. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında kalan alan nedir? 4) x = (y ), (y ) = x eğrileri arasında kalan alanı bulunuz. 5) dx x 3 integrali yakınsak mıdır? Yakınsak ise değerini bulunuz. 6) dx x + x 3 integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz. 7) 8) 9) 0 arctan x dx integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz. x dx ln x dx x integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.(karşılaştırma testi) integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz. 0) y = x x ve y = 0 eğrileri ile sınırlanan bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesi ile üretilen cismin hacmini hesaplayınız. ) x = y + eğrisi ve x = 0, y = 0, y = 3 doğruları arasında kalan bölgenin y-ekseni etrafında döndürülmesi ile üretilen cismin hacmini hesaplayınız. ) y = x eğrisinin [, ) aralığında x-ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini hesaplayınız.
3) Aşağıda verilen üçgen piramidin hacmini bulunuz. A B 5 3 4 C 4) y = 4 x, y = x eğrileri ile sınırlı ve y-ekseninin sağ tarafında kalan bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 5) Taban yarıçapı br olan silindirden 30 lik açıyla taban çapından kesilerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız. 6) Tabanı, yarıçapı br olan daire; dik kesitleri, kare olan şeklin hacmini hesaplayınız. 7) y = x 4x ve y = x eğrileri ile sınırlı kapalı bölgenin; (a) x - ekseni, (b) y - ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen cisimlerin hacimlerini integral ile ifade ediniz. (İntegrali hesaplamayınız).
8) Düzlemde y = x ve x = y eğrileri ile sınırlı kapalı bölgeyi çiziniz ve bu bölgenin x = doğrusu etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 3
. Hafta Uygulama Soruları Kartezyen Koordinatlarda Yay Uzunluğu ve Dönel Yüzey Alanı. x [, 3] iken y = x3 6 + x eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız.. x = ln(sec y) eğrisinin 0 y π/3 aralığındaki parçasının uzunluğu nedir? { 3. t [0, π] aralığında x = ( cos t) y = sin t şeklinde parametrik olarak verilen eğrinin uzunluğunu hesaplayınız. 4. 0 x 6 aralığında y = x eğrisinin x - ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen yüzey alanı hesaplayınız. 5. (x ) + (y 3) = 4 çemberinin x - ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen şeklin (torus) yüzey alanını hesaplayınız. 6. 0 x 3 aralığında y = (x ) eğrisinin x = doğrusu etrafında döndürülmesi ile elde edilen yüzey alanı hesaplayınız. Kutupsal Koordinat ve Eğri Çizimleri. Aşağıdaki eşitsizliklerin grafiğini çiziniz (a) 0 θ π/6, r 0 (b) 0 θ π/, r. Aşağıdaki denklemleri kartezyen denklemlerle ifade ediniz (a) r = 4 tan θ sec θ (b) r sin(θ + π/6) = 3. Aşağıdaki denklemleri kutupsal koordinatlarda ifade ediniz (a) xy = (b) x y = 4. Aşağıdaki denklemlerin grafiğini çiziniz (a) r = 4 cos θ (b) r = + sin θ (c) r = + cos θ
Kutupsal koordinatlarda alan ve yay uzunluğu. r = cos θ ile tanımlı dört yapraklı gülün alanını hesaplayınız.. r = 3 çemberinin dışında ve r = ( + cos θ) kardiyodinin içinde kalan bölgenin alanını bulunuz. 3. r = 3 sin θ çemberinin içinde ve r = (+sin θ) kardiyodinin dışında kalan bölgenin alanını bulunuz. 4. r = a sin 3θ yaprak eğrisinin bir yaprağının alanını bulunuz. 5. r = + sin θ kardiyodinin uzunluğunu hesaplayınız. 6. Kutupsal koordinatlarda r = cos θ ve r = cos θ ile verilen eğrileri çiziniz ve kesişim bölgesinin alanını veren integrali yazınız. (İntegrali hesaplamayınız)
3. Hafta Uygulama Soruları Soru ) Monotonluk kavramını kullanarak (a n ) = araştırınız. ( ) n dizisinin yakınsak olup olmadığını n + Soru ) a n = +! +! + 3! + + n! genel terimi ile verilen (a n) dizisi yakınsak mıdır? Soru 3) a n = n + + n + + n + 3 + + n + n genel terimi ile verilen (a n) dizisi yakınsak mıdır? Soru 4), 4, 8, 6,... olarak verilen geometrik dizinin ilk 00 teriminin toplamını bulunuz. Soru 5) Soru 6) Soru 7) ( ln + ) serisi yakınsak mı ıraksak mı? n 3 n serisi yakınsak mı ıraksak mı? n serisi veriliyor. Seri yakınsak mı ıraksak mı? 5 n Soru 8) ( n dışında) monoton azalan dizi örneği veriniz. Soru 9) ( n dışında) sınırlı olan dizi örneği veriniz. ( ) n Soru 0) (a n ) = dizisi aritmetik dizi midir belirleyiniz ve ilk 00 teriminin toplamını 3 bulunuz.
