BULANIK AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ İÇİN ÇOK AMAÇLI GENETİK ALGORİTMA

Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. Der. J. Fac. Eng. Arch. Gaz Unv. Clt 22, No 4, 855-862, 2007 Vol 22, No 4, 855-862, 2007 BULANIK AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ İÇİN ÇOK AMAÇLI GENETİK ALGORİTMA İzzettn TEMİZ ve Serpl EROL Endüstr Mühendslğ Bölümü, Mühendslk Mmarlık Fakültes, Gaz Ünverstes, 06570, Maltepe, Ankara temz@gaz.edu.tr, serpler@gaz.edu.tr (Gelş/Receved: 30.11.2006; Kabul/Excepted: 22.06.2007 ÖZET Üretm planlama problemlernn çoğu karar vercnn herhang br kararı vermeden önce brden fazla krter düşünmesn gerektrrken, çzelgeleme alanında yapılan çalışmaların pek çoğunda sadece br krter ele alınmıştır. Bu makalede günümüz malat sstemlernde büyük öneme sahp m-maknel akış tp çzelgeleme problemnde şlem zamanları ve teslm tarhler gb zaman parametrelernn belrsz olduğu durum ele alınarak üretm tamamlanma zamanı, maksmum geckme ve toplam akış zamanı amaçlarını eş zamanlı enyleyen genetk algortma temell çok amaçlı br yaklaşım gelştrlmştr. Gelştrlen bulanık ş ve teslm zamanlı çok amaçlı genetk algortma sonucunda amaç değerlernn üyelk fonksyonlarıyla fade edldğ etkn çözümler elde edlmektedr. Gelştrlen algortmanın etknlğ küçük boyutlu problemler kullanılarak gösterlmştr. Genetk algortmanın en y parametre değerler faktöryel deney tasarımı le belrlenmştr. Algortmanın orta ve büyük boyutlardak problemler çn makul zamanda etkn çözümler ürettğ gösterlmştr. Anahtar Kelmeler: Akış tp çzelgeleme, bulanık küme, çok amaçlı enyleme, etkn çözüm, genetk algortma MULTIOBJECTIVE GENETIC ALGORITHM FOR FUZZY FLOWSHOP SCHEDULING PROBLEM ABSTRACT The majorty of research on schedulng problems addresses only a sngle crteron whle the majorty produton plannng problems requre the decson maker to consder more than a sngle crteron for makng a decson. In ths paper, a problem wth uncertan tme parameters such as processng tmes and due dates n the m-machne flow shop schedulng problem, whch has a bg mportance n nowadays manufacturng systems, s consdered. Further a multobjectve approach based on genetc algorthm, optmzng fuzzy makespan, fuzzy maxmum tardness and fuzzy total flow tme objectves smultaneously, s developed. The algorthm s developed to obtan effcent solutons. In ths algorthm the values of the multobjectve functon are expressed by usng membershp functons. The effectveness of the algorthm s llustrated by usng small sze problems. The best parameter sets of the genetc algorthm are determned by usng factoral desgn of experment. It s shown that the algorthm produces effcent solutons for medum and large sze problems n a reasonable amount of tme. Keywords: Flow shop schedulng, fuzzy sets, multobjectve optmzaton, effcent soluton, genetc algorthm 1. GİRİŞ ( INTRODUCTION Üretm çzelgeleme malat ve hzmet şletmelernde vermllğ belrleyen öneml br çalışmadır. Kıt kaynakların zaman boyunca görevlere tahssyle lglenr [1]. Vermsz çzelgeleme poltkaları hem kaynak kullanımını azaltmakta hem de malyetler artırmaktadır. Bu yüzden çzelgeleme çalışmaları şletmeler çn br gereksnm halne gelmştr. Bu makalede günümüz malat sstemlernde büyük öneme sahp ve gerçek uygulamalarda yaygın olarak karşılaşılan çzelgeleme problemlernden akış tp çzelgeleme problem ele alınmıştır. Akış tp çzelgeleme problemnde şler her br farklı br maknede gerçekleştrlmek üzere m farklı operasyona sahptr ve her maknede aynı teknolojk sırada şlem görmek zorundadır.

