EĞRİ YAPI ELEMANLARI İÇİN KARMA FORMULASYON KİRİŞ SONLU ELEMANI. Afşin SARITAŞ. İnşaat Mühendisliği Bölümü, Orta Doğu Teknik Üniversitesi

Transkript

1 EĞİ YAPI ELEMANLAI İÇİN KAMA FOMULASYON KİİŞ SONLU ELEMANI Afşn SAIAŞ İnşaat Mühendslğ Bölümü, Orta Doğu eknk Ünverstes Abstract: A curved beam element based on a three-feld varatonal formulaton wth ndependent dsplacement, stress, and stran felds s developed. he dsplacement feld s adapted from moshenko beam theory for curved geometry. he nonlnear response of the element arses from the ntegraton of stress-stran relatons over several control sectons along the element length. he fnte element approxmaton for the beam uses shape functons for stress resultants that satsfy equlbrum and dscontnuous strans along the beam. No approxmaton for the beam dsplacement feld s necessary n the formulaton. he proposed element s free from membrane and shear lockng. Examples verfy the superor performance of the model under lnear and nonlnear materal condtons. Özet: Bu çalışmada eğr yapı elemanların modellenmesnde kullanılacak krş sonlu elemanı anlatılmıştır. Krş elemanı türetmnde deplasman, gerlme ve brm uzama bağımsız alanlı değşmsel formulasyon kullanılmıştır. Deplasman alanında eğr geometrlere uygulanmış moshenko krş teors temel alınmıştır. Doğrusal olmayan davranış, eleman boyunca bulunan kontrol kestler üzerndek gerlme - brm uzama lşklernn entegrasyonu sonucu elde edlmektedr. Krş modelnn sonlu eleman yaklaşımında, gerlme bleşkeler (kest kuvvetler) çn dengey sağlayan şekl fonksyonları ve krş boyunca süreksz brm uzamalar (kest deformasyonları) kullanılmıştır. Formulasyonda, krştek deplasman alanı çn herhang br yaklaşım yapma gereğ yoktur, sadece eleman uçlarındak deplasman değerler gerekldr. Önerlen eleman, dyafram ve kesme kltlenmesnden tamamen kurtulmuştur. Makalede sunulan örnekler, gelştrlen elemanın doğrusal ve doğrusal olmayan malzeme davranışlarını modellemedek üstün başarısını serglemektedr. Anahtar Kelmeler: Eğr krş, karma formulasyon, sonlu elemanlar, dyafram kltlenmes, kesme kltlenmes 1. GİİŞ Eğr geometrl krş sonlu elemanlarının gelştrlmes le lgl olarak en öneml sorun kltlenme olgusu ve krş elemanının doğrusal ve doğrusal olmayan malzeme davranışlarını yakalayablmedek hatasızlığıdır. Deplasman temell düz krş sonlu eleman modellernde

