3. Bölüm Paraı Zama Değeri Prof. Dr. Ramaza AktaĢ
Amaçlarımız Bu bölümü tamamladıkta sora aşağıdaki bilgi ve becerilere sahip olabileceksiiz: Paraı zama değeri kavramıı alaşılması Faiz türlerii öğremek ve gerekli hesaplamaları yapabilmek Bugükü değer ve gelecek değer kavramlarıı öğremek ve gerekli hesaplamaları yapabilmek Borç itfa türlerii bilmek Borç taksit usurlarıı bilmek Borçlarda eşit ödeme tutarlarıı hesaplayabilmek Aahtar Kavramlar Faiz Bileşik Faiz Bugükü Değer Aüite Devamlı Eşit Ödemeler Borç İtfası Eşit Ödemeler Balo Ödeme 1
Ġçidekiler Faiz Kavramı o Basit Faiz o Basit Faiz Örek Uygulamalar o Bileşik Faiz ve Gelecek Değer o Bileşik Faiz Örek Uygulama o Bileşik Faiz ve Paraı Zama Değeri o Bileşik Faiz ve Bugükü Değer o Örek Uygulamalar o Etki (Efektif) Faiz o Örek Uygulamalar o Sürekli Bileşik Faiz o Örek Uygulamalar o Nomial Faiz ve Reel Faiz o Örek Uygulamalar Eşit Ödemeler (Aüiteler) o Eşit Ödemeleri Gelecekteki Değeri o Örek Uygulamalar o Eşit Ödemeler Tutarı (Aüite) o Örek Uygulama o Eşit Ödemeleri Bugükü Değeri o Örek Uygulamalar o Devamlı Eşit Ödemeler (Perpetuity) o Örek Uygulamalar o Eşit Ödemelerde Döemsel Faiz Oraı o Örek Uygulamalar o Eşit Ödemelerde Taksit Sayısı 2
Borç İtfası ve Örek Uygulamaları o Eşit Ödemelerle (eşit Taksitlerle) Bir Borcu İtfası o Döem Sou Eşit Ödemelerle Bir Borcu İtfası o Döem Başı Eşit Ödemelerde Bir Borcu İtfası o Eşit Aapara Taksitleriyle Bir Borcu İtfası o Taksitleri Belli Bir Döem Sora Başladığı Borç İtfaları o Balo Ödeme o Değişke Faizli Krediler Özet Çalışma Soruları Çalışma Soruları Yaıt Aahtarı Yararlaıla Kayaklar 3
BÖLÜM 3 PARANIN ZAMAN DEĞERĠ 1. Faiz Kavramı Faiz e yalı alamıyla mali foları (paraı) maliyetidir. Eğer bir kişi tüketimii ya da bir kurum faaliyetlerii veya yatırımlarıı fiase etmek içi yeterli foa sahip değilse, buu fo fazlası ola kişi veya kurumlarda ileride geri ödemek koşuluyla sağlayacaktır. Başkalarıda ödüç aldığı bu foları kullaa kişi ve kurumlar buu karşılığıda faiz ödeyeceklerdir. Buu ev kiralaya bir kişii durumua bezetebiliriz. Ev kiralaya bir kişi kedisie ait olmaya bir koutu kullamakta, buu karşılığıda ev sahibie kullaım süresi boyuca belirli bir kira ödemekte ve ev sahibii talebi veya kedi isteğiyle evde çıkarak koutu sahibii kullaımıa iade etmektedir. Burada ödee kira evi kullaım maliyetidir. Ayı şekilde, kedisie ait olmaya bir fou belirli bir süre kullaa kişi ve kurum da bu kullaım süresi ile oratılı olarak faiz ödemekte ve sürei souda fou iade etmektedir (geri ödemektedir). Burada da faiz, fou veya başka bir ifade ile belirli miktardaki paraı belirli bir süre içi kullaım maliyetidir. Geliride az tüketimi ola bir kişi tasarruf olarak adladırıla fo fazlasıı bakaya yatırdığıda bir alamda bakaya borç vermekte ve buu karşılığıda vade boyuca (paraı baka tarafıda kullaım süresi) faiz elde etmektedir. Bu bakada fo eksiği ola bir kişi veya kurum kredi aldığıda söz kousu fo içi vade boyuca faiz ödemektedir. Burada da görüleceği gibi, fo fazlası olalar borç vererek folarıı kullaımıı başkalarıa faiz geliri karşılığıda devretmekte, fo eksiği olalar da gerekli ola foları faiz ödeyerek temi etmektedirler. Fo fazlası olaları elde ettikleri faiz miktarı ile fo kullaaları ödedikleri faiz miktarı (F) üç usura bağlıdır. Bularda biricisi ödüç verile veya alıa fo miktarıdır. Ödüç verile veya alıa fo miktarı aapara (A) olarak adladırılır. İkicisi, bu fou e kadar bir süre içi ödüç alıdığıı belirte vadedir (). Üçücüsü ise faiz oraıdır (i). Faiz oraı değişik bileşelerde oluşur. Faiz oraı söz kousu bileşeler ciside aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: i = Paraı zama değeri + eflasyo riski primi + geriye ödeyememe riski primi + likidite riski primi + vade riski primi + kur riski primi Paraı zama değeri: Gerçek alamda faizi karşılığı paraı zama değeridir. Faizi bileşeleri ola ve yukarıda yazıla diğer riskler olmasa da, borç vere kişi karşı tarafta bir bedel talep edecektir. Bu bedel, borç verei borç alaa ödüç verdiğide, ödüç verile para tutarı ile oratılı öüe çıkabilecek fırsatları karşı tarafa devretmesii karşılığıdır. Eğer, borç vere kişi karşı tarafa belli bir döem içi ödüç veriyorsa, ödüç verile meblağla ilgili öüe çıkabilecek yatırım fırsatlarıı karşı tarafa devretmiş olmaktadır. Doğal olarak, kaçırılabilecek olası fırsatları bedelii borç alada talep edecektir. Aksi halde, borç vermeye yaaşmayabilecektir. Nitekim fias yazııda özellikle temettü politikaları ile ilgili olarak çok kullaıla bir deyim ola Eldeki bir kuş daldaki iki kuşta iyidir. ifadesi bu durumu çok güzel bir biçimde açıklamaktadır. Eflasyo riski primi: Eflasyo, fiyatları geel seviyesideki artıştır. Eflasyou e öemli etkisi paraı alım gücüü düşürmesidir. Eflasyo edeiyle ayı mal ve hizmetlere sahip olabilmek içi gelecekte daha yüksek bir tutar ödeir veya ayı parayla gelecekte daha az mal ve hizmet satı alıabilir. Reel faiz, bugü ödüç verile folar karşılığıda alıa bedeldir. Reel faiz, bir diğer deyişle, eflasyoda arıdırılmış faiz olup eflasyo risk primi hariç yukarıda belirtile diğer beş usurda oluşmaktadır. Reel faiz 4
