Kabul Ediliş Makale/Aepted Mausript Başlık: Dalga kılavuu alalarıı aa-uayı eerji öelliklerii türetilesi Title: Derivatio of eergeti properties of the waveguide fields i tiedoai Yaarlar/Authors: Ahet Arda Çoşa, Fatih Erde, Oleg A. Tretyakov ID: 5896 DOI: https://doi.or./.734/gaifd.46495 Dergi İsi: Gai Üiversitesi Mühedislik-Miarlık Fakültesi Dergisi Joural Nae: Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity Geliş Tarihi/Reeived Date: 3.6.7 Kabul Tarihi/Aepted Date:..8 Makale Atıf Foratı/Mausript Citatio Forat: Ahet Arda Çoşa, Fatih Erde, Oleg A. Tretyakov, Derivatio of eergeti properties of the waveguide fields i tie-doai, Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity (8), https://doi.or./.734/gaifd.46495 Dergi Bilgi Notu: Bu PDF belgesi, kabul ediliş ola akalei digi işlei yapılaış halidir. Kabul ediliş akaleleri kullaılabilir olası aaıyla akalei digisi hali iteret üeride yayılaıştır. Makale, ihai foruda yayılaada öe yaı ve dilbilgisi olarak kotrol edileek, daha sora digileeek ve yeide göde geçirilesi işleie tabi tutulaaktır. Bu digilee işleleri esasıda içeriği etkileyebileek hataları buluabileeğii ve Gai Üiversitesi Mühedislik ve Miarlık Dergisi içi geçerli ola yasal sorululuk reddi beyalarıı buluduğuu lütfe uutayı. Joural Early View Note: This is a PDF file of a uedited ausript that has bee aepted for publiatio. As a servie to our ustoers we are providig this early versio of the ausript. The ausript will udergo opyeditig, typesettig, ad review of the resultig proof before it is published i its fial for. Please ote that durig the produtio proess errors ay be disovered whih ould affet the otet, ad all legal dislaiers that apply to the joural pertai.
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity Dalga kılavuu alalarıı aa-uayı eerji öelliklerii türetilesi Ahet Arda Çoşa *, Fatih Erde, Oleg A. Tretyakov Gebe Tekik Üiversitesi, Elektroik Mühedisliği Bölüü, 44, Koaeli Milli Savua Üiversitesi Dei Harp Okulu, Elektroik Mühedisliği Bölüü, 3494, İstabul Öe Çıkalar Elektroayetik Teoriye Evrisel Yaklaşı Yötei Sietrik fordaki Maxwell dekleleri Dalga kılavuu alalarıı eerji öellikleri Öet Dalga kılavuu problei elektroayetik teoride öeli yere sahip ola ve sıkça araştırıla bir koudur. Bu çalışada aadoei dalga kılavuu problei içi klasik aa-haroik çöü yöteii aksie Elektroayetik Teoriye Evrisel Yaklaşı (ETEY) yötei kullaılarak aaa bağılı gerçek değerli foksiyolar iside çöü elde ediliştir. Maxwell dekleleri içi yei bir ölçekledire prosedürü kullaılarak Maxwell deklelerii SI biri sistei çerçeveside sietrik forata getirilesi sağlaıştır. ETEY yöteide dalga kılavuu probleide Klei-Gordo deklei (KGD) çöü içi büyük öe taşıaktadır. KGD dekleii çöüüyle dalga kılavularıda odal gelikler elde ediliş ve uygulaış ola ölçekledire prosedürü ile elektroayetik dalgaları eerji öellikleri SI biri sistei içeriside ieleiştir. Aahtar Kelieler: Elektroayetik teoriye evrisel yaklaşı, evri dekleleri, klei-gordo deklei, dalga kılavuu, aa doei Derivatio of eergeti properties of the waveguide fields i tie-doai Highlights Evolutioary Approah to Eletroagetis Maxwell s equatios i syetrial for Eergeti properties of the waveguide odes Abstrat The waveguide proble is oe of the ost studied probles of the eletroageti theory. I this study, istead of lassial tie-haroi eletroagetis, tie-doai waveguide proble is solved i tie-doai as real-valued futios of tie with akig usage of the Evolutioary Approah to Eletroagetis (EAE). With a ovel salig proedure Maxwell s equatios are rearraged to the syetrial for i the SI uit syste. Klei-Gordo equatio (KGE) plays a iportat role i the EAE for waveguide proble. Solvig KGE results i the odal aplitudes for the waveguide, ad the eergeti properties of the eletroageti fields are studied i SI uit syste with our ew salig proedure. Key Words: Evolutioary approah to eletroagetis, evolutioary equatios, klei-gordo equatio, waveguide, tiedoai.. GİRİŞ (INTRODUCTION). Kou ve Yöte (Subjet ad Method) Elektroayetik teorii öeli araştıra koularıda bir taesi ola dalga kılavuu problei diğer elektroayetik probleleri gibi klasik aa-haroik yötei kullaılarak t da başlayıp t a
