KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM DOKTORA TEZĠ MATEMATĠK GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ OCAK 04 ANKARA
Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM tarafıda hazırlaa KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ adlı bu tezi Doktora tezi olarak uygu olduğuu oaylarım. Doç. Dr. Fatma AYAZ Tez DaıĢmaı, Matematik Aabilim Dalı... Bu çalıģma, ürimiz tarafıda oy birliği ile Matematik Aabilim Dalıda Doktora tezi olarak kabul edilmiģtir. Prof. Dr. Hüseyi BEREKETOĞLU Matematik A.D. Akara Üiversitesi... Prof. Dr. Ogü DOĞRU Matematik A.D. Gazi Üiversitesi... Doç. Dr. Fatma AYAZ Matematik A.D. Gazi Üiversitesi.. Doç. Dr. Adil MISIR Matematik A.D. Gazi Üiversitesi.. Doç. Dr. Fahd JARAD Loistik Yöetimi, Türk Hava Kurumu Üiversitesi.. Tez Savuma Tarihi: 0.0.04 Bu tez ile G.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü Yöetim Kurulu Doktora derecesii oamıģtır. Prof. Dr. ġeref SAĞIROĞLU Fe Bilimleri Estitüsü Müdürü
TEZ BĠLDĠRĠMĠ Tez içideki bütü bilgileri etik davraıģ ve akademik kurallar çerçeveside elde edilerek suulduğuu, ayrıca tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalıģmada baa ait olmaya her türlü ifade ve bilgii kayağıa eksiksiz atıf yapıldığıı bildiririm. Nilay Akgöüllü Pirim
iv KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ (Doktora Tezi) Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ Ocak 04 ÖZET Bu tezde, kesir mertebeli lieer diferesiyel deklem ve deklem sistemlerii yaklaģık çözümleri içi Hermite Collocatio Metodu (HCM) geliģtirilmiģtir. Metot, bahsedile diferesiyel deklem veya deklem sistemii, sıralama (collocatio) oktalarıı kullaarak, bilimeyeleri Hermite katsayıları ola lieer cebirsel deklem sistemie döüģtürmektedir. Bu cebirsel sistem ise matrislerle ifade edilebilmekte ve matris cebri kullaarak sistemi kolayca çözülmesiyle de kesirli mertebede lieer deklem ve sistemlerii kesilmiģ seri ciside yaklaģık çözümlerie ulaģılabilmektedir. Bilim Kodu : 04..38 Aahtar Kelimeler : Kesirli Aaliz, Kesirli Diferesiyel Deklem, Kesirli Diferesiyel Deklem Sistemleri, Hermite Poliomları, Sıralama Noktaları Sayfa Adedi : 84 Tez Yöeticisi : Doç. Dr. Fatma AYAZ
v APPROXIMATE SOLUTIONS FOR FRACTIONAL ORDER VARIABLE COEFFICIENTS DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THE SYSTEM OF SUCH EQUATIONS BY HERMITE COLLOCATION METHOD (Ph.D. Thesis) Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM GAZĠ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE Jauary 04 ABSTRACT I this thesis, the Hermite Collocatio method (HCM) has bee developed for the approximate solutio for the fractioal order liear differetial equatios ad the system of such equatios. The method, by usig collocatio poits, coverts the metioed equatios or the system of such equatios to the liear algebraic systems of which ukows are Hermite coefficiets. Sice expressig this algebraic systems by matrices ad usig matrix algebra solutio of the algebraic system ca be obtaied easily. As a result, the solutios of the fractioal order liear equatios ad the system of such equatios are obtaied i terms of trucated Hermite series. Sciace Code : 04..38 Key Words : Fractioal Aalysis, Fractioal Differatial Equatios, System of Fractioal Differatial Equatios, Hermite Polyomials, Collocatio Poits Number of Pages : 84 Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Fatma AYAZ
vi TEġEKKÜR Gazi Üiversitesi i tercih ettiğim 008 yılıda itibare, gerek ders aģamasıda gerekse tez aģamasıda desteğii hep hissettiğim, fikirleride yararladığım doktora tez daıģmaım Doç. Dr. Fatma Ayaz a teģekkür ediyorum. Tezimi oluģum aģamasıda yardımlarıı ve fikirlerii esirgemeye tez izleme komitesi değerli üri üyeleri Prof. Dr. Hüseyi BEREKETOĞLU ve Prof. Dr. Ogü DOĞRU a teģekkür ediyorum. Tez çalıģmalarım sırasıda bütü azımı ve stresimi çeke, her zama her kouda yaımda ola eģim Ferhat PĠRĠM e çok teģekkür ediyorum. Sağladıkları yurt içi doktora bursu ile maddi desteği içi TÜBĠTAK a teģekkür ediyorum.
vii ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... v TEġEKKÜR... vi ĠÇĠNDEKĠLER... vii ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ... x ġekġllerġn LĠSTESĠ... xi SĠMGELER VE KISALTMALAR... xii.gġrġġ.... TEMEL KAVRAMLAR... 3. Kesirli Aaliz... 3... Gama foksiyou... 4... Lebesgue uzayı... 6..3. Riema-Liouville kesirli itegral operatörü... 6..4. Riema-Liouville kesirli türev operatörü... 7..5. ( t- a) Kuvvet foksiyouu kesirli itegrali ve kesirli türevi... 7..6. Caputo kesirli türev operatörü... 8..7. ( x- a) Kuvvet foksiyouu Caputo kesirli türevi... 0.. Charles Hermite... 0... Hermite diferesiyel deklemi... 0... Hermite poliomları....3. Diferesiyel Deklemler ve Sistemleri... 3.3.. Tamsayi mertebeli diferesiyel deklemler... 3
viii Sayfa.3.. Kesir mertebeli diferesiyel deklemler... 3.3.3. DeğiĢke katsayılı kesir mertebeli lieer diferesiyel deklemler... 3.3.4. Kesir mertebeli diferesiyel deklemleri çözüm yötemleri... 4.3.5. Tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemleri... 5.3.6. Tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii çözüm yötemleri..... 6.3.7. Kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemleri... 7.3.8. Kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii çözüm yötemleri..... 8 3. KESĠR MERTEBELĠ LĠNEER DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU...9 3.. Temel Matris Bağıtıları.9 3.. Çözümü Kotrolü ve Hata hesabı....7 3.3. Uygulamalar 7 4. TAMSAYI MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU...... 34 4.. Temel Matris Bağıtıları. 35 4.. Çözümü Kotrolü ve Hata Hesabı...43 4.3. Uygulamalar... 44 5. KESĠR MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU...53 5.. Temel Matris Bağıtıları 54 5.. Uygulamalar 6 6. SONUÇ VE ÖNERĠLER...55 KAYNAKLAR...74
ix Sayfa EKLER.....77 EK- EĢ. 3.6 Deklemii HCM Çözümü içi MatlabR007b Komutları... 78 EK- EĢ. 4.45 Deklemii HCM Çözümü içi MatlabR007b Komutları.....80 EK-3 EĢ. 5.3 Deklemii HCM Çözümü içi MatlabR007b Komutları..... 8 ÖZGEÇMĠġ...84
x ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ Çizelge Sayfa Çizelge.. Gamma foksiyouu bazı sayısal değerleri...5 Çizelge 4.. Örek 4. i y ( ) x çözümüü diğer metotlarla karģılaģtırılması...5 Çizelge 4.. Örek 4.. i y ( ) x çözümüü diğer metotlarla karģılaģtırılması.5
xi ġekġllerġn LĠSTESĠ ġekil Sayfa ġekil 3.. Örek 3. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile yaklaģık çözümü karģılaģtırılması......33 ġekil 4.. Örek 4. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile y ( x ) yaklaģık çözümü karģılaģtırılması............5 ġekil 4.. Örek 4. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile y ( x ) yaklaģık çözümü karģılaģtırılması..........5 ġekil 5.. DTM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri (a).......67 ġekil 5.. ADM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri (b)......67 ġekil 5.3. HCM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri......68 ġekil 5.4. Örek 5. i y ( ) x çözüm soucuu karģılaģtırılması...7 ġekil 5.5. Örek 5. i y ( ) x çözüm soucuu karģılaģtırılması....7 ġekil 5.6. Örek 5. i y ( ) 3 x çözüm soucuu karģılaģtırılması......7
xii SĠMGELER VE KISALTMALAR Bu çalıģmada kullaılmıģ bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aģağıda suulmuģtur. Simgeler Açıklama ( ) Gama foksiyou L [, ] p a b Lebesgue uzayı Riema-Liouville kesirli itegrali Riema-Liouville kesirli türevi Caputo kesirli türevi ( ) Hermite poliomları Kısaltmalar Açıklama ADM BCM CCM DCM HCM h.h.h.y. Adomia ayırma metodu Bessel collocatio metodu Chebyshev collocatio metodu Diferesiyel döüģüm metodu Hermite collocatio metodu Heme heme her yerde
.GĠRĠġ Türev ve itegral operatörleri geel olarak matematiksel modelleri temelii oluģturmakta ve ayı zamada doğal ve yapay sistemleri çalıģma presiplerii alamada araç olarak kullaılmaktadır. Dolayısıyla diferesiyel ve itegral deklemler teorik ve pratik bakımda büyük öem taģımaktadır. Bu tip deklemler fe ve mühedislik gibi bilim dallarıda olduğu gibi sosyal bilimleri de içermek üzere çok geiģ uygulama alalarıa sahiptir. Diferesiyel deklemler gibi diferesiyel deklem sistemleri de elastikiyet teorisi, diamik, akıģkalar mekaiği, devre problemleri, salıım problemleri, kuatum diamiği gibi koularda sıklıkla karģımıza çıkmaktadır. Türev ve itegral operatörlerie ola ilgi, kouu daha da derilemesie iceleerek, tamsayı mertebeli hallerii geelleģtirilmiģ hali ola kesirli türev ve kesirli itegral operatörlerii bulumasıı sağlamıģtır. Bu operatörlere ola merak 695 te L Hospital i Leibiz e sorduğu bir soru ile baģlar ve böylece kesirli aalizi temelleri atılmıģ olur [4]. Güümüzde fe ve mühedislik alalarıda öemli uygulamalar kesirli türev ve itegral operatörleri aracılığıyla daha iyi modelleebilmektedir. Öreği, söümleme yasası, difüzyo süreçleri ve fraktallar gibi koular kesirli aaliz yardımı ile daha iyi taımlaabilmektedir ve bu durum güümüzde kesirli aalize ve kesirli mertebede diferesiyel deklemlere ola ilgiyi artırmıģtır. Kesirli türev operatörüü içere, kesir mertebeli diferesiyel deklemleri ve sistemleri aalitik olarak çözmek zordur. Buu içi çeģitli sayısal veya yarı sayısal yötemler geliģtirilmiģtir. Bularda bazıları Adomia Ayırma metodu, Diferesiyel DöüĢüm metodu, Solu Farklar YaklaĢım metodu, Varyasyoel Ġterasyo metodu vb. dir. Bu yötemler kullaılarak yapıla çalıģmaları çoğu tek veya az terimli deklem ve deklem sistemlerie dayamaktadır. Bu alada eksiklikleri giderilmesi daha karmaģık tipte ve çözülemeye problemleri çözülebilmesi isteği, bizi yei ve daha
güçlü yötemleri geliģtirilmesi çalıģmasıa yöeltmiģtir. Yaptığımız araģtırmalar soucuda, [] de suula yötem ile kesirli aaliz birleģtirilmiģ ve Hermite Collocatio (sıralama) metodu (HCM) ile bu tip deklemler ve sistemleri yaklaģık çözümleri aramıģtır. Metodu temeli ortogaal poliom ola Hermite poliomlarıı kesilmiģ seri halie ve matrislere dayamaktadır. Tez altı bölümde oluģmaktadır. Bu tezi üç, dört ve beģici bölümleri orialliğe sahiptir. Her bir bölümde icelee koular sırasıyla Ģöyledir. Tezi ilk bölümüde, so zamalarda kesirli aalize ola ilgii edeie ve çalıģma motivasyoua yer verilmektedir. Ġkici bölümde, yötemi geliģmesi ve alaģılması içi gerekli ola kesirli aaliz bilgileri ve Hermite poliomları hakkıda gerekli ö bilgiler verilmiģ, ayrıca tamsayı ve kesir mertebeli diferesiyel deklemleri ve sistemleri taımları ile çözüm yötemleri ile ilgili literatür çalıģması yapılmıģtır. Tezi oriial ola üçücü, dördücü ve beģici bölümleride ise sırasıyla, kesir mertebeli diferesiyel deklemleri, tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii, kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii yaklaģık çözümlerii bulmak içi geliģtirile HCM yötemi alatılmıģ, yötemi uygulaabilirliği, hata hesapları, gerekli souçlar Ģekil ve çizelgelerle desteklemiģtir. So olarak altıcı bölümde, kullaıla metodu uygulaabilirliği, hesaplamaları yapıldığı programlara yer verilmiģtir, ayrıca ilerisi içi yapılabilecek çalıģmalarda da bahsedilmiģtir.
