. DIM. şağıdaki ifadelerin bir önerme olup olmadığını belirtiniz. a. sal sayıların hepsi tek sayıdır. önerme b. Türkiye 7 farklı coğrafi bölgeden oluşur. önerme c. Çay içmeye gelen var mı? önerme değil. p:.. dir. q: bir doğal sayıdır 0 r: nkara, Türkiye nin başkentidir t: En küçük asal sayı dir 0 önermelerinden birbirine denk olanları bulunuz. p / r q / t d. önerme e., >, önerme f. Üçgenin iç açıları dar açıdır. önerme. şağıda verilen önermelerin değillerini yazınız. a. p: Bazı aylar 0 gündür p : Bazı aylar 0 gün değildir.. şağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini yanlarındaki boşluğa yazınız. a. + < 7 b. Her doğal sayının karesi kendisinden büyüktür. 0 b. q: Yüzölçümü en büyük olan ilimiz İstanbul dur. q : Yüz ölçümü en büyük olan ilimiz İstanbul değildir. c. r: Bütün asal sayılar pozitiftir. r : Bütün asal sayılar pozitif değildir. c. En küçük iki doğal sayının toplamı dir. 0 d. Topkapı Sarayı, İstanbul dadır. e. Güneş e en yakın gezegen Dünya dır. 0 7. şağıda verilen önermelerin değillerini yazınız. a. p: > dir. p : - G -. 8 tane önermenin birbirine göre kaç farklı durumu vardır? 8 b. p: + dir. q : +!. n+ n+ n + n c. r: + tür. r : + d. s: s : tür.
8. p : Bir hafta 7 gündür. q : 0 pozitif bir sayıdır. r : 9 önermeleri için (p r) q bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p (0 ) 0 q 0 0 r 0 9. p q 0, q r olduğuna göre, p (q r ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p q 0 0 r (0 0) p 0 r 0 q 0 0 0. şağıda verilen doğruluk tablosunu doldurunuz. p q p p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0. şağıdaki doğruluk tablosunu doldurarak (p q) p q denkliğinin ispatını yapınız. p q p q p q (p q) p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. p, q, r 0 önermeleri için verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. (p r) q /( 0/ 0)' Q0 / Q 0 / b. (p q ) r /( Q0) 00 / / 0 / 0 c. (p q) (p q) / ( 00) /( Q 0) / / /. şağıdaki boşlukları doldurunuz. a. p v 0 0 ise p. (p q) p bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz. p' (q' q) p' 0 0 b. p ise p 0 c. p q ise p q 0 d. (p 0) q 0 ise p q 0 e. p q ise (p q) 0. (p ) p bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz. p p'. (p ) (p 0) bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz. ' p' 0 p' 0 7. p q 0 q r 0 olduğuna göre, p (q r) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. q / 0 / / ( 000) r / 0 / / 0 p / 0 / 0
8. p q r q 0 olduğuna göre, p (q r) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p / 0 0Q ( / 0) q / 0Q 0. p, q 0 ve r olduğuna göre, (p q) (r q ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. (0 & 0) 0 ( & ) / 0 / r / 0 / 0. p q 0 q r olduğuna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz. p / 0 9. p: 0, bütün doğal sayılardan küçüktür. q: Her doğal sayının karesi kendinden büyüktür. q / 0 r / önermeleri için (p q) (p q ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p / 0 ( 0/ 0) 0( 00) q / 0 / 00. (p q ) bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz. ( p' 0 q')' / p/ q /. (p q ) p bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz. ( p' 0 q') & p'. DIM ( p' 0q')' 0 p' _ p/ qi 0p' / ( p' 0 p) /_ q0 p' i / /_ q0p' i / q/ p'. p: hmet harçlığından düzenli olarak para biriktirir. q: hmet bisiklet alır. önermeleri veriliyor. Buna göre, p q: hmet harçlığından düzenli olarak para biriktirirse bisiklet alır. p q : hmet bisiklet alırsa harçlığından düzenli olarak para biriktirir. önermelerini yazınız.. (p q) (p q) bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz. ( p' 0q)' 0 ( p/ q) / p/ / ( p0q') 0 ( p/ q) / p / ( p/ ( q' 0q)
7. li çalışırsa sınavda başarılı olur. önermesinin tersi: li çalışmazsa sınavda başarılı olmaz. karşıtı: li sınavda başarılı olursa çalışır. karşıt tersi: li sınavda başarılı olmazsa çalışmaz. 8. p q önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini yazınız.. p q 0 q r olduğuna göre, (p r) q bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p / / ( & ), 0 q / 0 /, 0 r / / 0 Tersi: Karşıtı p' q' & q & p Karşıt tersi: q & p'. p q 0 9. (p q) p önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini yazınız. Tersi: ( p0 q)' & p' olduğuna göre, (p q) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. & / Karşıtı p & ( p0 q) Karşıt tersi: p' & ( p0 q)'. p q 0 0. şağıdaki doğruluk tablosunu doldurarak p q q p olduğunu gösteriniz. p q p q p q q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 olduğuna göre, (p q) p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p' q' / p / 0 / ( ) 0 &, 0 / 0 q / /, 0 / 0. p q (p q) (q p). şağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. ( 0) 0, / 0 b. ( ) ( 0) & 0 / 0 c. ( 0) (0 ) 0 & / denkliğini aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurarak ispat ediniz. p q p q q p (p q) (q p) p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
. (p ) p bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz. p0 p' /. (p 0) (p ) önermesinin totoloji olduğunu gösteriniz. Totoloji 7. (p p) q bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.. (p p) (p p ) önermesinin çelişki olduğunu gösteriniz. Çelişki / '/ q / 0 / q / 0. p (q p) önermesinin totoloji olduğunu doğruluk tablosu yaparak gösteriniz. 8. (p ) (p ) bileşik önermesinin çift gerektirme olduğunu gösteriniz. /, / p q q q p p (q p) 0 0 0 0 0 0 0 9. p: ñ + ñ ñ q: ñ. ñ ñ r: ñ ñ olduğuna göre, (p r) (q r) bileşik önermesinin çift gerektirme olduğunu gösteriniz. p / 0 / ( 0 & 0), ( 0 0). DIM. Tam sayılar kümesinde tanımlı P() : < önermesinin çözüm kümesini bulunuz. #-,-, 0., - q / / + r / 0 /. P() : < 0, bir pozitif tam sayı önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. 0. şağıdaki önermelerin totoloji mi, çelişki mi olduğunu inceleyelim. a. (p ) (p 0) Çelişki b. (p 0) p Totoloji #, -. P(, y) : + y, ve y pozitif tam sayı önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. #(, ),(, ),(, ),(, ) -
. Tam sayılar kümesinde tanımlı P(, y) : + y açık önermesi veriliyor. Buna göre, aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. + G a. G P (,) önermesinin doğruluk değeri dir. b. G % P(, ) önermesinin doğruluk değeri 0 dır.. şağıda verilen önermeleri veya sembollerini kullarak yazınız ve doğruluk değerlerini bulunuz. a. Her gerçek sayının kendisine bölümü e eşittir. 8. R, < 0 önermesinin doğruluk değerini bulunuz. önermenin doğruluk değeri dir. 9. Z, > önermenin değilini yazınız. Z, 0. R, + önermenin değilini yazınız. R, + b. Bazı tam sayıların fazlası ten küçüktür. c. Her gerçek sayının karesi kendisinden büyüktür. a. d R, 0 b. 7 d Z, + c. d R, 0. (, ) (, 0) bileşik önermesinin değilini yazınız. ( 7, ) 0 ( -! 0). Sembolik mantık dilinde verilen aşağıdaki önermeleri sözel olarak ifade ediniz ve doğruluk değerlerini bulunuz. a. N, b. R, 0 c. Z, 0 a. Bazı doğal sayıları karesi karesi kendisine eşittir.doğruluk değeri ' dir. b. Her gerçek sayının karesi 0 dan büyük veya eşittir. Doğruluk değeri 'dir. c. Bazı tam sayıların kendisine oranı 0' dır Doğruluk değeri 0 dır. 7. R, > 0 önermesinin doğruluk değerini bulunuz. 0 için 0 0 olduğundan önermenin doğruluk değer 0 dır.. ( R, ) ( R, > ) bileşik önermesinin değilini yazınız. 7( 7 d R, )' /( 7 d R, # ). " ise 0 dır" önermesini ispat isteniyor. Olmayana ergi yöntemini kullanarak "! 0 ise! " önermesini ispat etmeliyiz.! 0 ifadesinde iki tarafa toplarsak! elde ederiz. Bu da önermenin doğru olması demektir.
