PERMUTASYON Pemutsyo, elli syıdki eselei i sı içeiside fklı şekillede düzelemesidi. Öek olk A, B, C gii üç kitp i ft kç fklı şekilde sılili? O A B C B C A C A B Olmk üzee ğç diygmı ile kolylıkl çözüleili. Ağç diygmıd okuck kümele şu şekilde sılı ABC ACB BAC BCA CAB CBA C B C A B A
Diğe i yötem ise kutu diygmı metodudu. Ptiklik çısıd u yötem dh kullışlıdı. Toplmd düşüüle f üç kitp lcktı, iici kitı y sold y otd yd sğd olmk üzee üç şekilde yeleştieiliiz. İkici kitı ise iici kitp ile ilikte iki fklı şekilde yeleştieiliiz. Biici ve ikici kitplı yeleştiilmelei soucud tek oş kl yee üçücü kitı yeleştieiliiz. Bu kutuldki fklı yeleştime syılıı çpımı ize toplm yeleştiileilme syısıı veecekti. = xx = 6
Çpım Pesii Eğe i işlem şekilde ypıliliyos ve u ypıldıkt so ikici i opesyo şeklide ypıliliyo ve u işlemle k ıcı opesyo kd öylece teklıyos, u işlemle toplm olk (...... k ) şeklide ypılili demekti. Öek. Alı plk umlıd üç hf ve tek heli iki syı ulu i ilde kç te plksı çıkılili? (Hf syısı lıck) xxx0x0=.800
Öek.,,, ve syılı veilmiş olsu. Buld heli kç syı yzılili? tek olmyck =... = 0 tek olili = 6
Pemütsyo Fomüllei Fktöyel (!) 7 kişi i sıd 7.6... 0 kitp i ft 0.9.8... cisim i sıd.(-).(-)... Şeklide sılili. Bu duumd fktöyel (!),!=.(-).(-)...=.(-)! Teoem: te esei vey syıı pemutsyou fktöiyeldi. P =! fklı esede tesii pemutsyou P olu.
Teoem : te ese içeiside kdıı pemutsyolı (tek olmmsı kydıyl) P =!/(-)! Öek. 7 fklı kitpt tesi i f kç fklı şekilde dizileili? 7 6 7.6. = 7 P = 7!/(7-)! = 0 Öek. İSTANBUL kelimeside hfli kç fklı kelime oluştuulili? 8P = 8!/(8-)! = 8.7.6.. =670
KOMBİNASYONLAR Öek. A, B, C ve D gii döt fklı kitpt tesii sısı düşüüleek vey sısı kmksızı kç şekilde seçeiliiz? Pemutsyou yi kitplı sılıı d göz öüe lımsı duumud P =!/(-)! = Sıı hes ktılmmsı duumud çok fklı i duum oty çıkmktdı. Bu duumd sdece mümkü olilecek döt duum vdı. ABC, ABD, ACD, BCD Bu duumd öeği ACB yi symıyouz. Çükü f yeleştiilme sısı öemli olmdığıd ABC ile uu yı kul ediyouz. Bu duumd yukıd sıl listedeki he seçime kitpt ü komisyou diyouz.
Komisyou şu şekilde gösteiyouz. ( ) C vey vey C C = Öemli Not (,) Pemutsyod he i elemı sısı syılı. Bşk i ifde ile pemutsyo fklı dizilimlei göz öüde uludu lt kümelede oluşu. Fkt komisyod sı syılmz, elemı o kümede ye lmsı yetelidi yi sdece elemı kümede olup olmdığıı göz öüde uludu sııldıılmış lt kümele topluluğudu. Pemutsyod içsel değişim vdı, m komisyod içsel değişim yoktu
N elemlı kümei sıy kılmksızı elemlı lt küme syısı C vey ( ), Öek: Bi {A, B, C, D} kümesii elemlı lt küme syısı edi? C = Komisyo-Pemutsyo İlişkisi Yukıd htılcğı gii A, B, C, D kitplıı -lü komisyou ABC, ABD, ACD, BCD olduğuu söylemiştik. Yie htılcğı gii he lü lt küme fklı şekilde olmk kydıyl! Şeklide düzeleeili. Böylece (!) pemutsyouu elde edeiz. C.!= P C.!=..
