ÜN TE I A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I B) ÜSLÜ SAYILAR a) Bir Tam Say n n Negatif Kuvveti b) Tekrarl Çarp mlar Üslü Say Olarak Yazma c) Üslü Say larla Çarpma ve Bölme fllemleri ç) Bilimsel Gösterim ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-II C) H STOGRAM a) Histogram Oluflturma ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-III 1
BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda; * Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla edebilecek, çizebilecek ve bu örüntülerden fraktal olanlar belirleyebilecek, * Koordinat düzleminde bir çokgenin eksenlerden birine göre yans ma, her hangi bir do ru boyunca öteleme ve orijin etraf ndaki dönme alt ndaki görüntülerini belirleyebilecek, * fiekillerin ötelemeli yans mas n belirleyebilecek ve infla edebilecek, * Bir tam say n n negatif kuvvetini belirleyebilecek ve rasyonel say olarak ifade edebilecek, * Ondal k kesirlerin veya rasyonel say lar n kendileriyle tekrarl çarp m n üslü say olarak yazabilecek ve de erini belirleyebilecek, * Üslü say larla çarpma ve bölme ifllemlerini yapabilecek, * Çok büyük ve çok küçük pozitif say lar bilimsel gösterimle ifade edebilecek, * Histogram oluflturabilecek ve yorumlayabileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? Bu bölümü kavrayabilmek için; * Aç klamalar dikkatle okuyunuz * Örnekleri dikkatlice inceleyiniz ve 8. s n f matematik ders kitaplar ndan çözülmüfl örnekleri anlamaya çal fl n z. * Uyar lar dikkate al n z. * Konularla ilgili de iflik kaynaklardan sorular çözünüz. * Çözemedi iniz sorular için çevrenizdeki bilenlerden yard m al n z. 2
ÜN TE I FRAKTALLAR Do ru, çokgen ve çember modelleri hal, kilim ve duvar ka d desenleri oluflturmada s kça kullan l r. Afla da verilen kilim desenini oluflturan flekillerdeki örüntüler nelerdir? Afla da bir eflkenar üçgenin kenarlar n n örüntü modeli verilmifltir. nceleyiniz. 1 2 oran nda küçültülmesiyle oluflturulan Bir fleklin orant l olarak küçültülmüfl yada büyütülmüflleri ile infla edilen örüntüler fraktal olarak adland r l r. 3
Afla da bir fraktal örne i verilmifltir. 1. flekilde bir eflkenar üçgen çizilmifltir. Bu üçgenin her kenar üç efl parçaya ayr l p her birinin ortas ndaki parçadan d flar do ru bakan eflkenar üçgen çizilmifltir. Bu ifllem devam ettirildi inde 3. flekil, ve 4. flekil elde edilir. 1. şekil 2. şekil 3. şekil 4. şekil Bir çember çizilir. Çember üzerinde eflit aral klarla 12 nokta belirlenir. Noktalar üçer üçer birlefltirilerek eflkenar üçgenler oluflturulur. Afla da verilen fraktal örneklerini inceleyiniz. 4
ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki örüntü devam ettirildi inde oluflan flekli aç klay n z. 2. Afla daki flekillerin efl ve benzerlerini kullanarak farkl örüntüler oluflturunuz. Bu örüntülerden fraktal olanlar belirleyiniz. 3. Afla daki fraktal örne ini bir ad m daha devam ettiriniz. 5
MATEMAT K 8 4. Afla da verilen fraktallar n nas l elde edildi ini aç klay n z. 5. Do ada bulunan fraktallardan örnekler bulunuz. YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER Afla da verilen flekillerdeki yans malar inceleyiniz. 6
Köfle noktalar n n koordinatlar K (1, 3), L (2, 1) ve M (4, 2) olan KLM üçgenini koordinat ekseninde çizelim. Daha sonra KLM üçgeninin x eksenine göre yans mas n çizelim. K, L ve M noktalar n n x eksenine göre yans malar K (1, -3), L (2, -1) ve M (4, -2) dir. Her iki fleklin koordinatlar aras ndaki iliflkiyi inceleyelim. K (1, 3) K (1, -3) L (2, 1) L (2, -1) M (4, 2) M (4, -2) Köfle noktalar n n koordinatlar verilen bir fleklin x eksenine göre yans mas alt ndaki görüntüsü bulunurken fleklin ordinat (-1) ile çarp l r. Bu durum cebirsel olarak (x,y) (x,-y) fleklinde gösterilir. Köfle noktalar n n koordinatlar verilen bir fleklin y eksenine göre yans mas alt ndaki görüntüsü bulunurken fleklin apsisi (-1) ile çarp l r. Bu durum cebirsel olarak (x,y) (-x, y) fleklinde gösterilir. 7
Afla daki flekilde verilen KLMN dörtgeninin y eksenine göre yans mas ile PRST dörtgeninin kesifliminin alan kaç birimkaredir? ÇÖZÜM Kesiflimleri afla da görüldü ü gibi kenar uzunluklar 2 birim ve 4 birim olan dikdörtgendir. Alan = 4.2 = 8 birimkare olarak bulunur. 8
Köfle noktalar n n koordinatlar P (1, 1), R (3, 1), S (2, 3) ve T (1, 3) olan PRST dik yamu unu x ekseninde 2 birim sa a, y ekseninde 5 birim afla ya öteleyerek görüntüsünü çizelim. PRST dik yamu unun ve P R S T dik yamu unun koordinatlar n yazal m. P (1, 1) P (3, -4) R (3, 1) R (5, -4) S (2, 3) S (4, -2) T (1, 3) T (3, -2) Öteleme sonucunda PRST yamu unun köfle noktas n n apsisine 2 eklenir, ordinat ndan 5 ç kar l r. Bu durum cebirsel olarak (x, y) (x + 2, y + (-5)) fleklinde ifade edilir. Do ruya göre öteleme yap l rken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar, bütün noktalar paralel ötelenir. 9
Köfle noktalar n n koordinatlar D(0, 1), E (0, 3) ve F(2, 0) olan DEF üçgeni çizelim. Çizdi imiz üçgeni orijin etraf nda saat yönünde 90 döndürelim ve oluflan flekli D E F fleklinde adland ral m. DEF ve D E F üçgenlerinin köfle noktalar n n koordinatlar n karfl laflt ral m. 90 dönme D(0, 1) D (1, 0) E(0, 3) E (3, 0) F(2, 0) F (0, -2) 10 Sizde; D E F üçgenini orijin etraf nda saat yönünde 90 döndürün ve oluflan flekli D E F fleklinde adland r n. DEF üçgeni kaç derece döndürülürse D E F üçgeni elde edilir?