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity kadar deva ede olayları ieleyerek çöüe ulaştırılabilir. Gerçek duruda bakılaak olursa, probleleri çöüüde belirli bir t aaıda başlaya orlaış osilasyolar kullaılak duruudadır. Bu bakış açısıyla, elektroayetik teorideki çöü yötelerii iki aa kategoride ieleek üküdür. İlk kategoriye; oder bilgisayarları hesaplaa liitleriyle kısıtlı ola üerik yöteler alıabilir. İkii kategoride ise; geellikle aplae veya Fourier itegral döüşülerii buluduğu aalitik yöteler buluur. Aalitik aa uayı çöü yöteleri kategoriside ola bu çalışa, dalga kılavuu alalarıı gree foksiyou ile kayak foksiyouu aa kovolüsyou olarak sua, aak t ve büyüdükçe doğruluk kaybıa uğraya aa uayı çalışalarıda [] farklı olarak, Elektroayetik Teoriye Evrisel Yaklaşı (ETEY) yötei çerçevesidedir []. Mateatikçiler tarafıda aa türevli bütü diferasiyel dekleler evrisel dekleler olarak adladırırlar [3]. Bu dekleleri çöüleri uygu başlagıç koşulları altıda, olayları aa içerisideki gelişiii t başlagıç aaıda göle aıa kadar ortaya koyaktadırlar. Çöüü evri dekleleri foruda elde edileside dolayı bu yöte Evrisel Yaklaşı olarak isilediriliştir. ETEY yötei, yakı aa içeriside klasik aa-haroik yöteie alteratif bir yöte olarak taııştır [4].. SI BİRİM SİSTEMİNDE MAXWE DENKEMERİNİN İNCEENMESİ (INVESTIGATING MAXWE S EQUATIONS IN SI UNITS) Teel olarak birbiride bağısı yedi eleada oluşakta ola SI biri sisteide (Iteratioal Syste of Uits - SI), N (Newto) Nkgs kuvvet birii sigesi olak üere, elektrik ala ve ayetik ala vektörlerii boyutları sırasıyla volt / etre ve aper / etre olarak belirleiştir: R, t V N,, t A As R () R göle oktasıı poisyo vektörü, t göle aaı, ise sistedeki kayıpları odelleye iletkelik sabiti olak üere SI biri sistei çerçeveside Maxwell dekleleri; şeklide yaılabilir. R, t t R, t r, t R, t R, t t () Eş.() deki dekleleri orijial foru, SI biri sisteide çok daha öe ortaya kouluş olduğuda SI sisteie geçildiğide biri sisteie uydurulak üere düeleeye tabi oluştur. Maxwell dekleleride fiiksel boyut aalii yapıldığıda, operatör abla ı boyutuu ve t / t i boyutuu s olduğu görülebilir. SI biri sisteideki fiiksel boyutlarıyla düşüüldüğüde, sistei boyutsal olarak eşitlik duruuu koruası içi Maxwell deklelerie elektrik ve ayetik geçirgelik katsayılarıı aşağıda belirtile fiiksel boyutları ile birlikte ekleesi gerekli oluştur: 3
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity 7 H N 4 A F A s 7 4 N (3) / s ışık hıı olak üere; ışık hııı sayısal değerii sebolie ede sabittir; 8.9979458 [5]. Elektrik kapasitası birii farad F s Akg 4 olarak yaılabilir... SI Biri Sisteide Maxwell Deklelerii Sietrikleştirilesi (Syetriatio of Maxwell s Equatios i SI Uits) Maxwell deklelerideki elektroayetik ifadeleri fiiksel boyutlarıı SI biri sisteide ölçekledirek V V üere; elektrik ala vektörü, R, t V, t R, içi yei ölçekledire faktörüü fiiksel V boyutuu volt V olası N / şeklide ve ayetik ala vektörü, A A R, t A, t R, içi yei ölçekledire faktörüü fiiksel boyutuu aper A olası N / şeklide yei fiiksel sabitler belirleerek sağlaabilir: A N N As V 5 / 3.367 A N / 8.96 A V (4) Eş.4 te yei taılaa katsayıları