İlk yayın, 9 Temmuz 05 www.guven-kutay.ch YPI STTİĞİ Prof. Dr. P. arti Hiperstatik Sistemler -0- u dosyayı _00_Yapı Statiğine Giriş ve Özet dosyasıyla beraber incelerseniz daha iyi anlarsınız. Çevirenler:. Güven KUTY, uhammet ERDÖ En son durum: 9 Temmuz 05 u dosyalarda yalnız ders notlarının tercümesi verilmiştir. Daha geniş ve detaylı bilgi almanız için Prof. Dr. P. arti nin Statik kitabını öneririm. lmanca-deutsch İngilizce-English Prof. Dr. P. arti Peter arti austatik, Grundlagen- Stabtragwerke-Flächentragwerke Ernst & Sohn, erlin, 0 Peter arti Theory of Structures, Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells Ernst & Sohn, erlin, 0 Prof. Dr. sc. Peter arti 990 ile 0 senelerinde Zürich ETH da İnşaat Statiği ve Konstrüksiyonu Profesörü _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch
DİKKT: u çalışma iyi niyetle ve bugünün teknik imkanlarına göre yapılmıştır. u çalışmadaki bilgilerin yanlış kullanılmasından doğacak her türlü maddi ve manevi zarar için sorumluluk kullanana aittir. u çalışmadaki bilgileri kullananlara, kullandıkları yerdeki şartları iyi değerlendirip buradaki verilerin yeterli olup olmadığına karar vermeleri ve gerekirse daha detaylı hesap yapmaları önerilir. Eğer herhangi bir düzeltme, tamamlama veya bir arzunuz olursa, hiç çekinmeden bizimle temasa geçebilirsiniz. Statik dosyalarında kullandığımız terimlerin lmancadan Türkçe karşılığını, ne Türk Dil Kurumunda nede normal veya elektronik sözlüklerde bulamadık. Hedefimiz Türkçe bilen ve temel bilgisi az dahi olan kütleye basit olarak bilgileri aktarmak olduğu için, kendi mantığımıza göre okuyucunun anlayacağı, basit Türkçe terimler kullandık. yrıca -00 numaralı dosyada Türkçe-lmanca(-İngilizce-Fransızca) sözlük ile Kaynakları verdik. İsteyen oradan kullanılan Türkçe terimleri bulabilir. ilginiz ola!.. Terimlerin Türkçe karşılığı için büyük yardımı olan sayın uhammet ERDÖ e kendim ve dosyadan faydalanacakların adına çok teşekkür ederim. İ Ç İ N D E K İ E R. Kuvvet etodu..... Hiperstatik sistemlerde problemin Kuvvet etodu ile çözüm yolu..... Kuvvet etodunun örnekle detaylı anlatımı...... Sistemin hiperstatiklik derecesi "n" nin belirlenmesi...... Hiperstatik sisteme eşdeğer statik belirli bir sistemin kurulması...... Uyumluluk şartı uygulanıp bilinmeyen büyüklüklerin hesaplanması... 7... ranan değerlerin uyumluluk şartıyla hesaplanması... 8... Hakiki Hareket Durumu (HHD) işlemleri... 8... Virtüel Yükleme Durumu (VYD) işlemleri... 9... Uyumluluk Şartı... 9..5. Sistemin yatak ve kesit büyüklükleri ile dağılımları... 9..5.. Sistemde moment dağılımı ve diyagramı... 9..5.. Sistemde yatak kuvvetleri... 0..5.. Kiriş ortasındaki sehim "w m "... 0..5.. Yataklardaki eğim açısı.....5... yatağındaki eğim açısı α.....5... yatağındaki eğim açısı α..... Hiperstatik hacim sistemde kuvvet metodu... 5... Sistemin hiperstatiklik derecesi... 5... Sistemin statik belirli bir sisteme dönüştürülmesi, yedek kiriş... 5... Yay esnekliği "c f "...... 0 deformasyon değerinin hesabı... 7..5. deformasyon değerinin hesabı... 8... Uyumluluk Şartı... 9..7. Yatak ve kesit büyüklükleri... 9..7.. Yatak kuvvetleri... 0..7.. oment değeri ve dağılımı... 