T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz. 1.1.1 İki noktası bilinen doğru Denklemi: Şekil, (1.1) deki gibi P(a,b) ile Q(c,d) noktalarından geçen doğrunun eğimi: Q noktasından y = b doğrusuna inilen dikmenin ayağı H(c, b) olsun. α = QP H açısının tanjantı olduğuna göre, Şekil 1.1: İki noktası bilinen doğru m = tanα = d b c a (1.1) olacaktır. Şimdi PQ doğrusu üzerinde gezgin bir T(x,y) noktası alırsak, PT nin eğiminin de aynı olacağını düşünerek m = tanα = d b c a = y b x a (1.2) yazabiliriz. T(x,y) noktası PQ doğrusu üzerindeki bütün noktaları taradığına göre P(a,b) ile Q(c,d) noktalarından geçen doğrunun denklemi y b x a = d b, (a c) c a eşitliğini sağlayan T (x, y) noktalarının oluşturduğu doğrudur. Buna denk olarak, yazılabilir. y b = d b (x a) (1.3) c a Örnek 1.1. P(2,5) ile Q(6, 3) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: bkz. Şekil (1.1). (y b) = d b (x a) c a y 5 = 2(x 2) y = 2x + 9

4 Denklemler 1.1.2 Bir noktası ve eğimi bilinen doğru Denklemi: Örnek 1.2. P(4,1) noktasından geçen ve eğimi m = 2 5 olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: Bakz. Şekil ( 1.3) y 1 x 4 = 2 5 2x + 5y = 13 y = 2x 5 + 13 5 P(a,b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi, y = mx + b (1.4) Şekil 1.2: y = mx +b : Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi dir. Bunu görmek için (1.3) formülünde eşitliğin hemen sağındaki oranın doğrunun m eğimine eşit olduğunu düşünmek yetecektir. 1.2 Doğrunun Genel Denklemi Doğrunun genel denklemi ax + by + c = 0 (1.5) Şekil 1.3: ax + by + c = 0 : Genel Doğru denklemi biçimindedir. Buradan eksenlerl kesişim noktalarının koordinatları x = c a, y = 0 ve x = 0, y = c b Bu noktalardan geçen doğrunun denklemi y = a b x c b (1.6) olarak yazılabilir. 1.2.1 İkinci Dereceden Denklemler İKINCI DERECEDEN BIR BILINMEYENLI DENKLEMLER a,b,c R ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem denir. Bir açık önermeyi doğrulayan (eğer varsa) x geçel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi veya doğruluk kümesi, çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir. a, b, c R sayılarına ikinci dereceden denklemin katsayıları denir. Burada, daima a 0 dır b = 0 veya c = 0 olabilir. b = 0 ve c = 0 ise denklem; ax 2 = 0 b 0 ve c = 0 ise denklem; Şekil 1.4: y = ax 2 : parabolü ax 2 + bx = 0

1.3 ax 2 + bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü 5 b = 0 ve c 0 ise denklem; ax 2 + c = 0 biçimini alır. Bu tür denklemler ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin özel durumlarıdır. 1.2.2 ax 2 = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 = 0 x 2 = 0 (a 0) x.x = 0 x = 0 veya x = 0 x 1 = x 2 = 0 Buna göre denklemin birbirine eşit geçel iki (iki kat) kökü vardır. Çözüm kümesi şudur: Ç = {0} 1.3 ax 2 + bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü Şekil 1.5: y = ax 2 + bx : parabolü ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 veya ax + b = 0 x = 0 veya ax = b x 1 = 0 veya x 2 = b a Ç = {0, b a } 1.3.1 ax 2 + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + c = 0 ax 2 = c x 2 = c a a ve c aynı işaretli ise c a < 0 olacağından denklemin geçel kökleri yoktur. R deki çözüm kümesi Ç = {} a ve c ters işaretli ise c a > 0 olacağından denklemin x 1 = + c a ve x 2 = gibi geçel iki kökü vardır. Çözüm kümesi c a Ç = { ca, c a }

6 Denklemler 1.3.2 ax 2 + bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + bx + c = 0 a(x 2 + b a x + c a ) = 0 a 0 olduğundan a[x 2 + b a x + ( b )2 ( b )2 + c a ] = 0 a[(x + b )2 b2 4a 2 + c a ] = 0 a[(x + b )2 b2 4ac 4a 2 ] = 0 ax 2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri ile denkleminin kökleri aynıdır. 1.7 denkleminde x R ve a R için. (x + b )2 b2 4ac 4a 2 = 0 (1.7) (x + b )2 0 ve 4a 2 > 0 olduğundan 1.7 denklemini doğrulayan x geçel sayısının bulunması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. Üç durum Oraya çıkar: 1. b 2 4ac > 0 ise 1.7 denklemi b 2 4ac 0 Şekil 1.7: y = ax 2 + bx + c : genel parabol veya (x + b b 2 4ac )2 ( ) 2 = 0 2 a (x + b b 2 4ac )(x + b b 2 2 a + 4ac ) = 0 (1.8) 2 a biçiminde yazılır. a 0 olduğuna göre, a > 0 veya a < 0 dır. 1.8 denklemi veya (x + b b 2 4ac )(x + b b 2 + 4ac ) = 0 biçimini alır. Buradan, (x + b b 2 4ac )(x + b + b 2 4ac ) = 0 (1.9) x + b b 2 4ac = 0 x 1 = b + b 2 4ac