Teoem: syıd esei -li komisyolıı syısı C =!/!(-)! İspt: C.! = P =!/(-)! Fomülü ile pemutsyo ve komisyo sıdki ilişki veileilmektedi. İki tfı! ye ölümesiyle C =!/! (-)! C = P /! Olk elde edilecekti.
Öek: 00C = 00!/ (!. 98!) = (00. 99. 98!)/(!.98!) = (00.99)/ = 90 C =!/! (-)! = C =!/! (-)! = /0! = Teoem de çıkıl souç: ese içide - komisyolı syısı komisyolıı syısı eşitti. C - =( )!/! (-)! = ( ) - 9 9 ( ) = ( ) 0 0 ( ) = ( )
Öek. ktlık i iç oyuud ktlık kç fklı el seçileili? ( ) =!/(! 9!) = 6.0.9.600 Öek. evli çiftte kç fklı şekilde kişilik i komite seçili?. Hekes dy olili. Komite kdı ve ekekte oluşck şekilde c. Eğe eşle yı komitede olmzs kç fklı şekilde komite seçimi olu?. 8 8!!! 6
. kdı ( ) yi 6 fklı şekilde seçileili. Bulı heii içi ( ) ekekte ekek seçileili, yi fklı şekilde. Çpım pesiie göe ( ). ( ) =6x = c. Kı-koc çiftii seçmek içi, kl üyeyi de seçmek içi 6 yol vdı. Yi içide i kı-koc olck şekilde 6 x = fklı şekilde komite seçili. Bu syıyı toplm seçim syısı ol 6 d çıktısk, içide kı-koc olmyck şekilde komite seçim syısıı uluuz; 6- =
Pscl Kulı Olsılıkl kumıı çıkış edei, Pscl' kumz Chevlie de Mee tfıd zı soulı yöeltilmesiydi. E öemli göevi de elli iki kğıt oyuu oyuyodu. Bud tvl zlıı, şekillei yı ol yı ekli ilyelei öemi üyüktü. Bu ğlı olk, ülü Pscl üçgei doğdu. Pscl'ı u üçgei, dh soki yılld çok kullıldı. Özellikle sei çılımlı ve iom çılımı u yötemle kolylıkl uluu. Blise Pscl. 6-66 yıllı sıd yşmış Fsız düşüüü. Ayı zmd üyük i mtemtikçi ol, Toicelli deeyi üzeie esele yz ve i hesp mkiesi icd etmiş ol Pscl'ı temel esei ölümüde so yyımlmış ol Düşücele'di. O, 6 yılıd dii i tecüe yşmış, hytıı ud soki döemie, ilimsel çlışmlıd çok, di ve Tı kousudki göüş ve ttışmlı dmgsıı vumuştu. Bşk i deyişle Pscl deist i hümizmi, syoel i kuşkuculuğu ve özgü düşücei egeme olduğu i çğd ve toplumd, Tı'ı ve tısl kyı geekliliğiive gücüü gösteme çsı içide olmuştu. 6 yılıd Tité du tigle ithmétique (Aitmetik Üçgei Ypısı) isimli eseii yzk Pskl üçgei olk dldııl iom ktsyılıı ulmy yy yötemi geliştidi. Pskld yüzyıl öce çili i mtemtikçi, Qi hedıd ol Yg Hui, yı çlışmlı ypmıştı.
Teoem İspt: + esede te ese kısıtlmsız olk syıd seçim vei. Bu + ese içide elli i eseyi düşüelim. Bu ese seçimi içide olus geiye kl - ese toplm listede kl ese içide syıd seçili. Eğe u ese dışıd ıkılıs, geiye kl esede syıd ese syıd seçilidi. Toplm seçme syısı u ikisii toplmıd ietti çükü şk seçim mümkü değildi.
