3. ANUITE (TAKSİTLİ ÖDEME)

3. ANUITE (TAKSİTLİ ÖDEME) 3.1. Sermaye oluşturma 3.1.1. Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma 3.1.1.1. Devre başı ödemeli 3.1.1.2. Devre sonu ödemeli 3.1.2. Sermaye oluşturma yaklaşımı ile borcun taksitle ödenmesi 3.1.2.1. Sabit devre ve eşit taksitli borç 3.1.2.2. Sabit devre ve değişken taksitli borç 3.1.3. Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma 3.1.3.1. Düzenli değişken taksitler 3.1.3.1.1. Geometrik dizi şeklinde değişken taksitler 3.1.3.1.2. Aritmetik dizi şeklinde değişken taksitler 3.1.4. Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma 3.2. Borcun taksitle ödenmesi (istikraz) 3.2.1. Sabit taksitli borç 3.2.2. Değişken taksitli borç 3.3. Rant geliri 3.3.1. Sabit gelirli rant 3.3.2. Ertelenmiş rant 3.3.3. Çabuklaşmış rant 3.3.4. Değişken gelirli rant 3.3.4.1. Geometrik artış gösteren gelir taksitli rantlar 3.3.4.1.1. Geometrik artış gösteren hemen başlayan gelir taksitli rantlar 3.3.4.1.2. Geometrik artış gösteren ertelenmiş gelir taksitli rantlar 3.3.4.1.3. Geometrik artış gösteren çabuklaşmış gelir taksitli rantlar 3.3.4.2. Aritmetik artış gösteren gelir taksitli rantlar 3.3.4.2.1. Aritmetik artış gösteren hemen başlayan gelir taksitli rantlar 3.3.4.2.2. Aritmetik artış gösteren ertelenmiş gelir taksitli rantlar 3.3.4.2.3. Aritmetik artış gösteren çabuklaşmış gelir taksitli rantlar IV-1

Anuiteleri farklı bakışlarla değişik şekillerde sınıflandırılabilir, bunların ; taksitli sermaye oluşturma, taksitle borç ödeme taksitli elde edilen rant gelirleridir Anüiteler ev kredisi ödemeleri vb gibi dönemi sabit ve belirli olanları yanında sosyal güvenlik sigortası veya hayat sigortası ödemeleri gibi anüite dönemi değ işen veya önceden belirsiz olan ödemeli olanları vardır. Diğer taraftan, ilk ödemesi veya ödemeleri ertelenmiş şekilde geç yatan anüiteler veya çabuklaştırılmış ödemeli anuiteler sınıflandırması vardır. 3.1. Sermaye oluşturma A: anüite, periyodik ödemelerin baz (sabit=başlangıç) değeri n: Anüite dönemi boyunca faiz işleyen dönem sayısı. (Basit anüitelerde ödeme sayısı) r: Dönem başına faiz oranı, (r veya r m /m) C n: Anüitenin toplam değ eri ya da birikmiş değ eri. C 0: Anüitenin iskontolu değ eri ya da şimdiki değ eri. I : Faiz miktarı Örnek : Dönem başı ödemeli basit anuite, ödeme ve faiz oluşum tablosu. A = 500, r=%12, n=10 ödeme dönemi (n) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cn I 1 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 166 1.553 1.053 2 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 1.387 887 3 500 60 67 75 84 94 106 118 133 1.238 738 4 500 60 67 75 84 94 106 118 1.105 605 5 500 60 67 75 84 94 106 987 487 6 500 60 67 75 84 94 881 381 7 500 60 67 75 84 787 287 8 500 60 67 75 702 202 9 500 60 67 627 127 10 500 60 560 60 Toplamlar 5.000 600 605 602 590 566 529 474 398 297 166 9.827 4.827 IV-2

Dönem sonu ödemeli basit anuite, ödeme ve faiz oluşum tablosu. A = 500, r=%12, n=10 ödeme dönemi (n) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cn I 1 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 1.387 887 2 500 60 67 75 84 94 106 118 133 1.238 738 3 500 60 67 75 84 94 106 118 1.105 605 4 500 60 67 75 84 94 106 987 487 5 500 60 67 75 84 94 881 381 6 500 60 67 75 84 787 287 7 500 60 67 75 702 202 8 500 60 67 627 127 9 500 60 560 60 10 500 500 0 Toplamlar 5.000 540 538 527 506 472 423 355 265 149 8.774 3.774 3.1.1. Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma Cn : n adet devre sonunda biriken para A : devre başı veya sonu ödemeler, n: taksit sayısı, r: faiz% Devre başı ödemeli: 0 1 2 n-3 n-2 n-1 n zaman A A A A A A n A(1+r) n n-1 A(1+r) n-1 n-2 A(1+r) n-2 3 A(1+r) 3 2 A(1+r) 2 1 A((1+r) Ödeme devrelerinin toplamları bir geometrik dizi oluşturur Cn = A(1+r) n + A(1+r) n-1 + A(1+r) n-2 + + A(1+r) 2 + A(1+r) IV-3

