a < b ise, a dan b ye açık aralık a ile b arasındaki tüm sayıları kapsar ve (a, b) ile gösterilir. Küme gösterimini kullanarak

Aralıklar Aralıklar Gerçel saıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b e açık aralık a ile b arasındaki tüm saıları kapsar ve (a, b) ile gösterilir. Küme gösterimini kullanarak azabiliriz. (a, b) = { R a < < b} MAT 1009 Kalkülüs I 1 / 79

Aralıklar A2 APPENDIX A INTERVALS, INEQUALITIES, AND ABSOLUTE VAL A Intervals, Inequalities, and Abso (a, b) = { a < < b} Certain sets of real numb Aralığın uç noktaları olan a ve b nin kapsanmadığına dikkat spond ediniz. geometricall Bu to l a to b consists of all num durum uvarlak parantez ( ) kullanılarak ve Şekildeki içi boş dairelerle Using set-builder notatio gösterilmiştir. a FIGURE 1 Open interval (a, b) b Notice that the endpoin indicated b the round br val from a to b is the set a FIGURE 2 Closed interval [a, b] b Here the endpoints of th ets and b the solid do in an interval, as shown We also need to cons MAT 1009 Kalkülüs I 2 / 79

Aralıklar A Intervals, Inequalities, and Abso Tanım 1 a dan b e kapalı aralık Certain sets of real numb spond geometricall to l a to b consists of all num Using set-builder notatio [a, b] = { R a a b b} Notice that the endpoin FIGURE 1 indicated b the round br kümesidir. Burada uç noktaların her ikisi de kapsanmıştır. Bu durum köşeli Open interval (a, b) val from a to b is the set parantez [ ] kullanılarak ve Şekildeki içi dolu dairelerle gösterilmiştir. a FIGURE 2 Closed interval [a, b] b Here the endpoints of th ets and b the solid do in an interval, as shown We also need to cons Table 1 lists the nine possible tpes of intervals. When these intervals are This does not mean that set of all numbers that a MAT 1009 Kalkülüs I 3 / 79

Aralıklar Bir aralık, Tablo 1 de gösterildiği gibi, uç noktalardan alnızca birini de kapsaabilir. (a, ) = { R > a} gibi sonsuz aralıkları da ele almamız gerekir. Bu, un ( sonsuz ) bir saı olduğu anlamına gelmez. (a, ) ifadesi a dan büük tüm saıların kümesidir. Burada simgesi alnızca aralığın pozitif önde sınırsız olarak genişlediğini gösterir. MAT 1009 Kalkülüs I 4 / 79

1 Aralıklar Table of Intervals e also need to consider 1 Table infinite of Intervals intervals such as Table of Intervals Notation Notation Set description Set Picture Notat Notation a, Set description Picture Notat a Picture Notat Aralık Gösterimi Notation Küme Set description Gösterimi Picture Şekil Notat a, b a, b (a, b) a, b a, b { : a b b a b a, a, does not mean that ( infinit ) is a a number. < < b The notation b b} a, stands for the a b a, a, a, f all numbers that are greater a, b than a, so a, a, [a, b] a, b a, b { : b} a, a, b a the smbol b simpl indicates that the val etends indefinitel far in the positive b a direction. a b b, b a b,, [a, b) a, b { : < b} a, b a, b a, b a b, b a b, a b, b a b, Picture (a, b] a, b { : < b}, a, b, a, b, b a b Notation Set description Picture Picture Notation Set description b a b a Picture b (a, ) { : > a} b a b a, a b a, [a, ) { : a a, a a} a a, Inequalities, b a Inequalities (, b) { : < b a b b} Inequalities, b Inequalities b When When working working with with inequalities, inequalities,, b b b When working (, b], b { : b} with inequalities,, b b (set of all When working b with inequalities, (, ), real (set R numbers) of all Rules for Inequalities real numbers) Rules for Inequalities b Rules for Inequalities Tablo 1: Aralıklar Tablosu Rules 1. 1. If If for a Inequalities b, then then a c b 1. If, then a c b 1. 2. 2. If If a b and and then c d, then then a 2. If and d then Inequalities 2. 3. 3. If If a b and and c 0, then then a n working MAT with 1009 inequalities, note the following Kalkülüs Irules. 3. If a b and c 0, then 5 / 79 a

Eşitsizlikler Eşitsizlikler Eşitsizlik Kuralları 1 a < b ise a + c < b + c dir. 2 a < b ve c < d ise a + c < b + d dir. 3 a < b ve c > 0 ise ac < bc dir. 4 a < b ve c < 0 ise ac > bc dir. 5 0 < a < b ise 1 a > 1 b sağlanır. MAT 1009 Kalkülüs I 6 / 79

Eşitsizlikler Örnek 2 2 5 + 6 0 eşitsizliğini çözünüz. Çözüm. Önce sol anı çarpanlarına aırırız. ( 2)( 3) 0 ( 2)( 3) = 0 denkleminin 2 ve 3 olduğunu bilioruz. 2 ve 3 gerçel saı doğrusunu üç parçaa böler: (, 2) (2, 3) (3, ) MAT 1009 Kalkülüs I 7 / 79

Eşitsizlikler Çözüm (devamı). Bu aralıkların her biri için çarpanların işaretlerini belirleriz. ( 2) ( 3) ( 2)( 3) 2 3 0 + + 0 + + + Sonra, ( 2)( 3) ifadesinin 2 < < 3 için negatif olduğunu tablodan orumlarız. Dolaısıla ( 2)( 3) 0 eşitsizliğinin çözümü aralığıdır. { R 2 3} = [2, 3] Çarpımın negatif a da sıfır olduğu değerlerini aradığımız için, uç noktalar olan 2 ve 3 ün kapsandığına dikkat ediniz. MAT 1009 Kalkülüs I 8 / 79

