9. SINIF MATEMATİK SORU BANKASI. Sinan YILMAZ Dr. Sefa YILDIZ UĞURLU Ertan GÜLER

Transkript

1 9. SINIF MTEMTİK SORU NKSI Sinan YILMZ r. Sefa YILIZ UĞURLU Ertan GÜLER

2 Nitelik Yayınları /8 9. Sınıf Matematik Soru ankası / Sinan YILMZ - r. Sefa YILIZ UĞURLU - Ertan GÜLER Yayına Hazırlama NİTELİK izgi-grafik irimi Nitelik Yayıncılık Yayın Editörü Ekrem PL Yayıncı Sertifika No 6586 ISN askı Tuna Matbaacılık San. ve Tic.. Ş. asımevi Sertifika No 60 u set 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz; teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, NİTELİK YYINILIK a aittir..dnan Saygun addesi 0/4 Sıhhiye/NKR Tel: Faks: nitelikyayincilik@gmail.com

3 "Eğitimdir ki, bir milleti ya özgür, bağımsız, şanlı, yüksek bir topluluk halinde yaşatır; ya da esaret ve sefalete terk eder." M. Kemal tatürk

4 EİTÖR Sevgili Öğrenciler, Tüm insanlar için mutlu olmanın ortak paydası, sağlıklı ve başarılı olmaktır. aşarı, hedeflenen amaca ulaşmaktır. u yüzden hayatımızın her aşamasında, gerçekçi hedefler belirlemeli ve bu hedeflere ulaşmak için mücadele etmeliyiz. Öğrenme, zihinsel becerilerin geliştirildiği bir süreçtir. Temelinizin sağlam olması öğrenmenin her aşamasında daha çabuk ve daha iyi öğrenmenizi sağlar. u yüzden üşenmeden, ertelemeden içinde bulunduğunuz zamanı değerlendirmeniz çok önemlidir. Sevgili öğrenciler, üniversite sınavına hazırlık, bir maraton koşucusu gibi belli bir tempoda düzenli ve verimli çalışmayı gerektirir. Öğretmenler ve kitaplar sizlere yol gösterir. Gösterilen yolda öğretilenleri inceleme, düşünerek sorgulama, ilişki kurma ve uygulama yani kendi kendine öğrenme, en verimli çalışma yöntemidir. İyi bir üniversitede, istediğiniz bölümde okuyacağınızı düşünün. u düşünce ile kendinizi çalışmaya motive edin. Kendinize güvenin, ancak gereğini yaparak öz güveninizi geliştireceğinizi unutmayın. Üniversite sınavı, bir öğrencinin hayatındaki dönüm noktalarından biridir. u sınavda kazanacağınız üniversite ve bölüm, mesleğinizi ve sonraki yaşamınızın kalitesini belirleyecektir. Yayınlanan ürünlerin, sizin geleceğiniz açısından ne kadar önemli olduğunun bilincindeyiz. u sorumluluk duygusuyla, güçlü yazar kadromuzun hazırladığı öğretme - öğrenme odaklı, belli bir sistemle ilerleyen NİTELİK'li ürünlerle sizlere layık olmaya çalışmaktayız. Sevgili Öğrenciler, ME, 08 yılı Ocak ayında tüm derslerin öğretim programlarını değiştirdi. Yenilenen programlar öğretim yılında tüm sınıflara topyekün olarak uygulanacaktır. Nitelik Yayıncılık'ın daha önce yayımladığı 9, 0,. sınıf konu anlatımlı ve soru bankası kitaplarının tümü açıklanan bu öğretim programlarına uygun olarak yenilenmiştir. u kitaplar, hem siz öğrencilerin okul başarılarınızı yükseltecek hem de üniversite sınavı için sağlam bir temel oluşturmanızı sağlayacaktır. u kitapların hazırlanmasında, bize her konuda destek olan Nitelik Yayıncılık'ın Genel Müdürü Sayın İlhan udak'a teşekkür ederiz. Sizlerin başarısına katkıda bulunmanın mutluluğu ile tüm öğrencilere başarılar dileriz. Ekrem PL IV

5 ÖN SÖZ eğerli Meslektaşlar; Elinizdeki kitap Milli Eğitim akanlığı Talim ve Terbiye Kurulu aşkanlığı nca en son yayınlanan Ortaöğretim 9. Sınıf Matematik ersi Programına göre titizlikle hazırlanmıştır. Kitapta kullanılan hücreleme yöntemiyle, öğreniclere daha rahat ödev verebilir ve bu sayede öğrenmeyi hızlandırabilirsiniz. Sevgili Öğrenciler; Ortaokul eğitiminizi tamamlayıp liseye ilk adımınızı atmış bulunuyorsunuz. ncak ulaşmak istediğiniz hefetleriniz için çalışmalarınızı kaçınılmaz bir gerçektir. sıl çalışma şimdi başlıyor diyebiliriz. Unutmayınız ki başarı, her şeyden önce disiplinli çalışmayı gerektirir. izler bu bağlamda, başarılar yakalayıp hedeflerinize ulaşmanıza yardımcı olabilmek için bu kitabı hazırladık. Elinizdeki kitapta, konulardaki eksiklerinizi kapatmanız amacıyla her bölümde konu özetlerine ve tekrar yapmanız amacıyla konunun genişliği oranında çözümlü testlere yer verilmiştir. rdından öğrenmeyi pekiştirip kalıcı olmasını sağlamak için çoktan seçmeli soruların yer aldığı testler hazırlanmıştır. Testlerdeki sorular ME programına ve ÖSYM'nin hazırladığı sınavlara uygun olarak belirlenmiş olup her düzeye uygun, kolaydan zora öğretici bir disiplinle sizlere sunulmuştur. Kitabın hazırlanması aşamasında bilgi ve tecrübelerini bizlerle paylaşan değerli meslektaşlarımız Lütfi ÖZEMİR, Türkan GÖRÜR YOLU, Uğur TOPUZ, İlker VURL ve Süleyman ŞKZUU'ya teşekkürlerimizi sunarız. Mutlu, sağlıklı ve başarılı bir eğitim-öğretim yılı geçirmenizi temenni ederiz Sinan YILMZ Sefa YILIZ UĞURLU Ertan GÜLER V

6 İÇİNEKİLER. ÜNİTE MNTIK. ÖLÜM Önermeler ve ileşik Önermeler...8. ÜNİTE KÜMELER. ÖLÜM Kümelerde Temel Kavramlar.... ÖLÜM Kümelerde İşlemler...4. ÜNİTE ENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖLÜM Sayı Kümeleri ÖLÜM ölünebilme Kuralları ÖLÜM irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler ÖLÜM Üslü İfadeler ve enklemler ÖLÜM enklem ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar ÜNİTE ÜÇGENLER. ÖLÜM Üçgenlerde Temel Kavramlar ÖLÜM Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik ÖLÜM Üçgenin Yardımcı Elemanları ÖLÜM ik Üçgen ve Trigonometri ÖLÜM Üçgenin lanı ÜNİTE VERİ. ÖLÜM Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri...5. ÖLÜM Verilerin Grafikle Gösterilmesi...6 VI

7 . Ünite Mantık. ÖLÜM Önermeler ve İleşİk Önermeler p çıkış t s q giriş r

8 . Ünite: Mantık. ÖLÜM Önermeler ve ileşik Önermeler... Önerme Tanım (Önerme) oğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin ir hafta 7 gündür. (oğru) Eskişehir Türkiye nin başkentidir. (Yanlış) ir gerçek sayının karesi negatif olamaz. (oğru) ifadeleri birer önermedir. ncak; Yaşın kaç? Çok sıkıldım. kıllı birine benziyorsun. ifadeleri önerme değildir. Çünkü bu ifadelerle ilgili kesin olarak doğru ya da yanlış şeklinde bir yorum yapılamaz. ir önerme, emir, soru, istek, ünlem, hayret, görecelilik anlamı olan cümleler olamaz. Önermeler p, q, r, s, t,... gibi küçük harflerle ifade edilirler. ir önerme doğru ise, yanlış ise 0 sembolüyle gösterilir. u sembollere önermenin doğruluk değeri denir. n farklı önermenin doğruluk değeri için n farklı durum vardır. Tanım (enk Önermeler) oğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir ve / sembolü ile gösterilir. p / q (p ile q denk önermeler) p _ q (p ile q denk olmayan önermeler) Tanım (Önermenin eğili) ir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen yeni önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir ve bir p önermesinin değili p9 veya p sembollerinden biri ile ifade edilir. p / p9 / 0 veya q / 0 q9 / dir. Tanım (VEY ağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan en az biri doğru iken doğru (), her ikisi de yanlış iken yanlış (0) olan bileşik önermeye p veya q bileşik önermesi denir ve p 0 q sembolüyle ifade edilir. p 0 q / 0 iken p / q / 0 dır. p 0 0 q 0 0 p 0 q 0 p 0 q / iken p ve q nun doğruluk değerlerine ilişkin kesin bir yorum yapılamaz. Tanım (VE ağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan en az biri yanlış iken yanlış (0), her ikisi de doğru iken doğru () olan bileşik önermeye p ve q p q 0 p / q 0 bileşik önermesi denir ve p / q 0 0 sembolüyle ifade edilir p / q / iken p / q / dir. p / q / 0 iken p ve q nun doğruluk değerlerine ilişkin kesin bir yorum yapılamaz. Tanım (Y ağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan yalnız biri doğru iken doğru (), diğer durumlarda yanlış (0) olan bileşik önermeye p ya da q bileşik önermesi denir ve p Q q sembolüyle ifade edilir. p Q q / iken p ile q farklı doğruluk değerine sahiptir. p Q q / 0 iken p ve q aynı doğruluk değerine sahiptir. ileşik Önermelerin Özellikleri VEY ağlacının Özellikleri p q p Q q ileşik Önermeler İki veya daha fazla önermenin veya, ve, ya da, ise, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere bileşik önerme, bileşik önermeyi oluşturan önermelere de bileşik önermenin bileşenleri adı verilir. p, q ve r birer önerme olsun. p 0 p / p (Tek kuvvet özelliği) p 0 q / q 0 p (eğişme özelliği) (p 0 q) 0 r / p 0 (q 0 r) (irleşme özelliği) p 0 /, p 0 0 / p, p 0 p9 / 8

9 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler VE ağlacının Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p / p / p (Tek kuvvet özelliği) p / q / q / p (eğişme özelliği) (p / q) / r / p / (q / r) (irleşme özelliği) p / / p, p / 0 / 0, p / p9 / 0 İSE ağlacının özellikleri p, q ve r birer önerme iken aşağıda verilen özellikler sağlanır. p p / 0 p / p 0 / p9 p / p p / p p9 / p9 p9 p / p yrıca nin 0 ve / üzerine dağılma özellikleri vardır. p (q 0 r) / (p q) 0 (p r) p (q / r) / (p q) / (p r) VE ile VEY İşlemlerinin irbiri Üzerine ağılma Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) (/ nin 0 üzerine dağılma özelliği) (p 0 q) / r / (p / r) 0 (q / r) p 0 (q / r) = (p 0 q) / (p 0 r) (0 nın / üzerine dağılma özelliği) (p / q) 0 r = (p 0 r) / (q 0 r) Tanım (Koşullu Önermenin KRŞITI, TERSİ ve KRŞIT TERSİ) p ve q birer önerme olmak üzere p q önermesinin karşıtı q p önermesi, tersi p9 q9 önermesi ve karşıt tersi q9 p9 önermesidir. p ve q önermeleri için p q ile q9 p9 bileşik önermeleri birbirine denktir. Tanım (NK VE NK ağlacı) e Morgan Kuralları p ve q iki önerme olsun. u durumda (p 0 q)9 / p9 / q9 ve (p / q)9 / p9 0 q9 denlikleri sağlanır. u denkliklere e Morgan Kuralları denir. p ve q önermeleri için (p Q q)9 / p9 Q q / p Q q9 olur. p ve q iki önerme olsun. p ve q önermeleri aynı değerleri aldığında doğru (), farklı değerleri aldığında yanlış (0) olan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir, p q biçiminde gösterilir ve p ancak ve ancak q biçiminde okunur. p 0 0 q 0 0 p q 0 0 p q / ise p ile q aynı değerlidir. p q / 0 ise p ile q farklı değerlidir.... Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme Tanım (İSE ağlacı) p ve q herhangi iki önerme olmak üzere p doğru, q yanlış iken yanlış (0), diğer durumlarda doğru () olan bileşik önermeye p ise q önermesi veya koşullu önerme adı verilir ve p q sembolüyle gösterilir. p q / 0 iken p / ve q / 0 olmalıdır. p q p q p q / iken p ve q nun doğruluk değerleriyle ilgili kesin bir yorum yapılamaz. p ve q önermeleri için p q / p9 0 q denkliği daima sağlanır. olayısıyla p q (İSE) şekliyle verilen bir bileşik önerme, dengi olan p9 0 q bileşik önermesine çevrilerek işlem yapılabilir. p ve q için p q / (p q) / (q p) denkliği sağlanır. Tanım p q bileşik önermesi doğru iken p önermesine q için yeter şart, q önermesine ise p için gerek şart denir. NK VE NK ağlacının Özellikleri p ve q birer önerme olsun. u durumda p q / q p (eğişme öz.) p p / p p9 / p9 p / 0 p / p / p p 0 / 0 p / p9 (p q)9 / p9 q / p q9 (ncak ve ncak ın eğili) (p q)9 / p Q q 9

10 . Ünite: Mantık..4. Her ( ) ve azı (7) Niceleyicileri Tanım (çık Önerme) İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olan önermelere açık önerme denir. Örneğin değişkenine bağlı bir p() : " çift sayıdır." önermesi bir açık önermedir. Zira verilen önerme in bazı değerleri için doğru iken bazı değerleri için de yanlış olacaktır. p() / p(4) / p() / ve p( ) / p() / p(7) / 0... gibi. çık önermede değişken sayısı birden çok da olabilir. Örneğin a ve b değişkenine bağlı bir q(a, b) : "a, b N için (a ) (b + ) 0 dır." önermesi de bir açık önermedir. çık Önermenin eğili "p() açık önermesi kümesinin tüm elemanları için doğrudur." önermesinin değili "p() açık önermesi kümesinin bazı elemanları için yanlıştır." [, p()]9 /, p9() "q() açık önermesi kümesinin bazı elemanları için doğrudur." önermesinin değili "q() açık önermesi kümesinin her elemanı için yanlıştır." [, q()]9 /, q9() dir. Gösterim eğili 7 7 = = < > > < Tanım Herhangi bir açık önermeyi doğrulayan elemanların oluşturduğu kümeye bu açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi, bu kümenin her bir elemanına da çözüm adı verilir. Niceleyiciler..5. Tanım, ksiyom, Teorem, İspat Terimleri Tanım Kavramı Özellikle öğrenim hayatımızın birçok aşamasında karşılaştığımız tanım kavramı öğrenmeye başlamanın temellerinden biridir ve bir konu veya araştırma hakkında bilgi sahibi olabilmenin ilk şartlarındandır. Her ve bazı sözcükleri önlerine getirilen elemanların çokluğunu ifade eden niceleyicilerdir. Her sözcüğü sembolüyle, bazı sözcüğü de sembolüyle ifade edilmektedir. sembolü, bazı sözcüğünün dışında aslında matematiksel olarak aynı anlamda olan en az bir sözcüğüyle de kullanılmaktadır. Tanım En az bir anlamına gelen bazı ( ) niceleyicisine varlıksal niceliyici, tamamı anlamına gelen her ( ) niceleyicisine de evrensel niceleyici adı verilir. ksiyom oğruluğu ispatlanmayan ancak doğru olduğu kabul edilen önermelere aksiyom (postulat) adı verilir. ksiyomlar, doğruluğu hissedilen ancak önceden verilen tanım ya da önermeler kullanılarak bir matematiksel sistem içerisinde doğruluğu gösterilemeyen olgulardır. ilinen bazı aksiyomlar; Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. ir bütün parçalarından büyüktür. Sıfırdan farklı her sayının 0. kuvveti dir. niceleyicisiyle kullanılan önermenin doğru olabilmesi için kümedeki her elemanın verilen şartı sağlaması gerekir. Sağlamayan bir elemanın bile varlığı önermenin yanlış olduğu anlamına gelir. niceleyicisiyle kullanılan önermenin doğru olabilmesi için kümedeki bir elemanın verilen şartı sağlaması yeterlidir. Önermenin yanlış olması için kümedeki hiçbir elemanın verilen şartı sağlamaması gerekir. ütün dik açılar birbirine eştir. Teorem oğruluğu gösterilmiş önermelere teorem, doğruluğunu göstermek için kullanılan işlemler bütününe de ispat (kanıt) adı verilir. p q koşullu önermesinde p önermesine hipotez, q önermesine hüküm (iddia) adı verilir. enklem ve eşitsizliklerin her biri birer açık önermedir. Tanım p hipotezi doğru olan p q koşullu önermesine (gerektirmesine) teorem adı verilir. 0

11 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler Uygulama Soruları. şağıda verilen ifadelerin hangisi ya da hangileri bir önerme belirtir? I. "Elif zeki bir öğrencidir." II. "uğra Türk vatandaşıdır." III. " tek sayıdır." IV. "Sınavın nasıl geçti?" V. "Türkiye vrupa irliği'ne üye değildir." 4. p, q ve r önermeleri için p / q / ve p9 0 r / olduğu biliniyor. una göre aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. p / r /... b. q9 Q r /... c. q9 0 r9 /.... p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla 0, 0 ve dir. una göre aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. p 0 q /... b. p Q r /... c. q9 / r /... d. r9 0 p /... e. p9 / r9 / p ve q önermeleri için p / ( 0 q) / 0 ve p9 Q q / 0 olduğuna göre p 0 q9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. 6. p ve q önermeleri için aşağıda verilen bileşik önermelerin en sade şekillerini bulunuz. a. p 0 (p9 / q) b. p Q (p9 Q 0)9 c. (p9 Q q) Q p. p :, den küçük değildir. q : Siyah, beyazdan koyu bir renktir. r : En küçük rakam dir. önermeleri için (p9 0 r) Q q9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. 7. p, q ve r önermeleri için (p9 0 q) 0 r / 0 olduğuna göre (p Q q9) 0 r9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

12 . Ünite: Mantık 8. [(p Q q) q] / 0 olduğuna göre p önermesinin doğruluk değeri nedir?. p ve q birer önerme olmak üzere (p 0 q9) (p9 / q)9 koşullu önermesinin en sade şeklini bulunuz. 9. p, q ve r birer önerme olduğuna göre [p (q / r)] / (p / r9 ) önermesinin en sade şeklini bulunuz.. şağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. (p9 r) (r9 p) b. (p q) / (p Q q) 0. şağıda verilen önermelerinin olumsuzlarını (değillerini) bulunuz. a. p / q9 b. p9 0 q9 c. (p9 0 q) / (p / q) d. (p9 Q q9 ) 0 r 4. p ve q önermeleri için p (p 0 q9) / p 0 q denkliğinin sağlandığını sembolik mantık işlemleri ile gösteriniz.. [(p / q9) 0 (p9 / q)]9 / p... q denkliğinde p ve q birer önermedir. enklikte verilen boşluğa hangi mantıksal sembol getirilmelidir? 5. şağıda verilen bileşik önermelerin değillerini bulunuz. a. (7, > 0) / (, ) b. (7, = 0) 0 (7, 0) c. (, = ) (7, < 0)

13 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler ÇÖZÜMLER. I de bir yorum söz konusudur. Elif'in zeki olma durumu kişiden kişiye değişir. Önerme değildir. IV de bir soru cümlesi verilmiştir. Soru cümleleri önerme olamaz. iğerlerinde doğru ya da yanlış kesin bir hüküm söz konusudur. olayısıyla II, III ve V birer önerme olur. 5. p / ^ 0 qh > / 0 olduğundan kesinlikle p / 0 dır. p9 Q q / 0 09 Q q / 0 Q q / 0 q / O halde p 0 q9 / / / 0 olur. dir.. veya (0) bağlacında iki önerme de 0 iken 0, diğer durumlarda dir, ve (/) bağlacında iki önerme de iken, diğer durumlarda 0 dır, ya da (Q) bağlacında iki önerme farklı doğruluk değerine sahipse, aynı doğruluk değerine sahipse 0 dır. O halde p / 0, q / 0 ve r / olduğundan a. p 0 q / / 0 b. p Q r / 0 Q / c. q9 / r / / / d. r9 0 p / / 0 e. p9 / r9 / / 0 / 0. Verilen önermelerden p doğru, q doğru ve r yanlış (en küçük rakam 0) olduğundan p /, q / ve r / 0 dır. O halde (p9 0 r) Q q9 / (9 0 0) Q 9 / (0 0 0) Q 0 / 0 Q 0 / 0 olur. H 6. a. p 0 (p9 / q) / ( p0 p9) / (p 0 q) (ağılma öz.) / / (p 0 q) / p 0 q b. p Q (p9 Q 0)9 / p Q (p9 Q ) / p Q p / 0 (e Morgan Kur.) (ynı) farkl H c. (p9 Q q) Q p / ( p9 Q p) Q q / Q q / q9 (irleşme öz.) 7. (p9 0 q) 0 r / 0 p9 0 q / 0, r / 0 p9 0 q / 0 p9 / 0, q / 0 p / olmalıdır. O halde (p Q q9) 0 r9 / ( Q 09) 0 09 / ( Q ) 0 / 0 0 / 4. q / p / ise p / q / olmalıdır. p9 0 r / 9 0 r / 0 0 r / r / olmalıdır. a. p / r / / / b. q9 Q r / 9 Q / 0 Q / c. q9 0 r9 / / / 0 bulunur. 8. " " bağlacında 0 / 0 dışındaki tüm durumlarda koşullu önerme e denk olur. [ ^pq qh& q] :;;; < + / 0 olmalıdır. 0 q / 0 ve p Q q / p Q 0 / p / bulunur.

14 . Ünite: Mantık 9. [p (q / r)] / (p / r9 ) / [(p q) / (p r)] / (p / r9 ) (ağılma öz.) / [(p q) / (p r)] / (p9 0 r)9 (e Morgan) / [(p q) / (p r)] / (p r)9 / (p q) / [(p r) / (p r)9] (irleşme. 0 / (p q) / 0 / 0 I. urum p ile q aynı doğruluk değerli olsun. u durumda p q /, p Q q / 0 olacağından (p q) / (p Q q) / / 0 / 0 olur. II. urum p ile q farklı doğruluk değerli olsun. u durumda p q / 0, p Q q = olacağından (p q) / (p Q q) / 0 / / 0 dır. 0. e Morgan'dan (p 0 q) = p / q ve (p / q) = p 0 q idi. O halde a. (p / q ) / p 0 (q ) / p 0 q b. (p 0 q ) / (p ) / (q ) / p / q c. [(p 0q) / (p/q)] / (p 0q) 0 (p/q) / ((p ) / q ) 0 (p 0 q ) Yani her iki durumda da (p q) / (p Q q) / 0 olacaktır. Ya da daha kısa bir çözüm olarak (p Q q) / p q denkliği kullanılırsa (p q) / (p Q q) / s / s / 0 olur. s olsun / (p / q ) 0 (p 0 q ) d. (p Q q) / p Q q veya (p Q q) / p Q q idi. [(p Q q ) 0 r] / (p Q q ) / r / (p Q q ) / r (veya) / (p Q q) / r dir.. [(p / q ) 0 (p / q)] önermesinde e Morgan Kuralını ve p q / p 0 q denkliğini kullanırsak / (p / q ) / (p / q) / (p 0 q) / (p 0 q ) / (p q) / (q p) / p q elde edilir. Yani denklikte boş bırakılan yere sembolü getirilmelidir. 4. p (p 0 q ) ifadesi [p (p 0 q )] / [(p 0 q ) p] / [p 0 (p 0 q )] / [(p 0 q ) 0 p] (irleşme öz.) / [(p 0 p) 0 q ] / [(p / q) 0 p] (ağılma öz.) / ^ 0 q9h > / [ ^ > p9 0 ph/ ^q0 ph] / / [ / (p 0 q)] / / (p 0 q) / p 0 q bulunur. 5. e Morgan Kurallarından (p / q) / p v q, (p 0 q) / p / q. p q = p 0 q denkliği de dikkate alınırsa (p 0 q) (p / q) / ((p 0 q) ) 0 (p 0 q ) / (p 0 q) 0 (p 0 q ) (irleşme öz.) / p 0 (q 0 q ) / p 0 / olur.. a. (p r) (r p) / t olsun. t / (p 0 r) 0 (r 0 p) (eğişme öz.) / (p 0 r) 0 (p 0 r) (p 0 r = s olsun) / s 0 s / b. (p q) / (p Q q) bileşik önermesinde denklikleri dikkate alınırsa a. [(7, > 0) / (, )] / (7, > 0) 0 (, ) / (, 0) 0 (7, = ) b. [(7, = 0) 0 (7, 0)] / (7, = 0) / (7, 0) / (, 0) / (, > 0) /, ( 0 / > 0) c. (, = ) (7, < 0) p q için p q / p 0 q denkliği kullanılırsa [(, = ) (7, < 0)] / [(, = ) 0 (7, < 0)] / (, = ) / (7, < 0) / (, = ) / (, 0) dır. 4

15 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler TEST - TEST - Önermeler ve ileşik Önermeler. şağıdakilerden hangisi bir önerme belirtir? ) "Nasılsın?" ) "Yarın okula gidecek misin?" ) "Çok yorgunum." ) "oktorlar Tıp Fakültesi mezunudur." 4. p 0 p9 bileşik önermesinin dengi aşağıdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) p ) p9 E) p / E) "u soru çok zor.". p : " + 8 > 0 dur." q : " en küçük asal sayıdır." t : "ir hafta 6 gündür." r : "ütün önermeler doğrudur." s : "ir yıl aydan oluşur." Yukarıda verilen önermelerin kaçı doğrudur? ) ) ) ) 4 E) 5 5. şağıdaki önermelerin doğruluk değerleri toplamı kaçtır? p : " < tir." 5 q : " en küçük tek asal sayıdır." r : "Filler denizde yaşar." s : "Çift sayıların tek kuvvetleri tektir." ) 0 ) ) ) E) 4. şağıda önermelerle ilgili verilenlerden hangisi yanlıştır? ) 9 / 0 ) 09 / ) (p9)9 / p ) (9)9 / 0 E) (09)9 / farklı önermenin doğruluk tablosu yapılırken farklı durumla karşılaşılır. cümlesinde boş bırakılan yere kaç yazılmalıdır? ) ) ) 5 ) 6 E) 5

16 . Ünite: Mantık 7. şağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? ) 0 0 ) 0 ) 0 Q ) 0 0 E) / 0. p 0 q önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? ) p / q ) p 0 q ) p / q ) q / p E) p / q 8. p yanlış, q doğru bir önerme olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisi daima doğrudur? ) q ) p / q ) p 0 q ) p / q E) p / q. 0 p 0 / p Q p p / p p Q p Yukarıda verilen bileşik önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri dir? ) ) ) ) 4 E) 5 9. p : > 5 tir. önermesi için p9 önermesi aşağıdakilerden hangisidir? ) < 5 tir. ) 5 tir. ) = 5 tir. ) 5 tir. E) > 5 tir.. p : < 5 tir. q : Haftaiçi 6 günden oluşur. önermeleri için verilen aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur? ) p / q ) p Q q9 ) p q ) p q E) p9 0 q E

17 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler TEST - TEST - Önermeler ve ileşik Önermeler. şağıdaki ifadelerden kaç tanesi önerme belirtir? I. + 5 > dir. II. Tüm hayvanlar iki ayaklıdır. III. ir gün 4 saattir. IV. Yolcuğun iyi geçti mi? 4. şağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? ) 0 0 / ) / / ) 0 Q / ) Q / E) / 0 ) 0 ) ) ) E) 4. p ve q birer önerme olmak üzere (p / q ) / p... q denkliğinde boş bırakılan yere hangi mantıksal sembol getirilmelidir? ) 0 ) / ) Q ) E) 5. p, q ve r birer önermedir. p 0 q / 0 ve q Q r / olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) Üç önerme de doğrudur. ) İkisi doğru, biri yanlıştır. ) İkisi yanlış, biri doğrudur. ) Üç önerme de yanlıştır. E) Yorum yapılamaz.. p bir önerme ise / p önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) p ) p E) Yorum yapılamaz 6. şağıda p ve q önermeleri için verilen denkliklerden hangisinde p ve q nun doğruluk değeri kesin olarak bilinir? ) p q / 0 ) p / q / 0 ) p 0 q / ) p Q q / E) p q / 0 7

18 . Ünite: Mantık 7. p ve q iki önermedir. p v q bileşik önermesinin e denk olması olasılığı kaçtır? ) ) ) p 0 (p 0 q)9 önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ) p q ) q p ) p q ) 0 E) ) E) ulunamaz 8. (p p9 ) / (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) ) p ) q E) p9 / q. p q9 / ve q p / olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi yanlıştır? ) p q ) p 0 q ) p Q q ) p9 q E) p / q9 9. p ve q önermeleri için [p9 0 (q / p)]9 önermesi aşağıda verilenlerden hangisine denktir? ) 0 ) ) p ) p9 E) p / q9. ", " önermesinin olumsuzuna denk olan önerme aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) "Her sayısı den küçüktür." ) "Her sayısı den büyüktür." ) "Her sayısı den küçük veya ye eşittir." ) "azı sayıları den küçüktür." E) "azı sayıları den büyüktür." E 0...

19 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler TEST - Önermeler ve ileşik Önermeler. p önermesinin değilinin doğruluk değeri olduğuna göre aşağıda verilen önermelerden hangisi yanlıştır? ) p 0 0 ) p Q ) p 0 ) p 0 E) p 0 4. p, q ve r birer önermedir. p / (q 0 r9)9 / olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi doğrudur? ) p / q ) q9 r ) p Q r ) p q E) q / r. p yanlış ise q doğrudur. önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? ) p doğru veya q doğrudur. ) p doğru veya q yanlıştır. ) p yanlış veya q yanlıştır. ) q doğru veya p yanlıştır. E) q yanlış veya p doğrudur. 5. p, q ve r önermelerine göre aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? ) p 0 q / q 0 p ) p / q / q / p ) (p / q) / r / p / (q / r) ) p / p / p 0 p E) p 0 p9 / p. p önermesi için p 0 /... cümlesindeki boşluğa aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir? ) 0 ) ) p ) p9 E) Yorum yapılamaz. 6. p ve q önermeleri için p q9 koşullu önermesinin dengi aşağıdakilerden hangisidir? ) p 0 q9 ) p9 0 q9 ) q9 / p9 ) q 0 p9 E) q9 / p 9

20 . Ünite: Mantık 7. p ve q önermeleri için p q9 / 0 olduğuna göre p9 Q q9 bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? ) p9 ) p ) q ) 0 E) 0. p / ve q / 0 olmak üzere aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? ) p 0 q ) p Q q ) p q ) p q9 E) p / q9. şağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? ) (p / q)9 / p9 / q9 8. p bir önerme olmak üzere p p9 bileşik önermesinin değili aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) p ) p9 ) E) Yorum yapılamaz ) (p Q q)9 / p9 Q q ) (p q)9 / p / q9 ) (p q)9 / p9 q E) (p 0 q)9 / p9 / q9 9. p ve q önermeleri için, p9 0 q9 / olduğuna göre p / q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) p ) q ) p9 E). (, 0) (, + = ) koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? ) (, < 0) (, + ) ) (, < 0) (, + ) ) (, + = ) (, < 0) ) (, + ) (, 0) E) (, + ) (, < 0) E E

21 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler TEST - 4 Önermeler ve ileşik Önermeler. (p q) p9 koşullu önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) p ) q ) p / q E) p 0 q 4. (p 0 q) r önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? ) (p 0 q) r ) (p / q) r ) (p / p ) r ) (p / q) p E) r (p 0 q). p ve q birer önermedir. I. (p / q) (p 0 q) II. (p 0 q) (p / q) III. (p q) (p 0 q) koşullu önermelerinden hangisi ya da hangilerinin yanlış olması imkansızdır? ) Yalnız I ) Yalnız III ) I ve II ) I ve III E) I, II ve III 5. p : + 5 = 7 q : < 5 önermeleri veriliyor. una göre p q önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? ) tir. ) > 5 tir. ) < dir. ) dir. E) > = 7 dir.. (p9 / q) (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) ) p ) q E) p 0 q 6. p q 0 olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi bu önermeye denktir? ) q p ) q ) p ) q p E) p / q

22 . Ünite: Mantık 7. p ve q önermeleri için verilen p (p 0 q) bileşik önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisine denk olur? 0. p (p9 q) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ) 0 ) p ) q ) p9 E) ) 0 ) p ) q ) p 0 q E) 8. (p9 / q9) p önermesinin karşıt tersinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ) p ) q ) p9. p Q (p9 q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) ) p ) p9 E) q ) q9 E) p 0 q 9. p ve q birer önerme olduğuna göre (p / p9) Q (p 0 p9) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) ) p ) q E) q9. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı p : ", 0" q : ", = " r : ", < " önermelerinden hangisi ya da hangilerinin doğruluk değeri dir? ) Yalnız q ) Yalnız r ) p ve r ) q ve r E) p, q ve r E E. E.

23 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler TEST - 5 Önermeler ve ileşik Önermeler. p ve q birer önerme olmak üzere [(p / q) 0 p]9 / p bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ) 0 ) p ) q 4. (p q) (p / q9 ) önermesinin değilinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ) 0 ) p ) p9 ) q E) ) p / q E). p ve q önermeleri için [p9 0 (p q)9] p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) ) p ) p9 E) q9 5. (p9 q9 ) / (p 0 q) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) p ) q E) p / q. p önermesi için ( p) 0 p ifadesi aşağıdakilerden hangisine denktir? ) 0 ) p ) p ) E) Yorum yapılamaz. 6. p ve q birer önerme olmak üzere (p9 q) (q9 p) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) p ) r E) r9

24 . Ünite: Mantık 7. [(p / q9 ) 0 (p9 / q)]9 önermesi aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisine denktir? ) p 0 q ) p Q q ) p / q ) p q E) p q 0. p : " = dir." q : " + = 0 dır." önermeleri veriliyor. şağıdaki verilenlerden hangisi p 0 q önermesine denktir? ) 6 = 0 ) + 6 = 0 ) = y + 5 ) + y = 0 E) y = 6 8. p ve q birer önerme olmak üzere (p q9 ) / (q9 p) önermesinin değili aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) p q9 ) p9 q ) p q ) p q E) q p. p : "a + b 0 dır." q : "a = c dir." önermeleri veriliyor. şağıda verilenlerden hangisi p q önermesine denktir? ) a + ab = ac + bc ) a + ac = ab + bc ) a + bc = ac + bc ) a + bc = ac + c E) a + ab = ac + b 9. şağıda verilenlerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) a + b = 5 [a = / b = ] ) a b = 6 [a = / b = ] ) [ = / y = ] y = 6 ) = 4 = ve = E) ( ) (y ) = 0 [ = / y = ]. p : "( R, < ) ( R, = )" önermesinin sözel ifadesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? ) gerçek sayısı den küçükse küpü e eşittir. ) gerçek sayısı den büyükse küpü e eşit değildir. ) gerçek sayısı den büyükse küpü de e eşittir. ) gerçek sayısı negatifse küpü de den büyüktür. E) gerçek sayısı pozitifse küpü de dir E E

25 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler TEST - 6 Önermeler ve ileşik Önermeler. şağıdaki önermelerden hangisi doğruluk değeri bakımından diğerlerinden farklıdır? ) < ) > ) + 4 > 8 ) ( ) : ( ) = 4 E) < c m 4. Hülya, katılmış olduğu bir matematik sınavında aşağıdaki soruyu doğru cevaplamıştır. p : " = 4 tür." q : "İstanbul Türkiye'nin başkentidir." r: "İki basamaklı en küçük doğalsayı 0 dur." s: " 4 < 0 önermeleri veriliyor. una göre aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara "", yanlışsa "Y" yazınız. a. p r b. q s c. p r9 d. q p9 una göre Hülya'nın cevabı, sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? ) a., b., c. Y, d.. p ve q önermeleri için [p9 0 (q / p)]9 önermesi aşağıda verilenlerden hangisine denktir? ) 0 ) ) p ) p9 E) p / q9 ) a., b. Y, c. Y, d. Y ) a., b., c., d. Y ) a. Y, b. Y, c., d. E) a. Y, b., c. Y, d.. p önermesinin değilinin doğruluk değeri olduğuna göre aşağıda verilen önermelerden hangisi yanlıştır? ) p 0 0 ) p Q ) p 0 ) p 0 E) p 0 5. p : "( ) 4 = 8" q : "azı doğal sayılar negatiftir." r : "9 asal sayıdır." önermeleri veriliyor. una göre I. p9 r II. p 0 q r9 III. p9 / r q9 ifadelerinden hangileri doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) II ve III E) I, II ve III 5

26 . Ünite: Mantık 6. p, q ve r önermeler için, p (q r) 0 denkliği sağlandığına göre I. p9 r II. p, q ve r önermeleri denk önermelerdir. III. q r p Q q 9. (p 0 q) p 0 olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? ) p 0 q9 ) p / q ) p9 / q ) p / q9 E) p9 / q9 ifadelerinden hangileri doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) I ve III E) I, II ve III 0. (p q)9 / r olduğuna göre (p Q q) Q (p9 r) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denk olamaz? 7. p / q9 olduğuna göre I. p9 0 q9 II. p9 / q III. p 0 q bileşik önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) I ve III E) I, II ve III ) (p Q q) ) q / r ) p9 0 q ) q Q r9 E) q / r. p() : " = 0" açık önermesi veriliyor. una göre p() önermesinin aşağıdakilerden hangisi için doğruluk değeri dir? ) = ) = ) R ) 7 Q E) = 8. I. p q p9 0 q II. p p p III. p p IV. p p V. p 0 0 Yukarıda verilen denkliklerden kaç tanesi doğrudur? ) ) ) ) 4 E) 5. p(n) : "n Z +, n rasyonel" açık önermesi tanımlanıyor. = {rakamlar} kümesinin kaç elemanı p nin doğruluk kümesine aittir? ) ) ) ) 4 E) 5 6. E. E

27 . ölüm: Önermeler ve ileşik Önermeler TEST - 7 Önermeler ve ileşik Önermeler. (p q9) q9 bileşik önermesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) p / q9 ) p 0 q9 ) p 0 q ) p9 / q E) p9 0 q9 4. enk, aşağıdaki soruyu çözerken bir hata yapmıştır. Soru: p, q 0 ve r olmak üzere [(p / r9) (q r)9]9 Çözüm: [(p / r9) (q r)9]9 [( / 0) (0 )9]9... [( / 0) 9]9... [0 0] p q9 0 olmak üzere I. p9 Q q II. (p9 / q) p III. p9 q9 u durumda enk, numaralandırımış adımlardan hangisinde ilk kez hata yapmıştır? ) ) ) ) 4 E) 5 bileşik önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) II ve III E) I, II ve III 5. r (p 0 q9) önermesi yanlış bir önerme olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerinden hangisinin doğruluk değeri dir? ) p / q ) q p ) p r ) p9 0 q9 E) r9 / p. I. p q q9 p9 II. p q (p q) / (q p) III. p p IV. (p q)9 p9 q V. p Q p9 Yukarıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur? ) ) ) ) 4 E) 5 6. (p9 p) 0 (q p) önermesi ile p önermesi denk olduğuna göre önermesi aşağıdakilerden hangisidir? ) q9 ) q ) p9 ) p E) p9 / q 7

28 . Ünite: Mantık 7. p : " sayısı 07 yi tam böler." q : " 4" r : " iki basamaklı en küçük tek doğal sayıdır," önermeleri veriliyor. una göre I. (q9 p) q II. (p Q r) / q III. (p 0 q) r9 0. (p / q9) r önermesinin doğruluk değeri Q önermesinin doğruluk değeri ile aynı olduğuna göre r önermesi aşağıdakilerden hangisidir? ) p 0 q ) p q ) q p ) p Q q E) q9 p bileşik önermelerinden hangileri doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) I ve III E) I, II ve III. p : a = 0 q : b = 0 r : a b = 0 8. p q r Yukarıdaki tablo p ile q önermeleriden oluşan r bileşik önermesinin doğruluk değerlerini gösterdiğine göre, r p önermesinin dengi aşağıdakilerden hangisidir? t : a + b = 0 önermeleri veriliyor. una göre aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi doğrudur? ) p q ) p t ) r t ) q r E) r p ) p 0 q ) p / q ) p9 0 q ) p q9 E) p q. (p 0) 0 q9 0 olduğuna göre I. p q II. p Q q 9. şağıdakilerden hangisi doğruluk değeri bakımından diğerlerinden farklıdır? ) p / p9 ) p Q p ) p p9 ) 0 E) p III. p9 q 0 IV. (p ) Q q9 V. p9 0 q ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? ) ) ) ) 4 E) E. E E 0...

29 Ünite eğerlendirme Ünite eğerlendirme. şağıda verilen ifadelerden hangileri birer önerme olabilir? (8 puan) I. "Kırmızı çok hoş bir renk." II. " çift sayıdır." III. "u sorular çok kolay.". I. p p II. p / III. p Q IV. p p V. p p önermesi için yukarıda verilen bileşik önermelerden hangilerinin doğruluk değeri dir? (0 puan) IV. "yakkabı numaran kaç?" V. "ikkatli ol." VI. "am kırılgan bir nesnedir." VII. "ğaçlar oksijen kaynağıdır." 4. (p9 / q) r9 / 0 VIII. "06 yılı 0. yüzyıl içerisindedir." denkliği ile verilen p, q, r önermelerinin doğruluk değerlerini sırasıyla bulunuz. (0 puan). p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla 0, ve 0 dır. una göre aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. (5 puan) a. p / q b. q Q r c. q r d. p 0 r9 5. (p / q) q önermesinin dengi aşağıdakilerden hangisidir? (0 puan) ) p q ) p q ) q p ) q p E) q p e. p r 9

30 . Ünite: Mantık 6. p, q ve r önermeleri için (p q)9 / r / olduğuna göre aşağıda verilen önermelerden kaçının doğruluk değeri 0 dır? (0 puan) I. p 0 q II. III. IV. p Q r p r9 (p9 / q) r 9. p ve r önermeleri için (p9 / r) (r9 0 p) / I II denkliği veriliyor. una göre I ve II yerine sırasıyla aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir? ( puan) ) r, p ) r, p9 ) r9, p ) p, r E) p9, r V. p q 0. " R, = " önermesinde aşağıda verilen değişikliklerden kaçı yapılırsa doğruluk değeri değişir? (0 puan) I. yerine yazmak 7. p q bir çelişki olduğuna göre (p q) 0 p önermesinin dengini bulunuz. (0 puan) II. Eşitsizliğin sağına yazmak III. = yerine yazmak IV. R yerine {0, } yazmak V. yerine 7 yazmak ) ) ) ) 4 E) 5 evap nahtarı 8. p, q ve r önermeleri için p (q9 0 r) bileşik önermesi doğru bir önermedir. una göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerinin sırasıyla yazılmasıyla elde edilen aşağıdaki üçlülerden hangisi kesinlikle yanlıştır? (0 puan) ), 0, ),, 0 ),, ) 0,, E) 0, 0,. II, VI, VII ve VIII. a. 0 b. c. 0 d. e.. I, IV ve V 4. 0,, lınan Not Toplam 0

31 . Ünite Kümeler. ÖLÜM Kümelerde Temel Kavramlar. ÖLÜM Kümelerde İşlemler

32 . Ünite: Kümeler. ÖLÜM Kümelerde Temel Kavramlar... Kümelerde Temel Kavramlar Giriş İyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğu küme şeklinde isimlendirilir. Kümeler genellikle,,, gibi büyük harflerle, kümelerin elemanları da a, b, c,... gibi küçük harflerle isimlendirilir., kümesinin bir elemanı ise bu durum gösterimiyle, elemanı değilse gösterimiyle ifade edilir. Kümeler üç farklı şekilde gösterilebilir.. Liste Yöntemi Kümenin elemanları { } küme parantezinin içine, elemanlar arasına virgül konularak açık açık yazılır. u yazılışta elemanların sırasının bir önemi yoktur.. Venn Şeması Yöntemi Kümenin elemanları kapalı bir eğri içine başlarına noktalar konularak yazılır. a 4 b 5 c. Ortak Özellik Yöntemi u yöntem, özellikle kümenin çok sayıda elemandan oluşması hâlinde tercih edilir. u yöntemde küme, elemanlarının sahip olduğu ortak özelliği belirleyen matematiksel kural ifade edilerek gösterilir. = { : ortak özellik} ya da = { ortak özellik} ir kümenin ortak özelliği yazılırken yorum içermemelidir. Örneğin; sınıfın güzel kızları, okulun zeki öğrencileri ya da ailemizin yaşlı bireyleri gibi. ir kümesinin eleman sayısı s() gösterimiyle ifade edilir. Örneğin 5 elemanlı kümesi için s() = 5 yazılır. elli özellikteki nesnelerin tamamını içerdiği varsayılan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. Venn şeması ile gösterimde evrensel küme genellikle dikdörtgen şeklinde ifade edilir.... lt Küme ve herhangi iki küme olsun. nın her elemanı aynı zamanda nin de bir elemanı ise kümesi kümesinin bir alt kümesidir ya da kümesi kümesini kapsar denir ve ya da gösterimlerinden biri ile ifade edilir. Herhangi bir kümesinde, de olmayan en az bir eleman varsa bu durumda kümesi kümesinin alt kümesi olmaz ve şeklinde gösterilir. lt Küme Özellikleri kümesi herhangi bir küme ve yı içinde bulunduran evrensel küme E olsun. E ve n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı n dir. ir kümenin kendisi dışındaki her alt kümesine özalt küme denir. n elemanlı bir kümenin özlalt kümelerinin sayısı n dir.... Eşit Küme ynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit küme denir. ve kümelerinin eşitliği = ile gösterilir. oş Küme - Evrensel Küme Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. oş küme, veya { } sembollerinden biriyle ifade edilir. { } gösterimi boş kümeyi ifade etmez. ksine Ø elemanını barındıran bir kümeyi ifade eder. s() = 0 boş kümedir. ve eşit iki küme olmak üzere, kümesinin her elemanı nin de elemanı olduğundan dir. kümesinin her elemanı nında elemanı olduğundan dır. u durumda = iken ve dır. ve kümelerinin birbirinden farklı en az bir elemanı varsa ve eşit kümeler değildir ve bu durum ile gösterilir.

33 . ölüm: Kümelerde Temel Kavramlar Uygulama Soruları. şağıda verilen ifadelerden hangileri küme belirtir? i. Sınıfımızın zeki öğrencileri 5. = { : 7 < 8, = k, k Z} kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazınız. ii. Sınıfımızın kız öğrencileri iii. nkara nın ilçeleri iv. partmanımızdaki genç insanlar v. Okulumuzun kimya öğretmenleri 6. ir kümenin eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı artmaktadır. una göre bu kümenin eleman sayısı kaçtır?. = {a, {b}, b, {a, c}} kümesi için aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur? a. s() = 5 tir. b. b dır. c. {{b}} dır. d. {a, c} dır. e. {a, c} dır.. P = { Z : < 4} kümesinin a. alt kümesi sayısını b. özalt kümesi sayısını hesaplayınız. 4. şağıdakilerden hangileri boş küme belirtir? i. {Negatif doğal sayılar} ii. {OŞ} iii. {Çift asal sayılar} iv. {Konuşabilen karıncalar} v. { } 7. şağıda verilen kümelerin sonlu mu sonsuz mu olduklarını belirleyiniz. a. = {OĞL, SYILR} b. = { : bir rakam} c. = { R : < } d. = { Z : = k, k Z} e. E = {En çok 000 basamaklı sayılar} 8. K = {a, b, c, d, e, f} kümesi veriliyor. u kümenin a. kaç alt kümesi vardır? b. kaç alt kümesinde daima a elemanı bulunur? c. kaç alt kümesinde b bulunur, e ve f bulunmaz? d. kaç alt kümesinde a ve c den yalnız biri bulunur? e. kaç alt kümesinde c veya d bulunur? 9. = {,, } ve = {,,, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. una göre P şartını sağlayan kaç farklı P kümesi yazılabilir?

