yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i
Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları BETA Basım Yayım Dağıtım A.Ş. ye aittir. Her hakkı saklıdır. Hiçbir bölümü ve paragrafı kısmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile veya başka herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, dağıtılamaz. Normal ölçüyü aşan iktibaslar yapılamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur. Dizgi Baskı Cilt Kapak Tasarım : Prof. Dr. Tuncay Can : Yazın Basın Yayın Matbaacılık Trz.Tic.Ltd.Şti. (Sertifika No: 12028) İkitelli Çevre Sanayi Sitesi 8. Blok No: 38-40-42-44 Başakşehir/İSTANBUL 0212 565 01 22-0212 565 02 55 : Gökhan Ayrancı Beta Basım Yayım Dağıtım A.Ş. (Sertifika No: 16136) Narlıbahçe Sok. Damga Binası No: 11 Cağaloğlu - İSTANBUL Tel : (0-212) 511 54 32-519 01 77 Fax: (0-212) 513 87 05-511 36 50 www.betayayincilik.com ii
Nedensellik üzerine diyaloglar I için önsöz Filozof Simplicius un dediği gibi "Eklenildiğinde bir şey arttırmayan, çıkarıldığında bir şey eksiltmeyen şey hiçbir şeydir". Bu kitap hiçbir şey olmama adına, yayımlanan Yöneylem Araştırması kitaplarına nedensellik ilkesini daha fazla katarak katkıda bulunmayı amaçlar. Yazar amacına ulaşmak için, koşullarını tam olarak sağlamasa da Sokratik Konuşma tarzını benimsemiş ve bu bağlamda düşünsel dünyasında var olan birisi ile Yöneylem Araştırması konuları üzerine düşsel diyalogları gerçekleştirmiştir. I.Bölüm Doğrusal Programlama ve uzantıları için gerekli genel bilgileri içerir ve diyaloglar II.Bölüm olan Doğrusal Programlama ile başlar ve son bölüm olan V.Bölümdeki Oyun Teorisi konusunun sonuna kadar devam eder. Yöneylem Araştırmasının diğer konularının,nedensellik üzerine diyaloglar serisi ile tamamlanması hedeflenmektedir. Kitabın içeriği kendi önsözünü okura iletecektir. Yöneylem Araştırması konularına ilgi duyan herkese yararlı olması dileğimle. İstanbul, tuncay.can@marmara.edu.tr Prof.Dr.Tuncay Can iii
iv
İÇİNDEKİLER I.BÖLÜM [Konveks Kümeler ve Hiperdüzlemsel Eşitsizliklerin Geometrisi] Konveks Kümeler ve Hiperdüzlemsel Eşitsizliklerin Geometrisi... 3 Doğrusal ve Afin Birleşim... 4 Doğrusal ve Afin Alt Uzaylar... 5 Doğrusal Bağımlılık ve Bağımsızlık... 5 Doğrusal(Lineer) Uzay... 10 Temeldeki Bir Vektörün Temelde Olmayan Bir Vektör İle Yer Değiştirmesi... 13 Konveks Kümeler... 21 Doğru Parçası... 21 Konveks Birleşim... 22 Konveks Küme... 23 Hiperdüzlem(Çoklu Düzlem)... 32 Hiperdüzlemsel Eşitsizlikler... 34 Kapalı ve Açık-Yarı Uzaylar... 42 Konveks Kümelerin Kesişimi... 44 Konveks Polyhedral(Konveks Çoklu Düzlemsel Yüzey)... 48 v
Konveks Polytope(Konveks Çoklu Köşe Nokta)... 49 Köşe(Uç) Nokta Kavramı... 50 Konveks Örtü-... 54 Konveks Koni... 55 Alıştırmalar... 61 II.BÖLÜM [Doğrusal Programlama] Doğrusal Programlamanın Tanımı ve Temel Kavramları... 65 Doğrusal Programlamanın Tanımı... 88 Klasik Maksimum Doğrusal Programlama Problemi... 90 Doğrusal Programlamanın Aksiyomları... 99 Klasik Maksimum D.P Problemleri için Grafik Yöntem... 102 Klasik Maksimum D.P Problemleri için Simpleks Yöntem... 118 Temel Çözüm... 123 Simpleks Yöntemin Tanımı... 126 Simpleks Yöntem için Koşullar... 126 Simpleks Yöntemde Alternatif Çözümler... 168 Klasik Olmayan Maksimum D.P Problemi(Büyük M Yöntemi)... 173 Klasik Minimum D.P Problemi... 207 Klasik Minimum D.P Problemi için Grafik Yöntem... 209 Klasik Minimum D.P Problemi için Simpleks Yöntem... 211 vi
