l l l EÞÝTSÝZLÝKLER I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik Çift ve Tek Katlý Kök, Üslü ve Mutlak Deðerlik Eþitsizlik l Alýþtýrma 1 l Eþitsizlik Sistemi l Alýþtýrma l II. Dereceden Denklemin Köklerinin Ýþaretinin Ýncelenmesi l Alýþtýrma 3 l Konu Testi 1 l Konu Testi l Konu Testi 3 l Cevap Anahtarlarý
Öðrenci Notlarý:
EÞÝTSÝZLÝKLER 1 I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik Aralýk I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik a ve b reel sayýlar, a < b olsun. a, b a ve b sayýlarý ile bu sayýlarýn arasýndaki tüm reel sayýlarý içine alan kümeye kapalý aralýk denir. biçimindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eþitsizlik denir. R a b [a, b] kapalý aralýðýnýn uç noktalarýnýn ikisi de bu aralýktan çýkarýlýrsa elde edilen yeni aralýða açýk aralýk denir. (a, b) veya a < < b, Bu eþitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken y = a + b denkleminin iþaret incelemesi aþaðýdaki gibi yapýlýr. R þeklinde gösterilir. b a + b = 0 ise = a R a b [a, b] kapalý aralýðýnýn uç noktalarýndan yalnýz biri çýkarýlýrsa elde edilen yeni aralýða yarý açýk aralýk denir. b noktasý çýkarýlýr ise, [a, b) veya a < b, R þeklinde gösterilir. R b a noktasý çýkarýlýr ise, (a, b] veya a < b, R þeklinde gösterilir. w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m a y = a + b a ile zýt iþaret b a + a ile ayný iþaret NOT: NOT: Bölümlerde iþaret incelemesi için eþitsizlikte kök olmayan sayýlar yazýlarak bölümlerin iþareti belirlenebilir. ÖR : f() = 5 10 fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz. R a a + b 0 a + b 0 a + b > 0 a + b < 0 R þeklinde gösterilir. [a, b] veya a b, R ve a 0 olmak üzere, b ÖR 1 : A = ( 4, 1], B = [0, 5], C = (, 7) A, B ve C kümelerine göre aþaðýdaki kümeleri bulunuz. ÖR 3 : 4 1 < 0 a) A B b) A C c) B C ÖR 4 : 16 0 d) A B e) B \ A f) A (B C) 1
Eþitsizlikler II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik a, b, c R ve a 0 olmak üzere, ÖR 7 : + + 15 0 a + b + c > 0 a + b + c 0 a + b + c < 0 a + b + c 0 biçimindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eþitsizlik denir. y = a + b + c nin görüntü kümesinin iþareti, nin katsayýsý olan a ya ve Δ ya (diskriminanta) baðlýdýr. I. Δ > 0 durumunda birbirinden farklý iki reel kök vardýr. + 1 ÖR 8 : 6 + 9 > 0 y = a + b + c a ile ayný iþaret a ile zýt iþaret a ile ayný iþaret II. Δ = 0 çakýþýk iki kök vardýr. (çift katlý kök) y = a + b + c 1 = = b a + a ile ayný iþaret III. Δ < 0 durumunda reel kök yoktur. y = a + b + c a ile ayný iþaret + a ile ayný iþaret www.bilalbilicioglu.com ÖR 9 : + + 1 < 0 ÖR 5 : f() = 5 6 fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz. ÖR 10 : 3 + 5 > 4 ÖR 6 : 3 4 < 0 ÖR 11 : 4 4 1
