0SINIF MATEMATİK Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar
YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin... M. Kemal Atatürk. BASKI Ağustos 08 İLETİŞİM Ostim Mah. 07 Sokak No: /C D Ostim / Ankara Tel: 0 95 6 Fax: 0 94 0 04 www.yaricap.com yaricapyayinlari@gmail.com twitter.com/yaricapp facebook.com/yaricapyayinlari instagram.com/yaricapyayinlari Bu kitabın her hakkı Yarıçap Yayınlarına aittir. 5846 ve 96 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Yarıçap Yayınlarının yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.
SUNU Sevgili Gençler, Matematik ve geometri hem okul derslerinde hem de üniversiteye giriş sınavlarına hazırlıkta en önemli yere sahiptir. Yarıçap Yayınları olarak eğitim - öğretim hayatınızda bu derslerle ilgili sorunlarınızı temelden çözebilmeniz için TAMAMI VİDEO ANLATIMLI olan kitaplarımızı sizlere sunuyoruz. Yarıçap Yayınları matematik ve geometri fasikülleri konuları en temelden kavramanızı ve öğrendiklerinizi pekiştirebilmenizi sağlamak amacıyla birbirini bütünleyen BİLGİ - BİRLİKTE ÇÖZELİM - SIRA SİZDE - ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM - KONU TESTİ olmak üzere 5 bölümden oluşmaktadır. BİLGİ bölümünde kazanımlarla ilgili açıklayıcı ve öğretici bilgiler verilmiştir. BİRLİKTE ÇÖZELİM bölümleri BİLGİ ile ilişkilendirilmiş örneklerin bulunduğu alandır. SIRA SİZDE bölümlerinde konuyu kavramayı ve pekiştirmeyi sağlayacak sorular verilmiştir. ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM bölümünde açık uçlu sorular aracılığıyla öğrendiklerinizin daha sağlam hâle getirilmesi amaçlanmıştır. KONU TESTİ bölümlerinde konuyla ilgili çoktan seçmeli sorular verilmiştir. Başlamak, başarmanın yarısıdır. sloganıyla çıktığımz yolculukta sizlere başarılar dileriz. Oğuz GÜMÜŞ Devrim ÖZATA Seçkin KARAASLAN
İÇİNDEKİLER BÖLÜM : Sayma ve Olasılık... 5 Sayma, Permütasyon... 6 Tekrarlı Permütasyon... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... Kombinasyon... 4 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 8 Binom Açılımı... 0 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 4 Basit Olayların Olasılıkları... 5 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4... 9 Konu Testi,... BÖLÜM : Fonksiyonlar... 5 Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi... 6 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 40 Fonksiyonlarda Değer Bulma... 4 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 44 Fonksiyon Türleri... 45 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 48 Sabit Fonksiyon... 49 Birim Fonksiyon... 50 Doğrusal Fonksiyon... 5 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4... 5 Parçalı Tanımlı Fonksiyon... 5 Tek ve Çift Fonksiyonlar... 54 Fonksiyonlarda Dört İşlem... 55 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 5... 56 Fonksiyon Grafiği... 57 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 6... 6 Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi... 6 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 7... 64 Ters Fonksiyon... 65 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 8... 7 Konu Testi,... 74 Cevap Anahtarı... 78
SAYMA VE OLASILIK BÖLÜM
