T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ.

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Fikri CENGİZ Balıkesir, Eylül-2007

ÖZET RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİ Fikri CENGİZ Balıkesir Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı (Yüksek Lisas Tezi / Tez Daışmaı: Doç. Dr. Nihal YILMAZ ÖZGÜR) Balıkesir, 2007 Bu çalışmada Biyolojide Phyllotaxis Feomei olarak bilie yaprakları dizilişii matematiksel modellemesi ele alımıştır. Coli Goodall 99 yılıda yayılaa çalışmasıda [9], Phyllotaxis i cut-grow modeli deile bir modelii, her bir üçge bir primordiumu temsil etmek üzere, üçgeleri bir dizisii şekillerii davraışıı aalizi vasıtasıyla çalışmıştır. Burada bağlatılı bir soru üçge içide üçge çizilmesi problemidir [, 2]. Karmakar, 2004 yılıda yayılaa çalışmasıda [8], döüşümleri daha geiş bir sııfı ile üretile üçgeleri bir dizisii şekillerii gelişimii çalışmıştır ki bu cut-grow modeli ve üçgeleri içide üçge problemii içerir. Biz burada Karmakar ı bu çalışmasıı iceleyeceğiz. { X } = bütü Möbius döüşümleri kümeside değerler ala rastlatısal değişkeleri bir dizisi olsu. Bu z C = C (geişletilmiş kompleks düzlem) olmak üzere çalışmada, { } S ( z) = X oko X ( z) ile taımlaa { } { } S z = 0 S z = 0 dizisii dikkate alacağız ve dizisii heme heme kesi yakısaklığıı gerek ve yeter şartlarıı tartışacağız. Buu bir uygulaması olarak { } S z şeklide bir dizii = 0 phyllotaxis i bir matematik modelii geellemek içi asıl kullaılabileceğii göstereceğiz. Ayı zamada { } bazı souçları tartışacağız. S z = 0 dizisii dağılımdaki yakısaklığı ile ilgili i

Bu çalışma üç bölümde oluşmaktadır. Birici bölümde tez çalışmasıı soraki bölümleride kullaacağımız Möbius döüşümlerii temel özellikleri, heme heme kesi yakısaklık, Kolmogorov 0- kauu gibi bazı temel bilgiler verilmiştir. İkici bölümde cut-grow modeli ve üçge içide üçge problemi ele alımış, rastlatısal Möbius döüşümlerii birleşimleri icelemiştir. Üçücü Bölümde ise { } souçları tartışılmıştır. S z = 0 dizisii dağılımdaki yakısaklığıa ait bazı ANAHTAR SÖZCÜKLER: Rastlatısal Möbius döüşümleri, phyllotaxis, cut-grow modeli. ii

ABSTRACT RANDOM MÖBIUS TRANSFORMATIONS Fikri CENGİZ Balıkesir Uiversity, Istitute of Sciece, Departmet of Mathematics (MSc. Thesis / Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Nihal YILMAZ ÖZGÜR) Balıkesir, Turkey 2007 I this study, the mathematical model of the arragemet of leaves, which is kow as Phyllotaxis Pheomeo i biology, has bee aalyzed. Coli Goodall, i his study i 99 [9], had studied a model of phyllotaxis which is called the cut-grow model via a aalysis of the behavior of shapes of a sequece of triagles where each triagle represeted a primordium. A related questio is the problem of drawig triagles iside of triagles [, 2]. Karmakar, i his study [8] studied o the evolutio of the shapes of a sequece of triagles produced by larger class of trasformatios which icludes the cut-grow model ad the triagles iside triagles problem. We are goig to examie this study by Karmakar. Let { X } be a sequece = of i.i.d. radom variables takig values i the set of all Möbius trasformatios. I this study, we cosider the sequece { } defied by S ( z) = X oko X ( z) where S z = 0 z C = C { } (exteded complex plae) ad discuss ecessary ad sufficiet coditios for almost surely covergece of { } how a sequece of the form { } model of phyllotaxis. distributio of the sequece { } S z = 0. As a applicatio we will see S z may be used to geeralize a mathematical = 0 Meawhile, some results related with the covergece i S z = 0 This study cosists of three chapters. have bee discussed. iii

I the first chapter, some basic cocepts like the basic properties of Möbius trasformatios, almost surely covergece ad Kolmogorov 0- Law, which will be used i the ext chapters, have bee metioed. I the secod chapter, cut-grow model ad the problem of triagles iside triagles have bee studied ad compositios of radom Möbius trasformatios have bee ivestigated. I the third chapter, some results related with the covergece i distributio of the sequece { } S z = 0 have bee discussed. KEY WORDS: Radom Möbius trasformatios, phyllotaxis, cut-grow model. iv

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET, ANAHTAR SÖZCÜKLER ABSTRACT, KEY WORDS İÇİNDEKİLER SEMBOL LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ ÖNSÖZ İ iii v vi iiiv ix. ÖN BİLGİLER.... MÖBİUS DÖNÜŞÜMLERİ....2 PHYLLOTAXİS FENOMENİ... 7.3 OLASILIK UZAYI... 8 2. RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİNİN BİRLEŞİMLERİ...7 2. YÖNLENDİRİLMİŞ ÜÇGEN...7 2.2 KESİRLİ LİNEER DÖNÜŞÜMLER VASITASIYLA ANALİZ...2 2.3 LİMİT ŞEKLİN MEVCUT OLMASI DURUMU...24 2.4 RASTLANTISAL KESİRLİ LİNEER DÖNÜŞÜMLERİN BİRLEŞİMLERİ...26 2.5 ORTAK SABİT NOKTALAR...30 3. DAĞILIMDA YAKINSAKLIK...5 3. { } V z = DİZİSİNİN HEMEN HEMEN KESİN YAKINSAMASI...52 0 3.2 NOKTASININ, { X } DİZİSİNİN HEMEN HEMEN KESİN BİR SABİT NOKTASI = OLMASI DURUMU...53 3.3. A C NOKTASININ, { X } DİZİSİNİN HEMEN HEMEN KESİN BİR SABİT = NOKTASI OLMASI DURUMU...56 KAYNAKLAR...65 v

SEMBOL LİSTESİ Simge Adı Taımı/Değeri R C Reel Sayılar Kümesi Kompleks Sayılar Kümesi C Geişletilmiş Kompleks Sayılar Kümesi GL(2,C) SL(2,C) PGL(2,C) PSL(2,C) Geel lieer grup Özel lieer grup Projektif geel lieer grup Projektif özel lieer grup Aut ( C ) C u otomorfizmleri kümesi ε r i kompleks katlarıı kümesi ( Ω, Υ, P) Olasılık uzayı P(A) X E(X) ς( α ) A kümesii olasılık ölçüsü Rastlatısal değişke Rastlatısal değişkei beklee değeri α ı şekli vi

Simge Adı Taımı/Değeri L [ G] [ G ] stochastic matrisie karşılık gele möbiüs döüşümü Λ C C tüm kesirli lieer döüşümleri kümesi Λ( z 0 ) Sabit oktalarıda biri z 0 ola tüm kesirli lieer döüşümleri kümesi L ( z) L( z ) döüşümüü türev döüşümü Λ( z, z 2 ) Sabit oktaları z ve z 2 ola tüm kesirli lieer döüşümleri kümesi T M M, 2x2 tipide reel matrisii M iz( M.M ) = şeklide taımlaa ormu vii

ŞEKİL LİSTESİ Şekil Numarası Şekil Adı Sayfa Şekil 2. Yei o-üçgei 20 Şekil 2.2 X i Heme Heme Kesi Sabit Noktası -i Sayısıa Yakısaması 35 Şekil 2.3 Noktalar Yakısamaz (Çift Katlı Sabit Nokta +i ve E[ r ] = 0 ). 4 Şekil 2.4 Noktalar +i ye Yakısar (Çift Katlı Sabit Nokta +i ve E[ r ] 0 ). 42 Şekil 2.5 X i Heme Heme Kesi Sabit Noktası 5+i Sayısıa Yakısama. 46 viii

ÖNSÖZ Tezimi hazırlamakla geçirdiğim yoğu çalışma sürecide, deeyim ve bilgileriyle bei yöledire, değerli zamaıı ayırıp ilgisii esirgemeye sevgili hocam ve daışmaım Doç. Dr. Nihal Yılmaz ÖZGÜR e e içte teşekkürlerimi suarım. Balıkesir, 2007 Fikri CENGİZ ix

. ÖN BİLGİLER verilmiştir. Bu bölümde diğer bölümlerde kullaılacak ola bazı temel kavramlar. Möbius Döüşümleri.. Taım: a b 2x2 lik bir kompleks matris A = ; a,b,c,d C c d biçimide olsu. A matrisii determiatı det(a) ile gösterilir ve det(a) = ad-bc olarak taımlaır...2 Taım: A matrisi regülerdir. det(a) 0 olarak taımlaır. Eğer A matrisi regüler ise A ı tersi vardır ve d b A =. ad bc c a dir. Ayrıca A de regülerdir. dolayısıyla Herhagi A ve B matrisleri içi det(a.b) = det(a).det(b) = det(b.a) ve = = dır. 2x2 lik kompleks regüler det(b.a.b ) det(a.b.b ) det(a) matrisler, matris çarpma işlemie göre bir grup oluştururlar. Bu gruba Geel Lieer Grup deir ve a b GL(2,C) = :a,b,c,d C ve ad bc 0 c d ile gösterilir.