0.. Kuvvet metodunun özet olarak izlenecek çözüm yolu....5. Öneriler.... Konu İndeksi... _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Y a p ı S t a t i ğ i. Kuvvet etodu Kuvvet etodu hiperstatik sistemlerde reaksiyon ve elastik kesit kuvvetlerinin dağılımı inceleyen metotlardan biridir. urada basit bir örnekle Kuvvet etodunu anlatmaya çalışalım... Hiperstatik sistemlerde problemin Kuvvet etodu ile çözüm yolu. Sistemin hiperstatiklik derecesi "n" belirlenir: a) Sistemdeki belirsizlik yaratan büyüklüklerin sayısı. b) zaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesinin belirlenmesi.. Hiperstatik sisteme eşdeğer statik belirli bir sistem kurulur: u statik belirli sisteme "Temel Sistem (TS)" adı verilir. Temel Sistemin ana sistem ile eşdeğer olması için hiperstatiklik derecesi kadar virtüel değerler katılır. unlara "ilinmeyen üyüklükler ()" adı verilir ve X i ile gösterilir (i,,..., n).. Uyumluluk Şartı uygulanıp bilinmeyen büyüklükler hesaplanır: Temel sisteme virtüel değerler kattığımız için, hesapları virtüel iş prensibi ile yapmamız gerekir. unun temel ilkesi "Uyumluluk Şartıdır (UŞ)". ilinmeyen büyüklükler hesaplanır. u çözüm yolunu bir örnekle pekiştirelim... Kuvvet etodunun örnekle detaylı anlatımı z, w / / Şekil, Hiperstatik sistem x ilinenler: ir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli yataklanmış, tek yük etkisindeki kiriş. rananlar: ütün kesit değerleri. dayanağındaki moment, Kiriş ortasındaki sehim w w m, Dayanak kuvvetleri V, V, Dayanaklardaki eğim açısı α, α.... Sistemin hiperstatiklik derecesi "n" nin belirlenmesi Sistemin hiperstatiklik derecesi belirlenirken simetri, yüklerin sıralanması v.b. basit düşüncelerle sistemin Hiperstatiklik derecesi azaltılır. Genel olarak n 0 Sistem statik belirlidir. n > 0 Sistem "n" kadar hiperstatiktir. n < 0 Sistem olarak kullanılamaz. u bir mekanizmadır. Yukarıdada belirttiğimiz gibi hiperstatiklik derecesi iki metotla belirlenir: a) Sistemdeki belirsizlik yaratan bağlantıların sayısıyla bulunur. Sistemi statik belirli hale getirene kadar bilinçli olarak değiştirirken eklenen bilinmeyen büyüklükler "X i " nin sayısıyla bulunur. urada hiperstatik derecesini azaltma kriterleri ile bulalım. Örnek: Şekil ile gösterilen kirişin Serbest Cisim Diyagramını (SCD) çizelim ve sabit yatağı hareketsiz yatağa çevirelim ve bunun içinde yatağına bilinmeyen büyüklük X koyup, Şekil ve azaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesini hesaplayalım. h v v Şekil, Sistemin Serbest Cisim Diyagramını (SCD) urada ikinci metoduda görelim. ilinmeyenlerin sayısı:, h, V ve v ilinnen denge denklemlerinin sayısı (ΣF V 0 ; ΣF h 0 ; ΣΜ 0 ) n Sistemimiz. dereceden hiperstatik sistemdir. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r b) zaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesi bulunur. Düzlem kafes konstrüksiyonlarda azaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesinin belirlenmesi F ile gösterilmektedir (Kafes Kiriş dosyasına bakınız.): n r s k g F r Yatak veya dayanak reaksiyonları s Çubuk sayısı k Düğüm sayısı g afsal veya yan şartların sayısı (Şekil ) g g Şekil, afsal veya düğümlerde "g s" q p EI EI EI C Es EI EI EI X C X Es Şekil, Düzlem kafes konstrüksiyon Şekil 5, Sistemde azaltma kriterleri Şekil ile verilmiş olan sistemin azaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesinin belirlenmesi Şekil 5 ile aşağıda bulunmuştur. C yatağı reaksiyonu r Çubuk sayısı s Düğüm sayısı k afsal veya yan şartların sayısı g (bkz: Şekil. g daima çubuk sayısından eksiktir ) u değerleri F formülüne yerleştirirsek derecesini buluruz. Sistemimiz n derecede hiperstatikdir. n n Hacim kafes konstrüksiyonlarda azaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesinin belirlenmesi F ile yapılır: n r s k g F r s k g Yatak veya dayanak reaksiyonları Çubuk sayısı Düğüm sayısı afsal veya yan şartların sayısı C D Şekil, Hacim sistemde azaltma kriterleri Örnek olarak şu değerler kabul edilirse: urada ve D dayanağında koordinat eksenlerine göre üç yönde kuvvet ve üç eksene göre moment olacağından : r, s, k, g 0 dir. n.. 0 sistemimiz n kere hiperstatiktir. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Y a p ı S t a t i ğ i 5 İdeal düzlem kafes konstrüksiyonlarda azaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesinin belirlenmesi F ile yapılır: n r s k F r s k Yatak veya dayanak reaksiyonları Çubuk sayısı Düğüm sayısı (yatakdaki düğümler dahil) Şu değerlerle: h V V Şekil 7, İdeal düzlem kafes konstrüksiyon r, s 0, k ( V, h, V ) n 0. sistemimiz n kere hiperstatiktir. h 8 5 V 7 9 0 5 5 Şekil 8, İdeal düzlem kafes konstrüksiyon 5 7 8 0 7 5 9 8 8 9 7 V 0 h Şu değerlerle: r, s 8, k ( V, h, V, h ) n 8. 0 sistemimiz statik belirlidir, hiperstatik değildir. İdeal hacim kafes konstrüksiyonlarda azaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesinin belirlenmesi F ile yapılır: n r s k F r s k Yatak veya dayanak reaksiyonları Çubuk sayısı Düğüm sayısı (yatakdaki düğümler dahil) 5 5 8 7 7 5 0 8 F 8 9 7 Şu değerlerle: r, s 8, k 8 n 8.8 0 sistemimiz statik belirlidir, hiperstatik değildir. Şekil 9, İdeal hacim kafes konstrüksiyon Dikkat: ir sistemde n 0 olmasına rağmen dengesiz olabilir (Kısmi mekanizma). _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Örnek: H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r Genel bilgimize dayanarak sistemimizin niteliksel (niteliksel) eğilme deformasyonunun ve niteliksel eğilme momentinin dağılımını şematik olarak Şekil 0 ve Şekil ile gösterelim. DN Kapama çizgisi Şekil 0, Sistemde niteliksel eğilme deformasyonu Şekil, Sistemde niteliksel moment dağılımı... Hiperstatik sisteme eşdeğer statik belirli bir sistemin kurulması Sistemimiz "." dereceden hiperstatik sistem olduğundan eşdeğer statik belirli bir sistem, Temel sistemi seçmemiz gerekir. Temel sistemin seçimi için şu kriterlere dikkat edilmelidir: İlk önce sistemin içten veya dıştan hiperstatik olup olmadığına karar verilip dayanak reaksiyonlarının denge denklemleri ile bulunup bulunmayacağına karar verilmelidir. Genelde sistemler hem içten hemde dıştan hiperstatiktirler. Temel sistemin stabil olup olmadığına dikkat edilmelidir. Temel sistemdeki yüklemeler hiperstatik sistemdeki yüklemelerden pek farklı olmamalıdır. Temel sistem bilinmeyen büyüklüklerin sayısı minimum olacak şekilde seçilmelidir. Yani hesapları basitleştirmek için mümkün olduğu kadar az ij olmalıdır. ümkün olduğu kadar basit temel sistem seçilmeli ve simetriler ortadan kaldırılmamalıdır. Dikkat: lıştırma ve örneklerin hepsinde, özel olarak belirtilmedikce şu kabuller geçerlidir: Konstrüksiyonunda kullanılan kesit ve malzemenin konstrüksiyon boyunca aynı kaldığını ve bundan dolayıda E.J sabit olduğu kabul edilir. Yayılı yük q, q,... v.s her aralık için sabit kabul edilir. Yalnız eğilme momenti deformasyonu dikkate alınır, kesme kuvveti dikkate alınmaz. Örnek: TS X Şekil, Statik belirli temel sistemimiz Hakiki Hareket durumu HHD TS de Şekil ile sistemin Serbest Cisim Diyagramını çizdik. u statik belirli sistem Temel Sistemimizdir bunu Şekil ile gösterelim. Şimdi Hakiki Hareket Durumu HHD ile Virtüel Yükleme Durumunu VYD çizebiliriz. Virtüel Yükleme durumu VYD X TS de X 0 () / (X ) w 0() 0 w (X ) Şekil, Sistemimizde Hakiki Hareket ve Virtüel Yükleme durumları _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Y a p ı S t a t i ğ i... Uyumluluk şartı uygulanıp bilinmeyen büyüklüklerin hesaplanması Temel sisteme virtüel değerler kattığımız için, hesapları virtüel iş prensibi ile