Eşitsizlikler Örnek 3 3 + 3 2 > 4 eşitsizliğini çözünüz. Çözüm. İlk olarak tüm sıfırdan farklı terimleri bir ana toplar ve elde edilen ifadei çarpanlanna aırınz: 3 + 3 2 4 > 0 ( 1)( + 4) > 0 Önceki örnekte olduğu gibi, karşıgelen ( 1)( + 4) = 0 denklemini çözer ve = 4, = 0 ve = 1 çözümlerini kullanarak gerçel saı doğrusunu (, 4), ( 4, 0), (0, 1) ve (1, ) aralıklarına aırırız. MAT 1009 Kalkülüs I 9 / 79

Eşitsizlikler Çözüm (devamı). Her bir aralıkta çarpanların işaretlerini belirleriz: ( 1) ( + 4) ( 1)( + 4) 4 0 1 0 + + 0 + 0 + + + + + Sonra çözüm kümesini, tablodan okuarak aşağıdaki şekilde elde ederiz: { R 4 < < 0 vea > 1} = ( 4, 0) (1, ) MAT 1009 Kalkülüs I 10 / 79

Bir Fonksionun Dört Farklı Gösterimi Fonksionlar ve Modeller Bir Fonksionun Dört Farklı Gösterimi Bir nicelik bir diğerine bağlı olduğunda ortaa fonksionlar çıkar. Aşağıdaki dört durumu düşünelim: 1 Bir dairenin alanı A, arıçapı r e bağlıdır. Bu bağlılık A = πr 2 eşitliği ile gösterilir. Her pozitif r değerine karşılık bir A değeri vardır ve bu A nın r nin fonksionu olması ile ifade edilir. MAT 1009 Kalkülüs I 11 / 79

Bir Fonksionun Dört Farklı Gösterimi 2 P ile gösterilen düna nüfusu, t zamanına bağlıdır.tablo, düna nüfusu P (t) i t ıllarında aklaşık olarak vermektedir. Yıl Nüfus (milon) 1900 1650 1910 1750 Örneğin, 1920 1860 P (1950) 2.560.000.000 1930 2070 1940 2300 Zaman t nin her değerine karşılık gelen 1950 2560 bir P değeri olduğundan P nin 1960 3040 zaman t nin fonksionu olduğunu 1970 3710 söleriz. 1980 4450 1990 5280 2000 6070 MAT 1009 Kalkülüs I 12 / 79

Bir Fonksionun Dört Farklı Gösterimi 3 Bir mektubun posta ücreti C, ağırlığı w e bağlıdır. w ile C arasında kolaca ifade edilebilecek basit bir formül olmamasına karşın posta idareleri w bilindiğinde C i belirleen kurallar kullanırlar. MAT 1009 Kalkülüs I 13 / 79

Bir C. Fonksionun The cost CDört of Farklı mailing Gösterimi a first-class letter depends on the weight w of the letter. Although there is no simple formula that connects w and C, the post office has a 4 Bir depremde rule for determining er kabuğunun C when w is düşe known. ivmesi a, sismograflar tarafından D. geçen The t vertical süresinin acceleration fonksionu a of the olarak ground belleğe as measured kadedilmektedir. b a seismograph Şekilden, during an earthquake is a function of the elapsed time t. Figure 1 shows a graph generated b Los seismic Angeles activit kentindeki during the sismik Northridge hareketin earthquake grafiği that shook verilmektedir. Los Angeles 1994 te Verilen in 1994. t değerine For a given karşılık value of gelen t, the agraph değerini provides grafiktena corresponding okuabiliriz. value of a. a {cm/s@} 100 50 5 10 15 20 25 30 t (seconds) IGURE 1 on during rthquake _50 Calif. Dept. of Mines and Geolog Each of these eamples describes a rule whereb, given a number ( r, t, w, or t), another number Şekil ( 1: A, Northridge P, C, a) is depreminde assigned. In each düşe case er we ivmeleri sa that the second number is a function of the first number. MAT 1009 Kalkülüs I 14 / 79

Bir Fonksionun Dört Farklı Gösterimi Bu örneklerin tümü, verilen bir saıa (r, t, w vea t) karşılık diğer bir saıı veren (A, P, C vea a) bir kural betimler. Her bir durumda ikinci saı birincisinin fonksionudur. MAT 1009 Kalkülüs I 15 / 79

Fonksion Fonksion Tanım 4 Bir f fonksionu, bir A kümesinin öğesini, bir B kümesinin tek bir f() öğesine taşıan bir kuraldır. Genellikle A ve B kümelerinin gerçel saıların kümeleri olduğu fonksionları düşüneceğiz. A kümesine fonksionun tanım kümesi denir. f() saısına f fonksionunun deki değeri denir. saısı A kümesi içinde değişirken f() in tüm olası değerlerinin kümesi f nin görüntü kümesidir. MAT 1009 Kalkülüs I 16 / 79

Fonksion f nin tanım küınesinin herhangi bir öğesini ifade eden sembole, bağımsız değişken denir. Görüntü kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole bağımlı değişken denir. MAT 1009 Kalkülüs I 17 / 79

Arrow diagram for ƒ Fonksion, f (Notice that these are input-output pairs.) Bir fonksionu anlamanın en agın olu points onun, grafiğidir. in the Tanım coordinate kümesi plane Asuch olan bir f fonksionunun grafiği The graph of a function f gives us a us of {(, f()) R 2 a function. Since the -coordinate of a can read A} the value of f from the graph point (see Figure 4). The graph of f also ile betimlenen sıralı ikililer kümesidir. -ais and its range on the -ais as in Fig {, ƒ} Başka bir deişle, f nin grafiği, tanım kümesinde ve = f() olmak koşulu ile düzlemdeki (, ) noktalarının kümesidir. f(1) f(2) ƒ 0 1 2 FIGURE 4 MAT 1009 Kalkülüs I 18 / 79

-coordinate of an point, on the graph is f, we Fonksion from the graph as being the height of the graph above the e graph of f also allows us to picture the domain of f on the e -ais as in Figure 5. Grafik, f nin tanım ve görüntü kümelerini, sırası ile ve ekseni üzerinde, Şekildeki gibi göstermemize de ardımcı olur. ƒ range ƒ() FIGURE 5 0 domain MAT 1009 Kalkülüs I 19 / 79