3. TEMEL KAVRAMLAR.. Kesirli Aaliz Tarihte klasik aaliz kadar eskiye dayaa kesirli aaliz, katlı itegral ve tamsayı mertebeli türev kavramlarıı geiģletilmesi ve birleģtirilmesiyle oluģa herhagi bir reel veya kompleks mertebeli türev ve itegrali icelemesidir. 695 te L Hospital i (643-704) Leibiz e (646-76) sorduğu Bir f foksiyou tamsayılı mertebede türevii taımladı peki olduğuda d f dx kavramıı bir alamı var mı? sorusu kesirli aalizi baģlagıcı olarak kabul edilir. Güümüzde kesirli mertebeli türev, itegral ve buları içere deklemler fizik, kimya, elektrik ve elektroik, termodiamik, kotrol teorisi gibi pek çok alada kullaılmaktadır. Kouu çeģitli alalara uygulaabilme potasiyeli ile so kırk yıldır popülerliği ve öemi artmıģtır [9, 6, 9-, 5-6]. D d / dx diferesiyel operatörü ve bir pozitif tamsayı olmak üzere D f ( x ) i alamıı f( x ) foksiyouu ici türevi olduğu iyi bilimektedir. Fakat pozitif bir tamsayı değilse Re ( ) 0 içi D sembolüü veya Re ( ) 0 içi D sembolüü alamıı yorumlaması zordur. Bu kısımda bu sembolleri alamları açıklaacaktır. Farklı tipte kesirli türev ve itegral taımı ve özellikleri çeģitli kayaklarda yer almaktadır. Bularda e yaygı olarak kullaılalar Riema-Liouville ve Caputo u taımlarıdır. Kesirli aalizi operatörleri e geel gösterimleri sırasıyla, ( D f )( x) a Ģeklidedir [6]. Bu gösterim olmak üzere keyfi değerli kesirli türev gösterimidir a ise kesirli türev iģlemii sıır değeridir. Kesirli mertebede itegral alamıa gele kesirli itegral i gösterimi ise, Re ( ) 0 içi
4 ( I f )( x) a Ģeklidedir. Tez içi gerekli ola kesirli hesabı taımlarıı ve kullaımlarıı alamak içi bazı matematiksel taımları iyi bilmek gerekir, bu taım ve teoremlerde bazıları aģağıda verilmiģtir.... Gamma foksiyou Gamma foksiyou faktöriyel foksiyou geelleģtirilmiģ halidir diyebiliriz. Faktöriyel iģlemi egatif olmaya bir tamsayısıda baģlayıp e kadar azala tamsayıları çarpımıda oluģur. Matematiksel aaliz, cebir gibi öemli alalarda kullaıla bir taımdır. Ayı gereksiim karmaģık sayılar ve tamsayı olmaya reel sayılar içi duyuluca Euler Gamma foksiyou 0 içi, aģağıdaki geelleģtirilmiģ itegral yardımıyla taımlamıģtır. u e u du ( ) 0 Bu ismi almasıı edei itegrali ikici tip Euler itegrali olmasıda kayaklıdır[6]. Faktöriyel foksiyou üstel foksiyo ile ilgili aģağıdaki eģitliği kullaılarak u! e u du 0 e u 0 ( ) u ( ) du gamma foksiyou ile faktöriyel foksiyou arasıdaki iliģki özelleģtirilir [4,9].
5 Gamma foksiyou kesirli itegral ve kesirli türev ile doğruda iliģkilidir. Bu iliģkiler Gamma foksiyouu aģağıda verile özellikleride faydalaılarak buluabilir.. ( ) foksiyoua karģılık gele u e u du itegrali 0 0 içi yakısak olup, c 0 olmak üzere bu itegral her [ cd, ] solu aralığıda düzgü yakısaktır.. Taım kümesi : 0 dır. 3. Gamma foksiyou 0 içi süreklidir. 4. Özellik () de dolayı değiģkeie göre itegral iģareti altıda türev alarak ( ) i türevi elde edilebilir. 5. ( ) ( ), 0 6. 0<< içi ( ) ( ) ve içi Çizelge.. Gamma foksiyouu bazı sayısal değerleri 3 4 3 5 0 Taımsız 3 3 4 7 4 5 8 6 3
6... Lp[ a, b ], Lebesgue uzayı p olsu, p Lp a, b: f : a, b R; f,[ a, b] üzeride ölçülebilirdir ve f ( x) dx ifadesi p içi alıģılmıģ Lebesgue uzayıdır 9. L p b b a a, uzayıda orm: p, f L p [ a, b] ise b p f f f ( x) dx Lpa, b p a p Ģeklidedir. Eğer f foksiyou sürekli ise : lim p f f olur. Burada p f sup f ( x) axb ile ifade edilmektedir...3. Riema-Liouville kesirli itegral operatörü Riema-liouville kesirli itegrali i x [ a, b] içi L [ a, b ] de mertebesi içi taımı x ( a )( ) : ( ) ( ) ( ) a I f x x t f t dt, ( xa; 0) (.) Ģeklide verilir. Burada ( ) gamma foksiyoudur.
7 Kesirli itegral operatörü EĢ.. i öemli bir özelliği, 0 içi I 0 : I özdeģlik operatörü olmasıdır [0]. a..4. Riema - Liouville kesirli türev operatörü f sürekli bir foksiyo ve olsu., ya e yakı ve e küçük tamsayı olsu. Bu durumda f fosiyouu mertebeli kesirli türevii hesaplamak içi öce v ( ) 0 mertebede kesirli itegrali hesaplamalı sorada tamsayılı mertebede türevi alımalıdır. Yai Riema-Liouville kesirli türevii ifadesi ( ), d v ( D a f )( x) : ( Ia f )( x) dx x v ( ) ( ) d x t f t dt ( ) dx (.) a Ģeklidedir. Burada 0 içi D 0 : I özdeģlik operatörüdür [6]. a..5. ( t- a) Kuvvet foksiyouu kesirli itegrali ve kesirli türevi f ( t) ( t a), olsu. Bu durumda f() t foksiyouu 0 mertebeli Riema-Liouville kesirli itegrali, ( ) Ia f ( t) ( t a) ( ) (.3) ve kesirli türevi
8 ( ) Da f ( t) ( t a) ( ) (.4) olmaktadır. Burada a keyfi bir sabit sayıdır. Özel olarak ve 0 olursa, o zama EĢ..4 ifadeside de alaģılacağı gibi bir sabiti Riema-Liouville kesirli türevi geelde sıfır olmaz, yai Da ( t a) 0 ( ) olmaktadır...6. Caputo kesirli türev operatörü BaĢlagıç değer problemleri içi Riema-Liouville kesirli türev operatörüü taımı uygu olmadığı içi, baģlagıç koģullarıı fiziksel durumlara e uygu Ģekilde verebile Caputo kesirli türev taımı kullaılmaktadır [6]. Bu taım ve olsu. a x b içi x c ( ) a ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ) a D f x I D f x x t f t dt (.5) Ģeklidedir ve c D operatörüe, mertebeli Caputo diferesiyel operatörü deir. a Burada ve f ( x) AC [ a, b] Ģeklidedir. Caputo kesirli türev operatörüü bazı özellikleri ve ilgili teoremler aģağıda suuldu. Teorem.. Her, R içi D D f ( x) D f ( x) (.6) c c c a a a
9 özelliğie sahiptir [6]. Lemma.. Bir foksiyou ardıģık kesirli Caputo türevi, 3 olmak üzere D f t D f t D D D D f t 3 3 ( ) ( ) ( ) c c c c c c olarak elde edilmektedir [5]. Lemma.. [ ab, ] üzeride sürekli ola f foksiyolarıı uzayı AC[ a, b ] olmak üzere m AC [ a, b] uzayı; [ ] { [ ] ( )( ) [ ] ( ) } Ģeklide taımlıdır. Özel olarak AC [ a, b] AC[ a, b] alıır ve burada f ( x) AC[ a, b] f ( x) c ( t) dt, ( ( t) L( a, b)) x a olarak yazılır...7. ( x- a) Kuvvet foksiyouu Caputo kesirli türevi f ( x) ( x a), 0 ve içi içi olsu. Bu durumda f( x) foksiyouu 0 mertebeli Caputo kesirli türevi,
0 c 0, 0,,,..., ve ise Da f ( x) ( ), ve veya ( x a) ( ) ve ise olarak taımlaır ve C bir sabit olmak üzere, c DC a 0 olmaktadır [6]... Charles Hermite Diferesiyel deklemleri çözümü içi geliģtirile bir çok sayısal yötemi temelide ortogoal poliomlar yer almaktadır. Nedei ise ortogoal poliomları kolay kullaımıdır, çükü iyi yakısama özellikleri vardır ve bir foksiyou ağırlık dağılımıı kesi bir ağ üzeride, iyi bir Ģekilde temsil ederler. Ortogoal poliomlar aalizi, fiziği ve mekaiği çeģitli dallarıda kullaıla öemli foksiyolardır. Bu foksiyoları matematiksel modelleri diferesiyel veya itegro-diferesiyel deklemleri çözümü içi kullaılmaktadır. Bahsedile tip deklemler elemater metodlarla çözülebilir; fakat çoğu zama tam çözümü bulmak zor olduğuda geellikle seri çözümlerie baģvurulur. ĠĢte bularda biri de Hermite diferesiyel deklemii kökleri ola Hermite poliomlarıa dayalı seri çözümlerdir. Klasik ortogoal poliomlarda biri olarak bilie Hermite poliomlarıı bula Frasız matematikçisi Charles Hermite (8-90) dir.... Hermite diferesiyel deklemi Matematiği ve fiziği öemli deklemleride ola, y ( x) xy( x) y( x) 0, 0,,,... (.6) deklemie Hermite diferesiyel deklemi adı verilir.
