nkr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği ölümü FZM07 Temel lektrik Mühendisliği Temel lektrik MühendisliğiCilt, Çev. d: K. Kıymç Yzrlr:.. Fitzgerld, D.. Higginthm,. Grel. ölüm: Dirençli Devreler. ölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Dğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Düğüm Nktsı Gerilim Yöntemi İlmek kım Yöntemi ğımlı Kynklı Devrelerde Düğüm Nktsı ve İlmek Denklemleri Devre İndirgenmesi ÜstÜste inme İlkesi Thevenin Teremi Prf. Dr. Hüseyin Srı u derste, Dirençli devrelerin çözümlemesi ypılk, Devre çözümlemesi için sistemtik yöntemler geliştirileek, Temel yslrın dğrudn uygulnışı, Gerilim yöntemi, kım yöntemi Kynk dönüşümü, Thevenin ve Nrtn teremleri öğrenilmiş lk. 3 Temel Yslrın Dğrudn Uygulnışı n genel içimde ir elektrik devresi, uyrmyı sğlyn ir y d dh fzl kynk (kım ve gerilim) ile çk syıd ilmek ve çk syıd kvşktn (düğüm nktsındn) luşur. i(t) R 7 R e(t) 3 R 6 R R 5 i (t)? V 5 (t)? R 4 ilinen nielikler çğu kez gerilim kynğı gerilimi (e(t)) ve kım kynğı kımlrı (i(t)) lktır. ilinmeyen nielikler ise gerilim kynklrının kımlrı, kım kynklrının gerilimleri ve devre öğeleri (direnç) üzerindeki gerilim (v 5 (t)) ve kımlr ( i (t) ) lktır. i(t) R 4
Temel Yslrın Dğrudn Uygulnışı ilinmeyen nieliklerin ulunmsı için kullnıln denklemler: Kirhhff kım Yssı (KY) denklemleri, Kirhhff Gerilim Yssı (KGY) denklemleri, Öğelerin Gerilimkım (Ohm Yssı) ğıntılrı lmk üzere üç grupt tplnilir. mç, devrede ilinmeyen syısı kdr denklem yzmk ğımsız denklemlerin tplm syısı ilinmeyen nieliklerin syısın eşit lmk zrunddır! Seri ğlı Devre Devre nlizlerinde İzleneek Yl Değişkenlerin elirlenmesini klylştırn iki devre içimi vrdır: R R Ortk kım () Her grupt, şğıd elirlenen syılr kdr ğımsız denklem ulunur:. Öğelere özgü ğımsız Gerilimkım denklemlerinin syısı öğelerin syısın eşittir. ğımsız KY denklemlerinin syısı kvşklrın syısının ir eksiğine eşittir. 3. ğımsız KGY denklemlerinin syısı ğımsız ilmeklerin syısın eşittir (ğımsız ir ilmek, öteki denklemlerde ulunmyn en z ir ilinmeyen gerilimi içeren ir KGY denklemi ln ir ilmektir). 5 Prlel ğlı Devre V s R V s V R Ortk Gerilim (V) 6 ir lektrik Devresinin Meknik şdeğeri lektrik Devresi Gerilim ve kım H Devre kım ve gerilimi R R C D 3 F G R 3 Meknik eşdeğer P tn siyel nerji U mgh h U H U R C C D R U D F U FG R 3 H G P Devre kım ve Gerilimi R N R 4 ML 4 R C D K J R 3 H 3 F G Gerilim ve kım Değişimleri R C D R G F H R 3 J K L R 4 M V N P 3 0 3 U H U C U D U FG 0 U U U U H C D FG 7 8
Devre nlizlerinde İzleneek YlNtsyn R R ğer kım, R direni üzerinden dn ye dğru kıyr ise nktsı, nktsındn dh yüksek ptnsiyele shiptir; diğer türlü kım dn ye kmz! Gerilim kynğı, devreye güç sğldığı (elektrmtr kuvvet) için kımın yönü dn (negtif) ye (pzitif) dğrudur. urdki işret ve kımın yönlerinin yukrıdki durumun tersi lduğun dikkt ediniz! 9 Ceirsel Denklemleri Nsıl Çözeriz? ilinmeyen syısı kdr denklem lmsı gerekir x x? x x x 3 3 x x x 3 3 x x x 3 3 33 3 3 3 x x x 3 3 3 33 3 x x 3 4 3 3 3 33 x 3 3 3 3 33 3 3 3 3 x? x? 33 x3 3 3 0 3 3 3 3 3 33 Örnek.: şğıdki devrede ilinmeyen gerilimleri (, ve 3 ) ve kımlrı (, ve 3 ) ulunuz. yrı, kynklrın devreye verdiği güün dirençlerin sğurduğu güe eşit lduğunu gösteren güç dengesi için ir ifde yzınız. 40 V 0 Ω 3 6 Ω 3 8 Çözüm: Çözüm için ilk ypılklr ilinmeyen gerilimler ve kımlr için referns yönlerinin elirlenmesidir. 40 V 40 V luk kynk ve 0 Ω luk direnç seri ğlı lduklrındn her ikisinden de kımı geçer. Dlyısı ile gerilimişekildeki giidir (kımın girdiği nkt pzitif, çıktığı nkt ise negtif) 6 ve luk dirençler ve 8 lik kım kynğı prlel ğlıdır, dlyısı ile unlr rtk ir gerilimi ( 3 ) görürler. un göre ve 3 kımlrı şğıdki gii elirlenir. 0 Ω 3 6 Ω 3 8 3