2 sadece kesme kltlenmes yaşanırken, eğr krş modellernde geometrnn de etksyle hem dyafram hem de kesme kltlenmeler yaşanmaktadır. Kltlenme olgusunu aşmak çn lteratürde pek çok yöntem ve model gelştrlmştr. Bunların çoğu kltlenme sorununu çözeblmesne rağmen, br krş parçasının doğrusal elastk koşullar altında ble pek çok sonlu eleman olarak modellenmesn gerektrmştr ([1], [2], [3] ve [4]). Bu arada denge dferansyel denklemler kullanılarak gelştrlen krş modellernn kltlenme sorunu yaşamadığı gözlemlenmştr. Bu yaklaşım kullanılarak eğr geometrler çn 2-düğümlü krş model gelştrlmştr ([5]); ancak bu modeln formülasyonu sadece doğrusal elastk durumlar çn yapılmıştır. Kltlenme olgusuna çözüm bulma arayışları melez/karma formülasyon le de olmuştur. [6] dak çalışmada eğlme enersn daha y temsl edeblmek çn kest eğrlk deformasyonu bağımsız alan olarak modellenmştr. [7] de se Hellnger-essner değşmsel prensb le denge dferansyel denklemlernden elde edlen kuvvet nterpolasyon fonksyonları ve deplasman alanı çnse Lagrange şekl fonksyonları kullanılarak eğr krş model gelştrlmştr. üm bu modeller her ne kadar doğrusal elastk davranış altında kltlenme sorunu yaşamasa da, br krş parçasının brden fazla sonlu elemanla modellenmesne htyaç duymuştur. Ayrıca bu modellerde doğrusal olmayan malzeme tepksne de değnlmemştr. Bu makalede gelştrlen model, daha önce düz geometrl krş model çn tavsye edlmş çalışmanın ([8]) eğr geometrlere uygulanmış haldr. Modeln formulasyonu, üç-alanlı değşmsel Hu-Washzu prensbne dayanmaktadır. Sonuç olarak hç br şeklde kltlenme sorunu yaşamamaktadır ve sadece tek eleman kullanımı le br krş parçasının doğrusal elastk davranışını hatasız modelleyeblmektedr. Ayrıca doğrusal olmayan tepky de br eleman kullanarak hatasıza yakın elde edeblmektedr. 2. SONLU ELEMAN FOMULASYONU 2.1. Hu-Washzu Fonksyonel Elemanın matematksel formulasyonunda üç bağımsız alanlı Hu-Washzu fonksyonel temel alınmıştır, yazmak gerekrse Π = Ω+ Ω+ u HW ( σεu,, ) W( ε) d σ ε ε d Π Ω Ω burda σ gerlme, ε brm uzama ve u da deplasman bağımsız alanlarıdır. Ayrıca W ( ε ) şekl değştrme ener fonksyonundan gerlmeler şöyle elde edleblr σε ˆ () = W() ε ε. Denklem (1) de brm uzama vektörü u ε deplasman alanı u le uyumludur. Π se ktle kuvvetler b ve sınır şartlarından oluşan dış yüklern ortaya çıkardığı potansyel enerdr ve şu şeklde yazılır = ub Ω ut Γ t u u d Γ d d - Ω Γt Γu Bu denklemde çekme gücüyle yaratılan gergnlk t = σ n vektörü gerlme tensörü le elemanın dış yüzey sınırına dk yön vektörü n n skaler çarpımı le elde edlr. Ayrıca * şaret empoze edlmş değerler belrtr. Dış yük konzervatftr, yan yapılan ş deplasman alanı u nun sadece son değerne bağlıdır. Denklem (1) ve (2) de ktle hacm Ω, Γt ve Γu se kuvvet ve deplasman sınır şartlarını gösterr. (1) (2)

3 2.2. Eğr Krş Elemanı çn Knematk Yaklaşım Krş elemanın Şekl (1) de gösterlen knematğ moşenko krş teorsnn eğr geometrlere uygulanması le şöyle yazılır u (, r) u( ) yθ ( ) u(, r) = = (3) u( r,) r w( ) burda r = + y ve x = dr. Kutup koordnatları kullanarak, deplasman alanından brm uzama değerlern radal ve çevresel yönlerde şöyle hesaplarız u 1 u u r 1 w( ) 1 du( ) y dθ( ) ε = + = + r r 1 + y/ d d 1 u u u u r 1 1 dw( ) u( ) γr = + = θ( ) r r r 1 + y/ d Denklem (1) dek brm uzama değerler bağımsız alandır ve denklem (4) de kullanılarak aşağıdak gb yazılablr 1 1 ε = ( εa( ) yκ( ) ); γr = γ( ) 1 + y/ 1 + y/ burda ε a eksenel, κ eğrlk ve γ kesme kest deformasyonlarıdır Hu-Washzu Fonksyonelnn Değşm Denklem (1) dek Hu-Washzu fonksyonelnn değşmsel şöyle yazılır u u δπ HW = σε ˆ( ) δεdω+ δσ ε ε dω+ σ δε δε dω+δπ Ω Ω Ω burda krş elemanı üzernde b genşlğnde ve y pozsyonundak nfntesmal bölgenn hacm dω= brd dr = ( + y) bdyd (7) Denklem (7) y kullanarak, denklem (4) ve (5) denklem (6) ya yerleştrrsek { ˆ ( ( ) y ( ) ) ˆ ( ) } δπ = σ δε δ κ + σ δγ bdyd HW a r Ω w( ) 1 du( ) 1 dθ( ) + δ σ + εa ( ) y κ( ) bdyd d d Ω 1 dw( ) u( ) + δσr θ( ) γ( ) bdyd Ω d δw( ) 1 dδu( ) 1 dδθ ( ) + σ + δεa ( ) y δκ ( ) bdyd d d Ω 1 dδw( ) δu( ) + σr δθ( ) δγ( ) bdyd +δπ d Ω Krş elemanının kest gerlme bleşkeler (yan kest kuvvetler) şu şeklde tanımlanır (4) (5) (6) (8)

