Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz. Grfik olrk orumlınc d kollrı ukrı oln proller için çukurun en derin noktsı, kollrı şğı doğru oln proller için de tümseğin zirve ptığı nokt ni tepe noktsı olduğunu nliliriz. Şimdi önümüzde prolün grfiği olmdn tepe noktsının koordintlrının nsıl ulunileceğini göreceğiz. İlk olumuz irz uzun m incelemenizde fd vr. İlerde dh kıs ir şekilde elde edeceğiz. Bşllım: = + + c denklemini = ( r) + k hline getirerek r ve k nin formüllerini çıkrmış olcğız. = + + c = ( + + c ) c = ( + + + ) c = ( + ) + ( ) c = ( + ) + c olduğundn r = ve k = ulunur. Görüldüğü üzere r nin formülü şık m k nin formülü gıcık. Bun hemen ir formül ulmlıız: T(r, k) noktsı prolün üzerinde olduğundn prol denklemini sğlmsı gerekir. O hlde erine r zdığımızd çıkck değeri k olmlıdır. Burdn nlşılmsı gereken şudur: k i ulmk isteen ir vtndş, fonksiond gördüğü ere r i zrk d k i ulilir. c k = f (r) = f ( ) =. Unutmın ki, k değeri fonksionun lileceği minimum d mksimum değeri verir, r değeri ise o minimum d mksimum değerini hngi değeri için ldığını verir. Şimdi de şk ir ol gösterelim. Şekillerden de görüldüğü üzere ir prolün tepe noktsının psisi, kollr ister ukrı doğru olsun, isterse şğı doğru, dim köklerin tm ortsınd er lır. O hlde 1 + r = = = olrk ulunur. Diğer ndn her tepe noktsı prolün üstünde olduğundn (r, k) noktsı prol denklemini sğlmlıdır. Denklemde erine r zrsk ulcğımız değer k olur. İşlemleri prsnız c k = f (r) = f ( ) =. çıkcktır. Burd klınız şöle ir soru gelmiş olilir: Y prol eksenini kesmiors? O zmn prolü şğı ve ukrı doğru kdırdığımızı düşünün. Sizce şğı ve ukrı hreketlerde tepe noktsının psisi ni r değişir mi? Tii ki hır. İşte u üzden işlemlerimizi prol eksenini frklı noktd kesiormuş gii pmmızd ir skınc oktur. Formülleri çıkrdık m unlrı kullnıor musun die ir sorun kım n. Kullnmlı rht ir 15 sene olmuştur. Ben hemen prolün denklemini tmkree çeviriorum. O tmkre ifdei de = ( r) + k gii düşününce kçtır, r kçtır, k kçtır, hemen elli oluor. Şimdi sılrl örnek vereim de ne demek istediğimi nlmnlr nlsın. Örnek. = + 6 prolünün tepe noktsının koordintlrı şğıdkilerden ) (6, ) B) (1, ) C) (3, 5) D) (3, 7) E) (6, 7) Çözüm: İki frklı ol göstereceğiz. Birinci ol. Formülü kullncğız. 6 r = = = 3, (1) k = f (r) = f (3) = 3 + 6 3 = 7 olduğundn T(r, k) = T(3, 7). r 1 r 1 İkinci ol. Tmkree dönüştüreceğiz. = + 6 = + 6 9 + 7 = ( 3) + 7 olduğundn T(r, k) = T(3, 7) olmlıdır. 11

Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Prolün Tepe Noktsı Örnek. = + + 8 prolünün tepe noktsının orijine oln uzklığı kç r dir? ) B) C) 3 D) 5 E) Çözüm: İki frklı ol göstereceğiz. Birinci ol. Tepe noktsının önce ir koordintlrını ullım, orijine oln uzklığı kol. r = = =, 1 k = f (r) = f ( ) = ( ) + ( ) + 8 =. T(, ) noktsının orijine oln uzklığı ise ( ) + = = 5. İkinci ol. Tvsiemiz u oldur, verilen ikinci dereceden denklemi derhl tmkre hline getirin, gerisi sırıtck zten. = + + 8 = + + + = ( + ) +. Ne kdr d = ( r) + k formülüne enzior değil mi? slınd t kendisi, r = ve k =. Örnek. f () = (m + ) + m + 6 fonksionunun tepe noktsı = 1 doğrusu üzerinde ise m nin lileceği değerlerin toplmı kçtır? ) 3 B) C) 1 D) E) 1 Çözüm: Bşktsı pozitif olduğundn, prolün kollrı ukrı doğru olup, prol ndki giidir. Tepe noktsı d = 1 doğrusu üstünde olduğundn k = 1 dir. c 1( m+ 6) (m+ ) k = = = 1 1 eşitliği çözülürse (m + 3) (m ) = uluruz ki m = 3 ve m = olilir. O hlde toplm 1. Doğru cevp: C. = 1 Örnek. Tepe noktsının (, 1) olduğu görülen nd grfiği çizilmiş prolün denklemi = (m 1) (m 9) m + n olduğun göre n kç olmlıdır? ) B) 3 C) D) E) 3 Çözüm: Prolün tepe noktsı ekseni üzerinde olduğundn r =, o hlde = dır. Yni m 9 =. Burdn m = 3 ve m = 3 ulunur. Prolün kollrı şğı doğru olduğundn m 1 < olmlı, u durumd m = 3 tür. Bir çık prol denkleminin sit terimi eksenini kestiği noktı vereceğinden m + n = 1 ni 3 + n = 1 olur. Burdn n = ulunur. Doğru cevp:. O -1 Örnek. [ 1, 8] olduğun göre, f( ) = 1+ 1 prolünün lileceği en üük değer kçtır? ) 31 B) 16 C) 1 D) 9 E) 1 Çözüm: f () = 1 + 1 = 1 + 36 35 = ( 6) 35 olduğundn ( 6) ifdesini ne kdr üük tutilirsek, f () o kdr üük olur. Bu ifde de [1, 8] rlığındn = 1 için en üük olur. O hlde m f () = f (1) = 1 1 1 + 1 = 1. Doğru Cevp: C. Örnek [198 ÖYS]. = + (m 1) + 1 prolü, eksenine, eksenin pozitif trfınd teğet olduğun göre m nin değeri kçtır? ) 3 B) C) 1 D) 1 E) 3 Çözüm: Prol eksenine teğet olduğundn, ilk olrk denklemi tmkre olmlıdır. Denkleminin tmkre olmsı için de = ni m = 3 ve m = 1 olmsı gerektiğini uluruz. İkinci olrk d verilene göre tepe noktsının psisi ni r pozitif olmlıdır. Bunun için de in ktsısı negtif olmlıdır. O hlde m = 1 dir. Örnek. [ 1, 3] rlığınd tnımlı f () = fonksionunun en küçük değeri kçtır? (ÖSS 1993) ) 6 B) 5 C) D) E) 3 Çözüm: değeri, ne kdr üük olurs o kdr küçüleceğinden, = 3 için en küçük değerini lır. 3 = 5. Doğru cevp: B. 115

Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Prolün Tepe Noktsı Örnek. = + 8 prolünün 5 rlığınd ldığı en üük değerle en küçük değerin çrpımı kçtır? ) 63 B) 56 C) D) 56 E) 63 Çözüm: = + 8 = ( + 1) + 9 olduğundn ifde en üük değeri 1 için, en küçük değeri de 5 için lır. O hlde m = ( 1 + 1) + 9 = 9 min = ( 5 + 1) + 9 = 7 dir. Çrpımlrı 9 ( 7) = 63 olur. Doğru cevp:. Örnek. f () = + (m + 3) + n + 1 prolünün tepe noktsı ekseni üzerindedir. Bu prolün görüntü kümesindeki en küçük elemn 5 olduğun göre m + n kçtır? ) 1 B) C) 1 D) E) 3 Çözüm: Tepe