İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK

Transkript

1 Kostadi Treçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF III İKTİSAT - HUKUK VE TİCARET MESLEĞİ TİCARET VE PAZARLAMA TEKNİSYENİ

2 Deetleyeler: Dr. Bilyaa Kırsteska, KMÜ, DMF öğretim üyesi, Üskü - başka, Lidiya Kuzmaovska, ÜBOO Lazar Taev, rofesör, Üskü, üye ve Lyubitsa Dimitrova, ÜBOO Gyoşo Viketiev, rofesör, Koçaa, üye Düzelti: Dr. Akta Ago Yayıcı: Makedoya Cumhuriyeti Eğitim ve Bilim Bakalığı Basımevi: Grafiçki Cetar Ltd., Üskü Tiraz: 80 Bu kita Makedoya Eğitim ve Bilim Baka ı o. -486/ ve tarihli kararamesiyle kullaılmaya müsaade edilmiştir. CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека Св.Климент Охридски, Скопје 5. (075.) 5-77 (075.) ТРЕНЧЕВСКИ, Костадин Математика за економисти за lll година на четиригодишното стручно образование: економско-правна и трговска струка техничар за трговија и маркетинг / Костадин Тренчевски, Анета Гацовска, Надица Ивановска. - Скопје: Министерство за образование и наука на Република Македонија, 0, - 88 стр. : граф. прикази ; 9 см ISBN Гацовска, Анета [автор]. Ивановска, Надица [автор] COBISS.MK-ID

3 Ö s ö z İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK kitabı, dört yıllık mesleki eğitimi üçücü sııfıa ait matematik dersii la ve rogramı üzere hazırlamıştır. İktisat hukuku ve ticaret dersi la ve rogramıa göre, iktisat ve azarlama tekisyei eğitim rofili öğrecileri içi ögörülmüştür. Amaç, okuyucuyu bir yada iktisatta gerekli bazı matematiksel yötemlerle taıştırmak, öte yada da matematiksel düşümeye alıştırarak doğruda matematik kitalarıda yararlaabilir duruma gelmesie yardım etmektir. Kita, dokuz bölümde ibarettir. Ele alıa kouları daha iyi ve kolay beimsemek içi her bölüm souda çeşitli düzeylerde çözülmüş örekler, alıştırmalar ve çizimler verilmiştir. Her ders birimii souda, ders esasıda ya da evde öğrecileri kedi başıa çalışmaları içi alıştırmalar verilmiştir. Kitabı souda, alıştırmaları çözümleri, bazılarıı ise çözümü içi tavsiyeler verilmiştir. Birici bölüm Basit faiz hesabı başlığı altıda verilmiştir. Burada amaç: öğreci, basit faiz hesabıı öğremeyi ve ayısıı ratikte uygulamayı; vadeli hesa, iskoto hesabı ve yatırım hesabıı beimsemek, ayı zamada kredi hesabı ve bireysel işlem hesabı kavramlarıı öğremektir. İkici bölüm Kıymetli metaller aralar ve dövizler başlığı altıda verilmiştir. Bu kouu içeriğii öğremekle, kıymetli metaller hakkıda bilgileri geişletilmesii, oları arılık derecesii asıl hesaladığıı ve hesalama tekiklerii öğremeye olaak sağlamaktadır. Buda başka ara ve dövizler hakkıda geiş bilgiler verilmiş, özellikle dövizleri satı ve alımı vurgulamıştır. Üçücü bölüm Üslü ve logaritmalı deklemler başlığı altıda verilmiştir. Burada reel üslü kuvvet ve logaritma kavramı icelemiştir. Amaç, bazı üslü ve logaritmalı deklemleri çözümüe ait tekikleri öğreilmesidir. Dar açıı trigoometrik foksiyoları kousu dördücü bölümde verilmiştir. Bu bölümdeki ders malzemesii öğreilmesiyle, öğreci trigoometri hakkıda temel bilgiler ediecek, yai siüs, kosiüs, tajat ve kotajat temel trigoometrik foksiyolarıı taımlayacak ve oları geometride ve ratikte asıl uyguladığıı öğreecektir. Beşici bölüm Düzlemde doğru diye adladırılmıştır. Bu kouyu icelemekle öğreciler düzlem aalitik geometrisi hakkıda temel bilgiler ediecekler. Özellikle, iki okta arasıdaki uzaklık, doğru arçasıı verile orada bölümesi ve formüllerii uygulaması gösterilmiştir. Bu bölümü souda, iki doğru arasıdaki açı ve bir oktada verile bir doğruya uzaklık kavramlarıda ödevleri asıl çözüldüğüü öğreeceksiiz.

4 Altıcı bölümde Diziler kousu icelemiştir. Bu koudaki malzemeyi öğremekle, reel sayılı diziler hakkıda daha kasamlı bilgiler edieceksiiz. Burada özellikle aritmetik ve geometrik dizilerie, oları geel terimie ve ilk terimlerii tolamıa ait formüllere daha fazla öem verilmiştir. Bileşik faiz hesabı adıda verilmiş ola bölüm (ilerde buu i /i kısaltmasıyla işaretleyeceğiz), öğrecii basit faiz hesabı hakkıda bilgilerii yoklamasıa ve bileşik faiz kavramıı öğremesie olaak sağlamaktadır. Döem başı (atisiativ) ve döem sou (dekurziv) faizleme kavramları iceleir ve buula öğreci faiz oraıı, faiz miktarıı ve faiz süresii asıl hesaladığıı öğreecektir. Sekizici bölümde Vadeli yatırımlar ve vadeli gelirler kavramı icelemiştir. Amaç, döem başı ve döem sou yatırımları taımak ve bu gibi yatırımları soudaki değerlerii hesalamaktır. Bu bölümde kira, kira yatırımı, iskoto ve iskoto değeri kavramlarıı da öğreeceksiiz. Souda, bileşik faiz, yatırımlar ve kira ile ilgili daha bileşik roblemler çözebileceksiiz. So ola dokuzucu Borçlar bölümüde, borç, amortizasyo vadesi, taksitler, ödeme gibi kavramlar icelemiştir. Eşit taksitli borçlar, eşit aüiteli ödemeler, yuvarlak aüiteli ve farklı türde borçlar hakkıda amortizasyo laları yaılmaktadır. Bu kitataki ders malzemesii gerçekleştirirke, öğretme, öğrecileride kedi başlarıa çalışmalarıı teşvik etmelidir. Bu kitabı kalitesii iyileşmesi yöüde, deetleyelerde aldığımız iyi maksatlı eleştiriler içi de özellikle miettarımız. İlerde de, kitabı içeriğii zegileşmesi yöüde olumlu maksatlı her eleştiri içi öcede teşekkürlerimizi suarız. Böylece bu kita, iktisat hukuk bölümüde öğreim göre öğrecilere, ilerdeki meslekleride yararlı olacak bilgileri öğremelerii sağlayacaktır. Mayıs, 00 Yazarlar

5 İÇİNDEKİLER. BASİT FAİZ HESABI Basit Faizi Hesalaması Temel Kavramlar Basit Faizi Hesalamasıda Büyüklükler Arasıdaki Temel Bağıtılar Yüz Üstüde Ve Yüz Altıda Faiz Hesabı Vadeli Hesa Ortalama Vade İle Hesalama Borç Kalaıı Vade Hesalaması İskoto Hesabı Ve İskoto Hesalamalar Kavramı Poliçei Özellikleri Poliçei İskotosu Yatırım (Deozit) Hesaları Kredi Baka Hesabı Kou Pekiştirme Alıştırmaları Kou Özetleri KIYMETLİ METALLER, PARALAR VE DÖVİZLER Kıymetli Metalleri Arılığı Arılık (Saflık) Derecesii Hesalaması Saf Ve Tolam Kütlei Hesalaması Para Birimi Kavramı Ve Öemi Paraları Değerlerideki Değişmeleri Hesalaması Döviz Kavramı Döviz Kuruu Kavramı Ve Alamı Sot İşlemler Sot Kurları Nasıl Ayarlaır Kâr Ve Zarar Pozisyoda Tutuma Kouyu Pekiştirme Alıştırmaları Kou Özetleri ÜSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER Reel Sayılı Üslü Kuvvet Kavramı Üstel Deklemler Logaritma Kavramı Logaritmaı Özellikleri

6 .5. Farklı Tabalı Logaritmalar Arasıdaki Bağıtılar Logaritmalı Deklemler Kouyu Pekiştirme Ödevleri Kou Özetleri DAR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARI Dar Açıı Trigoometrik Oraları Bazı Açıları Trigoometrik Foksiyolarıı Değerlerii Hesalaması Hesa Makiesi Kullaarak Trigoometrik Foksiyoları Değerlerii Hesalaması Ayı Açıı Trigoometrik Foksiyoları Arasıdaki Bağıtılar Dik Üçgei Çözümü Kou Pekiştirme Alıştırmaları Kou Özetleri DÜZLEMDE DOĞRU Düzlemde Dik Açılı Koordiat Sistemi İki Nokta Arasıdaki Uzaklık Doğru Parçasıı Verile Orada Bölümesi Üçgei Alaı Doğru Deklemii Açık Şekli Doğru Deklemii Geel Şekli Doğruu Ekse Parçalarıa Göre Deklemi Nokta Ve Doğru Arasıdaki Durumlar Bir Noktada Geçe Doğru Demetii Deklemi İki Noktada Geçe Doğruu Deklemi Noktada Doğruya Uzaklık İki Doğru Arasıdaki Durumlar İki Doğru Arasıdaki Durumlar İki Doğru Arasıdaki Açı. İki Doğruu Dik Olma Şartı Kou Pekiştirme Alıştırmaları Kou Özetleri DİZİLER Dizi Kavramı Arta Ve Eksile Diziler Aritmetik Diziler Aritmetik Dizileri Özellikleri Geometrik Diziler

7 6.6. Geometrik Dizileri Özellikleri Kou Pekiştirme Ödevleri Kou Özetleri BİLEŞİK FAİZ HESABI Bileşik Faiz Kavramı Ve Hesalaması Temel Değeri Gelecekteki Değerii Hesalamak Koform Faiz Hesabı Yatırıla Paraı Başlagıç Değeri Ve Faiz Miktarıı Hesalaması Faiz Döem Sayısıı Ve Faiz Oraıı Hesalaması Kou Pekiştirme Alıştırmaları Kou Özetleri PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VE PERİYODİK KİRALAR Periyodik Yatırımlar Mevduatları Gelecekteki Değerii Hesalamak Bireysel Mevduatı Değerii Hesalamak Mevduat Sayısıı Ve So Mevduatı Hesalaması Yatırımlarda Faiz Oraıı Hesalaması Periyodik Alacaklar (Kiralar) Kira Sermayesii Hesalaması Kira Tutarıı Hesalaması Kira Sayısı Ve Kira Kalaıı Hesalaması Periyodik Kiralarda Faiz Oraıı Hesalaması Karma Ödevler Alıştırmalar Kou Özetleri BORÇLAR Borç Kavramı Ve Çeşitleri Eşit Aüiteli Borçlarda, Borcu Ve Aüitei Hesalaması Eşit Aüiteli Borçları Ödemelerii Hesalaması Eşit Aüiteli Borçlarda Borcu Ödemiş Kısmıı Ve Kala Kısmıı Hesalaması Eşit Aüiteli Borçları Amortismaıda Faiz Oraı Ve Devre Sayısıı Hesalaması

8 9.6. Eşit Aüiteli Borcu Amortisma Plaı Yuvarlak Tutarlı Aüiteli Borçlar Yuvarlak Aüiteli Borçları Amortisma Plaı Kou Pekiştirme Alıştırmaları Kou Özetleri Alıştırmaları Çözümleri Ve Cevaları Yararlaıla Kayaklar

9 BASİT FAİZ HESABI... Temel Kavramlar.. Basit Faizi Hesalaması Gülük yaşatımızda bakaya ara yatırımı, bireysel hesa, tasarruf mevduatı kareleri, kredi kareleri işlemlerie ek çok rastlıyoruz. Geel olarak, maaşlar, emeklilik maaşları, biriktirdiklerimizi belli bir süre saklamak ve korumak üzere bakaya teslim edilmiş ve istediğimiz zama alabildiğimiz aralardır. Bu sürede, teslim edile aralarda baka yararlaır ve bua karşılık olarak baka araları sahibie faiz hesalıyor. Diğer tarafta çok sık vatadaşları da akit araya ihtiyaçları olduğuda belli bir süre içi bakada borç alıyorlar. Buu karşılığıda borç ala kişi bakaya belli bir miktar ara ödüyor. Kredi bağları, borçlu ve borç vere arasıda kurulmaktadır. Aslıda, bu bağıtıı temeli faizdir. Faiz, borç ala kişii aldığı ara karşılığıda borç veree ödediği bir yüzde miktarıdır, yai yararladığı ara içi ödediği miktardır. Bakada borç (kredi) aldığımızda, baka alacaklı, arayı alaa ise verecekli (borçlu) deir. Bakaı arasıda yararlaa verecekli, karşılık olarak bakaya belli bir faiz ödeyecektir. Bakaya ara yatırdığımız takdirde, baka kullaıcıdır ve vericiye belli bir faiz ödemektedir. Faiz miktarı, yüzde miktarı gibi hesalaır, yai yatırıla araı her 00 birimi içi belli bir miktardır. Fakat bildiğimiz yüzde farklıdır hesabıda farklıdır, çükü faiz miktarı sadece yüzde oraıa değil, araı bakada kaldığı süreye de bağlıdır. Faiz hesalamaları içi e basit örekler: tasarruf mevduatları, vatadaşları ve şirketleri kredi kullamaları, tüketici kredileri, baka ve kredi kartlarıdır. Bir yatırımı, yatırım döemi süresice sadece aaarasıı kazadığı faiz oraıa basit faiz deir. Faiz miktarıı ve oa bağlı ola diğer büyüklükleri hesalamasıa basit faiz hesabı deir. Basit faiz hesabıda geel olarak şu dört temel büyüklüğe rastlaılır: Aa ara (kaital, temel değer) K faiz miktarı (yüzde ayı) i yüzde oraı (faiz miktarı) - zama birimide 00 dearı faizie eşittir. faizi hesaladığı süre (zama) t. 5

10 Faiz fiyatı, geellikle yıllık olarak gösterilir. Fakat bazı durumlarda bir yılda küçük aralıklar içi de verilebilir, mesela: yarıyıl (sömestir), üç aylık (çeyrekyıl), aylık ve bezer olabilir. Faizi hesaladığı süre de yıllar, aylar ya da güler ile ifade edilebilir. Alaşma gereği bir yıl 65 gü, ayları gü sayısı ise takvime göre belirleir; fakat hesalamayı daha basitleştirmek içi bir yıl 60 gü ve bir ay 0 gü olarak alıır. Faizi hesalaması döem souda ya da döem başlagıcıda hesalaabilir, fakat buula ilgili ilerde daha ayrıtılı açıklamalar yaılacaktır. Temel değeri faiz miktarı kadar artmasıa (K + i), çok kez birike değer terimii de kullaacağız.... Basit Faizi Hesalamasıda Büyüklükler Arasıdaki Temel Bağıtılar Aşağıdaki öreklerle basit faizi hesalamasıda temel büyüklükler arasıdaki bağıtıları iceleyeceğiz.. Bakaya yatırıla dear kaitali yıllık %8 faiz oraı ile 4 yıllık faizi e kadardır? dear kaitali bir yıllık faizi: deardır. Faiz, aa araya (temel kaitale) hesaladığıa göre, ikici yılı faiz miktarı yie 760 dear ve her gelecek yıl bu miktar ayı olacaktır. Bua göre, 4 yıllık faiz miktarı ilk yılı faizii 4 katı olacaktır. O halde tolam faiz miktarı: 8 i olur. 00 Bu hesalamayı geel işaretlemelerle yazarsak, bir yıllık faiz miktarı (yüzde ayı) i K 00 olur. t yılda ise: Kt i 00 formülü elde edilir. Bu durumda, yıllık basit faiz şu temel oratı ile de gösterilebilir: K : i 00 : t 6

11 Bu formülde yararlaarak, basit faiz hesabıda bulua tüm diğer büyüklükler içi de formüller çıkarabiliriz.. Bakaya e kadar ara yatırılmalıdır ki, yıllık %5 faiz oraı ile 8 yılda 9600 dear faiz elde edilsi? Temel büyüklükler arasıdaki oratıyı göz öüde buludurarak, aa ara K 00i. t formülüyle hesalaır. Öreğimizde yatırıla ara K 4000 deardır. 5 8 Bezer şekilde faizi hesaladığı zama süresi ve faiz oraı içi formüller yazabiliriz. Bu formülleri örekler çözerke yazacağız dear temel kaital bakaya kaç yıl yatırılmalıdır ki, %6 faiz oraıyla 6480 dear faiz elde edilsi? Temel oratıda 00i t. K formülü elde edilir. O halde t yıl godii. elde edilir dear alıa borç içi üç yılda 8700 dear faiz ödemişse, faiz oraıı hesalayıız. Bilimeye büyüklük faiz oraıdır. Buu temel oratı gereğice şu formülle hesalayabiliriz: 00i. Kt O halde: % elde edilir. Şimdiye dek icelee öreklerde, faiz miktarıı hesaladığı zama yıllarla gösterilmişti. Fakat geel durumda faiz hesalama zamaı tam sayılı yıllarla ifade edilmiyor. Böyle durumlarda basit faizi hesalamasıa ait yukarda elde edile formüllerde yararlamak içi, 7

12 güleri ve ayları yılı birer kısmı olarak göstermek e uygu olur. Bu şekilde bir ay yılı si, gü ise yılı 60 i ya da i gibi alıacaktır. Zama aylar ile ifade edildiği durumda, t zamaı yılı 65 si olduğuu göz öüde buludurarak, faiz miktarı (yüzde ayı) içi: K t i, 00 formülü elde edilir. Aylar ile ifade edilmiş ola t zamaı içi temel oratı K : i 00 : t. olur. t zamaı gülerle ifade edildiği durumda, alaşma gereği, yılı takvime göre 65 gü ((k,65) biçimide işaret edilir) ya da (0, 60) zama matrisi biçimide eğer yılı 60 gü sayarsak. faiz miktarıı i ya da Kt 6000 Kt i, 6500 t formülüyle hesalayacağız. Yai zama t gülerle ifade edildiğide, yılı kısmı olacaktır. Zamaı hesalamak içi karşılık gele temel oratı 65 K : i 6500 : t ya da K : i 6000 : t. ya da şeklide yazılabilir. Not. Güler takvime göre ve bir yılda 60 gü sayıldığı durumda da (k, 60) işaretlemesi de kullaılabilir dear temel kaital, % 6 faiz oraıyla 8 ayda e kadar faiz getirir? Ödevi koşullarıa göre K= , t = 8 ay, = % 6 dır. O halde i Kt 9600 dear elde edilir Hagi faiz oraıyla dear aa arada, 60 güde 04 dear faiz miktarı elde edilecektir? Kt Verileler: K = dear, i = 04 ve t = 60 gü. i, formülüde 6500 t 60 8

13 6500 i %. elde edilir. Kt mayısta 6 eylüle kadar bakaya yatırıla bir miktar ara %4 faiz oraıyla 4576 dear faiz getirmiştir. Zama takvime göre (k, 65) hesaladığıa göre yatırıla ara e kadarmış? Öce, gü sayısıı belirtirke zama dilimii ilk güü sayılırsa so güüü sayılmayacaktır ya da ilk gü sayılmazsa vadei so güü sayılacaktır, yai her durumda faizde kala sürei ilk ve so güüde sadece biri hesalamaktadır. Şu örekte, faiz hesalamaı ilk güü 4 mayıs olarak alacağız, yai ilk güü saymıyoruz. Bu durumda mayıs ayıda 8 gü, hazira 0 gü, temmuz ve ağustos ayları gü ve eylül ayıı so 6.cı güüü hesaba koyduğumuza göre, faizi hesalaacağı tolam gü sayısı t = = 6 elde edilir. Bilimeye büyüklük aa ara K yı hesalamak içi yukarıda verile formülde yararlaarak 6500 i K t 4 6 dear elde edilir. Demek ki, mayısta yatırıla ara deardır. 8. Bir teis yarışmasıda şamio, kazadığı dearlık şamiyoluk ödülüü iki bakaya yatırmıştır. Birici bakada faiz oraı %7, ikici bakada ise % 5 tir. Bir yıl sora her iki bakada tolam dear faiz elde edildiğie göre, her bakaya kaçar ara yatırılmıştır? Bilie büyüklükler: K = dear ola aa ara, K = x ve K = 5000 x olmak üzere iki ayrı yatırıma ayrılmıştır. Faiz oraları = %7 ve = % 5, tolam faiz miktarı i = i + i = 7850 deardır. Verile koşullara göre t = t = yıl olmak üzere şu deklemi oluşturuyoruz: K t K t i, Orada 7x x 7850, deklemi elde edilir. Deklemi çözüyoruz: = x ; x = elde edilir. Bua göre K = x = dear ve K = dear elde edilir. Alıştırmalar. Bakaya yatırıla dear % 5 faiz ile: 9

14 a) 5 yılda; b) üç ayda; c) (0, 60) ve (k, 65) e göre 5 güde e kadar faiz getirir?. Bir bakaya % 5 faiz oraıyla bir K kaitalı yatırılmıştır. Basit faiz hesabıyla e kadar zamada faiz miktarı yatırıla araya eşit olacaktır? (Not: K = i ) dear borç içi 4 yılda dear faiz hesaladığıa göre, faiz oraıı belirtiiz. 4. % 6 faiz oraı ile hagi aa arada: a) 4 yılda; b) 8 ayda 540 dear faiz miktarı elde edilir? 5*. Bir bakaya, aralarıdaki fark 000 dear olmak üzere iki farklı kaital yatırılmıştır. Büyük ola kısmı % 4 faiz oraıyla yıl, diğeri ise %6 faiz oraıyla 8 ay içi bakada kalmıştır. Her iki kısmı faiz miktarları eşit olduğua göre, bakaya yatırıla tolam ara e kadar olduğuu hesalayıız. 6*. Faiz oraı % 6,5 olmak üzere ayı yılda üç kaitalda: Biricisi 8000 dear a kadar, ikicisi ise 7600 dear a kadar ve 8900 dear a kadar vade ile bakaya yatırılıyor. Tolam faiz miktarıı hesalayıız... Yüz Üstüde ve Yüz Altıda Faiz Hesabı Borçlar ve olara ait faizlerde, yatırımlar ve mevduatları faizleri söz kousu oluca çoğu kez, basit faizi büyüklükleri arasıdaki değerlere değimede, ratik olsu diye aa araı faiz miktarı kadar çoğalmasıa ya da hesalaa faiz miktarı kadar aa araı azalmasıda söz edilir. Aa araı faiz miktarıyla beraber değeri K + i bilidiğide, yüz üstüde faiz hesabı söz kousu olur ve buu K ve i büyüklüklerii belirtmek içi kullaıyoruz. Diğer tarafta, aa araı faiz miktarı kadar azalmış yai, K i olduğu durum, yüz altıda faiz hesabı gibi ifade edilir. Burada da faiz süresii hesaladığımızda, faizi hesalaması yıllık, aylık ya da gülük olabilir. Kt Basit faiz hesabı K : i = 00 : t formülüyle verilmiştir. Hesalaa faiz miktarıı i formülüyle ifade ettikte sora, ou aa araya ekleyerek: 00 Kt t K i K K elde edilir. 0

15 O halde K i t 00 t, K ifadesi, bu eşitlikte de K i: 00 t K : 00 () oratısı elde edilir. Bezer şekilde, temel oratıyı K : 00 = i : t biçimide yazarsak, basit faiz hesabıda, faizle beraber tolam ara ve diğer temel büyüklükler arasıdaki bağıtıyı göstere ve K i: 00 t i : t. () oratı elde edilir. Bezer şekilde aa araı azaldığı durumu icelersek: Kt t 00 t K i K K K elde edilir. Buu K : 00 oraıda yeide değiştirmekle: K i: 00 t K : 00 () elde edilir. Bu oratıları bezerliğide K i: 00 t i : t. (4) K i: 00 t K : 00 K i: 00 t i : t. biçimide yazılabilir. Bu formüller, oratıları özellikleride yararlaarak da elde edilebilir. Bua göre, iki oratıı tarafları birbiri ile toladığıda ya da biri diğeride çıkarıldığıda oratı bozulmaz, yai ilk oratıı sağ ve sol tarafıa eşit olur. Elde edile yei oratılarda yüz üstüde ve yüz altıda faiz hesabıdaki aa ara (kaital) ve faiz miktarıı hesalaması içi formüller elde edilir: K i00 K i t K ve i. 00 t 00 t. Borçlu, borç veree yıl içi % 6 faiz oraıyla aldığı ara içi faiziyle beraber 570 dear veriyor. Borç aldığı ara e kadardır ve e kadar faiz ödemiştir? K i00 K + i = 570 dear biliiyor. O halde, = % 6, t = olduğua göre K, formülüde 00 t K 5000 dear elde edilir. 00 6

16 Bua göre, Borcu temel kısmı 5000 dear ve bu araya ödediği faiz miktarı = 60 deardır.. Faiz oraı % 8 olmak üzere, 6 aylık faiz miktarıı aldıkta sora, baka borç alaa 5800 dear ara vermiştir. Temel borç ve faiz miktarı e kadardır? Faiz miktarı (yüzde ayı) i öcede ödetilmiş olduğuu göz öüe buludurarak, aa ara faiz miktarı kadar azalmış olduğuu fark edebilirsiiz. Demek ki borçlu bakaya daha K i dear, yai aldığı ara kadar bakaya ödemesi gerekir. O halde K i = 5800 dear, t = 6 ay, = % 8 dir. Aa arayı hesalamak içi iki yötem gösterebiliriz. Bularda biri zama 6 süresi yıl ile ifade edildiğide t, ya da yüz altıda ve yüz üstüde faiz hesalama formülleride yararlaarak, zamaı aylar ya da güler ile ifade ederek hesalaabilir. Yukarıda gösterile formülde doğruda doğruya yararlaıyoruz: K i K t dear ve faiz miktarı K i t 00 i t dear olduğuu buluyoruz (ya da i = K (K ı) = = 00 dear). Faiz süresi (zama) aylarla ifade edildiği durumda, hazır oratıları da kullaabiliriz; yai K : i = 00 : t oratısıda: ve K i: 00 t K : 00 K i: 00 t i : t. elde edilir. K : i = 6500 : t ya da K : i = 6000 : t eşitliğide, oratıları özelliklerii kullaarak: K i: 6500 t K : 6500 K i: 6500 t i : t ve bezer şekilde, zama aralığı gülerle ifade edildiğide, zama matrisleri (k, 65) ve (0, 60) olmak üzere K i : 6000 t K : 6000 K i: 6000 t i : t, elde edilir.. Bir kişi, % faiz oraıyla beraber 9 ay içi 5450 dear ödemiştir. Kredi miktarı ve faiz miktarı e kadardır?

17 Faiz ve temel kaital tolamı K + i formülüe ait (K + i) : (00 + t) = K : 00 temel oratısıda yararlaarak, zama aylarla ifade edildiği durumda K i K t 00 9 dear elde edilir. Faiz miktarı (yüzde ayı) ise i = (K + i)- K = = 450 dear elde edilir. Alıştırmalar. Yüz üstüde faiz ve yüz altıda faiz hesabı edir? Açıklayıız.. 00 gü içi dear borç ala kişi, % 0 faiz miktarıı çıkardıkta sora, borcu tahsil ederke kaç ara ödemesi gerekecektir? Faiz miktarı e kadardır? Bakaya tolam e kadar ara ödeecektir? (0, 60) zama matrisii kullaıız.. Bir kişi, % 0 faiz oraıyla üç aylık bir kredi içi baka ile kotrat yamıştır. Kotrata göre, baka faiz miktarıı alarak kişiye 440 dear kredi vermiştir. Kredi kotratı e kadar ara içi imzalamıştır ve hesalaa faiz miktarı e kadardır? (0, 60) Zama matrisii kullaıız. 4. Bir kişiye 5000 dear yıl içi ve dear 5 yıl zama içi ödemesi gerekir. Faiz oraı % 5 tir. Gereke araı elde edilmesi içi bakaya e kadar ara yatırılmalıdır? 5*. %, faizle beraber zama aralığı süresi içi; (0, 60), borçlu 900 dear borç ödemiştir. Borç ve faiz miktarıı hesalayıız. 6. Borçlu %,5 faizle beraber yılda 5500 dear borç ödemiştir. Borç ve hesalaa faiz miktarı e kadardır? 7. Bir baka 5.0 ta.08 zama aralığı içi % 9 faiz miktarıı aldıkta sora müşterisie 0000 dear borç vermiştir. Zama matrisi (K, 65) sayıldığıa göre, borç ve hesalaa faiz miktarı e kadardır?.. Vadeli Hesa Bir borçluu farklı miktarda, farklı ödeme vadeleri ve farklı faiz oralarıyla birkaç borcu olduğu durumda, e borçlu e de alacaklı zararlı olmayacak şekilde borçları ayı ada ödemesie mümkü olu olmadığı sorusu sorulabilir. Bu soruyu acak borçları ödemesi vadelerii ortalaması e kadardır, ortalama faiz oraı e kadardır, borçları ödediği ada borç miktarı e kadardır soruları açısıda iceleyebiliriz. Bu ise resi olarak, ayrı ayrı ara

18 miktarları faizlerii tolamı, borçları tolamıı ortalama vadeye göre, ortalama faiz oraıyla hesalaa faiz miktarıa eşit olmalıdır demektir. Ortalama vadeyi ve ortalama faiz oraıı belirtme işlemie vadeli hesa deir ve aslıda basit faiz hesabıı bir uygulamasıdır. Birkaç borç miktarı farklı vadelerde ödeecek yerde, tolam borcu ayı ada ödemesi içi ayrıla zamaa orta vade deir. Bazı durumlarda borçlu, ayı ada başka borçlularda alacaklı durumuda olabilir. Böyle durumda alacak ve verecek farkıı ödeme vadesie borç kalaıı (saldou) ödeme vadesi deir.... Ortalama Vade ile Hesalama Borçluu tahvillerii miktarları K, K,.., K, bulara karşılık gele faiz oraları,,., ve ödeme vadeleri t, t,., t zama aralıkları olsu. Formüllerde t k, k =,,, zamaı herhagi bir ölçü birimie göre verilebilir, fakat bakalar geellikle güü ölçü birimi olarak alıyorlar. Borçlu, bir orta vade t k ve ortalama faiz oraıyla tüm borçları ayı ada ödemek istiyor. Hesalamaı sadeleşmesi içi zama ölçüsü yıl olsu. Borçluu tüm tahvillerii faiz miktarları K t K t K t olsu. Bu miktar her bir tahvili ortalama faiz oraıyla ve ortalama ödeme vadesiyle hesalaa tüm faiz miktarları tolamıa K st s K st s K st s eşit olmalıdır. Böyle durumda zararlı ola taraf yoktur, çükü temel borçları tolamı eşit, fakat hesalaa faiz miktarları da eşittir. Demek ki, K t K t K t K st s K st s K sts......, elde edilir, orada da K t K t... K t t K K... K s s. olduğuu yazabiliriz. Burada, ortalama faiz oraı bilidiği takdirde, borcu ortalama ödeme vadesii hesalayabiliriz, u yai tüm borcu ödeme vadesii K t K t... K t t s. K K... K elde etmiş oluyoruz. s 4

19 5 Borç miktarları, faiz oraları ve ödeme vadeleri farklı olduğu durumlarda ortalama faiz oraıa ait şu formülü uygulayacağız: s s K K K t t K t K t K Ödeme vadeleri eşit olduğu durumda, ayrı ayrı tüm borçları faiz miktarıı iceleyelim. Bu edele, öceki formülde t = t = t = t s yazarak şu formülü elde edeceğiz: s K K K K K K ]Hesalaa ortalama faiz oraıı, ortalama ödeme vadesi formülüde değiştirelim: s K K K K K K K K K t K t K t K t , orada da s K K K t K t K t K t formülü elde edilir. Hesalamalarda çok kez bazı büyüklükler birbirie eşit olabilir. Örek: - Temel miktarlar K = K = K = K olduğu durumda, ortalama vade ve ortalama faiz oraı içi: s t t t K t t t K t ve K K s ; formülleri elde edilir. - Faiz oraları birbirie eşit = = = olduğuda, ortalama ödeme vadesi içi s K K K t K t K K t K K K t K t K K t t , formülü elde edilir; ortalama faiz oraı ise s = dir. - Hem temel miktarlar hem faiz oraları birbirie eşit oldukları durumda ise s = ve t t t K t t t K t s dir. Ödeme vadesii (ödeme tarihii) belirtmek içi, geellikle birici ödeme tarihie hesalaa ortalama vade tarihi ekleir. Bu durumda, borcu tahsilide tüm vadeleri hesalaması, ilk ödeme vadesie göre karşılaştırılarak yaılır.

20 Zama, gülerle ifade edildiği durumda, ayrı ayrı faiz miktarları tolamıı ve ortalama vadeyle hesalaa faiz miktarları deklemi K t K t K t K st s K st s K sts......, şeklie döüşür. O halde yie K t K t... K t sts K K... K. eşitliği elde edilir. Bua göre, zama birimi ister yıl, ister ay, ister gü olarak alıdığıda hesalamalar ayı formüllerle yaılır, fakat ödeme vadeleri daima ayı ölçü birimide olmalıdır.. Bir borçlu 0000 dear arayı dört eşit taksitle ödemelidir. Ödeme vadeleri: ilki 0 gü sora, ikicisi 60 gü, üçücüsü 90 gü ve so taksit 0 gü sora ödeyecektir. Faiz oraı % 8 olduğua göre, tüm borcu birde kaç gü sora ödeyebilir? Borcu ödemesi eşit taksitlerle olduğua göre, K, K, K ve K 4 birbirie eşittir; faiz oraı her taksit içi eşit yai = %8 ve taksitleri ödeme vadesi t = 0, t = 60, t = 90 ve t 4 = 0 dir. Bu özel durum içi ortalama vadeyi hesalayacağız: t t t t t s gü elde edilir. Bua göre, 0000 dear borç % 8 faiz ile 75 gü sora ödeebilir. Vadeli hesata, faizi hesalamasıa başlaıldığı tarihe faiz döemi deir. Faiz döemii ilk taksitte başlaması mecburi değildir. Faiz hesalamaları iki farklı döemde yaılacak bir örek iceleyelim.. Borçlu, dear borcuu % 6 faiz oraıyla 4 eşit taksitle şu tarihlerde ödemelidir: Birici taksit 5. 0, ikicisi 7. 0, üçücüsü ve dördücüsü. 05. a) döem: 5. 0; b) döem 7. 0 olduğua göre, hagi tarihte borçlu tüm borcu ödeyebilir? Faiz döemi 5.0 tarihide başladığı durumda (( a) şıkkı), birici taksiti faizdeki zamaı t = 0 dır. İkici taksiti faizdeki zamaı 5.0 de 7.0 e kadardır (5. 0 yi saymıyoruz fakat 7. 0 zamaa aittir), yai t = 0 güdür. Bezer şekilde t = 49 gü (şubat ayıı güü, mart gü ve isaı 5 güü) ve t 4 = 75 gü (5. 0 de.05 e kadar). Temel miktarlar ve faiz oraları eşit olduklarıa göre, orta vade içi: 6

21 t t t t t s gü olduğuu buluyoruz. Demek ki, faiz hesalamasıı başlagıcıda 6 gü sora borcu tümü ödeebilir, yai 5.0 de sayıldığıa göre.0 tarihide borç ödeebilir. Faiz döemi olarak 7.0 tarihi alıırsa ( b- şıkkı), ilk taksiti faiz zamaıı 7.0 te 5. 0 ye kadar geriye doğru sayıyoruz, yai şimdi t = 0, t = - 0 olur. Oda sora t = 9 (7.0 te 5.04 e kadar) ve t 4 = 55 (7.0 te.05 e kadar). Bua göre, orta vade t t t t t s gü olduğuu buluyoruz. Bu ise.0 tarihii borcu ödeebildiğii göstermektedir Görüldüğü gibi, faiz döemleri farklı ve farklı orta vadelere rağme borç ödeme tarihi değişmez.. Bir ticaret şirketi dört eşit taksitle dear arayı aşağıdaki vadelerde ödemesi gerekir: - birici taksit bu güde sayarak % faiz oraıyla 00 güde; - ikici taksit % 4 faiz oraıyla 50 güde; - üçücü 5000 dearı % 6 faiz ile 00 güde; - dördücüsüü % 7 faiz ile 00 güde. Kaç gü sora ve hagi faiz oraıyla, taraflarda hiçbiri zararda olmama koşuluyla dört taksit birde ödeebilir? Ödevi e kolay çözmek içi verile değerleri tablo halide gösterelim. Böyle durumlarda taksitleri tolamları da daha kolay yaılabilir. K i - taksit t i - gü i faiz P i t t Tolam Ortalama faiz oraı s 5% ve 4 4 t t t 4t t s gü elde edilir. Demek ki, dear tolam borç, % 5 faiz oraıyla tam 0 gü vadeyle ödeecektir. Bua göre ticaret şirketi 7

22 dear borç ödemiştir Bir tüccar ayı bakada farklı koşullarla üç kredi almıştır. Borcu ödemesi şu şekilde yaılacaktır: tarihide % 4 faiz oraıyla 0000 dear ; tarihide % 5 faiz oraıyla dear ; tarihide % 6 faiz oraıyla dear. Hagi tarihte ve hagi faiz oraıyla tüccar, zararlı olmada üç taksiti birde ödeyebilir? Başlagıç tarihi 7.05 olarak seçersek t = 0, t = 0 gü (7.05 te 6.06 ye kadar), t = 90 gü (7.05 te 5.08 e kadar). Verileri tabloda yazdıkta sora, orta vade formülüde bulua çarımları da hesalıyoruz. K i - taksit t i - gü i faiz K i i K i i t i Tolam Bua göre s K K K K K. K ,7% 0000 ve t s K t K t K K K K t gü elde edilir. Demek ki, tolam borç birde % 5,7 faiz oraıyla 57 güde, daha doğrusu. 07 tarihide ödeebilir. Alıştırmalar. Vadeli hesa edir?. Hagi zamaa ortalama vade deir?. Hagi vadeye borcu kala (saldo) vadesi deir? 4. Bir şirket elektrik borcuu % 9 faiz oraıyla er dear olmak üzere beş eşit taksitle ödemek içi alaşma yamıştır. Ödeme vadeleri: Birici taksit 0 gü sora, ikicisi 50 gü, üçücüsü 80 gü, dördücüsü 00 gü ve beşici taksit 5 gü sora ödeecektir. Tüm borç birde hagi aralıkta ödeebilir? 8

23 5. Borçlu dear borcuu % 5 i heme, iki ay sora % 0 u, yedi ay sora %5 i ve kala % 0 u o ay sora ödemelidir. Ne kadar zama sora tüm borç birde ödeebilir? dear borç % 0 faiz oraıyla dört eşit taksitle ödemelidir. Ödeme vadeleri: - birici taksit 5. 0 güü; - ikici taksit. 04; - üçücü taksit 0. 05; - dördücü taksit Faiz hesalama başlagıcı a) 5. 0 ; b). 04 olduğua göre, hagi tarihte borcu tümü birde ödeebilir? 7. Tüccar, satı aldığı mallar içi üç ödeme yaması gerekir: - % 6 faiz oraıyla. 04 tarihide dear; - % 6 faiz oraıyla tarihide dear; - % 6 faiz oraıyla tarihide dear; Her iki taraf zararlı olmamak koşuluyla, tüccar hagi tarihte borcu tümüü birde ödeyebilir? 8. Borçlu, faiz oraı % 0 olmak üzere. 0 tarihide dear, te 0000 dear, te dear,. 07 de 0000 dear borç ödemelidir. Borcu tümü hagi tarihte ödeebilir? 9. Tüccar aldığı malları faturalarıı % 6 faiz oraıyla, er dear olmak üzere 0.04, 8.04., 0.05 ve 0.05 tarihleride ödemelidir. Tüccar, hagi gü borcu tümüü birde ödeyebilir?.4. Borç Kalaıı Vade Hesalaması Bu bölümde, borçlu ayı zamada hem alıcı hem verici olduğu durumlarda, tüm yükümlülüklerii asıl yerie getirebilecek sorusua ceva vereceğiz. Bu gibi zama vadesie, borç kalaıı vadesi deir. K, K, K borç miktarları, vadeleri t = t = t = t güler ve = = = karşılıklı olarak faiz oraları olsu. Ayı kişii alacakları P, P, P, vadeleri t, t,..., t güler ve,,..., faiz oraları olsu. Amaç, borçları faizlerii tolamı, alacakları ve kalaı faizlerii tolamıa eşit olduğuu bildiğimize göre, kalaı vadesi t s, faiz oraı (ortalama) s, ve borcu kalaı S büyüklüklerii belirtmektir. Bu durumda borçları tolamı 9

24 alacakları tolamıda büyük K + K + + K > P + P + + P olduğuda, borcu kalaı, borcu kaatılması içi ödeecek ara miktarıdır, yai K K K P P S Borçları faizlerii tolamı K t K t K t dir. Alacakları faizlerii tolamı P t P t Pm m tm..., S s dir. Borç kalaıa hesalaa faiz s t. dir. O halde, 6500 P m s K t K t K t P t 6500 P t 6500 Pm m tm Sst yazılabilir. Zama hagi ölçü birimiyle verilmiş olursa olsu, kala (saldo) vadesii belirtmeye yaraya deklem K t K t K t P t P t... şeklide yazılır. Orada da... P t S t, K t K t... K t P t P t... Pm t s S s m 0 m 0 m 0 m t 0 m s s. elde edilir. Özel olarak, faiz oraları birbirie eşit olduğu durumda, hem borçlar hem de alacaklar içi =... = = 0 =... = m 0 = s, ve 0 0 K t K t... K t Pt P t... Pm tm t s. S elde edilir.. Polario firmasıı borçları: 5000 dear 40 gü, 6000 dear 50 gü, 8000 dear 80 gü vadeli ve alacakları: 000 dear 0 gü ve 0000 dear 90 gü vadeli. Borcu kala kısmıı kaç gü sora ödemelidir? Faiz oraı her vade içi eşittir. Borç ödemede orta vadei belirtilmeside yaıldığı gibi, bezer şekilde borçlar ve alacaklarda da verileri, tabloda yazacağız. Borçlar Alacaklar К i t t K i t i P j t j0. 0 Р j t j Tolam

25 Borcu kalaı S = (K + K + K )- (P + P ) = = 6000 deardır. Kalaı vadesi t s K t K t K t S 0 0 Pt P t gü elde edilir. Demek ki, ayı faiz oraıyla, bu güde sayarak 5 gü vadeyle 6000 dear ödemekle borcu tümü ödemiş olacaktır. Not. Şimdiye dek borçları tolamı alacaklarda büyük olduğuu farz etmiştik. Halbuki, alacakları tolamı da vereceklerde büyük olabilir durumlar da vardır. Bu durumda borç kalaıı ifade ede eşitliklerde egatif işaretli olacaktır. Bu miktarlar borçluya hesalaa faiziyle kalacaktır. Alıştırmalar. Borç kalaıı vadesi kavramı edir?. Bir şirket, üç aylık vadeli dear, altı ay vadeli dear ve sekiz ay vadeli dear borçludur. Ayı zamada, yedi ay vadeli dear ve dokuz ay vadeli 0000 dear alacaklıdır. Hagi vadede tüm borcu ödeyebilir?. Bir şirketi, 5.04 tarihli dear, 0.05 tarihli dear ve 0.06 tarihli dear borçları vardır. Ayı zamada 7.0 tarihli 0000 dear ve 5.08 tarihli dear alacakları vardır. Faiz döemi 5.04 tarihi olduğua göre, borç kalaıı hagi tarihte ödeyebilir? 4. Borçlu, 4.0 tarihli 000 dear, 5.04 tarihli 000 dear ve 5.05 tarihli 000 dear borç ödemelidir. Ayı zamada 7.04 tarihli 500 dear ve.09 tarihli 000 dear alacakları vardır. Borcu kalaı hagi tarihte ödeebilir? Borçluu borç veree tolam e kadar ara vermesi gerekir? a) faiz döemi 4.0; b) faiz döemi Tüccar aldığı malları borçlarıı % 6 faiz oraıyla, er dear olmak üzere 0.04, 8.04, 0.05 ve 0.05 tarihleride ödemelidir. Ayı zamada tüccarı 0000 er dear olmak üzere 5.04 ve 5.05 tarihli alacakları da vardır. Tüccar, hagi gü borcu kalaıı birde ödeyebilir?

26 .5. İskoto Hesabı ve İskoto Hesalama Kavramı Muhasebe işleride, bazı durumlarda çeşitli fiasal kayaklarda elde edilmiş (çek, seet, boo vb.) belli bir miktar arayı belli bir zamada almalıdır. Heüz vadeleri yetişmemiş alacakları satışı durumuda, satış güüde alacakları vadesii olduğu güe kadar faiz miktarıı alacakta eksilmesie iskoto (eskot) deir. Belli bir tarihte ödemesi gereke borcu, vadesi gelmede belli bir tarihte ödemeye döüştürme işlemie (şimdiki değeri, ilerdeki borcu değerie döüştürülmesie) iskotolama (eskotolama) deir. İskoto hesalamaları yaılmasıda şu arametrelerde yararlaılır: N= Fiasal varlığı omial değeri t,,= İskoto vadesi, varlığı idirilme güüde tahsilat güüe kadar güler sayısı t, aylar sayısı m, yıl sayısı. Ayları güleri takvime göre alıır, öyle ki varlığı idirilmesi yaıldığı gü sayılmıyor, varlığı tahsil edildiği gü sayılır. D = İdirim (iskoto), fiasal varlığı omial değerii azalmasıa eşittir. = İdirimi hesalamış olduğu faiz oraı (iskoto oraı). E = Nomial borcu erke ödeme aıda reel (efektif) miktar. İdirimi hesalaması iki şekilde yaıldığıa göre, iki tür idirim vardır: Ticari (baka, ticari) idirim Dk, burada idirimi hesaladığı temel değer, omial değerdir, efektif değer ise omial değer ve idirimi farkıdır ve Rasyoel (matematiksel) idirim Dr, burada omial değer, efektif değer ve oa karşılık gele faizi tolamıdır. İdirim yaarke, omial değer tabaıa göre baka belli bir komisyo ücreti ve diğer harcamaları hesalıyor ve ek olarak ödetiyor (komisyo ve diğer masraflar hesalaa efektif değerde çıkarılıyor).

27 .5.. Poliçei Özellikleri Poliçe, belirli bir kişi emrie, diğer bir kişiye verile ödeme yetkisii kasaya bir seettir. Poliçede üç taraflı ilişkiyi düzeleye bir seettir. Seedi düzeleye keşideci, bir kişiye borçlu ike diğeride alacaklıdır. Keşideci alacaklı olduğu kişiye hitabe düzelediği seedi borçlu olduğu kişiye teslim eder. Yai, oliçe; belli miktar araı hamile ödemesi hususuda kayıtsız şartsız havale emrii taşıya özel şekil şartlarıa tabi kıymetli evrak vasfıda, soyut itelikte bir alacak seedidir. Poliçeyi vere (keşideci), diğer bir kişiye, oliçede adı geçe kişiye (hamil) belli miktarda koşulsuz ödeme emrii vermektedir: keşideci (drawee), oliçeyi düzeleye, siarişçi ya da oliçeyi yayılaya (oliçeyi vereler bakalar ve seyahat acetalarıdır); değerli kâğıtları düzeleye ve ödemekle yükümlü ola kişi; oliçeyi ö deyecek ola (muhataf); oliçe bedelii tahsil edecek (lehdar veya oliçe hamili), bireysel ya da tüzel kişidir ve oliçede adı yazılıdır, yai oliçede yararlaa kişidir; ve oliçei sahibi, kau kurallarıa göre oliçesi ola kişi. Değerli kağıt olarak oliçei şu rolleri vardır: oliçe kredi aracıdır; oliçe ödeme aracıdır; oliçe iskoto aracıdır; Poliçei itelikleri ve rolüe göre birçok çeşit oliçe vardır: hamil oliçe, şahsi oliçe, açık oliçe, mal varlığı oliçesi, iş oliçesi, dairesel oliçe, hamil çekilişli oliçe, şahsi çekilişli, komisyo oliçesi ve kredi oliçesi. Poliçei temel çeşitleri hamil ve şahsi oliçelerdir. Poliçe; belli miktar araı hamile ödemesi hususuda kayıtsız şartsız havale emrii taşıya özel şekil şartlarıa tabi kıymetli evrak vasfıda, soyut itelikte bir alacak seedi olduğuda hamil oliçeyi iteledire bazı elemaları içerir. Poliçe kauu ve 90 yılı Ceevre alaşması gereğice hamil oliçe üzeride eksiksiz olarak buluması gereke usurlar aşağıdadır:

28 gereke yerde Makedo dilide ve Kiril alfabesiyle oliçe kelimesi yazılmış olması; ödeyecek olaı adı; keşideci adı, ya da adresi kime ve kimi emrie ödeeceği lehdar. tazim (düzeleme) yeri ve tarihi. belli bir araı kayıtsız şartsız ödemesi içi havale. ödeme yeri. oliçei yazılma tarihi ve yeri; ödeyecek olaı imzası. Şahsi oliçede yazılı ola ara miktarıı kayıtsız şartsız ödeyeceğie dair verile sözdür. Şahsi oliçe şu usurları içerir: gereke yerde Makedo dilide ve Kiril alfabesiyle oliçe kelimesi yazılmış olması; ara miktarıı kayıtsız şartsız ödeyeceğie dair vaat vermesi; havale tarihi; ödeme yeri; alacaklıı adı; oliçei yazılma tarihi ve yeri ve ödeye kişii imzası. Poliçe işlemleri, hukuk işlemleridir ve oliçe hakkıda şu işlemler yaılabilir: oliçei verilmesi, oliçei oaylaması, oliçei vurgulaması, oliçei devredilmesi, oliçei havale edilmesi, oliçei satı alıması, amortisma, geriye çevrilmesi, oliçei rotesto edilmesi vb. Poliçe hukuk işlemleride karakteristik kurallar geellikle şulardır: okur yazarlık, ikororasyo, birleşme (şirketleşme), oliçe sorumluluğu kesiliği, oliçe titizliği, ve oliçe bedelii doğruda doğruya tahsil etmedir. Okur yazarlılık (formalite). Poliçe - hukuk durumu varlığı ve oliçe hukuk işlemlerii daha kolay yaılması içi, oliçei kaula belirlemiş kesi şekilde yazılmalıdır. Poliçe içide şu elemalar ve hukuk işlemleri olması mecburidir. Örek, 4

29 kabul beyaamesi, havale, cirat (kefil) beyaı vb. So zamalarda, hukuk işlemleride ve oliçe hukukudaki yei hükümlerde, özellikle açık oliçeleri yayı teorisiyle, formalite hususu daha gevşek hal aldığıı da vurgulamamız gerekir. İkororasyo ilkesi, oliçe hakkıda yetki ve yükümlülük, oliçe kağıdıı sahi olumasıyla sıkı bağıtıdadır. Poliçeye sahi olmaya hiç kimse, oliçeyi tahsil edemez. İkororasyo ilkesi, ayı zamada iki hak (oliçede elde edile hak ve oliçeye sahi olma hakkı) içerir: oliçede elde edile hak kedi karakterie göre bağlayıcı haktır ve oliçei sahibi oliçeyi ö deyecek olada (muhatata), oliçe hakları tahsilii isteme hakkı vardır ve oliçeye sahi olma hakkı kedi karakterie göre oliçe sahibi, oliçei kaui sahibi olarak, acak oliçe varlığı durumda, oliçeyi ödeyecek olada borcu tahsilii arama hakkı vardır. Poliçe sorumluluğu kesiliği, oliçede sadece yazılaları tahsili isteilebilir. Bular oliçede açık olarak yazılıdır. Poliçe yükümlülüğü, oliçede yazılalarda alaşılır; burada diğer deliller kabul edilemez. Yükümlülük, oliçei imza edilmesiyle yazılı ifade verilmesiyle başlar. Poliçe titizliğiyle, oliçe hukuk işlemlerii hızlı ve sorusuz yaılması sağlamaktadır. Poliçe, alacaklıyı koruya e uygu araçtır ve alacaklılara karşı kesi belgedir. Bu alamda alacaklıya güve sağlaya kesi hukuk kurallarıyla oliçei yükümlülükleri yerie getirilir. Dayaışma kuralı, oliçe borçlularıda - oliçeyi imzalayalarda her biri (keşideci, muhata, lehdar, alıcı), aralarıdaki duruma bakmada oliçe sahibie yükümlülüklerii dayaışma ile yerie getiriyorlar. Poliçe bedelii doğruda doğruya tahsil kuralı, oliçe borçlularıda her biri (oliçeyi imzalayalar), oliçe sahibie doğruda doğruya sorumludurlar. Bu edele alıcı, oliçeyi imzalayalarda, sırasıa bakmada her biride doğruda doğruya oliçe miktarıı tahsilii isteyebilir. Poliçe bağımsızlığı kuralı, her oliçe borçlusu, oliçede usulüe uygu bir şekilde kedi imzasıı koydukta sora, oliçeyi imzalaya diğer oliçe yükümlülerie bağlı olmada, oliçe yükümlülüğüe girer. 5

30 .5.. Poliçei İskotosu Poliçede yazılı ola ara miktarıa, oliçei omial değeri ya da oliçe miktarı deir. Poliçei ödemesi: oliçede belirlee vade güüde; oliçei vade güüde sora ve bu durumda omial değerde başka karşılık gele faiz de ödeir ve oliçede vadesi belirlee güde evvel (vadede evvel oliçei satışı) olabilir. Poliçei iskotu bir fias işlemidir.vadeli satış yaa işletme, elide bulua seedi vade tarihie kadar bekleterek borçlusuda tahsil eder, ya da vade tarihide öce bir fiasma kurumua giderek oliçeyi araya çevirebilir. Bu işleme oliçe kırdırma ya da oliçe iskotosu deir. Poliçe iskotosu aslıda vade tarihide öce oliçei satışı ya da satı alışıdır. Bu durumda satı ala kişi oliçei iskoto güüde vadesi dolucaya kadar gülere karşılık gele faiz tutarı kadar oliçei omial değeride eskitir. Geellikle araya ihtiyacı ola işletmeleri sattıkları mal ya da yatıkları hizmetler karşılığıda ellerideki oliçeleri bakaya götürü iskoto yaıyorlar. Bir işletme kuruluşu bir güde birkaç oliçei iskotosu yaılırsa, oliçeleri şartamesi de suulur. Poliçei tahsili, vade güüde sora yaılırsa, vadede soraki gülere karşılık gele faiz miktarı, oliçei omial değerie katılır. Bu faizi hesaladığı faiz oraı, iskoto oraıdır ve elde edile faiz miktarı iskoto miktarıdır, iskotolamaı yaıldığı hesaba ise iskoto hesabı deir. Poliçei iskotosu - İskotou hesalaması içi birçok yötem vardır: Ticari iskoto e basit şekilde şu formülle hesalaır: D k N t Rasyoel iskotoyu ise şu formülle hesalayabiliriz: N t Dr t Bakalar iskotolamayı, baka diskotuda yararlaarak yaıyorlar ve oliçe sahibii elde edeceği efektif miktarı şu formülle hesalaır: 6

31 t E N Nomial değeri $ 000 ola bir oliçe bakaya tarihide verilmiştir. İskoto oraı %7 ve ödeme vadesi dur. Verile arametrelere göre, ticari ve rasyoel iskoto ve olar arasıdaki fark hesalası. N = 000$ t = 0 gü = 7% Dk $,89 Dr $, Dk - Dr $,89 - $,87 $ 0,0. İşadamı X, bir taşıma aracıı satışıda elde ettiği bir oliçe sahibidir. Poliçei değeri $ ve ödeme vadesi güüdür. Halbuki işadamıı araya ihtiyacı olduğuda güü oliçeyi iskoto etmek üzere bir bakaya %8 faiz oraıyla götürüyor. Bu hizmeti karşılığı olarak baka %5 komisyo ve maiülatif masraflar adıda daha $00 ödetiyor. N = $ = % 8 t = 5 gü Efektif ara miktarıı hesalaması: t 8 5 E N (- ) $00000 ( ) $99 444, ) Efektif ara miktarıa göre iskoto: D = $ ,44$ = 555,56$ elde edilir, ya da ticari iskoto formülüyle hesaladığıda N t Dk $555, elde edilir. İskoto hizmeti içi komisyo miktarı 0,5 $ ,44 $497. elde edilir. 00 7

32 Bua (00$) maiülatif harcamaları katmakla, işadamıı alacağı efektif ara miktarı ,44$ - 497$ - 00$ = ,44$. elde edilir.. A şirketi güü, eşit omial değerleri $ ola farklı ödeme vadeli üç oliçe bakaya kırdırmak üzere götürüyor güü %6 faiz oraıyla, % komisyo ve $0 maiülatif masrafları omial değerde düşürerek, kırıla oliçe içi baka e kadar ödemiştir? Poliçe güü kırılmıştır. Para tutarı (N) Ödeme tarihi Güler Dk Poliçe A $ $ Poliçe B $ $ Poliçe C $ $ $ Dk = 90 $ = 6 % Dk = 90 $ komisyo = % maiülatif masraflar = $ 0 Efektif tutar = =N Dk = = $ (komisyo = х 0,0 = 596,) = 59 0,9 ( 0) = 58 99,9 İskoto yaılmış (kırılmış) farklı vadeli üç eşit oliçe içi, tarihide baka A şirketie 58.99,9 dear ödemiştir. Poliçeleri satı alışı durumuda, tüm masraflar oliçei iskotolamış (kırılmış) tutarıa katılır. 4. Bir kişi 0.05 güü omial tutarı dear, ödeme vadesi 6.05 ola bir A oliçesii ve omial tutarı dear, ödeme vadesi.07 ola bir B oliçesii bakaya kırdırmak üzere getiriyor. Ne baka e de oliçe sahibi zararlı olmayacak şekilde, baka her iki oliçei tutarıı bir orta tarihte oliçe sahibii hesabıa yatırmalıdır. İskoto oraı her iki oliçe içi %8 dir. Her iki oliçei tutarı hagi tarihte ödeecektir ve oliçe sahibie ödeecek efektif tutar e kadardır? 8

33 Verile arametrelerde şuları elde ederiz: - (A) oliçesii omial tutarı N = dear ve t = 5 gü ve - (B) oliçesii omial tutarı N = dear ve t = 9 gü. İskotou ortalama vadesii hesalamak içi formül: t s t t N t i i N i Bua göre iskotolamaı orta vadesi = 60 gü = %8 N t ( ) 60 8 Dk Efektif tutar: ( ) 600 = dear. Alıştırmalar. İskoto hesalarıda hagi arametrelerde yararlaılır?. Poliçe edir ve hagi elemalarda meydaa gelir?. Poliçe ile işlem yaıldığıda elemalar kimdir? 4. Nomial değeri (tutarı) 500 dear ola bir oliçe 5.0 güü bakaya kırdırmak içi getirilmiştir. İskoto oraı % 9 ve ödeme vadesi 0. güüdür. Verile arametrelere göre, ticari ve rasyoel iskotoyu ve olar arasıdaki farkı hesalayıız. 5. A şirketi sattığı malı karşılığı ödeme vadesi güü ola $ omial tutarlı oliçe almıştır. Şirketi et araya ihtiyacı olduğuda, güü oliçeyi bakaya satmaya (kırdırmaya) kararlaştırıyorlar. İskoto oraı %7, komisyo 0,05 ve maiülatif masraflar $ 500 olduğua göre, şirket bakada e kadar ara almıştır? 9

34 .6. Yatırım (Deozit) Hesaları Baka, mevduat kabul ede, bu mevduatı e verimli şekilde çeşitli kredi işlemleride kullamak amacıı güde veya faaliyetlerii esas kousu düzeli bir şekilde kredi almak ya da kredi vermek ola ekoomik bir kuruluştur. Bakaları geleeksel kayakları, bir kredii verilmesi içi alıa deozitolar (bir alacağı karşılığı olarak alıa uzu ya da kısa vadeli deozito ve temiat iteliğideki değerler), yatırımlardır. Bu şekilde bakalar tasarruf ve kredi foksiyouu gerçekleştirmekle ara folarıı etki biçimde bir yerde diğer yere aktararak ara sahilerie (kredi vererek) ve kedi bütçesie komisyoda faiz biçimide gelir sağlamaktadır. Tasarruf yamak isteye her vatadaş kedi ara deozitosuu bakaya yatırabilir. Mevduat hesabı açtıra her müşteriye bir hesa cüzdaı verilir. Hesa cüzdaı vasi altıda bir kişii adıa da açılabilir. Cüzda verilmesii amacı, hesa sahibii hesa seyrii, yai yatırıla aralar, alıa aralar ve mevduatları faizlerii izleyebilmesidir. Hesa cüzdaıı temel usurları şulardır: hesa umarası, hesa sahibii adı ve soyadı, doğum tarihi ve kimlik umarası, baka hesabı, kare umarası ve ot bölümü (araları vadesi vadeli yoksa vadesiz) yazılır. Hesa cüzdaı baka yetkililerice imzalaır ve mühürleir. Her yatırıla ve çekile araı miktarı ve tarihi kaydedilir ve bakaı yetkilisi tarafıda imzalaır ve mühürleir. Hesa cüzdaıdaki mevduatı: hesa cüzdaıı sahibi ve cüzda sahibii vekalet ettiği kişi, yasal temsilci ve vasi kullaabilir. Bakaya deozitou (akti temiat) yatırımı bir tasarruf foksiyoudur, bu edele deozitou yatırımlarıyla ilgili bu gibi hesalara tasarruf mevduatlar hesabı ya da yatırım hesaları deir. Tasarruf mevduatları: vadesiz ve vadeli (faizi çekebilme imkaıyla bir aylık, ital etme ve etmeme vadesiyle, özel amaçlı ya da amaçsız); açık tasarruf mevduatlar ve açık çocuk dear tasarrufu olabilirler. Kişileri bakaya verdikleri deozito verileri, bakaı iş sırrıdır. Ayı şekilde baka, Makedoya Cumhuriyeti de yabacı kişiler içi de hesa cüzdaı açabilir. Faiz oraları, baka tarafıda belirleir. 0

35 Mevduat sahilerie ödeecek faiz miktarı, deozitou vadeli yoksa vadesiz oluşua bağlıdır. Faiz, bir miktar araı belli bir süre kullaılması edeiyle alıa sabit kiraya faiz deir. Kısaca, faiz araya biçile fiyattır. Resmi Mevduat hariç, mevduata uygulaacak faiz oraları baka ile müşteri arasıda serbestçe belirleir. Bakalar mevduata eşi faiz veremezler. Vadeside öce çekile vadeli mevduata vadesiz mevduat faiz oraı uygulaır. Cari hesa olarak işleye mevduat hesalarıı faizleri yıl souda ilgili mevduat hesabıa tahakkuk ettirilir. Eğer hesa yıl içide kaatılırsa faiz, hesabı kaatılma tarihide hesalaır ve mevduatta kala tutar ile birlikte hesa sahibie ödeir. Dear tasarruf mevduatları, Tasarruf Mevduatı Sigorta Fou tarafıda sigortalıdır. Bu fo, bireysel kişileri EUR karşılığıda deozitolarıa %00 tazmiat ödemektedir EUR de fazla olmamak şartıyla EUR ve EUR arasıdaki mevduatları %90 tutarıda tazmiat ödemekle yükümlüdür. Yukarıda adı geçe tutara, tasarruf mevduatı temel değerie faiz miktarı katılır. Faiz oraı, o döemde Makedoya Halk Bakası ı iskoto oraı kadar geçerli ola değerle hesalaır. Tasarruf mevduatlarıa faiz miktarıı hesalamasıda, basit faiz hesabı formülüde yararlaılır. Basit ve bileşik faizi hesalamasıda şu usurlar kullaılır: Aa ara (temel değer) K 0 (deozito, arttırıla kaital, azaltıla kaital), faizi hesalaması gereke tutar; faiz vadesi, yatırıla ya da arasal varlıklarda yararlaıla vadedir; faiz oraı, faiz miktarı ( ya da i ) ; faiz tutarı, baka tarafıda mevduat sahibie ödemesi gereke sözleşme kasamıda bulua vade içi hesalaa faiz miktarı. Vade, yıl, ay ya da güler ile ifade edildiğide basit faizi hesalaması içi şu formüller geçerlidir: K0 K0 bir yıl vadeli mevduat k ya da yıl içi k K0 m vade ay ile verildiğide k 00

36 K vade gülerle ifade edildiğide 0 t k formülü kullaılır Verile mevduatları faizii hesalamak içi, belli miktarı bakada çekmek içi ya da bakaya yei mevzuatlar yatırmak içi güleri tayiie ait tabloda yararlaılır. Tablo Takvime göre yıl soua kadar gü sayısı Gü Ocak Şub. Mart Nis. May. Haz. Tem. Ağu. Eyl. Ek. Kas. Ara Bireysel kişi bakaya %9 faiz oraıyla yıllık faiz hesalamasıyla dear ara yatırmıştır. 5 ay sora yatırımcıı kaç arası olacaktır? K 0 = dear;

37 = % 9 m = 5 ay. Verile arametrelere göre, yatırımcıı 5 ay sora alacağı faiz miktarı: k 75 dear. 00 Hesalaa faiz miktarı gereğice, yatırımcıı beş ay sora, aa araya faiz miktarıı katılımıyla 0 75 dearı olacaktır.. Bir kişi 5.05 güü dear bakaya yatırmış ve 0.0 tarihide dear bakada ara almıştır. Baka %5 faiz oraıyla işlem yatığıa göre, yıl souda faiz miktarı e kadar olacaktır? K 0 = dear; = % 5; t = gü (5.05 te yıl soua kadar); K = dear; t = 9 gü (0.0 de yıl soua kadar); i i i 07, , yılı boyuca X yatırımcısıı tasarruf yatırımlarıda değişiklikler olmuştur. Bu esada bakaı uyguladığı faiz oraı %5 tir yatırılmış yatırılmış çekilmiş yatırılmış 000 Yukarıdaki veriler tasarruf mevduatı hesabıa kaydedilsi. Her ara yatırımı ve ara çekilişi içi yatırım (ya da çekiliş) yaıldığı güde yıl soua kadar faiz hesalaır.