... Hermite poliomları - x aralığıda skaler çarpım ( p, q) w( x) p( x) q( x) dx yazıldığıda bu skaler çarpımı ıraksak olmakta koruyacak e doğal ağırlık foksiyou w( x) e x olur. x olduğuda üstel foksiyo her kuvvetide daha hızlı sıfıra gider ve ıraksaklığı öler. (, ) aralığıda ve ( ) ağırlık foksiyouyla taımlı skaler çarpıma göre ortogaal ola poliomlar Hermite poliomları adıı alırlar ve H ( x ) ile gösterilirler. m x EĢ..6 ile verile Hermite diferesiyel deklemii kuvvet serisi yötemi ile çözülmesiyle elde edile Hermite poliomları, çift ise ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tek ise ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) yukarıdaki seri formuda taımlamıģtır. i tam değeri kullaılarak yukarıdaki iki deklem birleģtirilirse, Hermite poliomları kısaca
( ) Ģeklide yazılabilir. ( ) ( ) ( ) (.7) H ( ) x,. derecede Hermite poliomuu ifade etmektedir. Ġlk birkaç Hermite poliomuu açık Ģekilde yazılırsa, H ( x) 0 H ( x) x H ( x) 4x H x x x ( ) 8 3 3 H x x x 4 4 ( ) 6 48 H x x x x 5 3 5 ( ) 3 60 0 H x x x x 6 4 6 ( ) 64 480 70 0 H x x x x x 7 5 3 7 ( ) 8 344 3360 680 H x x x x x 8 6 4 8 ( ) 56 3584 3440 3440 680 H x x x x x x 9 7 5 3 9 ( ) 5 96 48384 80640 3040 H x x x x x x 0 8 6 4 0 ( ) 04 3040 680 49300 30400 3040 ve geelleirse! H( x) ( ) ( ) ( x) ( m)!( m)! m m m0 ( )! H ( x) ( ) ( ) ( x) ( m)!(m )! m m m0 elde edilirler []..3. Diferesiyel Deklemler ve Sistemleri
3.3.. Tamsayı mertebeli diferesiyel deklemler ve f : R R bir foksiyo olsu. Bu durumda, D y( x) f ( x, y( x)) (.8) ifadesie. mertebede adi diferesiyel deklem deir. Eğer, EĢ..8 diferesiyel deklemie k ( k) D y( x ) y, k 0,,..., (.9) 0 0 Ģeklideki baģlagıç koģullarıı eklersek, EĢ.8 diferesiyel deklemi, EĢ..9 baģlagıç koģullarıı içere bir başlagıç değer problemi olarak taımlaır [3]..3.. Kesirli mertebede diferesiyel deklemler Bir bağımlı değiģkei, bir bağımsız değiģkee göre kesirli türevlerii içere diferesiyel deklemlere kesirli mertebede adi diferesiyel deklemler deir [8]. D y( x) y 3 ( x) 5 5 3D y( t) Dy ( t) t (.0) deklemleri birer kesirli diferesiyel deklemdir..3.3. DeğiĢke katsayılı kesir mertebeli lieer diferesiyel deklemler x bağımsız değiģke ve y bağımlı değiģke olmak üzere a 0 ( 0 x x) D y( x) a ( x) D y( x)... a ( x) D y( x) a ( x) D y( x) f ( ) (.)
4 Ģeklide yazılabile diferesiyel deklemlere değişke katsayılı kesir mertebeli lieer diferesiyel deklem deir. Bu deklemi lieerliği kesirli türev operatörüü lieer olma özelliğide kayaklamaktadır [8]. Öreği, x D 3 y( x) y( x) e c c 3/ D y x D y x y x x x ( ) ( ) ( ) (.) deklemleri lieerdir..3.4. Kesirli mertebede diferesiyel deklemleri çözüm yötemleri Kesirli diferesiyel deklemler uygulamalı matematik, fizik, kimya ve mühedislik alalarıda oldukça sık ortaya çıkmaktadır. Buu edei; kesirli türevleri gerçek sistemleri ve süreçleri tamsayı mertebeli türevlerde daha tam ve gerçeğe yakı olarak modellemeleridir. Kesirli diferesiyel deklemleri aalitik çözümleri içi uygulaa yötemlerde bazıları Volterra Ġtegral deklemlere idirgeme metodu, Mittag-Leffler ve Bessel özel foksiyolarıyla kesirli türev, kesirli itegral operatörlerii bileģimi metodu [6], Laplace döüģüm metodu, Melli döüģüm metodu, Kesirli Gree foksiyou metodudur [5]. Bu metotları var olmasıyla birlikte, çözümü araa diferesiyel deklemlerdeki kesirli türevleri her zama aalitik hesaplaması kolay ya da mümkü olmayabilir. Bu yüzde çeģitli ümerik metotlar kullaılarak bu kesirli türevleri aalitiğe yakı ve kolay hesaplaabilmesi sağlamıģtır. Bu metotlarda bazıları Adomia ayırma metodu (ADM), kesirli diferesiyel döüģüm metodu, kesirli fark metodu ve çeģitli iterasyo metotlarıdır, [-5, 7,9, 3]. Çözümü araa problemi türüe göre bu metotlarda e uygu olaı seçilerek çözüme ulaģılabilmektedir. Bu çalıģmada ele alıa kesirli diferesiyel deklem problemlerii çözümüde Hermite collocatio
5 metodu ile yaklaģık ve kapalı çözümler elde edilmiģtir ve ilerleye bölümlerde bu çözümlere yer verilecektir..3.5. Tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemleri AĢağıdaki gibi x bağımsız değiģke ve y bağımlı değiģke olmak üzere y p ( x) y p ( x) y p ( x) y g ( x) k k y p ( x) y p ( x) y p ( x) y g ( x) k k (.3) y p ( x) y p ( x) y p ( x) y g ( x) k k k kk k k Ģeklideki bir veya daha fazla sayıda bağımlı değiģkei tek bir bağımsız değiģkee göre türevlerii içere deklem sistemie lieer diferesiyel deklem sistemi deir, i,,,..., k olmak üzere g ( x ) ve p ( x) bilie foksiyolarıı [ ab, ] aralığıda i i taımlı oldukları kabul edilmiģtir. Eğer gi( x) 0 ise EĢ..3 sistemie homoe sistem, gi( x) 0 ise EĢ..3 sistemie homoe olmaya sistem deir. Sistemleri lieerliği ise diferesiyel deklemleri lieerliğide kayaklamaktadır, yai tüm deklemler lieer ise sisteme lieer sistemi deir. Ayrıca p ( x ) foksiyoları sabitlerde oluģuyor ise EĢ..3 sistemie sabit katsayılı sistem, e az biri bağımsız değiģke x i içeriyor ise değişke katsayılı sistem deir. Öreği, i y y y y y 4 y3 y y3 4 6 (.4) sistemi birici mertebede, sabit katsayılı, homoe, lieer diferesiyel deklem sistemidir. E geel haliyle. mertebede k bilimeyeli sistem
6 m k 0 p x y x g x i k a x b ( ) i ( ) ( ) i( ),,...,, toplamları ile ifade edilebilir. Öreği, y x xy x xy x x x x y ( x) xy ( x) y( x) 5x 3 ( ) ( ) ( ) 46 (.5) sistemi ikici mertebede, homoe olmaya, değiģke katsayılı, lieer bir diferesiyel deklem sistemi taımlamaktadır..3.6. Tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii çözüm yötemleri Diferesiyel deklem sistemleri elastikiyet teorisi, diamik, akıģkalar mekaiği, devre problemleri, salıım problemleri gibi pek çok kouda karģımıza çıka sistemlerdir. Yüksek mertebede sistemleri çözümüe iliģki zorluklar kouya ola ilgiyi artırmıģtır. Birici mertebede (ormal formdaki) sistemleri aalitik çözümleri yok etme metodu, operatör metodu gibi stadart yötemlerle yapılabilir ama iki veya daha yüksek mertebede diferesiyel deklem sistemlerii aalitik olarak çözmek zordur. Bu yüzde yaklaģık çözümlere gerek duyulmuģtur. Yüksek mertebeli sistemler, ormal formdaki sistemlere idirgeerek çözülmeye çalıģılmıģtır. Buları çözümüde de Ruge-Kutta, Euler gibi yötemler kullaılmaktadır. So yıllarda diferesiyel deklem sistemlerii çözmek içi diferesiyel döüģüm metodu [8], varyasyoel iterasyo metodu [3], Taylor [7], Chebyshev [3] ve Bessel [30] collocatio metodu gibi yaklaģık çözüm yötemleri kullaılmaktadır.
7 Bu çalıģmada ise Hermite poliomlarıda ve collocatio yötemide faydalaılarak geliģtirile HCM yötemi ile tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemleri içi çözümler yapılmıģ ve bu çözümlere dördücü bölümde yer verilmiģtir..3.7. Kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemleri Kesir mertebeli sistemler, tamsayı mertebeli sistemleri geelleģtirilmiģ hali olarak düģüülmektedir. Bu edele kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemii taımı C C D y x g x y y y ( ) (,,,, ) D y x g x y y y ( ) (,,,, ) (.6) C D y ( x) g ( x, y, y,, y ) ifadesi ile verilebilir. Burada C i D her y i foksiyouu Caputo alamıda i mertebeli kesirli türevidir ve 0 dir []. Öreği, i D y ( x) y ( x) y ( x) 0 C 0,7 C 0.7 D y ( x) y ( x) y ( x) 0 (.7) ve F F F D y ( x) y ( x) g( x) y ( x) y ( x) C 3 3 3 V3 V V F F D y ( x) y ( x) y ( x) C 3 V V F F F D y ( x) y ( x) y ( x) y ( x) C 3 3 3 3 3 3 V V V3 (.8) sistemleri kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemleridir.
8.3.8. Kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii çözüm yötemleri Fiziksel süreçleri matematiksel modellemeside kesir mertebeli sistemler sıklıkla karģımıza çıkmaktadır. Bu tür süreçleri matematiksel modellerie ola ilgi so yıllarda daha da artıģ göstermiģ ve çok çeģitli alalarda öreği fizik, kimya, mühedislik ve biyoloi gibi alalarda uygulamalarıa literatürde geiģ olarak yer verilmiģtir. Bu tip sistemleri aalitik olarak çözmek zordur. Bu yüzde sayısal tekikler geliģtirilmiģtir. ġimdiye kadar ola çalıģmaları çoğu kesir mertebeli lieer veya lieer olmaya diferesiyel deklemler üzeriedir. Çok az sayıda çalıģma sistemler üzerie yapılmıģtır, bularda bazıları S. Momai i kulladığı Adomia Ayırma metodu [] ve V.S. Ertürk ü kulladığı Diferesiyel DöüĢüm metodu [] ile yapıla çözüm tekikleridir. Bu çalıģmada Hermite Colocatio metodu ile kesir mertebeli sistemlere çözüm aramıģ ve yötem beģici bölümde taımlamıģtır. Adı geçe yötem kesilmiģ Hermite serisi formudaki yarı aalitik çözümlerdir ve tekik matrislere dayamaktadır.