EÞÝTSÝZLÝKLER Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik (a + b)(c + d) > 0 veya ÖR 3 : a + b >0 c + d 50 0 4 eþitsizliðini saðlayan kaç tamsayý vardýr? gibi polinomlarýn çarpýmý veya bölümü þeklinde olan eþitsizliklerin tablosu yapýlýrken kökler bulunur ve küçükten büyüðe doðru (sayý doðrusunda gibi) tabloda sýralanýr. Polinomlarýn baþ katsayýlarýnýn iþaretleri çarpýlarak (veya bölünerek) tablonun en saðýna yazýlýr. Köklerde iþaret deðiþimi yapýlarak eþitsizliðin iþaret tablosu doldurulur. Ýþaret tablosu için deðer verme yöntemi de kullanýlabilir. NOT: NOT: ÖR 4 : Paydayý sýfýr yapan sayýlar ifadeyi tanýmsýz yaptýðýndan dolayý çözüm kümesine alýnmazlar. (Bu sayýlara kazýk kökler de denir.) eþitsizliðini saðlayan kaç doðal sayý vardýr? w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m ÖR 1 : ( )( + 4) < 0 ( 5)( 1 + 0) 0 9 NOT: NOT: Paydasýnda li ifade bulunan sorularda içler dýþlar çarpýmý yapýlamaz. (Eþitsizliðin yön deðiþtirip deðiþtirmediði bilinemediði için) Eþitsizliðin bir tarafýný sýfýr yapmak için terimler bir tarafta toplanýr. ÖR : 1 ÖR 5 : < 0 4 3
Eþitsizlikler ÖR 6 : ( + 5)(7 ) 16 0 ÖR 8 : ( + 5 10)( 1) 8 < 0 eþitsizliðini saðlamayan kaç tamsayý vardýr? ÖR 7 : NOT: + 5, + + 1, 5 + 14... gibi daima pozitif olduðu bilinen ifadeler (Δ < 0 olduðu için kökü yoktur ve baþ katsayýsý + olduðundan) tabloya alýnmayabilir. 5 0 3 + 8 eþitsizliðini saðlayan kaç tamsayý vardýr? www.bilalbilicioglu.com ÖR 9 : NOT: + 5 10, 1,... gibi daima negatif olduðu bilinen ifadeler (Δ < 0 ve baþ katsayý olduðundan) tabloya alýnmayacak ise baþ katsayý iþaretleri çarpýmýnda negatif baþ katsayýsýnýn olduðu unutulmamalýdýr. Bizce tabloda iþaret hatasýný önlemek için yazýlmasýnda fayda vardýr. (5 4)( ) 0 5 4
EÞÝTSÝZLÝKLER 3 Çift ve Tek Katlý Kök, Üslü ve Mutlak Deðerli Eþitsizlik ÖR 3 : ( )3 ( 36) 0 Çift Katlý Kök ( 3), ( + 5)4, ( 4)10, ( + 1)1000... gibi çift kuvveti bulunan ifadelerin köklerine çift katlý kök denir. Bu köklerin saðýndaki ve solundaki deðerler parantezli çift kuvvetten dolayý pozitif olur. Bu yüzden çift katlý köklerde iþaret deðiþimi olmaz. ÖR 1 : ( 3) 0 +5 3 ÖR 4 : ( 8)( + 6) > 0 4 ÖR : 8 15 0 9 w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m ÖR 5 : (15 ) 010 ( ) 011 0 ( 6) 009 eþitsizliðini saðlayan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? Tek Katlý Kök ( )3, ( + )7, ( 4)999... gibi tek kuvveti bulunan ifadelerin köklerine tek katlý kök denir. Normal kökten hiçbir farký yoktur. Bir defa kökmüþ gibi iþleme devam edilir. 5
Eþitsizlikler ÖR 6 : NOT:, 10,... gibi daima pozitif olduðu bilinen ifadeler tabloya $ 1 % 4 yazýlmayabilir. 9 > 0, 9 gibi daima sýfýr veya pozitif olduðu bilinen ifadeler aþaðýdaki durumlarý soru bitiminde kontrol etme þartý ile tabloya yazýlmayabilir. Mutlak deðerli ifade pay kýsmýnda ise eþitliðin var olduðu durumlarda mutlak deðeri sýfýr yapan sayýlar çözüm kümesine dahil edilir. Mutlak deðerli ifade paydada ise mutlak deðeri sýfýr yapan sayýlar çözüm kümesine dahil edilmiþ ise çýkarýlýr. Bizce soru sonunda unutulma olasýlýðý yüksek olduðu için baþtan tabloya yazýlmasýnda fayda vardýr. Mutlak deðerli ifadelerin kökleri çift katlý kök kabul edilir. ÖR 8 : 9 <0 4 ÖR 7 : +1 10 ( + +15) 16 < 0 eþitsizliðini saðlamayan kaç tamsayý vardýr? www.bilalbilicioglu.com ÖR 9 : + 4 +1 + 0 ÖR 8 : 00 3 3 ( 8) 0 18 ÖR 10 : (3 ) 7 ( 10) 6 0 6