34 . Ünite: Kümeler. ÖLÜM ÇÖZÜMLER Fizik ilimine Giriş. ii, iii ve v birer küme belirtir. Çünkü bu ifadeler herkes tarafından belli elemanları açıklar. ncak i ve iv teki ifadeler kişiden kişiye farklı yorumlanabilir. Çünkü bir insanın zeki ya da genç olması farklı kişiler tarafından farklı yorumlanabilir.. Küme parantezlerinin içinde verilen küme parantezli ifadelerin her biri kümesinin bir elemanı olur. Yani nın elemanları: a, {b}, b ve {a, c} dir. O halde a. s() = 4 olduğundan yanlış c. Küme den büyük den küçük veya eşit gerçek sayılardan oluşur. Sayı doğrusu üzerinde bu şekilde sonsuz nokta bulunduğundan küme sonsuz elemanlıdır. d. = k, ün katı olan tam sayıları ifade ettiğinden küme sonsuz elemanlıdır. e. Kümenin eleman sayısı çok olsa da sonuçta en çok 000 basamaklı sayılardan oluşmaktadır. Yani sonlu bir kümedir. b. b olduğundan doğru c. {{b}} olduğundan doğru d. {a, c} olduğundan yanlış e. {a, c} olduğundan doğru. P = { Z : < 4} P = {, 0,,,, 4} olduğundan s() = 6 dır. olayısıyla a. alt küme sayısı s(p) = 6 = 64 b. özalt küme sayısı s(p) = 6 = 6 bulunur. 4. oğal sayılar 0,,,,... şeklinde olduğundan negatif doğal sayı olmaz. yrıca konuşan karınca da olamayacağından i ve iv teki kümeler boş kümedir. ii, iii ve v teki kümelerin sırasıyla OŞ, ve şeklinde birer elemanı vardır. Yani boş küme olamazlar. 5. Verilen kümede k Z için = k olduğundan, nin katı olmalıdır. yrıca 7 < 8 olduğundan, 6, 4,, 0,, 4, 6 olabilir. O halde liste yöntemiyle = { 6, 4,, 0,, 4, 6} olur. 8. a. Küme 6 elemanlıdır. 6 = 64 alt kümesi vardır. b. {a,...} Kümede a daima olacağından geri kalan 5 elemandan alt kümeler yazılır. 5 = c. {b, e, f,...} Kümede b daima bulunup ve f bulunmayacağından geri kalan elemandan alt kümeler yazılır. = 8 d. a ve c elemanlarından yalnız a nın olduğu {a, c,...} 4, yalnız c nin olduğu { a, c,...} 4 olmak üzere toplam = = küme yazılabilir. e. Kümede c veya d nin bulunması demek, yalnız c bulunabilir. {c, d,...} 4 yalnız d bulunabilir. { c, d,...} 4 c ve d aynı anda bulunabilir. {c, d,...} 4 anlamına gelir. Yani = 48 dir. Ya da başka bir yolla (Tüm alt kümeler) ( c ve d nin olmadığı kümeler) { c, d,...} 6 4 = 64 6 = 48 bulunur. 6. Kümenin eleman sayısı n olsun. Eleman sayısı arttığında (n + ) alt küme sayısı n + olur. n + = n + n = n + 8 n n = 7 n = n = 6 n = 4 bulunur. 7. a. Küme OĞL ve SYILR şeklinde iki elemandan oluşur. Sonludur. b. Küme 0,,,..., 9 elemanlarından oluşur. 0 elemanlıdır. Sonludur. 9. P P kümesi kümesini kapsar. Yani içinde, ve daima bulunur. P kümesi kümesinin alt kümesidir. O halde 7 elemanlı kümesinde,, elemanları daima olacağından geri kalan 4 elemandan alt kümeler yazılabilir. Yani 4 = 6 farklı P kümesi yazılabilir. 4

35 . ölüm: Kümelerde Temel Kavramlar TEST - TEST - Kümelerde Temel Kavramlar. şağıda verilen ifadelerden hangisi küme belirtir? ) Güzel insanlar ) Sınıfımızın uzun boylu kızları ) Mahallemizdeki hastaneler ) Matematik dersinin zor konuları E) Tadı güzel olan yemekler 4. şağıda verilen kümelerden hangisi için E = {rakamlar} kümesi evrensel küme olabilir? ) = {Negatif tam sayılar} ) = {, 0,, } ) = {tek doğal sayılar} ) = {çift rakamlar} E) E = {9 dan küçük sayılar}. boş kümedir ve s() = 6 dır. una göre kaçtır? ) ) ) ) 4 E) elemanlı bir kümenin kaç farklı alt kümesi vardır? ) 4 ) 5 ) 8 ) 6 E). = {,, {, },, {,, }} kümesi kaç elemanlıdır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 6. = {p asal : p < 0} kümesi kaç elemanlıdır? ) 0 ) ) ) E) Sonsuz 5

36 . Ünite: Kümeler 7. K boş kümedir ve s(k) = + 4 tür. una göre s(n) = + 8 şartını sağlayan N kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 0. = {a, {b, c}, d} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) {{b, c}, a} ) {b, c} ) {d} ) a E) {a, d} 8. = {a, b, c, d, e} ve = {a,, } kümeleri veriliyor. kümesinin kümesinin alt kümesi olabilmesi için ve sembollerinin yerine aşağıda verilenlerden hangisi getirilebilir? ) f b ) c m ) b f ) m e E) c e. ir kümesinin alt kümelerinin sayısı ile özalt kümelerinin sayısının toplamı 7 dir. una göre kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 9. NTLY kelimesinin harflerinden oluşan küme kaç elemanlı olur? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7. = {(a, b) : a b = ve a, b Z + } kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) E E

37 . ölüm: Kümelerde Temel Kavramlar TEST - TEST - Kümelerde Temel Kavramlar. şağıdakilerden hangisi boş küme belirtmez? ) {Uçan ayılar} ) {Piyano çalabilen bebekler} ) {Negatif doğal sayılar} ) { günden oluşan aylar} E) { } 4. şağıda verilen kümelerden hangisi sonludur? ) { N: < 00} ) { R: < 5} ) { Z: > } ) { asal : > } E) { N + : + > } , ve kümeleri yukarıdaki gibi Venn Şeması ile gösterilmiştir. una göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) s() = 6 ) = ) s() = s() ) 6 E) 4 5. N = {n, i, t, e {l, i, k}} kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8. P = {, a,, {, }, {a}} kümesi ile ilgili aşağıda verilerden hangisi yanlıştır? ) P dir. ) {, } P dir. ) {} P dir. ) {a} P dir. E) s(p) = 5 tir. 6. K = {,, 5, } kümesi veriliyor. una göre aşağıdakilerden hangisi K kümesi için bir evrensel küme olabilir? ) {Tek tam sayılar} ) {Rakamlar} ) {Pozitif tam sayılar} ) {sal sayılar} E) {Tek doğal sayılar} 7

38 . Ünite: Kümeler 7. b a y c 0. = {,,, 4, 5, 6, 7} kümesi veriliyor. una göre nın kaç alt kümesinde sadece tek sayılar bulunur? ) 4 ) 8 ) 5 ) 6 E) Yukarıda verilen Venn şemasına göre s() + s() + s() toplamı kaçtır? ) 0 ) ) ) E) 4 8. Z olmak üzere den 0 ye kadar olan doğal sayılardan n = + şartını sağlayanların kümesi kaç elemanlıdır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9. = { : 4, Z} = { Z: 4 < 5} = { N, 4 4} = { : 5 < < 5, Z} E = {0,,,, 4} kümeleri veriliyor. una göre aşağıda verilen eşitliklerden hangisi yanlıştır? ) = ) = ) = E ) = E) = 9. = {, {}, {, 4}, 5, 6} kümesi için aşağıdaki önermelerin kaç tanesi doğrudur? I. {} II. s() = 5 III. IV. {{, 4}} V. {, } ) ) ) ) 4 E) 5. ve kümeleri için, s() = ve s() = 4 tür. una göre belli bir kümesi için kaç farklı kümesi yazılabilir? ) ) 4 ) 7 ) 8 E) 5 8. E E.

39 . ölüm: Kümelerde Temel Kavramlar TEST - Kümelerde Temel Kavramlar. M = {a, b, {a, b}, {b}, c} kümesi veriliyor. una göre aşağıdakilerden hangisi M nin bir alt kümesi olamaz? 4. şağıdakilerden hangisi bir kümenin özalt kümelerinin sayısı olamaz? ) 55 ) 7 ) ) 7 E) 5 ) {a, b, c} ) {{a, b}} ) {b} ) {{b}} E) {{a, c}}. = {m, n, {m, n}} kümesi veriliyor. kümesinin özalt kümelerinin sayısı kaçtır? ) ) 5 ) 7 ) 8 E) 5 5. ir kümenin eleman sayısı arttırıldığında özalt kümelerinin sayısı 56 arttığına göre, bu kümenin alt küme sayısı kaçtır? ) 6 ) 8 ) 4 ) E) 0. ab iki basamaklı sayı olmak üzere P = {a : (ab), 8 den büyük doğal sayı} kümesi veriliyor. una göre s(p) kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 6 E) Sonsuz 6. = {, y, z, t, n} kümesinin alt kümelerinin kaçında ve y elemanları birlikte bulunur? ) 4 ) 8 ) 6 ) E) 64 9

40 . Ünite: Kümeler 7. a Yukarıda Venn şemasıyla ve kümeleri verilmiştir. una göre ve yi kapsayan evrensel küme en az kaç elemanlı olabilir? b c 4 0., s() = 8 ve s() = + dir. una göre kaç farklı değer alabilir? ) ) ) ) 4 E) 5 ) 8 ) 9 ) 0 ) E)., ve kümeleri için, ve olduğu biliniyor. u kümelerin Venn şeması ile gösterimi için aşağıdakilerden hangisi daha uygundur? ) ) 8. = {,, {}, {, }, {,, }, } kümesinin kaç alt kümesi {{,, }} ) ) kümesini kapsar? ) 4 ) 8 ) 6 ) E) 64 E) 9. şağıda verilen kümelerden hangisi sonsuz bir kümedir? ) "! Z - G <, ) "! R 0 < <, n ) " n! N < 000, ) " m! N m! < 0000, 6 E) '! Z bir tam sayı. = {çift rakamlar} kümesi veriliyor. nın boştan farklı kaç alt kümesinde elemanların toplamı en çok 8 olabilir? ) ) ) 4 ) 5 E) E E.

41 . ölüm: Kümelerde Temel Kavramlar TEST - 4 Kümelerde Temel Kavramlar. = {a. b, {b}, {c, d}, e} kümesi için aşağıdaki önermelerden kaç tanesi yanlıştır? I. { } 4. = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde d ve e bulunur? ) 4 ) 8 ) 6 ) E) 64 II. {a} III. {a, b} IV. {b} V. s() = 6 ) 5 ) 4 ) ) E) 5. ir kümenin eleman sayısı 4 arttırılırsa alt küme sayısı kaç katına çıkar? ) ) 8 ) ) 6 E) 6. P = {Sokağımızdaki binalar}. K = {,,, 4, 5} kümesinin kaç alt kümesinde bulunur, 5 bulunmaz? ) 8 ) 0 ) ) 6 E) 4 R = {Mahallemizdeki binalar} S = {Şehrimizdeki binalar} kümeleri veriliyor. u kümelerin Venn şeması ile gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) P R ) P S R S. R = { : < 50, = 5k, k Z} ) S P R ) P R kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0 S E) P R S 4

42 . Ünite: Kümeler 7. M = {8 den küçük tek doğal sayılar} kümesi veriliyor. una göre M nin kaç alt kümesinde elemanların toplamı tek sayı olur? ) 8 ) 6 ) 4 ) E) 0. = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde d ve e elemanlarından en çok bir tanesi eleman olarak bulunur? ) 4 ) ) 8 ) 0 E) 6 8. olmak üzere, s() = ve s() = 8 dir. una göre nin kaç alt kümesinde nın hiçbir elemanı bulunmaz? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 4. = {,,, 4, 5, 6, 7} kümesi veriliyor. una göre kümesinin alt kümelerinin kaçında, veya elemanlarından en az biri bulunur? ) ) 48 ) 56 ) 96 E) 9. kümesinin alt küme sayısı 64 olup elemanlarından biri dır. şartını sağlayan kaç farklı kümesi yazılabilir? ) 5 ) 6 ) 8 ) 6 E). = {,,, 4} ve = {,,, 4, 5, 6, 7, 8} kümeleri veriliyor. una göre şartını sağlayan kaç farklı kümesi yazılabilir? ) 6 ) 4 ) ) 6 E) E E 0.. E.

43 . ölüm: Kümelerde İşlemler. ÖLÜM... Kesişim, irleşim, Fark ve Tümleme İşlemi Kümelerde Kesişim İşlemi ve kümelerinin ortak elemanlarından oluşan kümeye ile kümelerinin kesişim kümesi denir ve biçiminde gösterilir. Yani; = { ve } dir. Kümelerde İşlemler = (eğişme özelliği) ( ) = ( ) = (irleşme özelliği) = (irim eleman) E = E (Yutan eleman) iken = dir. ( ) = ( ) ( ) (ağılma özelliği) ( ) = ( ) ( ) (ağılma özelliği) ( iken) s( ) = s() + s() s( ) Özellikleri, ve kümeleri E evrensel kümesinin birer alt kümesi olsun. u durumda aşağıdaki özellikler sağlanır. = (Tek kuvvet özelliği) = (eğişme özelliği) ( ) = ( ) = (irleşme özelliği) = (Yutan eleman) E = (irim eleman) iken = = ise ile ye ayrık kümeler denir. s( )=s()+s()+s() s( ) s( ) s( )+s( ) Kümelerde Fark İşlemi ve iki küme olsun. da olup de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark kümesi denir ve \ veya sembollerinden biri ile ifade edilir. Yani; \ = { ve } dir. Kümelerde irleşim İşlemi ve kümelerinden en az birine ait olan elemanların oluşturduğu kümeye ile kümelerinin birleşim kümesi denir ve biçiminde gösterilir. Yani; = { veya } dir. ( iken) Özellikleri ve, E evrensel kümesinin birer alt kümesi olsun. u durumda aşağıdaki özellikler sağlanır. = = = ( iken) Özellikleri, ve kümelerinin evrensel kümesi E olsun. = (Tek kuvvet özelliği) E = ise ise = s( ) = s( ) + s( ) + s( ) = ise \ = ve \ = dir. 4

44 . Ünite: Kümeler Kümelerde Tümleme İşlemi E evrensel kümesi içinde bir kümesi verilsin. E de olup da Sembolik Mantık İle (p9)9 p Kümeler İle (9)9 = olmayan yani; (E ) kümesine kümesinin tümleyeni denir, 9 veya şeklinde gösterilir. Ortak özellik yöntemiyle, 9 = E = { : E ve } olarak ifade edilir. E ' p 0 p9 9 = E p / p9 0 9 = / 0 0 E = 0 0 E = E p / (q 0 r) (p / q) 0 (p / r) ( ) = ( ) ( ) p 0 (q / r) (p 0 q) / (p 0 r) ( ) = ( ) ( ) (p / q)9 p9 0 q9 ( )9 = 9 9 (p 0 q)9 p9 / q9 ( )9 = 9 9 Özellikleri (9)9 = E = 9 9 = E E9 = 9 = ( ile 9 ayrık kümelerdir) 9 = E ^, hl = l + l 4 e Morgan kuralı ^+ hl = l, l Küme İşlemleri Yardımıyla Problem Çözümü şağıdaki Venn şemalarında İngilizce bilenler İ, Fransızca bilenler F, lmanca bilenler ile gösterilmektedir. E ise evrensel kümedir. İngilizce bilenler : a E İ b İngilizce bilmeyenler : b a İngilizce bilenler : a + b İ lmanca bilenler : b + c Yalnız İngilizce bilenler : a Yalnız lmanca bilenler : c a b c = 9 ise 9 9 dür. Her iki dili bilenler : b İngilizce veya lmanca bilenler : a + b + c E Kümeler İle Sembolik Mantık Kuralları rasındaki İlişki Kümelerle yapılan işlemler ve sembolik mantıkta kullanılan sembol, gösterim ve bunlarla ifade edilen işlemler arasında aşağıdaki tablolarda ifade edilen ilişkiler bulunmaktadır. Sembolik mantık 0 0 / eğili (9) / Kümeler E Tümleyeni (9) = oş küme Evrensel küme b c d a İki dili de bilmeyenler : a lmanca bilmeyenler : a + d Fransızca bilmeyenler : a + b İki dili de bilenler : c En çok bir dil bilenler : a + b + d F 44

45 . ölüm: Kümelerde İşlemler E... İki Kümenin Kartezyen Çarpımı a İ f d c b h e g F Sıralı İkili ve baştan farklı iki küme olmak üzere, kümesinde alınan bir a elemanı ile kümesinden alınan bir b eleman ile oluşturulan, (a, b) şeklindeki yeni elemana sıralı ikili denir. urada a ya birinci İngilizce bilenler: b + c + d + f lmanca bilenler: b + c + e + g bileşen, b ye ikinci bileşen denir. (a, b) = (c, d) a = c ve b = d dir. Üç dili de bilmeyenler: a Üç dili de bilenler: b Kartezyen Çarpım Kümesi En çok bir dil bilenler: a + f + g + h En az bir dil bilenler: b + c + d + e + f + g + h En az iki dil bilenler: b + c + d + e En çok dil bilenler: a + c + d + e + f + g + h İngilizce bilmeyenler: a + e + g + h azı durumlar ayrık küme belirtir. Kız Erkek, mavi gözlü ela gözlü, başarılı başarısız veya gözlüklü gözlüksüz gibi durumlar ayrık kümelerin kullanılacağı durumların bazılarıdır. u soruların çözümünde pencere yöntemi kullanılır. Kız Erkek Sarışın a b Esmer c d ve boştan farklı iki küme olsun. irinci bileşeni dan, ikinci bileşeni den alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine ile nin kartezyen çarpım kümesi denir. ile gösterilir. = {(, y) : ve y } olduğundan s( ) = s() s() dir. Kartezyen Çarpımının Özellikleri oş kümeden farklı,, ve kümeleri için = = (eğişme özelliği yoktur.) ( ) = ( ) (irleşme özelliği) iken ( ) ( ) ve iken ( ) ( ) Yatay ve dikey olarak kesişen durumlar her iki durumu içerir. Sarışın kızlar : a Sarışın erkekler : b Esmer kızlar : c Esmer erkekler : d Sarışınlar : a + b Esmerler : c + d Kızlar : a + c Erkekler : b + d gibi... s( ) = s() s() s() dir. (ağılma özelliği) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) 45

46 . Ünite: Kümeler. ÖLÜM Uygulama Soruları Fizik ilimine Giriş. = {a, b, c, d} ve = {c, d, e, f, g} kümeleri veriliyor. una göre a. b. c. d. kümelerini bulunuz. 5., ve kümeleri için = {, a, b} ve = {,, a} olduğu biliniyor. una göre ( ) kümesini bulunuz. 6. ve iki kümedir. = {,,, 4} ve = {5, 6} olduğuna göre kümesini bulunuz.. a c b 7. Yukarıda verilen Venn şemasına göre a. b. c. kümelerini liste yöntemiyle yazınız., ve kümeleri veriliyor. una göre aşağıdaki küme işlemlerini Venn şemasında gösteriniz. a. ( ) b. ( ). kümesi, E evrensel kümesine ait bir kümedir. una göre aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. b. c. E d. E e. E c. ( ) d. ( ) 8. = {Okulumuzun kız öğrencileri} ve = {Okulumuzun yeşil gözlü öğrencileri} kümeleri veriliyor. una göre (9 ) kümesini sözel ifadeyle yazınız. 4. ve kümeleri için s() =, s() = 6 ve s( ) = olduğuna göre s( ) yi bulunuz. 9. ve birer kümedir. s( ) = 4 s( ) = 6 s( ) ve s( ) = 0 olduğuna göre s() kaçtır? 46

47 . ölüm: Kümelerde İşlemler 0. = {,, } ve = {,,, a, b, c, 5, 6} kümeleri veriliyor. una göre kaç farklı kümesi oluşturabiliriz? 4. ve kümeleri için s^^# h+ ^# hh = s^^# h- ^# hh = 8 olduğuna göre s( ) kaçtır?. E = {İki basamaklı doğal sayılar} evrensel kümesi tanımlanıyor. u evrensel kümeye ait 5. ir sınıfta Çince ve Japonca bilen, Çince ve Japonca dan en az birini bilen 4 kişi bulunmaktadır. u sınıfta Çince bilenler Japonca bilenlerden kişi fazla olduğuna göre Çince bilen kaç kişi vardır? = { : = 4k, k Z} ve = { : = t, t Z} kümeleri veriliyor. una göre s(9 9) değerini bulunuz.. E evrensel kümesinin içindeki iki küme ve dir. se ^ h = 6, s ^ lh = 7 ve s ^ lh + s ^ h = 0 olduğuna göre 6. kişilik bir sınıfta gitar çalamayan öğrenci sayısı olup piyano çalabilen öğrenci sayısı da dir. Yalnız gitar çalabilenlerin sayısı, her ikisini de çalabilenlerin sayısına eşit olduğuna göre her ikisini de çalamayan kaç öğrenci vardır? s() kaçtır?., ve kümeleri için,, s^- h =, s^^+ h- h = 5, s ^ - h = ve s ^ + h= 4 olduğuna göre s( ) kaçtır? kişilik bir sınıftaki öğrencilerle ilgili şu bilgilere yer verilmiştir. Sarışın erkekler esmer kızların iki katıdır. Esmer erkekler esmer kızlardan 5 kişi fazladır. Sarışın kızlar sarışın erkeklerden eksiktir. una göre sınıftaki erkek öğrenci sayısı kaçtır? 47

48 . Ünite: Kümeler ÇÖZÜMLER. = {a, b, c, d} = {c, d, e, f, g} 4. I. Yol (Venn Şemasıyla) a. İki kümenin ortak elemanları alınır. = {c, d} 8 b. İki kümedeki tüm elemanlar alınır. ynı elemanlar bir kez yazılır. = {a, b, c, d, e, f, g} c. da olup de olmayan elemanlar alınır. = {a, b} s() dan kalan s( ) s() den kalan d. de olup da olmayan elemanlar alınır. = {e, f, g} s( ) = = 4 II. Yol (Formülle) s( ) = s() + s() s( ) = + 6 = 4 bulunur.. a. a c b = {, b, c} 5. = {, a, b} ve = {,, a} olduğundan ( ) = ( ) ( ) dağılma özelliğini kullanırsak b. c. c a b c a b = {,,, a, b, c, } = {a, } ( ) = ( ) ( ) = {, a, b} {,, a} = {,, a, b} bulunur. 6. = {,,, 4} ve = {5, 6} kümelerini Venn şemasında gösterelim a. = b. = olayısıyla = {,,, 4, 5, 6} olur. c. E = d. E = 9 7. a. e. E = dır. ( ) 48

49 . ölüm: Kümelerde İşlemler b. 0. = {,, } ve = {,,, a, b, c, 5, 6} olduğundan kümesinde kesinlikle a, b, c, 5, 6 elemanları bulunmalıdır. O halde kümesi, içinde a, b, c, 5, 6 elemanlarının daima olduğu, kümesinin bir alt kümesidir. Yani {,, } ün ( ) kaç farklı alt kümesi yazılabiliyorsa o kadar farklı kümesi yazılabilir. u da = 8 dir. c.. E = {İki basamaklı doğal sayılar} evrensel küme olduğundan kümesi 4 ün katı, kümesi de ün katı doğal sayılardan oluşur. Öte yandan e - ( ) Morgan dan 9 9 = ( )9 = E ( ) olduğundan d. s(9 9) = s(e ( )) ve 4 ün katı ( nin katı) doğal sayılar E = {0,,,..., 98, 99} içinde nin katı olan sayılar, 4,..., 96 olmak üzere 8 adettir. ( ) s(e) = 99 9 = 90 olduğundan bir basamaklı 8. = {Okulumuzun kız öğrencileri} ise 9 = {Okulumuzun erkek öğrencileri} = {Okulumuzun yeşil gözlü öğrencileri} olduğundan 9 ve {Okulumuzun yeşil gözlü erkek öğrencileri} kümesi elde edilir. s(9 9) = 90 8 = 8 bulunur.. s() + s(9) = s(e) s() + 7 = 6 olduğundan s() = 9 dur. s(9) + s() = 0 olduğundan s(9) = dir. s() + s(9) = s(e) s() + = 6 olduğundan s() = 5 tir. 9. s( ) = 4 s ( ) = 6 s( ) = k olsun. u durumda. Verileri Venn şemasında yerleştirelim. s( ) = k s( ) = k s( ) = k olur. 5 k k 7k s( ) = 0 k = 0 k = 5 olduğundan s() = 0k = 50 bulunur. s( ) s( ) ) s( ) olduğundan = olacağından taralı bölgede de kümesinin elemanı bulunur. s( ) = = bulunur. 49

50 . Ünite: Kümeler 4. Kartezyen çarpım işleminin kesişim ve fark işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Yani ( ) = ( ) ( ) 6. Venn şeması oluşturalım. Toplulukta gitar ya da piyano çalamayanlar da olduğundan evrensel kümeyi de çizmeliyiz. E ( ) = ( ) ( ) olduğundan G P s( ( )) = ve s( ( )) = 8 olur. y s( ( )) = s() s( ) = s( ( ) = s() s( ) = 8 olduğundan s(), ve 8 in bir böleni olmalıdır. s() > s( ) ve s() > s( ) olduğu göz önünde bulundurulursa. s() = 6, s( ) = ve s( ) = olur. 4 y Yalnız gitar Her ikisini çalabilen de çalabilen Her iki ensturmanı çalamayanların sayısı y olsun. + + y + y = = 8 = 4 olduğundan Piyano çalanlar: + y = 4 + y = y = 6 bulunur. olduğundan s( ) = = 9 bulunur. 7. Verilen bilgilere göre esmer kızların sayısına diyelim. 5. Çince ve Japonca bilenler: s(ç J) =, O halde esmer erkekler: + 5, Sarışın erkekler: sarışın kızlar: olur. Verileri tabloya yerleştirelim. Çince ve Japonca dan en az birini bilenler: s(ç J) = 4 ve ayrıca s(j) = + dersek s(ç) = + 4 olacağından aşağıdaki Venn şeması oluşturulabilir. Sarışın Esmer Erkek + 5 Kız O halde = 40 Ç J = 40 + = 6 dır. olayısıyla sınıftaki erkek sayısı da O halde = 4 = 0 = 5 olduğundan Çince bilenlerin sayısı + 4 = = 9 bulunur = + 5 = = bulunur. 50

51 . ölüm: Kümelerde İşlemler TEST - Kümelerde İşlemler. = {a,,,, } ve = {a, b,,, } kümeleri veriliyor. una göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {a, } ) {a, } ) {a,, } ) {b,, } E) {a,, } 4. Yukarıdaki Venn şemasında verilen taralı bölge aşağıdaki küme işlemlerinden hangisi ile ifade edilir? ) ) ) ) E) 9. = {a, b,, } ve = {,,,, } kümeleri veriliyor. una göre s( ) kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 5. E = {rakamlar} evrensel kümesine ait bir küme = { Z : < 7} dir. una göre s(9) kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. = {,,, a, b} = {, a, b,, 4} kümeleri veriliyor. una göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {, } ) {,, } ) {a,, } ) {, a, } E) {a, b,, 4} 6. ve kümeleri için s( ) = 7 s( ) = olduğu biliniyor. una göre s() kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 5

52 . Ünite: Kümeler 7. ve kümeleri için aşağıda verilenlerden hangisi yanlış olabilir? 0. ) = ) = ) = ) = E) = Şekildeki taralı bölge aşağıdaki küme işlemlerinden hangisi ile ifade edilebilir? ) ( ) ) ( ) \ ) ( ) ) ( ) E) \ ( ) 8. E evrensel kümesine ait bir küme dır. s() = 7 s(9) = + olduğuna göre s(e) kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 E). ( + y, y) = ( 5, ) eşitliğine göre y değeri kaçtır? ) ) ) ) 0 E) 9. ve kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 8 ve 6 dır. una göre s( ) en çok kaç olur? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9. = {(a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, )} kartezyen çarpım kümesine göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) " ab,, ) ",, ) ",,, ) ",,a, E) " abc,,,,

53 . ölüm: Kümelerde İşlemler TEST - Kümelerde İşlemler. ve kümeleri için = {,, 5} = {a, b} olduğuna göre kümesinin kaç farklı alt kümesi yazılabilir? ) 8 ) ) 6 ) 4 E) 4. E = ",, a, bc,,_, 49,, evrensel kümesi için l = " a, b,_, 4, tümleyen kümesi veriliyor. una göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ",,c, ) ",, c, 9, ) " ab49,,,, ) ",, b, 9, E) ",, b, _,. = { Z : < 4} = { Z : 5 < } kümeleri veriliyor. una göre s( ) kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 E) 5. S = ",, acd,,, ve Y = " 4,,, b, ce,, kümeleri veriliyor. una göre S Y fark kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ",c, ) ",,c, ) ",a, ) ", ad,, E) " 4,, be,,. = {,, a,, } 9 = {,, a, b,, } kümeleri veriliyor. una göre s( ) kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5 6. ve kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir. = " a, bc,, l = " d, ef,, l = " a, ef,, kümeleri için kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) " acd,,, ) " bcd,,, ) " cde,,, ) " bef,,, E) " abd,,, 5

54 . Ünite: Kümeler 7. kümesi E evrensel kümesinin içinde, s ^ h = +, s^lh = - ve s^eh = 7 olduğuna göre kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 0. olmak üzere, s^h = 8 ve s ^ - h = 5 olduğuna göre s( ) kaçtır? ) ) 6 ) 9 ) 6 E) 0 8. olmak üzere s() = 4 ve s() = 6 olduğuna göre s( ) + s( ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?. = " ; < 00, = k, k! Z, = " y ; 40 < y, y = n, n! Z, kümeleri veriliyor. una göre s( ) kaçtır? ) 9 ) 0 ) ) E) ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 0. = {,, } ve = {a, b} olduğuna göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 9. = " asal rakam, ve = " - < G,! Z, kümeleri veriliyor. una göre s( ) kaçtır? ) 0 ) 8 ) 6 ) E) 0 ) {(, a), (, a), (, b), (b, )} ) {(, a), (, a), (, a)} ) {(b, ), (b, ), (b, ), (a, ), (a, ), (a, )} ) {(, a), (, b), (, a), (, b), (, a), (, b)} E) {(, ), (, ), (, ), (, a), (, b), (, a)} 54. E E

55 . ölüm: Kümelerde İşlemler TEST - Kümelerde İşlemler. Ç = {Çift tam sayılar} T = {Tam sayılar} kümeleri için T Ç kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) 4. s( ) =, s( ) = 4 ve s( ) = olduğuna göre nin alt küme sayısı kaçtır? ) 4 ) 8 ) 6 ) 8 E) 56 ) Tam sayılar ) oğal sayılar ) Çift tam sayılar E) Reel sayılar. = {,, } ve = {4, 5, 6} olduğuna göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {,,, 4, 5, 6} ) {,, } ) {4, 5, 6} ) {,, 4} E) 5. ve aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. = {,, 4, 6} = {,, 5, 6, 7, 9} 9 = {, 5, 7, 9, 0} olduğuna göre 9 9 kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {, 4, 0} ) {5, 7, 9} ) {, 0} ) {0} E) {}., ve kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla; 8, ve 8 dir. una göre kümesinin özalt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 0 ) ) ) 4 E) 6 6. s() = s(), s( ) = 4 ve s( ) = 8 olduğuna göre 9 kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 5 ) 7 ) 8 ) E) 55

56 . Ünite: Kümeler 7. olmak üzere s() = ve s() = 5 olduğunu bilinmektedir. una göre s( ) + s( ) ifadesinin eşiti kaçtır? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 0 0. ve aynı evrensel kümeye ait olmak üzere, ve kümelerinin özalt kümelerinin sayıları sırasıyla, 7 ve dir. s(9 9) = 4 olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) ve ayrık iki kümedir. una göre aşağıda verilenlerden kaç tanesi kesinlikle yanlıştır? I. s( ) = dir. II. s( ) = s() + s() Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) E) ( ) III. 9 IV. 9 9 = ) 0 ) ) ) E) 4 9. ve kümeleri için ve ve s( ) = olduğuna s( ) en fazla kaçtır? ) 9 ) 0 ) ) E). = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d)} = {(b, ), (b, ), (c, ), (c, ), (d, ), (d, )} olduğuna göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {(, b), (, c), (, d), (, b), (, c), (, d)} ) {(a, ), (a, ), (a, b), (b, b), (a, c), (c, c)} ) {(a, ), (a, ), (b, ), (b, )} ) {(, a), (, a), (, b), (, b)} E) {, a), (, b), (, a), (, b), (, c)} E

57 . ölüm: Kümelerde İşlemler TEST - 4 Kümelerde İşlemler. ve iki kümedir. s() = ve s( 9) = 7 olduğuna göre s( ) kaçtır? ) 5 ) 7 ) 9 ) E) 4. = {,, 4, 5, 6, 7} ve = {4, 7, 8} olmak üzere ( ) ( ) kümesinin kaç farklı alt kümesi vardır? ) ) 4 ) 8 ) 6 E). ve iki kümedir. nin alt küme sayısı, nın alt küme sayısının 8 katıdır. s( ) = ve s( ) = 7 olduğuna göre s() kaçtır? ) 6 ) 8 ) 9 ) E) 5. = {a, b, c, {a, b}, {b, c}} ve = {{a, b}, c, {b}, {c}} kümeleri veriliyor. una göre kümesinin kaç alt kümesi vardır? ) ) ) 4 ) 8 E) boştan farklı bir kümedir. s() = 5 s( ) = s() olduğuna göre s( ) en az kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0 Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) E) ( ) 57

58 . Ünite: Kümeler 7. ir evrensel kümenin iki alt kümesi ve dir. s() + s(9) = 4 ve s(9) + s() = 66 olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 50 ) 5 ) 54 ) 56 E) M ve N kümeleri için sm ^ l + Nlh = $ s^m-nh sn ^ h = $ sm ^ + Nh ve s(m9) = 4 olduğuna göre s(m) kaçtır? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) 6 8. ve iki küme, s( ) = 8 ve s ( \ ) = 4 s ( ) = s ( + ) olduğuna göre s( \ ) kaçtır? ) 8 ) 7 ) 6 ) 5 E) 4. = {a, b, c, d} = {a, b, d, e, f, g} olmak üzere ( ) kümesinin birinci bileşeni a olan kaç tane sıralı ikili elemanı vardır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 9. s( ) = 8, s( ) = ve s( ) = s() olduğuna göre s( ) kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9. s[( ) ( )] = 0, ve s() = 5 olduğuna göre kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) E

59 . ölüm: Kümelerde İşlemler TEST - 5 Kümelerde İşlemler. E evrensel kümesinin içindeki iki küme P ve R dir. sp ^ l + Rlh = ve s^eh = 0 olduğuna göre s(p R) kaçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 5 4. ve kümeleri için, ve kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 4, 64 ve dir. una göre s( \ ) + s( \ ) toplamı kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. ve kümeleri verilsin. s() = 5 ve s() = 8 olduğuna göre s( ) nin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır? ) 5 ) 7 ) ) 8 E) 5. = { : < 0, = 4k, k N + } = { : 40, = 5k, k N + } olduğuna göre s( ) kaçtır? ) 47 ) 50 ) 5 ) 5 E) Sembolik Mantık Kümeler I. (p 0 q)9 p9 / q9 ( )9 = 9 9 II. p 0 q q 0 p = III. p / p9 0 9 =. olduğuna göre ( ) ( ) kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) ) E) E IV. 0 p E = V. / 0 0 E = E Yukarıda sembolik mantık ile kümeler arasındaki ilişkiler ifade edilmiştir. una göre ifade edilen ilişkilerden kaç tanesinde hata yapılmıştır? ) ) ) ) 4 E) 5 59

60 . Ünite: Kümeler 7. ve kümeleri için s() = s() =, s ^ + h= $ s6 ^, hl@ ve s ^, h = 6 olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 0. E evrensel kümesinin iki alt kümesi ve dir. s ^ lh = 7, s ^ lh = 5, s^eh = ve s^+ lh = 4 tür. una göre s( ) kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0 8. M ve N kümeleri için, s^mh= $ sn ^ -Mh, sm ^ - Nh= 5 $ s^m+ Nh ve s^m, Nh = 4 olduğuna göre s(m N) kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. ve farklı iki kümedir. Y olmak üzere s^, h = ve s^+ h = 5 olduğuna göre s( ) en çok kaç olabilir? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) = {,,, 4, 5, 6} ve = {,, 4} olduğuna göre ( ) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Şekildeki taralı bölge aşağıdaki küme işlemlerinden hangisi ile gösterilebilir? ) {,,, 4, 5} ) {,, } ) {,, 4} ) {, 5, 6} E) {, 4} ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) E) ( ) ( ) 60.. E

61 . ölüm: Kümelerde İşlemler TEST - 6 Kümelerde İşlemler. ve, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olsun. 9 9 olduğuna göre I. II. = III. = ifadelerinden hangileri doğrudur? ) Yalnız I ) I ve II ) I ve III 4. = {a, b, c} = {a, b, c, d, e} = {a, b} olduğuna göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {e} ) {d, e} ) {c, d, e} ) {c, d} E) {a, c, e} ) II ve III E) I, II ve III. 4 5 Yukarıdaki Venn şemasında rakamlar bulundukları bölgeleri gösterdiğine göre ( 9) 9 5. ve kümelerinin en az birer elemanı bulunduğu biliniyor ve ( ) = eşitliğini gerçekliyorsa bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) ) ) = ) = E) 9 9 kümesi hangi bölgeyi göstermektedir? ) ) ) ) 4 E) 5. ve kümeleri için s( ) = 4 s() = 4 s() s( ) = 46 olduğuna göre s( \ ) + s( \ ) toplamı kaçtır? ) 4 ) 7 ) ) 7 E) 6. {,,, 4, 5, 6, 7} olmak üzere {4, 5, 6} kümesinin eleman sayısının olduğu kaç farklı alt kümesi vardır? ) 48 ) 4 ) 6 ) 0 E) 4 6

62 . Ünite: Kümeler 7. olmak üzere s[ ( )] = 6 ve s( ) = 9 olduğuna göre s( ) kaçtır? ) 6 ) 8 ) 4 ) E) 0. = {,,, 4, 5} = {,, 7} olmak üzere, kümesinin kaç elemanının her iki bileşeni de tek sayıdır? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 E) 6 8. = {,, 4} = {, 4, 6, 7} kümeleri için kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dikdörtgenin çevresi kaç birimdir? ) 6 ) 4 ) ) 8 E) 6. = {a, b, c, d} = {e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde (b, f) sıralı ikilisi vardır? ) 04 ) 5 ) 56 ) 8 E) 64. = {0,, } ve = {, } olmak üzere nın grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) y O O 9. ve herhangi iki küme, s() + s() = 0 ve s( ) = 4 olduğuna göre s( ) + s( ) kaçtır? ) y ) y ) 6 ) 5 ) 4 ) E) O O E) y O 6. E E..

63 . ölüm: Kümelerde İşlemler TEST - 7 Kümelerde İşlemler (Küme Problemleri). Herkesin gitar veya piyano çaldığı 0 kişilik bir toplulukta yalnız bir enstrüman çalabilen kişi sayısı 4 tür. una göre her iki enstrümanı çalabilen kaç kişi vardır? ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 E) 4. ir sınıfta matematikten geçen herkes fizikten de geçmiştir. u sınıfta fizikten kalan 5, matematikten kalan öğrenci olduğuna göre kaç kişi fizikten geçtiği halde matematikten kalmıştır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8. 8 kişilik bir sınıfta 5 öğrenci yüzme, 8 öğrenci binicilik kursuna gitmektedir. una göre her iki kursa da katılan kaç öğrenci olabilir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) kişilik bir sınıfta kişi satranç, 8 kişi de bilim topluluğuna üyedir. Öğrencilerden si her iki topluluğa da üye olmadığına göre bu sınıfta her iki topluluğa üye olan kaç kişi vardır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. 0 kişilik bir toplulukta satranç oynamayı bilenlerin sayısı, bilmeyenlerin sayısının katıdır. u toplulukta satranç ve bilgisayar oyunu oynayan kişi olduğuna göre sadece satranç oynayan kaç kişi vardır? ) ) ) 4 ) 5 E) kişilik bir sınıftan satranç ve dama oynamayı bilenlerin sayısı sırasıyla ve 8 dir. u sınıfta öğrenci iki oyunu da bildiğine göre her iki oyunu bilmeyen kaç kişi vardır? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 6

64 . Ünite: Kümeler 7. ir sınıfta 0 öğrenci vardır. 5 öğrenci hem satranç hem de dama bilmektedir. 6 öğrenci bu oyunlardan en az birini bilmektedir. Santranç bilenlerin sayısı, dama bilenlerin sayısından 5 fazladır. u sınıfta kaç öğrenci dama bilmemektedir? 0. ir sınıfta 5 kişi Fransızca dersinden, 0 kişi de İngilizce dersinden başarısızdır. 5 kişinin hem İngilizce hem de Fransızca dersinden başarısız olduğu bu sınıfın mevcudu 40 kişi olduğuna göre her iki dersten başarılı kaç kişi vardır? ) 8 ) 0 ) 5 ) 8 E) 0 ) 6 ) 8 ) ) E) kişilik bir sınıfta İngilizce ve lmanca bilen ve bilmeyen öğrenciler vardır. lmanca bilmeyen 6, hem lmanca hem İngilizce bilmeyen 8 ve yalnız lmanca bilen 0 kişi olduğuna göre kaç kişi İngilizce bilmektedir? ) 5 ) 7 ) 9 ) E). 0 kişilik bir sınıfta bulunan 4 erkek öğrencinin yarısı gözlüksüzdür. u sınıfta 9 gözlüklü öğrenci bulunduğuna göre gözlüksüz kız öğrenci sayısı kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5 9. ir sınıfda futbol, basketbol ve voleybol oynayan veya oynamayan öğrenciler bulunmaktadır. u sınıfta en az iki oyun oynayan 7 kişi, en çok bir oyun oynayan 8 kişi ve en çok iki oyun oynayan 8 kişi olduğuna göre her üç oyunu da oynayan kaç kişi vardır? ) ) 5 ) 7 ) 9 E). ir sınıftaki öğrencilerin 50 si İngilizce, 0 u lmanca bilmektedir. 40 ının bu dillerin ikisini de bilmediği bu sınıfta sadece lmanca bilen öğrenci sayısı 0 kişi olduğuna göre hem İngilizce hem lmanca bilen kişi sayısı kaçtır? ) 0 ) 0 ) 0 ) 40 E) E

65 . ölüm: Kümelerde İşlemler TEST - 8 Kümelerde İşlemler (Küme Problemleri). 6 kişilik bir toplulukta kişi filmini, 7 kişi filmini ve 5 kişi de her iki filmi seyretmiştir. una göre bu toplulukta iki filmi de izlemeyen kaç kişi vardır? ) 5 ) 7 ) 9 ) E) 4. Piyano, gitar veya bağlama çalabilenlerin oluşturduğu bir gruptaki herkes en az bir enstrüman çalabilmektedir. u gruptaki 8 kişi en az iki enstrüman 5 kişi de üç enstrümanı da çalabilmektedir. una göre bu gruptaki kaç kişi yalnız iki enstrüman çalabilmektedir? ) 5 ) 6 ) 9 ) E). 9 kişilik bir sınıfta her öğrenci yüzme veya tenis kurslarından en az birine katılmıştır. u sınıfta her iki kursa da katılan 5 kişi ve yüzme kursuna katılanların sayısı, tenis kursuna katılanların sayısının katıdır. una göre bu sınıfta tenis kursuna katılan kaç kişi vardır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 5. ir sınıftaki öğrenciler Türkçe veya matematik derslerinden en az birinden başarılıdır. u sınıftaki öğrencilerin 40 i Türkçe den, 80 i matematikten başarılıdır. u sınıftaki öğrencilerden 5 i de her iki dersten başarılı olduğuna göre sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 7. ir sınıftaki 9 kişiden İngilizce bilmeyen 8, Fransızca bilmeyen 7 kişi bulunmaktadır. u sınıfta iki dili de bilen 6 kişi olduğuna göre iki dili de bilmeyen kişi sayısı kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5 6. ir okulda İngilizce veya Fransızca bilen veya bilmeyen öğrenciler bulunmaktadır. u sınıfta en çok bir dil bilen kişi, İngilizce veya Fransızca bilen 8 kişi olduğuna göre iki dili de bilmeyen öğrenci sayısı en az kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 65

66 . Ünite: Kümeler 7. Herkesin tenis, yüzme veya basketbol sporlarından en az biriyle ilgilendiği bir kulüpte, basketbola ilgi duyan başka bir sporla ilgilenmemektedir. Tenisle ilgilenen kişi ve yüzmeyle ilgilenmeyen 7 kişi vardır. u kulüpte yalnız bir sporla ilgilenen 5 kişi olduğuna göre basketbolla ilgilenen kaç kişi vardır? ) 0 ) ) 9 ) 0 E) kişilik bir sınıftaki tüm öğrenciler üniversiteye giriş sınavında sayısal veya eşit ağırlık bölümlerinden tercih yapacaklardır. Sayısaldan tercih yapacakların sayısı, eşit ağırlıktan tercih yapacakların sayısının katı ve her iki daldan tercih yapanların da katıdır. una göre bu sınıftan yalnız eşit ağırlıktan tercih yapacak öğrenci sayısı kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) kişilik bir sınıfta İngilizce veya Fransızcadan en çok birini bilen öğrenciler bulunmaktadır. İngilizce bilenlerin sayısı İngilizce bilmeyenlerin sayısının katı ve Fransızca bilmeyenler 0 kişidir. una göre bu sınıfta İki dili de bilmeyen kaç kişi bulunmaktadır? ) ) 6 ) 9 ) E) 5. kişilik bir sınıfta erkek öğrenci voleybol oynamaktadır. u sınıfta voleybol oynamayan kız öğrenci sayısı 6 dır. Voleybol oynayanların sayısı oynamayanların sayısının katı olduğuna göre bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 9. ir sınıfta gitar çalabilen 7 kız vardır. Gitar çalamayan kız sayısı gitar çalan erkek sayısının 4 katı ve gitar çalamayan erkek sayısı gitar çalan erkek sayısından fazladır. Sınıfta toplam 40 öğrenci olduğuna göre bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır? ) 8 ) ) 4 ) 7 E) 0. 4 kişilik bir sınıfta satranç kulübüne gidenlerin sayısı, tiyatro kulübüne gidenlerin sayısının 4 katı, tiyatro kulübüne gidenlerin sayısı da her iki kulübe gidenlerin sayısının katıdır. u sınıfta bu kulüplerin ikisine de gitmeyenlerin sayısı 6 olduğuna göre yalnız satranç kulübüne gidenlerin sayısı kaçtır? ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 E) E E. E

67 Ünite eğerlendirme Ünite eğerlendirme. = {a, b,,,, } = {,,, b, c, d, } kümeleri veriliyor. una göre a. 4. şağıda verilen taralı bölgeleri ifade eden küme işlemlerini yazınız. (4 puan) a. b. b. c. d. kümelerini bulunuz. (4 puan) c. d.. şağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerleri doldurunuz. (6 puan) a. =... b. =... c. =... d. ise =... e. ( ) ( ) = (...) f. = = {a, b, c, d, e, f, g} kümesi veriliyor. u kümenin a. kaç alt kümesi vardır? b. kaç alt kümesinde daima b elemanı bulunur?. şağıda verilen kümelerden hangileri boş kümedir? (8 puan) = {oğar doğmaz konuşan bebekler} = { Z : < < } = { asal : } = { R : < ve > } E = {Yüzebilen timsahlar} c. kaç alt kümesinde d bulunur, e bulunmaz? d. kaç alt kümesinde e ve f bulunur, a ve g bulunmaz? e. kaç alt kümesinde c veya d bulunur. f. kaç alt kümesinde sesli harf bulunmaz? (6 puan) 67

