Momentler Prensibi (Varignon teoremi) Bu ilke, bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin bu kuvvetin bileşenlerinin bu noktaya göre momentlerinin eşit olduğunu ifade eder. Vektörel çarpımın dağılma özelliğinin kullanılmasına dayanır. İki boyutlu problemlerde, kuvveti kartezyen bileşenlerine ayırdıktan sonra moment analizini skaler analizle yapmak mümkündür. 1
Momentler Prensibi (Varignon teoremi) kuvvetine dik mesafeyi (d) bulmaya gerek kalmadan, bileşenlerine ayırmak daha pratik! 2
Örnek 25 O noktasında oluşan momenti belirleyiniz. ÇÖZÜM 1 3
ÇÖZÜM 2 4
ÇÖZÜM 3 5
Örnek 26 kuvveti şekildeki desteğin köşesinde etki etmektedir. Kuvvetin O noktasına göre momentini belirleyiniz (skaler ve vektörel çözüm ile). Çözüm 1- skaler analiz 6
Çözüm 2- vektörel analiz 7
Örnek 27 3 m 6 m Sokak lambasını kaldırmak için kuvvetinin A noktasında 2250 Nm saatin tersi yönünde moment oluşturması gerekmektedir. Bu durumda kuvvetinin şiddeti ne olmalıdır? 8
1.yol: A noktasına dik mesafeyi (d) bulalım. 5.80 2 4.55 2 7.37m. 6m 6xsin75=5.80m d 105 75 A 3m 6xcos75=1.55m sin105 7.37 sin 23.15 sin 3.0 (3sin105) / 7.37 6 m d M A 6 sin 23.15 d ( skaler) 2250 2.36 2.36m 953.39N 3 m 9
2.yol: kuvveti bileşenlerine ayrılır. B noktasına etkiyen kuvveti bileşenlerinin A da yaratmış oldukları moment toplamını 2250 Nm yapan kuvvet bulunur. x B 6m 5.80m 105 A 3m 1.55m y =23.15 =51.85 x =.cos 51.85 y =.sin 51.85 M A =2250 = x (5.80) y (1.55) 2250 = cos (5.80) sin (1.55) =953.39 N 10
Bir kuvvetin bir eksene göre momenti Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti hesaplanırken, moment ve moment ekseninin, kuvvet ve moment kolunu içeren düzleme daima dik olduğu unutulmamalıdır. Bazen bu momentin, söz konusu noktadan geçen belirli bir eksen üzerindeki bileşenini bulmak gerekebilir. Skaler veya vektörel analiz kullanılabilir. Örn: Bulonu gevşetebilecek moment y ekseni etrafındaki M y momentidir. x ekseni etrafında oluşan momentin bulonu gevşetmeye bir etkisi yoktur. 11
Skaler hesap kuvvetinin y ekseni etrafında moment yaratan moment kolu: d y =dcos olduğuna göre, M= d y = (dcos) olarak bulunur. 12
Vektörel hesap Şekilde gösterilen kuvvetinin y eksenine göre momentini bulmak için önce, kuvvetinin y ekseni üzerinde herhangi bir nokta O ya göre momenti bulunur. M o momentinin y eksenine göre izdüşümü olan M y bileşeni (y ekseni etrafındaki moment) ise skaler çarpım kullanılarak bulunur. (sonuç skaler) y eksenindeki birim vektör 13
HATıRLATMA!- SKALER ÇARPıM BÖLÜM2 DEN Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması: A a : a-a doğrultusundaki A vektörünün bileşeni. A nın izdüşümü de denir. a-a nın doğrultusu u a birim vektörüyle belirlenmişse, A a vektörünün şiddeti skaler çarpımla bulunabilir. A A a a Au a ( u 1) Aua cos Acos Au şeklinde bulunur. a a 14
Genelleştirince: M a u a ( r ) Bu çarpıma skaler üçlü çarpım denir. Vektörler kartezyen formda ifade edilirse; Skaler üçlü çarpım determinant formda da yazılabilir: 15
1. Satır 2. Satır 3. Satır 1.satır: a-a' ekseninin yönünü belirleyen birim vektörün kartezyen bileşenleri 2.satır: a-a ekseninin herhangi bir yerinden, kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine olan pozisyon vektörünün kartezyen bileşenleri 3. satır: kuvvetinin kartezyen bileşenleri Ma belirlendiğinde Ma yı kartezyen vektör şeklinde ifade edebiliriz : Ma negatif çıkarsa M M a a u a M a u a nın tersi yönündedir. 16
Örnek 28 kuvvetinin OA borusunun doğrultusundan geçen eksene göre oluşan momentin şiddetini bulunuz. Kartezyen vektör cinsinden ifade ediniz. 17
Şekildeki dikdörtgen levha A ve B dirsekleri ve CD kablosu ile yz-düzlemindeki bir duvara bağlanmıştır. CD kablosunun taşıdığı kuvvet 200 N dur. D nin koordinatları: D(0, 360, 120). mm dir. Buna göre tel tarafından C noktasına uygulanan bu kuvvetin; a)a noktasına göre momentini b)ae eksenine göre momentini bulunuz Örnek 29 Çözümü sınıfta yapılacaktır.
