Ders 6 Olasılık Teorisi Permutasyonlar ve Kombinasyonlar OLASILIK KURAMI Geçtiğimiz 5 hafta boyunca serilerin temel özelliklerini gösteren grafiklerin neler olduğunu ve Serilerin temel özelliklerini anlamada kullanılan istatistiklerin neler olduğunu ve bunların nasıl hesaplandığını gördük. Önümüzdeki haftalarda ise olasılık kuramı ile ilgileneceğiz Olasılık kuramı şansa bağlı olaylarla ilgilenen bir matematik dalıdır Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar Tanım: Bir deneyin tüm olası sonuçlar kümesi S, örnek uzay olarak tanımlanır. Bir örnek uzaydaki bir örnek elemana örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılmasıyla elde edeceğimiz sayı, 2, 3, 4, 5, 6 dan biri olacaktır: S={, 2, 3, 4, 5, 6} dır. Alfabemizden rasgele bir harf seçersek S={A, B, C,,Z} dir. 3 Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar Bir paranın tek atılışı için örnek uzayı ise S={Yazı, Tura} Rasgele bir erkek seçip boyunu ölçersek, S={x x>0} elde ederiz. Örnek: Beş, on ve yirmi beş kuruş atılması deneyi için Örnek Uzay: S={TTT, TYT, YTT, TTY, YYT, YTY, TYY, YYY} 4
Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar Örnek: Kırmızı ve siyah renkli iki zarın atılmasından oluşan bir deneyde kırmızı zariçineldeedilensonuçk, siyah zar için elde edilen sonuç s olsun. Bu durumda S örnek uzayı, her biri, 2, 3, 4, 5, 6 değerini alabilen (k,s) çiftlerinin kümesidir. S= {(k,s) k 6 ve s 6} İki zar deneyi için örnek uzay k\s 2 3 4 5 6 (, ) (, 2) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) 2 (2, ) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, ) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, ) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, ) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, ) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 5 Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar Tanım: Bir olay, herhangi bir deney için S örnek uzayın bir alt kümesidir. Bir olay, S örnek uzayın bir alt kümesi olduğundan S nin kendisi ve ø (boş küme) de birer olaydır S ye kesin olay, ø yeolanaksız olaydenir. 6 Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar ÖRNEK: Bir paranın üç kez atılması deneyinde üç tura elde edilmesi bir olay, üç yazı elde edilmesi diğer bir olaydır. A: Üç tura elde edilmesi olayı B: Üç yazı elde edilmesi olayı Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar ÖRNEK: Bir zarın atılması deneyinde tek sayı gelmesi bir olay, çift sayı gelmesi diğer bir olaydır. A: Tek sayı gelmesi olayı B: Çift sayı gelmesi olayı 7 8 2
Rassal Olay Tanım: Gerçekleşmesi rastlantıya bağlı olan olaya rasgele ya da rassal olay denir. Rassal Olay Örnek: Bir paranın iki kez atılması deneyini düşünelim. Bu deneyin örnek uzayı: S= {TT, TY, YT, YY} Her iki atışta aynı yüzün elde edilmesi olayı, Bir desteden bir oyun kartı seçildiğinde, maça ikilisinin gelmesi, Bir zar atıldığında 4 gelmesi, Gelecek yıl buğday üretiminin verilmiş iki sınır arasında bulunması olayları kesin değildir ve rastlantıya bağlıdır. 9 A={YY, TT} A kümesi S örnek uzayının bir alt kümesidir. 0 Rassal Olayların Birleşimi Rassal Olayların Değili Belli olaylar (kümeler) birleştirilerek yeni olaylar (kümeler) bulunabilir. Olay A veya B A ve B iki olaysa Α Β de bir olaydır. Α Β nin elde edilmesi için gerek ve yeter koşul hem A hem de B olayının gerçekleşmesi gerekir. S A Α Β B Olay A değil ' ' A bir olaysa, Α de olaydır. Α nın elde edilmesi için gerek ve yeter koşul ş A nın elde edilmemesidir. S A ' Α B 2 3
Ayrık Olaylar Tanım (Ayrık Olaylar): Α i Aj =, i jise A, A2,,..., An olayları ikişerli ayrıktır denir Örnek Noktalarını Sayma Kuralları Toplama Kuralı: İki işlem düşünelim. İki işlem ayrık olsunlar. İlk işlem N farklı şekilde ikincisi N 2 farklı şekilde yapılabiliyorsa, işlemlerin biri veya diğeri N +N 2 farklı şekilde yapılabilir. A A 2 A 3 A, A 2, ve A 3 olayları ikişerli olarak ayrıktır 3 Örnek: Bir zar atalım. Kaç farklı şekilde çift yada tek sayı elde ederiz? Üçü tek sayıları, diğer üçü çift sayıları göstermek üzere 6 yol vardır. Böylece tek yada çift sayı görünmesi yollarının sayısı 3+3=6 dır. 4 Toplama Kuralı Örnek: Bir çantada 4 tane beyaz, 6 tane siyah ve8tanekırmızı top vardır. Kaç yoldan beyaz veya siyah ya da kırmızı top çekilebilir? Beyaztop4,siyahtop6vekırmızı top 8 farklı şekilde çekilebileceğinden, bir beyaz veya bir kırmızı ya da bir siyah top çekmenin toplam sayısı 4+6+8=8 dir. Çarpma Kuralı Çarpma Kuralı: İki işlem düşünelim. İlk işlem N farklı şekilde yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu yolların herhangi birinde yapıldıktan sonra ikinci işlem N 2 farklı şekilde yapılabilirse, bu iki işlem birlikte N *N 2 farklı şekilde yapılabilir. 5 6 4