hesaplaması bizim gibi göreceli yüksek eflasyo yaşaya ülkeler açısıda öem taşımaktadır. Çükü eflasyo edeiyle vade souda elde edilecek faizi satı alma gücü düşecektir. Buu telafi etmek ve borç vereleri satı alma gücüü korumak içi reel faize, vade boyuca beklee eflasyo oraı kadar bir eflasyo primi ekleir. Geriye ödeyememe riski primi: Borç ala kişi ve kurumları aldıkları borcu aaparasıı ve faizii zamaıda ödeyebilme kabiliyetie göre belirlee risk primidir. Eğer borçluu ödeme kabiliyeti yüksekse geri ödeyememe risk primii değeri düşük, borçluu ödeme kabiliyeti düşükse geri ödeyememe risk primii değeri yüksektir. Öreği, devleti kısa vadede iç borçlarıı ödeyememe olasılığı yoktur. Çükü kısa vadede merkez bakası kayaklarıı kullaarak borçlarıı ödeyebilir. Buda dolayı hazie boosuu faiz oraı risksiz faiz oraı olarak kabul edilir. Aslıda burada belirtile risksiz ifadesi geriye ödeyememe riskii olmadığıı belirtmektedir, diğer riskler hazie boosuda da söz kousu olduğuda hazie boosuu faizi diğer risk primlerii ihtiva etmektedir. Borçluu vadeside borcu aapara ve faizii ödeyebilme olasılığı düşükse, borç vereler geri ödeyememe riski olarak adladırıla aapara ve faizi tahsil edememe olasılığı ile karşılaşırlar. Söz kousu riski taşıya borç vereler bu riskle karşılaşma ihtimali yüzüde daha yüksek bir getiri elde etmek isterler ve geri ödeyememe riski primii yüksek tutarak talep ettikleri faiz oraıı artırırlar. Likidite riski primi: İşletmeler baze tahvil ve fiasma boosu gibi borçlamayı temsil ede mekul kıymetler ihraç ederek piyasada borçlaırlar. Eğer bu mekul kıymetler kolaylıkla piyasa değeride akde döüştürülebiliyorsa likiditesi yüksektir, aksi halde likiditesi düşüktür. Söz kousu mekul kıymetleri kolaylıkla akde döüştürülebilmesi içi ikicil piyasada fazla bir zorlukla karşılaşmada satılabilmeleri gerekir. Hazie boosu ve devlet tahvili likiditesi oldukça yüksek borçlama araçlarıdır. Çükü bu araçları alım-satımıı yapıldığı aktif bir ikicil piyasa mevcuttur ve elide bu araçları buluduralar buları bu piyasada kolaylıkla satarak akde çevirebilirler. Acak, adı fazla duyulmamış bir işletme tarafıda ihraç edile borçlama araçlarıa ikicil piyasada ayı kolaylıkla alıcı buluamayabilir. Bu durumda söz kousu borçlama araçlarıı elleride tutalar paraya ihtiyaçları olduğuda buları satarak akde çevirememe riski ile karşılaşırlar. Bu riski taşıyalar likidite primii yüksek tutarak daha fazla faiz talep ederler. Vade riski primi: Uzu vadeli borçlama araçları faiz riskie daha fazla maruz kalır. Çükü piyasa faiz oraları arttığıda hazie boosu, devlet tahvili, özel kesim tahvili gibi borçlama araçlarıı piyasa değeri düşer. Uzu vadede faiz oralarıdaki dalgalamalar daha fazla olabileceğide ve vade uzadıkça faiz oraı riski de artacağıda, borç vereler bu durumu telafi etmek içi daha yüksek vade riski primi uygulayarak daha fazla faiz talep edeceklerdir. Ayrıca borç vereler, verdikleri borcu kısa vadeli kayaklarla fiase ediyorlarsa (öreği 10 yıllık kout kredisii ortalama 3 aylık mevduatla fiase etmek gibi) vade boyuca yeide fiasma ihtiyacı ile karşılaşacaklardır. Faizler yükselirse yeide fiasma içi daha yüksek bir faiz ödemek durumuda kalacaklardır. Bu yöüyle de borç vereler faiz oraı riskie maruz kalacak ve buu telafi etmek içi verdikleri borçlara daha yüksek vade primi uygulayacaklardır. Öreği, güümüzde mevduatı ortalama vadesii 3 ay olduğu Türk Bakacılık Sistemide bakalarımızı uzu vadeli kredi kulladırırke karşılaştıkları e öemli risklerde birisi de budur. Bakacılık sistemide bu riske vade uyumsuzluğu riski de deilmektedir. Kur riski primi: Hesaplamalarıı yabacı para birimi üzeride yapa yatırımcıı, ödüç verile para birimii yabacı para birimlerie karşı olası değer kaybı riskie karşı talep ettiği risk primidir. Öreği TL ciside ödüç vere yatırımcı, faiz oraıı 5