68 . Ünite: Kümeler 6. = {a, b} ve = {a, b, c, d, e, f, g} kümeleri veriliyor. una göre T ve T şartlarını sağlayan kaç farklı T kümesi yazılabilir? (8 puan) 9. ir sınıfta Türkçe dersinden geçenlerin tamamı matematikten de geçmiştir. Türkçe dersinden geçenlerin sayısı, her iki dersten kalanların sayısının dörtte biri, matematikten geçenlerin sayısının ise üçte biri kadardır. u sınıfta matematikten kalan öğrenci olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır? (0 puan) ) ) 4 ) 5 ) 8 E) 0 7. ve, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olup ve şartlarını sağlamaktadırlar. s() = 4 + s() = s( ) = + 8 olduğuna göre s( ) en az kaç olur? (0 puan) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 Yukarıdaki şekilde in grafiği verildiğine göre, s[( ) ( )] kaçtır? (0 puan) ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 0 8. ve kümeleri için s( ) = s( ), s() = 5 s( ) ve s( ) = 8 olduğuna göre s( ) kaçtır? (0 puan) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 lınan Not evap nahtarı. a. {,, b} b. {a, b, c, d,,,,,, } c. {a,, } d. {, c, d, }. a. b. c. d. e. f.., ve 4. a. b. ( ) c. ( ) d. ( ) 5. a. 8 b. 64 c. d. 8 e. 96 f Toplam 68

69 . Ünite enklemler ve Eşitsizlikler. ÖLÜM Sayı Kümelerİ. ÖLÜM ölünebilme Kuralları. ÖLÜM İrİncİ ereceden enklemler ve Eşİtsİzlİkler 4. ÖLÜM Üslü İfadeler ve enklemler 5. ÖLÜM enklemler ve Eşİtsİzlİklerle İlgİlİ Uygulamalar

70 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler. ÖLÜM Sayı Kümeleri... Sayı Kümelerinin irbiriyle İlişkisi Rakam Sayıları yazmak için kullanılan sembollere rakam denir. {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin her bir elemanı rakamdır. Sayma Sayıları Kümesi: N + = {,,,...} oğal Sayılar Kümesi: N = {0,,,,...} Tam Sayılar Kümesi: Z = "...,,, 0,,,,,..., Z : negatif Z + : pozitif + Z = Z, " 0,, Z tam sayılar tam sayılar sıfır sıfır ne pozitif ne de negatif bir tam sayıdır. Rasyonel Sayılar Kümesi: a ve b birer tam sayı ve b sıfırdan a farklı olsun. u durumda şeklinde yazılabilen tüm sayılara rasyonel sayı denir ve Q ile gösterilir, Q = & ab,! Z, b! 00 dir. b a b Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. ir tam sayısısını = biçiminde yazabiliriz. Z Q dir. İrrasyonel Sayılar Kümesi: Rasyonel olmayan (yani b 0 için a şeklinde yazılamayan) sayılara irrasyonel sayı denir ve Q9 ile b gösterilir. r,, -,, f gibi sayılar birer irrasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar, gerçek bir niceliğin ölçüsü ve sayı doğrusu üzerinde 7 bir yeri olmasına rağmen iki tam sayının oranı olarak yazılamamaktadır. u nedenle bu tür sayıları klasik tam sayı sembollerini kullanarak göstermek yerine özel semboller ( r, e,,, 5, gibi) kullanarak gösteririz. irçok nesnenin uzunluk ölçüsü bir irrasyonel sayı olabilir ama ölçüm aletleri eş oranlı ilkesine göre hazırlandığından irrasyonel ölçüye sahip uzunluklar tam olarak ölçülememektedir. ncak bu ölçülerin yaklaşık rasyonel karşılıkları veya ondalık açılımları ölçüm sonucu olarak belirlenebilir. İrrasyonel sayıların sayı doğrusu üzerindeki yeri tespit edilebilir. sayısının sayı doğrusu üzerindeki yerini tespit ederken aşağıdaki yaklaşım uygulanır. I. ir kenarı br ve sayı doğrusu üzerinde 0 ile sayıları arasında olan bir kare çizilir. II. u karenin köşegen uzunluğu br dir. u nedenle yarıçapı bu karenin köşegeni olan bir çember çizilir. III. Çizilen bu çemberin sayı doğrusunu kestiği nokta sayısının sayı doğrusu üzerindeki yeridir. 0 v v nin sayı doğrusu üzerindeki yeri Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesi ayrık kümelerdir. Yani Q Q9 = Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi: Q Q9 R Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların Z N tamamından oluşan kümeye reel sayılar kümesi denir. N + Yani R = Q Q9 dir. Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri Kapalılık Özelliği Herhangi iki gerçek sayının toplamı ya da çarpımı yine bir gerçek sayıdır. olayısıyla gerçek sayılar kümesinde toplama ve çarpma işleminin kapalılık özelliği vardır. Her a, b R için a + b R ve a b R dir. eğişme Özelliği Herhangi iki gerçek sayının toplamı ya da çarpımı, sayıların yerlerinin değişmesinden etkilenmez. Her a, b R için a + b = b + a ve a b = b a dır. olayısıyla gerçek sayılar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özelliği vardır. irleşme Özelliği Herhangi üç gerçek sayının toplamı ya da çarpımında işlem sırası için seçilen gruplamalar önemsizdir. Her a, b, c R için a + (b + c) = (a + b) + c ve a$ ^b$ ch= ^a$ bh $ c dir. olayısıyla gerçek sayılar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özelliği vardır. irim (Etkisiz) Eleman Özelliği Herhangi bir gerçek sayıya 0 eklemek ya da herhangi bir gerçek sayıyı ile çarpmak gerçek sayıları değiştirmez. Her a R için a + 0 = a ve a = a dır. olayısıyla toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı 0 (sıfır), çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı dir. 70

71 . ölüm: Sayı Kümeleri Toplama ve Çarpma İşlemine Göre Gerçek Sayının Tersi Her a! R için a+ ^ ah= ^ ah + a = 0 olduğundan a nın toplama işlemine göre tersi ( a) dır. Her b! R ^b! 0h için b $ = $ b = olduğundan b nin çarp- b b ma işlemine göre tersi b dir. Yutan Eleman Özelliği Her a! R için a$ 0 = 0$ a = 0 olduğundan 0 çarpma işleminin yutan elemanıdır. Çarpma İşleminin Toplama veya Çıkarma İşlemi Üzerine ağılma Özelliği Her abc,,! R için c$ ^a+ bh = c$ a+ c$ b, c$ ^a bh = c$ a c$ b dir. Not: Gerçek sayılar (R) kümesinin geometrik gösterimi sayı doğrusudur. Yani gerçek sayılar kümesinin her elemanına sayı doğrusunda bir nokta karşılık gelir. R R (R ) nin geometrik gösterimi de kartezyen koordinat sistemidir. Koordinat sistemi birbirine dik iki gerçek sayı doğrusunun sıfır noktasında kesişmesi ile elde edilmiştir. Gerçek sayılar kümesinin elemanları ile gösterilen her sıralı iki kartezyen koordinat sisteminde bir noktaya karşılık gelir. Kesirler pay a ab,! Z ve b! 0 olmak üzere kesir çizgisi b ifadesine bir kesir denir. payda Örneğin,,, 5 6 8, 49 birer kesirdir. 8 a kesrinin pay ve paydasının aynı tam sayıya bölünmesine sadeleştirme, aynı tam sayıyla çarpılmasına genişletme b denir. 8 8: 4 $ 5 5 = = (sadeleştirme), = = (genişletme) : 4 5 5$ 5 5 Mutlak değerce payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Örneğin; 8,,, gibi... Mutlak değerce payı paydasından büyük ya da eşit olan kesirlere bileşik kesir denir. Örneğin; 9 7 8,,, gibi Sıfır hariç bir tam sayı ile bir basit kesrin birlikte yazılmasıyla elde edilen kesre tam sayılı kesir denir. a c b (a tam b bölü c kesri) Örneğin; 6, 5, 4, gibi... b a$ c+ b a = işlemiyle tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilir. c c b b a biçimindeki negatif tam sayılı kesir ca m biçiminde al- c c gılanmalıdır. Kesirlerle İşlemler Toplama ve Çıkarma İşlemi Kesirlerle toplama veya çıkarma işlemi yaparken aşağıda verilen işlem sırası takip edilir. Varsa tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. Varsa önce parantez içindeki işlemler yapılır. Paydalar farklıysa eşitlenir. Paylar toplanır (veya farkı alınır) paya, ortak payda aynen yazılır. Çarpma İşlemi Kesirlerle çarpma işleminde aşağıdaki işlem sırası takip edilir. Varsa tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. Varsa sadeleştirmeler yapılır. Paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. ölme İşlemi Kesirlerle bölme işleminde aşağıdaki işlem sırası takip edilir. Varsa tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. irinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir ve işlem a c a d çarpma işlemine döner. Yani = $ dir. b d b c Kesirlerle karışık işlemlerde Önce parantez içi Çarpma veya bölme (çarpma bölme art arda olursa önce sol taraftaki işlem) yapılır. Toplama veya çıkarma işlemi yapılır. Tanım (Ondalık Kesirler) Paydası 0, 00, 000 gibi 0 un kuvveti olan kesirlere ondalık kesir denir. 49 4,,,... gibi Örneğin = = 06, ve = = 85, tir ( ) ( 5) onlar basamağı birler basamağı ab,cde ab,cde = 0a + b + c + d + e binde birler basamağı yüzde birler basamağı onda birler basamağı 7

72 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler Tanım (Tek Çift Sayılar) n bir tam sayı olmak üzere, genel olarak (n) şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayılar, (n ) şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayılar denir. Ç = {..., 4,, 0,, 4,...} ve T = {...,,,,, 5,...} kümeleri sırasıyla çift ve tek tam sayılar kümesidir. iğer bir deyişle, bir tam sayı ile bölünebiliyorsa çift, ile bölünemiyorsa tek tam sayıdır. n N + olmak üzere, Ç: çift tam sayı ve T: tek tam sayı olsun. u durumda aşağıdaki özellikler geçerlidir. Ç" Ç = Ç Ç " T = T Ç$ Ç = Ç Ç$ T = Ç rdışık bir sayı dizisi r farkla artsın. ilk terim : i. t., son terim s. t. olsun. u durumda sayı dizisinin terim sayısı st.. it.. c + m r formülü ile hesaplanır. rdışık sayı dizisinin terimleri toplamı da: Toplam = (terim sayısı) (ortalama), yani st.. it.. it.. + st.. Toplam = c + m $ c m r şeklinde hesaplanır. T" Ç = T T" T = Ç T$ Ç = Ç T$ T = T n n T = T Ç = Ç rdışık iki tam sayının toplamı ya da farkı tektir. rdışık iki tam sayının çarpımı çifttir. ir çarpımın sonucu tek ise çarpımın tüm terimleri tektir. Tanım (sal Sayılar) ve kendinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan, den büyük tam sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9,... şeklinde sonsuz sayıda asal sayı vardır. ir çarpımın çarpanlarından birinin olması çarpımının sonucunun çift olması için yeterlidir. n! ifadesi n = 0 ve n = için tek, diğer durumlar için çifttir. ir çift tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir. u çarpımdaki diğer çarpanların tek ya da çift olduğu belirlenemez. En küçük asal sayı, iki basamaklı en büyük asal sayı 97, üç basamaklı en küçük asal sayı 0 dir. dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. sal sayılar iki sayının çarpımı biçiminde tek türlü yazılabilir. Örneğin = gibi. Tanım (rdışık Sayılar) Sabit farkla artan sayı dizilerine ardışık sayılar denir. " 0,,,, f, : ardışık doğal sayılar. " f,, 0,,,, f, : ardışık tam sayılar. " 5f,,,, : rdışık tek doğal sayılar. " 04f,,,, : rdışık çift doğal sayılar. " 48,,, f, : 4 ün katı ardışık sayma sayıları gibi... rdışık Sayıların Toplamı n Z + olmak üzere n$ ^n+ h f + n = f + ^n h= n f + n = n$ ^n + h dir. den başka ortak pozitif böleni olmayan pozitif iki tam sayıya aralarında asal sayılar denir. ile bütün pozitif tam sayılar aralarında asaldır. Farklı asal sayılar aralarında asaldır. rdışık pozitif tam sayılar aralarında asaldır. rdışık pozitif tek tam sayılar aralarında asaldır. rdışık pozitif çift tam sayılar aralarında asal değildir. ile aralarında asal iki sayı ve y sadeleştirilemeyen bir kesir olsun. u durumda = iken = ve = y olur. y 7

73 . ölüm: Sayı Kümeleri Uygulama Soruları. şağıda verilen ifadelerin sonuna doğru olanlar için, yanlış olanlar için sembollerinden uygun olanını koyunuz. a. Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık özelliği vardır. (...) b. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır. (...) 4. şağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. 0 a. c m b. : c m 0 c. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı 0 dır. (...) d. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği yoktur. (...) e. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. (...) 5 5. c + m : işleminin sonucunu bulunuz.. şağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. [( ) + 6] ( 4) b. [( ) 5 + ( 7)] : ( ) c. [ 6 4 ( ) 7 ] + ( ) : d. : [6 + ( ) ( )] ( 5) 6. 4 terimli toplamının sonucunu bulunuz.. a [b (a + (b a))] b işleminin sonucunu bulunuz işleminin sonucunu bulalım. 7

74 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 8. 8,, 6 007, + 08, 0, 6 0, 0007 işleminin sonucunu bulunuz.. m ve n birer doğal sayıdır. m + n = olduğuna göre m n en az kaç olabilir? 9. şağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. 85 ile 86 arasındaki tam sayıların toplamı 4. p ve r farklı iki negatif tam sayıdır. p r = 6 olduğuna göre p + r en çok kaçtır? b. 00 ile 7 arasındaki tam sayıların çarpımı 0., y, z birer rakam olduğuna göre c + 4zm ifadesinin değeri en çok kaçtır? y 5. a, b, c farklı sayma sayılarıdır. a b c = 8 olduğuna göre a + b + c toplamı kaç farklı değer alabilir?. {, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin birbirinden farklı üç elemanı, y ve z dir. una göre y 4z ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? 6. a, b ve c birer doğal sayıdır. a b = ve a c = 6 olduğuna göre a + b + c toplamı en az kaçtır?. 4 ten küçük, ün katı kaç doğal sayı vardır? 7., y, z Z için 5 = y ve = z olduğuna göre + y + z en çok kaçtır? 74

75 . ölüm: Sayı Kümeleri 8. a ve b birbirinden farklı sayma sayılarıdır. a + 5b = 56 olduğuna göre b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?. şağıda verilen ardışık toplamların sonuçlarını bulunuz. a b c m tek, n çift tam sayıdır. una göre aşağıda verilen sayıların teklik çiftliklerini belirleyiniz. a. m n + b. m + n m ardışık toplamının sonucunu bulunuz. c. m + n 4 5m + n d. (m n + ) 8m , y, z ardışık üç çift tam sayı ve < y < z olduğuna göre 4 c + m c + m c + m = y z eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. işleminin sonucunu bulunuz. 6. a, b, c birer sayma sayısıdır.. rdışık 5 doğal sayının toplamı 45 tir. una göre bu sayıların en küçüğü kaçtır? a b + b c = olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?. rdışık 6 tek doğal sayının toplamı 68 olduğuna göre bu sayıların en büyüğü kaçtır? 7. ( y) ve ( + y) aralarında asal iki sayıdır. y + y = 9 olduğuna göre y değeri kaçtır? 6 75

76 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler ÇÖZÜMLER. a. ( ) b. ( ) c. ( ) (Etkisiz eleman dir.) d. ( ) (irleşme özelliği vardır.) e. ( ). 6 ^- h+ 6@ $ ^- 4h = a $ ^- 4h =-6 b. a^- h$ 5+ ^-7h k ^-h > = ^- 5 + ^-7hh : ^-h = ^-h : ^- h = c $ ^-h- 7$ + ^-h > 4444 = @ + ^-h =- 8+ ^- h =-9 d. 96+ $ ^-h-^-h -$ ^-5h > > = + 0 = + 0 = 6+ 0 = c + m : = - 4 f - + p - $ ( ) $ = -c - + m $ $ = -d - n$ = ( ) ( ) ( 4) = = = g = + + g g terim 0 terim 7 5 = $ + 0 $ = 7+ 5 = 4. = a- 9 b- aa+ ^b-ah -b 4444 k = a-6b- ^a+ 6b-ah@ -b = a-6b-6 ^ b-ah@ - b = a-6b- 8b+ 6a@ - b = a-6 6a-7b@ -b = a- 6a+ 7b-b = 6b - 5a 7. İşlemler alttan üste doğru yapılmalı. - = = = = - = = - = =- ( ) ( ) a. $ c- m=? $ ^-h 8 $ d n = =- 5 7 $ b. c- m=? $ ^-h c- m = $ = =- 0 5$ u tip işlemlerde pay ve paydadaki ondalık kesirlerin virgülden sonraki basamak sayıları (eksik olanlara 0 yazarak) eşitlenir ve daha sonra virgüller yokmuş gibi işlem yapılır. 8, 80, 80 = = = 0 08, 08, 8, 6, = = = 00 0, 6 0, , 7 00, = = = 00 olduğundan 0, , ,, 6 007, + = = 0 bulunur. 08, 0, 6 0,

77 . ölüm: Sayı Kümeleri 9. a. 85 ile 86 arasındaki tam sayılar ( 8) = 85 olur. b. 00 ile 7 arasındaki tam sayılar ( 99) ( 98)... ( ) yutan eleman olduğundan çarpım 0 bulunur. y + 4 z 5. Olası durumları belirleyelim. unu belirlerken çarpanların değişmesi durumunda toplamın değişmeyeceğini göz önünde bulunduralım. a$ b$ c = 8 $ $ 8 (a! b olmalı) $ $ = 7 $ 4$ = $ $ 7 (a! b olmalı) olayısıyla a+ b+ c toplamı ve 7 olmak üzere farklı değer alabilir. maks. maks. seçilmeli = 9, y = ve z = 9 seçimiyle maksimum sonuca ulaşılabilir. Yani z = = 45 olur. y., y, z {, 4, 5, 6, 7, 8} y 4 z en az en en en az çok çok =, y = 7, z = 8 (y z) (katsayısı daha büyük olduğundan) y 4z = = 50 bulunur.. 0 sayısı da ün bir katı olduğundan 0,, 6, 9, olmak üzere 5 farklı doğal sayı bu şartı sağlar. 6. a sayısı her iki eşitlikte de alındığından a en çok seçilmelidir. a$ b = a$ c = 6 $ $ 6 4$ $ 6 $ 8 4$ 4 a en çok 4 olabilmektedir. olayısıyla a+ b+ c toplamı da en az = bulunur. 7. = y y 0 $ 5 = $ 5 5 = z 0 5 $ = z $ = 0k, y = 5k, z = 6k olacağından ve sayılar negatif tam sayı olduğundan + y + z = k toplamı en çok (k = için) olur.. m + n = 0 0 = = = 8 h h h = 0 olduğundan m n en az 0 olabilir. 4. p r = 6 6 ( ) + ( 6) = 7 8 ( ) + ( 8) = 0 ( ) + ( ) = ( 4) + ( 9) = 6 6 ( 6) + ( 6) = (p r olmalı) olup p ile r farklı olduğundan p + r en çok olabilir. 8. nin katı nin katı olmalı a + 5b = nin katı (a! b olmalı) + - g N olayısıyla b;, 4, 6 ve 0 olabilir. Toplam olur. 77

78 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. m tek, n çift a. m n + T Ç + T Tek Ç b. m + n m T + Ç Ç Tek T Ç Ç c. m + n 4 5m + n T + Ç T + Ç T T T Ç T Ç T T Çift d. (m n + ) 8m + Ç Ç T T T Ç + T T + T Çift T 0., y, z ardışık çift tam sayı ve < y < z olduğundan + = y, y + = z ve + 4 = z yazılabilir. c + m c + y m c + z m 4 = ( ) ( y) () z + y+ z+ 4 = y z z = = 4 = + 8 = 8 olur.. rdışık sayı toplamının ortalaması daima ortanca terimi verir en küçük 45 : 5 = 69 olayısıyla en küçük sayı 67 bulunur en büyük 68 : 6 = 8 (ortanca sayı) O halde en büyük sayı bulunur. n ( n+ ) n = (n ) = n n = n (n + ) bağıntıları kullanılırsa a = = 90 b = 9 = 8 n = 7 n = 9 c =? n = 8 a = = O halde = = = 440 bulunur. 4. rdışık toplamlar: İlk terim: i.t. ve son terim: s.t. olmak üzere Toplam = (Terim sayısı) (Ortalama) st.. it.. it.. + st.. = d + n c m art flmiktar formülüyle bulunur. O halde İlk terim :, son terim : 6 ve artış miktarı 4 olduğundan Toplam = c + m c m 4 = 7 = 48 bulunur rdışık iki terimden 4 elde ediliyor. Terim sayısını bulalım = + = terim 4 4 olduğundan son terim 9 olur. 9 ayrıldığında 0 terim kalır. olayısıyla 0 tane 4 elde edilir = 5 bulunur. 6. a b + b c = b (a + c) = (asal) olduğundan a + b + c = 4 bulunur. 7. y + y = 9 6 y = + y = + 5 = 5 = 5 olduğundan + y = 0 + y = y = bulunur. 78

79 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - TEST - Sayı Kümeleri. Toplama işleminin etkisiz elemanı kaçtır? ) ) 0 ) ) 0 E) Toplama işlemi için a + b = b + a olduğu bilinmektedir. u durum aşağıdaki özelliklerden hangisinin varlığını ifade eder? ) Kapalılık özelliği ) irleşme özelliği ) Yutan eleman ) Etkisiz eleman. enk öğretmen, elektronik ölçüm aracını kullanarak sayısının karşılık geldiği yaklaşık oranı veren farklı kesirleri bulmak istemektedir. u çalışmayı yaparken karenin br olan kenarlarını farklı eş parçalara bölmektedir. E) eğişme özelliği 0 Şekilde görüldüğü gibi karenin bir kenarı 7 eş parçaya bölündüğüne göre kesir aşağıdakilerden hangisidir? v sayısının yaklaşık değerini veren $ işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) 4 8 ) 6 E) 4 ) 7 4 ) 7 6 ) 7 8 ) 0 7 E) 7. 0 c m 5 işleminin sonucu kaçtır? 4 ) ) ) ) 7 E) [4 : ( ) + ] ( ) + işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 6 79

80 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. 6 ^-4h-4$ ^-h@ -$ ^-h işleminin sonucu kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) işleminin sonucu kaçtır? ) 5 ) 6 ) ) E) kesrinin tam sayılı kesir biçiminde ifadesi aşağıda- 7 kilerden hangisidir? ) 7 ) 7 ) 7 6 ) 7 5 E) işleminin sonucu kaçtır? ) 8 ) 7 7 ) 6 6 ) 5 5 E) 4 9. ağılma özelliği kullanılarak 7 $ 8 - ^fh$ 8 = 8000 eşitliği yazılabiliyor. una göre boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? ) ) 8 ) 7 ) 7 E) 07., ,6, işleminin sonucu kaçtır? ),856 ),06 ),76 ) 4,086 E) 5, E

81 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - TEST - Sayı Kümeleri. 5 kesrine denk olan bir kesrin payı 45 olduğuna göre pay- 6 dası kaçtır? ) 6 ) 40 ) 48 ) 54 E) 7 4. ^-4$ ^-5- h+ h ^- 5h+ 6 ^- h+ 5 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 7 E) 9. I. R negatif gerçek sayılar kümesidir. II. R nin geometrik gösterimi sayı doğrusudur. III. (, ) R R dir. IV. R R nin geometrik gösterimi kartezyen koordinat sistemidir. V. Q Q9 = R dir. Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur? ) ) ) ) 4 E) 5 5. (a (b a)) + b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 4a 7b ) 4a 5b ) a 7b ) a 5b E) a 8b. c m c m... 4 c m = n 45 olduğuna göre n değeri kaçtır? ) 0 ) 40 ) 60 ) 80 E) c + m + c + m 4 4 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 6 ) 7 ) 4 E) 8

82 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. 5 terimden oluşan işleminin sonucu kaçtır? 5 5 ) ) 0 ) ) 6 E) işleminin sonucu kaçtır? ) 0 6 ) 05 ) 06 ) E) terimden oluşan $$$$ işleminin sonucu kaçtır? ) 6 ) ) ) E) 5. = 7 9 olduğuna göre toplamının cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + E) , 8, , 04,, işleminin sonucu kaçtır? ifadesini tanımsız yapan değerlerinin toplamı kaçtır? ) ) 5 ) 7 ) 4 E) 07 ) 9 ) 8 ) 5 ) 4 E) 8.. E. E E 0...

83 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - Sayı Kümeleri. I. En büyük rakam 9 dur. II. En küçük pozitif tam sayı 0 dır. III. En küçük negatif tam sayı dir. IV. Sayma sayıları ile başlar. V. En büyük asal rakam 7 dir. 4. Negatif iki tam sayının çarpımı en az kaçtır? ) ) ) ) E) ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? ) ) ) ) 4 E) 5. 8 den küçük 4 ün katı kaç doğal sayı vardır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 5. pozitif bir tam sayıdır. una göre + 8 en az kaçtır? ) 9 ) 0 ) ) E). bir rakamdır. una göre 7 + ifadesinin değeri en çok kaç olur? ) 9 ) 8 ) ) E) 5 6. ( m) ifadesini en büyük negatif tam sayı yapan m sayısı için m + ifadesinin değeri kaç olur? ) ) 5 ) 7 ) 8 E) 9 8

84 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. a ve b birer rakamdır. a = olduğuna göre b a en çok kaçtır? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 9 0. m ve n birer doğal sayıdır. m = n olduğuna göre m + n toplamının değeri en az kaçtır? ) 0 ) ) ) 4 E) 6 8. ve y birbirinden farklı sayma sayılarıdır. + y = 0 olduğuna göre y çarpımının değeri en çok kaç olur? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) 5., y N + için y = 4 olduğuna göre y ifadesinin değeri en az kaçtır? ) ) ) 8 ) E) 5 9. m ve n birer doğal sayıdır. m n = 49 olduğuna göre m n farkının değeri en çok kaçtır? ) ) ) 9 ) 47 E) 48., y, z Z + için + y + z = 7 olduğuna göre y z çarpımının değeri en çok kaçtır? ) 0 ) 50 ) 60 ) 80 E) E E E 0...

85 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - 4 Sayı Kümeleri. bir negatif tam sayıdır. ( + m) toplamını pozitif yapan m tam sayısı en az kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5 4., y Z + için + y = 0 olduğu bilinmektedir. una göre y en çok kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 7 E) 8. m ve n, 6 dan küçük farklı tam sayılardır. una göre m + n ifadesi en çok kaç olur? ) 6 ) 7 ) 9 ) 0 E) 5., y Z + olmak üzere + y = eşitliğini gerçekleyen ve y değerleri için ( y) farkı en çok kaçtır? ) ) 0 ) ) E). ve y birer tam sayıdır. + y = olduğuna göre y çarpımının değeri kaçtır? ) ) ) 0 ) E) 6. a, b ve c birbirinden farklı sayma sayıları olmak üzere, a + b + c = 5 tir. una göre a b c çarpımının değeri en çok kaçtır? ) 45 ) 60 ) 80 ) 0 E) 5 85

86 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7., y ve z birer negatif tam sayıdır. = 4y ve y = z olduğuna göre + y + z toplamının değeri en çok kaçtır? ) 9 ) 8 ) 6 ) E) 8 0. a, b, c farklı tam sayılardır. a + b = 5 ve a c = 8 olduğuna göre b en çok kaçtır? ) 7 ) 6 ) 9 ) 8 E) 4 8., y ve z farklı doğal sayılardır. + y + 7z = 8 olduğuna göre z sayısı en çok kaçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) E). a, b, c Z olmak üzere a b b 4 = ve = olduğuna göre c 5 a + b + c toplamının iki basamaklı değeri en az kaçtır? ) 70 ) 60 ) 50 ) 0 E) 0 9. a, b ve c birer doğal sayıdır. a + b = 4 ve a c = 8 eşitliklerini gerçekleyen en küçük b değeri kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 8 E)., y, z Z + olmak üzere 4 = 6 = z y eşitliğini sağlayan en büyük z sayısı için + y + z toplamı kaç olur? ) ) ) 7 ) 8 E) E.. E

87 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - 5 Sayı Kümeleri. ve y, 5 ten büyük farklı sayma sayılarıdır. una göre ( + y) y ifadesi en az kaçtır? ) 7 ) 78 ) 8 ) 9 E) 98 4., y Z + için + y = eşitliğini sağlayan + y toplamı en az kaçtır? ) 5 ) 6 ) 8 ) 9 E). p ve r birer tam sayıdır. p r = 0 olduğuna göre p + r toplamı kaç farklı değer alabilir? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 5., y N, > y ve y - = olduğuna göre 4 + y toplamı en çok kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 7 E)., y, z Z + için y = 8 ve y z = 4 olduğuna göre y z en az kaçtır? ) 54 ) 7 ) 96 ) 08 E) 0 6., y, z N için y = 0 ve z = 48 olduğuna göre z en az kaçtır? ) 4 ) 6 ) 8 ) 9 E) 87

88 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. a ve b birbirinden farklı iki pozitif rakamdır. una göre (8 a b) ifadesi en çok kaçtır? ) 9 ) 4 ) 5 ) 6 E) 8 0. m, n, p Z için m = ve n = p olduğuna göre n 5 m + n + p toplamı en çok kaçtır? ) ) 9 ) ) 6 E) 8 8. p ve r birer doğal sayıdır. p + r = 7 olduğuna göre p r en çok kaçtır? ) ) ) ) E). a ve b birbirinden farklı sayma sayılarıdır. 4a + 5b = 90 olduğuna göre kaç farklı (a, b) ikilisi yazılabilir? ) ) ) ) 4 E) 5 9. a, b, c Z + için a + 5b + c = 6 olduğuna göre a + b + c toplamı en az kaçtır? ) 5 ) 8 ) ) 9 E) 0. ve birer doğal sayıdır. = ve = 5 4 olduğuna göre değeri en çok kaç olur? ) 480 ) 440 ) 40 ) 400 E)

89 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - 6 Sayı Kümeleri. m bir çift sayıdır. una göre aşağıdakilerden hangisi tektir? ) m + ) m ) m ) m 7 E) m = 8y eşitliğinde ve y birer tam sayıdır. una göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir? ) ) y ) + y ) y E) + y. şağıda verilen sayılardan hangisi asal değildir? ) 7 ) 79 ) 8 ) 89 E) 9 5. rdışık iki doğal sayının toplamı 7 dir. u sayılardan küçüğü kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0., y, z ardışık tek doğal sayılardır. < y < z olduğuna göre ( z) (z y) ifadesinin değeri kaçtır? ) 6 ) 8 ) 4 ) 8 E) 6. 7 ve (a + 5) ardışık tek sayılardır. una göre a en çok kaçtır? ) 0 ) ) ) 4 E) 6 89

90 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. a, b ve c tam sayıları için a b + c ifadesi tek sayı olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir? 0. şağıda verilen sayılardan hangisi iki asalın çarpımı biçiminde yazılabilir? ) ) 0 ) 4 ) 5 E) 4 ) a + c ) b c ) a + b ) a b E) a + b 8. şağıda verilen sayılardan hangisi iki asal sayının çarpımı biçiminde yazılamaz? ) 5 ) ) ) 45 E) toplamının değeri kaçtır? ) 0 ) ) 8 ) 0 E) a ve b iki asal sayıdır. a + b = 4 eşitliğini gerçekleyen kaç farklı (a, b) ikilisi yazılabilir? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. m, n, p Z için m + n = p eşitliği veriliyor. 6 una göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? ) n ) m + ) n + ) p + E) m 90.. E E 0... E

91 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - 7 Sayı Kümeleri. rdışık 5 doğal sayının toplam 65 tir. una göre bu sayıların en büyüğü kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 4. rdışık 4 tek sayının toplamı 04 tür. una göre bu sayılardan en küçüğü kaçtır? ) ) ) 5 ) 7 E) 9. m ve n sayma sayılarıdır. m n = olduğuna göre m + n toplamı kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 5. m bir tek doğal sayıdır. una göre m den sonra gelen (daha büyük) çift doğal sayının cebirsel ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? ) m ) m ) m + ) m + E) m + 5. a < b < c sıralamasıyla verilen ardışık tek sayılar için (a b) (b + c) = dir. una göre c kaçtır? ) 7 ) 9 ) ) E) 5 6. = {0,, 6,...,7} kümesinin ardışık üç elemanı sırasıyla, y, z dir. una göre ) ^ yh $ ^y zh ifadesinin değeri kaçtır? ^ zh - ) ) ) E) 9

92 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. bir pozitif tam sayı iken aşağıda verilen ifadelerden hangisi için kesinlikle çifttir yorumu yapılamaz? ) + ) + ) ardışık toplamı kaçtır? ) 00 ) 05 ) 00 ) 05 E) 00 ) + 4 E) ( ) ( + ) toplamının değeri kaçtır? ) 44 ) 69 ) 96 ) 5 E) 56. ralarında asal iki sayının çarpımı 00 dür. u sayıların toplamı en az kaçtır? ) 0 ) ) 47 ) 5 E) 0 9. tek, y çift tam sayıdır. una göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift tam sayıdır? ) + y ) y + ) y ) y E) (y + ). rdışık tek sayının toplamı 05 tir. u sayıların en büyüğü kaçtır? ) 9 ) ) ) 5 E)

93 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - 8 Sayı Kümeleri ardışık toplamının sonucu kaçtır? ) 50 ) 50 ) 540 ) 550 E) ( + ) ve ( + ) aralarında asal iki doğal sayıdır = + 90 olduğuna göre + toplamı kaçtır? ) ) 5 ) 6 ) 9 E) ardışık toplamının sonucu kaçtır? ) 96 ) 99 ) 40 ) 405 E) p asal sayı ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle asal olamaz? ) p + ) p + ) p + ) p + E) p +. a < b < c < d < e < f sıralamasıyla verilen ardışık çift tam sayılar içinde hem pozitif hem negatif sayılar bulunmaktadır. una göre bu altı sayının toplamı en çok kaçtır? ) 0 ) ) 4 ) 6 E) satır satır satır satır Yukarıdaki sayı dizisi ardışık sayılarla elde edilmiştir. una göre bu sayı dizisinin. satırının ortanca terimi kaç olur? ) 97 ) 4 ) ) 9 E) 497 9

94 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. y = m eşitliğini gerçekleyen ve y pozitif tam sayıları için + y toplamı iki farklı değer almaktadır. una göre m aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) 4 ) 6 ) 9 ) 5 E) 8 0. (m n) ile (m + n) aralarında asaldır. m- n 8 = m+ n 4 olduğuna göre n değeri kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 8. = y = olduğuna göre + y toplamı kaçtır? ) 784 ) 789 ) 807 ) 80 E) 80. rdışık 0 tek tam sayının toplamı 40 tır. u sayıların en küçüğü kaçtır? ) 9 ) ) ) 5 E) 7 9. m ve n negatif tek sayılardır. una göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitif tek tamsayıdır? ) m n ) m n + ) (m) n ) m n E) (m + ) n., y ve z asal sayılardır. + y + z = 6 olduğuna göre y z çarpımının değeri en az kaçtır? ) 64 ) 80 ) 90 ) 6 E) E. E E

95 . ölüm: Sayı Kümeleri TEST - 9 Sayı Kümeleri. şağıdaki sayılarla ilgili verilen, I. iki doğal sayının farkı yine bir doğal sayıdır. II. iki rasyonel sayının toplamı yine bir rasyonel sayıdır. III. iki gerçek sayının toplamı yine bir gerçek sayıdır. yargılarından hangileri daima doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız III ) I ve III ) I ve III E) II ve III 4. = 7 sayısına aşağıdaki ifadelerde belirtilen işlemler uygulanıyor. I. Sayıyı çarpma işlemine göre tersi ile çarpmak II. Sayıya toplama işlemine göre tersini eklemek III. Sayının karesini almak IV. Sayıyı çarpma işleminin yutan elemanı ile çarpmak V. Sayıya 7 eklemek u işlemlerden kaç tanesinin sonucunda bir doğal sayı elde edilir? ) 0 ) ) ) E) 4. rasyonel, y irrasyonel birer sayıdır. una göre I. y rasyonel bir sayıdır. II. III. y irrasyonel bir sayıdır. + y irrasyonel bir sayıdır. ifadelerinden hangileri daima doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) Yalnız III ) I ve III E) II ve III 5. I. Her rasyonel sayı bir tam sayıdır. II. Her asal sayı pozitif bir tam sayıdır. III. Pozitif olmayan sayıların tümü negatiftir. ifadelerinden hangileri daima doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) II ve III E) I, II ve III. pozitif bir irrasyonel sayıdır. una göre I. bir irrasyonel sayıdır. II. + III. toplamı bir irrasyonel sayıdır. bir rasyonel sayıdır. ifadelerinden hangileri daima doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) I ve III E) I, II ve III 6. enk öğretmen, sınıfta tam sayılar ile ilgili temel bilgileri anlattıktan sonra tahtaya aşağıdaki soruyu yazmıştır. Z + ve y Z dir. una göre y y y + y + y ifadelerinden hangilerinin sonucu daima pozitiftir? Soruyu öğrencilerden Kerem doğru yanıtlamıştır. una göre Kerem, ifadelerden kaç tanesinin doğru olduğunu söylemiştir? ) ) ) ) 4 E) 5 95

96 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7., y, z R ve z = y olduğuna göre I. + z pozitif ise y pozitiftir. II. y pozitif ise ile z aynı işaretlidir. III. z negatif ise ile y ters işaretlidir. ifadelerinden hangileri daima doğrudur? 9. şağıda gerçek sayılar kümesinin Venn Şeması ile gösterimi verilmiştir. R Z N N + ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) I ve III E) II ve III una göre Q Q9 I. Z N fark kümesinde elemanı bulunmaz. II. III. N N + fark kümesi bir elemanlı bir kümedir. Q Z fark kümesinde 7 6 elemanı bulunur. ifadelerinden hangileri doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II 8. şağıdaki şemada, okların solunda bulunan iki kutucuktaki sayılara, kutucukların altında belirtilen işlemler ve uygulanıyor. Sonuç okun gösterdiği kutucuğun içine yazılıyor. ) II ve III E) I, II ve III I. Kenar uzunluğu 6 birim olan bir karesel bölgenin alanı birimkaredir. II. Kenar uzunluğu birim olan bir eşkenar üçgenin çevre uzunluğu y birimdir. + + u durumda şemaya göre III. Yarıçap uzunluğu 4 r uzunluğu z birim dir. birim olan bir dairenin çevre - + ifadesinin değeri kaçtır? ) 56 ) 50 ) 45 ) 40 E) 5 Yukarıdaki ifadelerde verilen, y ve z sayılarının hangileri R Q kümesinin bir elemanıdır? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) I ve III E) I, II ve III 96. E.. 4. E E

97 .. ölüm: Sayı ölünebilme Kümeleri Kuralları... Tam Sayılarda ölünebilme,,, K birer doğal sayı, > ve 0 olsun. K ölünen ölen ölüm Kalan Verilen bölme işlemine göre I. = + K II. 0 K < III. K = 0 ise, yı tam böler. I V. K < iken işlemde ve sayıları yer değiştirebilir. Not:. ÖLÜM irbirinden farklı ve pozitif sayılarının pozitif tamsayısına bölümünden kalanlar sırasıyla k ve k olmak üzere, + toplamının ile bölümünden kalan k + k olur. ölünebilme Kuralları şeklinde yazılabileceğinden son iki basamaktaki cd sayısı 4 ün katı olmalıdır. Sayının son iki basamağındaki sayının 4 ile bölümünden kalan, sayının 4 ile bölümünden kalanı verir. 5 ile ölünebilme Kuralı abcd dört basamaklı bir sayı olsun. 5 in katı abcd = 0 (abc) + d şeklinde yazılabileceğinden son basamağındaki d rakamının 5 in katı yani 0 ya da 5 olması durumunda sayı 5 ile tam bölünür. irler basamağındaki sayının 5 ile bölümünden kalan bu sayının 5 ile bölümünden kalana eşittir. 8 ile ölünebilme Kuralı çarpımının ile bölümünden kalan k k olur. ölünebilme Kuralları ile ölünebilme Kuralı abcd dört basamaklı bir sayı olsun. nin katı abcd = 0 (abc) + d abcde beş basamaklı bir sayı olsun. 8 in katı abcde = 000 ab + cde şeklinde yazılabildiğinden son üç basamaktaki cde sayısı 8 in katı olmalıdır. ir sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının son üç basamağındaki sayısının 8 ile bölümünden kalana eşittir. şeklinde yazılabileceğinden son basamak olan d çift ise sayı ile kalansız bölünür, tek ise tam bölünmez ve kalan olur. ile ölünebilme Kuralı ir doğal sayının basamaklarının sayı değerleri toplamı ve ün katı olan sayılar ile tam bölünebilir. ir sayının ile bölümünden kalan, basamaklarının sayı değerleri toplamının ile bölümünden kalana eşittir. 4 ile ölünebilme Kuralı abcd dört basamaklı bir sayı olsun. 4 ün katı abcd = 00 ab + cd 9 ile ölünebilme Kuralı ir doğal sayının basamaklarının sayı değerlerinin toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünebilir. ir sayının 9 ile bölümünden kalan, basamaklarının sayı değerleri toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. 0 ile ölünebilme Kuralı Son basamağı 0 olan sayılar 0 ile kalansız bölünür. ynı zamanda bir doğal sayının birler basamağındaki rakam sayının 0 ile bölümünden kalana eşittir. 97

98 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler ile ölünebilme Kuralı Sayının rakamlarına birler basamağından başlayarak sağdan sola doğru sırasıyla + ve işaretler verilerek sayının rakamları işaretlerine göre toplanır. Sonuç in katı ise sayı ile kalansız bölünür. Sonuç negatif bir sayı çıkarsa pozitif olana kadar sonuca in katları eklenir. Sonuç den büyük olursa e bölünerek kalan bulunur. ralarında sal Çarpanların Çarpımının Oluşturduğu Sayıya ölünebilme p ve q aralarında asal iki sayı ve = p q olsun. ir sayı p ve q ile kalansız bölünebiliyorsa aynı sayı ile de kalansız bölünür. = 6 olduğundan ve e tam bölünen sayılar 6 ile de tam a ve b sayılarının EKOK u, EKOK(a, b) veya (a, b) EKOK şeklinde gösterilir. EO - EKOK Özellikleri (i) a, b N için EO(a,b) a, b EKOK(a,b) (ii) a, b N olmak üzere, a b = EO(a,b) EKOK(a,b) dir. u kural sadece iki sayı için geçerlidir. (iii) EO(a,b) = ise a ve b sayıları aralarında asaldır. Tersine a ve b sayıları aralarında asal ise EO ları dir. (iv) a ile b aralarında asal ise EKOK(a,b) = a b dir. (v) a ve b pozitif tam sayılarından biri diğerinin tam katı ise EO bu sayılardan küçüğüne, EKOK ise büyüğüne eşittir. bölünür. 5 = 5 olduğundan ve 5 ile tam bölünen sayılar 5 ile de tam bölünür. 9 = 8 olduğundan ve 9 ile tam bölünen sayılar 8 ile de tam bölünür. 5 9 = 45 olduğundan 5 ve 9 ile tam bölünen sayılar 45 ile de tam bölünür.... Tam Sayılarda EO ve EKOK Tanım (EO) En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla doğal sayıyı birlikte bölebilen en büyük doğal sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve EO şeklinde gösterilir. EO - EKOK Problemleri EO - EKOK problemlerinin çözümünde öncelikle şuna karar verilir. İstenen cevap soruda verilen sayılardan küçük mü, büyük mü? (i) evap küçükse EO (ii) evap büyükse EKOK problemidir. Ya da başka şu soru sorulabilir. (i) Parçadan mı bütüne? (Evetse EKOK problemi) (ii) ütünden mi parçaya? (Evetse EO problemi) EO - EKOK için karar verdikten sonra soruda yüzeyden bahsediliyorsa alan hesabı, cisimden bahsediliyorsa hacim hesabı yapılır. EO bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır, ortak asallardan kuvveti küçük olanlar alınıp çarpılır. Çıkan sonuç EO tur. a ve b sayılarının EO u, EO(a, b) veya (a, b) EO şeklinde gösterilir. Tanım (EKOK) En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla doğal sayının hepsinin birden katı olan en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı denir ve EKOK şeklinde gösterilir. EKOK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır, ortak asallardan kuvveti büyük olanlar ile ortak olmayanlar alınıp çarpılır, çıkan sonuç EKOK tur.... Günlük Hayatta Periyodik Olarak Tekrar Eden urumları İçeren Problemler Günlük hayatımızda bir çok durum periyodik olarak tekrar etmektedir. Örneğin; sürekli kullanılan ilaçlar, nöbetler v.b. gibi. enzer olarak belirli bir gün ve saatten sonra istenen gün ve saatin belirlenmesi, yılbaşı ve bayram günlerinin yıllara göre değişiminin hesaplanması gibi konular da bu kapsamda yer almaktadır. izim burada bilmemiz gereken; Gün hesabı içeren problemlerde hafta üzerinden hesap yapılması Saat hesabı içeren problemlerde gün üzerinden yani 4 saat üzerinden hesap yapılmasıdır. 98

99 .. ölüm: Sayı ölünebilme Kümeleri Kuralları Uygulama Soruları. şağıda verilen bölme işlemlerinde bilinmeyenleri bulunuz. a sayısının a. ile bölümünden b. ile bölümünden c. 5 ile bölümünden b. y + y d. 9 ile bölümünden e. ile bölümünden kalanı bulunuz.. ir bölme işleminde bölen kalandan fazla ve bölüm 7 dir. ölen ile bölünenin toplamı 06 olduğuna göre kalan kaçtır? 5. ört basamaklı a7a sayısı 9 ile kalansız bölünebilmektedir. una göre a nın alabileceği değeri bulunuz.. abcd4 8 ölüm y Yukarıda verilen bölme işlemine göre y iki basamaklı doğal sayısı kaç farklı değer alabilir? 6. eş basamaklı 478 sayısının ile bölümünden kalan dir. una göre kaçtır? 99

100 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. 5 sayısı yan yana şeklinde yazılarak 40 basamaklı bir sayı elde edilecektir.. Üç basamaklı abc sayısının 5 ile bölümünden kalan dir. una göre beş basamaklı abc7 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? u sayının 9 ile bölümünden kalan kaç olur? 8. Üç basamaklı 5y sayısı 6 ile kalansız bölünebilmektedir.. 96 ve 0 sayılarının EO ve EKOK unu bulunuz. una göre in alabileceği değerler toplamını bulunuz. 9. sayısının ile bölümünden kalan tür. una göre sayısının ile bölümünden kalan kaçtır?. = 4 5 = 5 7 = 5 7 sayılarının EO unu bulunuz. 4. p, q, r farklı asallar olmak üzere 0. Rakamları farklı dört basamaklı 0y sayısının 5 ile bölümünden kalan 7 dir. una göre in alabileceği değerler toplamını bulunuz. a = p q r b = p q r c = p 4 r için EKOK (a, b, c) yi bulunuz. 00

