Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı (rastsal) olayı, gerçekleşmesi şansa bağlı olan önceden kesinlikle bilinmeyen olaylardır. Olasılık teorisi, raslantı olayları belli kurallara göre matematiksel yöntemlerle inceleyen bir bilim dalıdır.

Olasılık, bir belirsizlik ölçüsü olarak tanımlanabilir. Doğruluğuna inanmadığımız ya da gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini bilemediğimiz yani kesin olmayan bir önermeye, olaya duyulan güven derecesi olarak tanımlanabilir. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır

Rassal Deney Sonuçları kesin olarak bilinemeyen yöntemlere deney denir. Teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defa tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen bir sürece rassal deneme denir. Aşağıdaki koşulları sağlayan bir deney ise rassal deney olarak adlandırılır: 1. Deney gerçekleştirilmeden önce deneyin ortaya koyabileceği sonuçlar belli olsun 2. Deneyin bu sonuçlardan hangisi ile sonuçlanacağı belli olmasın 3. Deney aynı koşullar altında tekrar edilebilsin.

Örnek Uzayı Bütün örnek sonuçlarının içinde bulunduğu kümeye örnek uzayı denir ve S ile gösterilir. Yani rassal deneyin ortaya koyabileceği tüm olası sonuçlar kümesine örnek uzayı denir. S ile gösterilir. Bir deneyin potansiyel hesaplamalarından her biri bir örnek sonucu olarak bilinir. s i i=1,2,3,4,. ile gösterilir. Deneyin sonuçlarından her birine veya belli özellikleri sağlayan deney sonuçlar kümesine de olay denir. Örnek uzayının alt kümeleri olay olarak adlandırılır.

Örnek Madeni bir paranın üç kez atıldığını göz önüne alalım. a) Örnek uzayını belirleyiniz. b) A olayı, yazıların turalardan daha fazla olduğu deneyleri göstersin. A olayını tanımlayınız. a) Böyle bir deneyde 8 tane farklı sonuç vardır. Bu sonuçlar örnek uzayını oluşturur. S={ YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} b)örneklem uzayından, yazıların turalardan daha fazla olduğu örneklem sonuçlarının sayısı 4 tür. Buna göre A olayı, A = YYY, YYT, YTY, TYY

Örnek İki farklı renkteki zarın birlikte (veya farklı zamanlarda) atıldığı durumu göz önüne alalım. a) Örnek uzayını belirleyiniz. b) A olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve B olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. Buna göre A ve B olaylarını belirleyen kümeleri yazınız.

a) İki zarın atılması durumunda örneklem uzayı 6 x 6 lık bir matris olarak gösterilebilir. S = { (x, y) 1,2,3,4,5,6 } Burada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.

b) A olayı zorların üzerindeki sayıların toplamlarının 7 olması olduğuna göre A ={(6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6)} B olayı iki zarın üzerindeki sayıların aynı olması olarak tanımlanırsa B ={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

Bir rassaldeneye ilişkin Örnek Uzayı ağaç diyagramlardan faydalanarak bulunabilir. Örnek: Bir deney için, bir fabrikada uretilen ürünlerden arızalı olanları D (defective) arızalı olmayanlar ıda N (nondefective) ile gösterelim. Bu ürünlerden 3 adet seçileceğine göre örnek uzayını olusturalım

Örnek Bir başka deneyde, bir para atılıyor. Eğer para yazı geliyorsa bir daha atılıyor. Ancak tura geliyorsa bu seferde zar atılıyor. Bu durumda örnek uzayını aşağıdaki gibi verebiliriz. S = {Y Y, Y T, T 1, T 2, T 3, T 4, T5, T6}.

Bir deneyle bağlantılı olarak S örnek uzayında tanımlanan olaylarla ilgili bir sonuç ile değil, birkaç sonuçla ilgilenilebilir. Bu durumda Kümeler Cebrinden yararlanılır. Küme, olasılık çalışmalarında olaylarla bağlantılı olarak ortaya çıkan ve matematiksel olarak olayları değerlendiren bir kurallar dizisidir. Kümeler Cebri ise birden fazla olayla ilgilendiğinde kullanım açısından büyük yararlar sağlamaktadır.

