tüdergs/d mühendslk Clt:7, Sayı:3, 5-62 Hazran 2008 Krgng yöntemnn geot modellemesnde kullanılablrlğnn araştırılması Servet YAPRAK*, Ersoy ARSLAN İTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Jeodez ve Fotogrametr Programı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Geot, ağırlık potansyelnn sabt olduğu ortalama denz yüzeyne yakın br yüzeydr. GPS le bulunan enlem ve boylam değerler doğrudan kullanılmakta ancak elpsodal yükseklk (h) değerlernn ortometrk yükseklğe (H) dönüştürülmes gerekmektedr. Dönüşüm çn yeterl doğrulukta geot yükseklklernn blnmes gerekmektedr. Geot yükseklkler belrleme teknkler çersnde en yaygın kullanılanı GPS/Nvelman teknğdr. BÖHHBÜY dönüşüm çn yerel GPS/Nvelman geod kullanılmasını öngörmektedr. Bu çalışmada, İstanbul Metropolten alanlarında GPS/Nvelman yöntem le geot belrlemek çn determnstk ve Krgng enterpolasyon yöntemler karşılaştırılarak, Krgng yöntemnn geot yüzey modellemesnde kullanılablrlğnn araştırılması yapılmıştır. Uygulamada, ArcGIS 8.3 Geostatstcal Analyst yazılımı kullanılmıştır. Dayanak nokta yoğunluğunun geot hesabına etksn araştırmak çn İstanbul da 50 (~ 00 km 2 ye br nokta), 200 (~ 25 km 2 ye br nokta), 393(~ 3 km 2 ye br nokta) ve 434 (~ 2 km 2 ye br nokta) noktalı geot yüzeyler oluşturulmuştur. Test çn 50 nokta seçlmş ve bu noktaların determnstk ve geostatstk enterpolasyonla N HESAP değerler hesaplanmıştır. N HESAP-ÖLÇÜ fark değerlernden, farkların maksmum, mnmum ve ortalama değerler le karesel ortalama hatalar karşılaştırılarak en uygun yüzey veren yöntem seçm yapılmıştır. Çalışmalar sonunda, Krgng yöntem le geot belrleme sonuçlarının determnstk yöntemlerden daha preszyonlu olduğu, Ordnary Krgng yöntemnn Smple Krgng yöntemnden bulunan sonuçlardan daha preszyonlu olduğu saptanmıştır. Multquadratk yöntemle bulunan sonuçların Krgng yöntemlernden bulunan sonuçlara çok yakın olduğu ve multquadratk yöntemn en y sonucu veren determnstk yöntem olduğu, preszyonu arttırmak çn nokta yoğunluğunu arttırmaktan çok ver kaltesn arttırmak gerektğ saptanmıştır. Anahtar Kelmeler: Geostatstk, determnstk, enterpolasyon, geot. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Servet YAPRAK syaprak@gop.edu.tr; Tel: (356) 252 6 6. Bu makale, brnc yazar tarafından İTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Jeodez ve Fotogrametr Mühendslğ Programında tamamlanmış olan "Krgng yöntemnn geot yüzey modellemesnde kullanılablrlğnn araştırılması ve var olan yöntemlerle karşılaştırılması" adlı doktora teznden hazırlanmıştır. Makale metn 7.0.2007 tarhnde dergye ulaşmış, 2.03.2007 tarhnde basım kararı alınmıştır. Makale le lgl tartışmalar 0.02.2009 tarhne kadar dergye gönderlmeldr.
S. Yaprak, E. Arslan Searchng the use of Krgng method on geod surface modelng Extended abstract The geod s a representaton of the surface of earth that assumes the sea s covered the earth, also known as surface of equal gravtatonal attracton and mean sea level. The man functon of the geod n geodesy s to serve as a reference surface for levelng. The elevaton measured by levelng s relatve to the geod. Three dmensonal coordnates that are easly obtaned by GPS easly; are wdely used n such applcatons as large-scale map producton and engneerng applcatons. The lattude and longtude values obtaned by GPS are used drectly, but ellpsodal heght (h) values must be transformed nto orthometrc heghts (H). In many surveyng and engneerng applcatons, orthometrc heghts are requred. Ellpsodal heghts have geometrc meanngs n practcal surveyng, engneerng, and geophyscs and n other applcatons, and they bear no physcal meanngs. For the transformaton from ellpsodal heghts to orthometrc heghts, whch are used n applcatons, geod heghts (N) must be known wth requred accuracy. Several technques can be used for determnaton of geod heghts. Most commonly used method for the determnaton of geod s the combnaton of GPS data and levelng measurements. The by laws for large scale map producton s requred to be changed and allow to GPS applcatons, as parallel to the augmentaton n applcaton of the GPS technque. The new draft bylaw contans observaton and calculaton methods for obtanng orthometrc heghts by GPS, as well. One of them s determnng the