4 A A A N = σda, M = yσda, V = σ r da (9) burda N eksenel kuvvet, M eğlme moment, V se kesme kuvvet ve A kest alanıdır. Denklem (9) un (8) e yerleştrlmes halnde HW { ( ) ( ˆ ) ( )( ˆ ) ( )( ˆ ) a } δπ = δε N N + δκ M M + δγ V V d w( ) 1 du( ) 1 dθ( ) + δ N + εa ( ) + δm κ( ) d d d 1 dw( ) u( ) + δv θ( ) γ( ) d d δw( ) 1 dδu( ) 1 dδθ( ) + N + + M d d d 1 dδw( ) δu( ) + V δθ ( ) d +δπ d NMve ˆ, ˆ Vˆ malzeme modelnn kullanılması sonucu elde edlecek kest kuvvetlerdr ve şu şeklde elde ederz: Nˆ = ˆ σ da, ˆ A M = y ˆ σ da A ve Vˆ = ˆr σ da. Bu entegrasyonu yerne, A kest kuvvetler le deformasyon değerler arasında kest model de kullanmak mümkündür. (10) y,w x,u θ Dügüm Dügüm L Şekl 1. Eğr krş elemanının tasvr Denklem (2) de yazılmış olan potansyel ener değern bu noktada yazablrz { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} n u q w m θ d bc (11) δπ = δ + δ + δ δπ burda n( ) eksenel, q( ) dkey ve m( ) de eğlme kuvvetlerdr ve bunlar krş eksennde brm uzunluğa uygulanırlar. Denklem (11) de δπ bc se düğüm noktalarına uygulanacak dış yüklerden oluşan enery gösterr.

5 2.4. Sonlu Eleman Yaklaşımları Üç alanlı karma formulasyondan sonlu eleman yaklaşımına geçerken tutarlılık ve stablte koşullarının sağlanması gerekr. Bunun çn [8] de belrtlen karma yama (patch) test sayım koşulları sağlanmalıdır. 2 düğümlü düzlem krş elemanı çn serbestlk dereceler şunlardır u ˆ = ( u w θ u w θ ) (12) Bu altı serbestlk derecesnn üçü rt kütle hareket üçü de deformasyon modlarıdır. Kest deformasyonları ve kuvvetlernn sayısı arasında şu eştszlğe uyulmak zorundadır n n 1; n n 2; n n 1 εa N κ M γ V burda nn, nm, nv kest kuvvetler çn blnmeyen eleman parametrelernn sayısı, nε, n, n a κ γ se kest deformasyonları çn blnmeyen eleman parameterelernn sayısıdır. Genelde sonlu elemanlar yöntemnde sürekl polnom fonksyonların kullanımı yaygındır; ancak bu makalede kest deformasyonları çn [8] de tavsye edldğ gb süreksz veya keskl yaklaşım kullanılacaktır Kuvvet İnterpolasyonu çn Şekl Fonksyonları Denklem (10) da deplasman değerlern çeren tüm termlern kısm parçalı entegrasyonu sonucu şöyledr δw( ) 1 dδu( ) dn N + d = [ Nδu( ) ] + Nδw( ) δu( ) d d d 1 dδθ ( ) dm M d = [ Mδθ( ) ] δθ( ) d d d 1 dδw( ) δu( ) dv V δθ ( ) d = [ Vδ w( ) ] V( δθ ( ) + δ u( ) ) + δ ( ) d w d d Denklem (11) dek eleman yüklern de dkkate alır ve kest kuvvetler çn aşağıdak yaklaşımı yaparsak denklem (14) de sağ taraftak bütün entegrasyonlu termler yok olur. dn + V = n( ) ; N dv = q( ) ; dm + V = m( ) (15) d d d Bu denklemler eğr krş elemanı çn dferansyel denge denklemlerdr. Kest kuvvetlernn değşmsel değerler çn aşağıdak denklem se (10) dak deplasmanların değşmsel değerlern çeren tüm termler kullanılarak benzer yolla elde edlr. dδn dδv dδm + δv = 0; δn = 0; + δv = 0 (16) d d d Denklem (15) ve (16) nın kullanılması sonucu, krş modelnde eleman boyunca herhang br deplasman alanında yaklaşım yapmaya gerek kalmaz; ancak tab k düğüm noktalarındak deplasman değerler formulasyonda kullanılacaktır. (13) (14)