Afla daki flekli orijin etraf nda üç defa saat yönünde 90 döndürelim. Oluflan flekillerin koordinatlar aras ndaki iliflkiyi inceleyelim. fiekli orijin etraf nda üç defa saat yönünde 90 döndürdü ümüzde afla daki flekli elde ederiz. Geometrik flekillerin döndürülmesi ile afla daki gibi süsleme modelleri oluflturabiliriz. fieklin döndürülmesiyle koordinatlar n nas l de iflti ini inceleyelim. 11
fieklin D noktas orijin üzerinde bulunmaktad r. fiekil orijin etraf nda döndürüldü ünden D noktas n n koordinatlar de iflmez. 1. dönme 2. dönme 3. dönme A(-1, 2) A (2, 1) A (1, -2) A (-2, -1) B(0, 3) B (3, 0) B (0, -3) B (-3, 0) C(1, 2) C (2, -1) C (-1, -2) C (-2, 1) Koordinatlar ndan biri (a, b) olan bir flekli, orijin etraf nda 90 döndürdü ümüzde (a, b) koordinat (b, -a), 180 döndürdü ümüzde (a, b) koordinat (-a, -b) olur. 360 döndürdü ümüzde ise (a, b) koordinat de iflmez. Köfle noktalar n n koordinatlar A(1, 2), B(2, 3) ve C(3, 0) olan üçgeni orijin etraf nda saat yönünde 90 ve 180 döndürelim. Dönme hareketi sonucunda oluflan yeni fleklin köfle noktalar n n koordinatlar n belirleyelim. ABC üçgenini saat yönünde 90 döndürdü ümüzde A B C üçgeni oluflur. A B C üçgeni ile ABC üçgeninin koordinatlar n karfl laflt ral m. 12 1. dönme A(1, 2) A (2, -1) B(2, 3) B (3, -2) C(3, 0) C (0, -3)
ABC üçgenini saat yönünde 180 döndürdü ümüzde A B C üçgeni oluflur. A B C üçgeni ile ABC üçgeninin koordinatlar n karfl laflt ral m. 2. dönme A(1, 2) A (-1, -2) B(2, 3) B (-2,-3) C(3, 0) C (-3, 0) Afla daki flekli d do rusu boyunca 4 birim sa a öteleyip yans mas n çizelim. Afla daki fleklin önce d do rusuna göre yans mas n çizip daha sonra do ru boyunca 4 birim sa a öteleyelim. Bir fleklin, bir do ru boyunca yans mas ndan sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yans mas ayn d r. Ötelemeli yans mada hiçbir nokta ve yans ma do rusundan baflka hiçbir do ru sabit kalmaz. 13
ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki koordinat düzleminde verilen fleklin x eksenine göre yans mas n çiziniz. 2. Afla daki koordinat düzleminde verilen ABCD yamu unun y eksenine göre yans mas n çiziniz. 3. Afla daki flekilde verilen ABCD dörtgeninin y eksenine göre yans mas ve EFGH dörtgeninin x eksenine göre yans mas n n kesifliminin alan kaç birimkaredir? 14
4. Afla daki grafiklerden hangisinde öteleme, hangisinde yans ma oldu unu belirle yiniz. 5. ABC üçgeni 7 birim afla ya ötelenerek A B C üçgeni oluflturuluyor. A B C üçgeninin y eksenine göre yans mas alt ndaki görüntüsünün koordinatlar n yaz n z. 15
6. Afla daki tabloya göre, a, b ve c noktalar n bulunuz. DEF üçgeninin köfle noktalar n n koordinatlar DEF üçgeninin x eksenine göre yans mas n n köfle noktalar n n koordinatlar D(3, 0) D (3, 0) E(a, 0) E (4, 0) F(2, 3) F (b, c) 7. Köfle noktalar n n koordinatlar A(1, 1), B(1, 3), C(3, 3) ve D(4, 1) olan ABCD yamu u y ekseninde 3 birim afla ya, x ekseninde 4 birim sola öteleniyor. Bu yamu un görüntüsünü çiziniz ve köfle noktalar n n koordinatlar n bulunuz. 8. Afla daki CEM üçgeninin saat yönünde, orijin etraf nda 90 döndürülmesiyle oluflan C E M üçgeninin köfle noktalar n n koordinatlar n bulunuz. 9. Köfle noktalar n n koordinatlar P (-2, 3), R(-1, 6) ve S(1, 5) olan PRS üçgeni orijin etraf nda 180 döndürülüyor. Oluflan P R S üçgeninin köfle noktalar n n koordinatlar n belirleyiniz. 10. Afla daki flekilde belirtilen birim kadar, d do rusu boyunca ötelemeli yans mas n çiziniz. 16
