Bölüm 5 Permütasyon Grupları Bu bölümde sonlu bir kümenin permütasyonlarını araştıracağız. Öncelikle permütasyon kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir rup üzerinde tanımlı eşlenik olma bağıntısını ve bu bağıntı sonucunda ortaya çıkan denklik sınılarını ele alacağız. 5.1 Permütasyonlar Tanım 5.1.1 Bir A kümesi üzerinde tanımlı bir birebir ve örten onksiyona (yani birebir eşlemeye bir permütasyon denir. Her n poziti tamsayısı için I n = {1, 2,..., n} olmak üzere I n üzerinde tanımlanan bütün permütasyonların kümesi S n ile österilir. Örnek 5.1.2 : R R onksiyonu (x = 3x 5 ile tanımlansın. O zaman bir birebir eşleme olduğundan onksiyonu R üzerinde bir permütasyondur. Tanım 5.1.3 olsun. Eğer S n ve r bir poziti tamsayı olmak üzere J := {i 1, i 2,, i r } I n (i 1 = i 2, (i 2 = i 3,, (i r 1 = i r, (i r = i 1 ve her j I n \ J için (j = j ise o zaman onksiyonuna uzunluğu r olan bir devirli permütasyon adı verilir ve = (i 1, i 2,, i r şeklinde österilir. Örnek 5.1.4 = (1, 5, 6, 9, 4 S 10 uzunluğu 5 olan bir devirli permütasyondur. Burada (1 = 5, (5 = 6, (6 = 9, (9 = 4, (4 = 1 ve (2 = 2, (3 = 3, (7 = 7, (8 = 8, (10 = 10 dur. 1
2 Bölüm 5. Permütasyon Grupları Uyarı 5.1.5 i In : I n I n birim onksiyonu bir birebir eşleme olduğundan i In S n dir. i In ye birim permütasyon denir ve enellikle (1 şeklinde österilir, yani i In = (1 dır. Örnek 5.1.6 I 3 kümesi üzerinde tanımlı bütün permütasyonları belirleyelim. İlk olarak I 3 kümesi üzerindeki arklı permütasyonların sayısını hesaplayalım. bir birebir eşleme olduğundan (1 için 3 arklı seçim, (2 için 2 arklı seçim ve (1 için de tek bir seçim söz konusudur. Bu nedenle I 3 kümesi üzerindeki arklı permütasyonların sayısı 3 2 1 = 3! = 6 dır. Bu onksiyonlardan biri I 3 üzerinde tanımlı birim onksiyondur ve birim onksiyon yukarıda belirtildiği ibi (1 şeklinde österilir. Bir α : I 3 I 3 permütasyonu verildiğinde bu permütasyon ( 1 2 3 α = α(1 α(2 α(3 şeklinde iade edilebilir. Bu durumda I 3 üzerinde tanımlı bütün permütasyonlar α 1 = α 4 = 1 2 3 3 2 1 = (1, α 2 = = (1, 3, α 5 = 1 3 2 2 3 1 = (2, 3, α 3 = = (1, 2, 3, α 6 = 2 1 3 3 1 2 = (1, 2, = (1, 3, 2 şeklindedir. Sonuç?? ereğince i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 için α i permütasyonlarının herhani bileşkesi de I 3 kümesi üzerinde tanımlı bir permütasyondur. Şimdi ( ( ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 α 2 α 5 = = 1 3 2 2 3 1 bileşke onksiyonunu nasıl belirleyeceğimizi örelim. (α 2 α 5 (1 = α 2 (α 5 (1 = α 2 (2 = 3 olduğundan α 2 α 5 = (α 2 α 5 (2 = α 2 (α 5 (2 = α 2 (3 = 2 (α 2 α 5 (3 = α 2 (α 5 (3 = α 2 (1 = 1 1 3 2 2 3 1 = 3 2 1 = α 3 dür. Sonuç olarak I 3 kümesi üzerindeki bütün permütasyonların kümesi S 3 = {(1, (1, 2, (1, 3, (2, 3, (1, 2, 3, (1, 3, 2} şeklindedir.