101 . ölüm: ölünebilme Kuralları 5. EKOK(, ) = 8 olduğuna göre a. + en çok kaçtır? 8. 6 m 45 m b. ile farklı olsaydı + en çok kaç olurdu? 90 m Ölçüleri yukarıda verilen üçgen biçimindeki bir bahçenin sınırlarına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Köşelere de ağaç dikilmesi şartıyla en az kaç ağaca ihtiyaç vardır? 6. a, b, c Z + olmak üzere = 6a + = 8b + = 9c + şartını sağlayan değeri 400 den büyüktür. una göre en az kaç olabilir? 9., ve isimli seyahat acentaları sırayla gün, 5 gün ve 0 gün aralıklarla vrupa seyahati düzenlemektedirler. Üç acenta aynı gün vrupa seyahati düzenlendikten en az kaç gün sonra 4. kez aynı gün vrupa Seyahati düzenlerler? 7. Üç farklı testten 90, 54 ve 08 sorusu bulunan bir öğretmen bu sorularla eşit sayıda sorudan oluşan konu testleri hazırlayacaktır. una göre öğretmen hiç soru artmamak üzere en az kaç test hazırlayabilir? 0. ugün günlerden pazar olduğuna göre 48 gün önce hangi gündü? 0

102 . Sezin, Salı günü saat 5:00 da yurtdışına seyahate çıkmıştır. Seyahatten 0 saat sonra döneceğine göre Sezin hangi gün, hangi saatte dönmüş olur? 5.. Ünite: enklem ve Eşitsizlikler Yukarıdaki şekiller belirli bir periyoda göre yan yana çizilmiştir. una göre 68. sırada hangi şekil bulunur?. ir askeri birlikte günde bir nöbet tutan bir asker, ilk nöbetini cuma günü tuttuğuna göre 5. nöbetini hangi gün tutacaktır? 6. h IV III 6 7 II. ir proje ekibi yapılan çalışmaları değerlendirmek için 4 günde bir toplanmaktadır. 4. toplantılarını pazartesi günü yaptıklarına göre, 0. toplantılarını hangi gün yaparlar? 4 5 I Yukarıda bir konferans salonundaki oturma düzeni gösterilmiştir. una göre kaçıncı sırada 4 koltuk bulunmaktadır? yılında 0 ğustos Zafer ayramı cumartesi günü kutlanmıştır. una göre 008 yılında bu bayram hangi güne denk gelir? 7. I II ilk sıra E F G K L M Yukarıdaki otoparkta her sıraya 0 araç park edebilmektedir. una göre araçların sırayla park ettiğini varsayılırsa 86. araç hangi sıraya park etmiş olur? 0

103 .. ölüm: Sayı ölünebilme Kümeleri Kuralları ÇÖZÜMLER. K ölünen ölen ölüm Kalan Yukarıdaki bölme işleminde = + K ve > K idi. O halde a = = a. ile bölünebilmede son basamağa bakılır. 4, ile bölündüğünden kalan 0 olur. b. ile bölünebilmede rakamlar toplamına bakılır = 6 olduğundan = 8 in ile bölümünden kalan olur. c. 5 ile bölünebilmede son basamağa bakılır. Son basamak 4 olduğundan kalan 4 olur. d. 9 ile bölünebilmede rakamlar toplamına bakılır. Toplam 6 idi = 8 olduğundan kalan 8 olur. b. y + y y + = (y ) + y + = y + y = 4 bulunur.. K + 7 K e. ile bölünebilmede sağdan sola doğru +,, +,,... konur ve sonucun bölümünden kalan hesaplanır. Sonuç negatif çıkarsa sonuca eklenir = + = 9 olur. = 7 (K + ) + K = 8K + 4 olduğundan bölen ile bölünenin toplamı da K + + 8K + 4 = 06 9K + 6 = 06 9K = 90 K = 0 (kalan) 5. a7a sayısı için rakamlar toplamı 9 un katı olmalıdır. + a a = 9k, k Z a = 9k k = için a rakam olur. Yani 0 + a = 8 a = 4 bulunur.. abcd4 8 ölüm y ölme işlemine göre abcd4 = 8 (ölüm) + y çift çift çift olmalı Öte yandan y < 8 ve y iki basamaklı olduğu da dikkate alınırsa y yerine 0,, 4 ve 6 olmak üzere dört farklı sayı yazılabilir sayısı için = k + + = k + eşitliğinde k = için rakam olur. O halde + = + = 9 dur. 0

104 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. 5 üç basamaklıdır. 40 ölüm Kalan olduğundan 5 sayısı defa yan yana yazılır ve son basamağına (kalan ) da 5 gelir defa O halde rakamlar toplamı (5 + + ) + 5 = = 09 olduğundan 9 ile bölümünden = 0 olduğundan kalan dir. 8. 5y sayısının 6 ile bölünebilmesi için 4 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir. 5y sayısı 4 ile bölünebiliyorsa 0. (0y) sayısının 5 ile bölümünden kalan 7 olduğundan 5 ve ile bölümünden kalan 7 olur. ncak 5 ile bölümünden kalan 7 olmaz, alınır; ile bölümünden kalan 7 olmaz, alınır. 0y nin 5 ile bölümünden kalan ise y = veya y = 7 dir. Rakamlar farklı olduğundan y = 7 dir = k +, (k Z) + 9 = k +, 4, 7 olabilir. ncak y = 7 olduğundan, veya 4 değerlerini alabilir. Toplam da + 4 = 5 olur.. abc 5 m abc = 5m + abc7 = (abc) + 7 = (5m + ) = m + 0 = m = m + y = veya y = 6 olabilir. 5 için = 9k, k Z = 9k 5 6 için = 9t, t Z + + = 9t 7 O halde in alabileceği değerler toplamı + 7 = 9 bulunur. 5 in katı olduğundan abc7 sayısının 5 ile bölümünden kalan olur.. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım. Her iki sayıyı da bölen asalları işaretleyelim * * * * 5 9. = = ( + ) + ( + ) + 5 = = = in katı olduğundan kalan bulunur. O halde EO(96, 0) = = 4 EKOK(96, 0) = 5 5 = 480 olur.. = 4 5 = 5 7 = 5 7 sayılarının EO u bulunurken ortak asal çarpanlardan kuvvetleri küçük olanlar alınıp çarpılır. olayısıyla EO(,, ) = = 6 bulunur. 04

105 . ölüm: ölünebilme Kuralları 4. a, b, c nin EKOK u bulunurken ortak asal çarpanlardan kuvvetleri büyük olan ile ortak olmayanlar alınıp çarpılır. a = p q r b = p q r c = p 4 r O halde EKOK değeri p 4 q r olarak bulunur. 5. EKOK(, ) = 8 olduğundan 8, ve nin bir katıdır. aşka bir deyişle ve sayıları 8 i tam böler. a. una göre + toplamı en çok olacağından = = 8 seçilmelidir. Yani + = 56 olur. b. ile farklı olacağından = 8 olursa = seçilir. olayısıyla + = 4 bulunur. 8 = 4 8. Köşelere de ağaç dikileceği için bahçenin kenar uzunlukları, ağaçların aralıklarına ( metre olsun) tam bölünmelidir. (Ortak bölen) En az ağaç dikilecekse aralık uzunluğu da en büyük olmalıdır. (En büyük ortak bölen.) * * olduğundan EO(45, 6, 90) = 9 bulunur. Ç evre ( ahç e) ğaç sayısı = oranı ile ağaç sayısı bulunur. Ebob Yani gerekli ağaç sayısı en az = bulunur = 6a + = 8b + = 9c + eşitliklerinden çıkaralım. = 6a = 8b = 9c 6 nın 8 in 9 un katı O halde, 6, 8 ve 9 un katıdır. Yani nin alabileceği en küçük değer de EKOK(6, 8, 9) = 7 olup = 7k, k Z + yazılabilir. uradan > 400 için en küçük değeri de = 7 k = 4 için = 44 bulunur Konu testleri eşit sayıda soru içereceğinden testlerdeki soru sayısı 90, 54 ve 08 in bir böleni olmalıdır. (Ortak bölen) iğer yandan en az test olması için testteki soru sayısı en çok olmalıdır. (en büyük ortak bölen) * * * olduğundan EO(90, 54, 08) = = 8 dir. O halde test sayısı da = = 4 olur Üçer, beşer ya da üç günde bir, beş günde bir gibi sözcüklerin kullanıldığı durumlar EKOK alma problemleridir. Zira ve 5 in katı durumlar söz konusudur. acentası nin katı günlerde acentası 5 in katı günlerde acentası 0 nin katı günlerde seyahat düzenlemektedir. ynı gün seyahat düzenlemeleri için, 5 ve 0 nin katı bir günde seyahat düzenlemeleri gerekir. irlikte seyahat düzenledikten sonraki ilk seyahatleri de, 5 ve 0 nin EKOK u olan gün kadar sonra düzenlenecektir EKOK(, 5, 0) = 5 = 60 olduğundan İlk.. 4. seyahat seyahat seyahat seyahat birlikte 4. seyahat 60 = 80 gün sonra düzenlenir. 05

106 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler günün içinde kaç hafta ve artık gün olduğunu bulalım gün 7 6 hafta 48 gün öncesini sorduğuna göre artık gün olan gün öncesini bulmalıyız. Pazar gün önce umartesi olur.. 4. toplantı yapıldığına göre 0 4 = 6 toplantı sonrasını bulmalıyız. una göre 6 4 = 64 gün sonrası için hafta gün 9 hafta sonra yine aynı güne denk geleceğinden bir gün sonrası bulunmalıdır. O halde 0. toplantı salı günü yapılacaktır ün katı olan yıllar bir sonraki yıla göre iki gün ileri gittiğine göre 4 ün katı 4 ün katı. Önce 0 saatin kaç gün olduğunu hesaplayalım gün saat Toplamda = 7 gün ileri gideceğine göre 008 yılında da 0 ğustos Zafer bayramı cumartesi günü kutlanacaktır. 9 9 gün 7 hafta Yani 0 saat = hafta gün saattir. hafta sonra gün ve saat değişmeyeceğine göre Salı gün sonra Çarşamba 5:00 dan saat sonra diğer güne geçer ve saat artar. 5. Şekiller incelendiğinde her beş şekilde bir başa dönülmektedir. Yani şekillerin modu 5 tir. Öyleyse olduğuna göre şekiller kez tekrarlayacak ve baştan. şekil 68. şekle karşılık gelecektir. una göre 68. şekil olmalıdır. olayısıyla Sezin çarşambadan bir gün sonra perşembe 0:00 te dönmüş olur.. İlk nöbet tutulduğuna göre 5. nöbet için 4 nöbet daha tutmak gerekir. günde bir nöbet tutulduğuna göre asker 5. nöbetini 4 = 4 gün sonra tutacaktır hafta 0 gün Yani ilk nöbetinden 6 hafta sonra 5. nöbetini tutacaktır.. nöbet 5. nöbet uma 6. hafta uma 6. Konferans salonunda sıralara göre koltuk sayıları aşağıdaki gibidir. I 5 II 7 III 9 IV olayısıyla sıraya göre koltuk sayısını veren ifade (n + ) tür. O halde 4 adet koltuk n + = 4 n = 0. sırada bulunur. 7. Her sıraya 0 araç park ettiğine göre sıra 6. yer 86. araç 9. sırada 6. bölüme park etmelidir. Verilen otopark modeline göre 6. bölüm F dir. Öyleyse 86. araç 9 - F ye park etmiştir. 06

107 .. ölüm: Sayı ölünebilme Kümeleri Kuralları TEST - TEST - ölünebilme (ölme İşlemi) a 9 a b + 6 a b 7 b 8 Yukarıdaki bölme işlemine göre a + b toplamı kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 Yukarıdaki bölme işlemlerine göre a değeri kaçtır? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) Yukarıda verilen bölme işlemine göre kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 E) 5. N olmak üzere bir bölme işleminde bölen, bölüm +, kalan 7 dir. una göre işlemde bölünen sayı en az kaç olabilir? ) 57 ) 59 ) 60 ) 6 E) 6. m + n 5 n Yukarıda verilen bölme işlemine göre m nin n cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 6n 7 ) 6n 5 ) 6n + ) 8n + E) 8n + 6. y y Yukarıda verilen bölme işlemine göre in alabileceği en büyük değerin rakamları toplamı kaç olur? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 07

108 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. a b + c 7 0. a 5 b 4 4 d b d + 5 b b + c d Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre b N için a kaç farklı değer alır? ) ) ) ) 4 E) 5 Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre a en çok kaç olabilir? ) 99 ) 0 ) 0 ) 05 E) ab7 üç, ab iki basamaklı sayılardır. a b 7 a b c d Yukarıda verilen bölme işlemine göre c + d toplamı kaçtır? ) 8 ) ) 5 ) 7 E) K Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre K kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) E) 9 9. ir bölme işleminde bölen y + 8, kalan y ve bölüm 7 dir. una göre bu işlemde bölünen en çok kaç olabilir? ) 65 ) 7 ) 78 ) 9 E) Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre nın alabileceği değerlerden biri aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) 40 ) 5 ) 59 ) 68 E) E 0...

109 . ölüm: ölünebilme Kuralları TEST - TEST sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? ) 0 ) ) ) E) 4 ölünebilme Kuralları çarpımının sonucu olan sayının 9 ile bölümünden kalan kaç olur? ) ) ) 5 ) 7 E) 8. ört basamaklı en büyük doğal sayının ile bölümünden kalan kaçtır? ) 0 ) ) 5 ) 8 E) 0 6. Üç basamaklı 5m4 sayısı 4 ile kalansız bölünebilmektedir. una göre m yerine gelebilecek en büyük rakam kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9. ört basamaklı 7a5 sayısının 9 ile bölümünden kalan 7 dir. una göre a yerine kaç gelmelidir? ) ) ) ) 4 E) 5 7. ört basamaklı ab sayısının 0 ile bölümünden kalan tür. una göre bu sayı 5 ile bölünürse kalan kaç olur? ) 0 ) ) ) E) basamaklı... sayısının ve 5 ile bölümünden elde edilecek kalanların toplamı kaç olur? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 8. şağıda verilen sayılardan hangisi ile tam bölünemez? ) 76 ) 847 ) 866 ) 9 E)

110 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. Rakamları farklı 4 basamaklı 5a6b sayısı 5 ile kalansız bölünebilmektedir. u sayı 9 un katı olduğuna göre a yerine kaç gelmelidir? ) ) ) 4 ) 5 E) 7. 4 ile bölümünden kalanını veren, rakamları farklı dört basamaklı en büyük sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? ) 0 ) ) ) E) 4 0. eş basamaklı aa sayısı ile tam bölünebilmektedir. una göre a kaç olmalıdır? ) ) ) ) 4 E) basamaklı sayısının ile bölümünden kalan kaçtır? ) ) ) 5 ) 6 E) 9. Rakamları farklı üç basamaklı 9ab sayısının 5 ile bölümünden kalan dir. u sayı ile bölündüğünde kalanını verdiğine göre a kaç farklı değer alabilir? 5. ltı basamaklı ababab sayısı aşağıda verilen sayılardan hangisine kesinlikle kalansız bölünür? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 ) ) 5 ) 6 ) 8 E) 9. Üç basamaklı m7 sayısının 4 ile bölümünden kalan dir. una göre m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? ) 5 ) 8 ) 0 ) 5 E) 7 6. eş basamaklı sayısı 5 ile kalansız bölünebilmektedir. u sayının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) E E

111 . ölüm: ölünebilme Kuralları TEST - ölünebilme Kuralları. Rakamları farklı 5 basamaklı en küçük doğal sayının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? ) 0 ) ) ) E) ile bölünebilen sayıların kümesi, ile bölünebilen sayıların kümesi olsun. una göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {6 ile bölünebilen sayılar} ) {7 ile bölünebilen sayılar} ) { ile bölünebilen sayılar} ) {0 ile bölünebilen sayılar}. Elif e öğretmeni çok büyük bir sayı yazdırmış ve bu sayının 9 ile bölümünden kalanın kaç olduğunu bulmasını istemiştir. Elif sayının rakamlarını toplamış ve 8 bulmuştur. E) {6 ile bölünebilen sayılar} una göre kalan kaçtır? ) ) ) ) 4 E) Hesaplanamaz. 6. m ve n sayılarının ile bölümünden kalanlar sırasıyla ve 5 tir. una göre m > n olmak üzere m n farkının ile bölümünden kalan kaç olur? ) ) 4 ) 5 ) 7 E) 8. ab üç basamaklı bir sayıdır. a b m 9 5 Yukarıdaki bölme işlemine göre a + b toplamı en çok kaç olabilir? ) ) ) 4 ) 5 E) sayısının yan yana 40 defa yazılmasıyla yeni bir sayı elde ediliyor. u sayının 9 ile bölümünden kalan kaç olur? ) ) 4 ) 5 ) 7 E) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? ) ) ) 4 ) 6 E) 7 8. Üç basamaklı 8 sayısı 5 ile kalansız bölünebilmektedir. una göre değeri kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5

112 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. ört basamaklı, rakamları farklı mn sayısı ile tam bölünebilmektedir. una göre m yerine yazılabilecek değerlerin toplamı kaçtır? ) 9 ) ) 5 ) 8 E). ve sayılarının 5 ile bölümünden kalanlar sırasıyla ve 4 tür. una göre + 4 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaç olur? ) 0 ) ) ) E) 4 0. Üç basamaklı aba sayısı 0 ile bölününce kalanını vermektedir. una göre bu sayının 9 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) sayısı ile bölündüğünde 5 kalanını vermektedir. una göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle ile kalansız bölünür? ) + ) + 7 ) + ) 6 E) + 6. ört basamaklı 8y sayısının ile bölümünden kalan tür. una göre + y toplamı en az kaç olabilir? 5. ört basamaklı a8b sayısı 45 ile bölündüğünde kalanını veren bir çift sayıdır. ) ) ) 8 ) E) una göre a nın alabileceği değer kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8. ört basamaklı yy sayısı aşağıda verilen sayılardan hangisine kesinlikle bölünür? ) ) 4 ) 5 ) 9 E) 6. Üç basamaklı abc sayısı 9 ile kalansız bölünebilmektedir. una göre aşağıda verilen beş basamaklı sayılardan hangisi 9 ile kalansız bölünemez? ) ab7c ) 6acb ) 5c4ab ) 7cba E) ba8c. E.. 4. E E E E 6.

113 .. ölüm: Sayı ölünebilme Kümeleri Kuralları TEST - 4 ölünebilme (EO - EKOK). 0 ile 5 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? ) ) 5 ) 0 ) 0 E) ve sayılarının EO u 8 dir. una göre + toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) 6 ) 4 ) 48 ) 7 E) 84. ve 5 sayılarının en küçük ortak katı kaçtır? ) 0 ) 60 ) 90 ) 0 E) ve y sayılarının en küçük ortak katı 08 dir. una göre sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) 4 ) 7 ) 6 ) 54 E) 08. Ebob(5, 5) + Ekok(8, ) toplamı kaçtır? ) 7 ) 9 ) ) 7 E) ve 8 sayılarına kalansız bölünebilen en küçük pozitif tam sayı kaçtır? ) 56 ) 64 ) 7 ) 84 E) 4. 7 ve 96 sayılarını kalansız bölebilen en büyük sayı kaçtır? ) 8 ) ) 8 ) 4 E) 6 8. Sıfırdan farklı sayısı sayısının katıdır. una göre EO(, ) değeri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) ) ) ) E) ulunmaz

114 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. En büyük ortak bölenleri 6 olan iki sayıdan biri 7 olduğuna göre diğer sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ) 8 ) 4 ) 0 E) 6. 8 cm ve 48 cm uzunluğundaki iki tel parçası eşit uzunlukta parçalara ayrılıyor. una göre en az kaç parça tel elde edilir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0 0. Simla nın kitaplığında 4 tane kitabı vardır. Simla nın en az kaç tane daha kitabı olsaydı kitaplarını raflara 5 erli veya 0 arlı yerleştirebilirdi? ) ) 7 ) ) E) , 4 ve 49 sayılarını böldüğünde daima kalanını veren en büyük doğal sayı kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 8. 8 e bölündüğünde, 4 e bölündüğünde 8 kalanını veren üç basamaklı en küçük pozitif sayı kaçtır? ) 04 ) 06 ) 4 ) 0 E) 4 5. ir çiçekçi çiçeklerini beşer, altışar ve dokuzar demetlediğinde hiç çiçeği artmamaktadır. Çiçekçinin çiçeklerinin sayısının 00 den az olduğu biliniyor. una göre çiçekçinin en çok kaç çiçeği vardır? ) 40 ) 60 ) 70 ) 80 E) 90. 4, 6 ve 4 litrelik üç tenekedeki farklı cinsten yağlar birbirine karıştırılmadan eşit hacimli bidonlara boşaltılmak isteniyor. una göre en az kaç bidona ihtiyaç vardır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 6. EKOK ları 48 olan üç farklı sayının toplamı en çok kaç olur? ) 8 ) 84 ) 86 ) 88 E) E E E E 5. 6.

115 .. ölüm: Sayı ölünebilme Kümeleri Kuralları TEST - 5 ölünebilme (EO - EKOK). 4, 6 ve 9 sayılarının en küçük ortak katı kaçtır? ) ) 8 ) 6 ) 7 E) ve 5 sayılarına kalansız bölünebilen, 00 den küçük en büyük sayının rakamlarının toplamı kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0. Okan bilyelerini altışar ve sekizer gruplandırabiliyor. una göre Okan ın en az kaç bilyesi vardır? ) ) 8 ) 4 ) 6 E) Eni 40 m, boyu 48 m olan dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Köşelere de ağaç dikilmesi şartıyla, bu tarlaya en çok kaç m aralıklarla ağaç dikilmelidir? ) ) 4 ) 6 ) 8 E). İki farklı çuvalın birinde 4 kg, diğerinde kg pirinç bulunmaktadır. u çuvallardaki pirinçler birbirine karıştırılmadan eşit ağırlıkta poşetlere doldurulacaktır. una göre en az kaç poşete ihtiyaç vardır? sayısına en az kaç eklenirse elde edilen sayı hem 9 hem ile kalansız bölünebilir? ) 5 ) 0 ) ) 5 E) 0 ) 5 ) 7 ) 8 ) 0 E) 4. Ekok u 90, Ebob u 5 olan iki sayıdan biri 45 olduğuna göre diğer sayı kaçtır? ) 5 ) 0 ) 0 ) 45 E) Ekin in 5 kitabı vardır. Tunç kitaplarından en az kaç tanesini Ekin e verirse kitaplarını hiç artmadan dörderli, altışarlı veya dokuzarlı gruplara ayırabilir? ) ) 5 ) 7 ) E) 4 5

116 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler sayısından en az kaç çıkarılırsa fark 4, 6 ve 9 sayılarına tam bölünür? ) 0 ) 8 ) 6 ) 4 E). oyutları 4 cm ve 7 cm olan dikdörtgen biçimindeki levha eş karesel parçalara ayrılacaktır. una göre en az kaç parça elde edilir? ) 6 ) 70 ) 84 ) 96 E) 0 0. a, b, c Z + olmak üzere 4. ve y birer pozitif tam sayıdır. = 6a + = 8b + = 5c + şartını sağlayan üç basamaklı en küçük sayısının rakamlarının toplamı kaç olur? EO(, y) = 8 ve kaçtır? = olduğuna göre + y toplamı y 5 ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 ) 4 ) 6 ) 48 ) 64 E) 7. ta cevizlerini, 5 ve 8 li gruplara ayırdığında her seferinde 6 cevizi artmaktadır. una göre ta nın en az kaç çevizi vardır? ) 6 ) 56 ) 76 ) 86 E) 6 5. m ve n birer pozitif tam sayıdır. Ekok(m, n) = 80 ve m = 5n olduğuna göre n kaçtır? ) 4 ) 0 ) 6 ) 45 E) m 7 m 7 m 7 m 7 m. İki farklı çalar saatten biri diğeri 4 saatte bir çalmaktadır. u iki çalar saat, 0.00 da birlikte çaldıktan kaç saat sonra ilk kez tekrar birlikte çalarlar? ) :00 ) 6:00 ) 8:00 ) 0:00 E) :00 9 m 9 m 9 m 9 m Yukarıdaki düzenekte 7 m ve 9 m lik tahta parçaları üst sıradakiler 5 m dışardan başlamak koşulu ile uçları aynı hizaya gelinceye kadar iki sıra halinde yerleştirilecektir. Toplamda en az kaç tahtaya ihtiyaç vardır? ) ) ) 4 ) 5 E) E

117 .. ölüm: Sayı ölünebilme Kümeleri Kuralları TEST - 6 ölünebilme (Periyodik Günlük Hayat Problemleri). ugün günlerden çarşamba olduğuna göre 50 gün sonra hangi gündür? ) Salı ) Pazartesi ) umartesi ) Pazar E) Perşembe 5. ir derneğin üyeleri yönetim kurulu toplantısı için 5 günde bir araya gelmektedirler. 0. toplantılarını çarşamba günü yaptıklarına göre 9. toplantılarını hangi gün yapmışlardır? ) Pazartesi ) Çarşamba ) Perşembe ) umartesi E) Pazar. ugün günlerden perşembe olduğuna göre 400 gün önce hangi gündü? ) uma ) Çarşamba ) Pazartesi ) Salı E) Pazar 6. 4 Temmuz 0 günü perşembeye denk geldiğine göre aynı yılda 0 ğustos Zafer ayramı hangi güne denk gelir? (Temmuz ayı günden oluşmaktadır.) ) Pazartesi ) Salı ) uma ) umartesi E) Pazar. ir askeri birlikte 4 günde bir nöbet tutan bir asker ilk nöbetini salı günü tutmuştur. una göre bu asker 8. nöbetini hangi gün tutar? ) Pazartesi ) Salı ) Çarşamba ) uma E) Pazar 7. Ela günde bir kullandığı ilacını ilk kez pazar günü almıştır. una göre 4 tabletlik bu ilacın son tabletini hangi gün alır? ) Salı ) umartesi ) uma ) Pazar E) Perşembe 8. I ilk sıra E F K L M X Y II III Yukarıdaki şekiller belirli bir periyoda göre yan yana çizilmiştir. una göre 06. sırada hangi şekil bulunur? ) ) ) Yukarıdaki otoparkta her sıraya araç park edebilmektedir. una göre araçların sırasıyla park ettiği varsayılırsa 50. araç hangi sıraya park eder? ) E) ) 4 - K ) 4 - ) - E ) - E) - F 7

118 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. y. aşlangıç noktası 4 K L önme yönü noktasından harekete başlayan bir hareketli yukarıdaki şekilde ilk turunu ekseninin noktasında tamamlamıştır. F E una göre bu hareketli 50. turunu tamamladığında ekseninin pozitif kısmını hangi noktada keser? ) 60 ) 58 ) 56 ) 5 E) 5 Yukarıda modellenen dönme dolap dakikada bir turunu tamamlayıp başlangıç noktasına gelmektedir. una göre bu dönme dolap 64 dakika çalıştığında başlangıç noktasında hangi nokta bulunur? ) ) ) K ) L E) E 0. Yangın tatbikatı sırasında yangın sireni her 6 dakikada bir çalmaktadır. Tatbikat toplam 94 dakika sürdüğüne göre yangın sireni kaç defa çalmış olur?. ) 6 ) 5 ) 4 ) E) Yukarıda verilen 8 adet lambanın çalışma prensibi aşağıdaki gibidir.. olarak ve 8. olarak ve 7.. sıra. sıra. sıra 4. sıra... I II h III h Yukarıdaki konferans salonunda koltuklar her bir sıra numarasından bir fazla olacak şekilde planlanmıştır. Salonda toplam 8 sıra bulunur. una göre 00 numaralı koltuk kaçıncı sıradadır? ) 4 ) 5 ) 8 ) 7 E). olarak ve 6 4. olarak 4 ve 5 numaralı lambalar yanmakta düğmelere basmaya devam edildiğinde ise lambalar aynı sırada sönmektedir. Tüm lambalar söndüğünde düğmelere basmaya devam edildiğinde ise lambalar aynı sırada tekrar yanmaktadır. una göre düğmelere 7 kez basıldığında hangi lambalar yanar? ) -8 ) -7 ) -6 ) 4-5 E) ir memur cuma günü iş günü izne çıkıyor. umartesi ve Pazar günlerinin iş gününden sayılmadığını varsayılırsa memur işe hangi gün başlayacak? ) Salı ) uma ) Çarşamba ) Pazartesi E) Perşembe 8... E E

119 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler. ÖLÜM irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler... Gerçek Sayılar Kümesinde ralık Kavramı Sayı doğrusunda farklı iki nokta ile bu iki noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan alt kümeye aralık denir. ralıklar verilen kümenin uç noktalarının kümeye dahil olup olmamalarına göre adlandırılır. i. çık ralık R a b Pozitif Negatif Sayılar Sıfırdan büyük sayılara pozitif, sıfırdan küçük sayılara negatif sayı denir. 0 ne negatif ne de pozitif bir sayıdır. a, b R ve b 0 olsun a a > 0 ve b > 0 a + b > 0, a b > 0, > 0 b a a < 0 ve b < 0 a + b < 0, a b > 0, > 0 b a a < 0 ve b > 0 a b < 0, < 0 b a ile b iki farklı gerçek sayı olsun. Sayı doğrusu modelinde a ile b arasındaki tüm gerçek sayıların kümesi (a, b) şeklinde gösterilir. Yani ^ab, h = "! R a < < b, olur. u gösterime a ile b nin açık aralığı denir. ii. Yarı çık ralık a a a ve b iki farklı gerçek sayı olsun. Sayı doğrusu modelinde a ile b arasındaki tüm gerçek sayılar ile aralığın sol veya sağdan açık olmasına bağlı olarak a nın veya b nin dahil edilerek oluşturulduğu küme (a, b] veya [a, b) şeklinde gösterilir. Yani, ^ = "! R a < G b, veya 6 ab, h = "! R a G < b, olur. u gösterimlere a ile b nin yarı açık aralığı denir. b b R R a > 0 ve n N + a n > 0 a < 0 ve n N + için n tek sayı iken a n < 0 ve n çift sayı iken a n > 0 dır.... irinci ereceden ir ilinmeyenli enklem ve Eşitsizliklerin Çözüm Kümesini ulma irinci ereceden ir ilinmeyenli enklemler a, b R ve a 0 olmak üzere; a + b = 0 eşitliği ile verilen ifadeye birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. enklemi sağlayan değerine denklemin kökü, denklemin köklerinden oluşan kümeye ise denklemin çözüm kümesi denir. a + b = 0 denkleminin kökü Çözüm kümesi : Ø veya R a + b = a + b denkleminde b -, çözüm kümesi de a '- b olur. a ralığın soldan veya sağdan sınırlandırılmadığı durumlarda sınırlandırılmayan uç noktalara sonsuz işareti () eklenir ve sınırlandırılmayan taraf açık parantezle ifade edilir. i. a = a ve b = b ise çözüm kümesi R olur. Yani denklem tüm gerçek sayılar için sağlanır. ii. a = a ve b b ise çözüm kümesi olur. Yani denklemi sağlayan gerçek sayı olamaz. Örneğin; (, a] a b [b, + ) 5 + = 5 + denkleminde yerine hangi gerçek sayı yazılırsa yazılsın denklem sağlanır. + = 4 denkleminde ise yerine hangi gerçek sayı iii. Kapalı ralık yazılırsa yazılsın denklem sağlanmaz. R a b a ile b iki farklı gerçek sayı olsun. Sayı doğrusu modelinde a ile b arasında kalan tüm gerçek sayılar ile a ve b nin oluşturduğu küme [a, b] şeklinde gösterilir. Yani 6 = "! R a G G b, olur. u gösterime a ile b nin kapalı aralığı denir. irinci ereceden ir ilinmeyenli Eşitsizlikler a ve b herhangi iki gerçek sayı olsun. u durumda iki farklı durum söz konusudur. I. durum : a = b (a ile b eşittir.) II. durum : a b (a ile b eşit değildir.) 9

120 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler Eğer II. durum söz konusu ise sayılardan biri diğerinden ya küçüktür ya da büyüktür. Yani a b a < b veya a > b (a, b den küçüktür) (a, b den büyüktür) olur. < ve > sembolleri dışında ve sembolleri de kullanılabilir. u sembollerin anlamı a b için (a, b ye eşit veya b den küçüktür.) a b için (a, b ye eşit veya b den büyüktür.) şeklindedir. a < b, a > b, a b, a b gösterimlerinin her birine bir basit eşitsizlik veya sıralama adı verilir. 6. ynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir. a < b c < d a+ c < b+ d dir. Taraf tarafa toplama işlemi yapılırken iki eşitsizlikte eşitlik mevcutsa toplam eşitsizliğinde de eşitlik olur. iğer durumlarda eşitlik olmaz. G G < G G < < < G < < < Sayı doğrusu modelindeki herhangi bir sayı, solundaki tüm sayılardan büyük, sağındaki tüm sayılardan küçük olur. m m < ve < n dir. u durum m < < n şeklinde tek bir gösterimle de verilebilir. a, b R ve a 0 olmak üzere a + b > 0 a + b 0, a + b < 0 veya a + b 0 şeklinde yazılabilen ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. irinci ereceden ir ilinmeyenli Eşitsizliklerin Özellikleri. ir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir. a < b iken a + c < b + c n R a < b iken a c < b c. ir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir gerçek sayı ile çarpılırsa ya da her iki yanı pozitif bir gerçek sayıya bölünürse eşitsizliğin yönü değişmez. c > 0 olmak üzere, a < b iken a c < b c a b a < b iken < dir. c c 7. n! N + n n ve 0 < a < b iken a < b olur. n! N + ve a < b < 0 iken n n i. n çift ise a > b n n ii. n tek ise a < b dir. 8. a ile b aynı işaretli iki gerçek sayı olsun. u durumda a < b iken > olur. a b 9. n! Z + - ", olmak üzere; n i. < a iken a > a ii. n 0 < a < iken a < a n iii. - < a < 0 iken a > a n a > a iv. a <- iken olur. n a < a Çarpımın aralığı bulunurken uç değerler (altlı - üstlü - çapraz) birbirleriyle çarpılarak dört değer bulunur. u değerlerin en küçüğü alt sınırı, en büyüğü de üst sınırı belirler. Çarpımın yapıldığı uçların her ikisinde eşitlik varsa o değer sınırlardan biri olduğunda o sınırda da eşitlik kullanılır.. ir eşitsizliğin her iki yanı negatif bir gerçek sayı ile çarpılırsa ya da her iki yanı negatif bir gerçek sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. c < 0 olmak üzere, a b a < b iken a c > b c a < b iken > dir. c c 4. a, b, c R olmak üzere; a < b ve b < c iken a < c olur. 5. a, b R olmak üzere, a b < 0 iken a ile b ters işaretlidir. a b > 0 iken a ile b aynı işaretlidir. ir ifadenin karesinin değer aralığı bulunurken iki farklı durum ile karşılaşılır. i. Sınırlar aynı işaretli olabilir. u durumda sınırların kareleri alınıp küçük değer alt sınıra, büyük değer üst sınıra yazılır. ii. Sınırlar farklı işaretli olabilir. u durumda aralıkta 0 değeri de olacağından ve tam kare ifadeler negatif olamayacağından alt sınır 0 olur ve eşitlikle birlikte kullanılır. Üst sınır ise verilen aralıktaki sınırlardan hangisinin karesi büyükse o değer yazılarak bulunur. 0

121 . ölüm: irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler... Mutlak eğer İçeren irinci ereceden ir ilinmeyenli enklem ve Eşitsizlikler ir sayının sayı doğrusu üzerinde orijine (sıfır noktasına) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. ir sayısının mutlak değeri şeklinde ifade edilir. Mutlak eğerli Eşitsizlikler a R + olmak üzere < a ise a < < a a ise a a a birim b birim a 0 b R a R + olmak üzere > a ise > a veya a > olur. Uzaklık negatif olamayacağından bir sayının mutlak değeri negatif olamaz. R için = ),, 0 <0 a ise a veya a olur. Sayı doğrusunda ile y arasındaki mesafe y dir. Mutlak eğerin Özellikleri, y R için. 0 Tek sayıda m şeklindeki mutlak değerli ifadeyi en küçük yapan değer kritik noktalardan ortancanın yerine yazılmasıyla bulunur.. =. y = y 4.. y =. y 5. = (y 0) y y 6. n = n 7. y + y + y (üçgen eşitsizliği) 8.. y = 0 = 0 veya y = 0 dır. Mutlak eğerli enklemler Kısayol a < b ve m R + olsun. a + b = m denkleminin çözüm kümesi bulunurken öncelikle a + b toplamının en küçük değeri bulunur. u en küçük değer n olsun. farklı durum söz konusu olur.. durum (m < n olsun.) daha küçük en küçük olamaz. Ç.K = Ø olur. = 0 = 0 dır. = a R + iken = a veya = a dır. f() = g() iken f() = g() veya f() = g() dir. f() = g() iken f() = g() veya f() = g() olur. ncak bulunan değer, g() i negatif yaparsa çözüm kümesine dahil edilmez.. durum (m = n olsun.) Toplam en küçük değerine eşitken Ç.K = [a, b] dir.. durum (m > n olsun.) a + b = m a + b = m denklemlerinden iki farklı kök elde edilir. Sonuç olarak; bu tip denklemlerin çözüm kümesi ya kapalı bir aralık ya boş küme ya da iki nokta kümesi olur.

122 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler Mutlak eğerli oğrusal Fonksiyonların Grafikleri f() = a + b grafiğini çizmek için f() = a + b grafiği çizilir. = 0 için y-eksenini kestiği nokta, y = 0 için -eksenini kestiği nokta bulunur ve bu iki noktadan geçen doğru çizilir. y II. Yok Etme Yöntemi Yok etme yönteminde; iki denklemden biri ya da ikisi, denklemler taraf tarafa toplandığında bilinmeyenlerden biri yok olacak şekilde genişletilir. Elde edilen denklem bir bilinmeyenli olacaktır. uradan diğer bilinmeyen de denklemlerden biri kullanılarak bulunur. d... a+ by+ c = 0 4 denklem sisteminde, d... a+ by+ c = 0 0 Çizilen doğrunun y ekseninin altında kalan kısmının eksenine göre simetriği (yansıması) alınır. 0 y..4. irinci ereceden İki ilinmeyenli enklem ve Eşitsizlikler irinci ereceden İki ilinmeyenli enklem Sistemleri a, b ve c sabit gerçek sayılar, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere a + by = c şeklindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. 5 Örneğin + y = 7, y 7 = 4 veya y = gibi eğişkenleri birinci dereceden ve aynı olan iki denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. enklemlerin ikisini de aynı anda sağlayan ve y değerleri için (, y) ikilisine sistemin kökü, {(, y)} kümesine de sistemin çözüm kümesi denir. Çözüm Yöntemleri I. Yerine Koyma Yöntemi a + by = c 4 denklem sisteminin yerine koyma yöntemi ile çözümünde; denklemlerden birinde (veya y) yalnız bırakılarak elde d + ey = f edilen ifade diğer denklemde yerine konur. öylece denklem bir bilinmeyenli olur ve çözülür. ulunan değer, denklemlerin birinde yerine konularak diğer değişken de bulunur. a b c =! iken d a b c ve d doğruları birbirine paralel olur. Yani sistemin çözüm kümesi boş küme olur. a b c = = iken d a b c ve d doğruları çakışık olur. Yani sis- temin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur. aşka bir deyişle doğrulardan birinin denklemini sağlayan tüm sıralı ikililer bu sistemin çözümü olur. a b iken tek kök vardır ve bu kök denklemlerin ortak a b çözülmesiyle bulunur. irinci ereceden İki ilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri nalitik düzlemde herhangi bir doğru, düzlemi üç ayrı bölgeye ayırır. unlar; doğrunun üst bölgesi, doğrunun kendisi ve doğrunun alt bölgesidir. a, b, c R, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a + by + c < 0 a + by + c 0 a + by + c 0 a + by + c > 0 şekildeki ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler denir. u eşitsizliklerin her biri farklı bir bölgeyi ifade eder. u eşitsizlikler çözülürken aşağıdaki işlem sırası izlenir. (i) a + by + c = 0 doğrusunun grafiği çizilir. > veya < olması durumunda doğru kesikli ( ) çizilir. u çizim, doğruya ait noktaların çözüm kümesine dahil olmadığı anlamına gelir. (ii) nalitik düzlemden keyfi bir nokta seçilir (genellikle orijin seçilir) ve bu noktanın eşitsizliği sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Eşitsizliği sağlarsa noktanın bulunduğu bölge, sağlamazsa noktanın bulunmadığı bölge taranır. Taranan bölge eşitsizliği sağlayan noktaların çözüm kümesini verir.

123 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler Uygulama Soruları. R 8 a b 5 Yukarıdaki sayı doğrusu modelinde a ve b birer tam sayıdır. a. a nın alabileceği en küçük ve en büyük değerleri b. b nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulunuz. 5. k - + k = + denkleminin çözüm kümesi {} dir. una göre k değeri kaçtır?. = [, 5) ve = [ 4, ] kümeleri veriliyor. una göre a. b. c. d = denkleminin kökünü bulunuz. kümelerini bulunuz m + = (m + ) n + denklemi tüm gerçek sayılar için sağlandığına göre n değeri kaçtır? n +. ^m- h = 0 denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir. una göre a. m + n toplamı kaçtır? b. denkleminin çözüm kümesi nedir? 8. şağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a. < = - denkleminin çözüm kümesi nedir? b. 5 < 0 c. 4

124 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. 4 < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz işleminin sonucunu bulunuz. 0. a, b Z olmak üzere < a 7 b < 4 eşitsizlikleri veriliyor. una göre 4. < < 7 için + 7 toplamını bulunuz. a. a + b en çok kaçtır? b. a b en az kaçtır? c. 4 a 5b en çok kaçtır? 5. a < b < 0 < c olmak üzere a + b + b c c a b ifadesinin eşitini bulunuz.., y R olmak üzere < 6 y < 5 eşitsizlikleri veriliyor. una göre a. + y nin alabileceği en büyük tam sayı değerini b. + y nin alabileceği en küçük tam sayı değerini c. y nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz. 6. y ifadesini en küçük yapan sıfırdan farklı ve y değerleri için + y oranı kaçtır? y. 5 a < 4 4 < b 8 eşitsizlikleri veriliyor. una göre a b çarpımının alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz. 7. şağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. 6 = 0 b. + = 7 c. = 4 4

125 . ölüm: irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler 8. şağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. + = 5 b. + =. şağıda verilen denklem sistemlerinin ilkini yok etme yöntemiyle, diğerini grafik yardımıyla çözünüz. a. + y = 5 y = 4 b. y = 6 + y = 9 9. şağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a. 7 b. + < 0 + c m + y = 0 4 y+ n = 0 sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. una göre m + n toplamı kaçtır? 0. + < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 4. y 0. şağıda verilen ifadelerin alabilecekleri en küçük değerleri bulunuz. a b c ik koordinat sisteminde verilen taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik sistemini bulunuz. 5

126 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler ÇÖZÜMLER. R 8 a b 5 Sayı doğrusundan da görülmektedir ki; 8 < a < ve < b < 5 tir. O halde a. a nın alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerleri 7 ve dir. b. b nin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değeri sırasıyla 0 ve 4 tür = + = () () 4 = + 6 ( ) = 6 ( + ) = = = = olduğundan çözüm kümesi ' şeklinde bulunur R R 5. Çözüm kümesi {} olduğundan = denklemi sağlar. k + k = + a. = [, ] b. = [ 4, 5) c. = (, 5) d. = [ 4, ) k + k = + () k + k = k = 4 k = 5 bulunur.. a. (m ) + 4 n+ + 8 = 0 denklemi. dereceden olduğu için li terim olmaz. Yani m = 0 m = tür. Öte yandan n+ de olmalıdır. Yani n + = n = dir. O halde m + n = + ( ) = olur. b. ulunan değerlerle denklemi çözelim = 0 4 = 8 = olur. O halde çözüm kümesi { } şeklinde elde edilir = olmalı 7 olmalı + = = olmalı 0 + = 7 5 olmalı O halde = = bulunur. 6

127 . ölüm: irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler 7. Tüm gerçek sayılar için denklem sağlandığından 4 m + = (m + ) n + 4 = m + m = m + = n + + = n + n = dir. 8. a. < + 7 < 7 + < 0 olduğundan Ç = (, 0) bulunur. 0. a ve b birer tam sayı olduğundan, istenen ifadelere göre a ve b için verilen aralıklardan uygun değerler seçilmelidir. unu yaparken a ve b nin önündeki işaret ( ) iken istenen durumun tersi (Yani ifadenin en büyük değeri isteniyorsa en küçük, en küçük değeri isteniyorsa en büyük değer) yapılmalıdır. a (en büyük) : 7 a (en küçük) : b (en büyük) : b (en küçük) : olmalıdır. a. a + b (en çok) = 7 + = 0 b. 5 < 0, 5 + < c. < < 4 olduğundan Ç = (, 4] bulunur. 4 eşitsizliğinde iki tarafı ile genişletelim. u durumda eşitsizlik yön değiştirir. ( ) 4 ( ) 8 ( ) olduğundan 5 Ç = ;, m bulunur Verilen eşitsizlik 4 < + ve eşitsizliklerini ifade eder. i. -4 < < + 4 < 6 en çok en çok b. a b (en az) = = 7 en az en çok c. 4 a 5b (en çok) en az en az = 4-$ ^-h-5$ ^- h= =. elli bir aralıkta verilen a ve b değerleri birer tam sayı ise istenen duruma göre a ve b değerleri verilen aralıktan seçilir, a ve b değerleri birer gerçek sayı ise verilen aralıklarda taraf tarafa toplama işlemleri yapılarak sonuca ulaşılır., y R olduğundan verilen aralıklar taraf tarafa toplanmalıdır. a. - < G 6 - G y < 5-5 < + y < ; en büyük tam sayı değeri 0 olur. < ii. - + G G G 5 - G olayısıyla i. ve ii. çözümlerinin arakesiti alınırsa < olduğu görülür. Yani Çözüm Kümesi = [, ) olur. b. - < G 6 - G y < 5 eşitsizliklerinden ilki, ikincisi ile genişletilirse - 9 < G 8-4 G y < 0 - < + y < 8 > en küçük tam sayı değeri olur. 7

128 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler c. Taraf tarafa fark alınamadığı için y li eşitsizlik ( ) ile genişletilip toplanırsa - < G 6-5 < -y G 6-8 < -y G > en büyük tam sayı değeri olur. 5. Verilen sıralamaya göre a + b < 0, b c < 0, c a > 0 ve b < 0 dır. O halde a+ b + b c c a b + = (a + b) (b c) (c a) ( b) = a b b + c c + a + b = b bulunur.. -5 G a < 4-4 < b G 8 ( 5) ( 4) = 0 ( 5) 8 = 40 (eşitlik var) (en küçük) 4 ( 4) = = (en büyük) 6. y ifadesi en az 0 olabilir. Yani y = 0 = y dir. O halde + y y+ y 5 y = = = 5 bulunur. y y y olduğundan a b nin aralığı; 40 a b < şeklinde bulunur. olayısıyla a b nin tam sayı olarak en küçük değeri 40, en büyük değeri bulunur = = 7 7. a. 6 = 0 6 = 0 = 6 = olduğundan Ç = {} tür. b. + = 7 + = 7 + = 7 = 6 = 8 = 8 = 8 olduğundan Ç = ', dir. 4. < < 7 > 0 ve 7 < 0 dır. olayısıyla + 7 = + [ ( 7)] = + 7 = 5 olur. c. = 4 = 4 = 4 = 7 = = 7 = 7 = 8 = 6 = 4 = olduğundan Ç = {, 4} tür. (Mutlak değer negatif sayıya eşit olamaz. Yani bu denklemi sağlayan değeri yoktur.) 8

129 . ölüm: irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler 8. a. + = 5 + = 5 + = ( 5) = 5 + = + 5 = 6 + = 5 = 4 = 4 = olduğundan Ç = {, } tür. b. + = 0. + < 4 zaten sağlanır ( R için) O halde + < 4 eşitsizliğini çözmemiz yeterlidir. + < 4 4 < + < 4 5 < < 5 5 < < olduğundan Ç = c,m bulunur. + = + = ( ) = + = + = 5 + = = 5 = = değerleri elde edilir. enklemde sağdaki ifadede mutlak değer olmadığından bulunan kökler bu mutlaksız ifadeyi pozitif yapmalıdır. = ifadeyi negatif yaptığından kök olamaz. O halde Ç = {5} bulunur.. a. in katsayısının büyük olduğu mutlak değerli ifadeyi 0 yapan değer ifadeyi en küçük yapar = 0 = 9. a R + iken < a a < < a dır. a , 4 olduğundan Ç = [, 4] tür. b. + < 0 eşitsizliğinde çözüm kümesi dir. Çünkü mutlak değerli bir ifade negatif olamaz. c. Mutlak değerli bir ifade negatif olamaz. u yüzden < 0 veya + = 0 kök gelmez + = 0 = olacağından Ç = { } olur. Öte yandan + > 0 olması gerektiğinden (payda 0 olamaz.) 0 olmalıdır = = 4 en küçük değerdir. b. m + n şeklindeki ifadelerde (m < n olsun) [m, n] için ifade sabit bir değer alır ve bu değer ifadenin alabileceği en küçük değer olur için e [ 5, ] aralığında herhangi bir değer verebiliriz. = olsun = = 8 bulunur. c. a + b + c şeklindeki ifadelerde (a < b < c olsun) ortanca kök bu ifadeyi en az yapar = 8 = = < < 8 olduğundan = toplamı en az yapar. O halde sağlanır. Yani in alabileceği tam sayı değerleri,, 0,,, olmak üzere 6 adettir. = = 0 bulunur. 9

130 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler. a. / + y = 5 + y = 4 + 6y = 0 y = 4 7 y = 4 y = olur. + y = 5 + = = 5 = olduğundan sistemin çözümü (, ) olur.. a + b y + c = 0 a + b y + c = 0 sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğundan a b c = = a b c orantısı sağlanmalıdır. O halde m + y = 0 y +n = 0 sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğundan m = = n b. y = 6 + y = 9 sistemindeki doğruları çizelim. oğruların kesim noktaları çözüm kümesini verecektir. unun için kareli kağıt kullanacağız. m = 6 (n ) = m = 6 n = olduğundan m + n = 6 + = bulunur. y = 6 için = 0 y = 6 y = (0, ) y = 0 = 6 = (, 0) + y = 9 için = 0 y = 9 (0, 9) y = 0 = 9 = (, 0) y 9 4. Kesikli çizgilerle verilen doğru denklemi, y + = + y = 0 oğrunun alt kısmı tarandığı için +y li ifade küçük kısımda olmalıdır. + y < 0 üz çizgilerle verilen doğrunun denklemi, y + = y 6 = 0 oğrunun üst kısmı tarandığı için +y li ifade büyük kısımda ( y li ifade küçük kısımda) olmalıdır. ( ) düz çizgili olduğu için 0 y 6 0 olur. olayısıyla eşitsizlik sistemi; + y < 0 şeklinde olmalıdır. y 6 0 0

131 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler. R 5 a b 7 c Yukarıda verilen sayı doğrusu modelinde a, b ve c birer tam sayıdır. una göre aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır? ) a nın alabileceği en küçük değer : 4 4. ve y birer tam sayıdır. 7 y Yukarıdaki sayı doğrusu modeline göre + y toplamı en az kaç olur? ) 0 ) ) ) E) 4 R ) a nın alabileceği en büyük değer : 4 ) b nin alabileceği en küçük değer : ) b nin alabileceği en büyük değer : 7 E) c nin alabileceği en küçük değer : 8. > 5 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 5. = 8 denkleminin kökü kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. < - - eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 6. > 5 ( Z) olduğuna göre 7 + ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5

132 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. = [, 6] ve = (, ] olduğuna göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) [, ] ) [, ) ) (, ] ) [, ) E) (, ] 0. a < 0 < b < c sıralamasına göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle negatiftir? ) a (a + b) ) (a + c) (c b) ) ( b) (a b) ) (b a) (a c) E) c (b a) 8. a b > 0 ve a + b < 0 olduğuna göre a ile b nin işaretleri sırayla aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? ), ), + ) +,. -^-h = - 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) {7} ) {} ) {49} E) R ) +, + E) yorum yapılamaz 9. a, b, c gerçek sayıları için a b > 0, a b < 0 ve b c > 0 olduğuna göre aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır? ) a > 0 ) b < 0 ) c < 0 ) a c < 0 E) b + c < 0. > + eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayısı kaçtır? ) ) ) ) 0 E) E

133 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler. şağıda verilen sayı aralıklarından hangisi seçeneklerde verilmemiştir? 4 R 4. + m = denkleminin kökü tür. una göre m değeri kaçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 4 R R R ) (, 4] ) [ 4, ] ) (, ] ) [, ) E) (, ) 5. < 7 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) [, 4) ) [, ) ) [, 4). ( + 4) = ( 4) denklemini sağlayan tam sayı değeri kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 ) (, 4] E) (, ]. > eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır? ) 6 ) 5 ) 4 ) E) 6. a, b Z için < a 6 < b < olduğuna göre a + b en az kaç olur? ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 E) 5

134 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. a, b, c gerçek sayıları için a b > b c ve a + b < b + c olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? 0. + = 5 4 denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 7 5 ) ) E) 4 ) a < 0 ) b < 0 ) c < 0 ) a c > 0 E) a b < 0 8. < y < 0 < z için aşağıda verilenlerden hangisi kesinlikle pozitiftir? ) y ) y + z ) + z ) y z E) z., y, z R için >, y z < 0 ve = y olduğuna göre, y ve z arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir? ) < y < z ) < z < y ) y < < z ) y < z < E) z < < y 9. a bir gerçek sayıdır. < a < olduğuna göre a + ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) 8 ) 7 ) 5 ) E). R için > y olduğuna göre (y ) ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) E E

135 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler. ( ) + > eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır? ) 5 ) 4 ) ) E) 4. ( ) > + 6 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır? ) ) 0 ) ) E). a, b Z için a < < b 4 olduğuna göre a b farkı en çok kaç olur? ) ) ) ) 4 E) = olduğuna göre kaçtır? ) 5 ) 5 ) ) 5 E) 5. şartını sağlayan ve kümeleri aşağıda verilenlerden hangisi olabilir? ) = [, ], = [, 4) ) = (, ], = [, ) ) = (, 5], = (, 5) ) = [, ], = [, ) E) = [, 5), = [, 5] > - 4 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5 5

136 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. 5 < G + eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) [, ) ) [, 4) ) (, 5] ) [, 4) E) (, 4] 0. m+ = + + denkleminin köklerinden biri olduğuna göre m değeri kaçtır? 0 ) ) - ) ) - E) 7 8., y R için 6 < 5 4 < y 7 olduğuna göre + y toplamının tam sayı değeri en az kaçtır? ) 0 ) 9 ) 5 ) E). m tam sayısı için m (, 4] olduğuna göre m + toplamı en az kaçtır? ) 6 ) 5 ) ) E) 5 9. m < n < 0 için aşağıda verilenlerden hangisi kesinlikle pozitiftir? ) m + n ) m n ) n + m ) m + n E) m n., y R için < 5 y < 4 olduğuna göre y nin alabileceği tam sayı değeri en çok kaçtır? ) 5 ) 6 ) 9 ) 0 E) E 0...