ÖZET Bir fleklin orant l olarak küçültülmüfl yada büyültülmüflleri ile infla edilen örüntüler fraktal olarak adland r l r. Köfle noktalar n n koordinatlar verilen bir fleklin x eksenine göre yans mas alt ndaki görüntüsü bulunurken fleklin ordinat (-1) ile çarp l r. Bu durum cebirsel olarak (x, y) (x, -y) fleklinde gösterilir. Köfle noktalar n n koordinatlar verilen bir fleklin y eksenine göre yans mas alt ndaki görüntüsü bulunurken fleklin apsisi (-1) ile çarp l r. Bu durumda cebirsel olarak (x, y) (-x, -y) fleklinde gösterilir. Do ruya göre öteleme yap l rken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar bütün noktalar paralel ötelenir. Koordinatlar ndan biri (a, b) olan ve bir flekli, orijin etraf nda 90 döndürdürdü ümüzde (a, b) koordinat (b, -a), 180 dördürdü ümüzde (a, b) koordinat (-a, -b) olur. 360 döndürdü ümüzde ise (a, b) koordinat de iflmez. Bir fleklin, bir do ru boyunca yans mas ndan sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yans mas ayn d r. Ötelemeli yans mada hiçbir nokta ve yans ma do rusundan baflka hiçbir do ru sabit kalmaz. 17
1. TEST I-I Yukardaki örüntünün 4.ad m nda gelmesi gereken flekil afla dakilerden hangisidir? 2. Yukardaki fraktal örne i bir ad m daha devam ettirildi inde oluflan flekil afla da kilerden hangisidir? 18
3. Köfle noktalar n n koordinatlar K(2, 2), L(2, 4), M(6, 5) ve N(6, 2) olan KLMN dörtgenin y eksenine göre yans mas olan K L M N dörtgeninin koordinatlar nedir? A) K (-2, 2), L (-2, 4), M (-6, 5) N (-6, 2) B) K (2, -2), L (2, -4), M (6, -5) N (6, -2) C) K (2, 2), L (4, 2), M (5, 6) N (2, 6) D) K (2, 0), L (2, -2), M (6, 1) N (6, 4) 4. Afla daki flekle göre S R T üçgeni hangi yönde ve kaç birim ötelenerek elde e d i l m i fl t i r? A) 2 birim sa a, 3 birim afla ya B) 5 birim sa a, 3 birim afla ya C) 2 birim sa a, 5 birim afla ya D) 5 birim sola, 5 birim afla ya 19
5. Yukar daki flekil, afla daki flekillerden hangisinin 4 birim sa a, 3 birim yukar ötelenmesi ile oluflan görüntüsüdür? 6. Afla dakilerden hangisi köfle noktalar n n koordinatlar A(1,-1), B(2,-3) ve C(4, -1) olarak verilen ABC üçgeninin x eksenine göre yans mas olan A B C üçgenidir? 20
7. Yukar daki fleklin 6 birim sa a, 3 birim afla ya ötelenmesi ile oluflan görüntüsü afla dakilerden hangisidir? 8. Köfle noktalar n n koordinatlar M(1, 2), N(2, 3) ve R(4, 1) olan MNR üçgeni orijin etraf nda saat yönünde 90 döndürülüyor. Oluflan M N R üçgeninin köfle noktalar n n koordinatlar nedir? A) M (2, -1), N (3, -2), R (1, -4) B) M (2, 1), N (3, 2), R (1, 4) C) M (-1, -2), N (-2, -3), R (-4, -1) D) M (-2, -1), N (-3, -2), R (-1, -4) 21
9. ABC üçgeninin saat yönünde orijin etraf nda 180 dönme alt ndaki görüntüsü A B C üçgenidir. ABC üçgeninin köfle noktalar n n koordinatlar nedir? A) A(3, -4), B(3, -1), C(1, -1) B) A(4, -3), B(-1, -3), C(-1, -1) C) A(3, -4), B(3, -1), C(1, -1) D) A(4, -3), B(1, -3), C(1, -1) 10. Afla daki grafiklerden hangisi yans mad r? 22
ÜSLÜ SAYILAR Tam Say lar n Kuvvetleri 2 5 = 2. 2. 2. 2. 2 = 32 2 4 = 2. 2. 2. 2 = 16 2 3 = 2. 2. 2 = 8 2 2 : 2 = 2. 2 = 4 2 1 : 2 = 2 2 0 : 2 = 1 2-1 = 1 2 1 = 1 : 2 2 : 2 : 2 2-2 = 1 2 2 = 1 4 : 2 : 2 2-3 = 1 2 3 = 1 8 Yukar daki örüntüyü inceledi imizde her bir ad m 2 ye bölünerek 2 say s n n negatif kuvvetlerine ulafl lm flt r. a 0 olmak üzere, bir a tamsay s n n n. dereceden negatif kuvveti yani a-n nin de eri 1 a n dir. a -1 = 1 a, a -2 = 1 a 2, a -3 = 1 a 3,..., a -n = 1 a n dir. Afla da verilen negatif kuvvetli tam say lar n de erlerini rasyonel say olarak yazal m. a) 3-1 b) 4-2 c) 5-3 d) 10-4 23