5.1. Permütasyonlar 3 Teorem 5.1.7 Her n poziti tamsayısı için S n onksiyonların bileşke işlemine öre bir ruptur. Bu ruba simetrik rup denir. Uyarı 5.1.8 S n nin elemanlarıyla çalışırken bileşke işlemi kullanılmasına rağmen kolaylık olması için österimini enellikle kullanmayacağız, yani, S n için yerine kısaca yazacağız. Şimdi dönme ve yansımalar yardımıyla ele edilen rupları ele alalım ve bu rupları permütasyonlar ile iade edelim. Tanım 5.1.9 n 3 tamsayısı için n kenarlı düzün bir çokenin tüm dönme ve yansımalarının oluşturduğu ruba dihedral rup denir ve D n ile österilir. Çokenin bir köşesi A olmak üzere, O merkezi ve A dan eçen doğruya öre yansımayı b, 0 lik dönmeyi 1, 360 n derecelik dönmeyi (saatin dönme yönünün tersi kullanılabilir a ile österecek olursak; n tane dönmeyi 1, a,..., a n 1 ve n tane yansımayı b, ab,..., a n 1 b şeklinde iade edebiliriz. Böylece D n in bütün elemanları a ve b nin kuvvetlerinin çarpımı olarak elde edilmiş olur. Kolayca a n = 1, b 2 = 1 ve b 1 ab = a 1 olduğu österilebilir. Bu bağıntılar, rubun herhani iki elemanının çarpımının kuralını belirler. Gerçekten ba j = a j b ve (a i b(a j b = a i ba j b = a i a j bb = a i j olur. Sonuç olarak D n = {e, a, a 2,..., a n 1, b, ab, a 2 b,..., a n 1 b} şeklinde iade edilen bir ruptur. Şimdi karenin simetri rubu olan D 4 dihedral rubunu bir permütasyon rubu olarak nasıl iade edeceğimizi örelim. Örnek 5.1.10 Karenin bütün dönme ve yansımalarından oluşan D 4 dihedral rubunu belirleyelim. d 2 v 4 3 O h 1 2 d 1 Fiure 5.1: Karenin Simetrileri
4 Bölüm 5. Permütasyon Grupları Karenin hiç hareket etmemesi birim permütasyon (1 ile temsil edilir. Karenin O merkezi etraında saatin dönme yönünün tersine 90 o dönmesini α = (1, 2, 3, 4 ile österelim. α 2 = (1, 3(2, 4 (kareye iki kez α dönüşümünü uyulama ile O merkezi etraında saat yönünün tersine 180 o dönme aynıdır. Benzer biçimde α 3 = (1, 4, 3, 2, O merkezi etraında saat yönünün tersine 270 o dönme ile aynıdır. h yatay ekseni etraında bir yansımayı β = (1, 4(2, 3; d 1 köşeenine öre yansımayı γ = (2, 4; v dikey eksenine öre yansımayı δ = (1, 2(3, 4 ve d 2 köşeenine öre yansımayı φ = (1, 3 ile österelim. Bu durumda G = {e, α, α 2, α 3, β, γ, φ, δ} kümesi onksiyonların bileşke işlemine öre bir ruptur. Burada γ = αβ, δ = α 2 β, ve φ = α 3 β olduğu kolaylıkla örülür. Bu ruba octic rup adı verilir. 