Üçgenler Geometrik isimler önüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz üþümü 119
120
Üçgenler Üçgenler 4 cm 2 cm 2 cm Yukarýdaki çubuklarýn uzunluklarý 4 cm, 2 cm ve 2 cm dir. u üç çubuðun uç noktalarýný birleþtirerek bir üçgen oluþturabilir misiniz? 121
Örnek Çözüm klýn ve mantýðýn halledemeyeceði mesele yoktur. Mustafa Kemal tatürk tatürk ölümünden 1,5 yýl önce kendi el yazýsý ile yazdýðý Geometri Kýlavuzu (1936-1937) dil, bilim, kültür ve eðitim açýsýndan çok önemli ve deðerli bir çalýþmadýr. tatürk, bu kýlavuzundaki terimlerin tamamýný Türkçe köklere, Türkçe ekler getirerek türetmiþtir. tatürk, çok yönlü bir önderdi. skerî deha, üstün bir devlet adamý ve bilimsel konularla da donanýmlý yaratýcý bir zekaya sahipti. þaðýda tatürk ün dilimize kazandýrdýðý terimlere örnekler verilmiþtir. çý oyut Çember ar açý Eþkenar Ýç - ters açý Kare Köþe Taban Yamuk çýortay Çap Çeþitkenar ýþ - ters açý Eþit Ýkizkenar Kenar Oran - Orantý Üçgen Yöndeþ 122
Örnek - Çözüm Üçgen Eþitsizliði ir üçgenin iki kenarýnýn uzunluklarý toplamý, üçüncü kenarýn uzunluðundan büyüktür. c b a < b + c b < a + c c < a + b ❶ a yrýca, bir üçgenin iki kenarýnýn uzunluklarý farkýnýn mutlak deðeri, üçüncü kenardan küçüktür. Yukarýdaki üçgenine göre; b c < a a c < b a b < c... ❷ ❶ ve ❷ yi birleþtirirsek; b c < a < b + c a c < b < a + c a b < c < a + b ir üçgenin çizilebilmesi için bu üçgenin bir kenarýnýn uzunluðunun diðer iki kenarýn uzunluklarý farkýnýn mutlak deðeri ile toplamý arasýnda olmasý gerekir. u baðýntýya üçgen eþitsizliði denir. Örnek 88 3 cm göre nin alabileceði tam sayý deðerlerini bulalým. Üçgen eþitsizliðine göre üçgeninde; 5 3 < < 5 + 3 2 < < 8 dir. [] kenarýnýn uzunluðu 2 cm ile 8 cm arasýndaki tam sayýlar olabilir. nin alabileceði tam sayý deðerleri 3, 4, 5, 6 ve 7 dir. 123
Örnek - Çözüm Örnek 89 9 cm 6 cm göre nin alabileceði en büyük ve en küçük tam sayý deðerlerinin toplamýný bulalým. Üçgen eþitsizliðine göre; 9 6 < < 9 + 6 3 < < 15 olur. u eþitsizliðe göre nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri 4, en büyük tam sayý deðeri ise 14 tür. una göre nin alabileceði en küçük ve en büyük tam sayý deðerleri toplamý 4 + 14 = 18 dir. Örnek 90 göre nin alabileceði tam sayý 2 cm deðerlerini bulalým. 6 cm 6 cm u soruda iki üçgen olduðu için üçgen eþitsizliðini iki kez kullanmalýyýz. üçgenindeki üçgen eþitsizliðini aþaðýdaki gibi yazabiliriz. 9 cm 6 2 < < 6 + 2 4 < < 8... ❶ üçgeninde, üçgen eþitsizliðini aþaðýdaki gibi elde ederiz. 9 6 < < 9 + 6 3 < < 15... ❷ II nin ❶ ve ❷ deki eþitsizliklerin ikisini birden saðlamasý gerekir. una göre; 4 < < 8 3 < < 15 4 < < 8 olur. uradan nin alabileceði tam sayý deðerlerini 5, 6 ve 7 olarak buluruz. 124