heght of the geod by GPS/Nvelman method. In ths study, compared wth classcal methods by the determnstc and Krgng nterpolaton methods for determnng the geods by GPS/Nvelman method n Istanbul Metropoltan Surface determnstc and Krgng nterpolatons were calculated by known geod undulaton (N MEASURE ) values performed by usng ArcGIS 8.3 Geostatstcal Analyst software. Geostatstcal Analyst provdes determnstc and geostatstcal nterpolaton methods. Determnstc nterpolaton technques (nverse dstance weghted, radal bass functons, and local polynomal nterpolaton) should not be used for decson makng, because they do not provde nformaton on how good ther predctons are. Geostatstcal nterpolaton technques (e.g., krgng) can be chosen based on the result of exploratory spatal data analyss and dagnostcs (cross valdaton and valdaton). Determnstc methods use predefned mathematcal functons for nterpolaton. Geostatstcal methods rely on statstcal features of the data. Geostatstcal Analyst provdes the necessary tools for data exploraton and varography analyss. Krgng s based on the assumpton that the parameter beng nterpolated can be treated as a regonalzed varable. A regonalzed varable s ntermedate between a truly random varable and a completely determnstc varable n that t vares n a contnuous manner from one locaton to the next and therefore ponts that are near each other have a certan degree of spatal correlaton. Krgng s a set of lnear regresson routnes whch mnmze estmaton varance from a predefned covarance model. Ths method uses varogram to express the spatal varaton, and t mnmzes the error of predcted values whch are estmated by spatal dstrbuton of the predcted values. Besdes, whle the Geod Model was formng; the effect of control pont frequency to computed geod heght values was nvestgated. To study the effect of pont frequency to the countng of geod, geod surfaces were formed wth 50(~one pont to 00 km 2 ), 200(~one pont to 25 km 2 ), 393 (~one pont to 3 km 2 ) and 434(~one pont to 2 km 2 ) ponts n Istanbul. For testng wth nterpolatons, 50 test ponts were chosen and N CALCULUS values were counted by varous determnstc and geostatstcal nterpolatons. N CALCULUS-MEASURE dstncton values were found by subtractng N CALCULUS values from measurement values that were found by N GPS/NİVELMAN method. Mean square errors and maxmum, mnmum and mean error values were calculated for all methods. By comparng of these values, the method that gves the most sutable surface was chosen. It was found that the results of determnng geod by Krgng method were more precse than determnstc methods. The results of Ordnary Krgng method were more precsely than Smple Krgng method s results but the maps produced by Smple Krgng method were more esthetc than the other equal geod heght maps. The results found by multquadratc method between determnstc methods were close to the results found by Krgng method and multquadratc method gave the best results. For ncreasng precesson augmentaton of survey qualty s better than augmentaton of model ponts. Keywords: Geostatstc, determnstc, nterpolaton, geod. 52
Krgng yöntemnn geot modellemesnde kullanılablrlğnn araştırılması Grş GPS teknğ le WGS84 referans elpsod sstemne dayalı olarak jeodezk amaçlar çn üç boyutlu coğraf koordnatlar: elpsodal enlem (φ), boylam (λ) ve elpsodal yükseklkler (h), olarak elde edlrler. Ancak çoğu mühendslk çalışmasında elpsodal yükseklkler yerne, çoğunlukla geode göre tanımlanan ortometrk yükseklklere (H), gereksnm duyulur. Bu nedenle, GPS teknğ le elde edlen elpsodal yükseklklernn ortometrk yükseklklere en uygun bçmde dönüştürülmes gerekr. Geot karmaşık br yüzeydr ve matematksel olarak kolayca tanımlanamaz. Yeryuvarının şeklnn 872 yılında Lstng tarafından tanımlanması ve Geot olarak adlandırmasından sonra, bu şekln belrlenmes jeodeznn önde gelen çalışma alanlarından brs olmuştur (Aksoy ve Güneş, 990). Br referans yüzey olarak yükseklk sstemlernde kullanılacak br geode güncel teknolojy kullanan herkesn htyacı vardır. Çünkü geot, yüksek preszyonlu jeodezk koordnatlar le uydularla elde edlen konumlar arasındak doğal bağdır. Bu nedenle uydu teknklernn rasyonel kullanılmasında geot öneml br altyapıdır (Aksoy vd., 999). Geot modeller yerel, bölgesel veya küresel alanlar çn gelştrleblr. Geot belrleme, yatay konumu blnen br noktada, geot yükseklğnn sayısal veya analog olarak elde edlmesn sağlayacak bçmde verlern modellendrlmesdr (Ayan ve Denz, 2000). Ortometrk yükseklklern elde edldğ nvelman ölçmeler oldukça fazla zaman ve şgücü gerektren, uygulanması zor ve ekonomk olmayan br ölçme teknğdr. Bu nedenle, nvelman ölçmelern mnmum düzeye ndrecek çözümlern kullanılması gerekmektedr. 