Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır lan mıştır.
Genel Müdür Temel Ateş Genel Koordinatör Akın Ateş Eğitim Koordinatörü - Editör Nevzat Asma Eğitim Koordinatör Yardımcısı Halit Bıık Dizgi, Grafik, Tasarım Esen Dizgi Servisi Görsel Tasarım Erol Faruk Yücel Bu ki ta bın ta ma mı nın a da bir kıs mı nın elek tro nik, me ka nik, fo to ko pi a da her han gi bir ka ıt sis te mi le ço ğal tıl ma sı, a ım lan ma sı ve de po lan ma sı a sak tır. Bu ki ta bın tüm hak la rı a za rları na ve Esen Ba sın Ya ın Da ğı tım Li mi tet Şir ke ti ne ait tir. İsteme Adresi ESEN BASIN YAYIN DAĞITIM LTD.ŞTİ. Baındır. Sokak No.: / Kızıla/ANKARA tel.: () 7 7 65 87 faks: () 7 5 78 ISBN : 978 99 777 6 Baskı Bahçekapı Mah. 6. Sok. Nu.:7 67 Şaşmaz / ANKARA Tel: () 78 8 (pb) www.tunamatbaacilik.com.tr Baskı Tarihi VIII www.esenainlari.com.tr
FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit olmasını açıklar; verilen bir fonksionun artan, azalan vea sabit olduğu aralıkları belirler.. Kazanım : Çift fonksionu ve tek fonksionu açıklar, grafiklerini orumlar. Fonksionların Tanım Kümesi. Kazanım : Verilen bir fonksionun en geniş tanım kümesini belirler. Parçalı Fonksionlar. Kazanım : Parçalı fonksionun grafiğini çizer, ugulamalar apar.
FONKSİYON Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A nın her elemanını B nin bir ve alnız bir elemanına eşleen f bağıntısına A dan B e fonksion denir. f : A B vea = f() biçiminde gösterilir. A tanım kümesi ve B değer kümesidir. A kümesindeki elemanların B deki görüntülerinden oluşan f(a) kümesine fonksionun görüntü kümesi denir. Grafiği verilen bir bağıntının fonksion olup olmadığını anlamak için tanım kümesindeki değerleri için eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği alnız bir noktada kesiorsa verilen bağıntı bir fonksiondur. f : R R +, f() = a Fonksionunun Grafiği a > için f() = a üstel fonksionunun grafiği andaki gibidir. < a < için f() = a üstel fonksionunun grafiği andaki gibidir. = a = a f : R + R, f() = log a Fonksionunun Grafiği f() = a + b Fonksionunun Grafiği = a + b doğrusunun grafiğini çizmek için doğrunun geçtiği herhangi iki nokta bulunur. Eksenleri kestiği a > için f() = log a fonksionunun grafiği andaki gibidir. = log a noktaları bulmak tercih edilir. f() = a + b + c Fonksionunun Grafiği f() = a + b + c fonksionunun tepe noktası b T(r, f(r)) olmak üzere, r = dir. a a > ise grafiğin kolları ukarı doğru a < ise grafiğin kolları aşağı doğrudur. < a < için f() = log a fonksionunun grafiği andaki gibidir. = log a Parabol grafikleri ile ilgili bazı özel durumlar = a parabolünün tepe noktası T(, ) olacağından grafiği andaki gibi olur. = a (a > ise) = a (a < ise) Grafik Çizimi İle İlgili Özel Durumlar = f() ile = f() fonksionlarının grafikleri eksenine göre simetriktir. = f() = f() d c a a b b d c = a + c parabolünün tepe noktası T(, c) noktası olacağından grafiği andaki gibi olur. c = a + c (a > ise) = a( r) + k parabolünün tepe noktası T(r, k) dır. = f() ile = f( ) fonksionlarının grafikleri eksenine göre simetriktir. = f() = f( ) d d a b c b c a
= f() + c nin grafiği, = f() fonksionunun grafiğinin ekseni bounca c kadar ötelenmişidir. = f() = f() + c a + c c a a = f( c) nin grafiği, = f() fonksionunun grafiğinin ekseni bounca c kadar ötelenmişidir. = f() = f( c) Artan ve Azalan Fonksionlar f : A B fonksionu için < için f( ) < f( ) ise f artan fonksiondur. f( ) f( ) f( ) f( ) a b a b < için f( ) > f( ) ise f azalan fonksiondur. f( ) a a a + c c f( ) f( ) f( ) Bire Bir Fonksion a b a b, A için f( ) f( ) a da f( ) = f( ) = oluorsa f fonksionu bire bir fonksiondur. eksenine paralel doğrular çizildiğinde, doğruların her biri grafiği en çok bir noktada kesiorsa fonksion bire birdir. Örten Fonksion f : A B fonksionu için f(a) = B ise ani görüntü kümesi değer kümesine eşit ise f fonksionu örten fonksiondur. Grafiği verilen bir fonksionun örten olup olmadığı araştırılırken değer kümesinin her elemanı için eksenine paralel doğru çizdiğimizde bu doğru grafiği en az bir noktada kesiorsa fonksion örtendir. Ters Fonksion f fonksionu A dan B e tanımlanmış bire bir ve örten fonksion olmak üzere, fof = f of = Ι koşulunu sağlaan f fonksionuna f fonksionunun tersi denir. f ile f fonksionlarının grafikleri = doğrusuna göre simetriktir. f() = a + b f b () = a a + b f() = f () = c b c a a + b f() = f d + b () = c + d c a < için f( ) = f( ) ise f sabit fonksiondur. Tek ve Çift Fonksionlar f : A B, = f() fonksionunda A için f( ) = f() ise f fonksionu tek fonksiondur. f( ) = f() ise f fonksionu çift fonksiondur. Tek fonksionların grafikleri orijine göre simetriktir. Çift fonksionların grafikleri eksenine göre simetriktir. Bir Fonksionun En Geniş Tanım Kümesi f() = a n n + a n n +... + a biçimindeki polinom fonksionların en geniş tanım kümeleri: R = (, ) dir. f() ve g() birer polinom olmak üzere, f ( ) = fonksionunun en geniş tanım kümesi: g ( ) R {: g() = } dır. + n Z olmak üzere, = n f ( ) fonksionunun en geniş tanım kümesi: f() koşulunu sağlaan noktalar kümesidir. = log f() g() fonksionunun en geniş tanım kümesi: f() >, g() >, f() koşullarını sağlaan noktalar kümesidir.