Çarpma Kuralı, Örnek: Bir zarı iki kez atalım. Bu deneyin örnek uzayındaki örnek noktalarını belirtiniz. N =6 ve N 2 =6 olduğundan ğ d örnek noktalarının sayısı 6*6=36 dır. k\s 2 3 4 5 6 (, ) (, 2) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) 2 (2, ) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, ) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, ) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, ) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, ) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 7 Genelleştirilmiş Çarpma Kuralı Teorem: Kişlem sayısı olsun. İlk işlem N farklı şekilde yapılırsa ve ilk işlemin nasıl yapıldığı önemli değilse, ikinci işlem N 2 farklı şekilde yapılırsa ve nasıl yapıldığı önemli değilse, böylece K işlem için devam edildiğinde; K işlem birlikte N *N 2 *N 3 * *N k farklı şekilde yapılır. 8 Genelleştirilmiş Çarpma Kuralı Örnek: Bir para 3 kez atıldığında, bu deney için örnek uzaydaki örnek noktaların sayısını belirtiniz. Genelleştirilmiş Çarpma Kuralı Örnek: Bir para atılıyor, bir zar yuvarlanıyor ve iyice karıştırılmış bir desteden bir oyun kartı çekiliyor. Bu deneyin örnek uzaydaki örnek noktalarının sayısını belirtiniz. N =2, N 2 =2, N 3 =2 olduğundan Örnek nokta sayısı 2*2*2=8 dir. 9 N =2, N 2 =6 ve N 3 =52 olduğundan Örnek noktalarının sayısı 2*6*52=624 tür. 20 5
PERMÜTASYONLAR VE KOMBİNASYONLAR Tanım: den n ye kadar pozitif tamsayıların çarpımına n-faktöriyel denir ve n! olarak yazılır. Ayrıca 0!=!= n! =.2.3..(n-).n=(n-)!.n 8! 8.7.6! = = 8.7 = 56 6! 6! 2..0.9! 2! 2..0 = = 9! 9! 2 PERMÜTASYONLAR VE KOMBİNASYONLAR Tanım: Nesnelerin kümesinin bir kısmının yada tümünün belli bir sıralamasına veya düzenlenmesine permütasyon denir. Örnek: Bir tiyatro gişesinde bilet almak isteyen üç kişi kaç farklı şekilde gişe önünde sıraya girebilir? İlk yer 3 farklı şekilde, ikinci yer 2 farklı şekilde, son yer de yolla doldurulur. 3.2.=6 22 PERMÜTASYONLAR VE KOMBİNASYONLAR Teorem: tümü birlikte kullanılan n farklı nesnenin permütasyonlarının sayısı n! dır. PERMÜTASYONLAR VE KOMBİNASYONLAR Tanım: n nesnenin bir grubundan bir defada alınan r nesnenin bir sıralanmasına, bu n nesnenin bir permütasyonu denir. Bu sayı n P n =n! Olarak gösterilir. Örnek: 7 farklı kitap 7 rafa kaç farklı biçimde yerleştirilebilir? 7P 7 = 7.6.5.4.3.2. = 7! = 5040 23 Böyle permütasyonların toplam sayısı np r ile gösterilir. Burada r<n dir. Çarpma kuralından r yer ) n P r =n(n-)(n-2) (n-r+) yolla doldurulur. nn ( )( n 2)...( n r+ )( n r)! n! 2) npr= = ( n r)! ( n r)! 24 6
PERMÜTASYONLAR VE KOMBİNASYONLAR Teorem: Bir defada r tanesi alınarak yinelenmeden n farklı nesnenin permütasyonlarının sayısı n n! Pr = ( n r)! Örnek: Bir televizyon sunucusu haber bülteninde okuması gereken 3 farklı haberden ikisini kaç farklı şekilde sıralayabilir? 3! 3! P = = = 3.2. = 6 (3 2)!! 3 2 25 Kombinasyonlar Tanım: Bir defada r tanesi alınan n farklı nesnenin bir kombinasyonu, düzenleme sırasına bakmaksızın n nesneden r tanesinin bir seçimidir. Bir defada r tanesi alınan n nesnenin kombinasyonlarının sayısı n C r, C(n,r), C n,r veya n ile gösterilir. r n C r n! = r!( n r)! 26 Kombinasyonlar ile Permütasyonlar Arasındaki İlişki r nesnenin herbir kombinasyonu r! yolla düzenlenebileceğinden, yani kombinasyonlarının her ncr biri için r! Permütasyon olduğundan permütasyonların toplam sayısı C r! dir: n r Örnek 3.2. Örnek: 4 kitap arasından 3 ünün olanaklı seçimlerini düşünelim. 4 kitaptan 3 ü seçildiğinde, kombinasyonların sayısı, ABC, ABD, ACD, BCD n! 4! C = r 4 r!( n r)! = 3!! = Her bir kombinasyon 3! farklı biçimde oluşturulabileceğinden, toplama kuralı ve genelleştirilmiş çarpma kuralından 3!+3!+3!+3!=4.3! n n! Cr! = P= ( n r)! n r n r (Kombinasyonların sayısı).3!=permütasyonların sayısı Kombinasyonlar Permütasyonlar ABC ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ABD ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA ACD ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA 27 BCD BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB 28 7