9 3. KESĠRLĠ MERTEBEDEN LĠNEER DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION (SIRALAMA) METODU Bu bölümde kesirli mertebede lieer diferesiyel deklemleri, verile baģlagıç koģulları altıdaki yaklaģık çözümlerii elde etmek içi [,, 5] de faydalaılarak yei bir metot geliģtirilmiģtir. Hermite Collocatio (Sıralama) Metot (HCM) adı verile bu metot da Hermite poliomları ve kuvvet foksiyouu Caputo kesirli türevi kullaılarak, sıralama oktaları içi kesirli mertebede diferesiyel deklemler matris deklemlere döüģtürülmektedir. Matrislerde cebir iģlemleri kolay olduğu içi uygulaa metodu herhagi bir zorluğu yoktur. Üstelik bilgisayarlarda faydalaarak hazır paket programlarıa gerekli kodlar girilerek hesaplamalar kolayca yapılabilmektedir. Böylece Hermite Collocatio Metodu u kesirli diferesiyel deklemleri aalitik veya yaklaģık çözümlerii elde etmek içi kullaılabilecek alteratif ve etkili bir metot olduğu söyleebilir. Bu bölümü ilk kısmıda metodu oluģumu, ikici kısmıda kullaıla metot ile bulua çözümleri hata hesaplarıı asıl yapılacağıda bahsedilmiģ ve so kısımda ise yötemi uygulaması öreklerle desteklemiģtir. 3.. Temel Matris Bağıtıları Burada ϵ Nₒ ve a x b olmak üzere sabit veya değiģke katsayılı kesirli mertebede lieer m C k Pk ( x) D y( x) g( x) (3.) k0 diferesiyel deklemii, t c k c k [ a k D y( a) bk D y( b)], 0,,,..., t (3.) k 0 koģulları altıda
0 N y( x) a H ( x ) (3.3) 0 kesilmiģ (solu) Hermite serisi formuda bir yaklaģık çözümüü var olduğu kabul edilmektedir. Burada N seçile keyfi bir pozitif tam sayıdır, öyle ki kabul edilmiģtir. Bu durumda EĢ. 3.3 ü aģağıdaki [ y( x)] H( x ) A (3.4) matris formua döüģtürebiliriz; burada H( x ) ve A matrisleri H( x ) [ H ( x ) H ( x )... H ( x )] 0 N A a0 a a N [... ] T olarak taımlaır. Böylece EĢ. 3.3 ifadesii matris formu b a xi a ( ) i, i 0,,,..., N, x0 a, xn b N collocatio (sıralama) oktalarıda [ y( x )] H( x ) A i 0,,,..., N i i halie gelir. EĢ..7 de verile hermite poliomlarıı ( ) ( ) ( ) ( ), x, 0,,,...
özelliği kullaılarak Hermite poliomları N i tek ve çift değerlerie göre x yerie x yazılarak aģağıdaki gibi matris formua döüģtürülebilmektedir []. N tek ise 0 0 0 0 0 0 0 H0 ( x ) H( x ) N-5 0 ( ) (N-)! x N- (-) 0 0 0! N- ( )! ( N ) H N ( x ) x N- N H ( ) ( ) N! N x N x 0 (-) 0! N- ( )! N=çift ise (3.5) H0 ( x ) H( x ) HN ( x ) HN ( x ) (N-)!! N- ( )! N-4 0 ( ) N! (-) 0 0 0! N ( )! 0 0 0 0 0 0 0 N- ( ) N- 0 (-) 0 N x x N x ( N ) (3.6) T H ( x T ) F X ( x ) Yukarıdaki matris formu kısaca T T H ( x ) F X ( x ) ya da T H( x ) X ( x ) F (3.7) Ģeklide ifade edilir. Burada
X x x c x c x c x c 0 ( N) N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olarak yazılabilir ve c sayısı verile aralık içide herhagi bir keyfi değer olabilir. Elde ettiğimiz EĢ. 3.7 ifadesii EĢ. 3.4 deklemide yerie yazarsak T y( x) X ( x ) F A (3.8) olur. ġimdi ise EĢ. 3.8 deklemii her iki yaıı da k. Caputo kesirli türevii alırsak D y( x) D X ( x ) F A (3.9) C k C k T C k buluur, fakat iģleme devam etmek içi D X ( x ) hesaplamalıdır, buu içi C k C k 0 C k C k ( N ) C k N D X ( x ) D ( x c) D ( x c) D ( x c) D ( x c) belirlemelidir. EĢ..9 deklemide yararlaarak öce k içi aģağıdaki matris formuu yazalım. C C C C D ( x c) 0 D ( x c) D ( x c) D ( x c) C D ( x c) ( N) N 0 0 0 0 0 0 ( +) 0 0 0 0 0 ( +) 0 0 0 0 0 ( +) (N +) 0 0 0 0 0 ((N-) +) ( x c) ( x c) ( x c) ( x c) ( x c) 0 ( N ) N C T D X ( x ) B X( x ) Kısaca yukarıdaki matris eģitliği
3 C D X ( x ) X ( x ) B T Ģeklide ifade edilir. Burada k mertebede Caputo kesirli türevlere geçilirse teorem. kullaılarak D D X ( x ) D X ( x ) B C C C T C T X ( x ) B D X ( x ) X ( x )( B ) T D X ( x ) X ( x )( B ) (3.0) C k T k eģitlik elde edilir. Böylece EĢ. 3.0 ifadesi EĢ. 3.9 ifadeside yerie yazılırsa D y( x) X ( x )( B ) F A (3.) C k T k T buluur. Sıralama (collocatio) oktaları ola x x, içi EĢ. 3. diferesiyel i deklemi m C k Pk ( xi ) D y( xi ) g( xi ), i 0,,,..., N (3.) k0 Ģeklide düzeleir. Burada Pk ( x0 ) 0 0 0 Pk ( x ) 0 0 0 Pk( xn) C D C D C D k k k y( x0 ) y( x ) y( xn ) gx ( 0 ) gx ( ) gx ( N )
4 P k k Y G yazılabileceğide EĢ. 3. ifadesi m k Pk Y G (3.3) k 0 matris sistemie döüģtürülmüģ olur. ġimdi ise 3. deklemide x xi yazarsak k Y matrisii elde etmek içi EĢ. D y( x ) X ( x )( B ) F A (3.4) C k T k T i i olur ve bu ifadeyi yie matris sistemie döüģtürmek istersek C D C D C D k k k y( x0) y( x ) y( xn ) k Y X( x0 ) X( x ) X( xn ) X T k T ( B ) F A halie gelir. Buradaki X matrisi X = ( N) N X ( x0 ) ( x0 c) ( x0 c) ( x0 c) ( N) N X ( x ) ( x c) ( x c) ( x c) ( N) N X ( xn ) ( xn c) ( xn c) ( xn c) Ģeklide yazılır. Bu durumda EĢ. 3.4 ü matris formu k T k T Y X ( B ) F A (3.5)
5 olarak taımlaır. Böylece EĢ. 3.5 ifadesii EĢ. 3.3 ifadeside yerie yazabiliriz. Souç olarak m T k T Pk X ( B ) F A G (3.6) k 0 temel matris deklemi elde edilir ve m T k T W [ w ] P X ( B ) F p, q 0,,,..., N pq k 0 k olarak isimledirilirse EĢ. 3.6 deklemi kısaca W A G (3.7) Ģeklide yazılabilir ve burada sistem (N+) satır (N+) sütuda oluģa bir cebirsel sisteme döüģtürülebilir. EĢ. 3.7 deklemii artırılmıģ matrisi aģağıdaki gibidir; w00 w0 w0 N ; g( x0) w0 w w N ; g( x ) [ WG ; ] ; w( N )0 w( N ) w( N ) N ; g( xn ) w w w ; g( x ) N 0 N NN N ( N) ( N) (3.8) ġimdi ise koģul deklemii artırılmıģ matrisii elde edelim, buu içi C D y( a), = 0,,,...,t- EĢ. 3. koģul deklemide EĢ. 3.4 deklemii kullaarak
6 X ( a)( B T ) F T A (3.9) buluabilir. Ayrıca U X ( a)( B ) F [ u u u u ] T T 0 N içi EĢ. 3.9 matris formu U A [ U ; ], 0,,,..., t halie döüģür. O halde koģullar içi artırılmıģ matrisimiz [ U ; ] = u u u u u u u u u 00 0 0N 0 0 N ( t ) ( t ) ( t ) N t ; ; ; ; olarak taımlaır. EĢ 3.8 matris formuu so m satırı silierek koģullar içi artırılmıģ matrisimiz silie satırlarda yerie yazılırsa w00 w0 w0 N ; g( x0) w0 w w N ; g( x) ; w( N t )0 w( N t ) w( N t ) N ; g( xn t ) [ WG ; ] = w( N t)0 w( N t ) w( N t ) N ; g( xn t ) u00 u0 u0n ; 0 u0 u u N ; ; u ( t )0 u( t ) u( t ) N ; t matrisi oluģur. Bu artırılmıģ matris
7 W A G (3.0) Ģeklide kısaca gösterilebilir. Teorem 3.. Eğer rak W rak [ W; G] N ise yai det( W) 0 ise EĢ. 3.0 matris deklemii çözümü A ( W) G (3.) olur. Bu teoremi ispatı cebirde de bilidiği gibi gayet açıktır. Bu sayede EĢ. 3. deklemide, bilimeye A [ a0 a a ] T N sütu matrisi verile Ģartlar altıda kolayca buluabilir. Böylece verile koģullara göre EĢ. 3. diferesiyel deklemi tek çözüme sahip olur ve bu çözüm, [ y( x)] H( x ) A ya da N y( x) a H ( x ) (3.) 0 Ģeklide Hermite serisel çözümüdür. 3.. Çözümü Kotrolü ve Hata Hesabı Elde edile EĢ. 3. deklemideki kesilmiģ Hermite serileri, EĢ. 3. deklemii yaklaģık çözümü olduğuda, bulua souç foksiyou yx, ( ) EĢ. 3. deklemide yerie yazıldığıda deklemi yaklaģık olarak sağlamalıdır. Bu durumda her x x i