1.3 ax 2 + bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü 7 ve x + b + b 2 4ac İki kök birleştirilerek, bulunur. = 0 x 2 = b b 2 4ac x 1:2 = b ± b 2 4ac a < 0 a = a olacağından 1.8 denklemi ya da (x + b b 2 4ac )(x + b b 2 2( a) + 4ac ) = 0 2( a) (x + b + b 2 4ac )(x + b b 2 4ac ) = 0 biçimini alır. Bu denklem ise (3) denklemine denktir. Yani çözüm kümeleri aynıdır. Bu durumda, denkleminini çözüm kümesi ax 2 + bx + c = 0 S = { b + b 2 4ac, b b 2 4ac } 2. b 2 4ac = 0 ise b2 4ac 4a 2 = 0 olacağından (1.7) denklemi, biçimini alır. (x + b )2 = 0 (x + b )2 = 0 (x + b )(x + b ) = 0 x + b = 0 veya x + b = 0 x 1 = b veya x 1 = x 2 = b x 2 = b Bu durumda denklemin birbirine eşit geçel iki kökü (iki kat kökü ya da çakışık iki kökü) vardır. Çözüm kümesi, Ç = { b } 3. b 2 4ac < 0 ise 4ac b 2 > 0 olacağından (1.7) denklemi biçimini alır. (x + b 4ac )2 b2 + 4a 2 = 0 (4)

8 Denklemler 4ac b 2 4a 2 > 0 ve x R için (x + b )2 0 olacağından (4) ifadesi daima sıfırdan büyüktür. Bu eşitliği doğrulayan hiç bir x geçel sayısı bulunamaz. Denklemin R içindeki çözüm kümesi boştur: Ç = { } İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin geçel köklerinin varlığının b 2 4ac sayısına bağlı olduğunu gördük. Bu sayıya denklemin diskriminantı denir ve ile gösterilir. 1.4 Değişken değiştirme Yardımcı Bilinmeyen Kullanılarak Çözülebilen Denklemler ax 4 + bx 2 + c = 0 biçimindeki denklemler. Bu tür denklemleri çözmek için x 2 = t dönüşümü yapılırsa at 2 + bt + c = 0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. t nin bulunan değerlerinin karekökleri (varsa) verilen denklemin kökleridir. Örnek 1.3. 2 x+1 + 2 x 1 10 2 x 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: 2.2 x + 2x 2 10.22 2 x = 0 2t + t 2 40 = 0. (2 x = t) konumuyla t 5t 2 80 = 0 2t 0 t = ±4 2 x = 4 2 x = 4 2 x = 2 2 2 x = 4 c 1 = {2} c 2 = φ verilen denklemin çözüm kümesi, Ç = c 1 c 2 = {2} 1.5 Köklü denklemler f (x) = g (x) türündeki denklemleri çözmek için eşitliğin iki tarafının verilen kök kuvvetini alarak denklemi kökten kurtarırız. Elde edilen yeni denklemi çözerek köklerini buluruz. Kuvvet alma işlemi sırasında yabancı kökler girebileceğinden bulunan kök veya köklerin verilen denklemi sağlayıp sağlamadığı mutlaka, kontrol edilmelidir. Örnek 1.4. 3x 2 + 5+3 3x 2 14x + 15 = 14x denkleminin çözüm kümesini bulalım.

1.6 Mutlak Değer 9 Çözüm: Verilen denklemi 3x 2 14x + 5 + 3 3x 2 14x + 15 = 0 biçiminde yazalım ve eşitliğin her iki tarafına (10) ekleyelim. 3x 2 14x + 15 + 3 3x 2 14x + 15 = 10 3x 2 14x + 15 = t (t 0) diyelim t 2 + 3t = 10 t 2 + 3t 10 = 0 t 2 + 3t 10 = 0 t = 2 t = 5 bulunur. t = 5 < 0 olduğundan istenen koşula uymaz. 3x 2 14x + 15 = 2 3x 2 14x + 15 = 4 bulunur. Denklemin çözüm kümesi, Ç = {1, 11 3 } 3x 2 14x + 11 = 0 x = 1 x = 11 3 1.6 Mutlak Değer Mutlak Değer İçeren Denklemlerin Çözümü Bu tür denklemleri çözerken, mutlak değer işareti arasındaki ifadenin hangi aralıkta pozitif hangi aralıkta negatif olacağını belirlememiz gerekir. Bu işlem, mutlak değer işaretini hangi koşullara göre kaldırabileceğimizi belirler. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. Örnek 1.5. x 2 2x 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım: a) 2x 3 < 0 x < 3 2 2x 3 = (2x 3) olduğundan, x 2 2x 3 = 0 x 2 [ (2x 3)] = 0 x 2 + 2x 3 = 0 x 1 = 1, x = 3 bulunur. Bu değerler x < 3 2 koşuluna uygun olduğundan verilen denklemin kökleridir.