ÇÖZÜM a) 3-1 = 1 3 1 = 1 3 b) 4-2 = 1 4 2 = 1 4. 1 4 = 1 16 c) 5-3 = 1 5 3 = 1 5. 1 5. 1 5 = 1 125 d) 10-4 = 1 10 4 = 1 10. 1 10. 1 10. 1 10 = 1 10 000 10-3, 3x 10-2, 8 x (-4) -2, 23 x (23) -1 say lar n n de erlerini bulal m. ÇÖZÜM 10-3 = 1 10 3 = 1 1000 =0,001 3x10-2 = 3x 1 10 2 = 3x 1 100 = 3 100 = 0,03 8x -4-2 = 8x 1-4 2 = 8x 1-4 -4 = 8 16 = 1 2 = 0,5 23 x 23-1 = 23x 1 23 = 23 x 1 23 = 1 348,5932 ondal k kesrini 10 say s n n kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim. ÇÖZÜM 348,5932 = 3 x 100 + 4 x 10 + 8 x 1 + 5 x 0,1 + 9 x 0,01 + 3 x 0,001 + 2 x 0,0001 = 3 x 100 + 4 x 10 + 8 x 1 + 5 x 1 10 + 9 x 1 100 + 3 x 1 1000 + 2 x 1 10 000 = 2 x 10 2 + 4 x 10 1 + 8 x 10 0 + 5 x 10-1 + 9 x 10-2 + 3 x 10-3 + 2 x 10-4 24
Çözümlenmifl hali 3 x 10 3 + 6 x 10 2 + 4 x 10 0 + 5 x 10-1 + 2 x 10-2 + 9 x 10-4 olan rasyonel say y bulal m. ÇÖZÜM 3 x 10 3 + 6 x10 2 + 4 x 10 0 + 5 x 10-1 + 2 x 10-2 + 9 x 10-4 = 3 x 1000 + 6 x 100+ 4 x 1 + 5 x 0,1 + 2 x 0,01 + 9 x 0,0001 = 3000 + 600 + 4 + 0,5 + 0,02 + 0,0009 = 3604 + 0,5209 = 3604,5209 ÖZELL KLER 1. a. Pozitif say lar n tüm kuvvetleri pozitiftir. 5 3 = 5. 5. 5 = 125 2 1 = 1 5 5. 1 5 = 1 25 3-3 = 1 3 3 = 1 3. 3. 3 = 1 27 b. Negatif say lar n çift kuvvteleri pozitiftir. -3 2 = -3. -3 = 9-3 4 = -3. -3. -3. -3 = 81-3 -2 = 1-3 2 = 1-3. -3 = 1 9-1 3 4 = - 1 3. - 1 3. - 1 3. - 1 3 = 1 81 c. Negatif say lar n tek kuvvetleri negatiftir. - 2 3 = -2. -2. -2 = - 8-2 -5 = 1-2. -2. -2. -2. -2 = - 1 32-1 2 3 = - 1 2. - 1 2. - 1 2 = - 1 8 25
Pozitif bir tam say n n tek ve çift kuvvetleri pozitiftir. Negatif bir tam say n n kuvveti tek ise sonuç negatif tam say, çift ise sonuç pozitif tam say olur. Tekrarl çarp mlar verilen ondal k kesir ve rasyonel say lar üslü olarak yazal m ve de erlerini belirleyelim. a) (0,2). (0,2) = (0,2) 2 = 0,04 b) (0,3). (0,3). (0,3) = (0,3) 3 = 0,027 c) (-0,5). (-0,5). (-0,5) = ( -0,5) 3 = -0,125 d) 3 4.3 4. 3 4. 3 4 = 3 4 = 3 4 4 4 4 = 81 256 e ) - 1 2. - 1 2. - 1 2 = - 1 2 3 = -1 3 2 3 = - 1 8 2. a. S f rdan farkl bir reel say n n s f r nc kuvveti 1 dir. 5 0 = 1, 1 0 = 1 0,005 0 = 1 5 b. 1 say s n n bütün kuvvetleri 1 dir. 1 1 = 1 1 5 = 1, 1-6 = 1 1-7 = 1 c. Bütün say lar n 1. kuvvetleri say n n kendisine eflittir. 1 1 = 1, 1 1 = 1 3 3, - 4 1 = - 4 5 5 26
ALIfiTIRMALAR 1. Afla da verilen üslü ifadelerin de erlerini bulunuz. a) 3-4 b) (-3) -3 c) 4-3 d) (-4) -2 2. 10 say s (-10) -1 say s na eflit midir? Neden? 3. Afla daki eflitliklerde π yerine yaz lmas gereken say lar bulunuz. a) 2-3 = 1 π b) 1 9 = π-2 c) 125 = 5 π ç) 1 36 = 6π d) 1 10 000 = 10π e) 8-2 = 1 π 4. Afla daki ondal k kesirleri 10 say s n n kuvvetlerini kullanarak çözümleyiniz. a) 32,3245 b) 21,405 c) 18,049 d) 604,007 5. Afla daki boflluklara >, <, = sembollerinden uygun olan n yaz n z. a) 1... 32 9 c) 4-2... 1 16 e) 10 3... 3 10 b) 3 2... 2 3 d) -2 4... -2 4 f) -3 3... 3 3 6. A = (-0,1). (-0,1). (-0,1). (-0,1) B = 1 10. 1 10. 1 10 oldu una göre, A B oran kaçt r? 7. Afla daki üslü say lar ifllem yapmadan ondal k kesir olarak yaz n z. a) 10-2 b) -10-4 c) (-10) -2 d) (-10) -3 27