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Z f ( ), f ( ) > ] f() = [, f ( ) = ] f ( ), f ( ) < \ Mutlak Değerin Özellikleri =. =. =, ( ) n = n f() = a b + c d Fonksionunun Grafiği b d =, = olmak a c üzere, f() in en küçük değeri f( ) vea f( ) dir. (, f( )) ve (, f( )) noktaları grafiğin kırılma noktaları olup grafiği andaki gibi olur. ( < ) f( ) f( ) + + = a = a v = a, (a R+ ) < a a < < a, (a R+ ) a a v a, (a R+ ) a < < b a < < b v b < < a (a, b R + ) MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ = f() Fonksionunun Grafiği = f() in grafiği çizilirken önce = f() in grafiği çizilir. Bu grafiğin ekseninin negatif bölgesine taşan kısmının eksenine göre simetriği alınır. = f() = f() + g() Fonksionunun Grafiği = f() = f() + g() fonksionunun grafiği çizilirken f() = için kritik noktalar bulunup fonksion parçalı biçimde azılır ve bu parçalı fonksionun grafiği çizilir. f() = a b Fonksionunun Grafiği En küçük değeri: b a f(a) = a b a En büük değeri: b f(b) = b a dır. a b (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktaları kırılma noktalar olup bu fonksionun grafiği ukarıdaki gibidir. BAĞINTI GRAFİKLERİ = f() bağıntısının grafiği çizilirken = f() in grafiği çizilir. Çizilen grafiğin > olan bölgesindeki kısmı ile bu kısmın eksenine göre simetriğinin birleşimi istenen grafiktir. = f() = f() = f() bağıntısının grafiği çizilirken = f() in grafiği ile bu grafiğin eksenine göre simetriğinin birleşimi alınır. a = f() b a = f() b f() = a + b Fonksionunun Grafiği En küçük değeri : f(a) = f(b) = a b olup (a, f(a)) ve (b, f(b)) kırılma noktalarıdır. Bu fonksionun grafiği aşağıdaki gibidir. a b a b = f( ) fonksionunun grafiği çizilirken = f() in grafiği çizilir. Çizilen grafiğin > olan bölgesindeki kısmı ile bu kısmın eksenine göre simetriğinin birleşimi alınır. d a b c = f() c b d b c = f( )
Fonksionlar Rehber Soru Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f : R R, f() = b. g : [, ) R, g() = + Rehber Soru Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. h : (, ) R, h() = b. k : R + R, k() = Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz.. f : R R, f() = Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz.. f : [, ) R, f() =. f : R + R, f() =. f : [, ] R, f() =. f : R R, f() =. f : [, ) R, f() = +
Fonksionlar Rehber Soru g : [, ) R, g() = fonksionunun grafiğini çiziniz. Rehber Soru h : R + R, h() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz.. f : R R, f() = Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz.. f : (, ] R, f() =. f : R + R, f() =. f : (, ) R, f() = ( ). f : [, ] R, f() =. f : R R, f() = ( + )
Fonksionlar Rehber Soru 5 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çizerek tanım ve görüntü kümelerini belirleiniz. a. = b. = Rehber Soru 6 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çizerek tanım ve görüntü kümelerini belirleiniz. a. = b. = Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çizerek tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.. = Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çizerek tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.. = +. =. = +. =. = +. =. = 5
Fonksionlar Rehber Soru 7 a. f : [, ] R, f() = + fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz. b. f : [, ] R, f() = fonksionunun grafiğini çizmeden görüntü kümesini bulunuz.. f : [, ] R, f() = fonksionunun grafiğini çizip, görüntü kümesini bulunuz.. f : (, ] R, f() = fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz.. f : [, ] R, f() = fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz. 5. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz.. f : [, ) R, f() = fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz. 6. f : [, ] R, f() = + fonksionunun grafiğini çizmeden görüntü kümesini bulunuz. 6
Fonksionlar Rehber Soru 8 f : [, ] R, f() = fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz. Rehber Soru 9 f : [, ] R, f() = + fonksionunun grafiğini çizmeden görüntü kümesini bulunuz.. f : [, ] R, f() = + fonksionunun görüntü kümesini bulunuz.. f : [, ) R, f() = fonksionunun görüntü kümesini bulunuz.. f : [, ] R, f() = fonksionunun görüntü kümesini bulunuz.. f : (, ] R, f() = 6 + fonksionunun görüntü kümesini bulunuz.. f : [, ) R, f() = fonksionunun görüntü kümesini bulunuz.. f : [, ] R, f() = + fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. 7
Fonksionlar Rehber Soru Aşağıda grafikleri çizilmiş olan fonksionların tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. a. = f() b. = g() Rehber Soru Aşağıda grafikleri çizilmiş olan fonksionların tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. a. = h() b. = k() Aşağıda grafikleri verilen fonksionların tanım (A) ve görüntü (B) kümelerini bulunuz.. = f() Aşağıda grafikleri verilen fonksionların tanım (A) ve görüntü (B) kümelerini bulunuz.. = g().. 8
Fonksionlar Rehber Soru Aşağıdaki fonksionların bire bir olup olmadıklarını tespit ediniz. a. f : R R, f() = b. f : R R, f() = c. f : R + R, f() = Aşağıdaki fonksionların bire bir olup olmadıklarını tespit ediniz.. f : R R, f() = 5 + 5. f : R + R, f() =. f : R R, f() = 6. f : R R, f() = +. f : R R, f() = + 7. f : R R, f() =. f : R R, f() = 8. f : R + R, f() = 8 + 9
Fonksionlar Rehber Soru R R e tanımlı grafikleri çizilmiş olan fonksionların bire bir olup olmadıklarını tespit ediniz. a. = f() b. = g() c. = h() Aşağıda grafikleri çizilmiş olan fonksionların bire bir olup olmadıklarını tespit ediniz... = f() = k(). = h(). = g()
Fonksionlar Rehber Soru Aşağıdaki fonksionların örten olup olmadığını tespit ediniz. a. f : R R, f() = b. g : Z Z, g() = + c. h : R R, h() = Aşağıdaki fonksionların örten olup olmadıklarını tespit ediniz.. f : R R, f() =. A = {,,, }, B = { 5,,, } k : A B, k() =. g : Z Z, g() = 5. A = {,,, 7 }, B = {,,,, } t : A B, t() = +. h : R R, h() = + 6. k : R R, k() =
Fonksionlar Rehber Soru 5 = f() Rehber Soru 6 = g() Yukarıda grafiği çizilmiş olan fonksionun R R e örten olup olmadığını tespit ediniz. Yukarıda grafiği çizilmiş olan fonksionun R R e örten olup olmadığını tespit ediniz. Aşağıda grafikleri verilmiş olan fonksionların örten olup olmadıklarını tespit ediniz. Aşağıda grafikleri verilmiş olan fonksionların örten olup olmadıklarını tespit ediniz.. = f(). = h() f : R R h : R R. = g(). = k() g : R R k : (, ] (, ]
Fonksionlar Rehber Soru 7 f : [, ) B, f() = + olmak üzere f(a) kümesini bulunuz. Rehber Soru 8 f : A [ 5, 7 ], f() = olmak üzere f() bire bir ve örten bir fonksiondur. Buna göre A kümesini bulunuz.. f : [, ) B, f() = fonksionu bire bir ve örten ise B kümesini bulunuz.. f : A [, 7), f() = + fonksionu bire bir ve örten ise A kümesini bulunuz.. f : (, ] B, f() = fonksionu bire bir ve örten ise B kümesini bulunuz.. f : A [, 7 ], f() = fonksionu bire bir ve örten ise A kümesini bulunuz.. f : A [, ), f() =. f : (, ) B, f() = olmak üzere, f() in görüntü kümesini bulunuz. fonksionu bire bir ve örten ise A kümesini bulunuz.