10 Denklemler b) 2x 3 0 x 3 2 2x 3 = 2x 3 olduğundan, x 2 2x 3 = 0 x 2 2x + 3 = 0 Bu denklemin çözüm kümesi φ dir. Buna göre verilen denklemin çözüm kümesi, Ç = { 3,1} 1.7 Alıştırmalar 1. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) b) 2x 1 x 2 x 12 + x+2 x 2 +x 6 = 0 x 3 x 2 x 2 + 2x 7 x 2 3x+2 = x x 2 1 2. Aşağıdaki denklemleri çözünüz. (a) (x + 4 x )2 + 20 = 9( x2 +4 x ) (b) ( x 1 x+3 )2 + 3 = 4( 1 x x+3 ) 3. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. (a) x + x 2 4 = 0 (b) 3 3x 3 = 2x (c) 3 x 3 1 = 2 4 (d) x 3 1 = 2 4. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) x 2 = 28 3x b) 4x x 2 4 = 7 1.8 Köklerle Katsayılar Arasındaki Bağıntılar ax 2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı pozitif ise, yani = b 2 4ac > 0 ise, denklemin birbirinden farklı geçel iki kökü vardır. dır. Bu kökler, x 1 = b + ve x 2 = b Şimdi bu köklerle denklemin a,b,c katsayıları arasında bazı bağıntılar kuracağız.

1.9 Alıştırmalar 11 1.8.1 Köklerin Toplamı: x 1 + x 2 = b + + b = b + b = 2b = b a 1.8.2 Köklerin Çarpımı: x 1.x 2 = ( b + = b2 4a 2 = b2 (b 2 4ac) 4a 2 = 4ac 4a 2 = c a )( b ) 1.8.3 Köklerin Farkının Mutlak Değeri: 1.9 Alıştırmalar x 1 x 2 = b + b = 2 = a 1. x 2 (2m 5)x + 2m 3 = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamının 11 olması için m nin alacağı değerler kümesini bulunuz. 2. (3m + 2)x 2 + 5(m + 2)x + 2(m 1) = 0 denkleminin köklerinden birinin, diğer kökün çarpma işlemine göre tersine eşit olması için m nin alacağı değeri bulunuz. 3. (2m 3)x 2 4mx +2m +3 = 0 denkleminde köklerin karelerinin çarpma işlemine göre tersleri toplamının 3 olması için m nin alacağı değerler kümesini bulunuz. 4. (7m 6)x 2 (3m + 1)x + m 4 = 0 denkleminin kökleri arasında 2(x 1 + x 2 ) 3x 1 x 2 = 0 bağıntısı olması için m nin alacağı değeri bulunuz. 5. (1 2m)x 2 + mx + 7m 8 = 0 denkleminin kökleri arasında (2x 1 3)(2x 2 3) = 2 bağıntısı olması için m nin alacağı değeri bulunuz. 6. mx 2 + (3m 8)x + 2m = 0 denkleminin kökleri arasında 2(x 2 1 + x2 2 ) = 5x 1 x 2 bağıntısının olması için m nin alacağı değeri bulunuz.