ÜSLÜ SAYILARLA filemler Afla daki tabloyu inceleyiniz ve boflluklar doldurunuz. Çarpma Çarp m Çarp m n Üslü gösterimi 10 1.10 1 100 10 2 10 1.10 2 1000 10 3 10 1.10 3 10 000 10 4 10 1.10 4 100 000 10 5 10 2.10 3 100 000 10 5 10 2.10 4 1 000 000 10 6 10 3.104...... 10 4.105...... Her bir çarpma ifllemi ile çarp m n üslü gösterimi aras nda nas l bir iliflki vard r? 10 25 say s n hangi say ile çarparsak sonuç 10 32 olur? Tabanlar ayn olan üslü ifadeler ile çarpma ifllemi yap l rken ortak taban çarp ma taban olarak yaz l r. Üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yaz l r. a m. a n = a m+n Afla daki çarpma ifllemlerini inceleyiniz. a) 10 5. 10 3 = 10 5+3 = 10 8 b) 2 7. 2 3 = 2 7+3 = 2 10 c) 3 8. 3 7 = 3 8+7 = 3 15 ç) 5 4. 5-2 = 5 4 + (-2) = 5 2 d) 4 5. 2-4 = (2 2 ) 5. 2-4 = 2 10. 2-4 = 2 10 + (-4) = 2 6 e) 10 5. 10 7. 10 10 = 10 5 + 7 + 10 = 10 22 f) 2 5. 3-4. 2-4. 3 6 = 2 5 + (-4). 3 (-4) + 6 = 2 1. 3 2 = 2. 9 = 18 28
Afla daki tabloyu inceleyiniz ve boflluklar doldurunuz. Bölme Bölüm Bölümün Üslü gösterimi 10 1 : 10 1 1 10 0 10 2 : 10 1 10 10 1 10 3 : 10 1 100 10 2 10 4 : 10 1 1000 10 3 10 5 : 10 2 1000 10 3 10 6 : 10 2 10 000 10 4 10 7 : 102...... 10 8 : 103...... 10 9 : 105...... Her bir bölme ifllemi ile bölümün üslü gösterimi aras nda nas l bir iliflki vard r? 10 32 say s n hangi say ile bölersek sonuç 10 24 olur? Tabanlar ayn olan üslü ifadeler ile bölme ifllemi yap l rken ortak taban bölüme taban olarak yaz l r. Bölünenin (pay n) üssünden bölenin (paydan n) üssü ç kar larak ortak tabana üs olarak yaz l r. a m : a n = a m-n Afla daki bölme ifllemlerini inceleyiniz. a) 2 5 : 2 2 = 2 5-2 = 2 b) 3 8 : 3 4 = 3 8-4 = 3 4 c) 5 8 5 2 = 58-2 = 5 6 ç) 107 10 3 = 107-3 = 10 4 d) 1 3 4-7 : 1 = 3-1 4 : 3-1 -7 = 3-4 : 3 7 = 3-4 - 7 = 3-11 3 e) 32.5 7 3-2.5 6 = 32 - -2. 5 7-6 = 3 4. 5 = 81. 5 = 405 29
27-2. 3 3 9-2 iflleminin sonucu kaçt r? ÇÖZÜM -2 27-2.3 3 9-2 = 33. 3 3 3 2-2 = 3-6.3 3 3-4 = 3-6 + 3 3-4 = 3-3 3-4 = 3-3 + 4 = 3'tür. 8 5 say s n n yar s kaçt r? ÇÖZÜM 8 5 2 = 23 5 2 = 215 2 = 215-1 = 2 14 tür. ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki ifllemleri yap n z. a) 2 3. 2 5 b) 3-4. 3-7 c) 273 d) 197-3 4 19 2 2. Afla daki ifadelerde π yerine yaz lmas gereken say lar bulunuz. a) 10 7. 10 π = 10 9 b) 3 8. 3-3 = 3 π c) 4 5 : 4 π = 4 3 d) 5 π : 5-8 = 5-12 3. Afla daki ifadelerde ifllemleri yap n z. a) 27. 4 3 8 2 b) 5-3. 25 4 125 2 c) 34. 3-7 27 2 d) 53. 5 2 5 2. 5-4 4. 64. 2-4 iflleminin sonucunu bulunuz. 5. 3 4. 9-4. 27 3 iflleminin sonucunu bulunuz. 30
ÇOK BÜYÜK VE ÇOK KÜÇÜK POZ T F SAYILAR Merkür ün Günefl e olan uzakl : 57 900 000 km Ay ile Dünya aras ndaki uzakl k : 384 400 000 m AIDS virüsünün uzunlu u: 0,00011 mm Güneflin yar çap n n uzunlu u: 700 000 km Yukar daki say sal verileri bilimsel gösterimle ifade edelim. Bir say y bilimsel gösterimle ifade edebilmek için o say y, çarpanlar ndan biri 1 ile 10 aras nda, di eri 10 un kuvveti olacak flekilde iki say n n çarp m fleklinde yazmam z gerekir. Buna göre; Merkür ün Günefl e olan uzakl : 57 900 000 km = 5,79 x 10 7 km Ay ile Dünya aras ndaki uzakl k : 384 400 000 = 3,844 x 10 8 m AIDS virüsünün uzunlu u : 0,00011 mm = 1,1x 10-4 mm Güneflin yar çap n n uzunlu u: 700 000 km = 7 x 10 5 km olarak bilimsel biçimde göstermifl oluruz. a bir gerçek say, 1 a 10 ve n Z olmak üzere a x 10 n gösterimi bilimsel gösterim dir. Afla daki say lar bilimsel olarak gösterelim. a) 6 000 000 b) 32 000 000 c) 0,000072 d) 0,0000018 ÇÖZÜM a) 6 000 000 = 6 x 10 6 b) 32 000 000 = 3,2 x 10 7 c) 0,000072 = 7,2 x 10-5 d) 0,0000018 = 1,8 x 10-6 ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki say lar bilimsel gösterimle yaz n z. a) 28 000 000 000 b) 202 000 000 2. Satürn gezegeninin günefle olan uzakl 1 430 000 000 km dir. Bunu bilimsel gösterimle yaz n z. 31