Örnek - Çözüm Örnek 91 6 cm 9 cm göre nin alabileceði en büyük tam sayý deðerini bulalým. üçgeni ve üçgeni için üçgen eþitsizliðini ayrý ayrý yazalým. üçgeninde; 6 5 < < 6 + 5 1 < < 11... ❶ üçgeninde 9 7 < < 9 + 7 2 < < 16... ❷ II nin ❶ ve ❷ eþitsizliklerinin ikisini birden saðlamasý gerekir. una göre; 1 < < 11 2 < < 16 2 < < 11 olur. uradan nin alabileceði en büyük tam sayý deðeri 10 cm olarak bulunur. Örnek 92 8 cm 6 cm göre [] ve [] kenarlarýnýn alabileceði en büyük tam sayý deðerleri için + kaçtýr? 10 cm 8 cm 6 cm 10 cm ve üçgenlerinde üçgen eþitsizliðini uygulayalým. üçgeninde; 8 6 < < 6 + 8 2 < < 14... ❶ üçgeninde; 10 5 < < 10 + 5 5 < < 15... ❷ 125
Örnek - Çözüm ❶ ve ❷ eþitsizliklerine göre; 2 < < 14 5 < < 15 5 < < 14 olur. urada nin alabileceði en büyük tam sayý deðeri 13 tür. ve üçgenlerinde, üçgen eþitsizliðini uygulayalým. üçgeninde; 8 cm 6 cm 8 5 < < 8 + 5 3 < < 13... ❸ üçgeninde; 10 cm 10 6 < < 10 + 6 4 < < 16... ❹ ❸ ve ❹ eþitsizliklerine göre 3 < < 13 4 < < 16 4 < < 13 olur. nin alabileceði en büyük tam sayý deðeri 12 dir. una göre + = 13 + 12 = 2 dir. Örnek 93 göre ve nin alabileceði en küçük tam sayý deðerleri için + toplamý kaçtýr? 10 cm 3 cm 126
Üçgenler (K.1-2) Neler Öðrendim? 13 1. þaðýda kenarlarýnýn ölçüleri verilen üçgenlerin çizilip çizilemeyeceðini belirtiniz. 2. þaðýdaki üçgenlerde x in alabileceði tam sayý deðerlerini bulunuz. a. a = b = 4 cm c = 3 cm... a. 4 cm b. a = 10 cm b = 8 cm c = 6 cm x... b. c. a = b = c = 4 cm 4 cm... x d. a = 9 cm b = 6 cm c = 2 cm... c. e. a = 6 cm b = 6 cm c = x... 3 cm 8 cm f. a = 8 cm b = c = 14 cm... d. g. a = 6 cm b = 3 cm c = 2 cm... 8 cm 10 cm x 9 cm 2 cm 127
3. 5. 8 cm 12 cm 1 13 cm 9 cm göre ve nin alabileceði en büyük tam sayý deðerleri için + kaçtýr? göre nin alabileceði en büyük tam sayý deðerine göre nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr? 4. 6. 6 cm 10 cm 8 cm 9 cm 11 cm göre ve nin alabileceði en küçük tam sayý deðerleri için + kaçtýr? 12 cm göre nin alabileceði en küçük tam sayý deðerine göre nin alabileceði tam sayý deðerlerini bulunuz. 128