12 Denklemler 1.10 İkinci Dereceden Denklemlerin İncelenmesi Daha önce ax 2 + bx + c = 0 denkleminin çözümünü gördük. Şimdi, bu denklemi çözmeden köklerle katsayılar arasındaki bağıntılardan yararlanarak köklerinin varlığını ve işaretlerini belirlemeye çalışalım. Bunun için, verilen denklemde, c a, b a nın işaretlerini incelememiz gerekir. 1. = b 2 4ac < 0 ise, denklemin geçel kökleri olmadığından, köklerinin işareti de söz konusu değildir. 2. = b 2 4ac = 0 ise, denklemin birbirine eşit geçel iki kökü (yada iki kat bir kökü) vardır. Bu iki kat kökün (x 1 = x 2 ) işareti b a sayısının işaretine bağlıdır. a) x 1 + x 2 = b a < 0 x 1 = x 2 < 0 dir. b) x 1 + x 2 = b a = 0 x 1 = x 2 = 0 c) x 1 + x 2 = b a > 0 0 < x 1 = x 2 3. = b 2 4ac > 0 ise, denklemin birbirinden farklı geçel iki kökü vardır. Denklemin kökleri x 1, x 2 ve x 1 < x 2 olsun. a) x 1 x 2 = c a < 0 ise, kökler çarpımı negatif olduğu için, kökler ters işaretlidir. Yani x 1 < 0 < x 2 dir. b) x 1 x 2 = c a > 0 ise, kökler çarpımı pozitif olduğundan iki kök de aynı işaretlidir. Köklerin artı işaretli mi yoksa eksi işaretli mi olduğu x 1 + x 2 = b a sayısının işaretine bağlıdır. dır. I) x 1 + x 2 = b a > 0 0 < x 1 < x 2 II) x 1 + x 2 = b a < 0 x 1 < x 2 < 0 c) x 1.x 2 = c a = 0 ise, köklerden biri sıfırdır. Diğer kökün işareti b a sayısının işaretine bağlıdır. dır. I) x 1 + x 2 = b a > 0 0 = x 1 < x 2 II) x 1 + x 2 = b a < 0 x 1 < x 2 = 0 Yukarıdaki öğrendiklerimizi aşağıdaki tabloda özetleyebiliriz. < 0 Denklemin geçel kökleri yoktur x 1 + x 2 = b a > 0 0 < x 1 = x 2 a x 1 + x 2 = b a < 0 x 1 = x 2 < 0 x 1 x 2 = c a = 0 x 1 = x 2 = 0 x 1.x 2 = c a < 0 x 1 < 0 < x 2 x 1.x 2 = c a > 0 x 1 + x 2 = b a > 0 0 < x 1 < x 2 > 0 x 1 + x 2 = b a < 0 x 1 < x 2 < 0 x 1.x 2 = c a = 0 x 1 + x 2 = b a > 0 0 = x 1 < x 2 x 2 + x 2 = b a < 0 x 1 < x 2 = 0

1.11 Denklem Sistemleri 13 1.11 Denklem Sistemleri İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ve Denklem Sistemleri üzere a, b, c sayılarından en az biri sıfırdan farklı ve a, b, c, d, e, f R olmak ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 biçimindeki denkleme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi sağlayan (x, y) geçel sayı ikililerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi adı verilir. İki bilinmeyen içeren birinci dereceden en az iki denklemin oluşturduğu sisteme, birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi dediğimizi anımsayınız. Eğer bu denklemlerden en az bir tanesi ikinci dereceden ise, bu sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Bu tür denklem sistemlerini çözerken, verilen denklemlerden yararlanarak, yeni denklemler aranır. İki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümü için genel geçerliliği olan bir yöntem yoktur. Onun yerine verilen probleme uyan çözüm yolları aranmalıdır. } x 2 + y 2 = 6, Örnek 1.6. x + y + 2 sisteminin çözüm kümesini bulalım: 3 = 0 Çözüm: x + y +2 3 = 0 y = x 2 3 Birinci denklemde y yerine x 2 3 değerini yazalım. x 2 + ( x 2 3) 2 = 6 x 2 + x 2 + 4 3x + 12 6 = 0 x 2 + 2 3x + 3 = 0 x 1 = x 2 = 3 x = 3 y = ( 3) 2 3 = 3 bulunur. Verilen sistemin çözüm kümesi şudur: Ç = {( 3, 3)} 1.12 Eşitsizlikler İKINCI DERECEDEN BIR BILINMEYENLI EŞITSIZLIKLER a,b,c R ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c > 0; ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c < 0; ax 2 + bx + c 0 biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Eşitsizliği sağlayan x geçel sayılarının kümesine eşitsizliğin çözüm (doğruluk) kümesi, çözüm kümesini bulma işlemine de eşitsizliği çözme denir. İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir eşitsizliği çözmek demek, f (x) = ax 2 + bx + c üç terimlisinin işaretini inceleyerek eşitsizliği sağlayan aralığı bulmak demektir.

14 Denklemler f (x) = ax 2 + bx + c üç terimlisinin, f (x) = a[(x + b )2 b2 4ac 4a 2 ] (1) veya f (x) = a[(x + b 4ac )2 b2 + 4a 2 ] (2) biçiminde yazılabileceğini daha önce görmüştük. Buna göre f (x) üçterimlisinin işareti a ile köşeli parantez içindeki ifadenin işaretine bağlıdır. 1. = b 2 4ac < 0 ise; 4ac b 2 4a 2 > 0 ve x R için (x + b )2 0 olacağından (2) bağıntısında köşeli parantezin içindeki ifade x R için pozitif Bu durumda f (x) üç terimlisinin işareti a nın işaretinin aynısıdır. Yani; a > 0 f (x) > 0 a < 0 f (x) < 0 Bu durum aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. İnceleyiniz. x f (x) = ax 2 + bx + c < 0 a > 0 + + + a < 0 - - - 2. = b 2 4ac = 0 ise (1) bağıntısı, f (x) = a(x + b )2 biçimini alır. x R için (x + b )2 0 olduğundan, f (x) üç terimlisi x = b için sıfır x in diğer bütün değerleri için a nın işaretinin aynısıdır. Yani; dır. x = b x b için için f (x) = f ( b ) = 0 { a > 0 f (x) > 0 a < 0 f (x) < 0 Bu durum aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. İnceleyiniz. x x = b a > 0 + + f (x) = 0 a < 0 - - 3. = b 2 4ac > 0 ise,