Fonksionlar Rehber Soru 9 Aşağıdaki tabloda bazı fonksionlar ve bir kısmının ters fonksionu azılmıştır. Tablodaki boş erleri doldurunuz. Rehber Soru Aşağıdaki tabloda bazı fonksionlar ve bir kısmının ters fonksionu azılmıştır. Tablodaki boş erleri doldurunuz. f() f () f() f () a + b b a a + b c + d d + b c a + + + 5 + + + + + = a + b c + c b a + 5 5 + = 5 + + 5 + +
Fonksionlar Rehber Soru f : ;, m [, ), f() = olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz. Rehber Soru g : [, ) [, ), g() = + + olduğuna göre, g () fonksionunu bulunuz.. f :;, m [, ), f() = + olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : (, ) (, ), f() = + olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : (, ] [, ), f() = olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : (, ) (, ), f() = + olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : R R, f() = + olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : (, ) (, ), f() = + olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz. 5
Fonksionlar Rehber Soru a. f : (, ) R, f() = log ( ) ise f () i bulunuz. b. g : c, m R, g() = ln( ) + ise g () i bulunuz. c. h : (, ) R, h() = log ( ) ise h () kaçtır?. f : (, ) R, f() = log ( ) olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : (, ) R, f() = log olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : (, ) R, f() = ln olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz. 5. f : (, ) R, f() = log( ) + olduğuna göre, f (5) kaçtır?. f : (, ) R, f() = (ln) olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz. 6. f : (, ) R, f() = log ( + ) + olduğuna göre, f (5) kaçtır? 6
Fonksionlar Rehber Soru a. f : R (, ), f() = ise f () i bulunuz. b. g : R (, ), g() = e ise g () i bulunuz. c. h : R (, ), h() =. ise h () kaçtır?. f : R (, ), f() = olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : R (, ), f() = + + olduğuna göre, f (9) kaçtır?. f : R (, ), f() = + olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz. 5. f : R (, ), f() = e olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz.. f : R (, ), f() = olduğuna göre, f () fonksionunu bulunuz. 6. f : R (, ), f() = e olduğuna göre, f (e ) kaçtır? 7
Fonksionlar Rehber Soru 5 a. f( ) = 6 + ise f() fonksionunu bulunuz. b. f c m = + ise f( + ) fonksionunu bulunuz. c. f( ) = 6 + ise f(7) kaçtır?. f( + ) = ise f() nedir?. f( ) = 6 + ise f( + ) nedir?. f c m = 6 + ise f() nedir? 5. f(7 ) = + ise f(6) kaçtır?. f c m = + ise f() nedir? + 6. f( 5) = + ise f( ) kaçtır? 8
Fonksionlar Rehber Soru 6 f( ) = + olduğuna göre, f() fonksionunu bulunuz. Rehber Soru 7 f c + m = + + olduğuna göre, f() fonksionunu bulunuz.. f( ) = 6 + olduğuna göre, f() fonksionunu bulunuz. +. f c m = olduğuna göre, f() fonksionunu bulunuz.. f( + ) = 6 + olduğuna göre, f() fonksionunu bulunuz. + + +. f d n= olduğuna göre, f() fonksionunu bulunuz. 6. f d n = + olduğuna göre, f() fonksionunu bulunuz.. f(9 +. ) = olduğuna göre, f() fonksionunu bulunuz. 9
Fonksionlar Rehber Soru 8 a. f() = + ise f( ) in f() cinsinden eşitini bulunuz. + b. f() = ise f( ) in f() cinsinden eşitini bulunuz. c. f() = ise f( + ) in f() cinsinden eşitini bulunuz.. f() = 5 ise f( + ) nin f() cinsinden eşitini bulunuz.. f( + ) = eşitini bulunuz. ise f () in f( ) cinsinden. f() = ise f( + ) in f( ) cinsinden eşitini bulunuz. 5. f() = ise f( + ) in f() cinsinden eşitini bulunuz.. f() = + bulunuz. ise f( ) nin f() cinsinden eşitini 6. f() = ise f( ) in f () cinsinden eşitini bulunuz.
Fonksionlar Rehber Soru 9 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çizerek artan vea azalan olup olmadıklarını tespit ediniz. a. f : R R, f() = b. f : R + R, f() = ln c. f : R R, f() = Aşağıdaki fonksionların artan vea azalan olup olmadıklarını tespit ediniz.. f : R + R, f() = 5. f : (, ) R, f() = +. f : R R, f() = + 6. f : R + R, f() =. f : R R, f() = 7. f : R + R, f() = log. f : R R, f() = 8. f : R + R, f() = log
Fonksionlar Rehber Soru f : A B, f() = fonksionu bire bir ve örten + olduğuna göre A ve B kümelerini bulunuz. Rehber Soru m f : R {} R { }, f() = olmak üzere n f() fonksionu bire bir ve örten ise (m, n) sıralı ikilisini bulunuz. Aşağıdaki fonksionların her biri bire bir ve örtendir. Buna göre A ve B kümelerini bulunuz.. f : A B, f() = a. f : R {} R {}, f() = + b olmak üzere, f() fonksionu bire bir ve örten ise a + b kaçtır?. f : A B, f() = 6 5. f : R {a} R {b}, f() = + olmak üzere, f() fonksionu bire bir ve örten ise a + b kaçtır?. f : A B, f() =. f : A B, f() = b. f : R { } R {}, f() = a olmak üzere, f() fonksionu bire bir ve örten ise a + b kaçtır?
Fonksionlar Rehber Soru R de tanımlı aşağıdaki fonksionların tek vea çift olup olmadıklarını araştırınız. a. f() = + b. f() = + Rehber Soru R de tanımlı aşağıdaki fonksionların tek vea çift olup olmadıklarını araştırınız. a. f() = + cos b. f() =.sin + R de tanımlanmış aşağıdaki fonksionların tek vea çift fonksionlar olup olmadıklarını araştırınız.. f() = + R de tanımlanmış aşağıdaki fonksionların tek vea çift fonksionlar olup olmadıklarını araştırınız.. f() = sin +. f() =. f() = cos +. f() = + +. f() = sin.cos tan. f() =. f() = sin + cos
Fonksionlar Rehber Soru f() tek fonksiondur. f().f( ) = + ise f() kaçtır? Rehber Soru 5 f() çift fonksiondur. f() + f( ) = + 8 ise f( ) kaçtır?. f() tek fonksiondur. f() + f( ) = + ise f() kaçtır?. f() çift fonksiondur. f() +.f( ) = + ise f() kaçtır?. f() fonksionunun grafiği orijine göre simetriktir. f() = (a ) + (b + ) + ab ise f( ) kaçtır?. f() fonksionunun grafiği eksenine göre simetriktir. f() = (m ) + (m + ) + (n ) + m.n ise f() kaçtır?. f() tek fonksiondur. f( ) + f( + ) = ve f() = ise f() kaçtır?. f() tek fonksion ve g() çift fonksiondur. f() + f( ) + + = g() g( ) ise f() + g() kaçtır?