5.2 Permütasyonların Özellikleri Bu kısımda permütasyonlarının özelliklerini inceleyerek simetrik ruplar hakkında daha azla bili sahibi olacağız. Tanım 5.2.1 = A bir küme ve σ S(A olsun. a A olmak üzere eğer σ(a a ise o zaman σ, a yı hareket ettirir denir. Uyarı 5.2.2 Eğer = (i 1, i 2,, i r ise o zaman, {i 1, i 2,, i r } kümesinin dışındaki elemanları hareket ettirmez. Tanım 5.2.3 = A bir küme ve σ, τ S(A olsun. Eğer σ ve τ permütasyonlarının aynı anda hareket ettirdiği ortak bir eleman yoksa, yani σ(a a şartını sağlayan her a A için τ(a = a ve τ(b b şartını sağlayan her b A için σ(b = b ise o zaman σ ve τ permütasyonları ayrıktır denir. Örnek 5.2.4 σ = (1, 5, 8, τ = (4, 3, 9 S 10 için σ ve τ ayrık permütasyonlardır. Fakat γ = (1, 3, 5, 8, δ = (4, 3, 9, 5 S 10 için γ ve δ ayrık permütasyonlar değildir, çünkü γ(3 = 5 3 ve δ(3 = 9 3 tür. Yani γ ve δ nın her ikisi de 3 ü hareket ettirir. Tanım 5.2.5 a {1, 2, 3,..., n} ve S n olmak üzere k (a = (1 şartını sağlayan en küçük k poziti tamsayısı için {a, (a, 2 (a, 3 (a,..., k 1 (a} kümesine a nın permütasyonu altındaki yörünesi (orbiti denir. Uyarı 5.2.6 i, j {1, 2, 3,..., n} olmak üzere i j olması için erek ve yeter şart i ile j nin aynı yörünede olmasıdır bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı {1, 2, 3,..., n} kümesini denklik sınılarına ayırır.
5.2. Permütasyonların Özellikleri 5 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 Örnek 5.2.7 S 8 de = permütasyonunu öz önüne alalım. 3 2 8 1 5 7 6 4 (1 = 3, 2 (1 = 8, 3 (1 = 4 ve 4 (1 = 1 olduğundan 1 in yörünesi {1, 3, 8, 4} kümesidir. Burada 1, 3, 8 ve 4 aynı yörünede olduklarından denklik sınıları aynıdır. Yani, 1, 3, 8 ve 4 ün yörüneleri de {1, 3, 8, 4} kümesidir. permütasyonu 2 ve 5 elemanlarını sabit bıraktığından yörüneler {2} ve {5} dir ( = (1, 3, 8, 4(2(5(6, 7 olduğuna dikkat ediniz. Önerme 5.2.8 Birimden arklı her permütasyon ayrık devirlerin çarpımı olarak tek türlü yazılabilir. ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Örnek 5.2.9 S 9 da = permütasyonunu öz önüne 3 8 2 6 7 4 9 1 5 alalım. yi ayrık devirli permütasyonların çarpımı olarak yazalım. (1 = 3 2 (1 = ( 3 = 2 3 (1 = (2 = 8 4 (1 = (8 = 1 (4 = 6 2 (4 = (6 = 4 olduğundan = (1, 3, 2, 8(4, 6(5, 7, 9 biçiminde yazılır. (5 = 7 2 (5 = (7 = 9 3 (5 = (9 = 5 Uyarı 5.2.10 Bir permütasyon birebir ve örten olduğundan tersi mevcuttur. S n içerisinde her permütasyon ayrık devirlerin çarpımı olarak yazılabileceğinden, 1 i k için i ler ayrık devirler olmak üzere = 1 2... k şeklinde yazılabilir. j = 1, 2,..., k için j = (i 1, i 2,, i r permütasyonunun tersi j 1 = (i 1, i r, i r 1,, i 2 dir. O halde 1 = 1 k 1 k 1... 1 1 dir. n 3 olmak üzere S n simetrik rubu enel olarak değişmeli değildir. Örnek 5.2.11 = (1, 3, 2, 4, = (1, 7, 6, 2 S 7 olsun. ve çarpımlarını hesaplayalım. 1 7 6 3 4 2 5 7 6 2 3 4 1 5 7 6 4 2 1 3 5 1 3 2 4 7 6 5 3 2 4 1 7 6 5 3 1 4 7 6 2 5