ÖZET a 0 olmak üzere, bir a tam say s n n n. dereceden negatif kuvveti, yani a n nin de eri 1 a n dir. a -1 = 1 a, a -2 = 1 a 2, a -3 = 1 a 3,... a-n = 1 a n dir. Pozitif bir tam say n n tek ve çift kuvvetleri pozitiftir. Negatif bir tam say n n kuvveti tek ise sonuç negatif tam say, çift ise sonuç pozitif tam say olur. Tabanlar ayn olan üslü ifadeler ile çarpma ifllemi yap l rken ortak taban çarp ma taban olarak yaz l r. Üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yaz l r. a m. a n = a m+n Tabanlar ayn olan üslü ifadeler ile bölme ifllemi yap l rken ortak taban bölüme taban olarak yaz l r. Pay n üssünden paydan n üssü ç kar larak ortak tabana üs olarak yaz l r. a m a n = am - n Bir say n n bilimsel gösterimi a x 10 n fleklindedir. (a say s 1 a < 10 olacak flekilde bir rasyonel say, n ise bir tam say d r.) 32
TEST I-II 1. 2-5 ifadesinin efliti afla dakilerden hangisidir? A) - 1 32 B) - 10 C) 1 10 D) 1 32 2. - 1 3-3 ifadesinin efliti afla dakilerden hangisidir? A) - 27 B) - 1 27 C) 1 27 D) 27 3. Afla dakilerden hangisinin sonucu negatif bir say d r? A) 2-4 B) (-2) -6 C) -3 4 D) -(-3) 3 4. Afla daki ifllemlerden hangisinin sonucu di erlerinden farkl d r? A) 10-8. 10 5 B) 108 10-5 C) 10-2 10 D) 10-4 : 10-1 5. Afla daki eflitliklerden hangisi yanl flt r? A) -4-2 = 1 16 B) -3-3 = - 1 27 C) - 1 5-2 = 25 D) - 1 2-5 = 32 6. 0,5-3 = 1 x oldu una göre x kaçt r? 0,5 A) -3 B) -1 C) 1 D) 3 7. Afla daki üslü ifadelerden hangisi 1 e eflittir? A)(-1) 2001 B)- (-1) 2000 C) (-1205) 0 D) (-2300) -1 8. 4 21. 4-21 iflleminin sonucu kaçt r? A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 33
9. Afla daki ifllemlerden hangisinin de eri 10 30 dur? A) 10 5. 10 6 B) 1 5. 10 25 C) 10 36 : 10 6 D) 1035 10-5 10. 3 6. 9 2. 2 8 27 3. 8 2 iflleminin sonucu kaçt r? A) 12 B) 36 C) 54 D) 98 11. 8-3 0 iflleminin sonucu kaçt r? 25 A) 5 2 3 B) 2 5 3 C) - 2 5 3 D) 1 12. 10-8. 10 2 10-7. 10 0 : 107 iflleminin sonucu afla dakilerden hangisidir? 5 10 A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10 13. 4-3 3. - 1 3 iflleminin sonucu afla dakilerden hangisidir? -3 3 A) 3 4 B) 3-4 C) -3-4 D) -3 4 14. 32,807 = 3x10 a + 2x10 b + 8x10 c + 7x10 d oldu una göre a + b + c + d kaçt r? A) 1 B) 2 C) -3 D) -5 15. 8 2 + 8 2 + 8 2 + 8 2 iflleminin yar s afla dakilerden hangisidir? A) 2 4 B) 2 6 C) 2 7 D) 2 8 16. 2 10 = 1024 ise 2 8 ifadesinin de eri kaçt r? A) 128 B) 256 C) 512 D) 640 34
17. a = 32 3 5, b = 32, c = 3-4 oldu una göre, a, b ve c'nin küçükten büyü e -2 3 3 do ru s ralan fl afla dakilerden hangisidir? A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) c < b < a 18. 0,00000324 say s n n bilimsel gösterimi afla dakilerden hangisidir? A) 0,324 x10-5 B) 3,24 x10-6 C) 32,4 x10-7 D) 324 x10-8 19. 370 000 00 say s n n bilimsel gösterimi afla dakilerden hangisidir? A) 370 x10 5 B) 37 x10 6 C) 3,7 x10 7 D) 0,37 x10 8 20. Güneflin dünyaya uzakl 150 000 000 km dir. Bu uzakl n bilimsel gösterimi afla dakilerden hangisidir? A) 150 x10 6 B) 15 x10 7 C) 1,5 x10 8 D) 0,15 x10 9 35