8 ( a x b ), i 0,,..., N içi m C k i k i i i k0 E( x ) P ( x ) D y( x ) g( x ) 0 veya k Ex ( ) 0 i i ( k i herhagi bir pozitif tamsayı) k olmalıdır. Eğer maksimum (0 i ) = 0 k belirleirse, o zama N kesme sıırı alıa 0 k da daha küçük olucaya kadar arttırılır. i (k herhagi bir pozitif tamsayı) öcede x okralarıı her birideki Ex ( ) değeri i Diğer yada hata foksiyou grafiği m C k E( x) P ( x) D y( x) g( x) k0 k foksiyou ile elde edilir. Eğer bu foksiyou grafiği N kesme sıırı artarke x ekseie yaklaģıyorsa çözümü hatası asimtotik olarak sıfıra yaklaģıyor demektir. Ayrıca hata hesabıı bir diğer yolu ise HCM yötemi kullaılarak bulua çözüm ile tam çözüm arasıdaki farkı mutlak değerii, verile aralıktaki keyfi değerler içi hesaplamasıdır. Yai mutlak hata hesabı yapılabilir. Hataı sıfıra yakılığı yötemi iyi çalıģtığıı gösterir. 3.3. Uygulamalar Bu bölümde, Hermite Collocatio metoduu kullaılabilirliğii göstermek içi aģağıdaki kesirli mertebede değiģke katsayılı lieer diferesiyel deklem örekleri icelemiģtir. Öreklerdeki deklemler içi matlab v7.5 ile gereke programlar oluģturulmuģ, bu programlar kullaılarak yeterice farklı N değeri içi tam çözüme yaklaģılmaya çalıģılmıģtır. Elde edile souçları karģılaģtırılması ayrıca grafiklerle
9 gösterilmiģtir. Bulua yaklaģık çözümler ile eğer varsa tam çözüm arasıdaki farklar hata hesabı yapılarak tablolarla verilmiģtir. Örek 3.. Ġlk olarak 3/ D y x D y x y x x ( ) ( ) ( ) (3.3) Bagley-Torvik deklemii [8], N alarak y( x) a H ( x ) (3.4) 0 solu Hermite serisi biçimide çözümüü araģtıralım. Burada m 4, / alıarak P0( x) P3( x) P4( x), P( x) P( x) 0, g( x) x ve N içi sıralama oktaları x 0, x /, x göre, temel matris deklemi EĢ. 3.6 ifadeside olduğua 0 T 3 T 4 T 0 3 4 P X P X ( B ) P X ( B ) F A G (3.5) olur ve burada hesaplaa 0 0 0 0 0 P0 P3 P4 0 0, P P 0 0 0, F 0 0 0 0 0 T 0 0 0, 0 0 4
30 T B 0 48/67 0 0 0 67 /48, 0 0 0 0 / x0 x0 x 0 0 0 0 / X x x x 985/393 / 0 / x x x gx ( 0) G g( x ) 3/ gx ( ) matrisleri EĢ. 3.5 ifadeside yerie yazılırsa W A G 0 ; [ WG ; ]=,4 0 ;,5 ; artırılmıģ matrisi elde edilir. det( W) 0 olduğuda, a0,5 A a 0 a 0,5 katsayıları buluur. Böylece bu katsayılar EĢ. 3.4 deklemide yerie yazılarak EĢ. 3.3 problemii Hermite poliomları ciside çözümü y( x) a H ( x ) a H ( x ) a H ( x ) 0 0 y x 3 4 ( ) () (4x ) olur ve / değeri çözümde yazılırsa y( x) x
3 elde edilir. Bu souç EĢ. 3.3 ile verile kesirli diferesiyel deklemii tam çözümüdür. Örek 3.. 0x, (0,), 0 ve g foksiyou [0,] üzeride taımlı foksiyo olmak üzere D y( x) y( x) g( x) (3.6) kesirli diferesiyel deklemii ve baģlagıç koģulu altıda aalitik çözümüü x g( x) x içi y(0) 0 (3 ) y( x) x olduğu [7] belirtilmiģtir. Bu problemde, EĢ. 3.6 deklemie, N 4 ve içi HCM uygulaırsa P( x) 0 P0( x) P( x),5 x g( x) x buluur ve EĢ. 3.6 ifadesii temel (,5) matris bağıtısı EĢ. 3.6 kullaılarak / / / T T T 0 P X PX B P X ( B ) F A G (3.7) olarak yazılmaktadır. Sıralama oktaları x0, x / 4, x / 4, x3 3/ 4, x4 içi EĢ. 3.7 deklemide kullaıla matrisler 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P0 P 0 0 0 0, P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T F 0 0 0 0 0 0 0 4 0 48 0 0 0 8 0 0 0 0 0 6
3 T B 0 0,886 0 0 0 0 0,84 0 0 0 0 0,393 0, 0 0 0 0,5045 0 0 0 0 0 gx ( 0) 0 gx ( ) 0, 506 G gx ( ) 0,789 gx ( 3),5397 gx ( 4) 0 0 / 3 / x0 x0 x0 x x 0 0 0 0 0 0 / 3 / 0,5 0, 5 0,5 0,065 x x x x x / 0 / 3 / X x x x 0,707 0,5 0,3536 0, 5 x x 0 / 3 / x 0,866 0,75 0,6495 0,565 3 x3 x3 x3 x 3 0 / 3 / x 4 x4 x4 x4 x 4 Ģeklide bulumaktadır. Bu matrisleri kullaarak EĢ. 3.7 hesapladığıda,0000,775 -,0000-0,6347,0000 ; 0,0000,775,568 -,9760-3,07 ; 0,506 [ WG ; ],0000 3,867 3,95-0,974-37,7877 ; 0,789,0000 3,5045 4, 9088-7,8548-46,706 ;,5397,0000 3,775 6,535-4,0000-50,090 ; 0 (3.8) olarak buluur. KoĢul matrisi içi EĢ. 3.9 kullaılarak y( x ) X ( x ) F A T 0 0 0 T y(0) 0 0 0 0F A 0 U ; 0-0 ; 0 0 0 (3.9) elde edilir. EĢ. 3.8 matrisii so satırı silierek EĢ. 3.9 koģul matrisi yazılırsa EĢ. 3.6 deklemii artırılmıģ matrisi
33,0000,775 -,0000-0,6347,0000 ; 0,0000,775,568 -,9760-3,07 ; 0,506 W A = G [ WG ; ],0000 3,867 3,95-0,974-37,7877 ; 0,789,0000 3,5045 4,9088-7,8548-46,706 ;,5397 0-0 ; 0 olarak elde edilir, det( W) 0, böylece içi katsayı matrisi [ ] buluur. Bu katsayı matrisii elemaları EĢ. 3. deklemide yerie yazılırsa ( ) ( ) ( ) yaklaģık çözümü buluur. ġekil 3.. Örek 3. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile yaklaģık çözümü karģılaģtırılması
34 4. TAMSAYI MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Bu bölümde, daha öceki bölümde kesirli mertebede diferesiyel deklemlerde kulladığımız Hermite sıralama yötemi m k ( ) pi ( x) y ( x) gi( x), i,..., k, a x b (4.) 0 Ģeklide taımlaa yüksek mertebede değiģke katsayılı sistemleri m ( ) ( ) ai y ( a) bi y ( b) i, i 0,..., m,,..., k (4.) 0 aģağıda verile koģullar altıda N y ( x) a H ( x),,..., k (4.3) s s s0 solu Hermite serisi formuda yaklaģık çözümleri içi geliģtirilmiģ ve uygulamıģtır. Yötem sıralama oktaları ile sistemi bir matris deklemie döüģtürülmesie dayaır. Bu matris deklemi bilimeye Hermite katsayılarıı içere cebirsel sisteme karģılık gelir. Böylece cebirsel sistemi çözdürülmesiyle elde edile Hermite katsayıları kullaılarak, verile diferesiyel deklem sistemii solu Hermite seri formuda yaklaģık çözümü bulumuģ olur.. Burada y (0) ( x) y ( x) bilimeye ve ( ) ( ), aralığıda taımlı foksiyolardır. Ayrıca, a, b ve i i i uygu sabitler ve N seçile keyfi bir pozitif tam sayıdır, öyle ki burada N kabul edilmiģtir. m
35 4.. Temel Matris Bağıtıları EĢ. 4. sistemii temel matris bağıtısıı elde etmek içi ilk olarak EĢ. 4.3 deklemii matris bağıtısıı elde etmeliyiz, buu içi [ y ( x)] H( x) A,,..., k (4.4) olarak yazalım. Burada [ a 0 a... a N ] T A, H( x) H ( x) H ( x) H ( x) 0 Ģeklidedir. Üçücü bölümdeki EĢ. 5.6 ve EĢ. 5.7 matris bağıtıları bu bölümde de geçerlidir acak olarak alımıģtır, yai N T T T H ( x) F X ( x) H( x) X ( x) F (4.5) biçimide ifade edilebilir. Burada N X ( x) x x x Ģeklidedir. Bu durumda EĢ. 4.5 ifadesii, EĢ 4.4 ifadeside yerie yazarsak T y ( x ) X ( x ) F A,,,..., k (4.6) olur. EĢ. 4.6 araa foksiyoları sıfırıcı mertebede matris gösterimleridir acak bu foksiyoları i. mertebede matris formları da bulumalıdır. Buu içi gerekli adımlar aģağıda verilmiģtir. Öcelikle X( x) ile ( ) ( ) arasıdaki iliģkiyi açıklayalım ve ( X ) ( x) türevii matris formu elde edilmelidir; ( X ) ( x ) matrisi ( ) 0 ( ) ( ) N ( ) N ( ) X ( x) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) (4.7)
36 olarak taımlaır. içi; X ( x) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) () 0 () () N () N () elde edilir ve 0 () ( x ) () ( x ) () ( x ) ( x ) N ( x ) N () () 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( N ) 0 0 0 0 0 0 N 0 0 x x x x N x N () ( X ( x )) T B ( X( x )) T matris formuda yazılabilir []. Böylece birici mertebede türev: () ( X ( x )) T = B( X( x )) T (4.8) Ģeklide ifade edilir. Burada () T X ( x) X ( x) B () () T X ( x) X ( x) B T X ( x) B B T X ( x)( B ) T ( ) T X ( x) X ( x)( B ) (4.9) buluur. O halde EĢ. 4.6 ifadesideki matris formuu. mertebede türevi alırsak;
37 y ( x) X ( x) F A (4.0) ( ) ( ) T olur, EĢ. 4.9 ifadesii EĢ. 4.0 deklemide yerie yazarsak ( ) T T y ( x) X ( x)( B ) F A, 0,..., m,,..., k (4.) buluur. Burada ( ) B T 0 ( N ) ( N ) boyutuda birim matristir.,..., k içi EĢ. 4. deklemii matris formu ( ) Y ( x) X ( x) B F A, 0,..., m (4.) Ģeklide elde edilir ve bu matrisler aģağıdaki gibi taımlaır. Y y y ( x) y ( ) ( ) ( ) ( ) k ( x) ( x), ( x) X( x) 0 0 0 X( x) X( x) 0 0 0 X( x), T B 0 0 T 0 B 0 B 0 0 B T T F 0 0 T 0 F 0 F 0 0 F T, A A A A k ġimdi sıralama oktaları b a xs a ( ) s, s 0,,,..., N, x0 a, xn b (4.3) N EĢ. 4. deklemide yazılırsa, ( ) Y ( x ) X ( x ) B F A, 0,..., m, s s