137 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - 4 irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler. a < b < 0 < c < d olduğuna göre aşağıda verilen oranlardan hangisi negatiftir? a- b ) d - c b- c ) a - d b- c ) a - c c- b E) b - a c- a ) d - b 4., y Z için 0 < < 5 ve y olduğuna göre 4y farkı en çok kaç olur? ) 9 ) 0 ) ) E). gerçek sayısı için < 4 olduğuna göre kaç farklı tam sayı değeri alabilir? ) 7 ) 9 ) 0 ) 6 E) ^ - h - = denkleminin kökü kaçtır? ) 0 ) ) ) E) 4 6. a =, b = 8 7 ve c = < eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) 4 ) ) ) E) 0 kesirlerinin küçükten büyüğe sıralaması aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? ) a < b < c ) a < c < b ) b < a < c ) b < c < a E) c < a < b 7

138 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler < + eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 0. < ve < y olduğuna göre y ifadesinin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ) [ 8, 8) ) [ 8, 0) ) ( 8, 0] ) [ 0, 8) E) ( 8, 8] 8. (m ) + 5 = (m ) + m n denklemi tüm gerçek sayılar için sağlandığına göre n değeri kaçtır? ) ) ) ) E). y,! Z olmak üzere 5 < 0 ve y < 7 sıralamaları verildiğinde 5 + y toplamı en çok kaç olur? ) ) ) 4 ) 7 E) 8. a, b R olmak üzere, < a < 6 ve 4 < b < 9. m [, ) için (m + ) ifadesinin alabileceği tam sayı değeri en çok kaçtır? ) 0 ) ) 5 ) 6 E) 7 a+ b olduğuna göre ifadesinin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? a $ b ) c-, m ) c-, m ) c-, m ) c-, m E) c-, m 8.. E E E.

139 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - 5 irinci ereceden enklemler ve Eşitsizlikler. 4. ikdörtgen biçimindeki bir arazinin 5 metre Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi yapılması düşünülen bir köprünün uzunluğu 5 ile modellenmiş olup bu köprünün uzunluğunun 7 km den fazla 6 km den az olması planlanıyor. una göre in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? ) 7 ) ) 5 ) 9 E) 5 m kısa kenarı 5 metredir. u arazinin çevresinin 70 m den çok ve 0 m den az olduğu biliniyor. una göre arazinin uzun kenarının bulunduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? ) (5, 0) ) (0, 0) ) (0, 40) ) (0, 45) E) (5, 5). 0 < < y olmak üzere + 4y p = 4 olduğuna göre p nin en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 5. ve y gerçek sayıları için 4 < < 6 = y olduğuna göre y nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5. < y < 0 < < olduğuna göre I. y > 0 II. > y III. y < + 5 IV. y < V. + y > 0 ifadelerinden kaç tanesi daima doğrudur? ) ) ) ) 4 E) 5 6. : in en büyük tam sayı değeri, : in en küçük tam sayı değerini göstermek üzere y 7 = 0 - < y < 4 olduğuna göre kaçtır? ) 5 ) 4 ) ) E) 9

140 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7 7. ve y gerçek sayılar olmak üzere, c-, 4E aralığında bulunan elemanlardan biri + 5 tür. yrıca y + 4 = 0 olduğuna göre y nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 0. 4 < 5 olduğuna göre ( ) ( + ) çarpımının alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 ) ) ) ) 4 E) < < olmak üzere = = = olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?. t = { t < < t, t Z + } olacak şekilde bir açık aralık tanımlanmış olsun. u aralıkta bulunan doğal sayıların sayısı, tam sayıların sayısı ise y ile gösterilsin bu durumda t = 4 için + y kaçtır? ) 5 ) 6 ) 9 ) 0 E) ) > > ) > > ) > > ) > > E) = >. y 4 9. ir tekstil firmasının yeni sezon için ürettiği bir gömleğin Maliyeti Satış Fiyatı y O maliyeti ve satış fiyatı tabloda gösterilmiştir. = y 78 olduğuna göre bu firmanın satıştan kâr edebilmesi için bir tane gömleğin firmaya maliyeti tam sayı türünden en çok kaç olmalıdır? ) 7 ) 0 ) 5 ) 7 E) 8 Taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin hangisinin çözüm kümesidir? ) 6y > 6 ) 6y < 6 ) 6y > 6 + y + y + y ) 6y < 6 E) 6y 6 + y + y < E E 0...

141 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - 6 Mutlak eğer işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) E) 5 4. (, 4) olduğuna göre + 4 toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) 5 ) 5 E) 5. ve y negatif gerçek sayılardır. una göre + y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) y ) ) y E) y 5. 5 ifadesini en küçük yapan değeri kaçtır? ) ) ) 5 ) 5 E) 5. < 5 olduğuna göre 5 + ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 7 ) ) 7 ) 5 E) + 6. = 5 ve y = olduğuna göre + y toplamı en az kaç olur? ) 7 ) 5 ) ) E) 7 4

142 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. < 0 < y olduğuna göre y + ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) ) y eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? ) ) ) ) 0 E) ) y E) y 8. a < b ve a c > b c olduğuna göre a b + c + c + a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?. R ve 4 < için 4 ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? ) 7 ) ) ) 7 E) 8 ) a ) b ) c ) a b E) a + b c 9. Sayı doğrusunda ile y arasındaki mesafe aşağıdakilerden hangisi ile kesin olarak ifade edilebilir? ) y ) y ) y ) + y E) + y. + > 5 eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tam sayı değeri kaçtır? ) ) ) 6 ) 7 E) E E E

143 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 4 ) 6 ) 7 E) 9 Mutlak eğer 4. 8 = 0 denklemini sağlayan değeri için ifadesinin eşiti kaçtır? ) ) 5 ) 6 ) 9 E). y ifadesini en küçük yapan sıfırdan farklı değerler için + y oranı kaçtır? ) 4 ) 5 ) ) 8 E) 5. + = 5 denklemini sağlayan küçük değer kaçtır? ) 8 ) 6 ) 5 ) E). = 4 ve y = 5 olduğuna göre y farkı en çok kaçtır? ) ) 6 ) 8 ) 9 E) ifadesinin eşiti kaçtır? ) ) ) 5 ) 5 E)

144 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. = eşitsizliğini sağlayan değerleri için 5 ifadesi en az kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ) ) ' ) ' ) {} E) {5} = denklemini sağlayan kaç farklı değeri vardır? ) 0 ) ) ) E) 4. > eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) (, ) (5, ) ) (, ) (, ) ) (, ) (5, ) ) (, ) (5, ) E) (, ) (, ) 9. 0 < < y olmak üzere y + y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) y ) 0 ) y E) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 0 E)

145 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - 8 Mutlak eğer. = 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) { } ) {} ) {, } 4. 6 = denklemini gerçekleyen tam sayısı kaçtır? ) ) 0 ) ) E) ) {, 4} E) {, 4}. = 7 denklemini sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır? ) ) 5 ) 6 ) 8 E) = 5 denklemini sağlayan kaç farklı değeri vardır? ) 0 ) ) ) E) 4. a b = a b ve a = a olduğuna göre a + b b a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 0 ) a ) b ) a E) b toplamı in hangi değeri için en küçük olur? ) ) ) ) E) 45

146 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler toplamı en az kaç olur? ) ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 0. = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) { } ) {} ) {, 0} E) {, } 8. = denklemini sağlayan değeri en çok kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) ifadesini en küçük yapan değeri kaçtır? ) ) ) ) 5 E) < 9 eşitsizliğini sağlayan tam sayısı en çok kaç olur? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9. < < 5 olmak üzere ifadesinin değeri kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) E

147 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - 9 Mutlak eğer. a = ve b = olduğuna göre a b değeri kaçtır? ) 9 ) 0 ) ) 8 E) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {} ) {} ) {4} ) {, 4} E). + + y + ifadesi en az kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) = 8 denklemini sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5 ab ac. a < 0 < b < c için ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? b c ) b ) a ) a ) b E) c 6. < olmak üzere ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) 8 ) 9 E) 0 47

148 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. + y = 4 + = denklem sistemini sağlayan y gerçek sayılarının toplamı kaçtır? ) ) ) ) E) 4 0. {, 0, } olmak üzere işleminin sonucu kaçtır? 5 ) ) ) ) E) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) { 6} ) { 6, 6} ) { 6, } ) {, 6} E) { 6,, 6}. ve y + = 0 olduğuna göre y nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ) [, ) ) [, ] ) [, ) ) [, ] E) [, ] eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) {} ) R {} ) {0, } E) R eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayısı vardır? ) ) ) ) 4 E) E 8. E

149 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - 0 Mutlak eğer. 5 = 6 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) {} ) {, } ) {, } E) R = + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ) { 5} ) { } ) {} ) {, } E) { 5, }. 0 olmak üzere + y + = 0 denklemini sağlayan ve y değerleri için + y toplamı kaçtır? ) ) ) 0 ) E) toplamını en küçük yapan kaç farklı tam sayısı vardır? ) ) 5 ) 6 ) 8 E). + = + 5 denklemini gerçekleyen kaç farklı değeri vardır? ) 0 ) ) ) E) = 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) { 4} ) { 4, } ) {, 4} E) [, 4] 49

150 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. + farkının alabileceği en büyük değer kaçtır? Kısayol u tür ifadelerin alabileceği en büyük değer, sayı doğrusunda kritik noktalar arasındaki mesafe, en küçük değer de bu mesafenin negatif değeridir = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) { 4} ) { } ) {, 4} ) { 4, 4} E) { 4,, 4} ) ) 4 ) 5 ) 6 E) farkının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? ) 8 ) 9 ) 0 ) E). 8 4 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayısı vardır? ) ) ) 4 ) 5 E) = m denkleminin çözüm kümesi [, 5] tir. una göre m değeri kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 E). > 0 eşitsizliğini sağlamayan kaç farklı tam sayısı vardır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) E E

151 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST -. < eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) [, ] E) R (, ) 4. Mutlak eğer + 4 = + 4 olduğuna göre kaçtır? 4 ) 4 ) ) ) E). f() = + 4 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) y 4 0 ) y y = fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) y ) y 0 0 ) E) y 4 0 y ) 4 y 0 ) E) y 0 y 0 ) y = denkleminde in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? ) 4 ) 8 ) 0 ) E) 4 6. Kaç farklı tam sayı değeri için toplamı en az olur? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 5

152 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. y + + y z + + z 5 = 0 denklemini sağlayan, y ve z değerleri için + y + z toplamı kaçtır? ) ) 0 ) 9 ) 8 E) < eşitsizliğinin grafik yardımıyla çözümü aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) y y = çözüm y = ) y y = + 4 ifade- 8. 5y + y ifadesinin alabileceği en küçük değer için - y sinin eşiti kaçtır? 4 8 çözüm 0 y = ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0 ) y y = y = çözüm 0 4 ) y y = 9. 4 = 7 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) { } ) '-, ) {} E) '-, E) y = 0 4 y y = y = çözüm çözüm

153 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - irinci ereceden enklem Sistemleri. y = 7 + y = 8 denklem sistemini sağlayan değeri kaçtır? 4. Toplamları 7, farkları 9 olan iki sayıdan büyüğü kaçtır? ) 4 ) 7 ) 9 ) 0 E) ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7. y = 7 + y = 0 denklem sistemini gerçekleyen (, y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) E) (, ) 5. + y = 0 y + 9 = 0 denklem sistemini sağlayan ve y değerlerinin toplamı kaçtır? ) ) ) ) E) 6. + y 6 =. 7 = y ve 6 8y + 8 = 0 olduğuna göre + y toplamı kaçtır? ) 0 ) 0 ) 5 ) 0 E) 0 4 = 0 y denklem sistemini sağlayan ve y değerleri için + y toplamı kaçtır? ) ) ) ) 0 E) 5

154 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. iri diğerinin yarısından fazla olan iki sayının toplamı 64 tür. 0. Hacim (m ) II una göre büyük sayı kaçtır? ) 4 ) 8 ) 40 ) 44 E) 46 5 I 6 0 Süre (dakika) Yukarıdaki grafikte başlangıçta birinde 6 m su bulunan, diğeri boş olan iki havuza akan su miktarının zamana göre 8. m + y 4 = 0 y + = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. una göre m değeri kaçtır? değişimi verilmiştir. Grafiğe göre kaçıncı dakikada iki havuzda biriken toplam su miktarı 94 m olur? ) 0 ) ) ) E) 4 ) 4 ) ) ) E) 4. d d 5 y 4 9. lınan yol (km) Süre (saat) 4 Grafikte aynı anda aynı yöne harekete başlayan ve araçlarının aldığı yollar gösterilmiştir. raçların hareketinden 9 saat sonra aradaki mesafe kaç km olur? ) 580 ) 60 ) 650 ) 690 E) 70 Yukarıdaki birim kareli kağıt üzerine yerleştirilen d ve d doğrularının denklemlerinin oluşturduğu denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi olur? ) (, ) ) (, ) ) (, 0) ) (, ) E) (, ) E

155 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - irinci ereceden enklem Sistemleri. y = 5y 6 = denklem sistemini gerçekleyen ve y değerlerinin çarpımı kaçtır? ) 5 ) 5 ) 0 ) 5 E) y = y = denklem sisteminde y farkı kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5. y = 4 + 5y = 6 denklem sistemini sağlayan ve y değerlerinin toplamı kaçtır? 5. ir toplantı salonunda ve 5 kişilik koltuklar bulunmaktadır. Salondaki toplam 4 koltukla en çok 07 kişi ağırlanabilmektedir. una göre salonda kişilik kaç koltuk bulunmaktadır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0 ) ) 5 ) 7 ) 9 E). irbirinin tümleri (ölçüleri toplamı 90 ) olan iki açıdan biri diğerinin katından 0 fazladır. una göre bu açılardan küçük ölçülü olanının ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 0 6. ky + = ky + y = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi dir. una göre k değeri kaçtır? ) ) ) ) E) 55

156 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. y + + y 5 = 0 denklem sistemini sağlayan y değeri kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 8 0. Elif in 60, Simla nın 70 si vardır. Elif çalışmamakta ve her gün ortalama harcamakta, Simla ise çalışmakta ve her gün ortalama 7 para biriktirmektedir. Elif ve Simla nın paraları kaç gün sonra eşitlenir? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 8. (a + ) + (b )y 6 = y = 0 denklem sisteminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması için a + b toplamı kaç olmalıdır? ) 0 ) ) 5 ) 6 E) 0. + (m + )y = 0 + my n + = 0 denklem sisteminin çözüm kümesinde sonsuz sayıda eleman vardır. una göre m + n toplamı kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 9. Hacim (m ) I II Süre (dakika) Grafikte içinde L ve 6 L su bulunan iki farklı kap verilmiştir. I numaralı kap doldurulurken II numaralı kap da boşaltılmaktadır. Grafiğe göre kaçıncı dakikada kaplarda bulunan su miktarları eşit olur? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0. I. taksi: çılış 5, her 00 m de 5 kuruş atmakta; II. taksi: çılış, her 00 m de 5 kuruş atmaktadır. ynı yerden aynı yolu takip ederek aynı hedefe ulaşan kişi bu iki taksiyi kullanmış ve aynı ücreti ödemiştir. Taksilerin aldığı yol kaç km dir? ) ) ) ) 4 E) E E E. E.

157 .. ölüm: Sayı irinci Kümeleri ereceden enklemler ve Eşitsizlikler TEST - 4 irinci ereceden Eşitsizliklerin Grafik Gösterimi. eşitsizliğinin çözümünü veren taralı bölge aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? ) y ) y. y O O O ) y ) y Yukarıda verilen taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisi olabilir? O O ) y < 0 ) y < 0 ) y > 0 ) y + 0 E) y + 0 E) y O. y + > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini veren taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir? 4. 0 y eşitsizlik sistemini veren taralı bölgenin alanı kaç birimkare olur? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 0 ) O y ) y O 5. y ) y ) y O O O Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? E) y O ) ) y 0 ) y 0 ) y 0 E) + y 0 57

158 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 6. + y eşitsizliği aşağıda verilen grafiklerden hangisini ifade eder? 8. y y = ) y ) y O O O ) y O ) y O Yukarıda verilen taralı bölgede, aşağıda koordinatları verilen noktalardan hangisi kesinlikle bulunmaz? ) ( 6, 7) ) (, ) ) (5, 4) ) (7, 5) E) (00, 99) E) y O 9. Koordinat düzleminde, ( + y ) ( + ) > 0 eşitsizliğini gerçekleyen bir nokta K( 5, m) dir. una göre m nin alabileceği tam sayı değeri en çok kaçtır? 7. y ) ) ) ) 4 E) 5 0. y O 4 Yukarıda verilen dik koordinat sistemindeki taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 4y 0 ) 4y 0 y 4 > 0 y 4 > 0 ) + 4y 0 ) 4y < 0 y 4 < 0 y 4 0 E) + 4y > 0 y 4 0 O Yukarıda verilen taralı bölgeyi aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinden hangisi ifade eder? ) + y < 0 ) y < ) y + < 0 ) y + > 0 E) + y > 0 y 0 y 0 y

159 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler 4. ÖLÜM Üslü İfadeler ve enklemler.4.. Üslü İfade İçeren enklemler Gerçek Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri a R, n Z + olmak üzere, n aaa..... a = a biçiminde tanımlanan a n ifadesine bir gerçek n tane sayının pozitif tam sayı kuvveti veya kısaca üslü ifade denir. a n üslü ifadesinde n ye üs ve a ya taban denir. Sıfır hariç bir gerçek sayının sıfırıncı kuvveti dir. Yani a R {0} için a 0 = dir. in tüm kuvvetleri dir. Yani Her n R için n = dir. Üsleri Eşit Üslü enklemler, y R {, 0, } ve n Z {0} olmak üzere, n = y n denkleminde, i. n tek ise = y ii. n çift ise = y veya = y dir. azı Özel enklem Türleri y = denklemi için aşağıdaki üç durum incelenmelidir. I. 0 için y = 0 II. = Sıfırın tüm pozitif gerçek sayı kuvvetleri 0 dır. Yani Her n R + için 0 n = 0 dir. 0 0 tanımsızdır. Negatif bir sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Yani R +, k Z olmak üzere, ( ) k = k ve ( ) k = k dir. Üslü İfadelerin Özellikleri a, b R {0} ve m, n Z + olmak üzere,. a 0 =, a = a. a n a m = a n+m. a =, a n a n b n =, a n b l = c m a b a n a 4. = a m n m a 5. a n b n = (a b) n n a a n 6. = b l n b b III. = ve y çift sayı m ve n birer tam sayı ve y iken m = y n denkleminin çözümünde m = n = 0 olmalıdır. a b ve a p b r = s t a = b Üslü Eşitsizlikler 4 ise p r = dir. s t a n < a m şeklinde verilen bir eşitsizliğin, i. Tabanı bileşik kesir iken n < m olur. ii. Tabanı basit kesir iken n > m olur. Tabanları farklı, üsleri büyük olan üslü sayılar sıralanırken genellikle üsler aynı sayıya bölünerek hesaplanması daha kolay üslü sayılar haline getirilir..4.. Kökü İfade İçeren enklemler Köklü Sayılar n Z + ve n olmak üzere herhangi bir a gerçek sayısı için 7. a n + y a n z a n = ( + y z) a n 8. (a n ) m = (a m ) n = a n.m Üslü enklemler a, b, c R olmak üzere a b = c biçiminde bilinmeyenin üs olarak yer aldığı denklemlere üslü denklemler denir. n = a denklemini sağlayan gerçek sayılarına a sayısının n. dereceden gerçek sayı kökleri denir ve = a şeklinde gösterilir. n n Z + ve n olmak üzere, n = a eşitliğinde. a > 0 olmak üzere, Tabanları Eşit Üslü enklemler n i. n çift sayı iken = a n veya = a a R {, 0, },, y Z olmak üzere a = a y ise = y dir. n ii. n tek sayı iken = a olur. 59

160 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler. a < 0 olmak üzere, i. n çift sayı iken a nın gerçek sayı kökü yoktur. n ii. n tek sayı iken = a olur. a R + ve, y R olmak üzere, a + y a = ( + y) a a y a = ( y) a a R +,, y R, n Z + ve n için, n Z + olmak üzere, n + i. a n ii. a ifadesinin tanımlı olması için a R olmalıdır. ifadesinin tanımlı olması için a 0 olmalıdır. n. a = 0 için = a n Gösterim a = 0 olur. ifadesinde n ye kökün derecesi, sembolüne kök sembolü denir. n = olması durumunda a = a şeklinde yazılır. n Z + ve n olmak üzere a R için, n n a, ntek ise a = ) olur. a, n çift ise n a üslü ifadesine n = ise karekök a n = ise küpkök a n = 4 ise 4. dereceden kök a n = 5 ise 5. dereceden kök a denir. a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere, a = a dır. Genel olarak n Z + ve n için, n. dereceden köklü ifadeler an n = a şeklinde gösterilir. a R + m n m, m, n Z ve n için a n = a dir. Köklü İfadelerin Özellikleri a, b R +, n Z + ve n olmak üzere, n a. n n b = a b ve n n a b a = n (b 0) dir. b a R +, m Z ; n, k Z + ve n için, n m n.k m.k a = a n n m k m a = a k n n n a + y a = ( + y) a n n n a y a = ( y) a a, b, c R +, m, n, p Z +, m, n ve p olmak üzere, m n p m.n.p a = a dir. m n p m.n.p n.p a b c a. p = b. c dir. Köklü İfadenin Eşleniği Çarpımı rasyonel sayı olan iki köklü ifadeye birbirinin eşleniği denir. a nın eşleniği a ^ a + bh nin eşleniği ( a b) ^ a bh nin eşleniği ( a + b) ^. a + bh ^ a bh= ( a) ( b) = a b n a m nin eşleniği n a n m dir. Köklü İfade İçeren enklemler ilinmeyenin kök içinde olduğu denklemlere köklü ifade içeren denklemler denir. Köklü ifade içeren denklemlerin çözümünden elde edilen kökler, başlangıçta verilen denklemde yerine yazılıp denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir. enklemi sağlamayan değerler çözüm kümesine dahil edilmez. m, n R + ve m > n olsun. ( m+ n) + mn. = m + n ( m+ n) mn. = m n dir. n n n a b = a b özel olarak n = için a b = a b dir. Köklerin dereceleri aynı iken çarpım ve bölümler aynı kökün içine yazılabilir. Yukarıda verilen formüllerde içerideki kökün kat sayısı daima olmalıdır. değilse aşağıdaki gibi v ile çarpıp bölünerek olması sağlanır. p+ r = p+ r gibi... 60

161 4. ölüm: Üslü İfadeler ve enklemler. ÖLÜM. 4 c m işleminin sonucu kaçtır? Uygulama Soruları Fizik ilimine Giriş sayısı kaç basamaklıdır? 8. + = 8 olduğuna göre 9 in değeri kaçtır?. + ( 9) ( ) 0 ( ) işleminin sonucu kaçtır?. 7 5 in ü kaçtır? 9. ir radyoaktif elementin ağırlığı her saatin sonunda yarıya düşmektedir. u elementin ağırlığı 0 kg iken 6 saat sonra ağırlık kaç kg olur? işleminin sonucu kaçtır? = (0, ) denklemini sağlayan değeri kaçtır? = 5 denklemini sağlayan değeri kaçtır? işleminin sonucu kaçtır?., y R olmak üzere = 9 y = 6 6. ( ).( ) 4 5 işleminin sonucu kaçtır? denklemlerini sağlayan ve y değerleri için ( y) y ifadesinin değerini bulunuz. 6

162 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler. (a + 7) 4 = (a + 5) 4 denklemini sağlayan a değerlerini bulunuz. 0. = 8 olduğuna göre 5 ifadesinin eşitini bulunuz. 4. ( 4) 4 = denklemini sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır? 5. = 40, y = 80 ve 5 z = 50 olduğuna göre, y, z nin küçükten büyüğe sıralamasını yapınız. 60. a = 5 0 b = 7 5 c = olduğuna göre a, b, c nin küçükten büyüğe doğru sıralamasını bulunuz. 6. şağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. 4. = + eşitliğinde bir reel sayı olduğuna göre ifadesinin değerini bulunuz. b c. d ifadesinin değerini bulunuz ( ) 6 ( ) işleminin sonucu kaçtır? = denklemini sağlayan değerini bulunuz ifadesinin değerini bulunuz. 9. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin değerini bulunuz. 6

163 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler ÇÖZÜMLER. 4 c m = 4 () = 6 4 = = 8, = 8, = 6 olduğundan 9 = ( ) = ( ) = 6 = 6 bulunur.. + ( 9) ( ) 0 ( ) = 8 + ( 9) ( 4) = = 9. = 0... diyelim. 6 defa. 7 5 ( 5 ) = = 5 = 5 = = + = [ + ] = 8 9 = = 5 6 = 5 6 = = ( + ) = = , = = = 5 olduğundan 5 + = (5 ) 0 5 (kuvvetin kuvveti çarpılır.) 5 + = 5 +, + = +, = 0, = = 5, = (5 7) 7 (7 ) = 5 7, 5 = 5, = 6. = = 5 tek ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) = = 7 4 = = = ( ) y = 6 y = 4 ( ) y = 4 y = 4 y = 4 y = olduğundan (y) y = = 4 bulunur = ( ) 5 9 = = ( 5) 9 = ( basamak sonuna 9 sıfır) O halde verilen sayı + 9 = basamaklı olur.. Kuvvet çift sayı olduğu için a + 7 = (a + 5) veya a + 7 = a + 5 a = a + 7 = a 5 a = a = 4 6

164 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 4. Üç durum inceleyeceğiz. I. 4 = = 5 = 5 II. 4 = 0 için 4 0 olmalı = 4 = veya = 4 = 0 olduğundan = alınmaz. III. 4 = için 4 çift olmalı. = =, c m 4 tam sayı bile değil. O halde + 5 = bulunur. 5. = 40 < 40 < 64 5 < < 6 5 < < 6... () y = 80 7 < 80 < 8 < y < 4 < y < 4... () 5 z = 50 5 < 50 < 5 5 < 5 z < 5 < z <... () (), () ve () ten < z < < y < 4 < 5 < < 6 olduğundan doğru sıralama z < y < şekilde bulunur = a = 5 0 b = c = a k 0 = ( ) = a 0 k 4 = ( ) 4 5 = 6 5 = 6 60 = = < 49 < 8. 0 ve 0 olduğundan a < b < c bulunur. = olmalıdır. olayısıyla a. = = 6 = 6 b. 4 c. d = = = = 5 5 = = 4 = = = = 6 = = = = + = 6 olur.. 5 = 5 = 5 6 = 5 4 = = ( ) 6 ( ) = ( ) = + = 4 = =, ( ) 4 =, 4 = = 4 (Tabanlar eşit) =, 8 =, = = ( 0+ 99) = 00 = = denilirse 9. = = = (+ 9)(+ 4) (+ ) 6 6 = = = 08 = = 6 = 6 bulunur. 64

165 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST - Üslü İfadeler ve enklemler. ( ) 5 in eşiti kaçtır? ) 64 ) ) 8 ) 8 E) c m ( ) işleminin sonucu kaçtır? ) 7 ) 48 ) 6 ) 4 E) c m c m işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? ) ) 6 ) 0 ) 4 E) 8 ) 4 64 ) 7 ) 9 E) 4 ) 7. ( + ) = 7 denklemini sağlayan değeri kaçtır? ) ) ) ) 4 E) ( ). 5 c m. işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) 4 ) 8 E) 6 65

166 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 9 ) 7 ) 8 E) 4. Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 0. = tane = tane olduğuna göre ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 6 ) 9 ) E) çarpımı kaç basamaklı bir sayıya eşittir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8. 5 = 5 + denklemini sağlayan değeri kaçtır? 5 ) ) ) ) E) 9. = a ve 5 = b olduğuna göre 75 in a ve b cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ab ) ab ) a b. a = olduğuna göre 8 a kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 8 8 ) b a E) a b E 7. E

167 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST - Üslü İfadeler ve enklemler çarpımı 5 in kaçıncı kuvvetine eşittir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 4. ir insan saatte ortalama 04 kez göz kırpmaktadır. saatte kaç kez göz kırpar? ) 0 ) 4 ) 5 ) 6 E) 7. 4 = denklemini sağlayan değeri kaçtır? 5. ( ). a ( a) 5 a. a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) ) 4 E) 5 ) ) a ) a ) a E) a 6. a = ve b = olduğuna göre b a + b ifadesinin eşiti kaçtır? a b + a ) 4 ) ) ) E) 6. a = ( ) ve b = ( ) olduğuna göre a + b toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 6 ) 7 ) 5 6 ) 8 E)

168 7. m + m + m + m = 8 m eşitliğini sağlayan m değeri kaçtır? ) ) ) ) 5 E). Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 0. n+ + n+ + n+ = 9 olduğuna göre n kaçtır? ) 0 ) ) ) E) ( ) ( ) + 5 ( ) ( 4) işleminin sonucu kaçtır? ) ) 4 ) eşitsizliğini sağlayan en büyük değeri kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 ) 6 E) 9. ir öğrenci birinci gün 64 soru çözüyor. Her gün bir önceki günün c m katı çözüyor. Kaçıncı günde 4 soru çözmüştür? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7. ( + ) ve (y ) birer tam sayıdır. + y c m = c m 5 olduğuna göre + y toplamı kaçtır? ) ) 0 ) ) E) E E

169 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST - Üslü İfadeler ve enklemler. 0 9 işleminin sonucu kaçtır? ) 5 8 ) 7 8 ) 5 9 ) 7 9 E) c m c m 7 c m işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 4 9 E). 5 5 ( ) ( 8) 5 c m işleminin sonucu kaçtır? 5. n n n n+ + kesrinin değeri kaçtır? ) ) 5 ) 8 ) 4 E) ) 6 ) 4 ) 4 ) E) ( a ) ( a ) 4 ( a ) işleminin sonucu kaçtır? ) ) a ) a ) a E) a 6. 5 = a olduğuna göre 5 + ifadesinin a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 5a ) 5a ) 5a ) 5a E) 65a 69

170 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler = 4 4 eşitliğini gerçekleyen değeri kaçtır? ) ) 0 5 ) ) 5 E) 5 0. (m ) m 4 = denklemini sağlayan m değerlerinin toplamı kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 8. = 5 y+ eşitliğinde ve y değeri birer tam sayı olduğuna göre y kaçtır? ) 6 ) 4 ) ) 4 E) 6. 5 y = ve 5 = 9 olduğuna göre + y y oranı kaçtır? 5 ) 5 ) ) 5 ) 5 E) < 0 olduğuna göre 8 in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? ) 4 ) 5 ) 4 ) 5 E) 4. = 7 9 y = 6 olduğuna göre y kaçtır? ) 6 ) 0 ) ) 8 E) E E 6. E

171 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST - 4 Üslü İfadeler ve enklemler. 5 a = 8 ve 5 b = 40 olduğuna göre b nin a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? ) a ) a + ) a ( + ) 6 = 64 denklemini sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır? ) 4 ) ) 0 ) E) 4 ) a E) 5a 9. ( ) 9 = c m + denklemini gerçekleyen değeri kaçtır? 5. ( + 5) 000 = ( ) 000 olduğuna göre in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? ) 8 ) 6 ) ) 6 E) 8 ) ) ) ) 4 E) 5. a = (), b = 4 5 ve c = ( ) sayılarının küçükten büyüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? ) a < b < c ) a < c < b ) b < a < c ) c < a < b E) c < b < a 6. c m a > c 9 m b 4 eşitsizliğini sağlayan a ve b reel sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? ) a + b < 0 ) a < 0 ) a + b > 0 ) b < 0 E) a b > 0 7

172 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. 8 = 6 olduğuna göre kaçtır? ) ) 7 ) 7 ) 7 E) 7 0. = a olduğuna göre 9 a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 9a ) a ) 9a ) a E) a c m < c m 9 8 olduğuna göre in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) 0 ) ) ) E) = 0 + olduğuna göre kaçtır? ) ) ) 0 ) E) = 0 olduğuna göre kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5. m ve n tam sayılar için 5 m = mn 8 olduğuna göre m + n toplamı kaçtır? ) 0 ) ) ) 4 E) E E.. E

173 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST - 5 Üslü İfadeler ve enklemler. tane sayısının toplamı ve tane sayısının çarpımı olduğuna göre kaçtır? ) 7 ) ) 9 ) 5 E) 4. 5 = y olduğuna göre 5 y 8 y çarpımının sonucu kaçtır? ) 0 ) 00 ) 000 ) 0000 E) = + eşitliği verilmiş olsun. u eşitlikte in değeri birim arttırıldığında nın değişimi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) 7 kat artar. ) 7 kat azalır. ) 7 katına çıkar. ) 9 katına çıkar. E) 9 kat artar = olduğuna göre toplamının türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 9 ) 8 ) ) 7 E) 6. = + 5 a y = 5 a olduğuna göre in y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? y y y ) ) ) y - y + - y ) y - E) - y 6. a Z + olmak üzere, a = a şeklinde tanımlansın. u durumda, = 4 olduğuna göre 5 aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) ) 4 E) 5 7

174 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. a = 9 a y = 8 a z = olduğuna göre a +y z ifadesinin eşiti kaçtır? ) ) ) 8 ) 5 E) 0. = 60 y = 0 z = 5 45 olmak üzere,, y, z sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? ) y < < z ) y < z < ) z < < y ) z < y < E) < y < z 8. R olmak üzere, = 5 olduğuna göre 5 ifadesinin sonucu kaçtır? ) 65 ) 5 ) 5 ) 75 E) 5. 8 a = 4 b = 5 olduğuna göre 8 b a _ i ifadesinin değeri kaçtır? ) 5 ) 50 ) 75 ) 00 E) 5 9. R olmak üzere, a a a a I = a tane II. a 9 a = 5a III. a a + = eşitliklerinden hangileri doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) II ve III E) I, II ve III. ve y reel sayılar olmak üzere, + =, ( 0) y y + + eşitliği daima sağlanmaktadır. una göre y y + -- ifadesinin eşiti kaçtır? ) 8 ) ) 6 ) 4 E) E E 0...

175 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST - 6 Köklü İfadeler ve enklemler. 4 sayısının köklü sayı şeklindeki ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) ) 4 E) ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 5 ) 7 ) 8 E) 9. = v5 için ( + ) + 4 ifadesinin değeri kaçtır? ) v ) ) c0 ) v E) işleminin sonucu kaçtır? ) v5 ) v5 ) 0 ) v5 E) v işleminin sonucu kaçtır? ) 6v ) 5v ) 4v ) v E) v , ifadesinin değeri kaçtır? ) 0,04 ) 0,0 ) 0, ) 0,4 E) 75

176 ifadesinin eşiti kaçtır? ) 5 ) ) 5 ) 5 E) 5 0. işleminin sonucu kaçtır?. Ünite: enklem ve Eşitsizlikler ) ) v ) ) v E) + v toplamı bir gerçek sayı olduğuna göre in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 4 ) 6 ) E) ^ h = m eşitliğini gerçekleyen m değeri kaçtır? ) 8 ) 4 ) 6 ) 48 E) 60. = c m denklemini sağlayan değeri kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) E E

177 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST sayısının hangi kuvveti 5 tir? ) ) ) 4 8 ) E) 4 Köklü İfadeler ve enklemler = 5 eşitliğini sağlayan değeri kaçtır? ) ) ) ) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? ) 7v5 ) 8v5 ) 9v5 ) 0v5 E) v işleminin sonucu kaçtır? ) 7 ) 8 0 ) ) E) işleminin sonucu kaçtır? ) v ) 5v ) 7v ) 9v E) v işleminin sonucu kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 77

178 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) Ünite: enklem ve Eşitsizlikler işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? ) ) + v5 ) 5 v5 ) 6 E) 5 + v5 8.. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 6 ) ) 7 6 ) 6 E) 7 ) : ^ 5 h = ^ 5 h eşitliğini sağlayan değeri kaçtır? ) ) ) ) E) 4 9. < < olmak üzere ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) + ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 4 4 ) E) 6 ) ) + E) E

179 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST - 8 ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 Köklü İfadeler ve enklemler 4.. = 4 eşitliğini sağlayan değeri kaçtır? 4 5 ) ) ) ) 9 6 E). ^ h işleminin sonucu kaçtır? oranı kaçtır? ) ) ) ) 4 E) 5 7 ) 8 4 ) 9 ) 8 7 ) 6 E) 6 6. = f 5 5 işleminin sonucu kaçtır? p ) ) ) v5 v ) E) v5 y = z = 5, y, z sayılarının küçükten büyüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? ) < y < z ) y < < z ) y < z < ) z < < y E) z < y < 79

180 7. 4 = a 4 ve y = (ab) n y = b olduğuna göre n değeri kaçtır? ) ) 9 ) 6 ) E) 6. Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 0. < < 5 için + 4 ( ) + 4 ( 5) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 4 ) + ) + 4 E) 8. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? ) v ) v + ) ) v E) v +. 9a + 6a 5a = 8 olduğuna göre a değeri kaçtır? ) ) 6 ) 8 ) E) = eşitsizliğini sağlayan değeri kaçtır? ) 6 ) ) 8 ) 6 E) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 5 ) 5 ) 0 ) 5 E) 6 0 ) E.