23.05.2005 tarhnde yürürlüğe gren BÖHHBÜY kapsamında büyük ölçekl hartacılık çalışmalarında ve mühendslk ölçmelernde nokta yükseklk blgs üretmeye yönelk geot modellernn kullanıldığı çeştl çözüm seçenekler sunulmaktadır. BÖHHBÜY ne göre ortometrk yükseklklern hesabında geot modelnn kullanılması çn önerlen yöntemler aşağıdadır: Büyük Ölçekl Harta ve Harta Blgler Üretm Yönetmelğ TG99A geodnn doğrudan kullanılması, TG99A geot modelnn yerel GPS/ Nvelman geot ölçüleryle güncelleştrlerek kullanılması, Baz vektörlernde elpsot ve TG99A geot yükseklk farklarından elde edlen ortometrk yükseklk farklarının br nvelman ağı şeklnde dengelenmes, Yerel GPS/Nvelman geot modelnn oluşturulması (Kılıçoğlu ve Fırat, 2003). Bu çerçevede bu çalışmada amaç günümüz jeodezk uygulamalarının en öneml problemlernden br olan yerel alanlarda geodn yüzeynn modellemesnde Krgng yöntemnn uygulanablrlğn araştırmak ve kullanılan yöntemlerle karşılaştırmaktır. Geok ondülasyonlarının hesaplanmasında enterpolasyon yöntemler Geot yükseklğn belrleme teknkler çersnde en yaygın olarak kullanılanı, bölgede elpsodal ve ortometrk yükseklğ blnen ve topografyayı en y temsl eden noktalardan yararlanarak, analtk br yüzey geçrmektr. Yüzey geçrlmes le elde edlen matematksel model, GPS ölçüsü yapılan noktalardak ortometrk yükseklklern belrlenmesnde kullanılır (Güler, 978). Problemn çözülmesnde farklı ve çok çeştl enterpolasyon yöntemler kullanılablr. Bu yöntemlern br bölümünde dayanak noktalarındak yükseklkler hatasız kabul edlr, br bölümünde dengeleme ya da düzensz hataların fltrelemes yapılır. O bölge çn seçlmş olan enterpolasyon yöntem ne kadar uygunsa, hesaplanan geot yükseklğ değer le gerçek değer arasındak fark o denl küçük olur. Matematksel olarak; E { N hesap } = N gerçek () olması stenr. Pratkte bunun gerçekleşmes zordur (Akçın,998). Determnstk yöntemler Ağırlıklı artmetk ortalama le enterpolasyon Br bölgede, geot ondülasyonu GPS /Nvelman le belrlenmş n sayıda dayanak noktası olduğunu varsayalım. Bu durumda dğer noktalardak geot ondülasyonu; 53
S. Yaprak, E. Arslan P = S N= n = n N P = P eştlğ le hesaplanır (Erkanlı,986). Burada; (2) (3) N :Geot ondülasyonu, S :Geot ondülasyonu belrlenecek nokta le dayanak noktası arasındak uzunluk, P :Ağırlıktır. Polnomlarla enterpolasyon Çalışılan bölge tek br fonksyonla fade edlr. Dayanak noktalarının x,y koordnatları ve N geot ondülasyonundan yararlanarak fonksyon katsayıları belrlenr. Yüzey genellkle k değşkenl yüksek dereceden polnomlarla tanımlanır. Ortogonal polnomlarla enterpolasyonda; N(x,y)= n k k = 0 j = k = a j x y (4) Burada, a j :Polnomun blnmeyen katsayıları x, y : Noktaların düzlem koordnatları n: Yüzeyn dereces, j (x,y ) koordnatlarının üssü olan poztf tamsayıları göstermektedr (Yanalak ve İnce,997). Ortogonal olmayan polnomlarla enterpolasyonda se, n n N(x,y)= = j = aj x y 0 (5) eştlğnden yararlanılır. Burada; dayanak noktası sayısı blnmeyen sayısından fazla se a j katsayıları en küçük kareler yöntemne göre dengeleme le hesaplanır. Multkuadratk enterpolasyon Bu enterpolasyon teknğnde blnen tüm dayanak noktaları kullanılarak tek br fonksyon le yüzey tanımlanmaktadır, analtk br çözümleme teknğdr. Teknğn uygulanablmes çn önce br trend yüzey geçrlr. Trend yüzey olarak brnc ya da knc dereceden polnom kullanmak uygundur (Fogel ve Tınney, 996). Multkuadratk enterpolasyon teknğnde, br noktadak geot ondülasyonu bu noktanın x,y düzlem koordnatları kullanılarak; n 2 2 trend ( ) ( ) = N( x, y) = N + c x x + y y (6) eştlğ le hesaplanır.