38 faiz oraı: % 5 tarih yatırılmış çekilmiş durum gü Faiz miktarı + durum ,67 487, , ,5 587, ,9 590, ,44 faiz 4 590,44 590,44 Tolam , ,44 84,96 84,96 0 Alıştırmalar. Bakaları geleeksel kayakları elerdir?. Basit ve bileşik faizi hesalamasıda kullaıla kavramları (bileşeleri) sayıız.. Baka hesabıı temel elemalarıı sayıız. 4. Bireysel kişi A, tarihide bakaya dear yatırmış, güü bakada dear çekmiştir. Baka %8 faiz oraıyla işlem yatığıa göre yıl souda yatırımcıı tolam arasıı hesalayıız yılı boyuca X yatırımcısıı tasarruf yatırımlarıdaki değişiklikler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir yatırılmış çekilmiş yatırılmış yatırılmış çekilmiş yatırılmış çekilmiş yatırılmış çekilmiş Faiz oraı % 7,5 olduğua göre, baka hesabıdaki değişiklikleri hesalayıız. 4

39 .7. Kredi Baka Hesabı Ekoomi çerçeveside bakalar ve fias kuruluşları verimli işletmelere ara trasferi yamaktır. Yai bakalar, foa ihtiyaç duyalarla folarıı değerledirmek isteyeleri buluşturma açısıda e öemli mali sistemdir. Bakaları e öemli görevleride biri, kayak sağlamaktır. İkici büyük görevi ise sağladığı kayağı yatırılması, yai lasma görevidir ki bu da kredi verme şeklide ortaya çıkar. Bakacılıkta kredi verme kavramı, verile borcu belli bir süre souda geri alımasıda daha geiş bir işlem toluluğuu alatır. Bakalar; müşterilerie işletme kredisi ve alışveriş kredisi adıda borç ara vererek kredi açar. Vadesie göre kredi çeşitleri: kısa vadeli krediler (geri ödemesi e çok bir yıl vadeli); orta vadeli krediler (geri ödeme vadesi yılda üç yıla kadar); Uzu vadeli krediler (geri ödemesi üç yılda fazla) kredilerdir. Kısa vadeli krediler, müşterileri gülük ihtiyaçlarıı fiase etmek, ticarette kısa vadeli ödemeleri sağlamak, üretimde, ihracatta ve hizmetleri ödemesi içi kullaılır. Kısa vadeli kredi, müşterii talebi üzere verilir ve ard arda ya da döer (revolvig) olabilir. Kredii geri ödemesi vadesii tamamlamasıa kadar eşit aylık taksitlerle ya da revolvig - sözleşme diamikliği taksitleri biçimide yaılabilir. Kredii temiatı, gayrimekul ioteği ile, satılabilir araç varlıkları, deozito, baka garatisi, değerli kağıtlar ve haklar ile yaılmaktadır. Kişilere uzu vadeli krediler Bu krediler geellikle uzu vadeli yatırımlar içi, yatırım rojeleri gerçekleştirilmesi içi, ticari amaçlı vb. olabilir. Uzu vadeli kredileri geri ödeme vadesi üç yıla kadardır (ya da bakaı durumua göre üç yılda fazla da olabilir). Dear ciside ya da döviz bazıda olabilir. Parasal varlıkları amaçlı kullaılmasıa dair gösterile belgeler gereğice uzu vadeli kredileri kullaılış şekli, müşterii isteği üzeredir. Kredi, yatırım diamiği gereği eşit aylık, üç aylık ya da yarım yıllık taksitlerle geriye ödeebilir. Kredii temiatı, gayrimekul ioteği ile, satılabilir araç varlıkları, deozito, baka garatisi, değerli kağıtlar ve haklar ile yaılmaktadır. Kredii fiyatı (faiz oraı) kredii vadesie göre belirleir. Oaylaa kredi içi baka özel hesa kredi hesabı açar. Oaylaa kredi miktarı müşterii cari hesabıa aktarılır ve bu hesata müşteri krediyi kullaabilir. Geri ödeme taksitii belirlee vadede ödememesi 5

40 durumuda ögörüle faize ceza faizi de ekleir. Faizi ödemeside güler takvime göre sayılır, bir yıl ise 65 ya da 66 gü olarak alıır. Oaylaa krediler, elektroik vasıtalarla kredi ve ciro hesabıda taki edilmektedir.. Bir X şirketie bir bakada kullama tarihi yılı başlamak üzere dear kredi oaylamıştır. Sıralı faiz oraı yıllık %9, ceza faizi ise yıllık % tür. Şirket tarihide oaylaa kredii tümüü bakada çekerek kullamış ve geri ödeme taksitlerii şu vadelerde gerçekleştirmiştir: I. taksit dear II. taksit dear III. taksit dear IV. taksit dear tarihie kadar bakaı kredi hesabıda tüm değişiklikler (sıralı ve ceza faizlerii hesalamasıyla) gösterilsi. Ayrıca, X müşterisii de baka hesabıdaki değişiklikleri gösterilsi. Değişme tarihi Değişme tutarı Faizde kala güler Faiz tutarı verile alıa sıralı cezalı sıralı cezalı v a a a a 9 v 68,5 Tolam v 79 0 v 68,5 Kredi tutarıı sıralı faiz güleri 0.0 de 0.09 tarihleri arasıdaki güler içi hesalamıştır. Bu güleri faiz miktarı kredi sahibii borcua yazılır (d işareti ile işaretlemiştir). Diğer değişiklikleri sıralı faizi ise, değişim yaıla güde ödeme vadesi güüe kadar ( ) gülere hesalaır. Bu güler sayısıa karşılık gele faiz miktarı karşılık gele değişim içi çıkarılır (z işaretiyle işaretlemiştir). Ceza faizi, kredii çekiliş güüde değişim tarihie kadar gü sayısı içi hesalaır. Bu faiz ile kredi sahibi borçlaır. 6

41 X şirketii baka hesabı Değişme tarihi Cisi Değişim miktarı So durum veriyor alıyor durum kredi I. taksit II. taksit III. taksit IV. taksit % 9 faiz % ceza faizi 68, , degeleme 48 68, So durum 48 68,5 Alıştırmalar. Ödeme vadesie göre kaç çeşit kredi vardır?. Kısa vadeli kredileri kullaılışıı ve özelliklerii sayıız.. Uzu vadeli kredileri kullaılışıı ve özelliklerii sayıız. 4. Kredii fiyatı eye bağlıdır? 5. Bir X şirketie bir bakada kullama tarihi yılı başlamak üzere dear kredi oaylamıştır. Sıralı faiz oraı yıllık %7,5, ceza faizi ise yıllık % dir. Şirket tarihide oaylaa kredii tümüü bakada çekerek kullamış ve geri ödeme taksitlerii şu vadelerde gerçekleştirmiştir: I. taksit 70 dear II. taksit 580 dear III. taksit 700 dear IV. taksit dear 7

42 tarihie kadar bakaı kredi hesabıda tüm değişiklikler (sıralı ve ceza faizlerii hesalamasıyla) gösterilsi. Ayrıca, X şirketii baka hesabıdaki başlagıç ara durumu dear olduğua göre, baka hesabıdaki değişiklikler göstertilsi..8. Kou Pekiştirme Alıştırmaları dear %6 faiz oraıyla e kadar zamada 9 dear faiz miktarı getirir?. Faiz oraı % 4,5 ile dear ay, dear 5 ay ve 000 dear 6 ayda getirdikleri tolam faiz miktarıı, hagi temel ara 0 mart 8 hazira zama aralığıda, zama matrisi (k, 60), faiz oraı %4,75 olmak üzere iki defa daha çok faiz miktarı getirecektir. *. Faiz oraı % 6,5 olmak üzere dear zamaı içi, dear zamaı içi ve dear zamaı içi elde edile tolam faiz miktarıı % 45 i, hagi faiz oraıyla dear (k, 60) ilkesie göre zama aralığıda elde edilir? 4*. Temel araı üçte biri,5 yıl içi, beşte ikisi 4 ay içi ve kala kısmı 80 gü içi bakaya yatırılmıştır. Her biri içi faiz oraı %4 tür. Bu yatırımları tolam faiz miktarı 8500 dear olduğua göre temel ara e kadardır? 5. Temel araı dört aylık % 4,75 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borçlu dear ara almıştır. Borç ve faiz miktarı e kadardır? 6. Borçlu, 60 güde % 6 faiz oraıyla elde edile faiz miktarıı katarak dear borç ödemiştir. Bu temel araı iki katı, yıl vadeli ayı faiz oraıyla e kadar faiz getirir? 7. Temel araı zama aralığıda, güler takvimi (k, 65) zama matrisie göre sayılarak % 9 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borçlu dear ara almıştır. Borç ve faiz miktarı e kadardır? 8. Bir kişi bakaya 4 ayrı borç ödemelidir: 0.04 vadeli % 6 faiz oraıyla dear, 5.04 vadeli % 8 faiz oraıyla dear, 0.05 vadeli % 9 faiz oraıyla dear ve.05 vadeli %4 faiz oraıyla dear. Hiçbiri zararlı olmayacak şekilde hagi gü ve hagi faiz oraıyla borçlu borcuu bir güde ödeyebilir? 8

43 9. Bir ticaret şirketii, mal tedarikçilerie borçları: % 4 faiz oraıyla ödeme vadesi 0 gü dear, % 4 faiz oraıyla 40 gü vadeli dear ve % 4 faiz oraıyla 00 gü vadeli dear. Kaç gü sora şirket her üç borcu ayı güde ödeyebilir? 0. Ticaret şirketi X, ödeme tarihi 5.04 ola dear, 0.05 güü dear ve 0.06 güü dear ödemesi gereke borçları vardır. Ayı zamada ödeme tarihi 7.0 ola dear, de dear ola alacakları vardır. Borcu saldosu (so durumu) hagi tarihte ödeebilir?. X şirketi güü bakaya kırdırmak üzere oliçe getirmiştir. Poliçei omial değeri $ dir ve ödeme vadesi dir. Bakaı iskoto oraı %8 olduğua göre, oliçei ticari idirimii ve efektif miktarıı hesalayıız.. E şirketi sattığı mal karşılığıda değeride, ödeme vadesi güü ola bir oliçe almıştır. Para sıkıtısı sebebiyle şirket güü oliçeyi kırmaya kararlaştırıyor. İskoto oraı %6, yaıla işlemi komisyou %0,05 ve maiülatif masraflar 50 dear olduğua göre, bakaı şirkete ödeyeceği araı omial değeri e kadardır?. X şirketi dear değeride ödeme vadesi tarihli ola bir oliçei sahibidir. Şirket bu oliçeyi ödeme vadeside öce kırmaya kararlaştırıyor. Kırma tarihi güü, iskoto fiyatı %9, komisyo 0,045 ve maiülatif masraflar 00 deardır. Kırıla oliçei efektif değeri ve ticari idirim e kadardır? güü baka omial değeri $ ola üç eşit oliçe almıştır. Poliçeleri ödeme vadeleri: biricisi , ikicisi ve üçücüsü güüdür. İskoto fiyatı (oraı) %8,5, komisyo % ve maiülatif masraflar 9 dear olduğua göre, baka güü oliçeler içi e kadar ödeyecektir? 5. Bir bakaya tarihide kırılmak üzere iki oliçe getirilmiştir: - oliçe X, omial değeri $ ve ödeme vadesi ve - olice Y, omial değeri $ ve ödeme vadesi güü. İskotolamış bu oliçelere tali ola müşteri kedi hesabıa bir ortalama vadede yatırılmasıı istemiştir (ayı güde her iki oliçei sahibi olsu). İskoto edilmiş miktarları müşteri hesabıa yazılacağı gü tarihi belirtilsi. 9

44 6. Bakaya 0.08 güü dear ara yatırılmış ve 0.0 güü 0 dear çekilmiştir. Faiz oraı %5 olduğua göre yıl souda faiz tutarı e kadardır? 7. Yatırımcı Y i baka hesabıda faiz oraı %0 olmak üzere, 00 yılıda aşağıdaki değişiklikler olmuştur: yatırılmış Çekilmiş yatırılmış Çekilmiş yatırılmış Çekilmiş 000 Verilelere göre, baka hesabıda tüm değişiklikler kaydedilsi. 8*. Y şirketi, bir bakada ödeme vadesi olmak üzere dear kredi almıştır. Sıralı faiz oraı %0, ceza faiz oraı ise yıllık % dir. Şirket güü tüm kredi miktarıı kullaıyor ve kredii geriye çevrilmesii aşağıdaki tarihlerde gerçekleştiriyor: I. taksit dear II. taksit dear III. taksit dear IV. taksit dear güüe kadar bakadaki kredi hesabıda yaıla değişiklikleri (sıralı ve ceza faiz miktarlarıı faizlerii hesaba katarak) gösteriiz. X şirketii başlagıçtaki ara durumu (saldosu) dear olduğua göre, şirketi baka hesabıdaki tüm değişiklikleri gösterilsi. 40

45 Kou Özetleri Bakada borç (kredi) aldığımızda, baka alacaklı, arayı alaa ise verecekli (borçlu) deir. Bakaı arasıda yararlaa verecekli, karşılık olarak bakaya belli bir faiz ödeyecektir. Bakaya ara yatırdığımız takdirde, baka kullaıcıdır ve vericiye belli bir faiz ödemektedir. Bir yatırımı, yatırım döemi süresice sadece aaarasıı kazadığı faiz oraıa basit faiz deir. Faiz miktarıı ve oa bağlı ola diğer büyüklükleri hesalamasıa basit faiz hesabı deir. Basit faiz hesabıda geel olarak şu dört temel büyüklüğe rastlaılır: Kt i K Aa ara (kaital, temel değer) 00 i faiz miktarı (yüzde ayı) yüzde oraı (faiz miktarı) t faizi hesaladığı süre (zama). Birkaç borç miktarı farklı vadelerde ödeecek yerde, tolam borcu ayı ada ödemesi içi ayrıla zamaa orta vade deir. Ortalama vadeyi ve ortalama faiz oraıı belirtme işlemie vadeli hesa deir ve aslıda basit faiz hesabıı bir uygulamasıdır. Bazı durumlarda borçlu, ayı ada başka borçlularda alacaklı durumuda olabilir. Böyle durumda alacak ve verecek farkıı ödeme vadesie borç durumuu (saldosuu) ödeme vadesi deir. Ortalama faiz oraı bilidiği takdirde, borcu ortalama ödeme vadesii şu formülle hesalayabiliriz: t s K t K t... K K K... K s t, Borç miktarlarıı ödeme vadeleri bilidiğide ortalama faiz oraıa ait şu formülü uygulayacağız: s K t t s K t... K K K... K t, burada K, K,.., K, borç miktarları,,,.., karşılıklı faiz oraları ve t, t,., t karşılıklı ödeme vadeleridir. Borç kalaı (saldo) vadesii hesalaması şu formülle hesalaır: 4

46 t s K t K t K t P t P t P S s m 0 m t 0 m burada K, K, K borç miktarları, vadeleri t, t, t güler ve,, karşılıklı olarak faiz oraları; P, P, P alacaklar, olara karşılık vadeleri t,t t m güler ve 0, 0,..., 0 faiz oralarıdır. m Heüz vadeleri yetişmemiş alacakları satışı durumuda, satış güüde alacakları vadesii olduğu güe kadar faiz miktarıı alacakta eksilmesie iskoto deir. Belli bir tarihte ödemesi gereke borcu, vadesi gelmede belli bir tarihte ödemeye döüştürme işlemie (şimdiki değeri, ilerdeki borcu değerie döüştürülmesie) iskotolama deir. İdirim (iskoto) hesalamaları yaılmasıda şu arametrelerde yararlaılır: N - Fiasal varlığı omial değeri; t,m, - İdirim (iskoto) vadesi, varlığı idirilme güüde tahsilat güüe kadar güler sayısı t, aylar sayısı m, yıl sayısı. Ayları güleri takvime göre alıır, öyle ki varlığı idirilmesi yaıldığı gü sayılmıyor, varlığı tahsil edildiği gü sayılır. D - İdirim (eskoto). fiasal varlığı omial değerii azalmasıa eşittir. - İdirimi hesalamış olduğu faiz oraı (iskoto oraı) ; E - Nomial borcu erke ödeme aıda reel (efektif) miktar. İdirimi hesalaması iki şekilde yaıldığıa göre, iki tür idirim vardır: Dk,- Ticari idirim; burada idirimi hesaladığı temel değer, omial değerdir, efektif değer ise omial değer ve idirimi farkıdır ve rasyoel (matematiksel) idirim Dr, burada omial değer, efektif değer ve oa karşılık gele faizi tolamıdır. Poliçe; belli miktar araı hamile ödemesi hususuda kayıtsız şartsız havale emrii taşıya özel şekil şartlarıa tabi kıymetli evrak vasfıda, soyut itelikte bir alacak seedidir. Poliçei temel çeşitleri hamil ve şahsi oliçelerdir. Hamil oliçe şu temel usurları içermelidir: oliçe işareti, ödeyecek olaı adı, keşideci adı, ya da adresi, kime ve kimi emrie ödeeceği lehdar, tazim (düzeleme) yeri ve tarihi, belli bir araı kayıtsız şartsız ödemesi içi havale, ödeme yeri, oliçei yazılma tarihi ve yeri, ödeyecek olaı imzası. Şahsi oliçe 4

47 şu usurları içerir: ara miktarıı kayıtsız şartsız ödeyeceğie dair vaat vermesi, havale tarihi, ödeme yeri, alacaklıı adı, oliçei yazılma tarihi ve yeri ve ödeye kişii imzası. Poliçe işlemleri, hukuk işlemleridir ve oliçe hakkıda şu işlemler yaılabilir: oliçei verilmesi, oliçei oaylaması, oliçei vurgulaması, oliçei devredilmesi, oliçei havale edilmesi, oliçei satı alıması, amortisma, geriye çevrilmesi, oliçei rotesto edilmesi vb. Poliçe hukuk işlemleride karakteristik kurallar geellikle şulardır: okur yazarlık, ikororasyo, birleşme (şirketleşme), oliçe sorumluluğu kesiliği, oliçe titizliği, ve oliçe bedelii doğruda doğruya tahsil etmedir. Poliçe iskotosu, vade tarihide öce oliçei satışı ya da satı alışıdır. Bu durumda satı ala kişi oliçei iskoto güüde vadesi dolucaya kadar gülere karşılık gele faiz tutarı kadar oliçei omial değeride eskitir. Ticari iskoto şu formülle hesalaır: D k N t Rasyoel iskoto ise şu formülle hesalaır: N t Dr t, Burada N omial değer (arasal değer), t gü sayısı olarak iskoto vadesi ve iskotou hesaladığı faiz oraıdır (miktarıdır). Baka iskotosuda oliçe sahibii elde edeceği efektif miktarı şu formülle hesalaır: t E N 60 00, Burada N omial değer (arasal değer), t gü sayısı olarak iskoto vadesi ve iskotou hesaladığı faiz oraı (miktarı) dır. Tasarruf mevduatlarıa faiz miktarıı hesalamasıda, basit faiz hesabı formülüde yararlaılır. Vade, yıl, ay ya da güler ile ifade edildiğide basit faizi hesalaması içi şu formüller geçerlidir: vade yıl içi K 0 k ; 00 4

48 K0 m vade ay ile verildiğide k 00 K vade gülerle ifade edildiğide 0 t k formülü kullaılır Burada, K 0 temel ara (aa değer), - faiz oraı ve t zamadır. Bakalar; müşterilerie işletme kredisi ve alışveriş kredisi adıda borç ara vererek kredi açar.vadesie göre kredi çeşitleri: kısa vadeli krediler, orta vadeli krediler ve uzu vadeli krediler (geri ödemesi üç yılda fazla kredilerdir). 44

49 KIYMETLİ METALLER, PARALAR VE DÖVİZLER.. Kıymetli Metalleri Arılığı Altı, gümüş, lati, ruteyum, rodyum, osmiyum, aladyum ve iridyum elemetleri kıymetli metaller gibi taımıştır. Bularda bazıları daha çok eski zamalarda bilimektedir. Buları özellikleri, diğer elemetlerde daha az reaktivite özelliğie sahi olu, havada oksidasyo olmuyor ve asitlerde erimiyorlar. Döviz rezervleri gibi kullaılabilir. Buları büyük öemi edeiyle, kıymetli metallerde yaılmış ola eseleri kotrolü, yaılışı ve arılık derecesi, oları icelemesi, işaretlemesi, azara satış koşulları ve kotrolü kaula düzelemektedir. Burada kıymetli metallerde altı ve gümüşü iceleyeceğiz. Bu metaller çok taımış, değerledirilmiş ve çok eski zamalarda, yai bilerce yıl öcede bu güe kadar kullaılmaktadır. Altı ve gümüş çok yumuşak metallerdir ve bu yüzde kullaılış içi ratik değildirler. Biraz sertlik kazamak içi, başta bakır, ikel ve başka metallerle karıştırılır. İki ya da daha çok metali karışımıa filiz (alaşım, karışım) deir. Filizi kütlesie tolam kütle diyeceğiz. Kıymetli metali kütlesi (saf kütle) ve filizi kütlesii oraıa, kıymetli metali arılık (saflık) derecesi deir. Kıymetli metalleri arılık derecesi milyem (romil) ve İgiliz usulü olmak üzere iki şekilde ifade edilir. Saflık milyem biçimide gösterildiğide kıymetli metal milyem ile ifade edilir. Bu durumda milyem sayısı, bir filizde 000 eşit arçada kaç eşit arça kıymetli metal olduğuu gösterir. Örek, bir kıymetli metali arılık derecesi /oo ile ifade edilmişse, filizi 000 arçasıda 900 arça kıymetli metaldir. Tolam kütleyi m ile, saf kütleyi m b ile ve arılık derecesii f ile işaret edersek, arılık derecesii milyem usulüe göre gösterilişii şu formülle ifade edebiliriz: f m m b 000. Bir altı esei saf kütlesi 50 gram ve tolam kütlesi 800 gramdır. Nesei arılık derecesii (milyem olarak) ifade ediiz. 50 Altı esei arılık derecesi f , 5. dir. 800 Arılık derecesii İgiliz usulü ile ifade edilmeside, altıı ölçü birimi ayar (karat), gümüşü arılık derecesi ise eiveyt (eyweight) ile gösterilir. Saf altıı arılık derecesi 4 karat, saf gümüşü arılık derecesi ise 40 eiveyt dir.. Arılık derecesi 4 ayar ola bir altı esei 4 kısmıda 4 kısım saf altıdır. 45

50 . Arılık derecesi 00 eiveyt ola gümüşte bir ürüü 40 kısmıda 00 kısmı saf gümüştür. Karat ve eiveytte küçük ölçü birimi grey dir. karatta 4 grey ve eiveytte 4 grey vardır. Arılık derecesi karat (ayar) ola altıa stadart altı, eiveytlik gümüşe stadart gümüş deir. Bir altı (gümüş) filizii arılık derecesi stadart saflıkta daha iyi ise, oa B işareti yazılır (İg. Better daha iyi); ya da stadart saflıkta daha kötü ise W işareti koulur (İg. Worse daha kötü). 4. Altı esei saflığı stadart altıda karat ve grey daha iyi olduğu durumda B,, biçimide yazılır. O halde altı ese (+,, =,,) karat ve greydir. 5. Arılık derecesi W 7,,7 ola gümüş ese, stadart gümüşte 7 eiveyt kadar daha kötüdür. 7,,7 =,,4 7,,7 = 4,,7 olduğua göre, gümüş esei arılık derecesi 4 eiveyt ve 7 grey dir. Alıştırmalar. a) Kıymetli metalleri arılık derecesi edir? b) Kıymetli metalleri arılık derecesi asıl ifade edilir?. Arılık derecesi a) 90 b) 870 verilmiş ola altı filizi kaç kısmı bakırdır?. Saf altı kaç karattır? Saf gümüş ise kaç karattır? 4. a) Saflığı 0 karat ola altı ese; b) Saflığı 0 eiveyt ola gümüş ese kaç greydir? 5*. a) B,, işaretli altı esei; b) W 5,, işaretli altı esei; c) B 0,, işaretli gümüş esei; d) W,,8 işaretli altı esei arılık derecesi e kadardır?.. Arılık (Saflık) Derecesii Hesalaması Kıymetli metalleri arılık derecesii hesalamak içi iki cis ödevler vardır: Arılık derecesii İgiliz usulüe göre milyemlerle gösterme ve tersie işlemleri ola ödevler; 46

51 Kıymetli metali saf kütlesi ve filizi kütlesi bilidiğide, kıymetli metalleri arılık derecesii hesalama gibi ödevler.. Arılık derecesi 800 ola altı esei saflığıı İgiliz usulüe göre ifade ediiz x : 4 = 800 : 000 oratısıda x 9, karat elde edilir. Demek ki altıı arılık 000 derecesi 9, karattır. 0, karat 0,. 4 = 0,8 grey olduğua göre, altıı arılık derecesi 9 karat ve 0,8 greydir diyebiliriz. Buu ( 9,,08 =,,4 9,,08 =,,,) W,,, biçimide yazabiliriz.. B 8,,6 işaretli gümüşü arılık derecesii milyemle gösteriiz. Arılık derecesii öce eiveytlerle hesalayalım. + 8,,6 = 0,,6 dır. 6 grey bir eiveyti ü olduğua göre, gümüşü arılık derecesi 0,5 eiveyt olduğuu buluyoruz. 4 x : 000 = 0,5 : 40 oratısıda 0,5000 x 959,75. elde edilir. Demek ki 40 gümüşü arılık derecesi 959,75 dir.. Tolam kütlesi 400 gram ola gümüş esede 50 gram saf gümüş vardır. Gümüşü arılık derecesii milyemlerle ifade ediiz. Gümüşü arılık derecesi, , bağıtısıda 875 elde edilir Tolam kütlesi 00g ola altı esede 49 g saf altı vardır. Altıı arılık derecesii iki usule göre gösteriiz. Arılık derecesii öce milyemlerle göstereceğiz Demek ki, altı esei arılık derecesi 80 dir. 00 Şimdi, ayısıı İgiliz usulüe göre ifade edelim. x : 4 = 80: 000 oratısıda 4 80 x 9,9 karat elde edilir. Demek ki altı esei arılık derecesi 9 karat ve, greydir. Souç olarak altı ese W,,0, dir. Alıştırmalar. Milyem ölçüsüe göre arılık derecesi 590 ola gümüşü saflığıı İgiliz usulüe göre ifade ediiz. 47

52 . İgiliz usulüe göre arılık derecesi B,, ola altıı saflığıı milyemlerle ifade ediiz.. Altı esei arılık derecesi 5,6 karattır. Buu milyemlerle gösteriiz. 4. Kütlesi 0 g ola altı esede 98 g saf altı vardır. Altıı arılık derecesii a) milyemlerle; b) İgiliz usulüe göre ifade ediiz. 5. Kütlesi 50 g ola bir gümüş esede 98 g saf gümüş vardır. Gümüşü arılık derecesii a) milyemlerle; b) İgiliz usulüe göre ifade ediiz... Saf ve Tolam Kütlei Hesalaması Kıymetli metali saf kütlesii hesalamak içi, filizi arılık derecesi ve tolam kütlesii bilimesi gerekir. Birkaç örek iceleyelim.. Kütlesi 50 g ola bir altı esei arılık derecesi 90 dir. Nesede kaç gram saf altı vardır? x : 50 = 90 : 000 oratısıda x 46 elde edilir. Demek ki altı esede 46g saf altı vardır Arılık derecesi 8 karat ola 560 gramlık bir altı esede kaç gram saf altı vardır? x : 560 = 8 : 4 oratısıda x 40 elde edilir. Demek ki altı esede 40g saf altı buluur. 4. Saflık derecesi W 8,,6 ola bir gümüş eşyaı kütlesi 480g dır. Nesede kaç gram saf gümüş vardır? Gümüşü saflık derecesii eiveytlerle hesalıyoruz. 8,,6 =,,4 8,,6 =,,8 elde edilir. Bua göre gümüşü arılık derecesi 8,75 eiveyttir. 4 4, Şimdi, x : 480 =,75 : 40 oratısıda x 47,5 elde edilir. 40 Demek ki, gümüş eşyada 47,5g saf gümüş vardır. 48

53 Bir filizi tolam kütlesii hesalamak içi, kıymetli metali saflık derecesi ve kütlesi bilimelidir. 4. Saflık derecesi 800 ola bir altı esede 648g saf altı vardır. Nesei kütlesi e kadardır? x : 648 = 000 : oratısıda x 80 elde edilir. Demek ki filizi tolam kütlesi g dır. 5. Saflık derecesi 0 eiveyt ola bir gümüş esede 48g saf gümüş vardır. Nesei kütlesi e kadardır? x : 48 = 40 : 0 oratısıda x 504 elde edilir. Gümüş eşyaı tolam kütlesi 504 g dır Saflık derecesi B,, ola bir gümüş esede 4g saf gümüş vardır. Nesei kütlesi e kadardır? Gümüşü arılık derecesi +,, =,, ya da,5 eiveyttir. O halde x : 4 = 40 :,5 oratısıda x 440 elde edilir. Gümüş esei tolam kütlesi 440g dır.,5 Alıştırmalar. Kütlesi 80g ve arılık derecesi 880 ola altı esede e kadar saf altı vardır?. Kütlesi 600g ve arılık derecesi W,, ola gümüş esede e kadar saf gümüş vardır? *. Saflık derecesi 850 ola gümüş esede 595g saf gümüş vardır. Nesei tolam kütlesi e kadardır? 4*. Saflık derecesi W,, ola altı esede 4g saf altı vardır. Nesei tolam kütlesi e kadardır? 5*. Saflık derecesi 750 ola altı esede 6g saf altı vardır. Bua e kadar saf altı katılmalıdır ki, esei saflık derecesi 800 olsu? 49

54 .4. Para Birimi Kavramı ve Öemi Lati sözü valuta da kayaklaa ara birimi kavramıı birçok alamı vardır. Para, devletçe bastırıla, üzeride itibari değeri yazılı kağıt ya da metal ödeme aracıdır. Para birimii birkaç alamı vardır: temel ara birimi (adı, şekli, yaılışı) bir devleti ara sistemii ifade eder; devlet içide kau aracı olarak fias ödemeler içi, yai bir devleti ara sistemii temel ara birimii, efektif araları ve ara işaretlerii (metal ya da kağıt bakotlar) ifade eder; uluslararası ticarette sadece etki yabacı araları alamı vardır, yabacı devlette ikamet edeleri ara ve ara işaretleridir. Uluslararası ticarette arayı temsil ede belgeler: çek, fatura, akreditifler ya da uluslararası ödemelerde kullaıla çeşitli araçlar ara kavramı kasamıda değildir. Acak devletleri resmi ara işaretleri bulua milli bakotlar ve demir aralar da geçerlidir. Makedoya Cumhuriyeti Döviz Kauua göre, yabacı devletleri kulladıkları efektif aralar yabacı ara sayılır, acak yabacı devletleri bastıkları altı aralar müstesadır, çükü bular kıymetli metaller kavramıa girer. Para birimi, bir devleti ara sistemii temel birimidir; kaula düzelemiş bir ülkei değerlerii temel ölçüsüdür. Ülkeleri aralarıı adları farklı (örek:dear, diar, euro, dolar, fut, şilig v.b.), fakat birçok ülkei sadece isimleri ayı fakat diğer özellikleri, öreği değerleri şekilleri farklı ola aralar da vardır. Örek: ara birimi dolar ola birçok ülkeler: Avustralya, Kaada, Hog Kog ve ABD. Temel birim ola ara, geellikle küçük kısımlara (ufaklı aralara) ayrılarak, geellikle odalık ya da diğer bir sistem uygulamakla farklı adlarla ifade ediliyorlar (öreği, ABD doları 00 set, Makedoya dearı 00 dei vb.). 50

55 Para sistemii temelii teşkil ede kıymetli metaller, daha doğrusu altıı geçerliliğe geçtiği döemlerde her ülke, kedi arasıı e kadar kıymetli metal içereceğii, kuvveti ve istikrarıa bağlı olarak kedie ait kaularla tesit edilmekteydi. Buula, belli ağırlıkta kıymetli metalde oluşa bir ara birimii miktarıı devlet kaula düzelemişti. Güümüzde artık hiçbir ulusal ekoomide tam değeride ara birimleri foksiyoda değildir. Olar artık ara işaretleriyle, yai kağıt aralarla değiştirilmiştir. Güümüzdeki araları yaıldığı malzemei değeri çok düşüktür ve oları kedi asıl değerleri heme de hiç yoktur. Bir ulus devletii ekoomisi çerçeveside üretebildiği mal ve yatığı hizmetlerle kağıt aralar değerlerii kazaıyorlar. Bir devleti arasal otoritesii verdiği desteklerle de kağıt aralar kedi değerii belli bir seviyede tutabiliyorlar. Devleti arasal yetkili orgaları özerk yasa ile milli araı değerii belirtir ve devleti ekoomik işlemlerii kusursuz işlemesii sağlamak oları görevidir. Mal ekoomiside yaıla tüm işlemler ara yardımıyla yaılır. Bu edele mal üretimii ve iyasaı etkisie dayaa ekoomii tüm işlevlerii ara sistemi kotrol etmektedir. Ekoomii çeşitli alalarıda olabilecek herhagi degesizlik, ara ifadesi olarak algılaır ve ekoomii arasal sektörüe da yasır. Diğer tarafta ekoomii arasal sektörüde de degesizlik olabilir ve bu durum ekoomii reel sektörüü etkilemektedir. Bu şekilde ekoomii arasal ve reel sektörü arasıda iteraktif ilişkiler meydaa gelir. Ekoomi büyüme oraı, işsizlik oraı, eflasyo, ihracat ve ithalat oraı gibi ekoomi erformasları oluşumu, ekoomii reel ve arasal sektörüdeki iteraktif ilişkileriyle meydaa gelmektedir. Alıştırmalar. Para birimi kavramıı öemii açıklayıız.. Para birimii taımıı ifade ediiz.. Para birimleri değeri eye bağlıdır? 4. Kağıt araları değeri asıldır? 5. Parasal sistem ve arasal otoritesi kavramlarıı açıklayıız. 5

56 .5. Paraları Değerlerideki Değişmeleri Hesalaması Bir ulusal ekoomii durumu, iyiye ya da kötüye doğru daima değişmektedir. Ülkede üretim verimliliğii geel seviyesii artması durumuda, araı resmi değeride değişme olmadığıa rağme, ulusal ara birimii iç iyasadaki alım gücü artar. Bu duruma araı değer kazaması (aresiyasyo) deir. Aksi takdirde, araı resmi değeride değişme olmada, ulusal araı iç iyasadaki alım gücü azaldığı duruma araı yıraması (deresyou) deilir. Bu gibi olaylar daha uzu vadelerde meydaa geldiği durumda eflasyo ya da deflasyo deile olaylara götürür. Bu gibi durumlarda çıkış yolu, ulusal ara birimii yabacı aralara göre değerii değişmesiyle sağlaabilir. Şek. Ulusal ara birimii değerii değişmesi Porast a Değer kazama vredosta Oa awe a Değer kaybetme vredosta Deflacija deflasyo (roces) (olay) Revalvacija revalüasyo (akt) (hareket) Iflacija eflasyo (roces) (olay) Devalvacija devalüasyo (akt) (hareket) Fiyatları geel seviyesii devamlı kotrolü, ulusal ara birimii kur değişimi gerekliliğii azaltmaktadır. Bu demektir ki, ulusal ara birimii diğer ulusları ara birimlerie karşı değerii azalması devalüasyo ve deresyo ile yaılabilir; ulusal ara birimii diğer ulusları ara birimlerie karşı değerii yükselmesi ise, revalüasyo ve aresiyasyo ile yaılabilir. Ulusal araı, yabacı ara birimleri karşısıda değerii isteyerek belli bir amaca yöelik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak üzere düşürülmesie devalüasyo deir. Ulusal araı değerii yıraması (deresyou) ise, ulusal araı, yabacı ara birimleri karşısıda ekoomi kaularıı etkisiyle değerii yavaş yavaş düşürülmesidir. Ulusal araı, yabacı ara birimleri karşısıda değerii isteyerek belli bir amaca yöelik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yükselmesie revalüasyo deir. Ulusal araı değe- 5

57 rii yükselmesi (aresyiasyo) ise, ulusal araı, yabacı ara birimleri karşısıda ekoomi kaularıı etkisiyle değerii yavaş yavaş yükselmesidir. Deflasyo durumuda, ulusal ekoomii arasal kurumları, yabacı ara birimlerie göre ulusal ara birimii değerii özel bir akt ile yükseltiyorlar (ara birimii revalüasyou). Eflasyo durumuda, ulusal ekoomii arasal kurumları, özel bir akt ile yerli ara birimii resmi döviz kuruu değerii azaltıyorlar. Bu şekilde ulusal ara birimii yabacı ara birimlerie göre değerii düşürüyorlar. Bir ulusal ara birimii yabacı ara birimii gücel değerie göre, öreği Amerika dolarıa göre eurou değeri, eurou dolara göre yükselmesi ya da azalması, eurou dolar karşılığıda değeri hesalaır.. Örek, / $ döviz kuru = $ 0,9 te = $,09 olarak değişirse, euro dolar karşılığıda (,09 0,9) / 0,9 = 7,0 % (aresyo) değer kazamıştır deir. ) Aresyo ve deresyou hesalaması içi geel formül: eurou yükselme ya da yırama değeri (miktarı) = eurou doları bazıda yei değerieurou dolar bazıdaki eski değeri eurou dolar bazıda eski değeri e e0 ) Bir ara birimii yükselmesi (yıraması) H ( ) = ile hesalaır. e0. Yukarıdaki örekte verile (e 0 = $ 0,9 ve e = $,09) değerleri yerie değiştirirsek, eurou dolara karşı % 7,0 yükseldiğii görüyoruz. Alteratif olarak, doları euro değerii değişimii belirtebiliriz. Eurou dolar değerii e (dollars er euro) ile işaret edersek, o halde doları euro değeri (euros er dollar) çarımsal ters ya da /e olmalıdır.. Örek, eurou değeri $ 0,9 ise, doları değeri EUR,075 (/0,9). 0 ve t zama aralığıdaki doları euro değerii değişimi /e t /e 0 dır. Bu ifade, doları euro değerii artışı (ya da azaldığı) kadar dolar euroya göre düştüğüü (ya da yükseldiğii) yüzdelerle ifade edilişidir. 5

58 ) doları yükselme ya da yırama değeri (miktarı ) = doları euro bazıda yei değeri-doları euro bazıdaki eski değeri doları euro bazıda eski değeri / e / e0 e0 e 4) Bir ara birimii yükselmesi (yıraması) H ($)= ile hesalaır. / e0 e 4. Yukarıda verile ) formülüü uygulamasıyla euro döviz kuruu $0,9 te $,09 yükselmesi elde edilir. Bu ise doları %4,6 euroya göre düştüğüü göstermektedir [(0,97-,075) /,075 = - 0,46]. Döviz kurlarıı değişimii yüzdelerle hesalamasıda uygulaa kurallar: Pozitif yüzde değişim, yabacı ara birimii yükselmesi demektir; Negatif yüzde değişim, yabacı ara birimii düşmesi demektir. Şekil. DÖVİZ KURU LİSTESİ Kur listesi No. Kurlar 00 güü, saat ye kadar geçerlidir. DÖVİZ CİNSİ ŞİFRE PARA BİRİMİNİN İŞARETİ BİRİM AB 978 EUR AVUSTRALYA 06 AUD KANADA 4 CAD DANİMARKA 08 DKK 00 NORVEÇ 578 NOK 00 İSVEÇ 75 SEK 00 İSVİÇRE 756 CHF 00 İNGİLTERE 86 GBP ABD 840 USD Kayak: Makedoya Cumhuriyeti Halk Bakası EFEKTİF ALIŞ EFEKTİF SATIŞ 54

59 Öreklerde görüldüğü gibi, euro döviz kuru dolara göre değişimi, dolar döviz kuruu euroya göre değişimiyle ayı değildir. Buu sebebi şudur: euro yükselmesi (aresyou), doları yıraması (deresyou) ile ayı değildir, çükü bir ara birimi değeri, diğer ara birimi değerii çarımsal tersidir. Bua göre, hesalamalarda kullaıla temel veriler farklı olduklarıda ötürü ara birimleri değerlerii yüzdelik değişimleri farklı olur. Alıştırmalar. Paraı deresyou (yıraması) kavramıı açıklayıız.. Devalüasyo edir?. Paraı yükselmesi (aresyou) kavramıı açıklayıız. 4. Revalüasyo edir? 5. Bir gü zarfıda euro / dolar kuru,45 te,5 e değişmiştir. Eurou değişimii (eurou yükselişii) yüzdelerle hesalayıız; doları değerii yüzde değişimii de hesalayıız. 6. Dear, euroya göre değerii ayarlayarak bir kere mahsus olmak üzere 6,5 te 90 a değer değiştirmiştir. Nasıl değişim söz kousudur ve yüzde kaçtır? 7*. İsviçre fragı euroya göre %4 değer kazamıştır. Öceki kur EUR/CHF, olduğua göre, şimdiki kur e kadardır?.6. Döviz Kavramı Bir ulusal ekoomii yabacı devletlerdeki arası iki şekilde buluuyorlar: efektif yabacı aralar (foreıg curecy) ve yabacı ara birimleride kısa vadeli alacaklar dövizler (foreig exchage). Döviz kavramı etimolojik olarak yei Laticede, daha doğrusu İsayolca devisa (yabacı çek, ou biricil alamı yabacı ara birimide ödeecek fatura daha doğrusu yabacı devlette ödeecek fatura) sözüde kayaklaır. Geellikle dövizlere yabacı iyasalara giriş biletleri ve olar ayı zamada yabacı devletlerde satı alım gücüü belgesidir deilebilir. Bu demektir ki, yabacı döviz sakii, yabacı devlette alacaklı gibi, yabacı ara birimide dövizleri alıcısıdır. Ya da öreği yerli saki, yabacı devlete 55

60 yatığı ihracatı karşılığı olarak döviz olarak yabacı ara birimide değerli kağıt alır ve oula yabacı devlette mal satı alabilir. Dövizler, yabacı ara birimide kısa vadeli alacaklar gibi, Fiasal azarı bir alaı gibi, döviz iyasasıda satıla ve satı alıabile özel bir maldır. Döviz sahibie (yerli rezidetotura) dövizler ara değildir, çükü oları acak döviz azarıda sattıkta sora ya da bir bakaya götürdükte sora yerli ara elde edecektir. Döviz kavramı, daha dar veya daha geiş alamda taımlaabilir. Dar alamda döviz, herhagi bir yolda elde edilmiş kısa vadeli tüm yabacı aralar ve bu ara ciside değer taşıya mekul değerlere verile isimdir. Bu taımı devletlerde çoğu beimsemiştir. Daha geiş alamda dövizi taımıda, dar alamdaki taımda başka, rezidetleri (oturaları) sahi oldukları efektif yabacı arasal araçlarıı da içerir. Buu açıklaması şudur: Merkez bakaı yaydığı bu arasal araçlar, yerli rezidetleri merkez bakasıda alacaklarıdır. Makedoya Cumhuriyeti de dövizi geiş alamdaki taımı kabul edilmiştir. Bu demektir ki, yabacı devletlerde o devleti ara birimi adıda kısa vadeli alacaklar ve altı aralar hariç, tüm yabacı efektif arasal araçlar döviz sayılır. Dövizler, yabacı ülkelere ödeme yamaya yaraya her çeşit araçtır. Bu alamda yazılı arasal araçlar kovertibl ara rejimleride döviz olarak kullaılırlar. Döviz kelimesii geiş alamda kullaılışıda, özellikle bakacılık uygulamalarıda akit yabacı aralara karşılık olarak, bu gibi ara yerie geçe ödeme araçlarıa da döviz demektedir. Bu taımda hareket ederek, siyasi - ekoomi açısıda serbest ve bağlı dövizler olmak üzere iki gruba ayrılıyorlar. Serbest dövizler, diğer devletleri aralarıa serbestçe ve kolaylıkla çevrilebile dövizlere, kovertibl döviz ve yaıla bu işleme kovertibilite deir. Uluslararası işlemlerde geelde kullaıla döviz, kovertbil dövizdir. Bir ülkei arası diğer bir ülkei arasıa düyaı her yeride serbest bir şekilde çevrilebiliyorsa o milli ara içi tam kovertibl deir. Dolayısıyla Kovertibl ola milli aralar uluslararası ödeme aracı olarak kullaılırlar. Bağlı dövizler, yabacı devletlerde, yabacı ödeme araçlarıyla kısa vadeli alacaklar. Bular, sadece alaşma üzere yaıla ödeme çeşitleriyle sağlaabilir. Bağlı dövizleri sahileri tarafıda kullaılışı sıırlıdır. Bular geellikle kovertibil olmaya, zayıf, yumuşak ve klirik dövizlerdir. 56

61 Birici açıda, kovertibl ola milli aralar uluslararası ödeme aracı olarak kullaılırlar. Çükü kovertibl bir araya sahi ola bir ülke buu istediği ada diğer bir araya kolaylıkla çevirebilir. Parası kovertibl ola ülke, düya ticaretide bir Merkez Bakası gibi rol oyar ve ödeme aracı olarak emisyoda bulumak suretiyle bu işte kar bile elde edebilir. Kovertibilite souçta, bir ülkei ulusal arasıı, değişim aracı olma, hesa birimi olma, borç ödeme ve birikim aracı olarak kullaılma gibi işlevlerii, ülke sıırları dışıda da gerçekleştirmesidir. Dövizleri böyle bir özelliği yoksa, olara bağlı dövizler deilir. Aslıda bular kovertibil olmaya alacaklardır. Böyle dövizler uluslararası ticaret ve sermaye akımlarıı gerçekleştirilmeside serbest olarak kullaılamıyorlar, acak iki devlet arasıda yaıla alaşmalara göre ödemeler yaılabilir. Aslıda bu dövizleri serbest akımı yoktur ve biride diğerie geçme imkaı da yoktur. Döüştürme yama (koverziyo) kabiliyeti açısıda dövizler: kovertibil, kovertibil olmaya ve klirik olabilirler. Kovertibil dövizler, yabacı ara birimide ola kısa vadeli ve öcede belirlee ariteye göre farklı dövizlere ya da efektif arasal varlıklara döüştürme imkaı ola alacaklardır. Kovertibilite, tam veya sıırlı olabilir. Halbuki, başka dövizlerle ya da yabacı efektif arasal varlıklarla döüştürülmesi mümkü olmaya dövizler kovertibil olmaya dövizler söz kousudur. Klirik dövizler, alıcı verici ikili alaşmalarda klirig yoluyla ödemelerde rastlaılır. Bu gibi alış verişte ozitif saldo, acak egatif saldoda ola arteri devletide satı alımla degeleebilir. Pozitif saldoyla gerçekleşe dövizleri üçücü bir ülkede takaz yaarak degeleme imkaı yoktur. Teslimat vadesie göre dövizler, sot ve vadeli (temrili) gibi iki ciste olabilirler. Sot dövizler, aıda teslim kaydıyla yatırıla dövizlerdir. Bu durumda adı geçe dövizi cisie bağlı, kullama rejimie dikkatli oluması zorululuğu vardır. Vadeli dövizler, aıda yatırılmış dövizler değildir. Bu gibi dövizleri teslimi içi, öcede yaıla sözleşmeye göre belli bir vadei geçmesi gerekir. Bu gibi dövizleri satı alışı, geellikle kur dalgalamalarıı riskleride korumak içi ya da sadece sekülasyo amaçlı kur farklarıda kazamak içi yaılabilir. Alıştırmalar. Dar ve geiş alamda döviz kavramıı taımlayıız. 57

62 . Döviz ve ulusal ara birimi arasıdaki farkı açıklayıız.. Kovertibilite açısıda dövizler ayrılışı. 4. Sot ve vadeli dövizleri açıklayıız. 5. Klirik dövizler, kavramı ve öemi..7. Döviz Kuru Kavramı ve Aslı Döviz kuru, bir birim yabacı araı ulusal ara ciside fiyatıdır. Bua göre, her yabacı ara ya da yabacı ara ciside kısa vadeli her alacak, ulusal iyasada dövizdir ve kedi fiyatı, yai döviz kuru vardır. Döviz kuruu, döviz (ara birimi) ariteside ayırmalıyız, çükü döviz aritesi ulusal araı değeri daha geiş ortak ayda (demiator): altı, herhagi bir istikrarlı ara vb. ile karşılaştırarak resmi olarak tesit edilir. Normal şartlarda döviz kuru, taba gibi döviz aritesi etrafıda seyreder. Aslıda, döviz kuru ulusal araı yabacı araya göre fiyatıdır, ya da diğer sözlerle, bir birim yabacı ara içi, ulusal arada kaç birim ara verilmelidir alamıdadır. Kuru bu şekilde ifade edilişie. Kuru bu şekilde ifade edilişie doğruda kotasyo sistemi deir. Dolaylı kotasyo sistemi ise sadece İgiltere devletide (ve ou bir zamaki koloileri ola devletlerde) uygulamaktadır. Burada döviz kuru, bir yerli ara birimi içi, yabacı ara birimide kaç birim ödemesi gerekir biçimide taımlaır. Nomial döviz kuru, eflasyo katsayısıı hesaba koymada, yabacı araı ulusal ara ciside fiyatıa deir. Reel döviz kuru, omial kurları iç ve dış eflasyo oralarıa göre ayarlamış şeklie deir. Bu ise çok öemlidir, çükü eflasyo ara birimii değerii yitirir, yai ou satı alım gücüü azaltır. Nomial kuru eflasyo oralarıa göre ayarlamasıyla adı geçe ara birimii satı alım gücüü daha reel değeri görüür. Doğruda hesalama, yabacı ara birimii ya da 00 birimi, ulusal ara birimiyle ifade edilir ( EUR = 6 dear). Dolaylı hesalamada ise, yerli ara birimii ya da 00 birimi yabacı ara birimi ile ifade edilir (00 dear =,80 EUR). 58

63 Efektif döviz kuru, ülkei ticari ilişkide buluduğu ülkeleri aralarıdaki değişmeleri ülkei döviz kurlarıa yasıtılması yoluyla elde edilir. Efektif araları sahte olma imkaı olduğuda, bakalar ratikte efektif döviz kuruu özel olarak gösteriyorlar. Efektif döviz kuru, geellikle dövizleri kurlarıda daha alçaktır. Buu edei, sahte olma riski ve devlette devlete trasfer harcamalarıdır. Uluslararası her işlem iki satı alımla yaılır. Uluslararası alışverişte malı satı alıması ve ara birimii satı alımasıdır. Buu şu şekilde izah edebiliriz: X devletide ithalatçı, Y devletide ithal yaarsa o, Y devletide sadece mal değil, ara birimi de satı almak mecburiyetidedir. Bu şekilde şu souca varıyoruz: Uluslararası alışverişte sadece malları fiyatları değil, ulusal ara birimlerii de fiyatları oluşmaktadır. Buu şu bağıtılarla gösterebiliriz: a) İhracat içi: Ei = Qi. i. T, yai bir malı ihracat değeri, mal miktarı, yabacı döviz iyasasıdaki fiyatı ve yabacı ara birimii kuru ile çarımıa eşittir. b) İthalat içi: Ui = Qi. i. T(+ti), yai bir malı ithalat değeri, mal miktarı, satı alıdığı azar fiyatı ve ithalat masraflarıyla ( + ti) arttırılmış yabacı ara birimii kuru ile çarımıa eşittir. Bazı durumlarda, dövizler ve ara birimlerii kurları, uluslararası ara kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar. Uluslararası ara kuru, bir devleti efektif araları diğer bir devleti efektif arasıyla değiştirme fiyatıdır. Her ara birimii bir aritesi vardır, yai kur fiyatı vardır ve bu fiyat uluslararası ara kuruu dayaış oktasıdır. Döviz kurları, döviz iyasasıda, döviz arz ede ve döviz tale edelere göre oluşur. Dövizlere arz ve tale ödeme bilaçosu durumuu ifade etmektedir. Ödeme bilaçosudaki açık (defitsit), döviz talebi döviz arzıda büyüktür demektir. Ödeme bilaçosudaki fazla (sufitsit) ise döviz arzı döviz talebide büyüktür demektir. Alıştırmalar. Döviz kuru edir? 59

64 . Doğruda kotasyou açıklayıız.. Dolaylı kotasyou açıklayıız. 4. Nomial, reel ve efektif döviz kuru, kavramı ve alamı. 5. Uluslararası ara kuru edir?.8. Sot İşlemler Döviz iyasasıda temel işlem sot sözleşmesidir. Bir ara birimii diğer ara birimiyle alış veya satışıı işlem tarihide belirlee fiyat üzeride e çok iki iş güü sorasıda gerçekleştirildiği işleme sot işlemi deir. Bu esada işlemi yaılması içi gereke evraklar hazırlaır ve efektif trasferi yaılmasıa imka sağlamış olur. Sot işlem, bir ara birimii diğer ara birimiyle aıda değiştirmedir. Sot döviz kuru, aıda geçerlilikte ola kur ya da sözleşmeli azar fiyatıdır. Sot işlemler, aslıda ödemei heme yaılacağı alamıda değildir. Uluslararası alaşmaya göre, ödeme tarihi ya da değer tarihi (settlemet date, value date) taraflar arası alış verişi yaıldığı güde (secod busies day after the deal date or trade date ) iki iş güü sorasıa kadar gerçekleşebilir. İki gü vade, her iki taraf (arz ede ve tale ede) içi gereke evrakları hazırlaması, baka hesalarıı degelemesi gibi işlemleri yaılması içi yeter bir süredir. Müstesa, Kaada doları (CAD) ve ABD doları (USD) arasıdaki sot işlemleri vadesi alış veriş yaıldığı güde sora sadece bir güdür (çükü Kaada ve ABD ayı zama dilimide buluuyorlar). Tekrarlayalım, sot işlem alış veriş güüde sora iki iş güü geçerlidir. Sot işlemler, bir ara birimi diğer bir ara birimiyle doğruda alış verişidir ve bu alış veriş yaıldığıda, ara trasferi iki devlet arasıda geçerli ola ödeme sistemleri doğrultusuda gerçekleşir. Tiik bir sot işlem öreği, New York ta bir A bakası hazirada Frakfurt ta bir B bakası ile euro karşılığı 0 milyo dolar satmak içi kur fiyatı hazira öreği bir dolar içi 0,785 EUR olmak üzere alaşma yaılmıştır. hazirada B bakası Almaya da, A bakasıı hesabıa 7,85 milyo EUR ödeyecek, A bakası ise ayı güde ABD de B bakasıı hesabıa 0 milyo dolar ödeyecektir. Her iki tarafı bakalara arayı ödemekle işlem tamamlamış olur. 60

65 Döviz azarıda her ara birimi içi iki fiyat vardır fiyatlarda biri, belli bir ara birimii satıcıı satmak istediği fiyat ve ikicisi, satı alaı satı almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru). Pazar suucusuda her iki fiyatı suması bekleilir buula (makig a market) azarı oluşur. Sot kurlarda, kurları kotasyouu bilimesi öemlidir. Daha doğrusu, doğruda ve dolaylı kotasyo, Avrua ve Amerika koşulları vb. Bir ara birimii fiyatı gibi, bir döviz kuruu diğerie göre kotasyou iki şekilde görülmektedir: ulusal ara birimii, yabacı ara birimie göre değeri doğruda kotasyodur (örek, ABD de dolar, ya da Makedoya içi dear); yabacı ara birimii yerli ara birimie göre değeri dolaylı kotasyodur (ABD de iseiz dolar, ya da Makedoya içi dear). Amerika koşulları (Amerika terms) ifadesi, ABD de bulua birie göre kotasyo. Bu ise dolar içi şu demektir: yabacı ara birimii değişke değerii dolar karşılığıı seyridir (örek,7 dolar bir EUR içi). Avrua koşulları ifadesi, Avrua da bulua birie göre kotasyo. Bu ise dolar içi şu demektir: yabacı ara birimii bir dolar içi değişke seyridir (ya da $ içi EUR 0,785). 978 yılıda döviz azarı, küresel azara etegre olduğuda, kolaylık olmak içi, ABD deki azar ratiği de Avrua düzeiyle uyum sağlamak içi komisyocuları girişimi üzere değiştirildi. Bu şekilde OTC azarı Avrua şartlarıa göre her devlette doları heme de her ara birimie göre seyrii belirlemektedir (yai, yabacı araı $ karşılığıdaki değeri). Bua göre, heme de her zama dolar taba ara birimi olarak (base kurrece) kabul edilmiştir. Bir birim ($), yabacı ara birimii değişe değeriyle satı alıır ya da satılır. Bu geel kuralda istisalar da olabilir, yai düyada tüm OTC azarlarıda İgiliz sterlii temel ara birimi gibi hala seyretmektedir. Dolayısıyla, düyaı her yeride iyasa yaıcıları ve komisyocuları futa sterlii (GBP), bir sterlie x dolar kuruu belirliyorlar. İgiltere, 97 yılıa kadar odalık ara birimi sistemii kabul etmemişti. Bu durumda, değişe miktarlarda yabacı ara birimlerii sterlie çevirme ve azarlama, matematiksel açıda daha kolay yaılabilirdi. GBP ile tarihsel bağları ola bazı ara birimleri (İrlada, Avustralya ve Yei Zelada ara birimleri) OTC azarıda, sterli gibi kur belirliyorlar (bir birim içi, değişik miktar Euro). Düz ve dolaylı kur belirleme, birbirii çarımsal tersidir ve biri diğeriyle kolay belirleebilir. 6

66 Her döviz işlemi iki ara birimi kasamıda yaılır. Burada öemli ola ara birimleride hagisi temel ara birimidir (Base Currecy, kotasyolu, sabitleşmiş) ve hagisi koşullamış ara birimidir (Terms Currecy) ya da hesalaa (couter currecy). Geel olarak, iki ara birimi arasıdaki döviz kuru (Exchage rate), öreği USD ve JPY arasıda döviz kuru USD/JPY biçimide yazılır. Burada USD a karşılık JPY sayısı alamıdadır. JPY/USD ise JPY karşılığıda USD sayısıı ifade eder. Para birimii sol tarafıda yazıla kod, temel ara birimidir ve daima birimdir. Para birimii sağ tarafıda yazıla kod, değişke ara birimie aittir (koşullu, hesalaa birim ya da kur ayarlı - kotasyolu ara birimi). Kur fiyatıa göre, bu araı birim sayısı, temel araı bir birimie eşittir. Temel ara birimi daima sol tarafta yazılır. Öreği NOK/DKK oraı, bir NOK birimie karşılık gelecek DKK sayısı.. CHF / DKK kuru 4,5 tir. milyo CHF satı alıyorsak kaç DKK ödemeliyiz? 4,5 sayısı, CHF içi DKK sayısıı gösterir. Bua göre, DKK ödemeliyiz: , 5 = Şimdi tersie, DKK milyo içi e kadar CHF gerekir hesalayalım (CHF / DKK kuru 4,5). Bu durumda CHF 4 5,4 elde edilir : 4,5 = 4 5,4. Değişe ara birimi ay, temel ara birimi ise aydadır. Pay arttığı durumda, temel ara birimi artar, yai kuvvetleşir ahallılaşır. Pay azaldığı durumda, temel ara birimi zayıflaşır ve daha ucuz duruma gelir. Sözlü ifadede temel ara birimi daima ilk söyleir. Dolar/Ye (USD/JPY) kur ayarıda, dolar temel ara birimi ve aydadır, ye ise değişke ve aydır. Para birimlerde bazılarıı takma adları da vardır ( Paut Cable, İsviçre fragı Swissie, Avustralya doları Aussie). GBP / USD kuruu takma adı Cable dir. Piyasa yaıcısıı (market maker) kur ayarlamaları, daima ou görme oktasıdadır (satı aldığı temel ara birimide alış fiyatı, ve temel ara birimi içi satış fiyatı). Piyasa yaıcısıa USD/CHF kuru soruluca,, biçimide cevalayabilir. Buula, CHF i alış fiyatı bir dolara,4975 ve satış fiyatı bir dolar içi,4985 olduğuu alıyoruz. Geellikle, iyasa yaıcısı kur ayarıı aralığıda ifade eder, çükü, büyük sayı ( big figure ),49 olduğuu müşterii bildiğii var sayar. Kuru alış fiyatı daima sol tarafta ilkidir ve satış fiyatıda daima küçüktür (sağ taraftakide). Aralarıdaki farka, marj ya da bat (sread) deir. 6

67 Alış ve satış kur fiyatlarıı ayarı dört odalık basamağı kesiliğiyle ifade ediliyorlar, bu ise değişke ara birimii % i yüzde biridir, yai /0 000 dir ve oa is deir. Mutlak değeri küçük ola bazı ara birimleride, öreği yei kur ayarı, iki odalık basamağı kesiliğiyle ifade ediliyor ve burada is değişke ara birimii /00 üdür. Her ara iyasasıda is ya da tik fiyat değişimii e küçük değeridir. Alıştırmalar. Sot işlem edir?. Sot döviz kuruu açıklayıız.. Temel ara birimi edir, koşullamış ara birimi edir? 4. Dolar ile EUR satı alıyoruz (kur: EUR/USD,44). Kaç dolar ödemeliyiz? 5*. Euro ile USD satı alıyoruz (kur: EUR/USD,46). Kaç euro ödemeliyiz?.9. Sot Kurları Nasıl Ayarlaır Euro bazıda (EUR) kur ayarlaması yaıldığıda, bakalar arası iyasada, birçok ara birimlerii kur ayarları, EUR karşılığı ara birimlerii farklı miktarları gösterilme ratiği vardır. Diğer sözlerle, bir ya da iki ara birimi olduğuda EUR temel ara birimidir. Bezer şekilde EUR dışıda, bakalar arası sözleşmeye göre, tüm ara birimlerii, USD bazıda kur ayarlamaları yaılır. Herhagi iki kovertibil ara birimi arasıda dilig yaılabildiğie rağme, örek: EUR a göre NZD ya da JPY a göre CHF; tarihsel olarak bakalar arası iyasada e çok kur ayarı USD ye göre, yai dolar bazıda kur ayarlamaları yaılır. Buula aralar arası birçok kur ayarı atlatılmış olur. USD olmaya herhagi iki ara birimii döviz kurları dolar bazıda hesalaabilir. USD dışıda herhagi iki ara birimii kurları çaraz kur (cross-rate) diye ifade edilir. Güümüzde, çaraz kur deilice, birde fazla ulusal araı aralarıdaki kurları bir aahtar ara ciside hesalaması alaşılmaktadır. Örek, GBP / SEK kuru, EUR/GBP ve EUR/SEK kurlarıı kullaarak hesalaabilir. 6

68 Çaraz kurlarla azarlama (Cross Rate Tradig) araları değiş tokuşu gibi algılaabilir ve bu azarlamada dolar e temel e de değişke ara birimi değildir. Örek, EUR/JPY kuruda EUR temel, JPY- değişke ara birimidir. Piyasada işlem yaa bakalar ve diğer ilgili kurumlar tarafıda verile kotasyolar, biri alım (bid rate) diğeri ise satım (ask rate) olmak üzere çift taraflıdır. Alış kurları satış kurlarıda daha düşüktür. Yai baka ve diğer aracı kurumlar, dövizi düşük fiyatta alı, yüksek fiyatta satmaktadırlar. Baka USD doları,475 CHF satı alır ve USD doları,485 CHF satıyorsa, USD/ CHF kursu,475/,485 şeklide seyredecektir. Kotasyou iki tarafıdaki farkı, marj ( sread ) olarak adladırılır. Piyasada döviz kurlarıa ilişki verile alış ve satış kotasyolarıda, alış kotasyoları her zama satış kotasyolarıda daha düşük olarak gerçekleşir. Alış (bid) ve satış (offer) kotasyoları arasıdaki farkı göstere badı (sreat) geiş veya dar olması, kimi alım-satım işlemi yatığıa ve alım-satım yaıla miktarı büyüklüğüe göre değişim göstermektedir. Çarımsal ters kurlar da vardır. Temel ara birimi sayıla herhagi ara birimii kotasyou, değişke ara birimi olarak kedi çarımsal tersi biçimide kedie dek kotasyoa döüştürülebilir. 4.,475/,485 kotasyouda USD/CHF kuru, CHF/USD biçimide (:,475) / (:,485) kotasyoua döüştürülebilir. Değerler e olursa olsu, küçük sayı solda yazılarak kotasyou her iki tarafı birbirii tersidir: 0,695/0,6957. İkici durumda badı soludaki fiyatla baka değişke ara birimie göre temel ara birimii satı alıyor, sağdaki fiyatla da satıyor. Kurlar geellikle ceti (yüzde biri) biçimide kotlaıyorlar. 00 Bu değer ua ya da i diye adladırılır. Örek USD/CHF kuru, geel olarak dört odalık basamaklı sayı -,475/,485 biçimide ifade edilir. Odalık basamaklar sayıları büyüklüğüe bağlıdır. USD/JPY durumuda alaşmaya göre odalık basamağı kullaılır. USD/ JPY kotasyou 05,05/05,5; burada 5 ua 0,5 JPY demektir ve her iki durumda ua, kotlamış odalık sayıı so basamağıdaki birimdir. 5. USD/CHF kuruda azarlama yaarke USD miktarıda bir uaı değeri CHF 00 olur. Diğer sözlerle, döviz kuru bir ua değiştiğide azarlamaı kâr ya da zararı CHF 00 dür. Yai CHF 0,000 = CHF 00. Pua (oit), döviz kuruu odalık basamaklarıı so basamağıdaki birimdir. Döviz kuru geellikle ualarla ya da islerle kotlaıyorlar, e sık so iki basamaktaki sayı ile ifade edilir. Büyük rakamlar (big figure), ualar hariç döviz kuruu ilk kısmıdır. 64

