- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle açıklar. denklemlerinin gerçek sayılar kümesindeki çözümü araştırılır. denklemlerinin gerçek sayılar kümesindeki çözümü araştırılır. Not: İkinci dereceden denklemlerin çözümünde Δ<0 olduğunda denklemin gerçek kökü yoktur. Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. Albert EINSTEIN t, 1995 2000 yılları arasındaki zaman aralığını göstermek üzere, bir cep telefonu şirketinin bir ülkede 1995 2000 ğını göstermek üzere, bir cep telefonu şirketinin bir ülkede 1995 2000 yılları arasındaki yıllık satış tutarı A= t 2 + 3t + 100, 0 t 10 biçiminde verilmektedir. Bu modele bağılı olarak, (A milyon TL) a) Satışların hangi yıllar içinde 90 milyon TL ye ulaştığını, b) Satışların hangi yıllar içinde 110 milyon TL ye ulaştığını bulunuz. Çözüm : a) 90 = t 2 + 3t + 100 t=5 olur. 1995 yılı b) 110 = t 2 + 3t + 100 Δ<0 olur. Hiçbir zaman Kazanım 2 : Sanal birimi ( sayısı) belirtir ve bu sayının kuvvetlerini hesaplar. Tanım: Karesi 1 olan sayıya sanal sayı birimi denir. ile gösterilir. Şeklinde ifade edilir. Aşağıdaki işlemler yaptırılır. a) b)
- 2 - Not : ü Aşağıdaki tablo doldurulur. Kazanım 3 : Karmaşık sayıyı,standart biçimini, gerçek kısmını, sanal kısmını açıklar ve iki karmaşık sayının eşitliğini ifade eder. Tanım : ( Karmaşık Sayılar ) : ü Biçimindeki sayılara karmaşık ( kompleks ) sayı denir. Karmaşık sayılar C ile gösterilir. { Karmaşık sayının standart biçimi Reel (Gerçek) Kısmı Sanal (İmajiner) Kısmı Analitik Gösterimi Re(Z)= a İm(Z)= b (a,b) Örnekler : Tabloyu doldurunuz. Karmaşık sayı Reel Kısmı Sanal Kısmı Analitik Gösterimi Not : n N olmak üzere { ise ise olmak üzere Not : Her reel sayı, sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıdır. O halde R C C=R {i}
- 3 - Tanım : (İki Karmaşık Sayının Eşitliği ) : Reel ve sanal kısımları karşılıklı birbirine eşit olan iki karmaşık sayı eşit iki sayıdır. olmak üzere, x ve y reel sayılar olmak üzere ise KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ ve MUTLAK DEĞERİ Tanım : ( Eşlenik ) : karmaşık sayısının eşleniği sanal kısmının işaretinin değişmesi ile bulunur. ile gösterilir. x ve y reel sayılar olmak üzere Kazanım 4 : Karmaşık düzlemi açıklar ve verilen bir karmaşık sayıyı karmaşık düzlemde gösterir. KARMAŞIK DÜZLEM karmaşık sayısı analitik düzlemde sıralı ikilisine karşılık gelir. Tanım : ( Modül ) : Karmaşık düzlemde ; bir z karmaşık sayısına karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına, bu karmaşık sayının mutlak değeri veya modülü denir. z ile gösterilir. Bu ikililerden oluşan düzleme Karmaşık Düzlem denir. Aşağıdaki karmaşık sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz. Aşağıdaki tabloyu doldurunuz. Karmaşık sayı Reel Kısmı Sanal Kısmı Modülü Eşleniği Eşleniğinin Modülü Kazanım 5 : Bir karmaşık sayının eşleniğini ve modülünü açıklar, karmaşık düzlemde gösterir. ise z nin modülünü hesaplayınız.
- 4 - Kazanım 6 : Karmaşık sayılarda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümü yapar. Not : ikinci dereceden gerçek katsayılı bir bilinmeyenli denkleminde ; olmak üzere ise denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır. Bu kökler ise Ç=? ise Ç=? Not : Katsayıları, karmaşık sayı olan ikinci derecen denklemin kökleri birbirinin eşleniği olmaya bilir. Kazanım 7 : Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini ve geometrik yorumlarını yapar, toplama işleminin özelliklerini gösterir. ile bulunur. KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA ve ÇIKARMA İŞLEMLERİ ise denklemin birbirine eşit iki reel kökü vardır. Bu kökler ile bulunur. İle tanımlıdır. } ise denklemin reel kökü yoktur. Karmaşık sayılı iki kökü vardır. Bu kökler Aşağıdaki tabloyu doldurunuz. ile bulunur. denkleminin çözüm kümesini bulunuz, köklerini karmaşık düzlemde gösteriniz. Not : İkinci dereceden bir bilinmeyenli gerçek katsayılı bir denklemin köklerinden biri ise diğer kök dir. Not : Kökler toplamı T, Kökler çarpımı Ç olan ikinci dereceden gerçek katsayılı bir bilinmeyenli denklemi x 2 Tx + Ç = 0 ile buluruz. Köklerinden biri olan ikinci dereceden gerçek katsayılı denklemi yazınız. Köklerinden biri olan ikinci dereceden gerçek katsayılı denklemi yazınız. Özellikler : ( Toplama İşlemi ) : 1) İki karmaşık sayının toplamı yine bir karmaşık sayıdır. 3) 4) Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı 0 (sıfır) dır. 5) nin toplama işlemine göre tersi dir.