4. Hafta Uygulama Soruları Genel Terim Testi: Aşağıdaki serilerin karakterlerini genel terim testini kullanarak inceleyiniz. a) sin(/n) b) n sin(/n) c) n + 4 n 3 n + 4 n d) n ln( + /n) Karşılaştırma Testi: Aşağıdaki serilerin karakterlerini karşılaştırma testini kullanarak inceleyiniz. a) n n n b) n ln n c) ln n ln n n= İntegral Testi: Aşağıdaki serilerin karakterlerini integral testi kullanarak inceleyiniz. a) 0 n + b) n ln(n ) n= c) n(ln n) n= Limit Karşılaştırma Testi: Aşağıdaki serilerin karakterlerini limit karşılaştırma testini kullanarak inceleyiniz. ( a) sin(/n) b) + n n ) c) 0 π n n π Oran Testi: Aşağıdaki serilerin karakterlerini oran testini kullanarak inceleyiniz. a) n= 0 n 00 e n b) (n!) (n)! c) n n Kök Testi: Aşağıdaki serilerin karakterlerini kök testini kullanarak inceleyiniz. a) ( n n ) n b) n= ( n 3 n n + ) n c) n +n
Karışık Sorular n p a) serisi hangi p R değerleri için yakınsaktır? pn n (n + )(n + ) n c) lim = 4 olduğunu gösteriniz. n n e n! b) lim = 0 olduğunu gösteriniz. n nn Alterne Seri Testi(Leibnitz Testi)-Şartlı ve Mutlak Yakınsaklık: Aşağıdaki serilerin karakterlerini Leibnitz testi veya Mutlak yakınsaklık kuralını kullanarak belirleyiniz a) d) ( ) n+ n b) sin 3 (π n + ) n n ( ) n + (π ) sin π arctan n c) (cos nπ) (n+) n Bonus : Bonus : n = π 6 olduğu bilindiğine göre serisinin toplamı kaçtır? (n ) n n 4 + n + =?
5. Hafta Uygulama Soruları Kuvvet Serileri, Taylor ve Maclaurin Serileri ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) n ( ) x n serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulunuz. (n)! x n serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulunuz. n3n ( + x) k k=0 k serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz. ( 4) n (x ) n n + kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulunuz. x n = x n + x4 + serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz. 4 n + ( ) n+ x serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz. x + (x ) n serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz. (n ) 9n n= k=0 (x) k =, x < eşitliğinden yararlanarak x (a) (b) (x) 8n = x 8 +, x < ( ) n x n =, x < olduklarını gösteriniz. + x 9) a n x n kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı ve b n x n kuvvet serisinin yakınsaklık 0) ) yarıçapı ise (a n + b n ) x n kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı ne olur? k serisinin toplamını bulunuz. k k= serisinin toplamını bulunuz. ( x < ) kk k=
) f (x) = şeklindeki f : R\ {0} R fonksiyonunun x = noktasındaki Taylor serisini x yazınız. 3) f (x) = 4x 5 fonksiyonunun x = 0 noktasındaki Taylor serisini bulunuz. Bulduğunuz serinin hangi x değerleri için verilen fonksiyona eşit olduğunu gösteriniz. 4) (a) f (x) = 8 fonksiyonunun a = 0 için Taylor serisini bulunuz. 8 + x3 (b) a şıkkını kullanarak 0 8 dx integralini seri olarak bulunuz. 8 + x3 (c) Serinin ilk üç terimi alınarak integral yaklaşımı yapılırsa hata hakkında ne söyleyebiliriz? 5) f(x) = sin ax fonksiyonun Maclaurin serisini yazınız. 6) 7) x n = x ( ) n (x 5) n 3 n n olduğunu gösteriniz. serisini inceleyelim. (a) Serinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz. (b) Serinin yakınsaklık aralığını bulunuz. (c) Yukarıdaki seriyi f (x) ile gösterirsek, f (49) (5) ne olur?