Sayma ve Olasılık SAYMA, PERMÜTASYON (SIRALAMA) Toplama Yolu ile Sayma A ve B sonlu ayrık olaylar olmak üzere, bu olaylardan A olayı a farklı şekilde B olayı b farklı şekilde BİLGİ gerçekleşebiliyorsa A veya B olayları a + b farklı şekilde gerçekleşir. SIRA SİZDE -. şort ve 4 gömlek arasından bir şort veya bir gömlek kaç farklı biçimde seçilebilir? BİRLİKTE ÇÖZELİM. 4 pantolon ve 7 gömlek arasından bir pantolon veya bir gömlek kaç farklı şekilde seçilebilir?. Bir sınıftaki erkek ve kız öğrenci arasından bir erkek veya bir kız öğrenci kaç farklı biçimde seçilebilir? 4 pantolondan biri 4 farklı şekilde 7 gömlekten biri 7 farklı şekilde seçileceği için, bir pantolon veya bir gömlek 7 + 4 = farklı şekilde seçilebilir.. Bir sınıfta kız ve 9 erkek ögrenci bulunmaktadır. Buna göre, bu sınıftan bir sınıf başkanı kaç farklı biçimde seçilebilir? Sınıf başkanı kız öğrenci veya erkek öğrenci olabileceği için, + 9 = farklı biçimde seçilebilir.. Bir lokantada 4 çeşit çorba ve 7 çeşit salata bulunmaktadır. Bu lokantaya gelen bir kişi bir çorba veya bir salatayı kaç farklı şekilde seçebilir? SAYMA VE OLASILIK 6
Çarpım Yolu İle Sayma - Herhangi ikisi ayrık olan olaylardan. olay a farklı şekilde. olay a farklı şekilde. n. olay a n farklı şekilde gerçekleşiyorsa, bu olaylar birlikte a a a... a n farklı şekilde gerçekleşir. a ve a olayları a a farklı şekilde gerçekleşir. BİLGİ SIRA SİZDE -. Birbirinden farklı kahve ve 5 pasta arasından bir kahve ve bir pasta kaç farklı biçimde seçilebilir? BİRLİKTE ÇÖZELİM. Birbirinden farklı gömlek ve 4 pantolon arasından bir pantolon ve bir gömlek kaç farklı şekilde giyilebilir?. Birbirinden farklı 5 Fizik ve 6 Matematik kitabı arasından bir Matematik kitabı ve bir Fizik kitabı kaç farklı biçimde seçilebilir? gömlekten biri farklı biçimde, 4 pantolondan biri 4 farklı biçimde seçilebileceği için pantolon ve gömlek,. 4 = farklı biçimde giyilebilir. Ya da gömlekler G, G, G ve pantolonlar P, P, P, P 4 olursa giyim şekilleri G P, G P, G P. G P 4 G P, G P, G P. G P 4 G P, G P, G P. G P 4 olmak üzere farklıdır.. A B C. A B C A şehrinden B şehrine farklı, B şehrinden C şehrine farklı yol vardır. Buna göre, A şehrinden C şehrine kaç farklı biçimde gidilebilir? A şehrinden B şehrine farklı, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol vardır. Buna göre, A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidilebilir? A B C AB AB_ olmak üzere b AB AB`. = 6 farklı yoldan AB ABb a gidilebilir. 7 sayma ve olasılık
Çarpma Yolu İle Sayma - BİLGİ Belli sayıdaki rakamı kullanarak oluşturabilecek rakamları farklı ya da rakamları tekrar eden sayıların kaç tane olduğunu bulmak için de çarpma yolu ile sayma kullanılabilir.. A = {,,, 4, 5} SIRA SİZDE - kümesinin elemanları ile 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir? BİRLİKTE ÇÖZELİM. A = {,,, 4, 5, 6} Kümesinin elemanları ile basamaklı a) Kaç sayı yazılabilir? Kümede 6 rakam olduğu için üç basamaklı 6 6 6. A = {,,, 4, 5} kümesinin elemanları ile rakamları farklı 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir? Yüzler Onlar Birler 6. 6. 6 = 6 sayı yazılabilir. b) Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? Yüzler basamağı için 6 rakam, 6 rakamdan birini kullandığımız için onlar basamağı için 5 rakam ve aynı şekilde birler basamağı için 4 rakam vardır. 6 5 4 Yüzler Onlar Birler 6. 5. 4 = 0 sayı yazılabilir.. A = {0,,, 5}. A = {0,,,, 4} kümesinin elemanları ile rakamları farklı 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir? kümesinin elemanları ile basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? Yüzler basamağına 0 yazılamayacağı için durum vardır. Onlar basamağına 0 da yazılabileceği için yine durum olur. Birler basamağı için durum kalır. Yüzler Onlar Birler.. = 8 sayı yazılabilir. sayma ve olasılık 8
Faktöriyel BİLGİ. 7! 6! SIRA SİZDE - 4 n! = n. (n ). (n )..... n! = n. (n )! = n (n ). (n )! işleminin sonucu kaçtır? 0! =! =.. = 6! = 4! = 4... = 4! = 5! = 5. 4... = 0.! + 0! +!! işleminin sonucu kaçtır? BİRLİKTE ÇÖZELİM. Aşağıda verilen ifadelerin eşitlerini bulunuz. a)! + 4! 6 + 4 = 0 b) 4!.! 4. 6 = 44. n! = 6 ( n - )! olduğuna göre, n kaçtır? c) 4!! 4 6 = 8 d) 4!! 4.! = 4! 4. n! = 5 ( n - )!. n! = ( n - )! olduğuna göre, n kaçtır? olduğuna göre, n kaçtır? n! = n. (n )! olduğu için n.( n- )! = n = olur. ( n - )! 9 sayma ve olasılık