Kuvvet Çiftleri Kuvvet çifti, aralarındaki dik uzaklık d olan, aynı büyüklükte ve zıt yöndeki paralel iki kuvvet olarak tanımlanır. Bileşke kuvvet sıfır olduğundan, kuvvet çiftinin tek etkisi dönme eğilimi yaratmaktır. Kuvvet çifti ile üretilen moment, bir O noktasında oluşan iki kuvvetin momentleri toplamına eşittir. M rb ra ( ) ( rb ra ) rb ra r r rb ra M r Momentin, r A, r B konum vektörlerine değil, sadece kuvvetler arasındaki konum vektörüne bağlı olması nedeniyle, kuvvet çiftinin momentinin bir serbest vektör olduğu, herhangi 21 bir noktada etki edebileceği söylenebilir.
Skaler ormülasyon Kuvvet çiftinin momenti: M d = kuvvetlerden birinin büyüklüğü d= kuvvetler arasındaki dik uzaklık (moment kolu) Kuvvet çifti momentinin doğrultu ve yönü sağ el kuralı ile belirlenir. Vektörel ormülasyon Kuvvet çiftinin momenti vektörel (çapraz) çarpımla: M r 22
Eşdeğer (Denk) Kuvvet Çiftleri İki farklı kuvvet çifti, aynı şiddet ve yöne sahip moment etkisi yaratıyorsa, bu iki kuvvet çiftine eşdeğer kuvvet çifti denir. M= 30 N (0.4 m) = 40 N (0.3 m) = 12 Nm 23
Bileşke Moment Kuvvet çifti momentleri, serbest vektörler olduğundan vektörel olarak toplanabilirler. M M R M1 M 2 r Cismin üzerine ikiden fazla kuvvet çifti momenti etki ediyorsa bu kavram genelleştirilebilir. 24
Örnek 30 Üç farklı kuvvet çiftinin cisim üzerinde yarattığı bileşke momenti skaler hesapla bulunuz. M R M ( 200 M R d d d N)(0.4 m) (450N)(0.3 m) (300N)(0.5 95 Nm 95Nm 1 1 2 2 3 3 m) 25
Örnek 31 Boruya etkiyen iki kuvvet çiftinin yaratmış olduğu momentin bileşkesini bulunuz. 26
Örnek 32 Boruya etkiyen kuvvet çiftinin momentini belirleyiniz. 27
Vektörel çözüm 25 N 25 N 25 N 25 N
Skaler çözüm
Kuvvet ve Kuvvet Çifti Sistemlerinin Basitleştirilmesi Bazen bir kuvvet ve moment sistemini daha basit ve eşdeğer başka bir kuvvet sistemine indirgemek gerekebilir. Bu eşdeğer sistem belli bir noktaya etkiyen bileşke kuvvet ve momentten oluşmalıdır. Bu yeni sistem, orijinal sistemle aynı dış etkileri yaratıyorsa, yeni kuvvet sistemine eşdeğer kuvvet sistemi denir. Dış etkiler, Eğer cisim herhangi bir yere bağlı değilse ötelenme ve dönme etkileridir Eğer cisim mesnetli ise (bağlı) yarattığı mesnet tepkileridir 30
31 Kuvvet ve kuvvet çifti sisteminin bileşkesi Bir rijit cisme kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinden oluşan bir sistem etkiyorsa, cisim üzerindeki dış etkileri, kuvvet ve kuvvet çifti momenti bileşkelerini kullanarak incelemek daha basittir. M kuvvet çifti momenti, bir serbest vektör olduğundan, doğrudan O noktasına taşınır. 1 ve 2 kayan vektörlerdir ve O noktası bu kuvvetlerin etki çizgisi üzerinde olmadığından moment oluşturur. Oluşan momentler de O noktasına taşınmalıdır. M M M M M M M r M r M O RO i R R R 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1
Eğer kuvvet sistemi x-y düzleminde ise, ve momentler de bu düzleme dik (z ekseni doğrultusunda) ise, yukarıdaki vektör formülasyon, skaler formülasyon halini alır. Rx Ry x y M RO M O, i M j 32
Örnek 33 Etkiyen kuvvetleri O noktasında eşdeğer kuvvet ve moment sistemine indirgeyin. Kuvvet Toplamı 33
Moment Toplamı 34
