tüdergs/d mühendslk Clt:3, Sayı:6, 3- Aralık 4 İntegratörlü sstemler çn Katsayı Dyagram Metodu le kontrolör tasarımı Serdar Ethem HAMAMCI İnönü Ünverstes, Mühendslk Fakültes, Elektrk-Elektronk Mühendslğ Bölümü, 448, Malatya Özet Bu çalışmanın amacı, transfer fonksyonunda ntegratör bulunan zaman geckmel sstemlern kontrolünde klask PID kontrolörlern sınırlılıklarını göstermektr. Bu nedenle, bu tür sstemler çn daha y br davranış elde etmek amacıyla Katsayı Dyagram Metodu (KDM) olarak adlandırılan br polnomsal yaklaşımın kullanılması önerlmştr. KDM le kontrolör tasarımı eşdeğer zaman sabt, kararlılık ndeks ve karalılık sınır ndeks gb uygun davranış krterlerne karşı kapalı çevrm sstemnn karakterstk polnomunun katsayılarını seçmeye dayalıdır. Yapılan tasarım örneğ KDM n hem referans basamak grşn takb ve hem de bozucu şaretn söndürülmes çn davranışta öneml br yleşme sağladığını göstermştr. Ayrıca kontrol en kısa yerleşme süresn ve parametre değşmlerne karşı en dayanıklı davranışı sağlamıştır. Anahtar Kelmeler: Katsayı Dyagram Metodu, zaman geckmes, ntegratörlü sstemler, dayanıklılık. Controller desgn for ntegratng processes wth Coeffcent Dagram Method Abstract The objectve of ths paper s to llustrate the lmtatons of classcal PID controllers n controllng tme delay systems wth ntegratng transfer functons. Generally, the control of ntegratng processes s more dffcult than the classcal stable open-loop processes. Especally, ntegratng processes exstng tme delay make dffcult the control operaton. Numerous PID strateges have been proposed for these systems recently. Therefore, usng a polynomal approach, Coeffcent Dagram Method (CDM) has been proposed n order to obtan a better performance for these systems. The controller desgn by CDM s based on the choce of the coeffcents of the characterstc polynomal of the closed loop system accordng to the convenent performance crtera such as equvalent tme constant, stablty ndex, and stablty lmt ndex. The studes on ths method llustrated that the CDM provdes a sgnfcantly mproved performance both for the reference step nput trackng and for the dsturbance rejecton. Also the control system provdes the smallest settlng tme and the most robust performance to the parameter changes. An example are presented for an ntegratng process wth tme delay to llustrate the effectveness of the proposed method and compared t wth exstng ones. It s shown that CDM desgn s more stable and robust whlst gvng the desred tme doman performance. Keywords: Coeffcent Dagram Method, tme delay, ntegratng processes, robustness. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Serdar Ethem HAMAMCI. shamamc@nonu.edu.tr; Tel: (4) 34 dahl:45. Makale metn 5.6.3 tarhnde dergye ulaşmış, 3.7.3 tarhnde basım kararı alınmıştır. Makale le lgl tartışmalar 3.5.5 tarhne kadar dergye gönderlmeldr.