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM. 5 gömlek ve 4 pantolon arasından bir gömlek veya bir pantolan kaç farklı biçimde seçilebilir? 5. A = {,,, 4, 5} kümesinin elemanları ile rakamları farklı 5 ile bölünebilen 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir?. Bir sınıfta bulunan kız ve 7 erkek öğrenci arasından kız veya erkek öğrenci kaç farklı biçimde seçilebilir? 6. 4! + 5! işleminin sonucu kaçtır?. A = {,,, 4} 7. 0!. 4!!.! kümesinin elemanları ile basamaklı kaç sayı yazılabilir? işleminin sonucu kaçtır? 4. A = {0,,,, 4} 8. ( n+ )! = 5 n! kümesinin elamanları ile basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? olduğuna göre n kaçtır? sayma ve olasılık
Kombinasyon ve Alt Küme BİLGİ Kombinasyonun tanımından da anlaşılabileceği üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı C(n, r) ile bulunur.. A = {,,, 4} SIRA SİZDE - 8 kümesinin elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? Hatırlatma n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı n dir. 4 elemanlı A = {a, b, c, d} kümesinin; 4 0 elemanlı (boş küme) c m = alt kümesi, 0 4 elemanlı {a}, {b}, {c}, {d} olmak üzere c m = 4 alt kümesi elemanlı {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} 4 olmak üzere c m = 6 alt kümesi, elemanlı {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} olmak 4 üzere, c m = 4 alt kümesi, 4 4 elemanlı {a, b, c, d} olmak üzere c m = alt kümesi vardır. 4 4 4 4 4 4 c m+ c m+ c m+ c m+ c m= 4 olur. 0 4. 7 elemanlı bir kümenin elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? BİRLİKTE ÇÖZELİM. 4 elemanlı bir kümenin en çok elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?. A = {b, j, k, ş} kümesinin elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 4 4! c m= = 6 olur.!.!. A = {m, n, p, t} kümesinin en çok elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 4. 4 elemanlı bir kümenin en az elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 4 4 4 c m+ c m+ c m= + 4+ 6 = olur. 0 5 sayma ve olasılık
BİLGİ Kombinasyonun Geometri Uygulamaları Herhangi üçü doğrusal olmayan n noktadan en n çok c m tane doğru geçer. Herhangi üçü doğrusal olmayan n nokta ile en n çok c m tane üçgen çizilebilir. n tane paralel doğru ile bu doğruları kesen m tane paralel doğru n m c m. c m tane paralelkenar oluşturur. SIRA SİZDE - 0. Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktadan kaç tane doğru geçer?. Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 nokta kaç tane üçgen çizilebilir? BİRLİKTE ÇÖZELİM. Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 noktadan kaç tane doğru geçer? 7 c m 7 7! 7. 6. 5! c m= = = 5!.! 5!.. L A B C D Köşeleri şekilde verilen çember üzerindeki noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?. Şekilde birbirine paralel olan iki ayrı grup ikişer ve dörder adet doğru verilmiştir. K E F 8 8! 8. 7. 6. 5! c m= = = 56 5!.! 5!.! Bu doğrular ile kaç farklı paralelkenar oluşturulabilir?. Yandaki şekilde birbirine paralel olan iki ayrı grup beşer ve dörder adet doğru verilmiştir. Buna göre, bu doğrular kaç farklı paralelkenar oluşturur? 5 4 5! 4! c mc m =. = 60!.!!.! 7 sayma ve olasılık
BİLGİ SIRA SİZDE - Binom Açılımı - Paskal Üçgeninin elemanları katsayılar olmak üzere (x + y) 0 = (x + y) = x + y (x + y) = x + xy + y (x + y) = x + x y + xy + y açılımları oluşur. Paskal Üçgenindeki sayılar kombinasyon ile bulunur. 0 0. (x y) ifadesinin açılımını yapınız.. (a + b) ifadesinin açılımını yapınız. 0. (x + y) ifadesinin açılımını yapınız. BİRLİKTE ÇÖZELİM. (m n) ifadesininin açılımını yapınız. x x y c m + c m ^ h + c m^ yh 0 = x + 4xy+ 4y 4. (t k) ifadesinin açılımını yapınız.. (x y) ifadesinin açılımını yapınız. ( x) ( x) ( y) ( c m + c m + c m x) ( y) + c m( y) 0 = 8x x y+ 6xy y sayma ve olasılık 0