38 buluur. Böylece ( ) Y ( x0) X ( x0) B F A ( ) Y ( x) X ( x) B F A ( ) Y ( xn) X ( xn) B F A olur, EĢ. 4.3 içi matris bağıtısı ise so olarak ( ) Y X B F A ( ), (4.4) ile elde edilir ve burada bahsedile X matrisii açık hali aģağıdaki gibidir, ( ) [ ] X( xs ) 0 0 0 X( xs ) 0 X( xs ) 0 0 X( xs ) X X( x0 ) X( x ) X( xn ) Ġkici olarak EĢ. 4. sistemii matris formuu elde etmek içi aģağıdaki gibi sistem taımlayabiliriz. m ( ) P ( x) Y ( x) G( x) (4.5) 0 Burada ( ) ( ) ( ) ve ( ) matrisleri p( x) p ( x) p k ( x) p( x) p( x) pk ( x) P ( x), p k( x) pk ( x) pkk ( x) Y y y ( x) y ( ) ( ) ( ) ( ) k ( x) ( x), ( x) g( x) g( x) Gx ( ) gk ( x)
39 Ģeklidedir. EĢ. 4.3 ifadeside taımlaa sıralama oktaları EĢ. 4.5 sistemide yerie yazılırsa m ( ) P ( xs) Y ( xs) G( xs) (4.6) 0 elde edilir. Buu da kısaca m ( ) P Y G (4.7) 0 Ģeklide gösterebiliriz. Burada ( ) ve matrisleri aģağıdaki gibi taımlaır. P P ( x0) 0 0 0 P ( x ) 0 0 0 P ( xn ), Y Y Y Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( x0) ( x ), ( xn ) Gx ( 0) Gx ( ) G Gx ( N ) Böylece EĢ. 4.4 ifadesii, EĢ. 4.7 deklemide yerie yazılırsa, EĢ. 4. sistemii matris formuu so hali m P X ( B) F A G (4.8) 0 m olur. W P X ( B) F A olmak üzere EĢ. 4.8 ifadesi 0 WA G veya W ; G A (4.9) artırılmıģ matrisi olarak yazılır. KoĢulları matris formlarıa geçmede öce so olarak P, X, B, F, A, G matrislerii boyutlarıı hatırlatalım,
40 P k( N ) k( N ) i X k( N ) k( N ) B k( N ) k( N ) F k( N ) k( N ) A k( N ) G k( N ) m bua göre W P X ( B) F A [ wp, q] boyutludur. k ( N ) k ( N ) 0 ġimdi ise sistemimize ait EĢ. 4. koģul deklemii matris bağıtısıı elde edelim. m 0 ( ) ( ) i i i a y ( a) b y ( b), i 0,..., m,,..., k ifadesii,..., k içi açalım m 0 m 0 a y ( a) b y ( b) ( ) ( ) i i i a y ( a) b y ( b) ( ) ( ) i i i (4.0) m 0 a y ( a) b y ( b) k ( ) k ( ) i k i k ki olur ve i0,..., m içi EĢ. 4.0 ifadesii ilk toplamıı açarsak y çözümü içi m-tae koģul gelir, a y ( a) b y ( b) (0) (0) 00 00 0 a y ( a) b y ( b) (0) (0) 0 0 a y ( a) b y ( b) (0) (0) ( m)0 ( m)0 ( m)
4 Bezer Ģekilde so toplam ifadesii açarsak m- tae koģul gelir, y k çözümü içi de aģağıdaki gibi a y ( a) b y ( b) (0) (0) 00 k 00 k k 0 a y ( a) b y ( b) (0) (0) 0 k 0 k k a y ( a) b y ( b) (0) (0) ( m)0 k ( m)0 k k ( m) Böylece,,,..., k ve 0,..., m içi a 0 b 0 0 a b a b a, b, ( m ) ( ) ( m ) m m m m (4.) ifadeleri doğrultusuda koģul deklemii matris formuu m ( ) ( ) ay ( a) by ( b) (4.) 0 Ģeklide yazabiliriz. Burada ve matrisleri a a 0 0 b 0 0 0 a 0 0 b 0, b, k k 0 0 a 0 0 b k kmk kmk km Ģeklidedir. Burada EĢ. 4. ifadesi, EĢ. 4. deklemide yerie yazılırsa
4 m 0 a X ( a) B F A b X ( b) B F A (4.3) elde edilir ve gerekli düzelemeler yapılırsa m 0 a X ( a) B b X ( b) B FA (4.4) m elde edilir. ( ) ( ) U a X a B b X b B F olmak üzere EĢ. 4.4 deklemii 0 matris gösterimi ise UA veya U; A (4.5) olarak yazılabilir. Daha sora EĢ. 4.9 matrisii koģul sayısı kadar satırı siliip ou yerie EĢ. 4.5 matrisi yazılarak aģağıdaki [W;G] artırılmıģ matrisi elde edilir, w, w, w, k( N) ; g( x0 ) w, w, w, k( N ) ; g( x0 ) ; wk, wk, wk, k ( N ) ; gk ( x0) wk, wk, wk, k ( N ) ; g( x ) ; wk ( N m), wk ( N m), wk ( N m), k ( N ) ; gk ( xn m) WG ; u, u, u, k( N) ;,0 u, u, u, k( N ) ;, ; uk, uk, uk, k ( N ) ;, m uk, uk, uk, k ( N ) ;,0 ; umk, umk, umk, k ( N ) ; k, m k ( N ) xk ( N ) (4.6)
43 Teorem 3. de, det(w) 0 ise EĢ. 4.6 matris deklemii çözümü A ( W) G (4.7) ifadeside buluur. Bu sayede EĢ. 4.7 deklemide bilimeye Hermite katsayılarıı oluģturduğu sütu matrisi A [ a 0 a... a N ] T elde edilmiģ olur. O halde verile koģullara göre EĢ. 4. diferesiyel deklem sistemi tek çözüme sahiptir ve bu çözüm, [ y ( x)] H( x) A,,..., k ya da N y ( x) a H ( x),,..., k s s s0 Ģeklidedir. 4.. Çözümü Kotrolü ve Hata Hesabı y( x ) ve ( ) ( ) EĢ. 4. sistemii sırasıyla gerçek ve yaklaģık çözümleri olsu. YaklaĢık çözümler HCM çözümleri olup EĢ. 4.7 ifadeside elde edile çözümlerdir. Bu çözümler EĢ. 4. deklemide yerie yazıldığıda yaklaģık olarak deklemi sağlamalıdır. Bu durumda her c 0,,... içi x xc ( c a x b ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) veya k E( xc) 0 c ( k c herhagi bir pozitif tamsayı)
44 k olmalıdır. Eğer maksimum (0 c ) = 0 k (k herhagi bir pozitif tamsayı) öcede belirleirse, bu durumda N kesme sıırı E ( x ) değerlerii 0 k da daha küçük kalmasıyla belirleir. Ayrıca bu bölümde de mutlak hata hesabı kullaılabilir. c 4.3. Uygulamalar Örek 4.. y x xy x xy x x x x y ( x) xy ( x) y( x) 5x 3 ( ) ( ) ( ) 46 (4.8) değiģke katsayılı lieer diferesiyel deklem sistemii 0 x içi ( ), ( ), ( ), ( ), koģulları altıdaki gerçek çözümleri y ( x) x 3, y ( x) x olarak [7] verilmiģtir. Bu problemi çözümüü N içi Hermite Collocatio metoduu uygulayarak bulalım. Araa y ( x ) yaklaģık çözümleri Hermite poliomları ciside s s s0 y ( x) a H ( x),, (4.9) 3 Ģeklidedir. Burada k, m, g ( x) x x 6x, olduğu açıktır. g x x ( ) 5 Sistemimiz; ( ) pi ( x) y ( x) gi( x), i, içi 0 p ( x) x, p ( x) 0, p ( x), 0 p ( x) 0, p ( x) x, p ( x) 0, 0 0 p ( x) 0, p ( x) x, p ( x) 0, p ( x), p ( x) 0, p ( x) olmaktadır. 0 N içi sıralama oktalarımız x 0, x /, x. ġimdi ise EĢ. 4.8 0 deklemii kullaarak EĢ. 4.8 sistemii matris formuu yazalım;
45 0 P X ( B) F A G, yai 0 P X P XB P X ( B) F A G (4.30) elde edilir. Burada 0 x 0 P ( x) 0, 0 x P ( x) x 0, 0 P ( x) 0, P 0 P (0) 0 0 0 P (/ ) 0 0 0 0 0 0 P () 66, P P (0) 0 0 0 P (/ ) 0 0 0 P () 66, P P (0) 0 0 0 P (/ ) 0 0 0 P () 66 3, X (/ ) / / 4 3, X () 3 X (0) 0 0, X X (0) X(/ ) X () 66, X (0) 0 X (0) 0 X (0) 6, X (/ ) 0 X (/ ) 0 X (/ ) 6, X () 0 X () 0 X () 6 A, A A 6, a0 A a a 3, A a a a 0 3 B B 0 T 0 B T 66, T B 0 0 0 0 0 0 0 33 F, F 0 T 0 F T 66, F T 0 0 0 0 0 4 33,
46 G(0) G G(/ ) G () 6, g(0) G(0) g (0) g(/ ), G(/ ) g (/ ) g(), G() g (), Bu değerleri EĢ. 4.30 deklemide yerie yazarsak temel matrisimiz [W;G]= 0 0 8 0 0 0 ; 0 0 0 0 6 ; - 7 0 - - ; 3/4 0 - -4 7 ; -9/4 4 0 - -8 ; 0-4 -6 0 ; -6 (4.3) olarak elde edilir. Bezer Ģekilde sıır koģullarıı matris deklemi EĢ. 4.5 ifadeside 0 a X (0) B b X () B FA 0 (0) 0 () (0) () U a X b X F a X b X BF UA (4.3) yazılır, burada a a 0 0 0 0 a0 44, a a 0, 0,0 0 a,0 a a 0, 0,0 0 a,0 a a 0 0 a 44, a a 0 0, 0, a, a a 0 0, 0, a, b b 0 0 0 0 b0 44, b b 0, 0,0 0 b,0 b b 0, 0,0 0 b,0
47 b 0 0 b 44 b, b 0 0, 0, b, b b 0 0, 0, b, b 4,,0 3 4,,,0 0, olmaktadır, bu değerleri EĢ. 4.3 ifadeside yerie yazarsak [ U; ] artırılmıģ matrisi 0-0 0 0 ; 3 0 0 0 ; 4 [ U; ] 0 0 0 0 - ; 0 0 0 ; 0 (4.33) buluur. EĢ. 4.3 matrisii so dört satırı siliip ou yerie EĢ. 4.33 matrisi yazılırsa 0 0 8 0 0 0 ; 0 0 0 0 6 ; - 0-0 0 0 ; 3 [ WG ; ] 0 0 0 ; 4 0 0 0 0 - ; 0 0 0 ; 0 (4.44) elde edilir. det(w) 0 olduğuda, A ( W) G iģlemide katsayı matrisi A 7/ ; 0 ; /4 ; / ; 0 ; -/4 T buluur. Bu katsayı matrisii elemalarıı s s s0 y ( x) a H ( x),,, ifadeside yerie yazılırsa aradığımız çözümler y x ( ) x 3 y x x ( ) olarak elde edilir, bu çözümler ise EĢ. 4.8 sistemii tam çözümleridir [7].