1.12 Eşitsizlikler 15 ax 2 + bx + c = 0 denkleminin birbirinden farklı geçel iki kökü vardır. Bu kökleri x 1, x 2 ile gösterelim ve x 1 < x 2 olsun. Bu durumda (1) bağıntısı, f (x) = ax 2 + bx + c = a(x + b b 2 4ac biçiminde yazılır. = a(x b + b 2 4ac )(x + b + b 2 4ac ) x 1 = b + b 2 4ac ; x 2 = b b 2 4ac değerleri (3) bağıntısında yerlerine yazılırsa, )(x b b 2 4ac ) (3) f (x) = ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) a) x < x 1 < x 2 ise; x < x 1 (x x 1 ) < 0 x < x 2 (x x 2 ) < 0 } (x x 1 )(x x 2 ) > 0 Bu durumda, f (x) üç terimlisinin işareti, a nın işaretinin aynısıdır. Yani; a > 0 f (x) > 0 a < 0 f (x) < 0 dır. b) x 1 < x < x 2 ise; x 1 < x (x x 1 ) > 0 x < x 2 (x x 2 ) < 0 } (x x 1 )(x x 2 ) < 0 Bu durumda, f (x) üç terimlisinin işareti, a nın işaretinin tersidir. Yani; a > 0 f (x) < 0 a < 0 f (x) > 0 dır. c) x 1 < x 2 < x ise; x 1 < x (x x 1 ) > 0 x 2 < x (x x 2 ) > 0 } (x x 1 )(x x 2 ) > 0 Bu durumda, f (x) üç terimlisinin işareti, a nın işaretinin aynısıdır; yani, a > 0 f (x) > 0 a < 0 f (x) < 0 d) f (x) üç terimlisi x 1 ve x 2 için sıfır değerini alır. Yukarıda öğrendiklerimizi aşağıdaki tabloda gösterebiliriz.

16 Denklemler f (x) = ax 2 + bx + c > 0 x x 1 x 2 a > 0 + - + a < 0 - + - Öğrendiklerimizi kısaca özetleyecek olursak; 1. < 0 ise, x R için üçterimlinin işareti a nın işaretinin aynısıdır. 2. = 0 ise, x in x = b dan başka tüm değerleri için üçterimlinin işareti a nın işaretinin aynısıdır. 3. > 0 ise, ikinci dereceden üçterimlinin işareti, köklerin dışında a nın işaretinin aynısı, köklerin arasında a nın işaretinin tersidir. 1.13 Eşitsizlik Sistemleri Aynı zamanda gerçeklenen birden fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme bir eşitsizlik sistemi denir. Sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin arakesitine de eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir. 4x + 5 > 2x 7, (1.10) 2 3x 1 < x + 1 (1.11) 2 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulalım: Çözüm: 4x + 5 2 > 2x 7 4x 2x > 7 5 2 2x > 19 2 x > 19 4 3x 1 < x + 1 2 3x 1 < 2x + 2 3x 2x < 2 + 1 x < 3 x 19 4 3 + 4x + 5 2 > 2x 7 - + + 3x 1 2 < x + 1 - - + Çözüm S = {x : 19 2 < x < 3, x R} 1.14 Alıştırmalar 1. (2m 1)x 2 2(2m + 1)x + 2m 3 < 0 eşitsizliğinin daima doğru olması için m nin alacağı değerler kümesini bulunuz.

1.15 I kinci Dereceden Fonksiyonlar 17 2. (m + 1)x 2 + 2(2m 1)x + 2m 1 < 0 es itsizlig inin daima dog ru olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 3. (m + 1)x 2 + (3m + 1)x + 2m + 2 > 0 es itsizlig inin daima dog ru olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 4. (2m + 1)x 2 2(2m + 1)x + 4m + 3 > 0 es itsizlig inin daima dog ru olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 5. (2m 1)x 2 2(2m + 1)x + 3m + 5 = 0 denkleminin ters is aretli iki kökü olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 6. (1 + m)x 2 2(2m + 5)x + 3m + 5 = 0 denkleminin ters is aretli iki kökü olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 7. (4m +1)x 2 2(2m 1)x +3m +1 = 0 denkleminin pozitif is aretli iki kökü olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 8. (3m 4)x 2 2(5m 1)x +5m 1 = 0 denkleminin pozitif is aretli iki kökü olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 9. (2m + 1)x 2 (5m + 4)x + 4m = 0 denkleminin negatif is aretli iki kökü olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 10. (2m 3)x 2 2(3m 4)x + 5m 6 = 0 denkleminin negatif is aretli iki kökü olması için m nin alacag ı deg erler kümesini bulunuz. 1.15 I kinci Dereceden Fonksiyonlar a R {0} ve b, c, x R olmak üzere, f : R R, f (x) = ax 2 + bx + c biçiminde tanımlanan fonksiyonlara R den R ye ikinci dereceden bir deg is kenli fonksiyonlar denir. Bu tür fonksiyonlar, f : R R, f : x ax 2 + bx + c veya f = {(x, y) y = ax 2 + bx + c, a, b, c, x R ve a 6= 0} biçiminde gösterilebilir. Burada f (x) üç terimlisinin katsayıları olan a, b, c R (a 6= 0) nin farklı deg erleri için deg is ik fonksiyonlar elde edilir. Örneg in: 1) a = 2, b = 3 ve c = 1 ise f (x) = 2x 2 + 3x + 1 p p 2) a = 3, b = 0 ve c = 3 ise f (x) = 3x 2 + 3 3) a = 1, b = 5 ve c = 0 ise f (x) = x 2 + 5x 4) a = 4, b = 0 ve c = 0 ise f (x) = 4x 2 Bu bölümde ikinci dereceden bir deg is kenli fonksiyonların grafiklerini çizeceg iz. f = {(x, y) y = ax 2 + bx + c, a, b, c, x R ve a 6= 0} kümesinin elemanları olan ikililere analitik düzlemde kars ılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafig i denir. I kinci dereceden bir deg is kenli fonksiyonların grafikleri parabol denen eg rilerdir. f : R R, f (x) = ax 2 + bx + c S ekil 1.8: Asma köprüde parabolller