İ. Temz ve S. Erol Bulanık Akış Tp Çzelgeleme Problem çn Çok Amaçlı Genetk Algortma Çzelgeleme kararları sonucu oluşan sermaye malyet, stok malyet, makne boş bekleme malyet ve zamanında karşılanamayan sparşlern malyetlern azaltmaktır. Kaynak kullanım oranının yükseltlmes ve ara stokların azaltılması çn en son şn tamamlanma zamanı (C max, toplam akış zamanı (ΣF krterler kullanılırken, müşter memnunyetnn artırılması ve geckmeden kaynaklanan ceza malyetlernn azaltılması çn se maksmum geckme (T max, gecken ş sayısı (n T ve toplam geckme (ΣT krterler kullanılır. Geleneksel çzelgeleme problemlernn belrgn özellklernden br tek br amaca odaklanmış olmalarıdır. Ancak tek br amaç rekabet ortamının tüm gereksnmlern tam olarak karşılayamaz. Karar vercnn genellkle k veya daha çok krter aynı anda dkkate alması gerekr. Br krter çn optmal olan br çzelge dğer br krter çn zayıf olablr. Bundan dolayı çok krterl çzelgeleme problemler önemldr. Bu önemlerne rağmen çok krterl çzelgeleme problemlernn karmaşıklığından dolayı bu alanda yapılan çalışma sayısı tek amaçlı problemlere göre daha azdır. Lteratürde yeralan çok krterl akış tp çzelgeleme çalışmalarının büyük br çoğunluğunu C max ve ΣF krterlern dkkate alan çalışmalar oluşturmaktadır. Bunlardan Lee ve Chou[2] k maknel problemde C max ve ΣF n ağırlıklı toplamını enküçüklemek çn tamsayılı programlama model sunmuşlardır. Nagar ve dğerler [3], Şerfoğlu ve Ulusoy [4] ve Yeh [5] k maknel problemde C max ve ΣF krterlernn ağırlıklı toplamını dkkate almışlardır. Nepall ve dğerler [6], Ishbuch ve Murata [7], Rajendran [8], Gupta ve dğerler [9] optmal C max kısıtı altında ΣF krternn enküçüklenmes problemn çalışmışlardır. Rajendran [8] çalışmasında k makne durumu çn dal-sınır yordamı sunmuştur. Gupta ve dğerler [9] se polnomsal çözüm tanımlamışlardır. Aynı problem çn tüm etkn çözümler üreten dal-sınır yordamı Sayın ve Karabatı [10] tarafından sunulmuştur. Murata ve dğerler [11] se çok maknel akış tp çzelgeleme problemnde C max ve ΣT çn çok amaçlı genetk algortma gelştrmşlerdr. Akış tp çzelgeleme problemnde C max ve T max krterlernn dkkate alındığı çalışmalar da yapılmıştır [12-14]. Lteratürde yer alan bu çalışmaların hepsnde verlern önceden blndğ ve kesn (belrl olduğu varsayılmıştır. Bu varsayım tam br otomasyon ortamında geçerl olablr. Ancak malat sstemlernde nsan faktörü, şlem hataları, şlern yüklenmes, hammadde kaltesndek değşmeler, kontrol edlemeyen sstem ortamı vb. nedenlerden dolayı şlem zamanlarının ve teslm tarhlernn belrl ve kesn olması geçersz br vasayım olmaktadır. Bundan dolayı belrszlk gerçek malat yaşamının doğal br özellğdr ve daha gerçekç sonuçlar çn belrszlğn modele dahl edlmes gerekr. Belrszlğn modele dahl edlmesyle karar vercnn daha gerçekç kararlar alablmes ve çzelgeler le lgl daha kapsamlı br görüş kazanması sağlanablecektr. Belrszlk çeştl yaklaşımlarla ele alınablmektedr. Bunlardan en yaygın kullanılanı bulanık küme teorsdr. Verler üyelk fonksyonları le fade edlr. Lteratürde çzelgeleme alanında bulanık küme teorsnn kullanıldığı az sayıdak çalışmaların br kısmında bulanık teslm tarh dkkate alınmış ve teslm tarh şn tamamlanma zamanı memnunyet düzey olarak tanımlanmıştır[15-17]. Akış tp problemlerde C max krtern enylemek çn gelştrlmş olan Johnson algortmasını, CDS, Palmer sezgsellern ve Ignall ve Schrage nn dal-sınır algortmasını bulanık şlem zamanlarına göre uyarlayan çalışmalar da yapılmıştır[18-22]. Balasubramanan ve Grossmann [23] se bulanık şlem zamanlı akış tp çzelgeleme problem çn karışık tamsayılı doğrusal programlama model sunmuşlardır. Cheng ve dğerler [24] permütasyon akış tp çzelgeleme problemnde tamamlanma zamanının enküçüklenmes çn bulanık yaklaşıma dayanan yen br üstünlük krter gelştrerek br dalsınır algortması sunmuşlardır. Akyol [25] akış tp çzelgeleme problemnde tamamlanma zamanlarının tahmn çn bulanık üyelk fonksyonu kullanan br yapay snr ağı yaklaşımı gelştrmştr. Petrovc ve Song [26] belrszlk ortamında k makna akış tp çzelgeleme problemn nceleyerek, McCahon ve Lee [18] nn algortmasının gelştrlmesne dayanan yen br