Örnek 3.2.3 Örnek: 4 evli çift arasından 3 kişilik bir kurul kaç yolla seçilir? a) Tümü eşit seçilme şansına sahiptir. b) Kurulda 2 kadın ve erkek olmak zorundadır. c) Eşler aynı kurulda bulunamayacaktır. 29 Örnek 3.2.3 a) Sıra önemli olmadığından 8 kişi arasından 3 ünün seçimi düşünülür. 8 8! = = 56 3 3!. 5! b) 2 kadın 4 = 6 yolla seçilir, bu seçim yapıldıktan 2 sonra erkek 4 4 yolla seçilir. = Çarpma kuralından 4 4 = 6.4 = 24 2 30 Örnek Pascal Kuralı c) Eşler aynı kurulda bulunmayacaklarına göre, kurulda bulunan kişiler eş olmamalıdır. Önce 3 çift, 4 çift arasından 4 yolla 3 seçilir. 3 çift seçildikten sonra, ilk çiftten iki (erkek yada kadın), 8 3 ikinci çiftten iki, üçüncü çiftten 2 seçim yapılabilir. Çarpma kuralıyla, 4 2 2 2 32 yada = 3 tüm seçim sayısından 4 dört çiftten birinin seçimi. 8 4 6 = 32 3 6 geri kalan 6 kişiden birinin seçimi 3 Teorem: İspat: n+ n n = + r n için r r r n n n! n! + = + r r (r-)!(n-r+)! r r!(n-r)! r)! n! = + (r-)!(n-r)! ( n r+ ) r n! r+ n r+ = ( r )!( n r)! r( n r+ ) ( n+ )! n+ = = r!( n r+ )! r 32 8
Örnek 3.2.6 6 aday temsilci olmak üzere seçim yarışması yapmaktadırlar. Bir seçmen oyunu bir ya da iki adayın adını işaretleyerek kullanabileceğine göre, seçmen oyunu kaç farklı şekilde kullanabilir. İki ayrık durum söz konusudur: Seçmen aday için yada iki aday için oy kullanılır. aday için oy verirse Oy veren seçmen oy pusulasını 2 aday için oy verirse Toplama kuralı ve pascala göre oy kullanır. 6 6 7 + = 2 2 6 6 2 farklı şekilde işaretler farklı şekilde 33 Örnek 3.2.8 A={,2,,9} kümesinin a) 5 elemanlı alt kümelerinin kaçında 6 sayısı bulunmaz? b) 5 elemanlı alt kümelerin kaçında ve 2 birlikte bulunmaz. 9 9 elemanlı kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı: 5 8 6 sayısının bulunduğu 5 elemanlı alt küme sayısı: 4 9 8 4 8 a) = 5 4 5 4 b) 9 2 7 5 2 3 34 3.2. Tekrarlı Kombinasyonlar Teorem: Bir birinden farklı, koşulsuz ve sınırsız olarak tekrarlanabilen n öğenin sıra göz önünde tutularak alınan, k-lı kombinasyonlarının sayısı n k ya eşittir. k=2 için, kombinasyonların sayısı n 2 dir., 2, 3, n öğeğ verilsin. 2 n 2 22 2n......... n n2 nn 2-li kombinasyon vardır. 35 Tekrarlı Kombinasyonlar Teorem: Birbirinden farklı ve sınırsız olarak tekrarlanabilen n öğenin sıra göz önünde tutulmaksızın k-lı kombinasyonlarının sayısı n + k n + k = k n k=2 için, 2, 3,, n farklı eleman düşünülürse nn ( + ) n+ n+ ( n ) +... + 3+ 2+ = = dir. 2 2 2 n 22 2n...... nn 36 9
Örnek 3.2.0 Bir domino oyununda numaralar 0 dan 6 ya kadar değil de 0 dan n ye kadar gitseydi bu dominoda kaç taş bulunurdu? Sırasız yinelemeli e e kombinasyon söz konusudur. Burada k=2 dir. Tümü Birbirinden Farklı Olmayan Nesnelerin Permütasyonu Teorem: n nesne verilmiş olsun. Bu n nesnenin r tanesi birinci çeşit, r 2 tanesi ikinci çeşit,,r k tanesi k-ıncı çeşit olsun. k grup ve her bir grupta sırayla r,r 2,,r k nesne olacaktır. O halde r +r 2 + +r k =n dir. Tümü birlikte alınan bu n nesnenin farklı permütasyonlarının sayısı Taş sayısı: + n+ 2 n+ 2 = 2 2 dir. n n! = r, r,..., r r! r!... r! 2 k 2 k dir. 37 38 Örnek 3.3. 52 kartlık standart bir deste 4 oyuncu arasında kaç farklı şekilde dağıtılır. Oyuncuların her birine 3 kart verileceğinden, olanaklı dağıtımlar 52 52! 52 39 26 3 = dir. 3,3,3,3 = 3!.3!.3!.3!. 3 3 3 3 Örnek 3.3.2 İki kırmızı, üç siyah ve beş beyaz boncuk bir ipe dizilecektir. Aynı renkte olan boncuklar, eşit büyüklükte ve benzer biçimdedirler. Bu 0 boncuk bir ipe kaç farklı şekilde dizilebilir. 0 0! = =2520 5,3, 2 5!.3!.2! 39 40 0
İki Farklı Cinsteki Öğelerin Permütasyonu Teorem: n öğenin r tanesi birinci çeşit, geri kalan n-r tanesi ikinci çeşit ise bu n öğenin permütasyonlarının sayısı n! n n = = dir. r!( n r)! r n- r 4 İki Farklı Cinsteki Öğelerin Permütasyonu n n! İspat: = r, r2,..., rk r! r2!... rk! alınırsa sonuç bulunur. teoreminden r =r 2,r 2 =n-r r tane A ve n-r tane B nin bir sırada düzenleneceğiniğ varsayalım. n boş yerin r tane A ve n-r tane B ile doldurulacağını düşünürüz. A lar için r yeri n yolla r seçebiliriz. Kalan n-r boş yer için B ler n r yolla n r seçilebilir. Böylece permütasyonların toplam n sayısı dir. 42 r Örnek 3.3.3 Örnek 3.3.6 Mississippi sözcüğünün harfleriyle kaç farklı düzenleme yapılabilir. harften biri m, dördü s, ikisi p, dördü i dir. Böylece r =, r 2 =4, r 3 =2 ve r 4 =4 tür. harfin permütasyonlarının sayısı,! 34650 dir.!.4!.4!.2! = 43 KARACAKÖK sözcüğünün iki A harfi yan yana gelmeyecek şekilde kaç permütasyon vardır? 44