S. E. Hamamcı Grş Endüstryel sstemlern çoğunun yapısında ölü zaman olarak da adlandırılan zaman geckmes bulunmaktadır. Kontrol kuramında bu tür sstemlern kontrolü çn genellkle PID kontrolörler kullanılmaktadır. Bunun en öneml neden yapısının bast olması, uygulamalı gerçekleştrmedek kolaylığı ve genş br çalışma bölges çn dayanıklı davranışa sahp olmasıdır (Majh ve Atherton, 999). Bu üstünlüklerne rağmen klask PID kontrol yöntemler, transfer fonksyonunda ntegratör bulunan sstemlern kontrolünde yetersz kalmaktadır (Tyreus ve Luyben, 99). Bu nedenle ntegratörlü sstemlern kontrolü çn yen çalışmaların yapılmasına htyaç duyulmuştur. Bu tür sstemlern kontrolü üzerne lteratürde yapılmış değşk çalışmalar bulunmaktadır. Tyreus ve Luyben (99) klask frekans yanıt yöntemn kullanarak PID parametrelernn hesabı çn formüller türetmş, Wang ve Cluett (997) kazanç ve faz payı temell br yöntem kullanmış ve Tan ve dğerler (998) se PID benzer H kontrolör yapısını önermştr. Bu çalışmada, ntegratörlü sstemlern kontrolünde karşılaşılan problemlere karşı daha y sonuçlar elde etmek çn Katsayı Dyagram Metodu önerlmektedr. KDM, 99'de Shunj Manabe tarafından doğrusal ve zamanla değşmeyen tek-grşl tek-çıkışlı sstemlern kontrolü çn gelştrlmş br yöntemdr (Manabe, 998). Yöntemn en öneml özellkler sstem ve kontrolör çn polnomsal göstermn kullanılması, k serbestlk mertebel (two-degree of freedom) kontrol sstem yapısının kullanılması, kapalı çevrm sstemne at brm basamak yanıtının genellkle aşımsız olması, arzu edlen yerleşme süresnn başlangıçta belrlenp ona göre tasarımın yapılması, sstem parametrelernde meydana geleblecek olan değşmlere karşı kontrol sstemnn dayanıklılığının (robustnes y olması, kontrolörün yeterl kazanç ve faz paylarına sahp olması şeklnde sayılablr (Hamamcı, ). Yöntem le lgl daha ayrıntılı blg elde etmek çn Manabe (998) ve çndek referanslara bakılablr. Katsayı dyagram metodu Kontrol sstemler elde edlrken kontrolörün uygulamadan kaynaklanan bazı sınırlamalar altında tasarlanması stenr. Kontrolör mümkün olduğunca düşük mertebeden, mnmum fazlı ve kararlı olmalıdır. Ayrıca kontrolörün uygulama çn yeterl band genşlğ ve güç sınırlamasına sahp olması gerekr. Bu sınırlamalar göz önüne alınmadan tasarım yapılırsa, kararlılık ve zaman yanıtı gereksnmler sağlanablmesne rağmen dayanıklılık özellğ zayıf olacaktır. Tüm bu problemler göz önüne alınarak önerlen KDM le tasarımlanan kontrolör en düşük mertebeden, en uygun band genşlğne sahp ve kapalı çevrml sstemn zaman yanıtı aşımsız özellğe sahptr. Bu özellkler se dayanıklılık, bozucu etknn yeternce söndürülmes ve düşük malyet özellklern garantlemektedr (Manabe ve Km, ). Br doğrusal cebrk kontrol yöntem olan KDM n temel prenspler oluşturulurken, dğer bazı klask ve modern kontrol teknklernn üstünlükler alınarak yöntemn temel prensplerne uygun br şeklde brleştrlmş ve temel yapının oluşturulmasında daha öncek br çok deneym ve fkrden de yararlanılmıştır. Bu şeklde etkl ve verml br kontrol teknğ olarak ortaya çıkan yöntemn tasarım prosedürünün kolaylığı nedenyle, oldukça y kontrol sstemler fazla br zorlukla karşılaşılmaksızın ve deneym gerektrmekszn tasarlanablmektedr (Manabe, 997). KDM nn gücü kontrol edlmes stenen her sstem