6. Hafta Uygulama Soruları ) Aşağıda verilen fonksiyonların x = 0 daki Taylor serilerini kuvvet serisi işlemlerini kullanarak bulunuz. a) x sin(x) b) x cos(πx) c) x cos(x ) d) e) e x + ( + x) f) ln( + x) ln( x) ( x) ) f(x) = x3 x fonksiyonunun Maclaurin serisini yazınız. Bundan faydalanarak f (0) (0) ı bulunuz. 3) f(x) = x 4 x fonksiyonunun x = deki Taylor serisini yazınız. 4) Hangi f(x) fonksiyonunun Maclaurin serisi değerini hesaplayınız (ayrıca türevdeki bu sayının anlamını bulunuz). x 3n x 3n+ dir. Bunu kullanarak f (698) (0) 5) Hangi f(x) fonksiyonunun x = deki Taylor seri açılımı 4 n n (x )n dir. 6) sin x fonksiyonunun x = 0. noktasındaki değeri için P 3 (x) = x x3 6 olarak hesaplanırken yapılan hata için tahmin veriniz. Taylor polinomu ile yaklaşık 7) e x fonksiyonunun değeri x = noktasında P 4(x) = + x + x + x3 6 + x4 4 hata için tahmin veriniz. ile hesaplanırsa yapılan Ödevler a) f(x) = x x + 4 fonksiyonunun Maclaurin serisini yazınız. b) f(x) = x 6 4 x fonksiyonunun x = 3 teki Taylor seri açılımını yazınız ve f (07) (3) ü bulunuz. c) f(x) = 8 fonksiyonunun Maclaurin serisini yazınız. 8 + x3 8) Aşağıdaki fonksiyonların Binom serilerini bulunuz. Ayrıca ilk 3 terimini açıkça yazınız. ( a) ( x) / b) ( + x ) /3 c) x 9) Aşağıdaki limitleri, ilgili fonksiyonların seri açılımı yardımı ile bulunuz. a) lim x 0 e x ( + x) x =? b) lim x x 4 ln(x ) ) 4
7. Hafta Uygulama Soruları. Aşağıdaki verilen fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve kartezyen düzlemde gösteriniz. (a) f(x, y) = y x (b) f(x, y) = (x )(y + ) (y x)(y x ) (c) (Ödev) f(x, y) = ln(4 x y ). Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve değer kümelerini bulunuz. Bu fonksiyonların grafiklerini seviye eğrileri yardımı ile çiziniz. (a) f(x, y) = x + y + 4 (b) f(x, y) = 6 x 3y (c) (Ödev) f(x, y) = y 3. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. 3x y + 5 (a) lim (x,y) (0,0) x + y + ( ) x (b) lim cos + y (x,y) (0,0) x + y + (c) (d) lim (x,y) (,) lim (x,y) (4,3) x y x y x y + x y 4. Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktalardaki limitlerini bulmaya çalışınız. (a) (b) (c) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (, ) xy xy x x + y xy + x y 5. Sıkıştırma yöntemi (Sandwich) ile aşağıdaki limitleri bulunuz.