çarpııı, SI biri sisteide ışık hııı verdiği gösterilerek doğrulaa yapılabilir; A V 8.9979 AVN s. (5) Yei taılaa katsayılar yardııyla elektrik ala ve ayetik ala vektörleri ölçekledire faktörlerii sayısal değerleri ile birlikte; şeklide yaılabilir. V 5 R, t R, t 3.367 R, t A 3 R, t R, t8.96 R, t (6) Tretyakov tarafıda öerile [6] bu ölçekledireyle elde edile yei R,t ve R,t vektörel büyüklüklerii ayı yaılabilesii sağlar. R,t ve R,t yerleştirildiğide Maxwell dekleleri; fiiksel boyutua sahip olası Maxwell deklelerii sietrik forda V A ala vektörleri, ve katsayıları ile birlikte Eş. de ilgili yerlerie 4
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity t R, t tr, t R, t R, t R, t şeklide yei forda elde ediliş olur. Yei fordaki dekleler içi kayıp paraetresi ola ile arasıda (7) s /( ) ilişkisi vardır. Eş.7 ile Maxwell dekleleri Heaviside-oret deklelerii sahip olduğu sietrik forda yaılıştır [7, 8]. SI biri sistei içeriside elde edile Eş.7, Eş. ile karşılaştırıldığıda, Eş. deki ve evresel sabitlerii yerie Eş.7 de sadee sabitii buluduğu görülür. 3. PROBEMİN AÇIKANMASI (STATEMENT OF THE PROBEM) 3.. Dalga Kılavuu Probleii Açıklaası (Stateet of the Waveguide Proble) Bu çalışada, S kesit alaı O eksei boyua regüler ve tek parçalı sıırı ile kapatılış ükeel elektriksel iletkeliğe sahip bir dikdörtge dalga kılavuu ele alııştır. Oeksei boyua, sıırıa teğet olarak l ve dalga kılavuu yüeyii orali doğrultusuda vektörleri; l şeklide taılası. r vektörü S dalga kılavuu kesit yüeyi üeride taılı ve ise R vektörüü O ekseie idüşüü olak üere dalga kılavuu içerisideki bir göle oktası Rr şeklide taılaıştır. 3.. Problei Forülasyou (Forulatio of the Proble) Dalga kılavuu probleii çöüü içi Eş.7 deki Maxwell dekleleri ile R, ve R, ˆ t t (8) diverjas deklelerii sağlaya çöü elde edilelidir. Burada ˆ / N / yei fordaki dekleler içi elektriksel yük yoğuluğudur. Probleii çöüü içi ihtiyaç duyula sıır koşulları da,, l, (9) r r r ükeel elektriksel iletke sıır koşulları olarak forülasyoua ilave edilsi. 4. ENİNE BOYUNA AYRIŞIMAR (TRANSVERSE ONGITUDINA DECOMPOSITIONS) Yukarıda R kou vektörüü eie-boyua ayrışıla taılaası gibi operatörü de; () 5
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity şeklide taılası. Elektrik ve ayetik ala vektörleri de Eş.() daki forda, eie-boyua ayrışı ile; şeklide yaılabilir. R, t R, t R, t R, t R, t R, t () 4. Rotasyoel Dekleleri İdüşüleri (Projetig of the Curl Equatios) ve vektörel ifadeleri Eş. deki forda r, t, ye bağılı üç elealı gösterildiğide rotasyoel ifadesi açık olarak; şeklide yaılabilir. Eie ve boyua rotasyoeller, şeklide gösterilebilir. foruda () ve, birbiride ayrı olarak (3) Eş. ye uygu şekilde Eş.7 deki yei fordaki Maxwell deklelerideki rotasyoel ifadeleri yeide yaıldığıda ilk dekle öe ardıda t t t (4) R, R, t t t (5) R, R, şeklide yaılabilir. Bu dekle, Eş.3 te gösterile şekilde eie ve boyua deklelere ayrıldığıda; şeklide iki ayrı dekle elde edilir. t t (6) Eş.7 de görüle ikii dekle de beer şekilde eie ve boyua deklelere ayrıldığıda dekleleri elde edilir. t t (7) 4. Eie Elektrik Modal Ala Problei (Trasverse Eletri (TE) Modal Field Proble) 6