çn, uygulamalı sınırlar çnde en dayanıklı ve en bast kontrolörlern tasarlanablmesnde yatar. Bu şeklde br çok kontrol sstemnn tasarımı, KDM kullanılarak başarıyla gerçekleştrlmştr (Manabe, 997; Hamamcı vd., ; Hamamcı vd., ). Dğer yöntemlerle karşılaştırmalı olarak yapılan bu tasarımlar kararlılık, zaman yanıtı davranışı ve dayanıklılık açısından oldukça başarılı sonuçlar verr. Özellkle kontrol sstemnn gerek sstem parametrelerndek değşm ve gerekse sstemn kend çndek sınırlı belrszlklere karşı dayanıklılık özellğ göstermes büyük br üstünlük sağlar. KDM kontrol sstem yapısı Tek-grş tek-çıkışlı br sstem çn KDM standart blok dyagramı Şekl de verlmştr. Burada r kontrol sstemnn referans grşn, y çıkışını, u kontrol şaretn ve d se ssteme
İntegratörlü sstemler çn Katsayı Dyagram Metodu le kontrolör tasarımı etkyen bozucu şaret fade etmektedr. Şeklde kontrol edlmes stenen sstemn transfer fonksyonu çn N( pay polnomu ve D( se payda polnomu olarak gösterlmştr. Aynı şeklde kontrolör transfer fonksyonu çn A( payda polnomu, F( referans pay polnomu ve B( se ger besleme pay polnomu olarak verlmştr. Kontrolörün k pay polnomuna sahp olması, durum uzayı göstermnn gözlemleneblr kanonk formuna benzemektedr. Aynı zamanda k serbestlk mertebel kontrol sstem yapısı olarak adlandırılan bu yapı le hem arzu edlen referans şaret takp edlmekte ve hem de bozucu şaret rahatlıkla söndürüleblmektedr. Ayrıca bu şeklde kararsız kutup-sıfır slnmeler ortadan kalkmakta ve uygulamalı gerçekleştrmede daha az sayıda ntegratör elemanı kullanılmış olmaktadır (Hamamcı, ). Kapalı çevrml sstemn çıkış fades: N( F( A( N( y = r + d () P( P( şeklnde olup, P( karakterstk polnomu se P( = D( A( + N( B( = a s () le fade edlmektedr. n = KDM de tasarım parametreler eşdeğer zaman sabt τ, kararlılık ndeks γ ve kararlılık sınır ndeks γ * olup, karakterstk polnomun katsayıları cnsnden: a γ = =~(n-), γ =γ n = (3a) a a a = + τ (3b) a * = + γ γ + γ (3c) tanımlanmaktadırlar (Manabe, 994). Eşdeğer zaman sabt kontrol sstemnn zaman yanıtının hızını belrlerken, kararlılık ndeks ve kararlılık sınır ndeks se zaman yanıtının şekln, kontrol sstemnn kararlılık ve dayanıklılığını belrler. Denklem 3a-c den yola çıkılarak a katsayıları a = γ aτ γ... γ (4) şeklnde fade edleblr. Son olarak Denklem dek karakterstk polnom, Denklem 3a-c ve 4 ün yardımıyla tasarım parametreler cnsnden P( { n = a ( ( τ } + τ + s j = j= γ j ) (5) şeklnde verlr. Denklem 5, tasarıma başlarken belrlenen tasarım parametreler göz önüne alınarak oluşturulan hedef transfer fonksyonu olarak kullanılacaktır. Kararlılık, davranış ve dayanıklılık Doğrusal-zamanla değşmeyen sstemlern kararlılığı çn temel olarak Routh krter kullanıl- r F( + _ A( u d + Sstem N( D( y Kontrolör B( Şekl. KDM kontrol sstemne at blok dyagram