Fonksion EXAMPLE 1 The graph of a function f is shown in Figure 6. (a) Find the values of f 1 and f 5. Örnek (b) What 5 are the domain and range of f? 1 0 1 SOLUTION Şekilde bir f fonksionunun grafiği verilmiştir. (a) We see from Figure 6 that the point 1, 3 lies on the graph of f, so the value of f a) at 1 f(1) is f 1 ve f(5) 3. (In değerleri other words, ile, the point on the graph that lies above 1 is three b) funits ninabove tanımthe ve-ais.) görüntü kümelerini bulunuz. When 5, the graph lies about 0.7 unit below the -ais, so we estimate that f 5 0.7. (b) We see that f is defined when 0 7, so the domain of f is the closed MAT 1009 Kalkülüs I 20 / 79

Fonksion Çözüm. a) Şekilden (1, 3) noktasının grafikte olduğunu, dolaısıla f(1) = 3 olduğunu buluruz. (Başka bir deişle, = 1 de grafikteki nokta ekseninden 3 birim ukarıdadır.) = 5 için grafik ekseninin aklaşık 0.7 birim altındadır. Bu nedenle f(5) 0.7 buluruz. b) f() değerleri alnızca 0 7 olan değerleri için tanımlandığından, f nin tanım kümesi [0, 7] aralığıdır. Grafikten, f nin 2 ile 4 arasındaki tüm değerleri aldığını görüoruz. Dolaısıla f nin görüntü kümesi olur. { 2 4} = [ 2, 4] MAT 1009 Kalkülüs I 21 / 79

Fonksion Fonksionların Gösterimi Fonksionların Gösterimi Fonksionların Gösterimi Sözel olarak (sözcükler ile ifade) Saısal olarak (değerler tablosu ile) Görsel olarak (grafik ile) Cebirsel olarak (açık bir formül ile) MAT 1009 Kalkülüs I 22 / 79

Fonksion Fonksionların Gösterimi Örnek 6 Üstü açık dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun hacmi 10 m 3 tür. Tabanın uzun kenarı, kısa kenarın iki katıdır. Tabanda kullanılacak malzemenin metrekaresi 10 TL, an üzlerde kullanılacak malzemenin metrekaresi 6 TL ise, maliet fonksionunu kısa kenarın fonksionu olarak bulunuz. Çözüm. Şekilde kısa kenar w, uzun kenar 2w ve ükseklik h olarak gösterilmiştir. h 2w w FIGURE 16 MAT 1009 Kalkülüs I 23 / 79

Fonksion Fonksionların Gösterimi Çözüm (devamı). Taban alanı (2w)w = 2w 2 olduğundan, taban malieti 10(2w 2 ) TL olacaktır. İki an üzün alanı wh, diğer ikisinin alanı ise 2wh dır. Buradan an üzlerin toplam alanı [2(wh) + 2(2wh)] olur. Dolaısıla an üzlerin malieti 6[2(wh) + 2(2wh)] dir. Toplam maliet ise olur. C = 10(2w 2 ) + 6[2(wh) + 2(2wh)] = 20w 2 + 36wh MAT 1009 Kalkülüs I 24 / 79

Fonksion Fonksionların Gösterimi Çözüm (devamı). C i w nin bir fonksionu olarak ifade edebilmek için h i ok etmemiz gerekir. Hacim 10 m 3 olduğu için, w(2w)h = 10 ve dolaısıla h = 10 2w 2 = 5 w 2 dir. Bunu C ifadesinde erine koarak C = 20w 2 + 36w ( ) 5 w 2 = 20w 2 + 180 w elde ederiz. C(w) = 20w 2 + 180 w, w > 0 denklemi, C i w nin fonksionu olarak ifade eder. MAT 1009 Kalkülüs I 25 / 79

Fonksion Düşe Doğru Ölçütü Düşe Doğru Ölçütü Bir fonksionun grafiği düzleminde bir eğridir. Bu durumda akla bir soru gelior: düzlemindeki hangi eğriler bir fonksionun grafiğidir? Bu sorunun anıtı aşağıdaki ölçüttür. MAT 1009 Kalkülüs I 26 / 79

Fonksion Düşe Doğru Ölçütü The graph The of graph a function of a function is a curve is a in curve the in -plane. the -plane. But the But question the question arises: arises: Which Which urves curves in the in -plane the are -plane graphs are graphs of functions? of functions? This is This answered is answered b the following b the following test. test düzlemindeki bir eğrinin in bir fonksionunun grafiği olması için gerekli ve eterli koşul her düşe doğrunun bu eğrii en fazla bir noktada The kesmesidir. Vertical The Vertical Line TestLine A Test curve A in curve the in -plane the is -plane the graph is the of graph a function of a function of if of if and onl and if onl no vertical if no vertical line intersects line intersects the curve the more curve than more once. than once. Eğer = a gibi düşe bir doğru eğrii alnızca bir kez (a, b) noktasında The kesiorsa reason The f(a) reason for the = for truth b ile the of fonksion truth the Vertical of the tanımlanabilir. Vertical Line Test Line can Test be Ancak, can seen be in seen Figure = ain doğrusu, Figure 17. If each 17. If each ertical eğrii vertical line (a, b) line ve a intersects (a, c) a intersects noktalarında a curve a onl curve kesiorsa once, onl at once, a, bub at, eğri then a, b bir eactl, then fonksionun eactl one functional one grafiği functiona alue olamaz is value defined çünkü is defined b bir f a b fonksion fb a. But bif. a But = line aif değerinde a line a intersects ba ve intersects cthe gibi curve iki the farklı twice, curve değer at twice, a, b at a, b nd alamaz. a, and c, then a, c the, then curve the can t curve represent can t represent a function a function because because a function a function can t assign can t assign wo different two different values values to a. to a. =a =a (a, c) =a =a (a, c) (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) 17 0 0 a a 0 0 a a MAT 1009 Kalkülüs I 27 / 79

Fonksion Parçalı Tanımlı Fonksionlar Parçalı Tanımlı Fonksionlar Aşağıdaki örneklerde, tanım kümelerinin farklı parçalarında farklı biçimde tanımlanmış fonksionlar verilmektedir. Örnek 7 Bir f fonksionu, f() = { 1, 1 2, > 1 ile tanımlanmıştır. f(0), f(1) ve f(2) değerlerini bulunuz ve grafiği çiziniz. MAT 1009 Kalkülüs I 28 / 79