Alýþtýrma 1 EÞÝTSÝZLÝKLER. Aþaðýdaki eþitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. Aþaðýdaki eþitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) 3 4 a) 5 < 0 b) 6 >0 c) 6 >5 d) 4 5 0 9 e) 4 + 3 0 3 3 + b) 3 0 c) + 5 < 0 w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m 1. d) 3 + 5 > 0 e) 1 0 7
Eþitsizlikler 3. Aþaðýdaki eþitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) ( 4) 0 4. Aþaðýdaki eþitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) +1 0 +1 > b) 3 ( ) 5 > 0 b) + 3 4 0 c) 010 011 ( 1).( ) ( +1) 01 0 www.bilalbilicioglu.com c) + +1 0 9 d) +1 0 + 4 d) ( + 7). 5 1 3 + 0 e) ( 4) 3 8 < 0 e) + +3 +5.3.5 + + > 0 8
EÞÝTSÝZLÝKLER 4 Eþitsizlik Sistemi Eþitsizlik Sistemi ÖR 3 : Birden fazla eþitsizliðin bulunduðu ifadelere (sorulara) eþitsizlik sistemi denir. 1 + 0 7 Eþitsizlik sistemindeki her eþitsizliðin ayrý ayrý çözüm kümesi bulunur. Bu çözüm kümelerinin kesiþim kümesi eþitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. eþitsizlik sistemini saðlayan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? ÖR 1 : 1 0 9 < 0 w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m eþitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz. ÖR 4 : 6 1 eþitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz. ÖR : 4 0 36 < 0 5 <0 eþitsizlik sistemini saðlayan kaç tamsayý vardýr? 9
Eþitsizlikler n çift sayma sayýsý ise, f() = n g() fonksiyonunun en geniþ taným aralýðý g() 0 eþitsizliðinin çözüm kümesidir. Ýçinde köklü ifade bulunan eþitsizliklerde kök içinin sýfýr veya pozitif (tanýmlý) olduðu aralýklarda çözüm aranýr. n tek sayma sayýsý ise, f() = n g() fonksiyonunun en geniþ taným aralýðý g() in taným aralýðý ile aynýdýr. f() = g() ise g() 0 þartýný saðlayan aralýk eþitsizlik sisteminin bir bölümüdür. Eþitsizlik sisteminin diðer bölüm veya bölümleri sorudan uygun þekilde seçilir. ÖR 5 : 3 +1 f() = fonksiyonunun en geniþ taným aralýðýný bulunuz. ÖR 9 : 10 1 0 ÖR 6 : f()= 4 10 1 fonksiyonunun en geniþ taným aralýðýný bulunuz. ÖR 7 : f() = 3 + 4 1 3 www.bilalbilicioglu.com 3 8 + 15 ÖR 10 : 0 4 fonksiyonunun en geniþ taným aralýðýný bulunuz. ÖR 11 : + 5 < 5 ÖR 8 : 1 1 f() = + fonksiyonunun en geniþ taným aralýðýný bulunuz. 10
Alýþtýrma EÞÝTSÝZLÝKLER. Aþaðýdaki fonksiyonlarýn en geniþ taným kümelerini bulunuz. a) Aþaðýdaki eþitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz. a) 0 f() = + 4 + 3 + > 0 9 b) f() = c) f() = d) f() = ( 3 + )(9 ) b) 1 < w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m 1. 5 3 4 1 < +1 c) 3 < 4 36 4 3 d) 11 1 <
Eþitsizlikler 3. Aþaðýdaki eþitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) ( 4)( + 3) 3 ( 1) 5 ( + ) 6 < 0 4. Aþaðýdaki eþitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) 010 011 ( 4).( +5) < 0 ( + +1).5. b) 10 11 ( 1) ( ) 9 8 ( +1) ( + ) 0 b) 99 100 (3 ).(3 + ) 9 0 c) + 1 > 4 1 3 3 www.bilalbilicioglu.com c) 16 0 + +4 d) +14 5 > +7+6 d) 1 1 1 0 1 +1 > 1