Cn = (1+r) { A(1+r) n-1 + A(1+r) n-2 + + A(1+r) + A } İlk terimi A olan ve ortak çarpanı (1+r) olan bir geom. dizi veya dizi tersten de yazılabilir Cn = A [(1+r) n -1] (1+r)/r] elde edilir Veya başka bir yolla İlk terimi A(1+r) n ve ortak çarpanı (1+r) -1 olan geometrik dizi toplamı Cn = a (u n 1)/(u 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan) Cn = A(1+r) n [(1+r) -n 1]/[(1+r) -1 1] Cn = A(1+r) n { [1 - (1+r) n / (1+r) n ] / [1 (1+r)]/(1+r) Cn = A(1+r) n { [1 - (1+r) n / (1+r) n ]} / [ r)/(1+r)] Cn = A(1+r) n { [1 - (1+r) n / (1+r) n ]} x [(1+r)/(-r)] Cn = A[(1+r)/(-r)] [1 - (1+r) n ] pay ve payda (-1) ile çarpılırsa Cn = A (1+r) [(1+r) n - 1 ]/r s n = [(1+r) n -1]/r a n = [1-(1+r) -n ]/r (1+r) n a n = s n Cn = A (1+r) sn = A an (1+r) n+1 = A {[(1+r) n -1]/r} (1+r) elde edilir. A = Cn an (1+r) = Cn / {sn (1+r)} = Cn r / {[(1+r) n -1] (1+r)} n = { log[cn r + A (1+r)] loga log(1+r) } / log(l+r) Veya diğer bir yolla elde edilmek istenirse, dizi tersten yazılır, Cn = A(1+r) + A(1+r) 2 + A(1+r) 3 + + A(1+r) n-1 + A(1+r) n İlk terimi A(1+r) ve ortak çarpanı (1+r) olan geometrik dizi toplamı Cn = A[(1+r) n -1] (1+r)/r] IV-4

Devre sonu ödemeli: 0 1 2 n-3 n-2 n-1 n zaman A A A A A A n A(1+r) n-1 n-1 A(1+r n-2 n-2 A(1+r) n-3 Ödeme devrelerinin toplamları bir geometrik dizi oluşturur Cn = A(1+r) n-1 + A(1+r) n-2 + A(1+r) n-3 + + A(1+r) + A Buradaki geom. dizi kısmi toplamları 1 + u + u 2 + + u n-1 = (u n -1)/(u-1) eşitliği kullanılarak 3 A(1+r) 3 2 A(1+r) 2 İlk terimi A(1+r) n-1 ve ortak çarpanı 1/(1+r) olan geometrik dizi toplamı Cn = a (u n 1)/(u 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan) Cn = A(1+r) n-1 [1/(1+r) n 1]/[1/(1+r) 1] Cn = A(1+r) n-1 {[1-1/(1+r) n ] /(1+r) n } / {1 (1+r)/(1+r)} Cn = A(1+r) n-1 {[1-1/(1+r) n ] /(1+r) n } x {(1 +r)/-r} 1 A((1+r) 0 A Veya diğer bir yolla, dizi tersten yazılırsa, Cn = A + A(1+r) + A(1+r) 2 + + A(1+r) n-2 + A(1+r) n-1 İlk terimi A ve ortak çarpanı (1+r) olan geometrik dizi toplamı Cn = a (u n 1)/(u 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan) Cn = A [(1+r) n 1]/[(1+r) 1] IV-5

Ya da başka bir yolla Cn = A(1+r) n-1 + A(1+r) n-2 + A(1+r) n-3 + + A(1+r) + A (1+r)Cn = A(1+r) n + A(1+r) n-1 + A(1+r) n-2 + + A(1+r) 2 + A(1+r) her iki tarafı ile çarp iki denklemi topla --------- ------------------------------------------- (1+r)Cn Cn = A(1+r) n - A elde edilir. Devre sonu ödeme ile devre başı ödeme arasındaki ilişkiler : Devre başı ödemeli sermaye toplamı Cn = A[(1+r) n -1] (1+r)/r] Devre sonu ödemeli sermaye toplamı Devre başı ödeme Cn = devre sonu ödeme Cn x (1+r) dir. Devre başı ile devre sonu ödeme toplamları arasındaki fark d = A[(1+r) n -1] (1+r)/r] - A [(1+r) n - 1] / r = A [(1+r) n - 1] / r x { (1+r -1} = A [(1+r) n - 1] / r x { r} = A [(1+r) n - 1] = A (1+r) n - A Devre başı ödeme toplamı / devre sonu ödeme toplamı = (1+r) dir. {A[(1+r) n -1] (1+r)/r]} / {A [(1+r) n - 1] / r } = (1+r) dir. İskontolu değer Dönem sonlarında yapılan n adet A ödemesi, dönem başına r faiz oranı ile aşağıdaki iskontolu değeri verir, bu değern dönem sonu biriken sermayenin %r iskonto ile başlangıç değeridir. C0 = Cn (1+r) -n yerine konursa IV-6