. a n + (n z) + b m + (m z) olur. a + b (n + m) + k a + b k + ifadesi çift sayı olduğundan a + b toplamı çift sayıdır.. rdaşık üç çift sayı <a, b ve c olsun. a n b n + c n + a + b + c n (n + ) ifadesi ile tam bölünür. 9., ve sayıları üç ardaşık doğal sayıdır ve toplamı 9 dur. 9 sayısı tam bölünmediğinden "rdaşık doğal sayısının toplamı ile tam bölünür" önermesi doğru değildir. 0. n için P() :..(+) olduğundan P() doğrudur. n k için P(k) : + + +... + k k(k + ) doğru olduğunu kabul edelim. n k + için, p(k+) + + +... + (k + ) (k+).(k+) olduğunu ispatlayalım. + + +... + k k.(k + ) Eşitliğin her iki tarafına (k+) ekleyelim. + + +... + k+ (k +) k(k +) + (k + ). için > > doğru + + +...+ k + (k + ) k(k + ) + (k +) + + +... + (k + ) (k + ).(k + ) P(k + ) doğrudur. P(k + ) doğru olduğundan n N + için için için s için > 9 > > > s > s s > s doğru doğru doğru P(n) önermesi doğru olur.. n için p() :.. n k için P(k) : + + +... + k, p() Doğru k(k + ).(k + ) doğru olduğunu kabul edelim. n k + için, P(k + ) + + +... + (k + ) (k+).(k+).(k+) 7. için ( ) ( ) 0 9 + 0 0 0 doğru için 0 0 0 0 0 doğru olduğundan 0 denkleminin çözüm kümesi {, } olur. 8. n. + 7 sayısı ile tam bölündüğünden " doğal sayı olmak üzere, n + ifade ile tam bölünür." önermesi doğru değildir. olduğunu ispatlayalım. + + +... + k k(k + ).(k + ) Eşitliğin her iki tarafına (k+) ekleyelim. + + +... + k + (k +) k(k + ).(k + ) +(k+) + + +... + (k + ) k(k + ).(k + ) + (k+) (k + ).(k(k + ) + (k + )) (k + ).(k + 7k + ) (k + ).(k + ).(k + ) P(k + ) doğru olur. P(k + ) doğru olduğundan n N + için P(n) önermesi doğrudur. 7
. DIM. şağıdaki ifadelerden küme belirtenlerin karşısına, belirtmeyenlerin karşısına işareti koyunuz. c. C { < 0, k, k Z} C {, 8, 0} 8 0 C a. Haftanın C ile balayan günleri b. Sınıfımızdaki uzun boylu öğrenciler c. Karesi negatif olan doğal sayılar d. Sınıfımızdaki kız öğrenciler e. yi tam bölen doğal sayılar d. D {lfabemizdeki sesli harfler} D {a, e, ı, i, o, ö, u, ü,} a o D f. 0 dan küçük herhangi üç rakam e ö ı u. KIRIKKLE i ü kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümeyi liste yöntemiyle gösteriniz. (K, I, R,, L, E). {y < y 0, y k, k tam sayı} olduğuna göre, s() kaçtır? e. E {, in asal çarpanları} E {7, } E S () 7. şağıda ortak özellik yöntemi ile verilen kümeleri liste ve Venn şeması ile gösteriniz. a. { < 9, tam sayı} {, } -. şağıda verilen kümelerin boş küme olup olmadıklarını belirtiniz. b. B { ( ).( + ) 0} B {, } B - a. {, R} Boş küme değil b. B { > 0, asal sayı} Boş küme değil c. C {, Türkçe de Ğ ile başlayan kelime} Boş küme d. D {, R} Boş küme e. E { < <, R} Boş küme değil 8
. şağıda verilen kümelerin hangisinin sonlu, hangisinin sonsuz küme olduğunu belirtiniz. a. { < < 7, Z} Sonlu küme b. B { < < 7, R} Sonsuz küme c. C {, Z} Sonlu küme d. D { >, Z} Sonsuz küme e. E { <, Z} Sonlu küme f. F { <, R} Sonsuz küme 9. Bir okulun sınıfındaki öğrencilerin kümesi olsun. K {Sınıftaki kız öğrenciler} L {Sınıftaki erkek öğrenciler} M {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler} N {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler} kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdaki doğru yanlış tablosunda uygun yerleri işaretleyiniz. Doğru Yanlış a. K L b. N L c. M K d. K e. L 7. N B M C K D P E L f. M g. N 8. K 0. {a, b, {c, d}, e, {f}} kümesi veriliyor. {} Buna göre, aşağıdaki boşluklara,,,, sembollerinden uygun olanlarını yazınız. a. b b. f Kümesinin tüm alt kümelerini yazınız. boş küme # - elemanlı # -, # -, %# -/ elemanlı #, -,%, # -/,%, # -/ elemanlı %, # -/ c. {a} d. {c, d} e. {e} f. {b} g. d h. {{f}} ı. {a, b} i. {a, e} 9
. şağıda verilen kümelerin alt küme sayılarını bulunuz. a. { < 7, N} lt küme sayısı 8 8 b. B { ÇNKKLE kelimesinin harfleri} lt küme sayısı c. C { ( ).( + ) 0, R} lt küme sayısı d. C { < 9, Z} lt küme sayısı e. C {, ü tam böler, Z) lt küme sayısı. Bir kümenin eleman sayısı artırıldığında alt küme sayısı kaç katına çıkar? Hesaplayınız. eleman sayısı n olsun alt küme sayısı n artırıldığında alt küme sayısı n+ n+ n 8. Bir kümenin eleman sayısı artırıldığında eleman sayısı artıyor.. {a, b, c, d, e, f, g, h, k} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a. a bulunur? b. c bulunmaz? c. b ve c bulunmaz? 8 d. f ve g bulunur? 8 e. g bulunur, h bulunmaz? 8 f. e, k ve h bulunmaz? g. Sesli harf bulunmaz? 8 h. En az bir tane sesli harf bulunur? 8. {,,,,,, 7} B {,,, 7} C {, } kümeleri için B # 7,,, - B C #, - B C #, -. DIM kümelerini bulup Venn şemasıyla gösteriniz. Buna göre, kümenin eleman sayısını hesaplayınız. eleman sayısı n olsun alt küme sayısı n olur. eleman sayısı artırıldığında alt küme sayısı n+ n+ - n n (8 - ) n. 7 n n olur. C 7 B C B B B C B C C B. {,,, } kümesinin ün bulunup, ün bulunmadığı tüm alt kümelerini yazınız. # Y, Y,, - { < 0, k, k Z} B { 9 <, k, k Z} olduğuna göre, s( B) yi hesaplayınız. + B# 9# # 0 kk! z- + B#, 8,, 0, - s_ + Bi 0
B {,, } C {,, } koşullarını sağlayan, B ve C kümelerini Venn şeması çizerek gösteriniz. C. {a, b, e} B B {a, b, c, d} olduğuna göre, ( B) K ( B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? 7. B 7 8 C Yukarıdaki şekilde verilen, B ve C kümeleri için istenen kümeleri yazınız. a. B # 9, - b. B C # 789,,,,,, - c. ( B) C #,, - d. ( C) B # 9,,,, - 0 9 ) B) C) D) 8 E) 9 (00 YGS) B {a, b} B {a, b, c, d, e} K {a, b...} B kümesinden a ve b elemanını sildiğimizde geriye eleman kalır. 8 tane K kümesi yazılabilir. Cevap D. {,, } B {,,, } olacak şekilde yazılabilecek tüm B kümelerini yazınız. B kümesinden,, ve elemanlarından kesinlikle B kümesindedir. Geriye kalan elemandan 8 farklı alt küme oluşacağından Cevap 8 dir.. ve B ayrık kümelerdir. s().s(b) s( B) 8. { < 9, doğal sayı} B { < 9, çift doğal sayı} C {, bir rakam} kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdaki kümeleri yazınız. a. B # 8, - b. B C # 0789,,,,,,, - c. B C # 8, - d. B C # 0789,,,,,,, - e. ( B) C # 789,,,, - olduğuna göre, s() ve s(b) değerlerini bulunuz. B + s(). 0 s(b)