Çözüm. Fonksion Parçalı Tanımlı Fonksionlar Evaluate f 0, f 1, SOLUTION Remember the following: First l value of f is 1 Eğer 1 ise f() in değeri 1 dir. Eğer > 1 ise, f() in değeri 2 dir. FIGURE 19 1 1 How do we draw so the part of the gra cide with the line f 2, so the par coincide with the gra graph in Figure l9. T graph; the open dot i MAT 1009 Kalkülüs I 29 / 79

Fonksion Parçalı Tanımlı Fonksionlar Örnek 8 w ağırlığındaki mektubun posta ücreti C(w) olduğunu kabul edelim. Bu bir parçalı tanımlı fonksiondur, çünkü fonksionun değerlerini veren tablodan aşağıdakileri elde ederiz. C 0.39, 0 < w 1 ise, 0.63, 1 < w 2 ise, C(w) = 0.87, 2 < w 3 ise,. 1 0 1 2 3 4 5 w FIGURE 22 MAT 1009 Kalkülüs I 30 / 79

Fonksion Mutlak Değer Mutlak Değer Bir a saısının mutlak değeri, a ile gösterilir ve gerçel saı doğrusunda a nın sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklıklar her zaman pozitif a da 0 olduğundan her a saısı için a 0 sağlanır. Örneğin, 3 = 3 3 = 3 0 = 0 2 1 = 2 1 3 π = π 3 MAT 1009 Kalkülüs I 31 / 79

Fonksion Mutlak Değer Genel olarak, a 0 ise a = a a < 0 ise a = a olur. simgesinin pozitif karekök olduğunu anımsaınız. Bu nedenle r = s nin anlamı s 2 = r ve s 0 dır. Dolaısıla, a 2 = a denklemi her zaman doğru değildir. Yalnızca a 0 için doğrudur. a < 0 ise a > 0 olup a 2 = a sağlanır. Buradan, her a değeri için doğru olan a 2 = a denklemi elde edilir. MAT 1009 Kalkülüs I 32 / 79

Fonksion Mutlak Değerin özellikleri Mutlak Değerin özellikleri Mutlak Değerin özellikleri a ve b gerçel saı ve n tamsaı olsun. Bölece, aşağıdakiler geçerlidir. 1 ab = a. b 2 a = a (b 0) b b 3 a n = a n a > 0 ise aşağıdakiler geçerlidir. 4 = a ancak ve ancak = a 5 < a ancak ve ancak a < < a 6 > a ancak ve ancak > a vea < a MAT 1009 Kalkülüs I 33 / 79

Fonksion Mutlak Değerin özellikleri Örnek 9 3 + 2 4 eşitsizliğini çözünüz. Çözüm. Özellik 4 ve 6 dan, 3 + 2 4 eşitsizliği 3 + 2 4 a da 3 + 2 4 ifadesine denktir. Birinci durumda 3 2 olur, bu ise 2 3 verir. İkinci durumda 3 6 olur, bu ise 2 verir. Bölece çözüm kümesi { R 2 a da 2 } [ ) 2 = (, 2] 3 3, olur. MAT 1009 Kalkülüs I 34 / 79

Fonksion Simetri Simetri Tanım 10 Tanım kümesindeki her için f( ) = f() koşulunu sağlaan f fonksionuna çift fonksion denir. Örneğin, f() = 2 fonksionu için sağlandığından f çifttir. f( ) = ( ) 2 = 2 = f() MAT 1009 Kalkülüs I 35 / 79

Fonksion FIGURE 22 Simetri called step studied in C Bu fonksionların önemi, grafiklerinin eksenine göre simetrik olmasıdır. Yalnızca 0 için grafik çizildiğinde, tüm grafik eksenine göre simetri alınarak bulunur. f(_) _ 0 FIGURE 23 An even function ƒ Sm If a functio called an e The geome respect to t f for 0 If f sati odd functi MAT 1009 Kalkülüs I 36 / 79

Fonksion Simetri Tanım 11 Tanım kümesindeki her için f( ) = f() koşulunu sağlaan fonksionlara tek fonksion denir. Örneğin, f() = 3 fonksionu tektir çünkü f( ) = ( ) 3 = 3 = f() sağlanır. MAT 1009 Kalkülüs I 37 / 79

Fonksion Simetri f for 0 If f satis odd functi Tek fonksionlarınfigure grafikleri23 başlangıç noktasına göre simetriktir. Eğer 0 değerleri için An grafik even biliniorsa functiontüm grafik eldeki grafiğin başlangıç noktası etrafında 180 döndürülmesi ile elde edilir. _ 0 ƒ The graph alread hav through 18 EXAMPLE 11 neither eve (a) f SOLUTION FIGURE 24 (a) MAT 1009 An odd functionkalkülüs I 38 / 79

Fonksion Simetri Örnek 12 Aşağıdaki fonksionların teklik ve çiftlik durumlarını araştırınız. (a) f() = 5 + (b) g() = 1 4 (c) h() = 2 2 Çözüm. (a) f( ) = ( ) 5 + ( ) = ( 1) 5 5 + ( ) = 5 = ( 5 + ) = f() olduğundan f tektir. (b) g( ) = 1 ( ) 4 = 1 4 = g() olduğundan g çift fonksiondur. (c) h( ) = 2( ) ( ) 2 = 2 2. Dolaısı ile h( ) h() ve h( ) h() olduğundan h ne tek, ne de çift bir fonksiondur. MAT 1009 Kalkülüs I 39 / 79

Fonksion Simetri Since h h and h h, we conclude that h is neither even nor odd. The graphs of the functions in Eample 11 are shown in Figure 25. Notice that the graph Çözüm of h(devamı). is smmetric neither about the -ais nor about the origin. 1 f 1 g 1 h _1 1 1 1 _1 (a) (b) (c) Increasing and Decreasing Functions The graph shown in Figure 26 rises from A to B, falls from B to C, and rises again from C to D. The function f is said to be increasing on the interval a, b, decreasing on b, c, and increasing again on c, d. Notice that if and are an two numbers MAT 1009 Kalkülüs I 40 / 79