69 Alıştırmalar. Alış - satış kuruu açıklayıız.. Çaraz kur edir?. Pis edir? 4. Мarj - bad (sread) edir? 5*. EUR/USD kuru,44,46 dır. Buu çarımsal ters kuruu gösteriiz..0. Kâr ve Zarar Her bakaı amacı kâr sağlamaktır. Bu edele aralarla alış satış işlemleri yaarke daima temel ara birimii, değişke ara birimie göre mümkü olduğu kadar e ahalı satmak ve ayı arayı e ucuz fiyata almayı amaçlar.. USD/CHF kuru,48/,485 тir. Alış veriş : Baka,480 kuruyla CHF karşılığıda USD satı almıştır. Alış veriş : Baka,4855 kuruyla CHF karşılığıda USD satmıştır. Para akışı akit (cash flows) USD CHF Alış veriş : + USD CHF Alış veriş : - USD CHF Net souç: + CHF 500 Baka CHF 500 kâr yamıştır.. Sot USD/CHF,585 durumuda CHF ara birimiyle USD milyo satı alıyoruz. Daha sora ayı gü sot kotasyou USD/CHF,586 olduğu a USD milyo satıyoruz. Buula ua kâr elde ediyoruz. Para akışı akit (cash flows) USD CHF Alış veriş : + USD CHF Alış veriş : - USD CHF Net souç: + CHF 00 65

70 Bua göre, USD/CHF kotasyouda dil ile (alaşmayla) USD milyoda uaı değeri CHF 00 dür.. USD/JPY sot kuru 8,5 durumuda JPY ara birimiyle USD milyo satı alıyoruz. Daha sora ayı gü sot kotasyou USD/JPY 8,6 olduğu a USD milyo satıyoruz. Buula ua kâr elde ediyoruz. Para akışı akit (cash flows) USD JPY Alış veriş : + USD JPY Alış veriş : - USD JPY Net souç: : + JPY Bua göre, USD/JPY kotasyouda dil ile (alaşmayla) USD milyoda uaı değeri JPY dir Alıştırmalar. EUR/CHF kuru,,4 tür. Bu kura göre, verile batta CHF alımış ve satılmışsa, e kadar kâr elde edilmiştir? *. Bir kişi, satış fiyatı 6,70 MKD kuruyla EUR satı almıştır. Bir vakit geçtikte sora alış fiyatı 6,40 MKD kuruyla EUR satmıştır. Net souç edir?.. Pozisyoda Tutuma Pazarcı her a asıl ozisyoda olduğuu bilmesi gerekir (ozisyoda tutuma ositio keeig) bir güde yatığı azarlama işlemlerii et soucu (bilaçosu). Buluduğu oktada kazaçlı olu olmadığıı tesit etmek içi o geçerlikte ola aıdaki döviz kuruyla karşılaştırma yamak içi azarcı, ayı zamada kedi et ozisyouu ortalama döviz kuruu bilmesi gerekir. Pazarcı, gü souda ozisyouu kaamak mecburiyetide değildir, fakat böyle durumda o aa kadar ozisyouu markig to market durumuu, yai gerçekleşmeye kazacı ya da zararı hesalamalıdır. Buu belirtmek içi gü souda saki ozisyou kaatmış olduğuu sayarak, geçerlilikte ola kur (curret rate) ile kazacı ya da zararı e kadar olduğuu hesalamakla belirtir.. USD/CHF ile sot azarlama şu şekilde yamışsıız: 66

71 USD 4 milyo,67 kuruyla satış; USD milyo,67 kuruyla alış; USD 5 milyo,679 kuruyla alış; Piyasa USD/CHF,670 kuruyla kaamıştır. Pozisyouuz asıldır? Bu ozisyou ortalama kuru edir? Sizi et kazacıız ya da zararıız e kadardır? USD CHF kur, kur, kur, Pozisyo Ortalama kur :, 6745, kur, Zarar: Pozisyo, fazla alımış ola USD milyodur. Ortalama kur,6745, zarar: CHF 500. Zarar, USD kovasiyou sot kur ile USD bazıda da gösterilebilir, ya da karşılığıdaki sot kuruyla herhagi bir ara birimiyle gösterilebilir. Alıştırmalar. Saat 0 da EUR/NOK sot kuru 7,44 tür (kotasyo 00 NOK içidir). Bu kur ile NOK satıyoruz, saat 4 te ise EUR/NOK kuru 7,66 olur. Saat 9 da yei bir düzeleme ile EUR/NOK kuru 7,5 oluyor. Her iki termide kâr ya da zararı gösteriiz.. USD/CHF ile sot alışveriş şu şekilde yaılmıştır: 67

72 USD/CHF,04 kuruyla CHF satı alımıştır. USD/CHF,08 kuruyla CHF satılmış; USD/CHF,09 kuruyla CHF satı alımıştır; Piyasa USD/CHF,045 kuruyla kaaıyor. Pozisyo asıldır? Bu ozisyou ortalama kuru e kadardır? Net kazaç ya da zarar e kadardır?. USD alış fiyatı 49,50, satış fiyatı ise 50,00 dır. 00 USD alım satımıda kâr e kadardır? 4. EUR/USD,40 kuruyla USD ile EUR satı alımıştır. Şimdiki kur EUR/USD, tür. Euroları şimdi sattığımızda zarar e kadardır? 5. Saat 0 da, EUR/AUD,44 kuruyla AUD satı alımıştır. Saat de kur,45, saat 5 te ise,47 olmuştur. Kazaçlı çıkmak içi Avustralya dolarları hagi ada satılmalıydı?.. Kouyu Pekiştirme Alıştırmaları. 80 altıı saflığıı, İgiliz usulüe göre ifade ediiz.. W 7,,,4 altıı saflığıı milyem (bide) biçimide ifade ediiz.. W 0,, gümüşü saflığıı milyem (bide) biçimide ifade ediiz. 4. Kütlesi 600 gram ağırlığıda ola bir gümüş esede 480g saf gümüş vardır. Gümüşü saflığıı: a) milyemlerle; b) İgiliz usulüe göre ifade ediiz. 5. B,, saflığıda bir altı esede 0g saf altı vardır. Nesei tolam kütlesi e kadardır? 6. Saflığı 750 ola bir gümüş esede g saf gümüş vardır. Eşyaı tolam kütlesi e kadardır? 7*. Saflığı 900 ola 500g altıda ve saflığı 850 ola 750g altıda yaılmış bir altı esei saflık derecesii hesalayıız. 68

73 8*. 00g saf gümüş, 00g bakır ve saflığı 04 eiveyt ola 500g gümüşte yaılmış ola eşyaı saflığıı (arılık derecesii) hesalayıız. 9. Dolar/frak kursu bir güde, de, e değişmiştir. Doları değişimii (artışıı) yüzde olarak ifade ediiz. Ayı zamada frakı değişimii yüzdelerle ifade ediiz. 0. Dear, dolara karşı değerii kademeli olarak 6,5 te 75 e değiştirmiştir. Nasıl değişim söz kousudur ve buu yüzdesi e kadardır?. EUR, İsviçre fragıa göre %5 değer kazamıştır (öceki kur EUR/CHF,). Şimdiki kur e kadardır?. Saat 0 da sot kur EUR/USD,44 tür. Bu kurla USD 5000 satıyoruz. Saat 4 te EUR/ USD,46 ve saat 9 da kur EUR/USD,4 olmuştur. Her iki termide kâr ya da zararı hesalayıız. *. EUR/AUD ile sot azarlama şu şekilde yaılmıştır:,6 kuru ile AUD satı alımıştır,6 kuru ile AUD satılmıştır,64 kuru ile AUD satı alımıştır Pazar,65 ile kaamıştır. Pozisyouuz asıldır? Bu ozisyou ortalama kuru e kadardır? Net kâr ya da zarar e kadardır? 69

74 Kou Özetleri Altı, gümüş, lati, cıva, ruteyum, rodyum, osmiyum, aladyum ve iridyum elemetleri kıymetli metallerdir. İki ya da daha çok metali karışımıa filiz deir. Filizdeki kıymetli metali kütlesie saf kütle de deir, filizi kütlesie ise tolam kütle de diyeceğiz. Bir filizde bulua kıymetli metali kütlesi ve filizi tolam kütlesii oraıa, kıymetli metali saflık (arılık) derecesi, ya da saflığı deir. Kıymetli metali saflığı, milyem ve İgiliz usulü olmak üzere iki şekilde ifade edilmektedir. Filizi tolam kütlesii m, saf kütleyi m b ve saflık derecesii f ile işaret edersek, kıymetli metalleri saflık (arılık) derecesii şu formülle ifade edebiliriz: f m m b 000 İgiliz usulü ile ifade edildiğide, altıı saflık derecesi karat (ayar), gümüşü saflık derecesi eiveyt (gümüş ayarı) ölçü birimiyle ifade edilir. Saflık derecesi karat ola altıa stadart altı deir, saflık derecesi eiveyt (gümüş ayarı) ola gümüşe stadart gümüş deir. Altı (gümüş) filiz, stadart altıda (gümüşte) daha iyi ise, ou B (ig. Beter daha iyi) ile, stadart ölçüde daha kötü ise, ou W (ig. Worse daha kötü) işaretiyle işaretleir. Para birimi, bir devleti ara sistemii temel birimidir; kaula düzelemiş bir ülkei değerlerii temel ölçüsüdür. Ülkede üretim verimliliğii geel seviyesii artması durumuda, araı resmi değeride değişme olmadığıa rağme, ulusal ara birimii iç iyasadaki alım gücü artar. Bu duruma araı değer kazaması (aresiyasyo) deir. Aksi takdirde, araı resmi değeride değişme olmada, ulusal araı iç iyasadaki alım gücü azaldığı duruma araı yıraması (deresyou) deilir. Ulusal araı, yabacı ara birimleri karşısıda değerii isteyerek belli bir amaca yöelik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak üzere düşürülmesie devalüasyo deir. Ulusal araı, yabacı ara birimleri karşısıda değerii isteyerek belli bir amaca yöelik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yükselmesie revalüasyo deir. 70

75 Bir ulusal ekoomii yabacı devletlerdeki arası iki şekilde buluabilir: Efektif yabacı aralar ve kısa vadeli yabacı ara birimleri ciside alacaklar ya da dövizler. Döviz, kısa vadeli tüm yabacı aralar ve bu ara ciside değer taşıya mekul değerlere verile isimdir. Metal altı aralar buu haricidedir. Bu taımda hareket ederek, siyaset - ekoomi açısıda serbest ve bağlı dövizler olmak üzere iki gruba ayrılıyorlar. Döüştürme yama (koverziyo) kabiliyeti açısıda dövizler: kovertibil, kovertibil olmaya ve klirik olabilirler. Teslimat vadesie göre dövizler, sot ve termili gibi iki ciste olabilirler. Döviz kuru, bir birim yabacı araı ulusal ara ciside fiyatıdır. Aslıda, döviz kuru ulusal araı yabacı araya göre fiyatıdır, ya da diğer sözlerle, bir birim yabacı ara içi, ulusal arada kaç birim ara verilmelidir alamıdadır. Kuru bu şekilde ifade edilişie doğruda kotasyo sistemi deir. Dolaylı kotasyo sistemi ise sadece İgiltere devletide (ve ou bir zamaki koloileri ola devletlerde) uygulamaktadır. Burada döviz kuru, bir yerli ara birimi içi, yabacı ara birimide kaç birim ödemesi gerekir biçimide taımlaır. Nomial döviz kuru, eflasyo katsayısıı hesaba koymada, yabacı araı ulusal ara ciside fiyatıa deir. Reel döviz kuru, omial kurları iç ve dış eflasyo oralarıa göre ayarlamış şeklie deir. Efektif döviz kuru, ülkei ticari ilişkide buluduğu ülkeleri aralarıdaki değişmeleri ülkei döviz kurlarıa yasıtılması yoluyla elde edilir. Efektif araları sahte olma imkaı olduğuda, bakalar ratikte efektif döviz kuruu özel olarak gösteriyorlar. Efektif döviz kuru, geellikle dövizleri kurlarıda daha alçaktır ve bakalar bu kuru ayrıda gösteriyorlar. Uluslararası her işlem iki satı alımla yaılır. Uluslararası alışverişte malı satı alıması ve ara birimii satı alımasıdır. Bu şekilde şu souca varıyoruz: Uluslararası alışverişte sadece malları fiyatları değil, ulusal ara birimlerii de fiyatları oluşmaktadır. Buu şu bağıtılarla gösterebiliriz: a) İhracat içi: Ei = Qi. i. T, yai bir malı ihracat değeri, mal miktarı, yabacı döviz iyasasıdaki fiyatı ve yabacı ara birimii kuru ile çarımıa eşittir. b) İthalat içi: Ui = Qi. i. T(+ti), yai bir malı ithalat değeri, mal miktarı, satı alıdığı azar fiyatı ve ithalat masraflarıyla ( + ti) arttırılmış yabacı ara birimii kuru ile çarımıa eşittir. Bazı durumlarda, dövizler ve ara birimlerii kurları, uluslararası ara kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar. Uluslararası ara kuru, bir devleti efektif araları diğer bir devleti efektif arasıyla değiştirme fiyatıdır. 7

76 Bir ara birimii diğer ara birimiyle alış veya satışıı işlem tarihide belirlee fiyat üzeride e çok iki iş güü sorasıda gerçekleştirildiği işleme Sot işlem deir. Bu esada işlemi yaılması içi gereke evrakları hazırlaır ve efektif trasferi yaılmasıa imka sağlamış olur. Sot döviz kuru, aıda geçerlilikte ola kur ya da sözleşmeli azar fiyatıdır. Sot işlemler, bir ara birimii diğer ara birimiyle doğruda değiştirilmesidir. İşlem yaılıca her iki devleti ödeme sistemleriyle araları trasferi gerçekleştirilir. Döviz azarıda her ara birimi içi iki fiyat vardır fiyatlarda biri, belli bir ara birimii satıcıı satmak istediği fiyat ve ikicisi, satı alaı satı almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru). Sot kurlarda, kurları kotasyouu bilimesi öemlidir. Daha doğrusu, doğruda ve dolaylı kotasyo, Avrua ve Amerika koşulları vb. Döviz birimii kotasyou: Bir ara birimii fiyatı gibi, bir döviz kuruu diğerie göre kotasyou iki şekilde görülmektedir: ulusal ara birimii, yabacı ara birimie göre değeri doğruda ve yabacı ara birimii yerli ara birimie göre değeri dolaylı kotasyodur. Her döviz işlemi iki ara birimi kasamıda yaılır. Burada öemli ola ara birimleride hagisi temel ara birimidir ve hagisi koşullamış ara birimidir (ya da hesalaa ara birimidir). USD dışıda herhagi iki ara birimii kurları çaraz kur diye ifade edilir. Çarımsal ters kurlar da vardır. Temel ara birimi sayıla herhagi ara birimii kotasyou, değişke ara birimi olarak kedi çarımsal tersi biçimide kedie dek kotasyoa döüştürülebilir. Pua, döviz kuruu so odalık basamağıdaki birimdir. Pazarcı her a asıl ozisyoda olduğuu bilmesi. Buluduğu oktada kazaçlı olu olmadığıı tesit etmek içi o geçerlikte ola aıdaki döviz kuruyla karşılaştırma yamak içi azarcı, ayı zamada kedi et ozisyouu ortalama döviz kuruu bilmesi gerekir. Pazarcı, gü souda ozisyouu kaamak mecburiyetide değildir, fakat böyle durumda o aa kadar ozisyouu gerçekleşmeye kazacı ya da zararı hesalamalıdır. Buu belirtmek içi gü souda saki ozisyou kaatmış olduğuu sayarak, geçerlilikte ola kur ile kazacı ya da zararı e kadar olduğuu hesalamakla belirtir. 7

77 ÜSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER.. Reel Sayılı Üslü Kuvvet Kavramı Tabaı a doğal sayı, tam sayı ya da rasyoel sayı ola üslü ifadeleri (kuvvetleri) alamıı artık biliyorsuuz. Buları bir daha hatırlayalım.. Aşağıdaki işlemleri yaıız: а) a) 4 0,5 x x : x b) ( x y )( x y ) b) v) c) 9 0,5 Rasyoel üslü kuvvetleri taımı ve özellikleri gereğice: 4 а) 4 0,5 ( 0,5 ) x x : x x x b) ( x y )( x y ) ( x ) ( y ) x y c) 4 0, ,5 0,5 elde edilir.şimdi, rasyoel sayılı üslü kuvvetler kavramıı geişleterek reel üslü kuvvetler kavramıı ve bazı temel özelliklerii açıklamaya çalışacağız. Her reel sayı x ve her ozitif sayı a içi aşağıda sayıla özelliklerle bir a x kuvveti bellidir: I. x > 0 içi, a. x = ise a x = aa... a x. x, ise a a k. x, k, ise a x a k = içi > içi 4. x = c 0, c c...c..., ise c0, cc... c а) a >, içi a c0, cc... c... a c0, cc...( c ) a c0, c c c c c c c c b) 0 < a <, içi...( ) 0, a a c , a c... c) a =, içi a x = dir II. x = 0 ise a x = dir x III. x<0 ise a x a 7

78 . a) Reel sayılı üslü kuvvetleri yukarıdaki taımı gereğice x > 0 içi 5 -x ifadesii alamı vardır, çükü a = 5 > 0 dır. Halbuki (- 5) -x ifadesii x > 0 içi alamı yoktur, çükü a = - 5 < 0 dır. b) Her x R içi 0 -x ve 0 x ifadelerii alamı yoktur, çükü a = 0 dır. a ozitif reel sayısıı reel üslü kuvvetleri içi şu özellikler geçerlidir:. x x. aa x = b x b, eşitliği, za sekoe her х x R içi ako geçerli i samo olması ako aiçi bacak ve acak a = b olmalıdır. x.. Her Za sekoj х R içi x bir ostoi tek ax edistve kuvveti vardır; stee a x y x y.. Her a х,y a R a içi, za a x sekoi a y = ax, x+y ygeçerlidir. x y x y Her ( a ) x, y a R içi, za sekoi (a x ) y = x, a xy y geçerlidir. x x x Her ( ab) x R a içi, b za (ab) sekoe x = a x b x geçerlidir.. Reel sayılı üslü kuvvetleri taımı ve yukarıdaki özellikler gereğice x a ( ab ) b elde edilir x x a ( b ) x a x b x a b x x. 4. Verile işlemleri yaıız: а) х 4 х ; b) 4 z : z; c) (8 х 9 y 5 z ):( хy 5 z ). Çözüm: а) х 4 х = ( 4) х = х ; z z z z b) 4 4 : ; x y z x y z x y z c) ( ) : ( 5 ) x y z Alıştırmalar. Reel sayılı üslü kuvvet asıl taımlaır?. Kuvvetlerle verilmiş ola işlemleri yaıız: а) х y ; b) х :4 х ; c) х х ; d) ( х 5 х ) y. Verile kuvvetleri karşılaştırıız: x а) х ve 9 х/ ; b) ve 4 4 x 74

79 4*. Verile eşitsizliklerde hagi sayı büyüktür x yoksa y? x а) 0,4 х > 0,4 у; b),4х >,4 у; c) 5. Verile işlemleri yaıız: а) ( х + х )( х - х ); b) (5 х - 5 -х ) ; c) (4 х +). y... Üstel Deklemler Taım. Tabaı de farklı ozitif bir reel sayı ola ve üssüde değişke bulua deklemlere üstel deklem deir.. Örek olarak, aşağıdakiler üstel deklemlerdir: x x x 8, 4 x,, x 5 x 49 ve x. Birkaç çeşit üstel deklem çözelim. I. biçimide deklem.. x = 7 deklemii çözüüz. Verile x = 7 deklemii x = biçimide yazarak verilee dek deklem elde edilir. Bu durumda ozitif reel sayı a tabalı reel sayılı üslü kuvvetlerde x x a > 0, a, a a acak ve acak x = x dir, özelliğide yararlaarak x = eşitliğide x = elde edilir. Bua göre x = 7 deklemii bir tek çözümü vardır ve bu çözüm x = tür.. Verile deklemleri çözüüz: x a) 4 5 x 5 64 а) b) v) c) x x x x x x x. x x 75

80 II. A f(x) +m=0, A>0, A, m<0 biçimide deklemler. 4. Verile deklemleri çözüüz. a) x5 8 x b) v) c) x 8. x5 4 x 5 x 4 x 5 4 x 5 x 4 x x x. III. biçimide deklemler f ( x) A t değişimiyle at bt c 0 biçimide ikici derece deklem elde edilir. İkici f ( x) derece deklemi her çözümü içi A t üstel deklemii çözüyoruz. 5. Verile deklemleri çözüüz: a) x x x b) 6 4x 0 c) v) x 8 x 8 7. ( x ) 6 x 8 0 (4 x ) 4x 0 x 8 x 8 7 smea x t smea 4 x t smea x 8 t t 6t 8 0 t t 0 t t 7 t, t t, t t t x x 8, x x 4, 4 x x x x 0,, t 9, t x x 9, 9 x, x x, x 0 x, x Alıştırmalar. Verile deklemleri çözüüz: x x 4 a) а) 9 ; b) 5, x 4 5 g) 0 ; 0 4 x x ç) d) 0 ; ) e) Deklemleri çözüüz: 0 ; v) 0 0, 000 c) x 4 x0,5 4 x x a) 6 ; 5 50 ; v) 4 5 а) b) c) 5 0 ; g) ç) 5 64 x x ,5 4 ; 8 x. x 76

81 . Verile deklemleri çözüüz: x x x x 5 a) а) ; b) ; v) c) x x. 4*. Deklemleri çözüüz: x 4 x x x x 4 x a) а) 4 0; b) ; c) v). x 4 5*. Deklemleri çözüüz: x x a) 4 ; b) x 4 x 7 0 ; c) v) x 9. x Logaritma Kavramı Taım. ar, a0, a ve b R olsu. tabalı b i logaritması deir. Buu Bua göre, a > 0, a, b > 0 içi x a b x log a b dir. Taımda doğruda doğruya x a x log a b şeklide yazarız. b eşitliğii sağlaya x reel sayısıa a log b a a b gerekir. x sayısıa logaritma değeri, a sayısıa logaritması tabaı, b sayısıa logaritması alıa sayı deir.. Tablodaki değerleri doğru olu olmadıklarıı yoklayıız. Kavramlar log 8 = log5(m + ) = log 8 Logaritma 4 Logaritması tabaı 5 Logaritması alıa sayı 8 m a) log9, çükü 9; b) log4, çükü 4 4 ; 4 c) log 5 4, çükü 5 5; 5 77

82 . Verile ifadeleri değerii hesalayıız: a) log ; b) log ; v) c) 4 8 a) olduğua göre, log ; elde edilir. 4 4 Yoklamasıı yaalım: b) 4 Yoklama: c) 7 log 9 Yoklama: 8 log 4 4 olduğua göre, log 4 gerekir. 8 log 8 çükü log dir. log Hagi sayıı tabaıa göre logaritması 4 tür? 4 log 6 olduğuda gerekir. Demek ki araıla sayı loga olduğua göre a tabaıı belirtiiz. 8 6 dır. gerekir. O halde a ol- Logaritma işlemii taımıa göre duğuu buluyoruz. a, yai 8 a Alıştırmalar. Verile tabloyu defteriizde çiziiz ve dolduruuz. İfadeler log6 6 = log 4 9 Log. değeri Log. tabaı Log. alıa sayı 49 4 x log 7 log b 5 a 5 log 5 78

83 . Verile logaritmaları değerii belirtiiz: a) а) log ; b) log 0, 0, 0; v) c) log ; g) d) log Logaritma işlemii taımıda yararlaarak aşağıdakilerde x belirtilsi: а) log x ; b) log x 6 = ; c) logi x = 0; d) log x 5 = Verile ifadei değerii belirtiiz: а) 5. log 5 log 5 b) 5 5. Verile ifadei değerii hesalayıız: а) log 8 log 9 ; b) 4log 7 log. 9 6*. x i hagi değerleri içi log 0, (x - x) ifadesii alamı vardır? 5.4. Logaritmaı Kuralları a > 0, a, x > 0 ve y > 0 olsu. I. Çarıma ait logaritmaı kuralları log a xy log a x log a y İsat. a = log a x ve β = log a y olsu. O halde a a = x ve a = y elde edilir. x > 0, y > 0 olduğua göre xy > 0 gerekir. O halde log a xy ifadesii de alamı vardır. Bua göre, a logaxy = xy = a a a = a a+ = a log ax + logay yazabiliriz. Orada da log a xy = log a x + log a y elde edilir. I. log 6 = log = log + log = + log. Ayı kural ikide fazla çaraları ola çarım içi de geçerlidir, yai x > 0,x > 0,...,x > 0, olduğu durumda loga( x x x... x) loga x loga x loga x... loga x geçerlidir. II. Kuvveti Logaritma Kuralı a s log a x s log x slog a a x İsat. a = log a x olsu. x > 0 olduğuda x s > 0 gerekir. O halde log a x s vardır. s log x s a s log s a x a a olduğuda loga x s loga x elde edilir. x 79

84 log a. log 8 = log 4 = 4og = 4. III. Bölümü Logaritm Kuralı log a x y log a x log a y x İsat. xy, olduğuu bildiğimize göre, bir çarımı logaritması kuralı gereğice y x loga xy loga x loga y loga x loga y elde edilir. y 7. log7 0,7 log7 log7 7 log70 log70. 0 Bir kuvveti logaritması kuralı soucu olarak şu formül elde edilir: log a x m log a x m m log a x log log log log Ayı tabaa göre tertilemiş logaritmaları kümesie logaritma sistemi deir. 0 tabaıa göre tertilemiş logaritmalara odalık logaritmalar deir. Odalık logaritmaları logx biçimide yazıyoruz, yai burada taba 0 yazılmıyor. Odalık logaritmalar içi çok kez lg x işaretlemesi de kullaılır. Bua göre log 0 x = logx = lg x. e tabaıa göre e,7 tertilemiş logaritma sistemie doğal logaritmalar deir. Doğal logaritmalar l x biçimide işaret edilir, yai log e x = l x dir. Logaritma işlemii kuralları odalık ve doğal logaritmalar içi de geçerlidir a) а) lg0 lg00 lg0 lg0 lg0000 lg0 4lg0 4 4 b) l e l e l e l e 4l e 4 v) c) lg0, lg lg0 lg 0,00 lg lg g) d) l l e l l e. e e Bu so örekte görüldüğü gibi, de büyük odalık birimi logaritması ozitif tam sayıdır ve sayıı sıfırları kadar birimleri vardır; de küçük odalık birimleri logaritması ise egatif tam sayıdır ve odalık kısmıda sıfırları sayısı kadar birlikleri vardır. 80

85 Logaritması rasyoel sayı ola x ozitif reel sayısı verilmiş olsu, yai log x = k, k Q. O halde x = 0 k dir. Bua göre, 0 k, k Q biçimide olmaya ozitif sayıı odalık logaritmi irrasyoel sayıdır. Ou odalık sayı biçimide yazılışıda sosuz çok odalık basamakları vardır, bu edele bu sayıyı 5. odalık basamağıda alaşma gereği yuvarlayacağız. A herhagi bir ozitif reel sayı olsu. O halde 0 A 0 dir. Bua göre lg0 lg A lg0 gerekir. Odalık logaritması taımıa göre lga elde edilir. 0lgA elde edilir. O halde So eşitsizlikte N ve 0 < içi lg A ( ), geçerlidir. sayısıa A sayısıı logaritmasıı karakteristiği, sayısıa ise matis deir. Diğer sözlerle logaritmayı ifade ede odalık sayıı tam kısmıa karakteristik, odalık kısmıa ise matis deir. Bua göre karakteristik ozitif, egatif tam sayı ya da sıfır olabilir, matis ise 0 ve arasıda bir sayıdır. 6. lg 495,7 sayısıı karakteristiğii yazıız , olduğua göre elde edilir. O halde lg 495, 7 buluur. Bua göre lg 495,7 ; 0. lg 495,7 logaritmasıı karakteristiği dir. 7. log 0,07 logaritmasıı karakteristiğii belirtiiz. 0,0 < 0,07 < 0, olduğuda lg0,0 < lg 0,07 < lg 0, ya da - < log A < - dir. Bua göre, 0 olmak üzere log 0,07 = - + biçimide yazılır. log 0,07 ifadesii karakteristiği dir. 6. ve 7. ödevleride şu souca varılır: de büyük sayıları logaritmalarıı karakteristiği, verile sayıı tam kısmıı rakamları sayısıda küçüktür; de küçük sayıları karakteristiği ise egatif sayıdır ve odalık yazılışıda virgülde sora gele sıfırları sayısı kadar birimleri vardır. 8. Hesa makiesi kullaarak reel sayıları logaritmalarıı belirtebiliriz, örek: lg 4,57,8484 lg78,,0658 lg0,0057, lg a = m, lgb =, lgc = olduğua göre, a b, ifadesii odalık logaritmasıı belirtiiz. 4 c a b lg 4 c lg a b lgc 4 lg a lgb lgc 4 lg a lgb 4lgc m 4. 8

86 Alıştırmalar. Verile ifadeleri logaritmalarıı alıız: а) a) x ab ; b) x a bc 5, c) v) a d) g) x ( a b) ; e) d) x ; f) ) b c ab x ; c x a b.. İfadeleri sadeleştiriiz: a) log (log log 4) ; а) b) log 64log ; v) c) log log Verilelerde x sayısı belirtilsi: a) а) lg x lg5 lg log4 ; b) lg x lg lg; v) c) lg x lg lg5 lg ; g) d) lg x (lg 4lg 5lg4) ; 4 d) e) l x l5 l l; ) f) l x l l ; e) g) l x l l 4 l ; `) h) l x (l 4l 5l 4) lg 0,0 ve lg 0,48 olduğuu alırsak, aşağıdakileri yaklaşık değerii belirtiiz: a) а) lg 4, lg 6, lg8, lg9 ; b) lg, lg6, lg8. 5. Verile logaritmaları karakteristiğii yazıız: 8,5,507 a) lg(0,7545 0,0560,65 ) ; b) lg ; 0,457 0,09 9 v)* lg 5 c)* ; d)* g)* lg( 0,85 0,55) Faklı Tabalı Logaritmalar Arasıdaki Bağıtılar a > 0, a, b > 0, x > 0 olsu. Taba değiştirme formülü logb x loga x. log a b İsat. x = a loga x eşitliği her iki tarafıı b tabaıa göre logaritması alıırsa log b x = log b log (a logax b x ) = log a x log b a elde edilir. orada da loga x elde edilir. log a b

87 log 6 log 9. log 7 log7 6 log6 9 log 7 log6 9 log 6 log6 9 log 6 log 7 log 6 Souç. x = b ise, 9 log logb b İsat. loga b. log a log a. log. log 5 b b. loga b. log a Souç. a0, a, s 0, b 0 ise log b loga b. a s s İsat. log b log a s s log a s logb a s b. log 4 log 4. b a b. s Souç. a0, a, s 0, b 0 ise log b log b. s İsat. log s b s log s b s loga b loga b. a a s 4. a) log4 log log ; b) log 9 log 9 log lg 0,0 ve lg 0,48 olduğuu alırsak 6 log 5 lg 6 lg5 elde edilir. lg( ) lg lg 0,0 0,48 0 lg lg0 lg 0,0 a s a 0,78 0, Alıştırmalar. Farklı tabalı logaritmalar arasıdaki bağıtıyı ifade ediiz.. Eşitlikleri isatlayıız: a) log log 7 log7 5 log5 4 ; b) log log4 log5 4log6 5log7 6log8 7. 8

88 . log 8 log 0, 5 ifadesii değerii hesalayıız İfadeleri sadeleştiriiz: a) log (log log 4) ; b) log 64 log ; v) c) *. a > 0, b, b > 0 olduğuda log a log olduğuu isatlayıız. b a b.6. Logaritmalı Deklemler lg5 lg Taım. İçide bilimeyei ya da foksiyou logaritması bulua deklemlere logaritmalı deklem deir.. Aşağıda verile deklemler logaritmalı deklemlerdir: log (x + 4) = 7, log х (5 + x ) = 9, log 5 (x - ) = log 5 x. a > 0 ve a olsu. I. Log a f(x) = b ciside logaritmalı deklemleri çözümü Logaritma işlemii taımıda şu eşitlikleri dekliği gerekir: b log f ( x) b a f ( x). a. Verile deklemleri çözelim: a) log ( x 5) b) log ( x 7x ) 0 c) v) log5( x 9) x 5 x 7x ( ) 0 ( x 9) x 5 7 x x 0 x 4 8x 56 0 x x i x 4 x, x 4 5,, 4 c) şıkkıdaki deklemi çözmek içi, bir kuvveti logaritması özelliğide yararlaacağız: log (x 9) log (x 9) log (x 9) x 9 5 x , Deklemi dört kökü olduğua rağme, burada sadece iki köküü bulmuş oluyoruz. Buu sebebi, bir kuvveti logaritmasıı yalış kulladığımızda ötürüdür; daha doğrusu log a b = log a b eşitliği sadece b > 0 olduğu durumda geçerlidir. Bir kuvveti logaritması özelliğii doğru kullamak istersek şu şekilde yazmalıyız: log ( x 9) log x 9 log x 9 x

89 II. log a f(x) = log a g(x) ciside logaritmalı deklemleri çözümü log a f(x) = log a g(x) deklemii çözümü, f(x) = g(x) deklemii çözümüde elde edilir. log a f(x) = log a g(x) deklemii her çözümü, f(x) = g(x) deklemii de çözümüdür. Buu tersi geel durumda geçerli olmayabilir. Bu edele f(x) = g(x) deklemii çözümlerii buldukta sora, elde edile çözümleri log a f(x) = log a g(x) deklemii de sağlayı sağlamadığıı yoklamamız gerekir.. Deklemleri çözüüz: a) log( x 7x ) log( x 4) b) lg(x x ) lg( x 0x ) x 7x x 4 x x x 0x x 8x 5 0 x x 0 0 x, x 5, x Proverka: Yoklama: x Proverka: Yoklama: x 5 log( 7 ) log( 4) lg( 5 5 ) lg(5 0 5 ) log( ) log( ), yoktur e ostoi lg( 7) lg( 7), yoktur e ostoi. x çözüm e e re{eie değildir x 5 çözüm e e re{eie değildir Proverka: Yoklama: x 5 Proverka: Yoklama: x log(5 7 5 ) log(5 4) lg lg 0 log log lg lg 9, e uk ostoi. ekzisto Verile deklemi çözümü x = 5 dir. Verile deklemi reel çözümleri yoktur. III. log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biçimide deklemlere döüşebile deklemleri çözümü 4. Verile deklemleri çözüüz: a) log( x ) log(x ) b) log5( x 6x 7) log5( x ) v) c) 4 lg x lg x. a) log( x ) log(x ) log ( x ) (x ) x 5x 0 Yoklama: x = 4, ve oda sora x, değerlerii değiştirmekle, deklemi çözümü sadece x = 4 olduğuu buluyoruz. 85

90 x 4, x b) log5( x 6x 7) log5( x ) log5( x 6x 7) log5( x ) 0 x 6x 7 log5 0 x x 6x 7, x x x 7x 0 0 x, x 5 v) c) 4 lg x lg x So zamea 4 t t t 4 0 t, t lgx x 5. t 4 lg x t, olsu imame: x loga loga x loga y y koga a 0, a, x 0, y 0 Yoklama: Proverka: x = so 5 ve zamea oda za sora x x 5, = a otoa değerlerii za x, zaklu~uvame değiştirmekle, deklemi deka ravekata çözümü ima samo sadece edo x re{eie = 5 olduğuu x 5buluyoruz.. Proverka: Yoklama: log bidej}i x ravekata 4 deklemii çözümü lg x olmadığıa 4 ema re{eie, göre, x = 5 so çözümüü zamea za deklemde x 5, zaklu~uvame değiştirmekle, deka deklemi ravekata bir ima tek çözümü samo edo olduğuu re{eie görüyoruz. x Deklemleri Re{i gi ravekite: çözüüz: a) log6 x log 4 x log x 7 b) log9 x log. x log 4 x log x log x 7, log x log x log x log x log x 7, log x 4 log x 7 log x 7, log x log x 0 4 log x 4, log x t x t t 0 Yoklama Proverka: log9 log9 t log9, log9 9 Yoklama Proverka: log log x 6 log 4 log 7 Deklemi Re{eieto çözümü a ravekata Deklemi Re{eieto çözümü a ravekata e x. x. e x. v) c) lg5 lg( x 0) lg(x 0) lg(x ). lg5 lg( x 0) lg0 lg(x 0) lg(x ) 86

91 5( x 0) x 0 lg lg 0 x 5( x 0) x 0 0 x 5( x 0)(x ) 0(x 0) 0x 95x 50 0x 00 x 0,. x Proverka: Yoklama: lg5 lg 0 lg90 lg9 lg00 lg0 lg0 lg0 lg0 lg0 log0 Deklemi Re{eie a cözümü ravekata x = 0 e dur. x 0. çözümü Proveri yoklayıız? dali x e? Alıştırmalar. log (x 6).. log ( x 5x 7).. log ( x ) log x. 4. lg( x ) lg( x). 5. log x log x log x log6 x. 7*. log ( log (x 7))..7. Kouyu Pekiştirme Ödevleri. Hagi x ve y reel sayıları içi eşitlik geçerlidir: x y x y a) 8 8 ; b) ; v) c)? x y. a) a > b) 0 < a < a yoksa ise, hagisi büyüktür: Deklemleri çözüüz: a? x0,5 4 x x x x x x x x4 x x x 0. 0* Logaritma işlemii taımıda yararlaarak x sayısıı belirtiiz: 87

92 a) log x 6 ; b) log x 7 ; c) v) log d) g) log 4 x ; e) d) log 00 x 0, ; f) ) log x 8.. Şu ifadeleri logaritmasıı alıız: x ; 5 a) xy ; b) x y ; c) v) x y z ; d) g) e) d) 6x y ; f) ) x x y ; e)* g)* x y y. a b c ;. Logaritması bilie x sayısıı belirtiiz: a) log x log 4 log log ; b) lg x lg5 lg8 lg ; v) c) log x log 7 log 9 log ; d) g) log x log log Logaritma işlemii uygulayarak verile ifadeleri değerii hesalayıız:,648,49 4,5 0,6 5 a) x ; b) x ; c) v) x,5 54,. 5,6 6,8,8 5. а) log 5 ile 4; b) log 7 ile 7 ; c) lg5 ile 0-6*. Farklı tabalı logaritmalar arasıdaki bağıtıda yararlaarak verile ifadeleri sadeleştiriiz: a) log log 5 log ; b) x log x log x 7. Verile ifadeleri değerii hesalayıız: a) log 8 log 0, 5 ; 7 b) log x 4. b) log log 45 log 7 log log 5 log Deklemleri Çözüüz: 8. lg x lg( x ). 9. log x log( x ) log 5 x log5 x 5.. log.. log ( x ) log ( x 5x 0). *. log log x log. 5 5 x

93 KONU ÖZETLERİ Her reel sayı x ve her reel sayı a içi, reel üslü a x kuvveti şu şekilde bellidir. I. x > 0 içi,. x = ise a = içi x a aa... a > içi., ise x x a a k x k. x, ise a a 4. x = c 0, c c.c ise a) a > içi a a a c, c c... c c, c c... c... c, c c...( c) b) 0 < a < içi a a a c) a = içi a x = dir II. x = 0 ise a x = dir c, c c...( c ) c, c c... c... c, c c... c III. x < 0 ise a x x a a ozitif reel sayısıı reel üslü kuvvetleri içi şu özellikler geçerlidir: x x. a x = b x eşitliği, za sekoe her x ako içi i geçerli samo olması ako a içi b acak ve acak a = b olmalıdır. x. Her Za sekoj x xiçi bir ostoi tek a x edistve kuvveti vardır; stee a x y x y x y x y. Her a ax, y a içi, za sekoi a a x, ay geçerlidir. x y x y x y x y 4. Her ( a ) x, y a içi, za sekoi ( a ) x, ay geçerlidir. x x x x x 5. Her ( ab) x a biçi, za ( ab sekoe ) a b geçerlidir. Tabaı de farklı ozitif bir reel sayı ola ve üssüde değişke bulua deklemlere üstel deklem deir. Burada şu cis üstel deklemler icelemiştir: I. A x +m=0, A>0, A, m<0 biçimide deklemler II. A f(x) +m=0, A>0, A, m<0 biçimide deklemler III. a(a f(x) ) +ba f(x) +c=0 biçimide deklemler 89

94 a, a 0, a i b + x ve. olsu. a b eşitliğii sağlaya x reel sayısıa a tabalı b i logaritması deir. Buu x log a b şeklide yazarız. Bua göre, a > 0, a, b > 0 içi x a b x log a b dir. Taımda doğruda doğruya log b a a b gerekir. x sayısıa logaritma değeri, a sayısıa logaritmaı tabaı, b sayısıa logaritması alıa sayı deir. a 0, a, x0 ve y 0 olsu. I. Çarıma ait logaritmaı özelliği log xy log x log y a a a Ayı kural ikide fazla çaraları ola çarım içi de geçerlidir, yai olduğu durumda log ( x a geçerlidir. x x... x) loga x loga x loga x... II. Kuvveti Logaritması Kuralı s log x s log x a a log a x III. Bölümü Logaritması log a x y log a x log a y Bir kuvveti logaritması kuralı soucu olarak şu formül elde edilir: log a x m log a x m m log a x. Ayı tabaa göre tertilemiş logaritmaları kümesie logaritma sistemi deir. 0 tabaıa göre tertilemiş logaritmalara odalık logaritmalar deir. Odalık logaritmaları log x biçimide yazıyoruz, yai burada taba 0 yazılmıyor. Odalık logaritmalar içi çok kez lg x işaretlemesi de kullaılır. Bua göre log 0 x = logx = l x. e tabaıa göre e,7 tertilemiş logaritma sistemie doğal logaritmalar deir. Doğal logaritmalar l x biçimide işaret edilir, yai log e x = l x dir. Logaritma işlemii kuralları odalık ve doğal logaritmalar içi de geçerlidir. 90

95 A herhagi bir ozitif reel sayı olsu. ve 0 << içi lg A ( ) geçerlidir. sayısıa A sayısıı logaritmasıı karakteristiği, sayısıa ise matis deir. a > 0, a, b > 0, х > 0 olsu. Taba değiştirme formülü log a log x log b b x a x = b ise, loga b. log a a 0, a, s 0, b 0 ise log b loga b. a s s s a 0, a, s 0, b 0 ise log b log b. b a s İçide bilimeyei ya da foksiyou logaritması bulua deklemlere logaritmalı deklem deir. a > 0 ve a olsu. Şu cis logaritmalı deklemler icelemiştir: I. log a f(x) = b ciside logaritmalı deklemler II. log a f(x) = log a g(x) ciside logaritmalı deklemler III. log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biçimide deklemler a 9

96 9

97 4 DAR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARI 4.. Dar Açıı Trigoometrik Oraları Açıları Ölçülmesi Asıyalım, ortak başlagıçları ola iki ışıı (yarı doğruu) birleşimi ve bu ışıları ait oldukları düzlemde ayırdıkları kısımlarda biri ile birleşimie açı deir. Bu alamda ortak başlagıçları ola iki ışı OA ve OB iki açı oluşturuyorlar ve buları AOB (ya da BOA) ile işaret edeceğiz. Açılar küçük Yua harfleriyle de işaret ediliyorlar:, gibi. OA ve OB ışılarıa AOB açısıı kearları, O oktasıa ise açıı köşesi deilir. Bir derece ( 0 ) açıları ölçü birimidir ve tam açıı kısmıda biridir. Derecede 60 küçük birimler, derecei 60 ola bir dakika ( ) ve dakikaı ola ya da tam açıı 60 kısmıa eşit ola bir saiye ( ) dir. Bu bağıtılarda yararlaarak, dereceleri, dakikaları ve 600 saiyeleri derece ciside odalık sayı biçimide yazabiliriz açısıı odalık sayı biçimide yazalım. 4 0 ' 6 54 " ,6 0,05 4, ,568 0 açısıı derece, dakika ve saiye ciside yazalım 0 0 ' 0 ' 0 ' " 7,568 7 (0,56 60) 7,9 7 (0,9 60) 7 0 ' " 0 ' " Burada, açıları ölçülmesi içi yei bir ölçü birimii kabul edeceğiz. Yayıı uzuluğu yarıçaıa eşit ola merkez açıı ölçüsüe bir radyadır deir ve rad ile işaret edilir (şek.). Şimdi açıları her iki ölçüsü derece ve radya arasıdaki bağıtıyı belirtelim. R yarıçalı çemberi uzuluğu R olduğua göre, tam açı bütü bir çemberi merkez açısı olduğuu varsayarak, bir tam açı rad dır. Diğer tarafta tam açı 60 0 dir. O halde 60 0 = rad olur. Burada da şuları yazabiliriz: ' " rad 57, ve i 0 rad 0,0745rad. 80 Şek. 9

98 . a) açısıı radyalarla ifade ediiz. 0 ' " ,7 rad b) 5 açısıı derecelere döüştürüüz Mo`i Dereceleri gi radyalara steeite so döüştürmek, za da retvori{ içi, ile vo çarıız. radijai. Mo`i Radyaları gi derecelere radijaite so çevirmek, za içi da retvori{, ile vo çarıız. steei. Dar Açıı Siüsü, Kosiüsü, Tajatı ve Kotajatı hioteüs dar açı Şek. Dik üçgedeki dar açıda yararlaarak dört temel trigoometrik foksiyou taımıa geçeceğiz. ABC üçgeide C köşesideki açı diktir, A ve B köşelerideki açışlar ise dar açılardır (şek.). A köşesideki açıyı ile işaret edersek, BC kearıa açısı içi karşı katet, AC kearıa ise komşu (yatay) katettir. ABC dik üçgeii ve AC kearıa dik ola B C, B C ve B C doğru arçalarıı iceleyelim (şek.). Bu doğru arçaları ABC üçgeiyle ortak açısı ola A B C, A B C ve A B C üçgelerii birer karşı katetidir. Bu dik üçgeler birbiriyle dik olduklarıa göre, karşılıklı kearları da birbiriyle oratılıdır, yai: B C AB BC AB BC AB BC AB ; AC AB AC AB AC AB AC AB ; B C BC BC BC AC AC AC AC ve i. AC AC AC AC B C B C B C BC Şek. Demek ki, verile açısı içi şek. teki dik üçgeleri karşılıklı kearları oraları sabittir. Halbuki, açısıı büyüklüğü değişirse, bu oraları değerleri de değişecektir. Bu soucu doğrulamak içi şek. 4 te verilmiş ola A B C, A D C ve A E C üçgelerii iceleyeceğiz. Bu üçgeler birbiriyle bezer değildirler, bu edele de oları karşılıklı kearlarıı oraları BC DC da birbirie eşit değildir, yai. Ayısı diğer kearlar içi de geçerlidir. Demek ki AC AC 94

99 açısıı değişimi bu oraları değişmesii etkilemektedir. Bua göre, bir dik üçgede iki kearıı oraı bu üçgei dar açısıı büyüklüğüe bağlı olduğuu görüyoruz. Dar açısı verilmiş ola bir dik üçgei kearlarıı oraı belirtilebilir ve tersie, yukarıdaki oralarda herhagi birii oraı verildiğide üçgei dar açısıı büyüklüğüü belirtebiliriz. Demek ki, dik üçgede dar açılar ve kearlar arasıdaki oralar arasıda belli bağıtılar vardır, yai foksiyolar vardır. Bu edele böyle oralara özel adlar verilmiştir: Şek. 4 BC AB AC AB BC AC AC BC oraıa dar açıı siüsü deir ve si ile işaret edilir, yai si = BC AB dir; AC oraıa dar açıı kosiüsü deir ve cos ile işaret edilir, yai cos = AB dir; BC oraıa dar açıı tajatı deir ve si ile işaret edilir, yai tg = AC dir; AC oraıa dar açıı kotajatı deir ve ctg ile işaret edilir, yai ctg = BC dir; Bir dik üçgei kearları ve dar açısı arasıdaki bağıtıları ifade ede ve bu şekilde taımlaa foksiyolara trigoometrik foksiyolar deir. Bu foksiyolar şu şekilde de ifade ediliyorlar: a si ya srotiva ait karşı durumlu kateta za katet c hioteuza hioteüs b cos c rilegata ya ait yatay durumlu kateta katet za hioteuza hioteüs a tg b ya srotiva ait karşı durumlu kateta za katet rilegata ya ait yatay durumlu kateta katet za b ctg a rilegata ya ait yatay durumlu kateta katet za srotiva ya ait karşı durumlu kateta za katet 4. Şek. 5 te verilmiş ola ABCD dikdörtgeide açısıı trigoometrik oralarıı buluuz. ABC dik üçgeide şuları yazabiliriz: b a b a si, cos, tg, ctg. d d a b 5. Katetleri cm ve 4 cm ola bir dik üçge veriliyor. Buu dar açılarıı trigoometrik foksiyolarıı buluuz (şek.6). Şek.5 95

100 Pitagor teoremii uygulayarak hioteüsü belirtiyoruz. c = a + b = + 4 = 5, yai c = 5 tir. O halde si 5 4 si 5 cos cos tg 4 4 tg 4 ctg ctg. 4 Şek. 6 Trigoometrik foksiyoları siüs ve kosiüs sıfır ve dik açı içi de şu şekilde taımlaabilir: si 0 0, cos0, si, cos 0. Bezer şekilde tg 0 0, ctg, 0 fakat tg ve ctg 0 taımlı değildir. Alıştırmalar. Tabloyu defteriizde çiziiz ve dolduruuz. Steei 0 Derece 0 Radijai Radya Katetleri a ve b verilmiş ola dik üçgede açısıı trigoometrik foksiyolarıı buluuz.. a = 5, b = ;. a =, b = 5,. Kateti a ve hioteüsü c verilmiş ola dik üçgede açısıı trigoometrik foksiyolarıı buluuz. 4. a = 8, c = 0; 5. a = 9,8, c =, Bazı Açıları Trigoometrik Foksiyolarıı Değerlerii Hesalaması Geometride birçok ödevleri çözerke 0, 45 ve 60 açılarıı trigoometrik foksiyolarıı değerleride yararlaıyoruz. Bu gibi foksiyoları trigoometrik foksiyolarıı değerlerii hesalamak içi, tümler açıları özellikleride de yararlaacağız. 96

101 Hatırlayalım: Tolamı 90 0 ola açılara tümler açılar deir. Dik üçgede iki dar açı tümler açılardır. Niçi? ABC üçgeide (şek.7) açısı dar açılarda biri ise açısı ou tümleyeidir. açısı radyalarla verildiğide açısı ou tümleyeidir. Daha da, a kearı açısıa karşı katettir ve açısıa yatay katetttir, b kearı ise açısıa yatay katettir ve açısıa karşı katetttir. Bua göre, ve açılarıı trigoometrik foksiyoları içi ( 0 0 ve 0 0 ) aşağıdakiler geçerlidir: Şek. 7 a b a b si cos, cos si, tg ctg, ctg tg, od c c b a si cos(90 ), cos si(90 ), tg ctg(90 ), ctg tg(90 ).. Örek, 70 0 = si( ) = si 0 0 ; si 0 0 = cos( ) = cos80 0 ; tg ctg ctg ; ctg tg tg Kear uzuluğu birim ola ABC eşkear üçgeii iceleyelim (şek.8). A köşeside idirile AD yüksekliği, ayı zamada üçgei A köşeside geçe açı ortayı ve BC karşı kearı orta dikmesidir. Bua göre, BD BC i 0 ve DAB ( CAB) (60 ) 0 0. dir. ABD dik üçgeie Pitagor teoremii uygulayarak (şek.9) AD BD AB ili veya AD. elde edilir. red Oa toa göre AD, odo yai AD. Şimdi, ABD dik üçgeide trigoometrik foksiyoları değerlerii hesalayabiliriz: si0 0 cos0 DB AB AD AB ; ; si 0 cos cos60 ; 0 si 60 ; Şek. 8 Şek. 9 97

102 DB tg 0 0 ; AD 0 0 tg 0 ctg60 ; AD ctg ; ctg 0 tg60. BD 45 0 açısıı trigoometrik foksiyoları değerlerii hesalamak içi katetleri birim ola bir ikizkear dik üçge çizeceğiz (şek.0). Bu üçgei dar açıları 45 0 dir. Pitagor teoremi gereğice, hioteüsü AB dir. Trigoometrik foksiyoları taımıda si cos45 vei tg45 ctg Şek. 0 Trigoometrik foksiyoları elde edile değerlerii bir tabloda göstrelim: Steei Derece Radijai Radya si cos tg ctg / / 0. cos45 0 cos0 0 si45 0 si0 0 ifadesii değerii hesalayıız cos45 cos0 si 45 si cos. 0 içi ifadesii değerii hesalayıız. si cos cos 0 cos60 cos si si0 si 0 cos60 98

103 Alıştırmalar. Hesalayıız: a) cos57 yi si ile ; b) si 77,77 yi cos, ile ; 5 c) c tg yi tg ile ; d) tg,087 yi ctg, Verilelerde açısıı hesalayıız: а) cos( +0 0 ) = si0 0 b) tg5 0 = ctg ( -5 0 ).. Verile ifadei değerii hesalayıız: si0 tg0 ctg45 a) si 0 cos 0 ; b) 0 ; c) v). 0 0 cos60 ctg60 tg45 4. Hesalayıız: a) cos0 cos45 si0 cos60 ; b) si tg 60 si 0 cos60. 5*. Verile ifadei değerii hesalayıız: si 0 ctg60 tg45 4si 45 a) ; 0 b) ; 0 0 c) v) 0. si 0 tg60 tg45 ctg 0 6. Verilelerde açısıı değerii hesalayıız: a) tg ; b) ctg ; c) v) si ; d) g) cos ; e) d) cos. 4.. Hesa Makiesii Kullaarak Trigoometrik Foksiyoları Değerlerii Hesalaması,, ve açıları içi trigoometrik foksiyoları değerlerii buluması kolay 6 4 olduğuu gördük. Fakat herhagi açı içi trigoometrik foksiyoları değerlerii bu şekilde buluması mümkü değildir. Böyle durumlarda değerleri tablolar yardımıyla ya da hesa makiesi kullaarak belirtiyoruz. Hesa makielerii çoğuda dakikaları ve saiyeleri derecelere döüştüre ( ' '') ya da (DMS) ile işaretlemiş tuşlar vardır (degrees miutes- secods). 99

104 Öreği, açısıı derecelerle ifade etmek istersek, şu şekilde hareket edeceğiz: Hesa makieside yazdıkta sora tuşa basarız,oda sora 45 yazarak yie tuşa basıyoruz ve souda 0 yazı tuşa bastıkta sora, elde edilir. Odalık sayı biçimide dereceli bir açı verildiğide, ou derece, dakika ve saiye biçimide ifade etmek istiyorsak, herhagi bir işlemi tersii yaa ve geellikle sarı rekte ola ya da iv işaretli tuşlarda yararlaıyoruz. Odalık sayıyı yazdıkta sora, öce sarı rekte ola adı geçe tuşa basılır ve oda sora º ' '' tuşua basılır. Hesa makielerii çoğu iki durumda çalışır: Biri, deg durumu, açılar odalık sayılı derecelerle verildiğide ve rad durumu, açılar radyalarla verilmiş olduğu durumlar içi. Hesa makiesi yardımıyla verile açıları trigoometrik foksiyolarıı değerleri buluur ve tersie, verile trigoometrik foksiyou değerie karşılık gele açı buluur. Bu işlemleri şu iki örekte iceleyeceğiz:. Hesa makiesi kullaarak hesalayıız: 5 a) si 4, 0 ; b) cos ; c) tg. 6 a) Öce hesa makiesii deg durumua yai deg tuşua basarak derecelerle işlemler yaacak durumua getiriyoruz. Oda sora 4, 0 yazılır. Oda sora si, tuşua basmakla si4, 0 değeri elde edilir. 0 4, si = 0, b) Öce açısıı, odalık sayı şeklide derecelerle ifade etmeliyiz. Oda sora a) şıkkıda hareket edildiği gibi işlemler yaılır ' " ,547 ; ,547 cos = 0, c) Geel olarak hesa makiesii radya durumuda koyarız. Oda sora tuşua basarak (böylece, değerii yazmış oluyoruz) Buu 5 ile çarar 6 ile böleriz ve souda (ta) tuşua basarız. Buula isteile soucu elde etmiş oluyoruz. 5 tg 0, Hesa makiesi yardımıyla verilelerde açısıı belirtiiz. а) si = 0,748; b) cos = 0,849; c) tg =,86. a) Hesa makiesi deg durumuda getirilir. si = 0,748 değeri yazılır ve iv (ya da df tuşua basılır ve oda sora si. tuşua basılır. Elde edile souç = 4797 dir. df 00

105 0,748 iv s i = 47,97 0. Buu, derece ile ifade edersek a = elde edilir. Hesa makieside si tuşu varsa, şu şekilde hareket edilir: a) 0, 748 si = 47, ' " b) 0, 849 iv cos = 76,06 ; c), 86 iv tg = 75, ' '' ; Alıştırmalar Hesa makiesi kullaarak verile her açıı trigoometrik foksiyolarıı değerii hesalayıız: 0. a) 48 ; 0 ' " b) ; 0 c) v) 6,9.. a) ; 7 5 b).. Hesa makiesi kullaarak verilelerde açısıı belirtiiz: a) si 0, 586 ; b) cos 0,749; c) v) tg,48; ç) g) si ; d) cos ; e) ) ctg = içi, verile ifadei değerii hesalayıız: si a) si ; b) si si. 5*. Verilelerde açısıı belirtiiz: а) si = tg 0 7 ; b) cos = 5 si 0 ; c) tg = si cos Ayı Açıı Trigoometrik Foksiyoları Arasıdaki Temel Bağıtılar ABC dik üçgeide (şek.), a + b = c bağıtısıı geçerli olduğuu artık biliyorsuuz. Bu eşitlik c ile bölüdüğüde ve ya da a b c a b c c c c c 0

106 a c b c. elde edilir. a b si ve cos olduğua göre, buları so eşitlikte c c değiştirmekle Şek. si elde edilir. cos (). Örek, a = 0 0 içi eşitliği yoklayalım. si 0 + cos 4 0 si 0 cos () eşitliğide yararlaarak, herhagi bir dar açıı siüsüü, ayı açıı kosiüsüyle ifade edebiliriz ve tersie: si cos ve cos si. ifadesii sadeleştiriiz. Bu örekle () eşitliğide yararlaarak bazı ifadeleri asıl sadeleştirildiğii göstereceğiz.. 4 si olduğua göre cos yı hesalayıız. 5 cos si. cos si ( + cos) ( - si) = - cos = si. a b ABC dik üçgeide (şek.) tg ve ctg olduğuu yazabiliriz. b a Bu eşitlikleri ay ve aydalarıı c ile bölersek (c 0 c 0) a b tg c ve ctg c. () b a c c elde edilir tg ve ctg birbiriyle çarıldığıda bir eşitlik daha elde edilir: tg ctg () 4. Doğruda doğruya hesalayarak, eşitliği bir örekle doğrulayalım. 0

107 0 0 tg 60 ctg ctg = olduğua göre tg yı hesalayıız. tg olduğua göre tg elde edilir. ctg Trigoometrik foksiyoları dar açılar içi (), () ve () temel bağıtılarıda yararlaarak, bularda sadece biri bilidiği takdirde, diğer foksiyoları da değerlerii belirtebiliriz si olduğua göre cos yı hesalayıız cos si tg = olduğua göre, açısı içi diğer trigoometrik foksiyoları değerlerii hesalayıız. si tg cos si eşitliğide cos gerekir, orada da si = cos elde edilir. Diğer tarafta si + cos = ve (cos) + cos = 4cos + cos = 5cos = yazabiliriz. Orada cos ve souda cos elde edilir. Oda sora, si cos ve ctg. tg Alıştırmalar. Verilee göre diğer trigoometrik foksiyoları değerlerii hesalayıız: 5 4 a) si ; b) cos 0, 5; c) v) tg ; ç) g) ctg 0, Verile ifadeleri sadeleştiriiz: a) cos ; b) si ; c) v) cos si.. Dİsatlayıız: a) si cos tg ; ctg b) si ctg cos tg. 4. Her dar açı içi aşağıdakiler geçerlidir: b) 0

108 4 4 a) tg si tg si ; b) si cos si ; cos c) v) tg ctg; si cos 5*. Her dar açı içi aşağıdakiler geçerli olduğuu isatlayıız: si cos si cos a) ; b). cos cos si si cos si cos si cos cos olduğua göre, hesalası. 7 si cos cos olduğua göre, 4tg - si hesalası Dik Üçgei Çözümü a, b ve c bir ABC dik üçgei kearları, ve ou dar açıları olsu (şek ). O halde, = 90 0 dhe a + b = c. geçerlidir. Trigoometrik foksiyoları taımıda da, a b a si, cos, tg c c b a b a cos, si, ctg c c b Şek. geçerli olduğuu biliyoruz. Bu bağıtılarda yararlaarak, bir kear ve bir dar açı; iki kear. verildiğide üçgei temel elemalarıı (kearlarıı ve açılarıı) hesalayacağız. Bir dik üçge çözülsü deilice, elemalarda e az biri kear olmak üzere verilelere göre, tüm temel elemaları belirtilmesii alayacağız.. Hioteüsü c = 9 cm ve açısı = 4 0 verilmiş ola dik üçge çözülsü. Her iki kateti a ve b ile dar açısıı hesalamamız gerekir. Açıyı heme = = = olduğuu buluyoruz. a katetii hesalamak içi öce si4,8 0 = 0,67409 olduğuu buluyoruz, oda sora a = c si = 9 0, , yai a 6 cm elde edilir. b katetii, hioteüs 04

109 ve açısıı kosiüsüyle yardımıyla belirteceğiz, ya da Pitagor teoremide yararlaarak hesalayacağız. I. yötem.b = c cos = 9 cos4,8 0 = 9 0,786, yai b 69 cm dir. II. yötem. b cm.. Katetleri a = cm ve b = 5 cm ola dik üçge çözülsü. Üçgei hioteüsüü ve iki dar açısıı hesalamamız gerekir. Hioteüsü Pitagor teoremide yararlaarak hesalayacağız: c a b cm. a açısıı tajat foksiyou yardımıyla belirteceğiz, yai tg, 4 olduğua b 5 göre buluur. açısı içi: = , yai Kateti b = 5 cm ve açısı = 64 0 verilmiş ola dik üçge çözülsü. Ödevi koşulları gereğice üçgei diğer dar açısıı, katetii ve hioteüsüü belirtmemiz gerekir. Hesalıyoruz: = = = 6 0 ; a = b tg = 5 tg6 0 = 5 0, yai, a 6 cm dir. b = c si eşitliğide b 5 5 c, ya da c 59 cm olduğuu buluyoruz. si si 64 0, Kateti a = 7 cm ve hioteüsü c = 48 cm verilmiş ola dik üçge çözülsü. α ile β dar açıları ve b kateti hesalası. a 7 si 0,7708 olduğuda 50, elde edilir, orada da c 48 buluur. = dir. b = c si = 48 si ,6704, yai b cm olduğuu buluyoruz. Dik üçgei çözümü, geometride ve gülük hayatta çeşitli roblemleri çözümüde büyük uygulamaları vardır. Bu uygulamaları birkaç örekle göstereceğiz. 5. Bir dar açısı = 66 0 ve bir köşegei d = 4 cm ola eşkear dörtgei kearıı hesalayıız. A köşesideki açı ve ayı köşede çizile köşege d verilmiş olsu (şek.). ABS dik üçgeide: 05

110 d a cos ; cos 0,886 0 a cos ; a 0cm. Şek. Şek.4 6. İçte teğet çemberii yarıçaı r = cm verilmiş ola düzgü altıgei kearıı hesalayıız. Şek. 4 te ABCDEF düzgü altıgei çizilmiştir. ABO üçgei eşkeardır. BON açısı 0 0 dir. NBO dik üçgeide a r tg0 0,5775 6,98 ; a,85cm. elde edilir. 7. Bir ırmağı iki farklı tarafıda bulua A ve B oktaları arasıdaki uzaklığı hesalayıız (şek.5). A oktasıda BAM dik açısıı çiziyoruz. Bu açıı köşesii C ile işaret ettikte sora ACB açısıı ölçüyoruz. Elde edile açıı büyüklüğü = 49 0 olsu. A ve C oktaları arasıdaki uzaklığı ölçüyoruz; bu uzaklık d = 8 m olsu. O halde: 0 AB d tg 8tg49 8,507, AB m. Şek. 5 Alıştırmalar Verilelere göre ABC üçgeii çözüüz:. a) 6, 0, c 68cm; b) 5,8 0, c,cm; c) v) 65,4 0, a,5cm.. a) 8 0, b 46cm; 0 ' b) 48 0, b 74,7 cm; c) v) 4 0, a 5,5cm.. a) a 0cm, c 0cm; b) a 5,5 cm, b 8cm; c) v) b,9 cm, c 4,5cm. 06

111 4. Bir çemberi yarıçaı cm ve bir AB kirişi 0 cm dir. AOB açısıı ölçüsüü (büyüklüğüü) hesalayıız. 5. Bir ikizkear yamuğu yüksekliği 6cm, tabaları uzulukları ise 4cm ve 0cm dir. Yamuğu açılarıı hesalayıız. 6*. A oktasıda 4000m dikey yükseklikte bir uçak buluuyor. O ada uçakta 7 0 deresyo açısıyla alada B oktası görülüyor. Uçak B yeride e kadar uzaklıktadır ve A ve B oktaları arasıdaki uzaklık e kadardır? 4.6. Kou Pekiştirme Alıştırmaları. Verile açıları, derece, dakika ve saiye ciside ifade ediiz: а) 4,4 0 ; b) 8,7 0 ; c), Verile açıları derece olarak ifade ediiz: а) ; b) ; c) Verile açıları radyalarla ifade ediiz: а) 5 0 ; b) ; c) Radyalarla verilmiş ola açıları derecelere döüştürüüz: 7 а) ; b),7; c) 0, Verile ifadei değerii hesalayıız: si0 cos0 tg45 a) ; 0 0 b) ; 0 c) v) 5ctg60 tg0 cos 0 tg ctg, za 0. cos 6. Verilelerde α açısıı belirtiiz: a) si = cos65 0 ; b) cos = si ; c) si( ) = si50 0 ; d) tg(-5 0 ) = ctg(+ 5 0 ). 7. Trigoometrik foksiyolarıda biri verildiğie göre diğer trigoometrik foksiyoları değerlerii belirtiiz: 4 7 a) si ; b) cos ; c) v) tg ; d) g) ctg

112 8. Verile ifadei değerii hesalayıız: a) 4tg 5cos, ako si ; b) 5 si cos cos si, ako tg. 9. Verilelere göre ABC üçgeii çözüüz: а) = 6 0, c = 68; b) = , a = 450; c) = , b = 0,6; d) a = 0, c = 0; e) b =,9, c = 4,5. 0. Bir ikizkear yamuğu tabaı a, ya kearı c ve tabaıa ait açısı açısı verilmiştir. Yamuğu diğer tabaıı ve yüksekliğii hesalayıız: *. Hareket ede bir vaurda deiz feeri 5,6 0 açıyla gözükür. Vaur, karaya 050 m yaklaşıca bu açı, 0 olur. Deiz feeri suyu yüzeyide hagi yüksekliktedir? 08

113 Kou Özetleri Bir derece ( 0 ) açıları ölçülmesi içi, büyüklüğü tam açıı kısmı olarak taımlamış ölçü birimidir. Derecede küçük birimler, derecei ola bir dakika ( ) ve dakikaı ola ya da tam açıı kısmıa eşit ola bir saiye ( ) dir. 600 Yayıı uzuluğu yarıçaıa eşit ola merkez açıı ölçüsüe bir radyadır deir ve rad ile işaret edilir. İki birim, derece ve radya arasıdaki bağıtı 60 0 rad formülüyle verilir. Dik üçgedeki dar açıda yararlaarak dört temel trigoometrik foksiyou taımıa geçeceğiz. hioteüs dar açı ABC üçgeide C köşesideki açı diktir, A ve B köşelerideki açışlar ise dar açılardır (şek.). A köşesideki açıyı ile işaret edersek, BC kearıa açısı içi karşı katet, AC kearıa ise komşu (yatay) katettir. Bir dik üçgei kearları ve dar açısı arasıdaki bağıtıları ifade ede ve bu şekilde taımlaa foksiyolara trigoometrik foksiyolar deir. Bu foksiyolar şu şekilde de ifade ediliyorlar: a si ya srotiva ait karşı durumlu kateta za katet c hioteuza hioteüs b cos c rilegata ya ait yatay durumlu kateta katet za hioteuza hioteüs a tg b ya srotiva ait karşı durumlu kateta za katet rilegata ya ait yatay durumlu kateta katet za b ctg a rilegata ya ait yatay durumlu kateta katet za srotiva ya ait karşı durumlu kateta za katet Aşağıdaki tabloda bazı açıları trigoometrik foksiyolarıı değerlerii gösterilmiştir: 09

114 Dereceler Steei Radyalar Radijai si cos tg ctg / / 0 açısı bir dik üçgei dar açısı olduğu durumda, aşağıdaki formüller geçerlidir: si cos tg ctg a, b ve c bir ABC dik üçgei kearları, ve ou dar açıları ise trigoometrik foksiyoları taımıda şu bağıtılar geçerlidir: a b a si, cos, tg c c b a b a cos, si, ctg c c b Bu bağıtılarda yararlaarak, bir kear ve bir dar açı; iki kear verildiğide üçgei temel elemalarıı (kearlarıı ve açılarıı) hesalayacağız. Bir dik üçge çözülsü deilice, elemalarda e az biri kear olmak üzere verilelere göre, tüm temel elemaları belirtilmesii alayacağız. 0

115 5 DÜZLEMDE DOĞRU 5.. Düzlemde Dik Açılı Koordiat Sistemi Sayı doğrusu üzeride her oktaı durumu sadece bir x reel sayısı ile tamame bellidir ve bu sayıya oktaı koordiatı deir. Bezer şekilde, koordiat sistemide yararlaarak, düzlem üzeride her oktaı durumu reel sayılarda oluşa ve oktaı koordiatları diye adladırıla bir (x, y) sıralı çiftiyle tamame belli olduğuu göstereceğiz. Dik açılı koordiat sistemi, birbirie göre dik ola ve koordiat ekseleri diye adladırıla iki eksede oluşur. İki eksei kesiştiği oktaya koordiat başlagıcı ya da oriji deir ve O ile işaret edilir. Yatay eksee x- eksei ya da asis eksei, dikey eksee ise y- eksei ya da ordiat eksei deir. Koordiat sistemii ait olduğu düzleme koordiat düzlemi deir. Geel olarak her iki koordiat ekseide ayı birim uzuluk kullaılır. Koordiat başlagıcıı sağ taraftaki yöü x- ekseii ozitif yöü, koordiat başlagıcıda yukarıya doğruya ola yö ise y- ekseii ozitif yöü sayılır. P koordiat düzlemide herhagi bir okta, M ve N oktaları ise sırasıyla x= ve y= ekselerie P oktasıı izdüşümleri olsu. M oktasıa x- eksei üzeride sadece bir tek x reel sayısı karşılık gelir. Bezer şekilde M oktasıa y- eksei üzeride sadece bir tek y reel sayısı karşılık gelir. Bua göre P oktasıı durumu reel sayılarda oluşa bir (x, y) sıralı çiftiyle tamame bellidir. Bu sıralı çifte P oktasıı koordiatları deir. Bu durumda x sayısıa birici koordiat ya da asis, y sayısıa ise ikici koordiat ya da ordiat deir ve P(x, y) biçimide işaret edilir.. P(-, 6) oktasıı birici koordiatı x = - ve ikici koordiatı ise y = 6 dır. Şek. P (x, y) oktasıı çizmek, ya da koordiat sistemide göstermek, P oktasıda geçe ve koordiat ekselerie aralel ola doğruları kesişim oktasıı belirtmek demektir.. P(,) oktasıı çiziiz. Koordiatı ola oktada x ekseie dikme çizi- Şek. lir. Bezer şekilde y- ekseide koordiatı ola oktada y- ekseie dikme çizilir. Dikmeleri kesişim oktası, araıla oktadır (şek.).

