DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR Düzlemde bir noktanın konumunu belirlemenin bilinen yolu, bu düzleme koyduğumuz dik koordinat sisteminde bu noktanın kartezyen koordinatlarını belirlemekten ibarettir. Bazı durumlarda bir noktanın koordinatlarını ya da bir eğrinin denklemini başka bir koordinat sistemine göre belirlemek daha uygundur. Örneğin denklemi x + y = 9 olan merkezil çemberi; orijine br uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olarak düşünürsek ve bu uzaklığı r ile gösterirsek bu çemberin denklemini r = olarak yazabiliriz. Ayrıca y = x doğrusu ile Ox ekseninin oluşturduğu açının ölçüsünün raydan olmasını düşünerek bu doğrunun denklemini θ = olarak yazabiliriz. Kutupsal koordinat sisteminde bir noktanın konumu, sabit bir O orijin noktasına (kutup) ve başlangıç noktası O olan bir ışına (kutup eksen) göre belirlenir. Mecburi olmamakla birlikte kutup ekseni aynı Ox ekseni gibi yatay seçilir. Düzlemin O dan farklı herhangi bir noktası P olsun. kutup eksenine göre OP ] (yönlü) uzunluğunu: r ve [ OP ile kutup ekseninin oluşturduğu (yönlü) açının ölçüsünü de θ ile gösterirsek; P noktasının konumu, O kutup noktası ve kutup ekseninden ibaret sisteme göre belirlenmiş olur. P noktası için yukarıda söylenen r ve θ ya P noktasının kutupsal koordinatları denir ve P ( r, θ ) ile gösterilir. r : OP (yönlü) uzunluğunu θ : Kutup ekseni ile [ OP] nin oluşturduğu pozitif yönlü açının ölçüsü θ = (, ) 1 0 0 1 θ = (, ) 0 1 11 θ = (, 11 )
Düzlemde bir noktanın bir tek kartezyen koordinatı vardır. Ancak kutupsal koordinat sisteminde durum farklıdır. Örneğin ( r, θ ) ve ( r, θ + ) kutupsal koordinatları aynı P noktasını gösterir. Benzer şekilde (, ) ve (, ) 11 aynı noktayı göstermektedir. n bir tamsayı olmak üzere kutupsal koordinatlarda herhangi bir ( r, θ ) noktası, ( r, θ ) = ( r, θ + n ) veya ( r, θ ) = ( r, θ + (n + 1) ) O 0,θ dır. Yani r = 0 dır. şeklinde yazılabilir. Kutup noktası ( ) Bir noktanın kartezyen koordinatları ile kutupsal koordinatları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır. (bkz Şekil ) x = r cosθ r = x + y ve y = r sinθ y tanθ = x y Kutup Orijin θ r x ( x, y) ( r, θ) y x Ox ekseni kutup ekseni Şekil Kutupsal koordinatlarda ( r, θ ) = (, ) noktası için x = r cosθ = cos = ve y = r sin θ = sin = 0 olup, bu noktanın kartezyen koordinat sistemindeki gösterimi ( x, y) = (,0) dır. Kartezyen koordinat sisteminde verilen ( x, y) = ( 1,1 ) noktasının kutupsal koordinatlardaki gösterimini bulalım. y tanθ = = 1 ise θ = x 4 r = x + y = ( 1) + 1 = Böylece bu noktanın kutupsal koordinatlardaki bir gösterimi (, θ ) = (, ) r dir. 4 Kutupsal Koordinatlarda Eğri Denklemleri Dik koordinatlardaki denkleminde x ve y yerine sırasıyla x = r cosθ ve y = r sinθ yazılarak elde edilen F ( r, θ ) = 0 veya r = f (θ ) biçimli denkleme bir eğrinin kutupsal biçimdeki denklemi denir.
