Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol taraftaki kelimeler, sağ taraftaki bilim dallarına ait terimlerdir. Başka terimler aracılığı ile tanımlanabilen terimlere tanımlı terim denir. Sadece sezgilerimizle adlandırabildiğimiz terimlere tanımsız terim denir. NOT Tanımlı Terim Tanımsız Terim Kare Nokta Uygulayalım 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız terim olarak doldurunuz. Küp Çember Açıortay Yanlış Küme Orantı. Aşağıda verilen ifadelerden önerme olanlar ile önerme olmayanları belirtiniz. a) 5 + 5 = 1 b) İyi günler. c) En küçük asal sayı 1 dir. d) Seni çok seviyorum. e) Ankara, Marmara Bölgesi'ndedir. Ünlem Doğru Önerme Üçgen Düzlem Tek sayı Uzay Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r, s gibi harf lerle gösterilir. 3. Aşağıdaki önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri 1 dir? p: Tüm asal sayılar tektir. q: En küçük çift tam sayı 0 dır. r: Türkiye nin başkenti Ankara dır. s: 10 sayısının doğal sayı bölen sayısı 5 tir. Doğruluk Değeri Bir önermenin doğru (D) veya yanlış (Y) olarak ifade edilmesine önermenin doğruluk değeri denir. 4. 8 tane farklı önermenin kaç tane farklı doğruluk değeri vardır? Bir önerme doğru (D) ise 1 yanlış (Y) ise 0 ile gösterilir. n tane önermenin doğruluk durum sayısı n dir. 1. tanımlı, tanımlı, tanımlı, tanımsız, tanımlı, tanımlı. a) önerme b) önerme değil c) önerme d) önerme degil e) önerme 3. 1 4. 56 1 Book 1.indb 1 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 01 Denk Önerme Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önerme denir. p ile q denk önerme ise p q biçiminde gösterilir. Denk olmayan p ve q önermeleri p _ q biçiminde gösterilir. Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye, o önermenin değil i denir. Uygulayalım 1. p : 1 en küçük pozitif tam sayıdır. q : 1 en büyük negatif tam sayıdır. r : 9 bir rakamdır. s : 5! = 70 dir. Yukarıda verilen önermelere göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. p / q II. p / r III. r / s IV. q / r V. q / s p önermesinin değili p', p ya da ~ p ile gösterilir. p önermesi doğru ise p' önermesi yanlıştır. p önermesi yanlış ise p' önermesi doğrudur. p p ı (p ı ) ı 1 0 1 0 1 0. Aşağıdaki tabloda eksik bırakılan yerleri tamamlayınız. p p ı q Köpek, 4 ayaklı bir hayvandır. q ı 3 + < 4 r ( 3) = 9 r ı Doğruluk değeri p / (p ı ) ı değili değili değili değili 3. p: en küçük asal sayıdır. q: 3 + 7 < 4 r: 0 en küçük doğal sayıdır. önermelerinin doğruluk değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) 1, 0, 1 B) 1, 1, 1 C) 1, 0, 0 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 1 Bileşik Önermeler İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ise, ya da, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla oluşan yeni önermelere bileşik önerme denir. 1. 3. p: 1, p': Köpek 4 ayaklı bir hayvan değildir. p'=0, q = 3 + 4 q : 1, q' = 0, r = 1, r'= ( 3)! 9, r' = 0 3. A Book 1.indb 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 01 Ve, Veya, Ya Da Bağlaçları p ve q iki önerme olsun. p veya q önermesi p 0 q p ve q önermesi p / q p ya da q önermesi p Q q şeklinde ifade edilir. p q p 0 q p / q p Q q 1 1 1 1 0 Uygulayalım 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. p / p / p II. p / 0 / 0 III. p 0 p' / 1 IV. p / p' / 0 V. p 0 r / r 0 p VI. p / r / r 0 p A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Veya ( ) Bağlacının Özellikleri. I. 1 0 (0 0 1) / 1 II. 0 0 (0 0 1) / 0 p 0 p / p p 0 q / q 0 p p 0 (q 0 r) / (p 0 q) 0 r p 0 1 / 1 p 0 0 / p p 0 p' / 1 III. (0 0 1) 0 (1 0 0) 0 (0 0 0) / 1 Yukarıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III Ve ( ) Bağlacının Özellikleri p / p / p p / q / q / p p / (q / r) / (p / q) / r p / 1 / p p / 0 / 0 p / p' / 0 Ya Da (Q) Bağlacının Özellikleri p Q q / q Q p p Q p / 0 p Q (q Q r) / (p Q q) Q r p Q q / p' Q q' p Q p' / 1 3. p : 6! 5! = 5. 4! dir. q: 5 farklı önermenin 10 tane doğruluk değeri vardır. 0 r: = 0 dır. 3 Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) (p 0 q) 0 r b) (p / q) 0 (q 0 r) c) (p Q q) Q (q / r) 1. D. E 3. a) 1, b) 1, c) 1 3 Book 1.indb 3 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 01 De Morgan Kuralı (p / q)' / p' 0 q' (p Q q)' / p' Q q / p Q q' (p 0 q)' / p' / q' Bağlaçların Dağılma Özelliği Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. I. (1 0 0)' / (0 0 1) II. [(0 0 1')' 0 (0 0 0)'] / (1 / 1)' Ve bağlacının Veya bağlacı üzerine dağılma özelliği p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) Veya bağlacının Ve bağlacı üzerine dağılma özelliği p 0 (q / r) / (p 0 q) / (p 0 r). (p / q) ı 0 (q / p ı ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Totoloji Bir bileşik önerme; kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman doğru oluyorsa önermeye totoloji denir. Çelişki Bir bileşik önerme; kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman yanlış oluyorsa önermeye çelişki denir. 3. [p ı 0 (q ı 0 p)] / [p / (q / p ı ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Örnek (p 1) (p p ı ) önermesinin totoloji ya da çelişki olduğunu gösteriniz. Çözüm (p 1) (p p ı ) = 1 p 13 13 p 1 = p Totoloji ya da çelişki değildir. p = 1 olduğunda önermenin doğruluk değeri 1, 4. I. p 0 1 II. p 0 0 III. p' 0 p IV. p / p' V. p Q p' önermelerinden kaç tanesi totolojidir? p = 0 olduğunda önermenin doğruluk değeri 0 bulunur. 1. I. 0, II. 0. 1 3. 0 4. 3 4 Book 1.indb 4 01/09/18 0:
1. I. Hız II. Küme III. Gol IV. Molekül V. Dağ VI. Protein Neler Öğrendik? 1 4. Aşağıdakilerden hangisi doğru bir önermedir? A) "( )! = dir." B) "1 + 1 = en küçük asal sayıdır." C) 0 " belirsizdir." 5 D) "( 1) ( ) ( 3)... ( 10) = 1000 dir." E) "1 + 3 4 +... + 9 10 = 10 dur." Yukarıda verilen sözcüklerden kaç tanesi terimdir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E). I. Açı II. Sayı III. Eşit IV. Beşgen 5. n tane önerme için 18 farklı doğruluk değeri olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 V. Açıortay VI. Düzlem Yukarıda verilen sözcüklerden kaç tanesi tanımsız terimdir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 3. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Bir hafta 8 gündür." B) "Bir saat 100 saniyedir." C) "r sayısı ye eşittir." 7 D) "Dörtgenin iç açıları toplamı 540 dir." E) "Bugün yağmur yağdı mı?" 6. p : "3 + 4 + 5 + 6 = 7 + 6 + 5 + 1" önermesinin değiline denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) q: "0! = 0" B) 0! + 0! + 0! r: " = 1" 3 C) s: "1 + 3 < 3 + 1" D) 1 1 k: "( ) 3!- " 3 E) r: "10 7 sayısı 7 basamaklıdır." 5 Book 1.indb 5 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 7. [(q / p')' 0 r]' bileşik önermesinin denk olduğu önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) q / p' / r' B) p' / q' / r' C) (p' 0 q) 0 r' 10. 1 Q p / 1 0 Q q / 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / 1 B) p' / q / 0 C) p / q / 1 D) q / 1 E) q 0 p / 1 D) q' 0 p 0 r' E) (q' 0 p) / r' 8. I. p: "(3 + 5) 8 = 1" p': "(5 + 3) 8! 1" II. q: "3 + 5 < 8" q': "3 + 5 > 8" III. r: "1 : 4 # 18 : 3" r': "1 : 4 18 : 3" Yukarıda verilen p, q ve r önermelerinin hangilerinin değilleri doğru yazılmıştır? 11. (p / r) 0 p' önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) p / r B) 1 C) 0 D) p / r' E) p' / r' A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 9. p' / (r 0 p) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p' D) p 0 r E) p' / r 1. (q' 0 r) 0 (q / r') bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 0 C) q D) r E) q 0 r Cevaplar 1. A. B 3. E 4. B 5. D 6. B 7. A 8. D 9. E 10. B 11. D 1. A 6 Book 1.indb 6 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 1 1. p: "15! sayısının sondan üç basamağı 0 dır." q: " irrasyonel bir sayıdır." r: " 5'in küpü 15'tir." önermeleri veriliyor. Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğru bir önermedir? 4. [p 0 q]' / [(p 0 q)' / q]' bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p' / q' B) p 0 q C) p' 0 q' D) p E) q A) Yalnız p B) Yalnız q C) Yalnız r D) p ve q E) p, q ve r. Aşağıdakilerden hangisi tanımsız bir matematik terimidir? A) Nokta B) Kare C) Dikdörtgen D) Denklem E) Çember 5. p 0 [(1 0 0)' / (0 / 1)'] / (1 / 0)' olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / 0 / 1 B) p 0 p / 0 C) p / 0 D) p / 1 E) (p / p)' / 1 3. p: "15 dakika 900 saniyedir." önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 = 9 0! B) 4.5.6..... 0 = 6 1 1 C) ( ) < ( ) 4 3 3 1 D) - rasyonel sayı değildir. 5 1 E) 1 : 1 : 1 = 3 6. [(q 0 p') / (r' 0 q)] 0 q' bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) q B) p' C) r D) 0 E) 1 7 Book 1.indb 7 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 7. (n + 5) farklı önermenin 104 farklı durumu olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 10. Aşağıdakilerden hangisi doğru bir önermedir? A) r irrasyonel sayı değildir. B) En küçük çift sayı 0 dır. C) Aynı iki reel sayının oranı her zaman 1 dir. D) Asal sayılar tek sayıdır. E) e irrasyonel sayıdır. 8. (q Q q') Q p' bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p' C) q D) q' E) 1 11. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p / p' B) p Q p' C) p 0 p D) p 0 0 E) p / 1 9. p: " 5 irrasyonel sayıdır." p' Q q' : "0 en küçük doğal sayıdır." olduğuna göre, [(p Q q')' / p'] Q q bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) p D) p 0 q E) p / q' 1 1 1. [( ) < ( ) / 4!.5! 6!] 8 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? 1 1 A) [( ) < ( ) 0 4!. 5! 6!] 8 1 1 B) [(- ) $ (- ) 0 4!. 5 = 6!] 8 1 1 C) [(- ) $ (- )/ 4!. 5 = 6!] 8 1 1 D) [(- ) > (- ) 0 4!. 5 = 6!] 8 1 1 E) [(- ) # (- ) 0 4!. 5 = 6!] 8 Cevaplar 1. E. A 3. B 4. A 5. D 6. E 7. B 8. A 9. A 10. E 11. B 1. B 8 Book 1.indb 8 01/09/18 0:
Ortaöğretim Alanı MF - 0 Matematik Ders Föyü Elektrik Devrelerinin Sembolik Mantıkla İlişkisi Bir elektrik devresinden akımın geçmesi veya geçmemesi devre üzerindeki anahtarlarla sağlanır. Kapalı Anahtar 1. Uygulayalım p s q r Anahtar kapalı iken devreden akım geçer ve doğruluk değeri 1 dir. Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? Açık Anahtar. p s Anahtar açık iken devreden akım geçmez ve doğruluk değeri 0 dır. q r k Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? Seri Bağlama Bu devredeki anahtarlar seri bağlanmış olup p / q ile gösterilir. p q 3. p r q k s Paralel Bağlama Bu devredeki anahtarlar paralel bağlanmış olup p 0 q ile gösterilir. p q Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? 1. [p (q r)] s. [(p q) r] (s k) 3. [(p q) [r (s k)] 9 Book 1.indb 9 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 0 Sembolik Mantık Kümeler Uygulayalım p p ı 1 A A ı E p p ı 0 A A ı p (q r) (p q) (p r) A (B C) = (A B) (A C) (p q) ı p ı q ı (A B) ı = A ı B ı Elektrik Devreleri 1. p s q k m r Paralel Bağlı Anahtarlar p q Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız. p q p v q Ampul 1 1 1 Yanar 1 0 1 Yanar 0 1 1 Yanar 0 0 0 Yanmaz. q p q' p' Paralel bağlı anahtardan, en az biri KAPALI ise devreden akım geçer. Seri Bağlı Anahtarlar Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız. p q p q p / q Ampul 3. [p 0 (q / r)] 0 [(t / k) 0 m] önermesine karşılık gelen elektrik devresini çiziniz. 1 1 1 Yanar 1 0 0 Yanmaz 0 1 0 Yanmaz 0 0 0 Yanmaz Seri bağlı anahtardan, ancak her ikisi de KAPALI iken devreden akım geçer. 1. [(p0q)/r] 0[s/(k0m)]. p/[q0(q'/p')] 3. p q t r k m 10 Book 1.indb 10 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 0 Kümelerde İşlemler ve Sembolik Mantık Kuralları Kümeler Q E, + A' = Önermeler Mantığı 0 1 0 / P' / Koşullu Önermeler Uygulayalım 1. A, B ve C kümeleri sembolik mantıkla sırasıyla p, q ve r önermeleriyle gösterildiğinde, (A' j B)' + (C')' kümesinin sembolik mantıktaki karşılığı ne olur? İse Bağlacı p ve q herhangi iki önerme olmak üzere p doğru q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan önermeye p ise q bileşik önermesi veya koşullu önerme denir. p ( q veya p $ q şeklinde gösterilir. p q p ( q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1. p: "1 + + 3 = 6 dır." q: "1.. 3 = 6 dır." olduğuna göre, aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) p ( q... b) p' ( q... c) p' ( q'... d) q ( p'... p ( q önermesinde p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Ayrıca p önermesi, q için yeter koşul; q önermesi, p için gerek koşuldur. p ( q önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. 3. Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) 1 0 (1 & 0) b) [(0 & 1) 0 (1 & 0)] / 1 c) [(1 &1) ((0 &1)] & [0&(0 & 0)] p ( q / 1 denkliği "p gerektirir q" diye okunur. Örnek (p 1) ( 0 p) önermesini en sade biçimde yazınız. Çözüm 4. p & (r 0 q) / 0 olduğuna göre, (p & q) & [(p 0 q') / r] bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? (p 1) /1 13 (0 p) / 1 1 1 /1 bulunur. 1. [(p / q') / r]. a) 1, b) 1, c) 1, d) 0 3. a) 1, b) 1, c) 1 4. 1 11 Book 1.indb 11 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 0 İse Bağlacının Özellikleri p & q / p' 0 q p & p / 1 1. (p' & q) / (q' / p)' Uygulayalım önermesinin en sade şekli nedir? 1 & p / p 0 & p / 1 p & p' / p' p & 1 / 1 p & 0 / p'. (q' / p) & (p' & q) önermesinin en sade şekli nedir? Koşullu Önermenin Karşıtı p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin KARŞITI: q & p 3. a) "Bugün salı ise yarın Çarşambadır." b) "Yağmur yağmış ise yerler ıslaktır." önermelerinin karşıtlarını yazınız. Koşullu Önermenin Tersi p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin TERSİ: p' & q' Koşullu Önermenin Karşıt Tersi 4. a) 5 < 6 & 5 < 6 dır. b) 4! = 4 & 5! = 10 dir. önermelerinin terslerini yazınız. p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin KARŞIT TERSİ: q' & p' Örnek "x tek sayı ise x 3 tek sayıdır." önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini bulunuz. 5. a) 7 + 8 = 15 ise 7 < 15 tir. b) 0 bir tam sayı ise 5 0 bir tam sayıdır. önermelerinin karşıt terslerini yazınız. Çözüm p: x tek sayı q: x 3 tek sayı p q Karşıtı: q p. x 3 tek sayı ise x tek sayıdır. Tersi: p ı q ı. x tek sayı değil ise x 3 tek sayı değildir. Karşıt tersi: q ı p ı. x 3 tek sayı değil ise x tek sayı değildir. 1. q. 1 3. a) Yarın çarşamba ise bugün salıdır. b) Yerler ıslak ise yağmur yağmıştır. 4. a) 5 $ 6&5 $6 b) 4! 4 & 5!!10 5. a) 7 $15 ise 7+8 ]15 b) 5 0 bir tam sayı değil ise 0 bir tam sayı değildir. 1 Book 1.indb 1 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 1. p r q s 3. a c b d e f k r Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? m n A) [(p 0 q) / r] 0 s B) [(p / q) 0 r] / s C) [(p / q) 0 r] 0 s D) [(p 0 q) 0 r] / s E) [(p / q) / r] / s Yukarıdaki elektrik devresi için; I. Devreden elektrik akımı geçer. II. Ampul yanmaz. III. Devreye karşılık gelen bileşik önerme [[(a / b) 0 (c / d)] / e] 0 [[(f / k) 0 (m / n)]/ r] şeklindedir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III. p q s r k m 4. c d n a b e f q Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) n / p / [(q / r) 0 (s / k)] / m B) n 0 p 0 [(q / r) 0 (s / k)] / m C) n / p 0 [(q / r) 0 (s / k)] / m D) n / p / [(q / r) / (s / k)] / m E) n / p 0 [(q / r) 0 (s 0 k)] 0 m Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) (a / b) / c / [d 0 (e / f)] / q B) (a 0 b) 0 c 0 [d 0 (e / f)] / q C) (a 0 b) / c / [d / (e / f)] / q D) (a 0 b) / c / [d 0 (e / f)] / q E) (a 0 b) / c 0 [d 0 (e 0 f)] 0 q 13 Book 1.indb 13 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 5. p & q koşullu önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? 