(a) (b) lim (x,y) (0,0) y sin x 4 4 cos xy lim (x,y) (0,0) xy ( xy x y 6 < 4 4 cos ) xy < xy olduğu biliniyor. 6. Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu bölgeleri bulunuz. (a) f(x, y) = y x + (b) g(x, y) = x y xy (c) f(x, y) = x + y 4 (x, y) (0, 0) iken 0 (x, y) = (0, 0) iken 7. f(x, y) = x + 3y fonksiyonu için, limit tanımını kullanarak, (, 3) noktasında f x ve f kısmi türevlerini hesaplayınız. y 8. Aşağıdaki fonksiyonların kısmi türevlerini bulunuz. (a) f(x, y) = e x sin(x + y) (b) (Ödev) exy ln y (c) (d) y x g(t)dt (xy) n, xy < 9. ln(x + y + 3z) fonksiyonunun tüm kısmi türevlerini bulunuz. 0. (Ödev) sin (xyz) fonksiyonunun tüm kısmi türevlerini bulunuz.. h(x, y) = xe y + y + fonksiyonunun ikinci kısmi türevlerini bulunuz.. (Ödev) w(x, y) = x tan(xy) fonksiyonunun ikinci kısmi türevlerini bulunuz.
-Zincir Kuralı -Yöne Göre Türev Ve Gradyent Vektörü -Teğet Denklem Ve Diferensiyel Kavramı 8. Hafta Uygulama Soruları. Aşağıdaki limitleri kutupsal dönüşüm,sıkıştırma ve y = mx dönüşüm yöntemleri ile ayrı ayrı bulunuz. 4xy a) lim b) lim (x,y) (0,0) x + y xy x y (x,y) (0,0) x + y. Aşağıdaki limitleri kutupsal dönüşüm yöntemi ile bulunuz (eğer varsa). a) lim (x,y) (0,0) x sin(x + y ) b) lim x + y (x,y) (0,0) x + y 3. Aşağıdaki limitlerde kutupsal dönüşüm yönteminin bir sonuca varamadığını gözlemleyiniz. x + y a) lim (x,y) (0,0) x x y b) lim (x,y) (0,0) x 4 + y 4. z = ln(x + y ), x = e u cos v, y = e u sin v olduğuna göre ; z u =? z v =? 5. u = f(x, y, z) = ln(x + y + z ), x = cos t, y = sin t ve z = t olmak üzere du dt türevini bulunuz. 6. Aşağıdaki eşitlikleri verilen fonksiyonlar için z u a) z = x + y x = u + v, y = u v b) z = x y x = u v, y = uv c) z = xy, x = e u. cos v, y = e u. sin v ve z v türevlerini hesaplayınız. 7. z = x y 3 yüzeyinin A(, ) noktasındaki gradiyent vektörünü bulunuz. 8. Aşağıdaki sorularda verilen yüzeylerin P 0 daki normalinin denklemini bulunuz. i) z x = 0 P 0 (, 0, ) ii) x + y + z = P 0 (, )
9. M(,, 3) ve N(5, 5, 5) noktaları veriliyor. f(x, y, z) = xy+yz +zx fonksiyonun M N yönündeki türevini bulunuz. Bu türevin M noktasındaki değerini hesaplayınız. 0. f(x, y, z) = ln(e x + e y + e z ) fonksiyonun eksenlerle α, β, γ açılarını yapan vektör yönündeki türevini hesaplayınız. Bu türevin orijindeki değerini bulunuz.. Aşağıdaki fonksiyonları verilen noktalardaki yönlü türevin en büyüğünü ve en küçüğünü bulunuz. a) f(x, y) = x y + e xy sin y P (, 0) b) f(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz) P (,, ) c) f(x, y, z) = ln(x + y ) + sinh(xyz) P (,, 0). f(x, y, z) fonksiyonun bir P noktasındaki en büyük türevi a = i + j k yönündeki türevleri olup bu türevin değeri 3 tür. a) f nin P noktasındaki değerini bulunuz. b)f fonksiyonun b = i + j yönündeki türevinin P noktasındaki değerini bulunuz. En büyük türev gradient yönündeki türevdir. 3. Aşağıdaki sayıların yaklaşık değerlerini hesaplayınız. a)(, 0) 3.0 b) (5, 98) + (8, 0) 4. x + y + z = 4 küresine, üzerindeki A(,, 3) noktasından çizilen teğet düzlemin denklemini yazınız. TEĞET DÜZLEM DENKLEMİ: f x (a, b, c)(x a) + f y (a, b, c)(y b) + f z (a, b, c)(z c) = 0 5. z = 8 + x + y paraboloidinin (0,,) noktasındaki teğet düzleminin denklemini bulunuz.