Kümeler ve Olaylar Küme Belirlenmiş nesneler topluluğuna küme denir. Örnek A={sınıfta boyu 1.80 nin üzerinde olan öğrenciler} B={3,5,8} Alt Küme Bütün elemanları daha büyük bir kümenin içinde yer alan küme Örnek C={5,8} kümesi B={3,5,8} kümesinin bir alt kümesidir. Boş Küme Hiç bir elemanı olmayan küme. yada { } ile gösterilir.

Kesin Olay Örnek uzayının kendisi kesin olaydır. İmkansız Olay Olması mümkün olmayan olaydır. Küme teorisinde boş kümeye karşılık gelir.

Küme İşlemleri p A :p, A kümesinin bir elemanıdır. A B : A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanıdır). A=B :A nın her elemanı B nin ve B nin her elemanı da A nın da elemanı ise A ve B kümeleri eşittir. p A, A B, A=B ifadelerinin karşıtları sırasıyla p A, A B, A B şeklinde yazılır. :Boş küme. S: Evrensel Küme (Örnek Uzayı). Herhangi bir A kümesi için A Sifadesi yazılabilir.

BİRLEŞİM A B={x:xЄAyadaxЄB} KESİŞİM A B={ x: x ЄA ve x ЄB} A B ile gösterilen A ve B ninarakesiti (kesişimi), A ve B kümelerinin her ikisine birden bağlı elemanların kümesidir Eğer A B = ise yani A ve B ninortak elemanı yoksa A ve B ye AYRIK kümeler denir.

TÜMLEYEN A = { x: x ЄSve x A } A c biçiminde gösterilen A nın tümleyenia ya bağlı olmayan ve örnek uzayına bağlı olan elemanların kümesidir. FARK A-B={x:xЄA ve x B} A ve B arasındaki ayrım ya da A-B biçiminde gösterilen B kümesinin A ya bağlı olup B ye bağlı olmayan elemanların kümesidir.

Tanımlama Kuralı A A=A A A=A Birliktelik (A B) C=A (B C) (A B) C =A (B C) Değişme A B=B A A B=B A KÜME KURALLARI

Özdeşlik Dağılma A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C)

Tümleme A A =S A A = (A ) =A S = = S De Morgan (A B) =A B (A B) =A B

Bir olayın gerçekleşme olasılığına ilişkin farklı tanımlar yapılmıştır Klasik Olasılık Tanımı Bir deneyin ya da oyunun n tane olası sonucu olduğu ve bu sonuçların her birinin eşit olasılıklı olarak ortaya çıktığını kabul edelim. Eğer A olarak tanımlanan bir olay, toplam n eşit olasılıklı durumdan m tanesinde gerçekleşiyorsa o zaman A olayının olasılığı P(A)=m/n olarak ifade edilir.

Örnek İki hilesiz zarın atılması durumunda A olayı iki zarın üst yüzlerindeki noktaların toplamının 7 olduğu biçiminde tanımlansın. A olayının olasılığı nedir? İki hilesiz zarın atılması durumunda 36 tane eşit olaslıklı sonuç vardır. A olayını sağlayan olası 6 sonuç vardır. A olayının gerçekleşme olasılığı

Klasik olasılık tanımı bazı kısıtlamalara sahiptir. Sayılamayacak kadar çok olası sonucu olan durumlarda yaklaşımlara başvurmadan çözüm üretemez. Örneğin sonuçların sayısının belli olmadığı durumda ne olacaktır? Rassal deney gerçekleştirilmeden önce, deneyin koşullarına ilişkin bilgi kaybı kabullenilerek, tüm sonuçlara eşit olasılıklar atanır. Bu varsayım rassal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan bir soyutlamadır. Simetriye sahip olmayan bir nesne ile gerçekleştirilecek bir deneyde nesnelerin yüzlerine eşit olasılıklar tanımlamak akılcı bir hareket değildir. Eşit şansa sahip olmayan olaylar için doğru sonuç vermez