116 II dördül III dördül Şek. I dördül IV dördül Koordiat ekseleri, düzlemi dördüller deile dört kısma ayırıyorlar. I dördül olarak üst sağ kısım, II dördül üst sol kısım, III dördül alt sol kısım ve IV dördül alt sağ kısım olarak alıır. O halde herhagi bir P(x, y) oktası I- dördülde ise x > 0 ve y > 0 olur; II- dördülde ise x < 0 ve y > 0 olur; III- dördülde ise x < 0 ve y < 0 olur; IV- dördülde ise x > 0 ve y < 0 olur; y = 0 eğer okta x eksei üzeride ise; x = 0 eğer okta y eksei üzeride ise. Koordiat başlagıcı hem x hem de y üzeride olduğua göre ou koordiatları O (0,0) olur (şek.).. Verile oktaları koordiat düzlemide belirtiiz: а) A(5,); b) B(4,0); c) C(-,5); d) D(0,); e) E(-6,-); f) F(-,0); g) G, ; h) H(0,-), oda sora, biri hagi dördüle ya da eksee ait olduğuu belirtiiz. Şek. 4 a) A(5, ) oktası I dördüle aittir. b) B(4, 0) oktası x- eksei üzeridedir. c) C(-, 5) oktası II dördüle aittir. d) D(0, ) oktası y- eksei üzeridedir. e) E(-6, -) oktası III dördüle aittir. f) F(, 0) oktası x- eksei üzeridedir. g) G(, ) oktası IV dördüle aittir. h) H(0, -) oktası y- eksei üzeridedir. Alıştırmalar. Verile oktalarda her biri hagi dördüle ya da eksee ait olduğuu belirtiiz: а) A(,-4); b) B(-,); c) C(-,-5); d) D(,); e) E(-6,0) ; f) B 0, ; g) G,0 ; h) H(0,-).

117 A(,), B(-,4), C(5,-) ve D(-,-) oktalarıı :. x- eksei üzeride;. y- eksei üzeride M, N, P ve Q izdüşümlerii koordiatlarıı belirtiiz. 4. Uç oktalarıı koordiatları A(,4) ve B(5,) ola AB doğru arçasıı çiziiz. Oda sora, doğru arçasıı x- eksei ve y- eksei üzeride sırasıyla m x ve m y dik izdüşümlerii uzuluklarıı belirtiiz. (0, - ). 5*. Köşelerii koordiatları verilmiş ola ABC üçgeii çiziiz: A(, -), B(5, ) ve C 5.. İki Nokta Arasıdaki Uzaklık Bu derste, koordiat düzlemide bulua iki okta arasıdaki uzaklık roblemii aalitik yötemlerle çözeceğiz. Verile iki okta M ve M oktaları arasıdaki uzaklık, aslıda M M doğru arçasıı uzuluğudur, yai d MM dir. Öce daha basit bir durumu çözeceğiz. Uç oktalarda biri koordiat başlagıcıda olsu (şek.5). M(x,y) oktasıda x- ekseie çizile dikmei dikme ayağı N olsu. ONM dik üçgeide Pitagor teoremi gereğice d x y dir.. M(,4) oktasıda koordiat başlagıcıa ola uzaklığı e kadardır? d 4 5 elde edilir. Şek. 5 Şek. 6

118 Şimdi geel durumu iceleyelim. Aralarıdaki uzaklığı hesalaması gereke M (x, y ) ve M (x, y ) oktaları x ekseie ve y ekseie aralel olmaya bir doğruya ait olsu (şek.6). M M M dik üçgeii iceleyelim. Ou katetlerii uzulukları sırasıyla MM x x ve M M y y olduğuu yazabiliriz. O halde M ve M oktaları arasıdaki uzaklık d aslıda dik üçgei M M hioteüsüdür. Bua göre, d x x y y. M (-, ) ve M (0, -) oktaları arasıdaki uzaklığı belirtiiz. d (0 ( )) (( ) ) 9.. A(,-6), B(-, 4) ve C (, -) oktaları bir doğru üzeride olu olmadığıı yoklayıız. AB, AC ve BC doğru arçalarıı uzuluklarıı hesalayacağız. Bularda biri diğer ikisii tolamıa eşit olu olmadığıı yoklayacağız. AB ( 5) 0 5 5, AC ( ) 4 5, BC ( 6) 5. AB AC BC olduğua göre, bu üç okta bir doğru üzeride olduğuu buluyoruz Köşelerii koordiatları A(, ), B(,) ve C,. ola üçge, hagi türde olduğuu belirtiiz. 4 Üçgei AB, AC ve BC kear uzuluklarıı hesalayalım: AB 5, AC 0, BC AC BC AB olduğua göre, verile üçge ikizkear olduğuu buluyoruz. Alıştırmalar. Verile oktalar arasıdaki uzaklığı hesalayıız: а) М (,-) ve М (,6); b) M (0,) ve М (0,-); c) М (-,-) ve М (,4); d) M (,) ve M (7,0).. A(, -), B(, -5) ve C (-5, 7) oktaları bir üçgei köşeleri olu olmadığıı yoklayıız.. Asisi 7 ola B oktası, A(-, 5) oktasıda 0 birim uzaklığıdadır. B oktasıı koordiatlarıı belirtiiz. 4

119 4. A(5, 8) ve B(-, -) oktaları veriliyor. A oktasıa göre B oktasıı simetriği ola C oktasıı koordiatlarıı belirtiiz. 5*. A(, 4), B(, -9) ve C (-5, ) oktaları veriliyor. Bu oktalar bir üçgei köşeleri olduğuu gösteriiz ve B köşeside çizile kearortayıı uzuluğuu belirtiiz. 5.. Doğru Parçasıı Verile Orada Bölümesi Bir doğru üzeride ola A, B ve M (A B) oktaları içi, AM MB özelliği varsa, M oktası AB doğru arçasıı A da başlayarak B ye doğru oraıda böler.. M otası AB doğru arçasıı orta oktası ise AM MB olur, yai M oktası AB doğru arçasıı A da B ye doğru = oraıda böler (şek.7). Crt. Şek. 77. P ve Q oktaları AB doğru arçasıı AP AQ olmak üzere, üç eşit arçaya ayırıyorlar. Bu durumda AP PB ve AQ QB dir. O halde, P oktası AB doğru arçasıı A da B ye doğru oraıda, Q oktası ise oraıda böler (şek. 8). Şek. 8 İlerde M oktası AB doğru arçasıı A da B ye doğru oraıda böler diyecek yerde, sadece M oktası AB doğru arçasıı oraıda böler diyeceğiz. Bu durumda AB şeklide ifade edile doğru arçasıda A ilk ve B ikici okta olduğuu sayacağız. M oktası acak ve acak A ve B arasıda ise sayısı sıfırda büyüktür. Özel durum = ise M oktası AB doğru arçasıı orta oktası ise, acak ve acak M oktası A oktasıyla çakışırsa = 0 dır, = - ise AM MB gerekir, bu ise imkasızdır. Demek ki, - olmalıdır. sayısı sıfırda küçük ve - ise, M oktası AB doğru arçasıı dışıda AB doğrusua aittir. Uç oktaları Ax, y ve Bx, y ola AB doğru arçasıı l oraıda böle M (x, y) oktasıı koordiatlarıı belirtelim (şek.9). Şek. 9 5

120 AM MB eşitliğide x x = (x x ) ve y y = (y y ) gerekir. O halde x x x olduğu durumda q x qx x q y y y y qy y q elde edilir. Özel durumda, M oktası AB doğru arçasıı orta oktası ise, = dir ve x x x y y y elde edilir. Bu formüller orta oktaı koordiatlarıdır.. Köşelerii koordiatları A(-, -), B(6, ) ve C(-4, 5) ola üçge verilmiş olsu. Üçgei ağırlık merkezii koordiatlarıı buluuz. Ağırlık merkezi AA, BB ve CC kear ortaylarıı l = oraıda böldüğüü biliyoruz. Bu özellikte yararlaarak ağırlık merkezii koordiatlarıı belirteceğiz. xb xc 6 yb yc x A ve y A de A (, -) dir. xa xa 4 4 O halde, ya ya x T 0 ve 5 y T, olduğua göre T(0, ) olduğuu buluyoruz. Alıştırmalar. A(,-7), B(5, ) ve C(-, 0) oktaları bir üçgei köşeleridir. Kearlarıı orta oktalarıı koordiatlarıı buluuz.. A(, ), B(5, ) ve C(, -) oktaları bir üçgei köşeleridir. A oktasıda çizile kear ortayı uzuluğuu belirtiiz.. A(-, -) ve B(7, ) oktaları veriliyor. AB doğru arçasıı beş eşit arçaya böle oktaları koordiatlarıı belirtiiz. 4. A(, ) ve B(8, ) oktaları veriliyor. AB doğru arçasıı: a) : ; b) : ; c) - : ; d) - : oraıda böle M oktasıı koordiatlarıı belirtiiz. 6

121 5. Kearlarıı orta oktaları P(,-), Q(, 6) ve R(-4, ) ola bir üçgei köşelerii koordiatlarıı belirtiiz. 6*. A(a, a ), B(b, b ) ve C(c, с ) oktaları bir üçgei köşeleridir. ABC üçgeii ağırlık a b c a b c merkezi içi T,. formülü geçerli olduğuu isatlayıız Üçgei Alaı M (x, y ), M (x, y ) ve M (x, y ) oktaları verile bir üçgei köşeleri olsu. Problemi iki aşamada çözeceğiz. I. aşama. Öce, bir köşesi koordiat başlagıcıda, diğeri ise x ekseide ola üçgei alaıı belirtelim (şek.0). Bu durumda üçgei üçücü köşesi ya x eksei üstüde ya da x eksei altıda olacaktır. Üçgei alaı, tabaı ve yüksekliğii çarımıı yarısıa eşit olduğua göre, verile üçgei alaı x y P olur. Üçgei alaı ozitif büyüklük olduğua göre,x ve y ise ozitif ya da egatif sayılar olabilir. Bu yüzde oları çarımıı mutlak değeri alıır. Şek. 0 Şek. II. aşama. Geel olarak (şek.) köşeleri M (x, y ), M (x, y ) ve M (x, y ) oktalarıda ola üçgei alaı N M M N ve N M M N yamukları alalarıı tolamıda N M M N, yamuğu alaı çıkarılır. O halde 7

122 8 )]. ( ) ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( x x y x x y x x y x x y y x x y y x x y y P P elde edilir.m oktası, M ve M oktalarıyla belirlee doğruu altıda ise, üçgei alaı içi egatif değer elde edilecektir. Üçgei alaı ozitif sayı olduğua göre, elde edile değeri mutlak değeri alımalıdır. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y y x y y x y y x x x y x x y x x y P. P Üçgei alaıı hesalamak içi kullaıla bu formülde, üç oktaı bir doğru üzeride (doğrusal) olması içi şart elde edebiliriz. Üç okta bir doğru üzeride buluduğu durumda, bu oktalarla elde edile üçgei alaı sıfırdır.. Köşelerii koordiatları, A(, ), B(-, ) ve C(0, 5) ola üçgei alaıı hesalayıız. Üçgei alaı formülüde yararlaacağız. 4 ) 0( ) (5 5) ( ) ( ) ( ) ( y y x y y x y y x P Demek ki, verile üçgei alaı 4 birim karedir. Alıştırmalar. Köşelerii koordiatları A(-,), B(, 5) ve C(,-) ola üçgei alaıı hesalayıız.. P ( -,-), P (,5) ve P (6,9) oktaları bir üçgei köşeleri midir?. Koordiatları M(, -), B(, 5) ve C(, ) ola M, B ve C oktaları bir doğru üzeride olu olmadıklarıı yoklayıız. 4. Köşeleri A(0,), B(,7), C(4,4) ve D(,-) ola aralelkearı alaıı hesalayıız. 5. Köşeleri A(,4), B(5,), C(-,-5) ve D(-,) ola yamuğu alaıı hesalayıız.

123 6*. Köşelerii koordiatları A(,), B(-, -) ve C(-4,7) ola üçgede P oktası AC kearıı orta oktası olduğua göre, APB ve BPC üçgelerii alaıı hesalayıız Doğru Deklemii Açık Şekli Doğru,temel geometrik kavramı olduğua göre taımı yoktur. Buu deklemii elde etmek içi, ou bazı özellikleride yararlaacağız. Öce koordiat başlagıcıda geçe ve koordiat ekseleride farklı ola doğruu deklemii belirtelim (şek.). M(x, y) oktası, doğru üzeride koordiat başlagıcıda farklı ola herhagi bir okta olsu. M oktasıı x- ekseie dik izdüşümüü M ile, doğruu x- ekseii ozitif yöüyle oluşturduğu açıyı ile işaret edelim. Böyle durumda MM y tg oraı, M oktasıı herhagi durumu içi sabittir. Bu sabit sayı k ile işaret MO x Şek. edilir ve bua açı katsayısı ya da doğruu eğimi deir. Bua göre, bu doğruu her oktasıı koordiatları y kx. deklemii sağlamaktadır. O halde, y = kx deklemi, koordiat başlagıcıda geçe ve x- ekseii ozitif yöüyle a açısıı oluştura doğruu deklemidir. Burada k = tg a dır. açısıı oluştu- 4. Koordiat başlagıcıda geçe ve ekseii ozitif yöüyle ra doğruu deklemii yazıız. Doğru, koordiat başlagıcıda geçtiğie göre, deklemi y = kx şeklidedir. Ödevi koşulua göre, k tg tg dir. Demek ki, doğruu deklemi y = x tir. 4 Koordiat düzlemide herhagi bir doğru verilmiş olsu. Şu iki durum mümküdür: Doğru her iki eksei keser (şek.). N(0, m) oktası, doğruu y- ekseii kestiği okta olsu. Bu durumda, m ozitif ise, doğruu her oktasıı ordiatı, verile doğruya aralel ola ve koordiat başlagıcıda geçe doğruu ordiatıda m kadar fazladır ve m egatif 9

124 olduğu durumda her oktaı ordiatı m kadar küçüktür. İcelee her doğru x- ekseii ozitif yöüyle ayı açıyı oluşturur. Bua göre oları açı katsayıları birbirie eşittir. Koordiat başlagıcıda geçe doğru y = kx deklemiyle verildiğie göre, verile doğruu deklemi y kx m, Şek. olur. Burada k verile doğruu eğimidir, m ise y- ekseide kestiği doğru arçasıdır. Elde edile dekleme doğruu açık şekli deir, doğruya ise açık şekilde verilmiştir deir.. M(,-) ve N(5, 6) oktalarıda geçe doğruu deklemii yazıız. Ödevi koşulua göre M(,-) ve N(5, 6) oktaları doğruya ait oktalardır. O halde k m oları koordiatları y = kx + m deklemii sağlar. Bu şekilde sistemi elde edilir. 6 5k m Buu çözümü k = ve m = -9 elde edilir. Demek ki doğruu araıla deklemi y = x 9 dur. Doğruu açık şekilde verildiğide, eğimii ve y- ekseide kestiği doğru arçasıı öemii göz öüde buludurarak şu souçlara varabiliriz: a. İki doğru, acak ve acak aralel oldukları durumda eğimleri birbirie eşittir; b. İki doğru ordiat ekseide eşit doğru arçaları keser, acak ve acak her ikisi ordiat ekseii ayı oktada keserse. Doğru x- ekseiyle araleldir ya da çakışır (şek.4). Bu durumda doğruya ait her okta x- ekseide eşit uzaklıktadır. x- ekseide uzaklık, aslıda oktaı ordiatı olduğua göre, doğruya ait her oktaı ordiatları birbirie eşittir. Bu uzaklığı m ile işaret edersek, verile doğruu deklemi y m Şek. 4 olur. Doğruu bu durumu, öceki doğruu bir özel durumu gibi kabul edebiliriz. Doğru x- ekse- 0

125 ii ozitif yöüyle a = k, k = 0,,, açı yatığıa göre, bu durumda k = 0 olur. Buu özel durumu, x- ekseii deklemi y = 0 olur. Doğru y- ekseiyle araleldir ya da y- ekseiyle çakışık durumdadır (şek.4). O halde doğruya ait her okta y- ekseide eşit uzaklıktadır. Bir oktaı y- ekseie uzaklığı, aslıda ou asisi olduğua göre, doğruya ait her oktaı asisleri birbirie eşittir. Bu uzaklığı a ile işaret edersek, verile doğruu deklemi x a olur. Buu özel durumu, y- ekseii deklemi x = 0 olur.. Koordiat düzlemide, x = ve y = doğrularıı durumu asıldır? x = doğrusu, y- ekseie araleldir ve ou her oktası y- ekseie birim uzaklıktadır. y = doğrusu, x ekseiyle araleldir ve her oktası x- ekseide birim uzaklıktadır. Alıştırmalar. M(-, ), N(, ) ve P(, ) oktaları y = - x + 4 doğrusua ait olu olmadıklarıı yoklayıız.. Koordiat başlagıcıda geçe ve x- ekseii ozitif yöüyle а) a) ; b) ; c) v). 4 4 açı oluştura doğruu deklemii belirtiiz.. Deklemiyle verilmiş ola doğruu eğimii ve y- ekseide kestiği arçayı belirtiiz: а) y = x ; b) y = x + ; c) y = ; d) y x. de kese doğru- 4. x- ekseii ozitif yöüyle u deklemii yazıız. açı yaa ve ordiat ekseii 5. A(-, ) oktasıda geçe ve x- ekseii ozitif yöüyle = 5 0 açı yaa doğruu deklemii yazıız. 6. A(, -) ve B(-, 5) oktalarıda geçe doğruu ordiat ekseide kestiği arçayı ve x- ekseii ozitif yöüyle yatığı açıyı belirtiiz. 7*. M(, -8) ve N(-, 7) oktalarıda geçe doğruu deklemii yazıız.

126 5.6. Doğru Deklemii Geel Şekli Geçe derste, koordiat düzlemie ait bir doğruu deklemi içi x ve y değişkeli birici derece deklem elde ettik. Bu derste, x ve y değişkeli birici derecede deklemi eyi ifade ettiğii iceleyeceğiz. Bu edele: Ax + By + C = 0 () deklemii iceleyelim. A 0 ya da B 0 olduğuu farz edelim. A =B= 0 olduğu durumda eşitlik C = 0 olur. O halde C 0 durumuda koordiat düzlemide eşitliği sağlaya hiçbir okta yoktur. Fakat C = 0 durumuda düzlem üzeride her okta eşitliği sağlar. C A = 0 ise, B 0 olur ve () deklemi y deklemiyle dek olur. Bu so eşitliği B C sağlaya oktaları geometrik yeri x- ekseie aralel ola ve M 0, oktasıda geçe doğrudur. B C B = 0 ise, A 0 olur ve () deklemi x deklemiyle dek olur. Bu so eşitliği A C sağlaya oktaları geometrik yeri y- ekseie aralel ola ve N,0 oktasıda geçe A doğrudur. A C A 0 ve B 0 ise, () deklemi y x B B deklemiyle dek olur. Bu so eşitlik, A C eğimi k ve y- ekseide m doğru arçasıı kese bir doğruu açık şeklidir. B B Buraya kadar yaıla icelemelerde şu souca varabiliriz: Ax By C 0 eşitliği bir doğruu deklemidir ve oa doğruu geel şekli deir.. y x doğrusuu deklemii geel şekilde döüştürüüz. Verile deklem, 0 x y, yai x + y 6 = 0 deklemiyle dektir.. x + y -5 = 0 doğrusuu deklemi veriliyor. Bu doğruu x- ekseii ozitif yöüyle yatığı açıyı ve y- ekseide kestiği doğru arçayı belirtiiz.

127 5 Verile deklemi y ye göre çözersek verilee dek ola y x deklemii elde edeceğiz. Bu deklem aslıda düzlem üzeride ayı doğruu deklemidir. Orada k = tga = - 5 olduğua göre ve m elde edilir. 4. x y + = 0 deklemiyle verilmiş ola doğruyu çiziiz. Verile ödevi çözmek içi, doğruya ait ola iki oktayı belirtmek yeterlidir. Oda sora iki oktada sadece bir tek doğru geçtiğie göre, araıla doğruyu çizmiş oluyoruz (şek.5). x içi tahmie iki değer seçtikte sora, olara karşılık gele y değerlerii belirtiyoruz. Bu örekte, x = seçimi uygudur, çükü o değere karşılık y içi tam sayılı değer, yai y = elde edilir. Bezer şekilde x içi x = - seçersek y = 0 elde edilir. Alıştırmalar Şek. 5. Verile doğruları deklemlerii geel şekilde döüştürüüz: а) y = x - ; b) y = -4; c) x =.. Verile doğruları eğimii ve ordiat ekseide kestiği arçayı belirtiiz: а) x - y + = 0; b) 5x + y - = 0; c) x + 8y +6 = 0.. x + y - = 0 doğrusu veriliyor. Bu doğruu x- ekseii ozitif yöüyle yatığı açıyı ve y- ekseide kestiği doğru arçayı belirtiiz. 4. Deklemleriyle verilmiş ola doğruları çiziiz: а) a) y x ; b) x ; c) v) y ; d) g) y x ; e) d) y x ; f) ) x 0,5y. 5*. 0 olmak üzere, Ax + By + C = 0 ve Ax +By + C = 0 deklemleri ayı doğruu deklemi midir?

128 5.7. Doğruu Ekse Parçalarıa Göre Deklemi Ax + By + C = 0 () deklemi, koordiat düzlemide bir doğruu deklemi olduğuu gördük. Daha da, C = 0 ise, doğru koordiat başlagıcıda geçer, A = 0 ise doğru x- ekseie araleldir, B = 0 ise doğru y- ekseie araleldir. Verile doğru koordiat başlagıcıda geçmediğii, e de ekselerde biriyle aralel olmadığıı farz edeceğiz. Bu durumda deklemi katsayıları içi A 0, B 0 ve C 0 geçerlidir. () deklemii ile çararsak C Şek. 6 ya da A C x x C A B C y 0 y. C B elde edilir. x y a b C C a ve b A B koyarsak, verile deklem () deklemi elde edilir. Bu dekleme doğruu ekse arçalarıa göre deklemi deir. a ve b arametreleri geometrik alamıı iceleyelim. () deklemide öce y = 0, oda sora x = 0 koyarsak, sırasıyla x- ekseii ve y- ekseii kese P(a, 0) ve Q(0, b) oktalarıı elde edeceğiz. Bua göre a ve b sayıları mutlak değerce, doğruu sırasıyla x ve y ekseleride kestiği doğru arçalarıdır. Bulara ekse arçaları diyeceğiz.. x y 6 = 0 doğruu deklemii, ekse arçalarıa göre yazıız. Oda sora doğruu ekselerde kestiği arçaları belirtiiz. 4

129 Verile deklem, doğruu geel şeklidir. Bu deklemi ile çararsak x y x y C 6 6 deklemi elde edilir, bu ise deklemie dektir. Bu so deklem doğruu ekse arçaları ciside deklemidir ve verile dekleme dektir. x- ekseide kestiği 6 6 arça 6 birim, y- ekseide kestiği arça ise birimdir.. Koordiat ekseleri ve x 5y 0 = 0 doğrusuyla sıırlaa üçgei alaıı hesalayıız. Koordiat ekseleri birbirie dik olduklarıa göre, elde edilecek üçge de diktir. Dik köşesi koordiat başlagıcıda, katetleri koordiat ekseleri üzeride, hioteüsü ise verile doğruya ait olacaktır. Dik üçgei alaı, katetlerii çarımıı yarısıa eşit olduğuu biliyoruz. Bu katetler burada aslıda doğruu ekselerde kestiği arçalardır. O halde, doğruu deklemii ekse arçalarıa göre düzelersek verilee dek ola deklem elde edilecek- x y 5 tir. Demek ki, doğruu ekselerde kestiği arçalar 5 ve dir. Bua göre, araıla üçgei katetleri 5 birim ve birimdir. Demek ki, üçgei alaı 5 birim karedir. Alıştırmalar. Verile doğruları deklemlerii ekse arçalarıa göre döüştürüüz: а) x - y + = 0; b) y = -x +; c) y = 4x -,. k arametresii değerii o şekilde belirtiiz ki x + 5ky = 0 doğrusuu ekselerde ayırdığı arçaları uzulukları tolamı 0 olsu.. k arametresii değerii o şekilde belirtiiz ki 6x + 5y k = 0 doğrusuu ekselerde ayırdığı arçaları uzuluklarıı çarımı 5 6 olsu. 4. x + y 6 = 0 doğrusuyla ve koordiat ekseleriyle sıırlaa üçgei alaıı hesalayıız. 5*. M(4, -) oktasıda öyle bir doğru çiziiz ki, koordiat ekseleriyle alaı birim kare ola üçge elde edilsi. 5

130 5.8. Nokta ve Doğru Arasıdaki Durumlar 5.8. Verile Noktada Geçe Doğru Demetii Deklemi M(x, x ) oktası koordiat düzlemide sabit bir okta olsu. Verile bu oktada M merkezli doğru demeti diye adladırıla sosuz çok sayıda doğru geçer (şek.7). M oktasıda geçe her doğruu geel deklemi Ax + By + C = 0 biçimidedir. M oktası bu doğruya ait olduğua göre, koordiatları doğruu deklemii sağlar, yai Ax + By + C = 0. Elde edile deklemi biriciside çıkarırsak: Şek. 7 x x ) B( y y ) 0 A ( elde edilir. M oktasıı koordiatları deklemi sağladığıa göre, bu şekilde ola her deklem, M oktasıda geçe doğruu deklemidir. A ve B katsayılarıa farklı değerler vermekle, M oktasıda geçe farklı doğrular elde edilecektir. Demete ait ola doğrular arasıda bir taesi y- ekseie araleldir. Ou deklemi x = x dir. Sadece bu doğruu açı katsayısı ve ordiat ekseii kestiği arçası yoktur. O halde bu doğru açık şekilde ifade edilemez. M oktasıda geçe diğer doğrularda her biri y = kx + açık şekilde ifade edilebilir. M oktası bu doğruya ait olduğua göre, koordiatları doğruu deklemii sağlar, yai y = kx + geçerlidir. Elde edile deklemi, ilkide çıkarıyorsak, y y k( x ) x deklemi elde edilecektir. Bu şekilde ola her deklem M oktasıda geçer. k katsayısıı farklı değerlerii değiştirmekle, y ekseie aralel ola doğru hariç olmak üzere, M oktasıda geçe farklı doğruları deklemleri elde edilecektir. 6

131 . M (-, ) oktasıda geçe ve x- ekseii ozitif yöüyle a = 5 0 açı yaa doğruu deklemii yazıız. Merkezi M oktası ola doğru demetii deklemi y = k(x + ) tür. Doğru demetie ait araıla bu doğru x- ekseii ozitif yöüyle a = 5 0 açı yatığıa göre, ou açı katsayısı k = tg 5 0 = - dir. O halde araıla doğruu deklemi y = - (x + ), ya da x + y + = 0 olur İki Noktada Geçe Doğruu Deklemi Bir oktada geçe doğru demetii deklemide yararlaarak, iki oktada geçe doğruu deklemii kolay belirtebiliriz.. M (-, 5) ve M (8, -) oktalarıda geçe doğruu deklemii yazıız. M oktasıda geçe doğru demetii deklemi y 5 = k (x + ) dir. Araıla doğru M oktasıda geçtiğie göre, koordiatları doğruu deklemii sağlayacaktır, yai - 5 = k(8+) geçerlidir. Orada da k elde edilir. Bua göre, araıla doğruu deklemi 5 y5 x, ya da x + 5y = 0 olduğuu buluyoruz. 5 İcelee örek, herhagi iki oktada geçe doğruu deklemii belirtmek içi bir yol göstermektedir. M (x, y ) ve M (x, y ) oktaları verilmiş olsu (şek.8). Verile oktalarda geçe M M doğrusuu deklemii belirtelim. x = x ise, M M doğrusu y- ekseie göre diktir ve deklemi x x olur. x x ise, M merkezli doğru demetii deklemi y y = k (x x ) dir. M M doğrusu M oktasıda geçtiğie göre, ou koordiatları deklemi sağlar ve y y = k (x x ) elde edilir. Bua göre M M doğrusuu açı katsayısı (eğimi) Şek. 8 7

132 k y x y x. olduğuu buluyoruz. k içi elde edile bu değeri, yukarıdaki doğru demetii deklemide değiştirirsek iki oktada geçe doğruu deklemii elde edeceğiz: y y y y ( x ) x x x İki oktada geçe doğruu deklemide, üç oktaı doğrusal olma koşuluu bulabiliriz. M (x, y ) oktası M ve M oktalarıda geçe doğruya ait olmak içi, ou koordiatları verile doğruu deklemii sağlamalıdır, yai y y y ( x ) y x x x formülü elde edilir Verile Bir Noktada Verile Doğruya Uzaklık Şimdi, düzlem üzeride verile bir oktada verile bir doğruya uzaklığı asıl hesaladığıı görelim. Bir oktada verile bir doğruya uzaklık, aslıda o oktada geçe ve verile doğruya dik ola doğruyla kesişim oktasıa kadar uzaklıktır, ya da diğer sözlerle oktasıda verile doğruya iile dikmei uzuluğu olarak taımlaır. Doğruu deklemi Ax + By + C = 0 geel şekilde verildiği durumda, deklemi M ormlaya çaraıyla çarmamız gerekir. Bu çaraı işareti C katsayısıı işaretiyle terstir. O halde verile oktada A B verile doğruya uzaklığı belirtmek içi verile doğruu deklemi A B C x y 0, A B A B A B biçimide yazılır. Noktaı koordiatları değiştirilir ve elde edile ifadei mutlak değeri alıır. Souç olarak d Ax By C A elde edilir. B. A(, ) ve B(-, 4) oktalarıda 4x y + 5 = 0 doğrusua uzaklığı belirtiiz.verile oktada verile doğruya uzaklığı belirtmek içi, doğruu deklemii M. çaraıyla çaracağız. Bu çaraı A B A B 5 8

133 işareti, C katsayısıı işaretiyle ters olduğua göre M olur. O halde doğruu deklemi x y 0 elde edilir. Şimdi, verile oktaı koordiatlarıı değiştirmekle d 4 4. elde edilir. Mutlak değeri almada öce d i işareti egatif olduğua göre, A oktası ve koordiat başlagıcı doğruu ayı tarafıda buluur Bezer şekilde B oktası içi de d ( ) 4. elde edilir. Bu durumda 5 5 mutlak değeri almada d i işareti ozitif olduğua göre, okta ve koordiat başlagıcı doğruu ters taraflarıda buluur. Alıştırmalar. Verile oktada geçe doğru demetii yazıız. а) M(,-); b) M(-,4).. M (-, ) oktasıda geçe ve eğimi k = - ola doğruu deklemii yazıız.. M (4, -7) oktasıda geçe ve x ekseii ozitif yöüyle a = 0 0 açı yaa doğruu deklemii yazıız. 4. Verile oktalarda geçe doğruu eğimii belirtiiz: a) M (-, 4) ve M (4, -) ; b) M (0, -) ve M (-, ) ; c) M (, 4) ve M (-, 4) ; 5. M (-, 4) ve M (4, -) oktalarıda geçe doğruu deklemii yazıız. 6. M (0, ), M (, 6) ve M (-, 4) oktaları ayı doğruya ait midir? 7. A(-5, -) oktasıda 4x + y + 0 = 0 doğrusua ola uzaklığı belirtiiz. Verile okta ve koordiat başlagıcı doğruu ayı tarafıda mıdır? 8. Koordiat başlagıcıda 9x - y + 0 = 0 doğrusua ola uzaklığı belirtiiz. 9*. M (-, ) ve N (5, 4) oktalarıda hagisi x y 5 = 0 doğrusua daha yakı olduğuu belirtiiz. 0*. C (4, ) oktasıda d = 5 birim uzaklıkta ola ve koordiat ekselerde eşit doğru arçaları kese doğruu deklemii belirtiiz. 9

134 5.9. İki Doğru Arasıdaki Durumlar İki Doğru Arasıdaki Durumlar Bir düzlem üzeride iki doğru, ya bir oktada kesişir, ya aralel ya da çakışık durumda olabilirler. Geel şekilde kedi deklemleriyle iki doğru verilmiş olsu: A x + B y + C = 0 A x + B y + C = 0. Verile deklemleri katsayıları ve yukarıda sayıla üç durum hakkıda iceleme yaacağız. Verile A x B y C 0 A x B y C 0 sistemii bir tek çözümü varsa, verile doğrular kesişir, yai oları bir tek ortak oktaları vardır. ( x 0, y 0 ) ikilisi verile sistemi bir tek çözümü olsu. () sistemii birici deklemii B ile, ikicisii ise B ile çararak taraf tarafa tolarsak, ( A B A B ) x0 ( CB CB ) 0 () elde edilir. Bezer şekilde, () sistemii birici deklemii A ile, ikicisii ise A ile çararak taraf tarafa tolarsak, ( A B A B ) y0 ( A C AC ) 0 () elde edilir. ( x 0, y 0 ) ikilisi verile sistemi bir tek çözümü olması içi, yai bir tek oktada kesişmeleri içi yeter koşul A B - A B 0 dır, yai A B, A B sağladığıda () sistemii bir tek çözümü vardır. yai doğrular bir oktada kesişir. Paydalarda biri sıfır ise, oa karşılık gele ay da sıfır olmalıdır. Bu durumda verile sistemi çözümü: BC BC AC AC x0, y0. (4) A B A B A B A B Elde edile sayılar, verile doğruları kesişim oktasıı koordiatlarıdır. Gerçekte, x ve y içi (4) ifadeside elde edile değerleri () sistemide değiştirirsek, () deki deklemler özdeşliklere döüşecekler.. x y 5 = 0 ve x + y + = 0 kesişe doğrular olduğuu gösteriiz. () 0

135 y bilimeyeii yok ettikte sora 7x 4 = 0 elde edilir. Orada x = olduğuu buluyoruz. Buu birici deklemde değiştirmekle y = - elde edilir. A B - A B 0 koşulu verile doğruları kesişimi içi yeter şart olduğuu göstermek içi A B - A B = 0. durumuu iceleyeceğiz. Bu durumda verile doğruları daha bir ortak (x, y ) oktaları varsa () ve () deklemleride C B - C B = 0 ve A C - A C = 0. elde edilir. So üç eşitlikte A = A, B = B ve C = C, olacak şekilde bir reel sayısı vardır soucua varılır. Gerçekte, A ya da B sayılarıda biri sıfırda farklı ise, B 0 olduğuu B alabiliriz ve koyarsak A B B - A B = 0 eşitliğide A = A gerekir, C B - C B = 0 deklemide de C = C gerekir. Demek ki, 0 reel sayısıyla çarmakla birici doğruu deklemide ikici doğruu deklemi elde edilir. Bu ise demektir ki, verile doğrular çakışık durumdadır. O halde iki doğruu çakışık olma koşulu şu şekilde ifade edilir: A A B B, C C A B - A B = 0 ve aylarda biri C B - C B ya da A C - A C sıfırda farklı ise, () sistemii çözümü yoktur. Demek ki doğrular birbiriyle araleldir. Bua göre doğrular birbirie aralel olmak içi gerek ve yeter koşul şu şekilde ifade edilebilir: A A B B. C C. x y + 5 = 0 ve 4y 6x - = 0 doğruları birbirie aralel olduklarıı gösteriiz. 5, olduğua göre, doğrular birbirie araleldir İki Doğru Arasıdaki Açı. İki Doğruu Dik Olma Şartı Deklemleri açık şekilde verilmiş ola iki doğru verilmiş olsu: y = k x + m ve y = k x + m. Doğruları ötelemeside kesiştikleri açı φ değişmediğie göre, verile deklemlerle belirlee doğrular arasıdaki açı:

136 y = k x ve y = k x doğruları arasıdaki açıya eşit olacaktır. O halde φ = a - a dir. Deklemi her iki tarafıa tajat foksiyou uygulaırsa tg tg tg tg( ) tg tg elde edilir. tg a = k ve tg a = k ile işaret edersek k k tg k k elde edilir. Bu şekilde elde edile açı, aslıda birici doğruyu kesişim oktası etrafıda ozitif yöde ikici doğruyla çakışıcaya kadar dödürmekle meydaa gele açıdır (şek.9). İki doğruda biri y- ekseiyle aralel ise, olar arasıdaki açı olur. a, ikici doğruu x- ekseii ozitif yöüyle oluşturduğu açıdır. Şek. 9. y = x ve x + y = 0 doğruları arasıdaki açıyı belirtiiz. Birici doğruu eğimi k =, ikicisii ise k = - tür. k k O halde, tg, elde edilir. Orada da elde edilir. k k ( ) 4 Doğrular birbirie dik olduğu durumda k tg tg ctg, dir. O tg halde k elde edilir. Bua göre iki doğruu dik olma şartı k k. k dir. İki doğruda biri y- ekseie aralel ise, bular birbirie diktir, acak ve acak diğeri x- ekseie aralel ise.. M (-, ) oktasıda geçe ve x y + = 0 doğrusua dik ola doğruu deklemii belirtiiz. M oktasıda geçe doğru demetii deklemi y + = k (x - ) dir. Bu demette

137 verile doğruya, yai y = x doğrusua dik ola doğruyu belirtmemiz gerekir. Dik olma şartıa göre, k elde edilir. Bua göre, araıla doğruu deklemi x + y + = 0 olduğuu buluyoruz. Doğrular, geel deklemleriyle A x + B y + C = 0 ve A x + B y + C = 0 verildiği durumda k ve k eğimlerii A, B, A ve B katsayılarıyla ifade ederke k A A ve k B B elde edilir. Orada, iki doğru arasıdaki açı içi A B A B tg za A A BB 0 ve i ise za A A BB 0. A A BB dir. Doğrular geel şekilde verildiği durumda, iki doğruu dik olma şartı A A BB 0 olur. Alıştırmalar. Verile doğrularda hagileri kesişe, hagileri aralel, hagileri ise çakışık durumdadır. Doğrular kesiştikleri durumda, kesim oktasıı buluuz: a) x - y + = 0 ve x + 5y - = 0; b) x + y - 7 = 0 ve 6x + y + = 0; c) x - y + = 0 ve 6x - y + 9 = 0;. Verile doğruu koordiat ekseleriyle kesişim oktalarıı buluuz. a) x + 0y - 5 = 0 b) x - y + = 0;. A (-, ) oktasıda geçe ve 5x 6y + 7 = 0 doğrusua aralel ola doğruu deklemii belirtiiz. 4. x y + 7 = 0 ve x + y + 0 = 0 doğruları arasıdaki açıyı hesalayıız. asçısıı oluştura doğru A (-, 8) oktasıda geçe ve y = - 5 doğrusuyla u deklemii belirtiiz. 6*. A (, 5) oktasıda geçe ve x 5y + 8 = 0 doğrusuyla doğruu deklemii belirtiiz. asçısıı oluştura 4

138 5.0. Kou Pekiştirme Alıştırmaları. Köşelerii koordiatları A (-5,5), B (7,-) ve C (,) ola ABC üçgei çevresii hesalayıız.. AB doğru arçasıı oraıda böle M oktasıı koordiatlarıı belirtiiz: a) A(0,), B(-,-5) ve ; b) A(-,-5), B(,5) ve. A(, ), B(-, ) ve C(, 0) oktaları bir doğru üzeride buluuyorlar. A oktası CB doğru arçasıı oraıda bölerse, belirtilsi. 4. Köşelerii koordiatları A(0,0), B(,-) ve C(,5) ola ABC üçgei alaıı hesalayıız. 5. M (-7,) ve M (,-5) oktalarıda geçe doğruu deklemi. 6. A(,9), B(--,) ve C(-5,-) oktaları bir doğru üzeride olduklarıı isatlayıız. 7. A(-,-), B(,) ve C(-,4) oktaları veriliyor. ABCD bir aralelkear olacak şekilde D oktasıı koordiatlarıı belirtiiz. 8. M (,) oktasıda d doğrusua uzaklığı belirtiiz: а) х + 4у - 5 = 0; b) х - 5у + 4 = Köşelerii koordiatları A(,), B(5,4) ve C (,4) ola ABC üçgei kearortaylarıı deklemlerii yazıız. 0. ABC üçgei veriliyor: a) A(-8,), B(,) ve C(-5,-) olduğua göre, T ağırlık merkezii belirtiiz; b) A(-4,8), B(,-7) ve C (7,5) olduğua göre, H otosatarıı (yükseklikleri kesişim oktasıı) belirtiiz;. M oktası x y + 5 = 0 doğrusua göre N (,) oktasıı simetriğidir. M oktasıı koordiatlarıı belirtiiz. *. Bir karei iki kearı 5x y 65 = 0 ve 5x y + 6 = 0 doğruları üzeridedir. Karei alaıı hesalayıız. *. M(-,8) oktasıda geçe ve koordiat ekseleriyle alaı P = 6 birim ola üçgei oluştura doğruu deklemi yazılsı. 4*. Köşelerii koordiatları A(-,), B(,4) ve C(,-) ola ABC üçgei yüksekliklerii eğimii belirtiiz. 4

139 Kou Özetleri Dik açılı koordiat sistemi, birbirie göre dik ola ve koordiat ekseleri diye adladırıla iki eksede oluşur. İki eksei kesiştiği oktaya koordiat başlagıcı ya da oriji deir ve O ile işaret edilir. Yatay eksee x- eksei ya da asis eksei, dikey eksee ise y- eksei ya da ordiat eksei deir. Koordiat sistemii ait olduğu düzleme koordiat düzlemi deir. P oktasıı durumu reel sayılarda oluşa bir (x,y) sıralı çiftiyle tamame bellidir. Bu sıralı çifte P oktasıı koordiatları deir. Bu durumda x sayısıa birici koordiat ya da asis, y sayısıa ise ikici koordiat ya da ordiat deir. Koordiat ekseleri, düzlemi dördüller deile dört kısma ayırıyorlar. I dördül olarak üst sağ kısım, II dördül üst sol kısım, III dördül alt sol kısım ve IV dördül alt sağ kısım olarak alıır. Koordiat düzlemie ait M ve M oktaları arasıdaki uzaklık d, şu formülle hesalaır: d x x y y Uç oktaları A(x, y ) ve B(x,y ) ola AB doğru arçasıı oraıda böle M (x, y) oktasıı koordiatları şu formüllerle hesalaır: x x x olduğu durumda q x qx x q y y y y qy y q formülleri kullaılabilir. Özel durumda, M oktası AB doğru arçasıı orta oktası ise, = dir ve x x x y y y elde edilir. Bu formüller orta oktaı koordiatlarıdır. M (x, y ), M (x, y ) ve M (x, y ) oktaları verile bir üçgei köşeleri ise, alaı şu formülle hesalaır: 5

140 6. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y y x y y x y y x x x y x x y x x y P P Üçgei alaıı hesalamak içi kullaıla bu formül, üç oktaı bir doğru üzeride (doğrusal) olması içi şart elde edebiliriz. Üç okta bir doğru üzeride buluduğu durumda, bu oktalarla elde edile üçgei alaı sıfırdır. Doğruu deklemi ve çeşitleri doğruu açık şekli m kx y Burada k verile doğruu eğimidir, m ise y- ekseide kestiği doğru arçasıdır. doğruu geel şekli 0 C By Ax doğruu ekse arçalarıa göre deklemi b y a x Burada a ve b sayıları mutlak değerce, doğruu sırasıyla x ve y ekseleride kestiği doğru arçalarıdır (ekse arçalarıdır). M (x, y ) oktasıda geçe doğru demetii deklemi: ( ) x x k y y M (x, y ) ve M (x, y ) gibi iki oktalarıda geçe doğruu deklemi: ( ) x x x x y y y y M (x, y ), M (x, y ) ve M (x, y ) gibi üç oktaı doğrusal olma koşulu: ( ) x x x x y y y y Verile M (x, y ) oktasıda verile Ax + By + C = 0 doğrusua uzaklık şu formülle hesalaır:

141 d Ax By C A B Ax + By + C = 0 ve Ax + By + C = 0 deklemleriyle verilmiş ola iki doğru: kesişir, acak ve acak A A B B ve bu durumda kesişim oktasıı koordiatları şu formüllerle verilmiştir: x 0 BC BC AC AC, y0. A B A B A B A B çakışıktırlar, acak ve acak A A B C, B C Paraleldirler, acak ve acak A B C. A B C y = k x + m ve y = k x + m doğruları arasıdaki φ açı şu formülle hesalaır: k k tg k k İki doğruu dik olma koşulu: k k Ax + By + C = 0 ve Ax + By + C = 0 deklemleriyle verilmiş ola iki doğru arasıdaki φ açı şu formülle hesalaır: A B tg A A A B B B Bu durumda iki doğruu dik olma koşulu: A A BB 0 olur. 7

142 8

143 6 DİZİLER 6.. Dizi Kavramı Gülük hayatta, dizi biçimide sıralamalara çok rastlıyoruz, örek bezer veya farklı eseleri dizisi. Halbuki, matematikte dizileri özel alamı vardır. Solu ve sosuz diziler vardır. Solu dizilerde, belli bir düzee göre sıralamış solu sayıda eseler ve bu durumda, hagisi birici, hagisi ikici vb. olduğuu tam olarak belli ola gizilerdir. Bir kümei beş elemaı olduğuu farz edelim. Birici elemaı a, ikici elemaı a, üçücüsüü a, dördücüsüü a 4 ve beşicisii a 5 ile işaret edeceğiz. Bu şekilde dizi a, a, a, a 4, a 5 şeklide yazılır, ya da daha kısa a, a, a, a 4, a 5 biçimide yazılabilir. Şuu da kaydedelim, a, a, a, a 4, a 5 elemaları, herhagi bir kümei elemaları olabilir. Matematikte, bu elemalar daha fazla durumlarda sayılardır (doğal, tam, rasyoel ya da reel), fakat sayı olması mecburi değildir. Örek, her söz, bir harfler dizisi sayılabilir. Bu durumda a, a, a, a 4, a 5 elemaları, bir alfabeye aittir. 5 sayısı, icelee solu dizii uzuluğudur ve uzuluk daima ayı değildir. Örek ekoomi sözcüğüü alalım. Buu yedi elemalı solu bir dizi olarak sayabiliriz. Uzuluğu 7 dir. Her solu dizi, doğal sayılar kümeside {,,,.} icelee kümeye bir eşleme olarak algılayabiliriz. Öreği ekoomi sözcüğüü bir eşleme olarak alıyorsak е, k, o, 4, 5 о, 6 m, 7 i, 8 ј, 9 а. şeklide yazabiliriz. Bua göre şu souca varabiliriz: Her solu dizi a, a, a, a 4,., a, doğal sayılar {,,,, } de icelee diziye bir eşlemedir ve bu durumda i ( i ) elemaıa karşılık gele elema i idisiyle işaret edilir, a i, b i, x i gibi. Daha da a, a, a, a 4,., a solu bir dizi, kısa olarak (a i ) biçimide işaret edilir. Birçok durumlarda sosuz dizilerle de işimiz olabilir. Oları a, a, a, a 4,. ile ya da daha kısa (a i ) biçimide işaret ediyoruz. a i elemaı i. yerde ola elemadır i,,,.... Bular geellikle bazı sayılar olduğuda ilerde reel sayılar olduğuu sayacağız. Taım. Dizi, doğal sayılar kümeside, reel sayılar kümesie bir eşlemedir. 9

144 Demek ki, dizi deilice sosuz diziyi kastedeceğiz, aksi halde solu dizi söz kousu oluca, solu dizi diye ifade edeceğiz..,, 5, 7, 9,,,.. dizisii iceleyelim. Bu durumda eşleme f () =, f () =, f () = 5, f (4) = 7, f(5) = 9, f (6) =,... biçimide taımlamıştır, buu daha kısa olarak f() =, ya da a = şeklide yazabiliriz.. a dizisii ilk birkaç terimi: a, a, 5, a,..., a 4 4 4, 5, a ,, vb. 5. a = + + dizisii ilk birkaç terimi: a = + + =, a = + + = 7, a = + + =, a4 = =, a 5 = =, vb. () 4. a dizisii ilk birkaç terimi: a, a, a, a 4 4, a 5, dir a = 8 dizisii birkaç terimi 8, 8, 8, 8,8, 8,.dir. Demek ki, idisie bağlı olmada a terimii değeri 8 dir. a terimii değeri daima sabit ola bu gibi dizilere sabit diziler deir. 6. Geel terimi a = + (-) dizisii iceleyelim. içi,,, değerler vermekle, 4,, 4,, 4,, 4, dizisi elde edilir. Alıştırmalar. Dizi edir? Solu ve sosuz dizi içi birer örek yazıız.. (a ) dizisii ilk 5 terimii yazıız: а) a) a, b) a, c) v) a, ç) g) a ().. (a ) dizisii.ci terimii belirtiiz. а) a = içi = 4, b) a = içi =, c) a = içi = Geel terimi a = (-) ola dizii, i hagi değeri içi değeri 00 dur? 40

145 5. i hagi değeri içi, geel terimi a = 4 5 dizisii terimi 999 olur? 6. Geel terimi verilmiş ola dizii dördücü terimii belirtiiz: a) a, b) a, c) v) a (), d) g) a. 7*. İlk beş terimi verilmiş ola dizileri, geel terimii ifade edecek formül belirtiiz: а), 5, 7, 9,,... b), 4, 9, 6, 5,... c),,,,,... d),,, 4, 5,... e) 4,,,, 4, Arta ve Eksile Diziler Dizileri bazı özellikleri vardır. Bu özellikler geellikle dizileri artma ve eksilme koşullarıdır. Taım. (a ) dizisi içi: her k doğal sayısı içi, a k+ > a k, () özelliği varsa, dizi kesi alamda artadır (ya da kesi alamda mooto artadır); her k doğal sayısı içi, a k+ < a k, () özelliği varsa, dizi kesi alamda eksiledir (ya da kesi alamda mooto eksiledir); her k doğal sayısı içi, a k+ a k, () özelliği varsa, artadır (ya da eksilmeyedir); her k doğal sayısı içi, a k+ a k. (4) özelliği varsa, dizi eksiledir (ya da artmayadır); Bir dizii kesi alamda arta olması içi koşul () gereğice, dizii her terimi, kedide öce gele terimde büyük olmalıdır.. Geel terimi a = ile verilmiş ola diziyi iceleyelim. a < a < a < a 4 <..., yai, < 4 < 7 < 0 <. olduğua göre, bu dizi kesi alamda artadır. Buu doğruda doğruya gösterelim: a + - a = ( +) - - [ - ] = = > 0, demek ki, her doğal sayı içi a + > a geçerlidir. Bir dizii kesi alamda eksile olması içi koşul () gereğice, dizii her terimi, kedide öce gele terimde küçük olduğuu ifade etmektedir. 4

146 . Geel terimi a ola diziyi iceleyelim. a a a a4..., yai... olduğua göre dizi kesi alamda eksiledir. Buu doğruda doğruya 4 5 gösterelim: ( ) a a 0, ( ) ( ) demek ki, her doğal sayı içi a + < a geçerlidir. Bir dizii arta ya da eksilmeye olması içi koşul () gereğice, dizii her terimi, kedide öce gele terimde büyük ya da eşit olduğuu, yai kedide öceki terimde küçük olmadığıı ifade etmektedir.. Şu diziyi iceleyelim:,,,,,,4,4,.. Bu dizii terimleri içi 4... geçerli olduğua göre, dizi eksilmeyedir. Dizi kesi alamda arta değildir, çükü ikici terimi biriciside büyük değildir, o halde daha fazla iceleme içi gerek yoktur. Bir dizii eksile ya da artmaya olması içi koşul (4) gereğice, dizii her terimi, kedide öce gele terimde küçük ya da eşit olduğuu yai kedide öceki terimde büyük olmadığıı ifade etmektedir. 4.,,,,,,,,... dizisii iceleyelim.... olduğua göre, dizi eksiledir ya da artmayadır, çükü ikici terimi biriciside küçük değildir, o halde daha fazla iceleme içi gerek yoktur. Şuu da ifade etmeliyiz ki, her dizi (), (), () ve (4) özellikleride birii sağlaması mecburi değildir. Örek, böyle bir dizi,,,,,,,,.. dir. Halbuki bazı dizilerde, bu özelliklerde hiçbiri sağlamadığıa rağme, belli bir k 0 da sora dizii terimleri (), (), () ve (4) özellikleride birii sağlayabilir. Böyle durumda, dizi kesi alamda arta, eksile, artmaya ya de eksilmeye olduğuu daha geiş alamda alaşmaya göre ifade edebiliriz ,,,,,,,,... dizisii iceleyelim. Bu dizi taım gereğice arta değildir, çükü > doğru değildir. Bu dizi daha geiş alamda artadır diyebiliriz. Çükü üçücü terimde başlayarak dizi artadır < < < < <... Bu alaşma gereklidir, çükü bize daha çok, idisii büyük değerleri içi dizii asıl olduğu ilgiledirir. 6.,,,,,,,,,,... dizisii iceleyelim. Bu dizi taım gereğice eksile değildir, fakat geiş alamda eksile olduğuu sayabiliriz, çükü altıcı 4

147 terimde başlayarak dizi eksiledir, > > > > > Alıştırmalar. Hagi diziler kesi alamda arta, eksile, artmaya, eksilmeyedir?. Kesi alamda arta, eksile, artmaya, eksilmeye diziler içi örekler yazıız.. a dizisi arta yoksa eksile midir? 4. Şu dizilerde hagisi kesi alamda arta, hagisi ise eksiledir: а) a) a, b) a, c) v) a, d) g) a 5, e) d) ( ) a 5, 5. a) Bir dizi ayı zamada hem arta, hem de eksile olabilir mi? b) Sabit dizi, arta yoksa eksile midir? 6. a ozitif sayısıı hagi değeri içi a a dizisi: a) arta; b) eksile; c) sabittir? 6.. Aritmetik Diziler Bu başlıkta, iki özel dizide bahsedeceğiz: Aritmetik diziler ve geometrik diziler. Doğal sayılarda oluşa,,, 4, 5, 6, 7, diziyi iceleyelim. Bu dizide = = 4 =.ya da geel olarak iki ardışık terimi farkı daima eşittir. Bu özellikte yararlaarak şu taımı kabul edeceğiz. Taım. Bir (a ) diziside iki ardışık terimi farkı a + - a daima sabit kalıyorsa, yai doğal sayısıa bağlı değilse, ya da a + - a = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (a ) dizisie aritmetik dizisi deir. d sayısıa ortak fark deir. Aritmetik dizileride daha birkaç örek iceleyelim. 4

148 . -4, -,, 5, 8,, 4, dizisi aritmetik dizidir. Çükü her terim kedide öceki terime katmakla elde edilir, yai = -, - + =, + = 5, 5 + = 8, 8 + =,.... Bu durumda d = tür.. 5,,, -, -, -5, -7, dizisi aritmetik dizidir. Çükü her terim kedide öceki terime - katmakla elde edilir, yai 5 - =, - =, - = -, - - = -, - - = -5,.. Bu durumda d = - dir.. 6, 6, 6, 6, 6, 6. dizisi aritmetik dizidir. Çükü her terim kedide öceki terime 0 katmakla elde edilir. Bu durumda d = 0 dır. Aslıda her sabit dizi aritmetik dizidir. Şuu fark edebiliriz, bir aritmetik dizisii ilk terimi ve ortak farkı verildiğide, dizii tüm terimlerii bulabiliriz. Buu aşağıdaki şekilde yaacağız: a = a + d a = a + d = a + d + d = a + d a 4 = a + d = a + d + d = a + d a 5 = a 4 + d = a + d + d = a + 4d a 6 = a 5 + d = a + 4d + d = a + 5d... Bu yötemi devam ederek a k. terimi içi a k = a + (k - )d. () elde edilir. Bu aslıda dizii geel terimi içi isteile formüldür. Gerçekte k = içi a = a dir, a içi yie ayısı elde edilir: k+ a k = a k + d = a +(k) d + d = a + kd. Bua göre şu souca varılır: Her doğal sayı k içi şu formül geçerlidir: a ( k ). a k d 4. Bir ayakkabı fabrikasıda ilk yıl çift ayakkabı üretilmiş ve her gele yılda 000 çift ayakkabı içi üretim artmıştır. Fabrika kuruluşuda sekizici yıl souda kaç çift ayakkabı üretmiştir? a k ile, fabrikaı kuruluşuda k cı yılı üretimii işaret edelim. Yıllara göre üretim miktarları bir aritmetik dizisii oluşturdukları açıktır. Dizii ilk terimi a = ve ortak fark d = 000 dir. k = 8 içi () formülüde yararlaarak a 8 = a + (8 - )d = = 7000 elde edilir. Demek ki, fabrikaı kuruluşuda sekizici yılıda çift ayakkabı üretilmiştir. 44

149 5. Bir aritmetik dizisii ilk terimi 8, 5. terimi ise 50 dir. Ortak fark d e kadardır? () deklemii d ye göre çözersek: a a d k. k elde edilir. Verile değerleri formülde yerie koyarsak a a d k. k 5 4 elde edilir. 6. Bir aritmetik dizisii ilk terimi, ortak farkı d = - dir. Dizii hagi terimi - 9 olduğuu buluuz. () deklemii k ya göre çözersek: a a k k. d elde edilir. Verile değerleri formülde yerie koyarsak a a 9 ( ) 9 6 k k 9. d elde edilir. Demek ki, dizii dokuzucu terimi 9 olur. k içi çözüm, acak doğal sayı olduğu durumda kabul edilebilir. Alıştırmalar. 50 ci tek sayı hagi sayıdır?. 75. çift sayıyı hesalayıız.. Ortak farkı, ve 85. terimi 70,8 ola aritmetik dizisii ilk terimi belirtilsi. 4. Verile dizilerde hagileri aritmetik dizisidir: а), 8, 4, 0, 6,...,6-4,... b), 8, 7, 8,,... c) 9,4, -, - 6, -,...,4-5,... d),, 4, 8, 6,..., -,...? 5. Bir iş örgütüü Ocak 000 yılıda borcu EUR olmakla, her gele yılda borç 500 EUR azalmıştır. Kaç yıl sora borç 000 EUR kalmıştır? 6*. Bir aritmetik dizisii beşici terimi, o ikici terimi ise tür. Aritmetik dizisii ilk terimi ve ortak farkı e kadardır? 45