9. şağıdaki istenen kümelerin belirttiği bölgeleri tarayarak gösteriniz.. B {a, b, c, d, e} B C {c, d, e, f, g} a. B C b. B olduğuna göre, s[b ( C)] değeri kaçtır? B ( C) (B ) (B C) {c, d, e} s[b ( C)] ( B) C C ( B) ( C). s( B) s() + s(b) + s( B) c. d. B C (B C) C (B C) 0. nın, B nin elemanı B nin elemanı değildir. s() olduğuna göre, s(b) kaçtır? B olduğuna göre, değerini bulunuz. s( B) s() + s(b) s( B) + ( ) + + + + B. ve B kümeleri için, s( B) 0 s().s(b) s( B) + s(b) + + 7. ve B ayrık kümelerdir. olduğuna göre, s(b) değerini bulunuz. s( B) S() + S(B) S( B) 0 + nın alt küme sayısı, B nin alt küme sayısı 8 olduğuna göre, s( B) değeri kaçtır? s() n s(b) m s( B) s() + s(b) n m 8 + n m 7. s() + s(b) s() s(b) s(b) + s(b). s(b) 8 s(b). ve B kümeleri için s().s( B) s(b).s( B) s( B) olduğuna göre, s() kaçtır? s( B) s() + s(b) s( B) s() +. 8
7., B ve B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla, 8 ve dir. Buna göre, s( B) kaçtır? s() n s( B) m s(b) k n m 8 k n m k s( B) s() + s(b) s( B) + s( B) 8. ve B ayrık kümelerdir. nın alt küme sayısı, B nin alt küme sayısının 8 katıdır. s( B) olduğuna göre, s(b) kaçtır?. a. + B # 0 # 0, k, k! z- + B #, 0,,, 8- s ( + B) b. #, 8,... 8-8 - s() + B # 0,,...- 0 0 s(b) + 8 s(, B) s() + s(b) - s( + B) + 8 - s() n s( B) s() + s(b) s(b) m m + + n 8. m 0 m n. m m n m+ s(b) n m +. s() 7 s(b) olduğuna göre, aşağıdaki boşlukları doldurunuz. a. s( B) en çok 7 + 9. s ( ) sb ( ) s( B) s( B) olduğuna göre, s() kaçtır? s() k s( B) s() + s(b) s( B) s(b) k k + k k s( B) k k k s() 8 b. s( B) en az s() 7 c. s( B) en çok s(b) d. s( B) en az yrık olur iseler 0. ve B ayrık olmayan kümelerdir. s() s(b) 0. { 0 < 8, tam sayı} B { <, tam sayı} olduğuna göre, a. s ( B) değerini hesaplayınız. B {,,..., 8} s( B) 8 + b. s( B) değerini hesaplayınız. B) {,..., } s( B) + olduğuna göre, s( B) en çok kaçtır? yrık değil ise + + 8 B
. B olmak üzere, s() s(b) olduğuna göre, s( B) en çok kaçtır? s( B) en çok s() olur. Fakat B olduğundan B s( B) olacaktır. 7. B B C olmak üzere, s(c).s(b).s() s( B C) 8 olduğuna göre, s( B C) değerini bulunuz. s() k s(b) k s(c) k s( B C) s(c) k 8 k s( B C) s() k.. s( B C) s() s(b) s(c) s( B C). DIM. şağıda verilen taralı bölgeleri ifade ediniz. a. E B olduğuna göre, s( B) + s(b C) + s( C) değerini hesaplayınız. s( B C) s() + s(b) + s(c) s( B) s(b C) s( C) + s( B C) + + + 9 ( B) b. E B. s ( B) 8 s () s (B) koşullarını sağlayacak şekilde ve B kümelerini gösteren bir Venn şeması çiziniz. ( B) B. a. s( ) + + + 0 b. s((b C) ) + c. s(( B C) ) + + + + + + d. s( B) + s(b C) + + + 9 e. s(b ) + s(c ) 9 + 8 7
. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s( B ) 7 s(e) olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısını bulunuz. s(' B') s( B)' 7 s( B) + s( B)' s(e) s( B) + 7 s( B). ve B, E evrensel kümes inin alt kümeleridir. s() + s(b ) s(b) + s( ) 9 olduğuna göre, s(e) değerini bulunuz. s() + s(b') + s(b) + s(') 9 s() + s(') + s(b) + s(b') s(e) s(e) 8. B {a, c, e, k} 9. ve B kümeleri için s( B) s(b ) s( B) olduğuna göre, s() kaçtır? s( B) s( B) + s(b ) + s( B) + + s ( B) 8 + s( B) s( B) s() s( B) + s( B) + s() 7 0. ve B kümeleri için s( B) + s(b ) s( B) olduğuna göre, s( B) kaçtır?. şağıda verilen kümeleri tarayarak gösteriniz. S ( B) s( B) + s(b ) + s( B) + a. b. B E B E. ve B kümeleri için.s( B).s( B) s(b ) s( B) a B. ' ( B') ' B' E B' E ( B) B olduğuna göre, kümesinin eleman sayısını bulunuz. s( B) s( B) s( B) + s(b ) +s( B) s( B) + + s(b ) s() s( B) + s( B) s() +. 0 7. şağıda verilen taralı bölgeleri ifade ediniz. a. B C b. B C (-B)-C B-( C). B, B ve B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla, 8 ve olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? s( B) n s( B) m s(b ) k n m 8 k n m k s( B) s( B) + s(b ) + s( B) + +
. şağıda verilen kümeleri tarayarak gösteriniz. a. B b. B C. {a, b, c, d} B {c, d, e, f, g} olduğuna göre, ( B) (B ) kümesinin elaman sayısını bulunuz. B {a, b} B {e, f, g} ( B) (B ) {a, b, e, f, g} ise s[( B) (B )] ( \ B) (B \ ) B ( C) c. B d. C B C 7. ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleri olmak üzere, B ( B) ifadesinin en sade şeklini bulunuz. (B C) ( B) C B. { 0, k, k Z} B { < 0, k, k Z} ( - B) B B olduğuna göre, s( B) ve s(b ) değerlerini hesaplayınız. # 8,,... 0- B # 0,,... - 0 - s ( ) + 0 sb ( ) + 9 + B # + # 0 0kk! Z - + B # 0, 0- s _ + Bi s ( B) s( ) s( + B) 0 8 sb ( ) s( B) s( + B) 9 7. E evrensel kümesinin alt kümeleri olan ve B için s ( B) s (B ) s ( B) olduğuna göre, s( B) kaçtır? s (' B) s (B ) s ( B) s ( B) + s (B ) + s ( B) s (B' ) s ( B) + + s ( B) s ( B). ( +, y) (, ) 7. DIM olduğuna göre, + y toplamını bulunuz. + y y y + y 0. {a, b, c} B {b, c} C {a, d} kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdaki kartezyen çarpım kümelerini yazınız. a. C {(a,a), (a,d), (b,a), (b,d) (c,a), (c,d)} b. B {(a,b), (a,c), (b,b), (b,c) (c,b), (c,c)} c. B C {(b,a), (b,d), (c,a), (c,d) d. C C {(a,a), (a,d), (d,a), (d,d)}
. N doğal sayılar kümesi olmak üzere, C {n: n N} K {n ; n N} kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi (K \ C) (N \ K) kartezyen çarpım kümesinin bir elemanıdır? K/C Tam kare olup çift sayı olmayacak N/K Doğal sayı olup tam kare olmayacak bu şartları sağlayan şık sadece E şıkkıdır. Cevap E. s( B) s(b C) olduğuna göre, s( C) kaçtır? sb ( ) s ( ). sb ( ) sbc ( ) sb ( ). sc ( ) sc ( ) s ( ). sc ( ). 0 7. a. {,,, } b. B {, 0,, }. {, Z + } B { <, Z} C {, Z} olduğuna göre, aşağıda verilen kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayılarını hesaplayınız. c. B {,,} d. B {, 0,,,, } e. B {,,} f. B {, 0} {,,, } s() B {, 0, } s(b) C {,, 0,, } s(c) a. s( B) s(). s(b). b. s(b C) s(b). s(c). c. s[( B) C] s( B). s(c). d. s[( C) (B C)] s( C). s(b C).0 0 e. s[( B) C] s( B). s(c). 0 8. {, 0,, } B {,, } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdaki kartezyen çarpım kümelerinin grafiklerini çiziniz.. s( ) s(b B) 9 olduğuna göre, s( B) kaçtır? s().s() s(b).s(b) 9 s() s(b) s(b) s().s(b). a. B y b. B y - - 7