EÞÝTSÝZLÝKLER 5 Kökler ve Katsayýlar Arasýndaki Ýliþkiler ÖR 3 : (k 3) 3k + 1 = 0 Ýkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Köklerinin Ýþareti denkleminin zýt iþaretli, negatif kökün mutlak deðerce pozitif kökten daha büyük olduðu iki kökünün olmasý için k nin deðer aralýðýný bulunuz. a + b + c = 0 denkleminin kökleri 1 ve olsun. Δ = b 4ac olmak üzere, bu denklemin çözüm kümesini bulmadan, köklerinin iþareti ile ilgili aþaðýdaki yorumlarý yapabiliriz. <0 Denklemin reel kökü yoktur. 1 + > 0 0 < 1 = Eþit iki pozitif kök vardýr. =0 Eþit iki kök 1 + = 0 1 = = 0 vardýr. 1 + < 0 1 = < 0 Eþit iki negatif kök vardýr. 1 + > 0 0 < 1 < Pozitif iki kök vardýr. Kökler ayný + < 0 1 < < 0 iþaretlidir. 1 Negatif iki kök vardýr. 1. = 0 1 + > 0 0 = 1 < >0 Küçük kök 0 dýr. Farklý iki Köklerden biri 1 + < 0 1 < = 0 kök vardýr. 0 dýr. Büyük kök 0 dýr. + > 0 1<0< ve 1 < 1. < 0 1 Kökler + = 0 <0< ve = 1 1 1 zýt iþaretlidir. 1+ < 0 1<0< ve 1 > Her reel sayý için a + b + c > 0 veya w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m 1. > 0 ÖR 1 : 4 m + 3 = 0 denkleminin ayný iþaretli iki gerçel kökü olduðuna göre, m nin deðer aralýðýný bulunuz. a + b + c < 0 eþitsizliðinin saðlanmasý R için a + b + c > 0 eþitsizliðinin saðlanmasý için 1. Δ < 0 ve (Kök olmaz ise tabloda iþaret deðiþimi olmaz.). a > 0 olmalýdýr. (Tabloda iþaretin pozitif olmasý için) R için a + b + c < 0 eþitsizliðinin saðlanmasý için 1. Δ < 0 ve (Kök olmaz ise tabloda iþaret deðiþimi olmaz.). a < 0 olmalýdýr.(tabloda iþaretin negatif olmasý için) ÖR 4 : m + (m 3) + 1 > 0 eþitsizliði R için saðlanýyorsa m nin deðer aralýðýný bulunuz. ÖR : (m + 1) + 1 + m 4 = 0 denkleminin ters iþaretli iki gerçel kökü olduðuna göre, m nin deðer aralýðýný bulunuz. 13
Eþitsizlikler ÖR 5 : f() = (k 1) (k 1) k 1 fonksiyonu daima negatif deðer aldýðýna göre k nýn deðer aralýðýný bulunuz. ÖR 7 : (p + ) + 4 = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 < < 1 ise p nin deðer aralýðýný bulunuz. ÖR 8 : y 4 y = f() Ýkinci Dereceden Bir Denklemin Köklerinin k R Sayýsý ile Karþýlaþtýrýlmasý 3 8 k R, f() = a + b + c olmak üzere, 1. k sayýsý kökler arasýnda ( 1 < k < ) ise a.f(k) < 0 olmalýdýr. Δ > 0 olmalýdýr.. k sayýsý her iki kökten küçük (k < 1 < ) ise Δ > 0 a.f(k) > 0 k < b a olmalýdýr. www.bilalbilicioglu.com ÖR 9 : Þekilde y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. Buna göre.f() 0 eþitsizliðini saðlayan kaç farklý tam sayý vardýr? y 3. k sayýsý her iki kökten büyük ( 1 < < k) ise Δ > 0 0 6 a.f(k) > 0 k > b a olmalýdýr. ÖR 6 : m + m + 7 = 0 y = f() Þekilde y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. Buna göre ( 16).f() 0 eþitsizliðini saðlayan tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 < < ise m hangi aralýkta olmalýdýr? 14
EÞÝTSÝZLÝKLER 1. (m + 1) + m + 4 = 0 Alýþtýrma 3 5. Aþaðýdaki eþitsizlikler her reel sayýsý için sað- denkleminin kökleri arasýnda landýðýna göre, 1 = < 0 baðýntýsý var ise m kaçtýr? m nin alabileceði deðer aralýklarýný bulunuz. a) 4 + m > 0. (m + 1) + (m 1) + m = 0 denkleminin ters iþaretli iki kökü var ise m nin deðer aralýðýný bulunuz. 3. (m ) 8 + 1 = 0 denkleminin iki farklý pozitif reel kökü olduðuna göre, m nin en geniþ deðer aralýðýný bulunuz. w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m b) + (m 3) + 1 > 0 c) (m 1) + (m 1)+ 1 > 0 d) (m ) + (m + 1) 1 < 0 4. (m ) + (m + ) + m + 3 = 0 denkleminin iki farklý negatif reel kökü var olduðuna göre, m nin en geniþ deðer aralýðýný bulunuz. 15