8. [(1 & p) & 1] Q q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p D) q E) q' A) p 0 q B) p' 0 q C) p 0 q' D) p' 0 q' E) p' / q 9. "a ve b tek sayı ise a. b tek sayıdır." bileşik önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? 6. (p & q) / (p' & q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p' B) p C) q D) q' E) 1 A) a. b tek sayı değil ise a ve b tek sayı değildir. B) a. b tek sayı ise a ve b tek sayıdır. C) a ve b tek sayı değil ise a. b tek sayı değildir. D) a ve b tek sayı ise a. b tek sayı değildir. E) a. b tek sayı ise a ve b tek sayı değildir. 10. p / [(1 & 0) & 1] 0 [(0 & 0) & (1 & 0)] 7. I. p & 0 / p' II. p & 1 / 0 III. p & p / p IV. p & q / p' 0 q V. 1 & p / 0 Yukarıda verilen denkliklerden kaç tanesi kesinlikle yanlıştır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 q / 0 0 (1 & 0) r / [(1 & 0) 0 (0 & 0)] & 1 Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p & q / 0 B) (p & q) 0 r / 0 C) p & r / 0 D) p' & q' / 0 E) p Q r / 1 Cevaplar 1. B. A 3. E 4. D 5. B 6. C 7. B 8. E 9. A 10. A 14 Book 1.indb 14 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 1. (q / p) & (1 0 0) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) 1 C) q D) 0 E) p' 0 q' 4. [(q & 1')' & (1' & r)] & p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p' B) q C) r D) p E) r'. [q / (q & r')'] 0 [q & r']' bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q 0 r B) q / r C) q & r D) r & q E) r' & q 5. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p & q B) (p' & q) 0 p' C) (p & q)' 0 (q 0 p)' D) r & (r & p) E) (p & q) 0 (q' & p') 3. (q & r') / (q & r) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q' B) q C) r D) r' E) 1 6. [r & (p 0 r)]' önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p / r' D) p / r E) r' 15 Book 1.indb 15 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 7. "Bugün sınav yapıldı ve başarılı geçti." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) Bugün sınav yapıldı ve başarılı geçmedi. B) Bugün sınav yapılmadı veya başarısız geçti. C) Bugün sınav yapıldı ve başarısız geçti. D) Bugün sınav yapılmadı ve başarılı geçti. E) Bugün sınav yapılınca başarılı geçer. 10. p: Ay Dünya'nın uydusudur. q: Dünya gezegenlerin uydusudur. önermeleri veriliyor. Buna göre, q & p' önermesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) Dünya gezegenlerin uydusu ise Ay Dünya'nın uydusu değildir. B) Dünya gezegenlerin uydusu ise Ay Dünya'nın uydusudur. C) Dünya gezegenlerin uydusu değil ise Ay Dünya'nın uydusudur. D) Ay Dünya'nın gezegeni ise Dünya gezegenlerin uydusudur. E) Ay Dünya'nın gezegeni değil ise Dünya gezegenlerin uydusudur. 8. (a = 6) & (a 3 = 16) koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) a 3! 16 & a! 6 B) a! 16 & a 3! 6 C) a 3! 16 & a = 6 D) a 3 = 16 & a! 6 E) a! 6 & a 3! 16 11. "Berkan bugün gelmez ise yarın gelir." koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Berkan bugün gelmez ise yarın gelmez. B) Berkan yarın gelir ise bugün gelmez. C) Berkan yarın gelmez ise bugün gelir. D) Berkan bugün gelir ise yarın gelmez. E) Berkan bugün gelir ise yarın da gelir. 9. "Karamel hasta ise veterinere gider." koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Karamel hasta ise veterinere gitmez. B) Karamel veterinere giderse hastadır. C) Karamel veterinere giderse hasta değildir. D) Karamel hasta değil ise veterinere gider. E) Karamel hasta değil ise veterinere gitmez. 1. "Bugün yağmur yağar ise fotoğraf çekeceğim." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Bugün yağmur yağar ise fotoğraf çekmem. B) Bugün yağmur yağmaz ise fotoğraf çekerim. C) Fotoğraf çekmez isem bugün yağmur yağmıştır. D) Fotoğraf çekmez isem bugün yağmur yağmamıştır. E) Fotoğraf çeker isem bugün yağmur yağmıştır. Cevaplar 1. B. B 3. A 4. D 5. B 6. A 7. B 8. A 9. B 10. A 11. B 1. D 16 Book 1.indb 16 01/09/18 0:
Ortaöğretim Alanı MF - 03 Matematik Ders Föyü İki Yönlü Koşullu Önerme Ancak ve Ancak p ve q iki önerme olmak üzere, p ve q önermeleri aynı değerleri aldığında doğru, farklı değerler aldığında yanlış olan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p + q biçiminde yazılır. p ancak ve ancak q diye okunur. p q p + q Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) (1 + 1) + 1 b) (0 + 1) + 1 c) (0 + 0) + 0 d) (1 + 0) + 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Teorem p ve q iki önerme olmak üzere (p & q) ile (q & p) koşullu önermelerinin / işlemi ile birbirlerine bağlanmasından elde edilen (p & q) / (q & p) bileşik önermesi p, q bileşik önermesine denktir. NOT p + q / (p ( q) / (q ( p). Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) [(1 + 1) & (1 + 1)] b) [(0 + 1) & (0 + 0)] + 1 c) [0 + 0) + (0 & 0)] + 0 İspat p q p & q q & p p, q p & q q & p 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 3. [(q + 0) + (q + 1)] + p önermesinin en sade şekli nedir? 