. dım: irini Grup denklemler, öğelerin Gerilimkım ğıntılrıdır. Devrede 3 det direnç lduğundn, 3 det Ohm yssı denklemi yzılilir: 0 Ω luk direnç: 40 V 6 Ω luk direnç: luk direnç: 0 Ω (0 Ω) (6 Ω) ( ) 3 6 Ω 3 3...... 3 8 3. dım: KY denklemleri yzılır. Kvşklrın syısı 4 tne (,, ve d) görünmesine rğmen slınd iki tnedir ( ve d ynı nktlrdır). 0 Ω 3 40 V 6 Ω 8 0 Ω 8 3 40 V 6 Ω 8 d 3 8.. 0 4 nktsı için KY denklemi: 3 8 0.. 4 nktsı KY denklemi, ile ynı lktır (ğımsız kvşklrın syısı kvşk syısındn ir eksiktir). 4 3. dım: KGY denklemleri yzılır. Devredeki tek ğımsız ilmek sldki () ilmektir (Diğer ilmekler ( ve ) ynı ilinmeyeni vereeği için ğımsız değillerdir). 40 V 0 Ω 3 6 Ω KGY denklemleri (): d 40 0 KGY denklemleri (): 0 KGY denklemleri (): 0.. 5 8 ynı! ( ve ilmek ğımsız ilmek değildir!) 5 Yukrıdki eş denklemin rtk çözümleri herhngi ir yöntemle ulunilir. Ohm Yssı (R ) Ohm Yssı (R ) Ohm Yssı (R 3 ) nktsı KY denklemleri: nktsı KGY denklemleri: ( ) ( ) ( ) 3 0Ω 6Ω Ω 3 5 3 8 0.. 4 40 0.. 5...... 3 vey y kım y d gerilim değişkenlerini yk etmek mıyl y KY y d KGY denklemlerinde yzılır (4. denklemde 3 denklemleri): Denklem 5 ve 6 dn 8 0 0 6 5.. 6 Ω Ω Ω 40 3 080 80 V; 60 V ulunur. kım denklemlerinden (3), kımlr 4, 0 ve 3 ulunur. 6 4
Kynklrın devreye verdiği güün dirençlerin sğurduğu güe eşit lduğunu gösteren güç dengesi için ir ifde yzınız. 40 V kımlr: 4, 0 ve 3 ulunur. 4 0 Ω 80 V 60 V 80 V; 60 V ulunur. 0 6 Ω 3 8 Güç Dengesi şğıdkişekilde hesplnilir: Devreye Verilen Güç Gerilim Kynğı: P.(40 V).(4 ) 560 W kım Kynğı: P.(60 V).(8 ) 080 W Tplm: 640 W Devreden lınn Güç Devreye Verilen Güç Devreden lınn Güç luk Direnç: PR ().( ) 70 W 6 Ω luk Direnç: PR (6 Ω).(0 ) 600 W 0 Ω luk Direnç: PR (0 Ω).(4 ) 30 W Tplm: 640 W 7 8 Örnek.: şğıdki devre, sldki ilmekte 30 V sit gerilim kynğı ve sğdki ilmekte ise kım ğlı ir kım kynğı içermektedir. ilinmeyen gerilimleri ( ve ) ve kımlrı (, ve 3 ) ulunuz. Çözüm: Çözüm için ilk dım ilinmeyen gerilimler ve kımlr için referns yönlerinin elirlenmesidir. Devrede 3 direnç, iki kvşk ve iki ğımsız ilmek ulunmktdır. 30 V 3 Ω 3 0 Ω 30 V Üç Ohm Yssı denklemi, ir KY ve iki KGY denklemi yzılilir. Şimdilik ve kımlrı ilinmeyen lduğu hlde referns yönlerini şğıdki gii liliriz. 3 Ω. kvşk 3. ilmek. ilmek 0 Ω 4 3 9. kvşk 0 5
. dım: irini Grup denklemler, 3 det Ohm yssı denklemi vrdır:. dım: KY denklemleri yzılır. ğımsız kvşklrın syısı irdir ( kvşğı) Ohm Yssı (R ) Ohm Yssı (R ) Ohm Yssı (R 3 ) 30 V 3 Ω 3 4 ( ) ( ) ( ) Ω Ω 4 0 Ω ( )...... 3 3 0 Ω 4 3 3 30 V 3 Ω 3 0 Ω nktsı KY denklemleri: nktsı KY denklemleri: 0.. 4 4 0.. 4 4 ve 4' nlu denklemler ynı! 3. dım: KGY denklemleri yzılır. ve ilmekleri çevresinde yzıln KGY Yukrıdki eş denklemin rtk çözümleri herhngi ir yöntemle ulunilir. 3 Ω kım denklemlerinden (3), kımlr, 4 ve 6 lrk ulunur. 30 V 3 0 Ω. ilmek. ilmek. ilmek KGY denklemi: ( dn şlyıp nktsın gelindiğinde). ilmek KGY denklemi: ( den şlyıp nktsın 4 30 0.. 5 Denklem 5 ve 6 dn 30 V 4 V 3 64 V 4 40 V ulunur. 3 4 0.. 6 gelindiğinde) 3 4 3 Ω 3 0 Ω 4 6
Yrum: Örnek ve Örnek, en kly ve çık ir içimde dğrudn uygulm yönteminin uygulnışını göstermektedir. 40 V Snuçt elde edilen denklem sistemi iki ylınlştırm ile dh derli tplu ypılilir. kım değişkeninin gerilim değişkeni insinden tnımlnmsı (y d tersi): öyle ir ylınlştırm, Ohm yssının çık ir içimde yzılmsı gereksinimi duyulmdn yzılmsını sğlyktır. kvşğı için KY kullnılrk: 3 8 0.. 4 8 0 0 6 5 Ω Ω Ω 0 Ω 3 6 Ω 8.. 6 5 İkini ylınlştırmd, değişkenleri dh öneden seçilen öteki değişkenler insinden seçerek y KY denklemlerini y d KGY denklemlerini yzm gereksiniminden kurtulunmuş lunur. Örneğin, Örnek de gerilimi 40 dir (KGY ndn). 40 0.. 5 8 0.. 6 0 6 5 40 ( ) 8 0 0 40 6 5 Ω Ω Ω 40 V 0 Ω 3 6 Ω KGY 3 8 6 Örnek.3: şğıdki devrede, Ω luk direnin uçlrı rsındki gerilimi ulunuz. Çözümü klylştırmk için tüm kımlrı gerilim değişkenleri insinden elirtin ve değişkenleri seçerken KGY denklemlerini kullnınız. 30 V Ω? 5 V Ω Ω 5 7 Ω luk direnç üzerindeki gerilim istendiğinden unu ile, diğer ilinmeyenleri de ve 3 ile gösterelim. Diğer gerilimler u gerilimler insinden ifde edileilir. R 6 Ω 30 V R 5 5 R Ω R 6 in uçlrı rsındki gerilim (. ilmek KGY):. ilmek 3 5 V. ilmek. ilmek R 4 in uçlrı rsındki gerilim (. ilmek KGY): R 5 in uçlrı rsındki gerilim (. ilmek KGY):.. 30 3 5 C R 4 Ω D.. 5 3.. 3 8 5 7