uyguluğuu değerledirirke TL i diğer para birimleri karşısıda taşıdığı kur riskii göz öüe alır ya da almak zorudadır. Eğer yerli para birimi aşırı değerlemişse, piyasa faiz haddii e öemli usurlarıda birisi olarak kur riski ö plaa çıkmaya başlar. Faizi çeşitli şekillerde sııflamak mümküdür. Vade souda sadece aapara üzeride elde edile faiz Basit Faiz olarak isimledirilir. Öreği bakada üç ay vadeli bir hesap açtırıldığıı kabul edelim. Döem souda isterseiz aapara ve faizi çekebilir, isterseiz sadece faizi çekerek (faizi aaparada ayırarak) aaparayı bir üç ay daha yatırabilirsiiz. Bu durumda elde edeceğiiz faiz basit faizdir. Faizi çektiğiizde aaparaız sabit kalmakta ve ikici üç aylık döemde de ayı aapara üzeride faiz hesaplamaktadır. İkici üç aylık döemi souda da faizi çektiğiizi kabul edelim. Bu durumda aapara yie değişmemekte ve üçücü üç aylık döem içi de ayı aapara üzeride faiz hesaplamaktadır. Vade souda faizi aaparaya ekleerek aapara + faiz toplamıa yeide belli bir süre içi faiz yürütülmesi ise Bileşik Faiz kavramıı ortaya çıkarmaktadır. Öreğimize devam edersek, üç ayı souda aaparamız belirli bir faiz kazaacaktır. Bu faiz ve aaparaya hiç dokumada bir üç ay daha yatırırsak, aapara miktarı faiz kadar artacak ve ikici üç ay içi faiz bu toplam miktar üzeride hesaplaacaktır. İkici üç ay souda elde ettiğimiz faizi aaparaya eklersek aaparamız yie artacak ve üçücü üç ay içi faiz arta aapara miktarı üzeride hesaplaacaktır. Basit faizde aapara miktarı değişmediğide her üç aylık döemi souda elde edile faiz de ayı olmaktadır (faiz oraıı değişmediği kabul edilmektedir). Bileşik faizde ise aapara her üç aylık döemde arttığıda elde edile faiz de artmaktadır. Faiz ile ilgili olarak belirlee sürei de uygulamalarda farklılaştığı görülmektedir. Eğer faiz hesaplamalarıda kullaılacak süre 360 gü üzeride hesaplaacak ise yapıla hesaplama Ticari Faiz; kullaıla süre 365 gü olarak hesaplaacak ise Gerçek Faiz olarak adladırılır. Basit Faiz Belli bir aapara miktarı esas alıarak, belli bir süre içi, belli bir faiz oraı üzeride hesaplaa faize basit faiz ismi verilir. Basit faiz, ilgili döem souda elde edile faizdir. Daha öce de belirtildiği gibi, basit faiz hesaplaırke, döem souda elde edile faizi aaparaya eklemesi ve bir döem daha yatırılması söz kousu değildir. Faizi aşağıdaki usurlarda oluştuğu daha öce belirtilmişti: Aapara, A Faiz Oraı, i Süre (vade), Faiz, F Nomial faiz bir yıllık basit faiz oraıa verile isimdir ve bakalar değişik vadelere ilişki faiz oralarıı hep omial faiz ciside ifade ederler. Diğer bir değişle omial faiz bakacılıkta mevduat ve kredi faiz oralarıı verirke kullaıla stadart ora olarak da ifade edilebilir. Nomial faiz içi kullaıla faiz oraları gülük, aylık ya da yıllık olarak ifade edilebilir. Öreği, ülkemizde bakalar mevduat faiz oralarıı yıllık, acak tüketici kredisi veya kout kredisi faiz oralarıı aylık olarak ila etmektedirler. Bu farklılıkları 6
hesaplamalarda doğru kullaılabilmesi içi faiz oraıı süre ile birlikte dikkate alıması ve oa göre oraı formüllerde kullaılması gerekmektedir. Döemlik faiz oraıı ifade ede i oraıı yıllık faiz oraı r ile ilişkiledirerek hesaplamak gerekir. Faiz oraı yüzde olarak ifade edilir (% 20 gibi). Süre yıl ise döemlik faiz oraı (i) = r/100 şeklide gösterilebilirke; süre ay ise i= r/1200; süre gülük verilmişse i=r/36000 olarak kullaılması gerekir. Burada verile bilgilere göre Basit Faiz şu şekilde hesaplaabilir: F = A**i Örek Uygulamalar A) Bay A, tasarrufu ola 10.000 TL yi bir bakaya yatırarak değerledirmek istiyor. 60 gü süre ile değerledireceği paraya baka yıllık % 15 faiz uygulamaktadır. Bua göre Bay A bakaya yatıracağı bu paraya ilişki e kadar faiz alacaktır? F = A**i formülüde Öcelikle i yi hesaplamak gerekecektir. Burada i = r/36000 de i = 15/36000 t= 0,000417 gülük faiz olarak buluur. F = A * * i F = 10.000 TL * 60 gü * 0,000417 F= 250 TL olarak buluur. Bu öreği, sadece süre kısmıı değiştirerek çözersek aşağıda olduğu gibi souçları farklılaşmadığıı görebilirsiiz. Süreyi 60 gü yerie 2 ay olarak dikkate alırsak; i = 15/1200 hesaplamasıda i= 0,0125 olarak buluur. F ay = A * * i F ay = 10.000 TL x 2 Ay x 0,0125 F ay = 250 TL Verile bilgiler itibariyle, istee her zama faiz tutarı olmayabilir. Aapara, süre ya da faiz oraı da sorulalar arasıda yer alabilir. B) Bay A, tasarrufu ola 10.000 TL yi 60 gü süre ile bir bakaya yatırarak değerledirmiş ve souda 250 TL faiz elde etmiştir. Bua göre Bay A ı bakaya yatırdığı bu para ile ilgili olarak, bakaı uyguladığı faiz oraı edir? F = A * * i 7