deir ve GL(2,C) i determiatı ola matrisleride oluşa gruba Özel Lieer Grup a b SL(2,C) = :a,b,c,d C ve ad bc = c d ile gösterilir...3 Taım: C ile göstereceğimiz geişletilmiş karmaşık düzlemi otomorfizmleri; a, b, c, d C ve ad-bc 0 olmak üzere az + b T(z) = cz + d biçimideki döüşümlerdir. Bu özellikteki bir w = T(z) döüşümüe Doğrusal Döüşüm, Kesirli Lieer Döüşüm ya da Möbius Döüşümü deir. Bu döüşümleri kümesi foksiyoları bileşkesi işlemie göre bir grup oluşturur ve bu grup Aut( C ) simgesiyle gösterilir. T(z) döüşümü a,b,c,d C katsayılarıı bir tek biçimde belirlemez. Buu az + b kaz + kb T(z) = = (k 0, k C) cz + d kcz + kd şeklide kolayca görebiliriz. Acak a, b, c, d C, ad bc 0 verildiğide bu bir tek az + b T(z) = cz + d döüşümü belirler. 2

Taımdaki = ad bcifadesie Döüşümü Belirteci deir. 0 olması = olmasıa dektir. Çükü 0 olduğuda T(z) i payı ve paydası ± ile bölüerek a d b c = buluur. a b + az + b a z + b T(z) = = ± ± = cz + d c d c z + d + ± ± a d b c ad bc a d b c =.. = = ± ± ± ± Doğrusal döüşümler ve matrisler arasıda sıkı bir bağlatı vardır. az + b T(z) = ve cz + d a b N = c d matrislerii belirtir. a z + b U(z) = döüşümlerii alalım. Bu döüşümler c z + d aa + bc ab + bd MN = ca + dc cb + dd a b M = c d ve çarpım matrisi de To U döüşümüü belirtir. Böylece GL(2,C) kümesi ile Aut(C ) arasıda sıkı bir bağ vardır. θ:gl(2, C) Aut(C ) döüşümüü a θ c b d =T, az + b T(z) = cz + d şeklide taımlayalım. θ (MN) = To U = θ(m) o θ(n) olduğu görülür. Yai θ, işlem koruyadır. Böylece θ, bir grup homomorfizmi olur. Ayrıca θ:gl(2, C) Aut(C ) üzerie olduğuda θ, bir epimorfizmadır. θ i çekirdeği; K = ker θ = { V GL(2, C) : θ (V) = I } az + b = V GL(2,C): = z, z C cz + d a b = GL(2, C): a = d = λ, b = c = 0, λ C { 0} c d 3

λ 0 = : λ C { 0 } 0 λ { I: C { 0 }, I,birim matris} = λ λ kümesidir. θ, döüşümüe. izomorfizm teoremii uygularsak GL(2, C) Aut(C ) ker θ elde edilir. GL(2,C) Bölüm grubu içi PGL(2,C) ker θ simgesi kullaılır ve Projektif Geel Lieer Grup deir. Her M, N GL(2,C) içi det( M.N ) = det(m).det(n) olduğuda det : GL(2,C) C /{ 0} döüşümü işlem koruyadır. Dolayısıyla det döüşümü bir grup homomorfizmidir. ker(det) = { V GL(2,C) :det(v) = } a b = GL(2,C) : ad bc = c d dir. Bu grubu SL(2,C) simgesi ile göstereceğiz. SL(2,C) ye Özel Lieer Grup deir. GL(2, C) SL(2,C) olur.. izomorfizm teoremide C /{ 0} Her N GL(2, C) içi 2 k = det(n) ve M SL(2, C) olmak üzere N = km yazılabilir. θ (N) = θ (M) dir. Dolayısıyla her T Aut(C ) döüşümü, az + b T(z) = ; a,b,c,d C vead bc = cz + d biçimide yazılabilir. Yai θ döüşümü SL(2,C) yi Aut(C ) üzerie resmeder. O halde SL(2,C) i GL(2,C) ker θ bölüm grubudaki resmi PSL(2,C) olmak üzere PGL(2,C) = PSL(2,C) olur. PSL(2,C) ye Projektif Özel Lieer Grup deir. Böylece, 4

Aut(C ) PGL(2, C) = PSL(2, C) elde edilir...4 Taım: Bir T PGL(2, C) döüşümüü sabit oktası diye T(z) = z yai az + b = z cz + d eşitliğii sağlaya z oktasıa deir...5 Teorem [2]: Bir doğrusal döüşümü e fazla iki sabit oktası vardır...6 Souç: Sabit oktası ikide fazla ola tek doğrusal döüşüm birim döüşümdür. az + b T(z) = PSL(2, C) döüşümleri iki sabit oktalı ve tek sabit oktalı diye ikiye cz + d ayrılır. c 0 olsu. Varsayalım ki z,z 2 solu sabit oktalardır. z, z, z 2, oktalarıı sırasıyla 2 çapraz oraları eşitliğide a T( ) = dir. c a T(z), z, z, oktalarıa döüştüre T döüşümüü, c T(z) z z z = K. T(z) z z z 2 2 a cz şeklide elde ederiz. Burada K = dir. Bu K ya Döüşümü Çarpaı deir. a cz 2 5

az + b c = 0 olsu. Bu durumda döüşüm T(z) =, ad= şeklie gelir. Bezer d d şekilde bu döüşümü sabit oktalarıda birisi, a b ike diğeri de z = b a dır. b z,, z, oktalarıı sırasıyla T(z),, z, 0 oktalarıa resmede T döüşümü, a çapraz oraları eşitliğide T(z) z = K(z z ) şeklide elde edilir. Burada K a = dir. d Bir T(z) döüşümüü K çarpaıa bağlı olarak yazmaı avatajı döüşümü az + b kuvvetii hesaplamada gösterdiği kolaylıktır. Yai T(z) = şeklide bir döüşüm cz + d verildiğide T (z) yi doğruda hesaplamak pratik değildir. Halbuki bu döüşüm sabit oktaları z ve z 2 i her ikisii de solu veya birii solu olması halide T(z) z z z = K T(z) z z z 2 2 veya T(z) z = K (z z ) şeklide yazılabileceğide ve şekilde yazılacağı açıktır: T i sabit oktaları da z ve z 2 olacağıda T i şu T(z) z z z = K T(z) z z z 2 2 6

veya T(z) z = K (z z )...7 Teorem [3]: az + b T(z) = cz + d oktaları z ve z 2 olmak üzere ; a, b, c, d C ve ad-bc = olmak üzere T döüşümüü sabit K = dir. T (z ) 2 Möbius Döüşümleri hakkıda daha ayrıtılı bilgi içi [, 2, 3] kayaklarıda faydalaılabilir..2 Phyllotaxis Feomei Botaikte yaprakları dizilişi Phyllotaxis Feomei olarak biliir. Bu dört tür olmaktadır.. Sarmal: Her düğümde bir yaprak 2. Karşıt: Her düğümde karşılıklı bir çift yaprak 3. Halka dizilişi: Her düğümde birde fazla yaprak 4. Çapraz: Birbirii takip ede düğümlerdeki yaprak çiftleri birbiriyle dik açılıdır. Ardışık yaprakları düzei bir kesirle belirtilir. Öreği 2 5 kesiriyle verile phyllotaxi, 5 tae dik sıraı olduğuu, 6. sıradaki yaprağı. ile ayı sırada yer aldığıı söyler. Dolayısıyla 2 ise. de 6. cıya kadar dal etrafıda iki tur atıldığıı söyler. 2.360 44 o = iki yaprak arasıdaki açıdır. Kısaca p 5 d şeklideki bir kesirde 7

payda (d) düğümleri kaç yaprakta bir ayı sırada yer aldığıı pay (p) ise yaprağı ayı sıraya gelee kadar dal etrafıda kaç kez dödüğüü gösterir. Çeşitli bitkileri phyllotaxileri şöyledir: Karaağaç 2, kayı ve ayak otu 3, meşe ve elma 2 5, kavak 3 8 p d değeri 2 ile 3, badem ve pırasa 5 3 tür. Botaikçilere göre herhagi bir arasıda yer alacağıda birbiride e az sapı uç çevresii 3 te biri kadar ayrı duracaklar ve böylece de hem her yaprak maksimum hava ve ışık alacak hem de yapraklara besi ve su eşit orada ulaşacaktır..3 Olasılık Uzayı.3. Taım: deir. Ω olmak üzere Ω ı alt kümeleride oluşa kümeye Ω da bir Sııf.3.2 Taım: ( σ -Cebiri) Ω ve Υ, Ω da bir sııf olsu. (a) Ω Υ (b) A Υ içi A Υ (c) Υ sııfıda alıa A, A 2,... kümeleri içi koşullarıı sağlaya Υ sııfıa Ω da bir σ cebiri deir. U = A Υ.3.3 Taım: (Olasılık Ölçüsü) 8