. dım: Kvşklrdki kımlrın yzılmsı gerekir. 4 kvşk vrdır (,, C ve D), u nedenle 3 ğımsız denklem yzılilir. 5 0 R Ω 30 V 30 R 5 ( 3 5) 3 5 V 4 Ω R 4 Ω 3 5 nktsı KY denklemleri: ( 30) ( 3 5) 0 5 5.. 4 Ω Ω Ω nktsı KY denklemleri: 3 0 5 5.. 5 Ω Ω Ω 9 ( 5) ( 5) 5 0 5 5 Ω Ω Ω C nktsı KY denklemleri: 3 3 3 3 5 C D 3 0 3 4 5 5 0 5.. 6 Denklemlerin hepsi sistemin rtk pydsı (30) ile çrpılırs denklemler Çk değişkenli denklemlerin rtk çözümü determinntlrın ve Crmer kurlının kullnılmsı ile ypılilir: x x x 3 3 x x x 3 3 x x x 3 3 33 3 3 gerilimi: 30 38 850 3 5 6 6 0 3 30 38 650 3 3 3 3 x 3 33 3 3 3 3 850 0 33 38 6 6 650 38 360000 0 V 30 38 36000 5 6 6 30 38 3 3 3 3 33 3 3 3 3 x 33 3 3 3 x3 3 3 3 3 33 30 Örnek.4: şğıdki devrede, luk dirençten geçen kımı hesplyınız. Çözümü klylştırmk için tüm gerilimleri kım değişkenleri insinden elirtin ve değişkenleri seçerken KY denklemlerini kullnınız. 30 V Ω? 5 V Ω Ω 5 3 Çözüm: Tüm gerilimleri kım değişkenleri insinden ifde edelim ve değişkenlerin seçiminde KY denklemlerini kullnlım. Öne kımlrı tnımlylım, ve 3. Öteki dirençler KY denklemlerinden ulunilir. Ohm yssı kplı lrk 3. ilmek eşitliklerinde ifde edildi. ( 3 5) C 30 V Ω 3 5 V Ω 3 Ω. ilmek ( 3 5). ilmek D İlmek : 30 Ω Ω 0 ( ) ( ) ( ) 3 5 30 Ω ( ) Ω ( 5) 0 5 İlmek : 5 0 5Ω 5 ( 5) ( ) 0 5 5 Ω Ω Ω İlmek : Ω Ω 5 0 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) Ω ( 5) ( 5) 5 0 3 3 3 3 8
kımlrı veren denklem sistemi (üç denklem üç ilinmeyen) nktsı KY denklemleri: x x x 3 3 x x x 3 3 x x x 3 3 33 3 3 Crmer Kurlındn kımı: 40 5 8 40 3 5 5 5 50 8 3 5 8 60 3 3 3 3 x 3 33 3 3 3 3 50 5 5 60 8 000 ksi işret, kımının 5 8 000 seçilen yönün tersi yönde lduğunu söylüyr. 5 5 5 5 8 33 33 kım denklemlerinden (3), kımlr, 4 ve 6 ulunur. Denklem 5 ve 6 dn 30 V 3 Ω 4 V 3 60 V 4 40 V ulunur. 3 0 Ω 4 34 Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Kullnıln kynklr idele yklşilir fkt hiçir zmn idel lmz! 0 Gerçekçi değil! R İdel Gerilim Kynğı R R0 İdel ir gerilim kynğı, yük (R) sıfır ls d gerilimi sit tutmy çlışır ki u gerçekçi değildir. Çünkü iki uç rsınd ir yndn sit gerilim (idel) ir yndn d kıs devre (R0) lduğu için sıfır gerilim yrtılmy çlışılır. R 0 R st 0. 35 Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Gerçek ir güç (Gerilim) kynğı ve kynğın V eğrisi: Kynk Yük d Gerçek Durum d R İdel Durum ğim R kd d çık Devre Gerilimi kd Kplı Devre kımı kd Yukrıdki V grfiğinde dğrunun denklemi: R d d u ifdenin eşdeğer devresi: d R.. Gerçek ir Gerilim Kynğını, idel gerilim kynğın ( d ) ğlı seri ir direnç ile ifde edeiliriz. 36 9
Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Kullnıln kynklr idele yklşilir fkt hiçir zmn idel lmz! R V 0 V Gerçekçi değil! İdel kım Kynğı R R0 İdel ir kım kynğı, yük (R) snsuz ls d kımı sit tutmy çlışır ki u gerçekçi değildir. Çünkü iki uç rsınd ir yndn sit gerilim (idel) ir yndn d kıs devre (R0) lduğu için sıfır gerilim yrtılmy çlışılır. / R kd R kd.. R Gerçek ir kım Kynğını, idel kım kynğın ( R 0 / kd ) ğlı prlel ir direnç 38 37 Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Gerçek ir güç (kım) kynğı ve kynğın V eğrisi: Kynk Yük Gerçek Durum d İdel Durum kd Yukrıdki V grfiğinde dğrunun (kım insinden) ifdesi: ğim R d çık Devre Gerilimi kd Kplı Devre kımı kd R u ifdenin eşdeğer devresi ile ifde edeiliriz. d kd d R Kynk Dönüşümü Devrelerin her ikisinin de ynı fiziksel kynğı gösterdiğinden çıkış uu grfiği ( ve ) özdeştir ve iri diğerini temsil etmek üzere kullnılilir. d Gerilim Kynğı R.. R d kd kd R kım Kynğı kd R.. 39 Kynk Dönüşümü Herhngi ir Gerilim Kynğı gösterimini kım Kynğı gösterimine dönüştürmek için: d kım kynğı: kd kd G R R R ğer: Gerilim kynğı: d k d ve G lurs yukrıdki devrelerin R R grfiklerine özdeş lduğu görülür. Herhngi ir kım Kynğı gösterimini Gerilim Kynğı gösterimine dönüştürmek için: kd G G ğer: kd d ve R G G lurs yukrıdki devrelerin grfiklerine özdeş lduğu görülür. 40 0