S. E. Hamamcı maktadır. Bu amaçla Routh un ortaya koyduğu krter, Hurwtz kararlılık çn gerekl olan gerekllk koşullarını fade etmektedr. Ancak Routh krter, kontrol sstem tasarımı çn aşağıda verlen nedenlerden dolayı yetersz kalmaktadır:. Routh un krter, br polnomun tam olarak kararlı ya da kararsız olduğunu fade eder. Ancak uygulamalı tasarımda oldukça öneml olan kararlılık mertebesn fade etmede yeterszdr.. Routh krter özellkle sstemn mertebes arttıkça tasarım parametrelerne göre doğrusal olmayan br fonksyon ürettğ çn, kontrol sstemnn kararlılığını analz etmede bazı zorluklar ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle sstem parametrelernn değşmnn kararlılık üzerne etks açıkça görülememektedr. 3. Tasarım çn genellkle sstemn matematksel model kullanıldığı çn, uygulamada ortaya çıkablecek bazı hatalar göz ardı edlmek zorundadır. Bu nedenle kesn eştlk çermeyen br kararlılık krternn ortaya konulması htyacı vardır (Bose vd., 988). Bundan dolayı, kontrol sstemnn kararlılık krterler çn KDM'n yapısına Routh- Hurwtz krternn yanında Lpatov-Sokolov krter de (Lpatov ve Sokolov, 979) dahl edlmştr (Manabe, 998). Lpatov un koşulları, karakterstk polnomun Hurwtz kararlı yada kararsız olduğunun analz çn yalnızca yeterllk koşullarını verr. Bu anlamda Lpatov- Sokolov krter, Routh krterne göre br yaklaşıklık krter olarak göz önüne alınablr. Bu krter, ayrıntılı br nceleme yapmadan sstemn kararlılığı hakkında yaklaşık blgler verr. Ayrıca Lpatov-Sokolov krterndek koşullar, KDM n tasarım parametreler le yakından lşkldr ve bu parametreler cnsnden kolayca şu şeklde fade edlmektedr: - Kararsızlık çn gerekllk koşulu: γ γ çn, =~(n-). (6a) - Kararlılık çn yeterllk koşulu: γ γ >.4665 çn, =~(n-). (6b) Denklem 6b den, eğer kararlılık ndekslernn tümü.5 den büyük seçlrse kontrol sstemnn kararlılığının garant altına alındığı açıkça görülmektedr. KDM de karakterstk polnomun seçlmes şlem çn Lpatov-Sokolov krter göz önünde bulundurularak elde edlen Standart Manabe yapısı (Manabe, 998) kullanılır. Bu yapıda kararlılık ndeksler γ =.5, γ = =~(n-), γ =γ n = (7) olarak seçlr. Yapının en öneml özellkler şu şeklde özetleneblr:. Standart yapı kullanılarak tasarlanan kontrol sstemne at basamak fonksyonu yanıtının aşımsız olması,. Kapalı çevrml sstemn brm basamak fonksyonuna olan yanıtı çn yerleşme süres.5τ cvarında olup (Manabe, 997), dğer yöntemlere göre bu sürenn daha küçük olması, 3. Aynı τ ve sıfırıncı mertebeden pay polnomu çn standart yapının brm basamak yanıtı, karakterstk polnomun mertebes ne olursa olsun yaklaşık olarak aynı kalması, 4. Tasarlanan kontrolörün kazanç ve faz sınır payları arzu edlen optmum değerlerde elde edlmes Kararlılık ndeksler standart yapıdak gb seçldğnde, kontrol sstemnn dayanıklılığı oldukça y olmaktadır. Denklem 7 de verlen standart değerler tasarımcının arzu ettğ davranışın özellğne göre γ >.5γ * çn değştrleblr. Bu sayede tasarımcı, karakterstk polnom le brlkte kontrolör tasarımında br serbestlğe kavuşmuş olur. Tasarım prosedürü Kontrol sstem tasarımında, genellkle kontrol edlmes stenen sstemn matematksel model göz önüne alınır. Endüstrde kullanılan ntegratörlü sstemler genellkle:
İntegratörlü sstemler çn Katsayı Dyagram Metodu le kontrolör tasarımı K θs G( = e (8a) s K θs G( = e (8b) s( Ts + ) şeklnde brnc mertebeden yada knc metrebeden ntegratörlü sstem şeklnde modellenrler. Sstemn yapısından da görülebleceğ gb sıfırda bulunan kutup nedenyle sstemn açık çevrm brm basamak fonksyonu yanıtı sınırsızdır. Denklem 8a,b de verlen matematksel modeller kullanılarak ntegratörlü sstemlern KDM le kontrolü çn genel ve sstematk br tasarım prosedürü şu şeklde verleblr:. Tasarıma başlamadan önce