4. Noktasal Csm Sstemlernn Knetğ Daha öncek bölümlerde dnamğn prensplern noktasal csme uygulamıştık. Bu bölümde bu prenspler noktasal csm sstem çn genşleteceğz. 4.1 Newton un Đknc Kanununun enelleştrlmes Şeklde zole edlmş, dış F 1, F 2, F 3 kuvvetler ve f 1, f 2, f 3 ç kuvvetlernn etk ettğ m noktasal csmn göz önüne alalım. NOT: Sstem ayrık maddesel csmlerden veya sürekl maddesel noktalardan oluşmaktadır. NOT: Σ f = 0 Etk tepk prensbne göre oluşurlar. Eğer sstemn kütle merkez noktasında se m d 2 r/dt 2 = Σ m d 2 r /dt 2 (m = Σ m ). Z r r Y = r X 1
Newton un knc kanununu m noktasal csmne uygularsak: F + F +... + F + f + f +... + f = m ɺɺ r = m a 1 2 n 1 2 n TÜM SĐSTEM ĐÇĐN: n n F + f = m rɺɺ (***) =1 =1 mr = m r Sstemn kütle merkeznn tanımından Türev alınarak mɺɺ r = mɺɺ r elde edlr (m sabt). (***) Denklemnde yerne yazılırsa ɺɺ m F = F + 0 = mr veya F = ma = m dr. Bu eştlğ tüm noktasal csmlere uygulayıp sstem çm toplarsak ve kütle merkeznn tanımını kullanırsak Σ F = m d 2 r /dt 2 veya Σ F = m a elde ederz. Bu eştlk Newton un knc kanununun noktasal csmlerden oluşmuş br sstem çn genelleştrlmş haldr. 2
Bu kanun kütle merkeznn hareket prensb dye de adlandırılır.kartezyen x-y-z koordnat stemnde F = ma F = ma F = ma F = ma yazılır. ΣF//ma olup ΣF nn den geçme zorunluluğu Yoktur. Ssteme etkyen toplam dış kuvvet, Sstemn toplam kütles le kütle merkeznn Đvmesnn çarpımına eşttr. x x y y z z F 1 F 3 F 2 ΣF....... m a ΣF//ma F n F 3
4.2 Enerj Yenden daha önce çzdğmz şekl göz önüne alalım, m noktasal csm çn ş enerj bağıntısı (U 1-2 ) = T d. Bu eştlkte (U 1-2 ), noktasal csmne F = F 1 + F 2 + F 3 + (tüm dış kuvvetler) ve f = f 1 + f 2 + f 3 + (tüm ç kuvvetler) tarafından yapılan ş d. T se m noktasal csmnn knetk enerjs d. Tüm sstem çn ş-enerj denklemn aşağıdak gb yazılablr, Σ (U 1-2 ) = Σ T T = T -T T 2 1 1 = m V 2 2 O z r m 1 y r = r ρ. T1 2 m. T 2 x 4
Tüm sstem çn n (U ) = T = T U = T = T T 1-2 1-2 2 1 = 1 bulunur. (U ) U 1-2 = 1-2 ş ssteme etkyen tüm ç ve dış kuvvetlern şn temsl eder. Katı csmler ve katı csmler sstemler çn (sürtünmesz bağlı) ç kuvvetler ş yapmazlar ve moment oluşturmazlar. Sadece DIŞ KUVVETLERĐN ĐŞĐ ve moment söz konusudur. 5
Sürtünmesz deal sstemler çn ç kuvvetlern yaptığı şern toplamı sıfırdır. Böylece U 1-2 ssteme dış kuvvetlern yaptığı ş anlamına gelr. Eğer ş termne yerçekm ve elastk kuvvetlern yaptığı ş dahl etmezsek U = T -T = E, E mekank enerjsndek değşm. Yay ve ağırlık kuvvetlernn ' 1-2 2 1 şn de göz önüne alırsak ' U1-2 veya = E elde ederz. U = T + V + V = E ' 1-2 g e T + V + V + U = T + V + V ' 1 g1 e1 1 2 2 g 2 e2 Şmd sstem çn T = Σ (1/2) m v 2 KE (Knetk Enerj) termn nceleyelm. Not: Br csmn kütle merkez le lgl br büyüklük gösterlrken ya o büyüklügün üstü çzlr veya nds kullanılır. Örneğn kütle merkeznn hızı v veya v le gösterlr. 6