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM. a 4 6 b 5. (5x y) 7 =... + Mx m.y 4 +... olduğuna göre m kaçtır? Yukarıda verilen Paskal üçgenine göre a + b toplamı kaçtır? 6. (x 4y) 4. (x y) ifadesinin açılımını yapınız. ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan. terim nedir?. (5x y) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? 4 7. cx - m x ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? 7 4. c7x - 4x m 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 4 8. cx - m x ifadesinin açılımındaki x li terimin katsayısı kaçtır? sayma ve olasılık 4
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM 4. İki madeni paranın atılma deneyinde iki paranın da yazı olma olayı kaç elemanlıdır? 5. Bir sporcunun bir yarışı kazanma olasılığı olduğuna göre, kazanamama olasılığı kaçtır?. İki madeni para atıldığında ikisinin de yazı gelme olasılığı kaçtır? 6. Bir kutunun içinde 5 yeşil siyah top vardır. Kutunun içinden seçilen bir topun siyah olma olasılığı kaçtır?. Bir zar atıldığında üste gelen sayıının tek sayı olma olayı kaç elemanlıdır? 7. İki zar atıldığında üste gelen sayıların toplamının en az olma olasılığı kaçtır? 4. 7 8. A ve B ayrık olaylar olmak üzere, PA ( ') = ve 8 PA (, B) = olduğuna göre, P(B) kaçtır? 4 A B C Yukarıda birbirine eş dilimlere ayrılmış ve eşit büyüklükte tane çark verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. A çarkında mavi gelme olasılığı tür. II. B çarkında kırmızı gelme olasılığı 4 tür. III. C çarkında mor gelme olasılığı 6 dır. IV. Mavi gelme olasılığının en az olduğu çark B çarkıdır. 9 sayma ve olasılık
9. Emre üzerinde, 9, 0, rakamları bulunan çarkı iki kere çevirerek bir oyun oynuyor.. 5 gül, 6 karanfil ve 7 zambaktan oluşan bir çiçek demetinden çekilen bir çiçeğin gül olma olasılığı kaçtır? 9 0 Aşağıdaki tabloda iki çevirme sonucu elde edilen toplam sayılar verilmiştir.. ÇEVİRME. ÇEVİRME 9 0 0 4 9 0 8 9 0 9 0 4 6 4. A ve B ayrık olaylar olmak üzere, PB ( ) = ve PA (, B) = olduğuna göre, P(A) kaçtır? 5 Buna göre, Emre nin iki çevirme sonunda toplamda en az 9 elde etme olasılığı kaçtır? 0. 5. Üç madeni para atıldığında üçünün de tura gelme olasılığı kaçtır? Yukarıdaki çark döndürüldüğünde kırmızı gelmeme olasılığı kaçtır?. Bir yüzü siyah, iki yüzü kırmızı ve diğer yüzleri beyaz olan bir zar atıldığında, üst yüze gelen rengin beyaz olma olasılığı kaçtır?. den 0 ye kadar olan sayılar ( ve 0 dahil) kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor. 6. İki zar atıldığında üste gelen sayıların toplamının en çok 4 olma olasılığı kaçtır? Seçilen bir kartın üzerinde asal sayı yazma olasılığı kaçtır? sayma ve olasılık 0
KONU TESTİ. 4 gömlek ve 5 pantalon arasından gömlek veya pantalon kaç farklı biçimde seçilebilir? A) 4 B) 5 C) 9 D) E) 0 5. TEST sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek 4 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç sözçük yazılabilir? A) 4 B) 8 C) D) 0 E) 8. 7!! + 7. 5!! toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 6. 90 sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 70 B) 60 C) 80 D) 50 E) 60. P(4, ) + C(5, ) toplamı kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) 8 E) 6 7. n n c m = c m 5 olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 7 C) D) 7 E) 60 4. A = {, 7, 5, 9} kümesinin elemanları ile rakamları farklı basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 48 B) 4 C) 8 D) E) 6 8. Madeni bir para defa atıldığında, en az bir tura gelme olasılığı kaçtır? 7 5 A) B) C) D) E) 8 4 6 6 987 / ÖYS sayma ve olasılık