Klasik Olmayan Minimum D.P Problemi için Simpleks Yöntem... 216 Doğrusal Programlamada Karşılaşılan Özel Durumlar... 222 z Amaç Satırında Temele Alınacak Değişken Katsayılarının Aynı Olması... 222 Temel Değişken Seçiminde Bland ʹın Kuralı... 223 Uygun Çözümün Olmaması... 230 Optimal Çözümün Sınırsızlığı... 234 Alternatif Çözümler... 239 İşaretçe Sınırsız Değişkenler... 245 Dejenerasyon(Bozulma)... 250 Temeli Terk Eden Değişken Seçiminde Bland ʹın Kuralı... 262 İki Aşamalı Yöntem... 268 I.Aşama... 269 II.Aşama... 271 Optimallik Sonrası Analiz... 279 Gölge Fiyat(Marjinal Değer)... 280 Dualizm... 301 Klasik Maksimum Primal D.P Modelinin Duali... 304 Klasik Minimum Primal D.P Modelinin Duali... 316 Klasik Olmayan Primal D.P Probleminin Duali... 320 Zayıf Dualite Teoremi... 324 vii
Güçlü Dualite Teoremi... 332 Tamamlayıcı Aylaklık... 335 Dual Simpleks Yöntem... 343 Duyarlılık Analizi... 349 Kısıtlardaki Sağ Taraf Sabitlerindeki Değişiklik... 351 Temel Matris... 352 Amaç Fonksiyonunun Katsayılarındaki Değişiklik... 362 Alıştırmalar... 372 III.BÖLÜM [Transport ve Atama] Transport Probleminin Tanımı ve Temel Kavramları... 383 Klasik Transport Problemi... 383 Transport Probleminin Çözüm Yöntemleri... 392 Başlangıç Temel Uygun Çözümün Bulunması... 399 Kuzey-Batı Köşe Yöntemi... 399 En Az Maliyetli Yöntem... 406 Satır Bazında En Az Maliyetli Yöntem... 407 Sütun Bazında En Az Maliyetli Yöntem... 411 Satır ve Sütunları Baz Alan Genel Yaklaşım Yöntemi... 415 VAM Yöntemi... 419 RAM Yöntemi... 425 viii
[tuncay can]ʹın Yaklaşım Yöntemi... 436 Optimallik Sınaması(Optimal Çözümü Bulma)... 466 Göze Değiştirme(Atlama Taşı) Yöntemi... 467 Modi(uv) Yöntemi... 489 Klasik Olmayan Transport Problemi... 510 Arzın Talepten Büyük Olması... 510 Talebin Arzdan Büyük Olması... 521 Transport Probleminde Karşılaşılan Özel Durumlar... 534 Alternatif Çözüm... 534 Dejenerasyon(Bozulma)... 539 Maksimum Transport Problemi... 552 Duyarlılık Analizi... 560 Amaç Fonksiyonu Katsayılarındaki Değişiklik... 561 Kısıtların Sağ Taraf Sabitlerindeki Değişiklik... 570 Arz Miktarının Duyarlılığı... 571 Talep Miktarının Duyarlılığı... 573 Atama Problemi... 575 Macar Yöntemi... 578 Maksimum Atama Problemi... 587 Alıştırmalar... 592 ix
IV.BÖLÜM [Markov Analizi] Markov Analizi için Tanım ve Temel Kavramlar... 599 Olasılık Uzayı... 599 Örnek Uzay... 600 σ-cebiri... 604 Tesadüfi Değişken... 607 Stokastik Süreç... 611 Durum Kavramı... 612 Geçiş Kavramı... 612 Markov Zinciri... 613 Markovyen Varsayım(Markov Özelliği)... 619 Tek Adım Geçiş Olasılıkları Matrisi... 622 Çoklu Adım Geçiş Olasılıkları Matrisi... 628 Durum Olasılıkları... 639 Katlı Markov Matris... 650 Genel Chapman-Kolmogorov Denklemi... 655 Durumların Sınıflandırılması... 655 Ergodik Zincir Teorisi... 655 Düzenli Zincir Teorisi... 658 x
Denge Durum Olasılıkları(Sürecin Limit Davranışı)... 660 Yutucu Markov Analizi... 671 Geçici Durum... 672 Yutucu Zincir Teorisi... 673 Geçici Bir Durumdan Başlayan Sürecin Bir Yutucu Durumda Yutulana Kadar Ortalama Adım Sayısı... 678 Geçici Bir Durumdan Başlayan Sürecin Bir Yutucu Durumda Yutulma Olasılıkları... 678 Durumlar Arası Geçişler için Gerekli Adım Sayısı... 683 Alıştırmalar-... 688 V.BÖLÜM [Oyun Teorisi] Oyun Teorisinin Tanımı ve Temel Kavramları... 695 Oyun... 695 Oyun Teorisi... 696 Strateji... 696 İki Kişilik Sıfır Toplamlı Oyunlar... 698 Kazanç ve Kayıp Matrisi... 699 Maksimin İlkesi... 700 Minimaks İlkesi... 702 Oyunun Değeri... 705 İki Kişilik Sıfır Toplamlı Oyunlarda Tepe(Denge) Noktası... 706 xi
Tam(Saf,Arı,Pür) Strateji Kavramı... 707 Karma Strateji Kavramı... 711 Beklenen Değer... 711 Kazanç Matrisinin Sadeleştirilmesi... 713 Eş veya Üstünlük Stratejisi... 713 Oyunların Çözüm Yöntemleri... 718 2 m veya n 2 Oyunların Grafik Çözümü... 719 n m Oyunların Doğrusal Programlama ile Analiz ve Çözümü... 732 Alıştırmalar... 752 xii