yapmamız gerekir. unun temel ilkesi "Uyumluluk Şartıdır (UŞ)". Genel olarak uyumluluk şartının denklemi F 5 ile gösterilmektedir. i0 n i i0 ij j 0 j X F 5 Hakiki hareket durumunun temel sisteminde dış zorlamalardan i noktasında, etki yönünde oluşan ve iş denklemiyle hesaplanan deformasyon ij Virtüel yükleme durumunun temel sisteminde, X j zorlamasından i noktasında, etki yönünde oluşan ve iş denklemiyle hesaplanan, deformasyon X j ilinmeyen büyüklük (j,,..., n) F 5 ile gösterilen uyumluluk şartının denklemini analiz edersek: i0 Hakiki hareket durumunun temel sisteminde dış zorlamalardan i noktasında, etki yönünde oluşan ve iş denklemiyle hesaplanan, deformasyonu şu şekilde formüle edebiliriz: N 0 dx N 0 0 i i dx... E i F i Virtüel yükleme durumunun momenti 0 Hakiki hareket durumunun momenti Eğilme rijitliği N i Virtüel yükleme durumunun normal kuvveti N 0 Hakiki hareket durumunun normal kuvveti E Esneme rijitliği ij Virtüel yükleme durumunun temel sisteminde, X j zorlamasından i noktasında, etki yönünde oluşan ve iş denklemiyle hesaplanan, deformasyon i j N i N j E X j ilinmeyen büyüklük (j,,..., n) Uyumluluk şartının matrisle gösterilmesi: j N j ij i dx Ni dx... F 7 E Virtüel yükleme durumunun momenti VYD de X j zorlamasından i noktasında oluşan momenti Eğilme rijitliği Virtüel yükleme durumunun normal kuvveti Virtüel yükleme durumunun X j den i noktasında oluşan normal kuvveti Esneme rijitliği X i0 j F 8 ij { } { } [ ] { } { 0} i i0 ij X j F 9 7 { X } [ ] { } j { i0 } Her yükleme durumu için yükleme vektörü (nx) { } ij Yumuşaklık matrisi (nxn) { X j } ilinmeyen büyüklük vektörü ij i0 F 0 _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
8 H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r... ranan değerlerin uyumluluk şartıyla hesaplanması Temel sistem analizi ile gerçekte aranan ve bilinen kesit değerleri bulunur. u işlemlere Hakiki Hareket Durumu (HHD) işlemleri denir. HHD nun yanı sıra virtüel değerlerin oluşturduğu virtüel kesit konstrüksiyonu yapılır ve HHD nda kabul edilen lerin yerinde ve aynı yönde virtüel kuvvet kabul edilip kesit değerleri hesaplanır. u işlemlere Virtüel Yükleme Durumu (VYD) işlemleri denir. u iki işlemle bulunan değerlerle hesaplar yapılarak bütün aranan değerler bulunur. Süperpozisyon ile hiperstatik sistemdeki değerler hesaplanır.... Hakiki Hareket Durumu (HHD) işlemleri Hakiki Hareket Durumu (HHD) nun temel sisteminde dış zorlamalardan oluşan büyüklükler; Reaksiyonlar, Kesitteki büyüklükleri, Deformasyonlar, örneğin; Sehim, v.b. aşağıda verilmiş olan F, F ve F formülleriyle hesaplanır. R 0, S 0, w 0 R j, S j, w j a) 0 deformasyon değerinin hesabı: n 0 R j X j j R R F n 0 Sj X j j S S F n 0 w j X j j w w F HHD nun temel sisteminde dış zorlamalardan oluşan büyüklükler VYD nun temel sisteminde X j den oluşan büyüklükler 0 değeri Hakiki hareket Durumunun temel sisteminde dış zorlamaların etkisiyle X in yerinde ve yönünde oluşan deformasyondur. x n 0 0 dx F x 0 F formülünün integral kısmını integral tablosundan alalım. İntegral tablolarının en iyilerinden biri Prof. Dr. Peter arti nin internetten indirilebilinen tablosudur ve şu yoldan ulaşabilirsiniz: www.ibk.ethz.ch/ma/education/bachelor/austatik inkine girip Vorlesungsunterlagen austatik grubunda Integrationstabelle yi tıklayınız. Eğer bu tabloyu bu linkte bulamazsanız (çünkü Prof. Dr. Peter arti emekli oldu) PDF olarak bu dosyada bulabilirsiniz. Hakiki Hareket ve Virtüel Yükleme durumunda diyagramların düzgün yapılması integral hesabının, integral tablosundan alınan değerlerle, çabuk ve doğru yapılmasını sağlar. İntegral tablosundan 0 İntegral katsayısı ; 0 ; ; İntegral boyu dir. u değerler F formülüne yerleştirilip 0 değeri hesaplanır. 