i F A* i 250 10.000*60 i = 0,000416667 olarak buluur. Acak burada bulua ora gülük faiz oraıdır. Dikkat edilirse yukarıda süre () 60 gü olarak ifade edilmiştir. Süre gü olarak alıdığıda bulua ora da gülük faiz oraıdır. Yıllık faiz oraı hesaplamak istediğide; i = r / 36000 formülüde, r = 0,000416667 * 36000 = 15 olarak buluur. Yıllık faiz oraı % 15, gülük (döemsel) faiz oraı ise yaklaşık %0,04 dür. Sürei 2 ay olarak alıdığıı kabul edelim. Bu durumda formül aşağıdaki şekilde yazılacaktır. i 250 10.000*2 i= 0,0125 olarak buluur. i = r / 1200 formülüde, r= 0,0125 * 1200 = 15 olarak buluur. Burada da yıllık ora % 15, aylık (döemsel) ora ise % 0,125 dir. Bileşik Faiz ve Gelecek Değer Döem souda, aaparaya o döemde elde edile faizi ekleerek yeide yatırılması durumda, bir soraki döemde elde edile faize bileşik faiz dediği daha öce ifade edilmişti. Bir soraki döemde aapara, öceki döemde elde edile faiz miktarı kadar arttığıda elde edile faiz de daha fazla olmaktadır. Çükü bir soraki döemi faizi arta aapara miktarı üzeride hesaplamaktadır. Bir kişii bakada bir yıllık mevduat hesabı açtırdığıı kabul edelim. Bu kişi üç yıl boyuca aaparaya ve her yıl elde edile faize dokuması. Bu kişii üçücü yılı souda bakada toplam e kadar parası olur? Gelecek değer olarak adladırıla üçücü yılı souda hesaptaki toplam para miktarı, birici yılı souda elde edile faizi aaparaya eklemesi ve bu şekilde bir daha yatırılması, ikici yılı souda elde edile faizi ikici yılbaşıdaki aapara miktarıa eklemesi ve bir daha yatırılması ve üçücü yılı souda elde edile faizi üçücü yılbaşıdaki aapara miktarıa eklemesi ile buluur. Buu aşağıdaki şekilde gösterebiliriz: A, başlagıçtaki aapara miktarı, i döemsel (yıllık) faiz oraı olsu. Her yılsouda; o yıl elde edile faiz, aaparaya ekleerek bir daha yatırılmaktadır. Birici yılı souda elde edilecek faiz, basit faiz formülü kullaılarak aşağıdaki şekilde buluacaktır: F= A * i 8
Burada i döemsel (öreğimizde yıllık) faiz oraıı ifade etmektedir. Bu ora, daha öce de açıkladığı gibi r omial faiz oraıda i = r / 100 ifadesiyle elde edilmektedir. Birici yılı souda elde edile faiz aaparaya eklediğide, ikici yıl içi yatırıla aapara miktarı A + (A * i) olacaktır. Bu ifadei diğer bir gösterim şekli A * (1+i) şeklidedir. A * (1+i) miktardaki aapara ikici yıl içi i yıllık faiz oraıda yatırılacak ve ikici yılı souda [A * (1+i)] * (1+i) veya A * (1+i) 2 miktarıa ulaşacaktır. Üçücü yıl içi de ayı işlem yapılacak ve üçücü yılı souda aapara miktarı A * (1+i) 3 olacaktır. Buu geelleştirirsek, A miktardaki aapara, i döemsel faiz oraı üzeride, döem solarıda elde edile faiz aaparaya ekleerek adet döem (öreği yıl) yatırılsa, ici döemi souda aşağıdaki miktara ulaşır. Gelecek Değer (GD) = A* (1+i) Buradaki (1+i) Gelecek Değer Faktörü (GDF) olarak adladırılır. Fias kitaplarıı souda bu faktöre ait değerler değişik i ve değerlerii karşılığı olarak hesaplamış vaziyette okuyucuu istifadesie suulur. Okuyucuu yapacağı tek şey ilgili ora (i) ve vadei () kesiştiği değeri almak ve buu aapara değeri (A) ile çarparak gelecek değeri bulmaktır. Gelecek değer (GD), literatürde İgilizce karşılığı ola FV (Future Value) kısaltması ile de gösterilmektedir. Yukarıdaki açıklamalarda her döem içi faiz oraıı değişmediği kabul edilmektedir. Buu biraz daha açarsak, ikici döem içi uygulaa faiz oraı birici döemdeki faiz oraıyla, üçücü döemde uygulaa faiz oraı birici ve ikici döemlerdeki faiz oraıyla ayıdır. Acak, değişik döemlerde uygulaa faiz oraları farklılık gösterebilir. Çükü, faiz oraları piyasa şartlarıa göre değişebilmektedir. Bir kişii bakada altı ay vadeli bir hesap açtırdığıı ve parasıa üç yıl boyuca dokumak istemediğii düşüelim. Baka birici altı ayda hesabı cari faiz oraı üzeride açacaktır. İkici altı ayda cari faiz oraı düşebilir veya yükselebilir. Birici altı ayı souda vade dolduğuda, baka hesaba ikici altı ay içi o gükü cari faiz oraıı uygulayacaktır. Bu ora ilk altı ayda uygulaa orala ayı olabilir veya bu orada farklı olabilir. Üç yıl boyuca baka, hesabı her yeilediğide, hesabı yeilediği gükü cari faiz oraıı uygulayacaktır. Döemler itibariyle faiz oraıı değiştiği durumda gelecek değer aşağıdaki şekilde hesaplaır: GD = A * (1+i 1 ) *(1+i 2 ) * (1+i 3 ) * (1+i ) i 1 i 2 i 3.. i GD = A * ( 1 i t ) ; t1 Burada; Π çarpma operatörü, i t ise t döemide uygulaacak döemsel faiz oraıdır. Örek Uygulama Bay B, 10.000 TL lik tasarrufuu bakaya yatırarak değerledirmek istiyor ve % 15 yıllık faiz üzeride bir yıl vadeli hesap açtırıyor. Bay B, bakadaki parasıa üç yıl hiç dokumazsa, hesabıda üçücü yılı souda kaç TL olur? 9
Gelecek Değer = A * (1+i) Gelecek Değer = 10.000 * (1+0,15) 3 = 15.209 TL Bileşik Faiz ve Paraı Zama Değeri Fiasmadaki e temel kavramlarda birisi, yukarıda kısaca değiile paraı zama değeridir. Bu kavrama göre, paraı zamaa göre belirlee bir değeri vardır. Bugü elde edilecek para, gelecekte elde edilecek parada daha değerlidir. Çükü bugü elde edilecek para ile yatırım yapılarak getiri elde edilebilir. Ayı miktardaki para gelecekte elde edilirse, bugü yatırım yapılarak kazaılabilecek getiride mahrum kalımış olur. Dolayısıyla yakı zamada elde edilecek para, her zama daha ileride elde edilecek ayı miktardaki parada daha değerlidir. Bu durumu, yukarıda açıklaa gelecek değer kavramı ile de