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity Eie Elektrik (TE) odal ala probleii ieleesi içi öelikle sietrikleştiriliş Eş.7 de Maxwell dekleleride elde ediliş ola Eş.6 ve Eş.7 dekleleri, Eş.9 daki ükeel elektrik iletke sıır koşulları ve Eş.8 deki diverjas deklelerii eie-boyua ayrışıı bir arada kullaılarak proble bütü hale getirilelidir. TE-odları içi E olduğuda, H eleaıı barıdıra dekleler kullaılarak, t t l (8) şeklide bir arada yaılabilirler. Burada ilk dekle, Eş.6 daki ilk dekle, ikii dekle Eş.7 deki skaler ikii dekle, üçüü dekle eie-boyua ayrışıı yapılış diverjas dekleii kısı, dört ve beşii dekleler sıır koşullarıdır. eleaıı içere Kolay alaşılır hale getirek aaıyla eleaı sol yada toplaarak Eş.8 yeide düeleerek; t t l (9) şeklide yaılabilir. 4.3 Eie Mayetik Modal Ala Problei (Trasverse Mageti (TM) Modal Field Proble) Eie Mayetik (TM) odal ala problei içi de; Eş.6 ve Eş.7 dekleleri, Eş.8 deki diverjas dekleleri ve Eş.9 da verile sıır koşulları kullaılarak proble TM-odu dekle seti elde edilebilir. E eleaıı barıdıra dekleleri kullaılasıyla TM-odları içi t ˆ ˆ l t () 7
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity dekleleri elde edilir. eleaı sol yada toplaarak Eş. yeide düeleeek olursa; t t ˆ ˆ l () dekle seti elde edilir. 5. ZAMAN DOMENİ TE-MODARI (TIME-DOMAIN TE- MODES) 5.. Vektörel Modal Ba (Vetorial Modal Basis) Eş.9 daki sıır koşulları eie eleaı, r, t, t, r olarak kullaaı gerektiğii söyleektedir. Buradaki, potasiyel () r ve gelik faktörü t, buluası gereke bilieye elealardır. r ifadesii sıır koşullarıı sağladığı, r r (3) şeklide Eş. i sıır koşuluda yerie yerleştirilesi souuda gösterilebilir. Elektrik ala eleaıı eie ifadesi r,, t Buradaki, t, de ayetik ifadeye beer bir şekilde yaılabilir: t t r,,, r. (4) büyüklüğü buluası gereke bir diğer büyüklüktür. r r r r l ifadesi ieleirse, l l (5) şeklideki eşitliği elde edileeği ve Eş.5 teki ifadei Eş.3 ile ayı olduğu görülebilir. r,, t eleaı da eie ifadelere beer bir şekilde, r,,, r t A t (6) olarak yaılaak olursa bir diğer bilieye olarak At, elaaı görülektedir. Problei çöüü içi, elde edile bu bilieye eleaları hesaplaası gerekektedir. 8
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity Bilieye gelik faktörleriyle; Eş., Eş.4 ve Eş.6 da ifade ediliş ola, ve ala bileşeleri, Maxwell deklelerii TE-Modlarıda kullaılak içi düelee Eş.9 daki ikii ve üçüü deklelerde ilgili yerlerie yaılabilir. Bu yerleştire souuda,, r, t r, r, t r t A t A t dekleleri elde edilir. Burada t (/ ) t ve r r ödeşlikleri kullaılıştır. (7) Eş.3 teki sıır koşulu ve Eş.7 deki r ifadesi () r () r, () r Neua sıır değer probleii çöülesi gerektiğii gösterektedir. Burada r ödeğerlere karşılık gele öfoksiyoları belirtir,,,..., üere r eleaı, şeklide ölçekledirilsi. () r () r. Burada ödeğer, (8) r ilgili, ölçekledire katsayısı olak (9) ölçekledire katsayısıı bütü fiiksel boyut öelliklerii üeride taşıdığı belirtileek olursa, ölçeklediriliş eleaı boyutsu bir elea olur. Ölçeklediriliş Neua sıır değer problei, () r () r, () r r (3) şeklide yaılabilir. Burada; oraliasyo koşulu, S S () r / () S r S ds N N ds (3) şeklide belirtilebilir. Burada S dalga kılavuuu eie kesit doeidir. Eş.3 de görülebileeği gibi, oraliasyo koşuluda sağ ya N, yai Newto a eşittir. Eş.3 içi boyut aalii yapılırsa, N / fiiksel boyutua sahiptir. Eş.3 daki oralie çöüler () r potasiyel olarak ifade ediliş ola, Hilbert uayıı taılayıp ortooral olduklarıda daha öede r yerie kullaılabilir. Eş.7 de r ifadesi r yerie, () r ifadesi de ( r ) yerie kullaıldığıda; t, ht, t, ht, t gelikleri elde edilir. duruuda, gelik faktörü At, şu şekilde ölçekledirilebilir: (3) 9