C0 = A [(1+r) n - 1]/r} x [1+r] -n C0 = A [1-(1+r) -n ]/r Şeklinde İskontolu değer elde edilir. ÖrneK : 500 lira sabit dönem sonu ödemeli 10 dönem %12 faizle oluşan sermaye birikimi = 500 [ (1,12) 10 1 ] / 0,12 = 8,774,37 liradır, Yukarıdaki 8,774.37 liranın 5,000 lirası ana paradır. Bu sermayenin %12 iskontolu 10 yıl önceki başlangıç değeri ise C0 = A [1-(1+r) -n ]/r = 500 [1 (1,12) -10 ]/0,12 = 2,825.11 liradır veya C0 = Cn (1+r) -n = 8,774.37 (1,12) -10 = 2,825.11 liradır. Örnek : Her yıl 2000 lira ödemeli 5 yıllık bir dönem sonu ödemeli basit anüite toplam değeri %9 faiz oranı ile ne olur? A = 2000 r = 0,09 n = 5 C5 = 2000 {(1+0,09) 5-1}/0,09 = 11.969,42 lira Örnek : Bir borç aylık 250 lira ödemeler ile ödenmektedir. Bu kişi 4 aylık ödemesine ait borçlarını ödememiştir. Ödeme dengesinin sağlanması için borçlunun borcunu ödemediği ayları takib eden 5. Ay taksidi ile birlikte ödemesi gereken miktar nedir? Yıllık Faiz = %14,4. A = 250 r/12 = 0,144/12 = 0,012 n = 5 C n = 250 {(1+0,012) 5 1}/0,012 = 1280,36 lira IV-7

Örnek : Bankaya 3 ayda bir 300 lira yatırılmaktadır. İlk ödeme ile son ödeme arasındaki toplam süre 4 yıl olduğuna göre, dönem sonundaki toplam birikim ne olur? Bankanın yıllık fazi oranı 0,08 dir. A = 300 r/4 = 0,08/4 = 0,02 n = 17 (4x4yıl+1) C n = 300 {(1+0,02) 17 1}/0,02 = 6003,62 lira Örnek : 10 yılsonra 80.000 lira biriktirmek için her yıl ne kadar yatırım yapılmalıdır. Yıllık faiz %8 dir. A = Cn /{[(1+r) n - 1] / r} = 80.000 {[1,08 10-1]/0,08} = 5.522,36 lira Örnek : 3 yıl süre ile her ay sonu 380 lira yatırılan ödemelerin iskontolu değerini bulunuz. Yıllık iskonto oranı %12 dir. A = 380 r/12 = 0,12/12 = 0,01 n = 36 Cn = A [1-(1+r) -n ]/r C n = 380 {[1-(1+0,01) -36 ]/0,01} = 11.440,85 lira Veya Cn = A [(1+r) n - 1]/r} x [1+r] -n C n = 380 {[(1+0,01) 36-1]/0,01}x (1,01) -36 = 11.440,85 lira Örnek : 1500 lira peşin ve 3 yıl süre ile aylık 182,5 lira ödemeli bir satın almada, yıllık faiz %18 olduğuna göre a) Malın peşin değerini b) Borçlanmadaki toplam faizi hesaplayınız a) A = 182,5 n = 36 r /12 = 0,18/12 = 0,015 X = 1500 + 182,5 {[1 (1+0,015) -36 ]/0,015} = 6.548,47 lira b) I = A n (Cn X) 182,5 (36) 5048,47 = 1521,93 lira IV-8

Örnek : Yatırım amaçlı 5 yıl süre ile her ay başında 200 lira bankaya yatırılıyor. 5 yıl sonundaki yatırım değerini bulunuz. Yıllık faiz %10,5 A = 200 r/12 = 0,105/12 n = 60 Cn = A [(1+r) n -1] (1+r)/r] Cn = 200 {[(1+0,105/12) 60-1] (1+0,105/12)}/(0,105/12) = 15.831,10 lira Örnek : Her yıl sonunda 2000 lira yatırmak kaydı ile, yıllık %6,5 faiz ile 20. Yıl sonu kaç para sermaye oluşur? Cn = A [(1+r) n -1] /r = 2000 [ 1,065 20 1]/0,065 = 77,625,3 lira Örnek : Bir baba doğan çocuğunun 25 yaşını tamamladığında 100.000 lira bir kapitali olması için her ay sonu kaç lira yatırmalıdır? Aylık faiz %0,6 dır. 100000 = A [ 1,006 25x12-1] / 0,006 = A [ 1,006 300-1] / 0,006 A = 119,4 lira Örnek : Her ay sonunda 1000 lira yatırmak kaydı ile ne kadar zaman sonra 100.000 lira para toplanır. Aylık faiz 0,003 100.000 = 1000 [ 1,003 n 1] /0,003 100.000 x 0,003 / 1000 + 1 = 1,003 n n log 1,003 = log [100.000 x 0,003 / 1000 + 1 ] n = 87,6 ay IV-9