150 7. -,, 5, 9,, 7, aritmetik diziside çift idisli yerlerdeki sayıları silersek, asıl dizi elde edilecektir? 8*. Baka hesabıda bir miktar arası ola Yusuf, her ay ayı miktar ara hesabıa yatırıyor. Tasarruf yamaya başladıkta 6 ay sora, Yusuf u dearı, 7 ay sora ise 8500 dearı olmuştur. Tasarrufa başlamada öce Yusuf u baka hesabıda kaç arası varmış ve her ay baka hesabıa e kadar ara yatırmıştır? 6.4. Aritmetik Dizileri Özellikleri A. Şu öreği iceleyelim.., 4, 7, 0,, 6 solu aritmetik dizisi içi: +6 = 4 + = 7 +0 = = + 4 = 6 + geçerlidir. Geel olarak, a, a, a,..., am,..., a, a, a Şu çiftleri iceleyelim: (. a ; a ), a ; ), a ; ),..., a ; ),..., a ; a ), ( a ( a ( m a m solu aritmetik dizisi verilmiş olsu: ( burada idisleri tolamı + dir ( + = +, + ( -) = +, + ( - ) = +m + ( - m +) = +,...). Bu çiftlere a ve a uç terimlerde eşit uzaklıkta ola terimler deir. a m a ( m ) d ve a m a ( m) d : olduğua göre, oları tolamı a a a ( m ) d a ( m) d a a ( d a a. m m ) Bu tolam, m sayısıa bağlı olmadığıı görüyoruz. Yai, m =,,,. içi, am a( m) a a, dir. Buula şu özelliği isatlamış oluyoruz: 0. Her aritmetik diziside, uç terimler a ve a de eşit uzaklıkta ola terimleri tolamı uç terimleri a + a tolamıa eşittir.. 5, 7, 9,,, 5, 7, aritmetik dizisii iceleyelim. = 5 içi ( 0 ) özelliği 5 + = 7 + = = + 7 = + 5 (= 8), = 6 içi ise bu özellik 5 +5 = 7 + = 9 + = + 9 = + 7 = (= 0). 46

151 . Örek deki diziyi iceleyelim. Dizii ikici terimi (7), ilk (5) ve üçücü (9) terimi aritmetik ortası olduğuu; Üçücü terimi (9), ikici terim (7) ve dördücü terim () aritmetik ortası olduğuu fark edebilirsiiz. Bu özellik geel olarak da geçerlidir. 0 Vo roizvola aritmeti~ka rogresija, a m e aritmeti~ka sredia od 0. Her aritmetik diziside a m terimi a m- ve a m+ terimlerii aritmetik ortasıdır, yai < m a a a m i a m, odoso za m va`i m a a m içi m a a m m. dir. m. B. Çok kez, ilk terimi a ve ortak farkı d ile verilmiş ola bir aritmetik dizisii ilk terimii tolamıı belirtmek gerekir. Araıla tolamı S ile işaret edeceğiz. S a a a... a. Bu tolamı ters yöde yazarsak geçerli olduğuu fark edebiliriz Bu iki deklemi taraf tarafa tolamakla: S ( a a... a) ( a a... a) ( a a) ( a a)... ( a a). elde edilir. a a a a a a a4 a... olduğua göre, S = (a + a ), elde edilir. Orada da S ( a ) a. () elde edilir. Bu formülde a = a + ( - )d değiştirmekle S [a ( ) d]. () formülü elde edilir. Bu formül, bir aritmetik dizisii araıla ilk terimii tolamıdır. Formül a, d, ve S büyüklükleri arasıdaki bağıtıyı göstermektedir ve bu büyüklüklerde herhagi biri bilimediğide diğer üç bilie büyüklükle belirtilebilir.. İlk tek sayıı tolamıı hesalayıız. () formülüde a = ve d = ile değiştiriyoruz: S [a ( ) d] ( ( )) ().. Bir ayakkabı fabrikasıda ilk yıl çift ayakkabı üretilmiş ve her gele yılda 000 çift ayakkabı içi üretim artmıştır. Fabrika kuruluşuda sekizici yıl soua kadar tolam kaç çift ayakkabı üretmiştir? () formülüde = 8, a = ve d = 000 ile değiştiriyoruz: 47

152 8 S 8 [ ] Demek ki, ilk sekiz yılda tolam çift ayakkabı üretilmiştir. Alıştırmalar. Verile sayıları aritmetik ortalamasıı belirtiiz: a) 5 ve ; b) x + y ve x y. a a. Herhagi bir aritmetik dizisi verilmiş olsu. Değeri ye eşit ola bir terimi var olduğuu gösteriiz.. Herhagi bir aritmetik dizisii seçiiz ve am k a a mk m, ( k m ), geçerli olduğuu gösteriiz. Bu ise, a m terimi a m-k ve a m+k terimlerii aritmetik ortalamasıdır demektir. Oda sora bu özelliği geel durum içi isatlamaya çalışıız. 4. İlk çift sayıı tolamıı hesalayıız. 5. Bir aritmetik dizisii 78 terimii tolamı e kadardır: a) a = 5 ve d = ; b) a = - ve d =? 6. İlk doğal sayıı tolamı 75 tir. e kadardır? 7*. a 7 + a = a 5 + a 0 geçerli ola bir aritmetik dizisi içi e diyebilirsiiz? 6.5. Geometrik Diziler Aritmetik dizilerde iki ardışık terimi farkı daima ayı sayı olduğuu gördük. Bu ders birimide, iki ardışık terimi bölümü daima sabit ola dizilerde söz edilecektir. Bu diziler geometrik dizilerdir. Tasarruf yatırımlarda, faizi hesalaması içi bu dizilerde yararlaılır. 48

153 Taım. q 0 olmak üzere, a, aq, aq, aq, aq 4 () biçimide (a ) dizisie geometrik dizi deir. Görüldüğü gibi, dizii her gele terimi, kedide öce ola terimi q 0 sayısıyla çarılarak elde edilir. a elemaı dizii ilk terimidir, q sayısıa ise ortak böle ya da ortak çaradır deir, çükü aq aq aq q... a aq aq dir.., 6,, 4, 48, 96, dizisi, ilk terimi ve ortak bölei ola bir geometrik dizidir (...) İlk terimi ve ortak çaraı - ola geometrik dizisii oluşturuuz. Araıla dizi :, (-), (-), (-),..., ya da, -6, 8, -54,. İlk terimi 8 ortak bölei 8 6 ola dizi: 8, 8, 6,,,,, q > ise, geometrik dizi a > 0 içi artadır, a < 0 içi ise eksiledir. 4.,, 4, 8, 6,, 64, 8, diziside a = > 0 ve q = olduğua göre dizi artadır. 5. -, -, -4, -8, -6, -, -64, -8, diziside a = - > 0 ve q = > olduğua göre dizi eksiledir. q = ise, dizi sabittir, örek: -5, -5, -5, -5, -5,.. 0 < q < olduğu durumda, geometrik dizi a > 0 içi eksiledir, a < 0 içi ise artadır. 6.,,,, 4 8 6,, 64,... diziside a = > 0 ve 7.,,,,,,, dizi artadır. q olduğua göre dizi eksiledir. diziside a = - < 0 ve q olduğua göre 49

154 q < 0 ise, dizii terimlerii işareti değişke olduğuda dizi e arta e de eksiledir. Buu, örek de görebilirsiiz. () formülüde şuları yazabiliriz: a aq, a a q, a a q 4 aq q 5 4 a4q q,,... q a () Dizii ilk terimi ve ortak çaraı bilidiğide, () formülüde yararlaarak dizii herhagi terimii belirtebiliriz. 8. a = - 6 ve 4 5 a ( 6) ( ) elde edilir. q ola bir geometrik dizisii altıcı terimi () formülü gereğice: 9. Bir geometrik dizisii dördücü terimi 6, altıcı terimi ise 458 dir. Dizii ilk terimii ve ortak böleii belirtiiz. () formülüde = 4 ve = 6 içi 6 = a q ve 458 = a q 5 deklemleri elde edilir. İkici deklemi birici deklemle bölmekle, 9 = q ve orada q elde edilir. 6 q = içi birici deklemde a 6 elde edilir. q = - içi, birici deklemde a 6 Alıştırmalar. Bir geometrik dizisii ilk iki terimi 4 ve 4 tür. Dizii beşici terimii belirtiiz.. Verile dizilerde hagileri geometrik dizilerdir: а), - 8,, -8,5... (-4) -,... b),8,7,8,...,,... c) 9,4, -, - 6, -,...,4-5,... d),,4,8,6... -,...? 50

155 Geometrik dizisi olaları ilk terimii ve ortak böleii belirtiiz.. a) İlk terimi 5 ve ortak bölei,5 ola geometrik dizii beşici terimii buluuz. b) İlk terimi,5 ve ortak bölei - ola geometrik dizii yedici terimii buluuz. 4. Duygu, yıllık %6 faiz oraıyla bakaya bir miktar ara yatırmıştır. a) Yedi yıl sora yatırdığı ara yüzde kaç artacaktır? b) Kaç yıl sora baka hesabıdaki ara aa araı e az iki katıa çıkacaktır? 5. Ali ve Bekir bir bakaya ayı miktar ara yatırmışlar. Ali, % faiz oraıyla 4 yıl içi, Bekir ise %4 faiz oraıyla yıl içi yatırmıştır. Hagisi bakada daha çok ara almıştır? 6. Sütte bakteri sayısı her saatte iki katıa artar. 4 saatte bakteri sayısı kaç defa artacaktır? 6.6.Geometrik Dizisii Özellikleri A..,, 8,, 8 solu geometrik dizisii iceleyelim olduğuu fark ediyoruz. Bu özellik, geel durumda da geçerli olduğuu göstereceğiz. a, a, a, a 4,... solu geometrik dizisi verilmiş olsu. a aq ve a a olduğuu göz öüde buludurarak q a a a aa aq aa elde edilir. Oda sora a aq aq ve a ol- q q q duğuda Bu şekilde devam etmekle elde edilir. k a ak a q ve a( k), burada da k q k a ka ( k ) aq a a k. () q a 5

156 Edeksleri tolamı + ola ( a ; a - ), ( a ; a - ), ( a 4 ; a - ), ( a k ; a -k+), (a -; a ) çiftlere, a ve a uç terimlerde eşit uzaklıkta ola terimler deir. Bua göre () eşitliği şu özelliği ifade etmektedir: 0. Her geometrik dizide, a ve a uç terimlerde eşit uzaklıkta bulua terimleri çarımı, uç terimleri çarımıa eşittir.. Şu geometrik dizisii iceleyelim:, 6, 8, 54, 6, 486, = 5 ve = 6 içi bu özelliği yoklayalım: = 5 içi, 6 = 6 54 = 8 8 = 54 6 = 6 (= 4), = 6 içi, -486 = 6-6 = 8-54 = 54-8 = 6-6 = 486- (= 97).. Örek deki diziyi iceleyelim. İkici terim (6), birici () ve üçücü (8) terimlerii geometrik ortası; üçücü terim (8), ikici terim (6) ve dördücü terim (54) sayılarıı geometrik ortası; dördücü terim (54), üçücü terim (8) ve beşici terim (6) i geometrik ortası olduğuu vb. fark edebiliriz. am Geel olarak, am ve am am q olduğua göre q ( a m) amam, t.e. a m amam. Bua göre şu özellik geçerlidir: 0. Her geometrik diziside < m içi, a m amam dir, yai a m terimi a m- ve a m+ terimlerii geometrik ortasıdır. Bezer şekilde, 0 özelliğii daha geelii ifade ede şu özelliği de isatlayabiliriz. 0. Her geometrik diziside k < m içi, terimlerii geometrik ortasıdır. a m a mk a mk, dir, yai a m terimi a m-k ve a m+k 4. ve 9 sayıları arasıda verilelerle beraber geometrik dizisi oluşturacak 5 sayı yerleştiriiz. Öce, a = ve a 7 = a q 6 de q ortak böleii belirtiyoruz. a = değerii değiştirmekle. q 6 = 9 eşitliğide q 6 = 64 ve q = ± elde edilir. q = ise, şu dizi elde edilir: 5

157 , 6,, 4, 48, 96, 9,, q = - ise, - 6,, -4, 48, -96, 9. B. Verile geometrik dizisii ilk terimii tolamıı S ile işaret edelim. aq aq... q q S a a a. () Bu deklemi her iki tarafıı q ile çarmakla Sq a q aq aq... aq a () eşitliğide () eşitliği çıkarılırsa: q a S q S a, orada S ( q ) a( q ), S. a( q ) q q. () elde edilir. Bu ise, bir geometrik dizisii ilk terimii tolamıı ifade ede formüldür. Formülde a, q, ve S büyüklükleri buluur ve bu büyüklüklerde her biri, bilie diğer üç büyüklükle hesalaabilir. () formülü, geellikle q > içi uygulaır, q < olduğu durumda ayı formül şu şekilde yazılarak kullaılır: a q S ( ). (4) q q = ise, bu formüller kullaılamaz, çükü kesri hem ayı, hem de aydası sıfır olur. Halbuki bu durumda S = a olduğu açıktır.. İlk terimi a = ve q = verilmiş ola geometrik dizisii ilk 6 terimii tolamıı belirtiiz. = 6, a = ve q = değerlerii formülde değiştirmekle ( 6 ) S6 (64 ) elde edilir.. İlk terimi a = 4 ve q = - verilmiş ola geometrik dizisii ilk 7 terimii tolamıı belirtiiz. = 6, a = 4 ve q = - değerlerii formülde değiştirmekle 7 4(( ) ) 4( 87 ) S () 5

158 . Ortak çaraı q = - ola geometrik dizisii ilk k terimii tolamıı belirtiiz. = k ve q = -- değerlerii formülde değiştirmekle S k a(( ) ) a( ) k 0. elde edilir. Böyle bir sou elde edilmesi doğaldır, çükü bu dizi a,- a, a,- a,. biçimidedir. Alıştırmalar. Verile geometrik dizisii ilk 8 terimii tolamıı belirtiiz: а) -,, - 9,... b) 5, 5, 5,..., c),,,..., d) 5, -56, 8, Verilelere göre geometrik dizisii ilk terimii belirtiiz: а) = 8, q =, S 6 = 765, b) 4, q, 6 65 S.. Bir geometrik dizisii beşici terimi 9 ve ortak çaraı dir. İlk terimii ve ilk beş terimii tolamıı belirtiiz. Geometrik dizisii yazıız. 4. Ahmet ocak ayıda dear maaş almıştır. Yıl soua kadar maaşı her ay % artmıştır. Ahmet yıl boyuca tolam e kadar maaş almıştır? x 5. a) 0 ve 0; b) xy ve sayılarıı geometrik ortasıı belirtiiz. y 6. Herhagi bir geometrik dizisii seçiiz ve, ve özelliklerii yoklayıız. 7*. Herhagi bir geometrik dizisi verilmiş olsu. Verile dizide değeri aa ola terimii var olduğuu isatlayıız. 54

159 6.7. Kou Pekiştirme Ödevleri. Ne arta e de eksile ola bir diziyi yazıız.., 4, 6, 5, 6,,, diziside 5 sayısıa karşılık gelecek idisli terim var mıdır?. (a ) dizisii tek idisli terimleri ozitif, çift idisli terimleri ise egatif tir. Bu dizi arta ya da eksile olabilir mi? 4. İlk 000 doğal sayıı tolamıı hesalayıız. 5. İlk terimi 7 ve yüzücü terimi 5 ola aritmetik dizisii ilk 00 terimii tolamıı hesalayıız. 6. a = 6 ve a 45 = 74 ola aritmetik dizisii ilk 46 terimii tolamıı hesalayıız. 7. ve 4 sayıları arasıda a, b, c olmak üzere öyle üç sayı yerleştiriiz ki,, a, b, c,4 bir aritmetik dizisi olsu. 8. Herhagi bir aritmetik dizisi içi a a k d geçerli olduğuu gösteriiz. 9. Bir tüccar satraç tablosuu şu koşullara göre satıyormuş: Tablou birici kareside dear, ikici kareside dear, üçücüsüde dear vb. olmak üzere so kareye 64 dear koulacaktır. Tüccar satraç tablosuu kaç deara satıyormuş? 0. İlk terimi 00 ve ortak bölei q = - ola bir geometrik dizisii k + terimii tolamıı belirtiiz.., b, 75 sayıları bir geometrik dizisi olacak şekilde b sayısıı belirtiiz. k. Her geometrik dizide a k akq geçerli olduğuu isatlayıız.. Her bakteri bir saatte ikiye katlaırsa, başlagıçta 7 bakteri ola bir bitkide 8 saat sora e kadar bakteri olacaktır? 4. Bir çocuk ocak ayıda kumbarasıa 5 dear koyarak ara biriktirmeye başlamıştır. Oda sora her ay bir öceki ayı iki katı kadar kumbarasıa ara koymuştur. Yıl souda çocuğu kumbarasıda e kadar ara birikmiştir? 55

160 5*. a) a, a, a dizisi, ayı ada hem aritmetik, hem de geometrik dizisi ise a a a olduğuu isatlayıız. b) a, a, a,..., a dizisi ayı ada hem aritmetik, hem de geometrik dizisi ise a a a a olduğuu isatlayıız.... 6*. Bir geometrik diziside aa aa 7 özelliği varsa, dizi içi e diyebilirsiiz? 56

161 Kou Özetleri Dizi, N doğal sayılar kümeside, R reel sayılar kümesie bir eşlemedir. a k+ > a k ise, dizi her doğal sayı içi kesi alamda artadır; a k+ < a k ise, dizi her doğal sayı içi kesi alamda eksiledir; a k ak ise, dizi her doğal sayı içi artmayadır; a k ak ise, dizi her doğal sayı içi eksilmeyedir; Her doğal sayı içi deir. a M olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi üstte sıırlıdır Her doğal sayı içi a M olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi altta sıırlıdır deir. Hem üstte hem de altta sıırlı ola dizilere sıırlı diziler deir. Her eksile ve her artmaya dizi üstte sıırlıdır; her arta ve her eksilmeye dizi altta sıırlıdır. Bir (a ) diziside iki ardışık terimi farkı a a daima sabit kalıyorsa, yai doğal sayısıa bağlı değilse, ya da a a = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (a ) dizisie aritmetik dizisi deir. d sayısıa ortak fark deir. Bir aritmetik dizisii geel terimi: a a d. Her aritmetik diziside a m terimi a m- ve a m+ terimlerii aritmetik ortasıdır, yai < amk amk m içi am. dir. Bir aritmetik dizisii ilk terimii tolamı S ya da S ( a a [a ( ) d]. ) q 0 olmak üzere a, aq, aq, aq, aq 4,... ku q 0, biçimide (a ) dizisie geometrik dizi deir. Bu dizii geel terimi 57

162 a a q. dir. Her geometrik dizide, a ve a uç terimlerde eşit uzaklıkta bulua terimleri çarımı, aq uç terimleri çarımıa eşittir. Her geometrik diziside k < m içi, am amkamk terimlerii geometrik ortasıdır. a m a a. mk mk Bir geometrik dizisii ilk terimii tolamı S a ( q ). dir. q dir, yai a m terimi am kve am k 58

163 7. BİLEŞİK FAİZ HESABI 7.. Bileşik Faiz Kavramı ve Hesalaması Bir miktar araı faizii hesalaması basit ve bileşik faiz hesalamasıyla yaılabilir. Basit faiz, bir yatırımı, yatırım vadesi süresice sadece aaarasıı kazadığı faiz oraıdır. Bileşik faizde, yatırıla miktar ara her döemde değişir, yai her döem souda elde edile faiz miktarı aaaraya eklemekle yatırım miktarı büyür ve gelecek döemde ayısı aaara oluyor. Bua göre bileşik faiz içi şu taımı kabul edebiliriz: Bir yatırımı yatırım vadesi boyuca kazadığı faizi de yei yatırım vadeside yatırıma tabi tutulması soucu elde edile getiriyi göstere faizdir. Diğer bir deyişle faizi de faiz kazamasıdır. Kt Basit faiz i formülüyle hesalaır (t yıl sayısıdır). Zama aylar ile verildiğide 00 Km i formülüyle hesalaır. Bu durumda m ay sayısıdır ve zama gülerle ifade edilirse 00 Kd i formülü kullaılır (d gü sayısı) dear temel kaital içi ayda %6 faiz oraıyla e kadar faiz ödeecektir? Verilelere göre K = 4 000, t = ay, = %6 dır i Kt 400 dear Basit ve bileşik faiz hesalama yoluyla elde edile faiz miktarlarıı farkıı görmek içi, bir örekle karşılaştırma yaacağız. Oda sora, bileşik faizi hesalaması içi bir formül belirteceğiz dear kaital bir bakaya %8 faiz ile dört yıl yatırılmış ola ara basit ve bileşik faiz ile e kadar faiz getirir? Bir yılda dear aaara basit faiz formülü ile dear faiz getirir. Faiz daima aaaraya hesaladığıa göre bu miktar he ayıdır ve dört yılda 760 dearı dört katı kadar faiz elde edilir. Bua göre tolam faiz miktarı: 59

164 8 i deardır. 00 Bileşik faiz hesabıda ise her yıl souda elde edile faiz miktarı aaaraya eklemekle aaara miktarı büyür ve gelecek yıl ayısı aaara oluyor. Bua göre, birici yılı faiz miktarı 8 i deardır. Halbuki artık ikici yıl aaarası, birici yılı aaarası ve 00 birici yılı faiz miktarıyla tolamıa eşittir, = 7 60 deardır. 8 İkici yıl faiz miktarı i ,8 dear olur. 00 Üçücü faiz miktarıı hesalamak içi, aaara yie büyür ve ,8 = 4040,8 8 dear olur. O halde i 4040,8 9, 64 dear olur. Souda faizi hesalaacak aaara 4040,8 + 9,64 = 4460,064 olur. Bua göre i , ,8 elde edilir. 00 Dört yıl içi elde edile faiz miktarı 46,86 deardır. Görüldüğü gibi, bileşik faiz hesabıyla hesalaa faiz miktarı, basit faiz hesabıyla elde edile miktarda büyüktür. Bileşik faiz,yılda bir defa, iki defa ya da birçok defa hesalaabilir. Faizi hesaladığı zama aralığıa faiz hesalama vadesi deir. Faiz yılda bir hesalaarak yıl souda elde edile faiz aaaraya ekleirse, o halde yıllık faiz söz kousu olur. Faiz yılda iki defa hesalaarak aa araya ekleirse, faiz hesalama vadesi 6 aydır ve yarım yıllık faiz hesalaması söz kousu olur. Bezer şekilde faiz hesalama yılda dört defa yaılırsa faiz hesalama vadesi aydır deir. Basit faiz hesalamasıda dört temel büyüklük: K - aaara (temel kaital başlagıç miktar) i - faiz miktarı faiz oraı (yüzde olarak), 00 dear araı zama birimide getirdiği faiz. t - araı faizde kaldığı süre yıl olarak, ya da daha küçük zama ölçü birimide de olabilir. Bu büyüklükler, bileşik faiz hesabıı da temel usurlarıdır, halbuki burada ek olarak bileşik faizi temel usuru: 60

165 bir yıl esasıda faizi hesalama sayısı m, yai yıllık döem sayısı da katılmaktadır. Pratikte, faiz döemleriyle ilgili olarak faiz hesaları çeşitli işaretlerle işaretleiyorlar. Öreği, faizi yıllık hesalaması (a) ile, yarım yıllık hesalaması (sömestreli) (s) ile, üç ayda bir hesalamayı (kvartal) (q) ile, ayda bir vadeyi (m) ile ve adı geçe her vadelik hesalamalarda faiz oraı yıl bazıda sayılmaktadır. Faiz oraı, yıllık faiz oraı gibi verildiğide.a. biçimide işaret yazılır, yarım yıllık faiz oraı olarak alıırsa.s. işareti yazılır. Üç aylık bazıda da faiz oraı verilebilir ve bu durumda.q. biçimide ya da aylık bazıda olursa.m. işareti yazılır. Bu şekilde verilmiş ola faiz oraıa omial faiz oraı deir. Nomial faiz oraı, aslıda baz kabul edile faiz vadeside yüz ara birimii büyüme miktarıdır. Acak fiasma ya da yatırımlarla ilgili kararlarda vade uzuluğu yıl olduğu kadar yılda daha kısa süreli olabilir. Öreği tahvil faizlerii her altı ayda bir ya da üç ayda bir ödemesi; ya da aylık, üç aylık, altı aylık vadeli hesa açtırılmasıda olduğu gibi. Bu gibi durumlarda yıllık olarak verile faiz oraıda etki faiz oraı (rölatif faiz oraı) buluarak işlem yaılmalıdır. Etki faiz oraıı, yıllık omial faiz oraıı (cari faiz ya da iyasa faiz oraı da deile) yıl içideki döem sayısıa bölümesiyle buluur. Etki faiz oraı, omial faiz oraıı bir kısmı gibi belirtilir. Örek, omial yıllık faiz oraı yıl bazıda verilmiş ike altı ay vadeli bir hesa açtırılırsa, altı ay yılı yarısı olduğuu göz öüde buludurarak etki faiz oraı da omial faiz oraıı yarısı olacaktır. Nomial faiz oraı yıl bazıda, faiz hesalama vadesi aylık ise, etki faiz oraı, omial faiz oraıı o ikide biri olacaktır. Bezer şekilde, omial faiz oraı sömestreli (yarım yıllık) olduğuda, üç aylık faiz vadesi içi etki faiz oraı omial faiz oraıı yarısıa eşittir, çükü üç aylık döem altı aylık faiz vadesii yarısıdır. Nomial faiz oraı üç aylık, faiz hesalama vadesi yıllık olduğu durumda, bir yıla karşılık gele etki faiz oraı verilede dört kat büyüktür, çükü yıl, üç ayı dört katıdır. Karşılaştırma yamak içi aşağıdaki tabloyu iceleyebilirsiiz. Orada m =, m =, m = 4, m = ve bezer. Faiz vadesi Nomial faiz oraı etki (rölatif) faiz oraı Yarım yıllık (sömestral) %8.a. %4.s. Yıllık %8.s %6.a. Üç aylı %8.a %.q. Aylık %8.a. %0,667.a. İki yıllık %8.s % İki aylık %8.a. %, Her döem souda faiz hesalaarak aaaraya katılırsa döem sou (dekurzif) faizleme söz kousu olur; böyle durumda faiz oraı.a.(d) ile işaret edilir. Döem sou faizlemei faiz hesalaması başlagıçta yatırıla aaaraya göre uygulamaktadır. 6

166 Faizleme her döem başlagıcıda yaılırsa, döem başı faizi hesalaması içi temel değer, döem souda elde edile aaaradır; bu işleme döem başı (atisiatif) faizleme deir ve.a.(a) ile işaret edilir. İki şekilde verilmiş ola (döem sou ve döem başı ) faiz oralarıda hagisi daha kârlı olduğuu alamak içi, her ikisii ayı şekilde ifade etmemiz gerekir. Bu durumda, ayı aaarada bir yılda ayı faiz miktarı, yai ayı birikim K elde edilmesi öemlidir. Faizii belirtilmesi isteile temel değer (aaara) K verilmiş ve faiz oraları %.a.(a) ve %.a.(d) verilmiş olsu. Faiz hesalama şeklii taımlarıa göre döem sou faizlemede hesalaa 00 aaaraya katılır ve yıl souda K K K değeri elde edilir. döem başı faizlemede, borçlu faiz miktarıı faiz oraıyla öcede ödemelidir. Bu demektir ki birici döem başlagıcıda, hesalaa faiz temel değerde çıkarıldığıa göre K değerii değil K K K K değerii çekebilir. Bu durumda aaaraı başlagıç değeri K K K K dir. Orada 00 K K olur. K 00 i so değerlerii eşitleyerek K K eşitliği, ya da deklemi elde edilir. %.a.(a) faiz oraı belli olduğu durumda, döem sou faiz oraıı formülüyle hesalayabiliriz. %.a.(d) belli olduğu durumda ise döem başı faiz oraı formülüyle hesalaabilir.. Bir baka %6.a.(d) faiz oraıyla, diğer bir raki baka ise %5,7.a.(a) faiz oraıyla borç veriyorlar. Hagi bakaı faiz oraı daha uygudur? Her iki faiz oraıı karşılaştıracağız. Halbuki öce dekurzif faiz oraıı döem başı faiz oraıa ve tersie döüştürmemiz gerekir. 6

167 Döem sou faiz oraıı, döem başı faiz oraıa döüştürüyoruz %5,66.a.(a) elde edilir. Bua göre %5,7.a.(a) faiz oraı vere baka daha hesalıdır. Bua iamak içi, ters döüşümü de yaacağız. Döem başı faizi döem sou faize döüştürüyoruz. %6,04.a.(d). Burada da görüldüğü gibi göre , , 7 %5,7.a.(a) faiz oraı daha hesalıdır. Alıştırmalar dear arada %5 faiz oraıyla basit faizde a) 5 yılda b) ayda c) 5 güde (0,60) ve (k, 65) zama matrislerie göre, e kadar faiz getirir?. Faiz oraı %5 basit faiz ile yatırıla bir temel kaital K, kaç yıl bakada yatırılmalıdır ki elde edile faiz miktarı temel değere eşit olsu? (Not. K = I) dear borç içi basit faiz hesabıa göre 4 yılda tolam dear faiz ödemiştir. Faiz oraı e kadardır? 4. Yatırıla hagi aaaraya %6 faiz oraıyla 540 dear faiz miktarı ödemiştir: a) 4 yılda; b) 8 ayda? 5*. Bir bakaya, aralarıdaki fark 000 dear ola iki farklı kaital yatırılmıştır. Büyük ola ara miktarı %4 faiz oraıyla bir yıl içi, küçük ola ara miktarı ise %6 faiz oraıyla 0 ay vadeyle yatırılmıştır. Her iki kaitali getirdiği faiz miktarı eşit olduğua göre, iki farklı kaitali tolamıı hesalayıız. 6. Verile %.a. omial yıllık faiz oraı içi şuları belirtiiz: a) yarım yıllık vadeli etki (rölatif) faiz oraıı; b) üç aylık vadeli etki faiz oraıı; c) aylık vadeli etki faiz oraıı; 7. Üç aylık omial faiz oraı %.q. verilmiş olduğu halde şuları belirtiiz: a) yarım yıllık etki faiz oraıı; 6

168 b) yıllık etki faiz oraıı; c) aylık etki faiz oraıı. 8. % 0 döem sou faiz oraıı, döem başı faiz oraıa döüştürüüz. 9. % 0 döem başı faiz oraıı, döem sou faiz oraıa döüştürüüz. 0*. Hagi faiz oraı daha kazaçlıdır %6.a.(a) yoksa %6,5.a.(d). 7.. Temel Değeri Gelecekteki Değerii Hesalamak Bileşik faiz hesalamalarıı yaarke, faiz oraıda başka, temel araı faiz vadesi souda faiz miktarı kadar büyümüş değerii de bilmek gerekir, yai faizlee değer ya da i / i. Bu durumda, tüm faiz vadeside elde edile faiz miktarıı temel değere katmakla, elde edile ara miktarıa, temel araı gelecekteki değeri deir. Faizlemesi yaıla temel değeri başlagıç miktarıa şimdiki değer de deir. Başlagıçta döem sou faiz oraıyla işlem göre K ara miktarıı iceleyelim. K, K,.. K, sırasıyla birici yıl souda, ikici yıl souda,. yıl souda elde edile kaital olsu. Bu değerler bir geometrik dizii oluşturduğuu göstereceğiz. Bu temel değeri yıllık %.a.(d) faiz oraıyla yılda asıl değiştiğii iceleyeceğiz. Hesalaa her faiz miktarı döem souda aaaraya katıldığıı ve ilerdeki döemde büyüye aaara temel kaital olarak alıdığıı K hatırlatalım. Döem souda kaitali değeri birici yıl souda K K K olur ikici yıl souda K K K K K Ayı şekilde devam edersek. yıl souda K K K K K elde edilir. Burada iki ardışık değeri K s- ve K s ayırırsak, s yıl souda temel kaitali tolam değeri, oda öce gele K s- değerie hesalaa faizi katılmasıyla K s 64

169 miktarı elde edilir, yai Ks Ks Ks Ks olur. Bua göre, herhagi iki ardışık temel miktarı oraı, yai iki ardışık döem soudaki miktarları oraı: K s K 00 olur. s Açıktır ki, K, K, K,... K değerleri ortak çaraı ola bir geometrik dizi oluşturuyorlar. Bu durumda verile koşullara göre kaitali so değeri 00 içi: K ) 00 K(. formülü elde edilir. Bu formülü yukarıda adı geçe arametrelerle geişleteceğiz. Bular bir yılda faiz döem sayısı m, etki faiz oraı daha doğrusu, burada döem sou faiz oraıdır ve faizleme m devrelerii tümü m dir. Faiz vadelerii tümü, aslıda faizi hesaladığı yıl sayısı ve faiz vade sayısıı çarımıdır. Bu koşullarla, yai bir yılda faiz döem sayısı m olduğuda aaaraı gelecekteki değeri içi K ) 00m m K(. formülü elde edilir. r çaraıa döem sou faiz katsayısı deir. Bu katsayıyı aaaraı gelecekteki değer formülüde değiştirirsek 00 m m K Kr. formülü elde edilir. Not. Aa araı gelecekteki değerii daha kolay biçimde hesalamak içi, i / i şeklide işaret ettiğimiz faizi faizie ait özel tablolar geliştirilmiştir. Orada, verile faiz oraı içi e çok kullaıla arametreler öcede hesalamış olduğua göre hazır değerler gibi kullaılabiliyorlar. Örek, ilk i / i tablolarda faiz katsayısıı değerlerii, yai bir ara birimii so değerii döem sou faiz katsayısıyla çarımıı göstermektedir. Orada r değeri I ile işaret edilmiştir ve aaaraı gelecekteki değerii, yılda bir faizi hesalamasıyla, yılda faiz oraı %.a.(d) olduğuda 65

170 K K, formülü elde edilir. Faizleme yılda birçok defa yaılırsa, formül K K, m m şeklii alır. Burada yıl sayısı faiz vadesi sayısıyla çarılır, faiz oraı ise vade sayısıyla bölüür. Vade sayısı m ile işaretlemiştir, yai yılda kaç defa faizleme yaıldığıı göstere sayı olarak gösterilir dear ara 0 yılda %8.a.(d) faiz oraıyla, faiz hesalaması yıllık vadeli, yarım yıllık vadeli ve üç aylık vadeli olduğua göre araı gelecekteki değerii hesalayıız. Verileler: K = 5 000, = 0, = %8.a.(d). a) Faiz hesalaması yıllık vadeli olduğua göre m = dir. Döem sou faiz katsayısı 8 r,08 dir Açıktır ki, K0 Kr 5000, 08 65,9 dear olacaktır. b) m = olsu, yai faiz hesalaması yarım yıllık vadeli olsu. Döem sou katsayı r,04, aaara ise K0 Kr 5000, ,5 dear olur. Bu ise 00 yıllık faiz hesalamasıda fazla olduğu görülüyor. c) m = 4 olsu, yai faiz hesalaması üç ayda bir vadeli yaılmış olsu. Döem sou katsayı r, , aaara ise K0 Kr , ,98 dear olur. Döem sou faiz hesalamasıda faiz devrelerii artmasıyla aaaraı (yatırımı) da gelecekteki değeri artar. Yai, faizi hesalaması e kadar daha sık yaılırsa r m değeri de o kadar artar, buula yatırımı gelecekteki değeri de artar. Nomial faiz oraı bir yılda az vade içi verildiğide, yıllık faiz oraıyla e olduğuu icelersek, bu durumda yıllık faiz oraı etki faiz oraı rolüü alacaktır. = %8.s.(d) ise, bu faiz oraı sadece yarım yıl içi geçerli olduğuu göz öüde buludurarak yıllık etki faiz oraı %6 olur. =% 8.q.(d) üç aylık vadeli faiz oraı ise, etki yıllık faiz oraı % olur. 66

171 . Başlagıç değeri dear ola bir kaitali, = %8.m.(d) faiz oraıyla, faiz vadesi yılda dört defa yai üç aylık faizi hesalamasıyla 5 yıl sora gelecekteki değeri belirtilsi. Öce yıllık etki faiz oraıı belirtmek gerekir, bu ise yıllık 8 %96 dir. Halbuki, faiz vadesi yılı dörtte biri olduğuda üç aylık vadeli faiz oraı 96 = %4 olur. Bir aylık vade, üç 4 ayda kaç defa geldiğii düşüürsek ayı souca varabiliriz. Bir çeyrek yıl üç ay olduğuda 8 = %4 elde edilir. faizleme işlemii tolam vade sayısı m = 5. 4 = 0 dir. Aaaraı gelecekteki değeri: K , , olduğua göre, K 5 = 84660,74 dear olduğuu buluyoruz. 0 Sıradaki örekte, bir aaaraı gelecekteki değerii hesalarke, bileşik faiz hesabıı uygulaması ya da basit ve bileşik faiz karması kullaılmakla elde edile farkı göreceğiz güü 8000 dear yatırılmıştır. Faiz oraı = %6.s.(d), faiz hesalaması üç aylık vadelerle yılı 0.09, 0., 0.0 ve 0.06 güleride yaıldığıda zama matrisi (0, 60) koşuluyla, oucu yılı 8.07 güü (ilk güü dahil) yatırımı değeri e kadar olacaktır? Yatırımı şimdiki değeri K = 8 000, faiz vadesi çeyrek yıl, yai m = 4, faiz oraı = %6.s.(d), yıllık rölatif faiz oraı %.a.(d) arametreleri verilmiştir. 6 Karşılık gele faiz katsayısıı değeri r,0 dir. 00m 00 4 Yatırımı faizde kalma zamaıı belirtmemiz gerekir. Yatırımı yaıldığı gü 5.09 de faizi ilk hesalama güüe kadar sadece 5 gü vardır. Bu güleri verile zama matrisie 5 göre yıl olarak ifade edersek t ' yıl olur. Oda sora 0. tarihie kadar, yai yılı 60 soua kadar bir faiz devresi vardır. İkici yılı başlagıcıda dokuzucu yılı soua kadar tolam 8 yıl olduğua göre tolam faiz vadesi vardır. Oucu yıl boyuca 0.06 tarihie kadar tam vade ve yatırımı kaldırılacağı güe kadar daha 8 gü vardır. Demek ki tolam 5 5 tam faiz vadesi ve ilk yılı t ' ve oucu yılı t = 8 gü = 8 yıl faiz zamaı elde edilir

172 Yatırımı gelecekteki değerii sadece bileşik faiz hesabıı kullaarak hesalıyorsak, zamaı tam vade sayısıa, kala güleri ise yıl olarak ifade edeceğiz. Bua göre: 5 K Kr r dear elde edilir. t' m r t" m 8000,0 5, , ,9 Zamaı tamamıı yıllarla ifade edersek, tam vadeler aylık yai 90 gü olduğuu göz öüe buludurarak yıl olur. O halde K 8000, 0 569,9 60 dear olduğuu buluyoruz. Faizde kalma zamaıı sadece tam vadelerie basit faiz hesabıı uygulayarak, bileşik ve basit faiz hesalama kombiasyou kullaalım: 5 K K( t') r ( t"), formülüde, sırasıyla öce ilk yılı 5 güü, oda sora 5 tam faiz vadesi ve souda so yılı 8 güü yazılarak K ),0 ( ) 577, ( dear elde edilir. Demek ki, basit ve bileşik faiz kombiasyouu uygulayarak yatırımı gelecekteki değeri, sadece bileşik faiz hesabı kullaarak elde edile miktarda biraz farklaşıyorlar ve kombiasyo uygulayarak elde edile gelecek değer biraz büyüktür. Döem sou (sora) ve döem başı (eşi) faizleme arasıdaki temel fark, kouu başlagıcıda ifade edildiği gibi, döem sou faizlemede faiz miktarı döem souda aaaraya ekleir, döem başı faizlemede ise faiz miktarı aaaraya eşi ekleir. Döem başı faizde borçlu, faiz oraıyla K kaitalie gereke faiz miktarıı eşi ödeme yükümlülüğüü kabul etmiştir. K, K,...,K birici, ikici ve bezer şekilde - yıl souda kaitali değerleri olsu. Birici vadesi başlagıcıda borçlu K değerii değil 00 K K K K K. değerii alabilecektir. O halde birici yıl souda borçluu yıllık (m = ) faizleme ile ödeyeceği miktar K 00 K K elde edilir. 68

173 İkici yıl souda, bileşik faiz hesaladığıa göre, faiz tabaı birici yıl souda elde 00 edile miktardır, yai şimdi K dir. Demek ki, ikici yıl souda K K K miktar ödemelidir. Bu şekilde devam ederek faizlemei so ci yılıa geliyoruz ve aaaraı gelecekteki değeri K K K olur. Döem başı faizlemede kaitali so değerleri K, K, K,.ortak bölei ola 00 bir geometrik dizi oluşturuyorlar. - ci döem souda kaitali değeri K ise, K K geçerlidir, yai döem başı faizlemede yıl sora kaitali değeri K K. olur katsayısıa döem başı faiz katsayısı deir. Elde edile formülleri, bir yılda faiz döem sayısı m, etki faiz oraı (rölatif faiz oraı) ; burada yıllık döem başı faiz oraıdır ve faiz süresii tolam sayısı m arametreleriyle m geişlettirirsek, kaitali gelecekteki değeri içi şu formülü elde edeceğiz: K m m K K 00m 00 m koyarsak, kaitali gelecek- 00m Formülde döem başı faiz oraıı katsayısı 00m teki değerie u ait m K K, formülü elde edilir. m. Not. i / i tablolarıda döem sou hesalamada olduğu gibi değeri I ile işaret edilir ve yıllık faizlemeyle şimdiki değeri (aaaraı) gelecekteki değerii hesalamak içi şu formül elde edilir: 69

174 K K, Bua karşılık, faizi hesalaması yılda birkaç kez yaıldığıda yukarıdaki formül K K, m m şeklie döüşür. Bu durumda zama faiz devreleriyle çarılır, faiz oraı ise faiz döem sayısıyla bölüür. So formüller döem sou faizleme formülüyle ayıdır, halbuki farklı faiz katsayılarıda ötürü elde edile so değerler birbiride farklıdır. 4. Şimdiki değeri dear ola kaitali, 0 yılda %8.a.(a) omial faiz oraıyla, yıllık, yarım yıllık ve üç aylık faiz devreleriyle elde edilecek soraki değeri e kadardır? Ödevdeki verilere göre K = 5 000, = %8.a.(a) verilmiştir. a) Yıllık faiz devresi m = olsu. Öce döem başı faiz katsayısıı hesalıyoruz: 00, Kaitali gelecekteki değeri K0 K 5000, ,59 elde edilir. b) m = olsu, yai faizi hesalaması yılda iki defa yaıldığıı alalım. 00m 00 Peşi faiz katsayısı, m 9 olduğuu buluyoruz. Bua göre kaitali gelecekteki değeri K0 K 5000, ,85 dear olduğuu buluyoruz. Görüldüğü gibi, yıllık faizlemeyle elde edile gelecekteki değer göre, yarım yıllık faizleme ile elde edile gelecekteki değer biraz azalmıştır. c) m = 4 olsu, yai faizi hesalaması her üç ayda yai yılda 4 defa yaıldığıı alalım. 00m 400 Peşi faiz katsayısı,00408 olduğuu buluyoruz. Bua göre kaitali 00m gelecekteki değeri K0 K 5000, , 6 dear olduğuu buluyoruz. Peşi faiz hesalamasıda, faiz devrelerii artmasıyla kaitali gelecekteki değeri azalmaktadır. Döem sou ve eşi faizi hesalamasıyla elde edile gelecekteki değerleri birbiriyle karşılaştırırsak ayı koşullar altıda döem başı faizleme ile döem sou faizlemede daha büyük değer verir. Bua göre borç kredi alıdığıda alacaklıya döem başı faiz hesalaması daha hesalıdır, borçluya ise döem sou faiz hesalaması daha kârlıdır. 5. yıl ve 6 ay öce bakaya dear yatırmış ve bir yıl ve ay sora dear çekmemiz gerekir. Faiz oraı %6.a.(d), faiz hesalaması aylık devrelerle yaıldığıda bu güde yıl sora yatırıla araı gelecekteki değeri e kadar olacaktır? Ayı koşullar altıda fakat döem başı faizleme ile araı gelecekteki değeri e kadar olacaktır? 70

175 Her miktarı ayrı ayrı gelecekteki değerii hesalayacağız. Yatırıla miktar içi faiz süresi 5,5 yıl, çekile miktar içi faiz süresi bir yıl ve ay ve bu güde sora yıl soraki tolam zama süresi yıl 9 aydır ya da aydır (şek. ). Şek. 6 Döem sou faiz katsayısıda r, 05, yararlaarak miktarı yıl sora gelecekteki değeri ,54 S r r dear olduğuu buluyoruz , , dir. Bu du- 4 Peşi faiz hesalamasıyla faiz katsayısı rumda miktarı gelecekteki değeri ,05 7 0,8 5,54 7 S , ,058, elde edilir, yai S = 644,6 dear olduğuu buluyoruz. Alıştırmalar. 8 yıl 8 ay ve 0 gü evvel %8.a.(d) faiz oraıyla dear yatırılmıştır: a) faiz devresi yıllık; b) faiz devresi üç aylık olduğua göre, yatırıla araı bugükü değeri e kadardır? Hesalamaları öce bileşik faiz hesabıyla, sora bileşik faiz ve basit faiz kombiasyouyla hesalayıız dear ilk 5 yılda %6.a.(d) faiz oraıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle, oda sora daha 4 yıl %8.q.(d) faiz oraıyla ve aylık faiz devresiyle ve souda daha yıl, %7.s.(d) faiz oraıyla ve üç aylık faiz devresiyle bir bakaya yatırılmıştır. Yatırıla araı gelecekteki değeri e kadardır? * dear ilk 5 yılda %6.a.(a) faiz oraıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle, oda sora daha 4 yıl %8.q.(a) faiz oraıyla ve aylık faiz devresiyle ve souda daha yıl, %7.s.(a) faiz oraıyla ve üç aylık faiz devresiyle bir bakaya yatırılmıştır. Yatırıla araı gelecekteki değeri e kadardır? 7

176 4. yıl ay öce dear ve bugü daha dear bakaya yatırılmıştır. Faiz oraı %5.a.(d) ve yarım yıllık devrelerde faizi hesalamasıyla bu güde dördücü yılı soua kadar yatırıla araı gelecekteki değeri e kadardır? 5*. Bugü dear bakaya yatırıyoruz, üç yıl sora ise 000 dear çekecek ve beş yıl sora daha dear yatırılacaktır. Faiz oraı %6.a.(d) ve faiz hesalaması üç aylık olduğua göre bu güde 8 yıl sora bakada e kadar aramız olacaktır? Faiz oraı %6.a.(a) uyguladığı durumda elde edile gelecekteki değeri ilki ile kıyaslayıız. 6*. Dört yıl öce dear ve bugü daha dear bakaya yatırılmış, iki yıl sora dear çekilecektir. Yatırımlara %6.a.(d) faiz oraı ve yarım yıllık devrelerde faizi hesalaması uygulamaktadır. Bu güde sekiz yılı soua kadar yatırıla araı gelecekteki değeri e kadardır? 7*. 5 yıl öce dear, 9 yıl öce daha dear bakaya yatırılmış ve 5 yıl öce hesata dear çekilmiştir. Faiz işlemi üç aylık devrelerle %5.a.(d) faiz oraıyla yaıldığıa göre araı bugükü değeri e kadar olacaktır? 7.. Koform Faiz Hesabı Döem sou yai faizi döem sou hesalaması söz kousu oluca, ratik edelerde dolayı, şimdiye dek kulladığımız faiz oralarıda farklı bir cis faiz oraıa ihtiyaç duyulmaktadır. Buu sebebi, bir yılda faiz devrelerii artmasıyla faiz miktarıı artışıı soucu olarak döem sou faizlemede, kaitali değeri de artar ve bazı alaşmazlıklara sebe olabilir. Etki faiz oraıı uygulamakla sadece aa değeri faizi değil, faizi de faizi hesalamaktadır. Bu durumda temel değeri yıllık faizleme ile ve yılda birkaç defa faizleme ile elde edilecek gelecekteki değerler arasıda fark ortaya çıkmaktadır. Bu farkı ortada kaldırmak istersek, etki faiz oraı yerie koform faiz oraı deile faiz oraıı uygulayacağız. Bu faiz oraıyla, faiz ister yıllık hesalamayla, ister yılda birkaç devrede faizi hesalamasıyla ayı faiz miktarı elde edilir. Koform faiz oraıı k,m ile işaret edeceğiz. Bir yılda m defa faizleme ile ve yılda bir defa faiz oraı olmak üzere yaıla faizleme ile ayı faiz miktarı vere koform faiz oraı şu iki formülleri eşitlemesiyle elde edilir: 7

177 m k, m K K, orada da m k, m elde edilir. Bu u deklemde f r koform faiz oraı içi şu formül elde edilir: 00 m k, m. 00 Elde edile koform faiz oraı, daima etki faiz oraıda küçüktür.. Yıllık omial faiz oraı = %.a.(d) olduğua göre, üç aylık koform faiz oraı e kadardır? Elde edile faiz oraıı, etki faiz oraıyla (rölatif faiz oraıyla) karşılaştırıız. Oda sora 0000 dear aaaraı her iki faiz oraıyla bir yıl souda gelecekteki değerlerii hesalayarak karşılaştırıız. Faiz döem sayısı m = 4 tür. Yukarıda elde edile formülde, k 00 %,87. elde edilir. Diğer tarafta üç aylık etki faiz oraı 4 % olduğuu buluyoruz. Görüldüğü gibi, etki faiz oraı koform faiz oraıda büyüktür. Koform faiz oraıı verile,87 aaaraya uygulayarak gelecekteki değeri K , 7 dear elde edilir Etki faiz oraıı uygulamakla K' dear elde edilir dear, 0 yılda, omial faiz oraı %8.a.(d), faizleme yarım yıllık ve üç aylık olmak üzere, koform faiz oraıı kullaıldığıda aaaraı gelecekteki değerii hesalayıız. a) m = olsu. Yılda iki faizlemeye karşılık gele koform faiz oraı 8, 00 k m,9% 00. dir. Aaaraı gelecekteki değeri içi, 40, 40 0 k m K K 5000,09 65, elde edilir. Bu şekilde elde edile kai- tal, rölatif faiz oraıyla yaıla hesalamaya göre elde edile kaitalde küçüktür, halbuki yıllık faizleme ile elde edile kaital ile heme de ayı olduğuu görebiliriz. 4 7

178 8 Örek, etki faiz oraıı uygulayarak K 0 ' , 5 dear, yıllık faizleme ile K '' , 9 dear elde edilir b) m = 4 olsu. Koform faiz oraı 00, 4 k m,94% 00., m 80 oraıyla kaitali gelecekteki değeri K 0 K 5000, , 5 00 deardır. Etki faiz oraıı kullamakla K ' K 5000,0 885, 98 dear elde edilir. Yılda bir faizleme işlemi yaarak К = 65,9 dear elde edilir. Yıllık faizleme ile ve döem faizleme ile yaıla işlemlerde kaitali gelecekteki değeriyle ilgili meydaa gele samalar, Koform faiz oraıda yaıla yuvarlamada kayaklaır. k Koform faiz Alıştırmalar. Bugü yatırıla dear %.q.(d) faiz oraıyla, yarım yıllık döem faizleme işlemi uygulayarak yıl 9 ay sora hagi değere bağlı olacaktır? Koform faiz oraıı uygulayıız.. Bugü dear yatırı, iki yıl sora dear çekilecektir. Faiz oraı %9.s.(d), döem vadesi ay olmak üzere, bu güde üç yıl sora e kadar aramız olacaktır?. Bakaya 0000 dear: a) etki faiz oraı; b) koform faiz oraı %8.a.(d) ve faiz hesalama vadesi ay olmak koşullarıyla ara yatırdık. 0 yıl sora e kadar aramız olacaktır? 4. Üç aylık faiz vadesie ait %,467 koform faiz oraıı yıllık faiz oraıa döüştürüüz. 5. %8.a.(d) faiz oraıı veriliyor. Yarım yıllık ve üç aylık faiz vadesie karşılık gelecek koform faiz oraıı hesalayıız. 74

179 6*. 5 yıl öce bakaya dear, 9 yıl öce daha dear yatırılmış, 5 yıl öce ise hesata dear çekilmiştir. Faizi hesalaması aylık vadelerle ve %5.a.(d) faiz oraıyla yaıldığıa göre, hesabımızda bugüe kadar e kadar ara birikmiştir. Koform faiz oraıı hesalayıız Yatırıla Paraı Başlagıç Değeri ve Faiz Miktarıı Hesalaması Bazı durumlarda, belli bir zamada, belli faizleme oraıyla e kadar araya ihtiyacımız olacağıı biliyor, fakat buu içi bakada e kadar araı yatırılması gerektiğii bilmiyoruz. Aslıda, faiz oraıı, yıl içideki faiz döem sayısıı m ve faiz zamaı ile birike K değeri bilidiğie göre, K başlagıç miktarıı yai aaarayı hesalamamız gerekir. Verile kaitali gelecekteki değerii hesalamak içi elde ettiğimiz formülde, temel değer içi şu formülleri belirtebiliriz: m K K K r, döem sou faizleme içi ve m ( ) 00m m m K, döem başı faizleme içi. K K 00m Birike araı başlagıç değerii bulma işlemie, iskotolama, ya da birike değeri m m başlagıç değerii belirtme deir. Faiz oralarıı çarımsal ters r ve değerlerie iskoto katsayıları (faktörleri) deir. Not. Burada öemli ola i / i tablolarıda yararladığımızda eler oluyor bilmemiz gerekir. Döem sou ve döem başı faizlemei katsayıları a karşılık gele I ve I değerler yaı sıra, değerleri ikici tabloda okua II r ve II iskoto katsayıları da I I belirtilir. İkici tablolardaki değerler, birici tablolardaki değerleri çarımsal tersleridir. Bua göre temel değeri f başlagıç değerii belirtmek içi formüller K, K yıllık döem ur sou faizleme içi ve K, K yıllık döem başı faizleme içi şeklide yazabiliriz. 75

180 Tabi ki, yılda birkaç defa faizleme yaılıyorsa zama süresi faiz döem sayısıyla çarılır, faiz oraı ise yıl içideki faiz döem sayısıyla bölüür. Bua göre başlagıçtaki temel değer K, döem sou faizleme içi ve K m m döem başı faizleme içi formülleriyle hesalaabilir. K,. Hagi temel değer dört yılda döem süresi: a) yarım yıl; b) üç ay olmak üzere yatırmalıyız ki, gelecekteki değeri dear olsu? Temel değeri gelecekteki değeri K 4 = deardır. Her iki durumu ayrı ayrı iceleyeceğiz. 8 4 a) m, r,04, demek ki K 0000,04 706,9 deardır; 00 8 b) m 4, r,0, orada 0000,0 4 4 K 784,46 dear elde edilir Altı yıl öce dear borç alımış, o yıl sora ise daha dear borcu ödemesi gerekir. Öceki borcumuzu ödeme imkaı olmadığıı varsayarak %4.a.(d) faiz oraıyla ve yarım yıllık faizleme ile bugü tüm borcu birde ödemek istersek hagi miktar arayı ödemeliyiz? Ayı koşullarla fakat faizleme döem başı (eşi) olmak üzere hagi miktar arayı ödemeliyiz? Borcu geriye çevirmediğimiz takdirde, ou değeri bugüe dek, faiz döem sayısı ve %.s.(d) etki faiz oraıyla elde edilecek faiz miktarı kadar artmıştır. Demek ki, ödememiş borç bugü: K m m. Faiz oraı %6.a.(d) ve yıllık faiz vadesiyle dört yılda dear biriktirmemiz gerekirse, bakaya e kadar ara yatırmamız gerekir? Burada m = 4, K 4 = , = %6.a.(d) olduğu açıktır. Öce faiz katsayısıı oda sora 6 iskoto katsayısıı hesalayalım. r,06. Bua karşılık iskoto katsayısı 0, r elde edilir. O halde başlagıç (yatırılması gereke) kaitalk , , 4,06 dear olduğuu buluyoruz ,0. olacaktır. Ayı zamada ikici boru süreside öce 00 ödediğimize göre, değeri 0 yıl içi geri iskotolaacaktır ve ,0 0 olacaktır (şek.). 76

181 Şek. Bu güü tolam borcu, hesalaa her iki borcu tolamıdır. Bua göre, tüm borcu bugü ödersek araıla miktar: S = 7000, ,0-0 = 58469,5 deardır. 00 Faizleme döem başı yaıldığı durumda, faiz katsayısı, dear 00 olur. Bua göre gereke ara miktarı: S = 7000, , = 880,94 deardır. Bakaya yatırıla ara miktarıa (ya da geri çevrilmesi istee borca hesalaa faiz miktarı e kadardır sorusu da sorulabilir. Kaitali ilk ve gelecekteki değerlerii bildiğimize göre, hesalaa faiz miktarı aslıda bu iki değeri farkı olduğu açıktır. Faizlemei ci döem souda hesalaa faiz miktarıı I ile işaret edersek, faizleme şekli e olursa olsu ou değeri I = K K formülüyle hesalaır. Daha kokre olarak, faiz oraı ve yıl içideki faiz döem sayısı m ola döem sou faizlemede faiz miktarı içi: I = K - K = Kr m - K = K(r m -), formülü elde edilir, burada r döem sou faiz katsayısıdır. Peşi (döem başı) faizleme durumuda faiz oraı ve yıl içideki faiz döem sayısı m olmak üzere faiz miktarı içi: I = K - K = K m - K = K( m -), elde edilir; burada döem başı faiz katsayısıdır. Ayı formüller, ara miktarıı sadece so değeri yai gelecekteki değeri bilidiğide de yazılabilir. Bu durumda döem sou hesalamada: I m m K K K K r K r, ve döem başı hesalamada I K K K olduğuu buluyoruz. K m m K. Not. i / i tablolarıda yararlaıyorsak, formüller: döem sou hesalama durumuda m m I K, ve döem başı hesalamada I K, şeklide ifade edilir. Para m m m miktarıı sadece gelecekteki değerii kulladığımız durumda ayı formüller I K, m m ve I K biçimide ifade edilir. m 77

182 4. O yıl öce %6.a faiz oraı bazıda yarım yıllık faiz vadesiyle dear ara yatırılmıştır. Bileşik faiz hesabıa göre a) döem sou; b) döem başı faizleme uygulayarak bu miktar araı faiz miktarı e kadardır? Kaitali başlagıç değeri K = dear, etki faiz oraı % ve bir yıl içideki faiz döem sayısı m = biliiyor. Bu durumda tolam faiz döem sayısı 60 tır. a) Döem sou faiz katsayısı r, 0. olur. Hesalaa faiz miktarı 00 0 = K 0 K = 0000 (,0 60 -)= 4896 dear olduğuu buluyoruz. 00 b) döem başı faiz katsayısı, 009, olur. Hesalaa faiz miktarı I 00 0 = K 0 - K = 0000 (, )= 594, dear olduğuu buluyoruz. So örekte de görüldüğü gibi, döem başı faizleme alacaklıya, döem sou faizleme ise borçlulara daha uygu olduğuu kaıtlamaktadır. 5. Bugü yatırıla ara, bir yıl altı ay içide dear araya birikir. Faiz oraı %8.a ve faiz vadesi ay olduğua göre, a) döem sou; b) döem başı biçimde hesalaa faiz miktarı e kadardır? Kaitali gelecekteki so değeri K,5 = dear, m = 4 ve tolam faiz döem sayısı 6 0,9804, ve bu durumda hesalaa faiz mik- olduğuu biliyoruz. a) İskoto döem sou katsayısı r tarı I,5 K, , r,0 6 40, 5 deardır. 00 b) İskoto döem başı katsayısı 0,98, ve bu durumda hesalaa faiz miktarı I , ,5 K,5 409, 67 deardır. Alıştırmalar. 0 yıl öce bakaya yatırdığımız bir miktar araı birike bugükü değeri deardır. Faizde kaldığı sürede faizleme vadesi aylık ve faiz oraı: a) = %6.a.(d); b) = %6.a.(a) olduğua göre bakaya 0 yıl öce e kadar ara yatırmışız? 78

183 . Bir kişi, yıl sora dear, 5 yıl sora dear ve 8 yıl sora dear ödemelidir. Faiz oraı %6.a. yarım yıllık faizleme ile a) döem sou; b) döem başı olmak üzere, kişi borcu tümüü bugü ödemek isterse, e kadar ara ödemelidir?. Bir kişi, 8. yaş güüde bakaya %48.a.(d) faiz oraıyla ve aylık faiz döemleriyle dear ara yatırıyor. Tam bir yıl sora yatırıla araya e kadar faiz ödemiştir? 4*. Bir kişi bakaya dear ara yatırmış ve iki yıl sora hesata dear çekmiştir. Faiz oraı %.a.(d), üç aylık faiz döemleriyle, bu güde beş yıl sora zama süreside e kadar faiz miktarı ödeecektir? (Not: Faiz miktarı iki kısımda hesalamalıdır. Bu güde sora iki yıl içi ve ara çekildikte sora kala ara miktarı içi faiz hesalaacaktır.) 5*. Bir kişi dört yıl öce dear olmak üzere borcuu bir kısmıı ödemiştir. Üç yıl sora daha dear ödemelidir. Kişi borcuu hiçbir kısmıı ödememiş olduğu varsayımıyla, iki yıl sora borcu tümüü birde ödemek içi kaç ara ödeyecektir? Yıllık döem sou faizleme olmak üzere, faiz oraı %6.a. olsu. Döem başı faizleme durumuda ise e kadar ara ödeyecektir? 7.5. Faiz Döem Sayısıı ve Faiz Oraıı Hesalaması Şimdiye dek elde edile formüllerde yıl sayısı olarak öcede bilie ve geellikle yıl içide faiz döem sayısı tam olarak verilmiş şekilde ifade ediliyordu. Zama süresi yıl olarak değil başka şekilde verildiği durumlarda yie zama süresii yıl bazıa çevirerek hesalamaları yaıyorduk. Bu ise ratikte, özellikle faizleme zamaıı hesalarke çok seyrek rastlamaktadır. Verile bir kaitali belli miktarda faiz getirdiği zamaı ya da faiz döem sayısıı asıl hesaladığıı göreceğiz. Başlagıç kaital K, döem sou faizleme %.a.(d) faiz oraıyla, yıl içideki döem sayısı m ve faiz süresi tam sayı olmak mecburiyetide olmaya yıl olsu. m Kaitali gelecekteki değerii hesalaya formülü K K, döüşümler yaarak faiz süresii bulalım. Bua göre, 00m m K, K 00m bu ifadei logaritmasıı alarak elde edilir. m K log log. K 00m 79

184 Logaritma işlemii temel özellikleride yararlaarak log K mlog K 00. elde m edilir. Formülde r döem sou faiz katsayısıı katarak, faiz süresie ait 00 m K log, m log r K formülü elde edilir. 0 tabalı logaritmalar çok sık e tabaıa göre logaritma ile değiştirilir. Böyle durumda elde edile formülü karşılığı ola: K l. formül elde edilir. ml r K Bezer şekilde, faizleme döem başı olduğu durumda, faiz oraı %.a.(a), yıl içideki faiz döem sayısı m olduğuu varsayarak, kaitali gelecekteki değer formülüü logaritmasıı almakla: K 00m log m log K 00. m 00m elde edilir. Bu ifadede döem başı faiz katsayısıı katmakla 00m log K m log, K elde edilir. Bu şekilde faiz süresie ait K log mlog K formülü elde edilir.. a) Yatırıla dear ara, %6.a.(d) faiz oraıyla kaç yıl sora 985, dear olacaktır? b) Yatırıla 00 dear araı, %8.a.(a) faiz oraıyla kaç yıl sora gelecekteki değeri 845,7 dear olacaktır? Ödevde verile veriler, zamaı hesalaması içi yukarıdaki formülü uygulamasıa yeterlidir. Faiz katsayısıı hesaladıkta sora, formülde yerie koyarak: 6 985, a) r, 0, orada log yıl elde edilir. 00 log, ,7 b), , orada log 4 yıl olduğuu buluyoruz log,