Fonksionlar Rehber Soru 6 Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a. f() = + b. f() = + c. f() =. f() = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz.. f() = + + fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz.. f() = + + fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 5. f() = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. +. f() = + fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 6. f() = + m fonksionunun en geniş tanım kümesi R ise m nin en küçük tam saı değeri kaçtır? 5
Fonksionlar Rehber Soru 7 Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a. f() = b. f() = c. f() = log ( ). f() = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz.. f() = + 6 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz.. f() = 5 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 5. f() = log ( + ) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. +. f() = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 6. f() = log ( ) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 6
Fonksionlar Rehber Soru 8, f() = * +, < g() = *,, < fonksionları verilmiştir. Buna göre (f + g)() ve (f g)() fonksionlarını bulunuz., >. f() = *, +, > g() = *, fonksionları için (f + g)() fonksionunu bulunuz., >. f() = * +,, > g() = *, fonksionları için (f g)() + (f.g)() ifadesinin eşitini bulunuz., >. f() = *,, g() = *, < fonksionları için (f.g)() fonksionunu bulunuz. Z, < ]. f() = [, < ] +, \, > g() = *, fonksionları için (f g)() fonksionunu bulunuz. 7
Fonksionlar Rehber Soru 9 = f( + ) = f( + ) fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre f( ), f(), f(), f(5), f ( ), f (), f (), f () değerlerini bulunuz... = f( ) = f( + ) = f( + ) in grafiği şekildeki gibidir. Buna göre f f( 5) + f( ) ( ) + f ( ) kaçtır? = f( ) in grafiği şekildeki gibidir. Buna göre f( ) + f ( ) f ( ) + f( ) kaçtır?. = f( + ). = f( ) = f( + ) in grafiği şekildeki gibidir. Buna göre f ( ) + f ( ) kaçtır? f( ) + f( ) = f( ) nin grafiği şekildeki gibidir. Buna göre, ( fof)( ) + f ( ) f ( ) kaçtır? 8
Fonksionlar Rehber Soru, > f() = *, parçalı fonksionunun grafiğini çiziniz. Aşağıdaki parçalı fonksionların grafiklerini çiziniz., >. f() = * +,,. f() = * 6, < +,. f() = *, >, >. f() = * +, 9
Fonksionlar. f() =,,, < < + + Z [ \ ] ] ] ]. f() =,,, < < Z [ \ ] ] ] ]. f() =,,, < > Z [ \ ] ] ] ]. f() =,,, < < + + Z [ \ ] ] ] ] Rehber Soru f() =,,, < > + + Z [ \ ] ] ] ] parçalı fonksionunun grafiğini çiziniz. Aşağıdaki parçalı fonksionların grafiklerini çiziniz.
Fonksionlar Rehber Soru +, f() = * parçalı fonksionunun grafiğini çiziniz. +, < Aşağıdaki parçalı fonksionların grafiklerini çiziniz., >. f() = *, Z ]. f() = [ ] \,,, < = > +,. f() = *, <,. f() = * 5, >
Fonksionlar Rehber Soru Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. = b. + = c. + = 5. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 5. = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6. + + = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Fonksionlar Rehber Soru = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Rehber Soru 5 + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. + + = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. + =. + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Fonksionlar Rehber Soru 6 Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a. < b. 9 Rehber Soru 7 + < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. c. <. < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. < 6 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. + > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. + + < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. + 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. + < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. + > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Fonksionlar Rehber Soru 8 a. f() = + + fonksionunun en küçük değerini bulunuz. b. f() = + + + + + + fonksionunun en küçük değerini bulunuz. c. f() = + 5 fonksionunun görüntü kümesinde kaç tane tam saı değeri vardır.. f() = + + fonksionunun en küçük değeri kaçtır?. f() = + + +... + 8 fonksionunun en küçük değeri kaçtır?. f() = + + fonksionunun en küçük değeri kaçtır? 5. f() = + 6 fonksionunun en büük değeri kaçtır?. f() = + + + 6 fonksionunun en küçük değeri kaçtır? 6. f() = + fonksionunun görüntü kümesinde kaç tane tam saı vardır? 5
Fonksionlar Rehber Soru 9 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f : R R, f() = b. f : R R, f() = c. f : R R, f() =. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. 5. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. 6. f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. 6
Fonksionlar Rehber Soru 5 f : [, π ] R, f() = sin fonksionunun grafiğini çiziniz. Rehber Soru 5 f : (, ) R, f() = log fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : [, π ] R, f() = cos fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : (, ) R, f() = ln fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : b r, r l R, f() = tan fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : (, ) R, f() = log ( ) fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = e fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. 7
Fonksionlar Rehber Soru 5 f() = + fonksionunu parçalı fonksion biçiminde azınız. Rehber Soru 5 g() = + fonksionunu parçalı fonksion biçiminde azınız. Aşağıdaki fonksionları parçalı fonksion biçiminde azınız. Aşağıdaki fonksionları parçalı fonksion biçiminde azınız.. f() = +. f() = +. f() =.. f() = +. f() = + +. f() = +. f() = + 8
Fonksionlar Rehber Soru 5 f : R R, f() = + + fonksionunun grafiğini çiziniz. Rehber Soru 55 f : R R, f() = + + fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() =. + fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R { } R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz.. f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. 9
Fonksionlar Rehber Soru 56 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. R R e tanımlanmış aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz.. f() = +. f() = + 5. f() = + +. f() = 6. f() = +. f() = + 5
Fonksionlar Rehber Soru 57 = bağıntısının grafiğini çiziniz. Rehber Soru 58 = bağıntısının grafiğini çiziniz.. = bağıntısının grafiğini çiziniz.. + = bağıntısının grafiğini çiziniz.. + = bağıntısının grafiğini çiziniz.. + = bağıntısının grafiğini çiziniz.. = bağıntısının grafiğini çiziniz.. = bağıntısının grafiğini çiziniz. 5
Fonksionlar Rehber Soru 59 = bağıntısının grafiğini çiziniz.. = bağıntısının grafiğini çiziniz. 5. = bağıntısının grafiğini çiziniz.. = + bağıntısının grafiğini çiziniz. 6. = + bağıntısının grafiğini çiziniz.. = bağıntısının grafiğini çiziniz. 7. = bağıntısının grafiğini çiziniz.. + = bağıntısının grafiğini çiziniz. 8. + = + bağıntısının grafiğini çiziniz. 5
Fonksionlar Rehber Soru 6 + = bağıntısının grafiğini çiziniz.. + = bağıntısının grafiğini çiziniz.. < bağıntısının grafiğini çiziniz.. = bağıntısının grafiğini çiziniz. 5. + < bağıntısının grafiğini çiziniz.. + bağıntısının grafiğini çiziniz. 6. + bağıntısının grafiğini çiziniz. 5