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity A t, h t,. (33) Eş., Eş.4 ve Eş.6 da dekleleri elde ediliş olur. r ifadesi r yerie, h, t ifadesi de A yerie yerleştirildiğide, r, t, t, r r, t, t, r r, t, ht, r (34) 5.. TE Modal Alalar (TE Modal Fields) Eş.34 te taılaa deklelerde yola çıkarak, r değişkeie bağlı yei bir vektör foksiyo grubu taılaabilir: Burada ˆ ˆ r r r r r r ˆ. r ve r iki bileşeli eie vektörler, r ˆ ˆ ˆ (35) ise tek bileşeli O eksei doğrultusuda bir vektördür. Eş.35 ile birlikte oluşturula bu yei dekle grubu, dalga kılavuu eie kesit doei S içeriside bir odal ba oluşturur. TE odal alaları Eş.35 ile birlikte, r, t, t, h r h t, ˆ r r, t, t, e r şeklide taılaabilir. Eş.3 de t, ve t, ifadelerii h, Eş.36 dekleleride bilieye olarak sadee h, t odal gelik eleaı kalıştır. (36) t türüde yaılasıı ardıda, 5.3. h, t Deklei (The Equatio for, h t ) Eş.36 ile taılaa TE odal alalarıı bulak içi h, t odal gelik eleaıı taılayaak bir dekle elde edilesi gereklidir. Bu aksatla Eş.36 da taılaa odal ala ifadelerii, Eş.9 da TE-odları dekle grubudaki ilk deklede ilgili yerie koyulası yeterlidir. Böylee; t (37) eşitliği elde edilir. Eş.35 te ortaya koa odal ba eleaları da kullaılarak elde edile Eş.37 de gerekli değişiklikler yapıldığıda, h odal gelik eleaıı geel olarak taıı,
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity h, t h h h t t t (38) olarak elde edilir. Burada, boyutsu aa; t, ve boyutsu ; olarak iki yei değişke taılaabilir. Ayrıa boyutsu kayıp paraetresi / olarak taılaır ve /, / gösterii beiseirse, Eş.38 yeide düeleerek; h, h, h, h, (39) şeklide yaılabilir. Eş.39 da elde ediliş ola kou ve aa türevli dekle Klei-Gordo deklei (KGD) [9], telegraf deklei ya da geelleştiriliş dalga deklei olarak biliektedir.,, h e h eşitliği ilgili yerde kullaılarak birii dereede aa türevi deklede kaldırılabilir. Öelikle, h ifadesi; (4) h e h e h e h olarak elde edilir. h, e h, eşitliği ve Eş.4 kullaılarak düeleeler yapıldığıda h, içi KGD yei forda; h, h, h, (4) şeklide elde edilir. 5.4. Evrisel Dekleleri TE-Modları İçi Çöüü (Solutio of the Evolutioary Equatios for the TE Modes) Eş.4 i çöülesiyle h, t odal geliklerii buluasıı ardıda bilieye diğer t, t, odal gelikleri Eş.3 de de görülebileeği gibi, ve t, ht, h, v t t, ht, h, v (4) h odal gelikleride faydalaarak buluabilirler. 5.5 Yörüge de Gerçek Değerli Çöüler (Real-valued Solutios o Orbit ) KGD i sietri öellikleri, W.Jr. Miller tarafıda grup teorisi kapsaıda ieleiştir []. Miller değişkeleri ayrıştırılası yöteii kullaarak çeşitli yollarla KGD e çöü sağlaya o bir adet sietri yörügesi buluştur. Bu çalışa kapsaıda, KGD aa-haroik çöüüe dek gele yörüge
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity çerçeveside çöülektedir. Yörüge içi elde edile çöü; kopleks değerli ekspoasiyel ifadeleri olduğu klasik aa-haroik yöteii aksie gerçek değerli olarak;, si exp h t t t (43) / şeklide elde edilektedir [, ]. Burada değişkei frekas, w ve ise gerçek değerli sayısal bir paraetrelerdir. geçerlidir. kesi frekasıı verektedir. Eş.43 teki ifadei gerçek değerli olarak elde edilesi ile bu yötede eerji öelliklerii alık değişiii ieleek ükü oluştur. Miller ı sietri yörügeleri çerçeveside literatürde, yörüge dışıdaki diğer yörügelere ilişki souçlar da yer alaktadır [, 3, 4, 5, 6, 7]. 6. ZAMAN DOMENİ TM-MODARI (TIME-DOMAIN TM- MODES) 6.. Vektörel Modal Ba (Vetorial Modal Basis) Eş. deki sıır koşulları eie eleaı, olarak kullaaıı öerir. Buradaki r, t, t, r (44) r potasiyeli ve t, bilieye elealardır. Mayetik ala eleaıı eie ifadesi; olarak yaılabilir. Eş.45 deki t, r, t, t, r gelik faktörü buluası gereke (45) büyüklüğü buluası gereke bir diğer büyüklüktür. Boyua elea,, r E t (46) olarak ifade edilebilir. Buradaki Et,, diğer bilieye elealar gibi daha sora buluaaktır. Eş.44 ve Eş.45, Maxwell deklelerii TM-Modlarıda kullaılak üere düelee Eş. deki ilk deklede ilgili yerlerie yaılırsa; t, r tet, Et, r (47) elde edilir. Burada, r r eşitliği kullaılıştır. sıır koşulu, souuu verir. Eş. 47 deki r ifadesi ile birlikte düşüüldüğüde; ödeğer ve r ilgili ödeğerlere karşılık gele öfoksiyolar olak üere () r () r, () r (48) Dirihlet sıır değer probleii çöülesi gerektiği görülebilir.