Örnek : Yıl sonlarında 2500 lira yaıtırılarak 10. Yıl sonunda 33.414,3 lira elde edildiğine göre yıllık faiz oranı nedir? [(1+r) n - 1] / r = Cn / A = 33414,3 / 2500 = 13,366 oranı kullanılarak 33414,3 = 2500 [ (1 + r) 10 1] /r = 13,366 İterasyon ile r1 = 0,07 alınırsa (1,07 10 1 ) /0,07 = 13,814 r2 = 0,06 (1,06 10-1) /0,06 = 13,183 r3 = 0,065 (1,065 10-1) /0,065 = 13,495 en iyi r = 0,065 elde edilir. Örnek : 3 aylık devrelerin başında yatırılan 1000 lira taksitler 15. Yıl sonunda kaç lira eder? 3 aylık devre faizi %1,5. = 1000 [ 1,015 15x4 1 ] / 0,015 = 1000 [ 1,015 60 1 ] / 0,015 = 97.748,6 lira Örnek : 10. Yıl sonunda 40.000 lira paranın elde edilmesi için 4 aylık devreler başında kaç lira taksit yatırılmalıdır? 4 aylık devre faizi %2. 40000 = A [1,02 10x3-1 ] / 0,02 = A [1,02 30-1 ] / 0,02 A = 966,7 lira Örnek : Her hafta başında kaç para yatırılmalı ki 18. Yıl sonunda 50.000 lira birikmiş olsun? Haftalık faiz binde 1. 50000 = A [ 1,001 18x52 1 ] / 0,001 = A [ 1,001 936 1 ] / 0,001 A = 32,75 lira IV-10

3.1.2. Sermaye oluşturma yaklaşımı ile borcun taksitle ödenmesi 3.1.2.1. Sabit devre ve eşit taksitli borç Borç olarak alınan bir B miktarının, süre sonunda tek seferde ödemek yerine belirli devrelerde eşit taksitler ile tasviyesi istendiğinde. A taksit miktarları, n devre sonunda toplanacak paranın bugünkü değerin (B) nin n devre sonu değerine eşit olmalıdır. I. Aynı devrede aynı sabit faiz oranlı taksitler Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile Sermaye oluşturmada kullanılan sermayenin n dönem toplamı ile borcun veya sermayenin başlangıç değerleri arasındaki ilişki C0 = B C0 = Cn (1+r) -n Cn = C0 (1+r) n Cn = B (1+r) n B(1+r) n = A [(1+r) n -1] /r B = A [1 1/(1+r) n ] /r A = B(1+r) n r / [(1+r) n -1] n = {loga log (A-Br)} / log(1+r) r nin çözümü ancak iteratif denemeler yolu ile yapılabilir. (çünkü denklemde birden çok r var) IV-11

Taksitler devre başında yatırılırsa B(1+r) n = A [(1+r) n -1](1+r)/r B = A [1 1/(1+r) n ](1+r)/r olur, buradan, A = B(1+r) n r / {[(1+r) n -1](1+r) } n = {loga + log(1+r) log [A(1+r)-Br]} / log(1+r) 3.1.2.2. Sabit devre ve değişken taksitli borç Alınan borç ve ödenecek taksitler ayrı devre ve ayrı faiz oranı ile ise, Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile B(1+r) n = A1 [(1+r1) n 1-1] /r1 B = A [(1+r1) n 1 1]/(1+r) n r1 A = B(1+r) n r1 / [(1+r1 ) n 1-1] n = { loga + log [ (1+r1) n 1-1] - log(r1 B) } / log(1+r) n1 = { log [ Br1 (1+r) n + A] loga } / log(1+r1) Taksitler devre başında yatırılırsa B(1+r) n = A [(1+r1) n 1-1] (1+r1) / r1 B = A [(1+r1) n 1 1] (1+r1) /(1+r) n r1 A = B(1+r) n r1 / [(1+r1 ) n 1-1] (1+r1) n = { loga + log [(1+r1) n 1-1] log(r1 B) + log(1+r1)} / log(1+r) n1 = { log[ Br1 (1+r) n + A(1+r1)] loga log(1+r1) } / log(1+r) IV-12

Örnek : Bankadan alınan 40,000 lira borç ay sonlarında eşit taksitlerle 15 yılda ödenecektir. Sabit aylık faiz oranı 0,008 olduğuna göre aylık taksitleri hesaplayınız. B(1+r) n = A [(1+r) n -1] /r A = 40000 x 0,008 (1,008) 180 / [(1,008) 180-1] 180 log 1,08 = 180 x 0,00346 = 0,62280 Antilog 0,62280 = 4,19564 A = 417,3 lira Örnek : Her ay başı 300 lira taksitle 20 yılda ödenmek koşulu ile kaç liralık borç alınabilir? Aylık faiz %0,8. B(1+r) n = A [(1+r) n -1](1+r)/r B (1+0,008) 20x12 = 300 [ (1,008) 20x12 1] (1,008)/0,008 B = 32.152 lira Örnek : 30,000 alınan bir borç ay sonlarında 400 lira taksitlerle ödenecektir. Aylık faiz 0,008 olduğuna göre, taksit sayısı ne olmalıdır? n = {loga log (A - Br)} / log(1+r) n = {log400 log (400-30000x0,008)} / log(1,008) n = {log400 log160} / log(1,008) n = (2,60206 2,20412) /0,00346 = 115,01 Taksit sayısı kesirli çıktığı için aşağıdaki çözümlerden biri uygulanır. i. n=115 alınır ve B=30000 lira borç biraz azaltılabilir. ii. n=115 alınır ve B=30000 sabit tutularak aylık taksit A=400 biraz büyültülür iii. n=116 alınır ve A=400 taksit ile B>30000 yeni borç hesaplanır. iv. n=116 alınır ve B=30000 lira borç sabit tutulur A<400 biraz küçük bir aylık taksit hesağlanır. v. n=115 alınır ve B=30000 sabit tutulur (uygulamada) başta veya sondaki taksit biraz eksik ödenir. IV-13