181 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler TEST - 9 Köklü İfadeler ve enklemler = 0y y 5 olduğuna göre. y çarpımı kaçtır? : 5 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 8 ) 4 ) ) 6 ) ) E) ) 5 E). + = sayısı veriliyor. una göre sayısının türünden eşiti hangisi olabilir? ) ) ) ) E) = c m denklemini gerçekleyen değeri kaçtır? ) 4 ) ) ) 6 E) işleminin sonucu kaçtır? 6. ^4. 4 h ^ 9h 4 ^ 7 h işleminin sonucu kaçtır? 8 ) 4 ) 4 ) ) 0 ) ) ) E) 4 ) E) 8

182 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler işleminin sonucu kaçtır? 4 ) 8 ) 8 ) 4 E) 6 ) ^ + h. ^ h çarpımının sonucu kaçtır? ) v ) 0 ) v ) v E) = 9 denkleminde kaçtır? 7 5. = m olduğuna göre sayısının m türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 7 ) 6 7 ) 9 7 ) 7 E) 4 7 ) m ) m ) m E) m ) m 9. a > b olmak üzere a b ab b a _ + i ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) b a ) a b ) a + ) b + E) a + b 05. = 06 olduğuna göre v ifadesinin değeri kaçtır? ) 05 ) ) ) 05 E) E

183 . 4. ölüm: Sayı Üslü Kümeleri İfadeler ve enklemler. TEST işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) ) ) 6 E) Köklü İfadeler ve enklemler 4. a = + b = + c = olduğuna göre a, b ve c nin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? ) c < b < a ) c < a < b ) b < c < a ) b < a < c E) a < b < c. ^ + h ^ - h işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) 0 ) 8 E) 6 5. = 4 olduğuna göre ifadesinin değeri kaçtır? ) ) ) 0 ) E) 4. = 4 y = 6 z = 5 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? ) z > y > ) z > > y ) y > > z ) y > z > E) > z > y 6., y Z + olmak üzere, I. y = y II. = III. 5 0 _ i = 4 IV. _ 4 4 i = V. 6 8 = 4 ifadelerinden kaç tanesi daima doğrudur? ) ) ) ) 4 E) 5 8

184 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. < 0 < y < z olmak üzere, ( y- z) ( z- ) + işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) z y ) y ) y z E) z y 0. a, sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere Kerem, a sayısını ( - ) ile çarptığında ve aynı sayıyı - ile topladığında sonucun daima birer tam sayı olduğunu gözlemliyor. una göre a toplamı kaçtır? ) - ) ) - ) E) - 8. = olduğuna göre in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? ) 6 ) 4 ) ) 0 E). + y y- 8 = 0 olduğuna göre y ifadesinin değeri kaçtır? ) 0 ) 0 ) 0 ) 40 E) = olarak ifade edilen gerçek sayısının değeri kaçtır? ) 0 ) ) 4 ) 6 E) = olduğuna göre ifadesinin türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 4 ) 4 ) 4 ) 4 - E) E E E

185 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar 5. ÖLÜM enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar.5.. Oran ve Orantı Kavramı Her ikisi aynı birimde olan iki büyüklüğün bölme yoluyla birbiri ile karşılaştırılmasına oran denir. Örneğin iki insanın ağırlıkları, iki öğrencinin matematik notları ya da siyasal iki partinin seçimlerde aldıkları oy oranlarının karşılaştırılmasıyla oran elde edilir. a ile b aynı birimli ve sıfırdan farklı iki büyüklük olmak üzere, a nın a b ye oranı, veya a : b (b 0) şeklinde gösterilir. b İki ya da daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. a c z m = ya da = = gibi... b d y t n a c Sabit bir k değeri için = = k eşitliğindeki k değerine orantı b d sabiti denir. dışlar a c =, a b = c d b d içler dışlar içler Orantılar farklı durumlarda verildiğinde büyüklükler aşağıdaki örneklerde olduğu gibi kullanılır. ^k! R- " 0, h = + = k, y y = k y = + = 5k, 5 y = k 8 = 7y + = 7k, y = 8k y z = = + = k, y = 5k, z = k 5 y z = = 5k, y = 7k, z = k gibi Orantıda oranların her biri sıfırdan farklı bir sayı ile genişletirilirse orantı sabiti değişmez. a c m a n c = = k için = = k b d m b n d urada aynı zamanda. özellik göz önünde bulundurulursa, m a" n c = k olur. m b" n d 5. Oranlar çarpılırsa orantı sabitinin orantıyı oluşturan oran sayısı kadar kuvveti alınır. a c a c = = k için = k b d b d a c e a c e = = = k için = k b d f b d f 6. Orantıyı oluşturan oranların herbirinin aynı mertebeden kuvveti alınırsa orantı sabitinin de aynı mertebeden kuvveti alınır. a b c = = k için d 7. a = b y = cz = k için oğru Orantı n n a c n = = k n n b d a b c = = = k olarak yazılabilir. y z ir orantıdaki, aynı birime sahip iki büyüklükten biri artarken (ya da azalırken) diğeri de aynı oranda artıyorsa (ya da azalıyorsa) bu orantıya doğru orantı denir. oğru orantılı yerine kısaca orantılı ifadesi de kullanılabilir. Orantının Özellikleri: a c. = = k orantısında, içler çarpımı ve dışlar çarpımı birbirine b d a y a = b k eşittir. a d = b c k. ıştaki terimler veya içteki terimler kendi aralarında yer değiştirebilir. u durumda orantı sabiti değişir. a c d c = ise = veya a c = ise a b = b d b a b d c d. Oranların paylarının toplamı, paydalarının toplamına veya paylarının farkı paydalarının farkına bölünürse orantı sabiti değişmez. a b c a+ c a- c = = k için = = k d b + d b - d k k 0 b a ve b doğru orantılı ise oranları sabit olur. u durumda a = k veya a = bk, (k > 0) şeklinde yazılabilir. b 85

186 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler Ters Orantı ir orantıdaki aynı birime sahip iki büyüklükten biri artarken (ya da azalırken) diğeri de aynı oranda azalıyorsa (ya da artıyorsa) bu orantıya ters orantı denir. Kesir problemlerinde çözümde işlem kolaylığı sağlamak ve zamanı daha etkin kullanmak için bilinmeyen, sorudaki kesirlerin paydalarının çarpımının tam katı şeklinde seçilebilir. k y Yaş Problemleri ir kişinin bugünkü yaşı olsun. k k a a = b k 0 b a ve b ters orantılı ise çarpımları sabit olur. u durumda a b = k veya a = b k, (k > 0) şeklinde yazılabilir. ileşik Orantı İçinde iki veya daha çok oran bulunduran bir orantıya bileşik orantı denir. a sayısı b ile doğru orantılı, c ile ters orantılı olduğunda c = k şeklinde yazılabilir. a b ltın Oran: y m yıl sonraki yaşı : + m n yıl önceki yaşı : n İki kişinin bugünkü yaşları toplamı y olsun. 5 yıl sonraki yaşları toplamı y+ $ 5 = y+ 0 yıl önceki yaşları toplamı y- $ = y- 6 m kişinin bugünkü yaşları toplamı T olsun. yıl sonraki yaşları toplamı T + m 6 yıl önceki yaşları toplamı T 6 m olur. İki kişinin bugünkü yaşları farkı F olsun. m yıl sonraki yaşları farkı da, n yıl önceki yaşları farkı da F olur. Yani yılların değişimi yaşlar farkını değiştirmez. M kişinin bugünkü yaşlarının ortalaması k olsun. yıl sonraki yaş ortalaması k + 5 yıl önceki yaş ortalamsı k 5 olur. Uzunluğu kadar olan bir doğru parçasını bir noktası yardımıyla uzunlukları sırasıyla ve y kadar olan ve gibi iki + y doğru parçasına ayıralım. = eşitliğini sağlayan oranının pozitif değerine altın oran denir. u oran, + 5 ile tanımla- y y nan bir irrasyonel olup yaklaşık değeri,68 dir..5.. enklem ve Eşitsizliklerle İlgili Problemler Sayı ve Kesir Problemleri ir problemi çözerken aşağıdaki düşünce sırası takip edilir. Problemde kullanılan veri ya da veriler tespit edilir. İstenen veriye uygun bir değişken atanır. Verilere göre probleme uygun matematik cümlesi ile denklem ya da eşitsizlik yazılır. Yazılan denklem ya da eşitsizlik çözülür. yılında doğan bir kişi yılında ( ) yaşında olur. Yüzde Problemleri Yüzde kavramı sembolü ile kullanılır. Paydası 00 olan bütün kesirler sembolü ile ifade edilebilir. a > 0 olmak üzere, herhangi bir sayının yüzde a sı a veya a şeklinde gösterilir. 00 ir sayısının i olsun. u durumda, 00 = şeklinde ifade edilir. urada, : Temel sayı : Yüzde payı : Yüzde oranı olarak isimlendirilir. 86

187 5. ölüm: enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar ir sayısının, 0 0 u 00 Zarar: ir mal, maliyet fiyatından daha düşük fiyata satıldığında satış ve maliyet fiyatları arasında oluşan farka zarar denir eksiği = fazlası + = sinin 40 ı şeklinde yazılır lik bir ürüne indirim yapıldığında ürünün yeni fiyatı = c m zam yapıldığında = c m olur KV (Katma eğer Vergisi) olarak bilinen vergi bir ürünün satış fiyatı üzerinden hesaplanır. yrıca vergi oranı yüzde ile alınır ve genellikle 8 oranıyla kullanılır. ir ürünün KV siz fiyatı 8 8 ise 8 KV li fiyatı: $ olur. (Veya + ) ÖTV (Özel Tüketim Vergisi) olarak bilinen vergi, bir ürünün KV li fiyatı üzerinden hesaplanır. Kâr - Zarar Problemleri Zarar = Maliyet fiyatı - Satış fiyatı Zarar Oranı: Elde edilen zararın maliyet fiyatına oranıdır. Zarar Oranı = Zarar Maliyet fiyat Zarar Yüzdesi: Zarar oranının 00 ile çarpılması ile bulunur. Zarar Zarar Yüzdesi = Maliyet fiyat 00 Karışım Problemleri i tuz olan g tuzlu su karşımında b $ l g tuz bulunur. 00 SafMadde Miktar Karışım oranı = ile hesaplanır. Toplam Kar fl mmiktar SafMadde Miktar Karışımın saf madde yüzdesi = 00 ile Toplam Kar fl mmiktar hesaplanır. u durumda, a a g tuz, b g su ile oluşan tuzlu suyun tuz oranı a + b şeklinde olup karışımın tuz yüzdesi de ^a+ bh de a ise 00 de?.o 00 $ a orantısıyla? = şeklinde bulunur. a+ b lış Fiyatı: lınan bir mal için ödenen paradır. Maliyet Fiyatı: lınan bir mal için satılıncaya kadar (varsa) yapılan masrafların, alış fiyatına eklenmesi ile oluşan fiyata denir. Maliyet fiyatı = lış fiyatı + Masraflar Satış Fiyatı (Etiket Fiyatı): ir malın satıldığı fiyata denir. a lık g tuzlu su b lik y g tuzlu su İskonto (İndirim): ir malın satış fiyatına yapılan indirim iskonto olarak adlandırılır. Kâr: ir malın maliyet fiyatına eklenen paradır. Kâr = Satış fiyatı - Maliyet fiyatı a$ + b$ y c = + y c lik ( + y) g tuzlu su oluşan yeni karışımın tuz yüzdesini verir. Kâr Oranı: Elde edilen kârın maliyet fiyatına oranıdır. Kâr Kâr oranı = Maliyet fiyat Kâr Yüzdesi: Kâr oranının 00 ile çarpılması ile bulunur. Kâr Kâr yüzdesi = 00 Maliyet fiyat Saf suyun tuz yüzdesi 0, tuzun tuz yüzdesi ise 00 dür. uharlaşan suyun tuz yüzdesi 0 dır. Miktarları eşit iki karışım karıştırıldığında yeni karışımdaki tuz oranı karışımlardaki tuz oranlarının aritmetik ortalaması olur. 87

188 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler Hız ve Hareket Problemleri airesel Hareket ir araç km uzunluğundaki bir yolu, saatte V km hızla giderek t saatte alsın. u durumda, V, t değişkenleri arasındaki ba- Zıt Yönde Hareket: V t ğıntı = V t şeklinde olacaktır. V (Karşılaşma noktası) urada hızın birimi km/sa olur. İşlemlerde birimlere dikkat edilmelidir. Süre dakika, hız saat türünden verilmişse ya süre saate çevrilmeli veya hız dakikaya çevrilmelidir. Hız, yol ve zaman arasında daima bir orantı mevcuttur. una göre Hız ile yol doğru orantılı Hız ile zaman ters orantılı V V t airesel bir pistte aynı noktadan aynı anda zıt yönde harekete başlayan iki araç kaşılaştıklarında toplam pistin çevre uzunluğu kadar yol alır. Yani t saatte V ve V hızlarla karşılaştıklarında Pistin çevre uzunluğu = (V + V ) t olur. Yol ile zaman doğru orantılıdır. oğrusal Hareket irbirine oğru Hareket: V km/sa V km/sa Şekildeki gibi ve noktalarından karşılıklı olarak aynı anda harekete başlayan iki araç t saat sonra noktasında karşılaşsınlar. u durumda; = V t ve = V t olduğundan = V V t ynı Yönde Hareket: V airesel bir pistte aynı noktadan V aynı anda aynı yöne harekete başlayan iki aracın tekrar yan yana gelmesi için hızlı aracın yavaş araçtan tam tur fazla atması gerekir. Yani t saatte V (hızlı) ve V (yavaş) hızlarla yan yana gelebilmek için Pistin çevre uzunluğu = (V V ) t olur. ynı Yönde Hareket: Tren ve Tünel İle İlgili Problemler treni Tünel treni V km/sa V km/sa Şekildeki gibi ve noktalarından aynı anda aynı yöne harekete başlayan iki araç t saat sonra noktasında yan yana gelsinler. u durumda; = V t ve = V t olduğundan = a V - V k $ t dir. ir trenin bir tüneli geçmesi demek, trenin ön kısmının tünele girip arka kısmının tünelden çıktığı ana kadar geçen süredeki hareketi demektir. Yani trenin boyu metre, tünelin boyu y metre iken trenin tüneli geçmesi için ( + y) metre yol alması gerekir. 88

189 5. ölüm: enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar treni treni treni treni İki trenin birbirini geçmesi demek, ön kısımlarının karşılaştığı andan arka kısımlarının birbirini geçtiği ana kadar geçen süredeki hareket demektir. Yani ve trenlerinin boyları sırasıyla a ve b metre olsun ve iki tren birbirlerini t dakikada geçsinler. u durumda iki tren t dakikada bileşik hız (aynı yönde iken hızları farkı, zıt yönde iken hızları toplamı olur) ile ^a+ bh metre yol alır. oyu olan bir tren bir noktayı veya direği V hızıyla t zamanda geçiyorsa = v t dir. İş - İşçi Problemleri ir işçi, bir işin tamamını a günde yapabiliyorsa günde 5 günde günde a sını 5 a sını a sını yapabilir. Özgün bir işin tamamını a günde, Sezgin aynı işin tamamını b günde yapabiliyorsa günde : Özgün işin a ini, Sezgin de b ini yapabilir. İkisi birlikte çalışarak günde c + m ini yapabilir. a b Öte yandan ikisi birlikte çalışarak işin tamamını günde yapabilirse günde ini yapabilirler. olayısıyla = + olur. a b Oğuz bir işin tamamını örneğin günde yapabilsin. Ortalama Hız ir aracın belli bir mesafedeki ortalama hızı, toplam mesafenin toplam zamana oranı ile hesaplanır. Yani Toplam Yol V ort = Toplam Zaman ir araç şehrinden şehrine V ortalama hızla gidip V ortalama hızıyla gelirse hareket boyunca ortalama hızı; Oğuz 4 günde 5 sini yapabilirse 4 Rutin Olmayan Problemler: = yazılabilir. 5 Matematikte problemler genellikle rutin ve rutin olmayan problemler olarak sınıflandırılmaktadır. Rutin problemler, önceki başlıklar altında incelediğimiz günlük yaşamda hepimizin sıklıkla karşılaşabileceği ve çoğunlukla dört işlem becerilerini içeren problemlerdir. V V V ort = V + V şeklinde hesaplanır. Rutin problemlerin aksine rutin olmayan problemler ise kolay bir şekilde çözülemeyen, problemin çözüm yöntemini bulmak için problemi basitleştirme Nehirde Hareket urgun sudaki hızı V olan bir hareketli, akıntı hızı V olan bir nehirde, i. kıntıyla aynı yönde V + V hızı ile hareket eder. ii. kıntıyla zıt yönde V V hızı ile hareket eder. tahmin ve kontrol etme model inceleme şekil çizme sistematik liste yapma geriye doğru çalışma şeklinde sıralanan sezgisel problem çözüm stratejilerinin uygulandığı ve yaratıcı düşüncenin işe koşulmasını gerektiren problemlerdir. 89

190 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler Uygulama Soruları. y + y = 7 olduğuna göre + y y oranı kaçtır? 5. y z m = = =, + z m = 8 ve t n n t = 6 olduğuna göre y kaçtır?. y y = ve z 6 = olduğuna göre 5 - y+ z oranı kaçtır? y - z 6. a + b ile a b doğru orantılıdır. a = iken b = 8 olduğuna göre a = 8 iken b kaçtır?. a b c = = ve a + b c = 0 olduğuna göre a kaçtır? 5 7. Eş güçteki 6 işçi, 80 çift ayakkabıyı 4 günde bitirebilmektedir. una göre 6 işçi 60 çift ayakkabıyı kaç günde bitirebilir? 4. y + z = + y z = m orantısına göre m değeri kaçtır? 8.,, sayıları sırasıyla ve 5 ile doğru, 4 ile ters orantılıdır. una göre,, sırasıyla hangi doğal sayılarla doğru orantılıdır? 90

191 5. ölüm: enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar 9. Hangi sayının 5 eksiğinin katı ile fazlasının yarısının toplamı 4 olur?. ir kuyrukta Ela baştan 6., Eda sondan. sıradadır. Ela ile Eda arasında kişi olduğuna göre kuyruktaki kişi sayısı en çok kaçtır? 0. Üç kişiden büyük olanının küçüğün katı, ortancanın da küçüğün katının 70 eksiği kadar parası vardır. Üçünün toplam parası 00 olduğuna göre ortancanın kaç parası vardır?. İçinde 40 L su bulunan bir havuzun altındaki musluk 70 L su boşalttığında kapatılıyor. rdından üstündeki musluk açılıp 40 L su dolduruluyor. u şekilde bir alttaki bir üstteki musluklar açılarak toplam en az kaç L su akıtıldığında havuz tamamen boşaltılmış olur?. Nehir bir miktar cevizini arkadaşlarına altışar verdiğinde kendine ceviz kalmıyor. Eğer arkadaşlarına dörder ceviz verirse kendisine 8 ceviz kalmaktadır. una göre Nehir in kaç cevizi vardır? 4. Ilgın parasının önce 7 sini, ardından kalanın ünü harcadığında geriye 60 si kalıyor. Ilgın ın başlangıçtaki parası kaç dir? 9

192 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 5. Işıl, Nergis in 5 katı yaştadır. 5 yıl önce Nergis, Işıl ın katı yaşındaydı KV siz fiyatı 50 olan bir ürünün KV li fiyatı kaç dir? una göre Işıl bugün kaç yaşındadır? 6. ir annenin yaşının, üç çocuğunun yaşları toplamına oranı 8 dir. 4 yıl önce bu oran idi. una göre annenin şimdiki yaşı kaçtır? ye satılan bir ürüne 0 indirim yapılırsa ürünün yeni fiyatı kaç olur? 7. Simlâ ile Tuğçe nin bugünkü yaşları toplamı dir. Simlâ, Tuğçe nin yaşına geldiğinde Tuğçe, Simlâ nın bugünkü yaşının katından fazla yaşta olacaktır. Simlâ nın bugünkü yaşı kaçtır?. ir ürüne önce 40 zam, ardından zamlı fiyat üzerinden 0 indirim yapılıyor. Son durumda ürüne ilk fiyatı üzerinden yüzde kaç indirim yapılmış olur? 8. 0 u 40 olan bir sayının 60 ı kaçtır?. ir ürünün etiket fiyatı tanıtım amacıyla 5 zarar üzerinden belirlenmiştir. u üründen 0 kâr elde edebilmek için ürünün satış fiyatına yüzde kaç zam yapmak gerekir? 9

193 5. ölüm: enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar. 5 i şeker olan 800 g lık bir karışıma 00 g şeker eklenirse yeni karışımın yüzde kaçı şeker olur? 7. ir tren 80 metre uzunluğundaki bir tüneli 90 km/sa hızla 5 saniyede geçebilmektedir. una göre trenin boyu kaç metredir? km/sa 70 km/sa 4. kabında 50 lik g, kabında da 0 luk g tuzlu su vardır. kabındaki tuzlu suyun yarısı alınıp ye, ardından da de biriken tuzlu suyun yarısı alınıp tekrar ya konulduğunda daki tuzlu suyun yüzde kaçı tuz olur? ve şehirlerinden karşılıklı olarak aynı anda harekete başlayan iki araç verilen hızlarla karşılaşıp birbirlerini geçmişlerdir. 5 saatin sonunda aralarındaki mesafe 00 km olduğuna göre kaç km dir? ir araç dan ye saatte ortalama 60 km hızla 6 saatte gidebilmektedir. racın saatteki ortalama hızı 0 km azaltılsaydı bu seyahat kaç saat sürerdi? = 5 olmak üzere dan ye 60 km/sa, den ye 48 km/sa hızla giden bir aracın bu hareketteki ortalama hızı kaç km/sa olur? 0. 8 m/dk m/dk 6. ir araç dan ye giderken saatte ortalama 60 km, dönerken de 00 km hızla hareket etmiştir. dan ye gidiş dönüş toplam 8 saat sürdüğüne göre ile arası mesafe kaç km dir? Şekildeki dairesel pistte zıt yönlere aynı anda verilen hızlarla hareket eden iki hareketli dk sonra karşılaşmıştır. una göre pistin çevre uzunluğu kaç metredir? 9

194 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler. (V = 0 m/dk) 5. Yiğit ve Onur bir işin tamamını sırasıyla ve 6 günde bitirebilmektedir. Yiğit işe başlayıp 4 gün çalıştıktan sonra Onur yardıma gelirse işin kalan kısmı kaç günde bitirilir? (V = 0 m/dk) noktasında bulunan hareketlinin hızı 0 m/dk, noktasında bulunan hareketlinin hızı 0 m/dk dir. airesel pistin çapı [] ve çevre uzunluğu 00 metre olduğuna göre a. hareketliler aynı yönde hareket ederse kaç dakika sonra üçüncü kez yan yana gelirler? b. hareketliler zıt yönde hareket ederse kaç dakika sonra dördüncü kez karşılaşırlar? 6. ankadan 6 ay taksitle 0000 ihtiyaç kredisi kullanan bir kişiden aşağıdaki ücretler talep edilmiştir. İhtiyaç kredi faizi 00 Kredi tahsis ücreti 00 Sigorta bedeli 40 KKF + MSV 500 dir. Verilen bilgilere göre bu kişinin aylık taksit ödemesi kaç dir?. ir hareketli t saatte km yol almaktadır. ynı hareketlinin hızı saatte y km artarsa aynı mesafeyi ne kadar sürede alır? 7. Ürünler ayi fiyatı ( ) Spotçu fiyatı ( ). ir işin tamamını Nurol ve Ozan sırasıyla 6 ve günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte aynı işin tamamını kaç günde bitirebilirler? 4. ir işin tamamını işçi birlikte çalışarak 6 günde bitirebilmektedir. ynı işin tamamını bu işçilerden ikisi birlikte çalışarak 8 günde bitirebildiğine göre, diğer işçi tek başına çalışarak bu işin tamamını kaç günde bitirebilir? Televizyon Çamaşır makinesi ulaşık makinesi ilgisayar uzdolabı Ütü Evindeki bazı eşyaları yenilemek isteyen Gül Hanım aynı marka ürünün bayi ve spot ürün satan satıcılardaki fiyatları yukarıdaki tabloda listelemiştir. Verilen listeye göre Gül Hanım ürünleri spotçudan aldığı zaman aile bütçesine kaç katkıda bulunmuş olur? 94

195 5. ölüm: enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar 8. Harun ve eşi İzmir den Kayseri ye üç gece dört günlüğüne seyahat etmeyi planlamaktadır. Seyahat alternatifleri aşağıdaki gibidir. I. durum İzmir den Kayseri ye özel araç ile gidilecektir. İzmir - Kayseri: 840 km. raç km de ortalama 5 Kuruş yakmaktadır. Gecelik konaklama bedeli kişi başı 40. II. durum 40. Fabrika çıkış fiyatı 000 olan bir ürün grubu nkara dan km uzaklıkta bulunan Yozgat a götürülecektir. Ürün grubunun alış fiyatı hesabı aşağıdaki gibidir. Taşıma ücreti = Km başına,5 Sigorta bedeli = KV oranı = 8 dir. Firma personel, kira vb giderler için alış fiyatına 0 eklemeyi planlamaktadır. una göre ürün grubu 0 karla satılırsa ürün grubunun satış fiyatının kaç olacağını bulunuz. Seyahat uçakla başlayıp Kayseri de araç kiralanacaktır. Uçak bileti kişi başı 00 raç kiralama (günlük) 80 Konaklama kişi başı 40 yrıca uçak bileti alınan firma konaklama ücretinin 0 unu karşılamaktadır. 9. Verilen bilgilere göre iki durum arasındaki maliyet farkı kaç dir? MRT YI ERT YI OLMSIN Siz buzdolabınızı alın, ÖTV sini biz ödeyelim. Üstelik peşin alımlarda ekstra 0 indirim. VRL beyaz eşya mağazası mart ayında yukarıda verilen kampanyayı düzenlemiştir. una göre ÖTV dahil 800 olan buzdolabını peşin almak isteyen tüketicinin kaç ödeme yapması gerektiğini bulunuz. (ÖTV oranı 6,7 dir.) 4. 5 kardeşli bir aile olan Nergis ailesinin babasından kalan tutarındaki evi ve tutarındaki arsayı miras yoluyla pay edeceklerdir. ncak Pelin Hanım ve Kazım ey durumları diğer kardeşlerine göre daha iyi olduğundan aşağıdaki tekliflerde bulunmuşlardır. Pelin Hanım : en ikisinden de pay istemiyorum. Kazım ey : en sadece arsadan payıma düşeni alsam kafi. una göre kardeşten her birinin Pelin Hanım ve Kazım ey in kararından sonra ne kadar fazla miras aldıklarını hesaplayınız. 95

196 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler ÇÖZÜMLER. y = 7( y) = ( + y) + y 7 4 7y = 6 + y + y 9k + 8k = = y 9k 8k 8 = 9y 9k 8k 6 k 5 0 k = bulunur y z m = = = olduğundan t n z = y t m = = n 4 + z m 8 8 = = = y+ t n y ( n t) y 6 y 6 = y = 8 y = 6 bulunur.. y 6 = ve = y z 5 = 4k, y = 6k, z = 5k diyelim. y+ z 4k 6k+ 5k k = = = y z 6k 5k 7 k 7 6. a + b ile a b doğru orantılı ise oranları sabittir. a+ b = k olsun. a = iken b = 8 ise a b = k k = 6 5 = 4 a = 8 iken b =?. a b c = = = k olsun. u durumda 5 a = k, b = 5k, c = k olacağından 8 + b 5 = 4(8 + b) = 5 (6 b) 8 b 4 + 4b = 80 5b 9b = b = 9 6 b = olur. a + b c = 0 k + 5k k = 0 9k + 5k 4k = 0 0k = 0 k = bulunur. olayısıyla a = k = = 9 olur = = k iken + y = + z = k dir. + y ( y) + ( + y) = m = m z ( + z ) + ( z ) = m m = 4 4 bulunur. yaplan ifl yaplan ifl d n= d n diğer büü y klükler diğer büyüklükler Idurum. II. durum 4 80 çift ayakkabı 60 çift ayakkabı = = bulunur. (6 işçi) (4 gün) (6 işçi) ( gün) 96

197 5. ölüm: enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar 8.,, ile 5 ile 4 ile doğru doğru ters orantılı = k, y = 5k, z = k 4 diyelim. u değerlerin hepsini 4 ile genişletirsek = k, y = 0k ve z = k olur. olayısıyla, y ve z sayılarının sırasıyla, 0 ve sayılarıyla orantılı olduğu görülür.. Nehir in tane arkadaşı olsun. ltışar ceviz verdiğinde kendisine ceviz kalmıyorsa ceviz sayısı = 6... () denebilir. örder ceviz verdiğinde kendisine 8 ceviz kalıyorsa eviz sayısı = () olur. () ve () den 6 = = 8 = 9 olduğundan toplam ceviz sayısı 6 = 6 9 = 54 bulunur. 9. Sayıya diyelim. 5 eksiğinin fazlasının katı yarısı ( 5) + + = 4 ( ) = = 48 7 = 77 = bulunur.. Kişi sayısının çok olabilmesi için Ela, Eda dan önde olmalıdır. aş Ela Eda Son kişi kişi kişi olayısıyla sıradaki kişi sayısı = olur. 0. Küçük Ortanca üyük 70 katının 70 eksiği katı Toplam para = = = 00 6 = 080 = 80 olduğundan ortancanın 70 = = 90 parası vardır.. Her defasında 70 L su boşaltılıp 40 L su doldurulduğunda havuzdan 0 L su boşaltılmış olur. Yani 0 L su aktığında 0 L su boşalır.? 60 L.O? = 0 un katı 0 60 = 0 L 0 su aktığında havuzdan 60 L su boşaltılmış olur. Sırada 70 L ye kadar boşaltma hakkı olduğundan 60 L daha su boşaltıldığında havuz tamamen boşaltılmış olur. Yani = 80 L su akıtıldığında havuz tamamen boşaltılmış olur. 97

198 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 4. Ilgın ın parası (paydaların katı olduğundan) olsun. = 6 harcarsa 6 = 5 kalır. 7 5 = 5 harcarsa 5 5 = 0 kalır. 0 = 60 = 6 olduğundan başlangıçtaki para = 6 = 6 bulunur. 8. Soruyu doğru orantı kullanarak çözebiliriz. 0 u 40 olan sayının kat kat 60 ı?? = 40 = 80 bulunur. 5. Işıl Nergis in katı yaşta ise 5 Nergis 5, Işıl yaştadır diyebiliriz. 5 yıl önce Nergis 5 5 Işıl 5 olacağından 5 5 = ( 5) 5 5 = 6 0 = 5 Işıl bugün = 5 = 5 olur. 9. KV bir vergi çeşidi olup ürünlerin KV siz fiyatına eklenerek KV li fiyat bulunur. O halde 8 KV için = 7 (KV) 00 olduğundan KV li fiyat = 77 bulunur. 6. Verilen orana göre anne üç çocuğun yaşları toplamı diyebiliriz. 4 yıl önce anne 4 üç çocuğun yaşları toplamı olur. O halde 4 8 = ( 4) = 8 ( ) 9 = = 7 = olur. O halde anne bugün = = 6 yaşındadır (ürünün fiyatı) 40 = (indirim) 00 olduğundan ürünün indirimli fiyatı 40 = 8 bulunur. 7. Simlâ Tuğçe ugün Simlâ, Tuğçe'nin yaşına geldiğinde + İki farklı yılda Simlâ ile Tuğçe nin yaşları farkı değişmez. = + ^ h = + + = = 5 = 8 O halde Simlâ nın bugünkü yaşı 8 olur.. Ürünün fiyatına 00 diyelim = 40 (zam) 00 olursa ürünün yeni fiyatı = 40 olur. rdından 0 indirim yapılırsa = 4 (indirim) 00 ürünün son fiyatı: 40 4 = 98 olur. olayısıyla 00 fiyatlı bir üründe indirim yapılmış olur. Yani indirim olur. 98

199 5. ölüm: enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar. Ürünün maliyeti 00 olsun. O halde etiket fiyatı 5 zarar üzerinden belirlendiği için etiket fiyatı 00 c m = 75 olur. Üründen 0 kâr elde edebilmek için ürün 00 + c O halde 75 etiket fiyatlı ürüne m = 0 liraya satılmalıdır = 45 zam yapılması gerekir. 75 de.o. 00 de? 45 (zam) ? = = olacağından ürüne 60 zam yapılmalıdır. 4. Miktarları eşit iki karışım karıştırıldığında yeni karışımdaki tuz oranı karışımlardaki tuz oranlarının aritmetik ortalaması olur. g (gelen) g (gelen) 50 g 40 g 0 g 50 g 40 g 45 g olayısıyla son durumda kabındaki karışımın tuz yüzdesi 45 bulunur.. a b? 5. Yol = Hız Süre bağıntısıyla = 60 6 = 60 km dir. racın saatteki hızı 0 km azaltılırsa (40 km/s olursa.) = 40 t 60 = 40 t t = 9 saat sürer. g y g ( + y) g Karışımda a + y b = ( + y)? eşitliği elde edilir g O halde Şeker 00 g 00 ü şekerdir =? =? 000? 000 g 000 =? 000? = bulunur. Yani yeni karışımın şeker yüzdesi olur. 6. raç dan ye t saatte gitsin. u durumda dönerken (8 t) saatte seyahati tamamlar. 60 km/sa 00 km/sa = 60 t = 00 (8 t) 60t = t 60t = 800 t = 5 saat olduğundan = 60t = 60 5 = 00 km bulunur. 99

200 7. Tren metre Yol : (80 + ) metre 80 metre Tünel Hız : 90 km = metre Süre : 5 saniye = 5 = Yol = Hız Zaman = saat = 75 = 95 metre bulunur.. Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 0. Pistin çevresi = (8 + ) = 50 = 600 m dir.. (V = 0 m/dk) km/sa 70 km/sa (V = 0 m/dk) N K 00 K = 5 60 = 00 km N = 5 70 = 50 km K = N NK = = 50 km = K + K = = 450 km a. İlk karşılaşma yarım turda (50 metrede) olur. raçlar aynı yönde hareket ettiğinden 50 = (V V ) t 50 = (0 0) t t = 5 dk olur. Yarım turda 5 dk sonra yan yana gelirlerse tam turda 0 dk süre geçer. İlk karşılaşmadan sonraki her karşılaşmada hızlı araç yavaş olandan tur fazla mesafe katetmelidir. İlk yarım tur +. ve. turlar ( tur) araçlar = 75 dk sonra yan yana gelirler Verilen orana göre = 5 km ve = km yazılabilir. Toplam yol Ortalama hız = Toplam z aman (t saatte gitsin) = Hız Zaman 5 = 60 t t = 5 = 60 (t saatte gitsin) = Hız Zaman = 48 t t = ortalama hız = = t + t 48 = = = ( ) = 56 km/sa bulunur. b. raçlar zıt yönde gittiklerinden ilk karşılaşma (50 metrede) 50 = (V + V ) t 50 = (0 + 0) t t = dk sonra gerçekleşir. İlk yarım tur +.,. ve 4. turlar ( tur) olacağından ve tam turda = 6 dk süre geçtiğinden 4. karşılaşma + 6 = dk sürede gerçekleşir. 00

201 5. ölüm: enklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar. t saatte km yol alan bir aracın hızı V km / sa olsun. Yol = Hız Zaman = V t... (*) raç hızını y km arttırsa hızı V + y olur. Yol = Hız Zaman = (V + y) Zaman eşitliğinde (*) dan V = yazılırsa t = b t + yl Zaman + ty = Zaman t t Zaman = elde edilir. + ty 5. Yiğit günde Onur 6 günde Yiğit 4 günde tek başına işin 4 = ünü tamamlar. aha sonra Onur işe katıldığında kalan işi ikisi birlikte günde yapsınlar. u durumda + = 6 ( ) kalan iş + = 6 4 = 6 = 6 günde bitirilir.. Nurol ve Ozan aynı işi beraber t günde bitirsinler. O halde = + t 6 ( ) + = t t = 4 gün bulunur. 6. Önce toplam ödenecek tutarı hesaplayalım Toplam f p = = 4040 tutar ylık taksit = 4040 = 90 dir. 6 4.,, işçileri bir işi 6 günde bitirsinler. u durumda + + =... () 6 u işçilerden ve aynı işi 8 günde bitirirse + =... () olur. 8 () ve () den + + = > 6 + = 8 6 = 6 ( ) = = bulunur. Yani diğer işçi aynı işi tek başına 9 günde bitirebilir. 7. ayi ürünü ve spot ürün satan satıcıların ürünler için istedikleri toplam fiyatı bulup aradaki farkı belirleyelim. ayi ürünlerinin d n = toplam tutar = 9000 Spot ürünlerinin d n = toplam tutar = 80 Fark = = 880 Öyleyse Gül Hanım bütçeye 880 katkıda bulunmuştur. 0

202 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 8. I. durum Yol masrafı = 840 0,5 = 0 Konaklama masrafı ( kişi) = 40 = 80 Toplam maliyet = Yol + Konaklama ( gece) = = = 450 II. durum Yol masrafı ( kişi) = 00 = 00 raç kiralama (4 gün) = 80 4 = 0 Konaklama 0 indirimli olacağına göre c m = 8 dir. 00 Konaklama masrafı ( kişi) = 8 = Önce alış fiyatını hesaplayalım. Taşıma ücreti =,5 = 8 Sigorta + KV = + 8 = dir. Sigorta + KV = 000 = 0 una göre 00 lış Fiyatı = = 68 Maliyet fiyatı ise alış fiyatının 0 fazlası olacağına göre Maliyet Fiyat = 68 c m = 500,8 00 Satış fiyatı ise 0 kârlı olacağına göre 00 + Kâr Satış fiyatı = Maliyet c m = 500,8 c m = 800,6 dir. Toplam maliyet = Yol + raç Kiralama + Konaklama ( gece) = = = 688 O halde iki durum arasındaki maliyet farkı = 8 dir. 4. Miras paylaşımlarında pay edilecek kişi sayısı ile kişi başına düşen miras ters orantılı olur. Normal şartlarda toplam miras = 0000 olduğundan kardeşlerin her 9. Peşin alımlarda 0 indirim uygulandığına göre 0 İndirim tutarı = 800 = uzdolabının ÖTV siz fiyatı olsun , c m= , = 800 = = 686, , 7 O halde ÖTV tutarı = ,97 =,0 una göre Toplam ödenecek tutar = ,0 = 506,97 dir. biri 0000 = 4000 alacaktır. 5 ncak iki kardeş ev mirasındaki hakkından feragat ettiğinden evi kişi pay edeceklerdir. = alır her biri. rsa mirasından da Pelin Hanım payından feragat ettiğinden arsayı 4 kişi pay edecektir. = alırlar. olayısıyla üç kardeşten her biri toplamda = hak sahibi olmuşlardır. u da her birinin = 000 daha fazla miras aldıkları anlamına gelir. 0

203 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - Oran - Orantı. 4 ün 8 e oranı kaçtır? 5. 7 sayının aritmetik ortalaması 6 dır. ) ) 4 ) 4 ) E) una göre bu sayıların toplamı kaçtır? ) ) 9 ) 4 ) 8 E) 4. nın ye oranı 5 tir. = 5 olduğunda kaç olur? ) 6 ) 0 ) 0 ) 5 E) y 5 = y olduğuna göre y ) 7 ) oranı kaçtır? ) ) E) 7. a b = olduğuna göre 4 ) 9 ) 6 4 a oranı kaçtır? b 9 4 ) ) 8 E) Ekin 8 saatte 440 soru çözebilmektedir. ynı çalışma hızıyla kaç saatte 00 soru çözebilir? ) 0 ) ) 4 ) 5 E) 8 4. ) 5 = ve 4 ) = olduğuna göre 5 ) 4 5 ) 5 oranı kaçtır? E) 5 8. a b c = = 5 4 orantısına göre a + b + c = 60 tır. una göre b kaçtır? ) 5 ) 0 ) 5 ) 0 E) 5 0

204 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. y 7 a+ b. a = 6b = 4c olduğuna göre b + c 9 8 ) ) ) 4 5 oranı kaçtır? ) 4 7 E) 4 O 8 a Yukarıda doğru orantılı iki çokluğun grafiği verilmiştir. u grafiğe göre a kaçtır? ) 0 ) ) 4 ) 6 E) 8.,6;,4 ve, sayılarıyla ters orantılı üç sayı sırasıyla hangi sayılarla doğru orantılı olur? ) 4 : : ) : : 4 ) 4 : : ) : 4 : E) 4 : : 0. okuz sayının aritmetik ortalaması 5 tir. u sayılardan dördü alındığında geriye kalan sayıların aritmetik ortalaması 9 olmaktadır. una göre alınan sayıların aritmetik ortalaması kaç olur? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 4. Eş güçteki 8 işçi bir işi saatte bitirebilmektedir. u işçilerden ikisi çalışmamış olsaydı aynı iş kaç saat geç biterdi? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. y n 9 4 O 6 8 m Şekilde ile y arasındaki ters orantının grafiği verilmiştir. una göre m + n değeri kaçtır? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) 6 5., ve 4 sayılarıyla ters orantılı üç sayının toplamı 9 dur. u sayıların en büyüğü kaçtır? ) 9 ) ) 8 ) 0 E) E 6. E

205 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - Oran - Orantı. = olduğuna göre y + y y oranı kaçtır? 5. a = ve a + b = 5 b 0 ) ) ) 4 ) 9 E) 5 olduğuna göre a kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0. a 5 = olduğuna göre a b ) 9 ) 0 a+ b a b 0 ) ) 9 oranı kaçtır? E) 9 6. a c e = = = 5 olduğuna göre b d f a $ d $ f ifadesinin değeri kaçtır? e$ b $ c ) 5 ) 5 ) 5 ) E) 5. a ile b doğru orantılı iki çokluktur. a = 8 iken b = 4 olduğuna göre a = iken b kaçtır? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 0 7. = = = olduğuna göre oranı kaçtır? ) 7 8 ) 9 4 ) ) E) 4. ile ters orantılı olup = iken = 8 dir. = 96 olduğuna göre kaçtır? ) 4 ) 6 ) 8 ) 9 E) 8. 7y = y olduğuna göre y oranı kaç olabilir? ) 9 ) 6 ) ) E) 6 05

206 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. +, y 4 ve z + sayıları sırasıyla 4, 6 ve 5 sayılarıyla orantılıdır. + z+ 4 una göre oranı kaçtır? + y + z 4 ) ) ) ) E) ir işi eş güçteki 8 işçi günde 9 saat çalışarak 5 günde bitirebilmektedir. ynı işin yarısını 5 işçi günde 6 saat çalışarak kaç günde bitirebilir? ) ) ) 4 ) 6 E) 8 a b 0. =, = ve a + c b = b 5 c 4 olduğuna göre b kaçtır? ) 8 ) 5 ) 0 ) 45 E) =, z t = ve z = y 5 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) ile y ters orantılıdır. ) ile t ters orantılıdır. ) y ile z doğru orantılıdır. ) ile z doğru orantılıdır. E) y ile t doğru orantılıdır.. a+ b a- b = = k a- c a+ c orantısında k değeri kaçtır? 4 5 ) ) ) 4 ) 5 6 E) adet şeker;, 4 ve 6 yaşlarındaki üç çocuğa, yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırılacaktır. En çok şeker alan çocuk kaç adet alır? ) 0 ) 40 ) 60 ) 80 E) 0 Şekildeki üç dişli çark birbirine bağlıdır. Çarkların yarıçap uzunlukları soldan sağa sırasıyla 5, ve 8 sayılarıyla orantılıdır. elli bir dönme sonucunda üç çark toplam 99 tam tur attığına göre bu turların kaçını aradaki çark atmıştır? ) 8 ) 5 ) 4 ) 40 E) E.. E E 5. E

207 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - Sayı ve Kesir Problemleri. katının 7 fazlası 6 olan sayı kaçtır? ) 40 ) 4 ) 4 ) 4 E) Emir in yaşı Füsun un yaşının katından fazladır. Füsun, Emir den 9 yaş küçük olduğuna göre Emir kaç yaşındadır? ) ) 5 ) 7 ) 9 E). Üçte ikisinin fazlası dörtte üçüne eşit olan sayı kaçtır? ) 96 ) 00 ) ) 8 E) yanlış cevabın doğruyu götürdüğü bir sınavda 70 sorunun tamamını cevaplayan bir öğrenci toplam 50 net yapmıştır. una göre bu öğrenci kaç soruyu doğru cevaplamıştır? ) 50 ) 54 ) 58 ) 6 E) 66. Toplamları 70 olan iki sayıdan biri diğerinin katından 0 fazladır. una göre büyük sayı kaçtır? ) 48 ) 5 ) 55 ) 57 E) İlker ve Umut un paraları toplamı 4 dir. İlker, Umut a parasının sini verirse Umut un parası İlker in parasının 5 7 katı oluyor. Umut un ilk durumdaki parası kaç dir? ) 46 ) 47 ) 48 ) 49 E) 50 07

208 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. ir sayının katı, aynı sayının 0 fazlasının yarısından daha büyüktür. una göre bu tam sayı en az kaçtır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 0. h metre yükseklikten bırakılan bir top yere vurduktan sonra bir önceki düştüğü yüksekliğin i kadar yükseliyor. 5 Top. kez yere çarptıktan sonra 54 m yükseldiğine göre h kaçtır? ) 00 ) 5 ) 50 ) 75 E) ir kesrin payı paydasından eksiktir. Payının katı paydasının katının eksiğine eşit olan bu kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır? ) 6 ) 8 ) 0 ) E) 4. 0 soruluk bir sınavda her doğru soruya puan verilmekte, her yanlış soru için puan silinmektedir. Sınav sonunda tüm soruları yanıtlayıp 4 puan toplayan bir öğrenci kaç soruya yanlış cevap vermiştir? ) ) ) 0 ) 9 E) 8 9. Tuna nın 55, Gökhan ın 95 bilyesi vardır. Tuna her gün bilyelerinden beşini Gökhan a veriyor. Kaç gün sonra bilyeleri eşit olur? ) 7 ) 6 ) 8 ) E) 8. ir otelin odalarından bazıları yataklı, bazıları 4 yataklıdır. Otelde 4 oda ve 8 yatak olduğuna göre 4 yataklı oda sayısı kaçtır? ) 0 ) ) ) E) E

209 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 4 Sayı ve Kesir Problemleri. 4 katının 7 eksiği, katının fazlasına eşit olan sayı kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 4. ir ipin bir ucundan cm kesilirse ipin orta noktası kaç cm kayar? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 9. slı parasının ü ile 5 ini harcadığında geriye parasının kaçta kaçı kalır? 5. Toplamları 4 olan iki sayıdan büyüğünün yarısı ile küçüğünün eksiği toplandığında 5 elde ediliyor. una göre küçük sayı kaçtır? ) 5 ) 4 5 ) ) 5 E) ) 8 ) 9 ) 0 ) E). katının fazlası ile kendisinin toplamı 75 olan sayı kaçtır? problemine uygun olan matematik cümlesi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = 75 ) ++ = 75 ) + = 75 ) + = ir mehter takımı adım ileri, adım geri şeklinde düzenli olarak ilerlemektedir. una göre bu mehter takımı 0 adım attığında kaç adım ilerlemiş olur? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 E) + 4 = 75 09

210 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. eğeri 5 olan bir kesrin paydası payından 8 fazladır. una göre bu kesrin payı kaçtır? ) 0 ) ) 5 ) 8 E) 0 0. kg elma, kg şeftali ve kg armut alan bir kişi manava 6 ödemiştir. kg şeftali ve kg elma alsaydı manava ödeyecekti. una göre kg elma, kg şeftali ve kg armut toplam kaç dir? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 8. ir işyerinde çalışan bir işçi günlük 4 saat fazla çalıştığında kazandığı para, saat az çalıştığında kazandığı paranın katı kadar oluyor. İşçi ücretini çalışma saatiyle orantılı aldığına göre işçinin normal günlük çalışma süresi kaç saattir?. ir mobilya ustası aldığı sandalye siparişlerinin. gün ini, 5. gün ünü ve. gün de kalan siparişin ünü yapmış ve 4 geriye yapması gereken 6 sandalye kalmıştır. una göre ustanın aldığı sandalye siparişi kaç adettir? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 4 ) 0 ) 50 ) 80 ) 40 E) ir okulda burssuz okuyan öğrenci sayısı burslu okuyan öğrenci sayının 5 katıdır. u okuldaki burssuz öğrencilerden si daha burs almaya hak kazandığında okuldaki burssuz öğrenci sayısı bursluların katı oluyor. una göre okulda toplam kaç öğrenci vardır? ) 88 ) 00 ) ) 4 E) 6. Ördek ve tavşanların bulunduğu bir çiftlikte ördek ve tavşanların toplam sayısı 5, ayaklarının sayısı 00 dür. una göre ördekler tavşanların kaç katıdır? ) ) ) ) E) E E

211 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 5 Sayı ve Kesir Problemleri. Üç doğal sayı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir. İkinci sayı birinci sayının katından eksiktir. Üçüncü sayı ikinci sayıdan 7 fazladır. Toplamları 48 dir. u bilgilere göre en büyük sayı kaçtır? ) 8 ) 0 ) ) E) 4 4. ir grup işçi eşit ödeme yaparak bir servis kiralıyor. İşçilerden si ayrılınca kişi başına düşen ödeme miktarı, kişi gelince kişi başına düşen ödeme miktarının katı oluyor. una göre başlangıçta bu araçta kaç işçi vardır? ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 E). ir öğrenci soru çözmeye başladığı günden itibaren her gün bir önceki gün çözdüğü soru sayısından 0 fazla soru çözmektedir. 9 günde toplam 845 soru çözdüğüne göre ilk gün kaç soru çözmüştür? ) 5 ) 5 ) 45 ) 55 E) ir havuz tam dolu iken ( 40) L su almaktadır. u havuzun yarısından daha az su ile dolu olduğu bir anda havuzdaki su miktarı ( + 8) L olduğuna göre in tam sayı değeri en az kaçtır? ) 96 ) 97 ) 98 ) 99 E) 00 6.,, sınıflarındaki öğrenci mevcutları sırasıyla 60, 65 ve 5 dir. sınıfındaki öğrencilerin ü sınıfına, sınıfındaki öğrencilerin 5 i sınıfına ve sınıfındaki öğrencilerin de. ir sınıftaki öğrenciler sıralara üçerli oturduklarında sıra boş kalıyor, ikişerli oturduklarında ise 5 kişi ayakta kalıyor. una göre sınıfın mevcudu kaçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 ü sınıfına geçtiğinde sınıf mevcutlarının ilk duruma gelmesi için aşağıdakilerden hangisi yapılmalıdır? ) sınıfından 6 öğrenci sınıfına geçmeli. ) sınıfından öğrenci sınıfına gelmeli. ) ve sınıfından er öğrenci sınıfına geçmeli. ) sınıfından, sınıfından 8 öğrenci, sınıfına geçmeli. E) sınıfından, sınıfından 4 öğrenci, sınıfına geçmeli.

212 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. li, Sezgin e 5 verirse Sezgin in parası li nin parasının 5 katı oluyor. Eğer Sezgin li ye 5 verirse ikisinin parası eşit oluyor. una göre li nin başlangıçta kaç si vardır? ) 45 ) 50 ) 55 ) 60 E) ir şişenin 4 ü boş iken ağırlığı 80 g, 4 ü dolu iken ağırlığı 00 g oluyor. una göre boş şişe kaç gramdır? ) 80 ) 90 ) 00 ) 0 E) ir sınıftaki öğrencilerin 5 i erkektir. u sınıfa 4 kız öğrenci gelip sınıftan erkek öğrenci ayrılırsa sınıftaki kız ve erkek öğrenci sayıları birbirine eşit olacaktır. una göre sınıfa 4 erkek gelip kız ayrılsaydı sınıfın kaçta kaçı kız olurdu? ) 5 ) 4 ) 5 ) 6 5 E) 6. İçinde bir miktar un bulunan çuvalın içine 0 kg un eklenirse değeri 70 ye çıkıyor, içinden 5 kg un çıkarılırsa değeri 0 ye iniyor. una göre başlangıçta çuvalda kaç kg un vardır? ) ) 5 ) 8 ) 0 E) 5 9. hmet in erkek arkadaşlarının sayısı, Emine nin kız arkadaşlarının sayısından 4 fazladır. Emine nin erkek arkadaşlarının sayısı, kız arkadaşlarının sayısının katıdır.. ir banka kuyruğunda uğra baştan 0., sondan. dir. una göre kuyrukta kaç kişi vardır? ) 44 ) 50 ) 5 ) 5 E) 5 una göre Emine nin tüm arkadaşlarının sayısı kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8... E E.