II. Dereceden Denklemler 6. (m 1) + m + 1 = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 < 0 < ve < 1 olduðuna göre, m nin deðer aralýðýný bulunuz. 10. 1 y 5 8 9 y = f() Yukarýda verilen y = f() fonksiyonunun grafiðine göre, a) f() = 0 denkleminin farklý reel köklerinin toplamý kaçtýr? 7. (m ) + (m + 1) 1 = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 < 3 < þartýnýn saðlanmasý için m nin deðer aralýðýný bulunuz. b) Çift katlý köklerinin toplamý kaçtýr? c) Tek katlý köklerinin toplamý kaçtýr? 11. 1. y 8. (m 1) + 4 + 6 = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. < 1 < þartýnýn saðlanmasý için m nin deðer aralýðýný bulunuz. www.bilalbilicioglu.com 3 y = f() Þekilde y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. Buna göre.f() 0 eþitsizliðini saðlayan tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? 6 1. y y = f() 9. (m + 1) + + 8 = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 < < 4 þartýnýn saðlanmasý için m nin deðer aralýðýný bulunuz. Þekilde y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir..f() Buna göre eþitsizliðini saðlayan kaç +4 0 farklý tamsayý vardýr? 5 16
Konu Testi 1 EÞÝTSÝZLÝKLER 1. f() = ( 1)( 9)( + 6) 5. fonksiyonu veriliyor. f() = 0 denkleminin birbirinden farklý reel köklerinin toplamý kaçtýr? A) 0 B)1 C) 3 D) 11 E) 9 0 3 18 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? 17 A) R [6, 9] B) R (6, 9) D) [6, 9] 6.. R olmak üzere, f() = ( 9).(1 )3 4 + 3 C) 1 D) 3 E) 9 ( 4).( 3 1) + B) + + D) 4. B) (, ] D) [ 1, ] 7. fonksiyonunun iþaret tablosu yapýldýðýnda soldan saða doðru iþaretler hangi þýkta doðru verilmiþtir? A) + + + ( 4)11.(1 ) 0 3 + A) [1, ] w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m 3. f() = B) 3 E) R [6, 9) eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? fonksiyonunun çift katlý köklerinin çarpýmý kaçtýr? A) 9 C) [6, 9) 3.( 8) + 16 C) ( 1, ) E) [, 1] <0 eþitsizliðini saðlayan kaç tane pozitif tamsayý vardýr? C) + + E) + A) 1 ( 5) 0 3 8. eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? B) C) 3 D) 4 E) 10 (4 ).( 1) >0 (4 ) eþitsizliðini saðlayan en küçük pozitif tamsayý kaçtýr? A) [ 5, 0] (3, 5] A) 1 B) [ 5, 5] {0, 3} C) R {0, 3} D) R {( 5, 0) [3, 5)} E) ( 5, 0) (3, 5) 17 B) C) 3 D) 4 E) 5
II. Dereceden Denklemler 9..( 6) 0 3 9 eþitsizliðini saðlayan doðal sayýlarýnýn toplamý kaçtýr? A) 4 B) 9 C) 15 D) 1 E) 8 13. (m + ) + 6 1 > 0 eþitsizliði R için saðlanýyorsa aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) m < 11 B) < m < 11 C) < m < 11 D) 11 < m < 17 E) 11 < m 10. 11. 1. 3 4 +4 4 eþitsizliðini saðlayan kaç tamsayýsý vardýr? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 ( 3) 16 0 eþitsizliðini saðlamayan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? A) 93 B) 1 C) 0 D) 1 E) 93 www.bilalbilicioglu.com 14. 15. 