Ω ve Υ, Ω da bir σ cebir olsu. P : Υ R foksiyou; (a) A Υ içi P( A) 0 (b) P( Ω ) = (c) Υ da aldığımız her ayrık 2 U = = = A,A,... kümeleri içi P A P( A ) şartlarıı sağlıyor ise P ye bir Olasılık Ölçüsü deir. A Υ içi P(A) sayısıa A ı Olasılık Ölçüsü ya da A ı Olasılığı deir..3.4 Taım: (Olasılık Uzayı) Ω ve Υ, Ω da bir σ cebiri olmak üzere P, Υ üzeride taımlı bir olasılık ölçüsü ise ( Ω, Υ, P) üçlüsüe Olasılık Uzayı deir..3.5 Taım: (Rastlatısal Değişkeler) Bir Rastlatısal Değişke, belirli bir taım aralığıda hagi değeri alacağı öcede bilimeye ve bu değeri belli olasılıklarla alabile değişkedir. Bu durumda rastlatısal değişkei aldığı her değer içi belirli olasılıklar vardır. X, rastlatısal değişke ve X,X 2,X 3,...,X rastlatısal değişkei alabileceği değerler olsu. X, rastlatısal değişkei herhagi bir x değerii alma olasılığı, p(x =x) şeklide gösterilir. Rastlatısal değişkeler alacakları değerler bakımıda sürekli ya da kesikli rastlatısal değişkeler olarak adladırılırlar..3.5. Taım: (Kesikli Rastlatısal Değişke) 9

X, bir rastlatısal değişke olsu. X i alabileceği değerleri sayısı solu veya sayılabilir sosuzlukta ise X e Kesikli Rastlatısal Değişke deir..3.5 2 Taım: (Sürekli Rastlatısal Değişke) X, rastlatısal değişkei R deki değer kümesi A, sayılamaz bir küme ise X e Sürekli Rastlatısal Değişke deir..3.6 Taım: (Olasılık Foksiyou) X, sayılabilir sosuzluktaki x, x 2,..., x değerlerii ala rastlatısal değişke ve bu değerlere karşılık gele olasılıklar f ( x ) P( X x) i = =, i =,2,... olsu. Aşağıdaki koşulları sağlaya f(x) foksiyoua X i Olasılık Dağılımı ya da Olasılık Foksiyou deir. (a) (b) i= x içi f(x) 0 f(x ) =. i.3.7 Taım: (Olasılık Yoğuluk Foksiyou) X, (-, + ) aralığıda taımlaa sürekli rastlatısal değişke olsu. Aşağıdaki koşulları sağlaya f(x) foksiyoua rastlatısal değişkeii Olasılık Yoğuluk Foksiyou deir. (a) f(x) 0, - < 0 < + (b) f(x) eğrisi altıda kala ve x eksei ile sıırlaa ala e eşittir. Ayrıca özel olarak şu taımı da yapabiliriz; x A içi f(x) = 0 olmak üzere her (a, b) A aralığı içi b p(x a,b ) = f (x)dx = a 0

koşuluu sağlaya f(x) e X i Olasılık Yoğuluk Foksiyou deir. x değerii ala her f(x) olasılık yoğuluk foksiyou, X sürekli rastlatısal değişkei ile bağlatılıdır. Fakat bu durumda f(x), x değerii ala X rastlatısal değişkeii olasılığı değildir. X, rastlatısal değişkeii (- < a < b < + ), a ile b arasıda bir değer alma olasılığı p(a < x < b) = b a f(x)dx dir. X sürekli rastlatısal değişkeii belli bir x değerii alma olasılığı 0 dır. Yai; p( X = x) = 0 dır..3.8 Taım: (Bir Rastlatısal Değişkei Beklee Değeri) gösterebiliriz: ( Ω, Υ, P) olasılık uzayı ve X, bir rastlatısal değişke olsu. X, kesikli bir rastlatısal değişke olsu. X i beklee değerii şöyle E(X) = x f(x ) + x f(x ) +... + x f x = x f(x ). (.) 2 2 i i i= (.) değerii hesaplaabilmesi içi X kesikli ike toplamı yakısak olması gerekir. gösterebiliriz: X, sürekli bir rastlatısal değişke ise X i beklee değerii şöyle

+ = ( + ) E X x.f (x)dx x. (.2) (.2) değerii hesaplaabilmesi içi belirli itegrali solu olması gerekir..3.8. Teorem [6]: a, b R ve E(X), X rastlatısal değişkeii beklee değeri olmak üzere E( ax + b) = a.e ( X) + b dir..3.9 Taım: (Heme Heme Kesi) ( Ω, Υ, P) olasılık uzayı olsu. Υ daki bir A olayıı olasılığı P(A) = ise A, Υ da heme heme kesilikle meydaa gelir. Kavram ölçü teorisideki heme heme her yerde görüşüe bezerdir. Ölçü teorisi bakışı açısıda bir diğer taımlama şöyle yapılabilir; P, Ω üzeride bir ölçü olduğuda eğer heme heme her yerde A=Ω ise A, heme heme kesilikle meydaa gelir..3.0 Taım: (Rastlatısal Değişkeleri Dizisii Yakısaklığı) { X k }, k =,2,... rastlatısal değişkeleri dizisii göz öüe alalım. Eğer ε 0 içi, ( ) lim P X X ε = 2

ise, { X k } dizisii X limit rastlatısal değişkeie yakısadığı söyleir ve bua Olasılıkta Yakısaklık deir. X X biçimide gösterilir. { X k }, k =,2,... rastlatısal değişkeleri dizisi içi ( k ) P lim X = X = k ise, { X k } dizisii X, rastlatısal değişkeie yakısamasıa Heme Heme Kesi Yakısaklık adı verilir ve X X Heme Heme Kesi biçimide gösterilir. { X k } dizisi X limit rastlatısal değişkeie heme heme kesi yakısıyor ise olasılıkta yakısaklığı sağlar, acak tersi söyleemez. { X k }, k =,2,... rastlatısal değişkeleri dizisi olsu. Varsayalım ki F,F 2,... foksiyoları, X,X 2,... rastlatısal değişkelerie karşılık gele olasılık yoğuluk foksiyolarıı bir dizisi ve F, X rastlatısal değişkeie karşılık gele bir dağılım foksiyou olsu. F i sürekli olduğu her a reel sayısı içi k k lim F a = F(a) ise { X k } dizisi X e Dağılımda Yakısaktır deir..3. Ö Teorem [4]: (Birici Borel-Catelli Ö Teoremi) ( A ), Υ daki kümeleri herhagi bir dizisi olsu. Eğer = P A 3

ise ( ) P lim sup A = 0 dir..3.2 Ö Teorem [4]: (İkici Borel Catelli Ö Teoremi) ( A ), Υ daki bağımsız olayları bir dizisi olmak üzere = P A = ise ( ) P lim sup A = dir..3.2. Souç [4]: A, Υ daki bağımsız olayları bir dizisi olmak üzere P( lim sup A ) olasılığı ya 0 ya da dir..3.3 Kolmogorov 0 Kauu [4]: 4

( Ω, Υ, P) olasılık uzayıı X,X 2,... rastlatısal değişkelerii bir dizisi ile üretildiğii varsayalım. Herhagi bir E kuyruk olayı içi ya P( E) = yada P( E) = 0 dır..3.4 Taım: (Markov Ziciri) 0 t t 2... t t ve a, b, x, x 2,..., x R içi { ( 2 ) 2 ( ) } P a X t b X t = x ;X t = x ;...;X t = x = { = } = P a X t b X t x ise, bu taktirde X(t) sürecie Markov Süreci deir. Kesikli durum uzayıa ve kesikli zama parametresie sahip ola Markov süreçlerie Markov Zicirleri deir..3.5 Güçlü Büyük Sayılar Yasası [6]: = rastlatısal değişkelerii göz öüe alalım. E( X ) X k, k,2,... üzere, { X k } kümesi içi, µ = olmak k k Xk E( Xk ) k= 0 heme heme kesi limitii sağlamasıa Güçlü Büyük Sayılar Yasası deir..3.6 Taım: (Bağımsız ve Özdeş Dağıtılmış Dizi) 5

{ X } =, Rastlatısal değişkeleri bir dizisi olsu. Her birii olasılık dağılımı ayı, karşılıklı olarak bağımsız ise { } X = Dizi deir. dizisie Bağımsız ve Özdeş Dağıtılmış.3.7 Taım: (Stochastic Matris) Elemaları egatif olmaya gerçel sayılar ve her satırıdaki elemalarıı toplamı e eşit ola karesel matrise Stochastic Matris deir..3.8 Kigma ı Subadditive Ergodic Teoremi [7]: ( Ω, Υ, P) olasılık uzayı olsu. T, Ω da bir ölçü göstersi ve { g }, = itegralleebilir foksiyoları bir dizisi olsu. g + x g x + g T x m m ise o zama g(x), bir ivaryat foksiyo olduğuda, g lim ( x) = g x dur. Matematiksel İstatistik ve Stokastik Süreçler hakkıda daha ayrıtılı bilgi içi [4, 5, 6] kayaklarıda faydalaılabilir. 6

2. RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİNİN BİRLEŞİMLERİ Goodall [9] de cut-grow modeli deile phyllotaxis i bir modelii, her bir üçge bir primordium u temsil etmek üzere, üçgeleri bir dizisii şekillerii davraışıı aalizi vasıtasıyla çalışmıştı. Cut-grow modeli, 2 parametre ile tam olarak belirleebilir ve Goodall ı hedefleride biri parametreleri kümelerii, bir limit şekle yakısaya şekiller dizisi oluşturduğuu görmekti. Yakısama var olduğuda şekilleri dizisii düzgüleştiği söyleir. Goodall, cut-grow modeli parametrelerii zamala rastlatısal olarak değişiklikler göstermesie izi verildiği durumlarda düzgüleşmei meydaa gelip gelmeyeceği sorusuu ortaya attı. Aşağıda göstereceğiz ki rasgele durumda düzgüleşme olmayacaktır. Burada bağlatılı bir soru üçgeleri içide üçgeleri çizilmesidir (Problem Maio [,2] de icelemiştir). Bir üçge verildiğide yei bir üçgei köşeleri olacak şekilde verile üçgei içide üç oktaı seçilmesidir. Bu yötem tekrarlaabilir ve souçta elde edilecek üçgei bazı karakteristik özellikleri çalışabilir. Burada cut-grow modeli ve üçge içideki üçge problemii içere, döüşümleri daha geiş bir sııfı ile üretile üçgeleri bir dizisii şekillerii gelişimii iceleyeceğiz. 2. Yöledirilmiş Üçge Düzlemi kompleks sayıları kümesi olarak ve bir üçgei üç tae doğrudaş olmaya (o-colliear) oktaı kümesi olarak göz öüe alacağız. Bir doğru parçası, bir dejeere üçgei temsil edecektir ki bu üçgeler köşeleri doğrudaş ola üçgelerdir. 7

Cut-grow modelide köşeleri sırası öemli bir rol oyar. Bu edele kompleks sayıları e az iki farklı elemada oluşa herhagi bir sıralı üçlüsü bir yöledirilmiş üçge (o-üçge) olarak adladırılacaktır. Şimdide sora 3 C ü elemalarıı küçük yua harfleri ile göstereceğiz ve buları sütu vektörleri olarak düşüeceğiz. Kompleks sayıları küçük Roma harfleri temsil edecek. Buda dolayı; a α = a 2 a3 yazabiliriz. r, her bir elemaı e eşit ola vektör alamıa gelecektir ve ε, r ı bütü kompleks katları kümesidir. 2.. Taım: Bir α = ( a, a, a ) t o-üçgeii şekli 2 3 ς α ile gösterilir ve a3 a a2 a ; eğer a a 2 ise ς( α ) = ; eğer a = a 2 ise (2.) şeklide taımlaır [8]. Heme belirtelim ki bir o-üçgei şeklii reel sayı olması içi gerek ve yeter şart o-üçgei dejeere olmasıdır. Bu yüzde ς yi 3 C ε da C üzerie bir döüşüm olarak kabul edebiliriz: 3 { } ς : C ε C = C. 8

Köşeleri sırası öemli olduğuda 2 bezer o-üçge ayı şekle sahip olmayabilir. Buula birlikte eğer iki o-üçgei ayı şekle sahip ise bu üçgeler gerçekte bezerdir. 2..2 Öerme [8]: Eğer a 0, a ve b kompleks sayılar ise ( a b) ς α = ς α + r (2.2) dir. Başka bir deyişle bir o-üçgei şekli döme, eseme ve kayma döüşümleri altıda değişmez (bezerlik döüşümleri altıda şekiller ivaryattır). Cut-grow modelide bir üçgei yöledirilmesi öemlidir. Çükü soraki primordium u büyümesi mevcut primordium u öcede belirlee (predetermied) kıyısı boyuca meydaa gelebilir. Özellikle eğer t α a, a, a mevcut 2 3 primordium u temsil ederse o zama ( a, a 3 ) kearı üzeride bir b oktası seçildiğide; ( a 2, b ) doğru parçasıı b i yöüde bir v çarpaı kadar uzatılması ile yei bir ( a 2, c ) kearı elde edilir ve a, a 2, c oktaları yei üçgei köşeleridir. Acak, bu kurala göre bir soraki yei kearı ereye çizilebileceği dikkate ) t 2 alımalıdır. Bu yei üçge ( a, c, a dur. ( Şekil 2.) 9

c a 3 b a a 2 Şekil 2. Yei o-üçgei b = ( u) a + ua 3 dir. Burada u ( 0, ) aralığıda seçilmiştir. c = a + v b a 'dir. Bu yei β o-üçgei eski α, o-üçgeii O zama 2 2 aşağıda verile [ G ] matrisi ile çarpımı soucuda elde edilir: 0 0 G = v u v uv. (2.3) 0 0 [ ] Gerçekte de 0 0 a G α = v u v uv a 2 0 0 a [ ] 3 a2 = v( u) a ( v) a2 uva + + 3 a a 2 = v( ( u) a + ua3 ) + a2 va 2 a 20

a2 a2 = vb + a va = a + v b + a 2 2 2 2 a a a2 = c a elde edilir. Üçge içide üçge problemi ayı zamada matris çarpımları ile taımlaabilir. Orijial α o-üçgei verildiğide yei o-üçge [ H] α ile belirleir. Burada [ H ] matrisii bir Stochastic matris olması gerekir. 2.2 Kesirli Lieer Döüşümler Vasıtasıyla Aaliz Tüm bu durumlardaki şekilleri dizisii, kesir lieer döüşümleri birleşimleri ile kolayca belirleeceğii düşüüyoruz. Cut-grow döüşümü ve üçgeleri içideki üçgeler problemlerideki ortak okta, mevcut (var ola) o-üçgeii yei bir o- üçgeie; var ola o-üçgei α 'ı bir 3 x 3 matris ile çarpılması ile döüştürürler. Her iki durumda da (,, ) t vektörü cut-grow modelide verile matrisi bir öz vektörüdür. Ayrıca [ G ] matrisii tersi vardır. Ayrıca tek oktaya resmedile bir o-üçge bulumadığıı söyleyebiliyoruz. (Dejeere veya değil fark etmiyor.) Biz burada, aşağıdaki özelliklere sahip T : C 3 3 C doğrusal döüşümlerii bileşimlerie göre geliştirice o-üçgelerii, şekillerii, dizilerii, davraışlarıı asıl araştırılacağıı göstereceğiz. r r T = a (2.4) 2

{ C 3 : T } α α ς = ς (2.5) (2.4) ve (2.5) de verile özelliklere sahip bir T döüşümü içi eğer α, bir o-üçgei ise o zama T( α ) da bir o-üçgeidir. Her bir kompleks sayıya bir o-üçgei karşılık getirebileceğimizde ve her bir o- üçgei bir şekle sahip olduğuda, L T ( z) t ( T ( 0,, z) ) t ( T ( 0, 0, ) ) ς eğer z = ς eğer z = (2.6) kuralıa göre verile L : C T C döüşümü T ye karşılık gelir. (2.5) te görüyoruz ki L T iyi taımlamıştır. Üstelik görüyoruz ki a, b, c, d kompleks sayılar ad bc 0 ve L T ( z) az + b = cz + d dir yai başka bir deyişle L T, bir kesirli lieer döüşümdür. Öreği cut-grow modelide eğer [ G ] matrisi (2.3) teki gibi verilirse o zama L [ G] ( z) = uvz v dir. 22

Aşağıdaki teorem kesirli lieer döüşümleri birleşimi ile şekilleri gelişimi arasıda öemli bir bağlatı kurar. 2.2. Teorem: Varsayalım ki T ve U, (2.4) ve (2.5) te verile şartları yerie getirsi. O zama L = L L ToU T o U dur. İspat: α = [ a a a ] t olsu. 2 3 durum bezerdir. ς α olduğu durumu göz öüe alıyoruz. Diğer ( Tα ) ( Tα ta ) ς = ς a2 a r r = ς T ( α a) a2 a t ( T ( 0,, ) ) = ς ς α L T ( ) = ς α t t Eğer z ise α = U [ 0,, z] ve z = ise U [ 0, 0, ] görülür [8]. α = alıarak ispat Bu sebepte dolayı (2.5) koşuluu sağlaya lieer döüşümleri { T :, 2, } = K gibi herhagi bir dizisi ve şekli z α ola herhagi bir α başlagıç o- üçgei verildiğide, 23