Fonksionlar Rehber Soru 6 Rehber Soru 6 = f() Şekildeki grafik = f() e aittir. Buna göre = f() + fonksionunun grafiğini çiziniz. = f() Şekildeki grafik = f() e aittir. Buna göre = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz... = f() Şekilde = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre = f() + fonksionunun grafiğini çiziniz. = f() Şekilde = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz... = f() = f() Şekilde = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre = f() fonksionunun grafiğini çiziniz. Şekilde = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre = f( + ) fonksionunun grafiğini çiziniz. 5
Fonksionlar Rehber Soru 6 Rehber Soru 6 = f() = f() Şekildeki grafik = f() fonksionuna aittir. Buna göre = f() fonksionunun grafiğini çiziniz. Şekildeki grafik = f() fonksionuna aittir. Buna göre = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz... = f() = f() Şekilde = f() in grafiği çizilmiştir. Buna göre = f() in grafiğini çiziniz. Şekilde = f() in grafiği çizilmiştir. Buna göre = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz.. = f(). = f() Şekilde = f() in grafiği çizilmiştir. Buna göre = f() in grafiğini çiziniz. Şekilde = f() in grafiği çizilmiştir. Buna göre = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. 55
Fonksionlar Rehber Soru 65 = f() Şekilde = f() in grafiği ifade edilmiştir. Buna göre = f() in grafiğini çiziniz.. = f(). = f() = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre = f() in grafiğini çiziniz. = f() in grafiğinden ararlanarak = f() in grafiğini çiziniz... = f() = f() = f() in grafiğinden ararlanarak = f() in grafiğini çiziniz. = f() in grafiğinden ararlanarak = f() in grafiğini çiziniz. 56
Fonksionlar Rehber Soru 66 = f() Şekilde = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre = f() in grafiğini çiziniz.. = f(). = g() Şekildeki = f() in grafiğinden ararlanarak = f() in grafiğini çiziniz. Şekildeki = g() in grafiğinden ararlanarak = g() in grafiğini çiziniz.. = h(). = k() Şekildeki = h() in grafiğinden ararlanarak = h() in grafiğini çiziniz. Şekildeki = k() in grafiğinden ararlanarak = k() in grafiğini çiziniz. 57
Fonksionlar Rehber Soru 67 Rehber Soru 68 = f() = f() Şekilde = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. Şekilde = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre = f() bağıntısının grafiğini çiziniz.. = g(). = g() Şekildeki = g() in grafiğinden ararlanarak = g( ) in grafiğini çiziniz. Şekildeki = g() in grafiğinden ararlanarak = g() in grafiğini çiziniz.. = k(). = h() Şekildeki = k() in grafiğinden ararlanarak = k( ) in grafiğini çiziniz. Şekildeki = h() in grafiğinden ararlanarak = h() in grafiğini çiziniz. 58
TEST. Aşağıdaki fonksionlardan kaç tanesi bire birdir? I. f : R R, f() = + 5. Aşağıdaki fonksionlardan kaç tanesi tektir? I. f : R R, f() = + II. f : R R, f() = III. f : R R, f() = + II. III. f : R R, f() = + f : R R, f() =.sin IV. f : R + R, f() = V. f : R + R, f() = A) B) C) D) E) 5 IV. f : R R, f() = + sin V. f : R R, f() = + A) B) C) D) E) 5. Aşağıdaki fonksionlardan kaç tanesi örtendir? I. f : R R, f() = II. f : R R, f() = III. f : R R, f() = IV. f : R + R +, f() = V. f : R + R, f() = + A) B) C) D) E) 5 6. f : R R, f() = f () = a ise f (a) kaçtır? A) B) 7 C) 8 D) E). f : A [, 9), f() = fonksionu bire bir ve örten ise A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, 5) B) (, 5 ] C) (, 5) D) [, 6) E) (, 6 ] 7. f : R R, f() = f(9) + f () kaçtır? + ise A) B) C) D) E). f : R R, f() = fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ] B) [, ) C) (, ) D) [, ] E) [, ) 8. f() fonksionu çift fonksiondur. ( )f() + f( ) = a ve f() = ise a kaçtır? A) B) C) D) E) 65
Fonksionlar 9. f : R {a} R {b}, f() = + fonksionu bire bir ve örten ise a + b kaçtır?. f() = log( + 7) log( ) ise f () kaçtır? A) B) C) D) E) 5 A) B) C) D) E) 5. f() = + fonksionunun en geniş tanım kümesi nedir? A) (, ] B) (, ] C) (, ) D) [, ) E) (, ) [, ). f() = log5 ( ) fonksionunun en geniş tanım kümesi nedir? A) (, 9 ] B) (, ) C) (, ) D) [9, ) E) (, 9 ] +, >. f() = * +, fonksionu için f () aşağıdakilerden hangisidir? A) C), > * B),, > * D), * *, >,, > 5, 5 5. (, ) olmak üzere, f() = + fonksionunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) C) + D) E) E) *, > 5, 5. f : R R, f() = + fonksionunun en küçük değeri kaçtır? 5 A) B) C) D) E) 6. f : R R, f() = + 5 fonksionunun görüntü kümesi nedir? A) (, 7 ] B) [ 7, ) C) (, 7] D) [7, ) E) [ 7, 7 ]. C. C. A. B 5. B 6. B 7. D 8. D 9. A. B. D. B. C. E 5. A 6. E 66
TEST. Aşağıdaki fonksionlardan hangisi R den R e bire birdir? A) f() = B) f() = + C) f() = + D) f() = 5. f() = (a ) + (b + ) + c olmak üzere, f() tek fonksion ise a + b + c kaçtır? A) B) C) D) E) 5 E) f() = +. f : R R, f() = + 5 fonksionunun görüntü kümesi nedir? A) [, ) B) [, ) C) [, ) D) [, ) E) [, ) 6. f() + f( ) = + olmak üzere, f() fonksionunun grafiği orijine göre simetrik ise f( ) kaçtır? A) B) C) D) E). f : (, m ] R, f() = + olmak üzere f fonksionu bire bir ise m nin en büük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 7. f() = fonksionunun en geniş tanım kümesi nedir? A) (, ] B) R {} C) R [, ) D) (, ) E) [, ) a + 5. f : R {} R {}, f() = b olmak üzere f() bire bir ve örten bir fonksion ise a + b kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 8. f() = log( m + ) fonksionunun en geniş tanım kümesi R ise m nin değer aralığı nedir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 67
Fonksionlar 9. = denklemini sağlaan değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6. f c m = + ise f () kaçtır? + A) B) C) D) E). < < eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, ) B) (, ] C) (, ) D) [, ] E) [, ). f : R + [, ), f() = ise f () nedir? A) + B) + C) D) E). f c m = + ise f() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) + + D) E) + 5. f(log ) = + ise f() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) + C) D) () + E) (). f() = ise f( + ) in f() e bağlı değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) f ( ) 8 B) 8 D) f( ) f ( ) 7 E) f ( ) 9 7 C) f( ) 6. f : R R, f() = fonksionunun parçalı fonksion olarak ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?, A) ) +, < B), ), < +, + 6, C) ) D) ), <, <, E) ), <. D. A. E. E 5. C 6. D 7. B 8. C 9. C. C. C. A. C. A 5. B 6. C 68
TEST 6.. Aşağıdaki fonksionlardan kaç tanesi tek fonksiondur? f() I. f() = + II. f() = sin + cos III. f() = IV. f() = tan V. f() = + A) B) C) D) E) 5 Grafiği verilmiş olan f() fonksionu için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. Tanım kümesi: (, ] dır. II. Görüntü kümesi: [, ] dır. III. f() = dır. IV. Bire birdir. V. Örtendir. 5. f() tek fonksionu için f() + = (a ) + (a + ) af( ) koşulu sağlanıorsa f() kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 5. f( ) = 6 + 9 + fonksionu için 6. = f() f (5) kaçtır? A) B) C) D) E) 5 = f() in grafiği şekildeki gibidir. Buna göre = f() in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B). = f( + ) C) D) E) Şekilde = f( + ) fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre f () + f(7) + f () kaçtır? A) B) C) D) E) 75
Fonksionlar 7.. = f() = f() in grafiği şekildeki gibidir. Buna göre, = f( ) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) = f() in grafiği şekildeki gibidir. Buna göre, = f( ) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) C) D) E) E) 8. f() = + + a fonksionunun en küçük değeri 6 ise a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?. = f() A) B) C) D) E) 5 9. f() = + fonksionunun en geniş tanım kümesi nedir? A) Ø B) R C) [, ] D) R {, } E) R (, ) = f() fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. Buna göre, ( ).f() eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [ 5, ] [, ) B) (, 5) {} C) [ 5, ] [, ] D) (, 5 ] [, ) E) [ 5, ] [, ) {}. B. B. C. B 5. A 6. D 7. D 8. A 9. C. B. E 76