algortma sunmuşlardır. Bulanık küme teorsnn kullanıldığı çalışmaların hepsnde tek br krter dkkate alınmıştır. Lteratürde yer alan ve yukarıda belrtlen çalışmalardan görüleceğ gb çzelgeleme alanında yapılan çalışmalar genelde k makne ve en fazla k krter aynı anda dkkate alan çalışmalardan oluşmaktadır. Bu makalede çok maknel (m>3 akış tp çzelgeleme problemnde C max, ΣF ve T max krterlernn aynı anda enylenmes ele alınmıştır. Problem, şlem zamanlarının ve teslm tarhlernn belrsz olduğu ve üçgen bulanık sayılarla fade edldğ durum çn çok amaçlı enyleme problem olarak formüle edlmş ve problemn çözümü çn çok amaçlı br genetk algortma gelştrlmştr. Gelştrlen algortma sonucunda karar vercye çoklu ortamda seçm yapablme mkanı sunan etkn çözümler belrlenmektedr. 2. PROBLEMİN TANIMI ( PROBLEM DEFINITION Burada ele alınan akış tp çzelgeleme problemnde n tane ş vardır. Tüm şler şlenmeye hazır halde beklemektedr. Her ş m adet şleme sahptr ve her br şlemn farklı br maknede gerçekleştrlebldğ varsayılmaktadır. Problemn amacı şlem zamanlarının ve teslm tarhlernn üçgen bulanık sayı olduğu durum çn maksmum tamamlanma zamanı (C max, maksmum geckme (T max ve toplam akış 856 Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 22, No 4, 2007

Bulanık Akış Tp Çzelgeleme Problem çn Çok Amaçlı Genetk Algortma İ. Temz ve S. Erol zamanı (ΣF krterlern eş zamanlı enyleyen etkn çözümler belrlemektr. Gösterm n : İş sayısı m : Makne sayısı p j : şnn j maknesndek şlem zamanı d : şnn teslm tarh C : Tamamlanma zamanı ( şnn en son operasyonunun tamamlandığı zaman F : Akış zamanı ( şnn hazır olduğu andan tamamlanmasına kadar geçen süre T : Tehr zamanı. ( şnn teslm tarhnden sonra tamamlanması n-ş m-makne akış tp çzelgeleme problemnde şlern tamamlanma zamanları aşağıdak denklemler yardımıyla hesaplanır. C C C C 11, 1 1, j, j = p11 = C 11, + p1 = C1, j 1 + p1 = max = 2,...,n j = 2,...,m { C,C } + p = 2,...,n ; j = 2,..., m 1, j j, j 1 j (1 Eştlk (1 n sonucunda maksmum tamamlanma zamanı eştlk (2 le tanımlanır. İşlern hazırlık zamanları olmadığı varsayımıyla toplam akış zamanı se eştlk (3 le hesaplanır. C max = C n,m (2 n = 1 F C = n = 1,m (3 Tehr zamanları ve maksmum tehr zamanı sırasıyla eştlk (4 ve eştlk (5 le bulunur. T { C,m d, 0} max{ T,T,..., } = (4 T max 1 2 T n = (5 İşlem zamanları ve teslm tarhler bulanık sayılarla fade edlen çok amaçlı akış tp çzelgeleme problemnn matematksel model aşağıda verlmştr. max max mn f ( x = (C ( x,t ( x, F( x (6 max Kısıtlar: C ( x = C n, m( x (7 T max( x = max T 1,T 2,...,T n (8 F( x = C, m( x (9 Matematksel göstermde yer alan x ş sıralamasını belrtmektedr. Problem br vektörel malyet fonksyon bleşenlernn enylenmes olduğundan tek br çözüm değer bulunamaz. Çözüm etkn çözümlerden oluşur. (10 ve (11 no lu eştlkler sağlayan başka br x vektörü yok se x * etkn çözüm (pareto optmal olarak tanımlanır. Etkn çözümlerde amaç fonksyonlarının en az brnde kötüleşme olmadan dğer herhang br amaç fonksyonunda yleşme sağlanamaz. f ( x f ( x* = 12,, 3 çn (10 f ( x < f ( x* en az br çn (11 Çok amaçlı enyleme problemlernde etkn çözümler çeştl yaklaşımlarla elde edlr. Bu çalışmada etkn çözümler belrlemek çn genetk algortma (GA kullanılmıştır. GA da çözümlern uygunluk değerler ağırlıklı toplam yaklaşımı kullanılarak belrlenmştr. Seçlen her ağırlık çn elde edlen çözüm br etkn noktayı verdğ çn ağırlıklar rassal olarak değştrlerek etkn çözümler kümes elde edlmştr. 2.1. Bulanık Artmetk (Fuzzy Arthmetc Bulanık artmetk genşleme prensbnn doğrudan br uygulaması olup bulanık sayılarda kullanılır. Bulanık sayı genel olarak M={x,μ M (x} R gerçel sayı düzlemnde tanımlı ve üyelk fonksyonu μ M (x [0,1] olan herhang br bulanık alt küme olarak tanımlanır. Üyelk fonksyonu, M nn belrl br x sayısını alma doğruluk derecesn fade eder [27]. Bulanık sayılar değşk yapılarda tanımlanablrler. Bu makalede uygulamalarda en yaygın kullanılan üçgen bulanık sayı yapısı dkkate alınmıştır. Üçgen bulanık sayı M=(a,b,c şeklnde üç eleman le tanımlanır. Burada b, M bulanık kümesnn üyelk değer 1 olan merkez değerdr. a ve c se bulanık