0 0 1 1 1 1 p, q / (p & q) / (q & p) 1. a) 1 b) 0 c) 0 d) 0 p + q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.. a) 1 b) 1 c) 0 3. p 17 Book 1.indb 17 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 03 Ancak ve Ancak Bağlacının Özellikleri p + q / (p & q) / (q & p) p + q / q + p p + q / p' + q' Uygulayalım 1. [(p & q) / (p / q)'] + p önermesinin en sade şekli nedir? (p + q), r / p + (q + r) (p + q)' / (p' + q) / (p + q') p + p / 1 p + p' / 0 p + 1 / p p + 0 / p'. (q' & r) 0 p / (1 & 0) olduğuna göre, q 0 (p + r) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Örnek (p + q) ^ (q ı + p) bileşik önermesinin denk önermesini bulunuz. Çözüm (p + q) ^ (q ı + p) ; (p + q) ı / p ı + q / p + q ı / (p + q) ^ (p ı + q) / (p + q) ^ (q + p) ı 3. Aşağıdakilerden kaç tanesi çelişkidir? I. p' + 1 II. p + 0 III. p + p' IV. p + r V. q + q / (p + q) ^ (p + q) ı 13 13 a a ^ ı / 0 bulunur. Açık Önerme İçerisinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış doğruluk değeri alabilen ifadelere açık önerme denir. 4. Doğal sayılar kümesinde "p(x) = 6x 3 + x x = 0" açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. Açık önermeyi doğru yapan değerler kümesine açık önermenin doğruluk kü- mesi denir. x değişkenine bağlı olan açık önermeler p(x), q(x), r(x)..., sembollerinden biriyle, x ve y gibi iki değişkene bağlı olan açık önermeler p(x, y), q(x, y), r(x,y),... sembollerinden biriyle gösterilir. 1. 0. 1 3. 1 4. {0} 18 Book 1.indb 18 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 03 Niceleyiciler Önüne geldiği elemanların niceliğini (çokluğunu) belirten "her" ve "bazı" sözcüklerine niceleyici adı verilir. p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun, A daki her eleman için p(x) doğru bir önerme oluyorsa, Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermeleri kurallı bir cümle biçiminde ifade ederek doğruluk değerlerini bulunuz. a) 7x!N, x 3 < 10 b) 7x!R, x 4 + x = 8 (6x! A), p(x) veya 6x, p(x) yazılır. Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen 6 sembolü evrensel niceliyicidir. "6x, p(x)" önermesinin doğru olması için, kümedeki bütün x değerlerinin p(x) önermesini doğrulaması gerekir. p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. A kümesi p(x)'i doğrulayan en az bir x elemanı varsa,. Aşağıdaki önermelerin olumsuzunu bulunuz. a) [(7x, x = 5) / (6x, x>0)] b) [7x!N, 7x 8 < 10] (7x! A), p(x) veya 7x, p(x) yazılır. Bazı, en az bir anlamlarına gelen 7 sembolü varlıksal niceleyicidir. 3. [(7x!R, x 6 = 0) & (6x!R, x + 5> 0)] bileşik önermesinin değilini bulunuz. "7x, p(x)" önermesinin doğru olması için çözüm kümesi boş olmamalıdır. Niceleyicilerin Olumsuzları (#)' / (1)' / $ (=)' /! 6' / 7 4. Aşağıdaki önermeleri niceleme sembolleriyle yazıp doğruluk değerlerini ve kümelerini bulunuz. a) P: "Bazı x doğal sayıları için x x = 0 dır." b) q: "Her x doğal sayısı için x 4 sayısı pozitiftir." c) r: "Bütün tek tam sayıların 8. kuvveti tektir." 7' / 6 (!)' / g [6x, p(x)]' / 7x, p'(x) [7x, p(x)]' / 6x, p'(x) 1. a) D 1 b) D 0. a) [(6x, x!5) 0 (7x, x#0)] b) [(6x!N) 7x 8 $10)] 3. (7x!R; x 6 = 0 / 7x!R, x + 5#0) 4. a) D 1 b) D 0 c) Doğru 19 Book 1.indb 19 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 03 Tanım, Aksiyom, Teorem Bir terimi açıklayan önerme her durumda doğru ise bu önerme tanımdır. Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir. Uygulayalım 1. "x ve y çift sayı ise x. y çift sayıdır." teoremini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayınız. Doğruluğu ispat edilebilen önermelere teorem denir. Bir teorem hipotez ve hükümden oluşur. p & q önermesinde p ye hipotez (varsayım), q ya hüküm (yargı) denir.. n bir doğal sayı olmak üzere; İspat Yöntemleri Olmayana Ergi Yöntemi (Dolaylı İspat) "x tek tam sayı ise x n tektir." teoremini olmayana ergi (dolaylı ispat) yöntemiyle ispatlayınız. p & q q' & p' olduğundan q' & p' önermesinin doğru olduğunu ispatlamak, p & q önermesinin de doğru olduğunu ispatlamak için yeterlidir. Bu ispat yöntemi dolaylı (olmayana ergi) yöntemi ile ispattır. Doğrudan (Direkt) İspat Yöntemi 3. "x bir doğal sayı ise x + 10 bir doğal sayıdır." teoremini çelişki yöntemi ile ispatlayınız. p & q gerektirmesinde p önermesinin doğru olduğu kabul edilerek, q önermesinin doğru olduğunu gösterme yöntemi doğrudan ispat yöntemidir. Çelişki Yöntemi Bir teoremde hükmün değilinden hareketle genel bir çelişki elde etme yöntemi çelişki yöntemi ile ispattır. (p & q)' (p' 0 q)' = p / q' denkliğinden yararlanılır. Deneme Yöntemi Bir açık önermede verilen bir kümenin her elemanı ayrı ayrı değişken yerine yazılarak önermenin doğruluğu gösterilebiliyorsa bu yönteme deneme yoluyla ispat denir. Aksine Örnek Vererek İspat Bir teoremin ispatında aksine bir örnek vererek hipotezin olmayacağı ve hükmün doğru olacağı ispat edilebiliyorsa bu yönteme aksine örnek verme yöntemiyle ispat denir. 1. p: (x ve y çift sayılardır.) (Hipotez), q: (x.y) çift sayıdır.) (hüküm) x bir çift sayı ise x = n olacak şekilde bir n!n vardır. y bir çift sayı ise x=m olacak şekilde bir m!n vardır. x.y = n.m=. ( mn)=k (k!n) olduğundan x.y çarpımı : çift olur. k Böylece p nin doğruluğu kabul edilerek q nun doğru olduğu gösterilir.. p &q / q' &p' p : (x tek tam sayı) & p': (x çift tam sayı) q : (x n tek tam sayı) & q': (x n çift tam sayı) q' & p': (x n çift tam sayı) & (x çift tam sayı) q' & p' : (x n çift tam sayı) ise x çift tam sayı olmalıdır. Oysa teoremde x tek tam sayı verildiğinden x çift tam sayı olamaz. Demek ki x n tek tam sayıdır. 3. p: x bir doğal sayıdır. q: x + 10 bir doğal sayıdır. P: Hipotez, q: Hüküm, p &q: Kabul, p &q/1 denkliğini göstermek için (p&q)'/0 denkliği gösterilmelidir. (p &q)'/(p'0q)'/p/q' olduğuna göre, p/q' / "x bir doğal sayıdır ve x+10 bir doğal sayı değildir." önermesinin doğruluk değeri p/q' /1/0/0 olur. (p&q)' /0 ise p&q=1 olur. 0 Book 1.indb 0 01/09/18 0:
