HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere, b) Kest tesr-şekldeğştrme bağıtılarıa ϕ ε t = + d = + ε t v T = GF c) Geometrk uyguluk şartlarıa (sürekllk deklemler) htyaç vardır. Dış etkler: Br hperstatk sstemde kest zoru, şekldeğştrme ve yerdeğştrme meydaa getre dış etkler şulardır; a) Dış Yükler b) Sıcaklık değşmes Uform sıcaklık değşmes (t) Farklı sıcaklık değşmes ( t) c) eset Çökmeler Taım: esetlerde meydaa gele ve mesed taımıa uymaya yerdeğştrmelerdr. ϕ d) Rötre (-ısı) e) Đlkel kusurlar f) Ö germe kuvvetler u,v : Doğrulsal (leer) meset çökmeler, ϕ : Açısal meset çökmes Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk /KuvYö-
Đzostatk sstemlerde sıcaklık değşmes, rötre, lkel kusurlar ve meset çökmelerde dolayı kest zoru meydaa gelmedğ halde hperstatk sstemlerde bu etklerde dolayı kest zorları meydaa gelr. Hperstatk sstemlerde hesap yötemler. Kuvvet Yötem (sürekl krşlerde Clapeyro Deklemler). Deplasma yötemler : Açı Yötem Cross Yötem Ka Yötem Sabt oktalar Yötem 3. Başlagıç değerler yötem (Travers Yötem) KUVVET YÖTEĐ Taımlar Đzostatk esas sstem: Br hperstatk sstemde kesmler yapılarak bazı kest zorları ve/veya meset tepkler kaldırılması le elde edle taşıyıcı zostatk ssteme der. Br hperstatk sstemde çok sayıda zostatk sstem elde edleblr. Hperstatk blmeye, hperstatklk dereces: Hperstatk sstemde yapıla kesmlerle kaldırıla kest zorları ve/veya meset tepklere Hperstatk Blmeye, buları sayısıa se hperstatklk dereces der. Hperstatklk dereces, br hperstatk sstem hesaplaablmes ç dege deklemlere lave edlmes gereke deklem sayısıı vermektedr. Uygulama: Hperstatk Sstem Đzostatk Esas Sstem Hperstatklk Dereces : Hperstatk Blmyeler:, Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk /KuvYö-
Hperstatk sstemler hperstatk blmeyeler tpe göre sııfladırılması Dışta hperstatk sstem; Br hperstatk sstem zostatk hale getrmek ç yalız meset tepkler kaldırılması yeterl oluyorsa böyle ssteme dışta hperstatk sstem der. Dışta hperstatk sstemler zostatk hale getrmek ç meset tepks ve/veya kest zoru kaldırılablr. Kest zoru kaldırılması halde hperstatk blmeye zıt yölü çft momet ve/veya çft kuvvettr. dışta hperstatk Dışta Hperstatk r ; meset tepks sayısı, ç; çubuk sayısı d; düğüm oktası sayısı olmak üzere hperstatklk dereces; = r + ç d blmeyeler dege deklemler r=4, ç=, d=7 =4+-*7= (dışta hperstatk) Đçte hperstatk sstem Đzostatk esas sstem Đzostatk esas sstem Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk 3/KuvYö-
Br hperstatk sstem zostatk hale getrmek ç mutlaka kest zoru kaldırmak gerekyorsa böyle ssteme çte hperstatk sstem der. Đçte hperstatk sstem Đzostatk esas sstem Đçte ve dışta hperstatk sstem Br hperstatk sstem zostatk hale getrmek ç hem kest zoru hem de meset tepks kaldırmak gerekyorsa böyle ssteme çte ve dışta hperstatk sstem der. Bu tür sstemlerde e az çte hperstatklk dereces kadar kest zoru kaldırılmalıdır. Dışta zostatk esas sstem Đçte Hp. Ss. Kuvvet Yötem dayadığı k öeml kavram söz kousudur. Süperpozsyo Presb Hperstatk sstemde dış etklerde meydaa gele kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler; Đzostatk esas sstemde a)dış etklerde b) hperstatk blmeyelerde oluşa kest zorları, sekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler toplamıa eşttr. Sürekllk Deklemler Hperstatk blmeyeler, sstem kesm yapıla oktalarıdak geometrk uyguluk şartlarıı fade ede deklemlerde yararlaarak belrler.. Uygulama: Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk 4/KuvYö-