TEST 7. f() = fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?. = f() A) B) C) D) Şekilde = f() in grafiği çizilmiştir. f ( ) + f ( ) Buna göre, = fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) E) C) D) E). f() =. + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B). C) D) E) Şekilde grafiği verilen = f() fonksionu aşağıdakilerden hangisidir? A) = + + B) = + C) = + + D) = + + E) = + 77
Fonksionlar 5. Şekildeki bölgei gösteren bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? 8. Şekilde = g() in grafiği verilmiştir. Buna göre, a f() = g ( ) fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) a = g() A) + B) + C) + D) + E) C) D) 6. E) Şekildeki grafik aşağıdaki fonksionlardan hangisine ait olabilir? A) = + + B) = + C) = + + D) = + E) = + 9. Şekilde = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre = f( ) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? = f() 7. A) B) C) D) Şekilde grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) f() = + B) f() = + C) f() = D) f() = E) E) f() =. B. A. A. E 5. D 6. C 7. C 8. E 9. B 78
TEST. Aşağıdaki bağıntılardan hangisinin tersi bir fonksiondur? A) f : N N, f() = + B) f : R + R, f() = C) f : R + R, f() = ln D) f : R { } R, f() = + E) f : [, ) R, f() =. (, ) olmak üzere, f() = + + + fonksionu aşağıdakilerden hangisine eşittir? 5. f() 5 Şekilde f() fonksionunun grafiği verilmiştir. (fof)( ) < eşitsizliğini sağlaan tam saılarının toplamı kaçtır? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) + B) C) D) E) + 6. = sistemini sağlaan noktalar kümesi = aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?. Şekildeki grafik = k fonksionuna aittir. A ca, m ve B(, ) grafiğe ait iki nokta ise a kaçtır? f() = k B a A A) B) C) D) A) B) C) 5 D) 6 E) 6 E). Aşağıdaki fonksionlardan hangisi artan bir fonksiondur? A) f : R (, ), f() = B) f : R + R, f() = log C) f : R + R, f() = D) f : R R +, f() = e E) f : R R, f() = 7. f : (, ] [, ), f() = 6 + ise f (5) kaçtır? A) B) C) D) E) 85
Fonksionlar 8. f() = + fonksionunun en geniş tanım kümesi nedir? A) R ' B) ;, E C) ;, E. f() =. + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) D) R E) Ø C) D) 9. f : (, ) R, f() = log (log ) ise f () kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) E). f : R R, f() = + + ise f () aşağıdakilerden hangisidir? A) + + B) + C) D). f : [, π ] R, f() = sin + sin fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) E) + π π π π π π C) D) π π π π. f( ) = ise f() aşağıdakilerden hangisidir? E) A) log ( + ) B) + log ( + ) C) log ( + ) D) log ( ) π π π E) log ( ). C. A. B. D 5. E 6. A 7. D 8. D 9. A. E. A. E. D 86
TEST.. = denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 = f() = f() in grafiği ukarıdaki gibidir. Buna göre = f() in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 5. f : R R, f() = + 5 fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, ) B) (, ] C) [, ) D) (, ] E) [, ] C) D) E) 6. = f() = f() in grafiği ukarıdaki gibidir. Buna göre f().f( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. + 7 = denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) 8 B) 6 C) 5 D) E) A) (, ] B) [, ] C) [, ) D) [, ) E) (, ]. f() = + + 7 fonksionunun en büük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 7 7. f() = + 6 fonksionunun görüntü kümesinde kaç tane tam saı vardır? A) 7 B) 8 C) 9 D) E) 87
Fonksionlar 8. Şekildeki grafik = f() e aittir. = f( + ) fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? = f(). < bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) A) B) C) D) C) D) E) E) 9. Şekildeki grafik = f() e aittir. = f( ) fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?. Şekildeki grafik = f() e aittir. Buna göre = f() in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) A) B) C) D) C) D) E) E). B. D. D. C 5. C 6. B 7. E 8. A 9. D. C. C 88
I. Sol sü tun da verilen fonksionlara ait grafikleri sağ sü tun da bulup eş leş ti riniz. a. =. b. = c m. c. = log. d. = log. e. = + 5. f. = 6. II. Sol sü tun da = f() fonksionlarına ait grafikler verilmiştir. Sağ sü tun da = f() fonksionlarına ait grafikleri bulup eş leş ti riniz. a.. b.. c.. d.. 95
5 6 7 8 9 YUKARIDAN AŞAĞIYA. f : A B, < için f( ) > f( ) koşulunu sağlaan fonksion. A dan B e f fonksionu verildiğinde B kümesi. Görüntünün bir üze üzerinde temsil edilmesi 6. f : A B, < için f( ) < f( ) koşulunu sağlaan fonksion 7. eksenine göre simetrik olan fonksion 9. <, >,, sembollerinin genel adı SOLDAN SAĞA. Reel saı doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığı 5. İkinci dereceden polinom fonksionun grafiği 8. A dan B e f fonksionu verildiğinde A kümesi. Örten olmaan fonksion. Tanım kümesinin her elemanına en çok bir görüntü eşlik ettiren bağıntı. {,,,,,,, } saı kümesi. A dan B e f fonksionu verildiğinde f(a) kümesi 96
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı erleri ugun şekilde doldurunuz.. Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A nın her elemanı B nin bir ve alnız bir elemanına eşleen bağıntıa A dan B e... denir.. f( ) f( ) oluorsa f fonksionu... fonksiondur.. eksenine paralel doğrular çizildiğinde doğruların her biri fonksionun grafiğini en çok bir noktada kesiorsa fonksion...dir.. < için f( ) < f( ) ise f fonksionu... fonksiondur. 5. < için f( ) > f( ) ise f fonksionu... fonksiondur. 6. f : A B, = f() fonksionunda A için f( ) = f() ise f fonksionu... fonksiondur. 7. = f() fonksionunda f() = eşitliğini sağlaan değerlerine fonksionun... noktaları denir. 8. f() = + + + 7 fonksionu = için... değerini alır. 9. f() = + fonksionun en geniş tanım kümesi... dir.. = f() bağıntısının grafiği çizilirken = f() in grafiği ile bu grafiğin... göre simetriğinin birleşimi alınır. 97
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, anlış olanlar için Y azınız.. = f() ile = f() fonksionlarının grafikleri eksenine göre simetriktir.. = f() ile = f( ) fonksionlarının grafikleri eksenine göre simetriktir.. = f() + c fonksionunun grafiği, = f() fonksionunun grafiğinin ekseni bounca c kadar ötelenmişidir.. c > olmak üzere, = f( + c) fonksionunun grafiği, = f() fonksionunun grafiğinin eksenine göre pozitif önde c kadar ötelenmişidir. 5. İki tek fonksionun çarpımı tek fonksiondur. 6. İki çift fonksionun çarpımı çift fonksiondur. 7. f vea g fonksionlarından biri çift fonksion ise fog çift fonksiondur. 8. f() = a + b fonksionunun en küçük değeri f(a) = f(b) dir. 9. f() = a b fonksionun en küçük değeri f(a) dır.. f() = a b fonksionunun en büük değeri f(a) dır. 98
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 97 ÜSS Aşağıdakilerden hangisi f() = + fonksionunun grafiğidir? A) B). 975 ÜSS = in [, ] aralığındaki en küçük değeri nedir? A) B) C) D) E) 8 C) D) 5. 975 ÜSS E) Şekilde verilen eğri, aşağıdaki fonksionlardan hangisinin grafiği olabilir?. 97 ÜSS R olduğuna göre f : f() = fonksionunun tanım kümesi nedir? A) { : < < } B) { : < } C) { : } D) { : < } { : > } E) { : > }. 97 ÜSS A) = + B) = Z, < ] C) = [, = ], > \, D) = *, > Z ] ] r E) = [ sinb l ] ] \,,, < = > Yukarıdaki eğri aşağıdaki fonksionlardan hangisinin grafiğidir? A) f : f() = B) f : f() = C) f : f() = D) f : f() = + E) f : f() = + 6. 976 ÜSS A = R {}, B = R {} ve f : A B nin tersi aşağıdakilerden hangisi- f() = dir? A) B) + C) D) E)