Histogram Oluflturma Histogram oluflturulurken öncelikle say sal verilere ihtayaç vard r. Veriler haz r oldu unda, önce veri grubunun aç kl bulunur. Aç kl k, veri grubundaki en büyük de er ile küçük de er aras ndaki farka denir. Daha sonra verileri ay raca m z grup say s na göre grup geniflli ini buluruz. Grup geniflli i bulunurken aç kl k, istenen grup say s na bölünür. Bulunan say ya en yak n tek say grup geniflli i olarak al n r. Bu grup geniflli indeki verilere göre histogram çizilir. 45, 46, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 50, 51, 52, 52, 53, 55, 55, 56, 57, 58, 59, 59, 60, 61, 62, 62, 63, 64, 64, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 69, 69, 70, 71, 72, 72, 73, 74, 75, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 80, 81, 83, 85, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 93, 94 Yukar daki veriler 100 soruluk bir Matematik testinden 8.s n ftaki ö rencilerin do ru cevapland rd soru say s n göstermektedir. Bu verilere ait histogram oluflutaral m. Veri grubunun aç kl n bulal m. 94-45 = 49 Veri grubunun aç kl 49 dur. Verileri 10 gruba ay rarak grup geniflli ini bulal m. Grup geniflli i bulunurken aç kl k, istenilen grup say s na bölünür. Bulunan en yak n tek say grup geniflli i olarak al n r. Bulunan say ya en yak n tek say 5 oldu u için veri grubunun geniflli i 5 olarak al n r. Tablo: Matematik Testi Do ru Cevap Say lar 36 45 49 10 50 54 9 55 59 7 60 64 7 65 69 8 70 74 6 75 79 6 80 84 4 85 89 8 90 94 6
Grafikte yatay eksende 1-45 aral nda hiç veri olmad ndan yanl fl yorumlara yol açmamak için zikzak kullan mfl t r. 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 25, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41, 42, 42, 43, 43, 44, 44, 44, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 49, 50, 51, 52, 52, 53, 54, 54, 54, 55, 55, 56, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 59 Yukar daki veriler bir tatil köyüne A ustos ay nda gelen kiflilerin yafllar n göstermektedir. Bu verilere ait histogram olufltural m. Veri grubunun aç kl n bulal m. 59-10 = 49 Veri grubunun aç kl 49 dur. Verileri 10 gruba ay rarak grup geniflli ini bulal m. 59-10 10 = 4,9 Bulunan say ya en yak n tek say 5 oldu u için veri grubunun geniflli i 5 olarak al n r. Tablo: Tatil Köyüne A ustos Ay nda Gelenlerin Yafllar Yafl Kifli Say s 10 14 11 15 19 6 20 24 10 25 29 11 30 34 10 35 39 13 40 44 12 45 49 7 50 54 8 55 59 11 37
ALIfiTIRMALAR 1. Grafik: Kitap Okuma Süresi Bir okulda bütün ö renciler kitap okumaktad r. Bu okuldaki ö rencilerin günlük kitap okuma süreleriyle ilgili histogram yukar da verilmifltir. Grafi e göre afla daki sorular cevaplay n z. a) Veri grubunun aç kl kaçt r? b) Veri grubunun geniflli i kaçt r? c) Bu okulda kaç ö renci vard r? ç) En uzun süre kitap okuyan ö renci say s kaçt r? d) En k sa süre kitap okuyan ö renci say s kaçt r? 2. Afla daki tabloda bir s n ftaki ö rencilerin boy uzunluklar verilmifltir. Tablodaki verilerle histogram oluflturunuz. Uzunluk (cm) Kifli say s 142-150 4 151-159 5 160-168 7 169-177 6 178-186 8 38
3. Afla daki tablo bir okuldaki ö rencilerin Matematik s nav ndan ald klar puanlar göstermektedir. Tablodaki verilerle histogram oluflturunuz. Bu veri grubunun aç kl kaçt r? Puanlar Kifli say s 28-34 35-41 42-48 49-55 56-62 63-69 70-77 78-84 85-91 92-98 4. Afla da bir s n ftaki ö rencilerin kütleleri verilmifltir. 40 41 41 43 44 44 45 45 46 47 47 48 48 49 50 50 50 51 51 52 53 53 54 55 55 56 57 58 59 59 60 61 63 63 65 66 67 67 68 70 70 70 71 72 73 a) Veri grubunun aç kl n bulunuz. b) Veri grubunun geniflli ini belirleyerek tablo oluflturunuz. c) Elde etti iniz tablodaki verilerle histogram oluflturunuz. 39