Relatif Frekans Yaklaşımı ile Olasılık Tanımı S bir örneklem uzayı ve A bu örneklem uzayında tanımlanmış bir olay olsun. Deney aynı koşullarda n defa tekrar edilecek olsun. Deneyin her tekrarında ya A veya A gerçekleşmiş olacaktır. Toplam n tekrar içinde A nın oluş sayısı m ise ve n sonsuz derecede büyük bir sayı ise, m/n oranının n sonsuza giderken aldığı değere A olayının relatif frekans (deneysel) olasılığı denir.

Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir. Para n kez atılırsa ve n(a) kez tura gelirse n(a)/n oranı yani tura sayılarının frekans oranının tura gelme olasılığı olarak kabul edebiliriz. Para ne kadar çok atılırsa, bu oranın, gerçek olasılığa yaklaşacağı söylenebilir.

Olasılığın gerek oran gerekse limit olarak tanımlanmasındaki zorlukları gören modern matematikçiler olasılığı bir fonksiyon olarak ifade etmişlerdir. Rus matematikçi Kolmogorov (1933) dört aksiyomla olasılık fonksiyonunu tanımlamıştır. (Aksiyomatik Tanım)

Aksiyom 1. S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay A olmak üzere bu olayın olasılığı reel bir sayıdır. P(A) 0 0 P (A) 1

Aksiyom 2. Kesin olayın olasılığı 1 dir. P(S) = 1

Aksiyom 3. A1, A2,... olayları S örneklem uzayında tanımlanmış olsun. Her i j için A i A j = Ø ise ( i, j = 1,2,, N )

Olasılık Teoremlerinin İspatı 1. P(Ø) =0 P(S)=1 Ø U S = S P(Ø U S) =P( S)=1 Ø= S yani Ø ve S aynı anda imkansız olaylardır. P(Ø U S) =P( S)+P(Ø )=1 P(S) =P( S)+P(Ø )=1 P(Ø )=0

2. Bir olasılık uzayında A ve B kümeleri arasındaki farkın olasılığı P(A-B) = P ( A B ) = P (A) P( A B) dır. ( A B ) ve ( A B) aynı anda gerçekleşmeleri imkansız yani ayrık kümelerdir. ( A B ) U ( A B) = A (B U B ) = A S = A dağılım özelliği P( A ) = P [( A B ) U ( A B) = P ( A B ) + P ( A B) P ( A B ) =P ( A ) -P ( A B)

3. Bir olayın tamamlayıcısının olasılığı P( A ) = 1-P(A) dır. P(A A )=P(S)=1 A ve A ayrık (aynı anda imkansız) olaylar olduğundan,(a A =Ø) P(A A ) =P(A) + P( A ) P(A A ) =P(A) + P( A )=P(S)=1 1= P(A) + P( A ) P( A )=1-P(A)

4. Bir olasılık uzayında A ve B gibi iki olayın birleşiminin olasılığı P(A B) =P(A) +P(B)-P(A B) dir. A U B = A U ( B A ) Not : A U B = A U ( B A ) = (A U B ) (A U A ) = (A U B ) S (A U B ) S = (A U B ) A ve ( B A ) ayrık olduğundan P( A U B ) = P( A ) + P ( B A ) P ( B A ) = P (B) P( A B) idi. P( A U B ) = P( A ) + P (B) P( A B)

5. Bir alt olayın olasılığı. Eğer B Aise i ) P (A B ) = P(A)-P(B) ii)p(b) P(A) dir. i) P ( B A ) = P (B) P( A B) idi. B Aise P( A B) = P(B) P ( B A ) = P (A) P(B) ii) İlk aksiyomdan P(A B) 0 olur. P(A B ) = P (A) P(B) P (A) P(B) 0 P (A) P(B)

6. 0 P (A) 1 P(A) 0 A S ise P (S) P(A) böylece 0 P (A) 1

Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı (rastsal) olayı, gerçekleşmesi şansa bağlı olan önceden kesinlikle bilinmeyen olaylardır. Olasılık teorisi, raslantı olayları belli kurallara göre matematiksel yöntemlerle inceleyen bir bilim dalıdır.