Br noktasal csmn hızını v = v + ɺ ρ Z O X r m ρ r = r x z Y y r = r +ρ dr dr dρ = + dt dt dt v = v + ρɺ şeklnde yazablrz. Burada v sstemn kütle merkeznn hızı ve ρ, le beraber hareket eden (ötelenen) eksen takımına göre noktasal csmn bağıl hızı d, 1 1 1 2 1 2 T= Σ mvv = Σ m (v + ρ ɺ ) (v + ρ ɺ ) = Σ mv + Σ m ρɺ + Σmv.ρɺ 2 2 2 2 d Σ m vρ. ɺ = v. Σ m ρɺ = v. ( Σmρ ) olur. dt 1.term 2. term ρ kütle merkeznden ölçülüyor. Yukarıdak formülde 3. Term sıfıra eşttr dolayısıyla toplam knetk enerj; 3. term 7
1 1 T= mv + Σ m ρ ɺ 2 2 2 2 şeklndedr. Bu formül sstemn toplam knetk enerjsnn, kütle merkeznn br bütün olarak öteleme knetk enerjs artı tüm noktasal csmlern kütle merkezne göre bağıl hareketnn knetk enerjs olduğunu söyler. Σmρ Σmρ ρ = = d. Eksen takımı de olduğu çn = 0 Σm m ρ, Σ mρ = 0 olmalı. O x z y m V = m V.. 8
4.3 IMPALS-MOMENTUM a) Lner Momentum Br noktasal csmn lner momentumu = m v olarak tanımlanır. Sstemn lner momentumu onu oluşturan tüm noktasal csmlern lner momentumlarının vektörel toplamıdır. = Σ m v Burada v = v + dρ /dt ve Σ m ρ = m ρ = 0 yazarsak d = Σ m (v + ρ ɺ ) = Σ m v + Σmρ dt d = vσ m + (0) dt Z O X V ρ r r z x Y V y 9
= Σ mv = mv = mv = Σm v elde ederz. Bu eştlk sabt kütlel br sstemn lner momentumunun sstemn kütles le kütle merkeznn hızının çarpımına eşt olduğunu söyler. Yukarıdak eştlğn zamana göre türevn alırsak d d d = (m v ) = ma ΣF = bulunur. dt dt dt Bu fade br tek maddesel csm çn daha önce elde ettğmz Σ F = Newton un hareket denklemnn değşk br fadesdr. Kütle sabttr. b) Açısal Momentum ɺ le aynıdır. Şmd br noktasal csm sstemnn açısal momentumunu sabt br O noktasına, kütle merkezne () ve herhangbr P noktasına göre belrleyeceğz. 10
z = ρ r = r x O (sabt) y O noktasına göre: Noktasal csm sstemnn açısal momentumunun sabt br O noktasına göre (sabt Newton referans sstemne göre) yazarsak, H = Σ ( r m v ) O Bu fadenn zamana göre türevn alırsak, 11
0 Hɺ = Σ ( rɺ m v ) + Σ ( r m vɺ ) = Σ ( rɺ m v ) + Σ ( r m a ) = Σ r F = ΣM 0 0 Yukarıdak formülde lk fade yok olur ve ΣM = H ɺ 0 0 elde ederz. Bu eştlk sabt br noktaya göre ssteme etk eden tüm dış kuvvetlern momentnn, sstemn açısal momentumunun zamana göre değşme oranına (türevne) eşt olduğunu söyler. Eğer sstemn kütles zamanla değşyorsa bu eştlğ uygulayamayız. noktasına göre: Noktasal csm sstemnn kütle merkez ye göre açısal momentumu her br noktasal csmn lner momentumunun noktasına göre momentlernn toplamıdır. H = Σ ρ m rɺ... (A) 12