sayının sırasıyla alt ve üst sınır değerlerdr. Üçgen bulanık sayı çn üyelk fonksyonu se 1 ( x a /(b a μm ( x = 1 (c x /( c b 0 bçmnde tanımlanır. eğer eğer eğer a x < b b x < c x > c ve x < a Üçgen bulanık sayılara lşkn temel artmetk şlemler aşağıda özetlenmştr [27]. M=(a,b,c ve N=(e,f,g k üçgen bulanık sayı olsun. Buna göre; Toplama: M(+N=(a+e, b+f, c+g Çıkarma: M(-N=(a-g, b-f, c-e Çarpma: M(.N=(a.e, b.f, c.g a 0, e 0 Sabt br değerle çarpma: k>0, k R : km=(ka,kb,kc k<0, k R : km=(kc,kb,ka Bölme: M(:N=(a/g, b/f, c/e a 0, e>0 şeklnde hesaplanır. Sıralama, bulanık matematksel programlama çn önemldr ve bulanık sayılar farklı üyelk değerlerne sahp pek çok muhtemel gerçel sayıyı temsl ettğ çn karşılaştırılmaları zordur. Burada bulanık sayıları Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 22, No 4, 2007 857

İ. Temz ve S. Erol Bulanık Akış Tp Çzelgeleme Problem çn Çok Amaçlı Genetk Algortma sıralamak çn bulanık olayların genel ortalama ve standart sapmasına dayanan Lee ve L [28] nn yaklaşımı kullanılmıştır. Bu yaklaşıma göre M üçgen bulanık sayısının ortalaması ve standart sapması sırasıyla; x M 1 ( = (a + b + c 3 ve σ = 1 2 2 2 ( a + b + c ab ac bc ( M 18 formüller le hesaplanır. Sıralama ortalamalara göre gerçekleştrlr. Ortalamaların eşt olması durumunda standart sapma kullanılır ve standart sapması küçük olan bulanık sayı dğernden büyük olarak değerlendrlr. 2.2. İşlern Maknelerde Başlama Zamanı (Startng Tme of Jobs on Machnes Geleneksel çzelgeleme problemlernde şlern maknelerde başlama zamanı maksmum şlem le belrlenrken, bulanık sayılarda bu şlem braz daha zor olmaktadır. Burada bunu belrlemek çn Tsa ve Chuang [29] tarafından üçgen bulanık sayılar çn gelştrlmş olan sezgsel yaklaşımdan yararlanılmıştır. P 1 =(a P1, b P1, c P1 ve P 2 =(a P2, b P2, c P2 k üçgen bulanık sayı se bunların maksmumu S=(a S, b S, c S de üçgen bulanık sayı olur. S üçgen bulanık sayısının değerler sırasıyla (12-(14 numaralı eştlkler yardımıyla hesaplanır. { max(a,a,mn(b,b } as = max P 1 P 2 P 1 P 2 (12 max(bp 1,bP 2 mn(cp1,c bs = max(bp1,bp 2 max(bp 1,bP 2 < mn(cp1,c cp1 cp 2 bp 1 bp 2 bs = (c + c (b + b P1 P 2 c 2 P1 P 2 P 2 P 2 se se (13 S = max(cp 1,cP (14 3. GENETİK ALGORİTMA (GENETIC ALGORITHM Genetk algortma (GA evrm mekanzmasına dayanan stokastk br arama metotudur. İlk olarak 1975 yılında Holland tarafından önerlen GA sezgsel br yaklaşım olup optmale yakın çözümler bulur. Zor enyleme problemler çn potansyel çözüm yöntem olarak sunulmuştur [30]. Potansyel çözümlern yığını çnde çok yönlü ve global br arama gerçekleştren GA çok fazla matematksel gereksnmlere htyaç duymadan her türlü amaç fonksyonlarını ve kısıtları ele alablr. GA nın bu özellklernden dolayı çok amaçlı enyleme problemler çn çok uygundur. Br problemn çözümü çn GA uygulanacağı zaman kodlama metotları, yenden üretm şlemler, uygunluk tayn ve seçm gb ana bleşenlern her br y tanımlanmak durumundadır. Sıralama-çzelgeleme problemler çn kodlama yapısı (dzler şlern permütasyonu şeklnde yapılır [31]. Çok amaçlı enyleme problemnn GA le çözümünde breylern uygunluk değerlernn nasıl belrleneceğ en öneml konulardan brn oluşturur. Lteratürde bu konuya lşkn çeştl çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan Ağırlıklı Toplam Yaklaşım bu çalışmada kullanılmıştır. Bu yaklaşımda amaç fonksyonlarına ağırlık değerler atanarak tek br amaç fonksyonu altında toplanır. Anlaşılması bast ve kolay br yaklaşımdır. Lteratürde ağırlık değerlernn belrlenmesne lşkn çeştl yaklaşımlar sunulmuştur. Bu çalışmada sabt ağırlık ve rassal ağırlık yaklaşımları dkkate alınmıştır. Rassal ağırlık yaklaşımı etkn çözümler sınırına doğru değşken arama yapmak çn gelştrlmştr [11]. Rassal ağırlık yaklaşımında ağırlıklar tüm bleşmlere şans tanımak çn her br seçm adımında rassal olarak yenden belrlenrken, sabt ağırlık yaklaşımında ağırlık değerler evrmsel süreç boyunca sabt kalırlar, değşmezler. Bunun sonucu olarak sabt ağırlık yaklaşımı GA yı sabt br noktaya yöneltr. Dğer taraftan rassal ağırlık yaklaşımı GA ya değşken arama yönü göstererek tüm sınır boyunca örnekleme