- 5 - Kazanım 8 : Karmaşık sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini yapar, çarpma işleminin özelliklerini gösterir. KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ } Özellikler : ( Çarpma İşlemi ) : 1) İki karmaşık sayının çarpımı yine bir karmaşık sayıdır. 3) 4) Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 dir. İle tanımlıdır. 5) nin çarpma işlemine göre tersi dir. Ve Örnek: Aşağıdaki tabloyu doldurunuz. Karmaşık Sayı 6) Dağılma özelliği bir kökü ise k=? denkleminin KARMAŞIK SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ } ( ) İle tanımlıdır. Pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. ( )
- 6 - Kazanım 9 : Eşlenik ve modül ile ilgili özellikleri gösterir. EŞLENİK ve MODÜL İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER 1) ( ) 3) 4) ve 5) 6) 7) ve ( ) ( ) Kazanım 10 : Karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı açıklar ve karmaşık sayı ile çember ilişkisini belirtir. İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK bulunuz. Çözüm : Not : } sayıları arasındaki uzaklığı } ( ) ( ) a) b) c) d)? e) ( ) ( ) } verilsinler. } İki karmaşık sayı arasındaki uzaklık; için Bağıntısının belirttiği doğru denklemini bulunuz. Not : yerine yaz x=y bulunur. eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayıların karmaşık düzlemde görünü bulunuz. Not : x>y bulunur. ise Çözüm : çarpanlarına ayır.
- 7 - KARMAŞIK SAYI İLE ÇEMBER ARASINDAKİ İLİŞKİ eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayıların kümesini bulunuz. eşitliğini sağlayan karmaşık sayıların modülü en küçük ve en büyük olanların modüllerini bulunuz. Z 2 Bu denklem merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemidir. eşitliğini sağlayan karmaşık sayıların geometrik yerini gösteriniz. Not : a) eşitliği, merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemidir. b) eşitsizliği, merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesidir. c) eşitsizliği, merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çemberin dış bölgesidir. olur.dolayısıyla En küçük z nin modülü br En büyük z nin modülü br olmak üzere eşitliğini sağlayan karmaşık sayıların geometrik yerini gösteriniz. { kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. eşitliğini sağlayan karmaşık sayıların geometrik yerini gösteriniz.
- 8 - KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ BAZI ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER 7) 8) 9) 10) olmak üzere, Cevap : her iki tarafın karesini al. DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR 11) 1 13) 30 0 45 0 60 0 DERECELİK AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI TOPLAM FARK VE YARIM AÇI FORMÜLLERİ Sin Cos Tan Cot 30 0 45 0 60 0 BİRİM ÇEMBER YARIM AÇI FORMÜLLERİ Sin Cos Tan Cot 0 0 90 0 180 0 270 0 360 0 UYGULAMALAR 1) 3) 4) 5) 6) UYGULAMALAR 1) 3) 4) 5) 6) 7)
- 9 - Kazanım 1 : Bir noktanın Kartezyen koordinatları ile kutupsal koordinatları arasındaki bağıntıları bulur, standart biçimde verilen bir karmaşık sayının kutupsal koordinatlarını belirler ve karmaşık düzlemde gösterir. Standart biçimde verilen karmaşık sayı r nin Bulunması Açısının Bulunması Düzlemd e Gösteril mesi Karmaşık Sayının Kutupsal Biçiimi KUTUPSAL KOORDİNAT SİSTEMİ ve KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ sayını karmaşık düzlemde P noktası ile gösterelim. [OP ışınının x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının esas ölçüsü olsun. Olur ki P Özel olarak ile gösterilir. karmaşık sayısını ikilisi ile gösteriniz. Tanım : karmaşık sayısının biçiminde yazılışına, z karmaşık sayısının kutupsal biçimi denir. ve olmak üzere [ ] Biçiminde yazılır. z nin argümenti : Aşağıdaki karmaşık sayıları analitik düzlemde gösteriniz kutupsal biçime çeviriniz. 1) 3) 4) Aşağıda Kutupsal Koordinatları verilen karmaşık sayıları standart biçimde yazınız. 1) 3) 4) Aşağıda grafiği verilen karmaşık sayıları standart biçimde ifade ediniz. 1) İkinci bölgede 3) Üçüncü bölgede 4) Dördüncü bölgede 5) y ekseninin negatif tarafında 6) y ekseninin pozitif tarafında denir. açısına esas argüment