Örnek Önce A harfleri dışındaki harfleri düzenlersek buradaki harflerin tümü birbirinden farklı değildir. Bu nedenle tümü birbirinden farklı olmayan nesnelerin permütasyonu düşünülür. 6! Altı harfin permütasyon sayısı = 3!.!.!.! A K K K R A C A Ö Örnek Yanyanadizilenbu6harfinaralarında, başında ve sonunda 7 boş yer vardır. 7 boş yerin 3 A harfi için 3 ünü seçmemiz gerekir. 6! 7 İki işlem birlikte düşünüleceğinden. 3!.!.!.! 3 45 46 Sıralı Parçalanmalar Teorem: Bir A kümesinde n farklı öğe bulunsun. A nın (A, A 2,,A k ) formunda farklı sıralı parçalanmalarının sayısı (A de r, A 2 de r 2,, A k da r k öğe ve r +r 2 + +r k =n olmak üzere): n! dir. r!. r!... r! 2 k Sıralı Parçalanmalar İspat: A içine A daki n öğe arasından r tanesinin n seçimi yolla yapılır. Ardışık olarak, kalan n-r öğe arasından r A i (A-A =A A kümesi), A 2 deki r 2 öğenin seçimi n r yolla r2 yapılır. Benzer şekilde i=3,4,, k için n r A i nin r2... ri sayıda seçimi vardır. rk 47 48 2
Sıralı Parçalanmalar O halde A nın farklı sıralı parçalanmalarının sayısı, yada n n r n r r n r r... r 2 2 k... dir. r r2 r3 rk n! ( n r)! ( n r r... rk )!.... r!( n r)! r!( n r r )! r!( n r r... r )! 2 2 2 2 k 2 ve n r r2 r k (... )! = 0! olduğundan n! = elde edilir. r!r!...r! 2 k k 49 Örnek 3.4. 9 farklı oyuncak, 4 kardeş arasında en küçüğü 3 ünü diğerleri eşit sayıda olmak üzere kaç farklı şekilde paylaştırılır? 9 oyuncağın ğ sırasıyla 3, 2, 2, 2 oyuncağı ğ içinde bulunduran 4 göze içine sıralı parçalanmalarının sayısını bulmak istiyoruz. n! r!. r!... r! teoremi gereğince 2 k 9! =7560 sıralı parçalanma vardır. 3!.2!.2!2! 50 Sırasız Parçalanma Sırasız Parçalanma Örnek: Bir sınıfta 2 öğrenci vardır. Her takımda 4 öğrenci olacak şekilde 2 öğrenci A, A 2, A 3 gibi üç takıma kaç farklı şekilde parçalanır? I. Yol: 2 8 4 2!. =. = 5775 (sırasız parçalanma) 4 4 4 3! 4!4!4! 3! II. Yol: Aöğrencilerden birini göstersin. O halde A ile aynı takımda olacak diğer 3 öğrenci farklı şekilde seçilir. 3 Diğer bir B öğrencisi ile aynı takımda olacak 3 öğrenci de geri 7 kalan7öğrenci arasından yolla seçilir. Son 4 öğrenci de 3 üçüncü takımı oluşturur. Hep birlikte, 7 4 = 5775 sırasız parçalanma vardır. 3 3 4 5 52 3
Bir Olayın Olasılığı İSTATİSTİK I Ders 7 Olasılığa Giriş, Bazı Olasılık Kuralları Tanım: Bir deneyin her biri eşit şansa sahip N tane sonucu olsun. Bu sonuçların M tanesinden herhangi biri gerçekleştiğinde A olayı gerçekleşmiş olsun. A olayının P(A) ile gösterilen gerçekleşme olasılığı Uygun sonuçların sayısı P(A) = Örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısı = M N 2 Örnek 4..3 Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Siyah top çekilmesi olayı B olsun. Topların sayısı 2 olduğuna göre istenen olasılık 8 P( B) = = 2 2 3 Olasılık Aksiyomları D bir deney ve S bu deneyin örnek uzayı olsun. O halde S deki bir A olayının P(A) olasılığıyla ilgili aşağıdaki aksiyomlar vardır. A. P(A) 0 A2. P(S) = A3. A, A 2,, A n, bir S uzayında sonlu ya da sonsuz sayıda ikişerli ayrık olaylar dizisi olsun. Bu durumda PA ( A...) = PA ( ) + PA ( ) +... dir. 2 2 3 4
Örnek 4..6 Olasılığın Frekans Tanımı Bir çift zar atılsın. Toplamın 8 gelmesi olasılığı nedir? Bu deneyin örnek uzayında 36 nokta vardır. Burada 8 gelmesi olayı A olsun. O halde, Tanım: Bir deney n kez yapıldığında bir A olayı f kez gerçekleşirse, f/n oranına A olayının relatif frekansı denir. n artarken f/n relatif frekansının bir limite yaklaştığını ş ğ kabul edersek, bu limite A nın olasılığı denir. A = {(2,6),(3,5),(5,3),(4,4),(6,2)} uygun sonuçlar kümesi P(A)=5/36 5 Uygulamada büyük n ler için A nın olasılığı f/n ile 6 hesaplanır. Örnek 4.. Bazı Olasılık Kuralları Bir zarın 00 kez atılmasından sonra aşağıdaki sonuçlar bulunmuştur. Teorem : A ve A 2, bir S örnek uzayında A A 2 Bulunan Sayı Frekans 2 2 8 3 4 4 7 5 0 6 20 olacak biçimde iki olay ise P( A) P( A ) 2 dir. Zarın gelmesi olasılığı nedir? 7 8 2