(6) eştlğnde; n: dayanak noktalarının sayısı C : dayanak noktalarının blnen N (x,y) değerlernden yararlanarak hesaplanan katsayılar. Geostatstksel yöntemler Yöntemn genel esasları Geostatstk, statstğn uygulamalı br dalı olup, lk olarak yerblmlernde karşılaşılan kestrm problemlernn çözümüne yönelk olarak ortaya çıkmıştır. Geostatstkte gözlemlern yapıldığı noktaların konumları ve gözlemler arası korelasyon dkkate alınarak yansız ve mnmum varyanslı kestrmler yapılablmektedr (Matheron, 963). Geostatstk yöntemlerle yapılan br analz dört ana gruba ayırablrz.. Bölgesel değşkenn değerler arasındak farkların, uzaklığa bağlı değşmlern belrlemeye yarayan yarıvarogram modellernn tespt edlmes,. Yarıvarogram modellernn test edlmes,. Krgng tahmn teknğ le noktasal, alansal veya br hacm temsl eden tahmnlern yapılması, v. Yapılan tahmn hatalarının belrlenmes, Geostatstksel br çalışmada bu unsurların hepsnn sstematk olarak yapılması gerekr (Vera vd., 983). Geostatstkte bölgesel değşkenn değerler arasındak farkın uzaklığa bağlı değşmler varogram fonksyonu le ortaya konur. Varograf ve Krgng geostatstk araçlardır. Varograf, örnek noktalar arasındak konumsal korelasyonu ncelğ, mktarı hesaplama ve modelleme olanağı sağlar. Ayrıca, krgng varografde olduğu gb ölçülen değerlerden ve onla- 2 54
Krgng yöntemnn geot modellemesnde kullanılablrlğnn araştırılması rın konumsal lşklernden enterpolasyon yapma olanağı sağlar (Rohuan ve Wackernagel, 990). Yarıvarogram sabt br mesafe bölümlerne ayrılmış olası noktalar arasındak farkların varyanslarının yarısıdır (Isaaks ve Srvastava, 989). Teork olarak, elde edlen deneysel varogram yapısını temsl eden varogram modelnn belrlenmes gerekmektedr. Bunun çn öncelkle teork varogram modeller ve parametreler y blnmeldr. Yarıvarogram değer aşağıdak formülden belrlenr (İnal ve Yğt, 2003). n( s) 2 γ(s)= ( N( x y ) N( x j, y j ) (7) 2n( s) hj 2 2 s j= ( x x j ) + ( y y j ) (8) s j= ve j noktaları arasındak yatay uzaklık. n(s)= s mesafedek nokta çftler sayısı N = noktasındak geot ondülasyonu N j = j noktasındak geot ondülasyonu γ(s)= s mesafedek yarıvarogram değer Tablo. Bazı teork varogram modeller (Burrough ve McDonnell, 998; Mert, 2005) Varogram dodel Denklem Küresel Model γ(s)=c 0 +C[3/2(s/a) 2 (s/2a) 3 ] Üssel Model γ(s)= C 0 +C(-e -(-s/a ) Gauss Model γ(s)= C 0 +C(-e -(-3s2/a2) ) Doğrusal Model γ(s)= C 0 +C(s/a) Hole Effect Model γ(s)= C 0 +C(-e n cos θ) Teork varogramlar eştlk (7) le hesap edlen deneysel varogramlardan yararlanarak belrlenr, ya da Krgng le varogram fonksyonu arasında çapraz doğrulama teknğ kullanılır. Yarıvarogram model parametrelernn belrlenmesnde çapraz doğrulama teknğ kullanılır. Gerçek yarıvarogram fonksyonuna lşkn br model ve bu modele lşkn parametreler seçlr. Daha sonra ver setnden gerçek değer blnen br örnek uzaklaştırılır ve bu değer gerçek değer blnmyormuş gb, noktasal krgng kestrm teknğ le tahmn edlr. Gerçek değerle kestrm değer arasındak fark hesaplanır. Bulunan ndrgenmş hataların beklenen değerlernn 0 a ve varyansların da e yakın olup olmadığına bakılır. Kestrm hatalarının kareler ortalaması, krgng varyanslarının ortalamasına eşt ya da küçük olmalıdır Dğer br karar verme teknğ se, gerçek değerlern, kestrlen değerler üzerndek doğrusal regresyonu orjnden geçen 45 derece eğml br doğru olmasıdır. Bu koşullu yansızlık olarak blnr. Krgng tahmn Krgng yöntemne BLUE (Best Lnear Unbased Estmator) adı verlr (Boogaart ve Schaeben, 2002). Bu, tahmn hatasını mnmum olması şartına göre ağırlıkların belrlenmesdr ve bu Krgng yöntemn öneml özellklerden brdr (Isaak ve Srvastava, 989; İnal ve Yğt, 2003). Yöntemn dğer br üstünlüğü, krgng varyansı aracılığı le kestrm hatasının büyüklüğünü değerlendrecek br olanak sunmasıdır (Tercan ve Saraç, 998). Bugün yaygın olarak kullanılan Krgng yöntemler aşağıda sıralanmıştır (Yğt, 2003): Smple Krgng Ordnary Krgng Unversal Krgng Block Krgng Indcator Krgng Dsjunctve Krgng Cokrgng olarak gelştrlmştr. Bu çalışmada sadece smple Krgng ve Ordnary Krgng uygulaması yapılacaktır. Ordnary Krgng yöntem Ordnary Krgng n lk adımı enterpole edlecek noktalar kümesnden varogram oluşturmaktır. İknc aşamada deneysel varogramdak trend modelleyen bast matematksel fonksyon olan teork varogram bulunur. Ordnary Krgng yöntemnde blnmeyen değerlern belrlenmes değşkenlern durağan ve ortalamanın sabt olduğu varsayımına göre gerçekleştrlr. Varogram fonksyonundan ağırlıkların belrlenmesnde tahmn ağırlıkları varogram modellerne 55