x + y = a çemberinin kutupsal biçimi r cos θ + r sin θ = a r = a. ( x a) + y = a çemberinin kutupsal biçimi r = a cosθ. Kutupsal koordinatlarda verilen aşağıdaki eğrilerin kartezyen koordinat sisteminde denklemlerini bularak grafiklerini çiziniz. a) r = b) θ = c) r = secθ Problem: a) Kutupsal koordinat sisteminde kutup noktasından geçen ve kutup ekseni ile ölçülü açı oluşturan doğrunun denklemi θ = dır. Gösteriniz. b) Kartezyen koordinat sisteminde ax + by + c = 0 denklemi ile verilen doğrunun kutupsal koordinat sistemindeki denklemini yazınız. y Kartezyen koordinatlarda doğrunun standart denklemi: ax+by+c=0 p Kartezyen koordinatlarda doğrunun normal denklemi: cos x+ sin y = p x Kutupsal koordinatlarda doğrunun denklemi: r cos(θ - ) = p Problem: a) Kutupsal koordinat sisteminde; yarıçapı a br ve merkezi M ( c, ) olan çemberin denklemi r rc cos( θ ) + c = a olduğunu gösteriniz. b) Bu çember kutup noktasından geçerse denklemi r = a cos( θ ) dır. Gösteriniz. c) Bu çemberin merkezi kutup noktasında ise denklemi r = a dır. Gösteriniz. d) Bu çember kutup noktasından geçerse ve merkezi kutup ekseninde ise denklemi r = a cosθ dır. Gösteriniz. e) Bu çember kutup noktasından geçerse ve merkezi θ = doğrusu üzerinde ise denklemi r = a sinθ dır. Gösteriniz. θ= / c M a P( r, θ ) O
Kutupsal Koordinatlarda Teğet Denklemi Teorem: f (θ ) türevlenebilen bir fonksiyon bir fonksiyon olsun. r = f (θ ) eğrisinin ( r, θ ) dx noktasında 0 ise bu noktadaki teğetinin eğimi dy dy f ( θ )cosθ + f ( θ )sinθ = = dx dx f ( θ )sinθ + f ( θ )cosθ dir. r = (1 + sinθ ) eğrisinin a) A ( +, ) 4 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. b) B (, ) noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. c) C ( 4, ) noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. dx dy NOT: a) 0 olmak üzere = 0 denkleminin çözümü; kutup eksenine paralel teğetlerin değme noktalarının kutup açılarını verir. dy dx b) 0 olmak üzere = 0 denkleminin çözümü; kutup eksenine dik teğetlerin değme noktalarının kutup açılarını verir. Örnek r = sinθ, 0 θ eğrisinin kutup eksenine göre yatay ve dikey teğetlerinin denklemlerini bulunuz.. EĞRİ ÇİZİMLERİ cos() t r := e cos( 4 t ) + sin Kelebek Eğrisi t 1 5 4
Problem: Kutupsal koordinat sisteminde P ( r, θ ) noktasının a) Kutup eksenine göre b) θ = doğrusuna göre c) Kutup noktasına göre simetriği olan noktaların koordinatlarını bulunuz. r = 1+ cosθ eğrisini çiziniz. r = 4 cos θ eğrisini çiziniz. kardiyoid lemniskat r = θ eğrisini 0 θ 4 için çiziniz. Archimed spirali 5
Kutupsal Koordinat Sisteminde Bazı Özel Eğriler Limaçonlar r = a ± b cosθ veya r = a ± bsinθ ( a > 0 ve b > 0 ) a r = 1+ cosθ (ilmekli limaçon < 1) b r = 1 sinθ r = + cosθ a kalp şeklindeki limaçon (kardiyoid) = 1 b r = + sinθ a r = + cosθ (gamzeli limaçon > 1) b r = cosθ
r = 9 + 4cosθ a konveks limaçon b r = 9 + 4sinθ Gül Eğrileri r = a cos nθ veya r = a sin nθ ( n ) Gül eğrisi; n tek ise n yapraklı, n çift ise n yapraklı olur. r = cosθ r = sin θ r = cos5θ r = sin 4θ 7