18 Denklemler fonksiyonunda b = 0 ve c = 0 alınırsa, f : R R, f (x) = ax 2 fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun grafiğini çizelim. y = f (x) = ax 2 fonksiyonunda x in her değeri için y nin aldığı değerler hesaplanabilir. x in aldığı değişik değerlere karşılık y nin alacağı değerleri gösteren bir tablo yapalım. Buna fonksiyonun değişim tablosu diyeceğiz. Tablodaki (x, y) ikililerine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar yardımıyla f fonksiyonunun grafiği kabaca çizilir. 1. a > 0 ise; Şekil 1.9: y = ax 2, a > 0 x -2-1 0 1 2 + y = f (x) = ax 2 + 4a a 0 a 4a + x R için y = f (x) = ax 2 0 olduğundan, parabolün kolları OY ekseninin pozitif yönündedir ve fonksiyonun aldığı en küçük değer x = 0 için y = 0 dır. Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi f (R) = R + {0} Bu durumda (0,0) noktası parabolün en alt noktasıdır. Bu noktaya parabolün tepesi denir. 2. a < 0 ise; Şekil 1.10: y = ax 2, a < 0 x -2-1 0 1 2 + y = f (x) = ax 2 4a a 0 a 4a x R için y = f (x) = ax 2 0 olduğundan, parabolün kolları OY ekseninin negatif yönündedir ve fonksiyonun aldığı en büyük değer x = 0 için y = 0 dır. Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi f (R) = R {0} dır. Eğrinin en yüksek noktası olan (0,0) noktasının parabolün tepesi olduğunu gördünüz mü? y = ax 2 fonksiyonunun değişim tablosunu inceleyiniz. Burada, x = ±1 için y = a x = ±2 için y = 4a Şekil 1.11: Paraboller olduğunu görürüz. ( 1, a) ile (1, a) ve ( 2, a) ile (2, a) noktaları OY eksenine göre simetrik midir? Genel olarak x in aldığı ( c) ve (c) değerlerine y nin aynı (y = ac 2 ) değeri karşılık gelir. Bu da bize ( c, ac 2 ) ve (c, ac 2 ) noktalarının OY eksenine göre simetrik olduğunu gösterir. O halde, OY ekseni (x = 0 doğrusu) fonksiyonun grafiğinin (parabolün) simetri eksenidir. Örnek 1.7. 1. a = 1 2, a = 1 ve a = 2 için y = ax2 kuralı ile tanımlanmış fonksiyonların grafiklerini aynı analitik düzlemde çizelim. Şekil 1.12: Paraboller Çözüm: Şekil (1.9) den görüldüğü gibi, a > 0 için, a büyüdükçe parabolün kolları OY eksenine yaklaşır, a küçüldükçe parabolün kolları OY ekseninden uzaklaşır.

1.16 Parabol Çizimi 19 2. y = 1 2 x2 ; y = x 2 ; y = 2x 2 fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlemde çizelim. a < 0 için; a büyüdükçe parabolün kolları OY ekseninden uzaklaşır, a küçüldükçe parabolün kolları OY eksenine yaklaşır. 1.16 Parabol Çizimi Parabolün tepe noktasının koordinatları bulunur. Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların (varsa) koordinatları bulunur. Fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Değişim tablosundan yararlanarak fonksiyonun grafiği çizilir. Örnek 1.8. 1. y = f (x) = ax 2 + bx + c (I ) fonksiyonu, ya da biçiminde yazılabilir. y = a[(x + b 4ac )2 b2 + 4a 2 ] = a(x + b )2 + 4ac b2 4a 4ac b2 y = a(x + b 4a )2 x + b = x 4ac b2 1 ve y = y 1 (I I ) 4a dersek, verilen fonksiyon, biçimini alır. y 1 = ax 2 1 y = ax 2 biçimindeki fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası (0,0) olan bir parabol olduğunu biliyoruz. Buna göre; x 1 = 0 ve y 1 = 0 değerleri (II) eşitliklerinde yerine yazılırsa, ya da x + b 4ac b2 = 0 ve y = 0 4a x = b ve 4ac b2 y = 4a Bu da bize y = f (x) = ax 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktası ( b, 4ac b2 4a ) olan bir parabol olduğunu gösterir.