ilişkiledirerek basit bir örekle açıklayalım. Piyasa faiz oraıı yıllık % 16 olduğuu kabul edelim. Bize şöyle bir teklif yapılmaktadır. Bugü mü 10.000 TL istersiiz; yoksa bugü 2.000 TL, ikici yılı başıda 3.000 TL, üçücü yılı başıda 7.000 TL mi istersiiz? Birici alteratifte suula para miktarı 10.000 TL dir, ikici alteratifte ise suula toplam para miktarı 12.000 TL dir. Eğer bu çok basit hesaba dayaarak ikici alteratifi tercih edersiiz çok yaılırsıız. Çükü bu basit işlem paraı zama değerii dikkate almamaktadır. Bu alteratifleri paraı zama değerii dikkate alarak iceleyelim. Bugü aldığımız 10.000 TL yi piyasa faizi üzeride bir yıllık vadeli mevduat hesabıa yatırdığımızı ve üç yıl boyuca hiç dokumadığımızı kabul edelim. Bu durumda, 10.000 TL i üçücü yılı soudaki değeri (gelecek değeri) bir öceki bölümde öğrediğimiz gelecek değer formülüde aşağıdaki şekilde hesaplaacaktır: GD = 10.000 * (1 + 0,16) 3 = 15.608,96 TL Şimdi ikici alteratifi ele alalım. Bugü elde ettiğimiz 2.000 TL yi bir yıl vadeli olarak piyasa faiz oraı üzeride yatırdığımızda bir yıl sora paramız 2.000 * 1,16 = 2.320 TL olacaktır. İkici yılı başıda alacağımız 3.000 TL yi bu tutara ekleyip bir yıl daha yatırdığımızda, ikici yılı souda paramız 5.320 * 1,16 = 6.171,2 TL ye erişecektir. Üçücü yılı başıda alacağımız 7.000 TL yi bu tutara ekleyip bir yıl daha yatırdığımızda, üçücü yılsouda paramız 13.171,2 * 1,16 = 15.278,59 TL olacaktır. Görüldüğü gibi birici alteratifte elde edile toplam para ikici alteratifte elde edile toplam parada daha fazladır. Çükü birici alteratifte, ilk yılı başıda elde edile 10.000 TL değerledirilerek birici yılda itibare faiz kazaılmıştır. Şimdi kouyu biraz daha basitleştirelim. Birici yılı başıda elde edile 5.000 TL i değeri ile üçücü yılı başıda elde edile 5.000 TL i değeri ayı mıdır? Bu soruu cevabı hayır dır. Çükü birici yılı başıda elde edile 5.000 TL heme yatırılarak üçücü yılı souda (% 16 yıllık faiz üzeride), 5.000 * (1 + 0,16) 3 = 7.804,48 TL değerie ulaşır. Üçücü yılı başıda elde edile 5.000 TL yatırılarak üçücü yılı souda, 5.000 * 1,16 = 5.800 TL değerie ulaşılır. Görüldüğü gibi daha erke elde edile 5.000 TL daha geç elde edile 5.000 TL de kıymetlidir. 5.000 TL yi üçücü yılı başıda elde edersek, bir ve ikici yıllarda kazaacağımız faizde mahrum oluruz. O halde, üçücü yılı başıda elde edilecek 5.000 TL i bugükü değeri, birici yılı başıda elde 10
edilecek 5.000 TL i bugükü değeride azdır. Bu hesaplamalar bizi bugükü değer kavramıa getirmektedir. Bileşik Faiz ve Bugükü Değer Bugükü değer, gelecekteki bir tutarı belli bir iskoto oraı ile bugükü değerii bulmaya yaraya bir hesaplama biçimidir. Öreği, Üç yıl sora elde edilecek (üçücü yılı souda) 10.000 TL i bugükü değeri kaç TL dir? sorusuu cevabı bugükü değer formülü yardımıyla buluur. Bugükü değer formülü aşağıda gösterilmiştir: (Bugükü değer) GD BD ( 1 i) Burada i iskoto (faiz oraı veya sermaye maliyeti) oraıdır. Bugükü değer, İgilizce karşılığı ola PV (preset value) kısaltması ile de gösterilir. Yukarıdaki formülü faktör hesaplaması ile şöyle de yazabiliriz. 1 BD GD* ya da BD = GD * Bugükü Değer Faktörü (BDF) (1 i) Souç değişmeyecek olup, öcede hazırlamış paraı zama değeri tablolarıda ilgili döem ve iskoto oraıı kesiştiği yerdeki bugükü değer faktörü, gelecek değer ile çarpılmak suretiyle bugükü değer kolayca hesaplaabilecektir. Örek Uygulamalar A) Bay C, 1 döem sora elde edeceği 1.150 TL i % 15 iskoto oraı ile bugükü değerii hesaplamak isterse; BD :? GD : 1.150 i : % 15 : 1 Döem 1.150 BD (1 0,15) 1 => BD = 1.000 TL olarak buluur. Burada dikkat edilirse; gelecek yıl ya da 1 yıl demek yerie 1 döem ifadesi kullaılmıştır. Döem her zama yıla eşit olmayabilir. Öemli ola döem ifadesi ile o döeme ait iskoto oraıı kullaılmasıdır. Ayı soruyu Bugükü Değer Faktörü Tablosuyla çözmek istersek; BD = GD * BDF (1 Döem;% 15) 11
BD = 1.150 x 0,869565217 => BD = 1.000 TL olarak buluur Burada kullaıla BDF i kitabı arkasıdaki paraı zama değeri tablosuda (EK-B) döem 1 ile 0,15 oraıı kesiştiği yerdeki değer (0,869565217) olduğu görülür. B) Bay C, 4 döem sora elde edeceği 4.500 TL i % 10 iskoto oraı ile bugükü değerii hesaplamak isterse; BD :? GD : 4.500 i : % 10 : 4 Döem Ya da 4.500 BD =>BD = 3.074 TL olarak buluur. 4 (1 0,10) BD = 4.500 TL * BDF (4;%10) BD = 4.500 * 0,683013455 => BD = 3.074 TL olarak da buluur. C) Bay B, 10.000 TL lik tasarrufuu bir yıl vadeli mevduat hesabı açarak değerledirmek istiyor. Bay B i üçücü yılı souda 17.000 TL ye ihtiyacı vardır. Bay B, yılsolarıda parasıa dokumayacak, kazaıla faiz aaparaya ekleerek bir yıl daha yatırılacaktır. Bay B, üçücü yılı souda ihtiyacı ola parayı elde etmek içi parasıı yıllık yüzde kaç faiz ile bakaya yatırmalıdır? Gelecek Değer = A * (1+i) 17.000 = 10.000 * (1+i) 3 17.000 i 3 10.000 1 i = 0,1935 olarak buluur. Dolayısıyla Bay B yıllık % 19,35 faiz üzeride parasıı yatırmalıdır. D) Bay B, 10.000 TL lik tasarrufuu bakaya yatıracak ve bu paraı gelecek değeri 18.106 TL olacaktır. Bakaı uygulayacağı yıllık faizi % 16 olduğu bilidiğie göre, Bay B parasıı bakaya bu tutara ulaşabilmesi içi e kadar süre ile yatırmalıdır? Gelecek Değer = A * (1+i) 18.106 = 10.000 * (1+0,16) Bu çözümü yapabilmek içi logaritmada destek almak gerekmektedir. log 18.106 = log 10.000 + * log 1,16 12