Matematiksel Modeller Matematiksel Modeller Bir matematiksel model; nüfus artışı, ürüne talep, düşen bir nesnenin hızı, kimasal tepkimedeki bir kimasalın konsantrasonu, bir bebeğin aşam süresi beklentisi gibi olaların fonksionlar vea eşitlikler ile matematiksel ifadesidir. Modelin amacı olaları anlamak ve belki de gelecekteki gelişimleri hakkında bir öngörüde bulunmaktır. MAT 1009 Kalkülüs I 41 / 79

ta. The graph Matematiksel might Modeller even suggest a suitable algebraic fo Real-world problem Formulate Mathematical model Test Solve Real-world predictions Interpret Mathematical conclusions stage is to appl the mathematics that we know (such a MAT 1009 Kalkülüs I 42 / 79

Matematiksel Modeller Doğrusal Modeller Doğrusal Modeller, in doğrusal fonksionudur dierek kastettiğimiz, fonksionun grafiğinin bir doğru olmasıdır. Dolaısıla, doğrunun eğimi m ve keseni b ise doğrunun eğim-kesen biçimini kullanarak fonksionun formülünü olarak azabiliriz. = f() = m + b MAT 1009 Kalkülüs I 43 / 79

Matematiksel Modeller Doğrusal Modeller LS ND MODELS Doğrusal fonksionların özgün özelliği değişim hızlarının sabit olmasıdır. characteristic ŞekildeA f() characteristic = feature 3 of 2feature doğrusal linear functions of linear fonksionunun functions is that the grafiği is that grow ve the at bazı a grow constant noktalarda at a rate. constant For ance, aldığı instance, Figure değerlerin 2 Figure shows tablosu a 2 graph shows verilmiştir. of a graph the linear of değişkeni the function linear 0.1 function f kadar 3f arttığında, 2 and 3 a table 2 and ofa ple f() in values. sample 0.3 Notice values. kadar that arttığına Notice whenever that dikkat whenever increases ediniz. increases b Dolaısı 0.1, the ile b value f(), 0.1, the of ten fvalue üç increases of kat f incr b So daha f 0.3. hızlı increases So artar. f increases three Bu nedenle times three as fast times = 3 as as. Thus, fast 2 grafiğinin as the. Thus, slope eğimi the of the slope olan graph 3, of anı the graph 3 2, el zamanda 3, namel can be nin 3, interpreted can ebe göre interpreted as değişim the rate as hızı of the change olarak rate of of dachange orumlanabilir. with of respect with to respect. to. f 3f 2 3 2 0 _2 =3-2 =3-2 0 _2 1.0 1.0 1.0 1.0 1.1 1.1 1.3 1.3 1.2 1.2 1.6 1.6 1.3 1.3 1.9 1.9 1.4 1.4 2.2 2.2 1.5 1.5 2.5 2.5 E 2 MAT 1009 Kalkülüs I 44 / 79

Matematiksel Modeller Doğrusal Modeller Örnek 13 (a) Kuru hava erüzünden ukarıa doğru hareket ettiğinde, genleşir ve soğur. Yerüzü sıcaklığı 20 C, 1 km ükseklikte sıcaklık 10 C ise, doğrusal bir modelin geçerli olduğu varsaımı ile sıcaklık T i ( C olarak), ükseklik h nin (km olarak) bir fonksionu olarak bulunuz. (b) (a) şıkkındaki fonksionu çiziniz ve eğimin ne ifade ettiğini açıklaınız. (c) 2.5 km ükseklikteki sıcaklığı bulunuz. MAT 1009 Kalkülüs I 45 / 79

Matematiksel Modeller Doğrusal Modeller Çözüm. (a) T nin, h nin doğrusal bir fonksionu olduğu varsaıldığından T = mh + b azabiliriz. h = 0 için T = 20 verildiğinden 20 = m 0 + b = b eşitliğinden, keseni b = 20 olarak bulunur. h = 1 için T = 10 verildiğinden 10 = m 1 + 20 eşitliği, doğrının eğimini m = 10 20 = 10 olarak verir ve istenilen doğrusal fonksion T = 10h + 20 olarak bulunur. MAT 1009 Kalkülüs I 46 / 79

Matematiksel Modeller Doğrusal Modeller We are given that T Çözüm (devamı). (b) Grafik Şekilde verilmiştir. m = 10 C/km olan eğim sıcaklığın In other words, the We are also give üksekliğe göre değişim hızını verir. T 20 10 T=_10h+20 The slope of the lin tion is (c) h = 2.5 km olduğunda sıcaklık 0 1 3 FIGURE 3 h (b) The graph is sk sents the rate of cha (c) At a height of h olur. T = 10(2.5) + 20 = 5 C If there is no ph an empirical mode fits the data in th MAT 1009 Kalkülüs I 47 / 79

Matematiksel Modeller Polinomlar Polinomlar Tanım 14 n bir tamsaı ve a 0, a 1,, a n sabit gerçel saılar olmak üzere P () = a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 şeklindeki fonksionlara polinom denir. a 0, a 1,, a n saılarına polinomun katsaıları denir. Her polinomun tanım kümesi R = (, ) dir. İlk katsaı a n 0 ise n saısına polinomun derecesi denir. MAT 1009 Kalkülüs I 48 / 79