S. Yaprak, E. Arslan dayanır. Ordnary Krgng de kullanılan temel eştlk, N P n = = P * N (9) dr. Burada; n= model oluşturan nokta sayısı N = N n hesabında kullanılan noktaların ondülasyon değerler N P = Aranılan ondülasyon değer P = N n hesabında kullanılan her N değerne karşılık ağırlık değerlerdr. Bu eştlk aslında IDW enterpolasyonu çn kullanılan eştlğn benzerdr. Fark burada ağırlığın sadece mesafeye dayanmayıp ağırlığın model varograma dayanmasıdır (Lang, 2006). Smple Krgng yöntem Smple krgng enterpolasyon Ordnary Krgng e benzer ancak, ağırlıkların toplamının e eşt olması yerne burada ağırlık ver setlernn ortalaması le bulunur. Smlpe krgng yöntemnde ortalama değer blnmektedr (Klejnen, 2006). Smple Krgng yöntemnde noktaların enterpolasyonu genelleştrlmş lneer regrasyon altında 2. derece durağanlık varsayımı ve blnen ortalamaya dayanır (Burrough ve Mc Donnell, 998). Materyal ve yöntem Bu çalışmada kullanılan verler, 999 yılında İ. B.B. tarafından İGNA projes kapsamında yaptırılan ve Yılmaz (2005) çalışmasında kullanılan verlerdr. Krgng yöntem le geot yüzeynn belrlenmes ve var olan yöntemlerle karşılaştırılması amacı le çalışma alanı olarak 40 45' ".46 le 4 29' ".07 enlemler arası, 27 57' 36".06 le 29 4' 50".69 boylamları arası İstanbul İl Metropolten alanı seçlmştr. 50 (~ 00 km 2 ye br nokta), 200 (~ 25 km 2 ye br nokta), 393(~ 3 km 2 ye br nokta) ve 434 (~ 2 km 2 ye br nokta) dayanak noktalı dört ayrı model oluşturulmuştur. Ayrıca bu modellern test çn 50 adet test noktası seçlmştr. Determnstk enterpolasyonda 6. derece global polnomlarla enterpolasyon (GPI6), mesafenn ters ağırlıkla enterpolasyon (IDW), multquadratk enterpolasyon (MULT) ve nvers multquadratk enterpolasyon (INVMUL) yöntemler le lokal polnomlarla enterpolasyon (LPI) yöntemler uygulanmıştır. Geostatstk enterpolasyon uygulamaları çn sırası le brnc derece, knc derece ve üçüncü derece trend üzernde hesap yapılan OK, OK2, OK3 Ordnary Krgng enterpolasyonları ve teork varogram modeller sırası le küresel ve daresel model seçlerek SK ve SK2 Smple Krgng uygulamaları gerçekleştrlmştr. Çalışmada ArcGIS Geostatstcal Analyst yazılımı kullanılmış ve her uygulamanın geot eş yükseklk hartası üretlmştr. Deneysel çalışma Verlern test yazılımda statstk ve görsel olarak gerçekleştrlmştr. Tablo 2. Dayanak noktalarının hstogram statstkler İST50 İST200 İST393 Sayı 50 200 393 Mnmum 35.833 35.833 35.833 Maksmum 38.238 38.238 38.238 Ortalama 37.07 37.009 36.965 Ortanca 36.933 36.940 36.855 Yamukluk -0.006 0.029 0.0359 Basıklık 2.463 2.46 2.538 St. Sapma 0.569 0.478 0.448. dördül 36.69 36.75 36.79 3. dördül 37.44 37.49 37.402 Bunun çn 434, 393, 200 ve 50 dayanak noktaları hstogram grafğ, trend analz ve QQPlot grafkler le test edlerek dağılım ve trend analz testler yapılmıştır. Tablo 2 de dayanak noktalarının hstogram statstkler görülmektedr. Hstogram grafğnden ve statstk sonuçlarından verlern normal dağılımlı olduğu, trend analznde de verlern dağılımının enterpolasyon çn 2 ve 3 derece polnomal yüzeye uygun olduğu görülmüştür. Modellern determnstk ve krgng enterpolasyonlarla test edlmes 434, 393, 200 ve 50 dayanak noktaları le model oluşturulup dayanak noktalarının determnstk 56 54
Krgng yöntemnn geot modellemesnde kullanılablrlğnn araştırılması ve geostatstk enterpolasyonlarla N HESAP değerler bulunmuştur. N HESAP-ÖLÇÜ farkları hesaplanarak her model ve yöntem çn N HESAP-ÖLÇÜ farklarının maksmum, mnmum, ortalama ve KOH değerler, N HESAP-ÖLÇÜ farklarının ± 5 cm değernden büyük çıktığı nokta sayısı hesaplanarak dayanak noktalarından oluşturulan modeller test edlmştr. Bulunan sonuçlar Tablo 3 de özetlenerek sunulmuştur. Tablo 3 ncelendğnde; 434 noktalı modelde, LPI ve multquadratk. yöntemlerde farkların KOH değerlernn sırası le ± 3.97 cm ve ± 3.99 cm le dğer determnstk yöntemlerden daha y sonuç verdğ görülecektr. Ayrıca 434 noktadan sadece sırası le 56 ve 49 noktada ± 5 cm den büyük fark oluştuğu görülmektedr. Bu bze determnstk yöntemlerde en y model oluşturan yöntemn multquadratk yöntem olduğunu göstermektedr. Krgng yöntem le enterpolasyon sonuçlarına baktığımızda KOH değerlernn OK2 ve OK3 uygulamalarında sırası le ± 3.46 le ± 3.26 cm hesaplandığını, aynı şeklde 434 noktadan sadece 34 ve 37 noktada ± 5 cm den büyük fark oluştuğunu görüyoruz. Determnstk ve Krgng yöntemler karşılaştırıldığında; Krgng yöntemler le bulunan sonuçların hem KOH değerler, hem de ± 5 cm den büyük fark değerne sahp nokta sayısı bakımından daha y olduğu görülmektedr. 