9. Tam sayılar kümesinde tanımlı b {(, y) + y, Z, y Z} bağıntısı veriliyor. şağıdaki boşlukları doldurunuz. a. b bağıntısını liste yöntemi ile yazınız. b {(, ), (, ), (, ), ( )} ( ), (, ), (, ) (, ). {,, 0,,, } kümesi üzerinde tanımlı b {(, y) y,, y } bağıntısının eleman sayısı kaçtır? b {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (0, 0)} eleman sayısı 9 b. b bağıntısının eleman sayısı kaçtır? s(b) 8 0. {,, } ve B {, } kümeleri veriliyor. dan B ye tanımlanabilecek bağıntıların kaç tanesinde a. (, ) ikilisi bulunmaz? b. (, ) ikilisi bulunur, (, ) ikilisi bulunmaz? b {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} a. (, ) ikilisini silersek geriye eleman kalır. tanesinde bulunmaz. b. (, ) ve (, ) ikilisini silersek geriye eleman kalır. tanesinde bulunmaz.. {,,,,, } kümesi üzerinde tanımlı b {(, y) y,, y } bağıntısı veriliyor. şağıdaki boşlukları doldurunuz. a. b bağıntısını liste yöntemi ile yazınız.. b. b {(, ), (, )} -..-..0... B - y - O b (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ) (, ), (, ) (, ) (, ) (, ) b. b bağıntısını liste yöntemiyle yazınız. b (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (,), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ) (, ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ) b. b {(, y) y,, y B} c. b ve b bağıntılarının grafiklerini çiziniz. b {(, ), (, ) (, )}.-. B.-..0.... - - y O O y y O 8
8. DIM. Verilen bilgilere göre, aşağıdaki boşlukları doldurunuz. a. Futbol oynayanların sayısı 0. kişilik bir sınıfta sadece İngilizce bilenlerin sayısı sadece lmanca bilenlerin sayısına, bu dillerin ikisini de bilenlerin sayısı da bu dillerin ikisini de bilmeyenlerin sayısına eşittir. Buna göre, bu sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? b. Yalnız futbol oynayanların sayısı c. Voleybol ve basketbol oynayıp futbol oynamayanların sayısı İ y z + y + y 8 İ + y 8 d. Üç oyunu da oynayanların sayısı Y e. Sadece bir oyun oynayanların sayısı f. İki oyun oynayanların sayısı g. En az oyun oynayanların sayısı 9 h. En çok oyun oynayanların sayısı ı. Futbol oynamayanların sayısı j. Basketbol oynamayıp futbol veya voleybol oynayanların sayısı 0 k. Bu üç oyunu da oynamayanların sayısı l. Sınıf mevcudu. 0 kişilik bir sınıfta kişi İngilizce, 0 kişi ise lmanca bilmektedir. kişi bu dillerin ikisini de bilmediğine göre, dillerin ikisini de bilenlerin sayısı kaçtır? kişi iki dili de bilmiyor ise dil bilenlerin sayısı 0 7 s(i ) s(i) + s() s(i ) 7 + 0 s(i ) s(i ) 8. Bir sınıfta lmanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 0 öğrenci vardır. lmanca bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin sayısının katı, her iki dili bilenlerin sayısının ise katıdır. Buna göre, sınıfta lmanca bilenlerin sayısı kaçtır?. kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı 8, lmanca bilenlerin sayısı dir. Bu iki dili de bilenlerin sayısı olduğuna göre, sınıfta bu dillerin ikisini de bilmeyen kaç kişi vardır? F + y + z 0 y z + y y y + y (y + z) y + y y + z y y y + z y z y z y + y + y 0 y 0 y 8 y.8 İ E 9
. {sınıftaki kız öğrenciler} B {sınıftaki erkek öğrenciler} C {sınıftaki gözlüklü öğrenciler} D {sınıftaki sarışın öğrenciler} kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdaki istenen kümeleri örnektekine benzer şeklide ifade ediniz. 8. kişilik bir sınıftaki öğrencilerle ilgili şu bilgiler veriliyor. Fransızca bilen herkes lmanca, lmanca bilen herkes İngilizce biliyor. öğrenci İngilizce bilmiyor. 8 öğrenci lmanca bilmiyor. öğrenci Fransızca biliyor. Yukarıda verilen bilgilere uygun Venn şemasını çiziniz. a. B C {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler} b. D { Sınıftaki sarışın kız öğrenciler } İ c. C { Sınıftaki gözlüksüz öğrenciler } F d. B C { Sınıftaki gözlüksüz erkek öğrenciler } e. C D { Sınıftaki gözlüklü sarışın öğrenciler } f. ( C) D { Sınıftaki gözlüklü kız sarışın olmayan öğrenciler } g. B D { Sınıftaki sarışın kız öğrenciler } h. (B D) C { Sınıftaki sarışın erkek gözlüksüz öğrenciler } 7. Bir uçakta seyahat eden yolcular, ikram edilen çay ve kahveden en fazla birini almıştır. Bu yolculardan, çay alanların sayısı, kahve alanların sayısının katı çay ve kahve ikramlarının ikisinden de almayanların sayısı, tüm yolcu sayısının üçte biri kadardır. bu seyahatte çay almayan yolcu sayısı 7 olduğuna göre, kahve almayan yolcu sayısı kaçtır? Ç k K E k + k k k + 7 7. 0 9. kişilik bir sınıfta İngilizce bilen herkes lmanca biliyor fakat Fransızca bilmiyor. Sınıfta bir dil bilenlerin sayısı 0, iki dil bilenlerin sayısı 7 olduğuna göre, bu dillerden hiçbirini bilmeyenlerin sayısı kaçtır? i y z k F t y + t 0 + + z 7 + y + z + t 7 k - ( + y + z + t) - 7 7 0
0. 0 kişilik bir sınıfın öğrencileri ile ilgili şu bilgiler veriliyor. Herkes İngilizce, Fransızca veya lmanca dillerinden en az birini biliyor. İngilizce bilen herkes lmanca biliyor fakat Fransızca bilmiyor. Sadece Fransızca bilenlerin sayısı, sadece lmanca bilenlerin sayısı 7 İngilizce bilenlerin sayısı Verilenlere uygun Venn şemasını çiziniz. F. 0 kişilik bir öğrenci grubunda en az bir yabancı dil bilenlerin sayısı, en çok bir yabancı dil bilenlerin sayısı tür. Buna göre, bu grupta sadece yabancı dil bilen kaç öğrenci vardır? Örneğin yabancı dil olsun İ y z t E + y + z + t + z y 7 t 9 + y + z + t 0 + y + 9 + 7 0 + z + 0 + z i 7. 0 kişilik bir turist kafilesinde İngilizce, lmanca ve Fransızca bilenlerin sayıları sırasıyla 0, 7 ve dir. Bu kafilede İngilizce ve lmanca bilen 0, İngilizce ve Fransızca bilen 9, lmanca ve Fransızca bilen 8 kişi ve dil bilmeyen kişi olduğuna göre, bu dillerin üçünü de bilen kaç kişi vardır?. şağıdaki tabloda bir sınıftaki kız, erkek, gözlüklü ve gözlüksüz öğrenci sayıları gösterilmiştir. Gözlüklü Gözlüksüz Kız 7 Erkek 9 s(i F) s(i) + s() + s(f) s(i ) s(i F) s( F) + s(i F) 0 0 + 7 + 0 9 8 + + Buna göre, aşağıda verilen boşlukları doldurunuz. a. Kız öğrenci sayısı + 7 b. Erkek öğrenci sayısı + 9 c. Gözlüklü öğrenci sayısı + 9 d. Gözlüksüz öğrenci sayısı 7 + 9 e. Gözlüksüz kız öğrenci sayısı 7 f. Gözlüksüz erkek öğrenci sayısı 9 g. Kız veya gözlüklü öğrenci sayısı + 7 + h. Erkek veya gözlüklü öğrenci sayısı + 9 + 8 ı. Kız veya gözlüksüz öğrenci sayısı + 7 + 9 0. kişilik bir toplulukta herkes Türkçe bilmekte, İngilizce bilen herkes de lmanca bilmektedir. Bu toplulukta İngilizce bilmeyen 9 kişi olduğuna göre, her üç dili de bilen kaç kişi vardır? İ + y + z y z y + z 9