Örnek : Yıllık %10 faizle 5 yıl için 20000 lira borç alınıyor ve hemen başlamak üzere 5 yıl süre ile ay sonu ödemeli taksitler ödenecektir. Aylık faiz %0,5 olduğuna göre aylık taksit miktarlarını hesaplayınız. A = Br1 (1+r) n / [(1+r1) n 1-1] A = 20000x 0,005 (1,1) 5 / [(1,005) 60-1] x = 1,1 5 log x = 5 log 1,1 = 5 x 0,04139 = 0,20695 antilog x = 1,61044 x = 1,005 60 log x = 60 log 1,005 = 60 x 0,00217 = 0,13020 antilog x = 1,34959 A = 20000x0,005x1,61044/(1,34959-1)=100 x 161044/34959 = 460,7 lira aynı problemde borç faizi için aylık devreler ve faiz oranı aynı alınırsa taksit tutarı ne olur? A = B(1+r) n r / [(1+r) n -1] A = 20000x 0,005 (1,005) 60 / [(1,005) 60-1] 1,005 60 = 1,34959 A = 100 x 1,34959 / 1,34959 A = 386 lira IV-14

3.1.3. Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma Sabit devreli ve düzensiz değişken taksitli ödemelerle hesaplama yapmak için oluşacak sermaye her farklı devreye ait miktar ve dönem için ayrı ayrı hesaplamalar yapılarak bir araya getirilmek sureti ile işlemler yapılır. Burada sabit devreli düzenli değişken (aritmetik ve geometrik) taksitli ödemelerin sistematiği üzerinde durulmaktadır. 3.1.3.1. Düzenli değişken taksitler 3.1.3.1.1. Geometrik dizi şeklindeki taksitler u=1+r ve 1+q : geometrik artış/azalış oranı Devre başı ödemeli : 0 1 2 n-2 n-1 n Zaman A A(1+q) A(1+q) 2 A(1+q) n-2 A(1+q) n-1 A(1+r) n A(1+q)(1+r) n-1 A(1+q) 2 (1+r) n-2 A(1+q) n-2 (1+r) 2 A(1+q) n-1 (1+r) Ödeme devrelerinin toplamları da bir geometrik dizi oluşturur Cn = A(1+r) n + A(1+q)(1+r) n-1 + A(1+q) 2 (1+r) n-2 + + A(1+q) n-2 (1+r) 2 + A(1+q) n-1 (1+r) İlk terimi A(1+r) n ve ortak çarpanı (1+q)/(1+r) olan geometrik dizi toplamı Cn = a (u n 1)/(u 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan) Cn = A(1+r) n [(1+q) n /(1+r) n 1]/[(1+q)/(1+r) 1] Cn = A(1+r) n [ (1+q) n /(1+r) n - 1} x [(1+r)/(q-r)] Cn = A(1+r) n [ (1+q) n - (1+r) n ]/( 1+r) n x (1+r)/(q-r) Cn = A [ (1+q) n - (1+r) n ] x (1+r) /(q-r) Cn = A [ (1+r) n (1+q) n ] x [(1+r) /(r-q) (q>r ise) veya olur veya pay ve paydayı -1 ile çarpılırsa (r>q ise) IV-15

A = (Cn (q-r)/{[(1+q) n (1+r) n ] x (1+r)} A = (Cn (r-q)/{[(1+r) n (1+q) n ] x (1+r)} veya elde edilir. q=0 ise Cn = A (1+r) [(1+r) n - 1 ]/r olur q=r olur ise Cn = n A (1+r) n ve devre başı ödeme ile devre sonu ödeme arasındaki fark Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) dır. Devre sonu ödemeli : 0 1 2 n-2 n-1 n Zaman A A(1+q) A(1+q) n-3 A(1+q) n-2 A(1+q) n-1 A(1+r) n-1 A(1+q)(1+r) n-2 A(1+q) n-3 (1+r) 2 A(1+q) n-2 (1+r) A(1+q) n-1 Ödeme devrelerinin toplamları da bir geometrik dizi oluşturur Cn = A(1+r) n-1 +A(1+q)(1+r) n-2 + A(1+q) 2 (1+r) n-3 + + A(1+q) n-3 (1+r) 2 + A(1+q) n-2 (1+r)+ A(1+q) n-1 İlk terimi A(1+r) n-1 ve ortak çarpanı (1+q)/(1+r) olan geometrik dizi toplamı Cn = a (u n 1)/(u 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan) Cn = A(1+r) n-1 [(1+q) n /(1+r) n 1]/[(1+q)/(1+r) 1] Cn = A(1+r) n-1 [ (1+q) n /(1+r) n - 1} x [(1+r)/(q-r)] Cn = A(1+r) n-1 {[ (1+q) n - (1+r) n ]/( 1+r) n }x [(1+r)/(q- r)] Cn = A [ (1+q) n - (1+r) n ] / (q-r) Cn = A [ (1+r) n (1+q) n ] / (r-q) (q>r ise) olur veya pay ve paydayı -1 ile çarpılırsa (r>q ise) olur A = Cn (q-r)/[(1+q) n (1+r) n ] A = Cn (r-q)/[(1+r) n (1+q) n ] (q>r ise) elde edilir veya (r>q ise) IV-16