noktsı ekseni üzerinde oln prollerin denklemleri; ve irer reel sı olmk üzere + şeklindedir. Yni li terim içermez. Dh doğrusu li terimin ktsısı dır. Dolısıl m + 3 = dır. Burndn m = 3 ulunur. Prolün görüntü kümesinin en küçük elemnı demek, tepe noktsının ordintı demek c 1( n + 1) olduğundn = 5 ni = 5 eşitliğinden n = ulunur. Ölese m + n = 3 + = 1 olur. 1 Doğru cevp:. Örnek. BCD dikdörtgeninin kenr uzunluklrı şekilde verildiği giidir. Bu dikdörtgenin lnı en çok kç olilir? ) 5 B) 7 C) 9 B + D) 11 D 1 C E) 13 Örnek. k negtif ir reel sı olmk üzere, f( ) = k + 8+ 15 ( ) prolü verilior. Bun göre ( 3) f( ) eşitsizliğini sğln negtif tm sılrın toplmı kçtır? Çözüm: Dikdörtgenin lnı eni ile ounun çrpımı olduğundn ln(bcd) = ( + )(1 ) = + = ( + 1 ) + 9 olur. Burdn d = 1/ için lnın en çok 9/ olileceğini nlrız. Hocm, nsıl negtif olilir ki? demein. değil, uzunluk negtif olmz. Yni < < 1 olduğu sürece uzunluklr negtif olmz. Doğru cevp: C. ) 1 B) 9 C) 8 D) 7 E) Çözüm: ( 3) f () ( 3) k ( + 8 + 15) ( 3) k ( + 5) ( + 3) Bu eşitsizlik sistemini çözelim. Hemen kökleri o sırsın dizelim. Bşktsılrın işretlerinin çrpımı negtif olduğundn en sğ zıp, sol doğru ilerleelim. + ( 5) ( 3) + (3) Bize fonksionun negtif olduğu erler sorulduğundn çözüm rlığı [ 5, 3] [3, + ) olmlıdır. Burdki negtif tm sılr toplmı d 5 3 = 1 olur. Doğru cevp:. Örnek. = + 6 + m prolünün eksenini kesmediği iliniors, m nin lileceği en küçük tm sı değeri kçtır? ) 7 B) 9 C) 11 D) 1 E) 13 Çözüm: Prol eksenini kesmiors, reel kökü olmdığındn kesmiordur. Demek ki diskriminntı negtifmiş. = 6 1 (m ) < olmlıdır. O hlde m > 11 eşitsizliğinden m nin lileceği en küçük tm sı değeri 1 dir. Örnek. Ynd grfiği verilmiş oln f () = + + c prolünün tepe noktsı T(r, k) olup diskriminntı dır. Prol eksenine şekildeki gii teğet olduğun göre,, c, r, k, değerlerinden kç tnesi pozitiftir? ) B) 1 C) D) 3 E) Çözüm: Kollr ukrı doğru olduğundn >, eksenini pozitif trft kestiğinden c >, tepe noktsı ekseninin üzerinde ve negtif trfınd olduğundn r < ve k =, nı seepten =, = r olup, r < olduğundn >. Dolısıl sdece 3 tnesi pozitiftir. =f() 116

Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Prolün Tepe Noktsı Örnek. f () = + + c prolünün tepe noktsı T(r, k) olup diskriminntı dır. Bun göre,, c, r, k, değerlerinden en çok kç tnesi nı nd negtif olilir? ) B) 3 C) D) 5 E) 6 Çözüm: Eğer f () in, nd görüldüğü üzere, tepe noktsı nlitik düzlemin III. ölgesinde ve kollrı şğı doğrus, hsi geçen ltı r < değer de nı nd negtif olilir. k < Kollr şğı doğru olduğundn < T c < <, eksenini negtif trft kestiğinden c <, Tepe noktsı III. ölgede olduğundn r < ve k <, < eksenini kesmediğinden < ve = r olup, r > olduğundn <. Dolısıl ltı değerin ltısı irden