. p q p q Değerlendirme dımı 0 b. ve bulunur, bulunmaz?, ve yı silelim. Geriye eleman kalı. denkliğini doğruluk tablosu yaparak gösteriniz. p q p p q p q 0 0 0 0 0 0 0 0. B, B ve B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 8, ve dir. B kümesinin eleman sayısını bulunuz. s( B) n s(b ) m s( B) k n 8 m k n m k s( B) s( B) + s(b ) + s( B) + +. ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.. p (q r) 0 olduğuna göre, (p q) r bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p (0 ) 0 q' r 0 0 q' 0 0 r 0 s() s() 7 s(b) olduğuna göre, s(b ) kaçtır? s() + s(') s(b) + s(b') s(e) - + 7 - + s(b ) + s(b ) s(b ) 7. a. şağıdaki Venn şemasında ( B) C kümesini tarayarak gösteriniz. B. (, < ) (, ) bileşik önermesinin karşıt tersini yazınız. ( 7, ) & (, H ) b. şağıdaki Venn şemasındaki taralı bölgeyi ifade eden kümeyi yazınız. C. {,,,,,, 7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a. ve ü silelim. Geriye eleman kalır C B (C ) (C B) veya C ( B)
8. {,, } B {,, } kümeleri veriliyor. B kümesinin grafiğini çiziniz. Y 9. DIM. şağıda verilen boşlukları doldurunuz. a. a ve b doğal sayılardır. a + b 0 olduğuna göre, I. a.b çarpımının en büyük değeri 0.0 00 - X II. a.b çarpımının en küçük değeri 0.0 0 - b. a ve b doğal sayılardır. a.b 0 olduğuna göre, I. a + b toplamının en büyük değeri 0 + 9. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. II. a + b toplamının en küçük değeri + 9 B s( B) s(b ) s(e) 8 veriliyor. Verilenlere uygun Venn şemasını çizerek s() değerini bulunuz. B s() c. a ve b doğal sayılardır. a 0 + 7 b olduğuna göre, b için a 7 b için a b için a b 0 için a E I. a nın alabileceği değerlerin toplamı 7 + + + 0 II. b nin alabileceği değerlerin toplamı + + + 0 8 0. 0 kişilik bir sınıfta Fizik ve Kimya derslerinin ikisinden de geçen 7, ikisinden de kalan kişi vardır. Fizik dersinden geçenlerin sayısı olduğuna göre, sadece kimya dersinden geçen kaç öğrenci vardır? F F 8 7 K y 0 + 7 8 + + y 0 y 0 0 + 7 7. + +... 00 + + +... + 99 0 00 99 n 00 ( + + +... + 00) n 0 00 n n 0 0. 0 0 00 0
. a ve b birer tam sayıdır. a.b 9 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulunuz En küçük ( 9) + ( ) 0 En büyük 9 + 0. rdışık çift sayının toplamı 0 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğünü bulunuz. 0 0,,,, 8 En büyük. şağıdaki işlemlerin sonucunun tek mi çift mi olduklarını yanlarına yazınız. a. (9 + 9). 98 Çift b. ( + ). ( + ) Tek c. 7. 9... Tek 7. n 8 ve n + ardışık iki tam sayı olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? n 8 + n + n 8 n + + n 7 n + n 8 n + n 8 n 0 n n + 9 d. 7! + 8! Çift e. 7 8 + 9 0 Çift 8. En büyükleri 9 olan ardışık çift sayının toplamı kaçtır? 9 + 90 + 88 + 8 + 8 88. 0 f. (.. + ). Çift., y ve z birer tam sayı olmak üzere,.y çarpımının çift sayı + z toplamının tek sayı y + z toplamının tek sayı 9. şağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. 79-79 + a. d + n. d n 8. 8 olduğu biliniyor. Buna göre, b. 0. 80 I. tek sayıdır. II. y çift sayıdır. III. z tek sayıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur?. y Çift ise en az biri çift + z Tek ise bir tanesi tek y + z Tek ise bir tanesi tek z T I Ç II y Ç III Cevap D. 0. DIM işleminin sonucu kaçtır? - - - - ( ) ( ) ()
. d + + n d n işleminin sonucu kaçtır? + + - + + ( ) () ( ) ( ) () ( ) Y 0 + + - Y + +. d + n $ d + n d n $ d n işleminin sonucu kaçtır? 7. Y 7 Y Y Y YY.. 0 $ d n işleminin sonucu kaçtır? - 0. f - 0. p d n 0 () ( ) 0. 0 7. 0 işleminin sonucu kaçtır? - 0 0 9 8. - - 0 0 0 0 0. $ $d n işleminin sonucu kaçtır? Y. -. d - Y -. _ i - n 8. + 9. işleminin sonucu kaçtır? + + - - _ i _ i + + + işleminin sonucu kaçtır? + Y. d + n : d + n işleminin sonucu kaçtır? 7 7 : Y7. 7 + () () + + Y +. Y. + Y Y +
0. a b olduğuna göre, a. a b... b. a. b.... R evrensel küme olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden doğru olanların karşısına, yanlış olanların karşısına işaretlerini koyunuz. a. Z Q b. Q Q c. Bazı rasyonel sayılar tam sayıdır. d. R + {0} R e. 0 tam sayı değildir. f. R Q ı Q g. Bazı tam sayılar irrasyonel sayıdır. c. a : b... Y a.. Y 8 b.. 8 8 aa. - b - - - - ( ) Y 8 ba.. b Y 9 8 Y cab.. :. Y 8., 0, ñ, ñ,,, p, + ñ,, π h. R R + R. ñ irrasyonel, Doğal sayı ñ olduğundan ile yer değiştirmelidir...( + ). +. olduğuna göre, kaçtır?. ( + ). +.. +. +.. Cevap D sayılarını aşağıda verilen kümelerden uygun olanın içine yazınız. 0 ñ ñ p. ) ñ ñ ñ irrasyonel B) ñ + ñ irrasyonel C) ñ + ñ irrasyonel D) (ñ) + (ñ) + rasyonel E) (ñ) + (ñ) ñ + irrasyonel Cevap D. 0 + ñ π ò, ñ,, ñ7, ò, ò7, ò0, p sayılarını yukarıdaki sayı doğrusunda uygun yerlere yazınız. 0 ñ ñ ñ7 π ñ ñ ñ7 ñ0
7. ) B) C) D) E) 0 9 9 00-0 0 Cevap D. a, b ve c doğal sayılardır. a b b c olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır? c> b> a b + enküçük c. 7 + b. + 7> 7. DIM. doğal sayısının ile bölümünde bölüm 8, kalan 7 olduğuna göre, kaçtır? 7 8. 8 + 7 8 + 7 8. Toplamları 7 olan iki sayıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 9, kalan 7 oluyor. Buna göre, büyük olan sayı kaçtır? a + b 7 9b + 7 + b 7 0b 0 a 7 b 9 b a 7 a 9b + 7.. + 8 + olduğuna göre, kaçtır? + 8. ( + ) + + 8 + 8 + + 8 + 8. Bir bölme işleminde bölen ile bölümün çarpımı, kalan olduğuna göre, bölünen sayı kaçtır? a k b c b.c a b.c + k k + 8. k 7. şağıdaki sayıların ile bölümünden elde edilen kalanları yazınız. a. 7 olduğuna göre, doğal sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır? k < enbüyük k. + k 0 + 7 b. 7 0 c. 90 0 d. 00 7
8. Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 8y sayısı ile tam bölündüğüne göre, + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? 80 8 8 8 9 + 0 9 9 + 9 + 9 + Cevap:. şağıdaki sayıların ile bölümünden kalanı bulunuz. a. 00 0 b. 7 c. d. 7 9. Dört basamaklı y doğal sayısının ile bölümünden kalan olduğuna göre, + y toplamı en az kaçtır? 0 0 + 0. şağıdaki sayıların ile bölümünden kalanı bulunuz. a. 7 0 b. c. d. 0. Dört basamaklı y doğal sayısı ve ile tam bölünebildiğine göre, + y toplamı en çok kaçtır? ile bölünebilmesi için son iki rakamı 'ün katı olmalı. ile bölünebilmesi için rakamlar toplamı ün katıu olmalı + + + k + + + k + 0 k + k,, 8,, 7 + y 8 + 0 + y 7 + En büyük olur.. 8 basamaklı doğal sayısının ile bölümünden kalan a, ile bölümünden kalan b ise a + b toplamı kaçtır? Rakamları toplamı ( + + + ) 0 k + ise a Son iki rakamının ile bölümünden kalan ise b a + b +. Dört basamaklı 7 doğal sayısı ile tam bölünebildiğine göre, yerine yazılabilecek değerleri bulunuz. rakamları toplamı ün katı olmalı 7 + + + + 7, ve 7 olabilir. şağıdaki sayıların ile bölümünden kalanı bulunuz. a. 0 0 b. c. 07 d. 9. Dört basamaklı y doğal sayısının ile bölümünden kalan ise + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? Rakamlar toplamı ün katından fazla olmalı + + + y k + + y,, 8,,, 7 8 + + y k + en büyük 7 7. 0 basamaklı... sayısının ile bölümünden kalan kaçtır? Son iki rakamının ile bölümünden kalan olduğuna göre cevap olacaktır. 8
8. Rakamları birbirinden farklı 7y sayısının ile bölümünden kalan dir. Bu sayı ile tam bölündüğüne göre, in alabileceği değerleri bulunuz. ile bölümünden kalan ise son rakamı veya dır. 7 7 ile tam bölünüyorsa rakamları toplamı 'un katı olmalı 7 7 0 7 9. şağıdaki sayıların 9 ile bölümünden kalanı bulunuz. a. b. 8 0 c. 00 d. 8. basamaklı 7 sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre, kaçtır? 9. Dört basamaklı 7y sayısı ve ile tam bölünebiliyor. Buna göre, + y toplamı en çok kaçtır? ile tam bölünüyor ise 70 7 ile tam bölünüyor ise 70 7 0 7 9 en çok 7 + olacaktır. Rakamları toplamı 9 un katı olmalı Y+ Y+ Y+ Y+ + 7 9k + 7 + 9.. basamaklı... doğal sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? Rakamları toplamı 9 un katından kaç fazla ise kalan odur...9 + olduğundan kalan dır.. DIM. şağıdaki sayıların 8 ile bölümünden kalanı bulunuz. a. 0 0 b. 8 c. 0. Rakamları birbirinden farklı, beş basamaklı 0y doğal sayısı ve 9 ile tam bölünebiliyor. Buna göre, + y toplamı kaçtır? Rakamları farklı ve ile bulunuyor ise y olmalı 9 ile tam bölünüyor ise rakamları toplamı 9 un katı olmalı + 0 + + + y 9k 0 + y 8 y 8 d. 7 7. Dört basamaklı 9 sayısı 8 ile tam bölünebildiğine göre, in alabileceği değerleri bulunuz. Son rakamı 8 ile tam bölünebilmeli 9 0 8 7. Dört basamaklı y sayısının ile bölümünden kalan, 9 ile bölümünden kalan olduğuna göre, in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? ile bölümünden kalan ise iki durum vardır. 8 9 ile bölümünden kalan ise + + + 9k + + + + 8 9k + + 8 8 9
8. Dört basamaklı 7y doğal sayısının 0 ile bölümünden kalan tir. Sayı ile tam bölünebildiğine göre, in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 0 İle bölümünden kalan ise 7 ile tam bölünüyor ise 7 + + + k + + + 8 + 8. Dört basamaklı a7b doğal sayısı ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı en az kaçtır? ile bölünen sayılar ve ile tam bölünür a 70 a 7 a 7 a 7 a 78 + 0 0 + + 0 8 7 8 9 9 en az olacaktır.. Dört basamaklı y doğal sayısı ile tam bölünebildiğine göre, + y toplamı en çok kaçtır? 9. Dört basamaklı y doğal sayısının 0 ile bölümünden kalan dir. Bu sayı ile tam bölünebildiğine göre, in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 0 ile bölümünden kalan ise ile tam bölünüyor ise son iki basamağı ile tam bölüneceğinden,,, 7, ve 9 olacağından + + + 7 + 9 ile bölünen sayılar ve ile tam bölünür. 0 0 8 + 0 8 9 + en fazla olur. 0. 9 ile tam bölünebilen dört basamaklı y doğal sayısının 0 ile bölümünden kalan 7 dir. Buna göre, + y toplamı kaçtır? 0 ile bölümünden kalan 7 ise sayı 7 olmalı 9 ile tam bölünüyorsa ise + + + 7 9k + 8 + y + 7 9. Dört basamaklı y doğal sayısı ile tam bölünebiliyor. Buna göre, in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? ile tam bölünen sayılar ve 9 ile tam bölünür. 0 8 7 + 7 +. 78 sayısının ile bölümünden kalanı bulunuz. 8 + + 7 0. 79 sayısı ile tam bölündüğüne göre, rakamı kaçtır? + 9 + 7 k + 8. Rakamları birbirinden farklı, dört basamaklı 8y doğal sayısın ile bölümünden kalan dir. Buna göre, + y toplamı kaçtır? ile bölümünden kalan ise ve 9 ile bölümünden kalan da olmalı Rakamları aynı 8 7 8 + + + 7 9k + + y + 7 + 8 9 8 0
7. Dört basamaklı 7y doğal sayısının ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre, in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? ile bölümünden kalan 8 ise 9 ile bölümünden kalan, ile bölümünden kalan olmalı 7 78 0 + + 9 0 9. Kenar uzunlukları 7 cm ve cm olan dikdörtgen şeklindeki bir levha eş karelere bölünecektir. Eş karelerin bir kenarı en çok kaç cm olabilir? EBOB (7, ). DIM. 9 ve sayılarının en büyük ortak bölenini bulunuz. 9. EBOB (9, ).. Uzunlukları 7 cm ve cm olan iki çubuk eşit uzunluktaki parçalara bölünecektir. En az kaç parça elde edilir? EBOB (7, ) 8 7 + + 7 8 8. Kenar uzunlukları 0 m ve 0 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına aydınlatma lambaları dikilecektir. Her köşeye bir lamba gelmek şartıyla eşit aralıklarla en az kaç lamba dikilir?... y.. EBOB ( 0, 0) 0.( 0 + 0) 0 0 0 olduğuna göre, EBOB(, y) değeri kaçtır? EBOB(, y).. 7. 8 ve 7 sayıların en küçük ortak katı kaçtır? 8. 7. EKOK (8, 7).. a, b ve c birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, a.b.c y a.b.c olduğuna göre, EBOB(, y) değerini bulunuz. EBOB(, y) a.b.c 8., 8 ve ile tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı kaçtır?. EKOK (, 8, ). 7 8..