Olasılık, bir belirsizlik ölçüsü olarak tanımlanabilir. Doğruluğuna inanmadığımız ya da gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini bilemediğimiz yani kesin olmayan bir önermeye, olaya duyulan güven derecesi olarak tanımlanabilir. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır

Rassal Deney Sonuçları kesin olarak bilinemeyen yöntemlere deney denir. Teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defa tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen bir sürece rassal deneme denir. Aşağıdaki koşulları sağlayan bir deney ise rassal deney olarak adlandırılır: 1. Deney gerçekleştirilmeden önce deneyin ortaya koyabileceği sonuçlar belli olsun 2. Deneyin bu sonuçlardan hangisi ile sonuçlanacağı belli olmasın 3. Deney aynı koşullar altında tekrar edilebilsin.

Örnek Uzayı Bütün örnek sonuçlarının içinde bulunduğu kümeye örnek uzayı denir ve S ile gösterilir. Yani rassal deneyin ortaya koyabileceği tüm olası sonuçlar kümesine örnek uzayı denir. S ile gösterilir. Bir deneyin potansiyel hesaplamalarından her biri bir örnek sonucu olarak bilinir. s i i=1,2,3,4,. ile gösterilir. Deneyin sonuçlarından her birine veya belli özellikleri sağlayan deney sonuçlar kümesine de olay denir. Örnek uzayının alt kümeleri olay olarak adlandırılır.

Örnek Madeni bir paranın üç kez atıldığını göz önüne alalım. a) Örnek uzayını belirleyiniz. b) A olayı, yazıların turalardan daha fazla olduğu deneyleri göstersin. A olayını tanımlayınız. a) Böyle bir deneyde 8 tane farklı sonuç vardır. Bu sonuçlar örnek uzayını oluşturur. S={ YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} b)örneklem uzayından, yazıların turalardan daha fazla olduğu örneklem sonuçlarının sayısı 4 tür. Buna göre A olayı, A = YYY, YYT, YTY, TYY

Örnek İki farklı renkteki zarın birlikte (veya farklı zamanlarda) atıldığı durumu göz önüne alalım. a) Örnek uzayını belirleyiniz. b) A olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve B olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. Buna göre A ve B olaylarını belirleyen kümeleri yazınız.

a) İki zarın atılması durumunda örneklem uzayı 6 x 6 lık bir matris olarak gösterilebilir. S = { (x, y) 1,2,3,4,5,6 } Burada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.

b) A olayı zorların üzerindeki sayıların toplamlarının 7 olması olduğuna göre A ={(6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6)} B olayı iki zarın üzerindeki sayıların aynı olması olarak tanımlanırsa B ={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

Bir rassaldeneye ilişkin Örnek Uzayı ağaç diyagramlardan faydalanarak bulunabilir. Örnek: Bir deney için, bir fabrikada uretilen ürünlerden arızalı olanları D (defective) arızalı olmayanlar ıda N (nondefective) ile gösterelim. Bu ürünlerden 3 adet seçileceğine göre örnek uzayını olusturalım

Örnek Bir başka deneyde, bir para atılıyor. Eğer para yazı geliyorsa bir daha atılıyor. Ancak tura geliyorsa bu seferde zar atılıyor. Bu durumda örnek uzayını aşağıdaki gibi verebiliriz. S = {Y Y, Y T, T 1, T 2, T 3, T 4, T5, T6}.

Bir deneyle bağlantılı olarak S örnek uzayında tanımlanan olaylarla ilgili bir sonuç ile değil, birkaç sonuçla ilgilenilebilir. Bu durumda Kümeler Cebrinden yararlanılır. Küme, olasılık çalışmalarında olaylarla bağlantılı olarak ortaya çıkan ve matematiksel olarak olayları değerlendiren bir kurallar dizisidir. Kümeler Cebri ise birden fazla olayla ilgilendiğinde kullanım açısından büyük yararlar sağlamaktadır.