Fonksionlar 7. 976 ÜSS. 977 ÜSS R, < olmak şartıla, f() = fonksionu için aşağıdakilerden hangisi doğru- dur? A) f() = B) f() = C) f() = + D) f() = E) f() = Şekildeki düzlemsel bölgei aşağıdakilerden hangisi gösterir? A) {(, ) : ve } B) {(, ) : < ve < } C) {(, ) : + } D) {(, ) : } E) {(, ) : + ve }. 978 ÜSS a a a 8. 977 ÜSS Grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? a A) = B) = + a a C) = a D) = a E) = a Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = + B) = C) = D) = E) = +. 979 ÜSS f() = fonksionu, aşağıdaki fonksion çiftlerinden hangisine denktir?, f ( ) = A) * <, f ( ) = 9. 977 ÜSS + = bağıntısının grafiği nedir? B), f ( ) = * <, f ( ) = A) Bir doğru B) Bir ışın C) Başlangıç noktasına göre ikişer ikişer simetrik olan iki çift doğru D) Bir çift doğru E) Bir kare, f ( ) = C) * <, f ( ) =, f ( ) = D) * <, f ( ) =, f ( ) = E) * <, f ( ) =
Fonksionlar. 979 ÜSS f ve g, R de aşağıdaki şekilde tanımlı iki fonksion olduğuna göre, f : g : (gof)() in analitik düzlemdeki grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 5. 98 ÖYS 5 6 7 A) B) Bir = f() fonksionunun grafiği ukarıda verilmiştir. f [ f () ] = olduğuna göre in değeri nedir? A) B) C) 5 D) 6 E) 7 C) D) 6. 98 ÖYS f() E) Şekildeki eğri f() fonksionunun grafiği olduğuna göre = ( f() + f() ) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) / D). 98 ÖYS f, R den R e f() = biçiminde verilen + a bir fonksiondur. f() = f () olması için a ne olmalıdır? A) B) C) D) E) E)
Fonksionlar 7. 98 ÖYS = + fonksionunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 7 C) D) E) 7. 988 ÖYS f() = a + b + c, R iken f() = f( ) olması için aşağıdakilerden hangisi gereklidir? A) c = B) c = C) b = D) b = E) a =. 988 ÖSS 8. 987 ÖYS = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) A(, ) C(, ) D C A B C) D) Yukarıdaki şekilde ABCD karesinin iç bölgesinin analitik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) < ve < B) < ve < E) C) < ve < D) = ve = E) = ve <. 989 ÖYS f() = fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) 9. 988 ÖYS {,, } kümesinden {,, } kümesine aşağıdaki fonksionlar tanımlanıor. Bu fonksionlardan hangisinin ters fonksionu vardır? A) {(, ), (, ), (, ) } B) {(, ), (, ), (, ) } C) {(, ), (, ), (, ) } D) {(, ), (, ), (, ) } E) {(, ), (, ), (, ) } C) E) D)
Fonksionlar. 99 ÖYS < bağıntısını sağlaan düzlemsel taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir? A) = B) = = = 5. 997 ÖYS f : R {} R {} a f() = b verilior. f() fonksionu bire-bir ve örten olduğuna göre (a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (5, ) B) (, ) C) (, 6) D) (6, 6) E) (9, 6) C) = D) = = E) = = = 6. 997 ÖSS f() : R {} R {}, = f ( ) + f ( ) olduğuna göre f () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) + + C) +. 99 ÖYS Z, <, < ] f() = ) g() = [ +, <, ] \, olduğuna göre (f + g)() in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) + D) 7. 997 ÖSS f() E) + C) D) Yukarıdaki grafiğe göre verilen f() fonksionu [, ] de bire-bir ve örtendir. E) Buna göre, f( ) + f ( ) ff (( )) değeri kaçtır? A) 5 B) C) D) E)
Fonksionlar 8. 997 ÖYS f() = olduğuna göre, f( ) + f() + f() toplamı kaçtır?. 999 ÖSS A) B) C) D) E) f() 9. 998 ÖSS R { } de tanımlanan f() = + fonksionunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) R {} C) R {} D) R {} E) R {} 6 g() Yukarıda f doğrusal fonksionu ile g fonksionunun grafikleri verilmiştir. Buna göre, (f og)(6) + (gof )( ) değeri kaçtır? A) B) 5 C) D) E) 9. 998 ÖYS <, f() = + 6 olduğuna göre f () aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 + 9 B) + 9 C) + D) 6 + E) +. 998 ÖSS. ÖSS g() g() = 8 f() f() Yukarıda f() ve g() fonksionlarının grafiği verilmiştir. Grafikteki bilgilere göre, g( ) + ( fog)( ) değeri kaçtır? f( ) Yukarıdaki şekilde, f() fonksionu ile g() = fonksionunun grafikleri verilmiştir. Buna göre (fog of)() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 8 5
Fonksionlar. ÖSS 9 = bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) 7. 7 ÖSS f() = fonksionunun grafiği ile g() = fonksionunun grafiğinin kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? A) 6 B) C) D) 8 E) 6 9 9 C) D) 9 9 E) 8. 9 ÖSS 9 5. 6 ÖSS f : c, m R fonksionu f() = log ( + ) olarak tanımlanıor. Buna göre f () aşağıdakilerden hangisidir? f() 5 O 5 Yukarıda grafiği verilen f () fonksionu için [ 5, 5 ] aralığında f() = eşitliğini sağlaan kaç tane değeri vardır? A) f () = B) f () = + C) f () = log( + ) D) f () = E) f () = + A) B) C) 5 D) 6 E) 7 6. 7 ÖSS f () = ile verilen f fonksionunun gerçel saılardaki en geniş tanım kümesi T ve görüntü kümesi G = {f() T } olduğuna göre T G kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, ] B) [, ] C) [, ] D) [, ] E) [, ] 9. LYS f() = + fonksionunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) 5 C) D) E) 5 6
Fonksionlar. LYS Aşağıda f fonksionunun grafiği verilmiştir. f() g() = f( ) olduğuna göre, g( ) + g(5) toplamı kaçtır? A) B) C) D) E). LYS Z tam saılar kümesi olmak üzere, f : Z Z fonksionu,, ise f() = * +, $ ise biçiminde tanımlanıor. Buna göre, I. f bire birdir. II. f örtendir. III. f nin görüntü kümesi Z \ { } dır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III. LYS. LYS f : R R parçalı fonksionu +, rasonelse f() = *, rasonel de ilse biçiminde tanımlanıor. Buna göre, (fof) d n aşağıdakilerden hangisidir? A) v + B) v + C) D) 5 E) 7 Gerçel saılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksionu, her gerçel saısı için f() < f( + ) eşitsizliğini sağlıor. Buna göre, I. f() < f(5) II. f( ) < f() III. f() + f() <.f() ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 7
Fonksionlar.B.C.A.D 5.D 6.C 7.E 8.D 9.E.A.C.A.C.B 5.E 6.E 7.B 8.C 9.A.D.A.C.A.B 5.E 6.C 7.B 8.E 9.C.C.B.E.C.D 5.D 6.A 7.E 8.D 9.E.E.D.A.C 8
LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Limit. Kazanım : Bir bağımsız değişkenin verilen bir saıa aklaşmasını örneklerle açıklar.. Kazanım : Bir fonksionun bir noktadaki limiti, soldan limiti ve sağdan limiti kavramlarını örneklerle açıklar ve bir noktadaki limiti ile soldan, sağdan limitleri arasındaki ilişkii belirtir.. Kazanım : Limit ile ilgili özellikleri belirtir ve ugulamalar apar.. Kazanım : Fonksionların limitleri ile ilgili ugulamalar apar. 5. Kazanım : Genişletilmiş gerçek saılar kümesini belirtir, fonksionun bir noktadaki limitinin sonsuz olmasını ve sonsuzdaki limitini açıklar. 6. Kazanım : Trigonometrik fonksionların limiti ile ilgili özellikleri belirtir. 7. Kazanım : Belirsizlik durumlarını belirtir ve fonksionun belirsizlik noktalarındaki limitini hesaplar. 8. Kazanım : Bir dizinin limitini açıklar ve ugulamalar apar. 9. Kazanım : / a r n sonsuz geometrik dizi toplamının n = r < ise bir gerçek saıa aklaştığını, r ise bir gerçek saıa aklaşmadığını belirtir, aklaştığı değer varsa bulur. Süreklilik. Kazanım : Bir fonksionun bir noktadaki sürekliliği kavramını açıklar ve verilen bir fonksionun verilen bir noktada sürekli a da süreksiz olduğunu belirler.. Kazanım : Bir noktada sürekli olan fonksionların toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün sürekliliğine ait özllikleri ifade eder.. Kazanım : Fonksionun sınırlı olmasını açıklar, kapalı aralıkta sürekli fonksionların özelliklerini belirtir.