185 Formülde uygulaa logaritma işlemi, kaitali gelecekteki değerii hesalamak içi elde edile formülde bilie tüm veriler değiştirildikte sora da yaılabilirdi. Kaitali gelecekteki değerii hesalamak içi kullaıla i / i tablolarıda zamaı da belirtebiliriz. Buu birici i / i tabloda okuyarak ya da kaitali başlagıç değerie ait ikici i / i tabloda okuyabiliriz.. Yatırıla dear araya, yıllık faizleme uygulayarak, %5.a.(d) faiz oraıyla kaç yıl sora gelecekteki değeri 4 0,5 dear olacaktır? Kaitali gelecekteki değeri K K I formülüde faiz oraı katsayısı içi 40, 5 I5, elde edilir. Birici fiasal tabloda, %5 faiz oraı bölümüde 00000,55065 değeri =4 satırıa karşılık gelir. Halbuki, i / i tablolarda yararladığımızda bazı durumlarda aradığımız değer tam olarak tabloda olmayabilir, acak aradığıız değer tablodaki iki değer arasıda buluabilir. Böyle durumlarda doğrusal iterolasyo (ara kestirim) yötemi deile kuralı uyguluyoruz. Lieer iterolasyo yötemi deile kuralı ilkesi, aslıda oratıları özelliğie dayaır. Yai, tabloda ardı sıra gele iki değeri farkı, oları eryotları arasıdaki fark ile oratılıdır. Buu kokre bir örekle iceleyelim.. Yatırıla dear, yarım yıllık faizleme döemleriyle %6.a.(d) faiz oraıyla e kadar zama sora deara birikecektir? Kaitali gelecekteki değeri formülüde, tabloları kullaarak K K I değerii K I, 5 elde edilir. Birici i / i tabloda % etki faiz oraıa karşılık gele K sütuda,5 değerii bulamıyoruz. Bu sayı,46857 <,5 <,55897 arasıda bulumaktadır. Bulara karşılık gele satırlarda, küçük değere, büyük değere ise 4 faiz döem sayısı karşılık gelir. Ödevimizi cevabı, ve 4 sayıları arasıda ola yarım yıl sayısıdır. Buu tam olarak belirtmek içi aşağıdaki tabloyu oluşturuyoruz:,46857, 46857, , 5 Daha uygu görüürlük sağlamak içi, sütulardaki değerleri farklarıı hesalayarak ayı tabloda yazdıkta sora şu oratıyı kuruyoruz: 8

186 (, ,46857): (4 -) = (,5 -,46857): ( -). Demek ki, 0,04669, 0, orada da =,74 elde edilir. Demek ki, faiz süresi = 6,857 yıldır. Bu sayıyı, yıl ay ve gülere çevirmek içi, sayıı odalık kısmıı ile çararak ayları buluyoruz, elde edile sayıı yei odalık kısmıı 0 ile çarmakla gü sayısıı elde ediyoruz. Bua göre 0,857 kısım yıl, aslıda 0,857 0, 84 aydır. Şimdi, 0,84 ay kısmıı gülere çevirelim: 0,840 9 güdür. O halde, faiz süresi 6 yıl 0 ay 9 gü olduğuu buluyoruz. Ayı şekilde, faiz süresii hesalamak içi ikici fiasal tabloyu da kullaabiliriz. 4. Yatırıla dear kaital %6.a.(d) faiz oraıyla ve yarım yıllık faiz vadesiyle, e kadar zamada deara bağlı olacaktır? a) Öce çözümü formülü doğruda doğruya kullaarak logaritma işlemi yardımıyla belirtelim. Faiz katsayısı r =,0, m = olduğua göre, kaitali gelecekteki değeri formülüde değiştirerek 80000,0 elde edilir. Bu deklemi her iki tarafıı logaritmasıı alırsak, log =. log,0, orada da =,457 yıl elde edilir. b) Ayı souca, ikici fiasal tabloyu kullaarak asıl varıldığıı görelim. K K II formülüde II 0, 5 elde edilir. Bu değer % sütuuda bulumadığıa göre, bua e 4 yakı iki ardışık değeri buluyoruz: 0,49 < 0,5 < 0,567. Küçük ola değer 47 yarım yıl vadesie, küçük ola değer ise 46 faiz vadesie karşılık gelir. Bu değerleri tabloda yazdıkta sora, oratıyı daha kolay kurmak içi so satırda değerleri farklarıı da yazacağız. 0, , , , 5 0,0074 0, Karşılık gele oratı: 0,0074 : (-) = 0,0067 : (46 - ), dir. Negatif işarette kurtulmak içi: 0,0074 = 0,0067: ( - 46). biçimide yazabiliriz. 8

187 0, 0067 Şimdi, 46 0,9054, orada da = elde edilir. Bua göre faiz 0, 0074 döem süresi =,457 yıl olduğuu buluyoruz; bu ise tam yıl 5 ay güdür. Çözüle her iki örekte döem sou faizleme söz kousudur. Faizleme döem başı olduğu durumda da ayı şekilde ifade edilir. Böyle durumda karşılık gele döem başı tablolar ve döem başı faiz katsayısı ya da iskoto katsayısı belirtilir. Doğrusal iterolasyou uygulaması ayı şekilde yaılır. Yukarıda elde edile formüllere gereke cebirsel döüşümleri yaarak, kaitali başlagıç ya da gelecekteki değeri formülleride, faiz oraıı değeri hariç diğer arametreler bilidiğide, bilimeye faiz oraıı da belirtebiliriz. Döem sou faiz oraı %.a.(d), yıl içideki faiz döem sayısı m, faiz süresi yıl ola bir faizlemeyi iceleyelim. Kaitali gelecekteki değerii hesalamak içi uygulaa K m K, 00m formülüde, elde edilir. Bu deklemde faiz oraı içi: 00 m K K 00 m m K formülü elde edilir. m K 5. Hagi yıllık döem sou faiz oraıyla 8 yılda, dört aylık faiz döemleriyle bir aaaraı getirdiği faiz miktarı kedisie eşit olacaktır? Ödevi koşulua göre I 8 = K dir. Buu I 8 = K 8 K faiz deklemide yerie koyarsak K = K 8 K elde edilir. O halde K 8 = K olur. = 8, m = değerlerii yukarıda elde edile faiz oraı formülüde değiştirmekle: 8,79%. a d K K. elde edilir. Ayı örekte, faiz oraıı hesalamak içi kullaıla i / i tablolarıda faiz oraıı asıl hesaladığıı gösterelim. Yukarıdaki öreklerde bilimeye zamaı belirtilmeside uygulaa doğrusal iterolasyoda, şimdi yaılacak işlemi tek farkı, tablo değerleride başka, tabloda etki faiz oralarıı da yazacağız. Böylece, yukarıdaki veriler gereğice m I K, faiz hesalama formülüde verileri yerlerie değiştirmekle m 8

188 , 8 m I K m elde edilir. Bu durumda I 8 = K olduğua göre, birici fiasal tablou değeri içi 4 I burada da I 4 elde edilir. i / i tablosuda, faiz oraı sütuuda %,75 faiz oraıa karşılık,9766 değeri elde edilir; faiz oraı sütuuda ise % faiz oraıa,0749 değeri karşılık gelir. Bizim aradığımız değer tam bu iki değer arasıdadır. Tabloda okuduğumuz değerleri yazacağız. 4 4,9766 %,75 %, 9766 %,75 %,0794 % % 0,568 0%0,75 % 0, , Tablodaki değerleri farkları, faiz oralarıı farklarıyla ayı oratıda olduğua göre şu oratıyı yazabiliriz: 0,568 : 0,75 0,0879 :, 75. 0,75 0,0879 Bua göre,,75, ifadeside etki faiz oraı içi %,98 elde 0,568 edilir, yai omial döem sou faiz oraı = %8,784.a.(d) olduğuu buluyoruz. Elde edile bu değer öcekide biraz farklıdır; bu ise tablodaki değerleri yuvarlamasıda kayaklaır. 6. Hagi döem başı faiz oraıyla dear yarım yıllık faiz vadesi ile yılda dear olur. Araıla formülü, m 00m K K, 00m kaitali gelecekteki değeri formülüde doğruda doğruya bulacağız. Deklemi bilimeye değer ye göre çözelim: 84

189 00m K m, 00m K ya da 00m 00m. K m K elde edilir. Bu so eşitlikte döem başı faiz içi: K 00m 00m m K elde edilir. Souç olarak K 00m m K formülü elde edilir. Kokre örekte, =, m = olduğua göre: K ,906 K 0000 elde edilir. 9,8% %9,8.a.(a). a Alıştırmalar. Bakaya yatırıla dearı e kadar zamada gelecekteki değeri dear olur; faizleme döemleri yarım yıllık ve faiz miktarı: a) = %8.a.(d) b) = %8.a.(a).. Faiz döemleri aylık olmak üzere, %7 faiz oraıyla bakaya yatırdığımız 0000 dear kaital a) döem başı; b) döem sou; faizleme ile e kadar zamada baka hesabımızda dear olacaktır?. Bakaya yatırıla dear kaital 5 yılda dear olmak içi, üç aylık faiz döemleriyle a) döem başı; b) döem sou faizleme, hagi yıllık faiz oraıyla yaılmalıdır? 4. Faiz vadesi yıllık olmak üzere, hagi döem sou faiz oraıyla 8 yılda aaara iki katıa erişir? Ödevi i / i tablolarıyla da çözüüz. 85

190 5. Bugü bakaya dear yatırdık, iki yıl sora dear hesata çekeceğiz. Faizleme döemleri aylık olmak üzere bu güde dört yıl sora hesabımızda dear olursa, faizleme hagi faiz oraıyla yaılmıştır? Döem sou ve döem başı faizleme yötemlerii ayrı ayrı iceleyiiz dear borç %4.a.(d) faiz oraıyla dört eşit taksitle ödemelidir. İlk taksit 4 yıl sora, ikici taksit 6, üçücüsü 5 ve dördücüsü 8 yıl sora ödeecektir. Ayı faiz oraıyla ve yıllık faiz döemleriyle tüm borç kaç yıl sora birde ödeebilir? 7. Bir kişii, bugü bakaya yatırdığı bir miktar arası yıl ve altı ay sora dear olmuştur ve buda dear faiz miktarı elde etmiştir. Faizi hesalaması yarım yıllık döemlerle olduğua göre, ara hagi faiz oraıyla yatırılmıştır? 8*. Biri 5. doğum güüde bakaya dear yatırmış ve. doğum güüde hesabıda dear olduğuu bakada haber almıştır. Faizleme döemleri yarım yıllık olduğua göre, ara hagi faiz oraıyla bakaya yatırılmıştır? 9*. Bakaya yıl öce dear yatırılmış, bugü dear hesata çekilmiştir. Bir yıl sora bakaya daha dear yatırılacaktır. Faiz oraı %0.a(a) yıllık faizleme olduğua göre e kadar zama sora baka hesabımızda dear olacaktır? 7.6. Kou Pekiştirme Alıştırmaları. Bugü bakaya dear yatırıyoruz. Faiz oraı %5.a.(d) ve faizleme üç aylık döemlerle olmak üzere 5 yıl 5 gü sora hesabımızda kaç ara olacaktır? Buu bileşik faiz hesabıyla ve basit ve bileşik faiz kombiasyou uygulayarak hesalayıız tarihide bakaya 000 dear yatırmıştık. Yıllık faizleme vadesi, %0.a.(a) faiz oraıyla..00 tarihide hesabımızda e kadar ara birikecektir?. Yei yıl ikramiyesi sayeside, geçe yılı so güüde bakaya dear ara yatırdık. Üç yılda sora yıl souda hesabımda dear çekmeliyim, yatırımı ilk güüde beş yıl geçtikte sora daha dear yatıracağız. Faiz oraı %.s.(d), faiz döemleri üç ay olmak üzere, bu güde 8. yıl soua kadar baka hesabımızda kaç ara birikecektir? dear borç üç eşit taksitle geriye çevrilecektir. Taksitlerde biricisi bir yıl sora, ikicisi dört yıl sora ve üçücüsü altı yıl sora ödemelidir. Faiz oraı %0.a.(d), yarım yıllık faizleme döemleriyle olmak üzere, yıl altı ay sora borcu tümüü birde çevirmek içi kaç ara ödemesi gerekir? 86

191 5. Bir kişi tasarruf yatığı bakada, bu güde itibare 8 yılda ödeme koşuluyla dear borç almak istemiştir. Bu gü dear yatırıyor ve beş yıl sora daha dear yatıracak ve borcu kalaıı varsa 0 yıl sora ödeyecektir. Faiz oraı %8.a.(d), yarım yılık döem faizlemesiyle 0 yıl sora borç e kadar olacaktır? 6. Faiz oraı %8.a.(d), üç aylık faiz döemleriyle faizlee bir borç, 5 ay sora dear biriktiğie göre, borcu şimdiki değeri e kadardır? a) Sadece bileşik faiz hesabıı kullamakla; b) so ay içi, bileşik ve basit faiz hesaları karmasıı uygulamakla. Faiz miktarıı da hesalayıız. 7. Kaç yıl sora dear, yıllık faiz hesalaması uygulayarak, %5.a.(d) faiz oraıyla 74669, dear olacaktır? Ödevi cebirsel şekilde ve i / i tablolarıda yararlamakla çözüüz. 8. %6,5.a.(d) faiz oraıyla, yarım yıllık faizleme uygulayarak herhagi bir miktar ara kaç yıl sora üç katı kadar artacaktır? Ayı koşullar altıda faizleme döem başı faiz oraıyla yaıldığıda, zama e kadar değişecektir? Hem cebirsel hem de fiasal tabloları kullaarak hesalamayı yaıız. 9. Bakaya 5 yıl öce dear, 8 yıl öce de dear yatırılmıştır. Bugü daha kaç ara yatırmalıyız ki 0 yıl sora birike ara dear olsu? Faiz oraı %4.a. yarım yıllık döem sou faizleme uygulaacaktır. 0. Faiz oraı %6.a.(a), yarım yıllık faiz hesalaması uygulayarak hagi kaitali yıl ve ayda getireceği faiz miktarı, ayı koşullar altıda dearı 0 yılda getireceği faiz miktarıa eşit olacaktır?. Sattığı mal karşılığı bir kişiye farklı teklif gelmiştir: ) dear eşi ve %5.a.(d) faiz oraıyla dear 8 yıl 7 ay 0 gü sora ödeecektir; ) %6.a.(d) faiz oraıyla 0,5 yıl sora dear ödeecektir; ) dear eşi ve %.a.(d) faiz oraıyla dear 5 yıl ve 6 ay sora ödeecektir; Hagi teklif e uygu olduğuu hesalayıız dear ara %5,4.a.(d) faiz oraıyla, dear ara ise %9,6.a.(d) faiz oraıyla bakaya yatırılmıştır. Faizleme döemleri aylık olduğu durumda, e zama her iki kaitali faiz miktarı ayı olacaktır? İkici kaitale döem başı faizleme uygulaıyorsa faizleri eşit olduğu zama e kadar değişecektir? 87

192 dear bir borç: 8 yıl sora %.a.(d) faiz oraıyla, dear 0 yıl sora %4.a.(d) faiz oraıyla ve yıl sora %6.a.(d) faiz oraıyla dear ödeecektir. Faizleme döem sayısı yılda iki defa, yai yarım yıllık olduğua göre, borç 5 yıl sora birde ödediği takdirde hagi faiz oraıyla ödeecektir? 4. Sıırlı sorumluluğu ola bir şirketi borçları: - 5 yıl sora ödemesi gereke %5.a.(d) faiz oraıyla dear; - 8 yıl sora ödemesi gereke %6.a.(d) faiz oraıyla dear; - yıl sora ödemesi gereke 8.a.(d) faiz oraıyla dear. Ayı zamada 0 yıl sora %.a.(d) faiz oraıyla dear şirketi alacağı vardır. 5 yıl sora %5.a.(d) faiz oraıyla yıllık faiz hesalaması olmak üzere, ödeecek borcu dekleşmesi (saldosu) bileşik faiz hesabıa göre e kadardır? 5*. Bir kişi 4. doğum güüde bakada hesabıa dear ara yatırmıştır. 8. doğum güüde de daha 000 dear ve 4. doğum güüde ise dear hesabıda çekmiştir. Faiz oraı %8.q.(d) üç aylık döemli faizleme ile kişii 46. doğum güüde hesabıda e kadar arası olacaktır? Koform faiz oraıı uygulayıız. 6. SİGA şirketi bir malı eşi ödemek koşuluyla deara satmaktadır, GASİ şirketi ise, %5.m.(d) faiz oraıyla ve üç aylık döemli faizleme bazıda yıl sora ödemek koşuluyla ayı malı deara satmaktadır. Hagi teklif daha uygudur? 7*. yıl öce bakaya dear yatırdık, bir yıl sora hesata dear çekmeliyiz, yıl sora daha dear hesabımızda çekeceğiz. Faiz oraı %4.a.(d), yarım yıllık faizleme vadesiyle e kadar zamada sora baka hesabımızda dear olacaktır? 8. yıl öce baka hesabımıza dear yatırdık, yıl sora ise 000 dear hesata çekeceğiz. Yıllık faizleme döemleriyle %5.a.(d) faiz oraıyla 7 yıl sora tolam e kadar faiz miktarı elde edilecektir? 9. İki yıl üç ay öce bakaya yatırıla ara bu güe kadar elde edile faiziyle beraber deardır. Bu arada hesalaa faiz miktarı deardır. Faizi hesalaması üç aylık döem vadeli yaıldığıa göre, hagi döem sou faiz oraıyla hesalamıştır? Döem başı faizleme yaıldığı durumda faiz oralarıdaki fark e kadardır? 0*. Baka hesabıa bir yıl ve ay öce 000 dear yatırılmış, iki yıl üç ay sora ise hesata dear çekilmiş ve baka hesabıda ara kalmamıştır (saldo 0). 88

193 Faizleme yarım yıllık döem vadeli yaıldığıa göre, faiz hagi döem sou faiz oraıyla hesalamıştır? *. Bugü, iki farklı bakada iki eşit miktar ara yatırılmıştır. Biride faiz oraı %6.a.(d), diğeride ise %0.a.(d) dir. Kaç yıl sora birici bakada birike ara, ikici bakada birike arada iki defa daha çok olacaktır? Faiz hesalaması yarım yıllık vadeli, bu zama esasıda faizleri farkı 00 dear olduğua göre, yatırıla ara miktarı e kadarmış? 89

194 KONU ÖZETLERİ Bir kaitali faizii hesalaması basit ve bileşik olabilir. Basit faiz, bir yatırımı, yatırım vadesi süresice sadece aaarasıı kazadığı faiz oraıdır. Yatırıla miktar ara her döemde değişir, yai her döem souda elde edile faiz miktarı aaaraya eklemekle yatırım miktarı büyür ve gelecek döemde ayısı aaara ekleirse bileşik faizde söz edilir, yai: bir yatırımı yatırım vadesi boyuca kazadığı faizi de yei yatırım vadeside yatırıma tabi tutulması soucu elde edile getiriyi göstere faizdir. Diğer bir deyişle faizi de faiz kazamasıdır. Bileşik faiz, yılda bir defa, iki defa ya da birçok defa hesalaabilir. Faizi hesaladığı zama aralığıa faiz hesalama vadesi deir. Basit faiz hesalamasıda dört temel büyüklük şulardır: K - aaara (temel kaital başlagıç miktar) i - faiz miktarı faiz oraı (yüzde olarak), 00 dear araı zama birimide getirdiği faiz. t - araı faizde kaldığı süre yıl olarak, ya da daha küçük ölçü birimide de olabilir. m bir yıl içeriside faiz hesalaması, daha doğrusu, bir yıldaki faiz hesalama döemleri sayısı. Faizi yıllık hesalaması (a) ile, yarım yıllık hesalaması (sömestreli) (s) ile, üç ayda bir hesalamayı (kvartal) (q) ile, ayda bir vadesi (m) ile ve adı geçe her döemlik hesalamalarda faiz oraı yıl bazıda sayılmaktadır. Faiz oraı, yıllık faiz oraı gibi verildiğide.a. biçimide işaret yazılır, yarım yıllık faiz oraı olarak alıırsa.s. işareti yazılır. Üç aylık bazıda da faiz oraı verilebilir ve bu durumda.q. biçimide ya da aylık bazıda olursa.m. işareti yazılır. Bu şekilde verilmiş ola faiz oraıa omial faiz oraı deir. Acak fiasma ya da yatırımlarla ilgili kararlarda döem uzuluğu yıl olduğu kadar yılda daha kısa süreli olabilir. Bu gibi durumlarda yıllık olarak verile faiz oraıda etki faiz oraı (rölatif faiz oraı) buluarak işlem yaılmalıdır. Etki faiz oraıı, yıllık omial faiz oraıı (cari faiz ya da iyasa faiz oraı da deile) yıl içideki döem sayısıa bölümesiyle buluur. Her döem souda faiz hesalaarak aaaraya katılırsa döem sou faizleme söz kousu olur; böyle durumda faiz oraı.a.(d) ile işaret edilir. Döem sou faizlemei faiz hesalaması başlagıçta yatırıla aaaraya uygulamaktadır. 90

195 Faizleme her döem başlagıcıda yaılırsa, döem başı faizi hesalaması içi temel değer, döem souda elde edile aaaradır; bu işleme döem başı (atisiatif) faizleme deir ve.a.(a) ile işaret edilir. Tüm faiz vadeside elde edile faiz miktarıı temel değere katmakla elde edile birikmiş değere, kaitali gelecekteki değeri deir. Faizlemesi yaıla temel değeri başlagıç miktarıa K ı şimdiki değeri de deir. Döem sou faizleme oraı, bir yılda faiz döem sayısı m ve m K Kr formülüyle hesa- sou faiz katsayısı olmak üzere K kaitalii gelecekteki değeri laır. r döem 00m 00m Peşi (atisiatif) faizlemede, faiz oraı, bir yılda faiz döem sayısı m ve 00m m döem başı faiz katsayısı olmak üzere K kaitalii gelecekteki değeri K K formülüyle hesalaır. Faiz ister yıllık hesalamayla, ister yılda birkaç devrede faizi hesalamasıyla ayı faiz miktarıı vere faiz oraıa koform faiz oraıı deir ve k,m ile işaret edilir. Bir yılda m defa faizleme ile ve yılda bir defa faiz oraı olmak üzere yaıla faizleme ile ayı faiz miktarı vere koform faiz oraı şu formül ile hesalaır: 00 m k, m. 00 Verile K kaitali gelecekteki değeri K bilidiğide, temel değeri şu formüllerle hesalaır: K K r m K ( ) 00m m döem sou faizleme içi ve K K m K 00m m eşi (atisiatif) faizleme içi. 9

196 Birike araı başlagıç değerii bulma işlemie, iskotolama, ya da birike değeri başlagıç değerii belirtme deir. Faiz oralarıı çarımsal ters r -m ve - m değerlerie iskoto katsayıları (faktörleri) deir. Faiz oraı ve yıl içideki faiz döem sayısı m ola döem sou faizlemede r döem sou faiz katsayısı olmak üzere, faiz miktarı şu formül kullaılır: m I K r, Peşi (atisiatif) faizleme durumuda faiz oraı ve yıl içideki faiz döem sayısı m, döem başı faiz katsayısıdır olmak üzere faiz miktarı şu formülle hesalaır: I m K, Faizleme döem sou, %.a.(d) faiz oraıyla, yıl içideki döem sayısı m ve r döem sou faiz katsayısı olmak üzere faiz süresi şu formülle hesalaır: 00 m m K log log r K Bezer şekilde, faizleme döem başı (atisiatif) olduğu durumda, faiz oraı %.a.(a), yıl içideki faiz döem sayısı m olduğuu varsayarak şu formül kullaılır: K log. mlog K Yıl içideki faiz döem sayısı m, faiz süresi yıl olduğuu farz ederek yıllık döem sou faiz katsayısı şu formülle hesalaır: K 00 m m K 9

197 8. PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VE PERİYODİK ALACAKLAR (KİRALAR) 8.. Periyodik Yatırımlar Basit ve bileşik faiz hesalarıı uyguladığımız öreklerde, belli miktarda arasal varlıkları sadece bir defa yatırıldığı, ya da farklı döemlerde yatırıla veya isteildiğide hesata çekile miktarları icelemiştik. Bu durumda, yatırımları bazıları eşit, bazıları ise farklı, belli bir kurala göre değişebile, öreği aritmetik ya da geometrik diziler özelliğie göre arta ya da azala veya tasarrufta olduğu gibi öcede belli bir kurala göre uymaya yatırımlar olabilir. Halbuki çok kez, eşit zama aralıklarıda yatırımları tekrarladığıa rastlıyoruz. Böyle durumlarda söz kousu mevduattır. Mevduat belli bir süre souda veya isteildiğide çekilmek üzere bakalara faizle yatırıla aradır. Mevduatlar belli sürelerde ayı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adladırılıyorlar. Yatırımlar, ödemeler serisii başlama oktasıa göre döem başı (atisiatif) ve döem sou (dekurzif) mevduatlar olarak ikiye ayrılıyorlar. Yatırım esasıda her mevduatı faizi, yatırıldığı güde tüm mevduatları tolam değerii hesaladığı aa kadar hesalaır. Döem başı ya da döem sou faizledirme uygulaabilir. Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda ayı, bazı durumlarda ise farklı, yai mevduat vadeleride daha sık ya da daha seyrek olabilirler. Pek sık tüm mevduatları tolam değeri e kadardır, sorusu sorulmaktadır. Yatırım esasıda faizi hesalamış tüm mevduatları tolamıa yatırımı gelecekteki değeri deir. Şimdi, sadece yatırım döemleri faiz vadeleriyle dek gele sabit (değişmeye) bireysel eriyodik yatırımları iceleyeceğiz. Yıl esasıda sadece bir mevduat ödediği durumda, söz kousu yıllık mevduat olur, yatırım yılda iki defa yaıldığıda, altı aylık (yarım yıllık) mevduat, yılda dört defa yatırım yaıldığıda üç aylık (çeyrek yıllık) mevduat biçimide adladırılır. Yatırım ayda bir yaılırsa aylık mevduat olur. Burada da faizledirme vadesi yıllık, altı aylık, üç aylık vb. olabilir. Alıştırmalar. Mevduat edir? Mevduatı temel özellikleri edir?. Faizii hesalamasıa göre mevduatlar asıl olabilir?. Yatırım sayısıa göre asıl mevduatlar fark edebiliriz? 9

198 4. Yatırım süresie göre asıl mevduatlar fark edebiliriz? 5. Mevduatları gelecekteki değeri edir? 8.. Mevduatları Gelecekteki Değerii Hesalamak Her bireysel mevduatı değeri V olsu. Bireysel mevduat sayısı, faiz oraı döem sou uygulaa % olsu. Faiz vadesi, yatırım vadesiyle ayıdır. Mevduatı ödemesi döem başı olsu (her vadei başlagıcıda ödeme yaılsı). Vade sou faiz katsayısı r olduğuu 00 biliyoruz. Her bireysel mevduat içi bileşik faiz hesabıı uygulayarak faiz miktarıı bulmakla, mevduatları gelecekteki değerii elde edeceğiz. Şek. de yatırımlar ve faizledirmeler gösterilmiştir. Şek. Birici vadei başıda yatırıla birici mevduat, vade içi, karşılık gele r faiz katsayısıyla so vadei soua kadar süre içi faizi hesalaır ve değeri Vr dir. Yatırıla ikici miktar V, ayı şekilde vade içi so vadei soua kadar faizi hesalaır ve değeri Vr - dir. Bu şekilde kala tüm bireysel yatırımları faizleri hesalaır. Soda ikici ola yatırım zamaıa dek gelir ve iki vade içi faizleir ve değeri Vr dir, so yatırım ise sadece bir vade içi faizleir ve değeri Vr dir. Faiz döemii soua kadar faizleri hesalamış ola tüm döem başı yatırımları tolamı: S = Vr + Vr Vr + Vr = V (r + r r + r )= Vr (r - + r r +). olduğuu buluyoruz. Paratez içideki ifade ilk terimi r ola terimli bir geometrik dizisii tolamıdır. Geometrik dizileri ilk terim tolamı formülüde yararlaarak, yatırımları döem başı faizledirme ile döem başı yatırımları tolamı içi şu formül elde edilir: S r Vr r. Not. Faizi faizi i / i tablolarıda, bir ara birimi bazıda döem sou yatırımları r tolamıı ifade ede r ifadesii değeri III işareti altıdaki cetvelde verilmiştir. Demek r 94

199 r r r ki, üçücü tablodaki değerler içi III = dir. Bu ifade i / i tablosuda, ayı faiz oraıda k de e kadar vadeleri I değerlerii tolamakla elde edilir, yai III = I... I I dir. Burada, yatırımlar yılda %.a.(d) faiz oraıyla yaılmıştır. Bua göre, döem başı faizlee yatırımları tolamı: S V. formülüyle ifade edilir. Not. Her bireysel vade içi faiz oraı döem başı olarak verilirse, döem başı faiz katsayısıı kullaacağız. Böyle durumda döem başı faizlee yatırımları tolamı S V, 00 formülüyle ifade edilecektir. Burada döem başı faiz katsayısıdır. Böylece üçücü 00 i / i tablosuda yararlaarak, döem başı faiz oraı olmak üzere S V III formülü elde edilir. Ödevleri çoğuda yatırımları tolam sayısı değil de, yıl bazıda yatırım sayısı ve yatırımı zama aralığı (vadesi) verilmiş olabilir. Öreği, yıl boyuca, yılda m defa yatırım yaılıyor. Böyle durumda yatırımları tolam sayısı m çarımıa eşittir.. Bugüde başlayarak gelecek iki yıl esasıda, her üç ayı başlagıcıda er dear yatırmaya başlıyoruz. Faiz oraı %0.a.(d) üç aylık vadeli olmak üzere, ikici yılı souda tolam e kadar aramız olacaktır? Her bireysel yatırımı değeri V aq = deardır. Yatırımları sayısı, her yıl dörder mevduat 4 8, döem sou faiz katsayısı ise, üç aylık vadeli faizledirme ile hesalaacaktır. Bua göre, faiz oraı 0 %,5 4.q.(d) dir (çeyrek yıllık faiz oraı). O halde,5 r, olduğuu buluyoruz. Döem başı yatırımları gelecekteki değeri: 8 r,05 S Vr 5000, r,05 olduğuu buluyoruz. Başlagıçta verile tüm koşullar geçerli olsu, her yatırımı değeri V, mevduat (yatırım) sayısı, faiz oraı döem sou % ve faizledirme vadesi, yatırımları vadesiyle ayı olsu. 95

200 Şek. Döem sou faiz katsayısı r olsu ve yatırımlar her eriyodu souda olsu, yai yatırımlar döem sou olsu. Şek. de görüldüğü gibi, so yatırımı faizi hesalamaz, soda biricisi bir defa faizleir, ikicisi iki defa ve geriye doğru sayarke ikici yatırım defa ve ilk yatırım defa faizleir. Bulara karşılık gele faizlemiş miktarlar sırasıyla V, Vr, Vr,...,Vr -, Vr - dir. Faizlemiş yatırımları tolamı (gelecekteki değer) içi: S = V + Vr + Vr Vr - + Vr - = V (l + r + r r - + r - ) elde edilir. Paratez içideki ifade, ilk terimi ve ortak çaraı r ola bir geometrik dizisii terimii tolamı olduğua göre, döem sou yatırımları gelecekteki değeri içi şu formülü elde ediyoruz: r r S V. r r Not. ifadesii i / i tablolarıda III biçimide buluabilir. Demek ki, r döem sou faizlee yatırımları tolamıı hesalamak içi formül: S V. şeklide yazılabilir. Not 4. Döem başı faizledirme uyguladığı durumda, yatırımları gelecekteki tolam değeri içi formül: S V, 00 şeklide ifade edilir. Burada döem başı faiz katsayısı, dir. Üçücü i / i tablolarıda yararlamakla döem sou faizlemiş döem sou yatırımları gelecekteki tolam 00 değeri içi formül: S V. dir.. Bakaya her yıl souda dört yıl boyuca dear yatırılıyor. Yıllık vadeli faiz oraı %6.a.(d) olduğua göre, dördücü yıl souda yatırımı gelecekteki değeri e kadardır? Ödevi koşullarıa göre, V da = 0000 dear, = 4, r =,06 dır. Vade sou yatırımları gelecekteki değeri içi: 96

201 4 r,06 S V dear elde edilir. r,06 Döem sou faizlemiş döem başı yatırımları gelecekteki değeri, ayı koşullar altıda, döem sou faizlemiş döem sou yatırımları gelecekteki değeride r kat daha büyük olduğuu fark edebiliriz, yai a r d S Vr r S, r a d dir; Faizledirme döem başı olduğu durumda ise S V S dir. Demek ki döem başı yatırımlar, döem başı faizledirme ile elde edile gelecekteki değer, ayı yatırım ko- şullarıyla, döem sou yatırımları döem başı faizledirme ile elde edile gelecekteki değeri katıdır. a (Daha kısa olarak, döem başı yatırımları gelecekteki değerii S ile, döem sou yatırımları gelecekteki değerii ise S d ile işaret edeceğiz).. Bir kişi, bir buçuk yıl esasıda her ay souda 000 er dear ara yatırıyor. Faiz oraı %6.a.(d) aylık vadeli hesalama ile, yatırdığı araı gelecekteki değeri e kadar olacaktır. Ödevi koşullarıa göre, V dm = 000 dear, = %6.a.(d) dir. Yatırımları tolam sayısı 6 = -,5 = 8 (yılda mevduat), aylık faizledirmeye karşılık gele faiz oraı %, yai 0,5 %0,5.m.(d). Döem sou faiz katsayısı r, 005 dir. 00 Döem sou yatırımları gelecekteki değeri: 8 r,005 S V dear olduğuu buluyoruz. r, Bir kişi 5. doğum güüde başlayarak 0. doğum güüe kadar her altı ay souda 8000 er dear baka hesabıa yatırıyor. 5. doğum güüde hesabıda dear çekmesi gerekiyormuş. Faiz oraı = %8.a.(d) altı aylık faiz vadesiyle hesabıda gereke ara birikecek mi? Kişi, 5 yıl boyuca döem sou V ds = dear yatırımlar yaıyor. 0. doğum güüde yatırımı gelecekteki değeri daha 5 yıl faizde kalıyor (şek. ). Soru şudur: 5. doğum güüde 0 hesabıda birike ara dearda büyük ya da eşit olacak mı, yai S r mıdır? Faiz katsayısı r,04 ve yatırımları tolam 00 97

202 sayısı = 0 dur. yatırımlar Şek Bua göre, 0 0 r 0,04 V r , r,04 dear olduğuu buluyoruz. Demek ki, dear arasıı çekmek içi yatırımcıı hesabıda gereke arası varmış. Alıştırmalar. Bir yatırımcı her yarıyıl başıda 6 yıl boyuca dear a) yarıyıllık faiz vadeli %4.a. (d); b) yarıyıllık faiz vadeli %4.a. (a) faiz üzeride yatırırsa 6 yılı soudaki yatırım tutarı (gelecekteki değeri) e kadar olur?. Her yılı souda 0 yıl boyuca, yıllık faiz vadeli %4.a.(d) faiz üzeride dear yatırıyoruz. So yatırım güüde yatırımları tutarıı hesalayıız.. Her yarıyıl souda yıl boyuca, altı aylık faiz vadeli %8.a.(d) faiz üzeride 000 dear yatırılıyor. Yatırımlar a) döem sou; b) döem başı olduğua göre, yatırımı gelecekteki tutarıı hesalayıız. 4. Her ay souda 8 yıl boyuca 000 dear mevduat, a) aylık faiz vadeli %.a.(d); b) aylık faiz vadeli %.a.(a); faiz üzeride yatırılıyor. Yatırımları gelecekteki değerii hesalayıız. 5. Ödev 4 teki koşullar altıda fakat mevduatlar döem başı olduğu durumda yatırımı gelecekteki değerii hesalayıız. Elde edile değerleri kıyaslayıız. Hagi mevduat şekli ve hagi faiz oraı üzeride yatırımları e büyük gelecekteki değeri elde edilecektir? 98

203 8.. Bireysel Mevduatı Değerii Hesalamak Faiz oraı %.a.(d), mevduatları gelecekteki değeri (tutarı) S ve yatırım süresi verilmiş olsu. Sabit mevduatı tutarıı hesalamak içi, Döem başı mevduatı gelecekteki değeri r S Vr formülüde V mevduatı içi r elde edilir. r V S. r r. Beş yıllık yatırım souda, yatırımları tutarı dear olmuştur. Her yıl başlagıcıda yıllık vadeli %6.a.(d) faizi üzeride yatırıla mevduat e kadardır? Burada, r =,06 döem sou faiz katsayılı döem başı mevduat söz kousudur. Tolam = 5 mevduat yatırılmış ve yatırıla miktarları tutarı S = deardır. Hesalaması gereke, bireysel yıllık faiz vadeli mevduat tutarıdır. Öreğimizde verile değerleri formülde yerie,06 değiştirmekle, V a 5,06,06 dear elde edilir. %,.a.(d) faiz oraı, mevduatları gelecekteki tutarı S ve yatırım süresi bilidiği durumda, sabit mevduatı hesalaması içi, döem sou vadeli mevzuatı gelecekteki tutarı r S V formülüde V içi şu formül elde edilir: r r V S. r Not.. Faiz hesalaması döem başı olduğu durumda, bireysel mevduatları karşılıklı değerleri şu formüllerle hesalaacaktır: döem başı mevduatlar içi V S, döem sou mevduatlar içi V S.. Beş yıl sora deara ihtiyacımız olacaktır. Her yarıyıl souda 5 yıl boyuca e kadar mevduat yatırmalıyız? Faiz oraı %5.a.(d) yarıyıl vadelidir. 99

204 Yatırımlar sayısı = 0, S = dear, döem sou faiz katsayısı ise 5 r, 05 tir. O halde, 00 r,05 V S r,05 dear olduğuu buluyoruz.. İlerdeki üç yıl boyuca, her üç ay başıda üç aylık mevduatlar ödeecektir. Bu güde beş yıl sora sadece bir defa mahsus dear yatırılacaktır. Yedi yıl sora hesabımızda dear çekmeliyiz. Üç aylık vadeli faiz oraı %8.a.(d) olduğua göre, bireysel mevduat e kadar olmalıdır ki, bu güde yedi yıl sora hesabımızda 5000 dear olsu? Yatırımları ve çekile miktarı zama ekseide gösterelim (şek.4). yatırımlar Şek. 4 Mevduatları tolam gelecekteki değeri hesaladıkta sora bu miktar daha dört yıl faizde kalır. Yatırıla dear da yıl faizde kalır. Çekile dearda sora şu deklem elde edilir: 44 4 S r r So deklem, bu güde gelecekteki yedi yıl süreside yaılacak işlemleri göstermektedir. r Bu durumda döem başı yatırımları gelecekteki değerii hesalaya S Vr formülüde =, döem sou faiz katsayısı r, 05 tir. Üç aylık etki faiz oraı % dir. r S tutarı 6 defa faizleir, dear ise 8 defa faizleecektir. O halde,0 6 8 V,0, ,0 5000,0 V 8, elde edilir. Bua göre mevduatı değeri V aq = 469 deardır. Not. İcelee so örekteki ödevlere bezer ödevleri çözerke yukarıda yaıldığı gibi, yatırımları zama ekseide göstermekle, faizledirme eriyotlarıı daha kolay hesalayabilirsiiz. 00

205 Alıştırmalar. Döem sou altı aylık vadeli mevduatları 7 yıl boyuca yatırılmasıyla dear tutar elde edilmiştir. Faiz oraı: a) altı aylık vadeli %4.a.(d); b) altı aylık vadeli %4.a.(a); olduğua göre bireysel mevduatı değeri e kadardır?. Döem başı yıllık vadeli mevduatları 6 yıl boyuca %5.a.(d) faiz üzeride yatırılmasıyla hesabımızda 7 40 dear olmasıı istersek, bireysel mevduat e kadar olmalıdır? Faiz vadesi yıllıktır.. Bir kişi baka hesabıa 5. doğum güüde 40. doğum güüe kadar, döem sou üç aylık vadeli sabit olmak üzere e kadar ara yatırmalıdır ki, baka hesabıda 50. doğum güüde dearı olsu? Faiz oraı üç aylık vadeli %6.a.(d) dir. 4. Bir kişi yıl altı ay boyuca, sabit değerli üç aylık döem başı mevduatlar yatırı döem souda hesabıda dear arası olmuştur. Üç aylık vadeli %6.a.(d) faiz üzeride yatırıla bu mevduatları bireysel değeri e kadardır? 5*. Bir kişi 5 yaşıda 40 yaşıa kadar, vade sou altı aylık mevduatları bakaya yatırıyor. 4 yaşıı souda dear hesata kaldırmak ve 47 yaşıı souda hesabıda dear olmasıı isterse, kişi hesabıa e kadar ara yatırmıştır? Faiz oraı %8.a.(d) ve faizledirme altı aylıktır Mevduat Sayısıı ve So Mevduatı Hesalaması r Mevduatı gelecekteki değerii (tutarıı) hesalamak içi kulladığımız S Vr r r döem başı mevduatlara ait ve S V döem sou mevduatlara ait formüller gereğice, r gelecekteki değer tutarı, bireysel mevduat değeri ve faiz oraı bilidiğide, yatırımları sayısı hesalaabilir. Döem başı mevduatlar içi r S r Vr S r r, Vr geçerlidir. Orada da S r r. Vr elde edilir. 0

206 Yatırımları sayısı sadece logaritma işlemiyle belirtilebilir. Logaritma işlemii temel özellikleride yararlaarak: S r log r log Vr Vr S r log r log Vr Vr S r log. log r Vr elde edilir. Daha kolay hesalama yamak içi, yatırımları gelecekteki değeri formülüde, verile değerleri değiştirilmeside sora elde edile ifadei logaritması alıır. Bezer şekilde döem sou mevduatlar içi V S r log. log r V formülü elde edilir. Not. Döem başı faiz oraı içi hesalamalar, döem başı mevduatları gelecekteki değerie karşılık gele formüllere yaılır.. Her yılı başıda %6.a.(d) yıllık vadeli faiz üzeride dear kaç defa yatırılmalıdır ki hesabımızda 46 7 dear olsu? 6 Mevduatlar döem başıdır. Döem sou faiz katsayısı r,06 dır. O halde, ,06,06, ,06 elde edilir. Bu ifadei 0 tabaıa göre logaritmii alırsak. log,06 = log,648 ve orada = 4 elde edilir. Demek ki dört yıl, yai dört defa yatırım yamalıyız dearlık mevduatlar %6.a.(d) yarıyıllık faizledirme üzeride her yarımyılda yatırılıyor. Yatırımları gelecekteki değeri so mevduatı ödediği güde 4065 dear olmasıı istersek, kaç mevduat ödemelidir? Şuu fark edelim, gelecekteki değer so yatırım yaıldığı güde hesaladığı takdirde yatırımlar döem soudur. Etki faiz oraı % olduğua göre r =,0 tür. Bua göre,, , burada da,0 =,447 ve souda =0 elde edilir. Demek ki,,0 0 mevduat ödemelidir.. Yatırımlar döem sou aylık vadeli, faiz oraı %8.a.(d) üç aylık faizledirme vadeli dearlık kaç mevduat yatırılmalıdır ki, gelecekteki değeri 700 dear olsu? 0

207 8 r Döem sou mevduat r,0 içi geçerlidir. O halde,,0 =,744 ve orada elde edilir. Ceva tam olsaydı, tam mevduat, yai yıl 400 r 4 er mevduat gerekecekti, halbuki elde edile değer yaklaşıktır. Ou tam değeri =,446 dır. Bu demektir ki, isteile ara tutarıı elde etmek içi mevduat sayısı de fazla olacaktır. Bu durumda, mevduat bilie dearlık ve. mevduatı değeri diğerleride küçük olacaktır. So mevduat, diğerleride farklıdır ve oa mevduatı kalaı deir. So mevduatı hesalaması içi bir formül bulalım. Mevduat sayısı tolam olsu ve bularda - taesii değeri ayı V, so mevduatı değeri V 0 V olsu. Zama ekseide döem başı mevduatları durumuu gösterelim (şek.5). Vade sou faiz katsayısı r içi: S Vr Vr... Vr V r, S burada da S 0 Vr r... r V0r Vr elde edilir u S V0 r r V r, r 0 r Vr S r r. r r V. r Şek. 5 Not. i / i tablolarıda yararlaıyorsak r ifadesi, II tablosuda verilmiş ola iskoto r r katsayısıa karşılık gelir, ifadesi ise tam III dir. Bua göre so mevduat r V S V. 0 şeklide yazılabilir. Not. Yatırımları sayısıı belirtirke, doğal sayı olmadığı durumda, içi hesalamada elde edile sayıda ilk büyük ola tam sayı alıır. Böyle durumda V 0 < V, mevduatı değeri V dir, soucuu ise V 0 dır. 0

208 Vade sou mevduatlarda ise, zama eksei şek. 6 da gösterilmiştir. Şek. 6 Böyle durumda S = Vr - + Vr Vr + V 0 dir. Eşitliği V 0 a göre düzeleyerek, geometrik dizisii ilk terim tolamı formülüde yararlamakla: r r r j V 0 elde edilir. S r Vr S r r r V r. Not. 4. i / i tablolarıda yararlaarak V S V. 0 formülüü yazabiliriz. Bu formül, döem sou yatırımlarda diğerleride farklı ola so mevduatı değerii hesalamak içi kullaılır. Not 5. Faiz hesalaması döem başı olduğu durumda, so mevduat içi şu formül elde edilir: döem başı yatırımlar içi V 0 S V, ve döem ur sou yatırımlar içi V 0 S V. 4. Yarım yıllık vadeli, faiz oraı %0.a.(d) altı aylık faizledirme vadeli dearlık kaç mevduat yatırılmalıdır ki, so mevduatta evvel tüm yatırımları gelecekteki değeri dear olsu? 0 r,05 tir. Gelecekteki değer, so mevduatta altı ay öceki birike aradır, 00,05 demek ki yatırımlar döem başıdır, yai ,05 elde edilir. Orada da,05,05 =,574 ve 6,6 elde edilir. Bu durumda = 7 alıır, yai 8000 dear olmak üzere 6 sabit mevduat yatırılır, so yedici mevduat ise özel olarak hesalaacaktır: 04

209 ,05,05 V ,05,05 elde edilir. Bua göre so mevduat 7 dear olacaktır. Not 6. So mevduatı değeri egatif sayı elde edildiği durumda, mevduatı gelecekteki değerii hesaladığı gü, baka mevduat sahibie o kadar ara geri çevirmelidir. Alıştırmalar. Altı ay vadeli döem başı 500 dear mevduatlarda kaç tae ödemeliyiz ki souda 5000 dearımız olsu? Faizi hesalaması altı aylık ve faiz oraı: a) %6.a.(d) ; b) %6.a.(a) olsu.. Üç aylık vadeli, %6.a.(d) faiz oraı üzeride dearlık kaç döem sou mevduat yatırılmalıdır ki, so mevduatı ödediği gü hesabımızda dear olsu? Faiz hesalaması aylık vadelidir.. Üç aylık vadeli, %6.a.(d) faiz oraı üzeride 000 dearlık kaç döem başı mevduat yatırılmalıdır ki, hesabımızda dear olsu? Faiz hesalaması aylık vadelidir. 4. Her iki ayı başıda 000 dear yatırılarak, so yatırımda iki ay öce baka hesabıda 7000 dear çekilmiş ve so yatırımda altı yıl sora hesabımızda dear aramız kalmıştır. So yatırım e kadardır? Faiz oraı %.a.(d), faiz hesalaması her iki ayda yaılmış olsu. 5*. Her yıl başıda 000 dear yatırılmıştır. So yatırımda dört yıl sora hesata 7000 dear çekilmiş ve so yatırımda altı yıl sora hesata dear kalmıştır. Faiz oraı %6.a.(d) yıllık faizledirmedir (dikkat ediiz, yatırım döem başıdır ve birike ara so yatırımda bir yıl sora hesalaır) Yatırımlarda Faiz Oraıı Hesalaması Döem başı yatırımları, döem sou faizledirmesiyle birike gelecekteki değeri hesalamak içi kulladığımız S Vr formülüde, S r ve V bilidiğide, bilimeye r faiz r katsayısıı, yai %.a.(d) değerii hesalamak içi 05

210 r S V S r V 0. deklemi elde edilir. Bu ise r katsayısıa göre bir oliom deklemidir ve geel olarak derecesi te büyüktür. Bu gibi deklemleri çözmek içi (bazı özel durumlar hariç), belli bir kural yoktur. Bu edele, bu gibi deklemleri bilie bazı ümerik yötemlerle çözeceğiz. Halbuki, amacımız şimdi ümerik yötemlerle deklemleri asıl çözüldüğüü öğremek değildir. Burada sadece ratik ödevleri yararıa faiz oraıı e kolay biçimde belirtmektir. Bu edele faiz oraıı hesalamasıı i / i tablolarıdaki değerleri kullaa S V. formülüe göre yaacağız.. Altı aylık vadeli döem başı 000 dearlık borç, hagi faiz oraıyla, 6. yılı souda dear olacaktır. Faiz hesalaması yarıyıllık olsu. Verile ödevde, tolam = 6. = ödeme vardır ve III geçerlidir III 6,5 olduğua göre, = içi tablolarda 6,5 değerie karşılık gele sayıyı 000 arıyoruz. Bu değer tabloda yoktur, fakat bua e yakı iki yaklaşık değer vardır: 6,95608 < 6,5 < 65, Bu değerlerde biri %,75, diğeri ise %4 faiz oraıa karşılık gelir. Bu iki değer arsı 6,5 değerie karşılık gele değeri belirtmek içi, doğrusal eterolasyo yamamız gerekir. Buu daha kolay yamak içi verileri tabloda yazacağız. 6,95608, 75 6, 95608, 75 65, , 5 Orada şu oratıyı kuruyoruz: 4,75: 65, ,95608,75 : 6,5 6,95608 yai 0,5 :,0467,75 : 0, elde edilir. Bu şekilde, tablodaki değerler arasıdaki oraa göre, faiz oraı aralığıı ara değerlemesi yaılır., 06

211 0, ,5 Bua göre,,75 0, 05, yai = %7,55.a.(d) elde edilir.,0467 Değerleri farkıda yararladığımıza göre, yukarıdaki tabloyu daha bir satır ile geişletecek ve bu farkları o satırda yazmakla işimiz kolaylaşacaktır. Ayı işlemleri döem sou yatırımlar içi de yaacağız. Yatırımları gelecekteki değeri r S V formülüde, faiz katsayısı r içi: r S S r r 0, V V deklemi elde edilir. Bu deklem de r değişkeli oliomdur. Yatırımları gelecekteki değerii hesalamak içi i / i tablolarıdaki değerleri kullaa S V III formülüde yararlaarak S S S V. elde edilir. i bilie değeri içi V değeri tabloda V V V varsa, faiz oraı doğruda doğruya okuur. Aksi halde, faiz oraıı doğrusal eterolasyo ile belirtiyoruz.. Faiz hesalaması ay vadeli olmak üzere, her üç ay souda bakaya 000 dear yatırarak 5 yıl sora hesabımızda dear olmak içi faiz oraı e kadar olmalıdır? Burada, 0 ödeme, yai =0 döem sou yatırımı iceliyoruz. S = 5 000, V=000 ve 9 faiz oraı olduğuu alıyoruz. O halde III deklemi elde edilir, orada da III 5 elde edilir. Tablolarda 9 sayısıa karşılık gele bölümde, 5 sayısıı bulamıyoruz. 4 Acak %,5 sütuuda 4,5444 ve %,75 sütuuda 5, sayılarıı buluyoruz. Aşağıdaki tabloyu oluşturuyoruz: 9 4 4,5444 %,5 % 4, 5444 %,5 % 5,9740 %,75 % 5 4 0, %0,5 % 0, ,

212 0,65496 : 0,5 0,45756 :, 5 oratısıı kurdukta sora = %0,7 elde edilir. 4. Bir kişi 6 yıl öce baka hesabıa dear yatırmış, bu güde ve gelecek sekiz yıl esasıda her yıl souda er dear yatıracaktır. Bu güde sekizici yıl souda kişii baka hesabıda dear birikecektir. Yıllık faiz üzeride faiz oraı ayı olmak üzere, bu güde yıl sora baka hesabıda e kadar arası olacaktır? Zama ekseide, bugüe 0 karşılık gelmek içi -6 da başlayacağız. yatırımlar Şek K 0000, r, S olduğua göre, , 00 7 deklemi elde edilir, orada da III 8,549 elde edilir. Tabloda = 7 içi, buu değeri = %5 elde edilir. Şimdi de, bugüde başlayarak yıl boyuca yatırıla mevduatları tolam değerii hesalayalım: S' Kr S r 0000, ,05 0 dear elde edilir. S, Alıştırmalar.,5 yıl boyuca her altı ay başıda yatırıla dearlık mevduatları süre souda tolam değeri 658 dear olmuştur. Mevduatlar hagi faiz oraıyla yatırılmıştır?. Dört yıl boyuca her dört ayda dear mevduat yatırılmış ve so mevduatı yatırıldığı güde baka hesabıda dear birikmiştir. Döem sou hagi faiz oraıyla yatırım yaılmıştır? Yatırım vadesi dört aylıktır.. Her yıl a) döem başı; b) döem sou er dear yatırılarak 0 yıl sora hesabımızda dear birike aramız olması içi hagi faiz oraıyla arayı yatırmalıyız? 08

213 4. Her altı ay souda yatırıla 000 dearlık mevduatlar 6. yılı souda 8800 dear olmuştur. Faiz hesalama vadesi altı ayda olduğua göre, Yatırıla ara hagi faiz oraıyla hesalamıştır? 5. Üç aylık döem başı dearlık aüitelerle bakaya 8 yıl boyuca ara yatırdık. Faiz hesalama vadesi üç aylık döem sou yaılarak sekizici yıl souda baka hesabımızda 500 dear birikmiştir. Yatırıla ara hagi faiz oraıyla hesalamıştır? 8.6. Periyodik Alacaklar (Kiralar) Yatırımlarda yaıla icelemeler, belli zama aralıklarla alıa ara miktarları içi de bezer icelemeler yaılabilir. Örek, baka hesabımızda bulua bir miktar arayı, birde değil, belli ve eşit zama aralıklarıda küçük miktarlar halide çekebiliriz. Eşit zama aralıklarıda alıa alacaklar söz kousu oluca ilk aklımıza gele kiradır. Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (retler) diye adladıracağız. Kira aüiteleri öcede belirlemiş kaua göre değişebilir, öreği geometrik ya da aritmetik dizisi kauua göre değişebilir. Böyle kiralara değişke kiralar deir. Özelliklerie göre kiralar birçok şekilde adladırılıyorlar; ödeme zamaıa göre, eriyodu başlagıcıda ödeirse döem başı kiralar, eriyodu souda ödeirse döem sou kiralar diye adladırılıyorlar. Ödemeleri zama süresie göre geçici kiralar (belli bir süre içi), ömür boyu kiralar (kirayı ödeye kişii ömrüü soua kadar), ya da kira alacakları hiç bitmeye olduğu durumda daimi kiralar söz kousudur. Kiraları ödediği eriyotua göre: yıllık, yarıyıllık, üç aylık, aylık vb. kiralar fark ediyoruz. Kiraı alıdığı müddetçe, arasal varlıkları faizledirmesi devam eder ve kira eriyotları ve faiz döemleri çakışabilir, yai eşit olabilir (biz ileride sadece bu gibi kiraları iceleyeceğiz). Halbuki faiz hesalaması, kira eriyotuda daha sık ya da daha seyrek de olabilir. Kira almak içi, öce buu getirecek varlık temi edilmelidir. Kira getirmek amacıyla yatırıla varlık miktarıa kira sermayesi deir. Burada bir defaya mahsus ola yatırım söz kousudur. Halbuki arasal varlıklar eriyodik ödemelerle de yaılabilir. Kira alacakları, kira bedelii yatırılmasıyla başlarsa heme kiralar, kira alacakları belli bir zamada sora başlarsa o halde ertelemiş kiralar söz kousu olur. Sabit miktarlı, faizledirme vadesi kiraı ödeme vadesiyle çakışa eriyodik ödemeler üzeride daha fazla duracağız. Formülleri belirtilmeside faiz oraı döem sou olduğuu varsayacağız, halbuki döem başı durumlar içi de yorumlar yaacağız. 09

214 Şu işaretlemeleri kullaacağız: M kira sermayesi, R- kira (ret), ödeme sayısı, r döem sou faiz katsayısı, - döem başı faiz katsayısı Kira Sermayesii Hesalaması Başlagıç içi, defa her eriyodu başıda ödee R miktarlı döem başı kirayı iceleyelim. Gereke kira sermayesii hesalamak içi, bu miktar tüm kiraları sağlayacağıı bilmemiz gerekir. Demek ki, yatırımları gelecekteki değerii hesalarke, tüm faizlemiş bireysel mevduatları tolamıı belirttiğimiz gibi, burada da kira sermayesi aslıda tüm bireysel iskotolamış kiraları değerlerii tolamıa eşit olacaktır. İskotolamış değer, aslıda faizledikte sora R değerie birike şimdiki değerdir. Buu, zama ekseide şu şekilde gösterebiliriz (şek.8): Şek. 8 O halde, döem başı durumuda, r faiz katsayısıyla kira sermayesi içi: M R R R... R. r r r elde edilir. Görüldüğü gibi, birici kira iskoto edilmez, ou değeri şimdiki ödee değere eşittir. İkici kira bir eriyot içi iskoto edilmiş ve bu şekilde defa iskoto edile so kiraya kadar devam edilir. Bu şekilde elde edilmiş ola ifadeyi M R..., r r r biçimide yazalım. Paratez içide ola kısım, ilk terimi ve ortak çaraı ola bir geometrik r dizisii ilk terimii tolamıdır. Mevduatlarda farklı olarak burada faiz katsayıları yerie k r rr iskoto katsayısı vardır. Formülü döüştürmeye devam ediyoruz: M r R R. r r r elde edilir. 0

215 M r R r r formülüyle döem başı kiraı kira sermayesi hesalaır, diğer deyişle, ilerdeki tüm ödemeleri şimdiki değerii hesalamak içi uygulaa formüldür. Not. Üçücü i / i tablo, birici tablou değerlerii tolamıda elde edildiği gibi, bezer şekilde dördücü i / i tablo V,..., şeklide tolam gibi, r r r V..., yai de - kadar eriyotlarıda, ayı %.a.(d) faiz oraıyla hesalamış ikici tablou değerlerii tolamıdır. Bua göre kira sermayesi içi şu formülü elde ediyoruz: M R. V. Öümüzdeki her 4 yılı başlagıcıda 0000 dear kira almak içi, bugü e kadar ara yatırmalıyız? Faiz oraı %6.a.(d) ve faizi hesalaması yılda bir defa olsu. Kira sermayesii hesalaması gerekir. Tolam 4 kira = 4, kira değeri R = 0000, yıllık 6 faizledirme m = ve döem sou faiz katsayısı,06 olduğuu biliyoruz. 00 O halde, 4 r,06 M R r r,06,06 deardır. 00 Not. Faizledirme döem başı olduğu durumda, faiz katsayısı dir ve kira 00 sermayesi içi şu formül geçerli olacaktır: M R R.. Öümüzdeki her 4 yılı başlagıcıda 0000 dear döem başı kira almak içi, bugü e kadar ara yatırmalıyız? Faiz oraı %6.a.(a) ve faizi hesalaması yılda bir defa olsu. 00 Ödev de yaıldığı gibi, bezer şekilde hareket edilir,, elde 00 6 edilir. Buu yukarıdaki formülde yerie koyarsak M = 6 54 dear elde edilir.

216 . Öümüzdeki 0 yıl boyuca yarım yılda bir dear kira almak istiyoruz. İlk kira heme ödediği takdirde, bugü e kadar ara yatırmalıyız? Faiz oraı %0.a.(d) ve faizi hesalaması yılda iki defa olsu. Birici ödeme heme olduğua göre, döem başı kira söz kousudur. Ödeme sayısı = 0 0. = 0, R = ve r,05 biliiyor. O halde 00 0,05 M ,05,05 dear olduğuu buluyoruz. Kira sayısı, döem sou faiz katsayısı r, döem sou R değeride kira olduğu durumda (şek.9): Şek. 9 birici kira, birici eriyodu souda ödeir ve ayısı bir eriyot içi iskoto edilir. İkici kira iki eriot içi ve so kira eriot içi iskoto edilir. O halde, M R R R R R R r r r r r r r r r r r r ve souda M R elde edilir. Bu ise, vade sou kira sermayesii hesalamasıda r r uygulaa formüldür. Not. Yukarıda yaıla icelemeye göre, dördücü i / i tablosu içi, kira sermayesi formülü M R V. şeklide yazılır. Not 4. Döem başı faizledirmede, döem sou kiralara ait formül M R. dir. 4. Her üç ay souda yıl boyuca eriyodik mevduat yatırılmaya başlamıştır. Bu güde 7 yıl sora, üç ay vadeli, 6000 dear tutarıda,5 yıl boyuca kira almak istiyoruz. Kira döem başı, faiz oraı %8.a.(d) ve üç aylık faizledirme ile verilecektir. Yatırıla eriyodik mevduat e kadardır?

217 Periyodik yatırımları ve alacakları zama ekseide gösterelim (şek.0). %8 üç aylık mevduatlar üç aylık kiralar Şek. 0 8 Verileler, 4 8, r, 0. yılı souda yatırımları tolam tutarı r,0 S V V 8, 58V dir. Yatırımı gelecekteki değeri, yai kiraları ödemesi r,0 başlaıcaya kadar 5 yıl içi faizleir. Kira sermayesi, aslıda S i faizlemiş değeridir. Bua ' 54 0 ' göre, M S r 8,58V, 0 dir. Sadeleştirdikte sora M, 754V elde edilir. Diğer tarafta kiraları verile koşullarıa göre ' r M R formülüde, kira sayısı = ' r ' r,5 4 = 6, r =,0, R = 6000 dear. Bua göre, Kira sermayesi içi elde edile iki değeri eşitlersek, 4 8 =,754 V elde edilir. Orada da V = 688 dear olduğuu buluyoruz. ' M elde edilir. 6,0 5,0,0 Alıştırmalar. Periyodik kira edir?. Ödemeleri süresie göre kiralar asıl adladırılır?. Ödeme zamaıa göre asıl kiralar vardır? 4. Döem başı ödee yarım yıl vadeli 5000 dear kira tutarıı, 0 yıl boyuca almak içi e kadar kira sermayesi gerekir? Faiz oraı %6.a.(d) ve faiz vadesi yarım yıllık olsu. 5. Altı yıl boyuca %4.a.(d) faiz üzeride dear yıllık vadeli a) döem sou; b) döem başı; kira almak içi, bu gü yatırmamız gereke sermaye miktarı e kadar olmalıdır?