=, = içi..!.! 0 0 6 7 8 9 0 0 7 = 6, = içi 7.6..! (..).! 6 0 0 6 6 0 6 7 7 7 8 8 8 6 70 6 8 8 9 9 6 8 6 6 8 6 9 0 0 0 0 0 0 0
Hepsi Fklı Olmy Neselei Pemutsyou Bu duumd olilecek pemutsyo syısı zlcktı. A, B, C! = 6 fklı hfli kelime vei A, A, A Bi te hfli kelime vei AKSARAY kelimesideki hflei hepsi fklı olsydı 7 hfli 7! Kelime veecekti fkt u kelime içide te A v, ul fklı hfle olsydı ulı pemutsyou! Olcktı, fkt yı hfle olmsıd dolyı toplmd oluşck kelime syısıd! oıd zlm olmlıdı. X.! = 7! X = 7!/! = 80
! Teoem: Hepsi iiide fklı olmy eselei pemutsyou!!!... k!... k AKSARAY öeğide;, A=, K=,, S=,, R=,, Y= olcktı. Teoemi soucu: iki fklı ese içi pemutsyol, eğe i kümei syıd elemı syıd i cis ve - syıd şk i cis elemd oluşuyos ulı hepsii pemutsyou!!( )! Bilidiği gii!!( )! (! )!!
Öek. EQUATIONS kelimesideki hflede, sesli hfle yı sı içide (E, U, A, I, O) olmk ştıyl kç fklı 9 hfli kelime tüetileili? Çözüm. Sesli hflei iileie göe sısı değişmeyeceği içi seslile kedi lıd pemutsyo ypmz, ud dolyı yı hf kul edilile. Bu duumd polem 9 hfi i yı kul edileek pemutsyou ulmk şeklie döüşü. 9!!!!!! 0 Çözüm. Bu polemde 9 hfi 9 yei dolduck şekilde sılmsı isteiyo. Sesli hflei yelei C(9,) syıd seçileili. Bul seçildikte so seslile (e, u,, i, o) tek şekilde sılı. Sessiz hfle de kl yede! Şeklide sılı. Toplm sılm syısı 9 9!!! 9!!!! 0
BİNOM TEOREMİ İkili olililiği, olylı elili süedeki olililikleide i tesii k kee oty çıkmsı duumuu kç te olduğuu ulmy y Not: Olililik, olsılıklı oluşum tek syılıı ifde ede. Tm syıl ile ilgilidi. Fkt olsılık 0 ile sıd değişi. (+) 0 = (+) = + ) ( ) ( 6 ) ( Bu çılımlı çıktileceği fomül vey kul edi?,...,,...,,,,,,, Bu çılımlı ktsyılı ele olcktı?
0 6 0 0 6 6 0 6 7 7 7 8 8 8 6 70 6 8 8 (+), çılımıd değişkelei öüe gelecek ol ktsyıl iom teoemi yi Pscl üçgei ile kolylıkl uluilecekti ( ) 6,,,,,
Ptik yklşım: c 8 Buu lmı öeği i leti 8 kee ız ypmmsı ve kee ız ypmsı olililiğii (c) ulmmız y; 8!.!! 0 c 0 6 ) (
...! ) (...! ) ( ) (...... ) ( 0 0 Teoem: Biom Teoemi, pozitif i tmsyı ise
Bu duumd (+) 00 de olyıı 9 def yşm olililiği kçtı? c 9 c = 00!/(9!.!) c = 00.99.98.97.96.9!/(9!...) =...97.96 = 67600 Öek. (+x) ü çıız ( )!... (! )... Fomülüü kullısk
............ ) ( x x x x x = 6 + x + x + 8x + x Öek. (-x ) i çıız = ve = -x 0 8 6 0 80 80 0 0 ) ( 0 0 ) ( x x x x x x
Polem: 0... olduğuu gösteiiz Çözüm: Biom fomülü ütü ve değelei içi geçeli olduğud ( )... 0 Polem. (p+q) 7 i çılımıd p ve q u deecelei (üslei) e olu? Çözüm. üs içi + teim vdı. Bu yüzde k ıcı teim içi p ve q u teimleii vee fomülle şuldı p (-k+) ve q (k-)
Polem. (+x) 000 i çılımıd 00 ücü teim e olu? Çözüm. C(000, 99)x 99
İHTİMAL HESAPLARINA GİRİŞ Htılcğı gii ojektif yklşımd olyı oluşumu tecüe vey ilgi olk hehgi i müdhle ulummktdı. Bu p ve z tışlı e iyi öekle olk veileili. P tışıd yzı vey tu gelmesi ihtimli eşit kul edili. Ayı şekilde zd,,,,, 6 yüz ulumktdı. Z tışıd d hehgi i yüzde ulu syıı gelme ihtimli ütü yüzle içi eşit olmktdı. Z tıldığıd u syılı he ii eşit olsılıkt/ihtimlde geli. Buu ede öyle kul edeiz? Buu içi üç ede syılili Pı ve zı homojeliği kul edilmektedi. Ştl müdhle edeilme şsımızı olmmsıd Şu kd ypıl tecüelede uu eşit ihtimlde olduğu soucu ulşılmsıd.