20 Denklemler Denklemi y = ax 2 olan parabolün simetri ekseninin x = 0 doğrusu olduğunu görmüştük. Buna göre x 1 = 0 değerini (II) eşitliğinde yerine yazarsak x + b = 0 veya x = b doğrusu da denklemi y = ax2 + bx + c olan parabolün simetri ekseni Durum: a > 0: Grafiğin kolları OY eksininin pozitif yönünde olacağından parabolün tepe noktası en alt noktasıdır. Tepe noktasının ordinatı olan 4ac b2 4a sayısı da görüntü kümesinin en küçük elemanıdır. Durum: a < 0: Grafiğin kolları OY ekseninin negatif yönünde olacağından parabolün tepe noktası en üst noktasıdır ve tepe noktasının ordinatı olan 4ac b2 4a sayısı da görüntü kümesinin en büyük elemanıdır. 2. Grafiğin OX eksenini kestiği noktalarda y = 0 olduğundan, ax 2 + bx + c = 0 b 2 4ac > 0 ise, grafik, OX eksinini (x 1,0) ve (x 2,0) gibi iki noktada keser. b 2 4ac = 0 ise, grafik Ox eksenine teğettir. b 2 4ac < 0 ise, grafik Ox eksenini kesmez. Grafiğin OY eksenini kestiği noktada x = 0 olacağından y = c Buna göre grafik OY eksenini (0,c) noktasında keser. 3. Durum: a > 0: x R için a(x + b )2 0 dır. x b + y = a(x + b )2 + 4ac b2 4a 4. Durum: a < 0: x R için a(x + b )2 0 dır. + 4ac b 2 4a + Tepe noktası x b + y = a(x + b )2 + 4ac b2 4a 4ac b 2 4a Tepe noktası ifadesinde, diyecek olursak, y = ax 2 + bx + c = a(x + b 4ac )2 b2 + 4a r = b ve 4ac b2 k = 4a Parabolün denklemi y = a(x r ) 2 + k ve tepe noktası ise T (r,k)

1.17 Alıştırmalar 21 1.17 Alıştırmalar 1. y = 2mx 2 + 4mx + m + 4 fonksiyonunun grafiğinin a) OX eksenine teğet olması için m nin alacağı değeri bulunuz. b) m nin bulunan değerini yerine yazarak elde edeceğiniz fonksiyonun grafiğini çiziniz. 2. y = mx 2 2(2m 1)x + 2m + 1 fonksiyonunun grafiğinin a) A(2, 5) noktasından geçmesi için m nin alacağı değeri bulunuz. b) m nin bulunan değerini yerine yazarak elde edeceğiniz fonksiyonun grafiğini çiziniz. 3. y = (m + 2)x 2 + 4mx + 2m + 3 fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük elemanının 1 3 olması için m Z ne olmalıdır? m nin bulunan değerini yerine yazarak bulacağınız fonksiyonun grafiğini çiziniz. 4. y = x 2 + 2mx + 4(m + 1) fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük elemanının (1) olması için m nin alacağı değeri bulunuz. 1.18 Eşitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü Bu bölümde birinci ve ikinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerinin, grafiklerden yararlanarak analitik düzlemde nasıl gösterileceğini göreceğiz. Bu yöntemi eşitsizliklerin grafiklerinin birer doğru veya paraboller olması durumunda uyguluyacağız. 1.19 Örnekler: 1. y 2x 4 0 y 3x 6 0 eşitsizlik sistemini sağlayan noktalar kümesini analitik düzlemde gösterelim: Çözüm: Önce y 2x 4 = 0 doğrusunun grafiğini çizelim. Şekil 1.13: y 3x 6 0 Bu doğru düzlemi H 1 (doğrunun üstünde kalan yarı düzlem) ve H 2 (doğrunun altında kalan yarı düzlem)olmak üzere iki yarı düzleme ayırır. H 1 yarı düzlemi içinde rasdgele bir P( 3,0) noktası alalım ve bu noktanın koordinatlarının eşitsizliği sağlayıp sağlamadığına bakalım. 0 2( 3) 4 = 2 > 0 olduğundan, P( 3,0) noktasının içinde bulunduğu H 1 yarı düzlemi aranan bölgedir. H 1 yarı düzlemindeki bütün noktalar y 2x 4 > 0 eşitsizliğini sağlar (bkz. Şekil (1.14). Şimdi de y 3x 6 = 0 doğrusunun grafiğini, ayrı bir şekil üzerinde çizelim. 0(0, 0) noktasının koordinatlarını y 3x 6 < 0 eşitsizliğinde yerlerine yazalım. Şekil 1.14: y 2x 4 0, y 3x 6 0