Matematiksel Modeller Polinomlar Örneğin, P () = 2 6 4 + 2 5 3 + 2 derecesi 6 olan bir polinomdur. Derecesi 1 olan polinom P () = m + b biçiminde olacağından, doğrusal bir fonksiondur. Derecesi 2 olan bir polinom P () = a 2 + b + c biçimindedir ve kuadratik fonksion (vea ikinci dereceden polinom) adını taşır. MAT 1009 Kalkülüs I 49 / 79

nomial A polnomial of degree Matematiksel of 1 degree Modeller is of the 1 is form of the P form P m bm and Polinomlar so bit and is a so linear it is a func line olnomial on. A polnomial of degree of 2 degree is of the 2 is form of the P form P a 2 b a 2 c b and is ccalled and is a uadratic c İkinci function. dereceden function. The graph polinomların The of graph P is grafiği of alwas P parabololur is alwas parabola a veparabola grafikler obtained obtained bir b sonraki shifting b shi the arabola bölümde a 2, as göreceğimiz we a 2, will as we see gibi will in the = see a net in 2 parabolünün the section. net section. The kadırılması parabola The parabola ile opens elde upward edilir. opens ui d downward a 0> and 0 isedownward parabolun if a 0if. ağzı (See a ukarıa, Figure 0. (See 7.) a Figure < 0 ise7.) aşağıa doğru bakar. 2 2 2 2 0 10 1 1 1 Şekil 2: = 2 + + 1 = 2 2 + 3 + 1 (a) = ++1 (a) = ++1 (b) =_2 +3+1 (b) =_2 +3+1 nomial A polnomial of degree of 3 degree is of the 3 is form of the form MAT 1009 Kalkülüs I 50 / 79

Matematiksel Modeller Polinomlar Derecesi 3 olan bir polinom P () = a 3 + b 2 + c + d biçimindedir ve kübik fonksion adını taşır. MAT 1009 Kalkülüs I 51 / 79

Matematiksel Modeller Kuvvet Fonksionları Kuvvet Fonksionları Tanım 15 a sabit bir saı olmak üzere f() = a biçimindeki fonksionlara kuvvet fonksionu denir. MAT 1009 Kalkülüs I 52 / 79

Matematiksel Modeller Kuvvet Fonksionları Bazı özel durumları düşünelim: i) n pozitif bir tamsaı olmak üzere a = n olsun. n = 3, 4 ve 5 olduğunda f() = n fonksionlarının grafikleri Şekilde çizilmiştir SECTION SECTION 1.2 SECTION MATHEMATICAL 1.2 1.2 MATHEMATICAL MODELS MODELS MODELS 31 3 (bunlar alnızca bir terimi olan polinomlardır). =# =# =# =$ =$ =$ =% = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 10 1 1 0 0 10 1 1 0 0 10 1 MAT 1009 Kalkülüs I 53 / 79

odd. If n is even, then f 3 n is an even function and its graph is similar n to the parabola Şekilden of 2. görüleceği n If becomes n is odd, flatter then f gibi n near artarken 0 and n is steeper an odd f() = when function n, 0 akınında and 1. its (If graph is small, is similar to that smaller, of is even smaller, is smaller still, and so on.) then düzleşmekte, 33. Notice from Figure 1 için dikleşmektedir. 4 12, however, that as n increases, the graph of n becomes flatter near 0 and steeper when 1. (If is small, then 2 is smaller, 3 is even smaller, 4 is smaller still, and so on.) Matematiksel Modeller Kuvvet Fonksionları lar to that of. Notice from Figure 12, however, that as increases, the gra =$ (_1, 1) (_1, 1) =$ =^ = =^ (1, 1) = (1, 1) 0 =# 0 0 (_1, _1) =# (1, 1) =% (1, 1) = URE 12 nctions 0 (_1, _1) (ii) ( küçükse, 2 daha küçük, 3 daha da küçük, 4 ondan da küçük, (ii) a 1 n, where n is a positive integer v.b. The olacaktır). function f 1 n s n is a root function. For n 2 it is the square roo a function 1 n, where f n is s a positive, whose integer domain is 0, and whose graph is the upper half o MAT 1009 Kalkülüs I 54 / 79

Matematiksel Modeller Kuvvet Fonksionları. [See Figure 13(a).] For other even values of n, the g 2 ilar to that of s. For n 3 we have the cube root fun hose domain is (recall that ever real number has a cube is shown in Figure 13(b). The graph of s n for n odd n t of. ii) n pozitif bir tamsaı olmak üzere a = 1 n olsun. f() = 1 n = n fonksionuna s 3 kök fonksionu denir. n = 2 ise f() =, tanım kümesi [0, ), grafiği ise = 2 parabolünün üst kolu olan kare-kök fonksionudur. 0 (1, 1) n tamsaısının çift olması durumunda = n fonksionunun grafiği = fonksionunun grafiğine benzer. (1, 1) 0 (a) ƒ=œ (b) ƒ=#œ MAT 1009 Kalkülüs I 55 / 79

or other even Matematiksel values Modeller of n, the graph of n 3 we have the cube root function t ever real number has a cube root) and e graph of s n for n odd n 3 is Kuvvet Fonksionları n = 3 durumunda f() = 3, tanım kümesi R olan (her gerçel saının küp-kökü vardır) küp-kök fonksionudur ve grafiği aşağıda verilmiştir. 0 (1, 1) n tek ise, (n > 3) = n nin grafiği = 3 fonksionunkine benzer. (b) ƒ=#œ MAT 1009 Kalkülüs I 56 / 79

Matematiksel Modeller Kuvvet Fonksionları a = 1 olsun. Şekilde bir bölüsü fonksionu f() = 1 = 1 in grafiği verilmiştir. Denklemi 32 = CHAPTER 1 a da 1 FUNCTIONS = 1 olan grafik, AND MODE koordinat eksenlerini asimptot kabul eden bir hiperboldür. 1 0 = 1 (iii) The grap ae T whi prop MAT 1009 Kalkülüs I 57 / 79

Matematiksel Modeller Rasonel Fonksionlar Rasonel Fonksionlar Tanım 16 P ve Q gibi iki polinomun oranı olarak ifade edilebilen f() = P () Q() fonksionuna rasonel (kesirli) fonksion denir Tanım kümesi, Q() 0 olan tüm saılarıdır. Örneğin, tanım kümesi { : 0} olan f() = 1 bir fonksiondur. fonksionu da rasonel MAT 1009 Kalkülüs I 58 / 79

Matematiksel Modeller f() = 24 2 + 1 2 4 Rasonel Fonksionlar fonksionu da tanım kümesi { ±2} olan bir rasonel fonksiondur. Ano enon is R A ratio 20 0 2 where Q domain FIGURE 16 MAT 1009 Kalkülüs I 59 / 79