393 noktalı modelde, multquadratk yöntemn ± 3.70 cm KOH değerler le dğer determnstk yöntemlerden daha y sonuç verdğ görülecektr. Ayrıca 393 noktadan sadece 30 noktada ± 5 cm den büyük fark oluştuğunu görüyoruz. Krgng yöntem le enterpolasyon sonuçlarına baktığımızda; KOH değerlernn OK2 ve OK3 uygulamalarında sırası le ± 3.35 cm le ± 3.33 cm hesaplandığını, 393 noktadan sadece 40 noktada ± 5 cm den büyük fark oluştuğunu görüyoruz. Determnstk ve Krgng yöntemler karşılaştırıldığında; Krgng yöntemler le bulunan sonuçların hem KOH değerler, hem de ± 5 cm den büyük fark değerne sahp nokta sayısı bakımından daha y olduğunu görüyoruz. 200 noktalı modelde, yne multquadratk enterpolasyon yöntemnde N HESAP-ÖLÇÜ farklarının KOH değer ± 5.32 cm değer le dğer determnstk yöntemlerden daha y sonuç vermştr. 200 model noktasından sadece 55 noktada ± 5 cm den büyük fark oluştuğu görülmektedr. Burada nokta yoğunluğunun 25 km 2 ye br noktadan az nokta düştüğünden doğruluk azalmaktadır. Krgng yöntem le enterpolasyon sonuçlarına baktığımızda KOH değerlernn OK2 ve OK3 uygulamalarında ± 4.06 cm le ± 4.37 cm aralığında olduğu ve aynı şeklde 200 noktadan sadece 43 noktada ± 5 cm den büyük fark oluştuğunu görüyoruz. Determnstk ve Krgng yöntemler karşılaştırıldığında; Krgng yöntemler le bulunan sonuçların hem farkların KOH değerler, hem de ± 5 cm den büyük fark oluşan nokta sayısı bakımından daha y olduğu görülmektedr. Yazılım, modellern statstk sonuçlarını çapraz olarak karşılaştırma olanağı da tanımaktadır. Modeller karşılaştırılarak ortalama hata ve KOH değer 0 a ve standart KOH değer e en yakın model en y geot model olarak seçlmştr. Şekl de karşılaştırma penceres görülmektedr. 50 noktalı modelde multquadratk enterpolasyon yöntemnde farkların KOH değernn ± 9.72 cm le dğer determnstk yöntemlerden daha y sonuç verdğ, görülmektedr Burada dayanak nokta sayısının düşmes le KOH değerlernn ortalama ± 0 cm ye yaklaştığı, dğer determnstk uygulamalarda ± 5 cm y geçtğ görülüyor. Krgng yöntem le; farkların KOH değerlernn OK2 ve OK3 uygulamalarında ± 6.37 cm le ± 6.84 cm değerler le yne determnstk yöntemlerden ve SK uygulamalarından daha y olduğu görülmektedr. Geot modellernden test noktalarının hesaplanması Her modelde 50 test noktasının N HESAP değerler bulunup N HESAP-ÖLÇÜ farklarının maksmum, mnmum, ortalama ve KOH değerler, farkların mutlak değer ortalamaları ve N HESAP-ÖLÇÜ farklarının ± 5 cm değernden büyük çıktığı nokta sayısı hesaplanarak test noktaları çn bulunan sonuçlar Tablo 4 te karşılaştırılmıştır. Tablo 4 ncelendğnde her modelde 50 test noktası çn hesaplanan farkların KOH değerler ve mutlak değer ortalamalarının determnstk enterpolas-yonlardan multquadratk yöntemde, krgng enterpolasyonlarda se knc ve üçüncü 55 57
S. Yaprak, E. Arslan Tablo 3. 434, 393, 200 ve 50 dayanak noktalı modellerde determnstk ve geostatstk enterpolasyonla hesaplanan N HESAP-ÖLÇÜ farklarının statstk sonuçları (cm) Model 434 DAYANAK 393 DAYANAK 200 DAYANAK 50 DAYANAK GP6 LPI7 IDW MUL T IMUL OK OK2 OK3 SK SK2 MAK 60.6 28.00 29.23 30.80 4.86 24.98 27.75 7.60 40.29 39.2 MİN 0.0 0.00 0.02 0.00 0.00 0.0 0.00 0.00 0.02 0.0 ORT -0.03 0.04-0.32-0.08-0.8-0.32-0.0-0.06-0.0-0.0 KOH 5.0 3.99 5.3 3.97 5.63 3.80 3.46 3.26.0 0.98 >5 cm 75 56 90 49 93 50 37 34 48 47 MAK 20.58 60.45 29.23 30.80 4.86 7.06 3.7 7.43 25.09 23.83 MİN 0.0 0.0 0.02 0.00 0.00 0.0 0.0 0.00 0.02 0.02 ORT -0.03-0.20 0.22 0.05 0.2 0.32 0.0 0.02 0.04 0.07 KOH 3.93 5.02 5.00 3.70 5.40 3.67 3.35 3.33 4.38 3.76 > 5 cm 75 74 55 30 92 59 42 40 49 49 MAK 37.02 52.02 42.77 28.95 37.33 69.5 4.2 3.80 8. 39.2 MİN 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ORT 0.5 0.25 0.43 0.5 0.32 0.69 0.0 0.06 0.09 0.08 KOH 6.06 6.58 7.74 5.32 6.20 5.00 4.37 4.06 5.73 5.69 > 5 cm 50 49 8 54 55 79 44 44-56 MAK 68.25 39.86 50.46 27.96 28.56 39.67 23.82 23.97 37.97 37.47 MİN 0.09 0.00 0.08 0.09 0.67 0.02 0.05 0.0 0.05 0.69 ORT -4.75 -.08-0.0 0.42 0.33 -.83-0.72-0.37-0.6-0.20 KOH 33.48 9.0 7.52 9.72 0.76 3.2 6.37 6.84 3.04 2.57 >5cm 22 6 34 26 29 30 0 3 33 33 Şekl. Çapraz karşılaştırma penceres 58 54