0 ( ) 0 urada 0 :. indis "" VYD nda in yeri ve yönünü,. indis "0" HHD nda 0 dan oluşan değeridir. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Y a p ı S t a t i ğ i... Virtüel Yükleme Durumu (VYD) işlemleri b) deformasyon değerinin hesabı: değeri Virtüel Yükleme Durumunun temel sisteminde X in zorlamasıyla X in yerinde ve yönünde oluşan deformasyondur. xn dx F 5 x İntegral tablosundan 0 İntegral katsayısı İntegral boyu dir. u değerler F 5 formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır. ( ) ( ) 0 9 urada :. indis "" VYD nda in yeri ve yönünü,. indis "" VYD nda den oluşan değerdir.... Uyumluluk Şartı urada sistemde bir tek virtüel büyüklük X sıkışma momenti vardır ve uyumluluk şartı ile şu şekilde hesaplanır. Problemimizde uyumluluk şartı F 5 ile şu şekilde yazılır: 0 X 0 X 0 X öylece yatağına eklediğimiz bilinmeyen büyüklük X olarak bulunmuş olur. Şimdi sistemin kesit dağılımlarını çizebiliriz...5. Sistemin yatak ve kesit büyüklükleri ile dağılımları..5.. Sistemde moment dağılımı ve diyagramı urada önce X diyagrama çizilir. yatağında moment X / olur. yatağında moment sıfır olacağından yatağındaki moment yatağına bir doğru ile birleştirilir. u doğruya kapama çizgisi denir. kuvvetinin etkilediği noktada (Kapama çizgisinin orta noktasında) moment / kadardır. kz Şekil. (): DN Kapama çizgisi 5 Şekil, Sistemde moment dağılımı _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
0 H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r Kapama çizgisinin orta noktasından kirişe kadar momentin büyüklüğü, kiriş ortası üst momenti: mü Demek ki alt kısmında, kiriş ortası alt momenti: ma mü 5 ma..5.. Sistemde yatak kuvvetleri Sistemde moment dağılımını yaptıktan sonra yatak kuvvetlerini hesaplamak kolaylaşır. Önce yatağının kuvvetini hesaplayalım. Tutulan yol şöyledir: Sistemimizde noktasındaki momenti: V V uradan yatağının dik kuvveti bulunur. V V Denge denklemi: Σ F V 0 V V 0 uradan yatağının dik kuvveti bulunur. V 5 V öylece sistemin SCD ile V kuvvetinin dağılımı kolaylıkla çizilir, bkz Şekil 5. SKD: 5 / / 5 V(): Şekil 5, Sistemin SCD ı ve çapraz kuvvet dağılımı Sistemin kuvvet ve moment dağılımı bilindiğinde diğer büyüklükler virtüel iş prensibi ile kolayca hesaplanır...5.. Kiriş ortasındaki sehim "w m " Kiriş ortasındaki sehim "w m " yi hesaplamak için temel sistemi Hakiki Hareket Durumu olarak ve Virtüel Yükleme Durumunuda "w m " yi hesaplamak istenilen noktada ve yönde virtüel birim kuvveti F ile çizebiliriz, bkz Şekil. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
TS de : Hakiki Hareket durumu HHD Y a p ı S t a t i ğ i Virtüel Yükleme durumu VYD F TS de F : X wm (): C / / D D (F): E 5 E Şekil, Kiriş ortasındaki sehim "w m " için HHD ve VYD Kiriş ortasındaki sehim "w m " yi hesaplamak için Şekil ile verilen moment alanlarını iki şekilde değerlendirebiliriz.. Versiyon:. Terim CED çift üçgeni ile DE üçgeni. Terim DE üçgeni ile DE üçgeni.. Versiyon:. Terim C üçgeni ile E çift üçgeni. Terim CE çift üçgeni ile DE üçgeni.. Versiyon için kiriş ortasındaki sehim "w m " formülünü yazalım: / / w 0D dx 0D m D D dx 0 0 F.Terim D ( 0D 0DR ) İntegral katsayısı ; D ; 0D ; İntegral boyu / dir. u değerler.terimin formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır. 0 DR 5 R 5 8.Terim D 0D İntegral katsayısı ; D ; u değerler.terimin formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır. 5 0 D İntegral boyu / dir. 5 5 78 u değerler F formülüne yerleştirilip w m nin değeri hesaplanır. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r w m 5 8 78 w m 7 78. Versiyon için kiriş ortasındaki sehim "w m " formülünü yazalım: w 0 dx 0 m dx 0 0 F 7.Terim 0 İntegral katsayısı ; ; u değerler.terimin formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır. 0 ; İntegral boyu dir. 5.Terim 0 İntegral katsayısı ; ; u değerler.terimin formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır. 0 İntegral boyu dir. 8 u değerler F 7 formülüne yerleştirilip w m nin değeri hesaplanır. w m 9 5 8 78 78 w m 7 78 Sonuçlardan görüldüğü gibi iki yoldan da aynı sonuç alınır...5.. Yataklardaki eğim açısı..5... yatağındaki eğim açısı α yatağındaki eğim açısı temel kurallara göre sıfırdır. α 0...5... yatağındaki eğim açısı α Hakiki Hareket durumu TS ve () olarak aynen alınır ve Virtüel Yükleme durumu TS de eğim açısının arandığı yerde ve yönde birim momenti ile işlenir, bkz Şekil 7. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Y a p ı S t a t i ğ i Hakiki Hareket durumu HHD Virtüel Yükleme durumu VYD TS de : X α 0 α TS de : (): C / / D E 5 D E / F (): Şekil 7, Yataklardaki eğim açısı için HHD ve VYD Görüldüğü gibi yatağındaki eğim açısı α hesaplamak için Şekil 7 ile verilen moment alanlarını iki şekilde değerlendirebiliriz.. Versiyon da :. Terim C üçgeni ile DE üçgeni. Terim DE üçgeni ile DEF yamuğu.. Versiyon da :. Terim C üçgeni ile F çift üçgeni. Terim CE çift üçgeni ile F üçgeni.. Versiyon için yatağındaki eğim açısı α formülünü yazalım: / / α 0D dx 0D D D dx 0 0 F 8.Terim D ( 0D 0DR ) İntegral katsayısı ; D ; 0D ; İntegral boyu / dir. u değerler.terimin formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır. 0 DR 5 R 5.Terim 0D ( D DR ) İntegral katsayısı 5 ; 0 D ; D ; DR İntegral boyu / dir. u değerler.terimin formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır. 5 9 R 5 9 u değerler F 8 formülüne yerleştirilip w m nin değeri hesaplanır. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r 5 α 9 9 α. Versiyon için yatağındaki eğim açısı α formülünü yazalım: α 0 dx 0 dx 0 0 F 9.Terim 0 İntegral katsayısı ; ; 0 İntegral boyu dir. u değerler.terimin formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır..terim 0 5 İntegral katsayısı ; 0 D ; ; İntegral boyu dir. u değerler.terimin formülüne yerleştirilip değeri hesaplanır. 5 5 9 u değerler F 9 formülüne yerleştirilip w m nin değeri hesaplanır. 5 α 9 α Sonuçlardan görüldüğü gibi buradada iki yoldan da aynı sonuç alınır. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Y a p ı S t a t i ğ i 5.. Hiperstatik hacim sistemde kuvvet metodu Şekil 8 ile şekli ve ölçüleri gösterilen sistemde, sabit yayılı yük q nun oluşturduğu moment dağılımını çizimini ve hesabı yapınız. CD çubuğu kendi ekseni etrafında dönebilir. y z x q D C... Sistemin hiperstatiklik derecesi Şekil 8, Hacim sistemi Şekil 8 ile gösterilen kirişin azaltma kriterleri ile hiperstatiklik derecesini F ile belirleyelim. n r s k g Reaksiyonlar: x, y, z, x, y, z, C x, C y, C z ve D z r 0, Çubuk sayısı:, C, D s, Düğüm sayısı:,, C, D k, afsal sayısı: Yok g 0 n 0 0 Sistemimizde simetriden dolayı z x 0 ve C x 0 olduğundan, Reaksiyonlar: y, x, y, z, C y, C z ve D z r 7, Çubuk sayısı:, C, D s, Düğüm sayısı:,, C, D k, afsal sayısı: Yok g 0 n 7 0 sistem n olur. urada yatak veya dayanak reaksiyonları sayısı simetriden dolayı 7 ve denge denklemlerinin sayısı olduğuna göre sistemimizin hiperstatiklik derecesi: n 7 sistem n olur. Genel bilgimize dayanarak sistemimizin niteliksel eğilme