. İKİ BOYULU MAEMAİKSEL MODELLER.. Genel Bilgiler Şimdi konform dönüşüm teknikleri ile çözülebilen kararlı durum ısı akışı elektrostatik ve ideal sıvı akışı ile ilgili problemleri göz önüne alacağız. Konform dönüşüm bir bölgedeki problemin çözümünün kolaca elde edilebilmesi için bu bölgei diğer bir bölgee dönüştürür. Bizim çözümlerimiz sadece ve iki değişkenli olduğundan modelin geçerliliği için önce temel bir kabul apmalıız. Burada inceleeceğimiz fiziksel problemler gerçek haattaki ugulamalardır ve çözümleri üç-boutlu kartezen uzada verilir. Böle problemler genellikle üç değişkenli Laplace denklemi üç-boutlu vektör fonksionlarının curl ve divergens ini içerir. Kompleks analiz ve değişkenlerini içerdiğinden düzlemine dik eksen bounca koordinatlı noktalarda çözümün değişmediği özel durumu göz önüne alacağız. Kararlı durum ısı akışı ve elektrostatik için bu demektir ki sıcaklığı vea V potansieli sadece ve ile değişir. Bölece ideal sıvı akışı için z -düzlemine paralel herhangi bir düzlemde sıvı hareketi anıdır. " z -düzlemindeki eğri çizimleri z -düzlemine dik sonsuz silindire karşılık gelen çapraz kesitler olarak orumlanır ". Bir sonsuz silindir bir uzun fiziksel silindirin limit durumudur bölece bizim vereceğimiz matematiksel model "eteri kadar uzun bir fiziksel silindiri içeren üç boutlu problemin uç noktalardaki etkisi ihmal edilmek koşulu ile geçerlidir. Önceki kısımlarda harmonik fonksionlar için göstermiştik. Ugulamalar için K : K bir reel sabit harmonik eşlenik fonksionu ve onun K : K eğrileri ailesini göz önüne almamız gereklidir. F z i çözümlerinin nasıl bulunacağını düze eğrileri ailesini ve bir reel sabit düze analitik fonksionuna kompleks potansiel adını vereceğiz. Aşağıdaki teorem düze ailelerinin ortogonalliği ile ilgilidir. Bu teoremi göz önüne alacağımız fiziksel ugulamalarla ilgili fikirleri geliştirmek için kullanacağız. eorem... (Düze eğrilerinin ortogonal aileleri) onun harmonik eşleniği ve F z i durumda K ve K K ve K eğrileri a b de kesişiorsa ve eğer a ib durumda bu iki eğri dik kesişirler. bir D bölgesinde harmonik kompleks potansiel olsun. Bu düze eğrileri aileleri ortogonaldir. Yani F ise bu İspat. K bir düzlem eğrisinin bir kapalı denklemi olduğundan b hesaplanan grad gradient vektörü a b de eğrie diktir. Bu vektör N a b i a b ile verilir. Benzer biçimde N vektörü a noktasında
N a b i a b ile tanımlanır ve bu vektör a b de K eğrisine diktir. Cauch-Riemann denklemlerini kullanırsak N ile N nin iç çarpımı N. N dır. Buna ek olarak a b a b. a b a b. a b a b a b a b a b F olduğundan a b i a b olur. Cauch-Riemann denklemleri ve a b a b olması hem N ve hem de N nin sıfırdan farklı olduğunu gösterir. Bölece N. N olması N in N e dik olmasını gerektirir. Dolaısıla bu eğriler ortogonaldir. eoremin ispatı tamamlanmış olur. z i F kompleks potansieli birçok fiziksel orumlara sahiptir. Örneğin; kabul edelim ki kararlı durum sıcaklığında bir problem çözmüş olalım. Bu durumda anı sınır koşulları ile elektrostatikte izotermalleri eşpotansiel eğrileri ve ısı akış doğrularını akı doğruları olarak orumlaarak bir benzer probleme çözüm bulabiliriz. Buradan "ısı akışı ve elektrostatik direkt olarak birbirine karşılık gelir" diebiliriz. Bir sıvı akışı problemini çözmüş olalım. Bu durumda sıvı akışında eşpotansielleri izotermaller ve akı doğrularını ısı akış doğruları olarak orumlaarak benzer bir probleme çözüm bulabiliriz. Aşağıdaki tabloda düze eğrileri ailelerinin değişik orumları ve aileler arasındaki eşlemeler özetlenmiştir. Fiziksel Olalar sabit sabit Isı akışı İzotermaller Isı akış doğruları Elektrostatik Eşpotansiel eğrileri Akı doğruları Sıvı akışı Eşpotansieller Akıntı doğrular Yerçekimi alanı Yerçekimi potansieli Kuvvet doğruları Manetizm Potansiel Kuvvet doğruları Difüzon Konsantrason Akış doğruları Elastisite Gerilim fonksionu Şiddet doğruları Elektrik akımı Potansiel Akış doğruları