48 Örek 4.. x y ( x) y ( x) y( x) x e x y( x) 4 y ( x) y( x) e, 0 x (4.45) Lieer diferesiyel deklem sistemii ele alalım. y(0), y(0) 0, baģlagıç koģulları içi EĢ. 4.45 sistemii gerçek çözümleri: x x 3 x 3 x 3 y( x) e 3e 3, y( x) e e x Ģeklide bulumuģtur [30]. Burada N 4 alıarak HCM ile yapıla sayısal hesaplamalar daha öce uygulaa Chebyshev metodu [3], Bessel metodu [30] ile karģılaģtırılmıģtır. Sırasıyla souçlar Çizelge 5., Çizelge 5.3 ve Çizelge 5.4 de verilmiģtir. EĢ. 4.45 sistemi, içi kısaca 0 p x y x g x i ( ) i ( ) ( ) i( ),, Ģeklide yazılabilir. EĢ. 4.8 deklemide EĢ 4.45 sistemii temel matris bağıtısı aģağıdaki gibidir, 0 P X P XB F A G (4.46) EĢ. 4.46 içi HCM metodudaki gerekli ola matrisler bir öceki örekteki gibi sıralama oktaları x 0, x / 4, x /, x 3/ 4, x hesaplamıģtır. içi aģağıda 0 3 4
49 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, P 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 48 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 48 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
50 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 / 4 /6 / 64 / 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 / 4 /6 / 64 / 56 / / 4 / 8 /6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 / / 4 / 8 /6 3/ 4 9/6 7 / 64 8/ 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3/ 4 9/6 7 / 64 8/ 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 BaĢlagıç koģullarıı matrisi de hesaplaarak EĢ. 4.45 sistemii [ ] artırılmıģ matriside, katsayı matrisi aģağıdaki gibi buluur. A 85/68-400/353 365/933-47/8 /53-83/873 0/99-99/3847 3/3987-7/83079 Bu katsayı matrisii elemalarıı yazılırsa araa çözümler s s s0 4 y ( x) a H ( x),,, ifadeside yerie y ( x ) - x 0,7 x - 0, x 0,03 x 3 4, y -5 3 4 ( x ) -5.0 x - 0, x 0,07 x - 0,0 x olarak elde edilir.
5 Çizelge 4.. Örek 4. i y ( ) x çözümüü diğer metotlarla karģılaģtırılması x i Tam Çözüm ( ) HCM ile N=4 içi ( ) HCM, N=4 Mutlak Hata ( ) CCM, N=5 Mutlak hata ( ) BCM, N=5 Mutlak hata ( ) 0, 0,806485794 0,80647657 9,4677e-006 4,505e-005 5,987e-007 0, 0,655708 0,6530993,075e-005 7,985043e-005,00e-006 0,5 0,459758343 0,45958037,763e-005 9,79089e-005,0978e-006 0,8-0,5886007-0,59595 3,909e-005 8,00600e-005 9,0094e-005 Çizelge 4.. Örek 4. i y ( ) x çözümüü diğer metotlarla karģılaģtırılması x i Tam Çözüm ( ) HCM ile N=4 içi ( ) HCM, N=4 Mutlak Hata ( ) CCM, N=5 Mutlak hata ( ) BCM, N=5 Mutlak hata ( ) 0, 0,984054470 0,0984005 0, 0,9389500 0,93900406 0,5 0,466445757 0,466465598 0,8 0,748054 0,7447348 4,604e-006,4773e-005,937e-007,003e-005 3,98470e-005 5,034e-007 8,744e-006 4,89066e-005 5,4596e-007,933e-005 4,064e-005 4,56e-006
5 ġekil 4.. Örek 4. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile y ( x ) yaklaģık çözümü karģılaģtırılması ġekil 4.. Örek 4. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile y ( x ) yaklaģık çözümü karģılaģtırılması
53 5. KESĠR MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Bir öceki bölümde adi mertebede türevleri içere diferesiyel deklem sistemleri yaklaģık çözümleri Hermite collacatio metodu uygulaarak elde edilmiģtir. Bu bölümde ise bu yötemi kesirli mertebede diferesiyel deklem (FDE) sistemleri üzerie uygulayacağız. Bu bölümde,, =t ϵ Nₒ ve a x b, olmak üzere aģağıda belirtile m k c pi ( x) D y ( x) gi( x), i,..., k, (5.) 0 formudaki değiģke katsayılı lieer FDE sistemii t 0 c c a D y ( a) b D y ( b), i 0,..., t,,..., k i i i (5.) koģullarıa göre N y ( x) a H ( x ),,..., k (5.3) s s s0 solu Hermite serisi formuda yaklaģık çözümlerii arayacağız. Burada ( ) ( ) bilimeye foksiyo ve p ( x ) ve g ( x) foksiyoları a x b c 0 D y x y x üzeride taımlı bilie foksiyolardır. Ayrıca a, i b, i uygu sabitlerdir. EĢ. 5.3 ile verile deklemdeki bilimeye a ler ise çözüm içi aradığımız katsayılardır. Keyfi olarak N pozitif bir tam sayıdır ve N s i t dir. i i
54 FDE sistemlerii çözümüü varlığı ve tekliğie, temel matris deklemii elde edilmesii ardıda kolayca karar verilebilir. Eğer elde edile temel matrisi determiatı sıfırda farklı ise sistemi çözümü var ve tektir. 5.. Temel Matris Bağıtıları EĢ. 5. sistemii temel matris bağıtısıı elde ediliģii daha iyi alamak içi sistemi açık halii aģağıdaki gibi yazabiliriz. p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m i i i i p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m i i i i p x y x p x D y x p x D y x p x D y x g x), ( i,,..., k) c c m c m ik ( ) k ( ) ik ( ) k ( ) ik ( ) k ( ) ik ( ) k ( ) i( Her i içi yukarıdaki ifade tekrar düzeleirse i= içi p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) g ( x) c c m c m k k k k k k k k i= içi p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) g ( x) c c m c m k k k k k k k k
55 i=k içi p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m k k k k p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m k k k k p x y x p x D y x p x D y x p x D y x g ( x) c c m c m kk ( ) k ( ) kk ( ) k ( ) kk ( ) k ( ) kk ( ) k ( ) k buluur. Burada aģağıdaki geellemeye gidilebilir 0 0 ( ) c P x D Y( x) c P ( x) D Y( x) m c m ( x) D Y( x) P ( x) D Y( x) = Gx ( ) P c ve bu durumda EĢ. 5. sistemii matris formu m c P ( x) D Y( x) G( x) (5.4) 0 c olur. Burada ( ), D Y( x) ve Gx ( ) matrisleri aşağıdaki formdadır p ( x) p ( x) p k ( x) p( x) p( x) pk ( x) P ( x) p ( x) p ( x) p ( x) k k kk kxk, c D Y ( x) c c c D y( x) D y( x) D yk ( x) kx g( x) g( x), Gx ( ) gk ( x) kx ġimdi ise EĢ. 5.4 deklemide gerekli ola y ( x ) leri Caputo alamıda kesirli türevlerii hesaplamak içi EĢ. 5.3 ifadesii kullaalım. EĢ. 5.3 deklemii matris formuu [ y ( x)] H( x ) A olduğuu EĢ. 4.4 ifadeside biliyoruz. Burada 0 N T A a a a a araa katsayı matrisidir ve EĢ. 3.7 deklemide Hermite poliomlarıı matris formu H( x ) [ H0( x ) H( x )... HN ( x )] Ģeklidedir. ġimdi EĢ. 3.7 ifadesi EĢ. 4.4 deklemide yerie yazılırsa,
56 T y ( x) X ( x ) F A,..., k (5.5) olur. Burada Ģeklidedir. Burada, EĢ. 5.5 0 ( N) N X ( x ) x x x x x N ifadesii her iki yaıı. Caputo kesirli türevii alırsak D y ( x) D X ( x ) F A (5.6) C C T C T elde edilir. Burada D X ( x ) X ( x )( B ) olduğuu EĢ. 3.0 da biliyoruz. T 0 ( ) N x N B I olmaktadır ve Ayrıca ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( +) 0 0 0 0 0 ( +) 0 0 0 0 0 ( +) B (N +) 0 0 0 0 0 ((N-) +) Ģeklidedir. EĢ. 3.0 ifadesi EĢ. 5.6 da yerie yazılırsa, D y ( x) X ( x )( B ) F A 0,..., m (5.7) C T T elde edilir. (5.7) i matris formu,..., k içi C T i T D y( x) X ( x ) 0 0 B 0 0 F 0 0 A C T T D y( x) 0 X ( x ) 0 0 B 0 0 F 0 A C T T D yk ( x) 0 0 X ( x ) 0 0 B 0 0 F Ak
57 olur ve buu da kısaca D Y( x) X ( x ) B F A, 0,..., m (5.8) c biçimide yazabiliriz. Burada X( x T T ) matrisi ( ), B, F matrisleri ise ( ) ( ) satır ve sütuda oluģmaktadır. Sıralama oktaları EĢ. 4.3, EĢ. 5.8 deklemide yerie yazılırsa D Y( x ) X ( x ) B F A, 0,..., m (5.9) c s s olur. Her bir collocatio oktası içi EĢ.5.9 D Y ( x ) X ( x ) B F A c 0 0 D Y ( x ) X ( x ) B F A c (5.0) D Y ( x ) X ( x ) B F A c N N Ģeklidedir ve burada ve matrisleri aģağıdaki formda olmak üzere Y c D Y ( x0) c D Y ( x ) c D Y ( xn ) X X( x0 ) X( x ) X( xn ) kısaca bu ifade Y X B F A (5.)
58 Ģeklide yazabilir. Burada ( ) matrisii X( xs ) 0 0 0 X( xs ) 0 X( xs ) 0 0 X( xs ) olduğu hatırlamalıdır. EĢ. 5. ile verile sistemi matris formu ola EĢ. 5.4 deklemide sıralama oktaları yerie yazılırsa m c P ( xs) D Y( xs) G( xs) (5.) 0 elde edilir. Yukarıdaki matrisler sırasıyla s 0,,,..., N içi yazılırsa P P ( x0) 0 0 0 P ( x ) 0 0 0 P ( xn ), Gx ( 0) Gx ( ) G Gx ( N ) ve Y c D Y ( x0) c D Y ( x ) c D Y ( xn ) olur. Bu durumda EĢ. 5.4 ü kısa ifadesi m P Y G (5.3) 0 Ģeklidedir. EĢ 5. ifadesii EĢ. 5.73 de yerie yazdığımızda EĢ. 5. sistemii temel matris bağıtısıı so hali,
59 m P X ( B) F A G (5.4) 0 m olarak elde edilir. W P X ( B) F olmak üzere 0 WA G veya W ; G A (5.5) yazılabilir. Burada W, P, X, B, F matrisleri k( N ) k( N ), A ve G matrisleri kn ( ) satır ve sütuda oluģmaktadır. EĢ. 5.5 deklemii artırılmıģ matrisi WG ; w, w, w, k( N) ; g( x0) w, w, w, k( N) ; g( x0 ) wk, wk, wk, k ( N ) ; gk ( x0 ) wk, wk, wk, k ( N ) ; g( xn ) w k ( N ), wk ( N ), wk ( N ), k ( N ) ; gk( xn) kullaılarak Hermite katsayılar matrisi A elde edilir. Bu souç EĢ. 5.3 deklemide yerie yazılırsa y ( x ) bilimeye foksiyoları buluur. Eğer det(w) 0 ise y ( x) leri tek çözümü vardır. Geellikle diferesiyel deklem sistemlerii belli koģullar altıda çözümleri araır. Bu koģulları sağlaya bir çözüm takımı bulmamız isteir. Böyle bir durumda EĢ. 5.5 deklemide faydalaarak bulua çözüm takımı bu koģulları sağlamaz. Buu içi verile koģulları matris formu buluarak EĢ. 5.5 ile birleģtirilir, oluģa yei sistemde isteile çözüm takımı elde edilir. Bu durumda EĢ. 5. koģul deklemii matris formuu elde edelim.