α 0 = α α = T α şeklide taımlaa α o-üçgelerii dizisii şekillerii gelişimii S0 = z α S = L S T şeklide taımlaa S dizisii aalizi ile çalışabiliriz. 2.3 Limit Şekli Mevcut Olması Durumu Goodall ı çalışmasıda [9], { T } bir sabit dizidir. içi zama, şekilleri dizisii limit davraışı, T = T deirse o L T 'ı sabit oktasıı çekici özellikleri ile belirleir. Kesirli lieer döüşümleri sabit oktalarıı davraışı iyi biliir. Ayrıtılar içi [,2] gibi kayaklarda yararlaılabilir. Farz edelim ki bir sabit T döüşümü verilmiş olsu ve L T i z ve z 2 ile gösterile farklı iki sabit oktası olsu. O zama w L ( z) olmak üzere T w z z z = w z L z z z 2 T 2 2 dir. L T üç parametre ile belirlidir: H, z ve z L 2. ( z ) T 2 sabit oktalar L T döüşümü içi L( H; z, z 2 ) gösterimii kullaacağız. Cut-grow modelide 24

z z 2 v v 4vu =, 2uv 2 2 v + v 4vu = 2uv dir ve v 4u ike z z2 dir. z z oktalarıı sabit tutalım ve GL( z, z ) = L( H;z, z ) : H 0 kümesii 2 göz öüe alalım. { } 2 2 o = L u,z,z L v, z,z L uv,z, z 2 2 2 olduğu kolayca gösterilebilir. Buda ve 2.2. Teorem de dolayı S şekli aşağıdaki gibi ifade edilebilir: S = L H, z, z s. 2 0 S şekli, H > ise z 2 ' ye yakısar ve H < ise z e yakısar. Cut-grow modelide eğer v > 4u ise zve z 2 i her ikisi de reeldir, H < dir ve 2 v + v 4u S, e yakısar. Diğer yada eğer H = ise o zama S, 2uv z z S z = z z S z 0 2 0 2 (2.7) çemberi tarafıda sıırladırılır. Bu cut-grow modelde v < 4u olması halidir. 25

2 ix Özel olarak eğer bir x reel sayısı içi H = e π ise şekilleri dizisi x rasyoel ike periyodik ve x irrasyoel ike (2.7) çemberide yoğu olacaktır. Diğer bir durum sahip olduğu durumdur. O zama w L ( z) L T döüşümüü z 0 solu oktasıda çift katlı sabit oktaya ile bazı sabit a 0 kompleks sayıları içi T a w z = z z + 0 0 eşitliği vardır. L T içi L( a, z 0 ) yazılır. S = L a, z s olur. a 0 içi S şekilleri s 0 ve z 0 da geçe çember 0 0 üzeride buluur ki bu çemberi 0 modeli durumuda z0 = ve a = 2u dur. 2u z daki teğet doğrusu arg z yöüdedir. Cut-grow 0 Gerçekte, yukarıda gösterile aaliz, kritik varsayımı tek lieer döüşümü T olmadığıı gösteriyor. Fakat L T birleşimlerii sabit okta çiftleri her zama ayıdır. Cut-grow modelde, kolayca kotrol edilebilir. L T ı sabit oktalarıı u ve v parametrelerii belirlediği 2.4 Rastlatısal Kesirli Lieer Döüşümleri Birleşimleri o-üçge şekillerii rastlatısal gelişimlerii bir yolu, 3 C ü lieer döüşümlerii bir dizisii rastlatısal seçilmesidir. Zira biz her bir uygu doğrusal döüşümü bir kesirli lieer döüşüme eşleştirebileceğimizde haklı olarak kesirli lieer döüşümleri bir sırasıı rastlatısal seçebiliriz. ( Ω, Υ, P) matematiksel yapısı bir olasılık uzayı olsu ve 26

az + b Λ = : a, b, c, d C, ad bc = cz + d C C tüm kesirli lieer döüşümleri kümesii göz öüe alalım. { x } dizisi Λ değerli rastlatısal değişkeleri birbiride bağımsız ve özdeş = olarak dağıtılmış bir dizisi olsu. Böylece X : Ω x C C ( ω, z) X ( ω,z) dir. ω, sabit olursa geellikle x ( ω,z) içi x z yazacağız. Souç olarak C üzeride bir rastlatısal yürüme, { } S z = 0 aşağıdaki şekilde taımlaır: z sabit olmak üzere C S0 ( z) = z = ( ) S z X S z + + + = X o X o... o X z olsu. Bu rastlatısal yürüme şekilleri rastlatısal dizisidir. Uyguluk içi aşağıdaki gösterimi kullaacağız. ( ω ) X z X,z ( ω ( ω )) X o X z X,X,z 2 2 ω ( ω ( ω )) X o X o X z X,X,X,z 3 2 3 2 27

burada ω Ω olmak üzere bu şekilde devam edeceğiz. { } S z = 0 hakkıda e söyleyebiliriz? 2.4. Teorem [8]: p lim S ( z ) vardır = 0 veya İspat: lim S ( z) limitii mevcut olması durumu bir kuyruk olaydır (Tail Evet). Bu yüzde teorem, Kolmogorov 0 kauuda görülür. 2.4.2 Taım: Eğer p X ω, α = α = ise α C oktasıa bir Λ değerli rastlatısal X değişkeii heme heme kesi bir sabit oktası deir. İlk olarak { } S z = 0 dizisii heme heme kesi yakısaması içi gerekli şartları araştıracağız. 2.4.3 Ö Teorem: α ı C değerli bir rastlatısal değişke olduğuu varsayalım. Eğer, ( = α ) = ve L Λ, [ ] p lim S z ( ) p L α = α = dir. p X = L > 0 olacak şekilde ise o zama 28

İspat: 0 0 = ve if { : ve X L} = > = olarak taımlayalım. Borel- k k Catelli ö teoremide dolayı yüzde k içi k dur. p X = L sosuz sıklıkta = olduğu açıktır. Bu { } Şimdi S z = k k 0 dizisii düşüelim. { } k k 0 = dizisii taımıda ( ) L S z = S (2.8) k k yazabiliriz. Bu yüzde ( k ) k ( k ) p lim S z = α = p lim S z = α = k ( ) p L α = α = elde edilir [8]. 2.2.4 Teorem [8]: { } j j L, Λ de P X = = L j = eşitliğii sağlaya bir dizi olsu. O zama j= S z α (heme heme kesi) olması içi bir gerekli koşul α ı her bir j sabit oktası olmasıdır. Burada j =,2,... içi p X = L j > 0 dır. L i bir Eğer α heme heme kesilikle sabitse o zama α, =, 2, içi her bir X i bir heme heme kesi sabit oktasıdır. 29

Ayı zamada { α C :S (z) α heme heme kesi sağlaya z C vardır} kümesi her bir L j, özdeşlik döüşümü olmadıkça e çok iki elemaa sahiptir. 2.5 Ortak Sabit Noktalar Üçgei gelişimii e ilgiç durumları kesirli lieer döüşümleri sabit oktalarıı sıfır olmaya imajier kısmıı olması durumuda olur. Eğer kesirli lieer döüşümleri katsayıları reel ise (ki bu cut-grow model ve üçge içide üçge problemideki durumdur) o zama ya tekrarlaa sabit okta vardır ya da sabit oktalar kompleks eşleiklerdir. Her iki durumda da sabit oktalar sadece bir sabit oktaı bilimesiyle belirleir. Öceki bölümlerde açıktır ki cut-grow modelide heme heme kesi sabit oktalar yoktur. Heme heme kesi sabit oktaları olabildiği üçge içide üçge problemide ise sabit oktalar vardır. Her iki durumda da ilgiç durum iki farklı sabit okta olmasıdır. Bu yüzde ilk olarak bu durumu göz öüe alacağız. Bir ortak sabit okta durumuu daha sora ele alacağız. 2.5. İki Ortak Sabit Nokta 2.5.. Taım: Bir L kesirli lieer döüşümüü bir α sabit oktası içi eğer L ( α ) < ise Çekici, eğer L ( α ) > ise İtici olduğu söyleir. Her bir kesirli lieer döüşümü e fazla iki sabit oktaya sahip olduğu aksi halde bir özdeşlik döüşümü olacağı gerçeğii aımsayalım. Bu yüzde { } 0 S = dizisii heme heme kesi yakısaması gerek şartı altıda (2.4.4 Teorem) her iki sabit oktası da ortak ola rastlatısal kesirli lieer döüşümleri dizilerii göz öüe 30

alacağız ve bu dizileri heme heme kesi yakısaması içi gerekli şartları arayacağız. Daha kesi olarak aşağıdaki durumu göz öüe alalım: z, z2 C oktaları sabit ve z z2 olsu. Λ z,z, sabit oktaları z ve z 2 ola tüm kesirli lieer döüşümleri kümesi olsu. Λ( z,z 2 ) kümesideki herhagi bir L döüşümüü, 2 L z z z z = H L z z z z 2 2 şeklide yazılabileceğii hatırlayalım. Burada H C ve H 0 dır. Bu edele L z = ( z Hz2 ) z + zz2 ( H ) ( H) z + ( Hz z ) 2 (2.9) elde edilir. Kolayca gösterilebilir ki L ( z ) = H ve L ( z ) = H dir. { } 2 x = dizisi Λ ( z,z 2 ) i rastlatısal değişke değerli bir dizisi olsu. Yukarıda bahsettiğimiz gibi { } S z = 0 dizisii heme heme kesi yakısaklığı ile ilgileeceğiz. Kolaylık içi aşağıdaki ö teoremi ifade edeceğiz. 2.5..2 Ö Teorem [8]: { H } dizisi C /{ 0} = özdeş olarak dağıtılmış bir dizisi ve [ ] değerli rastlatısal değişkeleri birbiride bağımsız ve p H = < olsu. O zama; () Eğer k= k E log H 0, ise lim H = heme heme kesidir. 3