Örnek.5: şğıdki gerilim kynğı gösterimini eşdeğer ir kım kynğı gösterimine (), kım kynğı gösterimini eşdeğer ir gerilim kynğı gösterimine dönüştürünüz (). Çözüm: () d 56 V R Ω () 56 V Ω?? R? R d kd G 0,5 mh R Ω ( 6 V ) ( Ω) 5 kd kd 8 ()?? Ω? V 56 V Ω? 8 R Ω 4 4 Çözüm: () kd R Düğüm Nktsı Gerilim Yöntemi R d kd d G 0, 5 mh R ( )( ) 8V Devre çözümünde Düğüm Nktsı Gerilim Yöntemi, Kirhhff Gerilim Yssı (KGY) denklemlerinin çık lmyn ir içimde devre şemsı üzerine yzılmsını ve öylee ylnız Kirhhff kım Yssı (KY) denklemlerinin çözülmesini gerektiren ir yöntemdir. u yöntemde elli nktlr için gerilimler tnımlnır. ( )? 8 V R R R 3 3 C 43 44
Düğüm Nktsı Gerilim Yöntemi Düğüm Nktsı Gerilim Yöntemi ni nlmk için şğıdki örnek devreyi göz önünde ulundurlım. ( ) ve gerilimi ilinirse devrede herşey ulunilir. R R R 3 3 İki ilinmeyen gerilim ve seçilmiştir. gerilimi C düğüm nktsındn düğüm nktsın dğru ir gerilim rtışı; enzer içimde, C düğüm nktsındn düğüm nktsın dğru ir gerilim rtışı lrk seçilmiştir. ilinmeyen gerilimler, C düğüm nktsındn şlyrk ölçüldüğü için C nktsın referns düğüm nktsı denir. C 45 Düğüm Nktsı Gerilim Yöntemi düğüm nktsındn düğüm nktsın dğru ln gerilim rtışı devredeki ilinmeyen üçünü gerilimdir, u gerilim Kirhhff Gerilim Yssı (KGY) denkleminden ulunur. ( ) R R R 3 C 3 46 Düğüm Nktsı Gerilim Yöntemi / R ( ) / R 0 düğüm nktsı için KY: ( ) ( ) / R ( ) / R 0 düğüm nktsı için KY: ( 3 ) ( ) 3 ( ) nktsı: nktsı: ( G G ) G ( ) G G G 3 3 nın ktsyısı, düğüm nktsın ğlnn iletkenlerin pzitif tplmı, nin ktsyısı ve düğüm nktlrı rsın ğlnn iletkenlerin negtif tplmı ve eşitliğin sğ trfı düğüm nktsın giren kım kynklrının tplmıdır. Düzenlenirse: ( / / ) ( / ) ( / ) ( / / R ) İletkenlik yzılırs: R R R 3 G R R R R R R insinden 3 3 C ( G G ) G G G G ( 3) 3 3 47 enzer ir sistemtik, nktsı için de geçerlidir. nın ktsyısı, düğüm nktsın ğlnn iletkenlerin pzitif tplmı, nin ktsyısı ve düğüm nktlrı rsın ğlnn iletkenlerin negtif tplmı ve eşitliğin sğ trfı düğüm nktsın giren kım kynklrının tplmıdır. G ( ) G G 3 C 3 48
Denklemlerdeki u düzen, kım yssı denklemlerinden ve gerilim değişkeni seçiliş içiminden kynklnır. u kurl DüğümGerilim Yöntemi denir. u yönteme göre ypılk işler sırsı ile:. dım: Devredeki seri dirençli idel gerilim kynklrı ile gösterilen her kynk prlel iletkenlikli kım kynğı gösterimine dönüştürülmeli ve devre yeni gösterime göre yeniden çizilmelidir.. dım: Keyfi ir referns düğüm nktsı seçilir, u nkt R (eferns) lsun. Devredeki öteki düğüm nktlrın,,., N hrfleri verilir ve ilinmeyen gerilimler,,, N, R nktsındn, vs. nktlrın dğru gerilim rtışlrı lrk seçilirler. 49 3. dım: Düğüm nktsı (kımyssı) denklemleri sırsıyl,,., N düğüm nktlrı için yzılırlr. : G G G... G : G G G... G C : G G G... G.. C C N N CC C N N C C CC C N : G G G... G N N CN C NN N N G XX : X düğüm nktsın ğlnn iletkenlerin tümünün tplmı G XY : X ve Y düğüm nktlrı rsın ğlnn iletkenlerin tümünün tplmı X : X düğüm nktsın giren (y d gelen) kım kynklrının tplmı 4. dım: İstenen düğüm nktsı gerilimlerini elde etmek üzere denklemler çözülür. Devredeki öteki gerilimler ve devre kımlrı, Kirhhff Gerilim Yssı nın ve Ohm Yssı nın uygulnmsı ile ulunilir. CN N C 50 Örnek.6: Düğüm Nktsı Gerilimi Yöntemi kullnrk şğıd verilen devredeki gerilimleri ( 5 ve 6 ) ulunuz. yrı 3 kımını d hesplyınız. 0 Ω 6 Çözüm: Öne devredeki ütün Gerilim kynklrını kım kynğın dönüştürmemiz gerekiyr. Gerilim Kynklrı >kım Kynklrın 0 Ω Ω 6 Ω 4 C 56 V 3? Ω Ω Ω 4 5 5 56 V Ω D 5 56 V gerilim kynğının eşdeğer kım kynğını ullım: ve D düğüm nktlrı rsın ğlnn 56 V, ve seri ln Ω direni, eşdeğer ir kım Kynğı ve n prlel ir direne dönüştürerek devreyi yeniden çizmemiz gerekir. R R Ω 56V Ω 8 5 3