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity Burada ölçekledire katsayısı olak üere r eleaı, (49) şeklide ölçekledirilsi. Eş.49 daki ölçekledire katsayısıı bütü fiiksel boyut öelliklerii üeride taşıdığı belirtileek olursa, ölçeklediriliş souç ola eleaı boyutsu bir elea olur. Ölçeklediriliş Dirihlet sıır değer problei, () r () r, () r (5) olarak yaılabilir. Burada, oraliasyo koşulu, şeklide belirtilebilir. Eş.5 deki S S, ( r) / ( ) S r S N / ds N N ds (5) fiiksel boyutua sahiptir. E t, ile ifade edile gelik eleaı da ile birlikte,,, E t e t (5) şeklide ölçekledirilebilir. Eş.5 de görüldüğü gibi, E t ifadesi, şu a içi bilieye e, t ile ifade edilektedir. Eş.49 daki ölçekledire ve Eş.5 deki Dirihlet sıır değer problei kullaılarak, Eş.46 ve Eş.47 deki r potasiyel ifadesi yerie () r ö foksiyoları yerleştirildiğide; r, t, e r t, e e t dekleleri elde edilir. Böylee, bilieye r, t, ve t, ifadeleri, e, ediliştir. (53) t iside ifade TM-odları içi kullaıla Eş. deki üçüü dekle, şu a içi bilieye ifadeler ola t, ve e t, arasıda bir ilişki ortaya koyak içi kullaılabilir. Noraliasyo koşulu kullaılarak, olarak yaılır. t, e t, (54) Böylee t,, t, ve E t, bilieyeleri, e, dekleleri yeide yaılaak olursa; t iside yaılıştır. Eş.44, Eş.45 ve Eş.46 3
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity elde edilir. Bu dekle seti; r, t, t, r r, t, t, r r, t, e r. (55) r ifadesi yerie r kullaılarak, Eş. deki dekleleri ikiiside ilgili yerlerie yerleştirildiğide; e r, t r t, t r (56) elde edilir. Basitleştire işleleride sora, t t e t,,, (57) t souua ulaşılır. Eş.53 teki t, ve Eş.54 teki t, ifadelerii Eş.57 de yerlerie yerleştirilip gerekli düeleeler yapıldığıda; e te te e (58) TM-odları içi KGD elde edilir. Eş.58; şeklide yeide düeleebilir. Burada (59) ˆ e e e e t ve ve ˆ kayıp paraetresidir. Eş.55 te taılaa dekleler ve Eş.7e deki Dirihlet sıır değer problei bie, ˆ ˆ ˆ r r r r r r (6) şeklide odal baı oluşturur. 6.. TM Modal Alalar (TM Modal Fields) Eş.6 ile taılaa odal ba eleaları ielediğide, r ve r ˆ ˆ iki bileşeli eie vektörler, ˆ r ise tek bileşeli bir vektördür. TM odal alaları t şeklide taılaabilir. ve, h r, e re, ˆ r ölçekledireleri ile birlikte, (6) 6.3 Yörüge de Gerçek Değerli Çöüler (Real-valued Solutios o Orbit ) TM-odları içi Miller ı yörüge i kapsaıda gerçek değerli çöü;, si exp e t t t (6) 4
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity / olarak elde edilektedir [, ]. Burada; değişkei frekas, sayısal bir paraetrelerdir. geçerlidir. kesi frekasıı verektedir. w ve ise gerçek değerli 7. ENERJİ ÖZEİKERİ (ENERGETICA PROPERTIES) 7.. Poytig Vektörü ve Eerji Yoğuluğu (Poytig Vetor ad Eergy Desity) Bir elektroayetik dalgaı eerji akış oraı yöü elektroayetik dalgaı ilerlee yöüyle ayı ola Poytig vektörü, r,t, ile taılaır. r,t, biri ala başıa güç ifadesii açıklar. Eş.6 da görüle ölçekledirile işlei uygulaış ola ala vektörleri kullaılarak güç akış yoğuluğuu (Poytig vektörüü) taılaya dekle; r, t N r, t (63) şeklide yaılabilir. güç akış yoğuluğuu fiiksel boyutu Ns dur. Bu boyutu ayı aada stadart taı ola watt /etrekare ye karşılık geldiği gösterilebilir; Ns Js W. Eerji yoğuluğuu stadart olarak taıı; r, t (64) şeklide ifade edilir. Poytig vektörüde olduğu gibi ölçeklediriliş ala vektörleri kullaılarak eerji yoğuluğu deklei yeide yaılırsa; N r, t (65) eşitliği elde edilir. Burada r,t eerji yoğuluğuu boyutuu joule / etreküp olduğu görülebilir; 3 3 N N J. Elektroayetik ala eerjisii ileti hıı r,t, Uov teoreie göre [8] Poytig vektörü ve eerji yoğuluğu ile ilişkilidir ve olarak gösterilir. r, t r, t r, t (66) 7.. TE-Modları içi Eerji Öellikleri (Eergetial Properties of the TE-Modes) Eş.63 ve Eş.65 de açıklaış ola eerji öellikleri, Eş.36 da odal gelikler yardııyla ifade edile elektrik ve ayetik ala vektörleride faydalaılarak yeide yaılaak olursa; 5