3 >0 +1 +3 0 7 eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) < 3 B) 3 < 1 C) 1 < < 3 D) 3 < < 7 E) 7 < 1 1< <5 5 eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) < < 13 B) 13 < < C) 1 < < 3 D) < < 13 E) < 1. 9 + a < 9 + 3 eþitsizliði R için saðlandýðýna göre, a hangi aralýkta olmalýdýr? A) a < 3 B) 3 < a < 3 C) a < D) a < 3 E) 3 < a 16. 5 6 > 3 3 eþitsizliðini saðlayan kaç tamsayýsý vardýr? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 1. D.D 3.E 4.A 5.E 6.E 7.C 8.E 9.C 10.C 11.E 1.D 13.B 14.C 15.B 16.C 18
EÞÝTSÝZLÝKLER 1. 40 0 4 5. B) 14 C) 18 D) 0 1 4 1 eþitsizliðini saðlayan en küçük pozitif tamsayýsý kaçtýr? eþitsizliðini saðlayan doðal sayýlarýn toplamý kaçtýr? A) 1 Konu Testi E) 1 A) 1 ( 3) 3.( ) 4 0 ( ).(6 ) 6. C) 3 D) 4 E) 5 6 4 > 6 eþitsizliðini saðlayan pozitif tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) 15 A) (7, ) B) 13 C) 10 D) 8 E) 7 4 3. f() = ( +4).(6 ) + 15 fonksiyonu için aþaðýdaki yargýlardan hangisi yanlýþtýr? w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m. B) B) [7, ) C) R {7} E) (13, ) D) [7, 13) 7. +(m 8) + n 1 = 0 B) in en büyük dereceli teriminin katsayýsý pozitiftir. denkleminde kökler mutlak deðerce eþit iþaretçe ters olduðuna göre, m.n nin en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? C) en büyük deðerlerini alýrken f() negatiftir. A) 4 A) f(), = 5 ve = 3 deðerlerinde tanýmsýzdýr. B) 0 C) 1 D) 3 E) 4 D) in çift katlý kökleri toplamý olur. E) in tane tek katlý kökü vardýr. 4. 4 3 +1 8. 15 4 1 < 99 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? eþitsizliðini saðlayan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? A) 14 0 A) 4, 7 0 D) 4, 7 0 B) 4, 7 C) 0 E) 4, 7 19 B) 9 C) 0 D) 9 E) 14
II. Dereceden Denklemler 9. y 1 0 3 4 6 f() 13. a 6 + a = 0 denkleminin iki farklý reel kökü olduðuna göre, a nýn alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 yukarýda grafiði verilen f() fonksiyonunun çift katlý köklerinin toplamý kaçtýr? A) B) 3 C) 7 D) 9 E) 1 14. a ve b pozitif tamsayýlar olmak üzere, 10. Bir kenarý ( + 4) br ve bu kenara ait yüksekliði ( 3) br olan üçgenin alaný 9 br den küçük olduðuna göre, in alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) ( 5, 3) B) (3, 5) C) ( 6, 5) D) ( 3, 5) E) (3, 6) ( + 5) a.( ) b.(3 ) 5.(4 ) 8 = 0 denkleminin çift katlý köklerinin toplamý 6 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle çift sayýdýr? A)a b B)a+b C)b a D) 5a + b E) a b 11. 1. ++3 0 + 1 1<0 eþitsizlik sistemini saðlayan kaç tamsayý vardýr? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 www.bilalbilicioglu.com 15. (m 1) (m 7) + m = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 < 1 < olduðuna göre, m nin deðer aralýðý hangisidir? A) m < 3 B) 3 < m < 1 C) 3 < m < 1 D) 1 < m < 4 E) 1 < m 1. 1 eþitsizliðini saðlayan kaç farklý tamsayýsý vardýr? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 16. 3 +5 4 6 9 9 eþitsizliðini saðlayan kaç tam sayýsý vardýr? A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 7 1.C.B 3.C 4.D 5.C 6.E 7.D 8. C 9.D 10. B 11.C 1.A 13.B 14.C 15.C 16.D 0