22 Denklemler 0 3.0 6 < 0 6 < 0 olduğundan, 0(0, 0) noktası y 3x 6 < 0 eşitsizliğini sağlar. Buna göre 0(0, 0) noktasını içinde bulunduran koyu taralı bölge aranan bölgedir (bkz. Şekil (1.14). Yukarıdaki iki bölgenin arakesiti, eşitsizlik sistemini sağlayan noktaların kümesidir. 2. Şekil 1.15: y 2 x x 2 y 2 x x 2 2y > x 2 > 0 eşitsizlik sistemini sağlayan noktaların kümesini analitik düzlemde gösterelim. Çözüm: y = x 2 x + 2 parabolünün grafiğini çizelim. Şekil 1.16: x + 2y + 2 > 0 r = b = 1 2 k = f ( 1 2 ) = ( 1 2 )2 ( 1 2 ) + 2 = 9 4 } T ( 1 2, 9 4 ) x = 0 için y = 2 y = 0 için x 2 x + 2 = 0 x = 1 x = 2 Şekil 1.17: y 2 x x 2, x + 2y + 2 > 0 x -2 1 2 0 1 + y 0 9 4 2 0 Bu parabol düzlemi üç ayrık bölgeye ayırır. Parabolün iç bölgesindeki 0(0,0) noktası için, 0 2 0 0 0 2 eşitsizliği doğrudur. Buna göre parabolün iç bölgesindeki bütün noktalar için, y 2 x x 2 eşitsizliği sağlanır. x + 2y + 2 > 0 eşitsizliği için 0(0,0) noktasını alalım. 0 + 2.0 + 2 > 0 2 > 0 Şekil 1.18: y > x 2 1 eşitsizliği doğru olduğuna göre başlangıç noktası tarafındaki yarı düzlem aranan bölgedir (kesik çizgi doğru üzerindeki noktaların çözüm kümesine ait olmadığını gösterir (bkz. Şekil (1.17) 3. Eşitsizlik sistemini sağlayan bölge grafikte taranarak gösterilmiştir. y > x 2 1 y 2x x 2 eşitsizlik sistemini sağlayan noktaları analitik düzlemde gösterelim. y = x 2 1 ve y = 2x x 2 Şekil 1.19: y 2x x 2 parabollerinin grafiklerini aynı analitik düzlemde çizelim.

1.20 Doğrusal denklem sistemleri 23 x -1 0 1 + y + 0-1 0 + x 0 1 2 + y 0 1 0 y = x 2 1 parabolünün iç bölgesindeki 0(0,0) noktası için, 0 > 0 2 1 0 > 1 eşitsizliği doğru olduğundan, parabolün iç bölgesindeki bütün noktalar için y > x 2 1 eşitsizliği doğrudur. y = 2x 2 x 2 parabolünün dış bölgesindeki A(0,1) noktası için, 1 > 2.0 0 2 1 > 0 olduğundan, bu bölgedeki bütün noktalar y 2x x 2 eşitsizliğini sağlar. 1.20 Doğrusal denklem sistemleri Matrisleri lineer cebirde Şekil 1.20: y > x 2 1, y 2x x 2 AX = B (1.12) biçemindeki denklemleri çözmek için kullanırız. Örnek 1.9. Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini çözünüz. x z = 2 x + y = 1 2x + y + 2z = 13 Çözüm: Verilen doğrusal denklem sisteminin A katsayılar matrisi 1 0 1 A = 1 1 0 2 1 1 dir Bunun determinantı A = 4 Öyleyse, çözüm kümesi, Örnek 1.10. x = A x A y = A y A z = A z A = 10 4 = 5 2 = 14 4 = 7 2 = 18 4 = 9 2

24 Denklemler Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini çözünüz. 2x + 3y z = 1 3x + 5y + 2z = 8 x + 2y + 3z = 1 Çözüm: Verilen doğrusal denklem sisteminin A katsayılar matrisi 2 3 1 A = 3 5 2 1 2 3 dir. Bunun determinantı 2 3 1 A = 3 5 2 = 2(( 15 + 4) 3( 9 2) 1( 6 5) = 22, 1 2 3 A x = 66, A y = 22, A z = 44 Buradan çözüm x = 3, y = 1, z = 2 çıkar. Bu konuyu matrisin eşçarpanlarını inceledikten sonra tekrar ele alacağız.

Index denklem, 3 doğrusal denklem sistemi, 23 drafik, 17 ikinci derece denklemleri, 3 ikinci dereceden fonksiyonlar, 17 kök, 3 parabol, 17 parabol çizimi, 19