9...7 y..7 olduğuna göre, oranının değeri kaçtır? EKOK (, y).. 7.. Y7. EBOB (, y).. 7. Y7 9. 0. Bir okulun öğrencileri er ve şar kişilik gruplara ayrıldığında her defasında öğrenci açıkta kalıyor. Okulun öğrenci sayısı 00 den çok ise en az kaçtır? Öğrenci sayısı olsun 0m k + l + + 0 k l EKOK (, ) 0., ve 7 ile bölününce sırasıyla, ve kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır? + y + 7z + + 0 + + y + 7z + 7 07 + ( + ) (y + ) 7 (z + ) EKOK (,, 7) 0. Boyutları cm ve cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslarla kaplanabilecek en küçük karesel bölgenin bir kenarı kaç cm dir? EKOK (, ) 0. Boyutları cm ve 0 cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslarla kaplanabilecek en küçük karesel bölge için kaç tane fayans kullanılmalıdır? EKOK (, 0) 0 0, 0, 0. EBOB(, ) EKOK(, ) 0 olduğuna göre, kaçtır?. 0. 0. a ve b aralarında asal sayılardır. EBOB(a, b) + EKOK(a, b) olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır? aralarında asal ise EBOB (a, b) EKOK (a, b) a.b + ab _ b ab ` a+ b 7+ a 7 b b a 7. ve y ardışık iki tek sayıdır. EKOK(, y) olduğuna göre, + y toplamı kaçtır? ardışık iki tek sayı ise EKOK (, y). y.( + ) + y + 8. a ve b aralarında asal sayılardır. 0 a + 8 b EKOK(a, b) 0. Boyutları cm, cm ve cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki blokların en az kaç tanesi kullanılarak içi dolu bir küp oluşturulur? EKOK (,, ),, 7 Y, Y, Y olduğuna göre, a kaçtır? b,için a < 0 b için a EKOK (a, b) b için a b için a 8 EKOK (a, b) EKOK (a, b ) 0 b için a EKOK (a, b) 0 a b için a EKOK (a, b) 78 b 0 için a 0 EKOK (a, b) 0
9. Bugün günlerden cuma olduğuna göre, bugünden sonraki 00. gün hangi gündür? 00 (mod7) gün sonra perşembe olacaktır.. Şu an saat 7:00 ise 70 saat sonra saat kaç olur? Birgün saat olduğuna göre 70 8 (mod ) 7:00 dan 8 saat sonra saat :00 olacaktır. 0. Bugün günlerden cumartesi olduğuna göre, bugünden 00 gün önce hangi gündür? 00 99 99 (mod7) gün önce cuma olacaktır.. Bir işçi ay bir ikramiye alıyor. İlk ikramiyesini nisan ayında alan işçi 8. ikramiyesini hangi ay alır? Kalan ikramiye sayısı 7 ayda bir ise.7 8 ay sonra 8 (mod) ay sonra ğustos ayı olacaktır.. Temmuz 07 Çarşamba günü olduğuna göre, Temmuz 00 hangi gün olur? yıl gün 00 yılında şubat 9 gün olacağından. 09 + 09 gün sonrasına bakacağız 09 (mod7) gün sonra pazar olacaktır.. + ( ) olduğuna göre, kaçtır? + 7. DIM. günde bir nöbet tutan bir asker 7. nöbetini salı günü tuttuğuna göre, 8. nöbetini hangi gün tutar? rada 8 7 nöbet vardır.. gün sonra (mod7) gün sonra cuma olacaktır.. ( ).( + ) olduğuna göre, kaçtır? +.... Yukarıdaki şekil dizisi aynı kural ile devam ettirildiğinde soldan 97. şekil hangisi olur? şekilde bir tekrar ettiğine göre 97 (mod). şekil olacaktır. [ ( + )] 7 olduğuna göre, kaçtır? [ ] [ ] + + 7
. ( ).( + ). olduğuna göre, kaçtır? 9 + 8. + olduğuna göre, kaçtır? + ( ) () + - + + + 9 9 olduğuna göre, kaçtır?.( ).( + ) +9 9. + + olduğuna göre, kaçtır? + + + 9 + + + + 9 0. olduğuna göre, kaçtır? - - - 0. 8 + + denklemini sağlayan değerini bulunuz. 7. + + + + 8 +.( + ) + 0 0 + + 8 olduğuna göre, kaçtır? - Y+ + Y + a a + denkleminin kökü olduğuna göre, a kaçtır? + a a + a+ a a + ( ) (). a " a 9
. a b b + a a- b b+ a a- b a+ b a ( - b) a+ b a+ b a - b 8. ( + ) ( + ) 0 0 0 ÇK R. a + b a a a-b a b - a. a( + ) + b( ) a denkleminin çözüm kümesi Ø ise m değeri kaçtır? a +a + b b a (a + b) a + b 9. a + + b b denklemini sağlayan değerini bulunuz. - a b b a a b b ( a) a( ) b ab a a b a ab a b ( a) ab a ab a b a. (a + ) + b 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. a b a + b + Cevap E 0. (a c) + (b + c) a + b denklemini sağlayan değerini bulunuz. a _ Yc+ b+ Yci a+ b.( a+ b) a+ b. (m + ) + n denklemini sağlayan değerini bulunuz. ( m+ ) + n - 0 m+ 0 n- 0 m- n 7. ( m) + m 0 m. + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. _ i.
. y 7 + y 8. DIM denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.. + y 8 y + 9 8 y. + y + y denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. + y + + y 8 + y y y. + y + y denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. + + Yy Yy () ( ). y + y + y + y y ÇK {(, )} denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. +. y ( ) 7 y ÇK {(, )}. y + y denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. y 7. + y 0 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. y y + + Yy 0 - Yy 0 0. y 0 y ÇK {(, )}. y 0 + y 7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. + 7. + y 7 Y7 7 y+ 7 y 8. y y + denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. y y. + y ÇK {(, )}
9. y + y 0 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.. nalitik düzlemde y y + k y k + y k + k 0 k 0 k. y. 8 ÇK {(, 8)} doğrularının kesim noktasının koordinatlarını bulunuz. y.( ) y. (y) + y y + ÇK {(, )} y y 0. + ay b + y 9 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? a b 9 a b 8- a+ b - a b. (a )y + 0 + (a + )y 0. denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a değerini bulunuz. a a + a+ a a a y + y. nalitik düzlemde y + y doğruları noktasında kesişmektedir. noktasının koordinatlarını bulunuz. - + y y y + y y + (-, ) O y Yukarıdaki analitik düzlemde + y ve y doğruları çizilmiştir. Buna göre, noktasının koordinatlarını toplamını bulunuz. y y y + y +. a + (a )y + y denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaçtır? a a \ - a a a 7
. < < 7. DIM olduğuna göre, in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır, bulunuz., < <,... ( ) +. < eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz. < 8 < <. ( ). ( + ). (, ] ve B (, ) olduğuna göre, B kümesinin elemanlarından kaç tanesi tam sayıdır? B (, ] ( ) eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz. + H H 9 9 G 9 _, F. { <, R} B {, R} olduğuna göre, aşağıda istenen kümeleri aralık şeklinde ifade edip sayı doğrusunda gösteriniz. a. B < < - b. B < + 7. eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz. + # + # # H - c. B <. < ( + ) eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz. < + < + 8. eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz. H -H - H - # 8
+ 9. <.( ) eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz. + - 7 7. + < eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamını bulunuz. + < < < + + 9. > 0. + < 7 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamını bulunuz. # # - Y Y+ 0+ Y + Y eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayısını bulunuz. 0 0,. bir gerçek sayı olmak üzere, < + y olduğuna göre, y nin en geniş değer aralığını bulunuz. y - # y - # # y #. < < eşitsizliğini sağlayan tam sayıları kaç tanedir?,,,,,..., 7 7. DIM. ve y gerçek sayılardır. y <. bir gerçek sayı olmak üzere, < olduğuna göre, ifadesinin en geniş aralığını bulunuz. < < < 8 olduğuna göre, + y toplamının alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? + -# # # y # + y 0 9
. ve y gerçek sayılardır. < y < olduğuna göre, y farkının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?. ve y tam sayılardır. < < < y < olduğuna göre, y farkının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır? En büyük. ( ) 7 + # # y # y# En küçük. ( ) + 9. a ve b gerçek sayılardır.. a ve b gerçek sayılardır. < a < < b < olduğuna göre, a b farkının alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir? < a < < b < olduğuna göre, a. b çarpımının en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? ( ). < a. b < ( ) ( ) < a. b < + + 8a b a b 7. şağıdaki boşlukları doldurunuz.. a ve b tam sayılardır. a < 7 < b < a. < < ise < < b. 8 < < ise < < olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır? a b a b. + en büyük. + en küçük 7 c. < < ise 0 < d. < < ise 0 < e. < < ise < < 7 0