q=0 olursa Cn = A[ (1+r) n - 1 ]/ r q=r olursa Cn = 0/0 yani belirsiz çıkar. Taksitlerin artış oranı faiz oranına eşit olduğunda Cn = na(1+r) n-1 formülü kullanılır. q > 0 ise taksitler giderek artar, q < 0 ise taksitler zamanla giderek azalır. q=0 ise taksitler sabit kalır. Dizi tersinden yazılırsa, ilk terimi A(1+q) n-1 ve ortak çarpanı (1+r)/(1+q) olan geometrik dizi toplamı Cn = A(1+q) n-1 { [(1+r) n /(1+q) n 1] / [(1+r)/(1+q) 1] Cn = A [(1+r) n - (1+q) n ] / (r-q) Cn = A [(1+q) n - (1+r) n ] / (q-r) r>q ise, q>r ise, elde edilir. q=0 ise Cn = 0/0 belirsiz, q=r ise A = Cn (r-q)/[(1+r) n (1+q) n ] bulunur. Dizi toplamı, üzerinde (1+q) yerine (1+r) konursa (veya q=1 olursa) dizi toplamı Cn = A(1+r) n-1 + A(1+q)(1+r) n-2 + A(1+q) 2 (1+r) n-3 + + A(1+q) n-3 (1+r) 2 +A(1+q) n-2 (1+r) + A(1+q) n-1 dizisi Cn=A(1+r) n-1 + A(1+r) n-1 + + A(1+r) n-1 olur ve n adet terim eşit olduğundan Cn = n A (1+r) n-1 r>0 ise artan taksitler, r<0 ise azalan taksitleri r=0 ise sabit taksitler söz konusudur. IV-17

Örnek : Birinci taksidi 1000 lira ile başlayıp sonraki taksitler %4 artan ve yıl sonlarında yatırılan 20 taksit kaç lira olur? Yıllık faiz % 6,5. r=0,065 > q=0,04 Cn = A [ (1+r) n (1+q) n ] / (r-q) = 1000 [ 1,065 20 1,04 20 ] / (0,065 0,04) = 53.316 lira Örnek : İki aylık devreler halinde %2 oranında artan ve devre sonu ödenen taksitlerle 15 yılda 100.000 lira bir para toplamak için ilk taksit kaç lira olmalıdır? İki aylık faiz oranı %1,5. q=0,02>r=0,015 A = Cn (q-r)/[(1+q) n (1+r) n ] = 100000 (0,02-0,015)/(1,02 15x6 1,015 15x6 ) = 235,8 lira Örnek : İlk taksidi 1000 lira olan ve %3 oranı ile artan 4 aylık devre sonlarında yatırılarak 10 yıl sonunda kaç lira olur? 4 aylık devre faizi % 3. q=0,03 = r=0,03 Cn = n A (1+r) n-1 = (3x10) 1000 (1,03) 30-1 = 70.710 lira Örnek : İlk taksidi 100 lira olan birinden diğerine %1 artan ve aybaşlarında yatırılan taksitlerle 5. Yıl sonunda ne kadar para birikir. Aylık faiz %0,5 q=0,01 > r=0,005 Cn = A[(1+q) n (1+r) n ] (1+r) /(q-r) = 100 [1,01 12x5 1,005 12x5 ] 1,005/(0,01-0,005) = 9.382,7 lira Aylık faiz 0,01 olursa sonucu hesaplayın q=0,01 = r=0,01 Cn = n A (1+r) n-1 = (12x5) 100 (1,01) 12X5 = 10.898,4 lira Örnek : İlk taksidi 500 lira olup aybaşlarında yatırılan ve her taksitte %2 eksilen taksitlerle 15. Yıl sonunda kaç lira toplanır. Aylık faiz 0,006. q= - 0,02 < r=0,006 Cn = A [ (1+r) n (1+q) n ] x [(1+r) /(r-q) (r>q ise) Cn = 500 [1,006 12x15 (1-0,02) 12x15 ] 1,006/(0,006 + 0,02) IV-18

3.1.3.1.2. Aritmetik dizi şeklindeki taksitler Devre başı ödemeli : 0 1 2 n-2 n-1 n Zaman A A+b A+2b A+(n-2)b A+(n-1)n n A(1+r) n n-1 (A+b)(1+r) n-1 n-2 (A+2b)(1+r) n-2 2 [A+(n-2)b](1+r) 2 u = 1+r 1 [A+(n-1)b](1+r) b : ortak fark (pozitif veya negatif olabilir) ΣCn = Au n + (A+b)u n-1 + (A+2b)u n-2 + + [A+(n-2)b]u 2 + [A+(n-1)b]u uσcn = Au n+1 + (A+b)u n + (A+2b)u n-1 + + [A+(n-2)b]u 3 + [A+(n-1)b]u 2 parantezler açılırsa, -ΣCn = - {Au n + Au n-1 +bu n-1 + Au n-2 +2bu n-2 + + Au 2 +(n-2)bu 2 + Au+(n-1)bu } uσcn = Au n+1 + Au n +bu n + Au n-1 +2bu n-1 + + Au 3 +(n-2)bu 3 + Au 2 +(n-1)bu 2 ilk eşitliğin işareti değiştirilir ve her iki denklem toplanırsa, (u-1)σcn = Au n+1 -Au+ b(u n +u n-1 +u n-2 + + u 3 +u 2 +u)-nbu (u-1)σcn = Au(u n -1)+ b[u(u n -1)]/(u-1)-nbu u=1+r old için her iki taraf u-1 = r ile bölünürse ΣCn = Au(u n -1)/r+ b[u(u n -1)]/(r) 2 -nbu/r u-1=r old için u=1+r ve Cn yerine Cn kullanılırsa Cn = A(1+r)[(1+r) n -1)/r+ b(1+r)[(1+r) n -1]/r 2 -nb(r+1)/r Cn = { (1+r) [(1+r) n -1]/r } x [A + b/r] - nb(r+1)/r Devre sonu taksitler için; Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) olduğu için, Devre sonu ödemeli Cn = (1+r) {[(1+r) n -1]/r} x A (1+ b/r)(1+r) - nb (1+r)/r(1+r) Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r) n -1]/r} x A (1+ b/r) - nb/r IV-19