6 2.6. Denge Dferansyel Denklemlern Çözümü Denklem (15) tek dferansyel dengenn çözümünde Şekl (2) de gösterlen değşk sınır şartları kullanılablr ve sonuç olarak kest kuvvetlernn eleman boyunca yaklaşımı elde edlr N( ) q1 s( ) = b( ) q+ sp ( ); s( ) = M ( ) ve q= q2 V( ) q 3 burda b ( ) kuvvet enterpolasyon fonksyonlarını çerr ve s ( ) p de Şekl (2) de gösterlen ana sstemlerde eleman eksen boyunca uygulanacak brm yüklern (denklem (15) n) çözümü sonucu elde edlr. Denklem (17) nn değşmsel δ s( x) = b( x) δq tr. Şekl (2) dek brnc ana sstem kullanırsak, b ( ) matrsn şöyle yazablrz (17) sn cos / L cos / L b( ) = (sn sn ) 1 (cos cos ) / L (cos cos ) / L cos sn / L sn / L (18) q 2 q 3 q 2 Ana sstem 1 Ana sstem 2 Şekl 2. Eğr krş elemanı çn ana sstemler q 1 q 3 q 1 Denklem (14) tek ve bu denklemn değşmselnn sınır değerlern denklem (17) ve (18) kullanarak matrs halnde yazablrz { δ ( ) +δ ( ) +δ θ ( ) +δ θ ( ) +δ ( ) +δ ( ) } =δ ˆ +δˆ δˆ Nu u N M M Vw w V qau uaq up (19) burda p w eleman eksen boyunca uygulanan nq, ve m brm kuvvetlernn yarattığı eşdeğer düğüm kuvvetlerdr. Şekl (1) dek düğüm açıları arasındak lşky 180 le sınırlarsak, = π lşks le denklem (19) dak a matrsn yazablrz w sn cos 0 sn cos 0 a = cos / L sn / L 1 cos / L sn / L 1 2cos / + L cos / L sn / L 0 cos / L sn / L 2cos / L (20) 2.7. Kest Model Kest model kest üzerndek entegrasyon noktalarının tepkler sonucu aşağıdak gb elde edlmştr. 1 y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ σ sˆ = N M V ˆ s da; s ve ˆ = a σ a = σ = 0 0 ˆ (21) A S σ cc r S cc burda kesme düzeltme katsayısıdır. Bu denklem kullanılarak kest rtlk matrs se şöyle hesaplanır