Çemberler ve Lemniskatlar r = a cosθ veya r = a sinθ ve r = a cos θ veya r = a sin θ r = cosθ r = sinθ r = cos θ Lemniskat r = sin θ Lemniskat ÖDEVLER Genel Matematik Cilt I ( Prof. Dr. M. BALCI) kitabından Sayfa 57- KAYNAKLAR M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 00. H. HALİLOV, A. HASANOĞLU, M. CAN, Yüksek Matematik, Literatür Yayınları, İstanbul, 00. R.A. SILVERMAN, Calculus ve Analitik Geometri, (çeviren, B. Simav, D. Simav), Alkım Kitapçılık, 199. R. LARSON, R. HOSTLER and B. EDWARDS, Calculus with Analytic Geometry, Houghton Miflin Company, Boston, 1998. 8
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI. ALAN HESABI 4. YAY UZUNLUĞU HESABI 5. YÜZEY ALANI HESABI GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI. ALAN HESABI r = f (θ ) eğrisi, θ = ve θ = doğruları ile sınırlanan bölgenin alanı: 1 A = f ( θ ) integrali ile hesaplanır. θ = r=f(θ ) θ = O r = f (θ ) ve r = g(θ ) eğrileri, θ = ve θ = doğruları ile sınırlanan bölgenin alanı: 1 A = f ( θ ) g ( θ ) integrali ile hesaplanır. r=g(θ ) θ = r=f(θ ) θ = O r = 1+ cosθ kardiyoidi tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız. A = r = 1, r = cosθ, r = sinθ çemberleri tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız. = alanını hesaplayınız. r çemberinin iç bölgesinde = ( 1+ cosθ ) r kardiyoidinin dışında kalan bölgenin r = cosθ gül eğrisinin bir yaprağının sınırladığı bölgenin alanını hesaplayınız.( ) r = 1 sinθ limaçonunun sınırladığı bölgenin ilmeğinin dışında kalan kısmının alanını hesaplayınız. +
4. YAY UZUNLUĞU HESABI r = f (θ ) eğrisinin A ( r 1, ) noktası ile B ( r, ) noktası arasındaki parçasının uzunluğu: l = r + ( r ) integrali ile hesaplanır. θ = B(r,) r =f(θ ) A(r 1,) θ = O r = 1 + cosθ kardiyoidinin uzunluğunu hesaplayınız. 5. YÜZEY ALANI HESABI r = f (θ ) eğrisinin A ( r 1, ) noktası ile B ( r, ) noktası arasındaki parçasının kutup ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan yüzeyin alanı: [ f ( θ )] + [ f ( θ )] S = f ( θ ) sinθ integrali ve θ = doğrusu etrafında döndürülmesi ile oluşan yüzeyin alanı: integrali ile hesaplanır. [ f ( θ )] + [ f ( θ )] S = f ( θ ) cosθ r = cosθ çemberinin θ = doğrusu etrafında döndürülmesi ile oluşan yüzeyin alanını hesaplayınız. ( ) ÖDEVLER 1. Kutupsal koordinatlarda eğri çizimleri konusunda verilen limaçonların, gül eğrilerinin, çemberlerin ve lemniskatların a) Sınırladıkları bölgelerin alanlarının değerini veren integralleri ve b) Uzunluklarının değerini veren integralleri yazınız.. Genel Matematik Cilt I ( Prof. Dr. M. BALCI) kitabından Sayfa 9-70
KAYNAKLAR M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 00. H. HALİLOV, A. HASANOĞLU, M. CAN, Yüksek Matematik, Literatür Yayınları, İstanbul, 00. R.A. SILVERMAN, Calculus ve Analitik Geometri, (çeviren, B. Simav, D. Simav), Alkım Kitapçılık, 199. R. LARSON, R. HOSTLER and B. EDWARDS, Calculus with Analytic Geometry, Houghton Miflin Company, Boston, 1998.