Matematiksel Modeller Cebirsel Fonksionlar Cebirsel Fonksionlar Tanım 17 Polinomlardan (toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma gibi) cebirsel işlemler ile elde edilebilen f fonksionuna cebirsel fonksion denir. Rasonel fonksionlar cebirsel fonksionlardır. Aşağıdaki fonksionlar da birer cebirsel fonksion örneğidir. f() = 2 + 1 g() = 4 16 2 + + ( 2) 3 + 1 MAT 1009 Kalkülüs I 60 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Bu bölümde, önceki bölümlerde öğrendiğimiz temel fonksionlardan başlaacağız ve grafiklerini kadırarak, gererek vea ansıtarak eni fonksionlar elde edeceğiz. Arıca, bir fonksion çiftinin standart aritmetik işlemler ve bileşkele nasıl birleştirildiğini göstereceğiz. MAT 1009 Kalkülüs I 61 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri Fonksionların Dönüşümleri Bir fonksionun grafiğine dönüşümler ugulaarak eni fonksionlar elde edebiliriz. Bu fikirler bize bir çok fonksionun grafiğini hızlıca çizebilme eteneğini kazandıracaktır. Anı zamanda, verilen grafiklerin denklemlerini bulabileceğiz. MAT 1009 Kalkülüs I 62 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri Önce ötelemeleri düşünelim. Eğer c pozitif bir saı ise = f() + c fonksionunun grafiği = f() fonksionunun grafiğinin ukarı doğru c birim kadırılması ile elde edilir. (Bunun nedeni tüm koordinatlarının c kadar arttırılmasıdır.) Benzer biçimde, c > 0 için g() = f( c) ile tanımlanan g fonksionunun saısındaki değeri, f nin ( c) saısındaki değeridir (başka bir deişle in c birim solundaki değer). Bu nedenle, = f( c) fonksionunun grafiği, = f() grafiğinin c birim sağa kadırılmış halidir. MAT 1009 Kalkülüs I 63 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri Yata ve Düşe Kadırmalar Kabul edelim ki, c > 0 olsun. = f() + c nin grafiğini elde etmek için = f() grafiğini ukarı doğru c birim kadırınız. = f() c nin grafiğini elde etmek için = f() grafiğini aşağıa doğru c birim kadırınız. = f( c) nin grafiğini elde etmek için = f() grafiğini sağa doğru c birim kadırınız. = f( + c) nin grafiğini elde etmek için = f() grafiğini sola doğru c birim kadırınız. MAT 1009 Kalkülüs I 64 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Kabul edelim ki, c > 0 olsun. Fonksionların Dönüşümleri SECT =ƒ+c =f(+c) c =ƒ =f(-c) c c 0 c =ƒ-c MAT 1009 Kalkülüs I 65 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri Şimdi germe ve ansıma dönüşümlerini ele alalım. c > 1 ise, = cf() fonksionunun grafiği, = f() fonksionunun grafiğinin düşe doğrultuda c kadar gerilmesi ile elde edilir (çünkü her koordinatı anı c saısı ile çarpılmıştır). = f() fonksionunun grafiği, = f() grafiğinin eksenine göre ansımasıdır, çünkü (, ) noktası (, ) noktası ile er değiştirmektedir. MAT 1009 Kalkülüs I 66 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri Germe ve Yansımalar Kabul edelim ki, c > 0 olsun. = cf() in grafiğini elde etmek için = f() in grafiğini düşe olarak c kadar geriniz. = 1 c f() in grafiğini elde etmek için = f() in grafiğini düşe olarak c kadar büzünüz. = f(c) in grafiğini elde etmek için = f() in grafiğini ata olarak c kadar büzünüz. = f( c ) nin grafiğini elde etmek için = f() in grafiğini ata olarak c kadar geriniz. = f() in grafiğini elde etmek için = f() in grafiğinin -ekseninde ansıması alınız. = f( ) grafiğini elde etmek için = f() in grafiğinin -ekseninde ansıması alınız. MAT 1009 Kalkülüs I 67 / 79

Eski SECTION Fonksionlardan 1.3 NEW YenileriniFUNCTIONS Elde Etmek FROM OLD FUNCTIONS Fonksionların Dönüşümleri 39 Kabul edelim ki, c > 0 olsun. =cƒ (c>1) =f(_) =ƒ = 1 ƒ c 0 =_ƒ MAT 1009 Kalkülüs I 68 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Örnek 18 Fonksionların Dönüşümleri Verilen = in grafiğine dönüşümler ugulanarak = 2, = 2, =, = 2 ve = fonksionların grafiklerini çiziniz. Çözüm. Karekök fonksionu = in grafiği Şekilde verilmiştir. E S i r f 1 0 1 0 MAT 1009 Kalkülüs I 69 / 79 _2

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Çözüm (devamı). Fonksionların Dönüşümleri Grafiği 2 birim a şağı kadırarak = 2 nin grafiğini, SOLUTION SOLUTION The gt in Section in Section 1.2, s s 2 b right, right, s factor factor of 2, and of 1 1 0 10 1 0 0 0 0 _2 _2 (a) =œ (a) =œ (b) =œ -2 (b) =œ -2 (c) MAT 1009 Kalkülüs I 70 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Çözüm (devamı). SOLUTION 2 birim sağa kadırarak = 2 nin grafiğini, The graph SOLUTION of the square The gr Fonksionların Dönüşümleri in Section 1.2, is shown in Section in Figure 1.2, s 2 b shifting s 2 units 2 bd right, s b right, reflecting s abo factor of 2, and factor s of b 2, refle and 1 0 1 0 0 2 0 0 _2 _2 (a)(b) =œ =œ -2 (b) =œ -2 (c) =œ -2 (c) ( MAT 1009 Kalkülüs I 71 / 79