213 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 6 Sayı ve Kesir Problemleri. Otobüsün yolcu kapasitesi minibüsün yolcu kapasitesinin 4 katıdır. Otobüsteki yolcu sayısı minibüsteki yolcu sayısının 9 katıdır. Otobüs ve minibüsün tam dolması için minibüste bulunan yolcuların 5 katı kadar yolcuya ihtiyaç vardır öğrencisi olan okulunun öğrenci sayısı her yıl 5 azalırken, 465 öğrencisi olan okulunun öğrenci sayısı her yıl 5 artmaktadır. Kaç yıl sonra bu okulların öğrenci sayıları eşit olur? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 u bilgilere göre ilk durumda minibüste kapasitesinin kaçta kaçı kadar yolcu bulunmaktadır? 4 ) ) ) ) E) ir terzi elindeki kumaşın önce 5 ini kesip bir pantolon, sonra 5. ir pazarcı her gün elindeki kirazların si kadar kiraz alıp 5 kalan kumaşın sı ile bir yelek diktikten sonra elinde 4 m kumaş kalmıştır. 6 una göre pantolon ve yelek toplam kaç m kumaştan dikilmiştir? ) 48 ) 5 ) 56 ) 60 E) 7 o gün kirazların 60 kilosunu satıyor. Üçüncü günün sonunda pazarcının elinde 40 kg kiraz kaldığına göre pazarcının elinde ilk gün satın aldığı kirazla birlikte kaç kg kiraz vardır? ) 60 ) 80 ) 90 ) 00 E) 0 6. ir kabın ü su ile dolu iken ağırlığı gram, 4 ü su ile dolu iken ağırlığı y gram geliyor.. slı nın parasının 4 katı erk in parasının 7 katına eşittir. slı parasının kaçta kaçını erk e verirse paraları eşit olur? ) 4 ) 4 ) 7 ) 9 E) 0 una göre boş kabın ağırlığı ve y cinsinden aşağıdakilerden hangisi olur? ) ) 8y y 8 5y ) ) y y E) 5

214 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7.,,, kişileri ağırlıklarını bulabilmek için aşağıdaki gibi tartılıp sonuçları not etmişlerdir. 9. elli bir yolu 80 adımda yürüyebilen bir kişi, her adımını 5 cm daha kısa atsaydı, aynı yolu 40 adımda yürüyecekti. ile ile ile 00 kg 80 kg 0 kg una göre yolun tamamı kaç metredir? ) 0 ) 40 ) 60 ) 80 E) 00, ile 90 kg una göre kaç kg dır? ) 0 ) 40 ) 50 ) 60 E) ynı okulda çalışan 9 öğretmenin okula ulaşımlarıyla ilgili şu bilgiler verilmiştir.,,, nin arabası var ve hergün sadece bir arabayla okula gidiliyor. 8. hmet beyin çocukları ve torunlarını gösteren soy ağacı aşağıdaki gibidir. Fehmi Zehra ansu Nur Sinem Faik uğra Serdar Fidan em Göksel Tuna hmet Ok uçları üstteki kişinin çocuklarını gösteriyor. Herkes anne veya babasından kalan araziyi kardeşleri ile eşit miras paylaşımı ile bölüşüyor. Yuvarlak içine alınan kişiler hmet beyden kalan toplam 8 dönüm araziyi miras olarak almaya hak kazanmıştır. una göre paylaşılan miras arazisi kaç dönümdür? ) 7 ) 80 ) 90 ) 00 E) 08. Toplam masraf eşit olarak paylaşılıyor. Sefer başına araba maliyeti 60 kabul ediliyor. ylık herkes eşit para vererek bir para havuzu oluşturuluyor. Mart ayında 4,, 6 ve 5 kez arabasını kullanmıştır. una göre kendi payını havuzdan aldığında, bu paranın ne kadarı kendisinin vermediği paradır? ) 0 ) 400 ) 640 ) 70 E) 800 son arka Şekildeki krokide bir sınıftaki sıralara sağ önden başlayıp arkaya doğru numaralar verilmiştir. Sütundaki sıralama bittiğinde yan sutünün ön sırasına geçilmektedir. Her sütunda eşit sayıda sıranın olduğu bu sınıfta ve öğrencilerinin bulundukları sıraların numaralarının farkı olduğuna göre sınıftaki sıra sayısı kaçtır? ) ) 8 ) 4 ) 0 E) E E

215 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 7 Yaş Problemleri. ülent 0 yaşında olup kızı Yurdanur doğalı yıl olmuştur. una göre Yurdanur 9 yaşına geldiğinde ülent kaç yaşında olur? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) Eda ile babasının yaşları oranı tür. abası, Eda dan 6 yaş büyüktür. una göre Eda kaç yaşındadır? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 0. Soner in yaşı, Onur un yaşının üçte biridir. yıl sonra ikisinin yaşları toplamı olacağına göre Soner in bugünkü yaşı kaçtır? ) 7 ) 8 ) ) 5 E) 8 5. Simlâ, Elif in 4 5 katı yaştadır. yıl önce bu oran 4 idi. una göre Elif in bugünkü yaşı kaçtır? ) 8 ) 0 ) ) 5 E) 0. Üç arkadaşın bugünkü yaşları toplamı 6 dır. una göre yıl sonra bu kişilerin yaşları toplamı kaç olur? ) 9 ) 0 ) ) E) 5 6. İki kardeşin yaşları oranı tür. 4 5 u oran olduğunda yaşları toplamı 44 olacağına göre küçük kardeş bugün yaşındadır? 6 ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 5 5

216 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. Uğur ile Semra nın yaşları toplamı 5 dir. Uğur un yaşı Semra nın yaşının sinin 6 katı olduğuna göre Uğur un 7 bugünkü yaşı kaçtır? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 0 0. Yaşları toplamı 95 olan bir ailenin 8 yıl sonra yaşları ortalaması 7 olacaktır. una göre bu ailede kaç birey vardır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9 8. ir babanın yaşı kızının yaşının katıdır. 0 yıl sonra babanın yaşı kızının yaşının katı olmaktadır. una göre baba şimdi kaç yaşındadır? ) 7 ) 0 ) ) 6 E) 9. Mustafa nın yaşının, Yalçın ın yaşına oranı, Yalçın ın yaşının Erdinç in yaşına oranı ve her birinin yaşları tam sayı olduğuna göre üçünün yaşları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ) 4 ) 4 ) 44 E) 5 9. eril, oğu yaşındadır. eril, oğu nun yaşına geldiğinde yaşları toplamı 96 olacaktır. una göre oğu şimdi kaç yaşındadır? ) ) 4 ) 6 ) 4 E) 48. Sinan, Ela nın katı yaştadır. Ela, Sinan ın yaşına geldiğinde Sinan ın yaşı Ela nın yaşının kaç katı olur? ) ) ) ) E) 6... E

217 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 8 Yaş Problemleri. Furkan ile babasının yaşları ile ilgili bilgiler şunlardır. Furkan 7 yaşındadır. abasının yaşı Furkan ın yaşının katından 4 eksiktir. una göre 7 yıl önceki yaşları oranı aşağıdakilerden hangisidir? 4. ir annenin yaşının üç çocuğun yaşları toplamına oranı dir. İki yıl sonra yaşları toplamı 6 olacaktır. una göre annenin bugünkü yaşı kaçtır? ) 8 ) ) 6 ) 40 E) 48 ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7. Sena ile Sıla nın yaşları toplamı 4 ve yaşları oranı tür. Kaç yıl sonra yaşları oranı olur? ) 6 ) ) 8 ) 4 E) 0 5. Sude 5 yıl geç, Merve yıl erken doğmuş olsaydı yaşları eşit olacaktı. Merve, Sude nin yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı olduğuna göre Merve bugün kaç yaşındadır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8. ir anne ile kızının yıl önceki yaşları oranı, 6 yıl sonraki 7 4 yaşları oranı ise olacaktır. 9 una göre kız şimdi kaç yaşındadır? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) 6 6. Esin yıl önce, Melis de yıl sonra doğmuş olsalardı yaşları eşit olacaktı. İkisinin 4 yıl sonraki yaşları toplamı 8 olacağına göre Esin in şimdiki yaşı kaçtır? ) ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 7

218 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. Hülya nın yaşı Kerem in yaşının iki katına, enk in yaşının üçte birine eşittir. Hülya, Kerem in yaşında iken enk in yaşı Hülya nın yaşının katından fazla idi. una göre üçünün bugünkü yaşları toplamı kaçtır? 0. Elif in yaşı 6 ve Turan ın yaşı olduğuna göre kaç yıl sonra Elif in yaşı Turan ın yaşının yarısından fazla olur? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 ) 8 ) 4 ) 0 ) 4 E) 6 8. Kaan, Yağız dan 6 yaş büyüktür. Yağız, Kaan ın yaşına geldiğinde Kaan yaşında olacaktır. una göre Yağız bugün kaç yaşındadır? ) 0 ) ) ) E) 4. Ekin ile erkin in bugünkü yaşları toplamı 5 tir. Ekin, erkin in yaşında iken erkin yaşında idi. una göre Ekin in bugünkü yaşı kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 9. Elçin, Funda dan 5 yaş, Öznur dan 8 yaş büyüktür. Öznur üçünün yaşlarını topluyor ve Elçin in yaşının katından 4 fazla olduğunu görüyor. Funda işlemi kontrol ettiğinde yaşlarının yanlışlıkla ikişer fazla yazıldığını farkediyor. Gerçekte, Funda kaç yaşındadır? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) 6. abası ile enk in yaşları toplamı 5 dir. 4 yıl sonra babasının yaşı enk in yaşının 5 katından 6 eksik olacağına göre enk in şimdiki yaşı kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) E

219 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 9 Yüzde Problemleri. 80 in 0 u kaçtır? ) 6 ) 8 ) 4 ) 0 E) 7 4. sayısının sayısına oranı dir. 0 una göre nin yüzde kaçı dır? ) 65 ) 70 ) 75 ) 80 E) 85. Hangi sayının 40 ı 48 dir? ) 00 ) 0 ) 40 ) 60 E) ir sayının 0 u kendisinden 7 eksiktir. una göre bu sayı kaçtır? ) 40 ) 60 ) 7 ) 80 E) 0. sayısının 0 si, sayısının 0 una eşittir. una göre oranı kaçtır? 4 ) ) ) ) 4 E) ir sınıfta 6 erkek, 9 kız öğrenci vardır. una göre sınıfın yüzde kaçı kızdır? ) 6 ) 40 ) 48 ) 56 E) 64 9

220 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. 7 si, 40 ından 6 fazla olan sayının 4 ü kaçtır? ) 0 ) 4 ) 7 ) 0 E) 0. ir sayı kaç arttırılırsa edilir? 7 katına eşit bir sayı elde 5 ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 E) ir dikdörtgenin uzun kenarı 0 arttırılıp kısa kenarı 40 azaltılırsa dikdörtgenin alanındaki azalma yüzde kaç olur? ) ) 5 ) 6 ) 8 E). ir okulda erkek öğrenciler kız öğrencilerin 70 i kadardır. Kızların ü, erkeklerin de i başarılıdır. 5 una göre bu okuldaki başarılı öğrenci sayısı en az kaç kişi olabilir? ) 67 ) 7 ) 7 ) 77 E) 8 9. m sayısının 0 fazlası n sayısının 0 eksiğine eşittir. una göre m sayısı n sayısının yüzde kaçıdır? ) 45 ) 50 ) 60 ) 75 E) 90. a sayısı b sayısının 4 katıdır. una göre b sayısı a sayısının yüzde kaçıdır? ) 45 ) 50 ) 60 ) 75 E) E

221 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 0 Yüzde (Kâr - Zarar) Problemleri. ir ürüne 0 zam yapıldığında ürünün yeni fiyatı 5 olmuştur. una göre ürüne kaç zam yapılmıştır? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) 6 4. ir ürünün 40 zararlı fiyatı 75 dir. una göre bu ürünün maliyet fiyatı kaç dir? ) 45 ) 60 ) 00 ) 5 E) ye alınan bir ürün 5 kâr ile satılacaktır. Ürünün yeni satış fiyatı kaç olur? 5. ir ürüne art arda 0 ve 40 indirim yapılıyor. Toplamda bu ürüne yapılan indirim yüzde kaç olur? ) ) 5 ) 7 ) 9 E) 4 ) 58 ) 6 ) 64 ) 68 E) 70. ir ürünün 0 zamlı fiyatı 48 dir. ynı ürüne zam yerine 0 indirim yapılsaydı kaç ye satılırdı? ) 0 ) ) 6 ) 40 E) ye alınıp zarar edilir? 0 ye satılan bir üründen yüzde kaç ) 0 ) 5 ) 0 ) 40 E) 45

222 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. ir ürüne 0 zam yapılıyor. aha sonra satış fiyatı üzerinden 0 indirim yapıldığında kâr zarar durumu hakkında ne söylenebilir? ) 6 kâr ) 4 kâr ) kâr ) zarar E) 4 zarar ından 0 kâr elde edilen bir ürünün tamamı satıldığında zarar edildiği gözlenmiştir. una göre ürünün kalan kısmı yüzde kaç zararla satılmıştır? ) 5 ) 40 ) 45 ) 50 E) ir ürünün maliyeti etiket fiyatının 60 eksiği kadardır. una göre bu ürünün etiket fiyatı yüzde kaç kârla belirlenmiştir? ) 60 ) 80 ) 00 ) 0 E) 50. ir kitap dağıtım firması bir kitabı etiket fiyatı üzerinden 60 indirimle alıp etiket fiyatı üzerinden 5 indirimle satıyor. una göre dağıtım firması bu kitaptan yüzde kaç kâr elde etmektedir? ) 47,5 ) 55 ) 6,5 ) 70 E) 77,5 9. ir ürün den alınıp ( 80) ye satılmıştır. u satıştan elde edilen kâr 40 olduğuna göre kaçtır? ) 40 ) 60 ) 80 ) 00 E) 0. Satış fiyatı 0 olan bir ayakkabıya önce 5 indirim uygulanıyor. Yeni fiyat üzerinden 0 lik bir indirim daha yapıldığında ayakkabıdan zarar ediliyor. una göre ayakkabının ilk satış fiyatındaki kâr yüzde kaç olarak belirlenmiştir? ) 50 ) 60 ) 65 ) 75 E) E 8. E E..

223 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - Yüzde (Kâr - Zarar) Problemleri. 0 kârla satılmakta olan bir ürüne 6 indirim yapıldığında kâr oranı 0 a düşmektedir. una göre ürünün maliyeti kaç dir? ) 70 ) 75 ) 80 ) 85 E) zararla satılmakta olan bir ürün, kârla satılmak isteniyor. u durumda, ürünün zararlı satış fiyatına yüzde kaç zam yapılmalıdır? ) 48 ) 5 ) 56 ) 60 E) 64. ir kırtasiyeci 7 kalemi 0 den alıp 5 kalemi ye satıyor. Kırtasiyeci bu satıştan kaç kâr eder? ) 5 ) 55 ) 57 ) 59 E) 6 5. rt arda iki kez yapılan 0 luk indirimin ardından bir ürün 96 ye satışa sunulmuştur. una göre indirimlerden önce bu ürünün satış fiyatı kaç idi? ) 00 ) 0 ) 60 ) 400 E) 480. L ÖE Yukarıda verilen kampanyada alınan üç üründen fiyatı en az ürünün parası ödenmeyecektir. una göre üç ürün alan bir kişi bu kampanya dolayısıyla en çok yüzde kaç kâr elde edebilir? ) ) 40 ) 48 ) 50 E) ir manav bir miktar elma almış ancak elmaların 0 u çürük çıktığından çöpe atılmıştır. Manav tüm elma satışından 7 kâr elde etmek istemektedir. una göre elmanın etiket fiyatını yüzde kaç kârla belirlemelidir? ) 0 ) 5 ) 0 ) 40 E) 45

224 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. ir tüccar elindeki ürünün 0 sini 0 kârla, kalanın 5 ini 0 zararla ve kalanı da 5 kârla satıyor. Tüm satıştan elde elde kâr yüzde kaç olur? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 E) 0. Enflasyon oranının 50 olduğu bir ülkede memur maaşlarına 6 ayda bir olmak üzere iki kere 0 zam yapılıyor. una göre aynı yılın sonunda memurun maaşının enflasyon karşısındaki kaybı yüzde kaç olur? ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 E) 8. ir gömlek 0 karla satılırken etiket fiyatına 0 zam yapılıyor. ncak fiyatın yüksek olduğu düşünülerek tekrar 5 indirim uygulanıyor. Son durumda gömleğin fiyatı 49,50 olduğuna göre bu gömleğin maliyeti kaç dir? ) 40 ) 4 ) 44 ) 48 E) 50. ir ürün 5 karla satılmaktayken satış fiyatı üzerinden 40 iskonto (indirim) yapılıyor. Son durumda ürünün satışından kaç zarar edilir? ) ) 5 ) 7 ) 9 E) 9. ir konfeksiyon mağazasının düzenlediği kampanyada şu bilgilere yer verilmiştir. Her ürün 0 un katı bir fiyattan satılacaktır. İki ürün alındığında ürünün birinin fiyatında son basamakta 0 silinecektir. Sıfır silinen ürün için fiyatı düşük olan ürün alınacaktır. una göre bu kampanyadan yararlanan bir kişinin kârı en çok yüzde kaç olabilir? ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 E) karla satılan bir ürüne 40 zam yapılırsa; elde edilen kârda 0 lik bir artış sağlanmaktadır. una göre bu ürünün maliyeti kaç dir? ) 00 ) 400 ) 600 ) 800 E) E E E

225 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - Yüzde (Karışım) Problemleri. 0 si tuz olan 00 g tuzlu su karışımının kaç gramı tuzdur? ) 0 ) 40 ) 60 ) 80 E) lik 400 g tuzlu su ile 40 lık 00 g tuzlu su karıştırılıyor. Elde edilen yeni karışımda kaç g tuz bulunur? ) 40 ) 60 ) 80 ) 00 E) 0 5. Tuz (g). 80 g saf suya 0 g şeker katılıyor. 60 Oluşan karışımın şeker yüzdesi kaç olur? ) 0 ) ) 5 ) 8 E) 0 40 Saf su (g) Şekildeki grafikte bir tuzlu su karışımında kullanılan miktarlar gösterilmiştir. Karışımın tuz yüzdesi kaçtır? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) lik 00 g tuzlu suyun tuz oranını 0 a çıkarmak için kaç g su buharlaştırılmalıdır? ) 80 ) 00 ) 0 ) 40 E) i limon suyu olan 00 g limonataya 00 g saf su ilave edilirse limonatanın yüzde kaçı limon suyu olur? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 5

226 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. 0 u tuz olan 00 g tuzlu suya 50 g tuz ekleniyor. Oluşan yeni karışımın tuz yüzdesi kaç olur? ) 6 ) 8 ) 40 ) 4 E) i şeker olan 50 kg karışıma kg şeker ile kg su ilave edilince oluşan yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç olur? ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 E) si tuz olan 400 g lık karışımın i alınıp yerine alınan 5 miktar kadar tuz ilave ediliyor. Elde edilen yeni karışımın tuz yüzdesi kaç olur? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) i şeker olan 0 g şekerli su ile ü şeker olan m gr şekerli 4 su karıştırılarak 50 si şeker olan yeni bir karışım elde ediliyor. una göre m kaçtır? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) 6. ve kaplarında iki farklı tuzlu su karışımı vardır. daki karışımın miktarı dekinin 40 ı kadardır. 9. Tuz oranı 5 olan bir miktar tuz su karışımından 0 g su buharlaştırılırsa karışımın tuz oranı 40 a çıkıyor. una göre karışımın ilk miktarı kaç gramdır? ) 40 ) 44 ) 48 ) 5 E) 56 daki karışımın 0 u tuzdur. deki karışımın 98 i sudur. u bilgilere göre bu karışımlar karıştırılırsa elde edilecek karışımın tuz yüzdesi kaç olur? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) E E 8. E

227 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - Hareket Problemleri. Saatte ortalama 60 km hızla 660 km lik bir yol kaç saatte alınabilir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 E) 4. ir araç ile şehirleri arasındaki yolu saatte 60 km hızla giderse, saatte 80 km ile gittiğinden saat daha geç olduğuna göre ve şehirleri arası mesafe kaç km dir? ) 480 ) 540 ) 600 ) 680 E) km. Saatte ortalama 70 km hızla giden bir otomobil 4 saatte kaç km yol alır? ) 40 ) 0 ) 80 ) 50 E) 40 0 km/sa 80 km/sa şehrinden şehrine şekilde verilen sabit hızlarla gidip dönen bir aracın yolculuğu toplam kaç saat sürer? ) 5 ) 8 ) 0 ) E) 5. ir araç saatte ortalama 70 km hızla 5 saat, sonra saatteki hızını ortalama 0 km arttırarak saat yol alıyor. una göre bu araç toplam kaç km yol almıştır? ) 560 ) 580 ) 600 ) 60 E) km ile şehirlerinden aynı anda zıt yönde hareket eden iki aracın hızları 50 km/sa ve V km/sa tir. u iki araç 60 km lik mesafede hareketlerinden saat sonra karşılaştıklarına göre V kaçtır? ) 70 ) 80 ) 90 ) 00 E) 0 7

228 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. ir araç bir yolun üçte birini saatte 50 km hızla 6 saatte almıştır. Kalan yolda hareketli hızını 5 km artırırsa kalan yolu kaç saatte tamamlar? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 5 0. ralarında 0 km mesafe bulunan iki noktadan iki araç aynı anda aynı yöne harekete başlıyorlar. rkadaki aracın hızı öndeki aracın hızından saatte 40 km fazla olduğuna göre araçlar kaç saat sonra yan yana gelirler? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 8. Hızları oranı olan iki araç aynı noktadan, aynı anda aynı 5 yöne harekete başlıyorlar. saat sonra hızlı araç yavaş araca 80 km fark attığına göre hızlı aracın saatteki ortalama hızı kaç km dir? ) 60 ) 80 ) 00 ) 0 E) 40. ir araç bir yolun yarısını V hız ile, ikinci yarısını V hız ile giderek yolu toplam 8 saatte tamamlamıştır. una göre yolun ikinci yarısı kaç saatte tamamlanmıştır? 5 ) ) ) ) E) 4.? 9. ralarında 80 km mesafe olan iki araç aynı anda aynı yöne hareket ederlerse 9 saatte, karşılıklı hareket ederlerse,5 saatte yan yana gelmektedirler. una göre yavaş olan aracın saatteki ortalama hızı kaç km dir? ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 E) km/sa 50 km/sa ve şehirlerinden aynı anda aynı yöne 80 ve 50 km/sa lik hızlarla harekete başlayan iki araç 6 saat sonra şehrinde yan yana gelmiştir. una göre kaç km dir? ) 0 ) 40 ) 50 ) 60 E) E.. 4. E E

229 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST km / sa 60 km / sa ve şehirlerinden karşılıklı olarak aynı anda 50 km/sa ve 60 km/sa hızlarla yola çıkan iki araç saat sonra karşılaşmıştır. una göre kaç km dir? ) 70 ) 00 ) 0 ) 0 E) 50 Hareket Problemleri 4. irinin hızı diğerinin hızından saatte 0 km fazla olan iki araç ve noktalarından karşılıklı olarak aynı anda harekete başlıyor ve orta noktadan 60 km uzakta bir noktada karşılaşıyorlar. una göre araçlar harekete başladıktan kaç saat sonra karşılaşmışlardır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. V V Eşkenar üçgen biçiminde verilen pistte noktasından V ve V hızlarla oklar yönünde harekete başlayan iki araç noktasında karşılaşıyorlar. V = olduğuna göre oranı kaçtır? V ) ) ) ) E) ralarında 80 km mesafe bulunan iki hareketli aynı anda aynı yöne harekete başlıyorlar. 6 saat sonra arkadaki araç öndekini yakalayıp 00 km geçtiğine göre arkadaki aracın hızı öndeki aracın hızından saatte kaç km fazladır? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) km lik bir mesafeyi 0 saatte giden bir aracın bu hareket boyunca ortalama hızı kaç km/sa olur? ) 5 ) 40 ) 45 ) 50 E) ir kayık akıntı yönünde saatte 80 km, akıntıya karşı satte 0 km gidebilmektedir. una göre akıntının saatteki hızı kaç km dir? ) 40 ) 5 ) 0 ) 5 E) 0 9

230 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. ir araç dan ye 80 km/sa hızla gidip hiç durmadan 00 km/sa hızla geri dönmüştür. Gidiş dönüş toplam 4,5 saat sürdüğüne göre ile arası mesafe kaç kilometredir? ) 60 ) 00 ) 40 ) 60 E) m/dk 0 m/dk Şekildeki dairesel pistin noktasından zıt yönde, verilen hızlarla harekete başlayan iki hareketli dk sonra karşılaşıyorlar. una göre pistin çevre uzunluğu kaç m dir? ) 0 ) 60 ) 400 ) 40 E) ir yüzücü akıntıya karşı dakikada 0 metre, akıntı yönünde dakikada 50 metre yüzebilmektedir. una göre yüzücünün hızı, akıntının hızının kaç katıdır?. şehrinden 0 km/sa hızla yola çıkan bir otomobil, şehrinden aynı anda 45 km/sa hızla yola çıkan traktörle karşılaştıktan yarım saat sonra şehrine varıyor. una göre ve şehirleri arası mesafe kaç km dir? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 ) 0 ) 40 ) 50 ) 60 E) ir araç belli bir mesafeyi saatte 80 km hızla gidip 0 km hızla geri dönüyor. una göre aracın bu hareketteki ortalama hızı saatte kaç km dir? ) 96 ) 00 ) 04 ) 08 E). ynı noktadan aynı anda aynı yöne harekete başlayan hareketlisinin yol (y), zaman (t) fonksiyonu y = 0t + 50 hareketlisinin yol (y), zaman (t) fonksiyonu y = 80t dir. Yol metre, zaman dakika olduğuna göre aynı anda harekete başladıktan kaç dakika sonra hareketlisi hareketlisini yakalar? ) ) ) 5 ) 6 E) E

231 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 5 Hareket Problemleri., ve doğrusal noktalar olup [] eşit büyüklüklere bölünmüştür. ve den karşılıklı olarak aynı anda sabit hızlarla yola çıkan araçlar noktasında karşılaşmıştır. u araçların saatteki ortalama hızları toplamı km olduğuna göre hızlı olan aracın hızı kaç km/sa dır? ) 48 ) 5 ) 56 ) 60 E) V V İlk kez hangi noktadan birlikte geçerler? E Hızları V ve 5V olan iki araç düzgün beşgen şeklindeki pistin etrafında hareket ediyorlar. ) noktası ) noktası ) arası ) arası E) E arası. 60 km / sa 80 km / sa ve şehirlerinden aynı anda karşılıklı olarak yola çıkan iki aracın hızları 60 ve 80 km/sa dır. Harekete başlayıp karşılaşmış ve yollarına devam etmişlerdir. 5 saat sonra aralarındaki mesafe 40 km olmuştur. una göre ile şehirleri arası mesafe kaç km dir? 5. ir araç bir mesafenin ünü V hızla, kalan mesafenin 4 ünü V hızla, geri kalan mesafeyi de 6V hızla gitmektedir. raç bu hareketinde ortalama kaç V hız yapmıştır? ),8 ) ),4 ),6 E),8 ) 50 ) 60 ) 80 ) 00 E) 0 6. K asfalt toprak L. Sabit akıntı hızının saatte 5 km olduğu bir nehirde, durgun suda saatte 45 km yol alabilen bir tekne noktasından noktasına akıntı doğrultusunda 6 saatte gidip geri dönüyor. una göre ile noktaları arası mesafe kaç km dir? ) 60 ) 80 ) 90 ) 00 E) 0 ir aracın asfalt yoldaki hızı saatte ortalama 00 km, toprak yoldaki hızı saatte ortalama 40 km dir. u araç 90 km lik [KL] yolunu toplamda 6 saatte almıştır. una göre asfalt yol kaç km uzunluğundadır? ) 0 ) 40 ) 50 ) 60 E) 80

232 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. V 0. Yol (m) 0 75 V 5 6 Zaman (dk) airesel pistte = 400 m ve = = 00 m dir. dan ve den ok yönünde ye doğru, verilen hızlarla harekete başlayan iki araç. kez karşılaştıklarında, hareketine dan başlayan araç toplam kaç metre yol almış olur? ) 040 ) 080 ) 0 ) 40 E) 560 Yukarıda ve araçlarının hız zaman grafiği verilmiştir. u araçlar çevresi 0 m olan dairesel pistin aynı noktasından zıt yönde doğru harekete başladıktan kaç dk sonra ilk kez karşılaşırlar? ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 E). (I) (II) metre uzunluğundaki bir tren 0 metre uzunluğundaki bir treni 6 saniyede geçebiliyor. ynı yönde hareket eden bu iki trenden öndekinin hızı 40 km/sa olduğuna göre arkadaki trenin hızı kaç km/sa dır? ) 0 ) 05 ) 07 ) 09 E) I (6 kişi) ve II (5 kişi) nolu sıradaki insanlar sabit hızlarla yürümektedir. I sırasındakiler, II sırasındakilerden daha hızlı olduğuna göre ve nin yan yana gelmesi için geçen süre, ve nin yan yana gelmesi için geçen sürenin kaç katıdır? ) ) ) ) E) ve şehirlerinden saatteki hızları 0 km ve 4 km olan iki araç birbirlerine doğru hareket edip karşılaşma anından yarım saniye sonra birbirlerini geçiyorlar. raçlardan biri diğerinin katı boyunda olduğuna göre küçük aracın boyu kaç metredir? ),5 ) ),5 ) 4 E) 4,5. ir yüzücü sahilden uzaklaşırken dakikada metre, sahile yaklaşırken dakikada metre yüzebiliyor. una göre bu yüzücü toplam t dakika yüzerek sahilden en çok kaç metre açılıp dönebilir? ) ( + ) t ) ( + ) t ) E) + t t t ( + ) t ) +. E.. E

233 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 6 İş - İşçi Problemleri. Suat bir işi 8 günde bitirebilmektedir. ynı işin 9 unu kaç günde bitirir? ) ) 4 ) 6 ) 8 E) 9 5. li bir maketi saatte, yhan aynı maketi saatte yapabilmektedir. İkisi birlikte çalışırlarsa aynı maketi kaç saatte yaparlar? ) ) ) ) E) oruk bir işin ünü 8 günde bitirebilmektedir. 5 una göre oruk aynı çalışma hızıyla bu işin sını kaç 6 günde bitirir? ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 E) 6. Sare bir işi tek başına 7 günde yapabiliyor. Kaç gün sonra yaptığı iş kalan işin 5 4 katı olur? ) 6 ) 8 ) 0 ) E) 5. Servet bir işin sını günde bitirebilmektedir. 6 una göre 4 günde işin kaçta kaçı biter? ) ) ) ) E) 7. Eş güçteki 6 işçi birlikte çalışarak bir işi 5 saatte bitiriyorlar. Eş güçteki işçi sayısı 4 fazla olsaydı aynı iş kaç günde biterdi? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 4 4. uğra ve ansu bir işi sırasıyla 8 ve 4 günde bitirebilmektedirler. ynı işin tamamını ikisi birlikte kaç günde bitirirlerdi? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 8. Semih bir işin 8 5 ini 0 günde bitirebilmektedir. ynı işe başladığında kaç gün çalışırsa işin 4 ü kalır? ) 0 ) ) 5 ) 8 E) 0

234 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. Mert bir işi 5 günde tamamlıyor. Günde saat eksik çalışsaydı, işin bitmesi 5 gün gecikecekti. una göre Mert ilk başta günde kaç saat çalışmıştır? ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 E). İki yazıcıdan birincisi 5 dakikada 90 sayfa, diğeri 6 dakikada 70 ikincisi sayfa yazabiliyorlar. İkisi birlikte 560 sayfayı kaç dakikada yazabilirler? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 0 0. Onur 6, Kağan 4 gün çalışınca ya da Onur 8, Kağan gün çalışınca bir iş bitiyor. u işi Onur tek başına kaç günde bitirir? ) 0 ) ) 4 ) 5 E) 6 4. ir işi iki işçiden birincisi tek başına 8 günde, ikisi birlikte günde bitirebilmektedir. una göre ikinci işçi tek başına günde aynı işin kaçta kaçını bitirebilir? ) ) ) ) E) ir işi yapacak işçi sayısı katına, yapılacak iş miktarı 5 katına ve günlük çalışma süresi 4 katına çıkarılırsa işi bitirme süresi kaç katına çıkar? 5 ) ) ) ) E) ir işi işçi sırasıyla, + 4 ve 6 günde yapabiliyorlar. Üçü birlikte bu işi günde yapabildiklerine göre kaçtır? ) 0 ) 8 ) 6 ) 4 E). Eş güçte usta bir işi birlikte günde bitirebiliyorsa aynı eş güçteteki 6 usta aynı işi kaç gün erken bitirebilir? ) 0 ) 8 ) 6 ) 5 E) 4 6. ir işi usta çırak birlikte 5 saatte, usta 4 çırak birlikte 0 saatte bitirebilmektedir. una göre aynı işi usta ve çırak birlikte çalışarak kaç saatte bitirebilir? ) 40 ) 45 ) 50 ) 54 E) E E E 6.

235 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 7 İş - İşçi Problemleri. Günde 6 saat çalışarak 0 günde bitirilebilen bir iş, aynı işçiyle günde 8 saat çalışılsaydı kaç günde bitirilebilirdi? ) ) 5 ) 6 ) 8 E) 0 5. Yunus bir işi 0 günde, Kemal günde bitiriyor. Yunus işe başladıktan 4 gün sonra Kemal yardıma geliyor. u durumda iş toplam kaç günde biter? ) 0 ) ) 4 ) 6 E) 8. lper bir işi tek başına her gün eşit süre çalışarak 4 günde bitiriyor. lper günlük çalışma süresini oranında azaltırsa aynı 5 işi kaç günde bitirebilir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 40 E) ir usta 6 parça işi günde, bir çırak parça işi 7 günde yapabiliyor. İkisi birlikte 44 parça işi kaç günde bitirirler? ) ) 4 ) 6 ) 84 E) 05. Hikmet in 6 günde yaptığı bir işi aki günde yapabilmektedir. İkisi birlikte çalışarak 48 parça iş bitirdiklerinde işin kaç parçasını aki yapmış olur? ) 6 ) 8 ) 4 ) E) 6 7. Üç işçi bir işi sırasıyla, ve 4 saatte bitirebilmektedir. una göre üçü birlikte işi bitirdiklerinde ikinci işçi, işin ne kadarlık kısmını yapmış olur? ) ) ) 4 ) 5 E) 4. ir işi ve işçileri birlikte 4 günde, ve işçileri birlikte 8 günde ve ve işçileri birlikte 6 günde bitirebilmektedir. Üçü birlikte çalışarak işin tamamını kaç günde bitirebilir? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 6 8. Erdem bir işi, Sezgin den daha kısa sürede bitiriyor. İkisi aynı işi beraber günde bitirdiklerine göre Sezgin bu işi tek başına en az kaç günde bitirebilir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 5

236 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 9. enk ve atın birlikte bir işin yarısını 9 günde, Oğuz ise aynı işin tamamını tek başına 90 günde bitirebilmektedir. una göre üçü birlikte işin tamamını kaç günde bitirebilir? ) ) 5 ) 6 ) 8 E) 0. Gökhan ve Tolga birlikte bir işin ünü 5 günde bitiriyor. Kalan işin ini Gökhan 0 günde bitirebildiğine göre Tolga 5 tüm işi yalnız başına kaç günde bitirir? ) 5 ) 8 ) 0 ) E) 5 0. ir işin tamamını üç işçi birlikte çalışarak günde bitirebilmektedir. ynı işin tamamını bu işçilerden ikisi birlikte çalışarak 6 günde bitirebildiğine göre diğer işçi tek başına çalışarak bu işin tamamını kaç günde bitirebilir? ) ) 8 ) 4 ) 6 E) ir işi eş güçteki beş işçi günde bitirebilmektedir. u iş ilk gün işçinin işe başlaması, sonraki günlerde birer işçinin daha işe başlaması ve 5 işçi olduktan sonra 5 işçiyle işe devam edilmesiyle toplam kaç günde bitirilebilir? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 8. Ogün, emil ve Sarp bir işi tek başlarına sırasıyla 4, 8 ve 6 saatte bitirebilmektedir. Üçü birlikte işe başladıktan saat sonra emil, 8 saat sonra da Sarp işi bırakıyor. Kalan işi tek başına tamamlayan Ogün bu işte toplam kaç saat çalışmış olur? ) 4 ) ) 0 ) 8 E) 6 5. Merve, Sude ve Ela sırasıyla bir işi tek başlarına 6, 48 ve günde yapabilmektedirler. Üçü birlikte işe başladıktan gün sonra Ela işi bırakıyor. una göre kalan işi Merve ve Sude birlikte çalışarak kaç günde bitirebilir? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) 9. Eş güçteki Levent ile Gürkan bir işi beraber 5 günde bitirebilmektedir. Levent çalışma hızını üç katına çıkarır, Gürkan da üne düşürürse aynı iş kaç günde biter? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 5 6. rif, Ercan ve Poyraz bir işi tek başlarına sırasıyla 0, 5 ve 60 günde bitirebilmektedir. rif ve Ercan aynı işe birlikte başlayıp 5 gün çalıştıktan sonra işi bırakıyorlar. İşin kalan kısmını Poyraz tek başına çalışarak kaç günde tamamlar? ) 0 ) 4 ) 5 ) 8 E) E E

237 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 8 Rutin Olmayan Problemler. ir sınıftaki her erkek öğrencinin, erkek arkadaşlarının sayısı kız arkadaşlarının sayısından fazladır. u sınıftaki her kız öğrencinin, erkek arkadaşlarının sayısı kız arkadaşlarının sayısının katından 5 eksiktir. una göre sınıftaki öğrencilerin sayısı kaçtır? ) 0 ) ) 6 ) 0 E) koltuklu bir tiyatro salonunun sayıda koltuğuna oturulduğunda boş kalan koltukların sayısı + 0 y sayıda koltuğuna oturulduğunda ise boş kalan koltukların sayısı + dir. una göre y değeri kaçtır? ) 4 ) 4 ) 4 ) 44 E) 54. Saymayı yeni öğrenen Kerem, sayarken 4 ün katlarını unutup,,, 5, 6, 7, 9,... şeklinde sayarak 8 tane bilyesi olduğunu ifade ediyor. una göre Kerem in gerçekte kaç bilyesi vardır? ) ) ) 4 ) 5 E) 6 5. ir market, elindeki tane yumurtanın tanesini y liraya satmak istemiş fakat yumurtaların 8 tanesi kırık çıkmıştır. Market, yumurtalar kırılmadan önceki kârı elde edebilmek için kalan yumurtaların tanesini kaç liradan satmalıdır? y - y y ) ) ) - 8 y ) y y E) y Üçün katı olan pozitif sayılar yukarıdaki şekilde olduğu gibi belli bir kurala göre yerleştirilmiştir. Üstte bulunan kutuların içindeki sayıların toplamı, altta bulunan kutuların içindeki sayıların toplamından 90 fazladır. una göre + y toplamı kaçtır? ) 55 ) 57 ) 60 ) 64 E) Üç tane çocuğu olan bir baba, mirasını aşağıdaki gibi vasiyet ediyor: rsalarından yüzölçümü olarak, Üçte biri eşime, Kalanın dörtte biri büyük çocuğuma, Kalan da üç çocuğuma eşit olacak şekilde verilsin. u durumda, en büyük çocuğuna dönüm arsa kaldığına göre, eşine kaç dönüm arsa kalmıştır? ) 6 ) 4 ) ) 40 E) 48 7

238 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. ir terzi ölçüm yapmak için 80 cm ve 0 cm uzunluklarında iki mezura kullanmaktadır. enk, bu terziden 6,80 m 0. kumaş satın almak istemiştir. Terzi 0 cm uzunulğundaki mezurayı kullandığını düşünerek kumaşı hazırlamış ancak a 7 80 cm uzunluğundaki mezurayı kullanmıştır. 8 b 4 una göre bu hatalı ölçümden dolayı enk, alması gerekenden kaç metre daha az kumaş satın almıştır? ),4 ) 4,8 ) 5,6 ) 9,6 E) 4, Yukarıdaki 0 dikdörtgenin her birine birer sayı yerleştiriliyor ve bunlardan bazıları şekildeki gibi gösteriliyor. u dikdörtgenin içindeki sayı, altında yer alan ve kenarına komşu olan iki dikdörtgendeki sayının toplamına eşittir. Örneğin: a = 8 + b dir. una göre kaçır? ) 45 ) 54 ) 6 ) 7 E) Kalan Yol (km) 60 epoda Kalan Yakıt (L) 45. ir fabrikada üretim yapan makineler için, saatte iki ya da üç ürünü aynı anda üretebilmektedir. I 8 Zaman (saat) II. Zaman (saat) Yukarıdaki grafiklerden I. si aracın zamana bağlı olarak kalan yolunu; II. si ise aracın zamana bağlı olarak deposunda kalan yakıt miktarını göstermektedir.. saatin sonunda deposunda 45 L benzin kaldığına göre, depodaki benzin bittiğinde aracın gitmesi gereken kaç km yolu kalmıştır? İki ürünü aynı anda üreten makinelerden çıkan ürünlerin ü, Üç ürünü aynı anda üreten makinelerden çıkan ürünlerin si, bozuktur. u fabrikadaki 50 makineden saatte toplam kaç tane bozuk ürün elde edilmiştir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 E) ) 60 ) 480 ) 500 ) 560 E) 70. Ücret 9. çılış 4 Her 00 metre ekleme (k) 0,5 0,5 Yukarıdaki örüntüde 45 tane mavi kare olduğuna göre kaç tane beyaz kare vardır? ) 00 ) 0 ) 06 ) 09 E) Yukarıda belirtilen tarife ile çalışan bir taksiye evinin önünden binen bir kişi taksiyi yol üstündeki bir mağazada 6 dakika bekletmiş ve toplam 8 km yol gitmiştir. u durumda taksiciye ödenen ücret kaç dir? ) 8 ) 4 ) 6 ) 48 E) 5 8. E. E E

239 . 5. ölüm: Sayı enklemler Kümeleri ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar TEST - 9 Rutin Olmayan Problemler. ir iş veren işçilerine iki farklı zam teklifi sunuyor.. teklif : Maaşının 0 si kadar zam. teklif : 600 zam İşçiler ikinci teklifi kabul ettiklerine göre işçilerin maaşı zamdan önce aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) 590 ) 640 ) 700 ) 890 E) Yemeklerini sürekli olarak ağzı açık bir şekilde pişiren Emine Hanım a 0 m doğalgaz sadece yemek pişirmek için 45 gün yetmektedir. Yemeklerin ağzı kapalı olarak pişirilmesi esnasında harcanan doğalgaz miktarı açık pişirilmesi esnasında harcanan doğalgaz miktarının ü kadar daha az olduğuna 4 göre Emine Hanım yemekleri sürekli olarak ağzı kapalı bir şekilde pişirirse 0 m doğalgaz yemek pişirmek için kaç gün yeter? ) 50 ) 55 ) 60 ) 65 E) 70. Fabrika çıkış fiyatı 8000 olan bir ürün grubu nkara dan 0 km uzaklıkta bulunan Kayseri ye götürülecektir. Ürün grubunun alış fiyatı hesabı aşağıdaki gibidir. Taşıma ücreti = Km başına, Sigorta + KV = si Personel gideri 5 i dir. Firma ürün grubunu 5 kârla satmayı planladığına göre ürün grubunun satış fiyatı kaç dir? ) 50 ) 80 ) 00 ) 50 E) Ürün ilgisayar Ütü lendır Klima Mustafa ey yukarıdaki tabloda belirtilen dört farklı üründen birer adet satın almak istediğine göre ürünler için ödeyeceği en az ücret kaç dir? ) 480 ) 400 ) 450 ) 400 E) 40. ir belediyenin toplu taşıma ücreti öğrenci,5, tam dir. Yıllık öğrenci bandrolu 0 ve 65 yaş üstü yaşlılar için 60 dir. 65 yaş üstü yaşlılar bandrol ile ücretsiz seyahat edebildiğine göre bir öğrenci ve 65 yaş üzeri bir kişi indirim bandrolü kullanmasaydı bir yılda ulaşım için toplam kaç fazla ödeme yaparlar? (Her iki kişinin de günde iki kez toplu taşıma aracına bindiği varsayılacak ve ay 0 gün üzerinde hesaplanacaktır.) ) 700 ) 70 ) 70 ) 750 E) Eşi vefat eden Nermin Hanım ve üç çocuğuna eşinden 0000 lik miras kalmıştır. Miras paylaşımı aşağıdaki gibidir. Nernim Hanım mirasın sını 6 Erkek olan tek çocuk mirasın ünü Kız kardeşleri ise kalan mirası eşit olarak paylaşacaklardır. una göre erkek kardeş kız kardeşlerden kaç fazla para almıştır? ) 8000 ) 9000 ) 0000 ) 000 E)

240 7. İnsan vücudunda vitamininin total vücut deposu ila 0 mg arasındadır. Günlük kayıp ise ila 5 mcg dir. Verilenlere göre vitamini almayan bir kişiye vücutta depolanan vitamin en az kaç gün yeter? cmcg = mgdir. m 000 ) 80 ) 00 ) 0 ) 60 E) Ünite: enklem ve Eşitsizlikler ir konfeksiyon mağazası al sini öde kampanyası düzenlemiştir. Kampanya koşullarından biri ünden pahalı ikisinin fiyatını ödemektir. ltı farklı ürün almaya karar veren Simla Hanım 40, 50, 90, 40, 60, 70 lık 6 ürünü bu kampanya sayesinde en çok yüzde kaç indirimle almış olur? ) 4 ) 8 ) ) 6 E) YEŞİL NOKTLI ÜRÜNLEREN LN İRİ EV J Not: Hediye ürün fiyatı en düşük olan üründür. Emine Hanım yukarıdaki kampanya ya uygun olarak fiyatları 75, 45 ve 60 olan üç farklı ürün satın almıştır. una göre anan Hanım ürünleri yüzde kaç indirimli almıştır? ) 5 ) ) 8 ) 0 E) 5. ört kişilik bir arkadaş grubu İzmir den Yunan dalarına gece 4 gün yat gezisi planlamaktadır. Gezinin maliyet bilgileri aşağıdaki gibidir. Kişi başı gecelik ücret 95 Euro Yurtdışı çıkış işlemleri kişi başı 5 9. V V Ekstra turlar ve organizasyonlar için kişi başı 50 Euro çık büfe üç öğün yemek için kişi başı 5 Euro u dört arkadaş toplam tutarı birlikte 8 ay eşit taksitle ödeyeceklerine göre, ödemeleri gereken aylık taksit tutarı kaç olur? ( Euro = 5 dir.) ) 000 ) 00 ) E) 400 Şekildeki çember üzerindeki noktasından hareket eden iki hareketliden birincisi dakikada 4 m, ikincisi dakikada 6 m yol alıyor ve aynı yönde giderek 5 dakika sonra ilk kez yan yana geliyorlar. Zıt yönde hareket etselerdi ilk kez kaç dakika sonra karşılaşırlardı? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. ir otelde yataklı ve yataklı odaların günlük fiyatları sırasıyla 80 ve 90 dir. una göre otelde 5 gün kalmak isteyen 0 kişi en az kaç ücret öder? ) 800 ) 900 ) 000 ) 00 E) E E