Çözüm: Öne eşdeğer düğüm nktlrını ve ilmekleri tnımlylım. D düğüm nktsı referns nktsı lrk elirleneilir. 0 Ω Snrki dım lrk düğüm nktlrı ve gerilimlerini () tnımlylım: 0, mh 56 V 3? Ω. ilmek Ω 6. ilmek Ω 4 5. ilmek D Dh snr eşdeğer kım kynğını ullım. ve D düğüm nktlrı rsın ğlnn 56V, Ω kynğı, kım kynğı ve n prlel ir iletkene (/R) C C dönüştürerek devreyi yeniden çizmemiz gerekir. 53 54 C : (0,) (, 0) (0,, 0 0, 5) C 8 0,5 mh 0,5 mh D Düğüm nktlrı için kım ifdeleri mh 0, mh 0,5 C 4 C mh : (0, 5 0, 5 0,) (0, 5) (0,) 8 C : (0,5) (0,5 0,,0) (,0) 0 şitlikler düzenlenirse, 0, 5 0, 8 C 0,5,7 0, 0 C 0,, 0,35 C lde edilir. u denklem sistemi determinnt yöntemi ile çözülürse 36 V 0 V 6 V C Üç düğüm nktsı geriliminin ilinmesi devredeki öteki gerilimlerin ve kımlrın ulunmsını lnklı kılr. 6 C 36 V 6 V 0 V 3 kımı, nktsındn D nktsın kdrki gerilimlerin her iki devrede de ynı lmsı gerektiği düşünülerek hesplnilir. 56 V ( Ω ) 36 V 0 3 3 55 İlmek kım Yöntemi Devre çözümünde İlmek kım Yöntemi, Kirhhff kım Yssı (KY) denklemlerinin çık lmyn ir içimde devre şemsı üzerine yzılmsını ve öylee ylnız Kirhhff Gerilim Yssı (KGY) denklemlerinin çözülmesini gerektiren ir yöntemdir. 56 4
İlmek kım Yöntemi u yöntemde ilmeklerde dlnn kımlr seçilir (ilmek kımlrı). u yöntemi nlmk için şğıdki devreyi kullnlım. Ntsyn: R R İlmek kımlrı Rm rkmı lt indisi ile ( ); kllrdki kımlr ise nrml rkm lt indisi 3 ( ) ile gösterileektir.. ilmek R 3. ilmek İlmek kım Yöntemi İlmek kımı Yönteminde, tüm kımlr ynı yönde seçilir (urd st yönü lınmıştır). kımlrın ynı yönde seçilmesi elde edilen denklemlerin ir mtris içiminde kly yzılilmesine lnk sğlr. İkini özellik ilmek kımlrı dh öne kullnıln öğe kımlrı insinden kly ifde edileilirler, örneğin, ve 3 ğer Kirhhff Gerilim Yssı (KGY) denklemleri ve ilmeklerin çevresinde yzılırs R R3 ( ) 0.İlmek R ( ) R 0 3 R R. İlmek 3 İlmek kımı Yöntemi nde, devredeki ilmeklerde ilinmeyen kımlrın vrlığı düşünülür. (Düğüm nktsı gerilim yönteminde de ilinmeyen gerilim ve seçilmişti).. ilmekteki kımı ilmeği luşturn tüm öğelerde (R ve R ve ) ulunmktdır. enzer içimde kımı,. ilmeği luşturn tüm öğelerde (R, R 3 ve ) vrdır. 57. ilmek R 3. ilmek 58 Denklemler yeniden düzenlenirse: İlmek kım Yöntemi ( R R3 ) R3 R ( R R ) 3 3 R R. ilmek.ilmek. İlmek R 3. ilmek Yukrıdki denklemler, düğüm nktsı gerilimi yöntemine göre yzıln denklemler gii enzer ir düzen gösterirler.. ilmek çevresinde yzıln kımının ktsyısı,. ilmeği luşturn dirençlerin pzitif tplmı, ikini ilmek kımı nin ktsyısı ise. ve. ilmeklerinin rtk dirençlerinin negtif tplmı ve denklemin sğ trfı devrede st yönünde lınn gerilim kynğı rtışlrının tplmıdır.. ilmek çevresinde yzıln denklem için enzer yrumlr ypılilir. 59 Denklemlerdeki u düzen gerilim yssı denklemlerinden ve kım değişkeni seçiliş içiminden kynklnır. u kurl İlmek kımı Yöntemi denir. u yönteme göre ypılk işler sırsı ile. dım: Devredeki prlel dirençli idel kım kynklrı ile gösterilen her kynk seri ğlı idel gerilim kynğı gösterimine dönüştürülmeli ve devre yeni gösterime göre yeniden çizilmelidir.. dım: İlmek seçimi, seçilen ir ilmek içerisinde şk ir ilmek ulunmyk içimde ypılır ve ilmek kımlrı st yönünde seçilir. u seçim öğe kımlrının elde edilmesini sğlr, u kımlr y ilmek kımlrı y d iki ilmek kımı rsındki eirsel frktn luşur. 60 5