60 t 0 c c a D y ( a) b D y ( b), i 0,..., t,,..., k i i i ifadesii,..., k içi açarsak t 0 t 0 t 0 a D y ( a) b D y ( b) c c i i i a D y ( a) b D y ( b) c c i i i a D y a b D y b k c c i k ( ) i k ( ) ki olur, i0,..., t içi yukarıdaki ilk toplam ifadesii açarsak y çözümü içi t - tae koģul gelir, a D y ( a) b D y ( b) c 0 c 0 00 00 0 a D y ( a) b D y ( b) c 0 c 0 0 0 a D y ( a) b D y ( b) c 0 c 0 ( t)0 ( t)0 ( t) Bezer Ģekilde so toplam ifadesii de açarsak y k çözümü içi de t- tae koģul gelir, a D y ( a) b D y ( b) k c 0 k c 0 00 k 00 k k 0 a D y ( a) b D y ( b) k c 0 k c 0 0 k 0 k k a D y ( a) b D y ( b) k c 0 k c 0 ( t )0 k ( t )0 k k ( t ) bu durumda,,..., k ve 0,..., tiçi
6 a 0 b 0 0 a b a b a, b, ( t ) ( ) t ( ) t t t t ile kısaltırsak EĢ. 5. deklemii matris formu t 0 c c a D Y( a) b D Y( b) (5.6) olur. Burada, a a 0 0 b 0 0 0 a 0 0 b 0, b, k k 0 0 a 0 0 b k ktk ktk kt Ģeklidedir, Ģimdi ise EĢ. 5.8 ifadesii EĢ. 5.6 deklemide yerie yazalım t 0 a X ( a ) B F A b X ( b ) B F A (5.7) t ve ( ) ( ) U a X a B b X b B F ise EĢ. 5.7 deklemii matris formu 0 UA veya U; A (5.8) buluur. Yai koģulları deklem sistemii matris formu elde edilmiģtir. Burada U matrisi ( kt) xk( N ) satır ve sütuda oluģmaktadır. So olarak EĢ.5.5 matrisii kt tae satırı siliip ou yerie EĢ. 5.8 matrisi yazılarak aģağıdaki [ WG ; ] artırılmıģ matrisi elde edilir.
6 w, w, w, k( N) ; g( x0) w, w, w, k( N ) ; g( x0) ; wk, wk, wk, k ( N ) ; gk ( x0) wk, wk, wk, k ( N ) ; g( x ) ; wk ( N t ), wk ( N t ), wk ( N t ), k ( N ) ; gk ( xn t ) WG ; u, u, u, k( N) ;,0 u, u, u, k( N ) ;, ; uk, uk, uk, k ( N ) ;, t uk, uk, uk, k ( N ) ;,0 ; ukt, ukt, ukt, k ( N ) ; k, t k ( N ) xk ( N ) (5.9) EĢ. 5.9 matrisii çözümüde buluacak A matrisii, EĢ. 5. deklemii EĢ. 5. koģullarıdaki yaklaģık çözümlerii verecek katsayı matrisi olduğu açıktır. Böylece A matrisii elemaları EĢ. 5.3 deklemide yerie yazıldığıda bulua y ( x ) çözümlerii varlığıı ve tekliğii rak W rak [ W; G] k( N ) (5.0) olması, garati eder. Çükü EĢ. 5.0 sağlaırsa det( W) 0 olur ve A ( W) G ile kolayca hesaplaır. 5.. Uygulamalar Bu bölümde Hermite sıralama (collocatio) yötemii kesirli diferesiyel deklem sistemleri üzeride uygulaabilir olduğuu göstermek içi bazı örekler verilmiģtir. Yötem uygulaırke iģlemler MatlabR007b programı yardımıyla kolayca Ģekilde hesaplamıģtır.
63 Örek 5.. AĢağıdaki lieer sabit katsayılı kesirli diferesiyel deklem sistemii 0 x aralığıdaki çözümüü verile baģlagıç koģulları altıda HCM yötemi ile çözelim. C D y x y x y x ( ) ( ) ( ) C D y x y x y x ( ) ( ) ( ) (5.) sistemii baģlagıç koģulları y (0) 0 ve y (0) (5.) altıdaki yaklaģık çözüm takımıı 0,7, 0,9 alarak, S.Momai ve Z. Obidat, Adomia Decompositio Method ile 007 de [ ], V.S. Ertürk ve S. Momai, Differetial Trasform Method ile 008 de [] elde etmiģlerdir. Ayı problemi 0,7, 0,7 içi Ģimdi Hermite Collocatio Method ile çözelim. Araa y ( x ) yaklaģık çözümleri Hermite poliomları ciside; y ( x) a H ( x ),,, s s s0 Ģeklidedir. Burada =7/0, m alıarak [ mα ]= içi t= olur ve k dir. Ayrıca keyfi N değerii N ifadeside yerie yazarsak t olacağıda N alabiliriz. Bu değerleri (5.6) c pi ( x) D y ( x) gi( x), i, (5.3) 0 olur.
64 EĢ. 5. sistemi D y ( x) y ( x) y ( x) 0 C 0,7 C 0.7 D y ( x) y ( x) y ( x) 0 (5.4) Ģeklide düzeleirse EĢ. 5.4 sistemii matris formu EĢ. 5.4 ve EĢ 5.4 kullaılarak c P ( x) D Y( x) G( x) P X ( B) F A G (5.5) 0 0 Ģeklide elde edilebilir. Bu ifadei açılmıģ hali, EĢ. 5.4 ile eģleģtirildiğide p ( x), p ( x), p ( x), 0 0 0 p ( x), p ( x), p ( x) ve 0 g ( x) 0, g ( x) 0 olmaktadır. Diğer p ( x) 0 çıkmaktadır. Yai i p 0 olduğu i içi P 0 olmaktadır. Bu durumda problemimizi temel matris bağıtısı 0 P X P X B F A G (5.6) olur. Ayrıca N içi sıralama oktaları x0 0, x /, x alıdığıda, EĢ. 5.6 ifadesideki matrisler aģağıdaki gibi elde edilir. P p ( x ) p ( x ) s p ( x ) p ( x ), s 0 0 0 s ( xs) 0 0 s p ( x ) p ( x ) 0 s p ( x ) p ( x ) 0 s s ( s) s P x P 0 P (0) 0 0 0 P (/ ) 0 0 0 0 0 0 P () 66, P P (0) 0 0 0 P (/ ) 0 0 0 P () 66 X (0 7 /0 ) 0 0 3, X (0.5 ) 0,5 0,5 7 /0 7 /0 4 /0, X () 3 3,
65 X 7 /0 (0 ) X 7 /0 (0 ) 0 7 /0 0 X (0 ) 6 7 /0 7 /0 X (0,5 ) 0, X (0,5 ) 7 /0 0 X (0,5 ) 6, X 7 /0 ( ) X 7 /0 ( ) 0 7 /0 0 X ( ) 6 7 /0 X (0 ) /0 7 /0, X X X (0,5 ) 7 /0 X ( ) 66 T B 0 ( +) 0 ( +) 0 0 ( +) 0 0 0 33 B, B 0 T 0 B T 66, T F 0 0 0 0 0 4 33, F F 0 T 0 F T 66 g(0) G(0) g (0) g(/ ), G(/ ) g (/ ) g(), G() g () G(0) G G(/ ) G () 6 a0 A a a 3, A a a a 0 3 A, A A 6 EĢ. 5.84 deklemii ara iģlemleri Matlab programı ile hesapladığıda 0 W P X P X B F (5.7) olmak üzere WA G veya WG ; içi artırılmıģ matris
66 WG ; -.00.8.00 -.00 0.00 ; 0.00 0 -.00 -.00.8.00 ; 0 -.00 0.59 3.85 -.00 -.3 0.48 ; 0.00.3-0.48 -.00 0.59 3.85 ; 0 -.00-0.8 3.47 -.00 -.00 -.00 ; 0.00.00.00 -.00-0.8 3.47 ; 0 (5.8) elde edilir. Bezer Ģekilde EĢ. 5. koģul deklemii matris formu EĢ. 5.7 ifadeside t 0 a X (0 ) B F A U a X (0 ) B F a X (0 ) F UA 0 0 0 (5.9) buluur. y(0) 0 ve y(0) koģulları içi a a, a0 a 0,0 0 0,0, a a 0 0 0 0 0 0 a0 x,,0,0 0 0, X (0 ) 0 0 0 0 0 0 X (0 ) 0 X (0 ) 0 0 0 0 0 6 Ģeklidedir, bu değerleri EĢ. 5.87 ifadeside yerie yazarsak [ U; ] artırılmıģ matrisi 0 0 0 0 ; 0 [ U; ] 0 0 0 0 ; (5.30) buluur, EĢ. 5.8 matrisii so iki satırı siliir ve ou yerie EĢ. 5.30 matrisi yazılırsa
67 WG ; -.00.8.00 -.00 0.00 ; 0.00 0 -.00 -.00.8.00 ; 0 -.00 0.59 3.85 -.00 -.3 0.48 ; 0.00.3-0.48 -.00 0.59 3.85 ; 0 0-0 0 0 ; 0 0 0 0 0 - ; (5.3) elde edilir. det(w) 0 olduğuda, A ( W) G iģlemide katsayı matrisi A 0.88 0.55 0.44 0.8 0.55-0.36 buluur. Bu katsayı matrisii elemalarıı ifadeside yerie yazıca aradığımız çözümler y ( x) a H ( x ),,, s s s0 y x x x (7 /0) (7 / 5) ( ).0.75, y ( x ).00.0 x -.44 x olarak elde edilir. (7 /0) (7 / 5) ġekil 5.. DTM ile EĢ 5. sistemii yaklaģık çözümleri (a) ġekil 5.. ADM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri (b)
68 ġekil 5.3. HCM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri Örek 5.. Kaallarla birbirie bağlı üç gölü kirlilik soruu içi matematiksel bir model, 3 ve 0 x b içi, problem aģağıdaki gibi modellemiģtir [5]. F F F D y ( x) y ( x) g( x) y ( x) y ( x) C 3 3 3 V3 V V F F D y ( x) y ( x) y ( x) C 3 V V F F F D y ( x) y ( x) y ( x) y ( x) C 3 3 3 3 3 3 V V V3 (5.3)