Konu Testi 3 EÞÝTSÝZLÝKLER 1. 1 0 1 4 5. I + + II + + + 3 4 < 0 A) 1 >0 3 4 > 0 B) 1 <0 3 4 < 0 C) 1 <0 3 4 > 0 D) 1 >0 B) < < 1 C) 1 < < D) < < E) < < 6. (m + 3) + + m 1 = 0 denkleminin ters iþaretli iki kökü vardýr. 3 4 < 0 E) 1 0 (1 < ) a + b + c = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. Buna göre aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) 1 < < 0 B) 0 < 1 < 1 > olduðuna göre, m hangi aralýktadýr? w w w. b i l a l b i l i c i o g l u. c o m. a < 0 < b < c olmak üzere C) 1 < 0 < ve 1 < A) m < 1 B) 1 < m < 0 C) 0 < m < 1 D) 1 < m < 3 E) 3 < m < 1 7. sayý tabanýný göstermek üzere D) 1 < 0 < ve 1 > (11) < 49 eþitsizliðini saðlayan kaç tamsayý vardýr? E) 1 ve kökleri gerçel deðildir. A) + 3 7 <0 A) < < 3. + 4 eþitsizliðinin çözüm aralýklarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? Tabloya göre, çözüm kümesi (1, 4) aralýðý olan eþitsizlik sistemi aþaðýdakilerden hangisi olabilir? 1.( 1) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 0 + 3 eþitsizliðini saðlayan farklý tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? A) 15 4. + B) 1 C) 9 D) 9 E) 1 8. a 0 +b eþitsizliðinin çözüm kümesi [ 3, 3] [10, ] olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? 16 10 A) 13 eþitsizliðini saðlayan kaç farklý doðal sayý vardýr? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 1 B) 9 C) 1 D) 1 E) 10
II. Dereceden Denklemler 9..( 1) 1 < 0 ve < ( 3) 1 eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (, 1) (0, 1) B) (0, ) C) ( 1, 0) (1, ) D) (1, 3) E) ( 1, 0) (1, 3) 13. b < 0 < a olduðuna göre, (b + a) ( a +b) 0 eþitsizliðinin çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? a b b b b a A), B), C), b a a a a b b a a b D), E), a b b a 14. a < 0 < b < c olmak üzere, 10. + (m ) + 8 =0 denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 < < 1 olduðuna göre m nin deðer aralýðý hangisidir? A) (, ) B) (, 10) C) (, 10) D) (, ) E) (10, ) 11. 1. m < 0 olmak üzere, (m 1) + m = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) Gerçel kökü yoktur. B) Ters iþaretli iki gerçel kökü vardýr. C) Birbirine eþit iki kökü vardýr. D) Sýfýrdan küçük iki gerçel kökü vardýr. E) Sýfýrdan büyük iki gerçel kökü vardýr. 1. f() = (m 1) + m + m + 1 fonksiyonu veriliyor. f() = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 < < olmasý için m hangi aralýkta olmalýdýr? A) 1 < m < 3 B) 0 < m < 1 C) 3 < m < 0 D) < m < 1 E) 3 < m < + www.bilalbilicioglu.com (b c).(a b) < 0 (a c) eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisinde doðru olarak verilmiþtir? b c c b A), B)R, a b a a c c b c C), D),, + a a a b c b c E),, a a b 15. (m 6) 3m = 0 denkleminin kökleri 1 ve dir. 1 1 + >3 1 olduðuna göre, m için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) m < 6 11 C) 0 < m < 6 11 E) 6 11 < m B) m < 0 D) 6 11 < m < 6 11 16. 4 8 + k = 0 denkleminin 4 farklý gerçel kökü olduðuna göre, k nýn alabileceði deðer aralýðý hangisidir? A) (0, 16) B) (0, + ) C) (16, + ) D) (, 16) E) (, 0) 1.A.C 3. B 4.C 5.B 6.A 7.B 8.C 9.D 10.E 11.D 1.A 13.D 14.E 15.C 16.A