6 Bölüm 5. Permütasyon Grupları olduğundan = (1, 3, 2, 4(1, 7, 6, 2 = (1, 7, 6, 4(2, 3 ve = (1, 7, 6, 2(1, 3, 2, 4 = (1, 3(2, 4, 7, 6 bulunur. Sonuç olarak dir. Teorem 5.2.12 Ayrık devirlerin çarpımı değişmelidir. Yani, S n iki ayrık devir ise o zaman = dir. Tanım 5.2.13 Uzunluğu iki olan devirli bir permütasyona transpozisyon adı verilir. Uyarı 5.2.14 Böylece bir transpozisyon (i 1, i 2 şeklindedir. Ayrıca (i 1, i 2 1 = (i 1, i 2 ve (i 1, i 2 2 = (1 dir. Örnek 5.2.15 (1, 8, (10, 20, (1, 10 S 20 birer transpozisyondur. Uyarı 5.2.16 r 2 olmak üzere (i 1, i 2,..., i r = (i 1, i r... (i 1, i 3 (i 1, i 2 ya da (i 1, i 2,..., i r = (i 1, i 2 (i 2, i 3... (i r 1, i r olduğundan uzunluğu 1 den büyük her devirli permütasyon transpozisyonların çarpımı olarak yazılabilir. Önerme 5.2.17 Her permütasyon transpozisyonların çarpımı olarak yazılabilir. Örnek 5.2.18 S 8 de = (1, 3, 2, 4 ve = (1, 7, 6, 2 permütasyonlarının çarpımını özönüne alalım. = (1, 7, 6, 4(2, 3 = (1, 4(1, 6(1, 7(2, 3 dür. Diğer taratan, = (1, 4(1, 6(1, 7(1, 2(1, 3(1, 2 dir. Böylece hem dört hem de altı transpozisyonun çarpımı şeklinde yazılabilir. Devirli bir permütasyonun transpozisyonların çarpımı olarak yazılışı tek türlü değildir. Fakat her bir yazılışta yer alan transpozisyonların sayısının tekliği veya çitliği değişmez. Lemma 5.2.19 Eğer her 1 i r için σ i ler transpozisyon olmak üzere ise o zaman r bir çit tamsayıdır. σ 1... σ r = (1
5.2. Permütasyonların Özellikleri 7 Sonuç 5.2.20 Eğer bir permütasyon çit (tek sayıda permütasyonun çarpımı olarak iade edilebiliyorsa o zaman bu permütasyonun her transpozisyonlarının çarpımı olarak yazılımı çit (tek sayıda transposizyon içerir. Sembollerle iade edersek, eğer α i (1 i r ve β j (1 j s birer transpozisyon olmak üzere α = α 1... α r = β 1... β s ise o zaman ya r ve s (her ikisi birden çit ya da tek tamsayılardır. Tanım 5.2.21 Bir permütasyonun transpozisyonlarının çarpımı olarak yazılışındaki transpozisyonların sayısı çit ise bu permütasyona çit permütasyon, aksi halde tek permütasyon adı verilir. Örnek 5.2.22 S 8 de = (1, 3, 2, 4 = (1, 4(1, 2(1, 3 olduğundan tek permütasyondur. Diğer taratan S n de (1 = (1, 2(1, 2 olduğundan (1 çittir. Teorem 5.2.23 S n de çit permütasyonların kümesi S n nin bir altrubudur ve bu altrubun eleman sayısı n!/2 dir. Tanım 5.2.24 S n simetrik rubunun çit permütasyonlardan oluşan altrubuna alterne rup adı verilir ve A n ile österilir. Örnek 5.2.25 S 4 simetrik rubunun altrubu olan A 4 = {(1, (1, 2, 4, (1, 4, 2, (1, 2(3, 4, (1, 2, 3, (1, 4, 3, (2, 3, 4, (1, 3(2, 4, (1, 3, 2, (1, 3, 4, (2, 4, 3, (1, 4(2, 3} şeklindedir. Şimdi bir rup üzerinde tanımlanan ve eşlenik olma bağıntısı olarak adlandırılan önemli bir denklik bağıntısını