- Süperpozsyo kuralı: Dış yükler Yüklemes Yüklemes -Geometrk uyguluk koşulları: Verle hperstatk sstem mesetlerdek geometrk uyguluk şartları : A meseddek döme sıfırdır. ϕ A =, B meseddek yatay yerdeğştrme sıfırdır. B = Hperstatk sstem hesaplaablmes ç, hperstatk blmeyeler belrlemes gerekldr. Bu blmeyeler hesaplaması ç A ve B mesetlerde yukarıda fade edle (ϕ A =, B =) geometrk uyguluk şartlarıda yararlaılır. A meseddek döme B meseddek yatay hareket ϕ A B ϕ A Hperstatk sstem yerdeğştrmeler ; j Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk 5/KuvYö-
Yer ede = Durumu = Durumu = Durumu Kest Zorları :,, T,, T,, T Yerdeğştrmeler :,,, Dış yük durumu = Durumu = Durumu (= durumu) Hperstatk sstem mesetlerdek geometrk uyguluk şartları (Sürekllk deklemler) : ϕ A =, B = dır. Bu deklemler zostatk esas sstemdek yerdeğştrmeler (,,,,, ) ve hperstatk blmeyeler (, ) csde süperpozsyo presb kullaılarak yazılablr. Sürekllk Deklemler : ϕ = A B = + + + + = = Đzostatk esas stemdek,,,,, yerdeğştrmeler Vrtüel Đş Teorem le hesaplaarak yukarıda verle deklem takımı çözülür ve, hperstatk blmeyeler buluur. Bu blmeyeler hesapladıkta sora süperpozsyo deklemler kullaılarak hperstatk sstem,, T kest zorları elde edlr. Süperpozsyo Presb Hperstatk sstem,, T Kest Zorları = + + = + + T = T + T + T Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk 6/KuvYö-
Brm yüklemeler = Yüklemes : Đzostatk esas ssteme (.e.s) yalız dış yükler etktlr. Bu durumda meydaa gele kest zorları,, T le gösterlr. = Yüklemes : Đzostatk esas ssteme yalız hperstatk blmeye brm değer etktlr. Bu durumda meydaa gele kest zorları,, T le gösterlr. Br hperstatk sstem hesabıda hperstatklk dereces kadar (=,,3,...,) brm yükleme yapılır. Geel Süperpozsyo Deklemler Hperstatk sstemde dış etklerde meydaa gele büyüklükler (kest zorları, meset tepkler, yerdeğştrmeler v.s.) Đzostatk esas sstemde dış etklerde ve hperstatk blmeyelerde meydaa gele büyüklükler toplamıa eşttr. (=,,3,..),, T, R,, T, R Hperstatk blmeyeler = yüklemesde meydaa gele kest zorları ve meset tepkler = yüklemesde meydaa gele kest zorları ve meset tepkler olmak üzere. derecede hperstatk sstem ç süperpozsyo deklemler; = = T = T R = R + + + T + R + T + + R + + + + + + + T + + R Olarak yazılır. Dış etklerde Hperstatk blmeyelerde Geometrk uyguluk şartları (sürekllk deklemler) Hperstatk sstem kesm yapıla oktalarıdak geometrk uyguluk şartlarıı fade ede deklemlere sürekllk deklemler delmektedr. Br hperstatk sstemde hperstatklk dereces kadar sürekllk deklem yazılablr. Sürekllk deklemler yazılması ç Vrtüel Đş Teoremde yararlaılır. Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk 7/KuvYö-
() Sayılı Sürekllk Deklem Yazılması Sstemde dış etk olarak yalız dış yükler buluması hal. ( sıcaklık değşmes ve meset çökmeler yok) = Hperstatk Sstem (Vrtüel Şekldeğştrme Durumu) Hperstatk Sstem (Dış Yükler) Đzostatk Sstemde = Durumu (Yükleme Durumu) Đzostatk Esas Sstem ( = Durumu) Kest Zorları: Şekl Değştrmeler:,, T,, T ϕ = = v T = GF Vrtüel Đş Teorem: Đç Kuvvetler Đş = Dış Kuvvetler Đş + + TT = ( =,,3,...) GF Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk 8/KuvYö-
Kapalı sürekllk deklemler,, T süperpozsyo deklemlerdek fadeler yere koarak deklem yede düzelerse, ( + + + + ) + ( + + + + ) + T ( T + T + T + + T ) = GF + + TT + GF + + + + + + TT + + TT = GF GF ( =,,3,...) + + + + = ( =,,...) Bu deklem sstem =,... ç açık olarak yazılırsa açık sürekllk deklem elde edlr. + + + + + + + + + + + + = = = Açık sürekllk deklem Açık sürekllk deklemde katsayılar ve sabtler: j : j = yüklemesde dolayı blmeye uygulama oktasıı blmeye doğrultusudak yerdeğştrmesdr. Bu katsayılar deklem takımıı katsayıları adıı alır. = j j + j + TT j GF Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk 9/KuvYö-