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity eşitlikleri elde edilir. r, t N t, t, N r, t t, t, h t, (67) 7. TM-Modları içi Eerji Öellikleri (Eergetial Properties of the TM-Modes) Ayı şekilde; TM-Modları içi eerji öellikleri de Eş.6 de odal gelikler kullaılarak ifade edile elektrik ve ayetik ala vektörleride faydalaılarak; şeklide elde edilirler. r, t N t, t, N r, t t, t, e t, (68) 8. ENERJİ ÖZEİKERİ İÇİN GRAFİKSE SONUÇAR (GRAPHICA RESUTS FOR THE ENERGETIC PROPERTIES) Eerji öelliklerii aala değişiiie ilişki grafiksel souçlara geçede öe; Eş.43 kullaılarak h t Eş.4 kullaılarak t, ve t,, Eş.6, Eş.53 ve Eş.54 kullaılarak sırasıyla e t,, t, t,,, ve odal geliklerii aala değişi grafiklerii ieleek üküdür. Bu kısıda suula grafiksel souçlar Maplesoft firasıı ateatiksel hesaplaa prograı Maple ile elde ediliştir. Öelikle kayıpsı ortada elde ediliş ola TE-odu içi Yörüge souçları ieleeek olursa Şekil 7. de sergilee odal gelikleri aala değişii elde edilir..5 h() V() I().5 Gelik -.5 - -.5-3 4 5 6 7 8 9 Zaa () Şekil 7.: Kayıpsı dalga kılavuu içi TE-Modu odal gelikler (Figure 7.: Modal aplitudes for the TE-odes i lossless waveguide) 6
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity t, ve t, eie ala geliklerii aksiu olduğu oktada, iiu olduğu grafikte görülektedir. h t boyua ala geliğii Eş.68 ve Eş.66 eşitlikleride faydalaılarak; r,t güç akış yoğuluğu, r,t eerji yoğuluğu ve r,t eerji ileti hııı aala değişiie ilişki grafikler Şekil 7. de sergileiştir. 3.5 3.5 S() W() v() Gelik.5.5 3 4 5 6 7 8 9 Zaa () Şekil 7.: Kayıpsı dalga kılavuu içi güç akış yoğuluğu, eerji yoğuluğu ve eerji ileti hııı aala değişii (Figure 7.: Tie depedee of the power flow desity, eergy desity ad veloity of trasportatio of the odal field eergyi lossless waveguide) Şekil 7. de büyüklükleri aala değişi gösterdiği görülektedir. r,t Poytig vektörü,, ve, ala vektörlerii odal geliklerii çarpııa bağlı olduğuda belirli oktalarda sıfır olaktadır. Şekil 7. de eerji ileti hııı da ayı t aıda sıfır olasıı sebebi Eş.66 da görülebilir. Ayrıa; eerji ileti hııı ile oralie ediliş halii görüldüğü Şekil 7. de, r,t geçediği de görülektedir. i hiçbir aa ışık hııı Dalga kılavuudaki eie ve boyua alaları eerji yoğuluklarıı aala değişiii ieleyerek, eerjii koruuuda istifade ile, elde edile souçları doğruluğuu ieleek üküdür. Bu aksatla eie alaları eerji yoğuluğu farkı içi dw,, yoğuluğu ise w h, ile ifade edilsi. taılası. Boyua alaları eerji 7
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity Gelik.9.8.7.6.5.4 dw() w() v().3.. 3 4 5 6 7 8 9 Zaa () Şekil 7.3: Kayıpsı dalga kılavuu TE-odları içi eie ve boyua eerji yoğulukları (Figure 7.3: Trasverse-logitudial eergy desities for the TE-odes i lossless waveguide) Kayıpsı ortada gelik aksiu değeri aala aalaksıı, dw eie ve w boyua alaları arasıdaki eerji değişii Şekil 7.3 te görülektedir. Şekil 7. deki eerji ileti hııı sıfır olduğu oktalarda eie alaları eerji yoğuluğuu sıfır olduğu da Şekil 7.3 te görülektedir. Beer şekilde, içeriside kayıplı orta bulua dalga kılavuudaki elektroayetik alalara ilişki gelikleri Eş.43, Eş.4, Eş.68 ve Eş.66 eşitlikleride faydalaılarak aala değişileri ielediğide; aksiu gelik değerlerii aala aaldıkları Şekil 7.4 ve Şekil 7.5 te, eerji ileti hııı ortaı kayıp paraetreside bağısı olduğu yie Şekil 7.5 te görülektedir..5.5 Gelik -.5 - -.5 h() V() I() - 3 4 5 6 7 8 9 Zaa () Şekil 7.4: TE-odu kayıplı dalga kılavuu duruu içi odal gelikler (Figure 7.4: Modal aplitudes for the TE-odes i lossy waveguide) 8