Üçgenler (K.1-2) Konu Testi 13 1. göre aþaðýdakilerden hangisi 11 cm olamaz? 5. göre EF nin alabileceði 8 cm en büyük tam sayý deðeri kaçtýr? E F ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 8 cm G ) 12 ) 13 ) 14 ) 15 2. göre E nin alabileceði en küçük 13 cm ve en büyük tam sayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? E F ) 23 ) 24 ) 25 ) 26 6. K göre KM kaç cm 1 olabilir? L 4 cm 8 cm M N ) 9 ) 10 ) 11 ) 12 3. K Þekilde verilen KLM çeþitkenar üçgenine göre LM nin 3 cm alabileceði tam sayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? L M ) 33 ) 27 ) 25 ) 17 7. P 9 cm R göre PS aþaðýdakilerden hangisi olabilir? T 4 cm S ) 4 ) 10 ) 11 ) 12 4. göre nin alabileceði en büyük 13 cm tam sayý deðeri kaçtýr? ) 17 ) 18 ) 19 ) 20 8. göre 12 cm nin alabileceði en bü- 3 cm yük ve en küçük tam sayý 8 cm deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) 10 ) 16 ) 18 ) 20 129
9. göre K 13 cm M 9 cm KN ve ML nin alabileceði en büyük L 11 cm N tam sayý deðerleri için KN + ML kaçtýr? ) 36 ) 34 ) 32 ) 30 12. göre nin 1 9 cm alabileceði en büyük tam sayý deðeri için aþaðýdakilerden hangisi olamaz? ) 20 ) 26 ) 28 ) 30 10. 6 cm 14 cm göre ve nin alabileceði en küçük tam sayý deðerleri için 3 cm 8 cm + kaçtýr? ) 10 ) 12 ) 14 ) 16 13. P göre PS nin alabileceði en küçük 8 cm tam sayý deðeri T R için TS nin alabileceði tam sayýla- 6 cm S rýn toplamý kaçtýr? ) 21 ) 23 ) 25 ) 27 14. göre EG ve F 3 cm G 4 cm E 2 cm nin alabileceði en küçük tam sayý deðerleri için EG + F kaçtýr? F ) 9 ) 11 ) 13 ) 15 11. göre F nin alabileceði 10 cm G en büyük tam sayý deðeri için E 6 cm 9 cm G nin alabileceði en küçük tam sa- F yý deðeri kaçtýr? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 15. göre a + b + c + d b a toplamýnýn alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr? c d ) 9 ) 10 ) 11 ) 12 130
Örnek Çözüm Üçgenlerde çý - Kenar Ýliþkileri Üçgenlerde büyük açýnýn karþýsýndaki kenar büyük, küçük açýnýn karþýsýndaki kenar küçüktür. c b a m(ë) > m(ë) > m(ë) ise a > b > c dir. üyük kenarýn karþýsýndaki açý büyük, küçük kenar karþýsýndaki açý küçüktür. a > b > c ise m(ë) > m(ë) > m(ë) dir. Örnek 94 9 cm 4 cm Þekilde verilen bilgilere göre üçgeninin açýlarýnýn ölçülerini sýralayalým. üyük kenar karþýsýnda büyük açý olacaðýndan ilk önce kenarlarý sýralayalým. II = a = 9 cm, II = b = 4 cm ve II = c = olduðundan üçgenin kenar uzunluklarý arasýnda a > c > b sýralamasý vardýr. una göre açýlarýn sýralamasý ise m(ë) > m(ë) > m(ë) þeklinde olacaktýr. 131
Örnek - Çözüm Örnek 95 c a Þekildeki üçgende verilen bilgilere göre üçgeninin kenar uzunluklarýný sýralayalým. Ýlk önce açýsýnýn ölçüsünü bulalým. m(ë) + m(ë) + m(ë) = 180 m(ë) + 70 + 30 = 180 m(ë) = 80 dir. çýlarýn sýralamasý; m(ë) > m(ë) > m(ë) þeklindedir. üyük açý karþýsýnda büyük kenar olacaðýndan kenarlarýn sýralamasý; a > b > c biçiminde olacaktýr. b 70 30 ir üçgende eþ açýlarýn karþýsýndaki kenarlar da eþtir. m(ëe) = m(ëf) ise E = F dir. E F u ifadenin karþýtý da doðrudur. ir üçgende eþ kenarlarýn karþýsýndaki açýlar da eþtir. E = F ise m(ëe) = m(ëf) dir. Örnek 96 4 cm 4 cm göre üçgeninin açý ölçülerini sýralayalým. üçgeninin kenarlarý arasýndaki sýralama = < olduðundan açýlar arasýndaki sýralama m(ë) = m(ë) < m(ë) þeklinde olacaktýr. 132