5. Afla da bir yolcu otobüsündeki yolcular n yafllar verilmifltir. 3 4 4 10 14 15 17 18 18 18 20 20 21 22 23 24 25 25 26 27 28 29 32 33 35 37 40 41 42 47 50 51 53 54 55 55 57 57 58 59 59 61 61 63 64 65 66 66 67 72 Yukar daki verilerle oluflturulan afla daki tabloyu tamamlay n z. Yafl Kifli say s 3 3 9 7 4 3 3 7 6 4 40
ÖZET Histogram oluflturulurken öncelikle say sal verilere ihtiyac vard r. Veriler haz r oldu unda, önce veri grubunun aç kl bulunur. Aç kl k, veri grubundaki en büyük de er ile en küçük de er aras ndaki farka denir. Daha sonra verileri ay raca m z grup say s na göre grup geniflli ini bulunuz. Grup geniflli i bulunurken aç kl k, istenilen grup say s na bölünür. Bulunan say ya en yak n tek say grup geniflli i olarak al n r. Bu grup geniflli indeki verilere göre histogram çizilir. 41
TEST I-III Afla daki histogram bir ifl yerinde çal flanlar n, evleri ile ifl yerleri aras ndaki uzakl göstermekmektedir. Grafi e göre 15 sorular cevaplay n z. 1. Bu ifl yerinde kaç kifli çal flmaktad r? A) 240 B) 365 C) 445 D) 540 2. Bu verilerin aç kl kaçt r? A) 5 B) 10 C) 49 D) 52 3. Bu verilerin geniflli i kaçt r? A) 4 B) 5 C) 6 D) 10 42
4. Evinin, ifl yerine uzakl 28 km - 32 km olan kaç kifli vard r? A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 5. Evinin, ifl yerine uzakl 3 km - 27 km olan kaç kifli vard r? A) 70 B) 90 C) 130 D) 165 6. Tablo: Ö rencilerin Matematik Netleri Netler Kifli say s 1-10 2 11-20 4 21-30 8 31-40 10 41-50 6 50 soruluk bir Matematik testinde 8/A s n f ndaki ö rencilerin netleri yukar daki tabloda verilmifltir. Yukar daki verilere uygun histogram hangisinde do ru verilmifltir? 43
Beden E itimi Dersinde ö renciler aras nda 200 m koflusu yap lm fl ve koflu sonuçlar afla da saniye cinsinden verilmifltir? 30 31 32 33 33 34 35 37 38 39 40 41 42 43 44 45 45 46 46 47 48 49 49 50 50 51 51 52 52 54 Yukar daki verilere göre 7., 8. ve 9. sorular cevaplay n z. 7. 200 m koflusuna kat lan kaç ö renci vard r? A) 22 B) 24 C) 26 D) 30 8. Bu veri grubunun aç kl kaçt r? A) 12 B) 24 C) 25 D) 30 9. Bu veriler 5 gruba ayr ld ndaki tablo afla dakilerden hangisidir? A) B) C) D) Tablo: 200 m koflusu süresi Süre (saniye) Kifli say s Tablo: 200 m koflusu süresi Süre (saniye) Kifli say s Tablo: 200 m koflusu süresi Süre (saniye) Kifli say s Tablo: 200 m koflusu süresi Süre (saniye) Kifli say s 30 346 30 345 30 347 30 347 35 394 35 393 35 395 35 395 40 445 40 444 40 447 40 448 45 498 45 496 45 499 45 499 50 547 50 546 50 548 50 541 44
Grafik: Çözülen Matematik Soru Say s En fazla çözülen soru say s = 94 En az çözülen soru say s = 50 Bir okuldaki 8. s n f ö rencilerinin tümü her gün Matematik testi çözmektedir. Bu s n ftaki ö rencilerin günlük çözdükleri soru say lar ile ilgili histogram yukar da verilmifltir. Buna göre, 10, 11, 12, 13, 14 ve 15. sorular cevaplay n z. 10. Veri grubunun aç kl kaçt r? A) 31 B) 40 C) 44 D) 50 11. Veri grubunun geniflli i kaçt r? A) 4 B) 5 C) 9 D) 10 45
12. 8. s n fta kaç ö renci vard r? A) 72 B) 80 C) 85 D) 90 13. Çözülen soru say s 50 64 olan kaç ö renci vard r? A) 8 B) 12 C) 14 D) 24 14. Grafi e göre kifli say s en fazla olan grubun günlük çözdükleri soru say s hangi say aral ndad r? A) 64 69 B) 68 73 C) 70 74 D) 74 79 15. Grafi e göre kifli say s en az olan grubun günlük çözdükleri soru say s hangi say aral ndad r? A) 55 59 B) 56 61 C) 60 64 D) 62 67 46