Bett karşıtlık teorem gereğce j = j bağıtısı vardır. Bua göre. Derecede hperstatk br sstem hesabıda tay edlmes gereke katsayıları sayısı yere ( + ) olmaktadır. : = yüklemesde dolayı blmeye uygulama oktasıı blmeye doğrultusudak yerdeğştrmesdr. Bu katsayılar deklem takımıı yük sabtler adıı alır. = + + TT GF. Derecede hperstatk br sstem hesabıda tay edlmes gereke yük sabtler sayısı ( ) dr. Uygulamada geellkle uzama ve kayma deformasyoları eğlme deformasyou yaıda hmal edlr. Bu durumda j, katsayıları daha bast br şeklde fade edleblr. j = j, = Uygulama: 3. Derecede hperstatk br sstemde açık sürekllk deklemler: 3 + 3 + + + + 3 + + 3 3 33 3 + + 3 3 = = = Hesaplaması gereke toplam 9 adet term vardır 3 Katsayılar: ( + ) = (3 + ) = 6 adet, =, 3 = 3,, 3 = 3, 33 Yük Sabtler : =3 adet,, 3 Kafes sstemler Kafes sstemlerde T olduğu ç sadece ormal kuvvetler (çubuk kuvvetler) sözkousudur. S S ĐES de = yüklemesde meydaa gele çubuk kuvvetler ĐES de = yüklemesde meydaa gele çubuk kuvvetler olmak üzere, j, katsayıları aşağıdak gb yazılablr. j = çubuk S S j l = SS çubuk l Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk /KuvYö-
Hesapta zlee yol. Đzostatk esas sstem seçlr, hperstatk blmeyeler belrler.. = yüklemes yapılır,, T dyagramları çzlr. (Uzama ve kayma deformasyoları terk edlmes durumuda, T dyagramlarıı çzlmese gerek yoktur) 3. = yüklemeler yapılarak,, T dyagramları çzlr. Bu şlem =,,... kez tekrarlaır. (Uzama ve kayma deformasyoları terk edlmes durumuda, T dyagramlarıı çzlmese gerek yoktur) 4. Deklem takımıı j katsayıları ve yük sabtler hesaplaır. Bu termler hesabı ç çarpım tablolarıda yararlaılır. Uygulamada, paydada yer ala çarpaıı kaldırmak ç deklem takımıı bütü termler c le çarpılarak j ve yere c j ve c termler hesaplaır. I c I c c j = j +, c + I = I Burada I c herhag br atalet mometdr. Geellkle çubukları atalet mometler e küçük ortak katı olarak seçlr. 5. Deklem takımı kurulur ve çözülerek,,... hperstatk blmeyeler belrler. 6. Kest zorları dyagramları çzlr. Bu şlem ç k yolda yararlaılablr. a) Süperpozsyo deklemler le: = + + +... b) Dış yükler ve hperstatk blmeyeler zostatk esas steme yükleerek 7. Souçlar kotrol edlr. Buu ç Kapalı Sürekllk Deklemler (KSD) kullaılır. Hperstatk sstem,, T dyagramlarıı + + TT = ( =,,3,...) GF kapalı sürekllk deklemler %.5-%. rölatf hata le sağlaması gerekmektedr. Uzama ve kayma deformasyoları terk edlyorsa = ( =,,3,...) yazılması yeterldr. Bu kotrol adet kapalı sürekllk deklem ç tekrar edlmeldr. ( + )Termler Toplamı ( )Termler Toplamı Rölatf Hata = ( + ) ve (-) Termler Toplamlarııı Ortal ması Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk /KuvYö-
Đzostatk esas sstem seçlmesde dkkat edlecek oktalar Br hperstatk sstemde çok sayıda esas sstem seçleblr. Buu yaparke dkkat edlecek e öeml okta seçle sstem oyak olmamalıdır.. Đçte hperstatk sstemlerde mutlaka kest zoru kaldırılmalıdır.. Đçte ve dışta hpersatak sstemlerde e az çte hperstatklk dereces kadar ç kuvvet kaldırılmalıdır. 3. Kest zorlarıı kaldırılması halde brm yüklemeler zıt yölü çft momet veya çft kuvvettr. 4. = ve brm yükleme dyagramları kolay çzleblmel, sstem üzerde dallamamalı ve ordatları brbrde çok farklı olmamalıdır. Đzostatk esas sstem bast krş, bast çerçeve veya buları brleşmesde oluşa br sstem olması sağlamalıdır. Üç mafsallı çerçeve, gerber krş gb ve dyagramları daha zor çzle sstemlerde kaçıılmalıdır. Bazı özel haller dışıda geel olarak büyük kosollu sstemlerde kaçıılmalıdır. Özel Hal: Örekler: Hperstatk Sstem Đzostatk Esas Sstem Oyak Đy Đy değl Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk /KuvYö-
Örekler: Dışta hperstatk Oyak Đy değl y Oyak Đy değl Đy Đy değl Đçte Dışta Hperstatk sstem Oyak Đy değl Đy Yapı Aablm Dalı Yapı Statğ Çalışma Grubu Prof.Dr. Sumru Pala Y.Doç.Dr. ect Çelk 3/KuvYö-