218 6. Gelecek altı yılda, her üç ayı souda dear kira almak içi, kira sermayesi e kadar olmalıdır? Faiz oraı %.s.(d) ve faiz vadesi üç aylıktır. 7*. Bugü dear bakaya yatırıldı. İlerdeki 9 yıl zarfıda her ay souda e kadar ara yatırmalıyız ki, so mevduatı ödediği güde itibare, aylık döem başı 7000 dear kira tutarı elde edilsi? Faiz oraı %.a.(d) aylık vadelidir. 8*. Bu güde başlayarak ilerdeki üç yıl boyuca her ayı souda dear kira tutarı almak içi, bugü yatırıla dear ile beraber yıl öce e kadar ara yatırmamız gerekirdi? Faiz oraı %4.a.(d) aylık vadelidir Kira Tutarıı Hesalaması Kira sermayesii değeri M, faizledirme ve kira alışıı koşulları verilmiş, kira tutarı r bilimeye olsu. Kira, döem başı olduğu durumda kira sermayesi içi M R r r geçerlidir. Bu ifadede bilimeye R kira tutarıı ifade edeceğiz. Orada r r R M, r elde edilir. Bu formülü kullaarak döem başı kira tutarıı hesalayacağız. r Kira, döem sou olduğu durumda ise, kira sermayesi içi M R, formülü geçerlidir. Bu formülde r r r r R M. r elde edilir.. Bugü dear %6.a.(d) yarıyıllık faizledirme ile bakaya yatırılmıştır. Bu kira sermayesi tutarıyla öümüzdeki 0 yıl boyuca her altı ayda bir kira a) döem sou; b) döem başı olmak üzere alıırsa, kira tutarı e kadar olacaktır? M = dear kira sermayesi, R tutarlı = 0. = 40 kiraya eşit olmalıdır. Döem 6 sou faiz katsayısı r,0 tür ,0,0 a) Döem sou kira durumuda R ,5 deardır. 40,0 4

219 b) Kira, döem başı olduğu takdirde 9,0,0 R ,5 40 deardır.,0 Not. Faizledirme döem başı olduğu durumda kira R M, formülüyle hesalaacaktır. döem başı faiz katsayısıdır. Not. Faiz oraı döem başı, kira döem sou olduğu durumda, kira R M. formülüyle hesalaacaktır.. İki yıl öce bakaya dear %5.a.(d) yarı yıllık faizledirmeyle yatırıla arayla, bu güde başlayarak 4 yıl boyuca, her altı ay başıda e kadar kira alabiliriz? K = 0 000, r =,05, = 4. = 8 dir. Bu verilerle, kira her yarıyıl başıda alıdığıa göre, döem başı kira formülüü uyguluyoruz: 7 r,05,05 r R M M 0, 6M 8 r,05. faizledirme yarıyıllık kira Şek. Zama ekseide görüldüğü gibi, kira iki yıl ertelemiştir ve dearlık kaital kira 4 sermayesi olarak kullaıldığı aa kadar M K r 0000,05 457,5 ve R= 0,6. 457,5 = 8 04 deardır.. Bu güde başlayarak öümüzdeki iki yıl boyuca, her üç ay souda 000 er dear ara yatırılacaktır. Yatırıla so taksitte bir yıl sora başlayarak bu yatırımda yıl boyuca, her üç ayı başıda kira ödeecektir. Baka hesabımızda bu güde yedi yıl sora 000 dear ara biriktiğii varsayarak, kira tutarı e kadar olacaktır? Faiz oraı %8.a.(d) faizledirme üç aylık vadelidir. Zama ekseii çizdikte sora işaret edelim (şek.). 5

220 yatırımlar kiralar 4 yıl Şek. 8 8 r,0 V dq 000, 4 8, r, 0 ve S V r,0 deardır. Bu miktar ara bir yıl faizde kalır ve kiraları tolam tutarıı ve kala 00 dearı bedelii sağlar. Bua göre, S r M 000. deklemii yazabiliriz. 000 dear 44 r 0 6 tutarıı, dört yıl içi üç ay vadeli iskotosu hesalaır. O halde S r Mr 000 elde edilir. Kira sermayesi M ile işaret edersek, kira sermayesi tutarı döem başı üç aylık vadeli 8 8 r,0 kiraya dektir. O halde M R R R 7,47 7 elde edilir. buu yu- r r,0, karıdaki ifadede yerie değiştirirsek 5749,0 R 7,47,0 000 ve souda ,0 000 R 560 dear elde edilir. 6 7,47,0 Alıştırmalar. Bugü bakaya dear kira sermayesi ödedik. Öümüzdeki 8 yıl boyuca yatırıla ara miktarıyla, %.a.(d) yarıyıllık faizledirme ile döem sou yarıyıllık kira tutarı e kadar olacaktır? Faizledirme döem başı, faiz oraı ayı %.a.(a) olduğu durumda kira tutarı e kadar olacaktır?. Bugü bakaya dear ara yatırdık. Öümüzdeki,5 yıl boyuca yatırıla miktarda, her üç ay souda %8.a.(d) faiz oraı üzeride ödeecek kira tutarı e kadar olacaktır?. Bugü dear yatırdık. Bu yatırımda döem başı, üç aylık vadeli olmak üzere yıl sora başlayarak ilerdeki 5 yıl boyuca kira alacağız. Faiz oraı %0, aylık vadeli faizledirme olduğua göre, kira tutarı e kadar olacaktır? 4*. Biri. doğum güüde 8. doğum güüe kadar, her yarıyıl başıda er dear baka hesabıa yatırmıştır. Bu kişi 4. doğum güüde 48. doğum güüe 6

221 kadar her yarıyıl souda alacağı kira tutarı e kadardır? Yarıyıllık vadeli faizledirme; faiz oraı %6.a.(d) dir. 5. İki yıl öce 000 dear ara yatırdık ve,5 yıl sora, her yarıyıl souda kira alacağız. Faiz oraı % 5.a.(d) yarıyıllık faizledirme uygulamakla alıacak kira tutarı e kadar olacaktır? 8.8. Kira Sayısı ve Kira Kalaıı Hesalaması Kira sermayesii hesalamasıda kullaıla formüldeki büyüklükler arasıda, kira sayısı da bulumaktadır. Kira sermayesi, kira tutarı ve faiz oraı bilidiğide, kira sayısıı ifade r r edebiliriz. Döem başı kiralar içi, M R Rr kira sermayesi formülüe r r r r birkaç dek döüşüm uygulayarak: M r, Rr r M r Rr M r, r Rr Rr Rr r. Rr M r Rr elde edilir. Elde edile deklemi iki tarafıı logaritmasıı alalım: log r log, ve logaritma işlemii bir özelliğii kullaarak Rr M r Rr log r log. Rr M r elde edilir. Orada da log Rr log r Rr M r elde edilir. Bu formülü kullaarak kira sayısıı hesalayacağız.. Faiz oraı %4.a.(d) yarıyıl vadeli faizledirme ile 944 dear kira sermayesi yatırılmıştır. İlk kira heme alıdığı takdirde, 00 dear tutarıda yarıyıllık kaç kira alıabilir? Birici kira heme alıdığıa göre, döem başı kira söz kousu olduğuu öcede kaydedelim. Bilidiği üzere 4 M 944, r, 0, R deardır. Bua göre kira sayısı 7

222 log,0 000,0 log 6,77 log, ,0 944,0 Not. Faiz oraı döem başı ise, döem başı yatırım içi kira sayısı: R log, log R M 00 formülüyle hesalaacaktır. Burada, döem başı faiz katsayısıdır. 00. Bugü bakaya dear yatırıyoruz. Yatırıla araya baka yıllık %5.a.(d) faiz ödüyor. Yatırıla bu arayla dear tutarıda döem başı yıllık kaç kira alabiliriz? 5 M 40000, R 0000 ve r,05 verilmiştir, buda dolayı ,05 log,57. log, , ,05 Elde edile değer tam sayı değildir. Bu ise şuu gösteriyor: Ödee kira ile yatırıla araı tümü harcamamıştır, fakat dear tutarıda ola kiralarda bütü kira ödemek içi yeterli ara yoktur. O halde kira sayısı, elde edile sayıda büyük ola ilk doğal sayıdır, fakat ilk kira tutarı eşit, so ola. kira diğerleride küçüktür. Şek. So kira içi ya da kira kalaı diye adladırıla tutarı hesalamak içi formül bulacağız. So kirayı R 0 ile işaret edelim. Bu durum zama eksei şek. te gösterilmiştir. Kira sermayesii bireysel kiralarıı iskoto ederek: M R R R... R R 0 R... R0. r r r r r r r r elde edilir. Paratez içideki ifade bir sosuz geometrik dizisii ilk terim tolamıdır. Bua göre: rr M R r R0 R R 0. r r r r r elde edilir. Burada da, kira kalaı içi şu formülü elde ediyoruz: 8

223 r r 0 R M R r. r r Not. Bu ifadeyi dördücü ve birici i / i tablolarıyla ifade edersek, formül: R M R, 0 V rr şeklide yazılabilir. Burada V. dir. r r Bizim örekte = olduğua göre:,05,05 R ,05 5,75,05,05 dear elde edilir. Kira kalaı daima kira tutarıda küçüktür. M kira sermayesi, defa alımış ola döem sou kira R ve döem sou faiz katsayısı r verilmiş olsu. Kira sermayesi formülüde M r, R r M R M r r, r R R elde edilir. Burada da r R R M r. elde edilir. Bu ifadei iki tarafıı logaritmasıı alalım: R log r log, R M r orada da elde edilir. R log log r R M r. Not. Verile faiz oraı döem başı olduğu durumda, kira sayısı içi R log. log R M formülü geçerli olacaktır. tam sayı olduğu durumda, bu sayı alıacak kira sayısıdır, aksi halde tam sayı olmadığı durumda, kira sayısı bu sayıda büyük ola ilk doğal sayı alıır. Döem başı kiralar içi yaıldığı gibi, burada da R 0 kira kalaı hesalaabilir (şek.4). 9

224 0 Şek. 4 Kiraları iskotolayarak kira sermayesi içi: r R r r r R r R r R r R r R M elde edilir. Paratez içideki tolam, ilk terimi r ve ortak çaraı r ola bir geometrik dizisii tolamı olduğua göre: r R r r r R r R r r r R M 0 0. elde edilir. Orada da, r r r r R M R 0 elde edilir. Bu ifade, döem sou kira kalaıı hesalamak içi formüldür. Not 4. r r r ifadesi V, ile değiştirildiğie göre, i / i tablolarıda yararlamakla kira kalaı içi şu formülü kullaacağız: d V R M R 0, Not 5. Kira kalaıı hesalamak içi elde edile formüllerde, faiz katsayısı r, döem başı faiz katsayısı ile değiştirilirse, döem başı faizledirme içi karşılık gele kira kalaı formülleri elde edilecektir.. Yıllık döem sou kira almak içi, bugü bakaya dear yatırıyoruz. Faiz oraı %5.a.(d) yıllık olduğua göre dear tutarıda kaç kira alabiliriz? So kira e kadardır? Şu veriler biliiyor: M = , kira R= ve r =,05. kira sayısıı belirtmek istiyoruz. Yukarıdaki formüllerde: 4,6765, log log,05. elde edilir. Bua göre, alıacak kira sayısı = 5 tir. Halbuki burada kiralarda ilk 4 taesii tutarı eşit, so kira tutarı ise farklı ve dearda az olacaktır. O halde kira kalaı içi:

225 4,05 5 R ,05 67,4 4,05,05 dear olduğuu buluyoruz. Alıştırmalar. Bugü bakaya 90,7 dear yatırdık ve bu güde başlayarak her üç ay souda dear tutarıda kira alacağız. Faiz oraı üç aylık vadeli %7.a.(d) olduğua göre kaç kira alabiliriz?. Bugü bakaya 98,67 dear yatırdık. Faiz oraı altı aylık vadeli %0.a.(d) olduğua göre, döem başı altı ay vadeli kaç kira alabiliriz?. Bugü dear altı ay vadeli %5.a.(d) faiz oraıyla bakaya yatırdığımız takdirde, bu güde başlayarak her altı ay souda dear tutarıda kaç kira alabiliriz? Kira kalaı e kadardır? 4. Bakaya yatırıla dear ara ile, üç aylık vadeli, döem sou dear tutarıda kaç kira alabiliriz? Faiz oraı döem sou üç aylık vadeli %9.a.(d) dir. Kira kalaı e kadardır? 5. Bugü bakaya dear yatırdık ve bu güde başlayarak her altı ay başıda dear tutarıda kira alacağız. Faiz oraı altı aylık vadeli %4.a.(d) olduğua göre kaç kira alabiliriz ve kira kalaı e kadardır? 8.9. Periyodik Kiralarda Faiz Oraıı Hesalaması Faiz oraı bilimeye, diğer büyüklükler ise biliiyorsa, ou kira sermayesi formülüde bilimeye büyüklük gibi hesalaacaktır: döem başı içi M R IV ve döem sou içi M R IV.. Hagi yıllık vadeli faiz oraıyla dear yatırılmalıdır ki, 5 yıl boyuca her yıl başı dear tutarıda kira alısı? Döem başı kiralara ait kira sermayesii temel formülüü açalım. Amaç, r döem sou faiz katsayısıı değerii bulmaktır.

226 r M R, burada r r M Rr M r R 0. deklemi elde edilir. Bu deklemde bilimeye r dir ve derecesi geellikle 4 te büyüktür. Böyle deklemleri çözmek içi sayısal yötemler kullaılır ve bu yötemleri uygulaması hayli zordur. Halbu- M R, formülüü kullaarak, IV fiasal tablosuda değerleri okuyarak, ki, V faiz oraıı kolay belirtebiliriz. Halbuki IV tablosuda araıla değer yoksa, bileşik faiz hesabıda ve mevduatlarda yaıldığı gibi lieer eterolasyo deile yötem uygulaır. Kokre olarak, ödev de M = , R = , = 5 tir. Formülü uygulamakla = IV olduğua göre IV = elde edilir. IV tablosuda değeri hiçbir faiz oraıa karşılık gelmediğii görüyoruz. Bu edele oa e yakı ola değerleri 4 0,980 < <,469 alıyoruz. Bu durumda IV 4 7,5 = 0,980 ve IV 7 =,469 olduğuu buluyoruz. Şu tabloyu oluşturuyoruz: 4 4 V V 0,980 7, 5 0, 980 7, 5, ,486 0, 5 0, 07 7, 5 0,5 0,07 0,486 : ( 0,5) = 0,07 : ( 7,5) oratısıda 7,5 7,48%. elde edilir. Demek ki araıla faiz oraı % 7,48 dir. 0,486. Bir kişi, 5 yıl boyuca her yarıyıl souda dear kira alıyormuş. Kira sermayesi olarak, ilk alıa kirada altı ay öce 46 0 dear yatırıldığıa göre, altı ay vadeli faizledirme hagi faiz oraıyla yaılmıştır? Burada döem sou kira tutarı R = , kira sermayesi tutarı M = 46 0, = 5. r = 0 defa verilmiştir. Döem sou kiraya ait kira sermayesi formülü M R dir. Bu r r Mr M Rr R 0 deklemi elde edilir. eşitliği r faiz katsayısıa göre düzelersek Bizim öreğimizde bu deklem. derecedir ve buu çözümüü belirtmek kolay değildir. Bu edele fiasal tablolarda M R IV kira sermayesii formülüde yararlaacağız.

227 yarıyıllık etki faiz oraıdır. Demek ki, IV olduğua göre IV 7, 77 elde edilir. Tabloda =0 içi 7,77 sayısıa P %5 karşılık gelir. Bua göre yıllık omial faiz oraı %0.a.(d) olduğuu buluyoruz.. yıl, altı ay boyuca yarıyıllık faiz vadesiyle, döem sou altı aylık dear tutarıda kira almak içi, 000 dear kira sermayesii hagi faiz oraıyla yatırmalıyız? Formülde M = 0 000, R = ve kira sayısı =,5. = 5 değerlerii değiştirirsek IV deklemide IV elde edilir. Dördücü i / i tablosuda = 5 içi sayısıı değil, oa e yakı komşuluğuda bulua iki sayıyı seçiyoruz. Bular,979 sayısı, ki bua %6,5 faiz oraı ve,656 sayısı ki bua %7 faiz oraı karşılık gelir. Bu verileri tabloda yazarak eterolasyo yaacağız. 0 / 5 V / / 5 V /,656 7, 656 7,979 6, 5 / 0,544 0, 5 0, 464 / 7 0,5 0,464 0,544: ( 0,5)= 0,464: ( / 7,5) oratısıda 7 6,68%. 0,544 edilir. Bua göre yıllık omial faiz oraı %,64.a.(d) dir. elde 4. Bugüde başlayarak ilerdeki iki yıl boyuca, her üç ayı souda dear ara bakaya yatıracağız. Bu güde üç yıl sora hesabımızda o kadar ara çekmeliyiz ki beş yıl sora hesabımızda kira sermayesi olarak 0840 dear aramız birikmiş olsu. Bu kira sermayeside yaralaarak,5 yıl boyuca 4000 dear tutarıda döem sou üç ay vadeli kira alacağız. Bu güde üç yıl sora hesabımızda hagi miktar arayı çekmeliyiz? Faiz oraı bu zama süreside daima ayıdır. İki yıllık yatırım yaılıyor, fakat faiz oraıı bilmediğimizde mevduatı tutarıı hesalayamıyoruz. Halbuki kira içi verilerimiz vardır ve orada faiz oraıı hesalayacağız. Bu verileri zama eksei üzeride gösterdikte sora deklemler kuracağız.

228 yatırımlar Şek. 5 4 S yatırımıı so değeri bir yıl faizleir, X tutarıda ara çekilir ve kala ara daha iki yıl faizleir. Bugüde 5 yıl soraki güde, bakada birike ara tutarı, kiraları tolam tutarıa 4 8 karşılık gelir. Bua göre Sr Xr M deklemi elde edilir. Öce faiz oraıı hesalayalım. Kira sermayesi formülüde M R IV yazabiliriz, burada kira sayısıdır ve öreği- mizde =,5 4 =0 kiradır. Bua göre IV 7,7 elde edilir. Bu değer %8 faiz oraıa 4 4 karşılık gelir. Demek ki, = %.a.(d) olduğuu buluyoruz. Bua göre r, değerii X i buluduğu deklemde yerie koyabiliriz. Yatırım döem sou olduğua göre 8,08 S dear elde edilir. O halde, 7086, 08 4 X, ,08 deklemi elde edilir. Buu çözelim, 56 X = 666 orada da X = = 4874 dear olduğuu buluyoruz. Çekilmesi gereke miktar 4874 deardır. Alıştırmalar. O yıl boyuca her üç ayı başlagıcıda dear tutarıda kira alımıştır. İlk alıa kiraı ilk güüde dear ara yatırılmışsa, üç ay vadeli hagi faiz oraı kullaılmıştır?. yıl boyuca her üç ayda bir 000 dear döem başı kira almak içi, dear hagi faiz oraıyla yatırılmalıdır? Faizledirme her üç ayda bir yaılacaktır.. Altı yıl boyuca her altı ayda dear tutarıda döem sou kira almak içi, 45 6 dear kira sermayesi, hagi faiz oraıyla yatırılmalıdır? 4. Bir kişi dear yatırım yaarak ilerdeki 5 yıl boyuca, her dördücü ayda dear tutarıda kira almalıdır. Dört ay vadeli hagi faiz oraı kullaılmıştır? 4

229 5*. Bir yıl öce yatırıla tutarı şimdiki değeri deardır ve her ikici ay souda bu arada iki yıl boyuca dear tutarıda kira alıacaktır. Kira iki ay vadelidir. Bir yıl öce hagi miktar ara yatırılmıştır? 8.0. Karma Ödevler* Tüm i / i tablolarıı uygulamış olduğu bazı çözülmüş ödevler üzeride duracağız. Verile örekler, yatırımlar (mevduatlar) ve bileşik faizledirmede oluşa bileşik kombiasyolarda meydaa gelmiştir.. Bugü e kadar kaital yatırmalıyız ki, bu güde başlayarak 5 yıl soraki altı yıl boyuca her üç ay başıda 9000 dear tutarıda kira almak içi yatırımımız olsu. Faizler: ilk iki yılda aylık vadeli %6.s.(d) faiz oraıyla, sıradaki üç yılda üç ay vadeli %0.a.(a) faiz oraıyla ve so altı yılda faiz oraı %4.q.(d) hesalaacaktır (şek.5). Şek. 6 Kira sermayesi, aslıda aaaraı faizlemiş tutarıdır ve farklı eriyotlarda farklı faiz oralarıa göre şu şekilde hesalaacaktır: 6 - İlk iki yıl = 4 defa, r, 0, faiz katsayısıyla faizleecek, sıradaki yılda 4 = defa, 0564, faiz katsayısıyla ve kiraları hesalamasıda, tolam 6 4 =4 kira, üç aylık vadeli %4 etki faiz oraıyla, ya da r =,04 faiz katsayısıyla faizleecektir. 4 4 r Bua göre, K r M, ve M R r. 4 dir. Verile değerleri değiştirdik- r r te sora elde edile ifadeleri eşitliyoruz. Bu şekilde 4 4,04 K,0, ,04, 4,04,04 deklemi elde edilir. İfadei sadeleştirilmesiyle,7 K = 4 7 elde edilir. Bua göre bugü ödemesi gereke tutar K = 8 97 dear olduğuu buluyoruz. 5

230 . Baka hesabımıza dear tutarıda kira sermayesi yatırıyoruz. Faiz oraı ilk 4 yıl boyuca %6.a.(d) ve gelecekteki altı yıl boyuca %8.a.(d) olmak üzere, o yıl boyuca ayda e kadar kira alıabilir? Faizledirme işlemi aylık ve ilk kira, kira sermayesii yatırıldığıda bir ay sora başlayacaktır. Öce, ilk kira ödemesi ay souda yaıldığıa göre, döem sou kirada bahsedildiğii fark edelim. Farklı faiz oraları uyguladığıda, ayı tutarlı fakat farklı kira sermayesi ile, ilk 4 yılda bir, ikici 6 yılda ikici kira ödediğii farz edebiliriz (şek.7) Şek. 7 İlk dört yıl içi gereke kira sermayesi M ve ilerdeki 6 yıl içi M olsu. Ödee tolam kira sermayesi tutarı M ve iskotolamış M tutarlarıı tolamıdır. Birici kira 4. 6 = 48 defa, döem sou faiz katsayısı r, 005 ile hesalaacaktır ve elde edile kira sermayesi M 00 48,005 R 4, 580R dir. İkici kira 6 = 7 defa, 48,005,005 8 döem sou faiz katsayısı r, olduğua göre, ikici kira sermayesi M 00 7,00667 R 57, 08R dir. O halde M M 7 M eşitliğide 4,00667,00667 r ,580R 57,08 R,005 deklemi elde edilir. Deklemi çözerek aylık kira R = 897 dear olduğuu elde ediyoruz.. Dokuz yıl boyuca üç ay vadeli dear tutarıda kira almak istersek, her ay başıda 6 yıl boyuca e kadar mevduat yatırılmalıdır? So yatırıla mevduatta ilk kira alııcaya kadar 6 yıl ay geçecektir. Faiz oraı %8.a.(d), faizledirme ilk 6 yılda aylık vadeli, oda sora üç aylık vadeli olacaktır (şek.8). 6

231 V aylık mevduat R üç aylık kira Şek. 8 Bilimeye, bireysel mevduat V dir. Mevduat tolam 6. = 7 defa döem başıdır. Altıcı yıl souda r, faiz katsayısıyla yatırımları so tutarı S hesalaır r,00667 Bua göre, S V r V, , 65V. elde edilir. S tutarıa, kira sermayesi olduğu ada itibare faizledirmeye başlaır. So mevduatta ilk kiraı ödemesie r,00667 kadar 6 yıl ay süre vardır, fakat S so mevduatta bir ay sora hesalamaya başlıyor. Demek ki, faizledirme süresi 6 yıldır. O halde, S tutarıı belirttikte sora faizledirme üç aylık vadeli 64 olduğua göre M S r 8 dir. Bu durumda r faiz katsayısı içi r,0 elde edilir. Bua göre kira sermayesi içi M S,0 9,65,0 V 49V elde edilir Diğer tarafta, kira sermayesii kiraı koşullarıa göre hesalayacağız. Kira her üç ay vadeli 9 yıl boyuca alıır. Demek ki, ilk üç ayı başlagıcıda başlayarak, yai döem başı tolam = 9 4 = 6 kira ödeir. Faiz katsayısı r =,0 dir. Bua göre, 6 6 r,0 M R r 8000, r 6 r,0,0 elde edilir. Kira sermayesii iki değerii eşitleyerek 49 V = elde edilir. Bua göre, V = 4 deardır. 4. Biri 9 yıl öce baka hesabıa dear yatırmıştır. İlk iki yılda başka yatırım ve ara çekme olmamıştır. Oda sora yıl boyuca her 6 ayda dear tutarıda mevduatlar yatırılmıştır. Bu güde başlayarak ilerdeki 4 yıl boyuca yıllık vadeli dear tutarlı kira alıacaktır. Bu güe kadar yarıyıllık vadeli faiz oraı %8.a.(d), bu güde itibare ise yıllık vadeli faiz oraı %0.a.(d) uyguladığıa göre, so kirada sora kişii baka hesabıda e kadar arası olacaktır? (şek. 9). 7

232 mevduatlar Şek. 9 Ödee mevduatları faizlemiş değerlerii, gereke kira sermayesi ve iskoto kalaı K 8 ile eşitleyeceğiz. Bu güe kadar faiz katsayısı r,04 tür. Yatırıla ilk mevduat 00 tutarı K 0 = deardır ve bugüe kadar yarıyıllık vade ile tolam 9. =8 defa faizleir. 6 6 r.,04 = 6 defa yatırıla mevduatı tolam tutarı S V r 8000, deardır ve bu tutar bugüe kadar faizleir ve bu şekilde bugüe kadar yatırıla araı tolam r,04 tutarı K r S r 8000, , deardır. 0 Baka hesabıda ilerde çekile arasal değerleri hesalamak içi, kira ve kalaı iskotolamış değerii hesalamak gerekir. So kirada sora, 4 yıl faizde kala döem başı yıllık vadeli mevduat söz kousu olduğuu belirtmeliyiz. Bu demektir ki so kirada dört yıl sora, bugüde ise 8 yıl sora içi kala ara tutarıı hesalayacağız. O halde, döem başı faiz katsayısı, olduğua göre, K kalaıı iskotolamış değeri K 00 8 dir O halde kira sermayesi içi M R, geçerlidir. Beş yıllık döem başı yıllık 5 5, vadeli dear kira tutarı içi M 5000, 657 dear elde edilir. 5,, 8 8 K 0 r S r M K, şimdiye kadar yaıla yatırımları ve alımları eşitlemekle = K, 8 elde edilir ve orada K = dear olduğuu buluyoruz. Bu güde sekizici yılı souda baka hesabıda dear kalacaktır. 8

233 Alıştırmalar *. yıl öce baka hesabımıza, yarıyıllık vadeli 4 yıl boyuca dear tutarıda mevduatlar yatırmaya başladık. yıl öce bir defaya mahsus daha dear yatırdık. Bugüde başlayarak yedi yıl boyuca aylık kiralar alacağız ve 49 ayda sora hesabımızda daha dear kalacaktır. Faiz oraı, bugüe kadar yarıyıllık vadeli %8.a.(d) ve bu güde soua kadar aylık vadeli %.a.(d) olduğua göre kira tutarı e kadardır? Kiralar ve mevduatlar döem başıdır. *. yıl öce bakaya bir miktar ara yatırdık. Oda üç yıl sora, 5 yıl boyuca her altı ayda 000 dear tutarıda mevduatlar yatırdık. Bu güde başlayarak 8 yıl boyuca altı ay vadeli dear tutarıda kira alacağız. So kirada yıl 6 ay sora baka hesabımızda daha dear aramız olacaktır. Bugüe kadar faiz oraı %8.a.(d) ve bugüde sora = %6.a.(d) altı ay vadeli olduğua göre yıl öce e kadar ara yatırılmıştır? Hem mevduatlar, hem kiralar döem başıdır. *. Üç yıl öce başlayarak iki yıl boyuca baka hesabımıza her ay döem başı 000 dear tutarıda mevduat yatırmaya başladık. Bir yıl öce daha dear yatırıldı. Bu güde bir yıl sora 5 yıl boyuca R tutarıda döem başı aylık kira alacağız ve bu güde 6 yıl sora bir yıl boyuca 00 dear tutarıda döem başı aylık kira alacağız. Faiz oraı %.a.(d) olduğua göre beş yıllık kira tutarı e kadar olacaktır? Faizledirme bir aylık vadelidir. 4*. Bir kişi 0 yıl öce başlayarak oucu yıl öceye kadar her ay başıda %4.a.(d) faiz oraıyla aylık vadeli 00 dear tutarıda mevduat yatırmıştır. O güde sora faiz oraı %4.a.(d) altı ay vadeli faizledirme uygulamıştır. Bu güde başlayarak ilerdeki 5 yıl boyuca, kişi her altı ayda kira alı so kirayı aldıkta sora hesabıda dear kalıyorsa yarıyıl vadeli kira tutarı e kadardır? 5*. Biri yedi yaşıda 5 yaşıa kadar her üç ayı başıda baka hesabıa 7000 dear yatırmıştır. 0. yaşıda bir defaya mahsus daha dear ara yatırmıştır. 0 ve 40 yaş arasıdaki döemde her üç ay başıda dear tutarıda kira almıştır. Faiz oraı %8.a.(d) üç ay vadeli olduğua göre, ellici yılıda şahsı baka hesabıda e kadar arasal varlığı olacaktır? 9

234 8.. Alıştırmalar. Bu güde başlayarak yıl ve 8 ay boyuca her ay başıda 00 dear tutarıda mevduat yatıracağız. Faiz oraı %6.a.(d) aylık vadeli faizledirme ile bu güde üç yıl sora hesabımızda e kadar ara birikecektir?. İki yıl öce baka hesabımıza dear ara yatırdık. Şimdide 4 yıl sora hesabımızda dear birikmesi içi, ilerdeki üç yıl boyuca her ay souda e kadar mevduat yatırmalıyız? Faiz oraı %8.a.(d) aylık vadelidir dear tutarıda üç ay vadeli kaç mevduat yatırmalıyız ki, so mevduatta ay sora hesabımızda dear ara birikmiş olsu? Faiz oraı %0 ve faiz vadesi üç aylıktır. 4. Bir kişi 5 yaşıda başlayarak 4 yaşıa kadar her altı ay souda dear tutarıda ara baka hesabıa yatırıyor ve so yatırım güüde hesabıda dear olduğuu tesit ediyor. Faizledirme altı aylık olduğua göre, yatırım hagi faiz oraıyla yatırılmıştır? 5. Biri, baka hesabıa her üç ay başıda 6000 dear tutarıda mevduat yatırmış ve bugüde 4 yıl sora hesabıda 4 4 dear ara birikmiştir. Bugü dahil, kişi kaç yıl hesabıa üç ay vadeli 6000 dear tutarıda ara yatırmıştır? Faiz oraı %6.a.(d) ve faizledirme üç ay vadelidir yıl boyuca çeyrek yıl vadeli döem sou 700 dear tutarıda kira almak içi bugü hagi miktar arayı yatırmalıyız? Faiz oraı %8.a.(d) ve faizledirme üç ay vadelidir. 7. Bu güde başlayarak ilerdeki iki yıl boyuca, her ay souda 500 dear tutarıda mevduat yatırılıyor. Bu güde 4 yıl sora başlayarak ilerdeki iki yıl boyuca her ay başıda e kadar kira alabiliriz? Faiz oraı %.a.(d) aylık vadelidir. 8. Bugü hesabımıza dear ara yatırdık. Altı aylık vadeli döem başı 0000 dear tutarıda kirayı bugüde başlayarak kaç defa alabiliriz? Faiz oraı %5.a.(d) altı aylık vadelidir. Kira kalaı e kadardır? 9. Bugü 5 60 dear yatırdık ve bir ay sora başlayarak, ilerdeki iki yıl boyuca her ay souda 9000 dear tutarıda kira almaya başlayacağız. Faizledirme aylık vadeli olduğua göre faiz oraı e kadardır? 0. Bugü hagi miktar arayı yatırmalıyız ki, 5 yıl sora hesabımızda dear aramız kira sermayesi olarak birikmiş olsu. Bu arada yıl boyuca her üç ay souda 00 dear tutarıda kira ödeecektir. 0

235 *. 0 yıl öce baka hesabımıza dear ara yatırdık. Dört yıl sora her ay başıda 800 dear tutarıda 6 yıl boyuca eriyodik yatırımlara başladık. Bugüde başlayarak yıl boyuca her ay başıda 000 dear tutarıda aylık kira alacağız. So kirada yarım yıl sora hesabımızda daha dear alıyoruz. Bu güde yıl sora baka hesabımızda e kadar aramız kalacaktır? Faiz oraı %0.a.(d) aylık vadelidir. *. Bir baba çocuğuu tasarruf karesie, 8 yaşıda 5 yaşıa kadar her ay souda 500 dear yatırıyor; 8 yaşıda 4 yaşıa kadar her ay başıda 600 dear yatırıyor. Oda sora 6 yaşıda,5 yıl boyuca her ay başıda 50 dear yatırıyor. Faiz oraı %0.a.(d) aylık vadeli olduğua göre, so yatırımda altı ay sora çocuğu kareside e kadar arası olacaktır?. O iki yıl öce bir miktar ara yatırılmış ve bugü dear çekilmiştir. Bugüde başlayarak ilerdeki 6 yıl zarfıda, her dört ay souda 500 dear tutarıda ara yatırılmıştır. Faiz oraı %6.a.(d) dört ay vadelidir. Bu güde yıl sora hesabımızda dear olduğua göre, yıl öce e kadar ara yatırılmıştır? 4. Birkaç yılda bugüe kadar her üç ay başıda 000 dear ara yatırılmıştır ve bugüde dört yıl sora baka hesabıda dear birikmiştir. Faiz oraı %.a.(d) üç ay vadelidir. Paraı yatırılması kaç yıl öce başlamıştır? 5. Biri dear ara yatırmıştır.,5 yıl sora her üç ay başıda kira almaya başlayacaktır.,5 yıl boyuca e kadar kira alabilir? Faiz oraı %.a.(d) üç ay vadelidir. 6*. Bugüde bir yıl üç ay sora, hagi miktar arayı yatırmalıyız ki, yatırım güüde bugüde yıl soraya kadar, her ay souda 4500 dear tutarıda kira alısı ve so kira alıdığı güde hesata 50 dear ara kalsı? Faiz oraı %.a.(d) aylık vadelidir. 7*. Biri 5 yıl öce dear yatırmış ve bugüde ilerdeki iki yıl boyuca her altı ay başıda 8 0 dear ara yatıracaktır. Faiz oraı daima ayı altı aylık vadeli olmak üzere, so yatırımda hesata dear biriktiğii varsayarsak, bu güde 5 yıl sora kişii hesabıda e kadar arası olacaktır? 8*. Bugü baka hesabıa dear yatırılmış, iki yıl sora da dear hesata çekilmiştir. Bugüde oucu yıla kadar, döem sou yıllık kira alacağız ve so kirada yıl sora hesabımızda dear kalacaktır. Faiz oraı %5.a.(d) yıllık vadeli olduğua göre kira tutarı e kadardır?

236 Kou Özetleri Basit ve bileşik faiz hesalarıı uygularke, sadece bir defaya mahsus olmak üzere yatırıla arasal varlıklar ve bazı öreklerde farklı eriyotlarda yatırıla ya da çekile tutarlar söz kousuydu. Bu durumda, bireysel yatırımlar eşit ya da farklı olabilirdi, belli bir kurala göre değişebilir, örek aritmetik ya da geometrik dizisi kauua göre artar ya da azalabilir veya tasarrufta olduğu gibi belli bir kaua uymada gelişigüzel değişebilir. Halbuki, çok kez yatırımlar belli bir kaua göre, ayı zama aralıklarıda tekrarlaabilir yatırımlara rastlıyoruz. Böyle durumlarda söz kousu mevduattır. Mevduat belli bir süre souda veya isteildiğide çekilmek üzere bakalara faizle yatırıla aradır. Mevduatlar belli sürelerde ayı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adladırılıyorlar. Yatırımlar, ödemeler serisii başlama oktasıa göre döem başı ve döem sou mevduatlar olarak ikiye ayrılıyorlar. Yatırım esasıda her mevduatı faizi, yatırıldığı güde tüm mevduatları tolam değerii hesaladığı aa kadar hesalaır. Döem başı ya da döem sou faizledirme uygulaabilir. Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda ayı, bazı durumlarda ise farklı, yai mevduat vadeleride daha sık ya da daha seyrek olabilirler. Pek sık tüm mevduatları tolam değeri e kadardır sorusu sorulmaktadır. Yatırım esasıda faizi hesalamış tüm mevzuatları tolamıa yatırımı gelecekteki değeri deir. Biz burada sadece faiz döemleriyle çakışık ola, bireysel eriyodik mevduatları ve ayı zamada sabit mevduatlı ola yatırımları iceleyeceğiz. Yıl esasıda sadece bir mevduat ödediği durumda, söz kousu yıllık mevduat olur, yatırım yılda iki defa yaıldığıda, altı aylık (yarım yıllık) mevduat, yılda dört defa yatırım yaıldığıda üç aylık (çeyrek yıllık) mevduat biçimide adladırılır. Yatırım ayda bir yaılırsa aylık mevduat olur. Burada da faizledirme vadesi yıllık, altı aylık, üç aylık vb. olabilir. Döem başı faizlemiş yatırımları tolamı şu formülle hesalaır: r S Vr döem sou faizledirme içi, r S V döem başı faizledirme. Döem sou faizlemiş yatırımları tolamı şu formülle hesalaır: r S V döem sou faizledirme içi, r

237 S V döem başı faizledirme. Döem başı faizlemiş yatırımları değeri şu formülle hesalaır: r V S döem sou faizledirme içi, r r V S döem başı faizledirme. Döem sou faizlemiş yatırımları değeri şu formülle hesalaır: V S döem başı faizledirme. r V S döem sou faizledirme içi, r Döem başı yatırımları sayısı şu formülle hesalaır: Vr S r log. log r Vr Döem sou yatırımları sayısı şu formülle hesalaır: V S r log. log r V So mevduat diğerleride farklıdır ve oa yatırımı kalaı deir. Döem başı mevduatları so mevduatı (kalaı) şu formülle hesalaır: V 0 S V döem başı mevduatlar içi, V 0 S V döem sou mevduatlar içi. Döem sou mevduatları so mevduatı şu formülle hesalaır: V 0 r r S V döem başı mevduatlar içi, r r V 0 r r S V döem sou mevduatlar içi. r

238 Döem başı yatırımları, döem sou faizledirmesiyle birike gelecekteki değeri hesalamak içi kulladığımız S Vr formülüde, S r r ve V bilidiğide, bilimeye r faiz katsayısıı, yai %.a.(d) değerii hesalamak içi r S V S r V 0. deklemi elde edilir. Bu ise r katsayısıa göre bir oliom deklemidir ve geel olarak derecesi te büyüktür. Bu gibi deklemleri çözmek içi (bazı özel durumlar hariç), belli bir kural yoktur. Bu edele, bu gibi deklemleri bilie bazı umerik yötemlerle çözeceğiz. Halbuki, amacımız şimdi umerik yötemleri deklemleri asıl çözüldüğüü öğremek değildir. Burada sadece ratik ödevleri yararıa faiz oraıı e kolay biçimde belirtmektir. Bu edele faiz oraıı hesalamasıı i / i tablolarıdaki değerleri kullaa S V III formülüe göre yaacağız. Ayı işlemleri döem sou yatırımlar içi de yaacağız. Yatırımları gelecekteki değeri r S V formülüde, faiz katsayısı r içi: r r S V S r V 0, deklemi elde edilir. Bu deklem de r değişkeli oliomdur. Yatırımları gelecekteki değerii hesalamak içi i / i tablolarıdaki değerleri kullaa S V III formülüde yararlaarak S S S V. elde edilir. i bilie değeri içi V değeri tabloda V V V varsa, faiz oraı doğruda doğruya okuur. Aksi halde, faiz oraıı doğrusal eterolasyo ile belirtiyoruz. Eşit zama aralıklarıda alıa alacaklar söz kousu oluca ilk aklımıza gele kiradır. Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (retler) diye adladıracağız. Kira aüiteleri öcede belirlemiş kaua göre değişebilir, öreği geometrik ya da aritmetik dizisi kauua göre değişebilir. Böyle kiralara değişke kiralar deir. Özelliklerie göre kiralar birçok şekilde adladırılıyorlar; ödeme zamaıa göre, eriyodu başlagıcıda ödeirse döem başı kiralar, eriyodu souda ödeirse döem sou kiralar diye adladırılıyorlar. Ödemeleri zama süresie göre geçici kiralar (belli bir süre içi), ömür boyu kiralar (kirayı ödeye kişii ömrüü soua kadar), ya da kira alacakları hiç bitmeye olduğu durumda daimi kiralar söz kousudur. Kiraları ödediği eriyodua göre: yıllık, yarıyıllık, üç aylık, aylık vb. kiralar fark ediyoruz. Kira almak içi, öce buu getirecek varlık temi edilmelidir. Kira getirmek amacıyla yatırıla varlık miktarıa kira sermayesi deir. Burada bir defaya mahsus ola yatırım söz kousudur. Halbuki arasal varlıklar eriyodik ödemelerle de yaılabilir. Kira alacakları, kira be- 4

239 5 delii yatırılmasıyla başlarsa heme kiralar, kira alacakları belli bir zamada sora başlarsa o halde ertelemiş kiralar söz kousu olur. Sabit miktarlı, faizledirme vadesi kiraı ödeme vadesiyle çakışa eriyodik ödemeler üzeride daha fazla duracağız. Formülleri belirtilmeside faiz oraı döem sou olduğuu varsayacağız. Şu işaretlemeleri kullaacağız: M kira sermayesi, R- kira (ret), ödeme sayısı, r döem sou faiz katsayısı, - döem başı faiz katsayısı. Döem başı kiraları yatırımı şu formülle hesalaır: r M R r r döem sou faizledirme içi, M R döem başı faizledirme içi. Döem sou kiraları yatırımı şu formülle hesalaır: r M R r r döem sou faizledirme içi, R M döem başı faizledirme içi. Faiz yatırımıı değeri M, faizledirme koşulları ve kira sayısı bilidiği durumda, kira tutarıı değeri şu formülle hesalaır: r r r M R döem sou faizlee döem başı alıa kira içi, r r r M R döem sou faizlee döem sou alıa kira içi. M R döem başı faizlee döem başı alıa kira içi, M R döem başı faizlee döem sou alıa kira içi. Kira sermayesi, kira tutarı ve faiz oraı bilidiğide, döem başı kira sayısı şu formülle hesalaır:

240 log Rr log r Rr M r döem sou faiz oraı içi, R log döem başı faiz oraı içi. log R M Kira sermayesi, kira tutarı ve faiz oraı bilidiğide, döem sou kira sayısı da şu formülle hesalaır: R log döem sou faiz oraı içi, log r R M r R log döem başı faiz oraı içi. log R M So kira, yai kira kalaı döem sou kiralar içi şu formülle hesalaır: R r r r 0 M R r. Diğer büyüklükler bilidiğide, faiz katsayısı döem başı kira içi M R IV for- R IV formülüde bilimeye gibi hesalaa- mülüde ve döem sou kiralar içi M bilir. 6

241 9 BORÇLAR 9.. Borç Kavramı ve Çeşitleri Fiasal varlıkları yetmediği durumlarda, isalar gülük gereksemelerii gidermek içi borç varlıklarda yararlaıyorlar. Bazı durumlarda bireysel ya da tüzel kişileri uzu vadeli gelirleri de laladığı işleri yamak içi gereke fiasal kayakları yetmeyebilir. Böyle durumda borçlar kullaılır, yai belli koşullar altıda borç alıa fiasal varlıklarda yararlaılır. Borç vere ve ala, borç miktarı, geri verilme şekli, geri ödeme zamaı, faiz oraı vb. hususlarda aralarıda alaşıyorlar. Borç, ara, mal veya ara ciside bir değeri belirli bir vade ve koşulla geri alımak üzere verilmesidir, yai borç vere, fiasal varlıklarıı borç alaa geçici bir süre içi hizmetie devretmesidir. Bu bölümde, borçluu borcuu ödeme koşulları, borç veree ola yükümlülüğü, yai fiasal varlıkları devredilme koşulları, borcu süreside faizledirmeyi içere, alaşmalar söz kousu olacaktır. Borç tutarı geellikle birde verilir ve geri alıması birde değil, çok kez belli eriyotlarda gerçekleştirilir. Her eriyotta borcu ödediği tutara ödeme deir. Belli eriyotta ödemei faiziyle beraber tutarıa aüite deir; diğer sözlerle aüite, belirli bir zama süreci içeriside, eşit aralıklarla verile veya alıa eşit ödemeler serisidir. Borcu her bireysel ödemesie gereke zama süresie amortisma vadesi deir. Kullaılışlarıa göre, geçerlilikte ola kaulara göre, süresie göre birçok borç çeşitleri vardır. Geri ödeme süresie göre kısa vadeli (geri ödeme süresi e çok bir yıl), orta vadeli ve uzu vadeli diye adladırılıyorlar; Ödeme şeklie göre borçlar, amortismalı ve kiralı olabilirler. Borç belli bir sürede faiz ve borcu bir kısmıı ödemekle geri ödeme yaıldığı durumda, amortismalı borç söz kousu olur. Kiralı borçlar ise, kira şeklide ödee sabit tutarlı taksitler halide ödee borçlardır. Güveceye göre, kişisel ve reel borçlar olabilir. Kişisel borçlar, borç verei borç alaa ola şahsi güvecesie göre verilir. Reel borçlar ise, borcu ödemesii garatileyecek, öreği iotek gibi varlıklar güvecesiyle verilir. Borç veree göre yerli ya da yabacı borçlar, alei ya da özel, baka ya da baka dışı vb. borçlar olabilir. Borç üzerie faizi ödei ödemediğie göre, faizli ve faizsiz borçlar şeklide adladırılabilir. 7

242 Borçlamaya ait verile belgelere göre, borçlar sözleşmeli (borç tutarıı tümü içi bir belge) ve tahvillere (seetlere) bölümüş borçlar (birde fazla alacaklıya, ayı ya da farklı tutarlı kısımlara ayrılmış fakat oları tolam tutarı tüm borç ile eşit olacaktır) olabilir. Aüiteleri ödeme süresie göre, döem sou aüiteli borçlar (ödemeler serisi devrei souda yaıla) ve döem başı aüiteli borçlar (ödemeler devrei başıda yaıla aüiteler) olabilir. Faizi hesalamasıa göre borçlar, döem sou faizlee ve döem başı faizlee biçimide adladırılabilir. Mevduatlarda ve kiralarda olduğu gibi borçlar da, döem sou aüiteli ve döem başı faizledirme, döem sou aüiteli döem sou faizledirme biçimide olabilir. Ayı şekilde döem başı aüiteler içi de döem sou ve döem başı faizledirme biçimide olabilirler. Borçları amortismaı birçok farklı şekilde yaılabilir. Uzu vadeli borçlarda vade süresice sadece faizleri, vadei souda da borcu tamamıı bir defada ödemek, ya da her bir taksit hem aaaraı bir bölümüü hem de ilgili devreleri faizii içerir. Şuu da belirtelim, borcu amortismaı deile kademeli ödemede, öcede belirlemiş tutarlarla, belli zama aralıklarıda, öcede belirlemiş bir la üzeride ödemesie amortisma laı deir. Halbuki amortisma laıı yamak içi, bazı verileri kesi bilimesi gerekir. Mesela hagi zamada e kadar ödemesi gerektiğii, borcu e kadarı kaldığıı, e kadar faiz hesaladığıı bu verileri her biri asıl hesalaacağıı da belirtmek gerekir. Ödemeler ve aüiteler sabit ya da belli bir kurala göre, öreği aritmetik ya da geometrik dizisi kuralıa göre değişe olabilir. Biz şimdilik, sabit aüiteli borçları iceleyeceğiz. Çükü bular ratikte daha sık rastlaa ve borcu ödeme süreside belli aralıklarda taksitlere ayırarak ödemesi borçluya daha elverişlidir. Borç eşit ödemelerle tahsil edildiği durum borçluya ek elverişli değildir, çükü borcu aldığı ada, büyük aüite ile ödemeye başlaması gerekir. Faizledirme vadesi de aüitei ödeme vadesiyle çakışabilir ya da çakışmayabilir de. İlerde sadece eşit aüiteli borçları ve yuvarlamış aüiteli borçları ve her iki durumda döem sou aüiteleri ve döem sou faizledirmesi yaıla ve faizledirme vadesi ve amortisma vadesiyle çakışa borçları iceleyeceğiz. Diğer durumlar bezer şekilde hesalaacaktır. Souda, tüm bireysel aüiteleri iskotolamış değerlerii tolamı, borcu alıdığı güdeki değerie eşit olduğuu diyebiliriz. Bu ise kiralarda kira sermayesii hesaladığıı hatırlatıyor. Bu souçta yararlaarak, amortisma laıdaki büyüklükleri asıl hesalaacağıı artık biliyoruz. 8

243 Alıştırmalar. Ödeme edir, aüite edir, amortisma vadesi edir?. Borçları asıl ayrıldığıa dair dört kriter sayıız?. Borcu süresie göre borçlar asıl ayrılır, ödeme şeklie göre ise asıl ayrılırlar? 4. Amortisma laı edir? 5. Bireysel ve reel borçlar arasıdaki fark edir? 6. Amortisma ve kira borçları arasıdaki fark edir? 9.. Eşit Aüiteli Borçlarda, Borcu ve Aüitei Hesalaması Tutarı Z ola bir borç alımış ve geri ödemesi, her biri a tutarıda eşit aüite ile yaılacaktır. Faiz oraı döem sou faizledirme ve faiz döemi aüiteleri ödeme döemiyle çakışık olsu. Döem sou faiz katsayısı r, her faiz döemi içi ayrı hesalamış, yai etki faiz (efektif faiz) yaılmıştır. Borcu alıdığı güde, borcu tutarı, her döemi souda ödee, bireysel aüiteleri iskotolamış değerlerii tolamıa eşittir. Sayı ekseide, kira sermayesii hesaladığıda, kiralarda yaıldığı gibi, her aüitei ödeme döemi (eriyodu) işaret edilir (şek.). Şek. İskotolama kurallarıyla, aüiteleri değerleri bilidiğie göre borcu tutarıı hesalayalım. Birici aüite ilk devrei (eriyodu) souda ödediğie göre bir devre içi faizleir, ikicisi iki devre içi ve bu şekilde soua kadar devam edilerek so aüite defa faizleir. Bu şekilde: 9

244 a a a a a Z r r r r r r r r elde edilir. Paratez içideki ifade, ilk terimi ve ortak çaraı ola bir geometrik dizisii ilk terimii tolamıdır. O halde, r r a r a Z r r, ve Z a. r r r r r r r elde edilir. r Not. Kiralar bölümüde gördüğümüz gibi, ifadesi i / i, IV dördücü tablou değeriyle değiştirilebilir. O halde, aüiteleri bilie borcu Z a V, formülüyle hesala- r r yabiliriz. Bu formül kiraları sermayesii hesaladığımız formülü ayısı olduğuu görüyoruz. Ayı formülde, aüiteye göre deklem biçimide çözersek, borç tutarı bilidiğide aüitei hesalaması içi formül elde edebiliriz: r r a Z. r Z Not. i / i tablolarıı değerleride yararlaarak aüite içi a formülü elde IV edilir. Beşici i / i tablo dördücüsüü çarımsal tersi olarak taımlaır, V, yai IV r r V dir. Bua göre aüite içi a Z V r. formülü geçerlidir dear tutarıda aylık eş aüitelerle beş yılda, bir ay vadeli döem sou %4.a.(d) faiz oraıyla e kadar borç ödeebilir? Ödevde verile verilere göre, = 5 ve yılda m = faizledirme ve yılda ayı sayıda borç ödeme taksitleri vardır. O halde tolam taksit sayısı m = 60, döem sou faiz katsayısı r,0 dir. Borcu hesalaya formül gereğice r,0 Z a ,4 dear elde edilir r r,0,0 Buda sora, m ile yıllık faizledirme sayısıı işaret ettiğimiz gibi, ayısı aüite sayısı içi de geçerli olacaktır. Çükü amortisma devreleri, başlagıç koşullarıa göre aüite sayısıyla çakıştığıı demiştik ve ile amortisma süresii işaret edeceğiz. 40

245 dear tutarıda borç, altı aylık vadeli aüitelerle %4.a.(d) faiz oraıyla 0 yılda ödeiyor. Faizledirme altı aylık vadeli olduğua göre, altı aylık vadeli aüite tutarı e kadardır? Hesalaa faiz tutarı e kadardır? Verileler: = 0, m =, aüite devreleri altı aylık olduğua göre tolam aüite sayısı m 4 = 0 dir. Faiz katsayısı r,0 dir. Borç tutarı Z = dear biliiyor. Amortisma süreside eşit ola aüiteler 00 içi 0 r,0,0 0 r a Z ,7 dear elde edilir. 0 0 r,0 Hesalaa faiz miktarı, ödee aüiteleri tolamı ve borç tutarıı farkıa eşittir. O halde I m a Z 0 447, , 4 deardır. Amortisma süreside hesalaa faiz miktarıı formülü, I m a Z aüiteleri tolam tutarı ve borç tutarıı farkı biçimide gösterildiğii fark edebilirsiiz tutarida bir borç, 0 yılda %6.a.(d) faiz oraıyla eşit aüiteli serisiyle ödeir. Ödeme vadesi a) yarıyıllık; b) üç aylık olduğua göre, aüite tutarıı hesalayıız. Faizledirme döemi, amortisma döemiyle çakışıktır. Her iki durumda Z = dear, = 0 dur. a) Ödevi sadece dördücü i / i tablosuda yararlaarak çözeceğiz. Böylece, 0 a Z V , ,4 elde edilir. Doğruda hesalayarak ve i / i tablosuda yararlaarak çözümü yoklamasıı yaıız. 6 b) m = 4 içi r,05, ve aüite sayısı 40 biliiyor. O halde 400 r a Z 40 40,05,05 r 40 r , deardır. Alıştırmalar. Sekiz yıl boyuca %5.a.(d) faiz oraıyla 5000 dear tutarlı eşit aüiteli ödemelerle e kadar borç ödeebilir? Faizledirme vadesi amortisma devresiyle çakışır. Aüiteleri ödeme devresi: a) yıllık; b) yarıyıllık; c) üç aylık olsu. Hesalamayı formül kullaarak doğruda ve i / i tablosuu kullaarak yaıız. 4

246 . Dört yıl boyuca %6.a.(d) faiz oraıyla 0000 dear tutarlı eşit aüiteli ödemelerle e kadar borç ödeebilir? Faizledirme vadesi yıllık, amortisma vade soudur dear borç 5 yıl boyuca, her altı ayda eşit aüitelerle geri ödemelidir. Faiz oraı %.a.(d) ve faizledirme altı aylık döem sou olduğua göre aüite tutarı e kadar olmalıdır? 4. Yıllık vadeli dear tutarıda aüitelerle 5 yılda %4.a.(d) yıllık vadeli faiz oraıyla e kadar borç ödeecektir? dear borç, 5 yılda üç aylık %8.a.(d) faiz oralı aüitelerle ödeecektir. Aüite tutarı e kadardır? Faizledirme üç aylık vadelidir. 9.. Eşit Aüiteli Borçları Ödemelerii Hesalaması Her aüite iki kısımda olduğuu artık biliyoruz; birici kısım, alaşma gereği borcu ödeme miktarı, yai bir çeşit taksit, diğer kısmı ise borcu kala kısmıa geçe süre içi uygulaa faizdir. Z tutarıda borç alımış ve buu eşit aüite ile geri çevirmek gerekir. Her aüitei tutarı a, faiz oraı ve döem sou faizledirme, faizledirme vadesi aüitei ödeme vadesiyle çakışıktır. Her k-cı ödemeyi b k ve k- cı faizi i k ile işaret edersek birici aüite a = b + i Z olur. Burada faiz, birici döem içi Z tüm borç tutarıa hesalaır, yai i dir. 00 Başlagıçta, faiz oraı bir faiz döemi içi olarak alacağız, oda sora ise etki faiz oraıı kullamaya dikkat edeceğiz. İkici aüite, biricisie eşit, fakat eklee faiz miktarı farklıdır a = b + i. Şimdi faiz Z b miktarı borcu kala kısmıa aittir, o ise Z b olduğua göre i dir. 00 Z b b Üçücü aüite a = b + i, ve i olur, çükü şimdiye dek artık iki ödeme 00 yaılmıştır ve kala borç Z b b dir. 4

247 Kala aüiteleri her birii bu şekilde iceleyerek so aüiteye a = b + i varıyoruz. Burada faiz borcu kala kısmıa Z b b - - b uygulaır, yai i Z b b... b 00 Ödemeler arasıdaki bağıtıyı belirtmek içi, birbirie eşit ola aüiteleri eşitleyeceğiz. Z Z b Böylece birbirie eşit ola ilk iki aüiteyi eşitlersek b + i = b + i yai b b elde edilir. b Orada b b ya da diğer şekilde yazılışı: 00 b b r. dir. 00 b Bezer şekilde, herhagi iki ardışık aüiteyi mesela, k ci ve k + ci aüiteleri eşitlersek: Z b b Z b... b b... k k k bk bk elde edilir. Bu eşitliği sadeleştirerek, her k {,,..., -} içi: bk bk bk r, elde edilir. 00 So ifadede görüldüğü gibi, ödemeler ilk terimi b ve ortak çaraı r faiz katsayısı ola k bir geometrik dizisii oluşturuyorlar. Daha da, her ödeme b b r formülüyle hesalaabilir. k, dir. formülü geçerlidir. Not. Birici i / i tabloyu kullaırsak herhagi ödeme içi b k b k. Borç, eşit üç aylık vadeli aüite ile ve üç aylık vadeli faizledirme ile ödeecektir (amortisma olacaktır). Dokuzucu ödeme 4, dear olduğua göre beşici ödemeyi belirtiiz. Faiz oraı %8.a.(d) dir. b 9 = 4, biliiyor, b 5 ödemesii tutarıı belirtmek gerekir. Geometrik dizisii 8 özelliğie göre b 5 = b r 4 ve b 9 = b r 8 dir. Faiz katsayısı r,0 dir. İcelee ödemeleri bölümleri r b9 br 4 4 olduğuda beşici ödeme: b 5 br b9 4, b 64,87 5 dear olduğuu buluyoruz. r 4,0 4 Birici ödeme tutarı bilimiyor, fakat borç yada aüite tutarı biliiyorsa; zate gülük yaşatımızda çok sık rastlaa olaylardır, ödemeler asıl belirleebilir sorusu soruluyor. 4

248 44 Z borcuu ödemelerii belirtmek içi, Z tüm ödemeleri tolamıa eşit olduğuu görmemiz yeterlidir. Bua göre,, r r r b r b r b r b b b b b Z, elde edilir. Paratez içideki ifade ilk terimi ve ortak çaraı r ola bir geometrik dizisidir. Bua göre, r r b Z. elde edilir. Not. r r ifadesii III ile değiştirirsek b Z. elde edilir. Bu eşitlikte r r Z b, ödeme tutarıı, borç tutarıyla, aüite sayısıyla ve faiz oraıyla ifade edebiliriz: Buu geel şekilde, k-cı ödeme içi de yazabiliriz: k k r r r Z b. Borç tutarıı r r r a Z, aüite ile ifade edersek, birici ödemeyi aüite ile ifade ede formülü elde edeceğiz: r r r r r a r r Z b ya da souç olarak r a b. elde edilir. Not. So eşitlikte heme b a II ya da b a. yazılabilir. Souda aüite ile ifade edilmiş k- cı ödeme k k k r a r r a b. Not 4. So eşitlik i / i tablosuyla ifade edilirse, k cı ödeme içi k b k a ] biçimide yazılabilir. Aüite ve so ödeme arasıdaki bağıtı a b a II r, ya da a b I formülleriyle ifade edildiğii de gösterelim.