yapmasını sağlar. Bu çalışmada kullanılan ağırlık rk değerler wk = k = 1, 2, 3 eştlğ yardımıyla 3 rj j= 1 belrlenmektedr. Eştlkte bulunan poztf rassal sayılardır. r j değerler Yığını oluşturan breyler arasından yenden üretm şlem çn çeştl seçm mekanzmaları kullanılır. Bu çalışmada Rulet çember seçm mekanzması kullanılmıştır. Burada temel düşünce uygunluk değeryle orantılı olarak her br dznn seçlme veya yaşama olasılığını belrlemektr. Bu yöntemde yüksek uygunluk değerne sahp dzlerden br sonrak neslde daha fazla sayıda olması beklenr. Yen nesl çn seçlen dzlern kopyalama şlem tamamlandıktan sonra dzlere genetk şlemler uygulanır. GA yen breyler oluşturmak çn genetk şlemlerden yararlanır. GA nın k temel şlem çaprazlama ve mutasyon şlemlerdr. Çaprazlama k brey arasında karşılıklı blg değşm le yen breylern oluşmasını sağlayan şlemdr ve P c olasılığıyla le gerçekleşr. Bu çalışmada kısm uyumlu çaprazlama (PMX ve doğrusal sıralı çaprazlama (LOX yöntemler dkkate alınmıştır. GA nın dğer temel şlem olan mutasyon şlem yerel optmalden kaçınmak ve yığında çeştllğ arttırmak çn kullanılır. Mevcut breylern br kısmında rassal değşm meydana getrerek çözüm uzayında yen noktaların elde edlmesn sağlar. 858 Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 22, No 4, 2007

Bulanık Akış Tp Çzelgeleme Problem çn Çok Amaçlı Genetk Algortma İ. Temz ve S. Erol Mutasyon şlem P m olasılığıyla gerçekleştrlr. Bu çalışmada yerdeğştrme (exchange mutasyon şlem kullanılmıştır. Yukarıda tanımlanan problem çözmek çn gelştrlen çok amaçlı bulanık genetk algortma adımlar halnde aşağıda açıklanmıştır. Algortmanın kodlaması Delph programıyla yapılmıştır. 3.1. Bulanık Çok Amaçlı Genetk Algortma (Fuzzy Multobjectve Genetc Algorthm Adım-1. t (=Nesl=0 çn N sayıda alternatf çözümden oluşan başlangıç yığının, (m+2 breyn CDS, Dannenbrng sezgseller, NEH algortması ve EDD kuralını kullanarak, dğerlern de rassal olarak oluştur. Adım-2. GEN(t yığınındak her dz çn (15 no lu eştlk yardımıyla uygunluk değerlern hesapla. Seçlme olasılıklarını se (16 no lu eştlk le hesapla. w k, k = 1, 2, 3 ağırlık değerlern rassal olarak her seçmde yenden belrle. f [] = w 1.C max + w2.t max + w 3.TF = 1,..., N (15 max ( f f P[ ] = = 1,..., N (16 N max f f = 1 Adım-3. Başlangıç yığınındak etkn çözümler belrle, etkn çözümler kümesne ekle. Adım-4. Yığındak breyler seçlme olasılıklarına göre kşerl olarak seç. Seçlen bu breylere P c olasılığı le çaprazlama şlemn uygula. Yen breylere P m olasılığı le mutasyon şlemn uygula. Adım-5. Yen yığındak breylern uygunluk değerlern hesapla. GEN(t yığınındak her br amacı ve ağırlıklandırılmış brleşk amacı enyleyen breyler (t+1. nesl yığınına lave et. GEN(t+1 yen yığın boyutu N e eşt olana kadar artakalanları ağırlıklı amaç fonksyonunu enyleyen yen üretlen breyler arasından seç. Adım-6. Etkn çözümler kümesn güncelle. Adım-7. Maksmum nesl sayısına ulaşıldıysa algortmayı sonlandır ve etkn çözümler getr. Aks takdrde t=t+1 yap ve Adım-4 e gt. 4. DENEYSEL ÇALIŞMA (EXPERIMENTAL STUDY 4.1. Test Problemler (Test Problems Gelştrlen bulanık algortmayı test etmek çn Tallard [32] ın test problemlernden 20, 50, 100-ş ve 5, 10, 20-maknel akış tp çzelgeleme problemlernden faydalanılmıştır. Bu test problemlerne lşkn teslm tarhler aşağıdak yapıda belrlenmştr [11]. Adım 1. Rassal olarak n ş çn br permütasyon sırası oluştur. Adım 2. Her br j= 1, 2,..., n ş çn C j tamamlanma zamanını hesapla. Adım 3. [-100,100] kapalı aralığından rassal olarak üretlen rnd j tam sayısını her br C j ye ekle. j şnn teslm tarh d j = C j + rnd j olarak belrlenr. Test problemlerndek şlem ve teslm zamanlarının kesn değerler bulanıklaştırılarak üçgen bulanık sayılara dönüştürülmüştür. Problemlerdek x kesn zamanı çn oluşturulan üçgen bulanık sayının alt sınır değer, δ 1 <1 olacak şeklde [δ 1 x, x] kapalı aralığından rassal olarak üretlmştr. Orta nokta değer test problemndek x kesn zamanından oluşturulmuştur. Üçgen bulanık sayının üst sınır değer se δ 2 >1 olacak şeklde [x, δ 2 x] kapalı aralığından rassal olarak üretlmştr. Br faalyetn uzun zaman alması kısa zaman almasından daha olası olacağı düşüncesnden hareketle, üst sınır değernn orta noktadan ayrılışı, alt değern ayrılışından daha genş olduğu varsayılmıştır [33]. Bundan dolayı bu makalede δ 1 = 0.85 ve δ 2 = 1.30 olarak alınmıştır. 