belrlenen blgler a. Zaman geckmes çn yaklaşık eşdeğernn kullanılması: Zaman geckmesn fade eden e -θs çn: θ s + θ (9) θ s + e s şeklnde Padé yaklaşımı kullanılır. Böylece Denklem 8a,b dek transfer fonksyonları çn Kθ s + K N( G eş ( = = D( θ s + s Kθ s + K N( G eş ( = = D( Tθ 3 θ s + ( T + ) s + s (a) (b) şeklnde doğrusal-zamanla değşmeyen br yaklaşığı elde edlr. b. A(, B( ve F( kontrolör polnomlarının seçm: KDM polnomsal gösterme sahp br yöntem olduğundan, sstemn transfer fonksyonu brbrnden bağımsız k ayrı polnom olarak düşünülür. Bu polnomlar, mertebes m olan N( pay polnomu ve mertebes r olan D( payda polnomudur (m r). Buna göre sırası le mertebeler p ve q olan A( ve B( kontrolör polnomları se: A p ( = l s ve B = = q = ( k s () bçmnde olmalıdır. Bu noktada, seçlecek olan polnomların mertebes önem kazanmaktadır. Bunu belrleyen en öneml etmen se ssteme etkyen br bozucu şaretn varlığı ve varsa türüdür. Tablo de kontrolör polnomlarının seçmne at blgler verlmştr. Denklem den faydalanarak oluşturulan bu blgler, bozucu şaret tamamen söndürerek stenlen zaman yanıtını elde edecek şeklde düzenlenmştr. Tabloda ssteme etkyen bozucu şaretn türüne göre, kullanılablecek olan en düşük mertebeden kontrolör polnomlarının seçm önerlr. Bozucu şaret tamamen etksz kılmak çn kontrolör polnomunun yapısına lşkn gerekl koşullar tabloda üçüncü satırda verlmştr. En alt satırda se, sonuçta elde edlecek olan kontrol sstemne at karakterstk polnomun mertebes verlmştr. Tablo. Değşk bozucu türler göz önüne alınarak A( ve B( kontrolörlernn seçm Bozucu yok Basamak Tp Rampa tp Darbe / Snüs tp mer {A} mer {B} r- r- r r r+ r+ r- r- koşul - l = l =l = - mer {P} r- r r+ r- Endüstrde br ssteme etkyen bozucu şaret tek br türden olmayablr. Örneğn ssteme çalışma anında, bazı zamanlarda basamak türünde ve bazı zamanlarda se rampa türünde bozucu şaretler etkyeblr. Bu durumda bu sstemn kontrolü ve bozucu şaretn tam olarak söndürüleblmes çn tasarımcının, tablodan en yüksek mertebeden polnom gerektren rampa tpne göre kontrolör polnomlarını seçmes gerekmektedr.
S. E. Hamamcı F( polnomu se aslında br sabt değer olup: ( P( / N( ) F( =, () s= şeklnde seçlr. Böylece kapalı çevrml sstemn kalıcı hal yanıtında meydana geleblecek olan kalıcı hal hatası gderlmş olur. c. Tasarım çn anahtar parametrelern seçlmes: - Eşdeğer zaman sabtnn seçlmes: KDM teknğ le kontrol sstemnn tasarımına başlamadan önce, stenlen brm basamak fonksyonu yanıtı çn yerleşme süresnn değer (t s ) saptanmalıdır. Tasarımda temel olarak standart Manabe formu kullanıldığından yerleşme süres le eşdeğer zaman sabt arasındak lşk göz önüne alınır. Buna göre eşdeğer zaman sabt τ=t s /.5 olarak belrlenr. - Kararlılık ndeks ve kararlılık sınır ndeksnn seçlmes: Tasarımda Manabe formu kullanıldığından, kararlılık ndeks Denklem 7 de verlen standart değerlere göre seçlr. Kısım. de belrtldğ gb stenlen davranış özellğne göre γ >.5γ * çn bu değerler değştrleblr. Kararlılık sınır ndeks se Denklem 3c le belrlenr.. Tasarım sırasında kontrolör katsayılarının hesaplanması KDM de kontrolör polnomlarının hesaplanması çn temel olarak kutup-yerleştrme yöntemnden faydalanılmaktadır. Buna göre önce b maddesnde anlatıldığı gb Denklem ve Tablo dek blgler le