Devre sonu ödemeli : 0 1 2 n-2 n-1 n A A+b A+(n-3)b A+(n-2)b A(n-1)b A(1+r) n-1 u = 1+r b : ortak fark (pozitif veya negatif olabilir) n-1 (A+b)(1+r) n-2 n-2 (A+2b)(1+r) n-3 2 [A+(n-3)b](1+r) 2 1 [A+(n-2)b](1+r) [A+(n-1)b] ΣCn = Au n-1 + (A+b)u n-2 + (A+2b)u n-3 + + [A+(n-2)b]u + [A+(n-1)b] ΣCn = A {u n-1 + bu n-2 + 2bu n-3 + + (n-2)bu + (n-1)b} ΣCn = A {u n-1 + b[u n-2 + 2u n-3 + + (n-2)u + (n-1)]} Bu terimlerden A ayrılırsa ve her bir terim aşağıdaki gibi parçalara ayrılırsa, {u n-1 + b[u n-2 + 2u n-3 + + (n-2)u + (n-1)]} 0 u n-1 = 0 bu n-2 = bu n-2 2bu n-3 = bu n-3 + bu n-3......... (n-2)bu = bu + bu + + bu (n-1)bu 0 = bu 0 + bu 0 + + bu 0 + bu 0 elde edilir Sıfır olan ilk terim dışındakilerin aynı sıra numaralı olanları aşağıdan yukarı doğru birer geometrik dizi oluşturmaktadır. Burada (n-1) tane geometrik dizinin ilk terimleri bu 0 ve ortak çarpanı u olduğu görülür. Bu dizilerin toplamları yazılacak olursa, IV-20

S1 S2 = b(u n-1 1)/(u-1) = b(u n-2 1)/(u-1). S(n-2) = b(u 2 1)/(u-1) S(n-1) = b(u 1)/(u-1) Bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak Sn-1 + Sn-2 + + S1 = b(u-1)/(u-1) + b(u 2-1)/(u-1) + + b(u n-1-1)/(u-1) =b/(u-1) {(u-1) + (u 2-1) + + (u n-1-1)} =b/(u-1) {u + u 2 + + u n-1 -(n-1)} yazılırsa =b/(u-1) { u 0 + u + u 2 + + u n-1 } bn/(u-1) içerideki geo. dizi toplamı =b/(u-1) { u 0 (u n -1)/(u-1) } bn/(u-1) u=1+r yazılırsa yerine yazılırsa, =b/r {((1+r) n -1)/r } bn/r İlk işlemlere başlarken ayrılan A tekrar denkleme eklenirse Cn= [A + b/r ]{((1+r) n -1)/r } bn/r elde edilir. Devre sonu taksitler için; Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) olduğu için, Devre sonu ödemeli Cn = (1+r) {[(1+r) n -1]/r} x (A + b/r)(1+r) - nb (1+r)/r(1+r) Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r) n -1]/r} x (A + b/r) - nb/r 3.1.4. Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma Değişken devreli ve değişken (farklı) taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma hesaplamaları yapmak için oluşacak sermaye her farklı devreye ait dönem için ayrı ayrı hesaplanarak bir araya getirilerek işlemler yapılır. Bu nedenle burada değişken devreli ve eşit taksit ödemeli sermaye oluşturma yapısı üzerinde durulmaktadır. IV-21

Değişken devrede farklı faiz oranlı ve eşit taksitler Örnek : Bir kişi 10 yıllık süre ile her yıl sonunda 1000 lira ödemek koşulu ile bankaya para yatırıyor. İlk 3 yıl için%8, sonraki 4 yıl için %10,25, son 3 yıl için %9 faiz oranı ile a)yatırımın toplam değeri ne olur? b) Elde edilen faiz nedir? a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,08 0,1025 0,09 Cn = A{[(1+r1) n1-1]/r1} x (1+r2) n2 x (1+r3) n3 + A{[(1+r2) n2-1]/r2} x (1+r3) n3 + A{[(1+r3) n3-1]/r3} C10 = 1000{[(1,08) 4-1]/0,08} x (1,1025) 4 x (1,09) 3 + 1000{[(1,1025) 4-1]/0,1025} x (1,09) 3 + 1000{[(1,09) 3-1]/0,09} = 15.521,97 lira b) 15521,97 10.000 = 5.521,97 lira Örnek : 6 ayda bir 200 lira ödemeler ile 8.000 liralik bir fon oluşturmak için kaç ödeme yapmak gerekir, faiz %12 dir. Cn = A [ (1+r) n 1 ] / r 8000 = 200 [ (1+0,06] n -1 ]/0,06 n log(1,06) = log [ 0,06 x 8000 /200 + 1] n 1,06 = log 3,4 n = 0,531479/0,025306 n=21 dönem (10,5 yıl) veya Cn = X + A [ (1+r) n 1 ] / r 8000 = X + 200 [ (1+0,06] 21-1 ]/0,06 X = 1,45 lira son (21.) ödeme 201,45 liradır. IV-22