İki p def tıldığıd şğıdki tlodki duuml oty çıkmktdı Duum İlk p İkici p Yzı Yzı Yzı Tu Tu Yzı Tu Tu Bu tloy göe eşit ihtimlli duum oty çıkıyo. İhtimlle teoiside he p tışıı ötekii soucud ğımsız olduğu kul edilmektedi.
Eşit ihtimlli duumlı söz kousu olduğu ll şuldı P tışı gii iiii etkilemeye souçl ship i oly duumud Deeysel duumlı kşılştımd i temel oty koymk içi (mesel yı temellee dylı modellei vediği souçlı kşılştıılmsı vey iki p tışıd. ve. ihtimli 00 p tışı içi kşılştıılmsıd) Duumlı eşit ihtimlli olmdığıı ildiğimiz olyld yeteli yklşık çözümle ulmk istediğimizde. Öekleme çlışmlıd (stgele syı üetme) ve diğe deey çlışmlıd tesdüfi öeklemeye ulşmd.
Deey kvmı: Bu kvm yzı-tu ve z tm gii olyl uygulildiği gii dh eligi ilimsel ve tıi deeyle içi de kullılmktdı. Deey yı zmd sım olk t ifde edileili. Dh öcede elitiğimiz gii i çok deeyi vey olyı değelediilmeside ihtiml hesplı kullılmktdı. Öek veecek olusk, 0 kişi içide kişiyi seçmek i deeydi ki C(0,) vey 060 fklı komisyo demekti (0 kişide he defsıd e kişi olk) Böyle i öeği tesdüfi olk seçmek demek, he i komisyou 060 d i şsı v demekti. İhtiml şsı i ölçüsü olk kul edilmesie ğme dh öcede epeyce hsedildiği gii elisizlikle içeiside öeklemele tıkç elililiğe yklşılmktdı.
P tışıd tu gelmesii ihtimli /di. Semolik olk ifde edecek olusk P(tu) = ½ Z tışıd olu yüzü gelme ihtimli P(üç) = /6 Yukıd veile öekte hsedile 0 kişide elli üç kişiyi (A, B, C) seçme ihtimli : P(A, B, C) = /060 Geel ifde: P( seçile) seçilesyı toplmsyı
Tif: Bi olyı ihtimli, Eğe i deey fklı ve eşit ihtimlli souç veiyos ve uld m tesi i A olyı tekül ediyos, A ı ihtimli m A P ) ( A ı değilii olk lımsı duumud A ) ( ) ( A P m m A P A ve ı ğıl şslı A lehie şsl olk ifde edili. A m m A P A P Alehieşsl ) ( ) (
P()=/6 P(>)=/6=/ P(<)=/6=/ P(tek)=/6=/ P(çift)=/6=/ Öek: yüzü kımızı, yüzü yeşil i küp tıldığıd kımızı lehie şs / di. İki souçlu i deeyde eğe A olyı lehie şsl / ise P( A), P( A) Öek. Bi z tıldığıd ) gelmesi ihtimli, ) de üyük gelmesi, c) te küçük gelmesi, d) tek syı, e) çift syı gelmesi ihtimli edi?
İSTANBUL kelimeside tesdüfi olk i hf seçilise Sesli hf olm ihtimli ( P(sesli)=/8) Sessiz hf olm ihtimli ( P(sessiz)=/8) M hfii olm ihtimli ( P(M)=0/8)
Süekli Akıld Tutulmsı Geekli Kull Kıscsı ihtiml (olsılık), göz öüde tutul öğe syısıı toplm öğe syısı oı şeklide ifde edilmektedi. Bu tım çeçeveside geçeli kull; İhtiml değei sl egtif olmz İhtiml değei i o olduğud u değe sıfı ile i sıddı (0 P(A) Bi kümei öğeleii ihtiml toplmı e eşitti. Yi temel kümei ihtimli e eşitti (P(S)=)