yukarıdak eştlkte rɺ yerne ( rɺ + ρ ) ɺ yazarsak, H = Σ ρ m ( rɺ + ρ ɺ ) = Σ ρ m rɺ + Σ ρ mρɺ 0 elde ederz. Yukarıdak eştlklerdek brnc fade kütle merkeznn tanımından dolayı sıfıra eşttr. Böylece H = Σ ρ m ρɺ (B) ɺ (NOT: Σ ρ mrɺ = r Σmρ yazılır. Σ mρ = 0 olur. Kütle merkez tanımından) elde edlr. (A) eştlğ mutlak açısal momentum eştlğdr (çünkü mutlak hız kullanıldı). (B) eştlğ bağıl açısal momentum eştlğdr (çünkü bağıl hız kullanıldı). Kütle merkez ye göre sstemn mutlak ve bağıl açısal momentumu aynıdır, bu herhang br P noktası çn geçerl değldr. (A) eştlğnn zamana göre türevn alırsak; r = rɺ + ρ ɺ ɺ kullanılarak ( = + d) r r ρ, r = r d 13
0 Σm ɺɺ r Hɺ = Σ ρɺ m (r ɺ + ρ ɺ ) + Σ ρ m ɺɺ r = Σ ρ (F + f ) = Σ ρ F = Σ M Burada F noktasal csme etk eden dış kuvvetler f se noktasal csme etk eden ç kuvvetler temsl edyor. Böylece Σ ρ Σ F = Σ M elde ederz. Buradan Σ M = dh /dt olduğu görülür. NOT: Σ M 0 = H ɺ 0 ve Σ M = H ɺ Denklemler Dnamğn öneml denklemler olup, sabt kütlel rjd veya rjd olmayan belrl maddesel sstemlere uygulanır. P noktasına göre: Herhang br P noktasına göre sstemn açısal momentumu, ρ = ρ + ρ kullanılarak; ( ) H = Σ ρ m rɺ = Σ ρ + ρ m rɺ = Σ ρ m rɺ + Σ ρ m r p Σ ρ m rɺ = ρ Σ m rɺ = ρ Σ m v = ρ mv (lk term: 14
ÖTELEME YAPAN EKSENLERDE Σm v = mv d ) dye tanımlarız. Burada lk term ρ mv şeklnde ve knc term Σ ρ m rɺ = H H = H + ρ mv p şeklnde yazarsak aşağıdak eştlğ elde ederz. Bu eştlk herhang br P noktasına göre açısal mutlak momentumun, kütle merkez noktasına göre açısal momentumu artı kütle merkeznn Lner momentumunun P noktasına göre moment dye de okunablr. Şmd Statkte elde ettğmz (bldğmz) moment prensbn kullanacağız. 15
x O z r r p r m ' ρ y ρ. P A Denklemne benzer br momentum bağıntısını, P ye göre MOMENTUM u kullanarak yazalım: p b. ( H ) = Σ ρ m ρɺ, ρɺ : m 'nn P'ye göre hızıdır. ρ = ρ + ρ ρɺ = ρɺ + ρɺ kullanılarak ( H ) = Σ ρ mρɺ + Σ ρ mρɺ + Σ ρ mρɺ + Σ ρ mρɺ p bağıl Brnc term: Σ ρ mρɺ = ρ mv b ρ. 16
Đknc term: Σ ρ mρɺ = ρ mv b Σ ρ mρɺ = ρɺ Σ mρ = 0 Üçüncü term: Σ ρ m ρɺ = ( H ) Dördüncü term: b ( ) ( ) b H = H + ρ mv p b b P noktasına göre Moment, P noktasına göre AÇISAL MOMENTUM cnsnden yazılablr. ( H ) = Σ ρ mρɺ tanımından türev alarak p b ( Hɺ ) = Σ ρɺ mρɺ + Σ ρ m ɺɺ ρ ; ɺɺ r = ɺɺ r + ρɺɺ kullanılarak p b p 0 ( Hɺ ) = Σ ρ m ( ɺɺ r ɺɺ r ) = Σ ρ m ɺɺ r Σ ρ m ɺɺ r p b p p ΣM p 17
Σ M = ( Hɺ ) a Σm ρ Σ M = ( Hɺ ) a mρ ρ p p b p p p b p Σmρ = mρ = Σmρ Σm Σ M = ( Hɺ ) + ρ m a = ( Hɺ ) + ρ ma p p b p p b p NOT: Moment merkez olarak seçlen p noktasının a p vmes blndğ zaman bu bağıntı yararlıdır. = o 1 ap 0 se ɺ o p p b o ρ ap NOT: Σ M = ( H ) 2 ρ = ρ = 0 se 3 ve paralel se 18