İspat: Bazı Olasılık Kuralları S A A 2 A2 A Bazı Olasılık Kuralları Teorem 2: Herhangi bir A S olayı için P( A) dir. A ve A2 A ayrık olaylar olduğundan A2 = A ( A2 A ) PA ( ) = PA ( ) PA ( A ) 2 2 A3 aksiyomundan PA ( ) = PA ( ) + PA ( A ) 2 2 İspat: Teorem gereğince P(A ) P(S) dir. P(S)= olduğundan P(A) dir. olacağından 9 0 Bazı Olasılık Kuralları Teorem 3: A, bir S örnek uzayında herhangi bir olay olsun. ' P( A) = - P( A) dır. İspat: A = A S A ve A ayrık olaylar olduğundan ' Aksiyom 3 ten PA ( ) + PA ( ) = PS ( ) ' Aksiyom 2 den PA ( ) + PA ( ) = olacağından P A ' ( ) = P( A) olur. Örnek 4.2. Bir para 3 kez atılsın. En az bir kez tura gelmesi olasılığını bulunuz. ' P(A )=-P(A) olduğundan, A yı düşündüğümüz gibi A nın ' tümleyenini de düşünebiliriz. A ne uygun yalnız bir örnek noktası YYY vardır. Buna göre, ' PA ( ) = - PA ( ) = -/ 8 = 7 / 8 dir. 2 3
Bazı Olasılık Kuralları Teorem 4: P(Ø)=0 dır. İspat: Ø =S dir. P(Ø )= ve P(Ø )=-P(Ø) olduğundan Bazı Olasılık Kuralları Teorem 5: A ve B, S örnek uzayında iki olay olsun. P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B ) dir. P(Ø)=0 olur. 3 4 İspat: A B Bazı Olasılık Kuralları S A B B A A B = A ( B A ) ve B = ( A B) ( B A ) P( A B) = P( A) + P( B A ) vep( B) = P( A B) P( B A ) P( B A ) = P( B) P( A B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 5 Örnek 4.2.3 52 kartlık standart bir desteden rasgele bir kart çekildiğinde, bu kartın bir birli veya karo olması olasılığı nedir? Karo çekilmesi olayı A, Birli (As) çekilmesi olayı B olsun. Bu örnek uzayda 52 örnek nokta vardır. P( A) = 3/ 52, P(B) = 4/52, P(A B) = /52 dir. P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 3 4 = + 52 52 52 6 = 52 6 4
Sonuç 4.2.5. İspat E E2 = A alınır ve teorem 5 uygulanırsa E, E 2, E 3, bir S örnek uzayında 3 olay ise, PE ( E E) = PE ( ) + PE ( ) + PE ( ) PE ( E) 2 3 2 3 2 PE ( E) PE ( E) + PE ( + E + E) 3 2 3 2 3 PA ( E) = PA ( ) + PE ( ) PA ( E) yazılır. Bu eşitlikte 3 3 3 P( A) = PE ( E) = PE ( ) + PE ( ) PE ( E) ve 2 2 2 PA ( E) = P(( E E) PE ( E)) 3 3 2 3 = PE ( E) + PE ( E) PE ( E E) 3 2 3 2 3 eşitlikleri kullanılırsa istenen sonuç bulunur. 7 8 Genel Sonuç Genel olarak A, A 2,, A n rasgele olaylarsa PA ( A... A ) = PA ( ) PA ( A ) +... + < i j n 2 yazılır. n n i i j i= i< j n PA A A PA A A n ( i j k)... + ( ) ( 2... n) Bazı Olasılık Kuralları Teorem 6: A i ler (j=, 2,, n) bir S örnek uzayında olaylarsa n n P U Aj P ( Aj ) j = j = 9 20 5
Sonlu Sayıda Elemana Sahip Örnek Uzaylar Sayılabilir Sayıda Elemana Sahip Örnek Uzaylar Şu ana dek ele aldığımız örneklerde sonlu ya da sayılabilir sayıda eleman içeren örnek uzayları inceledik Sayılabilir sayıda eleman içeren örnek uzayların özellikleri i. Her A pi 0, i =, 2,..., m ii. p+ p2 +... + p m = 2 S sayılabilir sonsuzlukta eleman içeren bir örnek uzay olsun: { } S = a, a2,..., a m,... Sonlu sayıda elemanı olan bir örnek uzayda olduğu gibi i. Her A pi 0, i=, 2,..., m,... ii. p + p +... + p +... = p = 2 m i= i 22 4.2. Sürekli Örnek Uzaylar ve Geometrik Olasılık Örnek 4.2.4: Tura gelinceye kadar bir paranın atılması deneyi için örnek uzayını düşünelim. {,2,3,..., m,..., } S = n: para tura gelene dek yapılan atış sayısı olsun p() = / 2, p(2) = / 4,..., p( n) = / 2 n,..., p( ) = 0 23 Sürekli Örnek Uzaylar ve Geometrik Olasılık Örnek uzay sayılabilir değilse bu durumda sürekli örnek uzay uzunluk, alan, hacim gibi sonlu bir geometrik ölçüme sahiptir. Bu ölçüm m(s) ile gösterilirse bir A olayının olasılığı, (A ya ait tüm noktaların olasılığı); Anın ' uzunluğu PA ( ) = Snin ' uzunluğu ma ( ) P = ms ( ) dir. Anın ' alanı PA ( ) = Snin ' alanı Anın ' hacmi PA ( ) = Snin ' hacmi Böyle tanımlanan olasılık uzayına uniform (düzgün) uzay 24 denir. 6
Sürekli Örnek Uzaylar ve Geometrik Olasılık Örnek 4.2.5 : Uzunluğu d olan bir doğru parçası üzerinde rasgele iki nokta işaretleniyor. Elde edilen üç parça ile bir üçgen oluşturma olasılığı nedir? Sürekli Örnek Uzaylar ve Geometrik Olasılık Bir üçgenin iki kenarının toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı üçüncü kenardan küçük olmalıdır. Olanaklı değerler:0 x+y d dir. Üçgen elde etmek için uygun değerler: x d, y d, x+ y d 2 2 2 O X Y A B Şekil 4.2.2 d-x-y O 25 X+Y=d/2 İstenen Olasılık: X+Y=d d d.. 2 2 2 S 0 P X = 2 d = S = 4 26 Şekil 4.2.3 d/2 d 2 Sürekli Örnek Uzaylar ve Geometrik Olasılık Örnek 4.2.6: R yarıçaplı bir çember üzerinde rasgele üç nokta yerleştirilmiştir. Bu üç nokta ile çizilen ABC üçgeninin dar açılı üçgen olması olasılığı nedir? Şekil 4.2.4 A R X 2πR-X-Y B C Y 27 Sürekli Örnek Uzaylar ve Geometrik Olasılık AB yayı x, BC yayı y ile gösterilsin. Y Olanaklı değerler: 0 x+ y 2π R Uygun değerler: x πr, y πr ve x+y πr X+Y= 2πR π R. π R 2 P = olarak bulunur. 2 π R.2π R = 4 2 X+Y= πr S πr 2πR 0 X 28 7