Krgng yöntemnn geot modellemesnde kullanılablrlğnn araştırılması Tablo 4. 434,393, 200 ve 50 dayanak noktalı modellerden 50 test noktası çn hesaplanan N HESAP- ÖLÇÜ farklarının statstk sonuçlar (cm) GPI6 LPI IDW MUL T IMULT OK OK2 OK3 SK SK2 434 DAYANAK 393 DAYANAK 200 DAYANAK 50 DAYANAK MAK 8.3 7.04 5.08 6.85 0.04 8.7 5.77 4.90 6.88 6.88 MİN 0.08 0.9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ORT -0.5-0.8 0.00-0.4-0.9-0.2-0. -0.03-0.4-0.4 KOH 3.30 3.05.0.2.67.34.02 0.93.2.0 MORT 2.5 2.44 0.3 0.3 0.47 0.36 0.34 0.32 0.32 0.32 > 5c m 8 5 2 0 MAK 8.28 9.74 2.85 0. 9.97 8.59 8.46 8.64 9.63 9.64 MİN 0.09 0.0 0.0 0.07 0.0 0.02 0.4 0.03 0.05 0.05 ORT -0.22-0.7 -.00-0.8 -.54-0.68-0.34-0.36-0.8-0.8 KOH 3.39 3.45 4.34 3.47 4.34 3.44 3.24 3.23 3.42 3.42 MORT 2.65 2.68 3.7 2.67 3.42 2.53 2.45 2.47 2.6 2.6 > 5c m 8 5 9 8 8 8 7 8 9 8 MAK 9.63 8.22 0.5 8.37 8.53 9.4 7.99 8.04 8.0 8.0 MİN 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ORT 0.30 0.09-0.69-0.66-0.80-0.56-0.29-0.29-0.75-0.75 KOH 3.63 3.24 4.4 3.34 3.52 3.46 3.09 3.05 4.4 3.25 MORT 2.73 2.63 3.29 2.74 2.96 2.56 2.35 2.32 2.5 2.5 >5 cm 0 8 9 9 8 0 9 9 8 8 MAK 0.6 0.39 27.9 0.75 0.75 20.59.87.94 7.63 7.77 MİN 0. 0.0 0.6 0.38 0.38 0.0 0.0 0.6 0.3 0.3 ORT 0.2 0.08 -.96 -.06 -.06-2.54-0.52-0.6-2.0-2.02 KOH 4.5 4.6 7.20 5.9 5.25 5.56 4.5 4.65 5.2 5.4 MORT 3.32 3.35 5.62 4.4 4.4 4.3 3.45 3.48 3.90 3.9 >5cm 22 6 6 5 4 4 5 5 derece trend üzernde enterpolasyonların yapıldığı OK2 ve OK3 modellernde en küçük olduğu görülecektr. Farkların ± 5 cm den büyük olduğu nokta sayılarında da aynı paralellğn olduğu tablodan görülmektedr. Farkların KOH değerler br grafğe aktarıldığında Şekl 2 de görüleceğ gb 200 ve 393 dayanak noktalı modellerde farkların KOH değerlernn brbrne yakın çıktığı görülmektedr. 393 dayanak noktalı modelde 200 dayanak noktalı modele oranla k kat dayanak noktası olmasına karşılık doğruluğun çok fazla artmadığı görülecektr. Buradan verler yleştrmeden nokta sayısını arttırmanın sonuçlara fazla katkısı olmadığı çıkarılablr. 434 dayanak noktalı modelde dayanak noktaları le test noktaları çok yakın ve örtüştüğünden KOH değer ± cm çıkmıştır. 50 dayanak noktalı modelde 50 test noktası çn bulunan değerlere bakılırsa, mesafenn ters ağırlıkla enterpolasyonda farkların KOH değerler ve farkların ± 5 cm den büyük çıktığı nokta sayısının fazlalığı ve dğer yöntemlerde farkların KOH değerlernn ~ ± 5 cm olduğu görülmektedr. 200 ve 393 dayanak noktalı modellerde farkların KOH değerler ± 3-3,5 cm ken 50 noktalı modelde ± 5 cm ye çıkmaktadır. Şekl 3 te 50 test noktası çn enterpolasyonlardan hesaplanan N HESAP-ÖLÇÜ farkları ± 5 cm den büyük çıkan nokta sayıları grafk olarak görülmektedr. Grafk ncelendğnde 200(~ 25 km 2 ye br nokta) ve 393(~ 3 km 2 ye br nokta) dayanak noktalı modellerde ± 5 cm den büyük nokta sayısı bakımından da paralellk görülmektedr. Krgng enterpolasyonlardan alınan sonuçların determnstk enterpolasyon sonuçlarından daha y 55 59
S. Yaprak, E. Arslan 8 7 434 Farkların KOH değerler (cm) 6 5 4 3 2 393 200 50 0 GP6 LPI7 IDW MULT INVMUL OK OK2 OK3 SK SK2 Enterpolasyon yöntemler Şekl 2. Dört modelde 50 test noktası çn determnstk ve krgng enterpolasyonlarla hesaplanan farkların KOH değerlernn ortalamaları (cm) 25 20 434 Fark > 5 cm nokta sayısı 5 0 393 200 5 50 0 GP6 LPI7 IDW MULT INVMUL OK OK2 OK3 SK SK2 Enterpolasyon yöntemler Şekl 3. Dört modelde 50 test noktası çn determnstk ve krgng enterpolasyonlarla hesaplanan N HESAP-ÖLÇÜ farkların ± 5 cm den büyük olduğu nokta sayısı 60 54