4.2. Faktöryel Deney Tasarımı (Factoral Expermental Desgn Gelştrlen algortmayı değerlendrmek çn ölçüt olarak etkn çözüm sayısı kullanılmıştır. Etkn çözümlern belrlenmes çn gelştrlen GA nın performansı üzernde etkl olableceğn düşündüğümüz parametreler Tablo 1 de verlmştr. Ele alınan beş faktör çn deney tasarımı çalışması k sevyel olarak yapılmıştır. Tam faktöryel analz çn 2 5 =32 farklı parametre kombnasyonu mevcuttur. Her kombnasyon 9 farklı probleme uygulanmıştır ve farklı başlangıç koşullarıyla 5 er koşum olmak üzere toplam 32 9 5=1440 deneme yapılmıştır. Algortma 600 bn çözümü değerlendrecek şeklde koşturularak etkn çözüm sayıları belrlenmştr. Tablo 1. Algortma Parametreler ve Düzeyler (Algorthm Parameters and ther Levels Faktörler Brnc Sevye İknc Sevye Yığın Boyutu 100 150 Çaprazlama Yöntem PMX LOX Ağırlık Sabt Değşken Çaprazlama Oranı (Pc 0.70 0.90 Mutasyon Oranı (Pm 0.005 0.05 Analz sonucunda α=0.05 anlamlılık düzeynde anlamlı (etkl olan faktörler test problemlerne göre Tablo 2 de verlmştr. Tablodan görüleceğ gb çaprazlama yöntem (X-Yöntem tüm problemler çn ya ana etk veya ortak etkleşm olarak algortma Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 22, No 4, 2007 859

İ. Temz ve S. Erol Bulanık Akış Tp Çzelgeleme Problem çn Çok Amaçlı Genetk Algortma Tablo 2. Algortma çn anlamlı olan faktörler (Sgnfcant factors for Algorthm Test Problem üzernde etkl çıkmıştır. Yığın boyutu da hemen hemen tüm problemlerde etkl çıkmıştır. Faktörlern sevyeler arasındak farklılığın anlamlı olup olmadığı Tukey çoklu karşılaştırma le yapılmıştır. Rassal ağırlık yöntem, düşük yığın boyutu, LOX çaprazlama yöntem, düşük mutasyon ve yüksek çaprazlama oranı çn algortmanın en y sonucu verdğ belrlenmştr. Analz sonucu anlamlı çıkan faktörler dkkate alınarak algortma yenden tüm problemler çn çalıştırılarak etkn çözümler 10 bn nesl çn belrlenmştr. Elde edlen etkn çözüm sayıları Tablo 3 te verlmştr. Tablodan görüleceğ gb problem boyutu arttıkça etkn çözüm sayılarının arttığı gözlenmektedr. Burada 50 ş-5 makna problem çn oldukça yüksek sayıda etkn çözüm bulunmasını problem verlernn bulanıklaştırılmasındak rassallıktan kaynaklandığını düşünmekteyz. Tablo 3. Test Problemler çn Etkn Çözüm Sayıları (Number of the Effcent solutons for the Test Problems Test Problem Anlamlı Faktörler 20 İş - 5 Makne X-Yöntem ; Ağırlık*Yığın 20 İş - 10 Makne Pc ; Yığın ; X-Yöntem 20 İş - 20 Makne X-Yöntem ; Pm*Ağırlık 50 İş - 5 Makne Yığın ; Pm*Ağırlık*X-Yöntem 50 İş - 10 Makne X-Yöntem ; Pm*X-Yöntem ; Pc*X-Yöntem 50 İş - 20 Makne Yığın ; X-Yöntem 100 İş - 5 Makne Ağırlık; Yığın; Ağırlık*X-Yöntem 100 İş -10 Makne Pc ; Pm*Yığın*X-Yöntem 100 İş - 20 Makne Pm; Ağırlık; Yığın; Yığın*X-Yöntem Etkn Çözüm Sayısı 20 İş - 5 Makne 63 20 İş - 10 Makne 67 20 İş - 20 Makne 90 50 İş - 5 Makne 148 50 İş - 10 Makne 70 50 İş - 20 Makne 72 100 İş - 5 Makne 118 100 İş -10 Makne 94 100 İş - 20 Makne 126 4.3. Algortmanın Etknlğ (Effectveness of the Algorthm Çok amaçlı enyleme problem NP-zor olduğu çn tüm etkn çözümler ancak brerleme yöntem le belrleneblr. Gelştrdğmz sezgsel yöntemn etknlğn karşılaştırableceğmz mevcut başka br algortma bulunmadığından küçük boyutlu problemler çn brerleme yöntemyle etkn çözümler bulunarak sezgsel yöntemn bulduğu sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Küçük boyutlu problemlerden 4, 5, 6 şl ve 5, 10 maknel olmak üzere toplam 30 ayrı problem rassal olarak üretlmştr. Bu problemler brerleme teknğ le çözülerek etkn çözümler bulunmuştur. Problemler çn brerleme teknğ le elde edlen bu çözümlern, gelştrlen GA çözümler le karşılaştırmaları Tablo 4 te verlmştr. GA parametre değerler olarak faktöryel deney tasarımı sonucu elde edlmş olan değerler kullanılmıştır. Buna göre algortma yığın boyutu 10, LOX çaprazlama operatörü, rassal ağırlık yöntem, Pc=0.90, Pm=0.05 ve 30 nesl çn koşturulmuştur. Tablo 4 den görüleceğ gb gelştrlen algortma tüm etkn çözümler bulablmştr. Dolayısıyla küçük boyutlu problemler çn etkn sonuçlar veren bu algortmanın orta ve büyük boyutlu problemler çn de etkn sonuçlar vereceğ beklenmektedr. Büyük boyutlu problemler çn algortmanın bulduğu bastırılamayan çözümler (etkn, aynı zamanda en kötü htmalle problem çn br üst-sınır olarak değerlendrleblr. 