LİMİT Limit Özellikleri L + ε f() L = f() lim " a f() = L olmak üzere, lim " a g() = L ve L, L, c R L ε a δ a a + δ lim c = c " a Şekilde de görüldüğü gibi a a aklaştıkça, f() lim (() f " g()) = L " L " a de L e aklaşmaktadır. değişkeni bir a noktasına azalan değerlerle (ani sağdan) aklaştığında bir limiti varsa buna fonksionun sağdan limiti denir ve lim f() = L " a + biçiminde gösterilir. f ( ) L lim = g ( ) L " a,( L ) lim ( cf. ( )) = c. lim f( ) = cl. " a " a lim ((). f g()) = L. L " a değişkeni bir a noktasına artan değerlerle (ani soldan) aklaştığında bir limiti varsa buna fonksionun soldan limiti denir ve lim f() = K biçiminde " a gösterilir. lim f() = lim " a + " a lim f() lim " a + " lim " a a f() = L ise lim f() ise lim " a " a f() = L dir. f() oktur. f() = L ifadesinde L varsa tektir. Kritik Nokta f() = n g ( ), g( ) = ise kritik noktadır. f() = log a g(), g( ) = ise kritik noktadır. g ( ) f() =, h( ) = ise h ( ) kritik noktadır. f() = g(), g( ) = ise kritik noktadır. L = ise limit oktur denir ama lim " a f() = şeklinde azılır. h R + olmak üzere, lim f() = lim f(a + h) " a + h" lim " a f() = lim f(a h) h" Limit Hesaplanırken; o noktası belirsizlik aratmıor ve kritik nokta değilse, lim f() = f( ) dır. " noktası kritik nokta ise lim " f() ve lim + " f() bulunur. Bu değerler eşit ise limit vardır, eşit değil ise limit oktur.
a R ve a olmak üzere, a =, =, a " = " a a + =,. = a a a > ise ", " + a ", "", a. "" a ", " + a " ",, ifadeleri tanımsızdır. ",.,,, ifadeleri belirsizdir. " Trigonometrik Fonksionların Limiti lim sin = sin a " a lim cos = cos a " a lim tan = tan a, (cosa ) " a lim cot = cot a, (sina ) " a lim sin = lim = sin " " lim tan = lim = tan " " lim f( ) = olmak üzere, " a (. ( )).() lim sin mf mf m = lim = nf.() sin ( nf. ( )) n " a " a (. ( )).() lim tan mf mf m = lim = nf.() tan ( nf. ( )) n " a " a tan( mf. ( )) sin( mf. ( )) m lim = lim = sin ( nf. ( )) tan ( nf. ( )) n " a " a Belirsizliği Genellikle özdeşlikler kullanılarak çarpanlarına arılır ve gerekli sadeleştirmeler apılarak sonuç bulunur. Bunlar sağlanmıorsa türev konusunda anlatacağımız L HOSPİTAL öntemi kullanılır. Belirsizliği f() = a n n + a n n +... + a + a polinom fonksionunda, lim f ( ) f ( ) = lim ( a ) " " lim f ( ) = lim ( a ) dir. " " n n n an n + an + + a+ a = b + b m + + b + b m m m n n Z ], n< m ise ] an lim f( ) = [, n= m ise " ] bm ] vea, n> m ise \. Belirsizliği. belirsizlik durumunda, çarpanlardan birinin çarpmaa göre tersi padaa azılarak vea belirsiz- liklerinden birisi durumuna dönüştürülerek çözüm apılır. f() sınırlı bir fonksion ve lim g( ) = lim 6 f( ). g( ) @ = d r. " a Belirsizliği " a ise Bu tür belirsizliklerde, genellikle verilen ifade eşleniği ile çarpılıp bölünür. Daha sonra ugun limit kuralları ardımı ile çözülür. lim a b + b + c = lim c a. + m a " "
Belirsizliği lim " b a b + l = e ab. ab. lim ( + a) = e dir. " + b SÜREKLİLİK A R ve f : A R bir fonksion olsun. a R olmak üzere, lim f( ) = f( a) ise " a f fonksionu, = a noktasında süreklidir denir. Sürekli olmaan fonksiona ise süreksiz fonksion Bir Dizinin Limiti denir. (a n ) bir dizi olmak üzere, n için a n bir a saısına aklaşıorsa (a n ) dizisinin limiti a dır ve lim a n " n = a biçiminde gösterilir. f(), [, ) aralığında tanımlı bir fonksion ve (a n ), f fonksionu = a da sürekli ise; f fonksionu, = a da tanımlı olmalıdır. genel terimi a n = f(n) olan bir dizi olmak üzere, lim f( ) mevcut ise lim an = lim f( ) tir. n " n " " f fonksionunun = a da limiti olmalıdır. f fonksionunun = a daki limiti, fonksionunun Bir dizinin limiti bulunurken fonksion limiti ile ilgili kurallar anen kullanılır. = a için aldığı değere eşit olmalıdır. Geometrik Seri Genel terimi geometrik dizi olan bir serie geometrik seri denir ve Bu üç koşulun da gerçekleşmesi durumunda f fonksionu = a noktasında süreklidir. / a. r n şeklinde gösterilir. n = S n n r = a olmak üzere r < / n n= r ise a a = r / r ise a n n= =! / nr. n = dir. ( r < ) n = ^ rh