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity 3.5 3.5 S() W() v() Gelik.5.5 3 4 5 6 7 8 9 Zaa () Şekil 7.5: Kayıplı dalga kılavuuda güç akış yoğuluğu, eerji yoğuluğu ve eerjii ileti hııı aala değişii (Figure 7.5: Tie depedee of the power flow desity, eergy desity ad veloity of trasportatio of the odal field eergyi lossy waveguide) 9. SONUÇ (CONCUSION) Dalga kılavuu içerisideki odları eerji öelliklerie ilişki öeki çalışaları büyük kısı, periyottaki aa ortalaası iside souç elde edile aa-haroik alalar koseptide yapılıştır. Bu çalışada, klasik aa-haroik çöü yöteii aksie dalga kılavuu problei içi doğruda aa doeide aalitik bir çöü elde ediliştir. Maxwell dekleleri içi kullaıla yei ölçekledire prosedürü ile dekleler Heaviside-oret deklelerii sietrik foruda, aak SI biri sistei çerçeveside yaılıştır. Dalga kılavuu içerisideki odlara ait gelik ve eerji büyüklükleri bu çalışada öerile yei fordaki sietrik dekle çifti kullaılarak elde ediliştir. Elektrik ve ayetik ala vektörlerii fiiksel boyutlarıı ayı hale getirerek Maxwell deklelerii sietrikleştirilesi ile elektroayetik alaları eerji öelliklerii çalışılasıda kolaylık sağlaış, bu sayede ileride dalga kılavuu içerisideki odları; atalet yoğuluğu, oetu ve açısal oetu gibi ekaik öelliklerii çalışılabilesi sırasıda R,t ve R,t dekleler uygu hale getiriliştir. ı birbiride çıkarılabilesi ve toplaabilesi içi KAYNAKAR REFERENCES. Kristesso, G., Trasiet eletroageti wave propagatio i waveguides, Joural of Eletroageti Waves ad Appliatios, vol. 9, iss. 5-6, 995.. Tretyakov, O.A., Evolutioary waveguide equatios, Radiotekhika i Elektroika, (i Russia), 5 (6), pp. 97-96, 989; Soviet Joural o Couiatio Tehology ad Eletrois, (Eglish traslatio), 35 (), pp. 7-7, 99. 3. Birkhäuser Matheatis. Joural of Evolutio Equatios. Spriger. http://www.spriger.o/birkhauser/atheatis/joural/8. Erişi tarihi Nisa 8, 7. 9
Joural of the Faulty of Egieerig ad Arhiteture of Gai Uiversity 4. Tretyakov, O. A., Erde, F., Evolutioary Approah to Eletroagetis as a Alterative to the Tie Haroi Field Method, IEEE AP-S/USNC-URSI, Chiago, I, USA, July 8-4,. 5. Thopso, A. ve Taylor, B.N., Guide for the Use of the Iteratioal Syste of Uits (SI), NIST Speial Publiatio 8, 8 Editio, US Natioal Istitute of Stadards ad Tehology, Gaithersburg, MD 899. 6. Tretyakov, O.A., Fatoriig physial diesios of the quatities igressed i Maxwells equatios i SI uits, Progress i Eletroagetis Researh Syposiu (PIERS-7), St Petersburg, Russia, May 7. 7. Heaviside, O., Eletroageti Theory, Vol. II, The Eletriia Pub. Co., odo, 899. 8. oret, H.A., The Theory of Eletro, B.G. Teuber, eipig, 96. 9. Kragh, H., Equatio with the ay fathers. The Klei-Gordo equatio i 96, A. J. Phys., vol. 5, o, pp. 4-33, Nov. 984.. Miller, W.Jr., Syetry ad separatio of variables, Addiso-Wesley Publiatio Co., 977.. Polyai, A. D., Hadbook of iear Partial Differetial Equatios for Egieers ad Sietists, Chapa & Hall/CRC Press, Boa Rato, F,.. Aksoy, S., Tretyakov, O.A., Evolutio equatios for aalytial study of digital sigals i waveguides, JEMWA, 7 (), pp. 665-68, 3. 3. Tretyakov, O.A., Akgu, O., Derivatio of Klei-Gordo equatio fro Maxwell s equatios ad study of relativisti tie-doai waveguide odes, PIER, 5, pp. 7 9,. 4. Tretyakov, O.A., Kaya, M., The real-valued tie-doai TE-odes i lossy waveguides, PIER, 7, pp. 45 46,. 5. Tretyakov, O.A., Kaya, M., Tie-doai real-valued TM-odal waves i lossy waveguides, PIER, 38, pp. 675 696, 3. 6. İsik, Ö., Koçak, Z. F., Eroglu, E., The Ivestigatio of surplus of eergy ad sigal propagatio at tiedoai waveguide odes, Appliatios ad Applied Matheatis, vol. 9, iss., pp. 637-645, 4. 7. Akgu, O., Tretyakov, O.A., Solutio to the Klei Gordo equatio for the study of tie-doai waveguide fields ad aopayig eergeti proesses, IET MAP, 9 (), pp. 337-344, 5. 8. Uov, N.A., Ei Theore über die Wehselwirkug i edlihe Etferuge, Zeitshrift für Matheat. ud Physik, 9, 97-4, 874.