241 . Ünite ölüm: eğerlendirme Sayı Kümeleri Ünite eğerlendirme. 4 < y < 8 eşitsizliği veriliyor. şağıdaki soruları bu eşitsizliğe göre yanıtlayınız. ( 6 puan) 4. şağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz. ( 4 puan) a. y = + y = 6 a., y Z iken (i) (ii) + y en çok kaçtır? y en az kaçtır? b. + = 4 y 4 + = 5 y b., y R iken (i) (ii) + y nin tam sayı değeri en çok kaçtır? y in tam sayı değeri en az kaçtır? 5. şağıda verilen soruları yanıtlayınız. ( 5 puan) a. = olduğuna göre. şağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ( puan) a. ( ) = 4( + ) b. 5 = 4 kaçtır? b. a = 5 5 b olduğuna göre = 9 a b değeri kaçtır? c = 6. şağıda verilen ifadelerin değerlerini hesaplayınız.. şağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ( puan) a. = 7 b. + = 6 c. 5 = 5 ( 4 puan) a b c. + ( 5 ) + 5 4

242 . Ünite: enklem ve Eşitsizlikler 7. ve olarak ikiye ayrılmış gezi grubuyla ilgili şu bilgiler verilmektedir. İki grup da beşer kişiden oluşmaktadır. nın yaş ortalaması nin yaş ortalamasından 4 fazladır. İki grubun yaş ortalaması 8 dir. 9. kabında 0 luk tuz oranına sahip 70 L, kabında 85 lik su oranına sahip 0 L tuzlu su karışımları bulunmaktadır. ve kaplarındaki karışımlar karıştırıldıktan sonra 50 L su ilave ediliyor. Son karışımın tuz yüzdesi kaçtır? (0 puan) ) 7 ) ) 9 ) E) una göre dan ye kaç yaşındaki biri geçerse grupların yaş toplamları eşit olur? (0 puan) 8. kişi yüzde 0. nkara üyükşehir elediyesi, günün belirli bir saatinde tatürk ulvarı ndaki araç sayısını belirlemek için aşağıdaki verileri kullanmıştır. 5 yıldan az 60 5 ile 0 yıl arası 50 0 yıldan fazla Toplam Yukarıdaki tabloda yıllara göre bir şirkette çalışan personele ödenen aylık ikramiye tutarı için personel sayıları ve personel sayısının yüzde oranı verilmiştir. 5 yıldan az çalışanlara 000 er, 5 ile 0 yıl arası çalışanları 000 er, 0 yıldan fazla çalışanlara 5000 er lira verilmiştir. una göre toplam ikramiye kaç bin liradır? (0 puan) ) 00 ) 0 ) 60 ) 40 E) 460 ulvara ortalama uzunluğu metre olan otomobiller ve metre olan otobüslerden başka hiçbir araç girmemiştir. Her aracın saatteki ortalama hızı kilometredir. Her iki araç arası ortalama metredir. elirlenen saat içinde bulvara 97 otobüs giriş yapmaktadır. raçlar tek şerit halinde hareket etmektedir. Şekildeki noktasına ilk araç geldikten saat sonra kaç otomobil noktasından geçmiştir? (0 puan) ) 00 ) 48 ) 560 ) 758 E) 84 evap nahtarı. a. (i) 9 (ii) 5 b. (i) 0 (ii) 4 6. a. { 5} b. ' c. { 4}. a. {, 4} b. { 4, } c. 4. a. {(4, )} b. ' c, m 5. a. 4 9 b a. b. 4 c E lınan Not Toplam 4

243 4. Ünite Üçgenler. ÖLÜM Üçgenlerde Temel Kavramlar. ÖLÜM Üçgenlerde Eşlİk ve enzerlik. ÖLÜM Üçgenİn Yardımcı Elemanları 4. ÖLÜM İk Üçgen ve Trİgonometrİ 5. ÖLÜM Üçgenİn lanı

244 4. Ünite: Üçgenler 4... Üçgende çılar. ÖLÜM Üçgenlerde Temel Kavramlar Ters çılar: Tanım aşlangıç noktası ortak olan iki ışının birleşimine açı denir. u iki ışına açının kolları (kenarları), ortak noktaya ise açının köşesi denir. Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan komşu olmayanlarına ters açılar denir. şağıdaki şekilde ile, ile 4 açıları ters açılar olup ölçüleri eşitir. d [O, [O: çının kolları O: çının köşesi 4 d O Şekilde [O [O = O = O = X O dur. Ölçülerine Göre çı Çeşitleri çının Ölçüsü: Her bir açı [0, 80] aralağında bir reel sayıya karşılık gelir. u reel sayıya açının derece cinsinden ölçüsü denir. ir açısının ölçüsü, m( ) veya s( ) şeklinde ifade edilir. a Şekilde ölçüsü a olan açı verilmiştir. m( ) = m( ) = m( W ) = a dir.. ar çı: a. ik çı: Ölçüsü 0 ile 90 arasında olan açıdır. Şekilde 0 < m( ) = a < 90 dir. dar açı Ölçüsü 90 olan açıdır. Şekilde m( ) = 90 dir. Eş çı: dik açı Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir. [ ^ [ şeklinde de ifade edilir. çıortay: ir açıyı iki eş açıya bölen ışına denir. a a Şekilde [ ışını nin açıortayı-. Geniş çı: dır. Yani m( ) = m( ) dir. a Ölçüsü 90 ile 80 arasında olan açıdır. 90 < m( ) = a < 80 dir. geniş açı 44

245 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar 4. oğru çı: Paralel İki oğru İle ir Kesenin Oluşturduğu çılar 80 Ölçüsü 80 olan açıdır. Şekilde m( ) = 80 dir. doğru açı d 7 8 d 5. Tam çı: 60 Ölçüsü 60 olan açıdır. Şekilde m( ) = 60 dir. tam açı. Ters çılar: Vile V_ b b Vile V4b ` açıları ters açılar olup, ölçüleri birbirlerine eşittir. V5ile V7b V6ile V8 b a Tümler ve ütünler çılar I. Tümler çılar: α β O Ölçüleri toplamı 90 olan iki açıya tümler açılar denir.. Yöndeş çılar: V ile V_ 5b b V ile V6 b ` açıları yöndeş açılar olup, ölçüleri birbirine eşittir. V ile V7 b V4 ile V8 b a Şekilde a + b = 90 olduğundan O ile O tümler iki açıdır. O açısı O nin tümleri, O açısı O nin tümleridir. a nin tümleri (90 a) dir denir.. İç-ters çılar: Vile V5 4 açıları iç-ters açılar olup, ölçüleri birbirlerine eşittir. V4ile V6 II. ütünler çılar: d α d β d // d E Ölçüleri toplamı 80 olan iki açıya bütünler açılar denir. α d d β β O α F Şekilde a + b = 80 olduğundan OE ile EOF bütünler iki açıdır. OE açısı EOF nin bütünleri, EOF açısı OE nin bütünleridir. b nin bütünleri (80 b) dir ifadesi kullanılır. 4. Karşı urumlu çılar: V ile V6 4 V4 ile V5 açıları karşı durumlu açılardır, ölçüleri toplamı 80 dir. 45

246 4. Ünite: Üçgenler (ii) İkizkenar Üçgen d α θ β d // d iken a + b + q = 60 dir. b c İki kenarının uzunluğu eşit olan üçgendir. Yandaki ikizkenar üçgende b = c ve a b dir. d a u şekil kalem ucu olarak bilinir. (iii) Eşkenar Üçgen Üç kenar uzunluğu da eşit olan Üçgen ynı düzlem üzerinde bulunan ve doğrusal olmayan herhangi üç nokta, ve olmak üzere, [], [] ve [] doğru parçaları- a a a üçgendir. Yandaki eşkenar üçgende = = = a birim dir. & nın birleşimine üçgeni denir ve ile gösterilir. α9 α b c θ9 θ β a β9 & = 6@, 6@, 6@ dır. Yukarıdaki üçgeninde Üçgenin köşeleri:,, Üçgenin kenarları: [], [], []. çılarına Göre Üçgen Çeşitleri (i) ar çılı Üçgen β α θ İç açılarının ölçüsü 90 den küçük olan üçgendir. Şekilde a < 90, b < 90 ve q < 90 dir. Üçgenin iç açı ölçüleri: a, b, q Üçgenin dış açı ölçüleri: a, b, q Üçgenin kenar uzunlukları: a, b, c (ii) ik çılı Üçgen ir iç açısının ölçüsü 90 o olan üçgendir. Şekilde m ( ) = 90 o dir. Üçgen Çeşitleri. Kenar Uzunluklarına Göre Üçgen Çeşitleri (i) Çeşitkenar Üçgen Üç kenar uzunluğu da farklı olan (iii) Geniş çılı Üçgen c b üçgendir. Çeşitkenar üçgende a b ir iç açısının ölçüsü 90 o den büyük olan üçgendir. a b c a c dir. o Şekilde m ( ) > 90 dir. 46

247 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar Üçgende çı ağıntıları ir üçgenin bir köşesine ait iç ve dış a9 açıların ölçüleri toplamı 80 dir. a a + a = 80 b + b = 80 ve c c9 b c + c = 80 dir. b9 ir üçgenin iç açı ölçüleri toplamı 80 dir. a + b + c = 80 dir. ir üçgenin dış açı ölçüleri toplamı 60 o dir. Taban açısının ölçüsü a olan ikizkenar üçgenin tepe açısının ölçüsü (80 a) olur. Tepe açısının ölçüsü b olan ikizkenar üçgenin taban açılarından birinin ölçüsü b olur. Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin tepe açısının taban açılarına eşit olduğu özel bir halidir. Sonuç olarak eşkenar üçgenin bütün açıları 60 olur. 60 a + b + c = 60 dir. ir üçgenin bir dış açısının ölçüsü, kendisine komşu olmayan diğer köşelere ait iki iç açısının ölçüleri toplamına eşittir. a = b + c b = a + c c = a + b dir. Yandaki şekilde a = a + b + c dir. (u şekil genellikle bumerang olarak bilinir.) a b c ir ikizkenar üçgenin tabanına dikme indirilirse hipotenüs uzunlukları eşit ve ikişer açısı eş olan iki dik üçgen elde edilir. Elde edilen dik üçgenler eş olacaktır. olayısıyla [H] aynı zamanda açıortay ve kenarortay olur. H 4... Üçgenin Kenarları ile çıları rasındaki İlişkiler İkizkenar ve Eşkenar Üçgen ir üçgenin iki kenarının uzunluğu eşit ise bu üçgene ikizkenar üçgen denir. Şekildeki üçgeninde c a b ir üçgende eş açıların karşısındaki kenarların uzunlukları eşittir. Şekilde m() = m() = idi. = m() = m() dir. Tepe açısı ya tepe açısı ve ye taban açıları [] ye taban denir. İkizkenar üçgende taban açıları eştir. Taban açıları Taban c b ir üçgenin iç açısının ölçüsü büyüdükçe, iç açının karşısındaki kenarın uzunluğu da büyür. ir ikizkenar üçgenin taban açıları eş olduğundan üçgenin herhangi bir açı ölçüsü bilinirse diğer açı ölçüleri bulunabilir. a Yani m() > m() > m() a > b > c dir. 47

248 4. Ünite: Üçgenler 4... Üçgen Eşitsizliği ir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmak zorundadır. üçgeninde b c < a < b + c a c < b < a + c a b < c < a + b olur. Yukarıda verilen eşitsizliklere üçgen eşitsizliği adı verilir. ir üçgende açılardan birinin dar ya da geniş olduğu biliniyorsa aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır. (i) a < 90 olduğundan a < b + c (ii) a = 90 olduğundan a = b + c (Pisagor bağıntısı) (iii) a > 90 olduğundan a > b + c u kısımda karşılaşılacak sorularda genellikle verilen uzunluklar, Pisagor üçlülerine uygun şekilde verilirse çözümlerinizi aşağıdaki örnekte olduğu gibi yapabilirsiniz. Örneğin a geniş açı olsun. a dik açı olsaydı (8 : 5 : 7) dik üçgeninden = 7 olur. a geniş açı olduğundan: > 7 Üçgen eşitsizliğinden: 7 < < 7 < < şeklinde elde edilir. 48

249 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar Uygulama Soruları. [ // [E 4. [] açıortay 0 85 m( ) = 0 m( ) = 85 E E = m( E ) = 5 5 E Verilenlere göre m( E) = kaç derecedir? α Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir?. geniş açılı bir üçgendir. Üçgenin en büyük iç açısının ölçüsü m( W ) = a dir. α 5. a üçgen = E = E una göre a nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç olur? E m( ) = 0 Verilenlere göre m( E ) = a kaç derecedir?. [] [] 6. ve E üçgen 0 [] [E m( ) = 0 = F = E FE = α 0 m( ) = 0 m( E) = a 70 F α m( ) = 70 E E Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? Verilen açı ölçülerine göre a kaç derecedir? 49

250 4. Ünite: Üçgenler üçgen 4 cm cm 5 cm 5 8 m( W ) > 90 = 5 cm = 8 cm cm 9 cm Verilen uzunluk ölçülerine göre in tam sayı değeri kaç olmalıdır? Verilenlere göre = in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 8. cm 6 cm 8 cm. P = P = P = 8 cm H 8 6 = 6 cm Şekilde [H] [] ve H = H olduğuna göre in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç olur? P Verilenlere göre = in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 9. 0 cm uzunluğundaki tahta parçasının iki ucuna 8 cm uzunluğundaki ip bağlanıyor. 0 cm 8 cm a b İp gergin tutularak bir çivi ile üçgen elde edildiğinde çivinin tahtanın uçlarından birine olan uzaklığı, tam sayı olarak en çok kaç cm olabilir?. üçgeninde m ( ) = 8 o & olduğu biliniyor. ( ) nin & ll köşesi etrafında pozitif yönde a döndürülmesiyle ( ) elde ediliyor. önme dönüşümünden sonra elde edilen l dar açı olduğuna göre l açısının ölçüsünün tam sayı değeri en çok kaç derece olur? 50

251 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar ÇÖZÜMLER. F a y 85 E y E [ uzatılıp F elde edilir. m( F) = 80 0 = 70 olur. m( ) = m( F) + m( E) olduğundan 85 = 70 + = 5 bulunur. ve E ikizkenar üçgen olduğundan m( ) = m( ) = ve m(e) = m( E) = y alalım. & de iç açılar toplamından m( ) + + y = y = 80 + y = 70 olur. m( ) = 0 + y + a = a = 0 a = 40 bulunur.. Geniş açılı üçgende en büyük açı (m( W )) geniş açıdır. 6. a Eşit kenar uzunluklarına a ve b diyelim. olayısıyla ölçüsü 90 den büyüktür. Yani tam sayı olarak en az 9 olabilir. a b E = E = a + b olduğundan E ikizkenar üçgendir.). [] [E olduğundan m( ) = (90 a)dir. Öte yandan dörtgeninden (umerang) m( ) = m( ) + m() + m() 90 = 90 a b 40 a m(e ) = 70 ve m(e ) = 40 olur. Öte yandan F ikizkenar üçgenindeki eş açılara dersek & m(fe ) = olur. F de dış açıdan, & + = 70 = 5 ve FE den a = 50 bulunur. a = + 40 = = 75 bulunur cm 5 cm cm cm 9 cm m( ) = m() = alalım. m(e) = + 5 (ış açı) ve m(e ) = + 5 (ikizkenarlık) olur. Öte yandan & de dış açı özelliğinden m( ) + m( ) = m( ) + a = a = 0 bulunur. ve üçgenlerinde üçgen eşitsizliğini yazalım. 5 4 < < < < 9... () 9 < < < <... () () ve () aynı anda sağlayacağından < < 9 7 < < 7 < < 9 = 8 cm (tam sayı) bulunur. 5

252 4. Ünite: Üçgenler 8. cm. a i 6 cm 6 cm 8 cm 8 6 H a b P b i [H] orta dikme olduğundan = = 6 cm olur. & olayısıyla de üçgen eşitsizliğinden 8 6 < < < < 4 = cm (en az) olur. İkizkenar üçgenler dikkate alınarak açı ölçüleri yazalırsa a + b + i = 80 & a + b + i = 90 olur. & olayısıyla dar açılı üçgen olur. O hâlde dar açı olduğundan < & < 00 & < 0 Öte yandan de dar açı olduğundan 9. 0 cm 8 cm 8 < 6 + & 8 < & 5,... < O hâlde in değer aralığı 5,... < < 0 dur. olayısıyla tam sayı olarak 6, 7, 8 ve 9 olmak üzere 4 farklı değer alabilir. a b İki kenar uzunluğu a ve b dersek b nin en büyük olma durumunu dikkate almalıyız. O hâlde a da en küçük olmalıdır (İpin uzunluğu a + b = 8 cm). Üçgen eşitsizliğinden b a < 0 < b + a b (8 b) < 0 < 8 b 8 + b < 0 < 8 b < 8 b < 4 olduğundan en büyük tam sayı değeri. bulunur. 0. m( W ) > 90 & > & > 89 & > 7 olur. Öte yandan üçgen eşitsizliğinden < & < tür. olayısıyla in değer aralığı 7 < < şeklinde olur. Yani in alabileceği değerler 8, 9, 0, ve olmak üzere 5 tanedir a a döndürülüyor öndürme sonucunda dar açı olduğundan m( l ) = ise m( l ) < < < 90 < 4. (en çok) bulunur

253 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar TEST - oğruda çılar. 5 [ // [ E [ // [E m( ) = 5 m( ) = + 0 m( E) = 40 m( ) = m( ) = Verilenlere göre kaçtır? Verilenlere göre kaçtır? ) 5 ) 0 ) 5 ) 0 E) 5 ) 0 ) 5 ) 40 ) 45 E) Verilenlere göre kaçtır? [ // [ m( ) = 5 m( ) = + 5 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) Verilenlere göre kaçtır? E [ // [E m( ) = 5 m( E) = 0 m( ) = ) 90 ) 95 ) 00 ) 05 E) 0. E 45 [ // [E // [F [] açıortay m( E) = 45 m( ) = E [F // [G m( F) = 5 m( G E) = 65 m( ) = F F G Verilenlere göre m( ) = kaçtır? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 0 Verilenlere göre kaçtır? ) 90 ) 95 ) 00 ) 05 E) 0 5

254 4. Ünite: Üçgenler 7. 5 E 45 Verilenlere göre kaç derecedir? [ // [E m( ) = 5 m( E) = 45 m( ) = E F [ // [EF m( ) = 50 m( ) = 70 m( E) = 65 ) 60 ) 65 ) 70 ) 75 E) 80 Verilenlere göre m( EF) = kaç derecedir? ) 5 ) 40 ) 45 ) 50 E) [ // [E m( ) = 0. [ // [ m( E) = 0 E m( E) = 0 m( ) = y y α E m( E) = m( E ) = y m( E) = y Verilenlere göre kaç derecedir? ) 95 ) 00 ) 05 ) 0 E) 5 Verilenlere göre m( E) = a kaç derecedir? ) 56 ) 64 ) 7 ) 84 E) [ // [FG. [ // [EF E 5 F G Şekilde Verilenlere göre kaç derecedir? ) 75 ) 80 ) 85 ) 90 E) 95 E 8 Verilenlere göre kaç derecedir? F [] ve [E] açıortay m( E) = 8 m( E) = ) 76 ) 78 ) 80 ) 8 E) E E

255 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar TEST - oğruda çılar. 70 E F [ // [ // [EF [E] açıortay m( ) = 70 m( EF) = F G [ // [E // [FG [F] açıortay m( ) = 5 m( ) = 05 Verilenlere göre kaç derecedir? E m( FG) = ) 0 ) 5 ) 40 ) 45 E) 50 Verilenlere göre kaçtır? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) E Verilenlere göre kaç derecedir? F [EF // [ m( ) = 5 m( E) = 60 m( ) = 5 m( EF) = ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) Verilenlere göre kaçtır? E K [ // [K m( ) = m( E) m( E) = 0 m( ) = ) 70 ) 80 ) 90 ) 00 E) 0. E 58 F G,, doğrusal m( ) = m( FG) m( E) = m( G) m( EF) = 58 Verilenlere göre m( G) kaç derecedir? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) Verilenlere göre kaç derecedir? E [ // [E] m( E) = 5 m( ) = 0 m( E) = 60 m( E) = ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 0 55

256 7. G E β α F [G // [ a + b = 40 olduğuna göre m( G) [F] ^ [G [FE] ^ [] m( EF) = a m( ) = b = kaç derecedir? ) 90 ) 00 ) 0 ) 0 E) E F 0 Verilenlere göre kaç derecedir? 4. Ünite: Üçgenler [ // [EF m( ) = 70 m( E) = 0 m( FE ) = ) 5 ) 0 ) 5 ) 40 E) F 00 m( FE) = 00 m( ) = [ // [E] [] // [EF 0 E 60 m( E) = 60 m( ) = 40 E F m( ) = 00 m( EF) = 40 m( ) = Verilenlere göre kaç derecedir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 40 E) 45 Verilenlere göre kaç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) 0 E) E F [ // [EF [] ve [E] açıortay m( ) = 0 m( E) =. E F 0 G H [ // [FG // [EH [ // [E [EF] açıortay m( EFG) = 0 Verilenlere göre kaç derecedir? ) 65 ) 70 ) 75 ) 80 E) 85 Verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 E) E E

257 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar TEST - Üçgende çı. m( ) = [] [] a m( ) = 40 0 = = m( ) = α Verilenlere göre m( W ) = a kaç derecedir? ) 5 ) 40 ) 45 ) 50 E) 55 Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) 40 ) 50 E) Verilen açı ölçülerine göre kaçtır? ) 0 ) 5 ) 40 ) 45 E) 50 5 α 0 Verilen açı ölçülerine göre m(x ) = a kaç derecedir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 40 E) 45. üçgen = m( ) = üçgen m( ) = 0 70 = = m( ) = Verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 0 E) 5 Verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 40 ) 45 E) 50 57

258 4. Ünite: Üçgenler 7. üçgen 0. üçgen α m( ) = m( ) = = E = E = m( ) = 5 E Verilenlere göre m( E ) = kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 40 ) 45 E) 50 Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 0 ) 40 ) 45 ) 50 E) [] açıortay m( ) = 80 m( ) = 0. α [H] [] [] [] = 80 0 Verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 0 NİTELİK H H = Verilenlere göre m( H ) = a kaç derecedir? ) 0 ) 40 ) 45 ) 50 E) [] ve [] 80 açıortay. üçgen m( W ) = 80 E E = m( ) = m( ) 0 m( E ) = 0 Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) 0 E) 40 a Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) E E.. E

259 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar TEST - 4 Üçgende çı. üçgeninin dış açıortayı [N dir. 4. = m( NK) = 55 o m( ) = m( ) N m( ) = 0 α 55 Verilenlere göre m ( ) = a kaç derecedir? ) 55 ) 60 ) 65 ) 70 E) 75 K 0 Verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 0 ) 40 ) 50 ) 60 E) 70. H [] [H] = 5. [] açıortay [H] [] m( ) = 40 = 40 Verilenlere göre m( H ) = a kaç derecedir? α H α m( ) = 66 Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 0 E) 5 ) 46 ) 48 ) 50 ) 5 E) α [ [H H = H m(h ) = F E üçgen F = FE m( ) = 70 m(f ) = 40 H Verilenlere göre m( H ) = a kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 0 Verilenlere göre m( E ) = kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 40 ) 45 E) 50 59

260 4. Ünite: Üçgenler [] açıortay 0 = = = üçgeninde, =, E = E ve m(e ) = 0 E α olduğuna göre m( ) kaç derecedir? Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 00 ) 05 ) 0 ) 5 E) 0 ) 4 ) 0 ) 6 ) 40 E) 48. üçgen üçgen = = E m(e ) = E = E = E m( E ) = 80 E Verilenlere göre m( ) kaç derecedir? ) 80 ) 90 ) 00 ) 0 E) 0 NİTELİK Yayıncılık Verilenlere göre m( ) kaç derecedir? ) 80 ) 90 ) 00 ) 0 E) 0 9. üçgen = = m( ) = α = m( ) = 58 m( ) = 6 60 m( ) = 5 Verilenlere göre m( ) kaç derecedir? ) 70 ) 80 ) 90 ) 00 E) Verilenlere göre a kaç derecedir? ) 6 ) 6 ) 58 ) 56 E)

261 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar TEST - 5 Üçgende çı. a = = m( ) = 0 4. E 00 üçgen [F ve [] açıortay m(e ) = 00 0 F Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 40 E) 45 Verilenlere göre m( F ) = kaç derecedir? ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 E) 60. = 5. üçgen = m( ) = 70 m( ) = 00 Verilenlere göre m( ) kaç derecedir? F 80 E F = F E = E m( ) = 80 Verilenlere göre m( FE ) = kaç derecedir? ) 70 ) 80 ) 90 ) 00 E) 0 ) 60 ) 65 ) 70 ) 75 E) üçgen = = m( ) = 5 E 5 Verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 E) 60 Şekilde [] ^ [] ve E = E = = olduğuna göre m( ) = kaç derecedir? ) 5 ),5 ) 0 ) 7,5 E) 45 6

262 4. Ünite: Üçgenler 7. m( ) = 0 0. E α [] [E] = E = üçgensel bölgesi biçimindeki kâğıt [] kenarı [] m(e ) = 8 kenarı ile çakışacak şekilde katlanıyor. m( K 9 ) = 0 8 Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 50 ) 5 ) 54 ) 56 E) 58 una göre a kaç derecedir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 0 E) 5. O üçgensel bölgesi O köşesi etrafında ok yönünde 54 döndürüldüğünde O üçgensel bölgesi elde ediliyor. 8. ir üçgensel bölgesinin [] ye göre, yansıması alındığında 9 üçgensel bölgesi elde ediliyor. O α 8 m( 9 ) = 70 olduğuna göre m( 9) kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 40 una göre m(l O ) = a kaç derecedir? ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 E) 9. = = m( ) = 60. üçgensel bölgesi köşesi etrafında şekildeki gibi m( ) = 85 döndürüldüğünde E üçgensel bölgesi elde ediliyor. E u durumda elde edilen bir eşkenar üçgen ve Verilenlere göre m( ) = a kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 40 ) 45 E) 50 m( ) = olduğuna göre m(e) kaç derecedir? ) 86 ) 88 ) 90 ) 9 E) E. E E

263 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar TEST - 6 Üçgende çı - Kenar ağıntıları cm 7 cm üçgeninde verilen uzunluk ölçülerine göre in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçır? ) ) 5 ) 7 ) 0 E) ( ) cm Şekildeki üçgeninde verilen uzunluk ölçülerine göre kaç farklı tam sayı değeri alabilir? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7. üçgen m( W ) < m( X ) < m( W ) 5. cm 5 cm 9 cm Verilenlere göre kaç farklı tam sayı değeri alabilir? üçgeninde m( W ) < m( X ) olmak üzere verilen uzunluk ölçülerine göre kaç farklı tam sayı değeri alabilir? ) ) ) ) 4 E) 5 ) ) ) 4 ) 5 E) Şekilde ve üçgendir. 5 cm 9 cm 5 cm 6 cm y cm cm cm + olmak üzere üçgeninde verilen uzunluk ölçülerine göre in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? ) 7 ) 8 ) ) E) 5 8 cm, y + olduğuna göre in alabileceği en büyük değer kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 6

264 7. c cm 75 b cm 4. Ünite: Üçgenler 0. m( W ) = 95 = 5 cm = 9 cm 40 a cm Şekildeki üçgeninde verilen açı ve uzunluk ölçülere göre, a, b, c değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? Verilenlere göre = kaç farklı değer alabilir? ) ) ) ) 4 E) 5 ) a < b < c ) b < a < c ) a < c < b ) b < c < a E) c < a < b 8. ve üçgen = cm. Kenar uzunlukları cm cinsinden tam sayı olan bir üçgensel bölgenin çevre uzunluğu 8 cm dir. una göre bu üçgenin uzun kenarı en çok kaç cm olabilir? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) cm Şekilde tüm kenar uzunlukları tam sayı olduğuna göre dörtgeninin çevre uzunluğu en az kaç cm olur?. 6 km 5 km ) ) 7 ) ) 4 E) 8 km 8 km 0 km 9. çeşitkenar üçgeninin en kısa kenarı 4 cm, en uzun kenarı 8 cm dir. iğer kenar uzunluğunun cm cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? Yukarıdaki krokide verilen uzunluk ölçülerine göre in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 ) ) ) ) 4 E) E

265 . ölüm: Üçgenlerde Temel Kavramlar TEST - 7 Üçgende çı - Kenar ağıntıları. Şekilde verilen geniş açılı üçgeninde en büyük açı W dır. m( W ) = cm 6 cm üçgen m( W ) < 90 = 8 cm = 6 cm = cm cm Verilenlere göre m( X ) = a nın tam sayı değeri en çok kaç derece olur? ) 49 ) 5 ) 5 ) 5 E) 55 Verilenlere göre in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 E) 5. üçgen. ir ikizkenar üçgende eş kenarların uzunluğu 7 cm dir. una göre bu üçgenin çevre uzunluğu cm cinsinden aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) 5 ) 8 ) 0 ) 5 E) m( W ) > 90 = 6 cm = 8 cm Verilenlere göre = in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç cm dir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8. [] [] m( ) = 7 m(e ) = 05 m( ) = cm 4 cm Verilenlere göre şekildeki en uzun kenar aşağıdakilerden hangisidir? ) [] ) [] ) [] ) [E] E) [] Şekildeki tüm kenar uzunlukları cm cinsinden tam sayı olduğuna göre üçgeninin çevre uzunluğu en az kaç cm olur? ) 8 ) 9 ) 0 ) E) 65

266 7. 8 cm 5 cm [] [] 4. Ünite: Üçgenler 0. ir üçgeninde m( W ) > m( X ), = 8 cm ve = ( ) cm dir. una göre in alabileceği tam sayı değeri en az kaç olur? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 cm Şekilde verilen uzunluk ölçülerine göre in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç olur? ) ) ) 4 ) 5 E) 6. Çevre uzunluğu cm olan bir üçgensel bölgenin en uzun kenarının uzunluğunun tam sayı değeri en çok kaç cm olabilir? ) ) 4 ) 5 ) 6 E) m( ) < 90 = 5 cm = cm. Şekilde, EF ve KLM eşkenar üçgenlerinin birbirine göre konumları verilmiştir. K = 9 cm = cm 9 Verilenlere göre in alabileceği en büyük tam sayı de- L M ğeri kaç cm dir? E F ) 0 ) ) ) E) 4 9. üçgen 5 E II = IEI = 5 cm IEI = cm II = 6 cm 5 6 II = cm Verilenlere göre in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0 Öğretmen sınıfta bu şekli çizip, öğrencilerine eşkenar üçgenlerin her birinin kenar uzunluğunu not ettirmiş ve şu soruyu yöneltmiştir. "Oluşan tüm şeklin çevre uzunluğunu bulabilmeniz için hangi doğru parçasının uzunluğuna ihtiyaç duyarsınız?" Sınıfın doğru cevap verebilmesi için, I. [K] II. [] II. [L] doğru parçalarından hangilerinin tek başına verilmesi yeterli olur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) I ve II ) I ve III E) II ve III 66.. E E

267 . ölüm: Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik. ÖLÜM 4... Üçgenlerin Eşliği ve Eş Üçgenler Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik Eşlik ağıntıları Hatırlatma Ölçüleri eşit olan açılara eş açı, uzunlukları eşit olan doğru parçalarına eş doğru parçaları denir. Kenar çı Kenar (K..K.) Eşliği İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede karşılıklı ikişer kenar ve bu kenarların arasında kalan açılar eş ise bu iki üçgen eştir. u eşliğe Kenar çı Kenar (K..K.) Eşliği denir. Yandaki şekilde [] [] dir. [] [E], [] [F], m( W ) = m( X ) Yandaki şekilde, EF dir. & &, EF çı Kenar çı (.K..) Eşliği İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede karşılıklı ikişer açı ve bu açılar arasında kalan kenarlar eş ise bu iki üçgen eştir. u eşliğe çı Kenar çı (.K..) Eşliği denir. Tanım İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede karşılıklı açılar ve karşılıklı kenarlar eş ise bu iki üçgene eş üçgenler denir. Şekilde verilen iki üçgende m ( W) = m( X ) b = E b b b m( W) = m( WE) ` = F ` m( X) = m( WF) b = EF b a a & & & & olduğundan ile EF eş üçgenlerdir ve bu durum, EF şeklinde gösterilir. m( W ) = m( EW ), m( X ) = m( FW ), [] [EF] & &, EF Kenar Kenar Kenar (K.K.K.) Eşliği İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede karşılıklı kenar uzunlukları eşit ise bu iki üçgen eştir. u eşliğe Kenar Kenar Kenar (K.K.K.) Eşliği denir. Eşliğin gösterimi önemlidir. Eş açılar aynı sırayla verilmelidir. & &, EF E F [] [E], [] [EF], [] [F] & &, EF 67

268 4. Ünite: Üçgenler ir ikizkenar üçgenin tabanına dikme indirilirse hipotenüs uzunlukları eşit ve ikişer açısı eş olan iki dik üçgen elde edilir. Elde edilen dik üçgenler eştir. olayısıyla [H] yüksekliği aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır. m( W ) = m( Yl ) m( W ) = m( Y a b c + l) ve = = = k! R al bl cl m( X ) = m( Yl ) Şekilde & ve & l l l üçgenleri benzerdir denir ve & + & l l l şeklinde gösterilir. ir ikizkenar üçgenin eş kenarlarına dikmeler indirildiğinde taban açıları eş olur ve taban ortak hipotenüs olduğundan iki eş dik üçgen elde edilir. olayısıyla indirilen bu yükseklikler eşit uzunlukta olur. yrıca N = H eşitliği sağlanır. Üçgenlerin benzerliği yazılırken karşılıklı eş açılara gelen karşılıklı köşeler sırasıyla yazılmalıdır. Örneğin + l l l & & yazılamaz! a b c + = = = k! R orantısındaki k değeri benzerlik oranıdır. al bl cl (i) k < ise oluşan yeni şekil büyür. (ii) k > ise oluşan yeni şekil küçülür. (iii) k = ise oluşan yeni şekil ile eski şekil birbirine eştir enzerlik ağıntıları çı çı (..) enzerliği İkizkenar üçgen sorularının büyük çoğunluğunda tabana dikme indirilir. İndirilen dikme tabanı iki eş parçaya ayırır. İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede karşılıklı ikişer açı eş ise bu iki üçgen benzerdir. u benzerliğe çı çı (..) enzerliği denir. Yandaki şekilde m( W ) = m( EW ) olduğundan m( X ) = m( FW ) İkizkenar üçgende eş kenarlardan birine dikme indirilmişse çözüme diğer eş kenara dikme indirilerek başlanır ve bu dikmelerin eşit olduğu dikkate alınır. E & + EF & benzerliğinde E & + EF & olur. F + = = = k! R F EF 4... Üçgenlerin enzerliği orantısı mevcuttur. uradaki k değeri üçgenlerin benzerlik oranıdır. Üçgende enzerlik Herhangi iki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede karşılıklı açılar eşit ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler denir. Kenar uzunlukları arasındaki orana benzerlik oranı adı verilir Üçgende Orantılı oğru Parçaları Temel Orantı Teoremi 68

269 . ölüm: Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik ir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru üçgenin diğer II. kenarlarını kestiğinde kenarları orantılı böler. üçgeninde [] d olmak üzere d // d ise E = olur. E E F Özel olarak K E E = = olursa E [E] // [] olur. urada & [] // [EF] // [] olduğundan [K] çizilirse K elde edilir ve I deki orantı kullanılabilir. aha kolay bir anlatımla [E] ye orta taban denir. Thales Teoremi E E F m = = orantısı elde edilir. F n III. Şekildeki d ve d gibi iki doğruyu kesen birbirine paralel d, d 4 ve d 5 doğruları ile orantılı doğru parçaları elde edilir. d // d 4 // d 5 iken E = olur. F [] [] = {E} ve [] // [] olduğundan m ( ) = m ( ) ve m ( ) = m ( ) olacaktır. olayısıyla me ( ) = me ( ) olur. çı çı benzerliğinden ( E & + E & ) olur. Paralelliklerin olduğu üç farklı durumda çı çı enzerliği kullanılabilir. u durumlar aşağıda verilmiştir. E E = = olur. E E I. E Kenar çı Kenar (K.. K.) enzerliği İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede birer açılar eş ve bu açıların karşılıklı kolları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir denir. u benzerliğe Kenar çı - Kenar (K.. K.) enzerliği denir. [E] // [] olduğundan şekildeki eş açılar elde edilir. çı çı & & benzerliğinden E + olur. uradan E E = = orantısı elde edilir. m( W ) = m( X ) = E F olduğundan & & + EF olur. 69

270 4. Ünite: Üçgenler u benzerlikten E + = = = k! R (enzerlik oranı) F EF orantısı yazılabilir. u k değeri üçgenlerin benzerlik oranıdır. Kenar Kenar Kenar (K. K. K.) enzerliği İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede karşılıklı kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir denir. u benzerliğe Kenar Kenar Kenar (K. K. K.) enzerliği denir. E = = EF F & & ise + EF dir. u benzerlikten dolayı karşılıklı açılar eş olur. Yani m ( W) = m ( X), m ( W) = meve ( W) m ( X) = mf ( W ) olur. enzer iki üçgenin orantılı iki kenarına ait yüksekliklerinin uzunlukları açıortaylarının uzunlukları kenarortaylarının uzunlukları çevrelerinin uzunlukları oranı üçgenlerin benzerlik oranına eşittir. & & yrıca + EF iken K L oranı benzerlik oranına eşit olur. 70

271 . ölüm: Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik Uygulama Soruları & &., EF olduğu biliniyor. = ( + ) cm ve 4. F = ( 8) cm olduğuna göre kaçtır? &. ( ) köşesi etrafında saat yönünde m( W ) kadar döndürülerek ( l l) elde & ediliyor. E,, doğrusal olduğuna göre m(e ) kaç derecedir? 9 cm cm 5. dik üçgensel bölgesi köşesi etrafında 0 döndürülerek konumuna getiriliyor. 4 cm Verilen uzunluk ölçülerine göre kaçtır?. dik üçgensel bölgesi şeklindeki kağıt, şekildeki gibi katlanarak köşesi [] üzerine getiriliyor. Elde edilen ll nın ölçüsü 5 olduğuna göre m ( ) kaç derecedir? = a 6. 8 E üçgen [E] // [] E = E = 8 cm Elde edilen! [] noktası için m ( ) = 5 olduğuna Verilenlere göre = kaç cm dir? göre m ( l ) = a kaç derecedir? 7

272 4. Ünite: Üçgenler 7. ve üçgen 0. [] // [E] 4 cm E cm F 6 cm K [] // [EF] [FK] // [] E F [EF] // [] F = F = 9 cm 9 cm = cm 9 Verilenlere göre E = kaç cm dir? Verilenlere göre EF = kaç cm dir? 8. [E] açıortay 6 E [] // [E] = 4 = 6 cm E = cm. 0 cm üçgen [E] // [] m( E) = m( ) Verilenlere göre = kaç cm dir? E 8 cm cm 5 cm Verilen uzunluk ölçülerine göre kaç cm dir? 9. üçgen 6 F 4 E [] // [E] [] // [FE] F = 6 cm F = 4 cm. 5 m( ) = m( ) = 5 cm = cm Verilenlere göre = kaç cm dir? Verilenlere göre = kaç cm dir? 7

273 . ölüm: Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik. E 6 cm 5 cm cm 6. 8 cm cm 8 cm 0 cm [] [], [E] [] ve [] [] verilen uzunluk ölçülerine göre kaç cm dir? 5 cm Şekilde verilen uzunluk ölçülerine göre m( ) + m( ) = m() olduğunu gösteriniz. 4. Şekilde ve üçgendir. cm [] // [EF] [] // [] E 7. Yere paralel duran 48 cm uzunluğundaki bir tahtaya bir ışık kaynağından tahtaya dik bir ışık gönderildiğinde yere düşen gölgenin boyu 60 cm olmaktadır. Işık kaynağı 6 cm F 0 cm Verilen uzunluk ölçülerine göre kaçtır? Tahta 48 cm Işık kaynağının tahtaya uzaklığı 9 cm olduğuna göre tahtanın yere uzaklığı kaç cm dir? 5. 4 N dörtgen, E K 7 M F [] // [EF] // [] EK = KF Verilen uzunluk ölçülerine göre EF kaç cm dir? 8. ir ağacın yüksekliğini ölçmek isteyen rda, yere bir çubuk saplamış ve çubuğun ve gölgesinin boylarının sırasıyla 0 cm ve cm olduğunu gözlemlemiştir. ynı anda bir arkadaşı da ağacın gölgesini ölçmüş ve 4 metre bulmuştur. una göre ağacın yüksekliği kaç metredir? 7

274 4. Ünite: Üçgenler ÇÖZÜMLER & &., EF olduğundan = F olur. O hâlde + = = 0 = = 5 cm dir cm cm 4 cm öndürme sonucunda üçgenine eş bir üçgen elde edilir. Yani &, & ll olur. olayısıyla = = 9 cm ve = = 4 cm olur. önme sonucunda modele eş bir şekil elde edilir. olayısıyla &, & l l olur. O halde = olduğundan ikizkenar üçgen olur. önme açısı 0 olduğundan m( l ) = 0 olur ve ikiz- kenarlıktan m( l ) = 0 olur. = 4 cm = + Eşlikten dolayı m( ) = m( ll) = = 65 dir. 4 = 9 + = 5 cm bulunur. olayısıyla dik üçgeninde m( ) = a = = 5 bulunur.. & Katlama sonucunda l & ve eş üçgen olacağından 6. 8 n E n [] açıortay yani m( ) = m() = 45 olur. m(l ) = m( ) = alalım. üçgeninde dış açıdan = = 70 bulunur. E = n ve E = n diyelim. [E] // [] olduğundan Temel orantı teoremine göre, uradan a + = 80 a + 70 = 80 a = 40 olur. E n = & = = 8 = 6 cm bulunur. E 8 n & 4. & ve E nin karşılıklı kenerları eşit uzunlukta olduğundan iki üçgen eş olur. m(e ) = m( ) = 00 olduğundan m( E ) = 80 bulunur. 7. Temel orantı teoreminden üçgeninde; E F 4 F = & =... () E F F üçgeninde F K F 6 = & =... () F K F 9 yazılabilir. () ve () den 4 6 = & 6 = 6 & = 6 cm dir. 9 74

275 . ölüm: Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik 8. [E] yi uzatıp [F] yi oluşturalım. [] // [F] olduğundan m( EF ) = m( EF) 6 a F elde edilir. E a a Yani EF = F olur. Öte yandan = 4 olduğudan = 4 F dir. F F a + a Thales teoreminden: = & = 6 4 a 5 4(a + ) = 6 & 4a + 8 = 8 & 4a = 0 & a = dir. 5 O hâlde = 4a = 4 = 0 cm olur.. cm 0 cm 8 cm E 5 cm [E] // [] olduğundan m( E ) = m( ) ve ayrıca m(e ) = m( ) olduğundan m( E) = m() dir. uradan E & + & açı-açı benzerliği elde edilir. 4 E 0 8 = & = & + 0 = 4 & = cm dir b 5 6 F 4 n E n [] // [EF] olduğundan Temel Orantı Teoremi nden E = n ve E = n yazılabilir. [] // [E] olduğundan E = & E 0 n = & = 5 = 5 cm olur. n a i m( ) = m( ) = a, m() = b ve m( ) = i için m( ) = i olur. & & uradan ve nin karşılıklı açılarının eş olduğu görülebilir. O hâlde & + & benzerliğinden i a 5 = & = & = & = 5 6 = 0 cm bulunur. 0. n K 9 E F n 9 [FE] uzatılıp [KF] elde edilirse [KF] // [] ve KE = 9 cm olur. Verilen orandan F = n ve F = n yazabiliriz. KF F + 9 n = & = & + 9 = 4 & = 5 cm olur. 4 n 8. a 6 cm 5 cm E b cm a b m( ) = a ve m( ) = b dersek m(e ) = a ve (a + b = 90 olduğundan) m(e) = b olur. & & O hâlde, ile E açı-açı benzerliğinden 6 = & = & = 5 cm bulunur. E 5 75

276 4. Ünite: Üçgenler 4. cm 6k E 7. Işık kaynağı 0 k 9 cm 6 cm F 0 cm [] // [FE] olduğundan E = 6k ve E = 0k yazılabilir. Öte yandan [] [] kelebeğinde E 6k = & = E 6 0k 5 48 & 5 = 48 & = & = 9,6 cm bulunur artış 4 artış 4 N artış artış Tahta 48 cm h cm gölge 60 cm Yer Verilen model yukarıdaki gibi olur. Tahta ile gölgesi bibirine paralel olacağından benzer iki üçgen elde edilir. olayısıyla Thales ten h = & 9 + h = h = 40 h = 48 cm bulunur. 7 M Paralellikten dolayı artış miktarları orantılı olur. Yani = & ( 4) ( ) = ( ) (7 ) = = 45 = 5 cm olduğundan EF = = 5 = 0 cm bulunur. 8. h metre 4 metre 6. 8 cm 8 cm a 5 cm cm b a b 0 cm ve üçgenlerinin karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarını yazalım. = 8 =... (), = =... () 8 5 = =... () 0 (), () ve () ten (Kenar-Kenar-Kenar benzerliğinden) & & + olduğu görülür. olayısıyla m( ) = m( ) = a ve m() = m( ) = b elde edilir. olayısıyla m( ) + m( ) = m() olduğu gösterilmiş olur. Çubuk Gölgesi Verilen modele göre, ağaç ve gölgesinin oluşturduğu üçgen ile çubuk ve gölgesinin oluşturduğu üçgen benzer olur. O hâlde ağacın yüksekliğine h metre dersek, 5 h ( metre) 0 ( cm) = 4 ( metre) ( cm) 8 8 h = 5 4 h = 5 metre olur. 76

277 . ölüm: Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik TEST - Üçgenlerde Eşlik ve enzerlik & &. Şekilde verilen ve FE eş üçgenlerdir. 8 cm (y+5) cm 6 cm 6 cm ( ) cm E 0 cm F & & (, FE ) Verilen uzunluk ölçülerine göre + y toplamı kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) cm E cm 8 cm F 4 cm dörtgen [] // [EF] // [] Verilen uzunluk ölçülerine göre kaçtır? ),5 ) ),5 ) 4 E) 5 5. [] // [] Şekilde Verilenlere göre kaçtır? E 6 4 E Verilenlere göre ) 5 ) 5 oranı kaçtır? ) = 4 cm = 6 cm [] [] = {E} ) 7 4 E) ) ) ) 4 ) 5 E) 6 6. üçgen. 7 cm 6 cm E cm 8 cm üçgen [] // [E] = 6 cm = 8 cm E = 7 cm 8 E 6 [E] // [] E = cm E = 6 cm E = 8 cm Verilenlere göre E = kaç cm dir? ) 8 ) 0 ) ) 4 E) 5 Verilenlere göre = kaç cm dir? ) 0 ) ) 4 ) 5 E) 6 77

278 7. F 7 Verilen uzunluk ölçülerine göre E ) ) 4 E ) 4 5 m( ) = m(fe) m( ) = m(fe) ) 5 6 oranı kaçtır? E) 4. Ünite: Üçgenler 0. [] açıortay [] [] [H] [] H H = H H = cm Verilenlere göre = kaç cm dir? ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 E) 8. m( ) = m() = cm = 8 cm. ve EF üçgenleri benzerdir. = 6 cm, = 4 cm ve EF = 8 cm olduğuna göre F kaç cm dir? ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 E) 8 Verilenlere göre = kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 0 ) E). 9. [] [] m( ) = m(e) E = E = 8 cm E Verilenlere göre = kaç cm dir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 E) 9 ilgisayar kullanmayı yeni öğrenen Simlâ pencerenin köşesinden sağ alta doğru çekince pencerenin aynı oranda büyüdüğünü farkediyor. Verilen uzunluk ölçülerine göre kaç cm dir? ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 E) E. E. E