log18.106 log10.000 => = 4 yıl olarak buluur. log1,16 E) Bay C i 20.000 TL lik tasarrufu vardır. Bay C bu tasarrufuu 6 aylık mevduat hesabıa yatırarak değerledirmek istemektedir. Baka yıllık % 16 faiz uygulamaktadır. Bay C parasıa hiç dokumazsa, dördücü yılı souda hesabıda kaç parası olur? Bu problemi çözmek içi öcelikle döemlik (altı aylık) faiz oraıı hesaplamamız gerekir. i (altı aylık faiz oraı) = 16 / 200 (bir yılda iki altı ay olduğuda 100 * 2 = 200) = 0,08 Dört yılda toplam 8 adet altı aylık döem vardır. O halde = 8 döem olarak buluur. Gelecek Değer = 20.000 * (1+0,08) 8 = 37.019 TL F) Bay C i 15.000 TL lik tasarrufu vardır. Bay C bu tasarrufuu 3 aylık mevduat hesabıa yatırarak değerledirmek istemektedir. Baka yıllık % 14 faiz uygulamaktadır. Bay C parasıa hiç dokumazsa, üçücü yılı souda hesabıda e kadar parası olur? i (üç aylık faiz oraı) = 14 / 400 (bir yılda dört üç aylık döem olduğuda 100 * 4 = 400) = 0,035. = 3 * 4 = 12 döem Gelecek Değer = 15.000 * (1+0,035) 12 = 22.666TL G) Bay C i 25.000 TL lik tasarrufu vardır. Bay C bu tasarrufuu bir aylık mevduat hesabıa yatırarak değerledirmek istemektedir. Baka yıllık % 17 faiz uygulamaktadır. Bay C parasıa hiç dokumazsa, ikici yılı souda hesabıda kaç parası olur? i (aylık faiz oraı) = 17 / 1200 = 0,0142 ve = 2 * 12 = 24 döem Gelecek Değer = 25.000 * (1+0,0142) 24 = 35.068 TL H) Bay E i üç yıl sora 40.000 TL ye ihtiyacı vardır. Bay E parasıı bakaya altı ay vadeli yatıracak ve üç yıl hiç dokumayacaktır. Yıllık faiz oraı % 16 dır. Bay E üç yıl sora istediği parayı elde etmek içi şimdi bakaya kaç TL yatırmalıdır? i (altı aylık faiz oraı) = 16 / 200 = 0,08 = 2 * 3 = 6 döem 40.000 = A * (1 + 0,08) 6 40.000 = A * 1,5869 A = 25.206,38 TL. 13
Etki (Efektif) Faiz Faiz, daha öce de belirtildiği gibi, geelde yıllık bazda ifade edilir (omial faiz). Öreği yıllık % 15 faiz gibi. Eğer bir yılda kısa bir süre ile bakaya para yatırılırsa, vade souda elde edile faiz aaparaya ekleerek yılsoua kadar yeide yatırılabilir ve bu miktar üzeride yılsouda bir kere daha faiz kazaılır. Dolayısıyla bir yılda elde edile faiz daha yüksek olur. Bakaları ila ettikleri yıllık basit faizi omial faiz olduğuu yukarıda ifade etmiştik. Bua karşı bir yılda kısa süreli hesaplarda vade souda elde edile faizi aaparaya eklemesi ile oluşa miktarı yılsoua kadar tekrar yatırılması durumuda elde edile faiz ise etki (efektif veya bileşik) faiz olarak adladırılır. Yai, bir diğer deyişle, 1 yıllık bileşik faize efektif faiz deilmektedir. Buu bir örekle açıklayalım. Bay D i 50.000 TL si vardır ve bu para ile üç aylık mevduat hesabı açtırmıştır. Baka % 18 basit faiz üzeride hesabı açmıştır. Bir öceki kısımda hesapladığı gibi bir yıl sora Bay D i parasıı kaç TL olacağıı bulalım. i = 18 / 400 = 0,045. Gelecek Değer = 50.000 * (1 + 0,045) 4 = 59.626 TL. Bay D i orijial aaparası 50.000 TL idi. Bay D, bir yılda 9.626 TL faiz kazamıştır. Bay D i kazadığı faiz, 9.626 / 50.000 = % 19,25 dir. Dolayısıyla yıllık basit faiz oraı (omial faiz) % 18, yıllık etki (bileşik) faiz oraı ise % 19,25 dir. Etki faiz ayı zamada gerçekleşe faizdir. Yıllık etki (bileşik) faiz oraı aşağıdaki şekilde hesaplaır. i yıllık, etki = (1 + i döemlik, basit ) 1 Yukarıdaki problemde, yıllık etki faiz oraıı bu ifadeyi kullaarak hesaplayalım. i döemlik, basit = 18 / 400 = 0,045, = 4 i yıllık, etki = (1 + 0,045) 4 1 = 0,1925 => % 19,25 olarak buluur. Örek Uygulamalar A) 100 TL omial değerli, üç ay vadeli bir hazie boosu 94 TL de satılmıştır. Bu hazie boosuu yıllık basit (omial) ve etki (bileşik) faizi edir? Hazie boosuu satı ala kişi, satı aldığı gü 94 TL ödemekte, vade bitimide üç ay sora, devlette 100 TL almaktadır. Bu durumda üç ayda 6 TL faiz geliri elde etmektedir. i döemlik, basit = 6 / 100 = 0,06 => % 6. t yıllık, basit = 6 x 4 = 24. Yıllık basit faiz % 24 dür. i yıllık, etki = (1 + i döemlik, basit ) 1 = (1 + 0,06) 4 1 = 0,2625 Yıllık bileşik faiz % 26,25 dir. 14
