Mekanik Titreşimler ve Kontrolü Makine Mühendisliği Bölümü s.selim@gtu.edu.tr 10.10.018
Titreşim sinyalinin özellikleri Daimi sinyal Daimi olmayan sinyal Herhangi bir sistemden elde edilen titreşim sinyalinin sınıflandırma açısından temel karakteristikleri vardır. Elde edilen sinyal tahrik ile doğrudan ilişkilidir.
Titreşim sinyalinin özellikleri Eğer titreşim yapan bir sistem üzerine herhangi bir zamanda etki eden tahrik(kuvvet veya hareket) değeri biliniyor ise bu tahrik deterministik olarak isimlendirilir. Tahrikin random olduğu durumda verilen bir zamanda tahmin edilmesi mümkün olmayabilir. Random titreşimler için geniş bir veri kaydı üzerinden istatiksel düzenlilik bulunabilir. Eğer titreşim hareketi periyodik ise sistem hareketini eşit zaman aralıklarında tekrarlamaktadır. Periyodik (deterministik titreşim) Hareketin bir çevrimini tamamlaması için gereken zamana periyot denmektedir. Birim zaman başına hareketin tekrar sayısına frekans denmektedir. 3
Basit harmonik hareket Harmonik hareket periyodik hareketin en basit formudur. Basit harmonik hareket bir git-gel hareketidir. Dairesel fonksiyonlar sinüs ve kosinüs ile gösterilebilirler. Yerdeğiştirme ile orantılı olan ve yönü orta noktaya doğru olan titreşim hareketine basit harmonik hareket denir. Basit harmonik hareketi oluşturan O noktası etrafında dönen yarıçapı A olan bir krank mekanizması şekildeki gibidir. Krankın diğer P ucu yuvalı bir çubuk içinde kayar düşey R yatağı içindeki hareketi oluşturur. m kütlesine S noktasında krank hareketi aktarılır. 4
Basit harmonik hareket = t y Harmonik hareket dönen bir vektörün uç noktasının yatay ve düşey eksendeki izdüşümleri olarak ifade edilebilir. A x = Acos t Hareketin bir çevrimi Hareketin bir çevrimi A A = t y = Asin t 5
Basit harmonik hareket Bir titreşim sinyali birden çok bileşen içerebilir. Harmonik hareket içinde temel harmonik hareketin katlarındaki frekanslarda salınımlar olabilir. Titreşim analizinde bu harmonikler alt harmonik veya üst harmonik olarak isimlendirilir. Sabit devirde dönme oluyorsa 6
Kompleks sayılar ve vektörel ifade y b j = a + jb = Ae a x Kompleks sayılar üstel fonksiyonlar olarak yazılabilir ve aynı zamanda trigonometrik eşdeğerleri kullanılabilir. j == A e = A cos +j Asi j= 1 n j = a + jb = Ae A = a + b = tan 1 b a Genlik Faz açısı 7
Kompleks sayı özellikleri 1- A = 1+ j 3 = 1+ 3(cos 60 + j sin 60 ) = 60 j /3 60 sembolü e ifadesinin diğer bir yazılışıdır. Bu ifade genliği ve faz açısı 60 derece veya / 3 radyan olan x eksenine göre saat akrebi tersinde bir vektörü gösterir. - A = A1+ A = (1 + j) + (4 + 3 j) = 5 + 5 j = 5 45 3- A = A A = + j + j = e e 1 j /3 j0.64 (1 3)(4 3 ) ( )(5 ) = = + = j( /3+ 0.64) 10e 10 60 36.8 10 96.8 8
Kompleks sayı özellikleri 4- A 1+ j 3 60 = = = = 60 36.8 = 0.4 3. 4 + 3 5 36.8 5 1 A A j 5- A = j = + j = + j = e = j / 0 (cos sin ) 90 6- j/ j/3 A = j(1 + j 3) = ( e )( e ) = 90 + 60 = 150 7- A 1+ j 3 60 = = = 60 90 = 30 j 1 90 9
Harmonik hareketlerin vektörel gösterimi y t Q Im A t t 0 P x Re Harmonik hareket sabit bir açısal hızında sabit A genlikli bir dönen vektör ile gösterilebilir. x ve y üzerindeki projeksiyonlar: OP = x( t) = A cos t reel eksen OQ = y( t) = Asin t imajiner eksen xt jt ( ) = Re[Ae ] yt jt ( ) = Im[Ae ] =A cos t +j Asin t =Ae d dt d dt d dt ( ) jt j t jt = Ae = jae = j d jt jt = ( jae ) = ( j) Ae = dt Üstel fonksiyonlar denklemlerin çıkartılmasında basitlik sağlarlar. vektörünün birinci ve ikinci türevleri de birer vektördür. 10