3. dım: İlmek (gerilimyssı) denklemleri sırsıyl,,,., N ilmekleri için yzılırs : R R... R,,, N N : R R... R..,,, N N N : R R... R, N, N N, N N N R XX : X ilmeğini luşturn tüm dirençlerin tplmı R XY : X ve Y ilmeklerinin her ikisine de rtk ln tüm dirençlerin tplmı X : St yönünde lındığınd X ilmeğindeki kynk gerilimi rtışlrının tplmı 4. dım: İstenen ilmek kımlrı denklemlerin rtk çözümünden ulunur. Devredeki öteki kımlr ve devre gerilimleri, Kirhhff kım yssının ve Ohm yssının uygulnmsı ile ulunilir. 6 Örnek.7: İlmek kım Yöntemi kullnrk şğıd verilen devredeki kımlrı (ilmek kımlrını ve Ω direnç klundki 4 kımı) ulunuz. yrı 5 gerilimini de hesplyınız. 56 V Ω Ω 0 Ω 6 Ω 4? 5? 6 Çözüm: Öne devredeki ütün kım kynklrını gerilim kynğın dönüştürmemiz gerekiyr. kım Kynklrı > Gerilim Kynklrın 0 Ω 56 V Ω. ilmek Ω 6. ilmek Ω 4 5 D. ilmek kım kynğının eşdeğer gerilim kynğını ullım: C ve D düğüm nktlrı rsın ğlnn, ve prlel ln 4Ω direni, ir Gerilim Kynğı ve n seri ğlı ir direne dönüştürerek devreyi yeniden çizmemiz gerekir. R R ( 4Ω )() 8V C 63 Snrki dım lrk ilmekleri ve ilmek kımlrını () tnımlylım: 0 Ω 56 V. ilmek Ω Ω. ilmek Ω D Kirhhff Gerilim Yssı (KGY) eşitlikleri. ilmek : ( 5 ) (5) () 56V : (5) (5 4) () 8V : () () ( 0) 0 4 C 8 V 64 6
şitlikler düzenlenirse: u üç denklemin rtk çözümü: Üç ilmek kımının lnklı kılr. : 9 5 56 : 5 0 8 : 3 0 0 ; 6 ; ilinmesi devredeki öteki kımlrın ulunmsını 4 6 4 5 gerilimi, D düğüm nktsındn C düğüm nktsın dğru ölçülen gerilim rtışıdır. u değer 5 () 8 ()(6 ) 8 6 V DC düğüm nktsı rsındki gerilim (Gerilim kynğın dönüştükten snr, luk direnç üzerindeki gerilim ve un seri ğlı 8 V gerilim kynğı) 65 ğımlı Kynklı Devrelerde Düğüm Nktsı ve İlmek Denklemleri İlmek kımı yönteminde, tüm kımlr ynı yönde seçilir. kımlrın ynı yönde seçilmesi elde edilen denklemlerin ir mtris içiminde kly yzılilmesine lnk sğlr. İkini özellik ilmek kımlrı dh öne kullnıln öğe kımlrı insinden kly ifde edileilirler, örneğin:, ve 3 ğer Kirhhff Gerilim Yssı denklemleri ve ilmekleri çevresinde yzılırs R R3 ( ).İlmek R ( 3 ) R. İlmek R R. ilmek 3 R 3. ilmek 66 Örnek.8: şğıdki devrede ve gerilimlerini ulunuz. Çözüm: Düğüm Nktsı Gerilimi kullnılktır. ğımlı kynk öne ğımsız kynk gii düşünerek KY denklemi yzılk 0,5 mh 0,5 mh,5,5 0, mh? 9 0? 0,5 mh 0, mh? 9 0? 0,5 mh 67 düğüm nktsı düğüm nktsı (0, 0,5) 0,5 9,5 0,5 (0,5 0,5) 0,5 0, ğımlı kynk için ğlyıı denklem: 0 V 30 V ulunur. 68 7
Örnek.9: şğıdki devrede ve kımlrını ulunuz. Çözüm: İlmek kım Yöntemi kullnılktır. Öne gerilime ğlı kım kynğı ve nun prlel direninin gerilime ğlı ir gerilim kynğı ve seri direne dönüştürülmesi gerekir. 0 Ω 0 Ω 0 V Ω 0,5 6 Ω 0 V Ω 0,5 6 Ω 0 Ω 0 V Ω 5 6 Ω 69 70 Çözüm: 0 V İlmekler için Ω 5V 0 Ω 6 Ω şitlikler düzenlenirse Denklemlerin rtk çözümünden 5 0 0 8 8 0 5 ulunur. negtif lduğu için ikini ilmekte dlnn kım seçilen yönün tersi yönünde dlştığı nlşılmktdır.. ilmek. ilmek (4 4 ) 0 ( 0 6) 5 ile ve ilmek kımlrı rsındki ğıntı ( )( Ω) 0 V Ω 5 0 Ω 6 Ω 7 7 8
Devre İndirgenmesi Devre krmşıklığını zltmd kullnıln yöntemlerden iri devre indirgenmesidir. İndirgeneek devre, kynklr vey devre elemnlrını içereilir. Örnek.0: şğıdki devrede kımını ulunuz. Seri ğlı devrelerde rtk nielik kımdir. n eş R R R n eş deg er 3... eş R R R3... Rn ( R R R... R ) R 3 n n eş 00 V? 40 Ω 40 V R R R R R eşdeg er 3... n R eş 73 74 Çözüm: ir şk ğlnış şekli prlel ğlntıdır. Devre elemn ve kynklrın prlel ğlnış içimleri şğıd gösterilmiştir. şdeğer gerilim kynğı: şdeğer direnç: 00V 40V 60V eş R 5 40 5 60 Ω eş (Seri ğlı) Prlel ğlı devrelerde rtk nielik gerilimdir. eşdeg er 3... n? 00 V 40 Ω 40 V 60 V eş 60V R 60 eş 60 Ω eş n eş G G G3... Gn eş G G G n ( G G G3... G n ) Geş deg er G G G3... Gn Ω 75 G 76 eşdeg er... Reş R R R3 Rn G eş 9