8. ve y gerçek sayılardır. < < < y <. şağıda verilen eşitsizlikleri analitik düzlemde gösteriniz. a. + 0 b. y 9 > 0 y y olduğuna göre, + y toplamının alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 7 < < + 9 7 - O O + 0 y < 9 7 < + y < 8 c. 0 y < y O 9. a ve b gerçek sayılardır. a < a < b < olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?. şağıda verilen eşitsizlikleri analitik düzlemde gösteriniz. a. y < + y b. y + y - - O - O /0 < a < 0 < a < c. + y > y d. y y + < b < < a + b < O - d. + o - y + > o 8. DIM. şağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. 0. şağıdaki grafiklerde gösterilen taralı bölgeleri eşitsizlik kullanarak ifade ediniz. a. # b. H- c. y # d. H y - a. b. ( ). ( ) c. ( ) ( ) 8 8 d. ñ + ñ +
. y olduğuna göre, + y toplamının alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulunuz. + 9 + ( ) 9. < < olmak üzere, 7. < 0 olmak üzere, ifadesinin eşitini bulunuz. -( ) -(- ) - + + ifadesinin eşitini bulunuz. _ i Y Y+ 8. a b + b a a b ifadesinin eşitini bulunuz.. a < 0 < b olmak üzere, a b a b Y Y a b a b ifadesinin en sade şeklini bulunuz. a b+ _ a bi Ya b+ Ya b b. > y > z olmak üzere, y + z y 9. ifadesinin eşitini bulunuz. Y Y ifadesinin eşitini bulunuz. y _ z yi Yy z+ Yy z. a < b < 0 olmak üzere, 0. a + + b 0 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? a + 0 b 0 a b + a b a b ifadesinin eşitini bulunuz. _ a bi _ ai+ b Ya+ b+ Ya + b b. y + y 0 olduğuna göre,. y çarpımı kaçtır? y 0 y 0 y y..y. 8
. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 7 ÇK {, 7}. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 7 7 7 8 0 Ç K # 08,,, -. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇK {, } 7. + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇK φ 8. + denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. + + + 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. + + + 0 + 0 + + + Ç K #, - + + ( ) + + Ç K (,. + + 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. + + 8 8 veya Ç K #, - 9. + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. + + ( ) + + denklemi sağlamıyor ÇK {}
9. DIM. < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ( ). eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 0. eşitsizliğini sağlayan tam sayılarının toplamını bulunuz. 7 [, 7]. 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 0 ÇK [, ] {}. + < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. < + < < < 8 < < 7. > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. > < > < > < _, i, d, n. + < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. + < 0 < < < 0 < < < 8. + > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. + > > < > (, ) (, ) >
9. > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. > > < ÇK (, ) (, ) > <. < + < 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. < + < 7 < < 7 < < < < 8 < < > > ÇK (, ) (, ) 0. + < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. + > + < + 0 > < ÇK (, ) (, ). < < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. < - < < < _ < - b ` Ç K (-, 0), (, ) - < - < - - < < 0 b a. < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. + + > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. < < < < ÇK (, ) (, ) + > ÇK R + < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. < < + < 7 < < ÇK [, ) (, 7] < + < 0 < + < < + < 0 0 < + < < < 0 < < ÇK (, ) (, 0)
Değerlendirme dımı 0. R ve B R olmak üzere, [, ) B [, ] olduğuna göre,. ve y tam sayılardır. < < < y < olduğuna göre, y farkının en küçük ve en büyük değerlerini bulunuz. E. B ( ) ( ) 9 + 0 E. K 0 0 8 8 a. B b. B kümelerini bularak gerçek sayı doğrusunda gösteriniz. a) -. y + 0 eşitsizliğini ifade eden bölgeyi koordinat düzleminde tarayarak gösteriniz. b) - - -. + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. + + # H + # Ç K [-, ). a < 0 < b olmak üzere, a b a + b ifadesinin en sade şeklini bulunuz. -_ a-bi-_ - ai+ b - Ya+ b+ Ya+ b b. ve y gerçek sayılardır. < + y olduğuna öre, y nin en geniş değer aralığını bulunuz. y # y # <, i # 7. + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. + 0 ÇK {0, }
8. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Y 9 ÇK {, 9} ÇK Y0 0. DIM. şağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. b. 0 d n 8 9 7 8 c. d. + + 0 + + + + 7 8 7 9. e. f. ( ) + ( ) ( ) 9-8 ( ) 8+ ( ) + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. g. +. 9 98. + 9 8 9 9 ÇK [, 9]. d n 7 + denklemini sağlayan değerini bulunuz. + 0. şağıdaki işlemlerin eşitlerini yazınız. a. ( ) 0. < eşitsizliğinin tam sayılardaki çözüm kümesini bulunuz. < < < < 0 < < 0 ÇK (, 0] [, ) b. ( ) c. d n > H. d n d. ( a ) a a a e. ( ) y +y f. (y ) + y 7
. ( 7) ( 8) _ i _ i 8. şağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. + + + b. d n + +. olduğuna göre, 9 + 7 ifadesinin değerini bulunuz. c. + ( ) + + ( ) ( ) 9 7 8 8 + d. d n f p () ( ) e. + + 7. a 0 b 8 7 c olduğuna göre a, b ve c yi sıralayınız. a ( ) 0 0 b ( ) 7 c ( ) b > a > c 9. a için aşağıdaki değerleri hesaplayınız. a. ( a) a () ( ) + b. a a ( ) ( ) 8 c. a a ( ) ( ) 8 d. a + a ( ) + ( ) 7. 0 y 0 z 0 olduğuna göre, y ve z si sıralayınız. a ( ) 0 0 b ( ) 0 0 c ( ) 0 8 0 > z > y 0. n +. n n ifadesinin değerini bulunuz. n ( + ) n 8
. n.. n n + ifadesinin eşitini bulunuz. n ( - ) Y. n n ( + ) Y. n n. ( ).( ).. + + + ( + + + ) Y Y. olduğuna göre, + + ( ). + 0 + 0. şağıda verilen sayıları a.0 b biçiminde yazınız. a. 0,0000. 0 b. 0,00. 0 c. 0,00 0. 0 d. 00. 0 7. a b olduğuna göre, (7) ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz. (7) (. ) ( ). ( ) a. b e. 00000. 0 f. 000 0. 0. 7.8 ( ) 7. ( ). 9 + 9 8. + + + ifadesinin eşitini bulunuz. + + 9 9, ( 8+ ) + - - - - 9
9. ().8 işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? ( ). ( ). 9. 9. 9 9. 0 9. 0 9 basamaklı. e o a ( a ). a a. a a - -- ( ) 8 a a + 0. olduğuna göre,.... ifadesinin değerini bulunuz.. 0 0 0 + + 0 0 +.. 8 0 0 0 0.( + + )... 0 0.( + ). 9 ( ).( ) 0 0 9 0 9.. 7 7... 7 7. ( ) 7 ( ) ( ) - 7 ( ) 7. 9 + - ( ) + --- -. $ d n - ( ). 0 -. - - 0 - + 9. y y + ( ). y + y ifadesinin eşitini bulunuz. y- + y+ y+ y y - + Yy+ -y -y - + 0
0., 0. +. 0 00,.. 9 + - - -. 0 +. 0 0 ( + ) 8 - -. 0. 0 olduğuna göre, değerini bulunuz. + -. DIM. 7 olduğuna göre, değerini bulunuz.. + + olduğuna göre, değerini bulunuz. ( + ). 9. + 7. d n d n olduğuna göre, değerini bulunuz. + + olduğuna göre, değerini bulunuz. d n d n..8 + olduğuna göre, değerini bulunuz.. + + 7. 0 n n olduğuna göre, değerini bulunuz. n d n n n n
8. ( ) ( + ) olduğuna göre, değerini bulunuz. +. y 8 olduğuna göre,.y çarpımını bulunuz.. y.8..y. 9. ( ) ( + ) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. + Ç K (,. ( ) + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. I. II. 0 + çift olmadığından 0 0 III. + 0 R olduğundan ÇK {, } 0. ( + ) () denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ( ) + + ÇK {, }. ( ) 9 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. I. 9 0 II. 9 0 III. 9 9 tek ÇK {, }. + y 8 y olduğuna göre, ve y değerlerini bulunuz. 8 + y y + y y 0. + > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. + > > ÇK (, )
. 8 > + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ( ) > ( ) + > + > + > 7 ÇK (7, ). + + ifadesi bir gerçek sayı belirttiğine göre, in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. - H0 + H0 # H H ÇK >, F 7. d n + > d n eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. + < < ÇK (, ). ( ) ( ) ( ) + 8. 9 d n > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. d n d n Ç K (, ). ( ) 9 ( ). DIM. + + ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesi için in alabileceği değerlerin en geniş aralığını bulunuz. 0 [, ). ( ) ( ) +