9. Hafta Uygulama Soruları Aşağıdaki fonksiyonların (varsa!) tüm kritik noktalarını bulup sınıflandırınız. Soru ) f (x, y) = x3 3 x y3 3 + y Soru ) z = (x ) ln (xy) Soru 3) f(x, y) = e x cos y Soru 4) z = (x + y ) e (x +y ) Soru 5) f(x, y) = y sin x Aşağıdaki fonksiyonların verilen bölgelerde mutlak ekstremum noktalarını bulunuz. Soru ) f(x, y) = x 4x + y 4y + fonksiyonunun R : x = 0, y = ; y = x doğruları ile sınırlanan kapalı üçgen bölgede mutlak ekstremumlarını bulalım. Soru ) x 3 ve π 4 y π 4 olarak sınırlanan dikdörtgensel bölgede f (x, y) = (4x x ) cos y fonksiyonunun mutlak ekstremleri nedir? Soru 3) x + y dairesel bölgesinde f(x, y) = x + y x fonksiyonunun mutlak ekstremlerini bulunuz. Aşağıdaki soruları Lagrange çarpanları metodunu kullanarak çözünüz. Soru ) x + 3y = 0 doğrusu üzerinde f(x, y) = 49 x y hesaplayınız. fonksiyonunun maksimum değerini Soru ) xy = 54 eğrisi üzerinde orijine en yakın noktaları bulunuz. Soru 3) (,, ) noktasının x +y +z = küresine olan uzaklığının en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
0. Hafta Uygulama Soruları ) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. (a) (b) (c) (d) x 0 0 ln 8 ln y 0 x x 3 9 4x 0 0 + y dydx e x+y dxdy x y dydx 6xdydx ) Aşağıdaki integrallerin i) İntegrasyon bölgesini çiziniz. ii) İntegrasyon sınırlarını değiştiriniz. iii) İntegrali hesaplayınız. (a) (b) (c) 3x+ x +4x 0 e x 0 dydx 4 y 4 y ydxdy dydx 3) Aşağıdaki integralleri, kutupsal dönüşümlerden yararlanarak yanlarında yazılı olan bölgeler üzerinde hesaplayınız. (a) ydxdy, B = { (x, y) x + y } B (b) xydxdy, B = {(r, θ) r 4 cos θ ve r 4 sin θ} B 4) y = x, y = x ve x ekseni eğrileri arasında kalan bölgenin alanını iki katlı integral yardımıyla hesaplayınız. 5) x ekseni, y = ln x ve x = e eğrileri arasında kalan bölgenin alanını iki katlı integral yardımıyla hesaplayınız.
y y = ln x y = 0 e x 6) z = x + y + paraboloidi, x + y = düzlemi ve kordinat düzlemleri tarafından sınırlanan bölgenin hacmini bulunuz. 7) z = x + y paraboloidi ile z = 0, x = 3, x = 3, y = 3 ve y = 3 düzlemleri arasında kalan bölgenin hacmini hesaplayınız. 3 3 3 8) x + y + z = 3, x + y = ve z = 0 yüzeyleri tarafından sınırlanan bölgenin hacmini bulunuz.
. Hafta Uygulama Soruları ) Aşağıdaki kapalı bölgeyi iki katlı kutupsal integral ile ifade ediniz ve alanı hesaplayınız. 4 y x Hatırlatma: Kutupsal koordinatlarda verilen R kapalı bölgesinin alanı Alan = rdrdθ ile verilir. R ) r = +cos θ kardiyoidi içinde ve r = çemberinin dışında kalan bölgenin alanını iki katlı kutupsal integral yardımı ile hesaplayınız. 90 r = + cos θ r = 80 0 0.5.5 0 70 3) x + y = silindirinin z = y ile z = 0 düzlemleri arasında kalan iki kapalı bölgeden z > 0 olan kısmının hacmini bulunuz.
Hatırlatma: Kapalı ve sınırlı D bölgesinin hacmi ile verilmektedir. Hacim = D dv 4) Birinci bölgede bulunan ve x + z =, y + z = düzlemleri ile koordinat düzlemleri arasına kalan bölgeyi üç katlı integral ile ifade ediniz. z x y