(2) Eğer (3) k= k E log H, 0 ise lim H = 0 heme heme kesidir. k= k E log H = 0 ise lim H heme heme kesi olarak mevcut değildir. Gerçekte bu durumda { H k= k } dizisi pozitif reel sayıları çarpımsal = grubu üzeride bir yielee rastlatısal yürümedir. 2.5..3 Teorem: { } = X dizisi Λ( z,z 2 ) değerli rastlatısal değişkeleri birbiride bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış bir dizisi olsu. H = X ( z ) ve varsayalım [ ] olsu. O zama { } S z = 0 dizisi p H = < (% ) X% z z z z z% z z z z = ( ) + ( ) ( z z) z% + ( z z ) 2 2 2 (2.0) ile verile X % kesirli lieerli döüşümü altıda C i çarpımsal grubuda { H k= k} = rastlatısal yürümesii görütüsüdür. Özellikle, eğer z { z,z } ise o zama 2 o o o o lim S z lim X X... X X z 2 z 2, eğer E log H 0, ise = z, eğer E log H,0 ise ve E log H = 0 ise ( z ) lim S heme heme kesi olarak mevcut değildir. 32

İspat: İlk olarak belirtelim ki { X } = dizisii birbiride bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış bir dizi olması { H } dizisii birbiride bağımsız ve özdeş olarak = dağıtılmış bir dizi olmasıı gerektirir. (2.9) da dolayı X = ( z Hzz ) z + z.z2 ( H ) ( H ) z + ( H z z ) 2 ( ) + ( ) ( z z) H + ( z z ) z z z H z z z z = 2 2 X % ( H ) 2 yazabiliriz. p H 0 = dir ve X %, Burada [ ] (% ) X% z şeklide taımlaır. z z z z% z z z z = ( ) + ( ) ( z z) z% + ( z z ) 2 2 2 (2.) Şimdi kolayca görülüyor ki S ( z) ( ) + ( ) z z z H z z z = 2 k= k 2 ( z z)( H ) + ( z z ) k= k 2 X% Hk k= dır. Bu yüzde 2.5..2 Ö Teoremde dolayı 33

lim S ( z) 2 = ( ) X% = z, eğer E log H 0, ise = X % 0 z, eğer E log H,0 ise yazabiliriz. Burada [ ] p H 0 = olduğuu hatırlayalım. Eğer E log H = 0 ise o zama tekrar 2.5..2 Ö Teoremde dolayı kesi olarak mevcut olmadığıı görüyoruz. lim H k k limitii heme heme = Bu yüzde ( z ) lim S X %, bire-bir, örte ve süreklidir [8]. limiti heme heme kesi olarak mevcut değildir. Çükü 2.5..4 Örek [8]: ( 0, 2 + 0,8i ) z (, 4i) ( 0,5 0,7i) z (,2 2,2i) L z =, L 2 ( z) = ( 0, 7 + 0,9i) z ( 0, 4,8i ) ( 0, 2 0,9i) z (, 2, 7i) olsu. = = = = özelliğide bir rastlatısal değişke olsu. 2 X, p[ X L ] p[ X L ] 2 L ve L 2 i sabit oktaları ± i dir. H = X (+ i ) olduğuda p[ H = 0,5 + 0,7i ] = p[ H = 0,8 + 0,9i ] = olduğuu göstermek kolaydır. Bu yüzde 2 E log H 0 dır. oktaı dağılımıı göstermektedir. S, = de =2000 e kadar hesaplaırsa, Şekil 2.2 so 800 34

Şekil 2.2 X i heme heme kesi sabit oktası -i sayısıa yakısaması Bu oktaları beklediği gibi i kompleks sayısıa yakısadığı görülüyor. 2.5..3 Teorem, üçge içideki üçge problemii rastlatısal versiyoua uygulaabilir. Üçgeleri içide üçge problemide, yei bir β o- üçgeii, bir Stochastic [M] matrisi ile verile bir α o-üçgeii çarpımı ile elde edildiğii hatırlayalım. m m m m M = m m m m m m m m [ ] 2 3 2 3 22 23 22 23 32 33 32 33 yazabiliriz. Burada i 3 ve 2 j 3 içi 0 mi, j 'dir. 35

j 4 içi a j a z + a = a z + a olmak üzere 2 döüşüm verildiğii varsayalım. Eğer, L z 3 4 şeklide bir kesirli lieer a = m33 m3 a2 = m32 m2 a3 = m23 m3 a4 = m22 m2 bağıtıları sağlaıyorsa o zama L = L[ M ] dir. Eğer a j leri verildiğii varsayarsak, [ M ] i stochastic matris olması kısıtlamasıyla, mij leri çözmek daima mümküdür. Diğer tarafta eğer z z2 kompleks eşleikler ve H olmak üzere H ı modülü ise (2.9) da L z = (( ) ( )) z + ( Hz z ) / ( H) z Hz / H z z z 2 2 2 elde edilir ve bu döüşümü katsayıları reeldir. Bu katsayıları hepsi (,) aralığıda değerler alacak şekilde ormalleştirilebilirler. Bu yüzde bu durumu 2.5..3 Teoremi uyguladığı üçge içide üçge problemii rastlatısal versiyouu çeşitli öreklerii bulabiliriz. Buula birlikte souç her zama bir limit şekli mevcut olmadığı bir durumdur. Bu durumda S şekillerii rastlatısal dizisi (2.0) daki döüşüm altıda birim çemberi resmi ile verile çemberde değerler alır. 36

2.5..5 Örek [8]: Varsayalım ki bir yei o-üçge, Stochastic M ya da M 2 matrisi ile çarpılması soucuda eski o-üçgei tarafıda oluşturulmuştur. Burada her bir matris 2 olasılıkla seçilmiştir: 0 2 2 2 M = 0, 3 3 2 6 3 [ ] 3 3 3 M2 = 0. 2 2 5 0 6 6 [ ] Bulara karşılık elde edile kesirli lieer döüşümler; L L ( z) 2 ( z) z 2 = z 3 3z 2 = z + dir. Ortak sabit oktaları m i ve bulara karşılık H değerleri 3 ± 4i dir. H i modülü 5 daima olduğuda dolayı, S şekillerii rastlatısal yürümesi z = + i ve z2 = i ile (2.0) da verile döüşüm altıda birim çember üzeride bir rastlatısal yürümesii görütüsüdür. 37

Çift katlı sabit okta durumua döelim. z0 C oktası sabit olsu ve z 0 oktasıı çift katlı sabit oktası olduğu tüm kesir lieer döüşümleri kümesi Λ( z 0 ) olsu. Herhagi bir L Λ( z 0 ) ı bir a C içi a L z z = z z + 0 0 şeklide verildiğii aımsayalım. Bu yüzde L z = 2 ( az + ) z az 0 0 az + az 0 (2.2) Kolayca gösterilebilir ki L z = 2a dır. 0 2.5..6 Teorem: { X } = dizisi Λ( z 0 ) değerli rastlatısal değişkeleri birbiride bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış bir dizisi olsu. r = X z 2 0 diyelim ve varsayalım ki p[ r = 0] < olsu. O zama { } S = dizisi 0 ) X z ( ˆ ) 0 ( 0 ) ˆ z z z zˆ + z = z z z + 0 (2.3) 38

eşitliği ile verile X ) kesirli lieer döüşümü altıda kompleks sayıları toplamsal grubuda a rastlatısal yürümesii görütüsüdür. k k= = Özellikle eğer E[ r ] C /{ 0} ise o o o o lim S z lim X X... X X z 2 = z 0 dir ve eğer z z ve E[ r ] = 0 ise ( z ) 0 değildir. Ek olarak eğer 2 < E r lim S ise { } heme heme kesi olarak mevcut S z = dizisi, X) kesirli lieer döüşümü altıda a yielee rastlatısal yürümesii görütüsüdür. k k= = İspat: İlk olarak { X } = dizisii birbiride bağımsız ve özdeş olarak a = dağıtılmış bir dizi olması, { } dizisii birbiride bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış bir dizi olmasıı sağlar. Ayı zamada (2.2) de dolayı; X = 2 ( a z + ) z a z 0 0 a z + a z 0 z0 z z0 a + z ) = X a z z a + 0 yazabiliriz. Burada X ) ) X z ( ˆ ) 0 ( 0 ) ˆ z z z zˆ + z = z z z + 0 (2.4) 39

ile verilir. Kolayca gösterilebilir ki S ( z) z0 ( z z0 ) ak + z k= = ( z z0 ) ak + k= dir. Şimdi Güçlü Büyük Sayıları Yasası da eğer k k = E[ r ] C /{ 0 } ise lim a = dur. Bu yüzde eğer E [ r ] C / { 0 } lim S ( z ) X ) = ( ) = z 0 dır. Ayı zamada eğer E[ r ] = 0 ise o zama souçlar rastlatısal yürümeler içi stadart souçlarda buluur. Bu da teoremi kaıtlar [8]. ise 2.5..7 Örek [8]: (a) ( 0,95 + 0, 05i) z + 0, + ( ) L z =, 0,05iz,05 0,05i X, p[ X L ] p[ X L ] 2 (,05 0,05i ) z 0,0 0,05iz ( 0,95 0,05i) L2 z = olsu. + + = = = = özelliğide bir rastlatısal değişke olsu. 2 Kolayca gösterilebilir ki + i, L ve L 2 i her ikisii de çift katlı sabit oktasıdır. r = X (+ i ) 2 gösterilebilir. Bu yüzde E[ r ] = 0 dır. = = = = olduğu 2 olmak üzere p[ r 0, 05i ] p[ r 0, 05i ] Eğer S de S 5000 e kadar hesaplaırsa, 40