nı nd negtif olilir. Doğru cevp: E. = f() Örnek. m ve n irer reel sı olmk üzere denklemi = + m + n oln ndki prolün tepe noktsı = 6 B =6 doğrusu üzerindedir. Bu prol ekseninin ve C noktlrınd C kesior olup tepe noktsı B olduğun göre BC üçgensel ölgesinin lnı kç r dir? ) 3 B) 3 6 C) 6 D) 6 6 E) 1 6 Çözüm: Üçgenimizin üksekliği 6 r olduğundn tnının uzunluğunu ulduk mu soru çözüldü demektir. Tn uzunluğu C olduğundn u değerin kökler frkının mutlk değeri olduğunu ilioruz. C = 1 = = Şimdi sır ı ulm geldi. Tepe noktsının ordintı 6 olrk verildiğinden 6 = k = = eşitliğinden = olrk ulunur. O hlde 6 ln( BC) = = 3 = 6 6 r olmlıdır. Örnek. n prmetresi değiştikçe, f( ) = ( n 1) + 1 prolünün tepe noktlrının geometrik eri şğıdkilerden ) = B) = 1 C) D) = 1 E) = = 1+ Çözüm: Tepe noktsı n 1 1 1 ( n 1) (, r k) =, 1 n 1 n + n+ 3 =, olduğundn n 1 n + n+ 3 = ve = denirse n = + 1 olduğundn (+ 1) + (+ 1) + 3 = 1+ + + 3 = + = = 1 Örnek. şğıdki prollerden hngisinin simetri eksenile = 6+ 8 prolünün simetri ekseni çkışıktır? ) C) = + 6 8 B) = 8 + D) E) ( ) = + 3 = + 6 = + 1 1 Çözüm: Tepe noktsının psisi r oln ir prolün simetri ekseninin = r doğrusu olduğunu ilioruz. Dolısıl seçenekteki prollerin hngisinin r sinin sorud verilen prolün r sile nı olduğun kcğız. r = olduğundn sorud verilen prol için r = 3 tür. D seçeneğindeki prol için de u değer 3 olduğundn doğru cevp D seçeneğidir. 117

Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Prolün Tepe Noktsı CEVPLI TEST 1 1. = 3 1 1 prolünün tepe noktsının koordintlrı şğıdkilerden hngisinde doğru olrk verilmiştir? ) (, 13) B) (, 3) C) (, 3) D) (, 13) E) (, 3) 6. = 1 + 6 = 5m + m + 3 prollerinin tepe noktlrının psisleri nı olduğun göre m nin değeri kç eşittir? ) 1 B) C) 3 D) E) 5. = + prolünün tepe noktsının koordintlrının toplmı şğıdkilerden ) B) 1 C) 1 D) E) 7. = 3 (m ) + 8 prolünün tepe noktsının psisinin negtif olmsı için m hngi rlıkt olmlıdır? ) (, ] B) (, ) C) (, + ) D) (, + ) E) [, + ) 3. = ( + ) + + prolünün tepe noktsı T(1, 3) olduğun göre nın değeri kç eşittir? ) B) 3 C) D) 5 E) 6 8. = + m prolünün tepe noktsı T(k, k) olduğun göre m nin değeri kçtır? ) 1 B) C) 3 D) E) 5. = + + c prolünün kollrı şğı doğru ve tepe noktsı T(r, k) dır. r <, k < olduğu ilindiğine göre,, c değerlerinden hngileri d hngisi kesinlikle negtiftir? 9. = m + 3 prolünün tepe noktsı T(r, ) olduğun göre r şğıdkilerden hngisi olilir? ) 3 B) C) D) 1 E) ) B) C) c D) ve E), ve c 5. = m + m + 5 prolünün tepe noktsının psisi ise ordintı şğıdkilerden 1. Yn şekilde grfiği verilen = f() = (6m + 1) m fonksionunun minimum değeri (, ) noktsı olduğun göre nın değeri kç eşittir? ) 8 B) C) D) E) 8 ) B) 3 C) D) 5 E) 6 118

Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Prolün Tepe Noktsı CEVPLI TEST 1. = + 3 prolünün tepe noktsının koordintlrı şğıdkilerden ) (, ) B) (, ) D) (, ) E) C) (, ) (, ) 6. = m + m prollerinin tepe noktlrının geometrik erinin denklemi şğıdkilerden ) = + B) = C) = D) = E) = + 1. = + 1 prolünün tepe noktsının orijine oln uzklığı kçtır? 7. Ynd grfiği verilen f fonksionunun mksimum değeri kçtır? ) 5 B) 5 8 C) 15 D) 5 E) 3-1 =f() ) 9 B) 3 C) 31 D) 3 E) 33 3. = = + 9 prollerinin tepe noktlrı rsındki uzklık kç irimdir? 8. = 6 + k prolünün tepe noktsının ekseninin lt ölgesinde konumlnilmesi için k ne olmlıdır? ) k < 9 B) k > 9 C) < k < 1 D) 9 < k < E) 1 < k < ) 5 B) 9 C) 13 D) 15 E) 17. = + 16 + 1 prolünün tepe noktsındn geçip eğimi oln doğrunun denklemi şğıdkilerden 9. = + p prolünün tepe noktsının koordintının (m, n) ve m = n olduğu ilindiğine göre p kçtır? ) 1 B) C) 3 D) 5 E) 8 ) = + 1 B) = C) = 1 D) = + E) = 5. = ( 6) prolüle = + k prollerinin tepe noktlrı rsındki uzklık 1 r ise k nin pozitif değeri kçtır? ) B) C) 6 D) 8 E) 1 1. t olmk üzere = t 1 ve = t 8t + 1 prmetrik denklemleri ile verilen prolün tepe noktsı şğıdkilerden ) ( 3,3) B) (3,6) C) (6,3) D) ( 6,3) E) (3, 6) 119

Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Prolün Tepe Noktsı CEVPLI TEST 3 1. Şekilde f () = + + c prolünün grfiği verilmiştir. Prolün tepe noktsının koordintlrı (r, k) olduğun göre k ornı kçtır? r =f() - 6. p sıfırdn frklı ir reel sı olmk üzere = p + p + 8 ifdesi en üük değerini hngi için lır? ) p B) p C) p D) E) ) 9 B) 9 C) 15. Şekildeki grfik f () = 6 + k prolüne ittir. Prol eksenini ve B noktlrınd kestiğine ve O = OB olduğun göre prolün tepe noktsının koordintlrının toplmı kçtır? D) 15 E) 9 =f() B 7. = + 1 + m 1 prolünün eksenini kesmediği iliniors, m nin lileceği en küçük tm sı değeri kçtır? ) 35 B) 36 C) 37 D) 11 E) 111 ) 79 B) 78 C) 3 D) 36 E) 66 3. f () = 3 6 + 5 g() = + 11 h() = + 3 + prollerinin tepe noktlrını köşe kul eden üçgensel ölgenin lnının 1 r olduğu ilindiğine göre şğıdkilerden hngisi olilir? 8. n prmetresi değiştikçe, f( ) = ( n ) + prolünün tepe noktlrının geometrik eri şğıdkilerden ) = B) = C) = + D) = E) = ) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. BCD dikdörtgeninin kenr uzunluklrı şekilde verildiği giidir. Bu dikdörtgenin lnı en çok kç olilir? B 8+ D C 9. = + 1 + 6 prolünün orijine göre simetriğinin tepe noktsı şğıdkilerden ) ( 5, 1) B) (5, 1) C) ( 5, 1) D) (5, 1) E) ( 1, 5) ) 9 B) 1 C) 18 D) E) 36 5. ÖSS 1999 pozitif ir gerçel sıdır. Kenr uzunluklrı cm ve 8 - cm oln dikdörtgenin lnı en çok kç cm olur? 1. = 6 + 1 prolünün eksenini kestiği noktnın prolün tepe noktsın oln uzklığı kç irimdir? ) 96 B) 9 C) 9 D) 9 E) 88 ) 6 B) 3 C) D) 16 E) 8 1