4.3 Koşullu Olasılık Bir A olayının olasılığı ile ilgilendiğimizi varsayalım ve Koşullu Olasılık A ve B, bir S örnek uzayında iki olay olsun. B verilmişken, A olayının koşullu olasılığı P(A/B) aşağıdaki gibi tanımlanır. PA ( B) PA ( / B) =, ( PB ( ) 0 ise) PB ( ) A dan farklı bir B olayının gerçekleşmiş olduğu ek bilgi olarak verilmiş olsun. A nın olasılığının, B hakkındaki ek bilgiden Benzer şekilde PA ( B) PB ( / A) =, ( PA ( ) 0 ise) PA ( ) nasıl etkilendiğini bilmek istiyoruz. 29 30 Buradan A B= B A da yazabiliriz Koşullu Olasılık olduğundan P( A B) = P( B). P( A/ B) PA ( B) = PAPB ( ). ( / A) Koşullu Olasılık Örnek 4.3.: 52 kartlık bir desteden rasgele bir kart çekilsin. A olayı Kart bir maçadır olsun. B olayı ise kartın siyah renkli olması olsun. B verilmişken A nın gerçekleşme olasılığını bulunuz. 3 32 8
Koşullu Olasılık Aradığımız olasılık: PA ( / B) dir. PA ( ) = ve PA ( / B) = dir. PA ( B) 4 2 PA ( / B) =, oldugundan PB ( ) PA ( B) 3/52 3 PA ( / B) = = = = bulunur. PB ( ) 26/52 26 2 B olayı hakkında ek bilgi verilmeseydi, A olayının olasılığı 3 PA= ( ) = 52 4 olacaktı Yani ek bilgi A olayının olasılığını arttırmıştır 33 Koşullu Olasılık Örnek: 4.3.2: Bir fabrikada üretilen parçalardan kusursuz 40 tanesi ve kusurlu 0 tanesi bir depoya konuyor. Çekilen yine yerine konulmaksızın rasgele iki parça sırayla seçildiğinde her iki parçanın da kusurlu olma olasılığı nedir? 34 Koşullu Olasılık A: İlk seçilen parça kusurludur. B: İkinci parça kusurludur. 0 9 PA ( ) = = ve PB ( / A) = 50 5 49 Öte yandan PA ( B) = PAPB ( ). ( / A) 9 9 =. = 5 49 245 Koşullu Olasılık İçin Çarpma Teoremi Teorem 4.3. : A,A 2,,A n olayları bir deneyin S örnek uzayında ise PA ( A2... An ) = PA ( ). PA ( 2 / A). PA ( 3/ A A2).... PA ( / A A... A ) dir. n 2 n 35 36 9
Koşullu Olasılık İçin Çarpma Teoremi Örnek 4.3.3: 52 lik bir desteden yerine koymaksızın 3 kart çekiliyor. Bu 3 kartın da As olma olasılığı nedir? O halde A : İlk kart bir As tır. A 2 : İkinci kart bir As tır. A 3 : Üçüncü kart bir As tır. 4 3 2 PA ( ) =, P(A 2 / A) = ve PA ( 3/ A A2) = dir. 52 5 50 37 Koşullu Olasılık İçin Çarpma Teoremi Teorem 4.3. e göre A A 2 A 3 olayının olasılığı; ilk çekilişte As bulma olasılığı; ilk çekilişte As bulunduğu verilmişken ikinci çekilişte As bulma olasılığı; birinci ve ikinci çekilişte ş As bulunduğuğ verilmişkenş üçüncü çekilişte ş As bulunması olasılığının çarpımlarına eşittir. P( A A2 A3) = P( A). P( A2 / A). P( A3/ A A2) 4 3 2 =.. 52 5 50 24 = = 0,0008 32600 38 Örnek Uzayın Parçalanışı Tanım 4.3.2: a) B B = tüm i j'ler için i k U b ) B i= i i j = S c ) P(B ) > 0 tüm i'ler için B A B k- B 2 B 4 B k B 3 Toplam Olasılık Yasası Teorem 4.3.3: B, B 2,, B k olayları bir S örnek uzayının bir parçalanışı ise S deki herhangi bir A olayı için k PA ( ) = PB ( i) PA ( / Bi) dir. i= ise B, B 2,, B k olaylarına S örnek uzayının bir parçalanışı denir. 39 40 0
Toplam Olasılık Yasası (İspat) A olayını aşağıdaki gibi yazabiliriz. A= A B A B2 A B k ( ) ( )... ( ) PA ( ) = PA ( B ) + PA ( B2 ) +... + PA ( B k ) Toplam Olasılık Yasası P( A) = PABPB ( / ) ( ) + PAB ( / ) PB ( ) +... + PAB ( / ) PB ( ) 2 2 k k 4 Örnek Örnek 4.3.5: Bir depoda 20 kusurlu 80 kusursuz elektrik ampulü bulunsun. Yerine koymaksızın 2 ampul seçelim. İkinci seçilen ampulün kusurlu olması olasılığını bulunuz. A= {İlk seçilen kusurludur} A ={İlk seçilen kusursuzdur} B= {İkinci seçilen kusurludur} P ( B) = P( A). P( B / A) + P( A ). P( B / A ) 9 4 20 =. +. = 5 99 5 99 5 42 Örnek Örnek 4.3.6: Belli bir alet 3 fabrika tarafından üretilmektedir. no lu fabrikada hem 2 hem de 3 no lu fabrikalardaki üretimin 2 katı kadar alet üretildiği bilinmektedir. Yine bilinenlere göre ve 2 no lu fabrikalardaki üretimin 0,02 si, 3 no lu fabrikadaki üretimin 0.04 ü kusurludur. Üretilen aletlerin tümü bir depoya konuyor, sonra rasgele bir alet seçiliyor. Bu aletin kusurlu bir alet olması olasılığı nedir? 43 Örnek A ={Alet kusurludur} B ={Alet no lu fabrikadan alındı} B 2 ={Alet 2 no lu fabrikadan alındı} B 3 ={Alet 3 no lu fabrikadan alındı} PB ( ) =, PB ( 2) = PB ( 3) = 2 4 PA ( / B) = 0.02, PA ( / B) = 0.02, PA ( / B) = 0.04 2 3 PA ( ) = PB ( ) PA ( / B) + PB ( 2) PA ( / B2) + PB ( 3) PA ( / B3) = 0.025 44