SOLUTION The graph of the square root function SOLUTION The, go s Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri in Section 1.2, is shown in Figure 4(a). In in the Section other parts 1.2, s 2 b shifting 2 units downward, s s 2 2b right, s b reflecting about the -ais, right, 2s s factor of 2, and s b reflecting about factor the of -ais. 2, and Çözüm (devamı). ekseninde ansıma alarak = nin grafiğini, 1 00 1 2 0 0 _2 0 0 2 (a) =œ (c) =œ -2 (b) =œ -2 (d) =_œ (e) (c) = MAT 1009 Kalkülüs I 72 / 79

aph of the square root function s, obtained SOLUTION from The Figu g Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri is shown in Figure 4(a). In the other parts of the in Section figure we 1.2, sk shifting 2 units downward, s 2 b shifting s2 units 2 b b Çözüm reflecting (devamı). about the -ais, 2s b stretching right, verti s s b reflecting about the -ais. factor of 2, and düşe önde 2 birim gererek = 2 nin grafiğini, 1 2 0 1 0 0 0 _2 0 œ -2 (a) =œ (d) =_œ (b) =œ -2 (e) =2œ (f) (c) MAT 1009 Kalkülüs I 73 / 79

oot function s, obtained from Figure 13 SOLUTION The g Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri 4(a). In the other parts of the figure we sketchin Section 1.2, wnward, s 2 b shifting 2 units to the s 2 b t Çözüm the -ais, (devamı). 2s b stretching verticall right, b a s cting about the -ais. factor of 2, and ekseninde ansıma alarak = nin grafiğini çizebiliriz. 1 0 1 0 0 0 0 _2 ) =_œ (a) =œ (e) =2œ (b) =œ -2 (f) =œ _ (c) MAT 1009 Kalkülüs I 74 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri Örnek 19 0 0 2 2 0 0 0 0 f() = 2 + 6 + 10 fonksionunun grafiğini çiziniz. 0 0 Çözüm. =œ -2 (c) =œ (c) -2 =œ -2 (d) =_œ (d) =_œ (e) =2œ (e) =2œ (f) =œ (f) _ =œ _ Tam karee tamamlaarak, grafiğin denklemini EXAMPLE EXAMPLE 2 Sketch 2 Sketch the graph the graph of the of function the function f f 2 6 2 6 10. 10. = 2 + 6 + 10 = ( + 3) 2 SOLUTION SOLUTION Completing Completing the square, the square, we write we write the equation the equation of the of graph + the 1 graph as as olarak azarız. İstenilen grafiği, 2 6 2 6 10 = 2 10 3 parabolünü 2 3 1 2 1 önce 3 birim sola, sonra This This means 1 birim means we ukarıa obtain we obtain the desired kadırarak the desired graph graph buluruz. b starting b starting with with the parabola the parabola 2 and 2 and shifting shifting 3 units 3 units to the to left the and left then and 1 then unit 1 upward unit upward (see Figure (see Figure 5). 5). (_3, 1) (_3, 1) 1 1 0 0 _3 _3 _1 0_1 0 IGURE 5 5 MAT 1009 (a) = (a) = Kalkülüs I (b) (b) =(+3)@+1 75 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Dönüşümleri 0f and 0 and f when f fwhen 0f. This 0tells. This us tells how us to how get the to get graph the of grap f Örnek from f 20 the from graph the of graph fof : The f part : The of the part graph of the that graph lies that above lies the above -ais the ns remains the = same; 2 the 1 the same; fonksionunun part the that part lies that below grafiğini lies the below çiziniz. -ais the is -ais reflected is reflected about the about -ais. the -ais LE EXAMPLE Çözüm. 5 Sketch 5 the Sketch graph the of graph the function of the function.. N SOLUTION Önce We first = We graph 2 first the 1graph parabolünü parabola the parabola çizeriz. 2 Bu, 1 in 2 Figure = 1 in 2 10(a) parabolünün Figure b 10(a) shifting 1b birim shifting the the ola parabola aşağı kadırılmasıla 2 downward 2 downward 1 elde unit. edilir. We 1 unit. see 1 We that < see the < that graph 1 iken the lies graph 2 below + 1lies parabolü the below -ais the when -ais w 1 ekseninin 1, so we 1, reflect altında so we that reflect kaldığından, part that of the part graph of = the 2 about graph 1 the nin about -ais grafiğini the to -ais obtain eksenine to the obtain graph the g of göre ansıtarak in Figure buluruz. in 10(b). Figure 10(b). 2 1 2 1 2 1 2 1 _1 0_1 01 1 _1 0_1 01 1 (a) = -1 (a) = -1 (b) = -1 (b) = -1 MAT 1009 Kalkülüs I 76 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Cebiri Fonksionların Cebiri Fonksionların Cebiri f ve g tanım kümeleri A ve B olan fonksionlar olsun. f + g, f g, fg ve f/g fonksionları aşağıdaki şekilde tanımlanır. (f + g)() = f() + g() tanım kümesi = A B (f g)() = f() g() tanım kümesi = A B (fg)() = f()g() tanım kümesi = A B (f/g)() = f()/g() tanım kümesi = { A B : g() 0} MAT 1009 Kalkülüs I 77 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Cebiri Örnek 21 f() = ve g() = 4 2 ise, f + g, f g, fg ve f/g fonksionlarını bulunuz. Çözüm. f() = fonksionunun tanım kümesi [0, ) dir. g() = 4 2 fonksionunun tanım kümesi, 4 2 0 eşitsizliğini sağlaan değerlerinden oluşur. Her iki tarafın kare-kökünü alırsak, 2 vea 2 2 elde ederiz. Dolaısıla g fonksionunun tanım kümesi [ 2, 2] aralığıdır. f ve g nin tanım kümelerinin kesişimi kümesidir. [0, ) [ 2, 2] = [0, 2] MAT 1009 Kalkülüs I 78 / 79

Eski Fonksionlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksionların Cebiri Çözüm (devamı). Bölece tanımlardan, (f + g)() = + 4 2 0 2 (f g)() = 4 2 0 2 (fg)() = 4 2 = 4 3 0 2 ( ) f () = g = 4 2 4 2 0 < 2 buluruz. f/g nin tanım kümesinde g() = 0 veren = ±2 noktalarının olmaması gerektiğinden, f/g nin tanım kümesi [0, 2) aralığıdır. MAT 1009 Kalkülüs I 79 / 79