Şekil 2.3 Noktalar yakısamaz (çift katlı sabit okta +i ve E[ r ] = 0 ). Şekil 2.3, tüm bu oktaları dağılımıı gösteriyor ve görüyoruz ki bu oktalar 2.5..6 Teoremde beklediği gibi yakısamazlar. (b) ( 0,96 + 0, 04i) z + 0, 08 0,04iz + (,04 0,04i) L z =, X, p[ X L ] p[ X L ] 2 L 2 ( z) (,05 0,05i ) z 0,0 0, 05iz ( 0,95 0, 05i) = + + olsu. = = = = özelliğide bir rastlatısal değişke olsu. 2 Kolayca gösterilebilir ki +i, L ve L 2 i her ikisii de çift katlı sabit oktasıdır. r = X (+ i ) 2 gösterilebilir. Bu yüzde E[ r ] 0 = = = = olduğu 2 olmak üzere p[ r 0,04i ] p[ r 0,05i ] dır. S de S 5000 e kadar hesaplaırsa, 4

Şekil 2.4 Noktalar + i ye yakısar (çift katlı sabit okta + i ve E[ r ] 0 ). Şekil 2.4 tüm bu oktaları dağılımıı gösteriyor. Görüyoruz ki bu oktalar 2.5..6 Teoremde beklediği gibi + i sabit oktasıa yakısar. 2.5.2 Bir Ortak Sabit Nokta Varsayalım ki heme heme kesi bir ortak sabit okta olsu ve bu ortak sabit okta çift katlı olması. Hagi şartlar altıda şekilleri dizisi bu heme heme kesi sabit oktaya yakısar? 2.5.2. Teorem: ω Ω ve z içi C 42

( ω ) + ( ω) a ( ω) a z b X ω,z =, =,2,... olsu. Varsayalım ki + E log a 0,, E log b [0, ) olsu. O zama k A a a b k= j= 2 j k k serileri heme heme kesi olarak yakısar ve ( ) p lim S z = A z = dir. 2.5.2.2 Teorem: ad bc =, ω Ω ve z C olmak üzere ( ω ) + ( ω) ( ω ) + ( ω) a.z b X ( ω,z) =, =,2,... c.z d olsu. Varsayalım ki a C, X i bir heme heme kesi sabit oktası ve E + log c [0, ), (2.5) (2.6) E log a c a,0 43

olsu. O zama k= 2 2 A a c a... a c a c a c k ı k k k k serisi heme heme kesi olarak yakısar ve ( ) p lim S = a A / z a = dir. = Kolayca görülür ki eğer L, Λ de ise L ( a) ( ca + d) 2 dir. Böylece 2.5.2.2 Teoremdeki E log a ca < 0 koşulu gösteriyor ki a, =,2,... içi her bir X i çekici sabit oktasıdır. Eğer, k= 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P[ a c a a c a... a c a c a c 2 2 k k k k k = ] 0 z a > ise o zama aşağıdaki 3 durumda biri meydaa gelir: (a) S, yakısamaz. (b) S, herhagi bir şekilde a ya yakısar. (c)β α olmak üzere ayrıksa o zama β, { x } = S (z), β ya yakısar. Eğer X leri ortak dağılımı dizisii heme heme kesi bir sabit oktasıdır. Heme heme kesi iki sabit oktaı olması durumuu aşağıda ele alacağız. 44

2.5.2. Teoremdeki E log a ca < 0 varsayımı E log c + d > 0 ile değiştirilebilir. Çükü biliyoruz ki a ca = c a + d dir. 2.5.2.3 Örek [8]: L L 2 ( z) ( z) = = ( 7,8 + 6, 4i) z ( 9, 2 + 86i) ( 2 + 3i) z ( 6, 2 + 6, 4i), ( 6, 47698 4,84905660i) z ( 35, 6075477 22, 7735849i ) ( i) z ( 5,5 4,9i) ve = = = = özelliğide bir rastlatısal değişke olsu. L i 2 X, p[ X L ] p[ X L ] 2 sabit oktaları 4,723076923077 + 0,85384653846i ve 5 + i, L 2 i sabit oktaları 5,86037735849 + 0,32075477i ve 5 + i dir. Böylece X i heme heme kesi sabit oktası 5 + i dir. e kadar hesaplaırsa, S, = de = 500 45

Şekil 2.5 X i heme heme kesi sabit oktası 5 + i ye yakısama Şekil 5 so 300 oktaı dağılımıı gösteriyor. Bu oktaları beklediği gibi X i heme heme kesi sabit oktası 5 + i ye yakısadığı görülüyor. Bu örek, 2.5.2.2 Teoremi bir öreklemesidir. 2.5.2. Teorem ve 2.5.2.2 Teorem i İspatı: 2.5.2. Teorem ve 2.5.2.2 Teoremi her ikisi de b 0 ve d = varsayımı ile a 2.5.2.2 Teoremi özel durumuu ispatıda elde edilir. Bu durumda ω Ω ve z C olmak üzere 46

a ( ω) z ( ω ) + ( ω) X ω,z =, =,2,... c z a (2.7) dır. {( a,c )} = dizisii birbiride bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış bir dizi olduğuu tekrar belirtelim. Yie de herhagi bir sabit içi olmaları gerekli değildir. a ve c i bağımsız Λ ve SL2 ( C ) izomorf olduğuda X (,z) ω döüşümüe; a 0 M = =,2,... c a (2.8) ile verile M M ω alt üçgesel matrisi karşılık gelir. Şimdi X ( z) Q( M z) = % yazabiliriz. Burada z z% = (2.9) dir ve r 2 Q : C / o { } C döüşümü z z / z, eğer z 0 Q z, aksi halde 2 2 = 2 (2.20) şeklide taımlamıştır. 47

= j j= 2 3 ( a j j ) ( a = j= j ) a j c a c 2 i= a a.a a a, β = + + a a a +... + c + c + c γ = a j j= 2 4 3 3 2 2 a j a j j j a = = j= j, olmak üzere, M M...M M 2 a 0 = β γ olduğuu kolayca gösterebiliriz. Buda dolayı = o o o o S z X X... X X z 2 = Q M j z % j= az = (2.2) β z + γ dir. (2.2) de görüyoruz ki S ( z) 2 ( a j= ) j = 2 2 2 2 k k k + k= z a a...a a c z dir. Bu oraı yakısaklığıı araştırmak içi 48

2 2 2 aa 2...a k a kck k= serilerii iceleyelim. Ω deki her bir ω içi kök testii uygularke log a a...a a c log a log a log c k k k 2 2 2 2 k k k = j + j + k k j= j= k k k = log a + log a + log c k k k k j j k j= j= olduğuu göz öüe alıyoruz. Güçlü Büyük Sayılar Yasası da aşağıdaki ifadeler doğrudur: E + log c [0, ) olduğuda lim sup log ck 0 yakısaması heme k k heme kesidir ve E log a R olduğuda k içi k k j = log a E log a j yakısaması heme heme kesidir. Bu yüzde 2 2 2 aa 2...a k a k.ck k= serisi bir rastlatısal değişkee heme heme kesi olarak yakısar. E log a < 0 varsayımı içi a j 0 heme heme kesi yakısamasıı gerektirir. Bu j= 2.5.2.2 Teoremi özel durumuu verir [8]. 49

Geel durumu elde etmek içi varsayalım ki a C oktası her bir X, =,2,... döüşümü heme heme kesi sabit oktası olsu. Buda dolayı aa + b c a + d = a heme heme kesi, =, 2, (2.22) yazabiliriz. a C taımlayalım. olsu. Ta z = z a ile verile T a öteleme döüşümüü Şimdi = [ ] o[ ] o [ ] o [ ] W z T X T T X T... T X T T X T z a a a a a 2 a a a olmak üzere = o o o S z X X... X z [ ] [ ] [ ] [ ] = T o T X T o T X T o... T X T o T X T o T z a a a a a a 2 a a a a a a = T o W o T z yazabiliriz. (2.22) eşitliği kullaılarak ( a ca) z + ( + ) Ta XT a z =, =,2,... c z c a d olduğu görülür. Bu kesirli lieer döüşümleri hepsii de sabit oktalarıı biri 0 dır. Böylece özel durum uygulamış olur. R ( z) = döüşümü T 2.5.2. Teoremi ispatı görülür. z a z ile yer değiştirilirse 50