Yerdeğiştirme, hız ve ivme j b c y Im t a x Re Yerdeğiştirme, hız ve ivme değerleri vektörel ifadeler olup faz farkı ile davranış göstermektedir. Hız ve ivme verilen bir yerdeğiştirmeden türetilebilir. Yerdeğiştirme, hız ve ivme fiziksel olarak reel değerlerdir. Eger harmonik hareket x( t) = Acos t olarak verilirse: j t Yerdeğiştirme : x= Re[Ae ] = A cos j t Hız : x = Re[ jae ] = A sint = A cos( t+ 90 ) İvme : x = Re[(j ) Ae t ] = A cost = A cos( t+ 180 ) j t 11
Yerdeğiştirme, hız ve ivme j b c y Im t a x Re t=0:0.01:5; w=1.**pi; A=1; =A*cos(w.*t); % Yerdegistirme d=-w*a*sin(w.*t); % Hiz dd=-w^*a*cos(w.*t); % ivme plot(t,,t,d,'r--',t,dd,'k-.') legend('yerdegistirme','hiz','ivme') xlabel(' t') ylabel(' Yerdegistirme, Hiz, ivme ') 1
Harmonik hareketlerin vektörel gösterimi Harmonik fonksiyonlar grafiksel olarak vektörel anlamda toplanabilir. = cos t 1 1 y Im sin = cos( t+ ) = + 1 0 t 1 cos( t+ ) cos x Re Toplamda elde edilen vektörün genliği: = ( + cos ) + ( sin ) 1 Orijinal hareket reel eksen boyunca verildiğinden harmonik hareketin toplamı Faz açısı: = tan 1 sin + cos 1 Re[] = cos( t+ ) 13
Harmonik hareketlerin vektörel gösterimi 0 y Im 1 1 t = 0 cos sin x Re 1 ve vektörleri aynı açısal hız ile döndüğünden vektörlerin sadece arasındaki faz açısı dikkate alınır. t = 0 alınarak vektör toplamı grafiksel olarak şekildeki gibi bulunabilir. Burada vektörü aşağıdaki şekildedir: = e = ( e ) e = ( cos + j sin ) e j( t + ) j jt jt = e jt = e j kompleks genlik veya vektörünün fazoru olarak isimlendirilir. 14
Harmonik hareketlerin vektörel gösterimi Harmonik fonksiyonların cebirsel toplamı (üstel fonksiyon işlemleri) = + = e + e = ( + e ) e jt j( t+ ) j jt 1 1 1 = ( + cos + j sin ) e 1 = e e = e j jt j( t+ ) jt burada = ( + cos ) + ( sin ) 1 = tan + 1 1 sin cos 15
Harmonik hareket Aynı frekansta fakat farklı faz açısında olan iki harmonik fonksiyonun toplamı yine aynı frekansta bir harmonik fonksiyondur. x = cos t 1 1 x = cos( t + ) x = x + x = cost + cos( t + ) 1 1 = cos t + (cost cos sint sin ) 1 = ( + cos ) cost 1 = (cos cost sin sin t) = cos( t + ) sin sint = ( + cos ) + ( sin ) 1 sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos sin sin = tan 1 sin + cos 1 16
Harmonik hareket %harmonik1.m %Harmonik hareket(ayni frekans farkli faz) 1=5; =3; w=pi; alfa=pi/6; %faz 8 6 4 x x 1 x =sqrt((1+*cos(alfa))^+(*sin(alfa))^); beta=atan((*sin(alfa))/(1+*cos(alfa))); t=0:0.01:4; x1=1*cos(w.*t); x=*cos(w.*t + alfa); x=*cos(w.*t + beta); plot(t,x,t,x1,'r--',t,x,'b:') xlabel(' Zaman [ s ]') ylabel(' x, x_1, x_') legend('x','x_1','x_') x, x 1, x 0 - -4-6 -8 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 Zaman [ s ] 17
Harmonik hareket Farklı frekanstaki iki harmonik hareketin toplamı harmonik değildir. x = cos t 1 x = cos t 1 x = x + x = cos t + cos( + ) t 1 = [cos t + cos( + )] = cos t cos( + ) t 6 x 1 Birbirine çok yakın farklı frekanstaki iki harmonik hareketin oluşturduğu bu duruma vuruntu (beat) denmektedir. Vuruntu frekansı: f + = f f = = b 1 4 x 1 x %beat.m w=3**pi; eps=0.1**pi; =3; x, x 1, x 0 - -4 t=0:0.01:15; x1=*cos(w.*t); x=*cos((w+eps).*t ); x=x1+x; %x=**cos((eps/).*t).*cos((w+eps/).*t); plot(t,x,t,x1,'r--',t,x,'b:') xlabel(' Zaman [ s ]') ylabel(' x, x_1, x_') legend('x','x_1','x_') -6 0 5 10 15 Zaman [ s ] 18