belrlenen kontrolör polnomları, Denklem de yerne konularak k ve l parametrelerne bağlı br polnom elde edlr. Daha sonra c maddesnde belrlenen tasarım parametreler Denklem 5 te yerne konularak br hedef polnom (P hedef () belrlenr. Bu k polnom brbrler le eştlenerek A( s )D( s ) + B( s )N( s ) = P ( s ) (3) hedef şeklnde Dophantne eştlğ elde edlmş olur. Daha sonra bu denklem: l k [ C ] sxs = [ a ] sx sx (4) şeklnde Sylvester matrs formuna dönüştürülür (s=p+r). Burada l ve k lerden oluşan vektör blnmeyen kontrolör parametrelern, C matrs kontrolör parametrelernn katsayılarını ve a lerden oluşan vektör se arzu edlen hedef polnomun katsayılarını fade eder Bu şeklde s blnmeyenl denklem sstem, bast br matrs şlem le kolayca çözülerek kontrolör parametreler elde edlmş olur. Denklem le verlen kapalı çevrml sstemn transfer fonksyonunu tamamen elde etmek çn pay kısmındak F( polnomu se Denklem yardımı le belrlenr. Bu şeklde kontrol sstem son şekln almış olur. 3. Tasarım sonrası yapılan şlemler Bu kısımda Şekl de verlen ve uygulamada gerçekleştrme şlemnde kullanılacak olan kontrol sstem smüle edlerek kontrol şaret çn doyum sevyesnn kontrolü test edlr. KDM'de eşdeğer zaman sabt τ le kontrol şaret arasında kapalı br lşk vardır. Eğer τ büyürse zaman yanıtı yavaşlamakta ve buna bağlı olarak kontrol şaretnn genlğ küçülmektedr. Tam tersne τ küçülürse zaman yanıtı hızlanmakta ve kontrol şaretnn genlğ büyümektedr. Buna göre, eğer kontrol şaret doyuma gdyorsa c maddesne dönülüp τ yeternce artırılır ve şlemler tekrar edlr. Aynı şeklde u(t) çok küçükse τ arzu edlen mktarda küçültülerek sstem yanıtı hızlandırılablr. Verlen tasarım prosedürünün vermllğn göstermek çn bundan sonrak kısımda br tasarım uygulaması gerçekleştrlecektr. Tasarım uygulaması Brnc mertebeden zaman geckmel br sstemn transfer fonksyonu:.56 6s G( = e (5) s şeklnde verlsn. Ssteme t=5 s de ve genlğ.5 olan basamak fonksyonu şeklnde br bozucu şaret uygulanmaktadır. Buna göre sstemn zaman yanıtı özellkler göz önünde bulundurularak mümkün olan en y şeklde kontrol edlmes amaçlanmaktadır.
İntegratörlü sstemler çn Katsayı Dyagram Metodu le kontrolör tasarımı Bu sstem daha önce Tyreus ve Luyben (99) le Tan ve dğerler (998) tarafından değşk prosedürlere sahp PI kontrolör, Wang ve Cluett (997) tarafından se PID kontrolör yardımı le kontrol edlmştr. Burada bu üç yöntem le elde edlen kontrol sstem davranışı göz önüne alınarak br KDM kontrolörü tasarlanacak ve elde edlecek olan KDM kontrol sstemnn davranışı adı geçen üç kontrol sstemnn davranışı le karşılaştırılacaktır. Transfer fonksyonu: Gc ( s ) = K p( + + Td s ) (6) T s şeklnde tanımlanan PI (T d =) ve PID kontrolör çn kontrolör parametrelern Tan ve dğerler K p =.674, T =4.86 olarak hesaplamış, Tyreus ve Luyben K p =.64, T =5.5 şeklnde belrlemştr. Wang ve Cluett se K p =.83, T =4.7 ve T d =.33 değerlern kullanmıştır. Yukarıda verlen üç kontrolörün zaman yanıtı özellkler (özellkle yerleşme süres ve kontrol şaretnn genlğ) göz önünde bulundurularak KDM tasarım prosedürü aşağıdak gb uygulanmıştır:. Tasarıma başlamadan önce belrlenen blgler a. Zaman geckmesn fade eden e -6s çn: 6 3s + e s (7) 3s + şeklnde Pade dönüşümü kullanılarak: N( s ). 58s +. 