1. (p & p) + (q ğ q') 4. [p + (p' + p)] 0 q Neler Öğrendik? 3 önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) p' C) p&q D) p/q E) p0q önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) 1 C) 0 D) p' E) p&q. (q' 0 p)' + (p & q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisinde denktir? A) q' B) p+q C) q D) p E) p&q 5. (p & q) + (p 0 q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p' C) q D) q' E) 1 3. p v q bir çelişki olduğuna göre, (p + q) / (p / 1)' önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p D) q E) p / q 6. [(p & q) + (q' & p')] / p önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p' C) 1 D) p / q E) q' 1 Book 1.indb 1 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 7. p + q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & q B) q & p 10. [(p + r) / r] & r önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p D) r E) p' C) p + q' D) (p & q) / (q & p) E) (p & q) 0 (q & p) 8. (p / r) + p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & r B) r & p C) p D) r E) p + r 11. I. (x = 5) + (x = 5) II. (x = 0) + (x = 0) III. (x = 5) + (x 3 = 15) IV. (x + 3y = 5) + (x = 1 ve y = 1) bileşik önermelerinden hangileri reel sayılarda bir çift gerektirmedir? A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) III ve IV E) I, II, III ve IV 9. (p' + r') 0 (p' + r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) r C) p' D) 1 E) 0 1. p / 1 p + (q 0 r) / 0 olduğuna göre, (q & r) / (p' + r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q B) q' C) r D) p' E) 0 Cevaplar 1. B. A 3. A 4. E 5. C 6. A 7. D 8. A 9. D 10. A 11. C 1. B Book 1.indb 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 3 1. "x = 10 ( 3x + 5 = 35 tir." teoremini olmayana ergi yöntemiyle ispat ediniz. 3. "Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı çift bir tam sayıdır." teoremini deneme yöntemiyle ispatlayınız.. nin rasyonel sayı almadığını (irrasyonel olduğunu) çelişki yöntemini kullanarak ispat ediniz. 4. "a bir asal sayı ise tektir." önermesinin yanlış olduğunu aksine örnek vererek ispatlayınız. 3 Book 1.indb 3 01/09/18 0:
Neler Öğrendik? 5. Dolaylı ispat (olmayana ergi) yönteminde p' v q önermesi yerine aşağıdaki teoremlerden hangisinin ispatı yapılır? A) q' & p' B) p & q C) p' & q' D) p 0 q E) p / q 8. x d R olmak üzere "(x = 5) & (8x + 10 = 50)" teoreminin çelişki yöntemiyle ispatına aşağıdakilerden hangisi ile başlanır? A) (x! 5) ( (8x + 10 = 50) B) x! 5 ( (8x + 10! 50) C) (8x + 10)! 50 ( (x! 5) D) (x! 5) ( (8x + 10 = 50) E) (8x + 10 = 50) / (x! 5) 6. p & q önermesinde p önermesinin doğru olduğu kabul edilerek q önermesinin doğruluğu ispat edilirse p & q teoremi ispat edilmiş olur. Bu şekildeki ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Çelişki yöntemi ile ispat B) Doğrudan ispat C) Olmayana ergi yöntemi ile ispat D) Aksine örnek vererek ispat E) Deneme yöntemi ile ispat 9. Teorem: "x = 5 ise 8x + 10 = 50 dır." İspat: I. x = 5 II. 8x = 8. 5 III. 8x + 10 = 8. 5 + 10 IV. 8x + 10 = 50 Yukarıdaki ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Olmayana ergi yöntemi B) Tümevarım yöntemi C) Deneme yöntemi D) Doğrudan ispat yöntemi E) Çelişki yöntemi 7. Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere... denir. Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Aksiyom B) Teorem C) Hipotez D) Hüküm 10. Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere... denir. Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Totoloji B) Aksiyom C) Teorem D) Hipotez E) Çelişki E) Çelişki Cevaplar 5. A 6. B 7. A 8. E 9. D 10. C 4 Book 1.indb 4 01/09/18 0:
Ortaöğretim Alanı MF - 04 Matematik Ders Föyü KÜME Belirli bir özelliği sağlayan, iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler büyük harflerle, elemanlar ise genellikle küçük harflerle, sayılarla ya da sembollerle gösterilir. Küme içinde her bir eleman bir defa yazılır. Kümenin içinde elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Uygulayalım 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir küme belirtir? I. "Ankara'nın ilçeleri" II. "Sınıfımızdaki en yakışıklı öğrenci" III. "Haftanın P ile başlayan günleri" IV. "13456 sayısının rakamları" Bir A kümesinin eleman sayısı s(a) ile gösterilir. a elemanı A kümesinin elemanı ise a! A şeklinde gösterilir. a elemanı A kümesinin elemanı değil ise a! A şeklinde gösterilir. Kümelerin Gösterimi. A = " Q, " 1,, " 3,, 1,, 3, kümesinin eleman sayısı kaçtır? 1. Liste Yöntemi Kümeye ait elemanlar " ", " parantezi içine, birbirinden virgül ile ayrılarak yazılır. A = " 1,, 3, a, b,. Venn Şeması Yöntemi 3. Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz.. I. A = " MATEMATIK, II. B = " 35796, III. C = " x: 4 < x < 30, x asal sayi, IV. D = "( x, y): x+ y = 8 vex, y! N, Elemanların kapalı bir şekil içinde yazıldığı yöntemdir. A 1 3 b a 4. A = " 1,, " a, b,, a, " b,, kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır? 3. Ortak Özellik Yöntemi Elemanların ortak özelliklerinin belirtildiği gösterim şeklidir. I. " a,! A II. " 1,,! A III. " a, b,! A IV. " b,! A V. " a, " b,,! A A = " x: n+ 1, n! N, "İki ile bölümünden kalanı bir olan doğal sayılar kümesi" 1. 3. 6 3. 1, 1, 8, 5 4. 1 5 Book 1.indb 5 01/09/18 0:
Matematik Ders Föyü 04 Sonlu Küme Elemanları sayılarak sonlandırabilen kümeye sonlu küme denir. Örnek A = "( x, y) : y+ x = 5, x ve y doğal sayı, kümesinin bir sonlu küme olduğunu gösterelim. Çözüm y+ x = 5 & x = 5-y y = 5 için x = 0 y = 3 için x = 1 5 - y & x = y = 1 için x = bulunur. Bu durumda A = "( 0, 5), ( 1, 3), (, 1), olup A kümesi sonlu bir kümedir. Sonsuz Küme Uygulayalım 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi sonlu kümedir? A = "( x, y): 3x+ y = 1, xve y doğal sayı, B = " x: x-4 > 4, x! R, C = " x: x-4 G 4, x! N, x D = " x: 8 = 3, x! R,. Aşağıdakilerden kaç tanesi sonsuz kümedir? A = # x: x = 7n- 3, x! Z - B = " x: x > 10, x! N, C = #( x, y) : x- y = y, ( x, y)! R - D = #( xy, ): x -y > 0,( xy, )! R - + Elemanları sayılarak sonlandırılamayan kümeye sonsuz küme denir. Örnek A = " x: x- < 3, x! R, kümesinin sonsuz bir küme olduğunu gösterelim. Çözüm x- < 3 & -3 < x- < 3 & & & - 3+ < x < 3+ - 1 < x < 5 (-1, 5) 3. Aşağıdaki kümelerden kaç tanesi boş kümedir? A = " x: x-5 > -7, x! R, x 1 B = ' x: 3 <, x! R1 9 C = " Q, x + 7 + 1 D = ) x: < 0, x! R3 x - 5 Bu durumda x! R olduğundan bu aralıkta sayılamayacak kadar gerçel sayı vardır. Dolayısıyla A kümesi sonsuz kümedir. Boş Küme Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme "Q" veya ""," şeklinde gösterilir. Evrensel Küme 4. Aşağıdakilerden hangisi A = " 468,,,, kümesine ait evrensel küme olamaz? I. E = " 0,, 468,,, II. E = " Çift rakamlar, III. E = " 0, 1, 356789,,,,,,, IV. E = " 15' ten küçükdoğal sayılar, Üzerinde işlemler yapılan tüm kümeleri kapsadığı kabul edilen kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme "E" harfi ile gösterilir. 1. 3. 4 3. 1 4. III 6 Book 1.indb 6 01/09/18 0:3
Matematik Ders Föyü 04 Eşit Kümeler Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A kümesi B kümesine eşitse " A = B" şeklinde, eşit değil ise " A =Y B" şeklinde gösterilir. Uygulayalım 1. A = " 1345,,,,, kümesine eşit olan kümeler aşağıdakilerden hangileridir? I. B = " k,, lmnp,,, II. C = "-1,-,-3,-4, -5, Örnek A = " 0134567,,,,,,,, B = " x: x G 7, x! N, III. D = " 6' dan küçük sayma sayiları, IV. E = " x: 0 < x G 5, x! N, olduğuna göre A = B olduğunu gösterelim. Çözüm B kümesi için x G 7 vex! N olduğuna göre, B = " 0, 1, 34567,,,,,, dir. Bu durumda A = Bdir '. 3. A = # x: x < 9, x! N- B = " x: - 7 < x < 4, x! N, C = # x: x + 1 < 0, x! R- D = ", Yukarıda verilenlere göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. A = B II. C = D III. sd ( ) = 0 IV. sb ( ) = 10 V. B kümesi sonlu bir kümedir. Örnek "boş küme", "sonlu küme" ve "sonsuz küme" Yukarıda verilen küme çeşitlerini boşluklara uygun biçimde yerleştiriniz. A = " x 5 < x G 8, x! N, ise A ' dir. B = " x 5 < x G 8, x! R, ise B ' dir. C = " x 5 < x < 9, x! N, ise C ' dir. D = " x 13x = 91, x! R, ise D ' dir. 3. A = " x: -3 G x < 1, x! N, kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi A kümesine eşittir? I. B = # x: x - x = 0, x! N- II. C = # x: x = 16, x! Z- III. D = # x: x = -4, x! R- Çözüm A = " 678,,, olduğundan, sonlu kümedir. B kümesi sayılamayacak kadar çok elemana sahip olduğundan, sonsuz kümedir. C kümesini oluşturacak bir doğal sayı olmadığından, boş kümedir. 13x = 91 & x = 7 & 7! R Bu durumda D kümesi sonlu bir kümedir. 4. A = " 1567,,,, a, 9, B = " 61,, b, 7910,,, kümeleri için A = B olduğuna göre a+ b toplamı kaçtır? 1. III, IV. 4 3. 3 4. 15 7 Book 1.indb 7 01/09/18 0:3
Matematik Ders Föyü 04 Alt Küme A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. " A 1 B" ile gösterilir. A kümesinin en az bir elemanı B kümesinin elemanı değil ise A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir denir. " A 1Y B" ile gösterilir. Alt Kümenin Özellikleri 1. A = " abc,,, Uygulayalım B = " a, bcd,,, C = " a, bcd5,,,, kümeleri için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I) Q 1 A II) A 1 B III) A 1 C IV) A 1 A V) B 1 C VI) A 1 C Boş küme her kümenin alt kümesidir. Q 1 A, Q 1 B Her küme kendisinin alt kümesidir. A 1 A, B 1 B, Q 1 Q ( A 1 B ve B 1 C), A 1 C ( A 1 B ve B 1 A), A = B. A = # x: _ x - 1i _ x + xi= 0, x! Z- B = " x: - < x <, x! Z, C = " x: -1 x 1, x! N, D = # x: x 1, x! R- Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) Q! A B) Q 1 A C) " Q, 1 A D) " Q, kmn,,, 1 A E) "" Q,m,, 1 A Örnek A = " x 10' luk sayma sisteminin rakamlari, B = " x: x- < 0, x asal sayi, kümeleri veriliyor. Buna göre; A = " 013456789,,,,,,,,,, B = " 357,,,, olduğundan A B veya B 1 Adr ' I. 3. A = " 3, Q, 45,," 35,,, kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) " 3, 1 A B) " Q, 1 A C) " 35,, 1 A D) " 35,, " 35,,, 1 A E) " 45,,! A Bu durumu Venn şeması ile gösterecek olursak; 0 1 A B 3 9 5 7 4 6 8 4. A = " Q,,, l ider,,, olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) Q! A B) " e, 1 A C) " Iir,,, 1 A D) " Q,, ie, 1 A E) "" Q, r,, 1 A 1. 6. E 3. E 4. E 8 Book 1.indb 8 01/09/18 0:3