3. DAĞILIMDA YAKINSAKLIK = 2. Bölüm de { X } ve özdeş olarak dağıtılmış bir dizisi olmak üzere, Λ değerli rastlatısal değişkeleri birbiride bağımsız S z = X o X o... o X o X z (3.) 2 ile verile { } S z = dizisii heme heme kesi davraışı ile ilgili çeşitli souçlar ispatladık. Şimdi 2.5.2.2 Teorem de { } S z = 0 dizisii heme heme kesi yakısaması içi yeterli şartlar meydaa gelmediğide e olacağıı iceleyelim. 2.5.2.2 Teoremi tamamlayıcı hipotezleri altıda heme heme kesi yakısamaı meydaa gelmediğii fakat dağılımda yakısamaı meydaa geldiğii elde edeceğiz. Buu görmek içi z olmak üzere C V0 ( z) z (3.2) ( ) V + z X V z (3.3) X o X o...x o X z (3.4) 2 + ile taımlaa { } V z = 0 dizisii göz öüe alalım. X ler birbiride bağımsız ve özdeş dağıtılmış olduğuda S ve V, =,2,... içi ayı dağılıma sahiptirler. 5

3. { } V z = 0 Dizisii Heme Heme Kesi Yakısaması E, Borel σ -cismi ola ve sayılabilir bir taba ola bir yerel kompakt uzay olsu. C C( E ), = f : E E tüm sürekli foksiyoları (birebir ve birebir-örte olması gerekmeye) kümesi olsu ve herhagi x E içi f f ( x) (C, ) de (E, ) a ölçülebilir döüşüm olmak üzere e küçük σ -cismi ile desteklemiş olsu. 3.. Teorem [0]: { X } = dizisi, ς dağılımı ile C C ( E ) = de birbiride bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış bir dizi olsu. 0 ve x E olmak üzere aşağıdaki dizileri göz öüe alalım; = o o o o S z X X... X X x, 2 V z = X o X o... o X o X x. 2 Farzedelim x e bağlı olmaksızı V lim V ( x) = limiti heme heme kesi var olsu. O zama V i yasası Markov Ziciri { } zicir yalızca bir durağa dağılıma sahiptir. S z = 0 ı durağa dağılımıdır ve bu Amacımız E olmak üzere, { } C S z = 0 dizisii durağa dağılımıı mevcut olduğuu göstermek içi 3.. Teoremi uygulamaktır. Böylece { } V z = 0 dizisii z ye bağlı olmaksızı bir limit değere dizisii heme heme kesi olarak yakısaması içi yeterli şartları arayacağız. Yaklaşımımız, 2. Bölümde yaptıklarımızı çok bezeri olacaktır. 52

3.2 Noktasıı, { X } Dizisii Heme Heme Kesi Bir Sabit Noktası = Olması Durumu Bu durumda ω Ω ve z C olmak üzere ( ω ) + ( ω) a ( ω) a z b X ω,z =, =,2,... (3.5) dir. 2. Bölümde olduğu gibi {( a, b )} = dizisii birbiride bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış bir dizi olduğuu aımsayalım. Herhagi bir sabiti içi a ve b i bağımsız olması gerekmez. Kolayca görülebilir ki herhagi bir 2 =,2,... içi A = a ve B = a.b olmak üzere = o o o o V z X X... X X z 2 k j k k k= 2 j= k= (3.6) = B + A B + A z, =,2,... dir. Hagi şartlar altıda k A j B k (3.7) k= 2 j= rastlatısal toplamıı heme heme kesi yakısadığıı bulmak istiyoruz. 2.5.2.2 Teoremi ispatıdaki gibi (3.7) içi kök testii uygulayalım. 53

k k log A B = log A + log B k j= k k j k j k j= olduğua dikkat edelim. + E log A, 0 ve E log B [0, ) olduğuu varsayarsak (3.7) deki toplam heme heme kesi yakısar. Bu şartlar + E log a, 0 ve E log b [0, ) olmasıa dektir. 3.2. Teorem: ω Ω ve z C olmak üzere ( ω ) + ( ω) a ( ω) a z b X ω,z =, =,2,... olsu. Ayı zamada E log a,0 (3.8) E + log b [0, ) (3.9) olduğuu varsayalım. O zama bir C değerli V rastlatısal değişkei, z ye bağlı olmaksızı içi V ( z) V heme heme kesi olacak şekilde vardır. 54

İspat: 2 j j j j j A = a ve B = a b, j =,2,... olsu. (3.8) ve (3.9) da k k= 2 j= A j B Ayrıca (3.8), k serisii bir rastlatısal değişkee heme heme yakısadığıı görürüz. k= A k çarpımıı heme heme kesi olarak 0 a yakısamasıı gerektirir. Bu edele (3.6) da V z i z ye bağlı olmaksızı içi bir rastlatısal değişkee heme heme kesi (a.s.) yakısadığı görülür. Bu da teoremi kaıtlar [8]. Şimdi aşağıdaki soucu verebiliriz. 3.2.2 Teorem [8]: ω Ω ve z C olmak üzere ( ω ) + ( ω) a ( ω) a z b X ω,z =, =,2,... olsu. içi, = o o o o S z X X... X X z, 2 = o o o o V z X X... X X z 2 olsu. 55

Varsayalım ki + E log a, 0 ve E log b [0, ) olsu. V lim V ( z) limiti heme heme kesi olarak mevcuttur ve z ye bağlı değildir. V i yasası { } S z = yalızca bir durağa dağılıma sahiptir. Markov Ziciri i durağa dağılımıdır ve bu zicir İspat: 3.. Teorem ve 3.2. Teoremde kaıtlaabilir. 3.3. a C Noktasıı, { X } Dizisii Heme Heme Kesi Bir Sabit = Noktası Olması Durumu a C her bir X, =,2,... döüşümüü bir heme heme kesi sabit oktası olsu. Bu durumda ω Ω, z C, ad bc = ve aa + b c a + d = a, =,2,... heme heme kesi (3.0) olmak üzere ( ω ) + ( ω) ( ω ) + ( ω) a z b X ( ω,z) =, =,2,... c z d yazabiliriz. Amacımız V ( z ) yi, { } V z = 0 dizisii heme heme kesi yakısaması içi bir gerekli şartı elde etmek içi 3.2. Teoremi kullaabilmemizi sağlayacak şekilde ifade etmektir. Aslıda a sabit oktasıı a kaydırarak amacımıza ulaşabiliriz. 56

a C olsu. Ta döüşümüü T a ( z) = z a olarak taımlayalım. Bu durumda = o o o o V z X X... X X z 2 = Ta o Ta XT a Ta X2T a... Ta X T a Ta XT o o o o a o Ta z a a = T o W o T z yazabiliriz. Burada o o o o W z = Ta XTa Ta X2T a... Ta X Ta Ta XTa z dir. Şimdi (3.0) u kullaarak a ca =, =,2,... heme heme kesi (3.) c a + d eşitliğii elde ederiz. (3.0) ve (3.) de a ca z + c Ta XTa ( z ) =, =,2,... a c a heme heme kesi elde edilir. Bu yüzde 2. Bölümü souçları kullaılabilir ve aşağıdaki teoremi elde ederiz. 57

3.3. Teorem [8]: { } ω Ω ve z C / a ve a d b c = olmak üzere, ( ω ) + ( ω) ( ω ) + ( ω) a z b X ( ω,z) =, =,2,... c z d olsu. içi = o o o o S z X X... X X z, 2 = o o o o V z X X... X X z 2 olsu. Farzedelim a C, X i bir heme heme kesi sabit oktası ve E log a c a 0,, E + log c [0, ) olsu. O zama, V lim V ( z) değildir. Ayrıca V i yasası { } heme heme kesi olarak mevcuttur ve z ye bağlı S z = zicir yalızca bir durağa dağılıma sahiptir. Markov Ziciri i durağa dağılımıdır ve bu İspat: 3.. Teorem yardımıyla görülür. Goodall ı çalıştığı Cut-grow modeli geellemesi içi Letac [0] u bazı souçlarıı kullaacağız. Λ R kümesii aşağıdaki gibi taımlayalım: 58

az + b Λ R = a,b,c,d R ve ad bc = cz + d. (3.2) Λ R i herhagi bir elemaı üst yarı düzlemi üst yarı düzleme döüştürür ve reel eksei değişmez bırakır. L Λ R döüşümüe a b M = c d ile verile M SL 2(R) matrisi karşılık gelir. Η = { z = x + iy x R, y > 0} ve Η = { z = x + iy x R, y = 0} { } olsu. 3.3.2 Teorem [3]: { L } = dizisi Λ R kümesideki kesirli lieer döüşümleri bir dizisi olsu ve bua karşılık gele matrisleri dizisi { M } sıırlı olsu. Eğer = lim if log MM 2...M M > 0 (3.3) ise bir x Η vardır öyle ki her z Η içi ike V ( z) x dir. (3.3) de herhagi bir orm belirlememiştir. Uygu olması içi traspozuu göstermek üzere bir 2x2 reel M matrisii ormuu T M, M i 59