56 G eş ( s ) = = D( s ) 3s + s (8) şeklnde doğrusal-zamanla değşmeyen sstem eşdeğer elde edlr. b. Kontrol edlmes stenen ssteme at transfer fonksyonu polnomsal formda N ( s ) =. 58s +. 56 (9a) D ( s ) = 3 s + s (9b) olarak göz önüne alınır. Sstemn mertebes ve ssteme etkyen bozucu şaret basamak fonksyonu şeklnde olduğundan, Tablo 'de verlen blgler göz önüne alınarak kontrolör polnomlarının mertebes ve tp belrlenr. Buna göre A( ve B( polnomlarının mertebes olarak seçlmeldr. Ayrıca bozucu şaret söndüreblmek çn l = kabul edlerek A( polnomu ntegrator çeren br forma dönüştürülür. Buna göre A( ve B( kontrolör polnomları A( s ) = l s + ls (a) B ( s ) = k + (b) s + ks k şeklnde belrlenmş olur. c. Ele alınan üç PID tabanlı kontrol sstemne at yerleşme süreler ve kontrol şaretnn genlkler göz önünde bulundurularak, KDM kontrol sstem çn hedef yerleşme süres yaklaşık 4 s olarak belrlenmştr. Yerleşme süres le eşdeğer zaman sabt arasındak lşk yaklaşık olarak t s.5τ olarak verldğnden τ, 4/.5 = 6 olarak seçlmştr. Yapılan çalışma sonucu daha uygun zaman yanıtı elde etmek çn kararlılık ndeks se standart Manabe formundan braz farklı seçlerek γ ={.6,.7, 4} şeklnde belrlenmştr. Tasarım sırasında polnom katsayılarının hesaplanması Denklem a ve b'de kısmen belrlenen kontrolör polnomları Denklem 'de yerne konularak: Ps ( ) = 3 ls + ( l + 3l.58 k) s + ( l.58k +.5 k ) s + (.58k +.5 k ) s+.5k 4 3 () elde edlr. Daha sonra c maddesnde belrlenen tasarım parametreler Denklem 5 te yerne konularak 4 3 P hedef ( = 9.54s + 338.6s + 6.7s + 6s + ()
S. E. Hamamcı şeklnde br hedef polnom belrlenr. l ve k parametrelern hesaplayablmek çn Denklem ve brbrne eştlenerek dört blnmeyenl br denklem sstem elde edlr. Buradan blnmeyen katsayılar hesaplanarak kontrolör polnomları: + A( = 96.847s. 3s (3a) B ( = 8.9s + 375.5s + 9.763 (3b) şeklnde hesaplanır. F( referans pay polnomu se Denklem 'den F( s ) = P(/N( = 9. 763 (4c) s= olarak hesaplanır. 3. Tasarım sonrası yapılan şlemler Bu kısımda tasarlanan kontrol sstemnn arzu edlen davranışı sağlayıp sağlamadığı kontrol edlr. Aşağıda, KDM le tasarlanan kontrol sstemnn davranışı dğer üç kontrol sstem le karşılaştırmalı olarak verlerek br kıyaslama yapılacaktır: Dört farklı yöntem göz önüne alınarak tasarlanan kontrol sstemne at brm basamak fonksyonu yanıtları Şekl 'de verlmştr. Şeklden aşım, yerleşme süres ve bozucu şaret söndürme özellkler bakımından KDM kontrolörün daha başarılı olduğu açıkça görülmektedr. Tablo 'de her br kontrol yöntem çn zaman yanıtı davranış değerler verlmştr. Kontrol sstemnn ürettğ kontrol şaret eğrler Şekl 3'te verlmştr. Şeklde PI ve PID kontrolörlern daha büyük genlkl kontrol şaretne sahp oldukları görülmektedr. KDM kontrolör le elde edlen kontrol şaretnn genlğ se daha küçüktür ve daha kısa br zamanda kararlı hale dönmektedr. Şekl 4 te se Denklem 5 de verlen sstemn kazanç değernde çalışma sırasında meydana geleblecek ±% luk parametre değşmlerne karşı elde edlen brm basamak fonksyonu yanıtları verlmştr. Şeklden KDM kontrol sstemnn, parametre değşmlerne karşı daha dayanıklı olduğu görülmektedr. Çünkü KDM e at eğrler genel olarak yerleşme süres çn zn verlen bölge çnde kalmıştır. Sonuç olarak dört ayrı yöntem çn elde edlen kontrolör ve kapalı çevrml sstemnn zaman yanıtları göz önüne alındığında KDM n dğer üç PID tabanlı yönteme göre daha başarılı ve daha üstün olduğu görülmektedr..5.5 KDM Wang Tan Tyreus 5 5 5 3 Şekl. Kontrol sstemlerne at brm basamak fonksyonu yanıtları