B) Hazie altı ayda bir faiz ödemeli, yıllık basit faizi % 20 ola devlet tahvili ihraç etmiştir. Bu devlet tahvilii yıllık etki (bileşik) faizi edir? i döemlik, basit = 20 / 200 => 0,1 i yıllık, etki = (1 + i döemlik, basit ) 1 = (1 + 0,1) 2 1 = % 21 Sürekli Bileşik Faiz Yukarıdaki öreklerde, yatırıla aapara belirli bir zama dilimide faiz kazamaktadır. Öreği, bakaya üç ay vadeli parasıı yatıra bir kişi üçücü ayı souda faiz kazamakta, kazadığı faizi aaparaya ekleyerek yeide yatırmakta ve bu aapara üzeride ikici üç ayı souda bir daha faiz kazamaktadır. Bu durum kesikli bileşik faiz olarak adladırılır. Sürekli bileşik faizde ise, yatırımcı belirli döemlerde değil fakat sürekli olarak faiz kazamakta ve kazadığı faizi aaparaya ekleyerek faiz kazamaya devam etmektedir. Sürekli bileşik faizde, gelecek değer ve etki faiz oraıı hesaplayabilmek içi yukarıda icelee formüllerde bazı düzelemeler yapmak gerekir. Kesikli bileşik faizde gelecek değer, A * (1+i) ifadesiyle hesaplamaktaydı. Sürekli bileşik faiz uygulamasıda gelecek değer aşağıdaki şekilde hesaplaır: Gelecek değer = A * e i* e = 2,718281828 değerii ifade etmektedir. Kesikli bileşik faizde yıllık etki faiz, i yıllık, etki = (1 + i döemlik, basit ) 1 ifadesiyle hesaplamaktaydı. Sürekli bileşik faiz uygulamasıda yıllık etki faiz aşağıdaki şekilde hesaplaır: i yıllık, etki = e i - 1 => i = i yıllık, basit Örek Uygulamalar A) Bay B, 20.000 TL sii yıllık % 18 sürekli bileşik faizle yatırıyor. Dördücü yılı souda Bay B i parası kaç TL olur? i = 18/100 => 0,18 = 4 döem Gelecek değer = A * e i* ifadeside, Gelecek değer = 20.000 * e 0,18 * 4 = 41.088,66 TL B) Bay C i 30.000 TL si vardır. Bay C parasıı yıllık sürekli bileşik faiz üzeride iki yıl yatırmak istiyor. Yıllık basit faiz oraı % 16 ise Bay C i iki yıl sora kaç parası olur? i = 16 / 100 => 0,016 15
Gelecek değer = 20.000 * e 0,16 * 2 = 41.313,83 TL. C) Yıllık basit faiz % 20 dir. Sürekli bileşik faiz uygulaması durumuda, yıllık etki (bileşik) faiz oraı edir? i yıllık, etki = e i 1 i yıllık, etki = e 0,2-1 = 0,2214 => % 22,14 Nomial Faiz ve Reel Faiz Nomial faiz eflasyo primii de içere faizdir. Reel faiz ise eflasyoda arıdırılmış reel getiridir. Nomial ve reel faiz arasıda aşağıdaki gibi bir ilişki vardır. Burada bahsi geçe eflasyo değeri geçmiş döeme ilişki değer değil, gelecek döem içi beklee eflasyou ifade etmektedir. (1 + i omial ) = (1 + i reel ) (1 + Eflasyo) Yai : i reel 1 iomi al 1 Eflasyo 1 Örek Uygulamalar A) Nomial faiz oraı % 22 dir. Eflasyo % 10 ise reel faiz oraı edir? (1 + 0,22) = (1 + i reel ) (1 + 0,10) 1,22 = (1 + i reel ) * 1,1 1,109 = 1 + i reel i reel = 0,109 => % 10,9 B) Bir yatırımcı % 8 reel faiz elde etmek istemektedir. Mevcut omial faiz oraı % 18 dir. Yatırımcıı istediği reel faizi elde edebilmesi içi eflasyo e olmalıdır? (1 + 0,18) = (1 + 0,08) (1 + Eflasyo) 1,18 = 1,08 (1+Eflasyo) 1,0926 = 1 + Eflasyo Eflasyo = 0,0926 => % 9,26 C) Bir yatırımcı % 12 reel faiz elde etmek istemektedir. Beklee eflasyo % 10 olduğua göre, yatırımcı istediği reel faizi elde etmek içi hagi omial faiz üzeride yatırım yapmalıdır? (1 + i omial ) = (1 + 0,12) (1 + 0,1) 16
(1 + i omial ) = 1,232 i omial = 0,232 => % 23,2 2. EĢit Ödemeler (Aüiteler) Eşit ödemeler (aüiteler) belirli bir süre boyuca, belirli döemlerde yapıla sabit ödemeleri ifade eder. Öreği bir kişi, 5 yıl süreyle her yıl bakaya 3.000 TL yatırırsa, bu 3.000 TL lik seri eşit ödemeler olarak adladırılır. Buu, bir öceki bölümde ele alıa koularda öemli bir farkı vardır. Bir öceki bölümde yatırımcı başlagıçta belirli miktarda parayı yatırıyor ve süre boyuca (öreği üç yıl) bu para ile ilgili hiçbir işlem yapmıyordu (para yatırmak ya da para çekmek gibi). Eşit ödemelerde ise yatırımcı sadece birici döemde değil, süre boyuca her döem belirli miktarda para yatırmaktadır. İki türlü eşit ödeme vardır. Bularda biricisi döem sou eşit ödemeler (ordiary aüite), diğeri ise döem başı eşit ödemelerdir (aüite due). Döem sou eşit ödemelerde, ödemeler döem solarıda, döem başı eşit ödemelerde ise ödemeler döem başıda yapılmaktadır. Fias alaıda e çok kullaıla eşit ödeme türü, döem sou eşit ödemelerdir. Bileşik faiz hesaplamalarıda dört parametre değeri (gd, bd,, i) söz kousu ike; eşit ödemelere ilişki hesaplamalarda bu dört parametreye ilavete eşit (devresel) ödeme parametresi de hesaplamalarda yer almaktadır. Bir öceki bölümde açıklaa bileşik faiz hesaplamalarıda gd hesaplaırke bd, ve i; bd hesaplaırke gd, ve i; hesaplaırke gd, bd ve i; i hesaplaırke de gd, bd ve değerlerie ihtiyaç duyulmaktadır. Öte yada, aşağıda öreklerle açıklaacak ola eşit ödemelere ilişki hesaplamalarda gd içi eşit (devresel) ödeme, i, ; bd içi eşit (devresel) ödeme, i ve ; eģit (devresel) ödeme içi gd ya da bd, i ve ; i içi gd ya da bd, eşit (devresel) ödeme ve ; içi de gd ya da bd, eşit (devresel) ödeme ve i değerlerii bilimesie gereksiim duyulmaktadır. Eşit Ödemeleri Gelecekteki Değeri Döem sou eşit ödemeleri gelecekteki değerii hesaplarke aslıda adet bileşik faiz hesaplaması yapılmakta ve daha sora yapıla bu hesaplamaları toplamı alımaktadır. Uygulamada oldukça zama ala bu yaklaşım yerie eşit ödemeler içi daha kolay bir hesaplama yötemi bulumaktadır. Kouyu bir örekle açıklayalım. Her yılı souda, yıllık % 16 faiz oraı ile 1.000 TL yatırılırsa üçücü yılı souda para kaç TL olur? Bu hususu zama doğrusu üzeride gösterelim. 