Örnek : altı ayda bir 500 liralık ödemel ile 5 yılda 6000 lira toplamak için faiz ne olmalıdır? Cn = A [ (1+r) n 1 ] / r 6000 = 500 [ (1+r/2] 10-1 ]/(r/2) k=6000/500 = 12 12 = [ (1+r/2] 10-1 ]/(r/2) 6r = [ (1+r/2] 10-1 ] 6r + 1 = (1+r/2] 10 Log (6r+1) = 10 log (1+r/2) Log (6r+1) / log (1+r/2) = 10 iterasyonları ile r= 0,05 için 0,113943 / 0,010724 r=0,06 için 0,122529/0,012837 = 10,40 r=0,07 için 0,152288/0,01494 = 10,19309 r=0,08 için 0,170262/0,017033 = 9,995792 r=0,079 için 0,168497/0,016824 = 10,01501 r=0,0798 için 0,169909/0,016992 = 9,999627 (en yakın sonuç) Örnek : 5 yıl süre ile her ay sonu 300 lira ödeme ile ve 3 aylık %6 faiz oranı ile biriken kapitali hesaplayınız. Bileşik faizdeki denk faiz oranı yarımı ile (1+r) 12 = (1+ 0,06/4) 4 r = 0,004975209 Cn = A [ (1+r) n 1 ] / r = 300 [ (1+ 0,004975209] 60 1] /0,004975209 = 20.915,01 lira IV-23

Özet Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma Devre başı ödemeli Cn = A [(1+r) n -1] (1+r)/r] A = Cn an (1+r) = Cn / {sn (1+r)} = Cn r / {[(1+r) n -1] (1+r)} n = { log[cn r + A (1+r)] loga log(1+r) } / log(l+r) Yardımcı fonksiyonlar an = [1-(1+r) -n ]/r sn = [(1+r) n -1]/r (1+r) n an = sn Devre sonu ödemeli Devre başı ödeme Cn = devre sonu ödeme Cn x (1+r) dir. İskontolu değer Cn = A [1-(1+r) -n ]/r veya Cn = A [(1+r) n - 1]/r} x [1+r] -n Sermaye oluşturma yaklaşımı ile sabit taksitli borcun taksitle ödenmesi Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile B = A [1 1/(1+r) n ] /r A = B(1+r) n r / [(1+r) n -1] n = {loga log (A-Br)} / log(1+r) Taksitler devre başında yatırılırsa B = A [1 1/(1+r) n ](1+r)/r A = B(1+r) n r / {[(1+r) n -1](1+r) } n = {loga + log(1+r) log [A(1+r)-Br]} / log(1+r) Sermaye oluşturma yaklaşımı ile değişken taksitli borç taksitleri, ayrı devre ve ayrı faiz oranı ile Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile B = A [(1+r1) n 1 1]/(1+r) n r1 A = B(1+r) n r1 / [(1+r1 ) n 1-1] n = { loga + log [ (1+r1) n 1-1] - log(r1 B) } / log(1+r) n1 = { log [ Br1 (1+r) n + A] loga } / log(1+r1) Taksitler devre başında yatırılırsa B = A [(1+r1) n 1 1] (1+r1) /(1+r) n r1 IV-24

A = B(1+r) n r1 / [(1+r1 ) n 1-1] (1+r1) n = { loga + log [(1+r1) n 1-1] log(r1 B) + log(1+r1)} / log(1+r) n1 = { log[ Br1 (1+r) n + A(1+r1)] loga log(1+r1) } / log(1+r) Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma Düzenli değişken taksitler, Geometrik dizi şeklinde değişken taksitler Devre başı ödemeli Cn = A {[ q n - (1+r) n ] x [(1+r)} /(q - r-1) veya Cn = A {[ (1+r) n q n ] x [(1+r)} /(r - q + 1) A = (Cn (q-r-1)/{[q n (1+r) n ] x (1+r)} veya A = (Cn (r-q+1)/{[(1+r) n q n ] x (1+r)}, Devre sonu ödemeli Cn = n A (1+r) n-1 Düzenli değişken taksitler, Aritmetik dizi şeklinde değişken taksitler Devre başı ödemeli Cn = { (1+r) [(1+r) n -1]/r } x [A + b/r] - nb(r+1)/r Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r) n -1]/r} x A (1+ b/r) - nb/r Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma Cn = A{[(1+r1) n1-1]/r1} x (1+r2) n2 x (1+r3) n3 + A{[(1+r2) n2-1]/r2} x (1+r3) n3 + A{[(1+r3) n3-1]/r3} IV-25