Bu bağıntı bze herhang br P moment merkezne göre moment yazma şansını verr. Katı csm knetğnde önemldr. Şeklde noktasına etk eden bleşke kuvvet ve onun oluşturduğu moment görülüyor. P noktasına göre momentlern toplamını Σ M = Σ M + ρ ΣF veya Σ M = Hɺ + ρ ma p şeklnde yazablrz. Moment nakl teoremnden Σ M = Σ M + ρ ΣF Σ M = Hɺ konularak Σ M = Hɺ + ρ ΣF veya Σ M = Hɺ + ρ Σma p p p p yazılır. elde edlr. 19
4.4 Enerjnn ve Momentumun Korunumu Br noktasal csm sstemnde toplam mekank enerjnn ve toplam momentumum bell br zaman aralığında değşmedğ durumlar hareket problemlernde sık sık görülür. Şmd bunları ayrı ayrı nceleyelm: a) Enerjnn Korunumu: Br noktasal csm sstem eğer, ç sürtünmeler ve elastk olmayan elemanlar tarafından sönümlenerek enerj kaybetmyorsa bu sstemn konservatf (saklayıcı, koruyucu sstem) olduğu söylenr. Eğer br zaman aralığında dış kuvvetler tarafından ssteme br ş yapılmamışsa (ağırlık ve elastk kuvvetler harç) bu sstemde br enerj kaybı yoktur. U 1-2 = T + V + Ve = E d. E = 0 veya E lk = E son böylece 20
T + V g + V e = 0 veya T 1 + V g1 + V e1 = T 2 + V g2 + V e2 yazablrz. Buna dnamk enerjnn korunumu kanunu denr. b) Momentumun Korunumu Eğer herhang br zaman aralığında br noktasal csm sstemne etk eden toplam dış kuvvetlern bleşkes 0 se d/dt = 0 ve bu zaman aralığında ( Σ F = ɺ d ) 1 = 2 dr. Buna lner momentumun korunumu prensb denr. Eğer benzer şeklde herhang br noktasal csm sstemne, herhang br sabt O noktasına veya kütle merkezne göre etk eden dış kuvvetlern momentlernn toplamı 0 se, Σ M = Hɺ veya ΣM = Hɺ O O (H O) 1 = (H O) 2 veya (H ) 1 = (H ) 2 bağıntılarından Buna açısal momentumun korunumu prensb denr. 21
Problem 4/1: m kütlesndek üç topun herbr, kütles hmal edleblen br açısal kafese kaynak edlmştr. Eğer an br F kuvvet şeklde gösterldğ gb br çubuğa uygulanırsa a) O noktasının vmesn b) Çubuk sstemnn açısal vmesn hesaplayınız. Sstem sürtünmesz yatay br düzlemde bulunuyor. 22
Çözüm 4/1 : 1 Sstemn kütle merkez O noktasıdır. Σ F = ma = ma F = 3ma a F a = a0 = a = bulunur. 3m 2 dr dθ v = er + r eθ dt dt ɺɺ θ' y ΣM = Hɺ moment prensbnden elde edeblrz. 23
H = H = Σ ρ m rɺ 0 dr dθ dθ H = Σ re 3m e + r e = 3mr e dt dt dt H = 3mr θɺ e H = 3mr θɺ elde edlr. 2 0 r r θ z 2 2 0 z 0 d Σ M = H M = Hɺ = ɺe dt 2 Σ 0 0 (3mr θ z ) Σ M = Σ M = Fbe = 3mr ɺɺ θe ɺɺ θ = Fb 3mr 2 0 z z 2 - şaret açısal vmenn yönünü belrtr. Büyüklüğü ɺɺ Fb θ = 3mr 2 dr. 24