deformasyonunun ve niteliksel eğilme momentinin dağılımını şematik olarak Şekil 9 ve Şekil 0 ile gösterelim. kirişi CD kirişine elastik olarak yay esnekliği c f ile bağlıdır. q D C Şekil 9, Sistemde niteliksel eğilme deformasyonu Şekil 0, Sistemde niteliksel moment dağılımı... Sistemin statik belirli bir sisteme dönüştürülmesi, yedek kiriş urada çubuğu dolaylı olarak CD çubuğunun noktasında yay esnekliği "c f " ile elastik yay ile yataklanmış durumdadır. u düşünce bize problemin bir tarafı rijit diğer tarafı yaylı yataklanmış sistem olarak düşünmemiz gerektiğini gösterir, bkz Şekil. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r w (-) X D (c f) c f (-) X X w (C-D) C Şekil, ir tarafı rijit diğer tarafı yaylı kiriş... Yay esnekliği "c f " Yay esnekliği "c f " yi problemimiz için hesaplayalım. Genel mekanikten hatırlayacağımıza göre; elastik yay esnekliği ile elastik yay rijitliği arasında şu bağıntı vardır. R N/m Yay rijitliği c f m/n Yay esnekliği R F 0 c f ir tarafı rijit diğer tarafı yaylı kirişini yedek kiriş olarak ele alalım. q c f? Şekil, ir tarafı rijit diğer tarafı yaylı yedek kiriş Çeşitli durumlarda yay esnekliği Şekil ile görülmektedir. asma veya Çekme yayları Kangal veya spiral yaylar a) c f [m/n] irim kuvvette yaylanma d) c f [rad/nm] irim momentte dönme b) c f 0 e) c f 0 c) c f f) c f Şekil, Yataklamada yayın etkisi _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Yay esnekliği c f Y a p ı S t a t i ğ i Yay deformasyonu Yay kuvveti f F m N irim kuvveti için yay esnekliği c f f f olur, f birim kuvvetinden oluşan deformasyondur. Yay esnekliği "c f " yi problemimizde hesaplamak için birim kuvveti F etkisindeki CD klasik basit kirişi ele alalım ve hesabımızı yapalım, bkz Şekil. Hakiki Hareket durumunda moment / olarak gösterilmiştir. Hakikatte F/ dir. F kabul edildiğinden moment / yazılmıştır. Hakiki Hareket durumu HHD Virtüel Yükleme durumu VYD 7 TS C F F D C D TS 0 / / Şekil, c f için Hakiki Hareket ve Virtüel Yükleme Durumu Sistemimizde yaylanma (deformasyon) formülü F ile gösterildiği gibidir. İntegral tablosundan 0 İntegral katsayısı ; ; xn f 0 dx F x 0 İntegral boyu dir. Yukarıdaki F formülünde değerler yerleştirilip f değeri hesaplanır. f c f f EI... 0 deformasyon değerinin hesabı 0 değeri Hakiki hareket Durumunun temel sisteminde dış zorlamaların etkisiyle X in yerinde ve yönünde oluşan deformasyondur. Şekil ile bir tarafı rijit diğer tarafı yaylı kirişimizi tekrar ele alalım ve HHD ile VYD yi çizelim: q c f? Şekil, ir tarafı rijit diğer tarafı yaylı kiriş _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
8 H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r urada dikkat edilecek husus düşünce ve durum diyagramlarında yayın dikkate alınmasıdır. Hiçbir zaman diyagram ve hesaplar yaysız yapılamaz. urada unutmamak için tekrarlayalım 0 : Hakiki Hareket durumu HHD. indis "" VYD nda in yeri ve yönünü,. indis "0" HHD nda 0 dan oluşan değeridir. Virtüel Yükleme durumu VYD TS q TS 0 (q) q X (X ) w w (q) (X ) 0 0 Şekil 5, Hakiki Hareket ve Virtüel Yükleme Durumu Şekil 5 ile görülen 0, HHD nda TS de X in yerinde () ve yönünde yayılı yük q dan oluşan kayma değeridir ve şu şekilde hesaplanır.. Terim İntegral tablosundan 0 İntegral katsayısı 0 0 dx F F0 cf 0 ; ; F q İntegral boyu dir. 0.Terim formülünde değerler yerleştirilip. Terimin değeri hesaplanır. q.terim q 8.Terimde Şekil 5 ile görüldüğü gibi F 0 değeri sıfırdır ve böylece.terimin değeri sıfır olur. öylece 0 nun değeri: q 0.Terim.Terim 0 8..5. deformasyon değerinin hesabı 0 q 8 değeri Virtüel Yükleme Durumunun temel sisteminde X in zorlamasıyla X in yerinde ve yönünde oluşan deformasyondur. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Y a p ı S t a t i ğ i 9 Şekil 5 ile görülen, VYD ndaki TS de X in () yerinde ve yönünde X den oluşan kayma değeridir ve F ile hesaplanır. dx F F cf 0. Terim İntegral tablosundan İntegral katsayısı ; ; İntegral boyu dir..terim formülünde değerler yerleştirilip. Terimin değeri hesaplanır..terim.terimde Şekil 5 ile görüldüğü gibi F dir ve. Terimin değeri:.terim Yukarıdaki F formülüne değerler yerleştirilip değeri hesaplanır. F urada unutmamak için tekrarlayalım :. indis "" VYD nda in yeri ve yönünü,. indis "" VYD nda den oluşan değerdir.... Uyumluluk Şartı urada sistemde bir tek virtüel büyüklük X vardır ve uyumluluk şartı ile X değeri, noktasındaki kuvvettir, şu şekilde hesaplanır: 0 X 0 X 0 q EI X 8EI q X F X q..7. Yatak ve kesit büyüklükleri F kuvveti bilindiğinde yatak ve kesit büyüklükleri kolayca hesaplanır. q q F F Şekil, kirişi Şekil 7, Yedek kirişi _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
0 H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r..7.. Yatak kuvvetleri F z 0 q F F 0..7.. oment değeri ve dağılımı q F q F q oment değeri süperpoziyonla veya klasik hesapla bulunur. Süperpoziyonla hesaplama: Süperpoziyonla hesaplama demek uyumluluk şartının aranan büyüklüğe uygulanmasıdır. q q 0 X Klasik yöntemle hesaplama: q F q q q q F q q q q 0 q q 8 Şekil 8, kirişinde moment dağılımı Tüm sistemde moment dağılımı: D q F ise FC FD q (C D) FC 8 (C D) q 8 q 8 q q 8 C q 8 (C-D) değeri aynı zamanda (C D) X kadardır. Şekil 9, Tüm sistemde moment Hesapları C-D kirişi sonsuz rijit olarak kabul edildiğinde (yedek kiriş için rijit yadak olsaydı) hesaplamalar sonucu: olarak bulunacaktı. q q X > 8 Virtüel olarak kabul edilen yay yumuşak yataklamayı gösterir. _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
Y a p ı S t a t i ğ i.. Kuvvet metodunun özet olarak izlenecek çözüm yolu Kuvvet metodunu kullanacağımız n kere Hiperstatik sistemde izlenecek çözüm yolunu bir örnekle şöyle özetleyebiliriz:. Hiperstatik sistem, statik belirli bir temel sistem olana kadar, yeterince mafsal ve bilinmeyen büyüklükler ilave edilir. X i (i,,...,n) q l q C X 0 (q) q /8 l q /8 X (X ). Uyum şartı uygulanır.. Deformasyonları hesaplanır. Şekil 0, Sistem ve X 0 X 0 0 0 dx 0 0 dx 0 0 q q ( ) ( ) 0 8 8 X 0 dx 0 ( ) ( ).5. Öneriler a) Sistemin içten veya dıştan hiperstatik olduğu belirlenmelidir. Duruma göre, yatak reaksiyonlarının veya iç kuvvetlerin denge formülleriyle belirlenebilirliği kontrol edilmelidir. Genelde sistemler hem içten hemde dıştan belirsizdirler. b) Dikkat edilecek en önemli husus, temel sistemlerin dengeli olmalarıdır. c) Temel sistemleri seçerken ij deformasyonlarının mümkün olduğu kadar az olmasına dikkat edilmelidir. d) Denge şartı matrisinin kurulması; urada { } [ ] { X } 0 { X } [ ] { } i0 ij { i0 } Zorlama vektörü (n ), her zorlama hali için bir zorlama vektörü, [ ij] Fleksibilite (bükülgenlik) matrisi ( n x n ) simetrik, { } j X üzumsuz büyüklüğün vektörü (n ). e) i0 ve ij deformasyonlarının iş denklemleriyle hesaplanması. j j ij i0 _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05
H i p e r s t a t i k S i s t e m l e r. Konu İndeksi ilinmeyen üyüklükler... H Hakiki Hareket Durumu HHD... Hiperstatiklik derecesi..., K Kapama çizgisi... 9 Kuvvet etodu... mekanizma... S Süperpoziyon...0 T Temel Sistem TS...9 U Uyumluluk Şartı UŞ... V Virtüel Yükleme Durumu VYD...9 _0 hiperstatik-sistemler www.guven-kutay.ch 9 Temmuz 05