- 10 - KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ ile sayıları x-eksenine göre simetriktir. O halde UYGULAMALAR 1) Kutupsal koordinatları olan karmaşık sayının imajiner kısmı kaçtır? olduğuna göre sayısını kutupsal biçimde yazınız. 3) olduğuna göre 4) olduğuna göre ( ) kutupsal biçimini yazınız. 5) olduğuna göre karmaşık sayısının esas argümenti kaç derecedir? 6) şeklinde verilen karmaşık sayının modülünü ve esas argümentini bulunuz. 7) Aşağıdaki karmaşık sayıların esas argümentlerini bulunuz. Kazanım 2 : Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayı arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapar. KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM TOPLAMA ÇIKARMA İŞLEMLERİ Kutupsal biçimde verilmiş iki karmaşık sayının toplamını ( farkını ) bulmak için, bu sayıları önce standart biçimine dönüştürmek gerekir. Dönüşüm sonunda iki karmaşık sayı toplanır. ( çıkarılır.) UYGULAMALAR Not: 1) olarak verilsinler. olduğuna göre karmaşık sayısını bulunuz. olarak verilsinler. 3) Olmak üzere, işlemlerini yapınız. a) b) c) d) e) sayıları için a) b) karmaşık
- 11 - ÇARPMA İŞLEMİ } Kazanım 3 : Bir karmaşık sayının orijin etrafında pozitif yönde açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayıyı bulur. 3 ORİJİN ETRAFINDA DÖNME noktasını orijin etrafında, orijine olan uzaklığı değiştirmeksizin açısı kadar döndürerek noktasını elde edersek; 2 70 0 10 0 Verilenlere göre BÖLME İŞLEMİ } olarak verilsin. olur. karmaşık sayının orijin etrafında pozitif yönde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen noktanın koordinatlarını bulunuz. noktasının orijin etrafında pozitif yönde 75 0 döndürülmesiyle elde edilen noktanın koordinatlarını bulunuz. 30 0 8 2 30 0 z karmaşık sayısı için olduğuna göre, z nin orijin etrafında pozitif yönde 60 0 döndürülmesiyle oluşacak karmaşık sayı nedir? (standart) Verilenlere göre 4 50 0 z olmak üzere Z karmaşık sayısının pozitif yönde 100 0 döndürülürse hangi noktaya gelir. ( standart koordinat )
- 12 - Kazanım 4 : De Moivre kuralını ifade eder ve kutupsal koordinatlarda verilen bir karmaşık sayının kuvvetlerini belirler. BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ ( DE MOİVRE ) için; olur. Yani olmak üzere karmaşık sayıyı bulunuz. UYGULAMALAR 1) 3) ( ) 4) 5) 6) ( ) } } 7) Grafikte verilenlere göre; olmak üzere, De Moivre formülü kullanarak karmaşık sayıyı bulunuz. olmak üzere, karmaşık sayısını bulunuz. 6 60 0 4 2 30 0 KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYININ ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ a) b) c) ( ) 8) Grafikte verilenlere göre Not : 2 4 ( ) olmak üzere bölme işlemini yapınız. Çözüm :
- 13 - Kazanım 5 : Verilen bir karmaşık sayının dereceden köklerini belirler, kareköklerini ve küp köklerini bulur, karmaşık düzlemde gösterir ve geometrik olarak yorumlar. KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ [ ] karmaşık sayısı verilsin. ise w nin kökleri; ( [ ]) [ ] k=0 için ve k=1 için Bulunurlar. [ ] olduğuna göre karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Not : olsun. 1) için karmaşık sayısının kökleri karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz. Karmaşık düzlemde gösteriniz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz. ise Ç=? Tanım : bir karmaşık sayı olsun. denkleminin çözümü olan karmaşık sayılara z nin n. dereceden kökleri denir. [ ] ile bulunur. karmaşık sayısının küpköklerini bulunuz. Karmaşık düzlemde gösteriniz. karmaşık sayısının köklerini karmaşık düzlemde gösteriniz. kümesini bulunuz. denkleminin çözüm karmaşık sayısının küpköklerini bulunuz ( ) için ile bulunur. ( )