5. SONUÇ (CONCLUSION Bu çalışmada şlem zamanları ve teslm tarhlernn belrsz olduğu ve üçgen bulanık sayılarla fade edldğ akış tp çzelgeleme problem ncelenmştr. Çzelgeleme kararlarına etk eden malyetler azaltmak çn çzelge tamamlanma zamanı, maksmum tehr zamanı ve toplam akış zamanı krterlern eş zamanlı değerlendren çok amaçlı model sunulmuştur. Modeln çözümü çn genetk algortma yaklaşımı kullanılmıştır. Bulanık çok amaçlı genetk algortma sonucunda noktalar alesnden oluşan ve bulanık değerlere sahp etkn çözüm kümes belrlenmştr. Algortmanın etknlğ küçük boyutlu problemler üzernde gösterlmştr. Algortmanın en y parametre değerlernn belrlenmes çn varyans analz kullanılmıştır. Analz sonucunda ş sayısı ve makne sayısı arttıkça yığın boyutunun etkl olduğu görülmüştür. Çaprazlama yöntemnn tüm problemlerde ya ana etk ya da ortak etkleşmnn algortmanın performansı üzernde etkl olduğu görülmüştür. Algortma, analz sonucunda belrlenen en y parametre değerler le koşturularak problemler çn etkn çözüm sayıları belrlenmştr. Problem boyutu arttıkça belrlenen etkn çözüm sayılarının da arttığı görülmüştür. Etkn çözümlern yanı sıra bulanık şlem zamanlarının ve teslm tarhlernn kullanılmasıyla, yönetclern çzelgeler le lgl daha kapsamlı br görüş kazanması sağlanmıştır. Bu çalışmanın devamında şlem zamanları ve teslm tarhlernn belrszlğ yanında malyet blglernn ve amaç önem derecelernn de belrsz olduğu durumlar modele dahl edlerek algortmanın genşletlmes düşünülmektedr. Ayrıca sunulan model, tavlama 860 Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 22, No 4, 2007

Bulanık Akış Tp Çzelgeleme Problem çn Çok Amaçlı Genetk Algortma İ. Temz ve S. Erol Tablo 4. Brerleme Yöntem ve GA le Bulunan Etkn Sonuçların Karşılaştırılması (Comparson of the Effcent Solutons Found by Enumeraton Technque and GA Problem Problem No Brerleme Yöntem Önerlen Algortma (GA Bulunduğu Nesl 4 İş 5 Makne 4 İş 10 Makne 5 İş 5 Makne 5 İş 10 Makne 6 İş 5 Makne 6 İş 10 Makne 1 9 9 6 2 3 3 1 3 6 6 3 4 5 5 3 5 6 6 1 1 4 4 6 2 3 3 1 3 4 4 1 4 4 4 5 5 5 5 2 1 8 8 5 2 8 8 18 3 7 7 25 4 11 11 12 5 5 5 2 1 8 8 7 2 10 10 17 3 11 11 8 4 8 8 13 5 6 6 29 1 23 23 29 2 16 16 30 3 22 22 28 4 9 9 27 5 15 15 25 1 18 18 30 2 24 24 25 3 17 17 29 4 19 19 30 5 12 12 28 benzetm ve tabu arama gb dğer modern sezgsel yöntemlerle çözülerek karşılaştırmaları yapılacaktır. KAYNAKLAR (REFERENCES 1. Pnedo, M., Schedulng:Theory, algorthms, and systems, Prentce Hall, New Jersey, A.B.D., 2002. 2. Lee, C.E. ve Chou, F.D., A two-machne flowshop schedulng heurstc wth bcrtera objectve, Internatonal Journal of Industral Engneerng,Clt 5, No 2, 128-139, 1998. 3. Nagar, A., Heragu, S. ve Haddock, J., A combned branch and bound and genetc algorthm based approach for a flowshop schedulng problem, Annals of Operatons Research, Clt 63, 397-414, 1996. 4. Şerfoğlu, F.S. ve Ulusoy, G. A bcrtera twomachne permutaton flowshop problem, European Journal of Operatonal Research, Clt 107, No 2, 414-430, 1998. 5. Yeh, W.C., A new branch-and-bound approach for the n/2/flowshop/αf+βc max flowshop schedulng problem, Computers and Operatons Research, Clt 26, No13, 1293-1310, 1999. 6. Neppall, V.R., Chen, C.L. ve Gupta, J.N.D., Genetc algorhms for the two-stage bcrtera flowshop problem, European Journal of Operatonal Research, Clt 95, No 2, 356-373, 1996. 7. Ishbuch, H. ve Murata, T., A Mult-objectve genetc local search algorthm and ts applcaton Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 22, No 4, 2007 861