7 ˆ ˆ () 1 ˆ () ks = s = s da = 1 / s a σε A a σε a e e A + y ε s da (22) 2.8. Eleman Formulasyonunun Matrs Formu Kuvvet enterpolasyon fonskyonlarının denklem (17) den ve bunun değşmselnn, denklem (10) dak Hu-Washzu fonksyonelne yerleştrlmes le aşağıdak matrs formunu elde ederz δuˆ 0 a 0 uˆ p w δπ HW = δq a 0 b( l ) q 0 = 0 δ ( ) ˆ l e 0 b l 0 el sp, l sl burda l göstermes eleman kesd üzerndek entegrasyon hesabında kullanılan noktaları gösterr, örneğn sˆl = sˆ( e l). Doğrusal olmayan davranış altında denklem (23) ün doğrusallaştırılması gerekr ve sonuç olarak aşağıdak lşky elde ederz 0 a 0 uˆ pw a q a 0 b( ) ˆ l q = au+ b( l) el ( ) 0 b ˆ l ks, l el b( l) q+ sp, l sl Eleman boyunca seçlen entegrasyon noktalarındak kest deformasyonları ve eleman ana kuvvetler q denklem (24) ten çıkarılarak, elemanın tepks deplasman temell sonlu eleman programlarında çalışablecek duruma getrlr (detaylı blg çn [8] e bakınız). e l (23) (24) 3. SAYISAL ÖNEKLE 3.1. Sıkıştırılmış ng Şekl 3. Sıkıştırılmış rng Yarıçapı olan br rng Şekl (3) te gösterldğ gb P kuvvetler altında sıkıştırılmaktadır. ngn yarısı smetry kullanarak modellenmştr. A noktasındak dkey deplasman değern Castglano nun ener teoremn kullanarak elde ederz

8 w exact 3 P 2 πp πp = ( π 8) + + 8π EI 8GAScc 8EA (25) Karşılaştırma yapablmek çn geometrk ve malzeme özellkler olarak şu değerler alınmıştır: yarıçap = 4.953, brm krş genşlğ, krş kalınlığı h = 0.094, uzatma elastklğnn katsayısı E = 10.5x10 6, elastk kesme katsayısı G = 4x10 6 ve noktasal yük P = 100. Gelştrlen eğr krş eleman modelnn doğruluğu dğer modellerle ve denklem (25) tek değerle karşılaştırılmıştır. Bunun çn karşılaştırmalarda, [1] Babu, [2] essler, [3] Sh, [4] SP ve [9] da Zhang modeller olarak kısaca adlandırılmıştır. Bu modellern özellkler hakkında Grş kısmında blg verlmştr. Yapılan çözümleme sonucu, AB kısmında sadece br eleman kullanarak, gelştrlen eğr krş karma formulasyon elemanı (EKKF) denklem (25) tek değer hatasız vermş ve bu arada dğer modellern başarısıysa Şekl (4) te gösterldğ gb olmuştur. Doğrusal elastk koşullar altında olunmasına rağmen, dğer modellerle en az 3 veya daha fazla eleman kullanarak ancak hatasız olarak kabul edleblecek br sonuç elde edleblmektedr. 1 A'da hesaplanan/gerçek dkey deplasman EKKF SP essler Sh Babu Zhang AB ksmndak eleman says Şekl 4. Karma formulasyon elemanın sıkıştırılmış rng örneğndek davranışı Daresel Betonarme Kemer Yapı Şekl (5) te gösterlen 200 yaylı daresel betonarme kemer doğrusal olmayan malzeme davranışı koşulları altında dkkate alınmış ve çözümlenlenmştr. Kemer yapının çapı D = 5, kalınlığı h = 0.25 ve kemer yapı br brm genşlğe sahptr. Krş üst ve alt çelk donatı oranları ardarda kesdn %0.008 ve %0.011 dr. Krş kest kuvvetler ve rtlk matrsnn hesabı çn, kest üzernde 10 adet nokta seçlmş ve bunların pozsyonu orta-nokta entegrasyonu kuralından elde edlmştr. Beton malzeme model olarak [10] tarafından gelştrlen gerlme - brm uzama lşks kullanılmış ve bu modelde basınç dayanımı 30x10 6, en büyük basınç altındak brm uzama değer ve en büyük brm uzama olarak alınmıştır. Kesme yönündek gerlme brm uzama lşksnn se dk yöndek davranıştan ayrı olduğu ve doğrusal elastk olarak kaldığı varsayılmıştır. Elastk kesme katsayısı Posson oranı 0.2 kullanılarak hesaplanmıştır. Çelk donatılar çn çft doğrusal malzeme model kullanılmış ve özellkler şöyle seçlmştr: uzatma