Örnek.: şğıdki prlel devrenin uçlrı rsındki gerilimi ulunuz.? 5 0 Ω 5 6,67 Ω Çözüm: şdeğer kım kynğı: şdeğer direnç? 5 0 Ω 5 5 0 eş Geş 0,5mh Reş Ω 0 4 6, 67 5 6,67 Ω? 0 0,5 mh Ω 77 Gerilim: R ( 0)( Ω ) 0V eş eş 78 Örnek.: şğıdki devrede yük (R) ve esleyiiden () luşn devreyi eşdeğer direnç ile gösterilmek istenmektedir. Gerekli direnç değerini ulunuz. Çözüm: Devre indirgeme yöntemini uygulrken devrenin kynktn en uzkt ln nktsındn şlyıp ve kynğ dğru giderek dirençler irleştirilir. x Ω g e Ω Ω Ω Ω Ω Ω 0 Ω 8 Ω y Ω 0 Ω 8 Ω h f d nktsı rsınd kln ve 8 Ω luk dirençler seri ğlıdır. R Ω 8 Ω 0 Ω 79 80 0
x Ω g e Ω x Ω g gh nktsı rsınd kln dirençler prlel ğlıdır. Ω 0 Ω 0 Ω Ω Rgh R 6 Ω Ω Ω Ω gh y h f d d nktsı rsınd kln 0 ve 0 Ω luk dirençler prlel ğlıdır. x Ω g e Ω R d (0 Ω)(0 Ω) 0Ω 0Ω y x Ω h Ω Ω 3 Ω y h f ef nktsı rsınd kln 5 ve Ω luk dirençler seri ğlıdır. 8 R Ω 6 Ω ef y xy nktsı rsınd kln ve Ω luk dirençler seri ğlıdır. R Ω Ω 3 Ω xy 8 Örnek.3: şğıdki devrede, R giriş direnini (R ) ulunuz. Çözüm: 3 Ω R 0 Ω. ilmek nktsındki KY denkleminden 3 kımı Sldki ilmek çevresinde yzıln KGY denklemi 3 3 3 3 4(3 ) 5 3 Sdee seri ve prlel irleştirmelerle çözümlenemeyen elli devreler de vrdır. u dönüşümler çğu kez Y (YıldızDelt) dönüşümlerinin kullnılmsı ile çözümleneilir. Örneğin şğıdki devre ne tm lrk seri ne de tm lrk prlel değildir. Nsıl ypsk? Prlel mi Seri mi ğlsk! u dönüşüm Yşeklinde ğlı üç direnin şeklinde ğlnmsın lnk sğlr. Direnç: R 83 ğlntı Yğlntı 84
Y Dönüşümü u dönüşüm Yşeklinde ğlı üç direnin şeklinde ğlnmsın lnk sğlr. Örnek.4: şğıdki d ğlntı nktlrı rsındki devreyi tutileek tek eşdeğer direni ulunuz. z x R R R y z R ( R R ) Rxy R R ( R R ) R R R RR3 R3R R R R R RR3 R3R R R R R RR3 R3 R R R 3 x R R 3 R R R R R R R R R R R R R RR R3 R R R y 85 8 Ω 0 Ω d 86 Çözüm: Devrede nktsı rsındki direnç, > Y dönüşümü ile Y direne dönüştürülürse, yeni dirençler (R, R ve R 3 ) R R R R R R R R R R R R RR R3 R R R 8 Ω R R R 3 R, R 8 Ω, R 0 Ω (8 Ω)() R Ω 8 Ω ()() R Ω 8 Ω ()(8 Ω) R3 Ω 8 Ω d 87 Dönüşümle irlikte yeni devre seri ve prlel ğlntılrl ylınlştırılilir hle gelir. Ω e Ω R Ω 6 Ω ed Ω 0 Ω R Ω 0 Ω Ω ed R ed (6 Ω)( Ω) 6 Ω Ω R Ω 6 Ω d d 88
Ödev: () şğıdki d ğlntı nktlrı rsındki devrenin tutileek tek eşdeğer direni, d dirençlerinin luşturduğu şeklini Y şeklinde yzrk ulunuz. () d Y şeklini, şekline dönüştürerek d rsındki eşdeğer direni ulunuz. Örnek.5: Devre indirgeme yöntemini kullnrk şğıdki devredeki gerilimini ulunuz. 0 Ω d 48 3 Ω 8 Ω Ω Ω? d 0 Ω 89 90 Çözüm:, ve kvşklrının luşturduğu üçdirenç devresi giidir. devresinin Y eşdeğeri ile yer değiştirilmesi ve snrsınd 48 ve 3 Ω direnin gerilim kynğın dönüşümü ile ypılilir. 8 Ω 8 Ω 48 3 Ω Ω Ω? R R R 3 8 Ω 9 9 3
3 Ω Ω Ω Ω 36? Ω 44V Ω Ω? Ω Ω 7 V Ω? Ω 8? Ω 3 Ω 54 V 93 94 Üst Üste inme İlkesi ğer ir devrede irden çk kynk vrs, her devre elemnının gerilimi ve kımı ir çk ileşenin tplmındn luştuğu düşünüleilir. ir çk kynğın irlikte uygulnmsı ile herhngi ir kld luşn kım y d gerilim her ir kynğın yrı yrı etkisi ile kld üretilen kımlrın y d gerilimlerin eirsel tplmıdır. u ilke, herhngi ir dirençten geçen kımın dğrudn gerilimle rntılı lmsı gerçeğinden dğr. f ( x ) f ( x ) f ( x x ) Devrede irçk kynk vrs, her ir kynğın etkisini dikkte lırken diğer kynk devre dışı ırkılır. u durumd kynklr: Örnek.6: şğıdki devrede üst üste inme ilkesini kullnrk, ve 3 kımlrını ulunuz (u prlem Örnek. de temel yslrın dğrudn uygulnmsı ile çözülmüştü). 40 V 0 Ω 3 6 Ω 3 8 GerilimKynğı Kıs Devre kım Kynğı çık Devre V 95 96 4