Krgng yöntemnn geot modellemesnde kullanılablrlğnn araştırılması olduğu görülmektedr. 50 (~00 km 2 ye br nokta) dayanak noktalı modelde hem determnstk hem de krgng enterpolasyonlar çn dayanak nokta sayısının yeterszlğ Şekl 2 ve 3 de farkların KOH değerler ve fark değer ± 5 cm den büyük nokta sayısı grafklernde görülmektedr. Sonuçlar Sonuç olarak; GPS/Nvelman yöntem le elde edlen geot yükseklklernden determnstk ve Krgng enterpolasyon modellemes le elde edlen geot yükseklkler çıkarılarak hesaplanan N HESAP-ÖLÇÜ farkları, farkların KOH değerler karşılaştırıldığında; -Krgng enterpolasyonla elde edlen sonuçların determnstk enterpolasyon sonuçlarından daha y olduğu, -Krgng yöntemnn karesel ortalama hatayı mnmze ettğ, -Ordnary Krgng yöntemnn Smple Krgng yöntemnden daha y sonuç verdğ, -Determnstk enterpolasyonlar çersnde en y sonucu veren modeln multquadratk model olduğu, -Multquadratk modelden elde edlen sonuçların Krıgng enterpolasyon sonuçlarına yakın olduğu, -Geot belrlemede elde edlecek doğruluğun; verlern doğruluğuna, kütle dağılımını temsl etme yeteneğne, dayanak noktalarının yoğunluğuna ve hesaplama yöntemne bağlı olduğu görülmüştür. 393 dayanak noktalı modelden Ordnary Krgng enterpolasyonla üretlen 0 cm aralıklı geot eş yükseklk hartası üzerne tahmn hataları da flled countours olarak görselleştrlerek Şekl 4 de sunulmuştur. Kaynaklar Akçın, H., (998). GPS ölçülernden pratk yükseklklern elde edlmes üzerne br çalışma, Doktora Tez, YTÜ, Fen Blmler Ensttüsü, İstanbul. Aksoy, A., ve Güneş, İ.H., (990). Jeodez, İTÜ Kütüphanes Sayı:422, İstanbul. Aksoy, A.,Denz, R., ve Ayan, T., (999). Global, bölgesel ve ülke jeodezık ağları hakkında, Harta Kadastro Mühendslğ Dergs, 86, Ankara. Ayan, T., ve Denz, R., (2000). Fzksel Jeodez Ders Notu, İTÜ İnşaat Fakültes, Jeodez ve Fotogrametr Mühendslğ Bölümü, Jeodez Anablm Dalı, İstanbul. Boogaart KG. ve Schaeben, H., (2002). Krgng of regonalzed drectons Axes and orantatons,. Drectons and axes, Mathematcal Geology, 34, 479-503. Şekl 4. En y sonucu veren Ordnary Krgng enterpolasyonla oluşturulmuş geot yüzey 55 6
S. Yaprak, E. Arslan BÖHHUY, (2005). Büyük Ölçekl Harta ve Harta Blgler Üretm Yönetmelğ. Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Ankara. Burrough, P. A. ve McDonnell, R. A., (998). Prncples of Geographcal Informaton Systems, Oxford Unversty Pres, New York. Erkanlı, Y., (986). Koordnatlandırılmış modelde ve alanda enterpolasyon, kollakasyon yöntemlernn uygulanması ve netceler, Harta ve Kadastro Mühendslğ Dergs, Ankara, 86, 56-57. Fogel, D.N. ve Tınney,L.R., (996). Image regstraton usng multquadratc functons the fnte element method bvarate mappng polynomals and thn plate splne, Techncal Report, Santa Barbara. Güler, A., (978). Sayısal araz modellernde nterpoasyon yöntem, Harta Dergs, 85, 53-7, Ankara. İnal, C. ve Yğt, C., (2003). Lokal alanlarda jeot ondülasyonlarının belrlenmesnde kullanılan enterpolasyon yöntemlernn karşılaştırılması, Selçuk Ünverstes Jeodez ve Fotogrametr Mühendslğ Öğretmnde 30. Yıl Sempozyumu, 97-06, Konya. Isaaks, E. H. ve Srvastava, M. R., (989). An ıntroducton to appled geostatstcs, Oxford Unversty Pres, New York. Klejnen, J., (2006). Desgn and Analyss of Monte Carlo Experments,http://www. quantlet. Com/mdstat/scrpts/csa/html/node39.html,(0.0.2006). Kılıçoğlu, A. ve Fırat, O., (2003). Büyük Ölçekl Harta üretmnde GPS le ortometrk yükseklk belrlemeye yönelk jeot modelleme ve uygulamalar, TUJK 2003 Yılı Blmsel Toplantısı, Coğraf Blg Sstemler ve Jeodezk Ağlar Çalıştayı, 27-34, Konya. Lang, C., (2006). Krgng Interpolaton. http://www.nbb.cornell.edu/neurobo/land/oldst udentprojects/cs490-94to95/clang/krgng.html, (0.0.2006). Matheron, G., (963). Prncples of geostatstcs, Economc Geology, 58, 246-266 Mert, B. Mert, B.A., (2005). Jeostatstksel analz çn br blgsayar programının gelstrlmes ve Antalya-Aksek-Kzltas bokst yatagna uygulanmas, Yüksek Lsans Tez, Çukurova Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Adana. Rohuan, S., ve Wackernagel, H., (990). Multvarate Geostatstcal Approach to Space- Tme Data Analyss. Water Resources Research 26, (4), 585-59. Tercan, A.E., Saraç, C., (998). Maden yataklarının değerlendrlmesnde jeostatstksel yöntemler, TMMOB. Maden Mühendsler Odası Yayını, Ankara. Vera, S. R., Hatfeld, J. R., Nelsen, D. R. ve Bggar, J. W., (983). Geostatstcal theory and applcaton to varablty of some agronomcal propertes, Hlgarda, 5, 3, -75. Yanalak, M. ve İnce, C., (997). GPS le elde edlen elpsod yükseklklernn yerel yükseklk sstemne dönüştürülmes, VI. Harta Kurultayı. Ankara, 03-07 Mart 996. Yğt, C. Ö., (2003). Elpsodal yükseklklern ortometrk yükseklğe dönüşümünde kullanılan enterpolasyon yöntemlernn karşılaştırılması. Selçuk Ünverstes FBE, Yüksek Lsans Tez, Konya. 62