Problem 4.2: 4/1 dek sstemde O noktasında kaynak yerne menteşe kullanılırsa ne fark eder? açıklayınız. Çözüm 4/2: Newton un hareket kanunu her maddesel sstem çn geçerldr. Yan kütle merkeznn a = F a = a = fark yok. 3m a vmes 4/1 dek gb olur. Kütleler O etrafında serbestçe dönerken, O menteşes artık sstemn kütle merkez değldr. ΣMve H ɺ fadeler her k problemde aynıdır. Çubukların (parmaklıkların) açısal hızları (hareketler) brbrnden farklıdır. Kolayca hesaplanamaz. 25
Problem 4/3: 20 kg kütlesndek br bomba 0 noktasında x-y düşey düzlemnde 300 m/s lk hızı le şeklde gösterldğ eğmle fırlatılıyor. Bomba yörüngenn en yüksek noktasına erştğnde patlayıp A, B ve C parçalarına bölünüyor. Patlamadan sonra A parças dkey olarak 500 m. yükselyor, B yatay v B hızına sahp ve Q noktasında yere çarpıyor. A, B ve C nn kütleler 5kg, 9kg. Ve 6kg. oldukları parçalar bulunduktan sonra tespt edlyor. C nn patlamadan hemen sonrak hızını bulunuz. Atmosferk sürtünmey hmal edn. 26
Çözüm 4/3: v z =-gt+v 0 (düşey atış), P noktasında v z =0 (P maksmum nokta) 0 gt t u g z = mak + uz mak = = usnθ g 2 2 z = gt + (v z) 0t P noktasında h = (9,81). + Mz 1 1 Mz Mz 2 2 g g A'nın hızı v = 2gh = 2(9,81)(500) = 99,0 m/s A B'nn hızı se v B A = yol 400 m 163,5 m/s zaman = 24,5 s = Patlama kuvvet, bomba ve üç parçadan oluşan sstem çn br ç kuvvet olup patlama anında değşmez. Σ F = Σ f = 0 Momentum korunumludur. = = mv = m v + m v + m v 1 2 A A B B C C 27
3 20 (300) = 5(99,0) + 9(163,5)( cos 45 + k sn 45 j) + 6vC 5 6v = 2560 1040j 495 k = (427 173j 825 k) m/s C 2 2 2 v C = (427) + ( 173) + ( 82,5) = 468 m/s v C v 427 427 = = = = vc 468 468 v 173 173 β = = β = = v 468 468 Cx cosα α arccos 24,16 Cy cos arccos 113,96 C v 82,5 82,5 γ v 468 468 Cz cos = = = arccos = 100,15 β C 28
Problem 4/4: 16 kg kütlel A vagonu 1.2 m/s hızı le kend yatağında yatay olarak hareketldr. Vagon, O noktasında mafsallı k çubuğa tespt edlen dört topu taşıyor. Topların kütleler 1,6 kg dır. 1 ve 2 topu verlen yönde 80 dev/dak ; 3 ve 4 topu 100 dev/dak hızı le dönüyor. Tüm sstem çn a) T knetk enerjy b) = Lner momentumunu c) H O =H O açısal momentumunu hesaplayınız. 29
Çözüm 4/4: Knetk enerj: dr dθ ρɺ = vbağ v = er + r eθ dt dt 80(2 π ) (v ) 1 2 = rθ ɺ = (0,450) = 3,77 m/s 60 100(2 π ) (v ) 3 4 = r θ ɺ = (0,300) = 3,14 m/s 60 Sstemn knetk enerjs 1 1 v ρɺ 2 2 2 T = m 2 + Σ m ( ) d 30
T T 1 1 1 = [16 + 4(1,6)](1,2) + 2[ (1,6)(3,77) ] + 2[ (1,6)(3,14) ] 2 2 2 = 54,66 J 2 2 2 1 2 3 4 0 2 = m v = [16 + 4(1,6)](1, 2) = (26,88 ) kgm/s 0 3 տ H0 r mv r1 m1v1 r2 m2v2 + = Σ = + + r m v + r m v 3 3 3 4 4 4 H = 2[0, 45 e + (1,6)(3,77) e ] + 0 r θ 2[0.300 e + ( 1,6)( 3,14) e ] r H e e 3 4 2 0 = (5,43 z 3,02 z ) kgm /s 2 H0 = 2,41kgm /s θ 1 2 31