Örnek - Çözüm ik Üçgen ve Geniþ çýlý Üçgende çý Kenar Ýliþkisi ir üçgende dik açý varsa bu açýnýn karþýsýndaki kenar en uzun kenardýr. iðer açýlarýn dar açý olacaðýný hatýrlayýnýz. ik üçgende dik açýnýn karþýsýndaki kenar hipotenüs, diðer kenarlar da dik kenarlardýr. hipotenüs < dik kenar < dir. dik kenar ir üçgende geniþ açý varsa bu açýnýn karþýsýndaki kenar en uzun kenardýr. iðer açýlar dar açýdýr. c b a m(ë) > 90 ise a > b ve a > c dir. Örnek 97 göre en uzun kenarý bulalým. 60 60 100 50 u soruyu üçgenleri ayrý ayrý ele alarak çözelim. üçgeninde; m() + m(ë) + m(ë) = 180 60 + m(ë) + 50 = 180 m(ë) = 70 dir. çýlarýn sýralamasý m(ë) > m(ë) > m(ë) olduðundan kenarlarýn sýralamasý > >... ❶ þeklinde olacaktýr. 133
Örnek - Çözüm üçgeninde ise; m(ë) + m(ë) + m(ë) = 180 60 + m(ë) + 100 = 180 m(ë) = 20 dir. çýlarýn sýralamasý m(ë) > m(ë) > m(ë) olduðundan kenarlarýn sýralamasý > >... ❷ þeklinde olacaktýr. ❶ de en uzun kenar, ❷ de ise dir. ❶ deki baðýntýda > bulmuþtuk. O hâlde, þekildeki en uzun kenar dir. Örnek 98 K göre en uzun kenarý bulunuz. L 52 48 35 M 55 N 134
Örnek - Çözüm Örnek 99 x Þekildeki üçgende; m(ë) > m(ë) ise x in alabileceði tam sayý deðerlerini bulalým. x i bulmak için önce üçgen eþitsizliðini kullanmamýz gerekir. 3 cm 5 3 < x < 5 + 3 2 < x < 8... ❶ Sonra da m(ë) > m(ë) olduðundan açýsýnýn gördüðü kenarýn açýsýnýn gördüðü kenardan daha büyük olduðu bilgisini kullanalým. 5 < x... ❷ ❶ ve ❷ yi birleþtirirsek 2 < x < 8 5 < x 5 < x < 8 olur. una göre x in alabileceði tam sayý deðerleri 6 ve 7 dir. Örnek 100 10 cm Þekilde açýsý geniþ açý, = ise nin alabileceði tam sayý deðerlerini bulalým. üçgeninde üçgen eþitsizliðinden; 10 7 < < 10 + 7 3 < < 17... ❶ bulunur. yrýca açýsý geniþ açý olduðundan en uzun kenardýr. < < 10... ❷ ❶ ve ❷ yi birleþtirirsek; 3 < < 17 < 10 3 < < 10 olur. O hâlde, nin alabileceði tam sayý deðerleri 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 dur. 135
Neler Öðrendim? 14 Üçgenler (K.3) 1. Þekilde verilen bilgilere göre 1 üçgeninin açýlarýnýn 10 cm ölçülerini sýralayýnýz. 4. P R S Þekildeki PRS dik üçgeninde PR = RS ise üçgenin açýlarýnýn ölçülerini sýralayýnýz. 2. Þekilde verilen bilgilere göre EF üçgeninin açýlarýnýn ölçülerini sýralayýnýz. E 4 cm F 5. 3. K Þekilde verilen bilgilere göre KLM üçgeninin kenar uzunluklarýný sýralayýnýz. 45 55 L M c Þekildeki üçgeninde ë geniþ açý ve m(ë) > m(ë) ise üçgeninin kenar uzunluklarýný sýralayýnýz. b a 136