0 1 2 3 1.000 1.000 1.000 1.000 * 1,16 = 1.160 1.000 * (1,16) 2 = 1.345,6 Eşit Ödemeleri Gelecekteki Değeri (GDA) = 1.345,6 + 1.160 + 1.000 = 3.505,6 Görüldüğü gibi eşit ödemeleri gelecekteki değerii hesaplarke adet bileşik faiz hesaplaması yapılmakta ve daha sora buları toplamı alımaktadır. Öreğimizde bua göre üçücü yılı souda elde edilecek para toplamı 3.505,6 TL dir. Yukarıdaki zama 17
doğrusuda da görüleceği gibi ilk ödeme birici yılı souda, ikici ödeme ikici yılı souda, üçücü ödeme ise üçücü yılı souda yapılmıştır. Burada dikkat edilmesi gereke kou yapıla ödemeleri eşit olması ve faiz oraıı süre boyuca sabit kalmasıdır. Eşit (devresel) ödemeler ilgili literatürde DT, A veya İgilizce karşılığı ola PMT kısaltması ile gösterilmektedir. Yukarıdaki örekte, eşit ödeme (DT) 1.000 TL olup gelecek değer (GDA) aşağıdaki şekilde hesaplaabilir: GDA = 1.000 * (1 + i) 2 + 1.000 * (1 + i) 1 + 1.000 * (1 + i) 0 (1 + i) 0 ifadesii bire eşit olduğu uutulmamalıdır. GDA eşit ödemeleri üçücü yılsoudaki değeridir. Ödemeler yılsouda yapıldığıda, birici yılı souda yapıla ödeme ikici ve üçücü yıllarda bileşik faiz kazamakta, ikici yılı souda yapıla ödeme sadece üçücü yıl faiz kazamakta, üçücü yılı souda yapıla ödeme ise faiz kazaamamaktadır. Yukarıdaki örek içi yaptığımız hesaplamayı geelleştirirsek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz. GDA = DT (1 + i) -1 + DT (1 + i) -2 + DT (1 + i) -3 +... + DT (1 + i) 0 (1) Yukarıda ifadei her iki tarafı da (1+i) ifadesi ile çarpılırsa aşağıdaki ifade elde edilir: GDA(1 i) DT(1 i) DT(1 i) 1... DT(1 i) (2) Bir umaralı ifade iki umaralı ifadede çıkarıldığıda, (2) (1): ( GDA) i DT(1 i) DT(1 i) 0 ifadesi elde edilir. Burada, ( GDA) i DT[(1 i) 1] ifadesie geçilir. Burada da döem sou eşit ödemeleri gelecek değeri, ( 1 i) 1 GDA DT şeklide buluur. i ( 1 i) 1 Yukarıdaki ifadesi Döem Sou Eşit Ödemeler Gelecek Değer Aüite Faktörü i olarak isimledirilir ve aşağıdaki şekilde gösterilir. (1 i) GDAF( i, ) i 1 Yukarıda adet bileşik faiz hesaplamasıyla bulua GDA değeri yukarıda çıkarıla formülde de görüldüğü gibi sadece bir tek hesaplama yapılarak elde edilebilmektedir. Bu formülde kullaıla GDAF değeri bir öceki bölümde icelediğimiz gelecek değer faktörüde 1 çıkarılarak iskoto oraıa oralaması ile buluabilir. Tablolar i ve değerie karşılık gele Döem Sou Eşit Ödemeler Gelecekteki Değer Aüite Faktörüü (GDAF) bize sumaktadır. Tabloda da buluabilecek bu GDAF değerii yukarıdaki formüle göre çözersek; 18
(1 0,16) GDAF (0,16;3) 0,16 3 1 = 3,5056 değeri buluur. Daha sora döem sou eşit ödemeleri gelecekteki değerii aşağıdaki gibi hesaplarız: GDA = DT * GDAF (i, ) Eşit (devresel) ödeme miktarı 1.000 TL olduğuda, üçücü yılı soudaki toplam para miktarı (gelecek değer); GDA = 1.000 * GDAF (0,16; 3) GDA = 1.000 * 3,5056 = 3.505,6 TL olarak buluur. Burada da, bir öceki bölümde olduğu gibi getiri oraıı (i) eşit ödemeler süresice değişmediği kabul edilmiştir. Getiri oraı döemler itibariyle değişiklik gösterirse gelecek değer faktörü kullaılamaz. Bu durumda eşit ödemeleri gelecek değeri aşağıdaki şekilde buluur: GDA = DT ( 1 i t ) + DT ( 1 i t ) + DT ( 1 i t ) +... + DT (1 + i) 0 t2 t3 Burada ödemeleri döem solarıda yapıldığı uutulmamalıdır. İlk ödeme birici yılı souda yapıldığıda, birici yılda faiz kazaılmamaktadır. Yukarıdaki öreğe döersek, ikici yıldaki faiz yıllık % 16, üçücü yıldaki faiz yıllık % 18 ise eşit ödemeleri üçücü yılsoudaki değeri aşağıdaki gibi hesaplaır: GDA = 1.000 (1 + 0,16) (1 + 0,18) + 1.000 (1 + 0,18) + 1.000 = 3.548,8 TL Döem başı eşit ödemelerde, ödemeler döem başlarıda yapılmaktadır. Bölüm başıdaki öreği döem başı eşit ödemeler olarak çözersek aşağıdaki zama doğrusuu elde ederiz. t4 0 1 2 3 1.000 1.000 1.000 1.000 * 1,16 = 1.160 Burada, ilk ödeme birici yılı başıda, ikici ödeme ikici yılı başıda, üçücü ödeme ise üçücü yılı başıda yapılmakta ve üçücü yılı souda toplam 4.066,5 TL para elde edilmektedir. Döem başı eşit ödemeler içi gelecek değer faktörü aşağıdaki şekilde buluur. GDAF döem başı = GDAF döem sou (1 + i) 1.000 * (1,16) 2 = 1.345,6 1.000 * (1,16) 3 = 1.560,9 GDA = 1.160 + 1.345,6 + 1.560,9 = 4.066,5 19