Bağımsız Olaylar Tanım: A ve B olayları bağımsız ise PB ( / A) = PB ( ) Benzer şekilde PA ( / B) = PA ( ) 45 2
Bağımsız Olaylar İSTATİSTİK I Teorem 4.4.: A ve B olaylarının bağımsız olması için gerek ve yeter koşul Ders 8 Bağımsız Olaylar, Bayes Teoremi ve Çözümlü Alıştırmalar İspat: PA ( B) = PAPB ( ). ( ) dir. 2 Teorem 4.4.2: Bağımsız Olaylar bağımsız olaylarsa A ve B kümelerinin en az bir ortak örnek noktası vardır. Yani İspat: A ve B ( P( A) 0 ve P( B) 0) A B dir. 3 Bağımsız Olaylar Örnek 4.4.: Bir para iki kez atılsın. İki kez tura gelmesi olasılığı nedir? A= {İlk atışta tura gelmesi} B= {İkinci atışta tura gelmesi} İki olay bağımsız olduğundan Burada PA ( B) = PAPB ( ). ( ) =. = 2 2 4 A= { TY, TT} ve B={YT,TT}, A B = { TT} dir. 4
r 5 Bağımlı Olaylar Örnek 4.4.4: Aynı anda iki zar atalım, zarların yüzlerindeki sayılar toplamının (r+b=) ve aynı anda olması olasılığı nedir? Örnek uzayda r+b= olan örnek noktaları: (5,6) ve (6,5) Bu iki elemanlı kümeyi E ={(5,6), (6,5)} ile gösterirsek, r 5 2 PE ( ) = = 36 8 ile tanımlanan küme F olsun. F içinde 30 örnek nokta vardır. 30 5 PF ( ) = = 36 6 5 Bağımlı Olaylar E ve F aynı anda gerçekleşecek olaylar olduğundan ve yalnız (6,5) noktası ortak olduğu için PE ( F) = 36 5 Öte yandan PE ( ). PF ( ) =. olduğundan 8 6 36 E ve F olayları bağımlı olaylardır. 6 Sonuç Üç ya da daha çok olay bağımsız olduklarında, onların aynı anda elde edilmelerinin olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir. Örneğin E,F ve G bağımsızsa PE ( F G) = PE ( ). PG ( ). PF ( ) eşitliği yazılır. Bağımsız Olaylar Teorem 4.4.2: E ve F bir S örnek uzayında bağımsız olaylar olsun. O halde, E ve F ve E ve F; E ve F bağımsızdırlar. E E F PE ( ). PF ( ) PE ( ). PF ( ) F PE ( ). PF ( ) P( E ). P( F ) Satır Toplamı P( E) P( E ) Sütun Toplamı PF ( ) PF ( ) 7 E ve F nin bağımsız olduğu varsayımından, PE ( F) = PE ( ). PF ( ) 8 2
Bağımsız Olaylar Satır toplamları ve sütun toplamları olmalıdır. E E Satır toplamı P(E) den : PE ( ) PE ( ) PF ( ) PF ( ) F F Satır Toplamı P( E). P( F ) PE ( ) PE ( ) PF ( ) PF ( ) PE ( F ) = PE ( ) PE ( ). PF ( ) = PE ( )[ PF ( )] = PE ( ). PF ( ) Bu eşitlikten E ve F bağımsızdır. 9 Bağımsız Olaylar Benzer şekilde E ve F de bağımsızdır ve PE ( F) = PE ( ). PF ( ) E ve F bağımsızdırlar: PE ( F ) = PE ( ) PE ( ). PF ( ) = PE ( )[ PF ( )] = PE ( ). PF ( ) 0 Olayların Tam Bağımsızlığı Olayların Tam Bağımsızlığı molayın tam bağımsız (karşılıklı bağımsız) olabilmeleri için gerek ve yeter koşul bir defada alınan herhangi bir sayıdaki olayın her bir kombinasyonunun bağımsız olmasıdır. m=3 alındığında E, E 2, E 3 ün tam bağımsızlığı için aşağıdaki denklemler sağlanmalıdır. PE ( E E) = PE ( ). PE ( ). PE ( ) 2 3 2 3 PE ( E) = PE ( ). PE ( ) 2 2 PE ( E) = PE ( ). PE ( ) 3 3 PE ( E) = PE ( ). PE ( ) 2 3 2 3 Üstteki denklemler sağlanırsa, herhangi bir denklemde bir olay ile onun tümleyeni denklemin her iki yanında da yer değiştirebiliriz. i PE ( E E) = PE ( ). PE ( ). PE ( ) 2 3 2 3 2 3
Olayların Tam Bağımsızlığı Örnek 4.4.5: İki para atılsın. E ={İlk paranın tura gelmesi} olayı, E 2 ={İkinci paranın turagelmesi}olayı ve E 3 ={Her ikisi de tura veya her ikisi de yazı} olayı olsun. Olayların Tam Bağımsızlığı S ={YT, TY, YY, TT} E ={TT, TY} E 2 ={YT, TT} E 3 ={TT, YY} E E 2 E 3 ={TT} E,E 2 ve E 3 olayıarı tam bağımsız mıdır? 3 2 PE ( ) =, PE ( 2) =, PE ( 3) = = 2 2 4 2 PE ( E2) = PE ( E3) = PE ( 2 E3) = 4 4 Olayların Tam Bağımsızlığı Olayların Tam Bağımsızlığı Görüldüğü üzere olaylar çifter çifter bağımsızdır. Ancak PE ( E2 E3 ) = PE ( ). PE ( 2 ). PE ( 3 ) olduğundan 4 üç olay tam bağımsız değildir. Örnek 4.4.7: S={e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 } bir deneyin örnek uzayı olsun. e i olayları için aşağıdaki olasılıklıların varlığını kabul edelim: 5 3 P =, P2 =, P3 =, P4 =, P5 = P6 = 8 6 6 8 6 Burada P i =P({e i }), E={e,e 4 }, F={e,e 2,e 5 }, G={e,e 2,e 3 } alalım. E, F, G nin bağımsız olduklarını fakat tam olarak bağımsız olmadıklarını gösteriniz. 5 6 4