6. göre en uzun kenarý bulunuz. 50 40 25 9. 8 cm K 14 cm x L 30 M Þekildeki KLM üçgeninde m(ëm) > m(ëk) > m(ël) ise x in alabileceði tam sayý deðerlerini bulunuz. 7. K göre en 65 uzun kenarý bulunuz. N 130 L 20 25 M 10. 12 cm 8. Þekildeki EF 9 cm üçgeninde ë geniþ açý ise x in alabileceði tam sayý deðerlerini E x F bulunuz. 1 Þekildeki üçgeninde m(ë) > 90 ve m(ë) > m(ë) ise nin alabileceði tam sayý deðerlerinin toplamýný bulunuz. 137
Konu Testi 14 Üçgenler (K.3) 1. Yandaki þekilde EF dik üçgen, EG eþkenar G üçgendir. E F una göre aþaðýdaki bilgilerden hangisi yanlýþtýr? 5. L K a 35 55 b N c M ) EG = GF ) 2 E = F ) E > GF ) EF > G 2. göre en kýsa ke- 55 75 nar aþaðýdakilerden 100 hangisidir? KLM üçgeninde KN = a, LN = b ve NM = c olduðuna göre aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) b > a > c ) a = b > c ) a > c > b ) c = a < b 45 ) [] ) [] ) [] ) [] 6. E 3. K göre en uzun kenar aþaðýdakiler- 75 M den hangisidir? 35 80 60 L N ) [KN] ) [NM] ) [KM] ) [LN] F Þekilde eþkenar üçgen, m(é) = m(ëe) = m(éf) = 100 ise en uzun kenar aþaðýdakilerden hangisidir? ) [] ) [F] ) [] ) [E] 4. göre üçgeninin açýlarý için aþaðýdakilerden 8 cm hangisi doðrudur? ) m(ë) > m(ë) > m(ë) 7. Þekildeki üçgende açýsý geniþ açý ise aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) m(ë) > m(ë) > m(ë) ) m(ë) > m(ë) > m(ë) 12 cm ) m(ë) > m(ë) > m(ë) ) 4 ) 5 ) 9 ) 12 138
8. Þekildeki üçgeninde geniþ 11 cm açý ise x in alabileceði en küçük tam sayý deðeri x kaçtýr? ) 11 ) 12 ) 13 ) 14 9. K Þekildeki KLM üçgeninde m(ëk) > m(ëm) > m(ël) ise KM nin tam sayý deðeri kaçtýr? L ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 10. K göre aþaðýdakilerden han- 80 N gisi doðrudur? L 12 cm M 45 35 ) KL > LM ) LN = 2 KL ) KM < KL ) KL < NM 11. Þekildeki E üçgeni ikizkenardýr. M 12. göre 30 aþaðýdakilerden hangisi 20 G F yanlýþtýr? 65 E ) EF < G ) E = EF ) EF = FG ) E < FG 13. göre en küçük kenar ile en b 86 a 54 büyük kenar ikilisi aþaðýdakiler- 110 c d 30 den hangisidir? e ) (a, e) ) (c, e) ) (b, a) ) (d, a) 14. üçgeninde geniþ açý ise nin alabileceði 9 cm tam sayý de- ðerleri toplamý 14 cm kaçtýr? ) 70 ) 72 ) 74 ) 76 m(ë) = 5, m(eë) = 15, E m(ë) = 60 ve = E ise üçgeni için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) > > ) < < ) > = ) = = 15. üçgeninde verilenlere göre b + c nin alabileceði en c b küçük tam sayý deðeri kaçtýr? 18 cm ) 17 ) 18 ) 19 ) 20 139