Kümeler ve Olaylar Küme Belirlenmiş nesneler topluluğuna küme denir. Örnek A={sınıfta boyu 1.80 nin üzerinde olan öğrenciler} B={3,5,8} Alt Küme Bütün elemanları daha büyük bir kümenin içinde yer alan küme Örnek C={5,8} kümesi B={3,5,8} kümesinin bir alt kümesidir. Boş Küme Hiç bir elemanı olmayan küme. yada { } ile gösterilir.

Kesin Olay Örnek uzayının kendisi kesin olaydır. İmkansız Olay Olması mümkün olmayan olaydır. Küme teorisinde boş kümeye karşılık gelir.

Küme İşlemleri p A :p, A kümesinin bir elemanıdır. A B : A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanıdır). A=B :A nın her elemanı B nin ve B nin her elemanı da A nın da elemanı ise A ve B kümeleri eşittir. p A, A B, A=B ifadelerinin karşıtları sırasıyla p A, A B, A B şeklinde yazılır. :Boş küme. S: Evrensel Küme (Örnek Uzayı). Herhangi bir A kümesi için A Sifadesi yazılabilir.

BİRLEŞİM A B={x:xЄAyadaxЄB} KESİŞİM A B={ x: x ЄA ve x ЄB} A B ile gösterilen A ve B ninarakesiti (kesişimi), A ve B kümelerinin her ikisine birden bağlı elemanların kümesidir Eğer A B = ise yani A ve B ninortak elemanı yoksa A ve B ye AYRIK kümeler denir.

TÜMLEYEN A = { x: x ЄSve x A } A c biçiminde gösterilen A nın tümleyenia ya bağlı olmayan ve örnek uzayına bağlı olan elemanların kümesidir. FARK A-B={x:xЄA ve x B} A ve B arasındaki ayrım ya da A-B biçiminde gösterilen B kümesinin A ya bağlı olup B ye bağlı olmayan elemanların kümesidir.

Tanımlama Kuralı A A=A A A=A Birliktelik (A B) C=A (B C) (A B) C =A (B C) Değişme A B=B A A B=B A KÜME KURALLARI

Özdeşlik Dağılma A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C)

Tümleme A A =S A A = (A ) =A S = = S De Morgan (A B) =A B (A B) =A B

Bir olayın gerçekleşme olasılığına ilişkin farklı tanımlar yapılmıştır Klasik Olasılık Tanımı Bir deneyin ya da oyunun n tane olası sonucu olduğu ve bu sonuçların her birinin eşit olasılıklı olarak ortaya çıktığını kabul edelim. Eğer A olarak tanımlanan bir olay, toplam n eşit olasılıklı durumdan m tanesinde gerçekleşiyorsa o zaman A olayının olasılığı P(A)=m/n olarak ifade edilir.

Örnek İki hilesiz zarın atılması durumunda A olayı iki zarın üst yüzlerindeki noktaların toplamının 7 olduğu biçiminde tanımlansın. A olayının olasılığı nedir? İki hilesiz zarın atılması durumunda 36 tane eşit olaslıklı sonuç vardır. A olayını sağlayan olası 6 sonuç vardır. A olayının gerçekleşme olasılığı

Klasik olasılık tanımı bazı kısıtlamalara sahiptir. Sayılamayacak kadar çok olası sonucu olan durumlarda yaklaşımlara başvurmadan çözüm üretemez. Örneğin sonuçların sayısının belli olmadığı durumda ne olacaktır? Rassal deney gerçekleştirilmeden önce, deneyin koşullarına ilişkin bilgi kaybı kabullenilerek, tüm sonuçlara eşit olasılıklar atanır. Bu varsayım rassal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan bir soyutlamadır. Simetriye sahip olmayan bir nesne ile gerçekleştirilecek bir deneyde nesnelerin yüzlerine eşit olasılıklar tanımlamak akılcı bir hareket değildir. Eşit şansa sahip olmayan olaylar için doğru sonuç vermez