verelim ve bu denklik bağıntısı sonucunda ortaya çıkan denklik sınılarını belirleyelim. Tanım 5.2.26 G bir rup olsun. a, b G olmak üzere eğer b = xax 1 olacak şekilde bir x G varsa o zaman a ile b eşleniktir denir. G üzerinde a b olması için erek ve yeter şart a ile b eşlenik olmasıdır şeklinde tanımlanan bağıntıya eşlenik olma bağıntısı adı verilir. Teorem 5.2.27 G bir rup olmak üzere G üzerinde tanımlanan eşlenik olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Tanım 5.2.28 G bir rup olsun. a, G olmak üzere b := a 1 elemanına a nın bir eşleniği ve cl(a = {a 1 G} kümesine a nın eşlenik sınıı denir. Örnek 5.2.29 S 3 = {(1, (1, 2, (1, 3, (2, 3, (1, 2, 3, (1, 3, 2} simetrik rubunda cl((1, 2, 3 = {σ(1, 2, 3σ 1 : σ S 3 } = {(1, 2, 3, (1, 3, 2} cl((1, 2 = {σ(1, 2σ 1 : σ S 3 } = {(1, 2, (1, 3, (2, 3} şeklindedir. Tahmin edilebileceği ibi cl((1, 2, 3 ve cl((1, 2 sırasıyla (1, 2, 3 ve (1, 2 nin eşlenik sınılarıdır. Benzer şekilde diğer eşlenik sınıları da bulunabilir.
8 Bölüm 5. Permütasyon Grupları Uyarı 5.2.30 Devirli permütasyonların eşleniklerini hesaplamak oldukça kolaydır: σ S n için σ(i 1, i 2,..., i r σ 1 = (σ(i 1, σ(i 2,..., σ(i r dir. Böylece τ S n ayrık devirlerin çarpımı olarak τ = τ 1 τ 2... τ r şeklinde ise o zaman στσ 1 = (στ 1 σ 1 (στ 2 σ 1 (στ r σ 1 dır ve 1 i r için στ i σ 1 yukarıdaki ibi hesaplanır. Böylece στσ 1 yı hesaplama problemi aslında στ i σ 1 ları hesaplayıp bileşkelerini almaktan ibarettir. Örnek 5.2.31 S 4 simetrik rubunda σ = (1, 3, 2 ise σ(1, 2, 4, 3σ 1 = (σ(1, σ(2, σ(4, σ(3 = (3, 1, 4, 2 dir. Önerme 5.2.32 Simetrik rupta iki devirin eşlenik olması için erek ve yeter şart aynı devir tipine sahip olmalarıdır. Örnek 5.2.33 S 5 de (1, 2, 3(4, 5 ile (1, 4, 5(2, 3 permütasyonları devir tipleri aynı olduğundan eşleniktirler. Fakat (1, 2, 3 ile (4, 5 permütasyonları eşlenik değildir. Tanım 5.2.34 n Z + olsun. n 1 n 2 n r ve n = n 1 + n 2 + + n r koşullarını sağlayan (n 1, n 2,..., n r doğal sayılar dizisine n nin bir ayrışımı (parçalanması denir ve n nin tüm ayrışımlarının sayısı p(n ile österilir. Örnek 5.2.35 2 nin tüm ayrışımları (2 ve (1,1 olduğundan p(2 = 2, 3 ün tüm ayrışımları (3, (2,1 ve (1,1,1 olduğundan p(3 = 3 dür. 4 ün tüm ayrışımları (4, (3,1, (2,2, (2,1,1, (1,1,1,1 olduğundan p(4 = 5 dir. 5 in tüm ayrışımları (5, (4,1, (3,2, (3,1,1, (2,2,1, (2,1,1,1, (1,1,1,1,1 olup p(5 = 7 dir. Uyarı 5.2.36 S n simetrik rubunun eşlenik sınılarını belirlemek için aşağıdaki yol izlenir: (1 n nin ayrışımları belirlenir. (2 Bu ayrışımlara karşılık elen temsilci permütasyonlar bulunur. (3 Herbir eşlenik sınıında temsilci eleman ile aynı devir tipine sahip elemanlar yer alır.