İ. Temz ve S. Erol Bulanık Akış Tp Çzelgeleme Problem çn Çok Amaçlı Genetk Algortma to flowshop schedulng, IEEE Transacton on System, Man, and Cybernetcs-Part C: Applcatons and Revews, Clt 28, No 3, 392-403,1998. 8. Rajendran C., Two-stage flow shop schedulng problem wth bcrtera, Journal of the Operatonal Research Socety, Clt 43, No 9, 871-884, 1992. 9. Gupta, J.N.D., Neppall, V.R. ve Werner, F., Mnmzng total flow tme n a two-machne flowshop problem wth mnmum makespan, Internatonal Journal of Producton Economcs, Clt 69, No 3, 323-338, 2001. 10. Sayın, S. ve Karabatı, S., A bcrtera approach to the two-machne flow shop schedulng problem, European Journal of Operatonal Research, Clt 113, No 2, 435-449, 1999. 11. Murata, T., Ishbuch, H., ve Tanaka, H., Multobjectve genetc algorthm and ts applcatons to flowshop schedulng,computers and Industral Engneerng, Clt 30, No 4, 957-968, 1996. 12. Danels, R.L. ve Chambers R.J., Multobjectve flow-shop schedulng, Naval research Logstcs, Clt 37, 981-995, 1990. 13. Chakravarthy, K. ve Rajendran, C., A heurstc for schedulng n a flowshop wth the bcrtera of makespan and maxmum tardness mnmzaton Producton Plannng and Control, Clt 10, No 7, 707-714, 1999. 14. Allahverd, A., A new heurstc for m-machne flowshop schedulng problem wth bcrtera of makespan and maxmum tardness, Computers and Operatons Research, Clt 31, No 2, 157-180, 2004. 15. Ish, H., Tada, M. ve Masuda T., Two schedulng problems wth fuzzy due-dates, Fuzzy Sets and Systems, Clt 46, 339-347, 1992. 16. Ishbuch, H., Yamamoto, N., Murata, T. ve Tanaka, H., Genetc algorthms and neghborhood search algorthms for fuzzy flowshop schedulng problems, Fuzzy Sets and Systems, Clt 67, 81-100, 1994. 17. Murata, T., Gen, M. ve Ishbuch, H., Mult- Objectve Schedulng wth Fuzzy Due-Date, Computers and Industral Engneerng, Clt 35, No 3-4, 439-442, 1998. 18. McCahon, C. S. ve Lee, E. S., Job sequencng wth fuzzy processng tmes, Computers and Mathematcs wth Applcatons, Clt 19, No 7, 31-41, 1990. 19. McCahon, C. S. ve Lee, E. S., Fuzzy job sequencng for a flow shop, European Journal of Operatonal Research, Clt 62, No 3, 294-301, 1992. 20. Hong, T. ve Chuang, T.N., A new trangular fuzzy johnson algorthm, Computers and Industral Engneerng, Clt 36, 179-200, 1999. 21. Hong, T.P. ve Chuang, T.N., Fuzzy Palmer schedulng for flow shops wth more than two machnes, Journal of Informaton Scence and Engneerng, Clt 15, 397-406, 1999. 22. Temz, İ. ve Erol, S., Fuzzy branch-and-bound algorthm for flow shop schedulng, Intellgent Manufacturng Systems, Clt 15, No 4, 449-454, 2004. 23. Balasubramanan, J. ve Grossmann, I.E., Schedulng optmzaton under uncertanty-an alternatve approach, Computers and Chemcal Engneerng, Clt 27, 469-490, 2003. 24. Cheng, J., Kse, H. and Matsumoto, H., A branch-and-bound algorthm wth fuzzy nference for a permutaton flowshop schedulng problem, European Journal of Operatonal Research, Clt 96, No 3, 578-590, 1997. 25. Akyol, D.E., Applcaton of neural network to heurstc schedulng algorthms, Computers and Industral Engneerng, Clt 46, No 4, 679-696, 2004. 26. Petrovc, S. And Song, X., A new approach to two-machne flow shop problem wth uncertan processng tmes, Optmzaton and Engneerng, Clt 7, No 3, 329-342, 2006. 27. La, Y.J. ve Hwang, C.L., Fuzzy Mathematcal Programmng, Sprnger-Verlag, Berln, 1992. 28. Lee, E. S. ve L, R. J., Comparson of fuzzy numbers based on probablty measure of fuzzy events, Computers and Mathematcs wth Applcatons, Clt 15, No 10, 887-896, 1988. 29. Tsa, Y.C. ve Chuang, T.N., A new max operator on trangular fuzzy sets, Journal of The Chnese Fuzzy Systems Assocaton, Clt 5, No 2, 71-78, 1999 30. Goldberg, D. E., Genetc Algorthms n Search, Optmzaton, and Machne Learnng, Addson- Wesley, Readng, 1989. 31. Gen, M. and Cheng, R.,Genetc Algorthms and Engneerng Desgn, John Wley & Sons, New York, 1997. 32. Tallard, E., Benchmarks for basc schedulng problems, European Journal of Operatonal Research, Clt 64, No 2, 278-285, 1993. 33. Temz, İ., Bulanık İş ve Teslm Zamanlı Akış Tp Çzelgeleme Problem çn Çok Amaçlı Genetk Algortma, Doktora Tez, Gaz Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, 2004. 862 Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 22, No 4, 2007