İntegratörlü sstemler çn Katsayı Dyagram Metodu le kontrolör tasarımı.5.5 KDM Wang Tan Tyreus.5 -.5 5 5 Şekl 3. Kontrol sstemlernn ürettkler kontrol şaretler.6.4..8.6.4. KDM Wang Tan Tyreus 5 5 5 3 Şekl 4. Sstemn kazanç parametresnde nomnal değer ve bu değerde meydana gelen ±% parametre değşm çn kontrol sstemlernn brm basamak fonksyonu yanıtları
S. E. Hamamcı Tablo. Şekl de verlen zaman yanıtı eğrlerne at davranış değerler Yerleşme Süres ( % Maksmum aşım Tyreus PI 7 5 Tan PI 8 48 Wang PID 67 4 KDM 3 - Sonuçlar Bu çalışmada, doğrusal kontrolör polnomlarını kullanan Katsayı Dyagram Metodu le yapısında ntegratör bulunan sstemlern kontrolü çn br tasarım prosedürü verlmştr. Bu prosedürde temel nokta, geckme elemanı yerne Padé yaklaşımının kullanılması ve KDM tasarım parametrelernn uygun br şeklde seçlerek kontrol şlemnn gerçekleştrlmesdr. Verlen prosedür, bu tür sstemlern kontrolünde kullanılan dğer kontrol teknklerne göre oldukça kolay, sstematk ve açıktır. Verlen karşılaştırmalı tasarım örneğnde, bu prosedürün ne kadar başarılı br şeklde ortaya konulduğu gösterlmştr. Kaynaklar Bose, N.K., Jury, E.I. ve Zeheb, E., (988). On robust Hurwtz and Schur polynomals, IEEE Transactons on Automatc Control, 33, 66-68. Hamamcı S.E., Kaya, İ. ve Atherton, D.P., (). Smth Predctor Desgn by CDM, ECC' European Control Conference, Semnáro de Vlar, Porto, Portugal. Hamamcı, S.E., (). Katsayı Dyagram Metodu nun Özel Durumlara ve ÇGÇÇ (MIMO) Sstemlere Uygulanması, Doktora Tez, Fırat Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Elazığ. Hamamcı, S.E., Köksal, M. ve Manabe, S., (). Robust Poston Control of a Radar Antenna wth the Coeffcent Dagram Method. The Proceedngs of the ASCC' The 4th Asan Control Conference, Sngapore. Lpatov, A.V. ve Sokolov, N., (979). Some Suffcent Condtons for Stablty and Instablty of Contnuous Lnear Statonary Systems, Automaton and Remote Control, 39, 85-9. Majh, S. ve Atherton, D.P., (999). Autotunng and Controller Desgn for Processes wth Small Tme Delays, IEE Proceedngs Control Theory and Applcatons, 46, 5, 45-45. Manabe, S., (994). A Low Cost Inverted Pendulum System for Control System Educaton, The 3 rd IFAC Symposum on advances n Control Educaton, Tokyo. Manabe, S., (997). The Applcaton of Coeffcent Dagram Method to ACC Benchmark problem, nd Asan Control Conference, Seoul. Manabe, S., (998). Coeffcent Dagram Method, 4th IFAC Symposum on Automatc Control n Aerospace, Seoul. Manabe, S., ve Km, Y.C., (). Recent Development of Coeffcent Dagram Method, ASSC 3rd Asan Control Conference, Shangha. Tan, W., Lu, J. ve Tam, P.K.S. (998). PID Tunng Based on loop-shapng Hnf Control, IEE Proceedngs Control Theory and Applcatons, 45, 6, 485-49. Tyreus, B.D. ve Luyben, W.L., (99). Tunng PI Controllers for Integral/Dead Tme Processes, Industral Engneerng and Chemstry Research, 3, 65-68. Wang, L. ve Cluett, W.R., (997). Tunng PID Controllers for Integratng Processes, IEE Proceedngs Control Theory and Applcatons, 44, 5, 385-39.