9 elastklğnn katsayısı E=200x10 9, akma dayanımı f y =220x10 6, brm uzama pekleşme oranı %0.5E. Kullanılan değerlern brm metrk ssteme uygundur. Şekl 5. Daresel betonarme kemer yapı Smetr durumunu da kullanarak kemer yapının yarısının çözümü yapılmıştır. Karşılaştırma çn 1 EKKF elemanı üzernde 6 Gauss entegrasyon noktası (EN), 2 EKKF elemanı üzernde 5 Gauss EN kullanılmıştır. Problem ayrıca düz krş elemanları kullanılarak da çözümlenmştr. Bunun çn [8] de gelştrlen düz krş karma formulasyon elemanı (DKKF) denenmştr. Bu model düz geometrler çn hem doğrusal hem de doğrusal olmayan davranışları hatasıza yakın tek eleman kullanarak hesaplayablmektedr. Karşılaştırmada 2, 5 ve 10 adet sonlu DKKF elemanı ve her elemanda 5 Gauss EN kullanılmıştır. 4 x Uygulanan kuvvet EKKF 1E 6EN EKKF 2E 5EN 0.5 DKKF 2E 5EN DKKF 5E 5EN DKKF 10E 5EN epe dkey deplasman Şekl 6. Daresel betonarme kemer yapı çn kuvvet-deplasman grafğ Şekl (6) da görüldüğü gb, eğr krş eleman model açısından br ve k eleman kullanımı arasındak fark çok küçüktür. Sonuç olarak gelştrlen eğr krş modelnden tek eleman kullanarak hem elastk hem de doğrusal olmayan elastk davranış hatasıza yakın hesaplanablmektedr. Bu arada düz krş elemanı le kemer yapının davranışını yakalayablmek çn 10 sonlu eleman kullanımı ble yetersz kalmaktadır.

10 4. SONUÇLA Bu makalede üç alanlı değşmsel formulasyonlu eğr krş elemanı model gelştrlmştr. Bu modeln en öneml özellğ hem dyafram hem de kesme kltlenmes sorunu yaşamaması ve elastk davranışı sadece br eleman kullanarak hatasız olarak hesaplayablmesdr. Bunun yanında elemanın doğrusal olmayan davranışı modelleme kablyet de hatasıza yakındır ve bunu tek eleman kullanımı le başarır. Sonuç olarak eğr br geometrnn modellenmesnde düğüm noktalarında ve serbestlk derecesnde yapılması gereken cdd artışlara gerek kalmaz. Bu durum tab k büyük yapısal sstemlern çözümünde hesapsal ve modelleme avantaları sağlar. 5. KAYNAKLA [1]. Babu, C.. and G. Prathap, A Lnear hck Curved Beam Element. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, (7): p [2]. essler, A. and L. Sprdglozz, Curved Beam Elements wth Penalty elaxaton. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, (12): p [3]. Sh, G. and G.Z. Voyads, Smple and effcent shear flexble two-node arch/beam and four-node cylndrcal shell/plate fnte elements. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, (4): p [4]. aveendranath, P., G. Sngh, and B. Pradhan, A two-noded lockng-free shear flexble curved beam element. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, (2): p [5]. Fredman, Z. and J.B. Kosmatka, An Accurate wo-node Fnte Element for Shear Deformable Curved Beams. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, (3): p [6]. Lee, P.G. and H.C. Sn, Lockng-Free Curved Beam Element Based on Curvature. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, (6): p [7]. Benedett, A. and A. rall, A new hybrd F.E. model for arbtrarly curved beam - I. Lnear Analyss. Computers and Structures, (6): p [8]. aylor,.l., F.C. Flppou, A. Sartas, and F. Aurccho, Mxed fnte element method for beam and frame problems. Computatonal Mechancs, (1-2): p [9]. Zhang, C. and S. D, New accurate two-noded shear-flexble curved beam elements. Computatonal Mechancs, (2): p [10]. Kent, D.C. and. Park, Flexural Members Wth Confned Concrete. Journal of the Structural Dvson, ASCE, (S7): p