Harmonik analiz Harmonik hareketin basit olmasına rağmen bir çok titreşim sisteminin hareketi harmonik değildir. Bununla birlikte bir çok durumda periyodiktir. Herhangi bir periyodik fonksiyon sonsuz sayıdaki sinüs ve kosinüs terimlerin toplamı olan Fourier serisi olarak temsil edilebilir. Periyodik fonksiyonlar F( t) periyodik bir fonksiyon olsun. F( t) nin Fourier serisine açınımı: a F t a t a t b t b t 0 ( ) = + 1 cos + cos + + ( 1sin + sin + ) 19
Harmonik analiz Any periodic function of time can be represented by Fourier series as an infinite sum of sine and cosine terms. 0
Periyodik mekanizmalar Fiziksel olarak periyodik hareket üreten mekanizmalar vardır. Bunların en bilineni kam mekanizmalarıdır. Şahmerdan çekiçleri dövme esnasında periyodik hareket üretir. 1
Harmonik analiz a 0 F() t = + ( ancos nt + bn n= 1 sin nt) a b Periyodik fonksiyonun temel frekansı n=1 iken 0 n, n sonsuz serinin katsayılarıdır. değeri F( t) nin ortalama değeridir. = degeri F(t) fonksiyonunun peryodudur. = a Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki şekilde hesaplanabilir: a0 = F() t dt 0 an = F( t)cos nt dt 0 bn = F( t)sin nt dt 0
Harmonik analiz Şekildeki kare dalga için Ft ( ) 1 0 t / = 1 / t fonksiyonu verilmektedir. Fourier serisi analizi yaparak kare dalga formatı üretecek ifadeyi elde ederek Matlab de çizim yapınız. 3
Harmonik analiz / a0 = F( t) dt (1) dt ( 1) dt = + 0 0 / / t t 0 / = = 0 ( ) = 0 / a1 = F( t)cos t dt cos t dt ( 1)cos t dt = + 0 0 / / 1 1 = sint sint = sin 0 (sin sin ) 0 / hareketin periyodu = olduğundan = a1 = sin 0 (sin sin ) 0 = alınıra s a n = 0 4
Harmonik analiz / b1 = F( t)sin t dt sin t dt ( 1)sin t dt = + 0 0 / / 1 1 = cost cost 0 / = alınırsa / 1 1 b1 = cos t cos t = (cos cos 0) + (cos cos ) 0 / 1 1 4 = ( ) + () = b b 3 = 0 4 = 3 5
Harmonik analiz bn = F( t)sin t dt = 0 / n 1 n = cos t cos t n 4 n tek sayı ise = n 0 n çift sayı ise 0 / a F t a n t b n t 0 ( ) = + ( ncos + nsin ) n= 1 = 1 4 1 1 1 F( t) = sin t sin 3t sin 5t sin 7t + + + + 3 5 7 4 1 n = sin t n = 1,3,5 n n 6
Harmonik analiz % karedalga.m % Harmonik analiz kare dalga cizimi t=0:0.01:7; F=square(1*t); Fh=(4/pi)*(sin(t)+(1/3)*sin(3*t)+(1/5)*sin(5*t) +(1/7)*sin(7*t)); plot(t,f,t,fh,'r--'); axis([0 7-1.5 1.5]); xlabel(' Zaman [ s ]'); ylabel(' F, F_h'); legend('f','f_h'); 7
Harmonik analiz 8
Zaman ve Frekans domeni ilişkisi Genel olarak periyodik bir titreşim sinyali içinde sinyali oluşturan frekans bileşenlerinin sayısı kadar pikler frekans spektrumunda elde edilir. 9
Ödev Şekildeki testere dişi dalga için t F( t) = A 0 t fonksiyonu verilmektedir. Fourier serisi analizi yaparak testere dalga formatı üretecek ifadeyi(ilk dört terim) elde ederek Matlab de çizim yapınız. 30
Ödev The impact force created by a forging hammer can be modeled as shown in the following Figure. Determine the Fourier series expansion of the impact force. xt () Asin( t) 0 t = 0 t Fonksiyonunu kullanarak Fourier serisi analizi yaparak şekildeki dalga formatı üretecek ifadeyi(ilk beş terim) elde ederek Matlab de çizim yapınız. 31