Olayların Tam Bağımsızlığı 3 PE ( ) = P+ P4 = + = 8 8 2 5 PF ( ) = P+ P2 + P5 = + + = 8 6 6 2 5 PG ( ) = P+ P2 + P3 = + + = 8 6 6 2 PE ( F G) = P = = PE ( ). PF ( ). PG ( ) olduğundan 8 E, F ve G bağımsızdır. Olayların Tam Bağımsızlığı PE ( F) = P = PE ( ). PF ( ) dir. 8 Oh halde E ve Fbağımlıdır. ğ Bu nedenle E, F ve G tam olarak bağımsız değildir. 7 8 Olayların Tam Bağımsızlığı Örnek 4.4.9: A, S örnek uzayında herhangi bir olay ise A ve S nin bağımsız olduğunu gösteriniz. A ve ø bağımsız olabilir mi? a) P( A). P( S) = P( A). yazılabilir. Öte yandan A S=A olduğundan P(A S)=P(A).P(S) elde edilir. b) P( A). P( ) = P( A).0 yazılabilir. O halde tanım 4.4.'e göre A ve bağımsızdır. Bayes Teoremi Örnek 4.5.: İki kavanozdan birincisinde 4 siyah ve 6 kırmızı top,ikincisinde3siyahve2kırmızı top vardır. Rasgele bir kavanoz seçer ve seçilen kavanozdan yine rasgele bir top çekersek; a) Siyah bir top çekilmiş olma olasılığı nedir? b) Siyah topun çekildiği bilindiğinde birinci kavanozun seçilmiş olma olasılığı nedir? 9 20 5
Bayes Teoremi Bayes Teoremi A: I. kavanozun seçilmesi B: II. kavanozun seçilmesi E: Siyah topun çekilmesi a) P(Siyah)=P(I. kavanoz ve siyah)+p(ii. kavanoz ve siyah) O halde O /2 /2 I II 4/0 S K 6/0 3/5 S 4/20 6/20 3/0 PE ( ) = PA ( E) + PB ( E) veya 2/5 K 2/0 PE ( ) = PA ( ). PE ( / A) + PB ( ). PE ( / B) dir. 2 4 3 4 3 0 PE ( ) =. +. = + = = 2 0 2 5 0 5 20 2 22 Bayes Teoremi Bayes Teoremi b) P(Kavanoz I/Siyah)=P(Kavanoz I ve siyah)/p(siyah) PA ( E) PA ( / E) = PE ( ) 4 PA ( E) = (Ağaç diyagramını kullanarak) 20 0 PE ( ) = (a şıkkından) 20 4/20 4 PA ( / E ) = = 0 / 20 0 23 Örnek 4.5. in genelleştirilmiş hali Bayes Teoremi olarak bilinir. Teorem 4.5.: B, B 2,, B k lar bir S örnek uzayının parçalanışı olsun. A, S içinde PA ( ) 0 olan bir olay ise PB ( / A) = r PB ( ) PA ( / B) k i= r PB ( ) PA ( / B) i r i 24 6
Bayes Teoremi Örnek 4.5.2: Cıvata üreten bir fabrikada toplam üretimin % 30 u A, % 30 u B, % 40 ı C makineleri tarafından yapılmaktadır. a ad Bu makinelerin, e sırasıyla a üretimlerinin e %, %3 ve %2 si kusurlu cıvatalardır. Bir günlük üretim sonunda bir cıvata seçiliyor ve kusurlu olduğu görülüyor. Bu cıvatanın A makinesi, B makinesi, C makinesinde üretilmiş olma olasılığı nedir? Bayes Teoremi E: Kusurlu cıvata A: Cıvata A makinesinde yapıldı B: Cıvata B makinesinde yapıldı C: Cıvata C makinesinde yapıldı. PA ( ) = 0.30, PE ( / A) = 0.0, PB ( ) = 0.30, PE ( / B) = 0.03, PC ( ) = 0.40, PE ( / C) = 0.02 PA ( E) = PAPE ( ). ( / A) = (0.30).(0.0) = 0.003 PB ( E) = PB ( ). PE ( / B) = (0.30).(0.03) = 0.009 PC ( E) = PC ( ). PE ( / C) = (0.40).(0.02) = 0.008 25 26 Bayes Teoremi Bayes teoremini kullanarak PA ( E) PA ( / E) = P( A E) + P( B E) + P( C E) 0003 0.003 3 = = 0.003+ 0.009 + 0.008 20 Çözümlü Alıştırmalar 4.6.: 6 istatistikçi ve 5 biyologdan 7 kişilik bir komisyon seçilecektir. a) Komisyonda 4 istatistikçi b) Komisyonda en az 4 istatistikçi bulunması olasılığı nedir? Benzer şekilde 0.009 9 PB ( / E ) = = 0.020 20 0.008 8 PC ( / E ) = = 0.020 20 27 28 7
Çözümlü Alıştırmalar 4.6.4: Takımların toplam sayısını azaltmak amacıyla, 2n takım iki eşit gruba ayrılıyor. En kuvvetli iki takımın a)farklı takımlarda b)aynı grupta bulunmaları olasılığı nedir? 29 30 Çözümlü Alıştırmalar 4.6.6: 2 kişi bir asansörle zeminden üst katlara çıkacaktır. Asansör 2., 4., 6. katlarda durmaktadır. Bu iki kişinin farklı katlarda inmeleri olasılığını bulunuz. 3 32 8
Çözümlü Alıştırmalar 4.6.5: E,E 2,,E n olayları tam bağımsız olsunlar. PE ( ) = k + k k n alalım. Bu n olayın tümünün gerçekleşmemesi olasılığı nedir? 33 34 Çözümlü Alıştırmalar 4.6.9: Şekilde L ve R terminalleri arasında, 2, 3, 4 ile gösterilen elektrik düğmeleri vardır. Her bir düğmenin kapalı olması olasılığı p olsun. Tüm düğmeler birbirinden bağımsız olarak görev yapıyorsa, L ve R terminalleri arasında elektrik akımı olma olasılığı nedir? 2 L R 35 3 Şekil 4.6. 4 36 9
Çözümlü Alıştırmalar 4.6.44: Elimizdeki topları tablodaki gibi renklere ve birbirinden ayırt edilemeyen kutulara atıyoruz. Rasgele bir kutu seçiliyor ve bu kutudan seçilen bir topun kırmızı olduğu görülüyor. III. Kutunun seçilmiş ş olma olasılığığ nedir? Tablo 4.6.2 I. Kutu II. Kutu III. Kutu Kırmızı 2 4 3 Siyah 3 4 Mavi 5 3 3 37 38 Alıştırmalar 4.7.4:, 2, 3,, 7 sayılarının kümesinden yerine koymaksızın iki sayı seçiliyor. Toplamın olması olasılığı nedir? 39 40 0
Alıştırmalar 4.7.5: TÜRKİYE sözcüğünün harfleri rasgele düzenlendiğinde a) R ve K nın birlikte olması, b) Kelimenin T ile başlaması, c) Kelimenin E ile bitmesi, d) T ile başlayıp Y ile bitmesi olasılığı nedir? 4 42 43