Çözüm: Öne 40 V luk kynğın etkisi ykmuş gii düşünülerek (sıfır kul edilerek) kımlr ulunk, dh snr 8 lik kım kım kynğının etkisi ykmuş gii (çık devre kul edilerek) kımlr ulunrk eirsel tplm lınktır. 40 V luk kynğın etkisi ykmuş gii düşünelim (sıfır kul edilerekkıs devre). Düğüm gerilimi yöntemi kullnılrk istenilen kımlrı ullım. 0 Ω ' ' ' 3 0 V ' 6 Ω 8 8 lik kım kım kynğının etkisi ykmuş gii (çık devre) kul ederek kımlrı ullım. kımlrı ulmk için ilmek kımlrı ve ile göstererek Kirhhff kım Yssı (KY) denklemi eirsel tplm lınktır. 40 V 0 Ω 3 6 Ω 0 43, V 43, V 0Ω,6. 8 0 6 5 43, V 6Ω 7,0 43, V 5Ω 8,64 3 97 6 6 40 6 0 6,6 3,36 6,6,80 3,36 3 98 Kynklrın her ikisinin ynı nd uygulnmsı ile elde edilen kımlr, yukrıd ulunn ileşenlerin tplmı lktır.,6 6,6 4, 00 7, 0,80 0, 00 8, 64 3,36, 00 3 3 3 Dh öne Örnek. de ulunn ve temel yslrın uygulnmsı ile elde dilen kımlr ile ynıdır. Thevenin Teremi Thevenin Teremi temel lrk; krmşık ir devrenin herhngi ir çıkış uu çiftinden kıldığı zmn devrenin ylın ir içimde gösterilmesine izin verir ve unun snuu lrk, devrenin çıkışın ğlnn ir yük üzerindeki etkisinin y d tersine; yükün, devrenin ğlntı nktsının dvrnışı üzerine ypğı etkinin kly ulunmsını sğlr. Thevenin Teremi: Dirençlerden ve kynklrdn luşn herhngi ir dğrusl iki ğlntı nktlı devre y ir gerilim kynğı ve seri dirençten, y d ir kım kynğı ve prlel dirençten luşn ir kynkdirenç eşdeğeri ile gösterileilir. Gerilim kynğı gösterimine Thevenin Devresi, kım kynğı gösterimine ise y Thevenin kımkynğı eşdeğeri y d Nrtn eşdeğeri denir. 99 00 5
şğıdki devrede ve nktlrı rsındki direni düşünelim: Thevenin Teremi 0 Ω Thevenin Devresi Nsıl ulunur? Seçili iki nkt rsındki devre elemnı çıkrılır, Ω Ω u iki uç rsındki gerilim ulunur, 56 V Ω 3 Devrenin eşdeğer direni hesplnır (kım kynklrı çık devre; Gerilim kynklrı ise kıs devre ypılrk). 0 0 Örnek: şğıdki devreden ) uçlrındn ) uçlrındn görünen Thevenin eşdeğer devresini ulunuz. Çözüm: ) uçlrındn görünen Thevenin eşdeğer devresi Ω Ω Ω Ω 8 V Ω 8 V Ω R? eş T h? 03 6
Çözüm: şdeğer Direnç Çözüm: şdeğer Gerilim Kynğı R? eş Ω Ω? Th Ω Ω 8 V Ω 8 V Ω R eş ( ).() Ω ( ) 8V 4Ω ( Ω )( ) 4V 4V Th uçlrındn görünen Thevenin eşdeğer devresi: Çözüm: ) uçlrındn görünen Thevenin eşdeğer devresi R Ω Ω eş Ω 4 V R eş T h?? 8 V R eş ( ).( Ω) Ω, 5Ω Ω Ω 8V,4 7Ω (5Ω)(,4 ) 5, 7V Th 5, 7V 7
uçlrındn görünen Thevenin eşdeğer devresi: R, eş Örnek.7: şğıdki devreden en yüksek güü sğurileek R direnini ve u güü ulun. 5,7 V Ω 40 V 0 Ω 3 R 8 0 Çözüm: Güü ulmk için kımının ve R direninin ilinmesi gerekir. Güç, kım ve gerilimin çrpımı (P.V) şeklinde lduğundn kım ve gerilimin (vey direnin) kendi değerlerinden çk, çrpımı önemlidir. u nedenle R nin ir fnksiynu lrk yı veren (R) ir ğıntı ulunmlıdır. R direninin ulunmsı istendiğinden, R direni devreden çıkrılır ve devrenin geri klnının Thevenin eşdeğer devresi luşturulur. gerilimini ulmk için 40 V luk gerilim kynğı 0 Ω luk direnç ile kım kynğın dönüştürüleilir (Düğüm Nktsı Gerilim Yöntemi). 40V. R 7 kynk dönüşümü R 0Ω 0 Ω 40 V 8 7 0 Ω. 7 8 0 5 00V 8 Yukrıdki devre için Kirhhff kım Yssı (KY) denklemi kullnılırs gerilimi 8
şdeğer direni R ulmk için kynklr sıfır indirgenir (Gerilim kynğı kıs devre; kım kynğı çık devre). nktlrının gördüğü Thevenin eşdeğer devresi 00 V luk ir gerilim kynğı ve 4Ω luk ir direnç ile temsil edileilir. (Gerilim vey kım kynğı içeren devrenin ikisi için de ypıldığınd ynı snuç elde edilir). Gerilim kynğı lduğu durumd: 0 Ω (0).(5) R 0 5 0 Ω 3 00V 00V 4 R 0 4 R R direninin sğurduğu güç (P): 00 V R Ω R direni üzerinden geçen kım KGY kullnılrk P R 0000R ( 4 R) 4 Direnç Uyuşmsı (mpedns şleme) 00 V R Ω Güün direne göre değişimini veren ifdeden mksimum direnç değeri ulunurs: dp 0000(4 R) 0000(4 R) R 0 4 dr (4 R) 00V,5 4Ω 4Ω P mx (,5) (4 R 4Ω Ω ) 65W 5 00 V R Ω R 4Ω u örnek, Örnek. ile eşdeğerdir. Örnek. de 6 Ω luk direnç yerine u örnekte R direni vrdır. u örnek, Thevenin teremi yrdımı ile ir tek devre öğesine göre ir devrenin kım ve gerilimini ulilme lnğını sğlr. ynı zmnd mksimum güç iletimi için gerekli çıkış direni R nin uçlrındn kıldığınd kynğın eşdeğer direnine eşit lduğun dikkt ediniz. şdeğer kynk direnine çıkış direni denir ve çıkış direnini yük direnine eşitleme yöntemi direnç uyuşmsı (en genel lrk empedns eşlemesi) lrk ilinir. 6 Dış devre 9
, 60 V 48 0,80 mh Thevenin eşdeğeri Nrtn eşdeğeri 7 30