Örnek 34 Soru: Etkiyen kuvvetleri ve momenti O noktasında eşdeğer bileşke kuvvet ve moment sistemine indirgeyin. Problem 3 boyutlu olduğu için vektörel analizle daha kolay çözülebilir, bunun yanısıra skaler çözüm de yapmak mümkündür. 35
VEKTÖREL ANALİZ Kuvvet Toplamı 36
Moment Toplamı 37
Kuvvet Sistemlerinin Daha da Basitleştirilmesi Bir kuvvet sistemi, aynı noktaya etkir veya aynı düzlemde bulunur ya da paralelse, tek bir P noktasında etkiyen bir tek bileşke kuvvete indirgenebilir. Çünkü bu hallerin herbirinde R ve M RO kuvvet sistemi, herhangi bir O noktasında basitleştirildiğinde daima birbirine dik olur. 38
Bir noktadan geçen kuvvet sistemleri Bütün kuvvetlerin etki çizgileri O noktasından geçiyorsa, kuvvet sistemi moment oluşturmaz. Eşdeğer kuvvet sistemi kuvvetlerin vektörel toplamıyla bulunur: R i 39
Düzlemsel Kuvvet Sistemleri Kuvvetlerin bulunduğu düzleme dik doğrutulu kuvvet çifti momentleri içerebilen düzlemsel kuvvet sistemleri tek bir bileşke kuvvete indirgenebilir. Kuvvetlerin bileşkesi : R M RO olarak hesaplanır ve yine aynı düzlemdedir. Kuvvetlerin oluşturduğu moment ekseni bu düzleme diktir. Dolayısıyla kuvvetlerin bileşkesi R O noktasına göre aynı momenti yaratacak şekilde, O dan d kadar mesafede konumlandırılabilir. M r 40
Paralel kuvvet sistemleri Bu sistem z eksenine paralel kuvvetlerden oluşmaktadır. Bu durumda, O noktasındaki bileşke kuvvet de z eksenine paralel olmak zorundadır. R i 41
Her bir kuvvet x-y düzlemindeki bir O noktasına taşındığında, bileşke kuvvet sadece x ve y eksenlerine göre bileşenlere sahip olan bir kuvvet çifti momenti üretir. Buna göre, oluşan bileşke momenti, R bileşke kuvvetine diktir. Bu nedenle kuvvet sistemi daha da basitleştirilerek tek bir R kuvvetine indirgenebilir. d mesafesi şu şekilde bulunur: 42
W R d W 1 W W1d 1 W2d W R 2 2 43
Örnek 35 Kirişe etkiyen kuvvet ve moment sistemini eşdeğer tek bir kuvvete indirgeyiniz ve kirişi kestiği yeri bulunuz. 44
Kuvvet Toplamı 45
Moment Toplamı 46
Örnek 36 Şekildeki vince etkiyen kuvvetleri eşdeğer tek bir kuvvete indirgeyin ve bu kuvvetin etki çizgisinin AB kolonunu ve BC kirişini kestiği yerleri belirleyiniz. 175 N Kuvvet Toplamı 260 47
Moment Toplamı = = 175 N 48
Veya; = x 0 y 2.29 m y 11m x 10.9 m 175 N 49
Örnek 37 Şekilde gösterilen döşeme birbirine paralel dört kuvvetin etkisi altındadır. Eşdeğer tekil kuvvetin yönünü ve yerini bulunuz. 50
KUVVET TOPLAMI
MOMENT TOPLAMI
Örnek 38 Şekilde gösterilen kuvvetlere ait eşdeğer kuvvetin O noktasından geçmesi için gerekli A ve B kuvvetlerinin şiddetlerini bulunuz. 53
knm knm knm R My knm R Mx A B A B A B B A A B A B 1.333 1.7 0.60 0.75 2 1.333 0 0.10 8 0.15 0.10 6 0.15 0 0 1 1.7 0.60 0.75 0 0.70 8 0.6 0.65 6 0.75 0 0 kn kn B A A B A B 16.67 18 1 0.75 0.75 1.7 0.6 0.75
Örnek 39 300 N y O x 200 N 60 400 N 10 cm 20 cm 25 cm 100 N 80 Nm 15 cm 10 cm 15 cm 10 cm Şekilde verilen kuvvetler sistemini tek bir kuvvete indirgeyip bu kuvvetin doğrultusunun x eksenini kestiği noktanın koordinatını hesaplayınız.
Ry=226.8 N 300 N 200 N 60 y O x 400 N 10 cm 20 cm 25 cm 100 N 80 Nm 15 cm 10 cm 15 cm 10 cm Mo 80 4000,3 200cos 600,1 3000,25 200sin 600,3 1000,15 Mo 68.04 Nm Rx Ry x 300 100 200.cos 60 100N y 400 200.sin 60 226.79N R 100 2 226.79 2 247.8N Rx=100N R=247.8N 226.79 tan 66. 2 100 x Mo 68.4 0,3m cm Ry 226.8 30