.. Kararlı Durum Sıcaklıkları Isı iletimi teorisinde ısının sıcaklığın azaldığı öne doğru aktığı kabul edilir. Diğer bir kabul de ısının bir üze alanı bounca akarken zaman oranı ile üze alanına dik öndeki sıcaklık gradientinin bileşeninin orantılı olmasıdır. Eğer sıcaklığı zamandan bağımsız ise bu durumda noktasındaki ısı akışı V K grad K i vektörü ile verilir burada K ortamın ısı iletkenliğidir ve sabit olduğu kabul edilir. Eğer s uzunluğunun düz-doğru parçasını z ile gösterirsek bu durumda bir birimlik zaman aralığında akan ısı miktarı V. Ns dir burada N doğru parçasına dik birim vektördür. Eğer bölgede üretilen a da ok edilen termal enerjinin bulunmadığını kabul edersek bu durumda ve uzunlukları tarafındaki önlü herhangi bir küçük dikdörtgen bounca akan ısının net miktarı özdeş olarak sıfırdır. Bu nin bir harmonik fonksion olduğunu gösterir. Aşağıdaki düşünce Şekil nin Laplace denklemini sağladığını göstermek için sıkça kullanılır. V. Ns ifadesini kullanarak şekildeki dikdörtgenin sağ kenarının dışına ısı akışının miktarı aklaşık olarak V N s K K ve sol kenarın dışına ısı akışının miktarını da i. i V. N s K K i. i olarak elde ederiz. Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak
K K buluruz. Benzer şekilde üst ve alt kenarlar dışına ısı akış miktarı için K K buluruz. Bu iki denklemdeki miktarlar toplanırsa dikdörtgenin dışına net ısı akışı aklaşık olarak K denklemi ile verilir. Bu da nin Laplace denklemini sağladığını ve dolaısıla bir harmonik fonksion olduğunu gösterir. Eğer nin tanımlandığı bölge basit bağlantılı bölge ise bu durumda bir S harmonik eşlenik fonksionu vardır ve z is F bir analitik fonksiondur. K eğrilerine izotermaller denir ve bunlar anı sıcaklıktaki noktaları birleştiren doğrulardır. S K eğrilerine ısı akış doğruları denir ve bu eğriler bounca üksek sıcaklıktaki noktalardan düşük sıcaklıktaki noktalara ısı akışı olduğu düşünülür. Kararlı durum sıcaklıkları için sınır değer problemleri Dirichlet problemi olarak göz önüne alınabilir burada harmonik fonksionunun değeri noktasındaki sıcaklık olarak orumlanır. Şekil Örnek... İki paralel düzlemin z -düzlemine dik ve sırasıla a ve b ata doğrularından geçtiğini ve bu düzlemler üzerinde sıcaklığın a ve b değerlerinde sabit tutulduğunu kabul edelim. Bu durumda nin
ile verilebileceğini gösteriniz. a b a Çözüm. doğrusundan geçen düzlem üzerindeki tüm noktalarda sıcaklığın sabit olduğunu kabul edebiliriz. Buradan t dir burada t sadece nin bir fonksionudur. Laplace denklemi t olmasını gerektirir ve Örnek.. deki öntem ile çözümünü bulabiliriz. Şekil 3 izotermallerinin ata doğrular olduğu kolaca görülür. Eşlenik harmonik fonksion S b a dir ve S ısı akış doğruları ata doğrular arasındaki düşe doğru parçalarıdır. Eğer ise bu durumda Şekil 3 de görüldüğü gibi ısı a dan geçen düzlemden b den geçen düzleme bu doğru parçaları bounca akar. Örnek... Im ki -ekseni bounca sıcaklık olsun. Çözüm. z üst arı-düzlemindeki her bir noktada sıcaklığını bulunuz öle bir harmonik fonksion olduğundan bu problem bir Dirichlet problemi örneğidir. Örnek.. den Arg z
olduğu görülür. Şekil 4 izotermali orijinden çıkan ışınlardır. Eşlenik harmonik fonksion S ln z dir ve S ısı akış doğruları orijin merkezli arım çemberlerdir (Şekil 4). Eğer ise bu durumda ısı arım çemberler bounca saat önünün ters önünde akar. H üst arım diskindeki her bir noktadaki Örnek..3. : Im z z bulunuz öle ki bu sıcaklık sınır üzerindeki noktalarda sıcaklığını i z 5 koşullarını sağlasın. Çözüm. Örnek.4. de belirtildiği gibi e i i z w u iv z i fonksionu H arım diskini Q : u v birinci bölge üzerine birebir konform olarak * dönüştürür. Buradan eni problemimiz : " u v u u v 5 v sıcaklığını bulunuz öle ki * sınır koşulları sağlansın" biçiminde olacaktır. Örnek.. den u v harmonik fonksionu
* u v olarak elde edilir. O halde dir. C 5 Arg w Arc tan Arc tan izotermalleri Şekil 5 de görüldüğü gibi noktalarından geçen çemberlerdir. v u Şekil 5 Problemler.. Im z üst arı düzleminde öle bir ( ) sıcaklığı bulunuz ki -ekseni bounca sıcaklık ( ) = 9 > ( ) = 6 < koşullarını sağlasın. Arıca ısı akış doğrularını ve izotermalleri belirleip şekil üzerinde gösteriniz.. ve doğruları tarafından sınırlanan sonsuz şeritte öle bir ( ) sıcaklık fonksionu bulunuz ki ( ) 3 R ( ) 8 R sınır koşullarını sağlasın. 3. ( ) : birinci çerek bölgesinde öle bir ( ) sıcaklığı bulunuz ki bu sıcaklık ( ) ( ) ( ) ve ( ) sınır koşullarını sağlasın.
4. z:imz ve z (ani üst arı düzlemin birim çemberin dışında kalan kısmı) bölgesinde harmonik olan öle bir ( ) sıcaklık fonksionu bulunuz ki ( ) z arg z ( ) sınır koşulları sağlansın.