249 . Bir borç, yarıyıllık vadeli eşit tutarlı aüitelerle ve yarıyıllık vadeli faizledirmesiyle 5 yılda ödeiyor. Aüite, % 6.a.(d) faiz oraıyla 40 dear olduğua göre altıcı ödemeyi belirtelim. Öce birici, oda sora da altıcı ödemeyi belirteceğiz. a = 40 dear, = 5, m = 6, borcu amortismaı 0 aüite ile yaıldığıı ve faiz katsayısı r,0 olduğuu biliyoruz. O halde ilk ödeme: b 065, 67 dear olduğuu buluyoruz. Ödemeler 00 a 40 0 r, 0 bir geometrik dizisi oluşturduğua göre, geometrik dizileri özelliği gereğice altıcı ödeme b 6 = b r 5 = 065,67,0 5 = 55,95 dear olduğuu buluyoruz.. Amortismaı 6 yılda gerçekleşe %4.a.(d) faiz oraıyla verilmiş bir borcu aüitesi e kadardır? Aüiteler ve faizledirme devreleri yıllıktır ve sadece dördücü ödeme 8479,4 dear olduğu biliiyor. Bilieler: dördücü ödeme b 4 =8479,4, faiz katsayısı r =,04 ve aüite sayısı 6 dır. Aüite ve ödeme arasıdaki bağıtıyı doğruda doğruya göstere formülde b4 br r a a 6 a r r elde edilir. Öreğimizde 8479,4, deklemi elde edilir. Orada da, aüite a = 958,9,04 dear olduğuu buluyoruz. 6 6 r,04 Borç tutarı ise, Z a 958, deardır. 6 6 r r,04,04 Alıştırmalar. Bir borcu amortismaı eşit üç aylık aüitelerle ve üç aylık döemli faizledirmeyle yaılmaktadır. Faiz oraı %.a.(d) ve altıcı ödeme dear olduğua göre, oucu ödemeyi belirtiiz.. Bir borcu amortismaı eşit dört aylık aüitelerle ve dört aylık döemli faizledirmeyle yaılmaktadır. Faiz oraı %9.a.(d) ve oucu ödeme dear olduğua göre, aüite tutarı e kadardır?. Bir borcu amortismaı 6 yılda eşit üç aylık aüitelerle ve üç aylık döemli faizledirmeyle yaılıyor. Faiz oraı %8.a.(d), üçücü ve altıcı ödemei tolamı deardır. Borç e kadardır? Aüite tutarı e kadardır? 4. Amortismaı 6 yıl süre bir borç, %4.a.(d) faiz oraıyla verilmiştir. Aüiteler ve faizledirmeler vadesi yıllık ve altıcı ve dördücü ödeme arasıdaki fark 69,9 dear olduğu bilidiğie göre aüite tutarı e kadardır? 45

250 5* dear tutarıda bir borcu amortismaı eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizledirmeyle 0 yılda gerçekleşiyor. Faiz oraı %5.a.(d) olduğua göre, altıcı yıldaki faiz miktarıı buluuz (Tavsiye: beşici ödeme dahil tüm ödemeleri tolamıı hesalayıız) Eşit Aüiteli Borçlarda Borcu Ödemiş Kısmıı ve Kala Kısmıı Hesalaması Ödemeleri hesalarke, tüm ödemeleri tolamı borç tutarıa eşit olduğuu varsayıyorduk. Bua göre O k ile işaret edeceğimiz, k devrede (eriyotta) borcu ödemiş kısmı k-cı aüite dahil, ilk k ödemei tolamıa eşittir, yai: О k = b + b b k, dir. Her ödemei değerii değiştirmekle, О k =b + b r b l r k- = b (l + r + r r k- ), elde edilir. Geometrik dizisii ilk terimii tolamı formülüde, borcu k devrede ödediği borcu kısmı içi şu formül elde edilir: k r Ok b. r k Not. Üçücü i / i tablosudaki değerleri almakla, borcu ödemiş kısmı içi O b k. formülü elde edilir. Alaşılacağı üzere bu formül, borcu ödemesiyle ilgili öcede bulduğumuz formülü k = içi karşılığıdır. Buda sora, borcu kala kısmı e kadardır, sorusu sorulabilir. Soruu cevabı açıktır. Borcu kala kısmı aslıda, borç tutarı ve ödee kısmı farkıdır. Ödee k-cı aüitede sora borcu kala kısmıı R -k ile işaret edelim. O halde, k r R k Z Ok Z b. r olduğuu yazabiliriz. Birici ödemeye göre borcu formülüü değiştirirsek k r r R k b b, ya da r r R r r r k k b. elde edilir. Borcu ve borcu kala kısmıı aüite ile ifade edersek R k r a r a r r r r k, yai k r r R a elde edilir. k r r 46

251 k r r Not., ifadesii i / i tablosuda karşılık gele değerii değiştirmekle, ödee r r k aüitede sora borcu kalaıı hesalamak içi şu formül geçerli olacaktır: R k a V. k dear borç 8 yılda amortisma olacaktır. Faiz oraı %5.a.(d), eşit aüiteli ve faizledirme yarıyıllıktır. 0 aüite ödedikte sora borcu kalaı e kadardır? Borç, tolam 6 aüite ile ödeiyor. Faiz katsayısı r =,05 tir. Öce aüiteyi ve ilk ödemeyi hesalayalım. Aüite içi: 0 655,0 9, ,05,05 a ,97 6,05 dear elde edilir. Birici ödeme içi ise: a 97,97 b 547,97 r 6 6,05 dear elde edilir. Şimdi borcu kalaıı hesalayabiliriz: r r,05,05 R6 b 547,97 657,5 r,05 dear elde edilir. Hesalaa kalada, borcu ödemiş kısmıı da hesalayabiliriz. Bua göre, O 0 = Z R 6 = ,5 = 74,5 dear artık ödemiştir dear tutarıda borcu amortismaı 50 yılda yaılmalıdır. Faiz oraı %4.a.(d) yıllık vadelidir. Yıllık 0 aüite ödedikte sora kala borç e kadardır? Öreği, i / i tablolarıda yararlaarak çözelim. Borcu kalaıı ve ödemiş kısmıı 0 hesalayacağız. Borcu kalaı içi R0 a IV geçerlidir. Öce aüiteyi hesalayalım Aüite, a Z V , , dir. İlk ödeme ise, 4 50 b a , 0, R0 a V4 4655, 7,90 O 0 b 4 655,0 dir. Borcu kala kısmı 80494,75 deardır ve souda çevrile borcu olduğuu buluyoruz. Alıştırmalar. Bir borcu amortismaı 40 yılda, yarıyıllık aüitelerle ve %6.a.(d) faiz oraıyla yarıyıllık vadeli faizledirmeyle yaılacaktır. Yirmici ödeme 000 dear olduğua göre, 0 aüite ödedikte sora borcu kala kısmıı belirtiiz. 47

252 dear tutarıda borcu amortismaı 5 yılda, yarıyıllık aüitelerle ve %8.a.(d) faiz oraıyla yarıyıllık vadeli faizledirmeyle yaılacaktır.. aüitede 0. aüiteye kadar (0. aüite dahil) e kadar borç ödemiştir? (O 0 O 0 farkıı buluuz).. Bir borcu amortismaı 40 yılda, yıllık aüitelerle ve %4.a.(d) faiz oraıyla yıllık vadeli faizledirmeyle yaılacaktır. İlk 5 ödemeyle borç dear azalmıştır. Borç tutarı e kadardır? 4. Bir borcu amortismaı 50 yılda, yıllık aüitelerle ve %5.a.(d) faiz oraıyla yıllık vadeli faizledirmeyle yaılacaktır.. aüitede 0. aüiteye kadar (0. aüite dahil) dear borç ödediğie göre, borç tutarı e kadardır? dear tutarıda borcu amortismaı 0 yılda, eşit yarıyıllık vadeli aüitelerle yaılacaktır. Faiz oraı %4.a.(d) yarıyıllık vadeli faizledirme olduğua göre 0 yıl sora borcu e kadar kısmı ödeecektir? 9.5. Eşit Aüiteli Borçları Amortismaıda Faiz Oraı ve Devre Sayısıı Hesalaması Borç ve aüitei hesalamasıa uygulaa formülde, faiz oraı ya da devre sayısı bilimeye olarak diğer bilie büyüklüklerle ifade edilebilirler. Kiralarda yaıldığı gibi, formülle doğruda doğruya hesalamakla ya da i / i tablolarıda yararlamakla yaabiliriz. Buu birkaç örekle göstereceğiz. r Başlagıç formülü olarak, borç formülüü alalım. Z a, formülüe gereke döüşümleri yamakla: r r Zr, a r elde edilir, orada da a Zr a, ya da r. r a a Zr elde edilir. Bu eşitliği her iki tarafıı logaritmasıı alırsak, amortisma süresi içi a log. log r a Z r formülü elde edilir. 48

253 Faiz oraıı hesalaması söz kousu oluca, yötemlerde biri, dördücü i / i tablosuda Z a V, borcu temel formülüde yararlamaktır. Halbuki, formüllerde yarar- laırke, uygu deklem elde edildiğide, doğruda doğruya da hesalayabiliriz. Doğrusal ara değerleme (eterolasyo) yötemii şimdiye dek birçok defa kulladık, şimdi de gerektiği durumda kullaabiliriz. Ödevlerde verile verilere bağlı olarak, yukarıdaki formülleri kulladığımız gibi, amortisma süresii ve faiz oraıı hesalamada, gerektiğide diğer formüller de kullaılabilir tutarıda bir borç, 4000 dear tutarıda eşit yıllık aüitelerle, yıllık vadeli %4.a.(d) faiz oraıyla ödemelerle e kadar zamada amortisma olacaktır (ödeecektir)? r Borcu hesalaması içi kullaıla Z a formülüde verile değerleri değiştirerek ve logaritma işlemii uygulayarak doğruda doğruya hesalamayı yaabiliriz. r r Yai,04, , değiştirmekle 0, 6, burada da 0,4,04 ya da,04,04,04,04 log,5 =,5 deklemi elde edilir. Deklemi iki tarafıı logaritmasıı almakla, 6 log,04 elde edilir. Amortisma süresi tam sayı değildir, yai aüite eşit, 4. aüite ise farklıdır. Aü- ite kalaı içi daha sora söz kousu olacaktır.. Bir borç üç aylık döemli ve üç aylık vadeli faizleme ile itfa (amortisma) edilir. Beşici ve üçücü ödemei farkı 840,64 dear, üçücü ve altıcı ödemei tolamı ise 4889,6 olduğua göre faiz oraıı hesalayıız. Döem sou faiz katsayısıı hesalayacağız. Verile koşullara göre şu deklemler sistemii oluşturacağız: b5 b 840,64. b6 b 4889,6 Deklemleri ilk ödeme ve faiz katsayısıa göre düzelemekle verilee dek ola şu sistem elde edilir: 4 br br 840,64, Burada deklemleri taraf tarafa bölmekle 5 br br 4889,6 br r 840,64 0,096 bağıtısı elde edilir. So deklemi sadeleştirerek b r r 4889,6 r r r 0,096, orada da 0, 096 r r r r r faiz katsayısıa göre deklemi elde edilir. Bu deklem r 49

254 0,096r -,096r +,096 = 0, ikici derece deklemdir ve çözümü r =,0 ve r = 5 dir. İkici çözümü, faiz katsayısı içi alamı yoktur, birici çözümde ise,0 elde edilir ve orada = %8.a.(d) elde edilir Hagi faiz oraıyla dear tutarıda bir borç 0 yılda 4500 dear tutarıda eşit yıllık aüitelerle itfa edilecektir? r Hem borç hem de aüite bildiğie göre, borcu Z a, temel formülüde r r 0 ya da Z a IV formülüde hareket edeceğiz. Dördücü i / i tablosuda = 0 içi 0 IV 8, değerii arıyoruz. Bu sayı = 0 içi tabloda değeri olmadığıa göre, sayılar arasıda ara değerleme yaacağız. Veriler aşağıdaki tabloda yazılıdır. 0 0 V V 8,86664 %,5 % 8, %,5 % 7,75069 %,5 % 8, ,454 %-0,5 % 0, ,5 Elde edile farklarda oratı kuruyoruz: 0,454 : 0,5 = 0, : ( -,5), orada da,5 = 0,6 ve souda = %,4.a.(d) elde edilir. 0 Ayı souca beşici i / i tablosuda yararlaarak da gelebiliriz. Orada V 0, 075 olduğua göre a Z V 0 formülüde yararlaıyoruz. Alıştırmalar. Hagi yıllık faiz oraıyla dear tutarıda bir borç, 5 yılda 669,4 dear tutarıda eşit üç aylık aüitelerle itfa edilecektir (ödeecektir)? dear borç, 90,04 tutarıda yarıyıllık aüitelerle ve %8.a.(d) yarıyıl vadeli faiz oraıyla e kadar zamada itfa edilecektir? dear borç, hagi faiz oraıyla, 6 776,6 dear tutarıda yıllık aüitelerle 5 yılda itfa edilir? 4. Hagi yıllık faiz oraıyla 9 00 dear tutarıda bir borç, 700 dear tutarıda yıllık aüitelerle yılda itfa edilecektir? 50

255 dear tutarıda borç, 4 46,68 dear tutarıda eşit yarıyıllık aüitelerle ödemektedir. Faiz oraı yarıyıllık vadeli, %4.a.(d) olduğua göre, amortisma süresii hesalayıız Eşit Aüiteli Borcu Amortisma Plaı Z tutarıda bir borç eşit aüitelerle ödediği durumda, borçlu her devre souda ayı tutarlı taksitler ödeyecektir. Bu ödemeler iki kısımda meydaa gelmektedir. Bu kısımlarda biri borcu bir kısmıı ödeme tutarı ve kala borcu faizidir. Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet Borcu kalaı Faiz Ödeme Aüite (eriyot) zaemot Z Z i b a i a 00 R Z b R i b a i a R R b R i b a i a 00 R R b R i b a i a 00 Bu şekilde borcu ödemeside, her gele devrede borcu ödeme tutarı artar, fakat kala borcu faizi azalmaktadır. Borcu ödemesi öcede yaıla ve amortisma laı deile bir la üzeride yaılmaktadır. Bu la, geellikle tablo biçimide gösterilir. Sütuları dağılımı yukarıda gösterile tabloda farklı olabilir, fakat her tabloda bu sütular olmalıdır. Öreği, bir amortisma laıı asıl yaıldığıı adım adım göstereceğiz ve souda tabloyu dolduracağız dear tutarıda bir borç eşit yıllık aüiteli 5 yılda %4.a.(d) yıllık vadeli faiz oraıyla itfa edilecektir. Borcu ödemesi içi amortisma laı yaılsı. Faizleme yıllıktır, faiz katsayısı r =,04. Tolam 5 aüite vardır. 5,04,04 Aüitei değeri a ,8 deardır. 5,04 Birici kala borcu tümüdür R 5 = Z = deardır; 4 birici faiz i Z deardır tüm borcu faizi;

256 birici ödeme b = a i = 46, = 846,8 deardır; ikici kala, ödee bir aüite sorası birici yıl souda: R 4 = Z b = ,8 = 8 57, deardır; R4 4 ikici faiz i 857, 6, 5 deardır- ikici kalaı faizidir; ikici ödeme b = a - i = 46,8-6,5 = 90, deardır; üçücü kala R = R 4 - b = 857, -90, = 65,9 deardır; R 4 üçücü faiz i 65,9 49, 44 deardır ikici kalaı faizidir; üçücü ödeme b = a -i = 46,8-49,44 =9969,6 deardır; ödee üç aüitede sora, üçücü yıl souda dördücü kala: R = R - b = 6 5, ,6 = 4 66,5 deardır; R 4 dördücü faiz i 4 466,5 694, 66 deardır üçücü kalaı faizi; dördücü ödeme b 4 = a - i 4 = 46,8-694,66 = 0768,4 deardır; ödee dört aüitede sora, dördücü yıl souda beşici kala: R = R b 4 = 4 66,5 0768,4 = 598,4 deardır; R 4 beşici faiz miktarı i 5 598,4 86, 9 dear dördücü kalaı faiz miktarı; beşici ödeme b 5 = a - i 5 = 46,8-86,9 = 598,4 deardır; beş aüite ödedikte sora altıcı kala: R 0 = R - b 5 = 598,4-598,4 = 0 deardır. Demek ki borç ödemiştir. Bu şekilde hesalaa değerleri tabloda gösterelim. Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet (eriyot) Borcu kalaı Faiz Ödeme Aüite zaemot , 8 46, 8 857, 6, 5 90, 46, 8 65, 9 49, , 6 46, , 5 694, , 4 46, , 4 86, 9 598, 4 46, 8 tolam suma 0788,

257 Amortisma laı yaıldıkta sora, bu laı doğru olu olmadığıı yoklamak gerekir: Koşul. Tüm ödemeleri tolamı borç tutarıa eşit olmalıdır b j Z ; Koşul. So ödeme tutarı, so kalaa eşit olmalıdır, b = R 6 ; Koşul. Faizler sütuudaki değerleri tolamı ve ödemeler sütuudaki değerleri tolamı devre sayısı ile aüitei çarımıa eşit olmalıdır i j b j a ; Koşul 4. Aüite, her faiz ve oa karşılık gele ödemei tolamıdır, a = b j + i j ; Koşul 5. Faizler sütuuu tolamı i j R j. dir. 00 Yukarıda çözüle örekte, tüm bu koşulları sağladığıı kolay görebiliriz. Öreği, ödemeler sütuuda tüm ödemeleri tolamı deardır; bu ise borç tutarıdır. So ödeme ve so kala birbirie eşittir. Oda sora i j b j, ,5 5 46,8 4. Aüite, ödeme ve karşılık gele faizi tolamı olduğuu görüyoruz, öreği, 694, ,4 = 4 46,8. Souda,5 0788, 5, olduğua göre beşici koşul da geçerli 00 olduğuu görüyoruz.. Borç, üç aylık devreli aüitelerle ve üç aylık vadeli %8.a.(d) faiz oraıyla itfa edilir. İkici devrede faiz miktarı 496,48 dear ve beşici devredeki faiz miktarı 7,6 dear olduğua göre, so üç devre içi amortisma laıı oluşturuuz. Bu ödevde, amortisma laı sadece so üç aüite içi yaılacaktır. Başlagıç içi kaç aüitei ödeeceğii de bilmiyoruz. Verile koşulları yazalım: 8 i 496,48 r,0 ve. 400 i5 7,6 Sistemi birici ödeme ve aüiteye göre çözeceğiz. i i 5 496,48 a b 7,6 a b 5 496,48 a br 496,48 a,0b 496, ,6 a br 7,6 a,0 b 7,6 Deklemleri taraf tarafa çıkarırsak (,0 4 -,0)b = 4,8 elde edilir. Orada da b = 000 dear ve a = 56,48 dear elde edilir. Şimdi, amortismaı devre sayısıı belirtmek içi, birici ödemeye ait formülde yararlaacağız; b. a a 4 4 r,0 5

258 4 56,48 O halde,,0, 684, deklemi elde edilir. Buu logaritmasıı almakla 000 log, elde edilir. Bua göre, borç üç yıl boyuca aüite ile itfa edilir. log,0 So üç ödemeyi formülle hesalayabiliriz: b b r 000,0 90,9, b b r 000,0 47, 99 ve 0 br 000,0 b 486,74. Bulara karşılık gele kalaları da hesalayalım: 9 9 r r,0,0 R 9 R a 56,48 74,9 dear, oucu kala R r r,0,0-0 = R = R - b 0 = 494,7 dear elde edilir ve o birici kala içi R - = R = R - b = 486,74 = b olduğuu buluyoruz. Faizler ya kalalarda ya da daha kolay i j = a b j özelliğide belirtilir. Bua göre i 0 = a b 0 = 46,9, i = a b = 98,49 ve i = a b = 49,7 olduğuu buluyoruz. Şimdi amortisma tablosuu oluşturabiliriz: Devre Period (eriyot) Borcu Ostatok kalaı Kamata Faiz Otlata Ödeme 0 74, 9 46, 9 90, 9 494, 7 98, 49 47, , 74 49, 7 486, 74 Plaı tümü olmadığıa göre yoklamasıı yaamıyoruz. Alıştırmalar dear tutarıda bir borç 6 yılda eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizlemeyle itfa edilir. Yıllık faiz oraı %4.a.(d) dir. Aüite tutarıı hesalayıız ve amortisma laıı oluşturuuz dear tutarıda bir borç 6 yılda eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizlemeyle itfa edilir. Yıllık faiz oraı %5.a.(d) dir. Amortisma laıı oluşturuuz dear tutarıda bir borç 6 yılda eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizlemeyle itfa edilir. Yıllık faiz oraı %8.a.(d) dir. Aüite tutarıı hesalayıız ve amortisma laıı oluşturuuz dear tutarıda bir borç 4 yılda eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizlemeyle itfa edilir. Yıllık faiz oraı %0.a.(d) dir. Aüite tutarıı hesalayıız ve amortisma laıı oluşturuuz. 54

259 5. Bir borç eşit yarı yıllık aüitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlemeyle itfa edilir. Birici ödeme dear, so devrei faizi,0 dear ve soda bir evvelki devrei faizi 649, dear olduğua göre amortisma laıı oluşturuuz Yuvarlak Tutarlı Aüiteli Borçlar Belli bir borcu öderke, a aüitesi kokre tutarlı ya da borcu bir yüzdesi olarak verilebilir. Bu aüiteler geellikle tam sayıya yuvarlaıyorlar (oluk, yüzlük vb.). Bu yüzde bulara yuvarlak aüiteler ve borçlara yuvarlak aüiteli borçlar deilir. Aüite, yukarıda sayıla şekillerde biriyle verilmediğide ve borcu itfalı yuvarlak aüitelerle yaılma koşulları varsa, aüitei hesalama yüzdesii hesalamak gerekir. Burada da döem sou borçlarda, amortisma devresii souda ödemeler ve vade sou faizlemede söz edeceğiz. Ödevlerde geel olarak, borç tutarı, amortisma devresi ve faiz oraı veriliyor, belirtilmesi gereke ise, yuvarlak değerli aüite tutarı ve souda diğerleride farklı ola so aüite tutarıı. Borcu Z tutarı ve faiz oraı %.a.(d) verilmiş olsu. Amortisma devrelerii sayısı bilidiği durumda, aüitei değeri eşit ve so ola -cı aüitei değeri diğerleride küçük olduğua göre,00 V ve 00V arasıda bulua yüzdesi araılır. Yuvarlaa aüiteler, eşit ola aüitelerde büyüktür ve bu yüzde so aüite olarda farklı ve değeri diğerleride küçüktür ve oa aüite kalaı deir. Demek ki, yuvarlak aüiteyi bilmiyorsak, borcu yüzdesi gibi ifade edilecektir, geel olarak tam sayı ile ya da a Z, formülü ile ifade edilecektir ve bu durumda: 00 r r r r r r geçerli olacaktır dear tutarıda bir borç 6 yılda yuvarlak yarıyıllık aüitelerle ve %5.a.(d) yarıyıllık faizleme ile itfa edilir. Yuvarlak aüiteyi hesalayıız. 5 Faiz katsayısı r, 05, aüite sayısı 6 = dir. 00 yüzdesii,05,05,05, ,,05,05 eşitsizliğide belirteceğiz. Orada: 55

260 %9,74 < < %0,5 gerekir. içi bu aralıkta bulua ve hesalamalar içi daha kolay tam sayı ola = %0 değerii seçeceğiz. Bua karşılık gele yuvarlak aüite Z a deardır. Elde edile aüite tam sayı değilse ou oluklara ya da yüzlüklere yuvarlayacağız. Bazı durumlarda yuvarlak aüitei değeri biliiyor olabilir ve amortisma devrelerii sayısıı hesalamak gerekir. Buu belirtmek içi eşit aüiteli borçlarda yaıldığı gibi hareket a edilir ve log, formülüde yararlaılır. Burada yuvarlak aüitei bilie log r a Zr değerii kullaıyoruz. Aüite içi elde edile sayı tam sayı olmadığı durumda, o sayıda büyük ola ilk doğal sayı alıır dear tutarıda bir borç dear tutarıda yuvarlak yarıyıllık aüitelerle ve %0.a.(d) yarıyıllık faizleme ile itfa edilir. Borç kaç devrede itfa edilecektir? Yuvarlak aüite sabit değerle verilmiş ve borcu %0 dir. Devre sou faiz katsayısı r =,05 tir. Bu durumda amortisma devrelerii sayısı içi log 5,896, geçerlidir. Bua göre faizi itfalı 6 devrede gerçekleşecek, öyle ki 5 aüitei tutarı dear, altıcısı ise farklı ve verilede kü- log, ,05 çük olacaktır. Diğerleride farklı ola so aüite ya da aüite kalaı deile bu taksiti değeri e kadardır sorusu soruluyor. Kira kalalarıda olduğu gibi, burada da ayı şekilde hareket edilir. Aüiteleri değerleri iskotolaır ve iskotolamış aüiteleri tolamı Z borcua eşittir. Şek.. 56

261 57 Zama ekseide gösterilee göre (şek.) borç içi r a r r r r a r a r a r a r a Z yazabiliriz. Paratezler içideki ifade ilk terimi ve ortak çaraı r ola, - terimli bir geometrik dizisii ardışık terimlerii tolamıdır. Orada şuu elde ediyoruz: r a r r r a r a r r r r r a r a r r r a Z. Not. r r r ifadesii IV р - fiasal tablosudaki karşılığıyla değiştirirsek so aüite içi V a Z r V a Z a. formülü geçerlidir. Not. Yuvarlak aüiteleri ve ödemeleri özellikleri, ayı aüiteli borçlarda var ola özelliklerle ayıdır. Ödemeler, ilk terimi b ve ortak çaraı r faiz katsayısı ola bir geometrik dizisi oluşturuyorlar. Aüite, ödeme ve oa karşılık gele faizi tolamıdır dear tutarıda bir borç 500 dear tutarıda yıllık aüitelerle ve %4.a.(d) yıllık faizleme ile itfa edilir. Borç kaç yılda itfa edilecektir? Aüite kalaı e kadar olduğuu hesalayıız. Döem sou faiz katsayısı r =,04, aüiteleri yuvarlak olarak alacağız. Amortisma devrelerii sayısı içi 4, , log log,04 elde edilir. Bua göre 5 aüitede dördü eşit 500 dear tutarıda, beşicisi ise farklıdır: 5,7,04,04,04, r r r r a Z a deardır.

262 Alıştırmalar. Bir borç üç aylık yuvarlak aüitelerle ve %40.a.(d) faiz oraıyla üç aylık vadeli faizlemeyle 5 yılda itfa edilir. İkici devredeki faiz miktarı 4000 dear ve beşici ödeme 464 olduğua göre, borç tutarı e kadardır? (Tavsiye: Borcu, yuvarlak aüite ile hesalayıız) dear tutarıda borç yuvarlak yıllık aüitelerle ve yıllık vadeli %7.a.(d) faizlemeyle itfa edilir. Yuvarlak aüite 000 dear olduğua göre, borç e kadar zamada ödeecektir?. Dört aylık yuvarlak aüitelerle, %.a.(d) faiz oraıyla ve ayı vadeli faizlemeyle kaç devrede itfa edilecektir? Yuvarlak aüite tutarı dear, ilk ödeme ise 000 deardır. 4. Bir borç yarıyıllık yuvarlak aüitelerle ve yarıyıllık faizlemeyle iki yılda itfa edilir. Aüite kalaı 4 7,9 dear ve so ödeme 767, dear olduğua göre, borç e kadardır, yuvarlak aüite e kadardır? 5. Bir borç yarıyıllık yuvarlak aüitelerle ve faiz oraı %8.a.(d) olmak üzere yarıyıllık faizlemeyle 7 yılda itfa edilir. Aüite kalaı 49,6 olduğua göre, borç tutarıı ve yuvarlak aüiteyi belirtiiz Yuvarlak Aüiteli Borçları Amortisma Plaı Yuvarlak aüiteli borçları amortisma laıı yaılması, eşit aüiteli borçlarda olduğu gibi yaılır, sadece so satırda, so aüitei yazıldığı yerde farklılık vardır. Burada so ödeme de diğerlerde küçüktür. Öce lazım ola büyüklükler hesalaır ve oda sora amortisma tablosu doldurulur dear tutarıda borç yıllık aüitelerle ve yıllık vadeli %0.a.(d) faizlemeyle 5 yılda itfa edilir. Aüiteler yuvarlak olacak şekilde borcu ödemesi içi amortisma laıı oluşturuuz. Borç 5 aüite ile itfa edilir. Faiz katsayısı r =,. Yuvarlak aüiteyi hesalamak içi, aüitei borcu hagi kısmı olduğuu belirteceğiz. yüzdesii sağlaya r r r r 00 00, eşitsizlikte verileri değiştirilmesiyle: r r 58

263 4,,, 5, ,,, ya da,44 8,6. elde edilir. Bu aralıkta bulua herhagi bir değer alıabildiğie göre, = %5 değerii seçeceğiz. 5 Bu değere göre yuvarlak aüite a deardır. Beş aüitede dördüü 00 tutarı dear, yai ayıdır, so aüite ise 4, 5 a , deardır.,, Bireysel hesalamaları ayrı ayrı yaalım: Birici kala borcu tümüdür Z = R 5 = deardır; 0 birici faiz i R deardır tüm borcu faizi; 00 birici ödeme b = a - i = = deardır; ikici kala, R = R 5 b = deardır; 0 ikici faiz i R deardır- ikici kalaı faizidir; 00 ikici ödeme b = a - i = = deardır; Üçücü kala R = R 4 - b = deardır; 0 Üçücü faiz i R 4000 deardır ikici kalaı faizidir; 00 Üçücü ödeme b = a - i = = 6000 deardır; Dördücü kala: R 4 = R - b = deardır; 0 dördücü faiz i 4 R deardır ; 00 dördücü ödeme b 4 a i deardır; Beşici kala: R 5 = R 4 b 4 = deardır; 0 beşici faiz i 5 R 8960 deardır. 00 beşici ödeme b 5 a i deardır; Bu ödeme diğerleride farklı olduğuda doğruda doğruya b 5 Z b b b b biçimide de hesalaabilir. Borcu ödemesie karşılık gele amortisma tablosu doldurulur: 59

264 Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet (eriyot) Borcu kalaı Faiz Ödeme Aüite zaemot tolam suma Burada da, amortisma laıı yoklaması yaılmalıdır: Koşul. Tüm ödemeleri tolamı borç tutarıa eşit olmalıdır b j Z ; Koşul. So ödeme tutarı, so kalaa eşit olmalıdır, b = R ; Koşul. Yuvarlaa aüite, her faiz ve oa karşılık gele ödemei tolamıdır, a = b j + i j ; so ödeme hariç. So aüite, aüite kalaı ve oa karşılık gele faizi tolamıdır.. Borç, üç aylık devreli yuvarlamış aüitelerle ve üç aylık vadeli %8.a.(d) faiz oraıyla itfa edilir. Yuvarlamış aüite tutarı dear olduğua göre, so dört devre içi amortisma laıı oluşturuuz. Birici kalaı bulmak içi borç tutarıı belirtmemiz gerekir. Yuvarlak aüitelerde r r r r a Z, olduğua göre 00 yüzdesie ihtiyaç vardır. Burada r r eşitsizliği geçerlidir. 8 Bu ödevde tolam m = devre vardır. Faiz katsayısı r,0, dir. Orada, ,0,0,0,0 00, ya da 9,46 <,0,0 < 0, elde edilir. = 00 %0 alarak, borç tutarı Z a dear olduğuu buluyoruz. Aüite kalaı,0 a ,0 70,8,0,0 deardır. So dört ödemeyi belirtmek içi, öce ilk ödemeyi belirtelim. 8 b a i Ödemeler bir geometrik dizisii ardışık terimleri olduğua 400 göre: b b r 8000,0 97,7, b b r 8000,0 9560, 74,

265 b = b r 0 = 8000,0 0 = 975,96 elde edilir. So ödeme dizii terimi değildir, bu yüzde ou başka şekilde hesalamalıyız. Buu belirtmek içi, yötemlerde biri a = b r a formülüde yararlaarak belirtilir. Bua göre b 650, 7 deardır. So ödemeye kademe kademe de gelebiliriz. Ödee sekiz aüitede sora, kalaı doğruda doğruya, ilk sekiz r ödemei tolamıı borçta çıkararak belirtelim: 8 7 r R4 Z b br br... br Z b r 8, ,4 dear.,0 So dört devrei amortisma laıı oluşturalım. Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet Borcu kalaı Faiz Ödeme Aüite (eriyot) zaemot 9 6,4 67,7 97, ,7 49, , ,7 48,04 975, , ,7 70, 8 Alıştırmalar dear tutarıda borç yuvarlak yıllık aüitelerle ve yıllık vadeli olmak üzere %4.a.(d) faiz oraıyla itfa edilir. Yuvarlak aüite 4000 dear tutarıda olduğua göre, borç e kadar zamada ödeecektir? So aüiteyi ve so ödemeyi hesalayıız ve oda sora amortisma laıı oluşturuuz dear borç, faiz oraı %4.a.(d) olmak üzere, yıllık vadeli faizleme ile dört yılda 000 deara yuvarlamış yarıyıllık aüitelerle itfa edilir. Borcu amortisma laıı oluşturuuz dear borç, faiz oraı yıllık %5.a.(d) olmak üzere, yıllık vadeli faizleme, yıllık aüitelerle itfa edilir. Yıllık aüiteler borcu %5 i olduğua göre, amortisma laıı oluşturuuz ve so aüiteyi hesalayıız dear borç, faiz oraı %4.a.(d) olmak üzere, yıllık vadeli faizleme ile dört yılda yuvarlamış yıllık aüitelerle itfa edilir. Borcu amortisma laıı oluşturuuz. 6

266 5. Bir borç, yuvarlamış yarıyıllık aüitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlemeyle yılda itfa edilir. Faiz oraı %4.a.(d) yarıyıllıktır. So ödeme 65,5 dear olduğua göre, borcu amortisma laıı oluşturuuz Alıştırmalar dear tutarıda borç 4 yılda, eşit yarıyıllık devreli aüitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlemeyle itfa edilecektir. Faiz oraı %9.a.(d) olduğua göre, aüite tutarı e kadardır? Hesalaa tolam faiz miktarı e kadardır?. Her biri eşit aüiteli ola iki borç alımıştır dear tutarıda ola birici borç 4 yılda, ikicisi ise 6 yılda itfa edilecektir. Her iki borç, yarıyıllık aüitelerle ve ayı %4.a.(d) faiz oraıyla ödediğie göre, ikici borcu tutarı e kadardır?. Bir borç diğer bir borçta dear büyüktür. Biricisi dear tutarlı eşit yıllık aüitelerle yılda, ikicisi ise eşit yıllık üitelerle 0 yılda itfa edilir. Her iki borca %5.a.(d) faiz oraı uyguladığıa göre, ikici borcu aüite tutarı e kadardır? Not: Z = Z dir. 4. Bir borç 9 yılda dört aylık vadeli faizleme ile ve dört aylık devreli eşit tutarlı aüitelerle itfa edilir. Faiz oraı %.a.(d), beşici ve ikici ödemei farkı 000 deardır. Aüite tutarıı hesalayıız. 5. Bir borç yılda aylık vadeli faizleme ile ve aylık devreli eşit tutarlı aüitelerle itfa edilir. Faiz oraı %4.a.(d) ve so faiz miktarı 00 deardır. Aüite ve borç tutarıı hesalayıız. 6. Altı yılda yarıyıllık vadeli faizleme ile ve yarıyıllık devreli eşit tutarlı aüitelerle, %0.a.(d) faiz oraıyla itfa edile borcu, dördücü ödeme tutarı 408, deardır. Borç tutarıı, ödeme vadesii tam yarısıda borcu kalaıı ve hesalaa tolam faiz tutarıı hesalayıız dear tutarıda borç, her iki yılda bir ödee aüitelerle ve faiz oraı %8.a.(d) olmak üzere iki yıl vadeli faizlemeyle 6 yılda itfa ediliyor. Altıcı aüitede o birici aüiteye kadar borcu hagi kısmı ödemiştir? 8. Bir borç, üç aylık döemli eşit tutarlı aüitelerle ve faiz oraı %6.a.(d) olmak üzere üç aylık vadeli faizlemeyle 0 yılda itfa ediliyor. Ödee 5 aüitede sora borç 4000 dear azalmıştır. Borcu tutarı e kadardır? 9. Bir borç, yarı yıllık döemli eşit tutarlı aüitelerle ve faiz oraı %0.a.(d) olmak üzere yarıyıllık vadeli faizlemeyle 0 yılda itfa ediliyor. O birici aüitede başlayarak o beşici 6

267 aüiteye kadar dear tutarıda borç ödemiştir. Borç tutarı e kadardır? o beşici aüitede sora borcu kala kısmı e kadardır? 0. Yarıyıllık aüitelerle ve %6.a.(d) faiz oraı olmak üzere yarıyıllık vadeli faizlemeyle ödee bir borcu hesalaa yedici faizi 0 77 deardır. Borç tutarıı ve ödee yedi aüitede sora borcu kala kısmıı belirtiiz.. Bir borç, üç aylık döemli aüitelerle ve faiz oraı %.a.(d) olmak üzere üç aylık vadeli faizlemeyle,5 yılda itfa ediliyor. Ödee 40 aüitede sora borcu kalaı dear olur. Borç tutarı e kadardır? Aüite tutarı e kadardır?. Faiz oraı %6.a.(d) olmak üzere dear tutarlı aüitelerle, tutarıda borç e kadar zamada itfa edilir? Aüiteler ve faizleme yarıyıllık vadelidir.. Bir borç, eşit tutarlı yıllık aüitelerle ve yıllık döemli faizleme ile itfa edilir. Birici ödeme dear, so yıldaki faiz miktarı 576,5 dear ve soda bir öceki eriyotta faiz miktarı 60,5 dear olduğua göre, borç tutarıı belirtiiz tutarıda bir borç üç aylık devreli aüitelerle ve ayı devreli faizlemeyle itfa edilir. Birici ödeme dear ve faiz oraı %8.a.(d) olduğua göre, borç kaç devrede ödeecektir? dear tutarıda borç, yılda eşit aylık aüitelerle ve faizleme ile itfa edilir. Aüite tutarı dear olduğua göre, faiz oraı e kadardır? 6. Bir borç, eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizleme ile itfa edilir. Üçücü ve ikici ödemei tolamı dear ve dördücü ve ikici ödemei farkı 4 dear olduğua göre, faiz oraı e kadardır? 7. Bir borç, eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizleme olmak üzere %6.a.(d) faiz oraıyla itfa edilir. Ödee üç aüitede sora kala borç tutarı 4 70,7 dear ve ödee altı aüitede sora kala borç tutarı 64,76 dear olduğua göre, borç tutarıı hesalayıız dear tutarıda borç, eşit yarıyıllık aüitelerle ve yarıyıllık faizleme ile 0 yılda itfa edilir. Yıllık faiz oraı %6.a.(d) dir. Aüite tutarıı ve altıcı yıl souda borcu kala kısmıı hesalayıız. 9. Bir borç, eşit yarıyıllık aüitelerle ve yarıyıllık faizleme olmak üzere %6.a.(d) faiz oraıyla yılda itfa edilir. Birici ödeme 7798,75b dear olduğua göre, borcu amortisma laıı oluşturuuz. 6

268 0. Bir borç, eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizleme olmak üzere %.a.(d) faiz oraıyla itfa edilir. İkici ay faiz tutarı , dear ve birici ödeme 0000 dear olduğua göre, ilk dört ödemei amortisma laıı oluşturuuz.. Bir borç, eşit üç aylık aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile itfa edilir. Faiz oraı %8.a.(d) dir. Üçücü döemde faiz tutarı 4556,84 dear olduğua göre so üç döeme ait amortisma laıı oluşturuuz.. Bir borç, eşit yıllık aüitelerle ve yıllık faizleme olmak üzere %4.a.(d) faiz oraıyla itfa edilir. Ödee ilk aüitede sora borcu kala kısmı 76 65,9 dear ve ödee iki aüitede sora borcu kala kısmı 5 05,9 dear olduğua göre, borcu amortisma laıı oluşturuuz borç, yuvarlak üç aylık aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile itfa edilir. Faiz oraı %8.a.(d) dir. Yuvarlak aüite dear ve ilk ödeme 000 dear olduğua göre, borç kaç devrede itfa edilecektir? 4. Bir borç, yuvarlak yıllık aüitelerle ve yıllık faizleme olmak üzere %.a.(d) faiz oraıyla itfa edilir. Üçücü ödeme dear ve so aüitei bir öceside borcu ödemiş kısmı dear olduğua göre, aüite kalaıı belirtiiz. 5. Bir borç, yuvarlak üç aylık aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile dört yılda itfa edilir. Faiz oraı %.a.(d) dir. Soda bir öceki devrede faiz tutarı 9,7 dear olduğua göre, aüite kalaıı belirtiiz dear tutarıda borç, yuvarlak yıllık aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile beş yılda itfa edilir. Faiz oraı %4.a.(d) dir. Borcu amortisma laıı oluşturuuz dear tutarıda borç, yuvarlak yarı yıllık aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile 8 yılda itfa edilir. Faiz oraı %4.a.(d) dir. Borcu so üç yılıı amortisma laıı oluşturuuz dear tutarıda borç, yuvarlak üç aylık 000 dear tutarıda aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile iki yılda itfa edilir. Borcu amortisma laıı oluşturuuz. 9*. Bir borç, yuvarlak yıllık aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile dört yılda itfa edilir. Üç yıl sora borcu ödee kısmı 86,6 dear ve birici ödeme 6000 dear olduğua göre, borcu amortisma laıı oluşturuuz. 64

269 0*. Bir borç, yuvarlak yarı yıllık aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile 8 yılda itfa edilir. Faiz oraı %4.a.(d) ve so ödeme 4984,7 dear olduğua göre borcu so üç yılıı amortisma laıı oluşturuuz dear tutarıda borç, altı aylık eşit aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile 0 yılda itfa edilmelidir. Faiz oraı %,8.a.(d) olduğua göre aüite tutarı e kadardır? *. Altı aylık eşit aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile 0 yılda itfa edilmelidir. Faiz oraı %,8.a.(d) ve birici ödeme 5 7, dear olduğua göre borç tutarı e kadardır? *. Bir borç, eşit yıllık aüitelerle ve ayı vadeli faizleme ile 50 yılda itfa edilir. Faiz oraı %4.a.(d) dir. Ödee 0 aüitede sora borcu ödemiş kısmıı tutarı 5855,66 dear olduğua göre, aüite tutarıı ve borç tutarıı hesalayıız. 4* dear tutarıda borç, altı aylık devreli yuvarlak dear aüitelerle ve ayı döemli faiz oraıyla itfa edilir. Faiz oraı %.a.(d) olduğua göre borç e kadar zamada itfa edilecektir? So aüite e kadardır? 65

270 Kou Özetleri Borç, ara, mal veya ara ciside bir değeri belirli bir vade ve koşulla geri alımak üzere verilmesidir, yai borç vere, fiasal varlıklarıı borç alaa geçici bir süre içi hizmetie devretmesidir. Bu bölümde, borçluu borcuu ödeme koşulları, borç veree ola yükümlülüğü, yai fiasal varlıkları devredilme koşulları, borcu süreside faizledirmeyi içere, alaşmalar söz kousu olacaktır. Borç tutarı geellikle birde verilir ve geri alıması birde değil, çok kez belli eriyotlarda gerçekleştirilir. Her eriyotta borcu ödediği tutara ödeme deir. Belli eriyotta ödemei faiziyle beraber tutarıa aüite deir; diğer sözlerle aüite, belirli bir zama süreci içeriside, eşit aralıklarla verile veya alıa eşit ödemeler serisidir. Borcu her bireysel ödemesie gereke zama süresie amortisma vadesi deir. Aüiteleri ödeme süresie göre, döem sou aüiteli borçlar (ödemeler serisi devrei souda yaıla) ve döem başı aüiteli borçlar (ödemeler devrei başıda yaıla aüiteler) Faizi hesalamasıa göre borçlar, döem sou faizlee ve döem başı faizlee biçimide adladırılabilir. Şuu da belirtelim, borcu amortismaı deile kademeli ödemede, öcede belirlemiş tutarlarla, belli zama aralıklarıda, öcede belirlemiş bir la üzeride, ödemesie amortisma laı deir. Tutarı Z ola bir borç alımış ve geri ödemesi, her biri a tutarıda eşit aüite ile yaılacaktır. Faiz oraı döem sou faizledirme ve faiz döemi aüiteleri ödeme döemiyle ayı olsu. Böyle durumda borç şu formülle hesalaır: r Z a r r r döem sou faiz katsayısıdır. Borç bilidiğide, aüiteyi hesalamak içi şu formülü kullaacağız: r r a Z r k-cı ödemeyi b k ve k-cı faizi i k ile işaret edersek birici aüite a = b + i olur. Burada faiz, birici Z döem içi Z tüm borç tutarıa hesalaır, yai i dir. 00 Kala aüiteleri her birii bu şekilde iceleyerek so aüiteye a = b + i varıyoruz. Burada faiz borcu kala kısmıa Z b Z b b... b b - - b uygulaır, yai i. dir. 00 Ödemeler, ilk terimi b ve ortak çaraı r faiz katsayısı ola bir geometrik dizisii oluşturuyorlar. Daha da, her ödeme b b r formülüyle k hesalaabilir. k 66

271 Geel olarak, k- cı ödeme borç ile ifade edildiği durumda şu formülü kullaacağız: k r b k Z r, r a aüite ile ifade edildiğide b k. formülüü kullaabiliriz. k r O k ile işaret edeceğimiz, k devrede (eriyotta) borcu ödemiş kısmı k-cı aüite dahil, ilk k ödemei tolamıa eşittir, yai:o k = b + b b k yai k r Ok b dir. r Ödee k aüitede sora borcu kala kısmıı R -k ile işaret edersek, birici ödemeye göre veya aüite ile ifade edilişi: k k r r r r R k b, ya da R k a. dir. r r r Amortisma süresii, borç ve aüite ile ifade edilişi: a log. dir. log r a Zr Z tutarıda bir borç eşit aüitelerle ödediği durumda, borçlu her devre souda ayı tutarlı taksitler ödeyecektir. Bu ödemeler iki kısımda meydaa gelmektedir. Bu kısımlarda biri borcu bir kısmıı ödeme tutarı ve kala borcu faizidir. Buu aşağıdaki tablo biçimide göstereceğiz: Ostatok od Period Devre Borcu kalaı Faiz Kamata Ödeme Otlata Auitet Aüite (eriyot) zaemot Z Z i b a i a 00 R Z b R i b a i a R R b R i b a i a 00 R R b R i b a i a 00 Amortisma laı yaıldıkta sora, bu laı doğru olu olmadığıı yoklamak gerekir: 67

272 Koşul. Tüm ödemeleri tolamı borç tutarıa eşit olmalıdır b j Z ; Koşul. So ödeme tutarı, so kalaa eşit olmalıdır, b = R 6 ; Koşul. Faizler sütuudaki değerleri tolamı ve ödemeler sütuudaki değerleri tolamı devre sayısı ile aüitei çarımıa eşit olmalıdır i j b j a ; Koşul 4. Aüite, her faiz ve oa karşılık gele ödemei tolamıdır, a = b j + i j ; Koşul 5. Faizler sütuuu tolamı i j R j dir. 00 Belli bir borcu öderke, a aüitesi kokre tutarlı ya da borcu bir yüzdesi olarak verilebilir. Bu aüiteler geellikle tam sayıya yuvarlaıyorlar (oluk, yüzlük vb.). Bu yüzde bulara yuvarlak aüiteler ve borçlara yuvarlak aüiteli borçlar deilir. Aüite, yukarıda sayıla şekillerde biriyle verilmediğide ve borcu itfalı yuvarlak aüitelerle yaılma koşulları varsa, aüitei hesalama yüzdesii hesalamak gerekir. Burada da döem sou borçlarda, amortisma devresii souda ödemeler ve vade sou faizlemede söz edeceğiz. Borcu Z tutarı ve faiz oraı %.a.(d) verilmiş olsu. Amortisma devrelerii sayısı bilidiği durumda, aüitei değeri eşit ve so ola -ci aüitei değeri diğerleride küçük olduğua göre, 00 V - ve 00V arasıda bulua yüzdesi araılır. Yuvarlaa aüiteler, eşit ola aüitelerde büyüktür ve bu yüzde so aüite olarda farklı ve değeri diğerleride küçüktür ve oa aüite kalaı deir. Demek ki, yuvarlak aüiteyi bilmiyorsak, borcu yüzdesi gibi ifade edilecektir, geel olarak tam sayı ile ya da Z a, formülü ile ifade edilecektir ve bu durumda: 00 r r r r r r. geçerli olacaktır. Diğerleride farklı ola so aüite ya da aüite kalaı deile bu taksiti değeri şu formülle hesalaır: a r Z a r r r Yuvarlak aüiteli borçları amortisma laıı yaılması, eşit aüiteli borçlarda olduğu gibi yaılır, sadece so satırda, so aüitei yazıldığı yerde farklılık vardır. Burada so ödeme diğerlerde küçüktür. Öce lazım ola büyüklükler hesalaır ve oda sora amortisma tablosu doldurulur. 68

273 Burada da, amortisma laıı yoklaması yaılmalıdır: Koşul. Tüm ödemeleri tolamı borç tutarıa eşit olmalıdır b j Z ; Koşul. So ödeme tutarı, so kalaa eşit olmalıdır, b = R ; Koşul. Yuvarlaa aüite, her faiz ve oa karşılık gele ödemei tolamıdır, a = b j + i j ; so ödeme hariç. So aüite, aüite kalaı ve oa karşılık gele faizi tolamıdır. 69

274 70

275 Çözümler ve Ödevleri Cevaları... а) 8750 dear; b) 97,5 dear; c) 60,4 dear, zama ayarı (0,60) ve 56,85 dear (k,65).. 0 yıl.. %5. 4. а) 4750 dear b) dear. 5. K = K + K = dear dear.... I = 000, K = 7000 dear.. I = 760, K = 500 dear dear. 5. K = 750 dear, I = 50 dear. 6. Borç dear, faiz 6500 dear. 7. Borç 0568 dear, faiz 568 dear gü ay ve 0 gü. 6. а) 50 gü, 4. 05; b) gü, gü, gü.. 69 gü ya da , 8 gü başlagıç tarihi Dk =,875 dear Dr =,685 dear fark = 0, $ 95 68, yatırımlar.. tutarı 7 976, dear; kaldırıla = 5 00 dear, faiz = 9 dear saldo = 776 dear Sıralı faiz = 0,9 dear, ceza faizi = 7,0; saldo = 49.65,8 dear gü (ya da gü, ay ve 6 gü).. K = 7647 dear.. = %4, K = dear. 5. K = dear dear. 7. K = dear, I = 5680 dear , %6, ile gü iskoto =, efektif tutar =$ ,6.. efektif tutar = $ efektif tutar = dear, Dk = 87,5 dear. 4. $ gü dear. 7. yatırım = dear; kaldırılmış = dear; saldo = dear faiz = 770 dear. 8. sıralı faiz = 4.48 dear, ceza faizi = 6,46 dear ; saldo = 5.689,54. 7

276 ... а) 80 kısım; b) 0 kısım. 4. а) 80 grey; b) 5040 grey. 5. а) karat grey; b) 6 karat grey; c) eiveyt grey; d) 09 eiveyt 6 grey.... W 80,,9, ,7 % %. 4. а) 600 %o; b) W 7,,,4. 5. а) 40 %o; b) W,,4, ,4g.. 498,75g.. 700g g %5,5 euro artışı ve %5, dolar düşüşü; 6. Devalüasyo, %46, 7., USD ,694-0, EUR. Zarar.000 МКD... Saat 4 te +0 EUR, sat 9 de -8 EUR. Ortalama kur,04 kar 767,5 CHF.. 00 МКD USD. 5. saat 5 te.... W,,, ,5. 4. а) 800; b) W ,5g g eiveyt. 9. +,65% -,57% 0. Amortisma, %,9.,965.. Saat 4 te: kazaç 48 EUR, saat 9 da: zarar 4 EUR.. Ortalama kur,64, kazaç ( AUD 454 bazıda, EUR 889 bazıda).... a) y, b) x, c) v) x, d) g) 0 xy.. a) 9, b) x x, 4 4 x x 4 4 0; x b), x x 4 4 x, x 0 ; x x y, x y, v) x y. 5. a) 4 x x 9, x x a) b) c) а) b) 5 5, x x x c) v) a) x, b) x 0, c) v) x 8, g) d) x, e) d) x 4, x, ) f) x.. a) x 8, b) x, v) x 5 g) x 6.. x, x 0, x 0, v). c) d) a) b) c) x 4. a) а) x, 4 x 0, x, b) x, v) x, x a) x 4, x, c) а) b) x, v) c), x x. 7

277 .. Poimi log 6 6 log 4 x 9 log Kavramlar log a (b ) Logaritam Logaritma değeri 4 5 Osova Logaritma a logaritamot tabaı 6 x 7 a 5 Logaritması alıa Logaritmat sayı b 5. a), b), v) c), d) g).. a) x, b) x 6, v) c) x, d) g),. 4. a), b) a), b) 0, 6. x (,0) ( )..4.. a) log x log log a log b, b) log x loga log b 5logc, c) v) log x log loga log b logc, d) g) log x log log(a b), d) e) log x loga log(b c ), 8 5 f) ) log x loga logb.. a), b) 8, v) c).. a) x 0, b) x, v) c) x, g) 4 d) x, d), 4 e) ) f), 7 e) g) 6, `) h) a) 0,60; 0,78; 0,90; 0,96; b),08;,0;,6. 5. a), b), v) c), d) g)..5. log 5 log 4. Uatstvo: Tavsiye: a) log 7 log7 5 log5 4 log 7, log 7 log 5 b) log log a) log 4 log 5 log log5 6 log5 7 6 log8 7 log log5 4. log 4 log 6 log 7 log , b) 8, v) c) logb a log a log a b x,.. x 4, x.. x. 4. x 7, x. 5. x 4,. 6. x a) x y, b) x y, c) v) x y. 4. a) a, b) a. 5. x x x. 9. x a) x 4, b) x, v) c) x, g) d) x, d) e) 5 00, ) x. 8 0 b. 5 7

278 . a) log logx log y, b) log log x log y, c) v) log x 5log y log z d) g) b log a log c, d) e) log6 logx logy, ) f) (log log x) (log x log y), 4 g) e) (log x log y).. a) x 6, b) x 0, c) v) x, d) g) x a) 4 x 6, 7; b) x 0, ; v) c) x 76, a) log4 5, b), c) v) log a), log x b) log. 7. a) 8 b). 8. x. 9. x x 5.. x,.. x 7. x. x, x Steei Dereceler Radijai Radyalar si, cos, tg, ctg.. si 0,87, cos 0,49,, tg, 77, 5 4 ctg 0, si 0,8,, cos 0,6, tg, ctg. 5. si 0,78, cos 0,6, 4 tg,6, ctg 0, a) 0,54, b) 0,98, v) c) 0,84, g) d) 0,54.. a) 60 0, b) 70 0, v) c) 5 0, d) g) a), b), v) c). 4. a), b), v) c). 5. a) 45 0, b) 0 0, c) v) 45 0, d) g) 60 0, d) e) a) si ,74, cos48 0 0,67, tg 48 0,, ' " ctg 0,9, b) si 0,9, 0 ' " 0 ' " 0 ' " cos 0,9, tg 0,4, ctg,, c) v) si6,9 0 0,8, cos6,9 0 0,96, tg 6,9 0 0,9, ctg 6,9 0,44,. a) si 0,78, cos 0,6, tg,5, ctg 0,8, b) si 0,7, cos 0,7, tg 0,9, ctg, ' " 0 ' " 0 ' " 0 ' " 0 ' " 0 ' ". a) 5 4 0, b) 44 5, v) c) 67, g) d) 6 6, e) d) , ) f) ' " 0 ' " 0 ' " 4. a) 0,0, b) 0,. 5. a) , b) 7 6 4, v) c)

279 a) cos, tg, ctg, b) si, tg 5, ctg, c) v) si, cos, ctg, g) d) si 0,9, cos 0,9, tg,44, a) si, b) cos, v) c) a) 5,8 0, a 40, cm, b 54,9 cm, b) 74, 0, a,7 cm, b, cm, v) c) 4,6 0, b 5,4cm, c 5,65cm.. a) ', a 750,4cm, c 767,6cm, b) 4 0, a 66, cm, c 99,7 cm, v) ' '' c), b,79cm, c 5,5cm.. a) , 0 ' '' 0 ' '' 0 ' '' 4 55, b 4,48cm, b) , 8 4, c 59,5cm, 0 ' '' 0 ' '' 0 ' " 0 ' " c) v) 9 47, 68 40, c 8,6cm Od Uçak mestoto B yerie B avioot uzaklığı e a 48,78 rastojaie m, A ve 48,78 B arasıdaki m, a rastojaieto uzaklık ise me u m. A i B e m ' ''. a) 4 4 6, 0 ' '' b) 8 6, 0 ' '' v) c) a) 6,4, b) 45,9, v) c) 7,87.. a) 0,44rad,,49rad. 4. a) ' '' b), b) a) 0, b), v) c), cos 0, 6. a) 65 0, b) 0 ' , v) c) 0 0, d) g) a) cos, tg, ctg, b) si, tg, ctg, c) v) si, cos, ctg, d) g) si, cos, ' 0 ' tg. 8. a) 7, b). 9. a) 5 58, a 40, b 55, b) 5 40, b 96,4, 7 0 ' 0 ' " 0 ' " c 08,94, v) c) 4 50, a 0,05, c 0,6, d) g) , 44 55, b,48, 0 ' " 0 ' " e) d) , , a 4,. 0. b a c cos, h csi.. 40m a) II-kvadrat, dördül b) I-kvadrat, dördül v) c) IV-kvadrat, dördül d) g) III-kvadrat, dördül d) e) x oskata, eksei f) ) y oskata, eksei e) g) x oskata, eksei h) `) y oskata. eksei. M (,0 ), N (,0), P (5,0), Q (,0).. M (0,), N (0,4), P ( 0, ), Q ( 0, ). 4. m 4, m. x 5... a) d 8, b) d 4, v) c) d 5, d) g) d 5.. y ya ili da y. 4. C (,8). 5.. y 75

280 S AB 4,, S BC,, S AC, (, ), (,0), (, ), ( 5,). 4. a) 5,, 5 b) 6,, v) c) 7,, d) g) 8,7. 5. A (, 6), B (8,), C (6,0) P P =... Hayır.. Ne... Evet. Da. 4. P P. 6. P APB, P PBC Samo Sadece P e doğruudur. od ravata.. a) y x, b) y x, v) c) y 0.. a) k, m, b) k, 6 7 m, c) v) k 0, m, g) d) k, m y x. 5. y x. 6. k, m y 5x a) x y 0 b) y 4 0 v) c) x 0.. a) k, m, b) k, m, 6 c) v) k, m.., m. 5. Evet. Da x y. a), 4 ediici x ekseide a x oskata, 4 birim, 6 y ediici - ekseide a 6 ybirim, oskata, b) x y, 4 6 ediici a x oskata, ediici a y oskata, v) x y x - ekseide birim, y - ekseide birim, c) x ediici a - ekseide birim, 6 5 x oskata, y - ekseide ediici a birimy oskata.. k.. k birim kvadrati kare. ediici x y x y, a) y k( x ), b) y 4 k( x ).. x y x y a) k, b) k 5, v) c) k x 5y Hayır. Ne. 7. d, hayır. e. 8. d. 9. d M ve i d N. 0. x y

281 5.9.. a) se (,) se~at oktasıda vo to~kata kesişiyorlar, (,), b) se b) araleldirler, araleli, c) v) çakışıyorlar. se sova aat.. a) ( 5,0) ve i 0,, b) ( 6,0) ve i ( 0,4).. 5x 6y x y x y ( ).. a) M (7,), b) M (7,) P x 0y D (, 5).. a) d, b) d.. x 0, x y 7 0, x y 0.. a) 5 T (4,0), b) H (4,4). 5. M (,8). 6. P x y 0, 48x 9y k, k i 5 ve k a), 4, 4 5, 5 6, 6 7, b), 4, 9, 6,, v),4,8,6,, g),,,4,5.. a) 4, 7, v) 8. 5 c) d) b) c) 7 4. = = a) 5, 5, v) 6, g). 7. a) a, b) c) d) b), v) c) a ( ), g) a, d) 8 d) e). a 6... Dizi artadır. 4. а), d) ve e) şıklarıdaki diziler artadır, b) ve c) deki diziler eksiledir. 5. а) Hayır, b) e arta e de eksiledir. 6. а) a >, b) 0 < a <, c) a = ,6. 4. а) ve c) deki diziler aritmetik dizilerdir. а) şıkkıdaki dizii ilk terimi ve ortak farkı 6 dır, c) deki dizide ise, ilk terim 9, ortak fark -5 tir yıl sora ocak 008 yılı. 6. d =, a = Aritmetik dizisi. 8. Tasarruf yamada öce 4000 dearı varmış ve her yıl 500 dear tasarruf yamıştır а) 9, b) x.. Araıla terim a + dir. 4. ( +). 5. а) 999, b) a 7 + a = a 5 + a ve a a = a 5 + a orada a = a 0 elde edilir, bu ise acak d = 0 olduğu durumda mümküdür а) ve d) geometik dizilerdir. а) daki dizii ilk terimi ortak çaraı ise -4 tür, d) şıkkıdaki dizii ilk terimi, ortak çaraı dir.. а) 0,5, b) а) 50,6%, b) yıl. 5. Аli defa. 77

282 a) 60, b) x.. Araıla terim a b = 5 ya da b = а) 640, b) 40, c),, 8 d) а), b) а = 9, S olur Hayır.. Hayır a = 5, b = 8, c =. 8. Tavsiye: a k ve a terimlerii değerlerii, aritmetik dizisii ilk terim tolamı formülüde değiştirerek deklemi geçerli olduğuu gösteriiz dear b = 5.. Tavsiye: a k ve a terimlerii değerlerii, geometrik dizisii ilk terim tolamı formülüde değiştirerek deklemi geçerli olduğuu gösteriiz dear. 6. q =. 7.. а) 8750 dear; b) 97,5 dear c) 60,4 dear (0,60) zama ölçüsüe göre ve 56,85 dear (k,65) göre.. 0 yıl.. 5%. 4. а) 4750 dear b) dear. 5. K = K + K = dear. 6. а) %6.s.; b) %.q.; c) %.m. 7. а) %4.s.; b) %8.a.; c) %. m.. 8. %9,09.a.(a). 9. %,.a.(d). 0. %6.a.(a) = %6.8.a.(d), bua göre ikici faiz oraı daha karlıdır %6,5.a.(d). 7.. а) Karma yötem ile 8458 dear, sadece bileşik faiz hesabıyla 8448,4 dear, b) karma yötemi 884, dear, sadece bileşik faiz hesabıyla 887,9 dear.. 56,55 dear ,0 dear ,58 dear. 5. Döem sou vadeli 56059,84 dear döem sou faizledirme dear döem başı faizledirme dear dear dear dear.. а) 4460 dear; b) 4,4 dear. а) ve c) şıklarıdaki tutar farkları verileri yuvarlamasıda kayaklaır. 4. %6. 5. %,9 ve %, dear а) K = 7597,54 dear; b) K = 7467, dear.. а) 49 dear; b) 498,57 dear.. 507,95 dear ,75 dear ,5 dear а) 4 yıl, 6 ay ve 8gü; b) yıl, 7 ay ve gü.. а) 9,9 üç aylık ; b) 9,6 üç aylık. а) %,696.a.(a); b) %,97.a.(d); 78

283 4. %,95.a.(d). 5. %5.q.(d), 4,7.a.(a). 6. 0,077 yıl. 7. %5.s.(d). 8. %8,5.a.(d). 9. yıl, ay ve 8 gü Karma yötemle 440 dear, sadece bileşik faizle 0897,5 dear ,5 dear.. 0 dear dear dear borç. 6. а) 45,7dear, faiz 7747, dear; b) 454,6 dear, faiz 7745,4 dear yıl. 8. 7,75 yıl ,79 dear ,67 dear... So teklif 6489,..,65 üç aylık.. %, dear ,4 dear. 6. Birici teklif daha uygudur, ikici teklif daha küçüktür ve 504,8 deardır yıl 4 ay ve 9 gü ,48 dear. 9. %6,6.a. (d). 0. %7,57.a.(d).. 4,6 yıl ve tutarı 0000 deardır а) S = 5558 dear; b) S = 707 dear.. S = 006 dear.. а) S = 908 dear; b) S = dear. 4. а) dear; b) 484dear. 5. а) dear; b) dear. 4. ve 5. ödevleri değerlerii karşılaştırılmasıyla, döem sou yatırımları getirdikleri faiz miktarı, döem başı yatırımları getirdikleri faizde daha büyük olduğu soucua varılır. E büyük so değer döem başı yatırımları döem başı faizlemesiyle elde edilir а) V = 878 dear; b) V = 879 dear.. V = 0000 dear.. V = 866 dear. 4. V = 460 dear. 5. V = 686 dear а) = 6; b) = 5.. 8,57. O halde = 9, V 0 = 9048 dear..,95. O halde =, V 0 =-79 dear (demek ki, 79 dear geri verilecektir). 4. V 0 = 8 dear. 5. = = %4.. = %,97.. а) %,46; b) %, = %8. 5. = %7, M = 904 dear. 5. а) M = 576 dear; b) M = 655 dear. 6. M = 6700 dear. 7. V = 5695 dear dear Döem sou faizleme ile 7076,5 dear, döem başı faizleme ile 7089,5 dear elde edilir.. R = 6700 dear.. R = 7575 dear. 4. R = 599 dear. 5. R = 670,5 dear. 79

284 kira.. = 8, 4 yıl.. =, R 0 = 667 dear. 4. = 60, R 0 = 60 dear. 5. = 5, R 0 = 8 dear = %6,8. a (d).. = %5,756. a (d).. = %8. a (d). 4. %9,. a (d) dear R = 400 dear.. 50 dear dear dear dear dear dear.. 4 yatırım. 4. %6, yıl. 6. M = 8659, dear. 7. R = 475,5 dear. 8. =, R 0 = 5, dear. 9. %5,75.a(d) , dear dear dear dear. 4. yıl öce dear dear dear dear dear dear. 9.. а) 96948,0 dear; b) 9585,05 dear; c) 969, dear.. 465,4 dear dear ,64 dear ,85 dear ,6 dear.. Аüite 748,6 deardır.. Borç 78, deardır ,09 dear ,87 dear Kala 567,4 dear.. Ödeme 446,95 dear.. Borç 969,9 dear ,08 dear ,8 dear %8.a.(d).. = 5 yılda 50 aüite.. %,67.a.(d). 4. %4,. 5. = 0 yıl 9.6. a = 9076,9 dear, amortisma laı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: 80

285 Period Devre (eriyot) Ostatok od zaemot Borcu kalaı Kamata Otlata Auitet Faiz Ödeme Aüite ,9 9076,9 849,8 96, ,4 9076,9 6944,57 769,78 606,4 9076, ,6 7,5 6958, , ,50 49,8 767,0 9076,9 6 84,49 7,70 84, ,9 Tolam Suma 648, , a 576, 4 dear, deari, Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet (eriyot) Borcu zaemot kalaı Faiz Ödeme Aüite ,4 576, 4 688,6 4,9 49,47 576, , 794,46 966,94 576, ,9 46, 65,9 576, ,9 465,5 496,05 576, ,85 750,54 500,86 576, 4 Tolam Suma 967, , , 0. a 6, 54 dear, deari, Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet (eriyot) Borcu zaemot kalaı Faiz Ödeme Aüite ,54 6, , ,47 47,07 6, ,9 57,7 5899,8 6, ,5 4459,7 77,8 6, ,74 085, ,56 6, ,8 60,6 009,8 6, 54 Tolam Suma 765, 9789, a 54, 7 dear, deari, Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet (eriyot) Borcu zaemot kalaı Faiz Ödeme Aüite ,7 54, ,9 784,6 70,8 54, , 547,5 067,9 54, ,9 86,8 867,9 54, 7 Tolam Suma 688, 68,

286 5. So iki faizi verileride sistem oluşturuuz. r =,, п = 6, a = 54,, Z = 54,. elde edilir. Bu verilerle amortisma laıı oluşturabilirsiiz Z = 4857, 4 dear.. yıl.. 4 devre. 4. Z = ve a = a = 0000 dear a = 467,8 dear, eriod ostatok od kamata otlata Devre Borç dolgot kalaı Faiz Ödeme ,44 70, ,44 00, 799, ,66 8, 87,77 6 5,89 05,6 946, ,5 975,49 04, ,74 894,5 05, ,5 80,9 89, ,54 7,70 77, ,4 6,6 68,9 84,85 56,87 46, 5958,7 48,5 56, ,07 5,88 664, 5 07,95 9, 770, ,7 8,49 88, ,76 00, 996, ,99 88,6 6, ,5 758,69 4, 0 756,04 69,04 70,96 55,08 494,0 70, ,8 5,97 646,0 50,5 08, 79,87 4 4,8 56,56 4,8 8

287 . Aüite Auitetot 000 e dear. 000 deari. Period Devre (eriyot). a 800, a 455, 7 Period Devre Ostatok od zaemot Kamata Otlata Auitet ,84 546, ,84 77,46 6, ,0 98,78 70, ,08 7,74 78, ,8 4,7 865, ,09 48,0 60,09 658, 9 (eriyot) Borcu kalaı Ostatok od zaemot Borcu kalaı Faiz Kamata Otlata Auitet Faiz Ödeme Ödeme Aüite Aüite , , 7 Tolam suma , a dear, deari, Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet Borcu zaemot kalaı Faiz Ödeme Aüite (eriyot) ,8 564, ,8 507, , 8 98, 87 Tolam Suma , 8 98, a 000 dear, deari, 8 Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet (eriyot) Borcu zaemot kalaı Faiz Ödeme Aüite ,56 745, ,56 79,65 80, ,6 0,5 896, ,5 5, 65,5 90, 8 8

288 9.9.. Аüite 686, dear, tolam faiz tutarı 5090,56 dear.. 098,04 dear ,8 dear dear dear. 6. Borç dear, dear ödemiş, borcu kalaı 6805 dear, faiz 6564 deardır ,6 dear dear. 9. Borç 679,58 dear, kala borç 76,67 dear dear dear.. 46 aüite eşit 47. farklı dear %. 6. % ,7 dear. 8. a = 064,7 dear, O = 58449,7 dear ve R = 4550,9 dear a 998,75 dear, deari, 0. a 5545, dear, deari,. a 564, 84 dear, deari, Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet (eriyot) Borcu zaemot kalaı Faiz Ödeme Aüite ,75 998,75 470,5 68, ,7 998, , 54 09,5 8006,4 998, , 78, 84466,4 998, ,87 598, 87000,4 998, ,45 68, 8964,45 998,75 Tolam Suma 7908, 4 579, Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet Borcu zaemot kalaı Faiz Ödeme Aüite (eriyot) , 5545, , , ,6 5545, 90875, 9087,5 468,6 5545, ,07 86, , , Period Devre Ostatok od Kamata Otlata Auitet Borcu zaemot kalaı Faiz Ödeme Aüite (eriyot) 0 749, 46,99 90,85 564, ,8 984,95 479,89 564, ,49 497,5 4867,49 564, 84 84

289 . R, ve R - kalalarıyla sistem oluşturuuz. Orada = 5, a = 48666, dear ve borç Z = 665 dear.. 4 devre, yai,5 yıl. 4. a = 6000 dear ve borç ĊZ = dear. 5. a =6000 dear, borç Z = dear, so aüite a = 44 dear. 6. a = 0000 dear, Period Devre (eriyot) Ostatok od zaemot Kamata Otlata Auitet Borcu kalaı Faiz Ödeme Aüite ,68 756, ,68 65,4 846, , 55,96 899, 45,07 7. = %4, a = 4000, i = 000, b = 750, a = 5987,7. 8. = %5, = %4, a = 78,79, b = 00, i = = %4, = %0, a = 0000, Z = = %7,5, a = 7500, i = 000,b = a = 7,.. Z = Z = 00000, a = 965, =, a = 55,0. 85

290 86

291 Yararlaıla Kayaklar. Arold Gle, Essetials of Cororate Fiacial Maagemet, Harlow, UK, 007. Berk,J ad De Marzo,P, Cororate Fiace, Harlow, UK, 009. Fabozzi J. Frak, Fraco Moodigliai, Michael G. Ferri, Foudatio of fiacial markets ad istitutios, d ed., Gitma, Priciles of Maagerial Fiace, Addiso - Wesley, Gitma, Priciles of Maagerial Fiace, th ed, Pearso, Mishki, Eakis, Fiacial Markets ad Istitutios, Pearso, Sam Y. Cross, The Foreig Exchage Market, Federeal Reserve Bak of New York, S. G. Kelliso, The theory of iterest, Georgia State Uiversity, Irwi, Teresa Bradley, Paul Patto, Essetial Mathematics for Ecoomics ad Busiess, Joh Wiley & Sos, d Editio, B. Попов, Математика за IV клас за стручните училишта, Просветно дело, Скопје, 977. В. Враниќ, Основи финансијске и актуарске математике, Загреб 964. Г. Тренчевски, Елементарна алгебра, Просветно дело, Скопје, 00. Д. Јанев, З. Коловски, Г. Вилбиловска, М. Стојановски, Математика за економисти, збирка задачи, Савремена администрација, Београд, Е. Стипаниќ, Математика за III и IV разред гимназије друштвено -језичног смера, Завод за издавање уџбеника Народне Републике Србије, Београд, З. Ивановски, А. Станковска, Девизна политика, Европски универзи-тет, К. Сориќ, Збирка задатака из математике с примјеном у економији, Елемент, Загреб, К. Тренчевски, В. Крстеска, Г. Тренчевски, С. Здравеска, Математичка анализа за четврта година на реформираното гимназиско образование, Просветно дело, М. Ивовиќ, Финансијска математика, Економски факултет, Веоград, Н. Давидовиќ, Основи на математиката за економисти, Култура, Скопје, Р. Раљевиќ, Финансијска и актуарска математика, Савремена администрација, Београд,

292 Yazarlar KostadiТreçevski Аeta Gatsovska Naditsa İvaovska Bilgisayar İşlemleri Yazarlar Redaksiyo D-r Akta Ago Lektör Bedri Nuredi Türkçeye Çevire Abdülgai AliĊ 88