin yaptklar hatalar yüzeydeki görüntü olup, bu görüntünün olumasn kontrol eden ve olumasna kaynaklk eden bir kavram yanlgs söz konusudur (Nesher, 1987). Sistemli bir ekilde insan hataya tevik eden bir kavray biçimi olarak kabul ettiimiz kavram yanlgsnn ve ayrca hata ile olan ilikisinin daha iyi anlalmas için aadaki örnei yakndan inceleyelim. Ele alacamz örnek örencilerin skça kavram yanlgsna sahip olduu ve neticesinde de hatalar yaptklar, deiik ülkelerdeki birçok aratrmac tarafndan da ortaya konulan, ondalk saylara ilikindir (Nesher, 1987).

19 4 lköretimde Karlalan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri Ondalk saylarn büyüklüklerinin karlatrlmasnn aratrlmas amaçlanan bir çalmada 6., 7., 8., ve 9. snftaki örencilere aada sunulan (Tablo 1) ondalk saylarn hangisinin daha büyük olduu sorusu yöneltilmitir (Nesher ve Peled, 1984; Nesher, 1987). Aratrma neticesinde bu soruya birçok örencinin hatal cevap verdikleri ortaya çkmtr. Aada bu aratrmann ortaya çkard örenci hatalarnn bir ksmn temsil etme özelliine sahip olan iki örenci cevab kavram yanlgs ve hata ilikisi açsndan ele alnm ve bu hatalarn ortaya çkmasna kaynaklk eden örenci kavraylar yakndan incelenmitir. Durum Durum Tablo 1.1. Ondalk saylarn karlatrlmas Durum 1 ve Durum 2 de verilen ondalk saylarn hangisinin daha büyük olduu sorusunun yöneltildii örencilerden biri, Durum 1 de ondalk saysnn 0.4 ondalk saysndan daha büyük, Durum 2 de ise ondalk saysnn 0.4 ondalk saysndan daha büyük olduunu belirtmitir. Bu cevap Durum 1 için yanl (hatal) iken, Durum 2 için ise dorudur. Peki örencinin verdii cevaplarn altnda yatan neden ya da nedenler nelerdir? Ya da yukarda tanttmz kavramlardan faydalanacak olursak, örencinin verdii doru ve hatal cevaplara kaynaklk eden mana sistemi, bilisel yap veya kavram yanlgs nedir? Ayrca verilen cevaplara dayal olarak bu örencinin ne ölçüde ondalk saylarda sralamay bildiini söyleyebiliriz? Bu ve benzer sorulara cevaplar ancak ilgili örenci ile yaplacak mülakatlarla elde edilebilir ya da hakknda fikir sahibi olunabilir. Nitekim bu aratrmaclar da yaptklar aratrmann devamnda örenci ile verdii cevaplar üzerinde mülakatlar yapm ve bu mülakatlarda örencinin her iki durum için de u ekilde açklamalar yapt görülmütür: çok rakam içeren say daha büyüktür (ondalk saydaki noktadan sonra). Örenciye ondalk saylarn büyüklüklerini karlatrmada rehberlik eden bu kavray ya da prensip Durum 1 de yanl bir cevap vermesine yani hata yapmasna yol açarken, tam tersine Durum 2 de ise doru bir cevap sunmasna izin vermitir. Buradan da anlalmaktadr ki bu örenci ondalk saylarn karlatrlmasnda (ondalk saydaki noktadan sonra) çok rakam içeren say daha büyüktür ya da uzun saylar deerce daha büyüktür eklinde bir kavram yanlgsna sahiptir. Dolaysyla burada ortaya çkan sadece basit bir hata olmayp, o hatann olumasna kaynaklk eden ve o hatay sistematik bir hale getiren veya getirebilecek olan çok rakam içeren say daha büyüktür gibi bir kavram yanlgs söz konusudur. Ondalk saylarn büyüklüklerinin

20 Matematiksel Kavram Yanlglar: Sebepleri ve Çözüm Araylar 5 karlatrlmasna ilikin sahip olunan bu tür bir kavram yanlgs benzeri sorularda yine hata yapmaya sevk edecei öngörülebilir. Örnein bu kavram yanlgs 3.57 ondalk saysnn 3.7 ondalk saysndan daha büyük olduu yönünde hatal bir cevaba da neden olabilecektir. Nesher in (1987) çalmasna katlan bir baka örenci ise ilkinin aksine 0.4 ondalk saysnn hem hem de ondalk saysndan daha büyük olduunu belirtmitir. Bu cevap Durum 1 için doru iken, Durum 2 için yanl yani hataldr. Peki, burada verilen hatal cevabn arkasnda yatan kavram yanlgs acaba ne olabilir? Bu örenci ile verdii cevaplar üzerine yaplan mülakatlarda her iki durum için de u ekilde bir gerekçe sunulduu görülmütür: onda birler binde birlerden daha büyüktür ve bu yüzden de sadece onda birlere sahip olan az basamakl (ksa) say daha büyüktür. Baka bir deyile bu örenciye ondalk saylarn büyüklüklerinin karlatrlmasnda rehberlik eden kavray ya da prensip (ki biz buna ayn zamanda kavram yanlgs diyoruz) az rakam içeren say deerce daha büyüktür kavray olmutur. imdi ikinci örencinin yapt hatay, sahip olduu bu kavram yanlgs nda tekrar ele alalm. Mülakat sonuçlarnda bu örencinin ondalk saylarn karlatrlmasna ilikin olarak onda birler binde birlerden daha büyüktür ve bu yüzden de sadece onda birlere sahip olan az basamakl (ksa) say daha büyüktür ya da daha genel bir ifade ile az rakam içeren say deerce daha büyüktür eklinde bir kavram yanlgsna sahip olduu görülmektedir. Bu kavram yanlgs 0.4 ondalk saysnn ondalk saysndan daha büyük olduu eklinde bir hataya yol açmtr. Çünkü bu örencinin sahip olduu kavram yanlgsna göre 0.4 ondalk saysnda, ondalk saydaki noktadan sonra sadece 4 says vardr ve bu 4 says ondalk saydaki onda birlerdir. Öte yandan ondalk saysnda ondalk saydaki noktadan sonra 675 says vardr ve bu say ondalk saydaki binde birlerdir. Bu örencinin sahip olduu kavraya göre, ondalk saylarda onda birler, binde birlerden büyük olduu için (1/10>1/1000 ) 0.4 ondalk says da ondalk saysndan daha büyük olmak zorundadr. Dolaysyla burada sergilenen sradan ve basit bir hata olmayp, bu hatann ortaya çkmasna kaynaklk eden bir kavram yanlgsnn varl söz konudur. Burada ayrca not etmekte fayda vardr ki örencilerin sahip olduu kavram yanlglar bazen doru sonuçlara ulamalarn da salayabilmektedir. Nitekim bu örencinin sahip olduu kavram yanlgs 0.4 ve saylarnn karlatrlmasnda hata yapmasna neden olurken 0.4 ve saylarnn karlatrlmasnda ise doru cevap vermesine neden olmutur. Sadece 0.4 ve ondalk saylar ve benzerlerinin karlatrlmas üzerinden örencinin cevab deerlendirilseydi, ondalk saylarda sralama konusunun