Neler Öğrendik? 4 1. I) "Sınıfımızdaki bazı öğrenciler." II) "Sınıfımızdaki uzun boylu öğrenciler." III) "Sınıfımızdaki iyi öğrenciler." IV) "Sınıfımızdaki akıllı öğrenciler." V) "Sınıfımızda bulunan ve doğum yeri Aydın olan öğrenciler." Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme belirtir? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 4. A = " 71941,,, B = " 41, 48, 50, C = " 50, 55, 60, kümeleri veriliyor. Buna göre, sa ( ) + sb ( ) + sc ( ) toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 5. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) a! " a, bc,,. A = "-45, " 4545,, 4, -5,-54, olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A kümesinin bir elemanı değildir? A) -5 B) -54 C) " 4545, D) -45 E) 4545 B) 8 g " 357,,, C) Q! " Q, D) A = " LiDER, & s( A) = 1 E) " Q,! " Q, 3. A = " x: x, KARAKARTAL kelimesindeki bir harf, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10 6. Elemanları; kalem, kâğıt, silgi, defter olan kümenin kaç tane elemanı vardır? A) 0 B) 4 C) 8 D) 10 E) 15 9 Book 1.indb 9 01/09/18 0:3
7. Neler Öğrendik? I) A = " x -8 < x < -, x! N, II) A = " x x < 0, x! Z, III) A = " x 1 < x < 13, x! N, IV) A = " x -350 < x < 1, x! R, V) A = " MATEMATiK, Yukarıdaki kümelerden kaç tanesi sonsuz kümedir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 10. A bugün ders çalış Yukarıda Venn şeması ile verilen A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 1 8. I) A = " abcde,,,,, kümesi sonlu bir kümedir. II) A = " 13f,,,, n, f, kümesi sonsuz bir kümedir. III) A = "&, ise sa ( ) = 1' dir. IV) A = # x x = 169, x! N- sonlu bir kümedir. Yukarıdakilerden kaç tanesi doğrudur? A) 4 B) 3 C) D) 1 E) 0 11. I) A = ", II) A = Q III) A = " x x < 0, x! N, IV) A = " x x < 0, x asal sayi, V) A = # x x G -7, x! R - Yukarıdakilerden kaç tanesi boş kümedir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 + 1. 9. A = " MayIs, Mart, kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) YKış ayları^ B) Y4 harften oluşan aylar^ C) YM ile başlayan aylar^ D) YYılın en sıcak ayları^ E) YYılın 30 gün süren ayları^ I) Ğ harfi ile başlayan illerimiz II) Beş kulaklı insanlar III) K ile başlayan haftanın günleri IV) İnsan nüfusu 10 milyardan fazla olan illerimiz V) Üç basamaklı rakamlar Yukarıdakilerden kaç tanesi boş küme belirtir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Cevaplar 1. E. E 3. B 4. D 5. E 6. B 7. B 8. A 9. C 10. D 11. E 1. E 30 Book 1.indb 30 01/09/18 0:3
Neler Öğrendik? 4 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi A = "-1, 0, 1, kümesine eşittir? A) " abc,,, B) "-1, 0, 1, C) "-101, D) " x - 1 G x G 1, x! Z, E) " x: G x < 5, x! R, 4. A = " 94_,,, a, B = " Yln II mevsimleri, C = " x: 8 G x G 11, x! N, kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A = B B) B = C C) s(a) s(c) D) s(a) = s(b) E) sb ( ) = 4 5. A = " a, " 1,,, 3, " 4, 5,, kümesi veriliyor. I) sa ( ) = 6 II) a! A. A = " x: x-1 G 3, x! R, B = " x: - G x G 4, x! R, C = " x: -3 < x < 5, x! N, D = " 6' dan küçük asal saylar I, Yukarıda verilen kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? III) " a, " 1,, 1 A IV) " 1, 1 A V) " 45,,! A Buna göre yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 A) A = B B) A = C C) B = C D) C = D E) B = D 6. A B 1 a 3 C b d 4 5 A, B ve C kümeleri için yukarıdaki Venn şeması veriliyor. I) C 1 A 3. A = " 1,, " 3,," 345,,,, 5, 6, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 II) C 1 B III) B 1Y A IV) sb ( ) + sc ( ) = 6 V) s( A) + s( B) + s( C) = 13 Buna göre, yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 31 Book 1.indb 31 01/09/18 0:3
Neler Öğrendik? 7. A = " 13,,, " a, b,, a, bc,, " Q,, kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi A kümesinin hem alt kümesi hem de bir elemanıdır? A) " 1,, B) " ac,, C) " Q, D) "" ab,,, E) " ab,, 10. Aşağıdakilerden hangisi A = "" 1,,, Q, 4, " 56,,, kümesinin bir alt kümesidir? A) " 1,, B) "" Q,,4, C) " Q, " 1,,, D) " Q, " 4,, E) " 4, Q,, 8. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Q 1 " ade,,, B) Q! " Q, C) " 7, 1 " 7, D) " 69,, 1 "" 69,,, E) Q 1 Q 11. Aşağıdakilerden hangisi boş küme belirtir? A) #( xy, )! R : xy- y = 0- B) (( xy, )! R : x- y = 0 ve 1 1 -! 0,( xy, )! R x y C) " x! N: x < 0, x! N, D) # x! R: x G 0, x! R- 4 E) #( xy, )! R : x - y = 0 ve x- y! 0-9. A = " a, " b,, " a, b,, c, Q, kümesi için I) " a,! A II) " ac,, Q, 1 A III) " ab,,! A IV) " abc,,, 1 A V) Q! A VI) " Q, 1 A ifadelerden kaç tanesi yanlıştır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. Aşağıdaki kümelerden hangisinin eleman sayısı diğerlerinden daha azdır? x+ y A) ( x: = 1, ( x, y)! Z xy B) # x: x - x < 0, x! R- C) #( xy, ): x = 3y, ( x, y)! Z - D) #( xy, ): 3x + 6y = 18, ( x, y)! Z - 3 E) # x: x - x < 0, x! R- Cevaplar 1. D. A 3. A 4. D 5. C 6. C 7. E 8. D 9. B 10. C 11. C 1. A 3 Book 1.indb 3 01/09/18 0:3