Relatif Frekans Yaklaşımı ile Olasılık Tanımı S bir örneklem uzayı ve A bu örneklem uzayında tanımlanmış bir olay olsun. Deney aynı koşullarda n defa tekrar edilecek olsun. Deneyin her tekrarında ya A veya A gerçekleşmiş olacaktır. Toplam n tekrar içinde A nın oluş sayısı m ise ve n sonsuz derecede büyük bir sayı ise, m/n oranının n sonsuza giderken aldığı değere A olayının relatif frekans (deneysel) olasılığı denir.

Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir. Para n kez atılırsa ve n(a) kez tura gelirse n(a)/n oranı yani tura sayılarının frekans oranının tura gelme olasılığı olarak kabul edebiliriz. Para ne kadar çok atılırsa, bu oranın, gerçek olasılığa yaklaşacağı söylenebilir.

Olasılığın gerek oran gerekse limit olarak tanımlanmasındaki zorlukları gören modern matematikçiler olasılığı bir fonksiyon olarak ifade etmişlerdir. Rus matematikçi Kolmogorov (1933) dört aksiyomla olasılık fonksiyonunu tanımlamıştır. (Aksiyomatik Tanım)

Aksiyom 1. S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay A olmak üzere bu olayın olasılığı reel bir sayıdır. P(A) 0 0 P (A) 1

Aksiyom 2. Kesin olayın olasılığı 1 dir. P(S) = 1

Aksiyom 3. A1, A2,... olayları S örneklem uzayında tanımlanmış olsun. Her i j için A i A j = Ø ise ( i, j = 1,2,, N )

Olasılık Teoremlerinin İspatı 1. P(Ø) =0 P(S)=1 Ø U S = S P(Ø U S) =P( S)=1 Ø= S yani Ø ve S aynı anda imkansız olaylardır. P(Ø U S) =P( S)+P(Ø )=1 P(S) =P( S)+P(Ø )=1 P(Ø )=0

2. Bir olasılık uzayında A ve B kümeleri arasındaki farkın olasılığı P(A-B) = P ( A B ) = P (A) P( A B) dır. ( A B ) ve ( A B) aynı anda gerçekleşmeleri imkansız yani ayrık kümelerdir. ( A B ) U ( A B) = A (B U B ) = A S = A dağılım özelliği P( A ) = P [( A B ) U ( A B) = P ( A B ) + P ( A B) P ( A B ) =P ( A ) -P ( A B)

3. Bir olayın tamamlayıcısının olasılığı P( A ) = 1-P(A) dır. P(A A )=P(S)=1 A ve A ayrık (aynı anda imkansız) olaylar olduğundan,(a A =Ø) P(A A ) =P(A) + P( A ) P(A A ) =P(A) + P( A )=P(S)=1 1= P(A) + P( A ) P( A )=1-P(A)

4. Bir olasılık uzayında A ve B gibi iki olayın birleşiminin olasılığı P(A B) =P(A) +P(B)-P(A B) dir. A U B = A U ( B A ) Not : A U B = A U ( B A ) = (A U B ) (A U A ) = (A U B ) S (A U B ) S = (A U B ) A ve ( B A ) ayrık olduğundan P( A U B ) = P( A ) + P ( B A ) P ( B A ) = P (B) P( A B) idi. P( A U B ) = P( A ) + P (B) P( A B)

5. Bir alt olayın olasılığı. Eğer B Aise i ) P (A B ) = P(A)-P(B) ii)p(b) P(A) dir. i) P ( B A ) = P (B) P( A B) idi. B Aise P( A B) = P(B) P ( B A ) = P (A) P(B) ii) İlk aksiyomdan P(A B) 0 olur. P(A B ) = P (A) P(B) P (A) P(B) 0 P (A) P(B)

6. 0 P (A) 1 P(A) 0 A S ise P (S) P(A) böylece 0 P (A) 1